0 Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικα Γ΄ Λυκει...
Post on 30-Aug-2019
17 Views
Preview:
TRANSCRIPT
0
Χατζημανώλης Νίκος
Μαθηματικα Γ΄ Λυκειου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια
Θεσσαλονίκη 2016
1
Χατζημανώλης Νίκος
Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια
2
Μαθηματικά Γ ́Λυκείου
Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια
Χατζημανώλης Νικόλαος
Θεσσαλονίκη
nikoschatzimanolis@gmail.com
ISBN:
(C) Copyright αυτοέκδοση Ιούλιος 2016
Το βιβλίο αυτό διανέμεται ελεύθερα μέσω του διαδικτύου, ωστόσο διέπεται από τους νόμους περί
πνευματικών δικαιωμάτων.
3
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές/τριες της Γ΄ Λυκείου και στους
καθηγητές/τριες μαθηματικών. Μέλημά μου ήταν να παρουσιάσω τις βασικές
μαθηματικές έννοιες που αναφέρονται στην ύλη της τελευταίας τάξης του Λυκείου
και παράλληλα να δώσω μία πληθώρα λυμένων ασκήσεων, ώστε ο μαθητής/τρια να
κατανοήσει αφενός μεν τα μαθηματικά νοήματα, αφετέρου δε μέσω της επίλυσης
ασκήσεων να αποκτήσει τις κατάλληλες δεξιότητες.
Σε αυτό το βιβλίο ο απαιτητικός αναγνώστης/τρια θα βρει και αποδείξεις προτάσεων
που δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο ενώ σε διάφορα σημεία αναφέρονται και πολλά
λάθη που συνήθως κάνουν οι μαθητές/τριες και θα πρέπει να αποφεύγονται. Μία
διαφορά επίσης σε σχέση με τη ροή της σχολικής ύλης είναι ότι παρουσιάζεται πρώτα
η έννοια της συνεχούς συνάρτησης και μετά η έννοια του ορίου της μορφής 0/0.
Κατά την άποψή μου, αυτη η σειρά βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα
και σε βάθος το τι είναι το όριο της μορφής 0/0 και πώς σχετίζεται η συνεχής
συνάρτηση το όριο της μορφής 0/0 και όχι μόνο μόνο απλά να μάθει να εφαρμόζει τις
συνήθεις αλγοριθμικές τεχνικές. Επιπλέον, συμπεριέλαβα μία ενότητα (με αριθμό 6)
η οποία αναφέρεται στον ορισμό του ορίου. Ωστόσο, αυτή η ενότητα είναι δύσκολη
και αφετέρου δεν είναι μέσα στο πλαίσιο της σχολική ύλης. Ο αναγνώστης μπορεί, αν
θέλει, να την αγνοήσει και να προχωρήσει παρακάτω χωρίς κανένα πρόβλημα στην
κατανόηση των επομένων ενοτήτων. Τέλος, θεώρησα σημαντικό να συμπεριλάβω μία
ενότητα που αναφέρεται στη σχέση των συνεχών συναρτήσεων με τις γραφικές
παραστάσεις τους. Η εμπειρία μού έχει δείξει ότι οι μαθητές, τελειώνοντας το
σχολείο έχουν συγχεχυμένες και ανεπαρκείς γνώσεις πάνω σε αυτό το θέμα.
Ελπίζω αυτό το πόνημα να στηρίξει το μαθητή/τρια και να τον/την βοηθήσει στο
δρόμο προς τις εξετάσεις. Εύχομαι επίσης στον/στην συνάδελφο μαθηματικό το
βιβλίο αυτό να παρέχει ένα καλό υλικό, ώστε να τον βοηθήσει στη διδασκαλία.
Ιούλιος 2016
4
Αφιερώνεται στη σύζυγό μου Μαρία.
5
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ......................................................................σελ. 7
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ............................................................ σελ. 20
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ........................................................... σελ. 43
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................................................σελ. 56
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................ σελ. 66
ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ......................................................σελ. 82
ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..............................................................................................σελ. 91
ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Ι..............................................................................................σελ. 98
ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ..........................................σελ. 106
ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0..........................................................................................................σελ. 112
ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ................................................. ....σελ. 121
ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ.......................................................................................... σελ. 127
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ............. σελ. 134
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo................................................................. σελ. 146
ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xo ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ.......... σελ. 160
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ............................................................................................ σελ. 162
ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.......................... σελ. 177
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)........................................................................ σελ. 181
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ...................................................................................................... σελ. 192
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO............................................................................... σελ. 202
ΕΝΟΤΗΤΑ 21-ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ........................................................ σελ. 213
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..............................................σελ. 221
ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ..........................................................................................σελ. 233
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ................................................................................σελ 237
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ............................................................................................................................σελ 261
6
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης
Η συνάρτηση είναι ένα είδος αντιστοιχίας μεταξύ των στοιχείων δύο
συνόλων:
Όπως βλέπουμε κάθε στοιχείο του
συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο
του Β.
Τις συναρτήσεις συνήθως τις συμβολίζουμε με μικρά ή κεφαλαία
γράμματα του λατινικού και ελληνικού αλφαβήτου. Σύμφωνα με τον
παραπάνω ορισμό, η αντιστοιχία στο σχήμα 2 είναι επίσης μία
συνάρτηση, ενώ οι αντιστοιχίες στα
σχήματα 3 και 4 δεν είναι:
Σε μία συνάρτηση μπορούν δύο
διαφορετικά στοιχεία του συνόλου
Α να αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο
του Β.
Ορισμός 1: Συνάρτηση είναι μία αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων
δύο συνόλων Α και Β, ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να
αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.
8 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει
συνάρτηση, διότι υπάρχει ένα
τουλάχιστον στοιχείο του Α που δεν
αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του
συνόλου Β.
Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει
συνάρτηση, διότι υπάρχει ένα
τουλάχιστον στοιχείο του Α που
αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα
στοιχεία του συνόλου Β.
Ορισμοί-Συμβολισμοί:
Έστω η συνάρτηση f που περιγράφεται στο σχήμα 5:
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9
Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Αν ΑR, τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματικής μεταβλητής.
Το σύνολο Β ονομάζεται σύνολο αφίξεως της συνάρτησης f. Αν ΒR, τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματική. Στο σχήμα 5 η f είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Από εδώ και στο εξής αν δεν αναφέρουμε τίποτα για το σύνολο αφίξεως, τότε θα θεωρούμε ότι αυτό είναι το σύνολο R.
Επειδή στο παράδειγμά μας η συνάρτηση ονομάζεται f και επειδή έχουμε για παράδειγμα την αντιστοιχία 1100, τότε θα γράφουμε ότι f(1)=100. Όμοια ισχύει f(2)=200 και f(3)=300.
Η αντιστοιχία σε μία συνάρτηση μπορεί να είναι τυχαία, όπως στο σχήμα 1, ή να υπάρχει κάποιος μηχανισμός (κανόνας). Στο παράδειγμα του σχήματος 5 αν x είναι κάποιος από τους αριθμούς 1,2 ή 3, τότε αυτός θα αντιστοιχεί στο εκατονταπλάσιό του δηλαδή έχουμε την αντιστοιχία x100x. Άρα, όπως και στην προηγούμενη παρατήρηση ισχύει ότι f(x)=100x. Πολλές φορές αντί για f(x) θα γράφουμε y. Δηλαδή y=f(x) ή y=100x. Η παράσταση f(x)=100x ονομάζεται τύπος της συνάρτησης f. Το x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y ονομάζεται εξαρτημένη. Στη θέση του x ή του y μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα π.χ. S=5t.
Από τα στοιχεία του Β στο παραπάνω παράδειγμα βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί 100, 200 και 300 αντιστοιχούν σε στοιχεία του πεδίου ορισμού. Το σύνολο {100, 200, 300} ονομάζεται σύνολο τιμών και συμβολίζεται με f(A). Δηλαδή f(A)={100, 200, 300}. Αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α και σύνολο αφίξεων το Β, τότε το σύνολο τιμών είναι το σύνολο: f(A)={yB/ υπάρχει (τουλάχιστον) ένα xA, ώστε f(x)=y}.
To πεδίο ορισμού δείχνει ποιες τιμές παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή x, ενώ το σύνολο τιμών δείχνει ποιες τιμές παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή y.
Όταν θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι «ορισμένη σε ένα σύνολο Γ», θα εννοούμε ότι το Γ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.
10 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Συντομογραφία Συνάρτησης
Έστω μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα Α=(1,3), σύνολο
αφίξεως το R και τύπο g(x)=5x. Τότε γράφουμε όλα τα στοιχεία της
συνάρτησης ως εξής:
g:(1,3) R
x 5x
Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε g(x)=5x, x(1,3).
Παρατήρηση: Μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής
(από εδώ και στο εξής θα λέμε απλώς «συνάρτηση») καθορίζεται από το
πεδίο ορισμού Α και από τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων του
συνόλου Α στο σύνολο αφίξεως Β=R, το οποίο συνήθως εκφράζεται με
έναν τύπο:
Σύμβαση: Αν έχουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης, τότε ως πεδίο
ορισμού θα θεωρούμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για
το οποίο έχει νόημα ο τύπος f(x). Χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας
που δείχνει ποιους περιορισμούς πρέπει να παίρνουμε, ώστε να
βρίσκουμε το πεδίο ορισμού:
Παράσταση (Α, Β πραγματικοί αριθμοί)
Περιορισμός (Πρέπει…)
BA
Β≠0
ν Α , νn* Α≥0 logA ή lnA A>0
εφΑ 2πκπA , για κάθε κZ
(ισοδύναμα )1κ2(2πΑ )
σφΑ Α≠κπ, για κάθε κZ
Συνάρτηση
Πεδίο Ορισμού
+
Τρόπος αντιστοιχίας (τύπος)
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 11
Παραδείγματα:
Λύση:
(α) Πρέπει x≠0 και x25x+6≥0 (x≠0) και (x≤2 ή x≥3)
x(,0)(0,2][3,+). Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο
Df=(,0)(0,2][3,+).
(β) Πρέπει x>0 και lnx2≥0. Όμως lnx2≥0 lnx≥2 lnx≥2lne
lnx≥lne2x≥e2. Άρα Dg=[e2,+).
(γ) Πρέπει 1x1x1x01x 222 x>1 ή x<1.
Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο Dg=(,1)(1,+).
(δ) Πρέπει (x>0 και xR) ή (x=0 και x>0) ή (x<0 και xZ). Η πρώτη
περίπτωση δίνει x>0, η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη, ενώ η τρίτη
περίπτωση παριστάνει όλους τους αρνητικούς ακέραιους. Άρα το πεδίο
ορισμού είναι το σύνολο Dp=(0,+){1, 2, 3,…}.
(ε) Πρέπει ημx>0. Όμως το ημίτονο παίρνει θετικές τιμές μόνο για τις
γωνίες που έχουν τελική πλευρά στο πρώτο ή στο δεύτερο τεταρτημόριο.
Τέτοιες γωνίες είναι π.χ. αυτές που ανήκουν στο διάστημα (0,π) ή αυτές
που ανήκουν στο (2π,3π) ή αυτές που ανήκουν στο (2π, π) κ.τ.λ.
Παράσταση (Α, Β πραγματικοί αριθμοί)
Περιορισμός (Πρέπει…)
ΑΒ (Α>0 και ΒR) ή (Α=0 και Β>0) ή (Α<0 και ΒZ)
Παράδειγμα 1.1: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο:
(α) x
6x5x)x(f2
(β) 2xln)x(g
(γ) h(x)=ln(x21) (δ) P(x)=xx
(ε) Q(x)=ln(ημx)
12 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Το πεδίο ορισμού μπορεί να γραφτεί με τους εξής τρόπους:
DQ=…(2π, π)(0,π)(2π,3π)… ή να γράψουμε
Z
κ
Q )πκπ2,κπ2(D ή μπορούμε ακόμη να γράψουμε
DQ={xR/ για κάποιο κZ ισχύει x(2κπ, 2κπ+π) }.
Λύση: Όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο τιμών μιας
συνάρτησης, τότε ψάχνουμε όλες τις δυνατές τιμές του y
για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση f(x)=y ως προς x με
xΑ, όπου Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Ουσιαστικά προσπαθούμε με ισοδυναμίες να αναχθούμε
από την παράσταση f(x)=y σε μια παράσταση της
μορφής x=g(y) με xΑ και αποτυπώνουμε για ποιες
τιμές του y είναι έγκυρη αυτή η ισοδυναμία. Η
συνάρτηση ορίζεται για x≠1, άρα
Α=(,1)(1,+). Θέτουμε f(x)=y:
y5x)2y(5x2yyx1x5x2y
(1)
Αν y=2, τότε η (1) δίνει 0y= 7 αδύνατο. Άρα 2f(A).
Για y≠2, τότε 2yy5x
(2).
Πρέπει να δούμε αν η (2) επαληθεύεται για κάποια τιμή y, όταν x= 1, οπότε αυτή την τιμή ίσως πρέπει επίσης να την εξαιρέσουμε
από το σύνολο τιμών: 52y52y2yy51
αδύνατο. Άρα f(A)=(,2)(2,+).
Για να βρούμε το σύνολο τιμών
μίας συνάρτησης f ακολουθούμε
τα παρακάτω βήματα:
Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f.
Λύνουμε την εξίσωση y=f(x) ως προς x. Δηλαδή προσπαθούμε να αναχθούμε σε μία ή περισσότερες σχέσεις της μορφής x=g(y) με xA.
Λύνουμε τον κάθε περιορισμό g(y)A ως προς y.
Συναληθεύουμε όλες τις περιπτώσεις που ισχύουν για τις τιμές του y.
Παράδειγμα 1.2: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο
1x5x2)x(f
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 13
Λύση: (α) Θέτουμε y=f(x). Τότε x32y2x3y)x(fy
32yx
. Λύνοντας την εξίσωση y=f(x) ως προς x δεν προέκυψε
κάποιος περιορισμός.
Όμως x1. Αν 5y32y13
2y
.
Αντίστροφα, λύνουμε την εξίσωση f(x)=5, xDf. Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε 5f(Df), διαφορετικά 5f(Df). Πράγματι
1x52x35)x(f , απορρίπτεται. Άρα 5f(Df). Επομένως f(Df)=R{5}=(,5)(5,+). (β) Θέτουμε y=g(x). Τότε 22 x32y2x3y)x(gy . Από την τελευταία σχέση έπεται ότι y2≥0y≥2. Τότε προκύπτει ότι
32yxή
32yx
32yx 2
.
Όμως x1. διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
Παράδειγμα 1.3: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο:
(α) f(x)=3x+2 με Df =R{1}.
(β) g(x)=3x2+2 με Dg =R{1}.
14 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(i) Αν ισχύει 13
2y
. Η περίπτωση αυτή είναι αδύνατη.
(ii) Αν ισχύει 13
2y
.
Τότε 5y...13
2y13
2y 2
. Λύνουμε την εξίσωση
g(x)=5, xDg. Αν η εξίσωση έχει λύση, τότε 5g(Dg), διαφορετικά 5g(Dg). Έχουμε ότι 1xή1x1x52x35)x(g 23 . Η τελευταία λύση απορρίπτεται λόγω περιορισμών. Τελικά ισχύει ότι
.1x5)x(g Επομένως 5g(Dg). Ο μόνος περιορισμός που προέκυψε είναι ο y≥2. Επομένως το σύνολο τιμών είναι το g(Dg)=[2,+).
Λύση:
Για x<1: Τότε θέτουμε y=f(x) y=x2+1 x2=y1. Επειδή για κάθε x<1, ισχύει x2≥0, έπεται ότι y1≥0y≥1. Ειδικότερα, αν: (i) 0≤x<1, τότε 1yx . Άρα 22 11y011y0 2y1 . Δηλαδή f([0,1))=[1,2). (ii) x<0, τότε 1yx .
Τότε 1y01y01y01y . Δηλαδή
ισχύει ότι f((,0))=(1,+).
Παράδειγμα 1.4: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο
1x,1x1x,1x)x(f
2
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 15
Επομένως f((,1))= f([0,1)) f((,0))= [1,2) (1,+)=[1,+).
Για x≥1: Τότε θέτουμε y=f(x)y=x1x=y+1. Επίσης για κάθε x≥1, έπεται ότι y+1≥1y≥0. Άρα f([1,+))=[0,+).
Τελικά το σύνολο τιμών είναι το f(R)=f((,1))f([1,+))=[1,+)[0,+)=[0,+). Λύση: (i) Για x=y=0 η συναρτησιακή σχέση δίνει f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0) f(0)=0. (ii) Για ν=0, έχουμε f(0·x)=0·f(x) f(0)=0, ισχύει.
Έστω ν≥1. Τότε έχουμε:
x)1ν(f)x(f)xν(f...
)x2(f)x(f)x3(f)x(f)x(f)x2(f
)x(f)x(f
x)1ν(f...)x3(f)x2(f)x(f...)x(f)xν(fx)1ν(f...)x3(f)x2(f)x(fροιό1ν
Άρα f(ν·x)=(v+1)·f(x)f(x) f(ν·x)=v·f(x). (iii) (Για την υπενθύμιση του ορισμού της περιττής συνάρτησης, βλέπε και στην επόμενη ενότητα).
Παράδειγμα 1.5: Δίνεται συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει ότι f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x,yR. Να δείξετε ότι: (i) f(0)=0. (ii) f(ν·x)=v·f(x) για κάθε φυσικό αριθμό ν. (iii) Η f είναι περιττή.
16 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Για κάθε xR, προφανώς ισχύει και ότι xR. Για y= x, η συναρτησιακή σχέση δίνει ότι f(xx)=f(x)+f(x)
f(0)= f(x)+f(x) 0=f(x)+f(x) f(x)= f(x).
Επομένως η συνάρτηση f είναι περιττή.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.1) Να συγκρίνετε τον ορισμό της συνάρτησης όπως δόθηκε στην 1η
ενότητα και όπως δίνεται στα σχολικά βιβλία της κατεύθυνσης και της
γενικής παιδείας (ομοιότητες-διαφορές).
1.2) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
10x4,1x
4x,3x2)x(f
2
. Να
βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές
f(3), f(4) και f(10).
1.3) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων και
κατόπιν να γράψετε τον τύπο τους σε απλούστερη μορφή όπου αυτό είναι
δυνατό:
i) 3x4x
1x)x(f 2
ii) 5 x2x2)x(g
iii) 23
34
xxxx)x(h
iv) 9x3x)x(ω 2
v) xxx)x(f 22 vi) )1xln()x(f 2
3
vii) 2xεφ)x(f4 viii)
xσφ1)x(f5
1.4) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
i) x)1x()x(f ii) x2 )x1()x(g
iii) )1xxln()x(h 2
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 17
1.5) Έστω η συνάρτηση με τύπο 1xxx
3x2)x(f23
. Να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης και ύστερα να λύσετε την ανίσωση
f(x)<0.
1.6) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο
1x2)x(f .
1.7) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο xσυν21
5)x(f
. Να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f(0), f(π) και )2π(f .
1.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο xημ1
x)x(f
. Να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης και να λύσετε την εξίσωση f(x)=2x.
1.9) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
x31xln)x(f . Να βρείτε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης f.
1.10) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 6e5e
1x)x(f xx2
. Να βρείτε το
πεδίο ορισμού της και να λύσετε την ανίσωση f(x)>0.
1.11) Έστω συνάρτηση f. Να λύσετε την ανίσωση f(x)>0, όταν:
i) 3x4x)x(f 2 ii) x1x1)x(f
iii) 1e)x(f x .
1.12) Να γράψετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων χωρίς
απόλυτα:
i) 2x2x)x(f ii) 1xxx4)x(g 22
iii) 9x
3xx3x)x(h
2
2
iv)
x2x2)x(L
18 ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
v) xx
1)x(φ2
vi) 1516x
1)x(ω 2
vii) ,2
xημxημ)x(m
x[0,2π].
1.13) Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:
i) f(x)=2x4 ii) 2x1x4)x(f
iii) 1xx1xx)x(f 2
2
iv) 1x3x2)x(f 2
2
v) x1x)x(f vi) 2x3)x(f
vii) )1x2ln(23)x(f .
1.14) Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει
3f(x)2f(1x)=5x36x2+6x, για κάθε xR. Να βρείτε τον τύπο της
συνάρτησης f.
1.15) Έστω η συνάρτηση f:R*IR, για την οποία ισχύει
xx1f3)x(f
για κάθε xR*. Να βρείτε τη συνάρτηση f.
1.16) Έστω η συνάρτηση f: (0,+)R για την οποία ισχύει
f(xy)=f(x)+f(y) για κάθε x, y >0. Να αποδείξετε ότι:
i) f(1)=0
ii)
x1f)x(f για κάθε x>0
iii) )y(f)x(fyxf
για κάθε x, y >0.
iv) f(xν)=νf(x) για κάθε νn.
v) )x(fν1)x(f ν για κάθε νn με ν≥2.
ΕΝΟΤΗΤΑ 1-ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 19
1.17) Αν για τη συνάρτηση f:RR ισχύει f(x)≤x για κάθε xR και
επιπλέον ισχύει f(x+y)≤f(x)+f(y) για κάθε x, y R, να αποδείξετε ότι η f
είναι περιττή και έχει τύπο f(x)=x.
1.18) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το διάστημα
Α=[α,β] και σύνολο τιμών το f(A)=[α,β] που ικανοποιούν τη συνθήκη
yx)y(f)x(f για κάθε x, y [α,β].
20 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f με πεδίο
ορισμού το σύνολο Α={1,2,3} και τύπο
f(x)=100x (βλ. ενότητα 1η) θα έχει ως
γράφημα το σύνολο Cf={(1,100),
(2,200), (3,300)}, δηλαδή η γραφική της
παράσταση αποτελείται από 3 μόνο
σημεία (βλ. διπλανό σχήμα)
Αν όμως έχουμε τη συνάρτηση g(x)=100x με
x[1,3], τότε η γραφική παράσταση θα
παριστάνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ, όπου
Α(1,100) και Γ(3,300):
Τέλος, η συνάρτηση h(x)=100x με xR θα
έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία που
ορίζουν τα σημεία Α(1,100) και Γ(3,300):
Ορισμός 1: Έστω μία συνάρτηση f :AR. Ως γραφική παράσταση
συνάρτησης ή γράφημα συνάρτησης ορίζουμε το σύνολο των σημείων
με συντεταγμένες τις μορφής (x,f(x)) για κάθε xA. Το σύνολο αυτό
συμβολίζεται με Cf. Άρα Cf={(x,f(x))/ xA}.
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 21
Παρατηρήσεις:
Α) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθορίζεται όχι μόνο από
τον τύπο της, αλλά και από το πεδίο ορισμού της, όπως είδαμε και
παραπάνω.
Β) Υπάρχουν καμπύλες που δεν είναι γραφικές παραστάσεις
συναρτήσεων, όπως είναι η περίπτωση του κύκλου:
Για τον ίδιο λόγο και οι κατακόρυφες ευθείες δεν αποτελούν γραφική
παράσταση συνάρτησης.
Γ) Το πεδίο ορισμού της Cf είναι
το σύνολο Α των τετμημένων των
σημείων της Cf. Για παράδειγμα,
στο διπλανό σχήμα το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης f είναι το
διάστημα [α,β].
22 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Δ) Το σύνολο τιμών f(A) είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων
της Cf. Για παράδειγμα, στο
διπλανό σχήμα το πεδίο ορισμού
της συνάρτησης f είναι το
διάστημα (α,β] και το σύνολο
τιμών είναι το διάστημα
f(A)=(γ,δ]. (Παρατηρήστε ότι για
το σημείο Δ, ισχύει ότι ΔCf.)
Ε) Αν η τετμημένη ενός σημείου
της Cf είναι ίση με xo, τότε η
τεταγμένη θα είναι ίση με f(xo).
Οι συναρτήσεις f και f*1
Έστω η συνάρτηση f:AR.
(Α) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση:
f: A R x f(x) Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α=[1,2] και
τύπο f(x)=x2. Τότε η συνάρτηση f θα έχει επίσης πεδίο ορισμού το
διάστημα Α και τύπο (f)(x)= f(x) (f)(x)= x2.
1 Οι συμβολισμοί f και ΙfI δηλώνουν ονόματα συναρτήσεων.
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 23
(Β) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση:
:f A R x )x(f Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f(x)=x21, xR. Τότε η συνάρτηση
f θα έχει πεδίο ορισμού το Α=R και τύπο:
1x1,x1
1xή1x,1x1x)x(f)x(f
2
2
2 .
Παρατηρήσεις:
(α) Η Cf είναι συμμετρική της
Cf ως προς τον άξονα x΄x:
(β) Η γραφική παράσταση της
f αποτελείται από όλα τα
σημεία της Cf που βρίσκονται
πάνω από τον άξονα x΄x και από
τα συμμετρικά σημεία, ως προς
τον άξονα x΄x, όταν αυτά
βρίσκονται κάτω από τον άξονα
αυτόν.
24 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μετατόπιση Συνάρτησης.
(α) Κατακόρυφη Μετατόπιση
Έστω η συνάρτηση f:AR και η
συνάρτηση g:AR με τύπο
g(x)=f(x)+c. Τότε η Cg
προκύπτει από τη Cf με
μετατόπιση της τελευταίας κατά
c μονάδες προς τα πάνω αν c>0 ή
κατά c μονάδες προς τα κάτω αν
c<0.
(β) Οριζόντια Μετατόπιση
Έστω f:AR και η
συνάρτηση g της οποίας το
γράφημα Cg προκύπτει από
το Cf με μετατόπιση του
τελευταίου κατά c μονάδες
προς τα δεξιά (c>0).
Όπως βλέπουμε, ισχύει η συνθήκη g(x+c)=f(x) (1). Αν στην ισότητα (1)
θέσουμε όπου x το xc, τότε προκύπτει ότι g(x)=f(xc) (2).
Συμπεράσματα:
Αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά, τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g(x)=f(xc).
Όμοια, αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά, τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g(x)=f(x+c).
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 25
Έστω Β το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g στην πρώτη περίπτωση,
όπου το γράφημα Cg προκύπτει από το Cf με μετατόπιση του τελευταίου
κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Από την ισότητα (1) προκύπτει ότι x+cB
αν και μόνο αν xA. Άρα το πεδίο ορισμού Β είναι το σύνολο
Β={x+c/xA}.
ΆρτιεςΠεριττές συναρτήσεις.
(α) Άρτιες Συναρτήσεις:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι
άρτια αν και μόνο αν το γράφημά
της είναι συμμετρικό ως προς τον
άξονα y΄y.
Όπως φαίνεται και στο σχήμα, μία συνάρτηση f είναι άρτια αν και μόνο
αν
Για κάθε xA, τότε xA, όπου Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
Ισχύει ότι f(x)=f(x) για κάθε xA.
Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση x1)x(f , με Df=R*=(,0)(0,+).
Τότε για κάθε xA, ισχύει xA και επιπλέον )x(fx1
x1)x(f
.
Άρα η f είναι άρτια.
26 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(β) Περιττές Συναρτήσεις:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι
περιττή αν και μόνο αν το γράφημά
της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή
Ο των αξόνων.
Όπως βλέπουμε και στο σχήμα, μία
συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα
σύνολο Α είναι περιττή αν και μόνο αν:
Για κάθε xA, ισχύει xA. Ισχύει ότι f(x)= f(x) για κάθε xA.
Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση x1)x(f , με Df=R*=(,0)(0,+).
Τότε για κάθε xA, ισχύει xA και επιπλέον
)x(fx1
x1)x(f
. Άρα η f είναι περιττή.
Περιοδικές Συναρτήσεις
Η έννοια της περιοδικότητας σχετίζεται με την επανάληψη. Για
παράδειγμα, η περιοδικότητα ενός φυσικού φαινομένου έγκειται στην
επανάληψή του μετά από ένα σταθερό χρονικό διάστημα. Στις
συναρτήσεις, η περιοδικότητα αναφέρεται στην επανάληψη ενός
γραφήματος μετά από Τ μονάδες στον οριζόντιο άξονα είτε προς τα δεξιά
είτε προς τα αριστερά:
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 27
Όπως βλέπουμε και από το παραπάνω σχήμα, μπορούμε να οδηγηθούμε
στον ακόλουθο τυπικό ορισμό:
Ορισμός: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι
είναι περιοδική όταν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ, τέτοιος ώστε
να ισχύει: (α) Για κάθε xA, τότε xTA και (β) ισχύει ότι
f(x)=f(x+T)=f(xT) για κάθε xA.
Ο αριθμός Τ λέγεται (μία) περίοδος της συνάρτησης f. Αν υπάρχει
ελάχιστος αριθμός Το με τις παραπάνω ιδιότητες, τότε ο αριθμός αυτός
λέγεται ελάχιστη ή πρωτεύουσα περίοδος της συνάρτησης f.
Παρατηρήσεις:
Μπορεί να αποδειχθεί ότι:
Αν Τ είναι μία περίοδος της συνάρτησης f, τότε και ο αριθμός νΤ είναι επίσης μία περίοδος της συνάρτησης f, όπου νn*.
Αν υπάρχει αριθμός To, ώστε να είναι η ελάχιστη περίοδος μίας συνάρτησης f, τότε κάθε άλλη περίοδος Τ της συνάρτησης f θα είναι αναγκαστικά φυσικό πολλαπλάσιο του αριθμού Το, δηλαδή θα ισχύει ότι Τ=νΤο για κάποιο νn*.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=ημx με xR έχει περιόδους τους
αριθμούς 2π, 4π, 6π κ.τ.λ., με ελάχιστη περίοδο τον αριθμό Το=2π.
Γραφικές Παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων.
A) Ευθεία f(x)=αx+β:
28 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Β) Παραβολές:
Γ) Η γενική μορφή της κατακόρυφης παραβολής:
Στα παρακάτω σχήματα, φαίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής
y=αx2+βx+γ, με α0 για τις διάφορες τιμές του συντελεστή α και της
διακρίνουσας Δ:
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 29
Τα σημεία τομής με τον x΄x, αν υπάρχουν, είναι οι ρίζες της παραβολής
αx2+βx+γ οι οποίες βέβαια είναι οι αριθμοί α2
Δβx 2,1
, ενώ η
κορυφή Κ της παραβολής έχει συντεταγμένες
α4Δ,
α2βK .
Δ) Η συνάρτηση f(x)=α·x3, α0.
30 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ε) Η συνάρτηση x)x(f και x)x(f .
Η συνάρτηση xy έχει ως γραφική παράσταση μέρος παραβολής,
διότι x212yxyxy 22 με y≥0 και άρα είναι το θετικό
μέρος της παραβολής με εστία )0,41(E και διευθετούσα
41x .
ΣΤ) Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 31
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=σφx προέρχεται από τη
γραφική παράσταση της y=εφx με μετατόπισή της κατά 2π
μονάδες προς
τα δεξιά και ανάκλαση ως προς τον άξονα x΄x, διότι
2πxεφx
2πεφ)x(σφ .
Ζ) Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις:
32 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παραδείγματα:
Λύση: Έστω η συνάρτηση x)x(g . Τότε f(x)=g(x1). Άρα η Cf
προκύπτει από τη Cg με μετατόπιση της τελευταίας κατά μία μονάδα
προς τα δεξιά:
Λύση: Πρώτα θα γράψουμε τον τύπο της συνάρτηση χωρίς απόλυτα:
Παράδειγμα 2.1: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1x)x(f .
Παράδειγμα 2.2: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης
x2x)x(f .
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 33
x2>0x>2 x2=0x=2
Άρα για x(,0), τότε f(x)= (x2)x= 2x+2. Για x[0,2], τότε f(x)= (x2)+x= x+2+x=2. Για x(2,+), τότε f(x)= x2+x=2x2.
