0041 mikrookonomia i

MIKROÖKONÓMIA I.

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia I.

6. hétPREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ

Készítette:K®hegyi Gergely, Horn Dániel

Szakmai felel®s:K®hegyi Gergely

2010. június

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

ApreferenciarendezésmatematikaialapjaiA tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009)Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (atovábbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004)Mikroökonómia el®adásvázlatok.http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG)felhasználásával.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Vázlat

1 Speciális esetek

2 A preferenciarendezés matematikai alapjai

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák

A vagyontárgyak átlagos rhozama hasznos, de ahozam s kockázata káros. Apreferenciairányok ezértészak és nyugat (felfelé ésbalra) mutatnak, ennekkövetkeztében aközömbösségi görbéknövekv®k (pozitív ameredekségük).

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák (folyt.)

Az 1. zónában az X jószágis, és az Y jószág is hasznos,és a közömbösségi görbéknegatív meredekség¶ek. A 2.zónában az Y már telített,ezen a területen apreferenciairányok észak ésnyugat (felfelé és balra), ésa közömbösségi görbékpozitív meredekség¶ek. Ittmár a fogyasztónak kellene�zetni azért, hogy még egyszelet tortát megegyen.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák (folyt.)

Y hasznos, de X semlegesjószág. A fogyasztónakmindegy, hogy több vagykevesebb jut neki Xjószágból. Az egyetlenpreferenciairány a felfelé, ésígy a közömbösségi görbékvízszintesek.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák (folyt.)

Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy ahagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényerejeugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Azenergiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint ahagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóvalvilágítaná ki a lehet® legtovább. Milyen függvény reprezentálja apreferenciáit?

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák (folyt.)

Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy ahagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényerejeugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Azenergiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint ahagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóvalvilágítaná ki a lehet® legtovább. Milyen függvény reprezentálja apreferenciáit?x : hagyományos izzó, y : energiatakarékos izzó

U(x , y) = x + 3y

Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szeletsokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg.Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát.Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Hogyan változnameg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkával enné aszendvicset?

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák (folyt.)

Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb®l és egy szeletsokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg.Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát.x : zsemle (db), y : sonka (szelet)

U(x , y) = min{x ; y}

Hogyan változna meg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkávalenné a szendvicset?

U(x , y) = min{2x ; y}

Pl.: Tasziló salátalevet készít. Víz, cukor stb. korlátlanmennyiségben állnak rendelkezésre, az egyetlen sz¶kös jószág azecet. Egy deciliter salátaléhez vagy két kanál 10%-os (x), vagy 1kanál 20%-os (y) ecetet használna fel. Minél több salátalevet tudkészíteni, annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentáljaa preferenciáit?

y = x + 2y

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Speciális preferenciák (folyt.)

Pl.: Tasziló kerti ünnepséget rendez, amihez bevásárol m¶anyagkerti bútorokat. Megállapítja, hogy egy asztalnál (x) 6 széken (y)tudnak vendégek helyet foglalni. Minél több vendéget tud fogadniTasziló, akik (ill®en) asztalnál foglalhatnak majd helyet, annáljobban érzi magát. Kellemetlen viszont számára, ha valaki nemtud az asztalhoz ülni. Annál több vendéget semmiképpen sem hív,mint amennyi szék rendelkezésre áll. Milyen függvény reprezentáljaa preferenciáit az asztalok és székek vonatkozásában?

y = min{6x ; y}

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Nevezetes hasznossági függvények

Cobb�Douglas hasznossági függvény

U(x , y) = xayb

Tökéletes helyettesítés

U(x , y) = ax + by

Tökéletes kiegészítés

U(x , y) = min{ax ; by}

De�nícióAz U és U ′ hasznossági függvény által leírt skála ordinálisanekvivalens, ha U ′ az U pozitív monoton transzformáltja, azazköztük a következ® összefüggés áll fenn: U ′ = F (U), aholF : R→ R és dF

dU> 0

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Nevezetes hasznossági függvények (folyt.)

ÁllításHa U és U ′ hasznossági függvény által leírt skála ordinálisanekvivalens, akkor MRS = MRS ′.

BizonyításHa U ′ = F (U), akkor

MU ′x =

dFdU

∂U∂x

=dFdU

MUx

és

MU ′y =

dFdU

∂U∂y

=dFdU

MUy

. Emiatt

MRS ′ =MU ′

x

MU ′y

=MUx

MUy

= MRS

.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Nevezetes hasznossági függvények (folyt.)