Άρα
2x,2x22x0,2
0x,2x2xf .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
φαίνεται στο διπλανό σχήμα:
Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α΄ τα οποία είναι σημεία μίας
καμπύλης Cf και τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία x=c:
Παράδειγμα 2.3:
(α) Να γενικευτεί η συνθήκη, ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να
έχει άξονα συμμετρίας μία τυχαία κατακόρυφη ευθεία x=c.
(β) Να αποδειχτεί ότι η κατακόρυφη ευθεία x=1 είναι άξονας
συμμετρίας της καμπύλης της συνάρτησης του προηγούμενου
παραδείγματος.
34 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, αν x>0 και το σημείο
Α(c+x, f(c+x))Cf, τότε και το σημείο Α΄(cx, f(cx))Cf. Τα δύο
σημεία πρέπει να έχουν ίσες τεταγμένες, δηλαδή f(c+x)=f(cx).
Γενικά μία συνάρτηση f:AR έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x=c αν
και μόνο αν:
(i) Για κάθε x>0 με c+xA, τότε cxA και
(ii) f(c+x)=f(cx) για κάθε x>0 με c+xA.
(β) Έστω x>0. Τότε (i) 1xR και
(ii) 1x1xx11xx12x1x1f .
Ακόμη 1x1xx12x1x1f .
Άρα f(1x)=f(1+x) για κάθε x>0 με 1+xR, δηλαδή η Cf έχει άξονα
συμμετρίας την ευθεία x=1.
Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α΄ τα οποία είναι σημεία μίας
καμπύλης Cf και τα οποία έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(xo,yo).
Παράδειγμα 2.4:
(α) Να γενικευτεί η συνθήκη, ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να
έχει κέντρο συμμετρίας ένα τυχαίο σημείο Γ(xo,yo).
(β) Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο
21x
1)x(f
έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(1,2).
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 35
Επειδή το σημείο Γ είναι μέσο του
ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ΄, έπεται
ότι :
(i) xx2xx2
xxoo
και
(ii)
)x(fy2)xx2(f)x(fy2)x(fy
2)x(f)x(f
oooo
oo y2)xx2(f)x(f .
Γενικά μία συνάρτηση f:AR έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(xo,yo)
αν και μόνο αν:
Για κάθε xA, τότε 2xoxA και f(x)+f(2xox)=2yo για κάθε xA.
(β) (α΄ τρόπος):
Σύμφωνα και με το προηγούμενο ερώτημα παρατηρούμε τα εξής:
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Α=R{1}. Έστω
xA. Τότε x1. Επιπλέον x2x12xx21x
o
o
. Επομένως έχουμε:
1x212x21x1x . δηλαδή 2xA. Άρα:
Για κάθε xA, τότε 2xA και Για κάθε xA, έχουμε ότι:
.2yπουό,y222441x
11x
1
4x1
11x
121x2
121x
1)x2(f)x(f
oo
Επομένως η Cf έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ(1,2).
(β΄ τρόπος):
Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο x1)x(g , η οποία έχει κέντρο
συμμετρίας το σημείο Ο(0,0). Επειδή f(x)=g(x1)+2, έπεται ότι η Cf
36 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
προκύπτει από τη Cg με
μετατόπιση της τελευταίας
κατά μία μονάδα προς τα
δεξιά και δύο μονάδες προς
τα επάνω. Με τον ίδιο τρόπο
μετατοπίζεται και το κέντρο συμμετρίας και άρα η νέα θέση του έχει
συντεταγμένες (1,2).
Λύση: Αν Α είναι σημείο της Cf, τότε θα έχει συντεταγμένες της μορφής
Α( 2oo x,x ). Θέτουμε επίσης y=x3 xy3=0. Η ελάχιστη απόσταση
ΑΒ αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από την ευθεία
ε: xy3=0, όπως φαίνεται και από το σχήμα παρακάτω:
Έχουμε 2
3xx2
3xx
11
3xx)ε,A(dAB o
2o
0Δo2o
22
2oo
. Δηλαδή
23xxd o
2o
. Η ελάχιστη τιμή της d αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή
Παράδειγμα 2.5: Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2 και η συνάρτηση
g(x)=x3. Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της Cf και Β μεταβλητό
σημείο της Cg, να υπολογιστεί η ελάχιστη απόσταση ΑΒ.
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 37
του αριθμητή, η οποία υπολογίζεται από τον τύπο α4
Δ . Άρα
8211
2411
2411
2α4
Δ
dmin
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
2.1) Η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το
σύνολο Α φαίνεται στο διπλανό σχήμα:
i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και το
σύνολο τιμών f(A).
ii) Να γράψετε τις τιμές των f(3), f(0),
f(3), f(4) και f(5).
iii) Να γράψετε τον τύπο της
συνάρτησης, αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η
καμπύλη της f για x(3,5) είναι μέρος (κατακόρυφης) παραβολής.
iv) Να λύσετε τις εξισώσεις f(x)=1 και f(x)=3.
v) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x)≤0, f(x)≥3.
2.2) Έστω η συνάρτηση με τύπο f(x)=αln(x1)+β της οποίας η γραφική
παράσταση τέμνει τον x΄x στον αριθμό e+1 και επιπλέον διέρχεται από
το σημείο Α(2,3).
(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
(β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
(γ) Να βρείτε το σημείο της Cf με τεταγμένη 15.
2.3) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
(α) y=x22x+3 (β) y= x2+4x (γ) y= x2+5x4
(δ) y=(x+1)22 (ε) y=ex-1+2 (στ) 1xy 3
38 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(ζ) 2x
1y
2.4) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
i) x)x(f , g(x)= f(x), h(x)=f(x), xf)x(m .
ii) x)x(f , g(x)= f(x+1), h(x)=f(x)2.
iii) f(x)=lnx, x1ln)x(g , xln)x(h , k(x)=ln(x), xln)x(m .
2.5) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων
και ύστερα να προσδιορίσετε από αυτή το σύνολο τιμών:
(α)
0x,xημ
0x,3e)x(f
x
(β)
0x,x
0x,x)x(g
2
(γ) 1x2x)x(h
(δ) 2x1)x(f (ε) 2x932)x(g
(ζ) 2x1)x(h
2.6) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης που έχει την παρακάτω
γραφική παράσταση:
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 39
2.7) Έστω η συνάρτηση
περιττός x αν,1
άρτιος x αν,1)x(f . Να αποδείξετε
ότι η f είναι περιοδική συνάρτηση και να χαράξετε τη γραφική της
παράσταση.
2.8) Να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, σημεία τομής των αξόνων με τις
γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
(α) x4x)x(f (β)
3x2x5x2)x(f
2
(γ) 3x9x)x(f
2
(δ) x2x)x(f (ε) xσυν22)x(f (στ) f(x)=1ημx.
(ζ) 4xx)x(f 2 (η) f(x)=9x3x12
2.9) Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων:
(α) f(x)=(x1)2 και x2)x(g (β) f(x)=x2 και g(x)=4x2
(γ) f(x)=x3 και g(x)=x. (δ) 1x)x(f και g(x)=3x
(ε) f(x)=lnx και g(x)=1x. Να λύσετε την ανίσωση lnx≤1x.
2.10) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη
βοήθεια της να βρείτε το σύνολο τιμών:
(α) 3xx)x(f (β)
1x,x2
1x,x2
)x(f2
(γ) 2
1x1xln)x(f
40 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
2.11) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x, η Cf
βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x:
(α) x1x2)x(f
(β) 2xln
e1)x(f 2
x
(γ)
1x6x17x11x2)x(f
23
2.12) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού x, η Cf
βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x:
(α) f(x)=(3x)(x2x+1)(x34x+3) (β) f(x)=ln(x+1)1.
2.13) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων των οποίων η γραφική
παράσταση φαίνεται στα σχήματα παρακάτω:
(A) (B)
(Γ) (Δ)
2.14) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές:
(α) 4xxημx)x(f 2
3
(β) 2
4
x16xx
)x(f
ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 41
(γ)
0x,xημx
0x,xημxx)x(f
4
4
(δ)
1x,3x5x
1x,3x5x)x(f
23
23
(ε) 2x1xln)x(f
2.15) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει
f(x+y)=f(x)+f(y). Να αποδείξετε ότι:
(α) f(0)=0 (β) Η f είναι περιττή.
2.16) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει ότι f(x)≠0 για
κάθε xR και επιπλέον f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y) για κάθε x, yR. Να
αποδείξετε ότι: (α) f(0)=1 και (β) η f είναι άρτια.
2.17) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει xx ee)x(f)x(f2 για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια
και ύστερα να βρείτε τον τύπο της.
2.18) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει
f(x)+2f(x)=πημ(2x+π) για κάθε xR.
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
(β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.
(γ) Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
2.19) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
fα(x)=(α1)x2+αx2(α1), αR διέρχονται από δύο σταθερά σημεία.
Ποια είναι η απόσταση αυτών των σημείων;
2.20) Δίνεται η συνάρτηση f:R*R για την οποία ισχύει
8)x(fx1
x1f3
για κάθε xR*.
(α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
(β) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
(γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της από τη γραφική παράσταση.
42 ΕΝΟΤΗΤΑ 2-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
2.21) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2 και η συνάρτηση g(x)=x1. Να βρείτε
το σημείο ΜCf το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη Cg. Να
υπολογίσετε αυτή την απόσταση.
2.22) Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x και η συνάρτηση g(x)=2x+3. Να
βρείτε το σημείο ΜCf το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη
Cg. Να υπολογίσετε αυτή την απόσταση.
2.23) Έστω η συνάρτηση f(x)=x2 και ο κύκλος με εξίσωση
41)1y(x 22 . Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της Cf και Β μεταβλητό
σημείο που διατρέχει τον κύκλο, να βρείτε τις τετμημένες του σημείου Α
για τις οποίες η απόσταση ΑΒ γίνεται ελάχιστη. Να υπολογίσετε
επιπλέον την ελάχιστη απόσταση Α.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 43
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισότητα Συναρτήσεων
Όπως έχουμε δει, μία πραγματική συνάρτηση καθορίζεται από δύο
παράγοντες: το πεδίο ορισμού και τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων
του πεδίου ορισμού στο σύνολο αφίξεως. Άρα οδηγούμαστε στον
παρακάτω ορισμό που μας επιτρέπει να ταυτίσουμε δύο συναρτήσεις:
Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f(x)=x25x+6 και
g(x)=x36x2+11x6 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α={2,3}. Εύκολα
παρατηρούμε ότι f(2)=g(2) και f(3)=g(3). Άρα ισχύει f(x)=g(x) για κάθε
xA και κατά συνέπεια ισχύει ότι f=g.
Αν Γ είναι ένα υποσύνολο των συνόλων Α και Β, κατά συνέπεια είναι
ΓΑΒ, και επιπλέον ισχύει ότι f(x)=g(x) για κάθε xΓ τότε θα λέμε ότι
οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο Γ (f=g στο Γ).
Για παράδειγμα έστω οι συναρτήσεις f(x)=x με Af=(2,2) και 2x)x(g
με Αg=R. Τότε για xΓ=[0,2) ισχύει ότι )x(fxxx)x(g0x
2
. Άρα
f=g στο Γ.
Πράξεις Συναρτήσεων
Πριν μιλήσουμε για τις πράξεις δύο συναρτήσεων ας δούμε τι είναι στην
πραγματικότητα η πράξη δύο αριθμών. Η πρόσθεση, για παράδειγμα, δύο
αριθμών είναι η διαδικασία με την οποία επιλέγουμε δύο αριθμούς και
Ορισμός: Δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού Α και Β
αντίστοιχα είναι ίσες αν και μόνο αν:
Α=Β και ισχύει f(x)=g(x) για κάθε xA(=B).
Τότε θα γράφουμε ότι f=g.
44 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
παίρνουμε έναν τρίτο αριθμό. Πράγματι, αν επιλέξουμε τους αριθμούς 5
και 3, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8 (5+3=8). Έτσι λοιπόν και η πράξη
δύο συναρτήσεων συνιστά κατ’ αναλογία μία διαδικασία με την οποία
επιλέγουμε δύο συναρτήσεις και παίρνουμε μία τρίτη. Παρακάτω, θα
θεωρούμε δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού τα σύνολα Α και
Β αντίστοιχα με ΑΒ.
Η Πράξη της Πρόσθεσης:
Έστω η συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το σύνολο ΑΒ, ώστε να ισχύει:
h: AB R x f(x)+g(x) Τότε η h θα λέγεται πρόσθεση των f και g και θα συμβολίζεται ως f+g,
δηλαδή h=f+g.
Άλλες Πράξεις:
Όμοια ορίζονται οι συναρτήσεις-πράξεις:
(i) της αφαίρεσης :
fg: AB R x f(x)g(x)
(ii) του πολλαπλασιασμού:
fg: AB R x f(x)g(x)
(iii) της διαίρεσης:
gf : Γ R
x )x(g
)x(f
όπου 0)x(g/BAxΓ .
Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δύνανται να
επεκταθούν και σε περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Αν για
παράδειγμα έχουμε ακόμα μία συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το Δ, τότε
ορίζεται η συνάρτηση:
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 45
f+g+h: ABΔ R x f(x)+g(x)+h(x)
Να τονίσουμε ότι οι συμβολισμοί f+g, fg κ.τ.λ. δηλώνουν ονόματα
συναρτήσεων.
Λύση: Η συνάρτηση gf ορίζεται ως εξής:
gf : Γ R
x )x(g
)x(f
όπου 0)x(g/BAxΓ . Όμως ΑΒ=(2,6)(6,10) (γιατί;).
Ακόμη g(x)=0 x=2 ή x=3. Άρα Γ= ΑΒ{2,3}=(2,3)(3,6)(6,10).
Για κάθε xΓ, η συνάρτηση έχει τύπο:
3x2x
)3x)(2x()2x)(2x(
6x5x4x
)x(g)x(fx
gf
2
2
.
Η Πράξη της Σύνθεσης Συναρτήσεων:
Ας θεωρήσουμε την
διαδοχική αντιστοιχία μεταξύ
τριών συνόλων Α, Β και Γ η
οποία επιτυγχάνεται με τη
βοήθεια δύο συναρτήσεων
f και g (βλ. διπλανό σχήμα):
Παράδειγμα 3.1: Έστω οι συναρτήσεις f(x)=x24 με πεδίο ορισμού
το Α=(2,10) και g(x)=x25x+6 με πεδίο ορισμού το Β= R {6}. Να
οριστεί η συνάρτηση gf .
46 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Η f έχει πεδίο ορισμού το Df=A={1,2,3,4}. Η g έχει πεδίο ορισμού το
σύνολο Dg={100,200,241, 500}.
Βλέπουμε ότι 51001 gf και 102002 gf . Άρα με τη
βοήθεια των f , g ο αριθμός 1 μπορεί να αντιστοιχηθεί στο 5 και ο
αριθμός 2 στο 10. Με αυτό τον τρόπο φτιάχνουμε μία νέα συνάρτηση
που ονομάζεται gof:
Παρατηρούμε ότι (gof)(1)=5,
αλλά και g(100)=5g(f(1))=5.
Άρα (gof)(1)= g(f(1)).
Γενικότερα ισχύει ότι (gof)(x)= g(f(x)) για κάποιες τιμές του xDf, όχι
κατ’ ανάγκη όλες. Η συνάρτηση gof διαβάζεται σύνθεση της f με τη g και
μάλιστα παίζει ρόλο η σειρά με την οποία αναφέρουμε τις συναρτήσεις.
Πρώτη αναφέρουμε εκείνη τη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού
δίνει τιμές στο x. Για παράδειγμα όταν αναφερόμαστε στη gof, ισχύει ότι
DgofDf. Όμοια ισχύει ότι DfogDg.
Στο προηγούμενο παράδειγμα, βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί 1 και 2
έχουν αντιστοιχία με στοιχεία του Β (δηλαδή τους αριθμούς 100 και 200)
τα οποία με τη σειρά τους μπορούν να αντιστοιχηθούν στο Γ. Δηλαδή
από το πεδίο ορισμού της f παίρνουμε μόνο αυτά τα x για τα οποία ισχύει
ότι τα αντίστοιχα f(x) ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g.
Άρα Dgof={xDf / f(x)Dg}.
Ας δούμε τώρα την παρακάτω αντιστοιχία:
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 47
Σε αυτή την αντιστοιχία βλέπουμε ότι κανένα στοιχείο του Α δεν μπορεί
να αντιστοιχηθεί με τη βοήθεια των f και g στους αριθμούς 150 και 248
του Γ, διότι το σύνολο τιμών της f δεν έχει κανένα κοινό στοιχείο με το
πεδίο ορισμού της g.
Για να ορίζεται η gof πρέπει να ισχύει ότι f(Df)Dg≠.
Στη σύνθεση gof, η f θα λέγεται εσωτερική συνάρτηση και η g
εξωτερική συνάρτηση.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Λύση:
Είναι Df= R* και Dg=(0,+)
Εύρεση της gof: Για το πεδίο ορισμού της gof θα πρέπει να ισχύουν
οι περιορισμοί: (xDf και f(x) Dg) (x≠0 και 0x1 ) x>0. Άρα
Παράδειγμα 3.2: Δίνονται οι συναρτήσεις x1)x(f και g(x)=lnx.
Να εξεταστεί αν ισχύει η ισότητα gof=fog.
48 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Dgof=(0,+). H gof έχει τύπο
xlnx1ln
x1g)x(fg)x)(gof(
.
Εύρεση της fog: Για το πεδίο ορισμού της fog θα πρέπει να ισχύουν οι περιορισμοί: (xDg και g(x)Df) (x>0 και lnx≠0) (x>0 και x≠1). Άρα Dfog=(0,1)(1,+). Αφού Dgof≠ Dfog, τότε έπεται
ότι (fog)≠(gof). H fog έχει τύπο xln
1xlnf))x(g(f)x)(fog( .
Ως γενικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι στην πράξη της σύνθεσης
δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Ισχύει όμως η προσεταιριστική
ιδιότητα, δηλαδή fo(goh)=(fog)oh.
Λύση: Θέτουμε u=x2+1≥1x2=u1. Επίσης, η u έχει σύνολο τιμών το
[1,+). Επομένως, ισχύει η ισοδυναμία:
(f(x2+1)=x21 για κάθε xR) (f(u)=u2 για κάθε u≥1).
Άρα μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη (1) είναι η f(x)=x2 με
x≥1.
Να τονίσουμε ωστόσο ότι η f δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα κάθε
συνάρτηση f1 της μορφής:
B,)x(g
),1[x,2x)x(f1 , όπου g είναι
μία τυχαία συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο Β(,1), ικανοποιεί
επίσης τη συνθήκη (1). Πράγματι: 1x2)1x()1x(f 2211x
21
2
.
Άρα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη (1).
Παράδειγμα 3.3: Να βρεθεί συνάρτηση f, ώστε να ισχύει
f(x2+1)=x21, xR (1).
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49
Λύση: Έχουμε 1x)x(f1x)x(f1x)x(f 22222
1x)x(fή1x)x(f 22 .
(Το αποτέλεσμα της προηγούμενης γραμμής δεν πρέπει να μας οδηγεί στο
λανθασμένο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση f έχει δύο δυνατούς τύπους
μόνο.
Αυτό που δηλώνει η παράσταση
« 1x)x(fή1x)x(f 22 » είναι δύο δυνατές αντιστοιχίες που μπορεί να έχει η ανεξάρτητη μεταβλητή x:
1xxή1xx 22 . Αυτή η διπλή δυνατότητα αντιστοιχίας μπορεί να ενυπάρχει συγχρόνως στην ίδια συνάρτηση, όπως φαίνεται και στο διπλανό βελοδιάγραμμα.) Επομένως υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη συνθήκη
1x)x(f 22 xR και οι οποίες έχουν τύπο της γενικής μορφής:
Bx,1xAx,1x)x(f
2
2, με AB= και ΑΒ=R.
(Για παράδειγμα δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη
1x)x(f 22 xR είναι οι εξής:
Παράδειγμα 3.4: Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει
1x)x(f 22 για κάθε xR.
(α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που
ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη.
(β) Να γραφτεί ο τύπος της συνάρτησης f αν είναι γνωστό ότι ισχύει
η ισοδυναμία f(x)>0 x1.
50 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
),2()1,(x,1x]2,1[x,1x)x(f
2
2
1 και
1xΟx,1x
x,1x)x(f 22
2
2
π , xR.)
(β) Επειδή ισχύει 01x2 xR και 01x2 xR, έπεται
ότι f(x)0 και από υπόθεση προκύπτει ότι για x1
1x)x(f0)x(f 2 . Επίσης, από υπόθεση προκύπτει ότι f(1)<0,
δηλαδή ότι 211)1(f 2 . Επομένως έχουμε ότι
1xαν,21xαν,1x)x(f
2.
Λύση: (i) Θέτουμε u=g(x) (την εσωτερική συνάρτηση). Τότε έχουμε
3ux3xu . Επειδή (fog)(x)=f(g(x)) και επειδή η u=g(x)=x3
έχει σύνολο τιμών το R, έπεται ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της f θα
δέχεται ως τιμές οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό, δηλαδή θα ισχύει ότι
Df=R.
Επίσης έχουμε: 16x11x2)x(gf16x11x2)x)(fog( 22
1uu2)u(f...16)3u(11)3u(2uf 22u)x(g
3ux
.
Επομένως βρήκαμε μοναδική συνάρτηση, την 1xx2)x(f 2 , xR.
Παράδειγμα 3.5: Να βρεθεί συνάρτηση f, ώστε να ισχύει:
(i) (fog)(x)=2x2 11x+16 xR, με g(x)=x3.
(ii) (fog)(x)=x+5 x≥0 με g(x)=√퐱.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 51
(ii) Θέτουμε u=g(x) (την εσωτερική συνάρτηση). Τότε έχουμε 2uxxu , u≥0. Το σύνολο τιμών της u=g(x) είναι το σύνολο
[0,+). Τότε για u=g(x)≥0, έχουμε ότι :
5u)u(f5x)x(gf5x)x)(fog( 2u)x(g
ux 2
για κάθε u≥0.
Επειδή το σύνολο τιμών της εσωτερικής συνάρτησης u=g(x) είναι το
[0,+) και όχι το R, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αυτό σημαίνει
ότι η f μπορεί να οριστεί ελεύθερα και για τις υπόλοιπες τιμές στο
διάστημα (,0). Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f
που ικανοποιούν τη συνθήκη της εκφώνησης και όλες αυτές έχουν τύπο
της γενικής μορφής
Bxαν,)x(h0xαν,5x)x(f
2
, όπου h(x) μία
οποιαδήποτε συνάρτηση που μπορεί να οριστεί σε σύνολο Β με
B(,0).
(Για παράδειγμα αν λάβουμε υπόψη τις συναρτήσεις:
0xαν,x0xαν,5x)x(f
2
1 ,
1x10αν,x1
0xαν,5x)x(f
2
2 και
8x100,x1
1x2,x1
0x,5x
)x(f
2
3 ,τότε για όλες αυτές τις συναρτήσεις
ισχύει η συνθήκη της εκφώνησης.)
52 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
3.1) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει f=g.
Στην περίπτωση που ισχύει f≠g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο
υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει f(x)=g(x):
i) 2xxf και 2xxg ii) xx1x)x(f
2
2
και x11)x(g
iii) 1x
1x)x(f
και 1xxg
iv) x2x
2xf
και x2x)x(g
v) 1xlnxf και 1xlnxg
vi) xxxf και 1x1xxg 2
vii) 4xx2x
xf 2
2
και 2x
xxg
viii) f(x)=ημ2x και g(x)=συν(π2x)
3.2) Να βρείτε τις συναρτήσεις f+g, fg, gf :
i) 1x1xxf 3
2
και x1
1xxxg2
ii) x3
xxf
και
9xx26
xg 2
iii) 12x
1xf
και 2x3x
1xg 2
iv)
4x0,x21
0x,x1)x(f και
2x,0
2x3,x2)x(g
3.3) Να ορίσετε τις συναρτήσεις fog και gof στις παρακάτω περιπτώσεις:
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 53
i) 2xxf και 2xxg
ii) 2x)x(f 2 και 3x
1)x(g
iii) f(x)=2x1 και 2x1)x(g
iv) x1)x(f και
1xx)x(g
v)
0x,4x
0x,3xxf και
1x,x1
1x,x2xg (μόνο τη gof)
3.4) Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων
συναρτήσεων:
i) f(x)=ημ(x22) ii) f(x)= 3συν2(5x)+4 iii) f(x)=ln(εφ(2x+1)))
iv) f(x)= xx με x>0 v) 1xxf 2 vi) 1x5x25)x(f
3.5) Δίνεται η συνάρτηση f:RR και οι συναρτήσεις
))x(f)x(f(21xg , ))x(f)x(f(
21xh , xIR.
α) Να δείξετε ότι η g είναι άρτια και η h περιττή.
β) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται ως άθροισμα μίας άρτιας και μίας
περιττής συνάρτησης.
3.6) Έστω οι συναρτήσεις f:AR και g:BR, ώστε f(A)B≠.
α) Να δείξετε ότι αν η f είναι άρτια, τότε και η gof είναι άρτια.
β) Να δείξετε ότι αν η f είναι περιττή και η g άρτια, τότε η gof είναι
επίσης άρτια.
3.7) Αν για τη συνάρτηση f:RR ισχύει ότι fog=gof για κάθε σταθερή
συνάρτηση g, τότε ισχύει ότι f(x)=x για κάθε xR.
54 ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
3.8) Έστω η συνάρτηση f:RR και α, β δύο σταθεροί αριθμοί. Αν για
κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει (fog)(x)=α(gof)(x)+β, τότε να
αποδείξετε ότι f(x)=αx+β.
3.9) Αν x)x(f , τότε να βρείτε τη συνάρτηση θοςήπλτον
f...fff .
3.10) Έστω οι συναρτήσεις f, g και φ που έχουν πεδίο ορισμού το Α=R.
Αν ισχύει ότι fog=goφ=Ι όπου Ι(x)=x για κάθε xR (ταυτοτική
συνάρτηση), τότε να δείξετε ότι f=φ.
3.11) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει (fof)(x)=4x3
και (fofof)(x)=8x+λ για κάθε xR. Να αποδείξετε ότι 7λ και να
προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης f.
3.12) Δίνεται η συνάρτηση g(x)=x2+αx+β, xR και μία συνάρτηση
f:RR για την οποία ισχύει (i) fog=gof και (ii) ισχύει η ισοδυναμία
f(x)=x x=ξ
(α) Να δείξετε ότι (α1)2≥4β.
(β) Αν επιπλέον ισχύει η ισοδυναμία f(x)=ξ x=ξ, τότε να δείξετε ότι
(α1)2=4β.
3.13) Έστω συνάρτηση f:RR και αριθμός αR*, ώστε να ισχύει
(fof)(x)=f(x)+αx για κάθε xR. Να βρείτε την τιμή f(0).
3.14) Να βρείτε συνάρτηση f ώστε να ισχύει:
(i) (fog)(x)=3x22x+1 για κάθε xR, με g(x)=x2.
(ii) 2x1)x)(fog( για κάθε xR, με g(x)= x2.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 55
(iii) xημ)x)(gof( για κάθε xR, με 2x1)x(g .
(iv) f(ex)=3x22x+4 για κάθε xR.
(v) f(5+lnx)=x22lnx+1 για κάθε x>0.
(vi) x2x2)x)(fog(
για κάθε x>0 με x≠2 και g(x)=lnx.
Σε κάθε περίπτωση, να εξετάσετε αν η f είναι μοναδική.
3.15) (i) Έστω δύο συναρτήσεις g και h με κοινό πεδίο ορισμού Α, ώστε
η g να είναι άρτια, ενώ η h να μην είναι. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει
συνάρτηση f, τέτοια ώστε (fog)(x)=h(x).
(ii) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f, ώστε να ισχύει f(x2+1)=x1
για κάθε xR.
56 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
(ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ)
A) Μονοτονία Συνάρτησης:
Ορισμός: Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα (αντ. γν.
φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, όταν για κάθε x1, x2Δ με x1<x2 να
ισχύει ότι f(x1)<f(x2) (αντ. f(x1)>f(x2)). Αν η συνάρτηση f είναι
γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε γράφουμε «f<Δ» και
αντίστοιχα αν f γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ , τότε θα
γράφουμε «f2Δ».
Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε
ένα διάστημα Δ, τότε θα λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.
σχ.1
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57
Επεκτάσεις του ορισμού:
Η έννοια της γνησίως μονότονης ή γνησίως φθίνουσας συνάρτησης δύναται να επεκταθεί και σε σύνολα που δεν είναι διαστήματα.
Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο Α και ισχύει ότι για κάθε x1, x2Α με x1<x2 ισχύει ότι f(x1)≤f(x2), τότε θα λέμε ότι η f είναι αύξουσα στο Α και θα γράφουμε «f↗Α». Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και η φθίνουσα συνάρτηση στο Α και σε αυτή την περίπτωση γράφουμε «f↘A».
Β) Ακρότατα Συνάρτησης:
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Τότε θα
λέμε ότι η f:
παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο xoA, το f(xo), όταν f(x)≤f(xo) xA (σχ. 3). Το xo λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(xo) λέγεται μέγιστη τιμή.
παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο xoA, το f(xo), όταν f(x)≥f(xo) xA (σχ. 4). Το xo λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f(xo) λέγεται μέγιστη τιμή.
σχ.2
58 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παραδείγματα:
σχ.3
σχ.4
Παράδειγμα 4.1: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση με τύπο
0x,x1
0x,e)x(f
2
x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59
Λύση:
Για )x(f)x(fee0xx 21xx
2121 f<(,0).
Για )x(f)x(fx1x1xxxxxx0 21
22
21
22
21
22
2121
f2[0,+).
Ως προς τα ακρότατα, παρατηρούμε
πρωτίστως ότι f(0)=102=1.
Για x<0ex<e0ex<1f(x)<f(0). Για
x≥0x2≥0x2≤01x2≤1f(x)≤f(0).
Άρα xR, ισχύει ότι f(x)≤f(0). Ο αριθμός
xo=0 είναι θέση μεγίστου και η μέγιστη τιμή
ισούται με f(0)=1.
Λύση: Γνωρίζουμε ότι στο διάστημα [0,π] η συνάρτηση είναι γνησίως
φθίνουσα, ενώ στο [π,2π] είναι γνησίως αύξουσα. Η f όμως είναι
περιοδική με περίοδο Τ=2π. Άρα σε κάθε διάστημα της μορφής
[κ2π+0,κ2π+π], όπου κZ η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ
σε κάθε διάστημα της μορφής [κ2π+π,κ2π+2π]= [2κπ+π,2π(κ+1)], όπου
κZ η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Παράδειγμα 4.2: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=συνx, x R.
60 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Στο [0,2π] η f παρουσιάζει μέγιστο στους αριθμούς x1=0 και x2=2π. Άρα
λόγω της περιοδικότητας η f θα παρουσιάζει μέγιστο σε κάθε αριθμό
x=κ2π (μορφή 1) και σε κάθε αριθμό x=κ2π+2π=2π(κ+1) (μορφή 2),
κZ. Όμως στη δεύτερη μορφή αν θέσουμε λ=κ+1, τότε η ισότητα
ανάγεται στη μορφή x=λ2π. Όταν το κ διατρέχει όλο το Z, τότε και ο λ
διατρέχει επίσης το όλο το Z. Δηλαδή, οι μορφές 1 και 2 είναι
ισοδύναμες και επομένως χρησιμοποιούμε μόνο τη μία από τις δύο. Άρα
κάθε αριθμός της μορφής xo=κ2π, κZ είναι θέση μεγίστου και η
μέγιστη τιμή ισούται με f(xo)=συν(κ2π)=συν(κ2π+0)=συν0=1.
Στο [0,2π] η f παρουσιάζει ελάχιστο στον αριθμό xo=π το οποίο ισούται
με 10συν)0π(συνσυνπ . Λόγω της περιοδικότητας, κάθε
αριθμός της μορφής x=κ2π+π, κZ είναι επίσης θέση ελαχίστου.
Λύση: Για x1, x2 R με x1<x2
x15<x2
5f(x1)<f(x2). Άρα f< R. Κατά
συνέπεια η f δεν έχει ακρότατα στο R.
Παράδειγμα 4.3: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=x5, x R.
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 61
Λύση: Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι f<[1,3]. Για
.27)x(f1)3(f)x(f)1(f3x1.ξύα.γνf
Η f παρουσιάζει ελάχιστο για x=1 την τιμή
f(1)=1 και μέγιστο για x=3 την τιμή f(3)=27.
Λόγω μονοτονίας, οι θέσεις ακροτάτων είναι
και μοναδικές. Παρατηρούμε από τα δύο
τελευταία παραδείγματα ότι τα ακρότατα
εξαρτώνται όχι μόνο από τον τύπο της συνάρτησης, αλλά και από το
πεδίο ορισμού της.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
4.1) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:
(i) x21x31)x(f (ii) f(x)=3ln(x1)4
(iii) x241)x(f
x
(iv)
x21x)x(f 5 , x>0
(v) 2e4)x(f x5 (vi) f(x)=(x3)2+1
(vii) f(x)=5x+λ(1x), λR
4.2) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
1x,2x31x0,1
0x,1x3)x(f .
(α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (,0],
(0,1) και [1,+).
(β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της f στο R.
Παράδειγμα 4.4: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα
ακρότατα, τη συνάρτηση f(x)=x3, x[1,3].
62 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
4.3) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
2x,x1
2x0,1x
0x,x
)x(f2
2
.
(α) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (,0],
(0,2] και (2,+).
(β) Είναι η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο R;
4.4) Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα
(θέση και τιμή):
(i) 7x43)x(f (ii) 2x52)x(f (iii) f(x)=(x3)2016 1
(iv) f(x)=ln(x2)+1 (v) f(x)=3ημx4 (vi) f(x)=(x4)2015+2
(vii) 21x3)x(f (viii)
1x,1x2
1x0,1
0x,1x2
)x(f
(ix)
3x1,1x2
1x0,1
0x5,1x2
)x(f
(x)
2x1,1x21
1x0,3)1x()x(f
2
2
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 63
Επιπλέον, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων στα
τρία τελευταία ερωτήματα.
4.5) Για τις διάφορες τιμές του λR* να βρείτε το μέγιστο ή το ελάχιστο
της συνάρτησης με τύπο f(x)=λx22λx+4
4.6) Να βρείτε τον αριθμό kR*, ώστε η συνάρτηση
213kx3kx)x(f 2 να έχει μέγιστο τον αριθμό k.
4.7) Να βρείτε το θετικό αριθμό k, ώστε η συνάρτηση
kxkkx)x(f 2 , να έχει ελάχιστο τον αριθμό μηδέν.
4.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=x2(2k+1)x+k, xR. Να
αποδείξετε ότι για κάθε kR, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x΄x
σε δύο διαφορετικά σημεία A(x1,0) και Β(x2,0). Να βρείτε για ποια τιμή
του kR η παράσταση Γ=x1(x1+3x2)+x2(x2+3x1) παίρνει την ελάχιστη
τιμή της. Ποια είναι αυτή η τιμή;
4.9) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης:
(i) f στο διάστημα Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
(ii) f+g στο διάστημα Δ, αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ.
(iii) fg στο διάστημα Δ, αν οι f και g είναι γνησίως φθίνουσες στο Δ με
f(x)≥0 και g(x)≥0 στο ίδιο διάστημα.
(iv) της gof στο R, αν η f < R και g2R.
4.10) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
(i) 3x+4x=5x (ii) 5x+12x=13x (iii) xx ex2e (iv) lnx=2(1x)
(v) αx+(α1)x=2α1 όπου α>1.
64 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
4.11) Έστω η συνάρτηση f(x)=x3+x+lnx2.
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
(β) Να λύσετε την εξίσωση x6+x2=2lnx2
4.12) Έστω οι συναρτήσεις f,g: (0,+) R με τύπους 1xe)x(f και
x1)x(g .
(α) Να δείξετε ότι η fg είναι γνησίως αύξουσα.
(β) Να δείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο.
4.13) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:
(i) 3x+4x<5x (ii) 5x+12x>13x (iii) xx ex2e (iv) lnx>2(1x)
(v) αx+(α1)x≤2α1 όπου α>1 (vi) ex+x<1 (vii) 2x1
x22 για x>0.
4.14) Έστω η συνάρτηση f:[0,+) με τύπο x1
x)x(f
.
(α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
(β) Να αποδείξετε ότι για κάθε α, βR, ισχύει η σχέση
βα1βα
βα1βα
.
4.15) Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα σημεία Α(x1,y1), Β(x2,y2) και
Γ(x3,y3). Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα
(θέση και τιμή):
ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65
66 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
Συναρτήσεις 1-1
Αντίστροφες Συναρτήσεις Α) Συναρτήσεις 1-1
Έστω οι συναρτήσεις f, g του παρακάτω σχήματος:
Στην περίπτωση της f , παρατηρούμε ότι για x1≠x2 ισχύει ότι f (x1)≠f(x2),
ενώ δεν συμβαίνει αυτό στην περίπτωση της g, διότι για παράδειγμα
ισχύει ότι 1≠2 αλλά g(1)=g(2)=100. Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:
Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται η παρακάτω πρόταση:
Πρόταση: Μία συνάρτηση f:A R είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε
x1, x2Α ισχύει η συνεπαγωγή (f(x1)=f(x2)x1=x2).
Προσοχή!!! : Η αντίστροφη συνεπαγωγή, δηλαδή η συνεπαγωγή
(x1=x2f(x1)=f(x2)) ισχύει σε κάθε συνάρτηση, όχι μόνο στις 1-1.
Παραδείγματα:
Ορισμός: Μία συνάρτηση f:AR θα λέγεται 1-1(ένα προς ένα), αν
για κάθε x1, x2Α με x1≠x2 ισχύει ότι f (x1)≠f(x2).
Παράδειγμα 5.1: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f: [0,+∞) R με
f(x)=x2 είναι 1-1.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 67
Λύση: Πράγματι έστω x1, x2[0,+∞) με f(x1)=f(x2). Τότε:
21
0x,x
2122
21
22
2121 xxxxxxxx)x(f)x(f
21
.
Λύση: Πράγματι ισχύει 1≠ 1, αλλά f(1)=f(1)=1.
Συμπέρασμα: Όχι μόνο ο τύπος αλλά και το πεδίο ορισμού καθορίζουν
αν μία συνάρτηση είναι 1-1 ή όχι.
Παρατηρήσεις:
Έστω τώρα η συνάρτηση f του πρώτου σχήματος:
(α) Αν επιλέξουμε y=200, τότε η εξίσωση f(x)=200 έχει μοναδική λύση
τη x=2. Γενικά αν μία συνάρτηση f:A R είναι 1-1, τότε η εξίσωση
f(x)=y έχει μοναδική λύση ως προς x, για κάθε yf(A).
(β) Επειδή σε μία συνάρτηση 1-1 δύο διαφορετικά «x» αντιστοιχούν σε
δύο διαφορετικά «y», τότε οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία θα τέμνει τη
Cf σε ένα το πολύ σημείο.
Παράδειγμα 5.2: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f:RR με f(x)=x2
δεν είναι 1-1.
68 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(γ) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως
μονότονη, τότε προφανώς θα είναι
1-1, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα
όπως φαίνεται και στο διπλανό
σχήμα:
Β) Αντίστροφη συνάρτηση
Έστω οι συναρτήσεις f και g του παρακάτω σχήματος:
Ας ονομάσουμε 1f και 1g τις αντιστοιχίες που προκύπτουν από τις f
και g αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών:
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 69
Παρατηρούμε ότι η g δεν είναι 1-1 και ότι η αντιστοιχία 1g δεν είναι συνάρτηση.
Παρατηρούμε ότι η f είναι 1-1 και ότι η αντιστοιχία 1f είναι συνάρτηση. Σε αυτή την περίπτωση η 1f λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f. Παρατηρείστε ότι π.χ. f(1)=100 και 1)100(f 1 .
Γενικά έχουμε τον παρακάτω ορισμό:
Παρατηρήσεις:
(α) Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι η αντίστροφη της 1f είναι
η f, δηλαδή ff 11 .
(β) Το πεδίο ορισμού της 1f είναι το σύνολο τιμών της f και το σύνολο
τιμών της 1f είναι το πεδίο ορισμού της f.
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f 1-1 η οποία περιγράφεται από την
αντιστοιχία:
f: A R x y Τότε ορίζεται μία συνάρτηση η οποία συμβολίζεται ως 1f και
περιγράφεται από την αντιστοιχία: 1f : f(A) R
y x Η συνάρτηση αυτή λέγεται αντίστροφη της f.
70 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(γ) Ισχύει ότι f(x)=y αν και μόνο αν x)y(f 1 :
(δ) Ως συνέπεια από την προηγούμενη παρατήρηση παίρνουμε τις
παρακάτω ισότητες:
(α) x)y(f))x(f(f 11 x))x(f(f 1 , xA.
(β) y)x(f))y(f(f 1 y))y(f(f 1 , yf(A).
Λύση: Πράγματι είναι:
(α) Df=R=g(Dg) και f(Df)=(0,+∞)=Dg.
(β) Έστω xA και yf(A) ώστε f(x)=y. Τότε f(x)=y αx=y
logαy=x g(y)=x.
Άρα gf 1 .
Γ) Συμμετρία των Cf και 1fC
Έστω οι συναρτήσεις f και 1f που περιγράφονται στο παρακάτω σχήμα:
Παράδειγμα 5.3: Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f(x)=αx και
g(x)=logαx είναι αντίστροφες.
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 71
Τα γραφήματα των Cf και 1fC είναι τα σύνολα:
Cf={(1,100), (2,200), (3,300)} και 1fC ={(100,1), (200,2), (300,3)}
Παρατηρούμε ότι (x,y) Cf (y,x) 1fC . Αυτή η σχέση ισχύει πάντα
μεταξύ των γραφημάτων δύο αντίστροφων μεταξύ τους συναρτήσεων.
Όμως δύο σημεία Α(x,y) και
Β(y,x), δηλαδή δύο σημεία με
αντίστροφα τοποθετημένες τις
συντεταγμένες τους, είναι
συμμετρικά ως προς την ευθεία
y=x (διχοτόμος του 1ου και 3ου
τεταρτημορίου):
Συμπέρασμα: Οι Cf και
1fC είναι συμμετρικές ως
προς την ευθεία y=x.
72 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Ένας τρόπος να δούμε τη γραφική παράσταση 1fC , χωρίς να τη
σχεδιάσουμε, όταν έχουμε τη γραφική παράσταση της f είναι ο εξής:
(α) Περιστρέφουμε τη Cf κατά 90ο προς τη θετική φορά, ώστε ο άξονας
x΄x να γίνει κατακόρυφος και ο y΄y οριζόντιος (διότι μεταξύ δύο
αντιστρόφων συναρτήσεων τα «x» και «y» αντιμετατίθενται).
(β) Επειδή ο θετικός οριζόντιος ημιάξονας Οy πρέπει να «κοιτάει» προς
τα δεξιά, τότε προβάλουμε το σχήμα σε έναν καθρέπτη και βλέπουμε τη
1fC ή αν δεν έχουμε καθρέπτη, τότε
(γ) στρέφουμε τη σελίδα προς μία φωτεινή πηγή και κοιτάμε το σχήμα
από την πίσω πλευρά της σελίδας (περιστροφή κατά 180ο γύρω από τον
κατακόρυφο άξονα):
Δ) Χρήσιμες Προτάσεις
Πρόταση 5.1: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε και η 1f έχει το
ίδιο είδος μονοτονίας.
Απόδειξη: Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι f < σε ένα σύνολο Α.
Θα δείξουμε ότι και η 1f είναι γνησίως αύξουσα στο f(Α). Πράγματι,
έστω y1, y2f(A) με y1<y2. Τότε θα υπάρχουν x1, x2A, ώστε y1=f(x1)
και y2=f(x2). Άρα έχουμε:
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 73
)y(f)y(fxx)x(f)x(fyy 21
11
21
.ύ.f
2121
.
Πρόταση 5.2: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία
των Cf και 1fC , αν υπάρχουν, θα βρίσκονται στην ευθεία y=x.
Απόδειξη: Έστω ότι το σημείο A(x1,y1) είναι κοινό σημείο των Cf και
1fC . Θα δείξουμε ότι y1=x1. Πράγματι αφού A(x1,y1) κοινό σημείο των
Cf και 1fC , τότε ισχύουν οι σχέσεις:
11
11
111
11
x)y(f
y)x(f
y)x(f
y)x(f.
Αν 11
.ύ.f
1111 xy)x(f)y(fyx
, αδύνατο.
Όμοια αν 11
.ύ.f
1111 xy)x(f)y(fyx
, αδύνατο.
Άρα y1=x1.
Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε
για παράδειγμα ότι η 2x)x(f
με x0 και η αντίστροφή της
x)x(g έχουν το ίδιο είδος
μονοτονίας (πρόταση 1).
Επιπλέον επειδή η f είναι <,
τότε οι fC και 1fC τέμνονται
στην ευθεία y=x (πρόταση 5.2).
Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε ενδέχεται οι Cf και 1fC να έχουν
κοινά σημεία που να μην ανήκουν στην y=x (βλ. παραδείγματα 5.5 και
5.6 παρακάτω).
74 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Παραδείγματα:
Λύση:
(α) Έστω x1, x2A, ώστε f(x1)=f(x2) 3x1+1=3x2+1…x1=x2. Άρα η
f είναι 1-1.
(β) (Όταν μας ζητούν να βρούμε μία συνάρτηση, τότε πρέπει να μην
ξεχνούμε ότι εκτός από τον τύπο πρέπει να βρίσκουμε και το πεδίο
ορισμού.)
Επειδή f(x)=y x)y(f 1 , θέτουμε f(x)=y και λύνουμε αυτήν την
εξίσωση ως προς x ώστε να βρούμε τον τύπο της 1f . Το πεδίο ορισμού
θα προέλθει από τους περιορισμούς που θα προκύψουν για το y.
31yx...y1x3
. Άρα 3
1y)y(f 1 . Όμως 2≤x≤3. Άρα
10y591y633
1y2
. Άρα η 1f έχει τύπο
31y)y(f 1
με 5≤y≤10. Επειδή όμως συνηθίζουμε να
χρησιμοποιούμε το γράμμα «x» ως ανεξάρτητη μεταβλητή έχουμε:
31x)x(f 1
με 5≤x≤10.
Παράδειγμα 5.4: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=3x+1 όπου
xΑ=[2,3].
(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1.
(β) Να βρεθεί η 1f .
Παράδειγμα 5.5: Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x3, xR.
(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
(β) Να βρεθούν τα σημεία τομής των fC και 1fC .
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75
Λύση:
(α) Έστω x1 και x2R, με x1<x2. Τότε x1<x2
)x(f)x(fxxxx 2132
31
32
31 . Άρα f > R.
(β) Πρώτα θα βρούμε την 1f .
Αν x≥0 ,τότε y= x3≤0. Άρα 33 yxyx .
Αν x<0 ,τότε y=x3>0. Άρα .yxyxyx 333
Επομένως
0y,y
0y,y)y(f
3
3
1 ή
0x,x
0x,x)x(f
3
3
1 .
Οι τετμημένες των σημείων τομής των Cf και 1fC θα βρεθούν από τη
λύση της εξίσωσης )x(f)x(f 1 .
Για x≤0, τότε 3333331 xxxx)x(f)x(f x9= x x9x=0 x(x81)=0 x=0 ή x= 1 ή x=1 (απορρίπτεται).
Για x>0, τότε 3333331 xxxx)x(f)x(f x9= x x9x=0 x(x81)=0 x=0 (απορρ.) ή x= 1( απορρ.) ή x=1.
Άρα τα σημεία τομής είναι τα
A(1,f(1)) , B(1,f(1)) και
Ο(0,f(0)), δηλαδή Α(1,1),
Β(1,1) και Ο(0,0) όπως
φαίνεται και στο διπλανό σχήμα:
76 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Λύση:
(α)
Έστω x1, x2(∞,0]. Τότε 21
0x,x22
2121 xxxx)x(f)x(f
21
. Έστω x1, x2(0,+∞). Τότε 212121 xxxx)x(f)x(f .
Έστω x1≤0<x2. Τότε 22121 xx)x(f)x(f , αδύνατο διότι
0x 21 , ενώ 0x 2 .
Άρα για κάθε x1, x2R με f(x1)=f(x2) έπεται ότι x1=x2. Δηλαδή η f είναι
1-1.
(β) Έστω y=f(x).
Αν x≤0, τότε y=x2≥0. Άρα, yx .
Αν x>0, τότε y= x<0. Άρα, x= y.
Άρα
0x,x0x,x)x(f 1 .
Οι γραφικές παραστάσεις Cf και
1fC φαίνονται στο διπλανό
σχήμα. Ως άσκηση ο αναγνώστης
μπορεί να υπολογίσει τις
συντεταγμένες των σημείων τομής
των δύο γραφικών παραστάσεων.
Παράδειγμα 5.6: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
0x,x0x,x)x(f
2
.
(α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1.
(β) Να βρεθεί η 1f .
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 77
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
5.1) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1 και για
κάθε μία από αυτές να βρείτε την αντίστροφή της:
(i) f(x)=5x2 (ii) f(x)=x21 (iii) f(x)=ln(2x)
(iv) 3e)x(f x (v) f(x)=ln(2x4) (vi) f(x)=x25x+6
(vii) 4x)x(f (viii) 1e1e)x(f x
x
(ix)
5 x32)x(f
(x) f(x)=6x4, x[1,7) (xi) f(x)=x26x+8, x[3,+)
(xii) 1x2x3)x(f
(xiii) 1x2xln)x(f
(xiv) 1e1e2)x(f x
x
(xv) f(x)=ln(ex1) (xvi)
1x,1x
1x0,2xln)x(f
(xvii) f(x)=max{x,x3} xR.
5.2) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x7+3x54
(i) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
(ii) Να λύσετε την εξίσωση x7+3x5=4
(iii) Αν λ, μ ΙR και ισχύει ότι λ7μ7=3μ53λ5, τότε να δείξετε ότι λ=μ.
(iv) Να λύσετε την εξίσωση (x21)7+3(x21)5=4.
5.3) Δίνεται η συνάρτηση 1xlnx1)x(f
(i) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
(ii) Να λύσετε τις εξισώσεις:
78 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(α) lnxx+x=1 για x>0 και (β) )2x3)(1x(
1x22x31xln 22
2
2
2
5.4) Δίνεται η συνάρτηση 2xe)x(f x3 .
(i) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.
(ii) Να λύσετε τις εξισώσεις:
(α) 2ex x3 (β) 21xe 21x3 2
(γ) 6xx5ee 2x93x4x 2
5.5) Έστω οι συναρτήσεις f,g:RR ώστε η fog να είναι 1-1. Να δείξετε
ότι και η g είναι 1-1.
5.6) Δίνεται η συνάρτηση 1x3x2)x(f
.
(i) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι 1-1.
(ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.
5.7) Αν xR ισχύει 6f(x2)f 2(x)≥9, τότε να αποδείξετε ότι η f δεν
είναι 1-1.
5.8) Έστω μία συνάρτηση f:RR που ικανοποιεί τη συνθήκη
f(f(x))+f3(x)=2x+5, x R.
(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
(ii) Να λύσετε την εξίσωση f(2x3+x2)=f(2x)
5.9) Δίνεται η συνάρτηση 3xβxα)x(f
όπου α, βR.
(i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται αν και μόνο αν 3α+β0.
(ii) Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε να ισχύει 1ff .
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 79
(iii) Ποια μορφή έχει η Cf, όταν 3α+β=0;
5.10) Δίνεται συνάρτηση f:RR για την οποία υπάρχει σταθερός
πραγματικός αριθμός κ0, ώστε να ισχύει f(x+2κ)=f(x) xR. Να
εξετάσετε αν η f είναι 1-1.
5.11) Δίνεται συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει η ιδιότητα:
f(f(x))=αx+f(x) xR (α0). Να αποδείξετε ότι:
(α) η f είναι 1-1. (β) f(0)=0.
5.12) Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+2x.
(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.
(ii) Να υπολογίσετε το )3(f 1 .
(iii) Να λύσετε την εξίσωση 2)15)5x(f(f 21 .
5.13) Δίνεται η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει f(2)=10 και
επιπλέον ισχύει (fof)(x)=3x5 xR.
(i) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.
(ii) Να υπολογίσετε το )2(f 1 .
(iii) Να λύσετε την εξίσωση 25)2x(ff 1 .
5.14) Δίνεται η συνάρτηση f:(0,+)R για την οποία ισχύει ότι
f(αβ)=f(α)+f(β) α, β(0,+).
(i) Να αποδείξετε ότι f(1)=0 και )x(fx1f
για κάθε θετικό αριθμό x.
(ii) Αν η f έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό xo=1, τότε να αποδείξετε ότι η f
είναι 1-1.
80 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
5.15) Έστω οι συναρτήσεις f:A R και g:f(A)R. Αν xA ισχύει ότι
(gof)(x)=x και για κάθε xf(A) ισχύει (fog)(x)=x, τότε να αποδείξετε ότι:
(i) οι f, g είναι αντιστρέψιμες.
(ii) 1fg .
5.16) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι
αντιστρέψιμες και για κάθε μία από αυτές να χαράξετε τη γραφική
παράσταση της αντίστροφης:
5.17) Έστω συνάρτηση f 1-1 και σημείο Α(x,y) fC . να βρείτε σε ποιο
τεταρτημόριο ανήκει το σημείο A'(y,x) 1fC , όταν το σημείο Α
βρίσκεται:
(α) στο 1ο τεταρτημόριο. (β) στο 2ο τεταρτημόριο.
(B)
(Γ)
(Δ)
(A)
ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 81
(γ) στο 3ο τεταρτημόριο. (δ) στο 4ο τεταρτημόριο.
Σε κάθε περίπτωση, να τεκμηριώσετε την απάντησή σας.
82 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ
ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ* Α) (Συνολοθεωρητικός-Τοπολογικός Ορισμός)
Έστω η συνάρτηση με τύπο 2x4x2)x(f
2
. Ας δούμε το παρακάτω
σχήμα:
Από το σχήμα βλέπουμε ότι αν πάρουμε έναν τυχαίο αριθμό ε>0, τότε
μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό δ>0 (που εξαρτάται τόσο από το ε, όσο
και από το xo=2), ώστε x(2δ,2)(2,2+δ) να ισχύει f(x)(8ε,8+ε).
* Αυτή η ενότητα είναι προαιρετική και απευθύνεται στον απαιτητικό αναγνώστη.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 83
Για παράδειγμα έστω ότι επιλέγουμε κατά περίπτωση για τιμή του ε, τους
αριθμούς ε=1, ε=21
, ε=41
. Τότε ως δ μπορούμε αντίστοιχα να επιλέξουμε
έναν οποιοδήποτε θετικό αριθμό με 41,
21
και 81
αντίστοιχα.
84 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η επιλογή του δ δεν είναι μονοσήμαντη. Για παράδειγμα όταν ε=1 , τότε
το δ μπορεί να είναι ο αριθμός 21
ή οποιοσδήποτε άλλος θετικός
μικρότερος από αυτόν. Για παράδειγμα όπως φαίνεται και στο παρακάτω
σχήμα αν πάρουμε δ1<δ, τότε επειδή
(2δ1,2)(2,2+δ1)(2δ,2)(2,2+δ), άρα x(2δ1,2)(2,2+δ1)) θα
ισχύει επίσης ότι f(x)(8ε,8+ε).
ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 85
Τώρα θα δώσουμε τον τοπολογικό Ορισμό του ορίου2:
Β) (Τυπικός Ορισμός)
Η παραπάνω σχέση 1 του προηγούμενου ορισμού γράφεται ισοδύναμα ως εξής: (x(xoδ,xo)(xo,xo+δ)) (x(xoδ,xo+δ) με x≠xo) (xoδ<x<xo+δ με x≠xo) (δ<xxo<δ με x≠xo) ( oxx με x≠xo) ( oxx0 ) (σχέση 1΄)
Η παραπάνω σχέση 2 του προηγούμενου ορισμού γράφεται ισοδύναμα ως εξής: f(x) (Lε,L+ε) Lε <f(x)< L+ε ε <f(x)L< ε L)x(f
(σχέση 2΄)
Τώρα μπορούμε να δώσουμε τον τυπικό ορισμό του ορίου συνάρτησης
με τη χρήση απολύτων τιμών (ή όπως αλλιώς λέμε με χρήση μετρικής):
Οι ορισμοί για τα πλευρικά όρια διατυπώνονται ως εξής:
Στον ορισμό του δεξιού ορίου η σχέση oxx0 αντικαθίσταται από τη σχέση xo<x<xo+δ.
2 Όταν λέμε τοπολογικό ορισμό, εννοούμε έναν ορισμό που διατυπώνεται με τη βοήθεια διαστημάτων ή ένωσης διαστημάτων.
Ορισμός Ορίου (Τοπολογικός): Μία συνάρτηση f θα λέμε ότι έχει
όριο τον αριθμό L και θα γράφουμε L)x(flimoxx
αν και μόνο αν για
κάθε ε>0, υπάρχει δ>0 ώστε x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) (σχέση 1) να
ισχύει ότι f(x) (Lε,L+ε) (σχέση 2).
Ορισμός Ορίου (Με χρήση απόλυτης τιμής): Μία συνάρτηση f θα
λέμε ότι έχει όριο τον αριθμό L και θα γράφουμε L)x(flimoxx
αν και
μόνο αν για κάθε ε>0, υπάρχει δ>0 ώστε x με την ιδιότητα
oxx0 να ισχύει ότι L)x(f .
86 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Στον ορισμό του αριστερού ορίου η σχέση oxx0 αντικαθίσταται από τη σχέση xo δ <x<xo.
Παραδείγματα
Λύση: Έστω η συνάρτηση f(x)=c και ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό
θέλουμε), ώστε x με την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι
c)x(f . Για οποιοδήποτε όμως δ>0 παρατηρούμε ότι
0ccc)x(f . Άρα cclimoxx
.
Λύση: Έστω ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό θέλουμε), ώστε x με
την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι x)x(f . Όμως έχουμε
oo xxx)x(f . Αρκεί λοιπόν να επιλέξουμε δ<ε και τότε
oo xxx)x(f .
Λύση: Έστω ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό θέλουμε), ώστε x με
την ιδιότητα 2x0 να ισχύει ότι 8)x(f . Όμως τότε ισχύει
22x24x284x28)x(f . Αρκεί λοιπόν να
επιλέξουμε το θετικό αριθμό δ, ώστε να ισχύει 2
2 . Άρα για
Παράδειγμα 6.1: Να αποδειχθεί (με τη βοήθεια του τυπικού
ορισμού) ότι cclimoxx
.
Παράδειγμα 6.2: Να αποδειχθεί (με τη βοήθεια του τυπικού
ορισμού) ότι .xxlim oxx o
Παράδειγμα 6.3: Να αποδειχθεί (με τη βοήθεια του τυπικού
ορισμού) ότι 82x4x2lim
2
2x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 87
ε>0, αρκεί να επιλέγουμε οποιοδήποτε 2
0 και τότε για κάθε x με
την ιδιότητα 2x0 θα ισχύει 2
222x28)x(f .
Λύση: Έστω ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό θέλουμε), ώστε x με
την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι 2ox)x(f . Όμως :
ooo2o
22o xxxxxxxxx)x(f . Όμως:
δ<xxo<δ xoδ<x<xo+δ. Αν επιλέξουμε 2xo (1), τότε
διακρίνουμε περιπτώσεις:
Αν xo>0, τότε 2xo και άρα
2xxx
2xx o
oo
o
2x5xx
2x30x
2x3xx
2xx
2x3x
2x o
oo
oo
oo
ooo
Άρα για 2xo ισχύει
2x5xxx)x(f o
o2o . Αρκεί να
επιλέξουμε για το δ να ισχύει επιπλέον o
o
x5ε2δε
2x5δ (2).
Άρα για να ισχύουν συγχρόνως οι ανισότητες (1) και (2) θα πρέπει
δ<min{2xo ,
ox5ε2 }. Επομένως για δ<min{
2xo ,
ox5ε2 } ισχύει:
2x5
x52
2x5xxx)x(f o
o
oo
2o .
Αν xo=0, τότε 2222o x0xx)x(f . Αρκεί για το δ να
ισχύει 2 . Για έχουμε
22222
o x0xx)x(f .
Παράδειγμα 6.4: Να αποδειχθεί (με τη βοήθεια του τυπικού
ορισμού) ότι 2o
2
xxxxlim
o
.
88 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Αν xo<0, τότε 2xo και άρα
2xxx
2xx o
oo
o
02x3xx
2x5x
2xxx
2x3x
2xx
2x3 o
oo
oo
oo
ooo
Άρα 2x5)xx(xx o
o0 . Άρα για 2xo ισχύει
2x5xxx)x(f o
o2o . Αρκεί να επιλέξουμε για το δ
να ισχύει επιπλέον o
o
x5ε2δε
2x5δ
(3).
Άρα για να ισχύουν συγχρόνως οι ανισότητες (1) και (3) θα πρέπει
δ<min{2xo ,
ox5ε2 }. Επομένως για δ<min{
2xo ,
ox5ε2
} ισχύει:
ε2x5
x5ε2
2x5δxxδx)x(f o
o
oo
2o
.
Δείξαμε λοιπόν ότι για κάθε ε>0 και για κάθε xoR ισχύει ότι 2o
2
xxxxlim
o
.
Λύση: Έστω ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό θέλουμε), ώστε x με
την ιδιότητα 3x0 να ισχύει ότι 27)x(f .
Όμως 9x3x9x3x3x3x27)x(f 2233 . Αν για
παράδειγμα επιλέξουμε δ<1 (1), τότε:
...13x013x0 2<x<4. Τότε όμως θα έχουμε
37912169x3x9x3x 22 .
Παράδειγμα 6.5: Να αποδειχθεί (με τη βοήθεια του τυπικού
ορισμού) ότι 27xlim 3
3x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 89
Άρα 379x3x27)x(f 2 . Αρκεί λοιπόν να ισχύει επιπλέον
και η συνθήκη 37
37 (2). Για να ισχύουν συγχρόνως οι
ανισότητες (1) και (2) αρκεί να επιλέξουμε έναν αριθμό δ>0, ώστε
δ<min{1,37 }. Τότε για κάθε xR με 3x0 θα ισχύει ότι
3737
3727)x(f .
Λύση: Έστω ε>0. Αναζητούμε δ>0 (όσο μικρό θέλουμε), ώστε x με
την ιδιότητα oxx0 να ισχύει ότι )LL()x(g)x(f 21 .
Όμως
212121 L)x(gL)x(fL)x(gL)x(f)LL()x(g)x(f .
Αρκεί να βρούμε δ>0 δηλαδή ώστε 21 L)x(gL)x(f .
Επειδή 1xxL)x(flim
o
, τότε για τον αριθμό 02
υπάρχει δ1>0,
ώστε x με 1oxx0 να ισχύει ότι 2
L)x(f 1
(1).
Επειδή 2xxL)x(glim
o
, τότε για τον αριθμό 02
υπάρχει δ2>0,
ώστε x με 2oxx0 να ισχύει ότι 2
L)x(g 2
(2).