Pl.: Legyen U(x , y) = x3y5 egy hasznossági függvény. Melyikesetekben beszélhetünk pozitív monoton transzformációról?

F (U) = 10U,F (U(x , y)) = 10x3y5

F (U) = −3U,F (U(x , y)) = −3x3y5

F (U) = U2,F (U(x , y)) = x6y10

F (U) = 1/U,F (U(x , y)) = 1x3y5

F (U) = lnU,F (U(x , y)) = 3 ln x + 5 ln y

F (U) = −2/U,F (U(x , y)) = − 2x3y5

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

A jótékonyság modellezése

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

A jótékonyság modellezése (folyt.)

Jótékony célú adakozás 1994-ben, néhány kiemelt jövedelemsáv esetébenCsaládi Adakozók Átlagos Átlagos adakozásjövedelem részaránya adakozás a család(dollár) (százalék) (dollár) jövedelmének

arányában(százalék)

10 000�19 000 64 209 1,3630 000�39 999 80 474 1,3750 000�59 999 84 779 1,44100 000�124 999 92 1846 1,71150 000�199 999 96 3546 2,09500 000�999 999 97 27 491 4,151 000 000-nál több 100 244 586 4,88Átlagosan 75 960 2,14

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikai ismétlés

De�nícióEgy A alaphalmaz esetén A× A tetsz®leges részhalmazát bináris(kétváltozós, vagy kéttagú) relációnak nevezzük:

(a, b) ∈ R ⊆ A× A⇔ aRb.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikai ismétlés (folyt.)

Pl.:1 H: a Föld lakosai, R : . . . magasabb, mint . . .2 H: R (valós számok), R :≤3 H: R (valós számok), R :=

4 H: R (valós számok), R :>

5 H: sík egyenesei, R : párhuzamos6 H: sík egyenesei, R : mer®leges7 H: Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R :=

8 H: Rn (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R :≤ (pl.: def:x ≤ y, ha xi ≤ yi , i = 1, . . . , n)

9 H: magyarországi n®k, R : . . . testvére . . . -nak10 H: a Föld lakosai, R : . . . (vér)rokona. . .-nak11 H: magyarországi n®k, R : . . . anyja . . . -nak12 H: ez a csoport, R : . . . barátja . . . -nak

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikai ismétlés (folyt.)

MegjegyzésA reláció fogalma több változóra könnyen általánosítható:R ⊆ A× A× . . .× A

De�níció (Relációk tulajdonságai)

Legyen A alaphalmaz és rajta R egy reláció.1 Teljesség: ∀x , y ∈ A esetén xRy vagy yRx vagy mindkett®.2 Re�exivitás: ∀x ∈ A-ra xRx.3 Tranzitivitás: ∀x , y , z ∈ A esetén, ha xRy és yRz ⇒ xRz.4 Szimmetria: ∀x , y ∈ A esetén, ha xRy ⇒ yRx.

De�nícióRendezési relációnak nevezünk egy relációt, ha teljes, re�exív éstranzitív.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikai ismétlés (folyt.)

De�nícióEkvivalencia relációnak nevezünk egy relációt, ha re�exív, tranzitívés szimmetrikus.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikai ismétlés (folyt.)

Pl.: A példaként megadott halmazok és reláció esetében döntsükel, hogy mely tulajdonságok teljesülnek.reláció+halmaz teljes re�exív tranzitív szimmetrikus

123456789101112

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikai ismétlés (folyt.)

reláció+halmaz teljes re�exív tranzitív szimmetrikus1 Nem Nem X Nem2 X X X Nem3 Nem X X X4 Nem Nem X Nem5 Nem X X X6 Nem Nem Nem X7 Nem X X X8 Nem X X Nem9 Nem Nem ? X10 Nem ? Nem X11 Nem Nem Nem Nem12 Nem ? Nem ?

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikailag kicsit precízebben

De�nícióA H fogyasztási halmaz felett értelmezett �⊆ H × H binárisrelációt preferenciarendezésnek nevezzük, ha

teljes,

re�exív,

tranzitív.