Αν τώρα επιλέξουμε ως δ έναν θετικό αριθμό δ<min{δ1,δ2}, τότε ισχύουν
συγχρόνως οι ανισώσεις (1) και (2) και άρα
22
L)x(gL)x(f)LL()x(g)x(f 2121 . Άρα
Παράδειγμα 6.6: Έστω δύο συναρτήσεις f και g για τις οποίες
ισχύει ότι 1xxL)x(flim
o
και 1xxL)x(flim
o
. Να αποδειχθεί ότι
21xxLL)x(g)x(flim
o
.
90 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
)x(glim)x(flimLL)x(g)x(flimooo xxxx21xx
.
Λύση: Επειδή το )x(flimoxx
υπάρχει και ισχύει ότι 0L)x(flimoxx
, τότε
για τον αριθμό 02L θα υπάρχει δ>0, ώστε x με oxx0 να
ισχύει ότι .2LL)x(f
2LL
2LL)x(f
2L
2LL)x(f
Δηλαδή υπάρχει δ>0 ώστε x με oxx0 να ισχύει ότι
02L
2LL)x(f . Άρα f(x)>0 κοντά στο xo. (βλ. ορισμό παρακάτω,
στην ενότητα 7).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
6.1) Με τη βοήθεια του ορισμού να αποδείξετε τα παρακάτω όρια:
(α) 161x5lim3x
(β) oxx
xxlimo
(γ) 21x2xlim 24
1x
.
6.2) Έστω δύο συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει ότι 1xxL)x(flim
o
και 2xxL)x(glim
o
. Να αποδειχθεί ότι 21xxLL)x(g)x(flim
o
.
6.3) Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 0L)x(flimoxx
. Να
αποδειχθεί ότι f(x)<0 κοντά στο xo.
Παράδειγμα 6.7: Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι
0L)x(flimoxx
. Να αποδειχθεί ότι f(x)>0 κοντά στο xo.
ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 91
ΕΝΟΤΗΤΑ 7η
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α) Κοντά στο xo
Έστω η συνάρτηση με τύπο
0x,1
0x,x4x)x(f
24
της οποίας η
γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό
σχήμα:
Η συνάρτηση f όπως βλέπουμε δεν είναι παντού θετική. Όμως στο
σύνολο (1,0)(0,23
) είναι για παράδειγμα θετική (φυσικά το μέγιστο
σύνολο στο οποίο η f είναι θετική είναι το (2,0)(0,2)). Όταν μία
μεταβλητή x παίρνει όλες τις τιμές σε ένα σύνολο της μορφής
(α,xo)(xo,β), τότε θα λέμε ότι το x είναι κοντά στο xo. Ακολουθεί ο
παρακάτω ορισμός:
Έτσι λοιπόν η συνάρτηση f στο προηγούμενο παράδειγμα είναι θετική
κοντά στο xo=0, αν και f(0)= 1<0. Πρέπει να έχουμε υπόψη ότι όταν το
x είναι κοντά στο xo, τότε x≠xo.
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f. Θα λέμε ότι η f έχει μία ιδιότητα P
κοντά στο xo, όταν ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω συνθήκες:
(i) Η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo)(xo,β) και σε αυτό ισχύει η ιδιότητα P.
(ii) Η f ορίζεται σε ένα διάστημα της μορφής (α,xo), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (xo,β) και σε αυτό ισχύει η ιδιότητα P.
(iii) Η f ορίζεται σε ένα διάστημα της μορφής (xo,β), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (α,xo) και σε αυτό ισχύει η ιδιότητα P.
92 ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Β) Η έννοια του ορίου συνάρτησης
Έστω η συνάρτηση με τύπο 2x4x2)x(f
2
, η οποία προφανώς δεν
ορίζεται στο xo=2. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις διάφορες τιμές της
συνάρτησης f για τιμές του x που βρίσκονται κοντά στο xo=2:
x= f(x)= x= f(x)=
1,8 7,6 2,2 8,4 1,9 7,8 2,1 8,2
1,99 7,98 2,01 8,02 1,999 7,998 2,001 8,002
1,9999 7,9998 2,0001 8,0002 1,99999 7,99998 2,00001 8,00002
1,999999 7,999998 2,000001 8,000002 1,9999999 7,9999998 2,0000001 8,0000002
1,99999999 7,99999998 2,00000001 8,00000002 1,999999999 7,999999998 2,000000001 8,000000002
Παρατηρούμε ότι όσο καλύτερη προσέγγιση του xo=2 παίρνουμε, τότε η
αντίστοιχη τιμή f(x) είναι καλύτερη προσέγγιση του αριθμού 8. Σε αυτή
την περίπτωση λέμε ότι το όριο του f(x) όταν το x τείνει στον αριθμό 2
είναι 8 και γράφουμε 8)x(flim2x
.
Επειδή 4x2...2x4x2)x(f
2
, η
Cf είναι μία ευθεία με εξαίρεση το
σημείο Α(2,8):
Από τη γραφική παράσταση
παρατηρούμε ότι όσο το x «πλησιάζει»
το 2 (φράση α΄), τότε τόσο το f(x) «πλησιάζει» απεριόριστα τον αριθμό 8
(φράση β΄).
ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 93
Με μία διαφορετική ανάγνωση, οι φράσεις α΄και β΄μπορούν να
ερμηνευθούν ως εξής:
Η φράση α΄ σημαίνει ότι το x είναι κοντά στον αριθμό xo=2 δηλαδή ότι το x παίρνει όλες τις τιμές σε ένα σύνολο της μορφής (α,2)(2,β) ή σε ένα διάστημα της μορφής (α,2), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (2,β), ή σε ένα διάστημα της μορφής (2,β), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,2).
Η φράση β΄ σημαίνει ότι η απόσταση του f(x) από τον αριθμό 8 μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιοδήποτε θετικό αριθμό για κάθε x που ανήκει σε ένα σύνολο της μορφής (α,2)(2,β) ή σε ένα διάστημα της μορφής (α,2), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (2,β), ή σε ένα διάστημα της μορφής (2,β), αν η f δεν ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,2).
Μπορούμε τώρα να δώσουμε έναν άτυπο, αλλά πολύ περιγραφικό,
ορισμό του ορίου συνάρτησης:
Γ) Πλευρικά όρια συνάρτησης
Έστω η συνάρτηση f του παρακάτω σχήματος:
Παρατηρούμε ότι όταν το x τείνει στο xo=3 με x>3, τότε το f(x) πλησιάζει απεριόριστα τον αριθμό 4. Τότε γράφουμε
4)x(flim3x
και λέμε ότι το όριο της f(x)
όταν το x τείνει στο 3 από τα δεξιά ή από μεγαλύτερες τιμές είναι 4.
Παρατηρούμε επίσης ότι όταν το x τείνει στο xo=3 με x<3, τότε το f(x) πλησιάζει απεριόριστα τον αριθμό 2. Τότε γράφουμε 2)x(flim
3x
και λέμε ότι το όριο της f(x) όταν το x
τείνει στο 3 από τα αριστερά ή από μικρότερες τιμές είναι 2.
Ορισμός: Θα λέμε ότι η f θα έχει όριο τον αριθμό L όταν το x τείνει
στο xo και θα γράφουμε L)x(flimoxx
αν και μόνο αν όσο το x τείνει
στο xo, τότε το f(x) πλησιάζει απεριόριστα τον αριθμό L.
94 ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Γενικότερα τα όρια )x(flimLoxx1
και )x(flimLoxx2
λέγονται πλευρικά
όρια της f στο xo.
Βασικό συμπέρασμα:
Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo)(xo,β), τότε το όριο της
f στο xo υπάρχει και είναι ίσο με L αν και μόνο αν ισχύει η ισοδυναμία:
L)x(flim)x(flimL)x(flimooo xxxxxx
.
Άλλοι Ορισμοί:
Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (xo,β), τότε ως όριο της f στο xo ορίζουμε το αριστερό όριο της f στο xo, εφόσον υπάρχει, δηλαδή:
( )x(flim)x(flimoo xx
.
xx
).
Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (xo,β), αλλά όχι σε διάστημα της μορφής (α,xo), τότε ως όριο της f στο xo ορίζουμε το δεξιό όριο της f στο xo, εφόσον υπάρχει, δηλαδή:
( )x(flim)x(flimoo xx
.
xx
).
Για παράδειγμα ισχύει ότι 0xlimxlim0x0x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 95
Παράδειγμα:
Λύση:
(α) f(2)=2, f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4.
(β) (i) 2)x(flim2x
(ii) 1)x(flim1x
Παράδειγμα 7.1: Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το
[2,+∞). Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα
παρακάτω:
(α) Να υπολογιστούν οι αριθμοί f(2), f(1), f(2), f(3).
(β) Να υπολογιστούν τα όρια:
(i) )x(flim2x
(ii) )x(flim1x
(iii) )x(flim1x
(iv) )x(flim2x
(v) )x(flim2x
(vi) )x(flim3x
(vi) )x(flim3x
.
96 ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
(iii) 2)x(flim1x
(iv) 3)x(flim2x
(v) 3)x(flim2x
(vi) 3)x(flim3x
(vi) 3)x(flim3x
.
Από τα παραπάνω έπεται ότι 3)x(flim2x
, 3)x(flim3x
, ενώ το όριο
)x(flim1x
δεν υπάρχει διότι )x(flim)x(flim1x1x
.
Βασικές Ιδιότητες:
Με τη βοήθεια του ορισμού στην ενότητα 6 (με απόλυτες τιμές)
αποδεικνύονται οι παρακάτω ισοδυναμίες:
(α) 0L)x(flimL)x(flimoo xxxx
.
(β) L)hx(flimL)x(flim o0hxx o
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
7.1) Να βρείτε το )x(flimoxx
και το f(xo), εφόσον υπάρχουν, όταν η
γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι:
(A) (B)
(Γ) (Δ)
ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 97
7.2) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και από αυτή
να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το )x(flimoxx
:
(α) 4x
8x6x)x(f2
με xo=4 (β)
1x,x1
1x,x)x(f με
xo=1.
(γ)
1x,1x2
1x,x)x(f
3
με xo=1 (δ) xxx)x(f
2
και xo=0.
(ε) 1x
3xx3x)x(f 2
23
με xo=1 και xo= 1.
(στ) 2x
4x4x)3x()x(f2
με xo=2.
98 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
ΕΝΟΤΗΤΑ 8η
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ I
(ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΥΡΕΣΗΣ ΟΡΙΩΝ) Α) Όρια και Πράξεις (Ομάδα I).
Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι ισότητες ότι oxxxxlim
o
και cclimoxx
.*
‡Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται επίσης οι παρακάτω
ιδιότητες (Ομάδα Ι) που συνδέουν τις πράξεις συναρτήσεων με τα
αντίστοιχα όρια:
ΠΡΟΤΑΣΗ Ι (ΟΜΑΔΑ Ι) Έστω ότι τα όρια των f και g υπάρχουν στο xo. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: (α) )x(glim)x(flim)x(g)x(flim
ooo xxxxxx .
(β) )x(flimκ)x(fκlimoo xxxx
, για κάθε σταθερό αριθμό κ.
(γ) )x(glim)x(flim)x(g)x(flimooo xxxxxx
.
(δ) )x(glim
)x(flim
)x(g)x(flim
o
o
o
xx
xx
xx
, εφόσον 0)x(glim
oxx
.
(ε) )x(flim)x(flimoo xxxx
.
(στ)
)x(flim)x(flimoo xxxx
, εφόσον ισχύει ότι f(x)≥0 κοντά στο xo.
Οι ιδιότητες (α) και (γ) μπορούν να επεκταθούν σε περισσότερες από δύο
συναρτήσεις.
‡ Βλέπε προαιρετικά τα λυμένα παραδείγματα 6.1 και 6.2 της ενότητας 6.
ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ 99
Λύση: Σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε:
33)x(glim)x(glim4x4x
.
28)x(flim)x(flim 334x
34x
.
41682)x(flim2))x(f2(lim)x(f2lim4x4x4x
.
143]4lim))x(g(lim[]4)x(glim[4)x(glim 55
4x4x
5
4x
5
4x
Άρα
5
4x
34x
5
3
4x )4)x(g()x(f2lim
)x(f)x(glim
4)x(g)x(f2)x(f)x(g
limA
51
1423
4)x(glim)x(f2lim
)x(flim)x(glim5
4x4x
34x4x
.
Β) Υπολογισμός ορίων Πολυωνυμικών και Ρητών Πολυωνυμικών
Συναρτήσεων.
Ως συνέπεια των ιδιοτήτων της Ομάδας Ι, έχουμε τα παρακάτω
πορίσματα:
Πόρισμα 8.1: Έστω ότι το )x(flimoxx
υπάρχει. Τότε
ν
xx
ν
xx)x(flim)x(flim
oo
.
Απόδειξη: Με τη βοήθεια της ιδιότητας (γ) έχουμε:
Παράδειγμα 8.1: Αν 8)x(flim4x
και 3)x(glim4x
, να υπολογιστεί η
παράσταση 5
3
4x 4)x(g)x(f2)x(f)x(g
limA
.
100 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
)x(flim)x(flim...)x(flim)x(f...)x(f)x(flim)x(flim
ooooo xx
ά
xxxx
΄ό
άxxxx
Πόρισμα 8.2: Ισχύει ότι
oxx
xxlimo
.
Απόδειξη: Είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι oxxxxlim
o
και του
πορίσματος 8.1, δηλαδή
oxxxx
xxlimxlimoo
.
Πόρισμα 8.3: Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση με γενικό τύπο
P(x)=ανxν+αν1xν-1+…+α1x+αο. Τότε ισχύει ότι )x(P)x(Plim oxx o
.
Απόδειξη: Με τη βοήθεια των προηγούμενων παίρνουμε ότι
2.8ρισμαόπ
xx1xx
1ν1νxx
ννxx
΄α.τόιδι
11ν
1νν
νxxxx
αlimxαlim...xαlimxαlim
αxα...xαxαlim)x(Plim
oooo
oo
)x(Px...xx o11
1
Πόρισμα 8.4: Έστω η ρητή πολυωνυμική συνάρτηση με γενικό τύπο
)x(Q)x(P)x(h (δηλαδή οι συναρτήσεις P και Q είναι πολυωνυμικές). Τότε
)x(Q)x(P
)x(Q)x(Plim)x(hlim
o
o
xxxx oo
, εφόσον 0)x(Q o .
Απόδειξη:
Πράγματι έχουμε: )x(Q)x(P
)x(Qlim
)x(Plim
)x(Q)x(Plim)x(hlim
o
o3.8.πορ
xx
xx'δ.ιδιοτ
xxxxo
o
oo
,
εφόσον 0)x(Q)x(Qlim oxx o
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ 101
Εφαρμογές:
(α) 2003450]x345x[lim 5252
0x
.
(β) 109
2018
55852
5x8x2lim 225x
.
(γ) 32
34
21115
2x1x5lim
2
2
2
2
1x
.
(δ) Αν
3x,3x3x,43x,1x8x
)x(f3
2
, τότε για να υπολογίσουμε το όριο
)x(flim3x
πρέπει να έχουμε υπόψη ότι x≠3. Σε αυτή την περίπτωση
υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια:
141x8xlim)x(flim 2
3x3x
.
303xlim)x(flim 3
3x3x
.
Επειδή )x(flim)x(flim3x3x
, έπεται ότι δεν υπάρχει το )x(flim3x
.
Παρατήρηση: Το αντίστροφο των ιδιοτήτων της Ομάδας Ι δεν ισχύει.
Για παράδειγμα μπορεί να υπάρχει το όριο )x(g)x(flimoxx
, αλλά να
μην υπάρχουν τα όρια )x(flimoxx
και )x(glimoxx
, επομένως και η ισότητα
)x(glim)x(flim)x(g)x(flimooo xxxxxx
να μην έχει νόημα. Πράγματι,
έστω οι συναρτήσεις
0x,10x,5
)x(f και
0x,50x,1
)x(g .
Τότε:
11lim)x(flim0x0x
και 55lim)x(flim0x0x
. Επομένως το
όριο )x(flim0x
δεν υπάρχει.
Όμοια δεν υπάρχει το όριο )x(glim0x
.
102 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
f(x)+g(x)=4 για κάθε xR* και άρα 44lim)x(g)x(flim0x0x
.
Παραδείγματα
Λύση: Επειδή εκατέρωθεν του xo=3 αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης,
τότε θα χρησιμοποιήσουμε την ισοδυναμία:
)x(flim10)x(flim10)x(flim3x3x3x
. Όμως:
106103210x2lim10)x(flim3x3x
(σχέση (1)). 10331033103xlim10)x(flim
3x3x
(σχέση (2)).
Λύνοντας το σύστημα των (1) και (2) παίρνουμε ότι 34
και β=2.
Παράδειγμα 8.2: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
3x,β3xα3x,βxα2
)x(f , όπου α και β πραγματικοί αριθμοί. Να
βρεθούν οι αριθμοί α και β, ώστε 10)x(flim3x
.
Παράδειγμα 8.3: Έστω η συνάρτηση f:AR για την οποία
γνωρίζουμε ότι το όριο )x(flim3x
υπάρχει.
(α) Τι πληροφορία παίρνουμε για το πεδίο ορισμού Α της
συνάρτησης;
(β) Αν 26x5x)x(flim 2
3x
, τότε να βρεθεί το όριο )x(flim
3x.
(γ) Αν 83x12)x(flim
3x
, τότε να βρεθεί το όριο )x(flim
3x.
ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ 103
Λύση: (α) Επειδή έχει νόημα το όριο )x(flim3x
, αυτό σημαίνει ότι η f
ορίζεται κοντά στο xo=3. Δηλαδή ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω
συνθήκες:
(i) Υπάρχει ένα σύνολο της μορφής (α,3)(3,β), ώστε (α,3)(3,β)Α.
(ii) ή υπάρχει ένα σύνολο της μορφής (α,3), με (α,3)Α, αλλά δεν
υπάρχει σύνολο της μορφής (3,β) ώστε (3,β)Α.
(iii) ή υπάρχει ένα σύνολο της μορφής (3,β) με (3,β)Α, αλλά δεν
υπάρχει σύνολο της μορφής (α,3) ώστε (α,3)Α.
(β) Θέτουμε g(x)=f(x)+x2+5x (1), η οποία ορίζεται κοντά στο xo=3. Τότε
σύμφωνα με την εκφώνηση θα ισχύει ότι 26)x(glim3x
.Λύνοντας την (1)
ως προς f(x), παίρνουμε f(x)=g(x)x25x. Άρα
2242635326x5x)x(glim)x(flim 22
3x3x
.
(γ) Θέτουμε 3x12)x(f)x(h
(2), η οποία ορίζεται κοντά στο xo=3. Τότε
σύμφωνα με την εκφώνηση θα ισχύει ότι 8)x(hlim3x
. Λύνοντας την (2)
ως προς f(x), παίρνουμε f(x)=(x3)h(x)+12. Άρα
12120128)33(12)x(h)3x(lim)x(flim3x3x
.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
8.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
(α) 1523
2x5x4x3xlim
(β) 1x7lim 2
1x
(γ) 6x5x
x316)2x(lim
2
32
4x
104 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ
8.2) Αν 4)x(flim3x
και 2)x(glim3x
, τότε να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )x(g)x(flim3x
(β) )x(g3)x(f2lim 2
3x
(γ)
)x(g)x(flim
2
3x
(δ) )x(g4)x(flim 2
3x
(ε)
10)x(f22)x(g
lim3x
8.3) Να βρείτε το )x(flim1x
, όταν:
(α) 10x42)x(f4lim1x
(β) 11x)x(flim
1x
8.4) Έστω η συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει ότι
52x
1x2)x(flim2x
. Να βρείτε τα όρια (α) )x(flim2x
και (β) x2x3)x(flim 22x
8.5) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 82x
22x)x(f)4x(lim2
2x
,
τότε να υπολογίσετε το όριο )x(flim2x
.
8.6) Να υπολογίσετε το )x(flimoxx
, εφόσον υπάρχει, σε κάθε μία από τις
παρακάτω περιπτώσεις:
(α)
3x,1x2
3x,1x5x)x(f
2
, όπου xo=3
(β)
2x,9x152x,102x,1x5
)x(f
2
, όπου xo=2
(γ)
3x,5
3x,1x
3x2x
)x(f
2
, όπου xo=3
ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ 105
(δ)
1x,1x8
1x,1x7x5)x(f
10
3
, όπου xo=1.
8.7) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
3x,x3x2,x2
2x,x5)x(f 2 , όπου α
και β δύο πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε να
υπάρχουν τα όρια )x(flim2x
και )x(flim3x
.
8.8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
1x,xx4
1x,4x)x(f
25
82
, όπου
α και β δύο πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε τους αριθμούς α και β, ώστε
να υπάρχει το όριο )x(flim1x
.
106 ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 9η
Μία Εισαγωγή στις
Συνεχείς Συναρτήσεις Στην επόμενη ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε όρια τα οποία λέμε ότι
είναι της «μορφής 0/0». Βασικό θεωρητικό και πρακτικό εργαλείο που
χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό αυτών των ορίων είναι οι συνεχείς
συναρτήσεις (αν και συνήθως δεν το αναφέρουμε). Σε αυτήν την ενότητα
θα δούμε μερικά πρώτα βασικά στοιχεία των συνεχών συναρτήσεων.
Α) Συνάρτηση συνεχής στο xo.
Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση
P(x) ισχύει )x(P)x(Plim oxx o
. Όμοια αν έχουμε τη ρητή (-πολυωνυμική)
συνάρτηση )x(Q)x(P)x(h και xoDh ( Q(xo)≠0), τότε όπως είδαμε
ισχύει ότι )x(h)x(Q)x(P)x(hlim o
o
o
xx o
. Αυτές οι συναρτήσεις λέμε ότι είναι
συνεχείς στο xo. Γενικότερα έχουμε τον παρακάτω ορισμό:
Παρατηρήσεις:
Αν xoDf και το όριο )x(flimoxx
είτε δεν υπάρχει, είτε υπάρχει αλλά
ισχύει ότι )x(f)x(flim oxx o
, τότε θα λέμε ότι η f δεν είναι συνεχής
(ασυνεχής) στο xo. Αν xοDf, τότε θα λέμε ότι δεν έχει νόημα η συνέχεια της f στο xo.
Κλασικές περιπτώσεις συνεχών συναρτήσεων, εκτός από τις
πολυωνυμικές και τις ρητές, είναι οι τριγωνομετρικές, εκθετικές και
λογαριθμικές και αυτές που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών. Για
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f:ΑR και xoA. Θα λέμε ότι η f
είναι συνεχής στο xo αν και μόνο αν )x(f)x(flim oxx o
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 107
παράδειγμα ισχύει ότι oxxxxlim
o
, εφόσον 2
x o
για κάθε
κZ.
B) Συνέχεια συνάρτησης στο xo και γραφική παράσταση
Αν μία συνάρτηση f :
(α) ορίζεται σε ένα διάστημα Δ και
(β) xoΔ και
(γ) είναι συνεχής στο xo,
τότε η γραφική παράσταση της f στο σημείο (xo,f(xo)) δεν
διακόπτεται.
Τα παρακάτω σχήματα είναι ενδεικτικά και δείχνουν διάφορες
περιπτώσεις συνέχειας και μη συνέχειας στο σημείο xo:
(α) Στο διπλανό σχήμα η f ορίζεται
σε ένα διάστημα που περιέχει το xo
και επιπλέον είναι συνεχής στο xo,
διότι )x(f)x(flim oxx o
:
(β) Όμοια στο διπλανό
σχήμα η f ορίζεται σε
ένα διάστημα που
περιέχει το xo και
επιπλέον είναι συνεχής
στο xo, διότι )x(f)x(flim oxx o
.
108 ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
(γ) Στο παρακάτω σχήμα ισχύει ότι xoDf ,αλλά το όριο )x(flimoxx
δεν
υπάρχει διότι )x(flim)x(fL)x(flimoo xxoxx
. Άρα η f δεν είναι συνεχής
στο xo:
(δ) Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι
xoDf και το όριο )x(flimoxx
υπάρχει,
αλλά )x(fL)x(flim oxx o
.
Άρα η f δεν είναι συνεχής στο xo:
(ε) Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε
ότι η f δεν ορίζεται στο xo. Άρα
δεν έχει νόημα να εξετάσουμε τη
συνέχεια της f στο xo:
ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 109
Παραδείγματα:
Λύση: Πράγματι έχουμε ότι 11001xx2lim)x(flim 2
0x0x
,
1xlim)x(flim 3
0x0x
110 . Αφού )x(flim1)x(flim
0x0x έπεται
ότι 1)x(flim0x
. Ακόμη f(0)=1 και άρα )0(f)x(flim0x
, δηλαδή η f είναι
συνεχής στο xo=0.
Λύση: Ισχύει ότι )e(f21eln1xlnlim)x(flimexex
.
Λύση: Πράγματι έχουμε ότι:
2
14
24
x2xlim)x(flim4
x4
x
.
16
xlim)x(flim2
2
4x
4x
.
Άρα )x(flim)x(flim4
x4
x
και επομένως το όριο )x(flim4
x
δεν υπάρχει.
Παράδειγμα 9.1: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
0x,1x0x,1xημx2)x(f 3
2
είναι συνεχής στο xo=0.
Παράδειγμα 9.2: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
ex,2
exκαιx0,1xln)x(f είναι συνεχής στο xo=e.
Παράδειγμα 9.3: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
2π,
4πx,x
4π,0x,x2xσφ
)x(f2
δεν είναι συνεχής στο xo= 4π
.
110 ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Λύση: Παρατηρούμε ότι 651x5xlim)x(flim 2
1x1x
, ενώ f(1)=3.
Δηλαδή )1(f)x(flim1x
.
Λύση: Δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο
xo=0, διότι 0Df (παρόλο που σε αυτό το παράδειγμα το όριο )x(flim0x
υπάρχει και ισχύει 1)x(flim0x
).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
9.1) Στα παρακάτω σχήματα να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο xo.
Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας:
Παράδειγμα 9.4: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση
1x,31x,x5x)x(f
2
δεν είναι συνεχής στο xo=1.
Παράδειγμα 9.5: Να εξεταστεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση
0x,1x20x,1x)x(f
2
στο σημείο xo=0.
(i) (ii)
ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 111
9.2) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο xo:
(α) x)x(f , xo=2 (β)
0x,30x,21x)x(f
2
, xo=0
(γ)
1x,1
1x0,xxln
)x(f , xo=1
(δ)
4x,x
4x,x
)x(f , xo= 4
(ε)
0x,10x,x
)x(f , xo=0.
(iii) (iv)
(v)
112 ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0
ΕΝΟΤΗΤΑ 10η
Μορφή 0/0 Α) Ορισμός ορίου μορφής 0/0
Για παράδειγμα το όριο 2x4xlim
2
2x
είναι της μορφής 0/0, διότι
ισχύει ότι )2x(lim0)4x(lim2x
2
2x
.
Η λέξη «απροσδιόριστη» σημαίνει ότι το όριο )x(h)x(glim
oxxμπορεί να
ισούται με έναν οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό L ή να μην υπάρχει ή ακόμη να συμβαίνει κάτι άλλο 4.
Β) Υπολογισμός ορίου συνάρτησης της μορφής 0/0 με τη χρήση μίας
βοηθητικής συνεχούς συνάρτησης στο xo.
Έστω δύο συναρτήσεις f, g των οποίων η γραφική παράσταση φαίνεται
στα παρακάτω σχήματα:
4 Σε επόμενη ενότητα θα μάθουμε όρια που θα λέμε ότι είναι ίσα με +∞ ή ∞.
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f με τύπο της μορφής )x(h)x(g)x(f που
ορίζεται κοντά στο xo. Θα λέμε ότι το όριο της f όταν το x τείνει στο xo
είναι της απροσδιόριστης μορφής 0/0, όταν ισχύει
)x(hlim0)x(glimoo xxxx
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0 113
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f δεν ορίζεται στο xo, ενώ η g ορίζεται
στο xo και μάλιστα είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Επιπλέον οι δύο
συναρτήσεις είναι ίσες κοντά στο xo 5, δηλαδή ισχύει ότι f(x)=g(x)
x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) όπου δ ένας κατάλληλος θετικός αριθμός. Για
να υπολογίσουμε το όριο της f στο xo, μπορούμε να
χρησιμοποιήσουμε την ισότητα )x(g)x(glim)x(flim oxxxx oo
(διότι αν
γνωρίζουμε τον τύπο της g, η οποία είναι και συνεχής στο xo, είναι
αρκετό να κάνουμε μία αντικατάσταση στον τύπο της, θέτοντας όπου
x το xo). Αυτή είναι μία γενική μέθοδος για να υπολογίσουμε το όριο
μίας συνάρτησης f όταν αυτή είτε δεν ορίζεται στο xo, είτε δεν είναι
συνεχής στο xo. Για παράδειγμα, έστω οι συναρτήσεις f και g με τύπους
2x,3
2x,2x4x
)x(f
2
και g(x)=x+2. Οι γραφικές τους
παραστάσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:
5 Οι Cf και Cg ταυτίζονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
114 ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0
Παρατηρούμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο xo=2, διότι L)x(flim
2x
, ενώ
f(2)= 3≠L. H g επιπλέον είναι συνεχής στο xo=2 και παρατηρούμε ότι
f(x)=g(x) κοντά στο xo=2, διότι για x≠2 ισχύει ότι
)x(g2x2x
)2x(2x2x4x)x(f
2
. Άρα εκμεταλλευόμενοι την
ισότητα των συναρτήσεων κοντά στο xo=2, παίρνουμε ότι
422)2(g)x(glim)x(flim2x2x
.
Στην πράξη όμως δεν συνηθίζεται να αναφέρεται η συνεχής συνάρτηση
g, αν και στην πραγματικότητα θα προκύπτει από την f με τη χρήση
κατάλληλων μετασχηματισμών. Για παράδειγμα συνήθως γράφουμε:
4222xlim2x
)2x(2xlim2x4xlim)x(flim
)x(g2x2x
2
2x2x
, χωρίς
να αναφέρουμε ότι η παράσταση x+2 είναι στην ουσία ο τύπος της g.
Λύση: Βλέπουμε ότι:
.123)2x(lim3x
)3x(2xlim3x
6x5xlim)x(flim3x3x
0/0ήμορφ
2
3x3x
(προσέξτε ότι η συνεχής συνάρτηση g που χρησιμοποιούμε, χωρίς να το
αναφέρουμε, είναι η g(x)=x2).
Παράδειγμα 10.1: Έστω η συνάρτηση με τύπο 3x
6x5x)x(f2
.
Να υπολογιστεί το όριο )x(flim3x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0 115
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα 10.1: Έστω η συνάρτηση f:AR η οποία ορίζεται
τουλάχιστον κοντά στον πραγματικό αριθμό xo. Έστω επιπλέον ότι
είτε η f δεν ορίζεται στο xo, είτε ορίζεται στο xo χωρίς να είναι όμως
συνεχής στο σημείο αυτό. Τότε το όριο )x(flimoxx
υπάρχει και είναι
πραγματικός αριθμός αν και μόνο αν υπάρχει συνάρτηση g συνεχής
στο xo, ώστε να ισχύει ότι f(x)=g(x) κοντά στο xo.
Απόδειξη:
() Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση g συνεχής στο xo, ώστε να ισχύει ότι
f(x)=g(x) κοντά στο xo. Τότε )x(g)x(glim)x(flim oxxxx oo
R.
() Έστω ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο xo έναν πραγματικό αριθμό L.
Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο
o
o
xx,L}x{Ax,)x(f
)x(g .
Τότε ισχύει ότι f(x)=g(x) κοντά στο xo και L)x(flim)x(glimoo xxxx
=g(xo), δηλαδή η g είναι συνεχής στο xo.
Γ) Όριο Μορφής 0/0 Ρητής Συνάρτησης
Έστω η ρητή συνάρτηση της μορφής )x(Q)x(P)x(f (Δηλαδή οι
συναρτήσεις P και Q είναι πολυωνυμικές). Αν το όριο )x(flimoxx
είναι της
μορφής 0/0, αυτό σημαίνει ότι:
)x(P)x(Plim0 oxx o
.
)x(Q)x(Qlim0 oxx o
.
Δηλαδή τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) έχουν ρίζα τον αριθμό xo. Όπως
είναι γνωστό από τη Β΄ Λυκείου, αν ένα πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα τον
116 ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0
αριθμό xo, τότε το πολυώνυμο αυτό θα έχει παράγοντα το πολυώνυμο
xxo. Με άλλα λόγια θα ισχύει μία ισότητα του τύπου P(x)=(xxo)R(x),
όπου R(x) επίσης πολυώνυμο.
Άρα για τον υπολογισμό του ορίου της μορφής 0/0 δουλεύουμε κατά το
παρακάτω σχήμα:
...)x(R)x(Rlim
)x(R)xx()x(R)xx(lim
)x(Q)x(Plim)x(flim
2
1
xx2o
1o
xxxxxx oooo
.
Αν το όριο )x(R)x(Rlim
2
1
xx o είναι και αυτό της μορφής 0/0 , τότε συνεχίζουμε
κατά τον ίδιο τρόπο, διαφορετικά υπολογίζουμε κατευθείαν το όριο. Να
υπενθυμίσουμε ότι η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου μπορεί να
πραγματοποιηθεί με ποικίλους τρόπους όπως με εξαγωγή κοινού
παράγοντα, χρήση κατάλληλης ταυτότητας, χρήση σχήματος Horner κ.α.
Παραδείγματα
Λύση:
(α) 21
42
2xxlim
)2x()2x()2x(xlim
4xx2xlim
2x2x
0/0ή
2
2
2x
.
(β)
)
25x()1x(
)1x()1x(xlim)
25x()1x(2
)1x(x2lim5x3x2
x2x2lim2
1x
22
1x
0/0ήμορφ
2
24
1x
Παράδειγμα 10.2: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:
(α) 4xx2xlim 2
2
2x
(β)
5x3x2x2x2lim 2
24
1x
(γ)
2x5x4x8xlim 23
3
2x
(δ) 2x4x
lim2
2x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0 117
74
251
2
)25x(
)1x(xlim2
1x
, διότι για το τριώνυμο 2x2+3x5 ισχύουν :
Δ=9+425=49
25
1
473
22493
2
1
2,1
Άρα
25x)1x(2
25x)1x(25x3x2 2 .
(γ) Για το παρακάτω όριο έχουμε:
2
2
2x23
33
2x
0/0ή
23
3
2x )1x()2x()4x2x()2x(lim
2x5x4x2xlim
2x5x4x8xlim
34
912
)1x(4x2xlim 2
2
2x
, διότι εφαρμόζοντας το σχήμα Horner για ρ=2
στο πολυώνυμο x34x2+5x2:
1 4 5 2 ρ=2 2 4 2 1 2 1 0
Άρα x34x2+5x2=(x2)(x22x+1)=(x2)(x1)2.
(δ) Το πρόσημο της παράστασης x24 για τις διάφορες τιμές του x
φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Άρα έχουμε:
Αν για το τριώνυμο
αx2+βx+γ, ισχύει ότι Δ≥0,
τότε
αx2+βx+γ=α(xρ1)(xρ2),
όπου ρ1,2 οι ρίζες του
τριωνύμου
118 ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0
42x
)2x()2x(lim2x
)4x(lim2x
)4x(lim2x4x
lim2x
2
2x
2
2x
2
2x
42x
)2x()2x(lim2x
)4x(lim2x
)4x(lim2x4x
lim2x
2
2x
2
2x
2
2x
.
Επομένως το όριο 2x4x
lim2
2x
δεν υπάρχει.
Παρατήρηση:
Ο συμβολισμός «0/0» σημαίνει απλώς ότι το όριο του αριθμητή και το
όριο του παρονομαστή όταν το x τείνει στο xo είναι ίσα με μηδέν, άσχετα
από το όριο του κλάσματος. Το σύμβολο «0/0» δηλαδή δεν δηλώνει
κάποιο αποτέλεσμα για το όριο του κλάσματος. Ως εκ τούτου η έκφραση
«00
» είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα είναι λάθος να γράφουμε
«00
1x1xlim 21x
». Γενικότερα δεν πρέπει να ταυτίζουμε το αποτέλεσμα
ενός ορίου με τη μορφή του.
(Πράγματι αν ήταν έγκυρη η έκφραση «00
», τότε θα μπορούσαμε να
γράψουμε:00
1x1xlim 21x
και
1x1lim
)1x)(1x(1xlim
1x1xlim
1x1x21x
21
. Δηλαδή 21
00 .
Επιπλέον θα ίσχυε ότι:
00
1x1xlim
2
1x
και 2)1x(lim
1x)1x)(1x(lim
1x1xlim
1x1x
2
1x
.
Δηλαδή 200 . Εκμεταλλευόμενοι τη μεταβατική ιδιότητα της ισότητας, θα
μπορούσαμε να γράψουμε ότι 21
002 , το οποίο προφανώς δεν ισχύει.
ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0 119
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο της f στο xo:
10.1) 3x9x)x(f
2
, xo=3.
10.2) 1x3x2
1x)x(f 2
3
, xo= 1.
10.3) 6x7x
x2x2)x(f 3
3
, xo=1.
10.4) 6x7x3x3x
1xxx)x(f 234
23
, xo= 1.
10.5)
5x,1x7x
5x,5x25x
)x(f2
2
, xo= 5.
10.6) 1x
21x
1)x(f 2
, xo= 1.
10.7) 3x13
x11)x(f
, xo=1.
10.8)
9x,
21
,9x,9x10x
81x)x(f
2
2
, xo= 9.
10.9) 5x25x
)x(f2
, xo=5.
10.10) x3xx2x3
)x(f 2
2
, xo=0.
10.11) 1x1x)x(f
, xo=1 και νn*.
10.12) 1x
x...xxx)x(f32
, xo=1 και νn*.
120 ΕΝΟΤΗΤΑ 10-ΜΟΡΦΗ 0/0
10.13) 1x
1x)2(x)x(f 2
, xo=1 και νn*.
ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 121
ΕΝΟΤΗΤΑ 11η
Μορφή 0/0 σε
άρρητες συναρτήσεις
Α) Συζυγής Παράσταση
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει παραστάσεις με τετραγωνικές ρίζες και την
αντίστοιχη συζυγή παράστασή τους:
Η παράσταση Α= έχει συζυγή τις παραστάσεις Β= και
και
Η έννοια της συζυγούς παράστασης σχετίζεται με το γεγονός ότι η
έκφραση στο γινόμενο Α·Β είναι απαλλαγμένη από τα ριζικά.
Β) Χρήση της συζυγούς παράστασης σε συναρτήσεις της μορφής
)x(g)x(f και )x(g)x(f (άρρητες συναρτήσεις).
Τα επόμενα παραδείγματα δείχνουν ενδεικτικά το πώς χρησιμοποιούμε
τις συζυγείς παραστάσεις σε όρια της μορφής 0/0:
Παραδείγματα:
Λύση: (α)
)3x()9x(3xlim
)3x()9x()3x()3x(lim
9x3xlim
22
9x9x9x
61
331
3x1lim
)3x()9x(9xlim
9x9x
.
Παράδειγμα 11.1: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:
(α) 9x3xlim
9x
(β) 23
2
2x x2x35xlim
(γ)
26xx48xlim
2x
(δ) 1x
1x22x3lim 2
2
1x
.
122 ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ
(Πολλαπλασιάσαμε αριθμητή και παρονομαστή με τη συζυγή παράσταση
του αριθμητή)
(β)
)35x)(2x(x
3)5x(lim)35x)(2x(x
)35x()35x(limx2x
35xlim22
222
2x22
22
2x23
2
2x
)35x)(2x(x)2x)(2x(lim
)35x)(2x(x4xlim
)35x)(2x(x95xlim
222x22
2
2x22
2
2x
61
244
)352(222
)35x(x2xlim
22222x
.
(Εφαρμόσαμε τεχνικές παραγοντοποίησης είτε με τη συζυγή παράσταση
που περιέχει τη ρίζα, είτε με παραγοντοποίηση πολυωνύμων)
(γ)
)x48x)(26x()26x()26x()x48x()x48x(lim
26xx48xlim
2x2x
)x48x)(2x(
)26x()4x2(lim)x48x)(46x()26x()x48x(lim
2x2x
62
)24(2x48x)26x(2lim
)x48x)(2x()26x()2x(2lim
2x2x
362
664
64
.
(Σε αυτό το παράδειγμα χρειάστηκε να πολλαπλασιάσουμε τόσο με τη
συζυγή παράσταση του αριθμητή, όσο και του παρονομαστή)
(δ)
1x2x212x3lim
1x1x22x3lim 2
2
1x2
2
1x
ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 123
1x2x2
)12x3()1x()12x3()12x3(lim
1x2x2
1x12x3lim 222
22
1x22
2
1x
1x2x2
)12x3()1x(3x3lim
1x2x2
)12x3()1x(1)2x3(lim 222
2
1x222
22
1x
1x
212x3
3lim)1x)(1x(
)1x(2)12x3()1x(
)1x(3lim21x22
2
1x
211
23
112
1233
.
(Το σταθερό αριθμό 1, στον αρχικό αριθμητή, τον «σπάσαμε» σε δύο
αριθμούς αντίθετους προς τα όρια 12x3lim 2
1x
και 2)x2(lim
1x
,
δηλαδή 1= 1+2)
Γ) Άλλες Άρρητες Μορφές
Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων:
ανβν=(αβ)(αν-1+αν-2β+αν-3β2+...+βν-1) , νn* αν+βν=(α+β)(αν-1αν-2β+αν-3β2...+βν-1) , όπου ν περιττός φυσικός
αριθμός
μπορούμε να υπολογίσουμε όρια μορφής 0/0 όταν υπάρχουν ρίζες τάξης
μεγαλύτερης του 2. Για παράδειγμα η συζυγής της παράστασης
33 είναι η )()( 33323 με την έννοια ότι το γινόμενο
των παραστάσεων αυτών είναι απαλλαγμένο από ρίζες:
3
33
33332333 )()( .
Παραδείγματα:
Παράδειγμα 11.2: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:
(α) 8x2xlim
3
8x
(β)
2xx62xlim
3
2x
.
124 ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ
Λύση:
(α)
]88xx[)8x(]88xx[)8x(lim
8x8xlim
8x2xlim 233323
23332333
8x
33
8x
3
8x
2333
238x2
3332
3
33
33
8x 88xx)8x(8xlim
88xx)8x(8xlim
2232333232333238x 23
183
18888
188xx
1lim
121
.
(β) Για τον υπολογισμό του ορίου 2x
x62xlim3
2x
εργαζόμαστε ως
εξής: Επειδή οι ρίζες έχουν διαφορετικές τάξεις, επιλέγουμε να τις
εκφράσουμε ως ρίζες που έχουν τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο
των ριζών τους. Πιο συγκεκριμένα εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό
6 32x2x και 6 23 x6x6 , διότι Ε.Κ.Π.(2,3)=6. Άρα
2x
x62xlim2x
x62xlim6 26 3
2x
3
2x
5
6 36 24
6 35
6 3
56 36 2
46 3
56 36 26 3
2xx6...x62x2x)2x(
x6...x62x2xx62xlim
56 36 2
46 3
56 3
66 26
6 3
2xx6...x62x2x)2x(
x62xlim
56 36 2
46 3
56 3
23
2xx6...x62x2x)2x(
x62xlim
ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 125
56 36 2
46 3
56 3
23
2xx6...x62x2x)2x(
28x5xlim...
56 36 2
46 3
56 3
2
2xx6...x62x2x)2x(
14x7x)2x(lim
56 36 2
46 3
56 3
2
2x x6...x62x2x
14x7xlim
5
6 36 24
6 35
6 3
2
26...262222
14272
61
2632
64632
64...64646432
556
566
46
56
.
Η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου x3+5x228 έγινε με Horner για
ρ=2.
Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την ταυτότητα:
5432234566 ββαβαβαβααβαβα , όπου θα
ισχύει ότι 2xα και 3 x6β .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο της f στο xo:
11.1) 2
2
xx11)x(f
, xo=0.
11.2) 35x22x)x(f
2
, xo= 2.
11.3) 4x5x
2x)x(f 2
, xo=4.
126 ΕΝΟΤΗΤΑ 11-ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ
11.4) 3x4x
22xx)x(f 2
2
, xo=1.
11.5) x7x5
x61x21)x(f2
2
, xo= 2.
11.6) 319x
2x)x(f3
3
, xo= 8.
11.7) 4x
25x1x4)x(f 2
3
, xo=2.
11.8)
1x
x1x)x(f 2 , xo=1.
11.9) 3
2
1x1x)x(f
, xo=1.
11.10) 37x26x)x(f
3
, xo=2.
11.11) x23xxx2x)x(f
2
23
, xo=1.
11.12) 1x1
x2x)x(f
, xo=0.
11.13)21x
3x2x3x4x)x(f
22
, xo=3.
11.14) xx
11x)x(f2
, xo=0.
11.15) x
1x1)x(f
, xo=0 ,νn*.
11.16) 1x1x)x(f
, xo=1 , όπου ν,μn*.
ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 127
ΕΝΟΤΗΤΑ 12η
Διάταξη και Όρια
Α) Βασικά Θεωρήματα Διάταξης
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
ΘΕΩΡΗΜΑ 12.1
Αν 0)x(flimoxx
, τότε f(x)>0 κοντά στο xo.
Αν 0)x(flimoxx
, τότε f(x)<0 κοντά στο xo.
Απόδειξη: Αποδεικνύεται με τη βοήθεια του ορισμού. Βλέπε και λυμένο παράδειγμα 6.7. Όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα ισχύει 0)x(flim
oxx
, άρα και f(x)>0
κοντά στο xo.
ΘΕΩΡΗΜΑ 12.2
Έστω ότι για τις συναρτήσεις f και g υπάρχουν τα όρια στο xo. Αν ισχύει ότι f(x)≤g(x) κοντά στο xo, τότε θα ισχύει )x(glim)x(flim
oo xxxx .
Απόδειξη: Κοντά στο xo έχουμε ότι f(x)≤g(x) f(x)g(x)≤0. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)= f(x)g(x) η οποία προφανώς ορίζεται κοντά στο xo. Επειδή τα όρια των f και g υπάρχουν στο xo, τότε θα υπάρχει και το όριο της h, και θα ισχύει ότι
)x(glim)x(flim)x(g)x(flim)x(hlimoooo xxxxxxxx
.
Επίσης από υπόθεση, έπεται ότι h(x)≤0 κοντά στο xo. Έστω ότι 0)x(hlim
oxx
. Τότε από το θεώρημα 12.1 (α) θα ισχύει ότι h(x)>0 κοντά
στο xo, δηλαδή f(x)>g(x) κοντά στο xo άτοπο. Επομένως )x(glim)x(flim0)x(hlim
ooo xxxxxx .
128 ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ
Το διπλανό σχήμα δείχνει μία περίπτωση στην οποία αναφέρεται το προηγούμενο θεώρημα: Ωστόσο βλέπουμε ότι αν f(x)<g(x) κοντά στο xo, τότε δεν έπεται οπωσδήποτε ότι θα ισχύει και )x(glim)x(flim
oo xxxx .
Δηλαδή η γνήσια ανισότητα μεταξύ των συναρτήσεων δεν μεταφέρεται κατ' ανάγκη και στα όρια. Πράγματι, οι δύο συναρτήσεις στο διπλανό σχήμα, έχουν το ίδιο όριο στο xο. Μία κλασική εφαρμογή των θεωρημάτων διάταξης συναντάμε σε παραστάσεις με απόλυτες τιμές, όταν τα όρια των τελευταίων δεν μηδενίζονται.
Λύση: Ισχύει ότι
1x
31xxlim1x
31xxlim
3
1x
3
1x
41x
)2xx()1x(lim1x
2xxlim2
1x
3
1x
, διότι ισχύει ότι
03)1xx(lim 3
1x
και άρα θα ισχύει x3+x+1>0 κοντά στο xo=1.
Επομένως 1xx1xx 33 κοντά στο xo=1.
(Αν το όριο της απόλυτης τιμής μηδενίζεται, τότε πρέπει να γράψουμε την άσκηση χωρίς απόλυτες τιμές και ενδεχομένως να θεωρήσουμε πλευρικά όρια (βλ. και προηγούμενη ενότητα.)
Παράδειγμα 12.1: Να υπολογιστεί το όριο 1x
31xxlim
3
1x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 129
Β) Κριτήριο Παρεμβολής Ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
ΘΕΩΡΗΜΑ 12.3
Έστω ότι για τις συναρτήσεις f, g και h ισχύει ότι g(x)≤f(x)≤h(x) κοντά στο xo. Αν επιπλέον ισχύει ότι L)x(hlim)x(glim
oo xxxx
, τότε
η f έχει επίσης όριο στο xo και θα ισχύει ότι L)x(flimoxx
.
Απόδειξη: Αποδεικνύεται με τη βοήθεια του ορισμού. Η απόδειξη παραλείπεται. Η προηγούμενη πρόταση ονομάζεται Κριτήριο Παρεμβολής, είναι όμως γνωστή και ως Θεώρημα Sandwich.
Στο παραπάνω σχήμα, η συνάρτηση f(x)=xημx «εγκλωβίζεται» από τις
xxh )( και xxg )( , διότι g(x)≤f(x)≤h(x) xR. Επειδή επιπλέον ισχύει ότι 0xgxh
0x0x
)(lim)(lim , έπεται ότι και 0xf
0x
)(lim .
Λύση: (α) Επειδή 9xlim18)x6(lim 2
3x3x
, τότε από το κριτήριο
παρεμβολής έπεται ότι 18)x(flim3x
.
Παράδειγμα 12.2: Έστω ότι για τη συνάρτηση f ισχύει ότι 6x≤f(x)≤x2+9 για κάθε xR. (α) Να υπολογιστεί το όριο )x(flim
3x.
(β) Να υπολογιστεί το όριο 3x18)x(f
lim3x
.
130 ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ
(β) Για x>3 ισχύει:
189x18)x(f18x69x)x(fx6 22
3x3x18)x(f6)3x)(3x(18)x(f)3x(6
3x
. Επειδή
3xlim6)6(lim3x3x
, τότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι
63x18)x(flim
3x
.
Για x<3 εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο και προκύπτει επίσης ότι
63x18)x(flim
3x
.
Άρα 63x18)x(flim
3x
.
Λύση: Θέτουμε 1x
x4)x(f)x(g2
η οποία ορίζεται x, με x1. Τότε
για x1 ισχύει ότι 222 1x)x(g1x1x)x(g . Επειδή
74
251
2
)25x(
)1x(xlim2
1x
, τότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται
ότι 0)x(glim1x
.
Επιπλέον, για x1 ισχύει ότι f(x)=g(x)·(x1)+4x2. Άρα έχουμε ότι:
25x)1x(2
25x)1x(25x3x2 2 .
Με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής μπορούμε να αποδείξουμε και την παρακάτω πρόταση που αναφέραμε και στην ενότητα 7 (βλ. και άσκηση (12.11):
Παράδειγμα 12.3: Έστω ότι για τη συνάρτηση f:RR ισχύει ότι
1x2x1x
x4)x(f 22
για κάθε πραγματικό αριθμό x, με x1. Να
βρεθεί το όριο )x(flim1x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 131
Πρόταση: Έστω LR. Τότε ισχύει η ισοδυναμία
0L)x(flimL)x(flimoo xxxx
.
ΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
12.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν:
(α) 2x
46x5xlim
3
2x
(β)
3x25x2
lim3
3x
(γ) 35x
74x2x13lim
22x
(δ) 1x
x31xxlim
2
1x
(ε) 5x
5x4x5xlim
2
5x
12.2) Έστω συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει 1x2≤f(x)≤1+x2
xR.
(α) Να υπολογίσετε την τιμή f(0).
(β) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο xo=0.
TIP !!!
Είναι χρήσιμο να θυμόμαστε τις παρακάτω
ανισότητες που σχετίζονται με απόλυτες τιμές:
(α) , όπου Β≥0.
(β)
132 ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ
(γ) Να υπολογίσετε το όριο x
1)x(flim0x
.
12.3) Έστω συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει xx2≤f(x)≤x xR.
(α) Να δείξετε ότι f(0)=0.
(β) Να υπολογίσετε τα όρια )x(flim0x
και x
)x(flim0x
.
12.4) Έστω συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει
3x1≤f(x)≤ x+x2xR. Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )x(flim1x
(β) 1x
)1(f)x(flim1x
.
12.5) Έστω συνάρτηση f για την οποία ισχύει
1xx2x
x2)x(f 2
xR{2}. Να υπολογίσετε τo όριο )x(flim2x
.
12.6) Αν ισχύει ότι x2x)x(f 2 xR, τότε να υπολογίσετε το όριο
)x(flim0x
.
12.7) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β, ώστε για τη
συνάρτηση 2x3x
43x1x)x(f 2
να ισχύει ότι L)x(flim
2x
R.
Ύστερα, να υπολογίσετε τον αριθμό L.
12.8) Να αποδείξετε την ισοδυναμία 0)x(flim0)x(flimoo xxxx
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 12-ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ 133
12.9) (α) Αν ισχύει ότι f(x)≥0 και g(x)≥0 κοντά στον αριθμό xo και
επιπλέον ότι 0)x(g)x(flimoxx
, τότε να αποδείξετε ότι
0)x(glim)x(flimoo xxxx
.
(β) Αν ισχύει ότι 0)x(g)x(flim 22
xx o
, τότε να αποδείξετε ότι
0)x(glim)x(flimoo xxxx
.
(γ) Αν ισχύει ότι x5)x(g4)x(f2)x(g)x(f 22 xR, να
υπολογίσετε τα όρια )x(flim0x
και )x(glim0x
.
12.10) Θεωρώντας γνωστή την ανισότητα ημx<x<εφx x
2,0 , να
αποδείξετε ότι:
(α) 1x
xx
x
2,00,
2.
(β) 1x
xlim0x
.
12.11) Να αποδείξετε την ισοδυναμία 0L)x(flimL)x(flim
oo xxxx
,
όπου LR.
134 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
ΕΝΟΤΗΤΑ 13η
Όριο Σύνθετης Συνάρτησης-
Τριγωνομετρικά Όρια
Α) Όριο Σύνθετης Συνάρτησης
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα
ΘΕΩΡΗΜΑ 13.1 (Αλλαγή μεταβλητής σε όριο)
Έστω δύο συναρτήσεις f και g. Αν ισχύουν οι παρακάτω τρεις
συνθήκες:
oxxu)x(glim
o
R.
g(x)uo κοντά στο xo. L)u(flim
ouu
R.
Τότε L)x)(fog(limoxx
.
Παραδείγματα:
Λύση: Για να υπολογίσουμε το όριο 1x
1xlim1x
, θέτουμε u=x1. Τότε
για x1 έπεται ότι u11=0 *. Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα θα ισχύει
ότι 0ulim
u
uulimuu
uulimu
ulim1x
1xlim0u20u0u0u1x
.
* Για την ακρίβεια το όριο 1x
1xlim1x
ταυτίζεται με το όριο 1x
1xlim1x
,
διότι η συνάρτηση όριζεται για x>1. Οπότε για x1+, τότε u0+.
Παράδειγμα 13.1: Να υπολογιστεί το όριο 1x
1xlim1x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 135
Λύση: Έστω από υπόθεση ότι L)x(flim
7x
R. Επειδή
,8)3x(flim 2
2x
τότε για να υπολογίσουμε το όριο )x(flim
7x
εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u=x2+3. Τότε για x2, έπεται ότι u22+3=7. Άρα εφαρμόζοντας το θεώρημα αλλαγής μεταβλητής έχουμε ότι
L)u(flim)3x(flim7u
2
2x
και από υπόθεση ισχύει 8)3x(flim 2
2x
.
Άρα L=8, δηλαδή 8)x(flim)u(flim7x7u
.
Σημαντική Παρατήρηση: Στις υποθέσεις του προηγούμενου παραδείγματος ήταν απαραίτητο να αναφερθεί η ύπαρξη του ορίου
)x(flim7x
. Αυτό συμβαίνει, διότι η ύπαρξη του ορίου )3x(flim 2
2x
δεν
εξασφαλίζει απαραίτητα και την ύπαρξη του ορίου )x(flim7x
. Για να το
κατανοήσουμε λίγο καλύτερα αυτό, ας δούμε τη δομή του αρχικού θεωρήματος:
(ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΕ ΟΡΙΟ)
Υπόθεση:
(α) oxxu)x(glim
o
R.
(β) g(x)uo κοντά στο xo. (γ) L)u(flim
ouu
R.
Συμπέρασμα: L)x)(fog(limoxx
.
Παράδειγμα 13.2: Έστω ότι 8)3x(flim 2
2x
και έστω ότι υπάρχει
το όριο )x(flim7x
R. Να υπολογιστεί το όριο )x(flim7x
.
136 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
Στο προηγούμενο παράδειγμα αν δεν ήταν απαραίτητη η αναφορά της ύπαρξης του ορίου )x(flim
7x στην υπόθεση, τότε για την εύρεσή του, θα
έπρεπε να ισχύει η παρακάτω πρόταση η οποία είναι αντίστροφη της αρχικής και η οποία όμως όπως θα δούμε είναι λανθασμένη:
(ΑΥΤΗ Η ΠΡΟΤΑΣΗ ΕΙΝΑΙ ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΗ !!!)
Υπόθεση:
(α) oxxu)x(glim
o
R.
(β) g(x)uo κοντά στο xo.
(γ) L)x)(fog(limoxx
R.
Συμπέρασμα: L)u(flimouu
R.
Ας αποδείξουμε αμέσως παρακάτω για ποιο λόγο είναι λάθος η προηγούμενη πρόταση:
Λύση: Έστω οι συναρτήσεις
0x,x10x,x)x(f και 2x)x(g .
Εύκολα παρατηρούμε ότι 0)x(glim0x
. Επίσης βλέπουμε ότι
Παράδειγμα 13.3: Έστω ότι για δύο συναρτήσεις f και g ισχύουν οι
παρακάτω συνθήκες: (α) oxxu)x(glim
o
R, (β) g(x)uo κοντά στο
xo και (γ) L)x)(fog(limoxx
R.
Να αποδειχτεί ότι το όριο )u(flimouu
ενδέχεται και να μην υπάρχει.
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 137
xx)x(f)x)(fog( 20x
22
και άρα θα ισχύει ότι
0xlim)x)(fog(lim0x0x
. Ωστόσο το όριο )u(flim0u
δεν υπάρχει, διότι τα
πλευρικά όρια της f για u0 είναι διαφορετικά. Σχόλιο: Θα ήταν λοιπόν λάθος για τις παραπάνω συναρτήσεις να γράφαμε: « ... επειδή 0)x(flim 2
0x
, θέτω u=x2. Για x0, τότε u0. Άρα
)u(flim)x(flim0u
2
0x . Επομένως 0)u(flim
0u
.»6
(το λάθος ξεκινά από αυτό το σημείο.) Λύση: Μία κλασική εφαρμογή υπολογισμού ορίου με αλλαγή μεταβλητής έχουμε στην περίπτωση ριζών με διαφορετική τάξη και κοινή υπόρριζη ποσότητα. Προκειμένου να υπολογίσουμε λοιπόν το όριο
64
3
4x x5x55x54x5lim
θεωρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των
τάξεων των ριζών, δηλαδή τον αριθμό Ε.Κ.Π.(2,3,4,6)=12. Κατόπιν θέτουμε 12 x5u . Θεωρώντας τη ρίζα με τάξη το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων, μπορούμε να εκφράσουμε τις αρχικές ρίζες σε συνάρτηση της νέας μεταβλητής u: 6 Η σχολαστικότητά μας στο να τονίσουμε αυτή τη λανθασμένη μεθοδολογία, έχει να κάνει με το γεγονός ότι οι μαθητές πολύ συχνά εφαρμόζουν μηχανικά τέτοιους μετασχηματισμούς αλλαγής μεταβλητής, χωρίς να ελέγχουν αν ικανοποιείται η τρίτη συνθήκη του αρχικού θεωρήματος. Ωστόσο με τη βοήθεια του ορισμού μπορεί να αποδειχθεί ότι όταν η εσωτερική συνάρτηση g της εκφώνησης στο 13.3 είναι γραμμική, δηλαδή g(x)=αx+β, τότε ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος αλλαγής μεταβλητής, δηλαδή θα υπάρχει το όριο )u(flim
ouu.
Παράδειγμα 13.4: Να υπολογιστεί το όριο64
3
4x x5x55x54x5lim
138 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
6612 ux5x5 .
44123 ux5x5 .
33124 ux5x5 .
22126 ux5x5 .
Επίσης για x4, έπεται ότι 145u 12 . Άρα έχουμε ότι:
)1u(u
)5u5u5u5uu()1u(limuu
5u4ulimx5x5
5x54x5lim 2
2345
1u23
46
1u64
3
4x
22122
.
Β) Τριγωνομετρικά Όρια Όπως έχουμε αναφέρει σε προηγούμενο μάθημα, οι συναρτήσεις f(x)=ημx και g(x)=συνx είναι συνεχείς για κάθε xoR, δηλαδή ισχύει ότι
oxxxημxημlim
o
και oxxxσυνxσυνlim
o
xoR. Επίσης ισχύουν τα όρια
1xxημlim
0x
και 0
x1xσυνlim
0x
. Οι αποδείξεις βρίσκονται στο σχολικό
βιβλίο. Άμεσες συνέπειες των δύο πρώτων ορίων είναι ότι
oo
oxxxxxx
xεφxσυνxημlim
xσυνxημlimxεφlim
ooo
2πκπxo , κ Z.
oo
oxxxxxx
xσφxημxσυνlim
xημxσυνlimxσφlim
ooo
κπxo , κ Z.
Παραδείγματα:
Παράδειγμα 13.5: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:
(α) x
x5ημlim0x
(β) x
x4συν1lim3
0x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 139
Λύση:
(α) 515u
uημ5limx5
x5ημ5limx
x5ημlim0u
x5u
0x0x
, διότι αν u=5x
τότε για x0 έπεται ότι και u0.
(β)
x4
x4συνx4συν1x4συν14limx
x4συν1lim2
0x
3
0x
uσυνuσυν1lim
uuσυν1lim4
uuσυνuσυν1uσυν14lim 2
0x0u
2
0u
x4u
=4·0·3=0.
Λύση:
Για x>0 ισχύει ότι
xx2x3
x)x(f
xx7x2 22
2x3x
)x(fx72 . Επειδή )2x3(lim2)x72(lim0x0x
, έπεται
ότι 2x
)x(flim0x
.
Όμοια αποδεικνύεται ότι 2x
)x(flim0x
. Άρα 2x
)x(flim0x
.
2112
xxημ
1x
)x(flimxημ
xx
)x(flimxημ)x(flim
0x0x0x
.
Γ) Οριακά μηδενική συνάρτηση επί φραγμένη
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f:ΑR. Η f λέγεται φραγμένη σε ένα
σύνολο ΒΑ αν υπάρχει θετικός αριθμός Μ, ώστε να ισχύει
M)x(f xΒ. Αν Β=Α, τότε λέμε απλώς ότι η f είναι φραγμένη.
Παράδειγμα 13.6: Έστω ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει
ότι 2x7x2≤f(x)≤3x2+2x. Να βρεθούν τα όρια x
)x(flim0x
και xημ)x(flim
0x
140 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=ημx είναι φραγμένη, διότι 1≤ημx≤1 1xημ xR (M=1). Πρόταση 13.1: Αν οι συναρτήσεις f και g ορίζονται κοντά στο xo, ώστε η g να είναι φραγμένη κοντά στο xo και να ισχύει 0)x(flim
oxx
,
τότε ισχύει ότι 0)x(g)x(flimoxx
.