FeltevésRACIONALITÁSI POSZTULÁTUM: Feltesszük, hogy a fogyasztókízlése (preferenciái) reprezentálható minden fogyasztó esetében egy� preferenciarendezéssel. Ha x, y ∈ H a fogyasztási halmazjószágkosarai, akkor az x � y jelölése jelentése: A fogyasztólegalább annyira kedveli az y kosarat, mint az x kosarat.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

De�nícióA ≺⊆ H × H relációt szigorú preferenciarelációnak nevezzük, ha akövetkez® teljesül

x ≺ y⇔ x � y, y � x

De�nícióA ∼⊆ H × H relációt közömbösségi preferenciarelációnaknevezzük, ha a következ® teljesül:

x ∼ y⇔ x � y, y � x

ÁllításA preferenciareláció rendezési reláció, a közömbösségipreferenciareláció pedig ekvivalenciareláció.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

De�nícióAz x0-hoz képest gyengén preferált halmaz:

P(x0) ≡ {x|x0 � x}

Az x0-hoz képest közömbös halmaz:

K (x0) ≡ {x|x0 ∼ x}

A gyengén preferált halmaz határának képét a jószágtérbenközömbösségi görbének nevezzük.

Az x0-hoz képest gyengén diszpreferált halmaz:

D(x0) ≡ {x|x0 � x}

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

De�nícióPreferenciák tulajdonságai

Monotonitás: Ha xi ≤ yi ,∀i -re de valamely j-re xj < yj , akkorx ≺ y

Konvexitás: Ha x ∼ y esetén x � tx+ (1− t)y, t ∈ [0, 1]

Szigorú konvexitás: Ha x ∼ y eseténx ≺ x+ (1− t)y, t ∈ [0, 1]

(ínyenceknek) Folytonosság: Ha minden x0 ∈ H esetén D(x0)és P(x0) zárt összefügg® halmazok.

De�nícióAz U : H → R hasznossági függvény reprezentálja a �⊆ H × Hpreferenciarendezést akkor, ha

U(x) < U(y)⇔ x ≺ y

U(x) = U(y)⇔ x ∼ y

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Matematikailag kicsit precízebben (folyt.)

ÁllításREPREZENTÁCIÓS TÉTEL (G. Debreu) Ha a �⊆ H × Hpreferenciarendezés folytonos és monoton, akkor létezik olyanU : H → R hasznossági függvény, amely reprezentálja.

ÁllításLegyen V (z),V : R→ R egy tetsz®leges szigorúan monotonnövekv® valós függvény és tegyük fel, hogy az U : H → Rhasznossági függvény reprezentálja a �⊆ H × Hpreferenciarendezést. Ekkor a V [U(x)] összetett függvény isreprezentálja a �⊆ H × H preferenciarendezést.

ÁllításTegyük fel, hogy az U : H → R hasznossági függvény reprezentáljaa �⊆ H × H preferenciarendezést. Ekkor U(x) szigorúan monotonnövekv®, ha � monoton.

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben

Pl.: Mostohák

Otthoni élelmiszer-fogyasztás, 1972�1985 és családszerkezet(átlag = 4305 dollár)Változó Az átlagtól való eltérés (dollár)Örökbefogadó anya gyermeke −204Mostohaanya gyermeke −274Nevel®anya és nevel®apa gyermeke −365

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben(folyt.)

Pl.: Örökség

Fér� N®végrendelkez® végrendelkez®

Házastárs javára 69,8 42,4Gyermekek javára 21,7 47,6Összesen 91,5 90,0

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Preferenciák empirikus meghatározása

Statisztikai-ökonometriai módszerekkel, pl.: Lineáris regresszióvalHa a hasznossági függvény pl. Cobb�Douglas típusú, akkorordinális hasznosságot feltételezve logaritmikus transzformációvallinearizálható:

U(x1, x2, . . . , xn) = β1x1 + β2x2 + . . .+ βnxn

6. hét

K®hegyi - Horn

Speciális esetek

Apreferenciarendezésmatematikaialapjai

Preferenciák empirikus meghatározása (folyt.)

Pl. (Varian): Ingázás hasznossága

TW: teljes gyaloglási id® a buszhoz, vagy az autóhoz

TT: teljes utazási id® percben

C: utazás teljes költsége dollárban

A/W: autók/dolgozók aránya a háztartásban

R: háztartás �fajtája� (0, ha fekete, 1, ha fehér)

Z: 1, ha fehérgalléros, 0, ha kékgalléros munkás

U = −0, 147TW−0, 0411TT−2, 24C+3, 78(A/W )−2, 91R−2, 36Z