Απόδειξη: Από υπόθεση, υπάρχει θετικός αριθμός Μ, ώστε M)x(g κοντά στο xo. Τότε ισχύει ότι:
M)x(f)x(g)x(f)x(fMM)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f κοντά στο xo. Επειδή 0)x(fΜlim
oxx
, τότε από κριτήριο
παρεμβολής έπεται ότι 0)x(g)x(flimoxx
.
Λύση: Ισχύει ότι 0x1ημx2xlim 2
0x
, διότι
1x2xx1ημx2x
x1ημx2x 222
x2xx1ημx2xx2x 222 και επειδή 0x2xlim 2
0x
,
από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι 0x1ημx2xlim 2
0x
.
Δ) Η ανισότητα xxημ .
Πρόταση 13.2: Ισχύει η ανισότητα xxημ xR, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0.
Παράδειγμα 13.7: Να υπολογιστεί το όριο 0x1ημx2xlim 2
0x
.
Παράδειγμα 13.8: Να λυθεί η εξίσωση ημ(x22x)+x2=2x.
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 141
Λύση: ημ(x22x)+x2=2x ημ(x22x)= (x22x). Από την προηγούμενη πρόταση ισχύει 0ΑΑΑημ . Όμως ισχύει ακόμη ότι
ΑΑημήAΑημΑΑημ . Άρα αποδείξαμε τη διαδοχική
ισοδυναμία 0ΑΑΑημήAΑημΑΑημ . Σύμφωνα με την παραπάνω διαπίστωση θα ισχύει ότι ημ(x22x)= (x22x) x22x=0 x·(x2)=0 x=0 ή x=2. Λύση: Ισχύει ότι ημ(x22x)x2 < 2x ημ(x22x) < x22x (1). Εφαρμόζοντας την ανισοτική πρόταση έπεται ότι:
x2x)x2x(ημx2xx2x)x2x(ημ 22222 xR.
Διακρίνουμε περιπτώσεις: (α) Αν x22x<0 x·(x2)<0 0<x<2 (γιατί;). Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι x22x<ημ(x22x)<(x22x), δηλαδή ημ(x22x)>x22x το οποίο απορρίπτεται από την (1). (β) Αν x22x=0 x·(x2)=0 x=0 ή x=2, τότε από την παραπάνω πρόταση ισχύει ότι ημ(x22x) = x22x το οποίο απορρίπτεται επίσης από την (1). (γ) Αν x22x>0 x·(x2)>0 x<0 ή x>2. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ότι (x22x)<ημ(x22x)<x22x, δηλαδή ημ(x22x)<x22x το οποίο είναι δεκτό. Άρα ημ(x22x)x2 <2x x<0 ή x>2.
Παράδειγμα 13.9: Να λυθεί η ανίσωση ημ(x22x)x2 < 2x.
142 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
13.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν:
(α) x
x30x
lim (β) xx
0x
lim (γ) x2x4
0x
lim (δ)
xxx
0xlim
(ε) xx
x30x
lim (στ)
24x5x5
0x
lim (ζ)
x1x2
x
lim (η)
x5x2
0x
lim
(θ) x2
x1 2
0x
lim
13.2) Όμοια:
(α) )()(lim
x2x3
0x
(β)
xxx
0x
lim (γ)
)(lim
x33xx2
2x
(δ) 2
2
0x xxx3x
lim (ε)
x1xx
0x
lim (στ)
22
0x xxx3x
lim
(ζ) x
xx2
3
0x
lim (η)
)(
lim1x
23x1x
(θ)
2
2
0x xx
lim
(ι)
x
xσυν1συν1lim0x
13.3) Όμοια:
(α) 2xxx
1x1x
lim (β) 1xxx
4
3
1x
lim (γ)
11x21x1x
6
3
2x
lim
(δ) 23x3x
1x3x32x
lim
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 143
13.4) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει 611xxxf
0x
)(lim . Να
υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
(α) )(lim xf0x
(β) xxf
0x
)(lim
(γ) 24xxxxf
2
2
0x
)(lim
13.5) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει ημ2x≤f(x)+2xσυνx<x2
xR. Να υπολογίσετε τα όρια: (α) )(lim xf0x
και (β) 20x xx2xf
)(lim .
13.6) Έστω συνάρτηση f:RR και πραγματικός αριθμός L, ώστε να
ισχύει Lxf0x
)(lim και f(x)·ημx≤2x+ημ3x xR. Να υπολογίσετε
τον πραγματικό αριθμό L.
13.7) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει xxx3xf )(
xR. Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) xxf
0x
)(lim
(β) xx2f
0x
)(lim
(γ) x3
x5f0x
)(lim
(δ) 11xxxf
xx3fxfx520x
)(
)()(lim
13.8) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει 3xxf
0x
)(lim . Να
υπολογίσετε το όριο xxxf
xxxxfxf222
2
0x
)()()(lim .
144 ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ
13.9) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν:
(α)
x1x
0xlim (β)
x1x
0xlim (γ)
x1
xxx
0xlim
(δ)
x3xx3124x
2
2
0xlim
13.10) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει Lxxf
0x
)(lim R. Να
υπολογίσετε το όριο x
xf0x
)(lim
όπου αR*.
13.11) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει f(α+β)=f(α)+f(β)
α,βR και 2xxf
0x
)(lim . Να υπολογίσετε το όριο 1x
1fxf1x
)()(lim .
13.12) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει L)hx(flim o0h
R.
Να αποδείξετε ότι 0)hx(f)hx(flim oo0h
.
13.13) Έστω α, xo, LR, με L)x(flimoxx
. Να αποδείξετε ότι ισχύει η
ισοδυναμία: Lh
α)hx(flimLxx
α)x(flim o0hoxx o
.
13.14) Έστω συνάρτηση f:RR περιττή, ώστε για κάθε x>0 να ισχύει
22x8x4xf4x4xx 22
2
)()( .
Να υπολογίσετε τα όρια: (α) )(lim xf2x
και (β) )(lim xf2x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 13-ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 145
13.15) Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και ισχύει ότι
5x3xf 2
2x
)(lim , τότε να υπολογίσετε το όριο )(lim xf
2x .
13.16) Έστω ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Να υπολογίσετε το όριο:
(α) xfoxx
lim αν ισχύει ότι Lxfoxx
lim R.
(β) xf3x
lim αν ισχύει ότι 45x2)x(flim3x
.
13.17) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει 5xfxf2x
)()(lim .
Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )()(lim xfxf2x
(β) )(lim xf2x
αν είναι γνωστό ότι 3xf2x
)(lim .
13.18) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει f(x)=f(1x) xR και
12x
4xf2x
)(lim . Να υπολογίσετε το όριο )(lim xf1x
.
13.19) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει
f(x+y)=f(x)συνy+f(y)συνx x,yR (1) και 0)x(flim0x
(2).
(α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.
(β) Να υπολογίσετε το όριο )(lim xfx
, όπου αR.
(γ) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f η οποία να ικανοποιεί τη
συνθήκη (1), αλλά να ισχύει ότι L)x(flim0x
R με L0.
13.20) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις:
(α) ημ(x25x+6)x2=65x. (β) ex+x3=1+ημ(ex+x31)
(γ) ημ(x32x+1)+2x<x3+1
146 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
ΕΝΟΤΗΤΑ 14η
Μη Πεπερασμένο όριο στο xoR
Α) Η έννοια του Άπειρου Ορίου
Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε ότι όσο το x πλησιάζει το xo, τότε oι
τιμές των συναρτήσεων αυξάνονται απεριόριστα, δηλαδή οι τιμές των
συναρτήσεων f γίνονται μεγαλύτερες από οποιοδήποτε θετικό αριθμό Μ,
για x αρκετά κοντά στο xo:
Σε αυτή την περίπτωση
γράφουμε ότι
)x(flim1x
.
Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε ότι
)x(flim
0x.
Όπως φαίνεται και στη δεύτερη περίπτωση, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να είναι μονότονη στα διαστήματα που ορίζονται εκατέρωθεν του xo.
Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε ότι όσο το x πλησιάζει το xo, τότε oι
τιμές των συναρτήσεων μειώνονται απεριόριστα, δηλαδή οι τιμές των
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 147
συναρτήσεων f και g γίνονται μικρότερες από οποιοδήποτε αρνητικό
αριθμό Μ, για x αρκετά κοντά στο xo:
Και στις δύο περιπτώσεις γράφουμε ότι
)x(flimoxx
.
Ο τυπικός ορισμός του άπειρου ορίου στο xo έχει ως εξής: Για παράδειγμα, στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ότι αν θεωρήσουμε έναν οποιοδήποτε θετικό αριθμό Μ, τότε μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο της μορφής A=(xoδ,xo)(xo,xo+δ), ώστε η τιμή f(x) να είναι μεγαλύτερη από τον αριθμό Μ>0 xA: Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν xxo
και xxo+.
Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής
(α,xo)(xo,β). Τότε ορίζουμε:
)x(flimoxx
, όταν για κάθε Μ>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για
κάθε x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) να ισχύει f(x)>M.
)x(flim
oxx, όταν για κάθε Μ>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε για
κάθε x(xoδ,xo)(xo,xo+δ) να ισχύει f(x)<M.
148 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
Όπως και στα πεπερασμένα όρια, έτσι και εδώ, αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο της μορφής (α,xo)(xo,β), τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:
)x(flim)x(flim)x(flim
ooo xxxxxx.
)x(flim)x(flim)x(flimooo xxxxxx
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 149
B) Ιδιότητες Μη Πεπερασμένων Ορίων Με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες:
Αν
)x(flimoxx
, τότε f(x)>0
κοντά στο xo.
Αν
)x(flimoxx
, τότε f(x)<0
κοντά στο xo. Αν
)x(flim
oxx, τότε
)x(flimoxx
.
Αν
)x(flimoxx
, τότε
)x(flimoxx
.
Αν
)x(flimoxx
ή (), τότε 0)x(f
1limoxx
.
Αν 0)x(flimoxx
και f(x)>0 κοντά
στο xo, τότε )x(f
1limoxx
.
Αν 0)x(flimoxx
και f(x)<0 κοντά
στο xo, τότε )x(f
1limoxx
.
Αν
)x(flimoxx
ή (), τότε
)x(flimoxx
.
Αν
)x(flimoxx
, τότε
kxx
)x(flimo
.
Εφαρμογές:
1)
0/1ήμορφ
0xστοάκοντ
0xμε20x
o
2x1lim
Γενικά ισχύει ότι
ν20x x
1lim . (Αν νn, τότε
παρατηρήστε ότι ο αριθμός 2ν είναι άρτιος.)
150 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
2)
0/1ήμορφ
0στοάκοντ0xμε0x x
1lim
και
0/1ήμορφ
0στοάκοντ0xμε0x x
1lim .
Άρα δεν υπάρχει το όριο x1lim
0x.
Γενικά ισχύει ότι 1ν20x x1lim και 1ν20x x
1lim .
(Αν νn, τότε παρατηρήστε ότι ο αριθμός 2ν+1 είναι περιττός.) Γ) Πράξεις με Μη Πεπερασμένα Όρια Για τα όρια αθροίσματος και γινομένου αποδεικνύονται τα παρακάτω:
ΠΙΝΑΚΑΣ Ι
Αν
)x(flimoxx
αR αR + +
Και αν
)x(glimoxx
+ + +
Τότε
)x(g)x(flim
oxx + + ; ;
ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΙ
Αν
)x(flimoxx
α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + +
Και αν
)x(glimoxx
+ + + + +
Τότε
)x(g)x(flim
oxx + + ; ; + +
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 151
Στους παραπάνω πίνακες, όπου υπάρχει ερωτηματικό, το όριο αν υπάρχει εξαρτάται από τις εκάστοτε συναρτήσεις και για αυτό λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Δηλαδή απροσδιόριστες μορφές είναι οι
(+)+() και 0·(). Επειδή fg=f+(g) και g1f
gf , τότε προκύπτει
ότι απροσδιόριστες μορφές είναι επίσης οι (+)(+), ()(), 00 ,
, όπου στο τελευταίο κλάσμα τα πρόσημα στον αριθμητή και
παρονομαστή δεν είναι κατ' ανάγκη σε αντιστοιχία, (π.χ. μπορούμε να έχουμε το «+» στον αριθμητή και το «» στον παρονομαστή). Ας δούμε τώρα δύο παραδείγματα ορίων της μορφής (+)(+) με διαφορετικό αποτέλεσμα:
Λύση: Παρατηρούμε ότι
20x0x x1lim)x(flim και
)1()(ήμορφ
20x0x1
x1lim)x(glim . Όμως f(x)g(x)=1. Επομένως έχουμε
ότι ισχύει 11lim)x(g)x(flim0x
)()(ήμορφ
0x
.
Παράδειγμα 14.1: Έστω οι συναρτήσεις 2x1)x(f και 1
x1)x(g 2 .
Να υπολογιστεί το όριο )x(g)x(flim0x
.
152 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
Λύση: Παρατηρούμε εύκολα ότι
)x(glim)x(flim
0x0x και η διαφορά
42
4
2
24 x1x1
xx1
x1
x1)x(f)x(g
. Τότε έχουμε το όριο:
)(1ήμορφ
42
0x
)()(ήμορφ
0x x1x1lim)x(f)x(glim , διότι 1x1lim 2
0x
και 40x x
1lim .
Από τα δύο παραδείγματα στα οποία τα όρια έχουν την ίδια μορφή αλλά διαφορετικό αποτέλεσμα, δικαιολογείται ο όρος απροσδιόριστη μορφή. Ένας τρόπος για να υποψιαστούμε διαισθητικά ότι ένα όριο της μορφής (+)(+) έχει ως αποτέλεσμα το είναι παρατηρώντας τη διαφορά d=f(x)g(x) ή d=g(x)f(x). Στο πρώτο παράδειγμα η διαφορά d ήταν σταθερή και το όριο είχε ως αποτέλεσμα αυτή τη διαφορά. Στο δεύτερο παράδειγμα η διαφορά d συνεχώς μεγάλωνε και το αποτέλεσμα του ορίου όπως είδαμε ήταν +. Ωστόσο αν η διαφορά d αυξάνεται για xxo, δεν έπεται οπωσδήποτε ότι το όριο θα ισούται με + ή . Προσοχή!!! Όπως έχει αναφερθεί και στην ενότητα 10, είναι λάθος να γράφουμε
)x(flim
oxx(απροσδιόριστη μορφή).
Παράδειγμα 14.2: Έστω οι συναρτήσεις 2x1)x(f και 4x
1)x(g . Να
υπολογιστεί το όριο )x(g)x(flim0x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 153
Για παράδειγμα είναι λάθος να γράφουμε )()(x1
x1lim 420x
,
διότι μετά το "=" πρέπει να ακολουθεί το αποτέλεσμα του ορίου και όχι η μορφή του7. Μπορούμε όμως την απροσδιόριστη μορφή του ορίου να την αναφέρουμε πάνω από το "=" όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα. Λύση: Ισχύει ότι :
)()1(ήμορφ
2
2x
01
ήμορφ
2
2x 2x13x4xlim
2x3x4xlim , διότι:
13x4xlim 2
2x
και
2x1lim
2x, αφού 02xlim
2x
και 2x >0 κοντά στο xo=2.
(Σε όρια της μορφής 0α , όπου α0, χωρίζουμε το όριο στη μορφή
01α
και υπολογίζουμε ξεχωριστά το όριο της μορφής 01 , εφόσον υπάρχει.
Αυτό θα συμβαίνει εφόσον ο παρονομαστής έχει σταθερό πρόσημο
κοντά στο xo.)
Λύση: Παρατηρούμε ότι κοντά στο xo=1, ο παρονομαστής δεν έχει
σταθερό πρόσημο.
7 Δεν πρέπει να συγχέουμε την απροσδιόριστη μορφή ενός ορίου με το αποτέλεσμά του.
Παράδειγμα 14.3: Να υπολογιστεί το όριο 2x
3x4xlim2
2x
.
Παράδειγμα 14.4: Να εξεταστεί αν υπάρχει το όριο 1x
x2xlim3
1x
.
154 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
Σε αυτή την περίπτωση θέτουμε
1xx2x)x(f
3
1x
1x2x3
και
υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια:
)()1(ήμορφ
1x)x(flim , διότι 1x2xlim 3
1x
και
1x1lim
1x αφού
x1<0 για x<1 (εναλλακτική έκφραση: για x κοντά στο 1 ).
)()1(ήμορφ
1x)x(flim , διότι 1x2xlim 3
1x
και
1x1lim
1x αφού
x1>0 για x>1 (εναλλακτική έκφραση: για x κοντά στο 1+).
(Συνήθως εργαζόμαστε με πλευρικά όρια σε όρια της μορφής 0α , όπου
α0, όταν το πρόσημο του παρονομαστή δεν είναι σταθερό κοντά στο
xo.)
Δ) Το σύνολο R
Ως R ορίζουμε το σύνολο R{,+} και διαβάζεται θήκη του R. Το
σύνολο R είναι εφοδιασμένο με τις πράξεις όπως ορίστηκαν στους
πίνακες με τις πράξεις με τα μη πεπερασμένα όρια. Για παράδειγμα
ισχύει ότι 5+()= , (+)+(+)=+, 0α
αR, ενώ δεν
ορίζονται οι πράξεις (+)(+), 0·() κ.τ.λ. Επιπλέον αR ορίζουμε
να ισχύει <α<+.
Στο τρέχον σχολικό βιβλίο το σύνολο R δεν αναφέρεται. Ωστόσο υπήρχε
αναφορά σε παλαιότερα σχολικά βιβλία. Αυτό μας επέτρεπε να
γράφουμε π.χ.
)()1(...)x(flimoxx
. Στο τωρινό σχολικό
βιβλίο, επειδή δεν αναφέρεται το σύνολο R , δεν έχει νόημα να
γράφουμε την παράσταση (1)·(+) παρά μόνο σαν μορφή ορίου.
Δηλαδή η προηγούμενη έκφραση, για να είναι συμβατή με την ύλη του
τωρινού σχολικού βιβλίου πρέπει να γραφτεί ως εξής:
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 155
)()1(ήμορφ
xx...)x(flim
o
. Ωστόσο για λόγους πρακτικούς και για λόγους
συνήθειας θα μπορούμε να εκφραζόμαστε όπως και στην πρώτη μορφή.
Πάντα όμως ισχύει ο περιορισμός ότι μετά το σύμβολο της ισότητας δεν
μπορούμε να γράφουμε πράξεις που παραπέμπουν σε απροσδιόριστες
μορφές.
Λύση: Έχουμε ότι
1x1
3x1x
1x3lim
)3x)(1x(1x
1x3lim
3x2x1x
1x3lim
2
1x
2
1x2
2
1x
)(25
ήμορφ
**
2
1x
2
1x
)(21)(ήμορφ
* 1x1
3x8x3xlim
)3x)(1x(1x)3x(3lim ,
διότι:
* (α)
)(3ήμορφ
1x1x 1x13lim
1x3lim , αφού 01xlim
1x
και x1>0
για x>1.
(β)
)(3111
ήμορφ
2
1x
2
1x1
3x1xlim .
** 25
410
318131
3x8x3xlim
22
1x
.
Παράδειγμα 14.5: Να υπολογιστεί το όριο
3x2x
1x1x
3lim 2
2
1x.
Παράδειγμα 14.6: Να υπολογιστεί το όριο 22
1x 1x1xλxlim
, για τις
διάφορες τιμές του λR.
156 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
Λύση: Θέτουμε
2
22
2
1x11xλx
1x1xλx)x(f
. Παρατηρούμε
ότι λ21xλxlim 2
1x
και
21x 1x1lim , αφού 01xlim 2
1x
και
(x1)2>0 κοντά στο xo=1. Επομένως το όριο της συνάρτησης f είναι της
μορφής (2λ)·(+). Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Για 2λ>0 λ<2, ισχύει ότι
0λ2
1x)()λ2()x(flim .
Για 2λ<0 λ>2, ισχύει ότι
0λ2
1x)()λ2()x(flim .
Για 2λ=0λ=2, το όριο έχει την απροσδιόριστη μορφή 0·(+). Αντικαθιστώντας όπου λ=2, τότε η συνάρτηση f έχει τύπο
1
)1x()1x(
1x1x2x)x(f 2
2
2
2
. Άρα 1)1(lim)x(flim
1x1x
.
Συνοψίζοντας έχουμε ότι
2λαν,12λαν,2λαν,
)x(flim1x
.
Λύση:
(α) Θέτουμε g(x)=(x24x+4)·f(x)=(x2)2·f(x). Τότε για x2, ισχύει ότι
2)2x()x(g)x(f
και 8)x(glim
2x
. Άρα το όριο της f είναι ίσο με :
)(8
22x22x2x )2x(1)x(glim
)2x()x(glim)x(flim
Παράδειγμα 14.7: Αν ισχύει ότι 8)]x(f4x4x[lim 2
2x
, τότε να
υπολογιστούν τα όρια:
(α) )x(flim2x
και (β) 1)x(f5
4)x(f)x(f3lim 3
2
2x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 157
(β)
)x(f15)x(f
)x(f4
)x(f13)x(f
lim1)x(f5
4)x(f)x(f3lim
33
22
2x3
2
2x
0)x(f
1
)x(f15
)x(f4
)x(f13
lim
)x(f15)x(f
)x(f4
)x(f13
lim0
05003ήμορφ
3
2
2x
3
2
2x
, διότι
0)x(f
1lim)/(1
ήμορφ
2x
.
Να σημειώσουμε ότι μετά την πρώτη ισότητα, βγάλαμε κοινό παράγοντα
από αριθμητή και παρονομαστή την f(x) στο μέγιστο εκθέτη ανά
αριθμητή και παρονομαστή. Αυτό θα το κάνουμε πάντα, όταν το όριο της
f είναι . (Σε άλλη ενότητα, θα μάθουμε και άλλον τρόπο κάνοντας
αλλαγή μεταβλητής.)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
14.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν:
(α) 240x x2x31xlim
(β) 22x )2x(
8x3lim
(γ)
x1
x2lim
0x
(δ)
1x3
1x4lim 21x
(ε) xx
2x3x2lim5
0x
(στ)
xημx2x3lim
0x
(ζ)
x11xlim 4
0x (η)
xημx1x5lim
0x
(θ) 440x xxημ
3x2lim
(ι) xημ8x5lim
0x
(ια) xσυν4x2lim
2πx
(ιβ) xεφlim
2πx
158 ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ
(ιγ) xσφlim0x
(ιδ) 8x4x2xx
1x3lim4x
(ιε) 9x2xx4
4x1lim 23x
14.2) Να βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των λ,μR:
(α) 1x
2xx)1λ(lim 2
2
1x
(β)
xμx2xlim
2
0x
(γ) μxλx2lim 23x
(δ) 4x4x
4xμx)2λ(lim 2
2
2x
14.3) Να βρείτε τους λR, ώστε τα παρακάτω όρια να είναι πραγματικοί
αριθμοί:
(α) 1x
2xλxλlim22
1x
(β)
1x2xλxλx2lim
22
1x
14.4) Να βρείτε το όριο )x(flimoxx
, όταν:
(α)
)x(f3xlim
2x και xo=2 (β)
3x)x(flim
1x και xo=1
(γ)
27x4)x(flim 2
3x και xo=3
14.5) Έστω μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι 3)x(fxlim 6
0x
.
Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )x(flim0x
(β) )x(f1xlim
3
0x
(γ) xημ)x(f
xlim 70x
ΕΝΟΤΗΤΑ 14-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ 159
14.6) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι 8)x(fxημlim 4
0x
, να
υπολογίσετε τα όρια: (α) )x(flim0x
και (β)
)x(f1ημ)x(flim
0x.
14.7) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει ότι
)x(flim3x
, τότε να
υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
(α) )x(f
1lim3x
(β) 1)x(f
)x(f2)x(flim2
3x
(γ)
1)x(f3)x(f53)x(f2)x(f3lim 4
24
3x
(δ) 1)x(f4)x(f2)x(f
8)x(f2)x(flim 23
2
3x
(ε)
6)x(f1)x(f5)x(f3
lim2
3x
160 ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 15η
Μη Πεπερασμένο όριο στο xoR
και Θεωρήματα Διάταξης
Ισχύει η παρακάτω πρόταση:
Πρόταση: Έστω ότι f(x)≤g(x) κοντά στο xoR και επιπλέον
(α) ισχύει ότι
)x(flimoxx
, τότε
)x(glimoxx
.
(β) ) ισχύει ότι
)x(glimoxx
, τότε
)x(flimoxx
.
Απόδειξη: (α) Αφού
)x(flimoxx
, τότε f(x)>0 κοντά στο xo. Άρα
0<f(x)≤g(x))x(f
1)x(g
10 . Όμως 0)x(f
1lim/1
ήμορφ
xx o
. Από κριτήριο
παρεμβολής έπεται ότι 0)x(g
1limoxx
. Θέτουμε 0)x(g
1xφ κοντά
στο xo. Επίσης ισχύει ότι 0)x(φlimoxx
. Τότε έχουμε ότι:
0/1ήμορφ
0)x(φxxxx )x(φ1lim)x(glim
oo
.
(β) Αποδεικνύεται όμοια.
Η προηγούμενη πρόταση θα πρέπει να αποδεικνύεται κατά περίσταση.
Λύση: Έστω 2)1x(2x)x(g
. Τότε για τη συνάρτηση g, θα ισχύει ότι
)()1(
21x21x1x )1x(1)2x(lim
)1x(2xlim)x(glim . Άρα g(x)<0
Παράδειγμα 15.1: Αν 2)1x(2x)x(f
κοντά στο xo=1, τότε να βρεθεί
το όριο )x(flim1x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 15-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ 161
κοντά στο xo=1. Ακόμη, κοντά στο xo=1, θα ισχύει ότι f(x)≤g(x)<0
0)x(f
1)x(g
1 . Όμως 0)x(g
1lim)/(1
ήμορφ
1x
και από κριτήριο παρεμβολής
έπεται ότι 0)x(f
1lim1x
. Θέτουμε 0)x(f
1xφ κοντά στο xo=1. Τότε
θα ισχύει ότι
0/1ήμορφ
0)x(φ1x1x )x(φ1lim)x(flim .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
15.1) Αν για τη συνάρτηση f: RR ισχύει ότι 2x1)x(f xR*, τότε
να υπολογίσετε το όριο )x(flim0x
.
15.2) Αν για τη συνάρτηση f: RR ισχύει ότι
3x)x(f)4x4x( 2 x2, τότε να υπολογίσετε το όριο )x(flim2x
.
162 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
ΕΝΟΤΗΤΑ 16η
Όριο στο Άπειρο
Α) Η έννοια του ορίου στο xo=.
(i) Στα παρακάτω σχήματα παρατηρούμε ότι όσο το x αυξάνεται
απεριόριστα, τότε οι συναρτήσεις f και g προσεγγίζουν απεριόριστα τους
αριθμούς L1 και L2 αντίστοιχα:
Γράφουμε ότι 1xL)x(flim
.
Γράφουμε ότι 2xL)x(glim
.
(ii) Στα παρακάτω σχήματα παρατηρούμε ότι όσο το x αυξάνεται
απεριόριστα, τότε οι συναρτήσεις f και g αυξάνονται επίσης απεριόριστα,
δηλαδή υπερβαίνουν κάθε θετικό αριθμό Μ:
Γράφουμε ότι
)x(flimx
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 163
Γράφουμε ότι
)x(glimx
(iii) Στα παρακάτω σχήματα παρατηρούμε ότι όσο το x αυξάνεται
απεριόριστα, τότε οι συναρτήσεις f και g μειώνονται απεριόριστα,
δηλαδή οι τιμές τους γίνονται μικρότερες από κάθε αρνητικό αριθμό Μ:
Γράφουμε ότι
)x(flimx
.
Γράφουμε ότι
)x(glimx
.
Για να ορίζεται το όριο μίας συνάρτησης στο +, θα πρέπει η f να
ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α,+) ή όπως αλλιώς λέμε ότι η f να
ορίζεται κοντά στο +.
164 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Ανάλογοι ορισμοί μπορούν όταν x δεδομένου ότι η συνάρτηση
ορίζεται σε διάστημα της μορφής (,β) (η f δηλαδή ορίζεται κοντά στο
):
Γράφουμε ότι 1xL)x(flim
.
Γράφουμε ότι
)x(glimx
.
Γράφουμε ότι
)x(hlimx
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 165
Β) Όρια Βασικών συναρτήσεων στο xo=.
Ισχύουν τα παρακάτω όρια:
(α)
ν
xxlim , νn*.
(β) Αν νn*, τότε
ςόπεριττναν,
ρτιοςάναν,xlim ν
x.
(γ) 0x1lim νx
, νn*.
Για παράδειγμα ισχύει ότι
5)(ήμορφ
5
xxlim ,
6)(ήμορφ
6
xxlim και
0x1lim
)/(1ήμορφ
3x
.
Γ) Όριο Πολυωνυμικής συνάρτησης στο xo=.
Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f(x)=5x3+3x2+2x+1. Τότε βγάζοντας
κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο παίρνουμε ότι:
]x51
x52
x531[x5]
x51
x5x2
x5x31[x5)x(f 32
3333
23 . Άρα θα
ισχύει ότι
)1231)((5ήμορφ
x)x(flim , διότι τα όρια της μορφής
α
είναι ίσα με μηδέν. Παρατηρούμε επίσης ότι
)x5(lim 3
x, δηλαδή
ότι )x5(lim)1x2x3x5(lim 3
x
23
x . Γενικότερα ισχύει το
παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα: Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση
ο11ν
1νν
ν αxα...xαxα)x(P . Τότε το όριο της συνάρτησης P
στο είναι ίσο με το όριο του μεγιστοβαθμίου όρου στο , δηλαδή
)xα(lim)x(Plim ννxx
.
166 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Για παράδειγμα ισχύει ότι
7)(3ήμορφ7
x
57
x)x3(lim)1x8x2x3(lim .
Δ) Όριο ρητής συνάρτησης στο xo=.
Έστω η ρητή συνάρτηση 8xx2x7
1xx3)x(f 23
2
. Τότε βγάζοντας
κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή τους
μεγιστοβαθμίους όρους έχουμε ότι:
]x78
x71
x721[x7
]x31
x311[3
]x78
x7x
x7x21[x7
]x31
x3x1[x3
)x(f32
2
333
23
222
. Τότε θα
ισχύει: 0)x(flim]0001)[(7
]001[3ήμορφ
x
. Παρατηρήστε επίσης ότι
0x73lim
x7x3lim
)/(3ήμορφ
x3
2
x
. Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:
Θεώρημα: Έστω η ρητή συνάρτηση .β...xβxβα...xαxα)x(f
ο1μ
1μμ
μ
ο1ν
1νν
ν
Τότε ισχύει ότι μμ
νν
xο
1μ1μ
μμ
ο1ν
1νν
ν
x xβxα
limβ...xβxβα...xαxα
lim
, δηλαδή
το όριο μίας ρητής συνάρτησης στο ισούται με το όριο του
πηλίκου των μεγιστοβαθμίων όρων του αριθμητή και παρονομαστή.
Για παράδειγμα ισχύει ότι 21
x10x5lim
2x9x2x101x6x7x5lim 3
3
x23
23
x
.
Ε) Βασικά Τριγωνομετρικά Όρια στο xo=.
Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς υπολογίζονται τα παρακάτω όρια:
0uημlim)x1(ημlim
0u
x1u
x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 167
1uσυνlim)x1(συνlim
0u
x1u
x
.
1u
uημlim
x1
)x1(ημ
lim)]x1(ημx[lim
0u
x1u
xx
.
0xxημlim
u
, διότι ισχύει:
x1
xxημ
x11
x1xημ
x1
xxημ
. Όμως 0)x1(lim
x
και από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι 0u
uημlimu
.
)01()(ήμορφ
xx)]
xxημ1(x[lim)xημx(lim .
Τα όρια των συναρτήσεων f(x)=ημx και g(x)=συνx δεν υπάρχουν στο εξαιτίας της περιοδικότητάς τους.
Παραδείγματα: Λύση: Το πρόσημο της παράστασης λ21 φαίνεται παρακάτω:
Παράδειγμα 16.1: Να βρεθεί το ]7x)1λ(x)1λ[(lim 82
x
για
τις διάφορες τιμές του λR.
168 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
λ21>0 λ<1 ή λ>1 (γιατί;) λ21=0 λ=1 λ21<0 1<λ<1
Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση P(x)=( λ21)x8+(λ1)x+7. Διακρίνουμε
τις παρακάτω περιπτώσεις:
(α) Αν λ21>0 λ<1 ή λ>1, τότε
01λ282
xx
2
)()1λ(]x)1λ[(lim)x(Plim .
(β) Αν λ21<0 1<λ<1, τότε
01λ282
xx
2
)()1λ(]x)1λ[(lim)x(Plim .
(γ) Αν λ=1, τότε P(x)=7 και άρα 7)7(lim)x(Plimxx
.
(δ) Αν λ= 1, τότε P(x)= 2x+7 και άρα
)()2()x2(lim)x(Plimxx
.
Λύση: Επειδή το όριο στο άπειρο μίας ρητής συνάρτησης είναι ίσο με το
όριο του πηλίκου των μεγιστοβαθμίων όρων, θα διακρίνουμε
περιπτώσεις για την παράσταση 1λ2λ
:
(α) Αν 2λή1λ0)1λ)(2λ(01λ2λ
, τότε
]x
)1λ()2λ([lim
x)1λ(x)2λ(lim
8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim
x3
4
x23
24
x
0
1λ2λ
)()1λ()2λ(
Παράδειγμα 16.2: Να βρεθεί το 8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim 23
24
x
για τις
διάφορες τιμές του λR.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 169
(β) Αν 2λ10)1λ)(2λ(01λ2λ
, τότε
]x
)1λ()2λ([lim
x)1λ(x)2λ(lim
8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim
x3
4
x23
24
x
0
1λ2λ
)()1λ()2λ(
(γ) Αν λ=2, τότε:
.0x2lim
xx2lim
8x3x1x2lim
8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim
)/(2ήμορφ
x3
2
x23
2
x23
24
x
(δ) Αν λ=1, τότε:
3xlim
x3xlim
8x31xxlim
8x3x)1λ(1xλx)2λ(lim
2
x2
4
x2
24
x23
24
x
2)(31 .
Λύση:
(Α΄ τρόπος):
)x57
x5x61(x5lim7x6x5lim 22
2
x
2
x
]x57
x561x5[lim)
x57
x561(x5lim 2
2
x22
x
]
x57
x5615x[lim]
x57
x561x5[lim 2x
0x
22
x
0015)( .
(B΄τρόπος):
ήμορφ2
x7x6x5lim , διότι ισχύει ότι
)x5(lim)7x6x5(lim 2
x
2
x.
Παράδειγμα 16.3: Να υπολογιστεί το όριο 7 2
x7x6x5lim
.
170 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Γνωρίζουμε ότι αν
)x(flimoxx
, τότε
κxx
)x(flimo
. Γενικότερα
για τα όρια στο ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων όπως και
στην περίπτωση στην οποία xxoR, με την προϋπόθεση ότι οι
συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε
σε απροσδιόριστη μορφή.
Λύση:
)()()(2)x21x6x(lim 1515 8
x, διότι
)x(lim)1x6x(lim 8
x
8
x και άρα
15 8
x1x6xlim .
Λύση: Καταρχάς παρατηρούμε ότι το όριο είναι της μορφής +. Όταν
συμβαίνει κάτι τέτοιο και επειδή έχουμε όριο στο άπειρο, ενώ ο τύπος
της συνάρτησης έχει τη μορφή )x(Q)x(Pκ ή τη μορφή
λκ )x(Q)x(P , P και Q πολυωνυμικές συναρτήσεις, τότε εξετάζουμε
αν η αντίστοιχη μορφή που περιέχει μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους
ανάγεται στη μορφή 0x. Σε αυτό το παράδειγμα για την αντίστοιχη
μορφή που περιέχει μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους ισχύει
.x0xx2xx2xx2x0x
2
Αν λοιπόν δεν ανάγεται στη μορφή 0x, τότε για τον υπολογισμό του
ορίου βγάζουμε κοινό παράγοντα τους μεγιστοβάθμιους όρους:
)x12(x)
x7
xx61(x(lim)1x27x6x(lim 22
2
x
2
x
)]x12(x
x7
x61x[lim)]
x12(x)
x7
x61(x[lim 2
2
x22
x
Παράδειγμα 16.4: Να βρεθεί το όριο )x21x6x(lim 15 8
x
.
Παράδειγμα 16.5: Να βρεθεί το όριο )1x27x6x(lim 2
x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 171
)]
x12(x
x7
x61x[lim)]
x12(x
x7
x61x[lim 2x
0x
2x
.)1()()]02(001[)()]]x12(
x7
x61[(x[lim 2x
Λύση: Σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα η αντίστοιχη
παράσταση με τους μεγιστοβάθμιους όρους δίνει
x0x3x3x3x3x3x90x
2
. Όταν λοιπόν αναγόμαστε στη
μορφή 0x, τότε για τον υπολογισμό του ορίου χρησιμοποιούμε τη συζυγή
παράσταση:
x31x3x9)x31x3x9()x31x3x9(lim)x31x3x9(lim
2
22
x
2
x
)1x91
x311(x3
)x13(x
limx3
x91
x9x31x3
x91x3x9lim
2
x
22
22
x
21
)1001(303
)1x91
x311(3
x13
lim
2
x
.
Λύση: Αν λάβουμε υπόψη μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους, τότε
αναγόμαστε στη μορφή 0x: x0x3xx4x3xx160x
22
. Σε
αυτή την περίπτωση «σπάμε» τον όρο 3x, που δεν περιέχεται σε ρίζα,
Παράδειγμα 16.6: Να βρεθεί το όριο )x31x3x9(lim 2
x
.
Παράδειγμα 16.7: Να βρεθεί το όριο
)x31x6x18x5x16(lim 22
x
.
172 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
στην παράσταση 3x= 4x+x. Παρατηρήστε ότι οι δύο τελευταίοι όροι
είναι αντίθετοι από τις παραστάσεις με ριζικά όταν αυτές περιέχουν μόνο
τους μεγιστοβάθμιους όρους. Τότε λοιπόν υπολογίζουμε το όριο με
χρήση των κατάλληλων συζυγών παραστάσεων:
)x31x6x18x5x16(lim 22
x
)x1x6xx418x5x16(lim 22
x
=
]x1x6x
)x1x6x()x1x6x(x418x5x16
)x418x5x16()x418x5x16([lim2
22
2
22
x
=...
Σύνοψη: Από τα παραδείγματα 5, 6 και 7 βλέπουμε ότι όταν η
παράσταση που περιέχει μόνο τους μεγιστοβάθμιους όρους είναι διάφορη
της μορφής 0x, τότε για τον υπολογισμό του ορίου βγάζουμε κοινό
παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο. Διαφορετικά, αν η παράσταση
ανάγεται στη μορφή 0x χρησιμοποιούμε την κατάλληλη ή τις κατάλληλες
συζυγείς παραστάσεις.
Λύση: Επειδή
)x(lim)1xx(lim 3
x
23
x, τότε έπεται ότι
x3+x21<0 για κάποιο διάστημα της μορφής (,α) (κοντά στο ).
Άρα:
.)1x2x(lim)]1xx(x[lim]1xxx[lim 23
x
232
x
232
x
Παράδειγμα 16.8: Να βρεθεί το όριο ]1xxx[lim 232
x
.
Παράδειγμα 16.9: Να βρεθεί το όριο xσυνxx2ημx3lim
x
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 173
Λύση: Είναι :
30103
xxσυν1
xx2ημ3
lim)
xxσυν1(x
)x
x2ημ3(xlim
xσυνxx2ημx3lim
xxx
, διότι
για τα τριγωνομετρικά όρια ισχύουν:
(α) x1
xx2ημ
x1
x11
x1x2ημ
x1
xx2ημ
και επειδή
0)x1(lim
x
, τότε από κριτήριο παρεμβολής έπεται 0
xx2ημlim
x
.
(β) Προκύπτει όμοια ότι 0x
xσυνlimx
.
Λύση: Ισχύει ότι
)1x7x(lim 3
x, άρα x3+7x+1<0 για κάποιο
διάστημα της μορφής (,α).
Άρα για κάθε x που ανήκει σε αυτό το διάστημα θα ισχύει:
1x7xx7x2)x(f 3
25
.
Όμως
)x2(limxx2lim
1x7xx7x2lim 2
x3
5
x3
25
x. Τότε θα ισχύει
ότι 01x7x
x7x2)x(f 3
25
, για x(,α). Θέτουμε 0
)x(f1)x(g για
x(,α). Θα ισχύει επομένως ότι 25
3
x7x21x7x
)x(f1)x(g0
. Επειδή
Παράδειγμα 16.10: Έστω συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει
ότι : (x3+7x+1)·f(x)<2x5+7x2 για κάθε x ≤ 100e.
Να υπολογιστεί το όριο )x(flimx
.
174 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
01x7x2
1x7xlim 25
3
x
, τότε από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι
.0)x(glimx
Τέλος θα έχουμε ότι
0/1ήμορφ
0)x(gμεxx )x(g1lim)x(flim .
Λύση: Έστω η συνάρτηση xημxxx)x(g 2 , η οποία ορίζεται
για x>0 (γιατί;). Έστω ότι το όριο )x(glimx
υπάρχει και ισχύει
L)x(glimx
R{}. Τότε θα ισχύει ότι )xxx(
)x(gxημ2
.
Έχουμε τότε:
2x
]1x11[x
limx
xxxlim...xxx
1limx
2
x2x
.
Άρα
)x(glimxxx
1limxxx
)x(glimxημlimx2x2xx
=2·LR{}, άτοπο διότι το όριο xημlimx
δεν υπάρχει εξαιτίας της
περιοδικότητας της συνάρτησης του ημιτόνου.
Επομένως η g δεν έχει όριο για x+.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
16.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν:
(α) 1x5x8lim 5
x
(β) 1x2x6x3lim 27
x
(γ)
1x5lim 3x
Παράδειγμα 16.11: Να αποδειχθεί ότι το όριο
]xημ)xxx[(lim 2
x
δεν υπάρχει.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 175
(δ) 7x2x5x8
1x6x7lim 34
2
x
(ε)
2x3x
x5xlim
22
x
16.2) Όμοια:
(α) 1x6x5lim 2
x
(β) 8x2x7lim 3
x
(γ) 8x7x5x2xlim 22
x
(δ) 8x6x91x7xlim 22
x
16.3) Όμοια:
(α) x2
1xlim2
x
(β) 1xx1xxlim
2
2
x
(γ)
22
xx2x2xxlim
16.4) Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να υπολογίσετε
τα όρια:
(α) xλ3x2xlim 2
x
(β)
1x6xλ1x6x3x)2λ(lim 2
23
x
16.5) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε το όριο
xλ7x6xlim 2
x
να είναι πραγματικός αριθμός.
16.6) Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) 8x7x
x27x6xlim 2
2
x
(β) 1x8x1
x51xlim23
2
x
176 ΕΝΟΤΗΤΑ 16-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
16.7) Όμοια:
(α) x
xxημlimx
(β) x8ημx3
x5x3συνlim 23
2
x
(γ)
x
x1συνxlim
x
(δ) 1x2
x1ημx
lim 3x (ε)
1x6xxημxlim 2x
(στ)xσυνx2x1x4xημxlim
4
8
x
(ζ)
x1ημ
3x2x81x6x5x7lim 2
23
x
(η) ]x7ημ)x23x6x4[(lim 2
x
16.8) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει
5x36x2+2≤(x2+5x7)·f(x)≤5x3+4x2+7 xR. Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )x(flimx
και (β) 1x2)x(flim
x .
16.9) Έστω f:RR, ώστε να ισχύει xx4)x(f8x2x 23 x>0.
Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )x(flimx
(β) xσυν)x(flimx
16.10) Έστω f:RR περιττή, για την οποία ισχύει ότι
4x5)x(flimx
. Να υπολογίσετε τα όρια:
(α) )x(flimx
(β) 3x2x8)x(xf
x5)x(f3lim 2x
(γ) 1)x(f6)x(f2)x(f5
21)x(f2)x(f3lim 23
2
x
ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 177
ΕΝΟΤΗΤΑ 17η
Όριο Εκθετικής και Λογαριθμικής
Συνάρτησης
Αποδεικνύεται ότι
Αν α>1, τότε:
0αlim x
x
x
xαlim
xloglim α0x
xloglim αx
Αν 0<α<1, τότε:
x
xαlim 0αlim x
x
xloglim α0x
xloglim αx
Τα παραπάνω όρια μπορούμε εύκολα να τα θυμόμαστε από τη γραφική τους παράσταση. Παραδείγματα:
Λύση:
u
u
2xu2x
x5lim5lim
44
.
Παράδειγμα 17.1: Να υπολογιστεί το όριο 2x
x
4
5lim
.
Παράδειγμα 17.2: Να υπολογιστεί το όριο 1xxlnlim 2
x
.
178 ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Λύση: Θέτουμε 1xx)x(uu 2 . Τότε ισχύει ότι
1xx1lim
1xx1xx1xxlim1xxlim
2x2
22
x
2
x
0
1ήμορφ
. Άρα για x , τότε u0. Επομένως έχουμε ότι
ulnlim1xxlnlim0u
2
x.
Λύση:
u
u
xlnxuxlnx
x
xln
x
x
xelimelimelimxlim
x
, διότι αν
θέσουμε u=u(x)=x·lnx, τότε
)()(ήμορφ
xx)xlnx(lim)x(ulim .
Στο παραπάνω παράδειγμα εφαρμόσαμε το μετασχηματισμό
AlnBAlnΒ eeΑB
, για Α>0 (πολύ χρήσιμο). Λύση:
3x1x2u
3x
3
xx x1x2lnlim]xln)1x2[ln(lim]xln3)1x2[ln(lim
ulnlim0u
, διότι αν θέσουμε u=u(x)= 3x1x2 , τότε
0x2lim
xx2lim
x1x2lim)x(ulim
)/(2ήμορφ
2x3x3xx
.
Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή με λογαρίθμους είναι χρήσιμο να εφαρμόζουμε γνωστές ιδιότητες αυτών.
Παράδειγμα 17.3: Να υπολογιστεί το όριο x
xxlim
.
.
Παράδειγμα 17.4: Να υπολογιστεί το όριο ]xln3)1x2[ln(limx
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 179
Λύση: 101
1
5xσυν1
1lim)
5xσυν1(5
5limxσυν5
5limx
xx
x
x
xx
x
x
,
διότι xxxx
051
xxx 51
5xσυν
51
51
51xσυν
51
5xσυν x
και επειδή
051lim
1ήμορφ
xx
, τότε από κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι
05
xσυνlim xx
.
Λύση:
001100]
651
153
65[lim
6516
1535
lim5653lim x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
xx
x
.
Το μυστικό σε ασκήσεις τέτοιου τύπου είναι να βγάλουμε κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτές τις δυνάμεις,
ώστε να σχηματιστεί κλάσμα της μορφής )x(β)x(α με 0
)x(β)x(α ή
)x(β)x(α
(βλ. επίσης και το επόμενο παράδειγμα).
Παράδειγμα 17.5: Να υπολογιστεί το όριοxσυν5
5lim x
x
x .
Παράδειγμα 17.6: Να υπολογιστεί το όριο xx
xx
x 5653lim
.
Παράδειγμα 17.7: Να υπολογιστεί το όριο xx
xx
x 5653lim
.
180 ΕΝΟΤΗΤΑ 17-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Λύση:
.1001)(]
156
351
53[lim
1565
3513
lim5653lim x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
xx
x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
17.1) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
(α) x
x5lim
(β)
x
x 51lim
(γ)
135lim x
x
x (δ) x5
x3
x 35lim
17.2) Όμοια:
(α) 12382472lim xx
xx
x
(β)
358823lim xx
xx
x
(γ) 4x3x
1x2x
x 3528lim
17.3) Να υπολογίσετε το όριο 2xx
x1x
x α3α5lim
για τις διάφορες τιμές του
θετικού αριθμού α.
17.4) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
(α) )]1xln()x4x[ln(lim 35
x
(β) ]x)45[ln(lim xx
x
(γ)
x1
31lnlim
x
x (δ)
2xln3xln21xln6xln5lim 2
2
x
17.5) Όμοια:
(α) xlnxημlim
x (β)
x1ημx
x
2
elim (γ) x3ημelim x
x
(δ) x3συνxln2limx
(ε) x4x3x
x
22
55lim
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 181
ΕΝΟΤΗΤΑ 18η
Συνεχείς Συναρτήσεις (ΙΙ) Α) Συνεχείς Συναρτήσεις
Στην ενότητα 8 είδαμε τι σημαίνει συνεχής συνάρτηση στο xo και τη
χρησιμότητά τους στην εύρεση ορίων.
Υπενθυμίσεις-Παρατηρήσεις: Έστω συνάρτηση f: AR.
(α) Η f λέγεται συνεχής στο xoA, όταν ισχύει )x(f)x(flim oxx o
.
(β) Το xo πρέπει οπωσδήποτε να ανήκει στο πεδίο ορισμού Α της
συνάρτησης. Πιο συγκεκριμένα:
(i) Το xo πρέπει να ανήκει σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της
συνάρτησης, δηλαδή xoΔA.
(ii) Το xo δύναται επίσης και να μην ανήκει σε διάστημα Δ του πεδίου
ορισμού, περίπτωση η οποία όμως ξεφεύγει από το πνεύμα της σχολικής
ύλης.
(γ) Αν το όριο )x(flimoxx
δεν υπάρχει ή ισχύει ότι )x(f)x(flim oxx o
, τότε
θα λέμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο xo ή ισοδύναμα ότι η f είναι ασυνεχής
στο xo.
(δ) Αν το xo δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, τότε θα λέμε
ότι δεν έχει νόημα η συνέχεια της f στο xo.
Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:
Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση P είναι συνεχής, αφού όπως έχουμε δει ισχύει ότι )x(P)x(Plim oxx o
xoR.
Ορισμός 18.1: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα
λέμε ότι είναι συνεχής, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου
ορισμού της, δηλαδή όταν ισχύει ότι )x(f)x(flim oxx o
xoA.
182 ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)
Κάθε ρητή συνάρτηση QPf είναι συνεχής, αφού ισχύει ότι
)x(f)x(Q)x(Plim
)x(Q)x(Plim)x(flim o
o
oxxxxxx ooo
xDf.
Οι συναρτήσεις f(x)=ημx και g(x)=συνx είναι συνεχείς, όπως έχουμε δει. Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις f(x)=αx και g(x)=logαx με 0<α1 είναι συνεχείς. Β) Πράξεις με Συνεχείς Συναρτήσεις Ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: Θεώρημα 1: Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο xo, τότε
είναι συνεχείς στο xo και οι συναρτήσεις: f+g, c·f όπου cR, f·g, gf ,
f και ν f , με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το xo. Θεώρημα 2: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f(xo), τότε η σύνθεση gof είναι συνεχής στο xo. Εφαρμογές: Οι συναρτήσεις f(x)=εφx και g(x)=σφx είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση f(x)=(x22x+7)·lnx είναι συνεχής ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f1(x)= x22x+7 και f2(x)=lnx. Η συνάρτηση f(x)=ημ(x2+2x) είναι συνεχής ως σύνθεση της συνεχούς συνάρτησης f1(x)= x2+2x με τη συνεχή συνάρτηση f2(x)=ημx (f=f2of1). Τα αντίστροφα των παραπάνω θεωρημάτων δεν ισχύουν. Πράγματι έστω
οι συναρτήσεις
0x,10x,1
)x(f1 και
0x,10x,1
)x(f2 οι
οποίες προφανώς δεν είναι συνεχείς στο xo=0. Ωστόσο:
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 183
(α) Η συνάρτηση f1+f2 είναι συνεχής ως σταθερή (πολυωνυμική), αφού (f1+f2)(x)=0 xR.
(β) Η συνάρτηση 2
1
ff είναι επίσης συνεχής αφού 1
)x(f)x(f)x(
ff
2
1
2
1
xR. Παραδείγματα: Λύση: Παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής x(,1) ως πολυωνυμική. Η f είναι συνεχής x(1,+) ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Εξετάζουμε τη συνέχεια της συνάρτησης στο xo=1: (α) f(1)=125·1+7=3. (β) 37151)7x5x(lim)x(flim 22
1x1x
.
(γ) 21...
)1x()1x()1x(xlim
1xxxlim)x(flim
1x2
2
1x1x
.
Βλέπουμε ότι το όριο )x(flim1x
δεν υπάρχει ( )x(flim)x(flim1x1x
) και
επομένως η f δεν είναι συνεχής στο xο=1.*8
*Παρόλο που η f δεν είναι συνεχής στο xo=1, σε επόμενο μάθημα θα δούμε εντούτοις ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα (,1] !!!
Παράδειγμα 18.1: Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f με τύπο
1x,1xxx
1x,7x5x)x(f
2
2
2
είναι συνεχής.
184 ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)
Λύση: Ισχύει ότι Η f είναι συνεχής x(,1) ως πολυωνυμική. Η f είναι συνεχής x(1,+) ως πολυωνυμική. Για να είναι η f συνεχής στο xo=1, θα πρέπει να ισχύει επιπλέον η συνθήκη:
6)3xβ2xαx(lim
6)βxαx(lim6)1(f)x(flim)x(flim
23
1x
2
1x
1x1x
3βκαι2α8β2α
5βα
.
Λύση: Αφού η f είναι συνεχής στο xo=3, θα ισχύει ότι )x(flim)3(f
3x .
Όμως για x3 ισχύει 3x
36x)x(f
. Άρα έχουμε:
61...
3x36xlim)x(flim)3(f
3x3x
.
Παράδειγμα 18.2: Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β,
ώστε η συνάρτηση με τύπο
1x,3xβ2xαx1x,61x,βxαx
)x(f23
2
να
είναι συνεχής.
Παράδειγμα 18.3: Έστω η συνάρτηση f:RR συνεχής στο xo=3 για την οποία ισχύει ότι 36x)x(f)3x( xR. Να βρεθεί η τιμή f(3).
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 185
Λύση: Αφού f συνεχής στο xo=0 και επειδή η f ορίζεται στο σύνολο (,0)(0,+), τότε υπάρχουν τα πλευρικά όρια )x(flim
0x , )x(flim
0x
και ισχύει L)0(f)x(flim)x(flim0x0x
.
Για x>0, ισχύει ότι x
1xσυν)x(f . Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι
0Lx
1xσυνlim)x(flim0x0x
(1).
Για x<0, ισχύει ότι x
1xσυν)x(f . Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι
0Lx
1xσυνlim)x(flim0x0x
(2).
Από (1) και (2) έπεται ότι L=0 f(0)=0.
Λύση: (α) Για x=y=0 η συναρτησιακή σχέση δίνει f(0+0)=f(0)·f(0)
f(0)=f2(0)f2(0)f(0)=0 f(0)·[f(0)1]=0 f(0)1=0 f(0)=1, διότι
f(0)>0.
Παράδειγμα 18.4: Έστω f:RR συνεχής για την οποία ισχύει x·f(x)≤ συνx1 xR. Να βρεθεί η τιμή f(0).
Παράδειγμα 18.5: Έστω η συνάρτηση f:R(0,+) για την οποία
ισχύει ότι f(x+y)=f(x)·f(y) x,yR.
(α) Να βρεθεί η τιμή f(0).
(β) Να αποδειχθεί ότι )α(f
1)α(f .
(γ) Να αποδειχθεί ότι αν η f είναι συνεχής στο xo=0, τότε η f είναι
συνεχής (σε όλο το πεδίο ορισμού της)
(δ) Να αποδειχθεί ότι αν η f είναι συνεχής στο τυχαίο xo=αR, τότε
η f είναι συνεχής.
186 ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)
(β) Έχουμε ότι )α(f)α(f)αα(f και 1)0(f)αα(f . Άρα
)α(f1)α(f1)α(f)α(f .
(γ) Από υπόθεση έχουμε ότι 1)0(f)x(flim0x
. Έστω ένα
οποιοδήποτε xoR.
Εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της συνάρτησης από υπόθεση, έχουμε
ότι:
).x(f1)x(f)h(flim)x(f)]h(f)x(f[lim)hx(flim oo0hoo0ho0h
Αφού υπάρχει το όριο )hx(flim o0h
, τότε από γνωστή ιδιότητα των
ορίων (βλ. στο τέλος της ενότητας 7), θα έχουμε ότι
)x(f)hx(flim)x(flim oo0hxx o
.
Επομένως η f είναι συνεχής.
(δ) Από υπόθεση ισχύει ότι )α(f)x(flimαx
R. Άρα από ιδιότητα των
ορίων θα ισχύει ότι ).α(f)x(flim)hα(flimαx0h
Έστω ένα οποιοδήποτε xoR. Τότε έχουμε:
)]hα(f)αx(f[lim)hααx(flim)hx(flim o0ho0ho0h
)hα(f
)α(f)x(flim)]hα(f)α(f)x(f[lim o
0ho0h
)x(f)α(f)α(f)x(f)hα(flim
)α(f)x(f
oo
0ho
.
Από ιδιότητα των ορίων (ενότητα 7) θα έχουμε ότι
)x(f)hx(flim)x(flim oo0hxx o
.
Άρα η f είναι συνεχής.
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 187
Λύση:
)1(1)x(f
xln)x(fxln]1)x(f[)x(fxln)x(f)x(f 445
,
διότι 01)x(f 4 .
Τότε xln1xln
1)x(fxln
)x(f 4
. Άρα xln)x(fxln . Όμως
0xlnlim1x
. Από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι 0)x(flim1x
.
Από (1) για x=1 παίρνουμε: 01)1(f
1ln)1(f 4
. Άρα
)1(f0)x(flim1x
, δηλαδή η f είναι συνεχής στο xo=1.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
18.1) Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις:
(α)
2x,x2x,4x)x(f 4
2
(β)
1x,x31x,1x)x(f
2
(γ)
2x,3
2x,2x
2xx
)x(f
2
(δ)
1x,xln1x,x)x(f
2
Παράδειγμα 18.6: Έστω f:(0,+)R, ώστε να ισχύει
xln)x(f)x(f 5 x>0. Να αποδειχτεί ότι η f είναι συνεχής στο
xo=1.
188 ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)
(ε)
1x,xlnσυν1x,1x2)x(f
2
(στ)
1x,x2
1x,x2)x(f
2
(ζ)
0x,x20x,e)x(f 2
x
(η)
0x,)exln(
0x,x
xημ
)x(f
(θ)
2πx,xσυνe
2πx,e
)x(f
xημ
(ι)
0x,0
0x,x1συνx
)x(f
(ια)
0x,21
0x,x
xσυν1
)x(f2
(ιβ) 1x1x
)x(f2
(ιγ) 1x2 2
x)x(f , x>0
18.2) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ, ώστε η f να είναι
συνεχής:
(α)
1x,α
1x0,1xxx
)x(f
2
(β)
1x,xβ
1x,xα3)x(f
2
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 189
(γ)
2πx,xσυν
2πx
2π,βxημα
2πx,xημ2
)x(f
(δ)
2x,γ
2x,2x
βxαx
)x(f
3
(ε)
2πx,β
π,2πx,αxσφ
xεφ1
2π,0x,
x2συν1x
)x(f
(στ)
0x,α
0x,x1συν3
x1ημ2x
)x(f
2
18.3) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo=0 και ισχύει 2xxημ)x(xf xR, τότε να βρείτε την τιμή f(0).
18.4) Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει x)x(g)x(f xR, τότε
να αποδείξετε ότι οι f και g είναι συνεχείς στο xo=0.
190 ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ)
18.5) Έστω η συνάρτηση με τύπο tx
tx2
t e1xexlim)x(f
, xR. Να
γράψετε τον τύπο της συνάρτησης f σε απλούστερη μορφή και να
αποδείξετε ότι είναι συνεχής.
18.6) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, τότε να αποδείξετε ότι
)x(f2)]hx(f)hx(f[lim ooo0h
.
18.7) Έστω η συνάρτηση
ρρητοςάxαν,xxημ
ςόρητxαν,xxημ)x(f 2
2
. Να
αποδείξετε ότι:
(α) ημxx2≤f(x)≤ημx+x2 xR. (β) η f είναι συνεχής στο xo=0.
(γ) 1x
)0(f)x(flim0x
.
18.8) Έστω η συνάρτηση με τύπο
ρρητοςάxαν,x1ημxημ
ςόρητxαν,x)x(f .
Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο xo=0.
18.9) Έστω κ ένας πραγματικός αριθμός και έστω συνάρτηση f για την
οποία ισχύει ότι yxκ)y(f)x(f x,yR (Συνθήκη Lipschitz). Να
αποδείξετε ότι:
(α) η f είναι συνεχής .
(β) αν λ>κ, τότε η εξίσωση f(x)=λx έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα.
18.10) Έστω η συνάρτηση f:(0,+)R, ώστε f(x·y)=f(x)+f(y)
x,y(0,+).
(α) Αν η f είναι συνεχής στο xo=1, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
ΕΝΟΤΗΤΑ 18-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) 191
(β) Αν η f είναι συνεχής στον τυχαίο αριθμό α, όπου 0<α1, να
αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής.
18.11) Έστω συνάρτηση f:RR, ώστε να ισχύει ότι f(x+y)=f(x)+f(y)
x,yR.
(α) Να υπολογίσετε την τιμή f(0) και να αποδείξετε ότι f(xy)=f(x)f(y)
x,yR.
(β) Αν η f είναι συνεχής στον αριθμό αR*, τότε να αποδείξετε ότι η f
είναι συνεχής.
192 ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΕΝΟΤΗΤΑ 19η
Συνέχεια Συνάρτησης σε Διάστημα-Γραφική Παράσταση
Συνεχούς Συνάρτησης
Η γραφική παράσταση μίας συνεχούς συνάρτησης πολλές φορές ταυτίζεται
στο νου μας με μία καμπύλη που δεν διακόπτεται. Αυτό δεν είναι πάντα
σωστό. Σε αυτή την ενότητα θα δούμε ότι βασικός παράγοντας που
καθορίζει αν μία συνεχής συνάρτηση έχει καμπύλη που δεν διακόπτεται
είναι η μορφή του πεδίου ορισμού της. Επίσης θα εξετάσουμε και το
αντίστροφο, δηλαδή αν και κατά πόσο μία καμπύλη που δεν διακόπτεται
αντιστοιχεί πάντα σε συνεχή συνάρτηση.
Α) Συνέχεια Συνάρτησης σε Διάστημα.
Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:
Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να δοθούν για τα ημιάνοικτα διαστήματα
[α,β) και (α,β] όπου α }{R και β }{R (δοκιμάστε να τους
διατυπώσετε).
Ορισμός 19,1: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο ανοικτό διάστημα
(α,β), δηλαδή (α,β)Df. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο (α,β) αν
είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β), δηλαδή όταν ισχύει
)x(f)x(flim oxx o
xo(α,β).
Ορισμός 19.2: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό διάστημα
[α,β], δηλαδή [α,β]Df. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β] όταν:
(α) είναι συνεχής στο (α,β)
(β) ισχύει ότι )α(f)x(flimαx
και )β(f)x(flimβx
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 193
Β) Γραφική Παράσταση Συνεχούς Συνάρτησης.
(i) Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα
Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε διάστημα, τότε η γραφική της
παράσταση δεν «διακόπτεται» στο διάστημα αυτό:
Παράδειγμα 1ο:
Στο διπλανό σχήμα η f είναι
συνεχής στο [α,β).
Παράδειγμα 2ο:
Στο διπλανό σχήμα η f είναι
συνεχής στο [α,β].
Παράδειγμα 3ο:
Στο διπλανό σχήμα η f είναι
συνεχής στο (α,β).
194 ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
(ii) Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε ένωση ξένων
μεταξύ τους διαστημάτων
Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο
ορισμού την ένωση δύο ξένων
διαστημάτων π.χ. έστω Df=(α,β](γ,δ)
με β<γ (βλέπε σχήμα δίπλα). Έστω
επιπλέον ότι η συνάρτηση f είναι
συνεχής, δηλαδή συνεχής για κάθε xoDf. Τότε η γραφική παράσταση
της f διακόπτεται, διότι δεν ορίζεται στο διάστημα (β,γ), εντούτοις όπως
είπαμε είναι συνεχής.
Επίσης αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού την ένωση δύο ή
περισσοτέρων ξένων μεταξύ τους ανοικτών διαστημάτων ώστε
Df=(α,β)(β,γ)(γ,δ)... , τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f
θα διακόπτεται ακόμη και αν η f είναι συνεχής (στο πεδίο ορισμού της).
Κλασικό παράδειγμα αποτελεί η
συνάρτηση με τύπο x1)x(f η οποία
είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών. Το
γράφημα της όμως διακόπτεται, διότι
έχει πεδίο ορισμού την ένωση
(,0)(0,+).
Ας εξετάσουμε τη συνέχεια
της συνάρτησης f η οποία
φέρει τη γραφική παράσταση
του διπλανού σχήματος:
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 195
Η γραφική της παράσταση βλέπουμε ότι διακόπτεται για x=α. Αυτό δεν
πρέπει να μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση δεν είναι
συνεχής, διότι για τον αριθμό α ισχύει ότι αDf (δεν εξετάζουμε τη
συνέχεια σε σημεία που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισμού). Στην
πραγματικότητα αν πάρουμε ένα οποιοδήποτε xo του πεδίου ορισμού,
τότε βλέπουμε ότι ισχύει )x(f)x(flim oxx o
και επομένως η f είναι
συνεχής (στο πεδίο ορισμού της).
Μία συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο xo όταν:
(α) xoΔDf, όπου Δ (ανοικτό) διάστημα του πεδίου ορισμού και
(β) η γραφική παράσταση της f
διακόπτεται για x=xo.
Σύμφωνα με την παραπάνω
παρατήρηση η συνάρτηση του
διπλανού σχήματος δεν είναι συνεχής
στο xo:
Λύση:
(α) Ισχύει ότι 1xlim)x(flim 2
1x1x
και
2)x2(lim)x(flim1x1x
.
Παράδειγμα 19.1: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
2x1,x2
1x,x)x(f2
. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f είναι :
(α) συνεχής στο xo=1 (β) συνεχής στο [1,2]
(γ) συνεχής για κάθε x[1,2].
196 ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Επειδή )x(flim)x(flim1x1x
έπεται ότι η f δεν είναι συνεχής στο xo=1.
Βλ. και σχήμα παραπάνω.
(β) Η f είναι συνεχής στο (1,2) ως πολυωνυμική. Επίσης ισχύει ότι:
(i) )1(f2)x2(lim)x(flim1x1x
.
(ii) )2(f4)x2(lim)x(flim2x2x
.
Άρα η f είναι συνεχής στο [1,2].
Δηλαδή η f είναι συνεχής στο [1,2]
χωρίς να είναι συνεχής στο xo=1 !!!
Αυτό μπορούμε να το καταλάβουμε
καλύτερα, αν περιορίσουμε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης f στο [1,2]:
Βλέπουμε ότι αν η f οριζόταν μόνο
στο [1,2], η f θα ήταν συνεχής σε
αυτό το διάστημα και το γράφημά
της δεν θα διακοπτόταν.
(γ) Αφού η f δεν είναι συνεχής στο xo=1, τότε προφανώς δεν είναι
συνεχής για κάθε x[1,2].
Σημαντικά σχόλια:
Από τις απαντήσεις στα ερωτήματα (β) και (γ) βλέπουμε ότι οι εκφράσεις: «συνάρτηση συνεχής στο διάστημα Δ» και «συνάρτηση συνεχής για κάθε x που ανήκει σε διάστημα Δ» δεν είναι εννοιολογικά ταυτόσημες. Στην πρώτη περίπτωση περιορίζουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f στο διάστημα Δ, οπότε εξετάζουμε τη συνέχεια σε αυτή τη νέα συνάρτηση που προκύπτει, ενώ στη δεύτερη περίπτωση όχι.
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να επεκταθεί η έννοια και σε ένωση διαστημάτων.
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 197
Γ) Συνεχές ή Συνεκτικό Γράφημα.
Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό:
Ωστόσο ο παραπάνω ορισμός στερείται αυστηρότητας, δηλαδή δίνει έναν
περιγραφικό και όχι αυστηρό ορισμό, όταν επικαλείται τη φράση «δεν
σηκώνουμε το μολύβι από το χαρτί».
Ας δούμε τη συνάρτηση f του
διπλανού σχήματος:
Σύμφωνα με τον προηγούμενο
ορισμό, η συνάρτηση f του
σχήματος είναι συνεχής στο
[α,β] και έχει συνεκτικό
γράφημα στο [α,β].
Παρατηρήστε ότι το σύνολο τιμών στο [α,β] είναι επίσης διάστημα,
δηλαδή το f([α,β]) είναι διάστημα.
Ας δούμε ένα παράδειγμα μη
συνεκτικού γραφήματος
συνάρτησης ορισμένης στο
διάστημα Δ=(,+):
Παρατηρούμε ότι όταν διακόπτεται
η γραφική παράσταση μίας
συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένα
διάστημα Δ, τότε υπάρχει κάποιο διάστημα ΑΔ, ώστε η εικόνα f(A) να
μην είναι διάστημα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα αν θεωρήσουμε το
διάστημα Α=[0,2], τότε f(A)=[0,1)[2,4] (ένωση ξένων διαστημάτων και
όχι διάστημα).
Ορισμός 19.3: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ
(ΔDf). Θα λέμε ότι το γράφημα της f είναι συνεχές ή συνεκτικό στο
Δ, όταν για τη χάραξή του «δεν σηκώνουμε το μολύβι από το χαρτί».
198 ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Με τη βοήθεια των προηγούμενων παραδειγμάτων μπορούμε να
οδηγηθούμε στον παρακάτω αυστηρό ορισμό για τη συνεκτικότητα ενός
γραφήματος:
Στην παράγραφο Β(i) αυτής της ενότητας είδαμε ουσιαστικά την
παρακάτω συνεπαγωγή:
Το ερώτημα που τίθεται είναι αν ισχύει το αντίστροφο:
Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι αρνητική !!! Υπάρχουν δηλαδή
συναρτήσεις ορισμένες σε διάστημα Δ των οποίων το γράφημα είναι
συνεκτικό (συνεχές) και εντούτοις οι συναρτήσεις δεν είναι συνεχείς στο
διάστημα αυτό.
Ορισμός 19.4: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ
(ΔDf). Θα λέμε ότι το γράφημα της f είναι συνεχές ή συνεκτικό στο
Δ, όταν για κάθε διάστημα Α με ΑΔ, τότε η εικόνα f(A) είναι επίσης
διάστημα.
f συνεχής σε
διάστημα Δ.
Το γράφημα
Cf είναι
συνεκτικό
(συνεχές)
στο Δ.
f συνεχής
στο
διάστημα Δ.
Έστω συνάρτηση f
ορισμένη σε διάστημα Δ
και το γράφημα Cf είναι
συνεκτικό στο (συνεχές)
Δ.
(τότε ;;;;)
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 199
Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η συνάρτηση με τύπο
0x,0
0x,x1ημ
)x(f . Το γράφημά της φαίνεται στο επόμενο σχήμα:
Όσο το x0, τότε το γράφημα Cf μοιάζει με ένα ελατήριο που έχει
άπειρες σπείρες.
Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής, διότι δεν υπάρχει το όριο
x1ημlim
0x.
Πράγματι, όταν x0, τότε η τιμή f(x) παίρνει όλες τις τιμές του
διαστήματος [1.1] (ανεβαίνει μέχρι το 1-κατεβαίνει μέχρι το 1 και
επαναλαμβάνεται συνεχώς η ίδια διαδικασία άπειρες φορές). Ωστόσο το
γράφημα Cf είναι συνεκτικό, διότι για κάθε διάστημα ΑDf (=R)
παρατηρούμε ότι το f(A) είναι επίσης διάστημα με f(A)[1,1].
Σύνοψη:
(α) Το γράφημα μίας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα δεν
διακόπτεται.
(β) Μία συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένωση ξένων μεταξύ τους
διαστημάτων θα έχει γράφημα το οποίο ενδέχεται να διακόπτεται.
(γ) Υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι συνεχείς σε διάστημα και
εντούτοις το γράφημα τους δεν διακόπτεται στο διάστημα αυτό.
200 ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
19.1) Να εξετάσετε ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς και ποιες όχι , όταν
το γράφημα τους έχει τη μορφή:
Α) Β)
Γ) Δ)
Ε)
19.2) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
0x,x30x,1x7)x(f
2
. Να
εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής:
(α) στο xo=0 (β) στο διάστημα [0,+)
(γ) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα [0,+).
ΕΝΟΤΗΤΑ 19-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 201
19.3) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
2πx,x62πx,xημ3
)x(g . Να
εξετάσετε αν η συνάρτηση g είναι συνεχής:
(α) στο xo= 2π (β) στο διάστημα [
2π ,+)
(γ) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα [2π ,+).
202 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
ΕΝΟΤΗΤΑ 20η
Το θεώρημα Bolzano Ισχύει το παρακάτω χρήσιμο θεώρημα που μας εξασφαλίζει την ύπαρξη
μίας τουλάχιστον ρίζας σε ανοικτό διάστημα (α,β) υπό προϋποθέσεις:
Γεωμετρική Ερμηνεία:
Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και οι
τιμές f(α) και f(β) είναι ετερόσημες, τότε η Cf τέμνει τον άξονα x΄x σε
ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη xo όπου xo(α,β) (βλ. σχήμα
παρακάτω).
Παρατηρήσεις:
Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης f(x)=0 στο (α,β). Η εξίσωση ενδέχεται να έχει περισσότερες από μία ρίζες.
Θεώρημα Bolzano: Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο κλειστό
διάστημα [α,β], δηλαδή [α,β]Df. Αν ισχύουν ότι:
(α) η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και
(β) f(α)·f(β)<0
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον xo(α,β) τέτοιο, ώστε f(xo)=0.
Δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο
ανοικτό διάστημα (α,β).
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 203
Με το θεώρημα Bolzano δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ούτε τις τιμές των ριζών, ούτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=0 στο (α,β).
Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Δηλαδή αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα (α,β), τότε δεν έπεται ότι η f είναι συνεχής στο [α,β], ούτε ότι f(α)·f(β)<0 όπως φαίνεται και στα παρακάτω σχήματα:
Παραδείγματα:
Λύση: Ισχύει ότι ημx=x1 ημxx+1=0. Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=ημxx+1.
Η f είναι συνεχής στο [0,π] ως πράξη συνεχών. Ισχύει ότι f(0)=ημ00+1=1>0 και f(π)=ημππ+1=1π<0. Άρα
f(0)·f(π)<0. Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ένα (τουλάχιστον9) xo(0,π), ώστε f(xo)=0 ημxo=xo1.
9 Στα μαθηματικά όταν αναφέρουμε τη λέξη ένα(ς), μία κ.τ.λ. εννοούμε τουλάχιστο. Για παράδειγμα η φράση «μία ρίζα» σημαίνει τουλάχιστον μία ρίζα. Διαφορετικά θα χρησιμοποιούμε τον όρο μοναδική ρίζα ή τον όρο ακριβώς μία ρίζα κ.τ.λ.
Παράδειγμα 20.1: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ημx=x1 έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο (0,π).
204 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
Σχόλιο: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε θα μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο ένα μέλος και θα θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο αυτόν που προέκυψε από την εξίσωση μετά τη μεταφορά. Λύση: Έστω ότι η εξίσωση της εκφώνησης έχει ρίζα xo(1,2). Τότε
0)1x()1x()2x()1x(02x1x
1x1x 6
οοο4ο
ο
6ο
ο
4ο
. Θεωρούμε
τη συνάρτηση με τύπο )1x()1x()2x()1x()x(f 64 .
Παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο [1,2] ως πολυωνυμική. f(1)=2·(1)= 2<0 και f(2)=65>0. Άρα f(1)·f(2)<0.
Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ένα xo(1,2), ώστε
f(xo)=0... 02x1x
1x1x
ο
6ο
ο
4ο
.
Σχόλιο: Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μία κλασματική εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α,β) και η παράσταση της εξίσωσης δεν ορίζεται για x=α ή για x=β, τότε κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών και εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.
Λύση: Ισχύει ότι 3f(α)+2f(β)=0 )β(f32)α(f . Παρατηρούμε ότι:
Η f είναι συνεχής στο [α,β] από υπόθεση.
Παράδειγμα 20.2: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 02x1x
1x1x 64
έχει ρίζα στο (1,2).
Παράδειγμα 20.3: Έστω συνάρτηση f:[α,β]R συνεχής, για την οποία ισχύει ότι 3f(α)+2f(β)=0. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα στο [α,β].
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 205
0)β(f32)β(f)α(f 2 .
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (α) Αν f(α)·f(β)=0 f(α)=0 ή f(β)=0. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση f(x)=0 έχει ρίζα τουλάχιστον έναν από τους αριθμούς α και β. (β) Αν f(α)·f(β)<0, τότε από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει xo(α,β), ώστε f(xo)=0. Σε κάθε περίπτωση, η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [α,β]. Σχόλιο: Αν η f συνεχής στο [α,β] και f(α)·f(β)≤0, τότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις (i) f(α)·f(β)=0 και (ii) f(α)·f(β)<0 όπως παραπάνω. Λύση: Ισχύει ότι lnx=x5 lnxx+5=0. Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=lnxx+5, x>0. Τότε
50)(ήμορφ
0x0x)5xx(lnlim)x(flim .
Άρα υπάρχει πραγματικός αριθμός α κοντά στο 0 με 0<α<1, ώστε f(α)<0. Τώρα παρατηρούμε ότι: Η f είναι συνεχής στο [α,1] ως πράξη συνεχών. f(α)<0 και f(1)=ln11+5=4>0. Άρα f(α)·f(1)<0.
Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει xo(α,1)(0,1), ώστε f(xo)=0lnxo=xo5. Σχόλιο: Αν αR και )ή()x(flim
αx
, τότε f(x)>0 (ή f(x)<0)
κοντά στο α.
Παράδειγμα 20.4: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση lnx=x5 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
Παράδειγμα 20.5: Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση x3+x=1 έχει ακριβώς μία ρίζα, η οποία μάλιστα ανήκει στο (0,1).
206 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
Λύση: Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=x3+x1 η οποία εύκολα αποδεικνύεται με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα xo(0,1) (όπως στα προηγούμενα παραδείγματα). Η μοναδικότητα θα αποδειχτεί με τη βοήθεια της μονοτονίας: Έστω x1,x2R με x1<x2. Τότε x1<x2 2
321
31
32
31 xxxxxx
)x(f)x(f1xx1xx 212321
31 . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα
και έπεται ότι η ρίζα της f είναι μοναδική. (Πράγματι αν θεωρήσουμε έναν αριθμό λ με λxo, τότε επειδή η f είναι 1-1, θα ισχύει ότι f(λ)f(xo) f(λ)0.) Με τη βοήθεια του θεωρήματος Bolzano, μπορούμε να αποδείξουμε την παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Έστω συνάρτηση f συνεχής και 1-1 σε διάστημα Δ. Τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα αυτό. Λύση: Ας υποθέσουμε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Τότε θα υπάρχουν x1,x2,x3Δ με x1<x2<x3, ώστε να ισχύει ακριβώς μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: (Ι) f(x1) < f(x3) < f(x2) (II) f(x3) < f(x1) < f(x2) (III) f(x2) < f(x1) < f(x3) (IV) f(x2) < f(x3) < f(x1) Έστω ότι ισχύει η περίπτωση (Ι). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)f(x3). Η g είναι συνεχής στο [x1,x2] ως διαφορά της συνεχούς
συνάρτησης f με τη σταθερή, άρα και συνεχή, συνάρτηση f(x3). (Το f(x3) είναι σταθερός αριθμός).
Ισχύει g(x1)=f(x1)f(x3)<0 και g(x2)=f(x2)f(x3)>0. Άρα g(x1)·g(x2)<0.
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 207
Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ξ(x1,x2), ώστε
g(ξ)=0f(ξ)f(x3)=0f(ξ)=f(x3)11f
ξ=x3, άτοπο διότι ξ<x2<x3. Όμοια απορρίπτονται και οι άλλες περιπτώσεις. (Πράγματι αν ισχύει f(xλ) < f(xκ) < f(xμ), τότε θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)f(xκ) στο διάστημα [xλ,xμ] αν xλ<xμ ή στο διάστημα [xμ,xλ] αν xμ<xλ.) Αφού απορρίπτονται όλες οι περιπτώσεις, έπεται ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
20.1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
(α) 8x212x2=6x5 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,1).
(β) 3 x5x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2).
(γ) x3=2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 2 ).
(δ) 01x1x
3x1x 26
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,3).
(ε) 2
1xxημ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0,3).
(στ) x=συνx έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (6π ,
4π ).
(ζ) (2α4+7)x6α2x5+(α1)x3αx3=0 έχει, για κάθε πραγματικό αριθμό α,
μία τουλάχιστον θετική ρίζα xo με xo<1.
(η) x2+x=42λ έχει για κάθε λR, με 1<λ<2 μία τουλάχιστον ρίζα στο
διάστημα (1,1).
(θ) 2xσφ3xεφ4 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα(4π ,
3π ).
208 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
(ι) 02x
xln1x
ex
έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2).
20.2) Έστω συνάρτηση f:[α,α][α,α] συνεχής. Να δείξετε ότι
υπάρχει:
(α) ένα τουλάχιστον ξ[α,α], ώστε f(ξ)= ξ.
(β) ένα τουλάχιστον σημείο της Cf που ανήκει στην ευθεία y=x.
20.3) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:[α,β][α,β] με g(α)=α και
g(β)=β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=g(x) έχει μία τουλάχιστον
πραγματική ρίζα.
20.4) Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f:R(,1) και g:R(1,+). Αν
υπάρχουν ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί α και β με f(α)=α, g(β)=β και
α<β, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo(α,β) ώστε
f(xo)·g(xo)=xo.
20.5) Αν α,β,γ,δ>0 και κ<λ<μ<ν, τότε να δείξετε ότι η εξίσωση
0νx
δμx
γλx
βκx
α
έχει ακριβώς μία ρίζα σε καθένα από τα
διαστήματα (κ,λ), (λ,μ) και (μ,ν).
20.6) Να δείξετε ότι η εξίσωση
α(xμ)(xν)+β(xλ)(xν)+γ(xλ)(xμ)=0 με α,β,γ>0 και λ<μ<ν έχει δύο
ρίζες άνισες, μία στο (λ,μ) και μία στο (μ,ν).
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 209
20.7) Να δείξετε ότι η εξίσωση x2πημαxημ έχει τουλάχιστον μία
ρίζα στο (0,2π ] για κάθε αR.
20.8) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[α,β]R και οι θετικοί αριθμοί κ και
λ για τους οποίους ισχύει ότι κf(α)+λf(β)=0. Να δείξετε ότι η εξίσωση
f(x)=0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [α,β].
20.9) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:RR, ώστε f(ημx)+f(συνx)=1
xR. Να δείξετε ότι:
(α) f(0)+f(1)=1.
(β) η εξίσωση f(x)=x έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [0,1].
20.10) Έστω f:[0,1]R συνεχής, ώστε 2
)1(f)0(f)x(f x[0,1]. Να
δείξετε ότι:
(α) f(0)=f(1)
(β) υπάρχει ένα τουλάχιστον xo[0,1], ώστε 2
)x(f)x(fx o2oo .
20.11) Έστω α>0 και f:[0,α]R συνεχής με f(0)=f(α). Έστω η
συνάρτηση με τύπο )2αx(f)x(f)x(g .
(α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της g.
(β) Να δείξετε ότι η εξίσωση )2αx(f)x(f έχει μία τουλάχιστον ρίζα
στο [0, ]2α .
210 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
20.12) Έστω f:RR συνεχής και οι πραγματικοί αριθμοί β και γ, ώστε
να ισχύει 1x6x2x)x(fγ)x(fβ)x(f 2323 xR με β2<3γ. Να
δείξετε ότι η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
20.13) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0,1] με f(0)=f(1). Να δείξετε ότι
υπάρχει:
(α) τουλάχιστον ένα ξ[0,1], ώστε )21ξ(f)ξ(f .
(β) τουλάχιστον ένα ξ[0,1], ώστε )31ξ(f)ξ(f .
20.14) Έστω f:[0,1](0,1) συνεχής. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(0,1),
ώστε .ξξ)ξ(f)ξ(f 22
20.15) Έστω η συνάρτηση f:[π,π]R με τύπο f(x)=x2xημxσυνx. Να
δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα
(π,π).
20.16) Να δείξετε ότι η εξίσωση x1xημ έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο
(0,π).
20.17) Να δείξετε ότι η εξίσωση σφx=x έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο
(2π,
2π
).
20.18) Να προσδιορίσετε το πλήθος των ριζών της συνάρτησης με τύπο
f(x)=x7+3x+1.
ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 211
20.19) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x·2x=1 έχει μοναδική πραγματική
ρίζα xo και μάλιστα ισχύει ότι xo(0,1).
20.20) Να δείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει
τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.
20.21) Να δείξετε ότι η εξίσωση x·ex=1 έχει ακριβώς μία πραγματική
ρίζα.
20.22) Έστω νn* με ν άρτιο. Να δείξετε ότι η εξίσωση ex=xν έχει
μοναδική πραγματική ρίζα στο διάστημα (,0).
20.23) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x)=x4+αx3+βx21 έχει
τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες α,βR.
20.24) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f(x)=lnx και x1)x(g έχουν μοναδικό κοινό σημείο.
20.25) (Πρόβλημα σταθερού σημείου)
Ένας περιπατητής ξεκίνησε στις 8:00 π.μ. από το σημείο Β που βρίσκεται
στους πρόποδες ενός βουνού και έφτασε στην κορυφή του στο σημείο Α
στις 21:00. Την επόμενη ημέρα ξεκίνησε να κατεβαίνει το βουνό, από το
ίδιο μονοπάτι, κατά τις 8:00 π.μ. και έφτασε ξανά στο σημείο Β κατά τις
21:00. Και στις δύο διαδρομές του ο περιπατητής έκανε διάφορες
στάσεις. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο Γ στο μονοπάτι στο οποίο
ο περιπατητής έφτασε την ίδια ώρα και όταν ανέβαινε και όταν
κατέβαινε.
212 ΕΝΟΤΗΤΑ 20-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
20.26) (Ειδική Περίπτωση του Θεωρήματος Borsuk-Ulam)
Αν υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία όλων των σημείων του ισημερινού
της Γης την ίδια χρονική στιγμή to περιγράφεται από μία συνεχή
συνάρτηση, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον
αντιδιαμετρικά σημεία που έχουν ταυτόχρονα την ίδια θερμοκρασία.
ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 213
ΕΝΟΤΗΤΑ 21η
Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano (I)
Πρόσημο Συνεχούς Συνάρτησης Α) Συνεχής συνάρτηση σε διάστημα με τιμές διάφορες του μηδενός
Ισχύει η παρακάτω πρόταση:
Απόδειξη: Έστω ότι υπάρχουν αριθμοί x1, x2Δ με f(x1)<0<f(x2). Τότε η f είναι συνεχής στο [x1,x2] αν x1<x2 ή είναι συνεχής στο [x2, x1] αν x2<x1 και f(x1)·f(x2)<0. Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει xoR ανάμεσα στους αριθμούς x1 και x2, ώστε f(xo)=0, άτοπο. Εφαρμογή 1: Έστω συνάρτηση f συνεχής στο Δ=[1,3] με f(x)0 xΔ και f(2)= 8. Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση η f θα έχει σταθερό πρόσημο στο Δ και επειδή f(2)<0, έπεται ότι f(x)<0 για κάθε xΔ=[1,3]. Χρήσιμη είναι και η παρακάτω πρόταση η οποία είναι άμεση συνέπεια της πρότασης 21.1:
Πρόταση 21.1: Έστω συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα Δ με f(x)0
για κάθε xΔ. Τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ.
Πρόταση 21.2: Έστω συνάρτηση f συνεχής σε διάστημα Δ και ρ1, ρ2
δύο διαδοχικές ρίζες της f που ανήκουν στο Δ, δηλαδή ρ1, ρ2Δ με
ρ1<ρ2 και f(ρ1)=f(ρ2)=0 ενώ f(x)0 για κάθε x(ρ1,ρ2)Δ. Τότε η f
διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (ρ1,ρ2).
214 ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παραδείγματα: Λύση: Η f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επιπλέον
έχουμε:
)1(
1xσυνxημxσυνxημ0xσυνxημ0)x(f
4π7xή
4π3x1xεφ
14πεφ
]π2,0[x
(2).
(1) Είναι συνx0, διότι αν συνx=0, τότε θα ίσχυε και ημx=0, άτοπο από την ταυτότητα ημ2x+συν2x=1. (2) Οι λύσεις στο [0,2π] προκύπτουν άμεσα από το παρακάτω σχήμα:
Παράδειγμα 21.1: Να εξεταστεί το πρόσημο της συνάρτησης με τύπο f(x)=ημx+συνx για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού x[0,2π].
ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 215
Το πρόσημο της συνάρτησης f για τις διάφορες τιμές του x[0,2π] φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Σε κάθε διάστημα [α,β] επιλέγουμε κατάλληλο αριθμό xo[α,β], ώστε ο υπολογισμός του προσήμου της τιμής του f(xo) να είναι εύκολος. Αν μάλιστα κάποια από τις τιμές f(α) και f(β) είναι διάφορη από το μηδέν, τότε ως xo μπορούμε να επιλέξουμε αντίστοιχα τους αριθμούς α ή β (π.χ. xo=0 και xo=2π).
Λύση: (α) 1x)x(f1x)x(f1x)x(f 22
.1x)x(fή1x)x(f (1) Δεν πρέπει να νομίζουμε ότι η f έχει δύο μόνο πιθανούς τύπους. Στην πραγματικότητα αυτό που δείχνει η σχέση (1) είναι δύο διαφορετικές δυνατότητες αντιστοιχίας του εκάστοτε xDf: 1xx ή
1xx . Η σχέση (1) λοιπόν αναφέρεται σε άπειρες συναρτήσεις
της μορφής
Bx,1xAx,1x)x(f όπου ΑΒ=Df=[1,+) και
ΑΒ=. Για παράδειγμα μία συνάρτηση που ικανοποιεί την προηγούμενη συνθήκη είναι αυτή που περιγράφεται από το παρακάτω βελοδιάγραμμα:
Παράδειγμα 21.2: Έστω συνάρτηση f :[1,+)R για την οποία ισχύει ότι 1x)x(f 2 x[1,+). (α) Να βρεθούν οι δυνατοί τύποι της συνάρτησης f. (β) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f, αν είναι συνεχής και επιπλέον ισχύει ότι f(3)= 2.
216 ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Δύο ειδικές περιπτώσεις, από τις άπειρες, έχουμε όταν: (i) Β=, οπότε A=Df και τότε 1x)x(f xA=[1,+).
(ii) A=, οπότε B=Df και τότε 1x)x(f xB=[1,+). (β) Λύνουμε την εξίσωση 1x01x0)x(f0)x(f 2 . Οπότε για x(1,+) ισχύει f(x)0, ενώ f(1)=0. Επιπλέον η f είναι συνεχής, οπότε θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (1,+). Παρατηρούμε επίσης ότι: (i) για κάθε x(1,+) θα ισχύει ότι 1x)x(f0)x(f και
(ii) για κάθε x(1,+) θα ισχύει ότι 1x)x(f0)x(f . Όμως f(3)= 2, οπότε για κάθε x(1,+) θα ισχύει ότι f(x)<0. Άρα για κάθε x(1,+), έχουμε ότι 1x)x(f . Ο τελευταίος τύπος επαληθεύει και την ισότητα f(1)=0. Επομένως 1x)x(f για κάθε x[1,+).
Παράδειγμα 21.3: Έστω συνάρτηση f:RR συνεχής για την οποία ισχύει 1)x(xf2)x(f 2 για κάθε xR. Αν 1)0(f ,να βρεθεί ο τύπος της f.
ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 217
Λύση: Με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου έχουμε: 1xx)x(xf2)x(f1)x(xf2)x(f1)x(xf2)x(f 22222
1x]x)x(f[ 22 . Θέτουμε h(x)=[f(x)x]2, xR. Τότε η h είναι συνεχής ως πράξη συνεχών και ισχύει ότι:
1x)x(h1x)x(h 222 ή 1x)x(h 2 . Ακόμη h(x)=0h2(x)=0x2+1=0x2= 1 αδύνατο. Άρα h(x)0 xR και επομένως η συνάρτηση h διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Ισχύει όμως 10)0(f)0(h . Άρα h(x)<0 xR. Δηλαδή
1xx)x(f1xx)x(f1x)x(h 222 xR. Λύση: Για κάθε xR ισχύει ότι
x)x(fήx)x(fx)x(fx)x(fx)x(f 2222 .
Άρα η συνάρτηση f έχει τύπο της γενικής μορφής
Bx,xAx,x
)x(f ,
όπου ΑΒ=R. Επιπλέον, ισχύει η ισοδυναμία 0x0x0)x(f0)x(f 22 . Δηλαδή η συνάρτηση f έχει μοναδική ρίζα τη x=0. Επειδή λοιπόν η συνάρτηση f είναι συνεχής και μηδενίζεται μόνο για x=0, τότε θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0) και (0,). Το πρόσημο των παραστάσεων x και x φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:
Για x(,0) Για x(0,+)
Τότε x<0 x>0
x>0 x<0
Παράδειγμα 21.4: Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:RR, για τις οποίες ισχύει η συναρτησιακή σχέση 22 x)x(f
xR.
218 ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Όπως είπαμε η συνάρτηση f θα έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0) και (0,). Επομένως προκύπτουν οι εξής τέσσερις περιπτώσεις: (α) Αν f(x)>0 x(,0) και f(x)>0 x(0,+): Τότε σύμφωνα και με τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι:
x)x(f0x,x0x,x
)x(f0x,x0x,00x,x
)x(f
xR.
(Επειδή η αντιστοιχία x=0 y=0, επαληθεύεται από την αντιστοιχία x x, για αυτό την περίπτωση x=0 τη συγχωνεύσαμε με την περίπτωση x<0. Όμοια την περίπτωση x=0, θα μπορούσαμε να τη συγχωνεύσουμε με την περίπτωση x>0. Δηλαδή θα μπορούσαμε να γράψουμε και
0x,x0x,x
)x(f )
(β) Αν f(x)>0 x(,0) και f(x)<0 x(0,+):
Τότε θα έχουμε ότι x)x(f0x,x0x,00x,x
)x(f
xR.
(γ) Αν f(x)<0 x(,0) και f(x)<0 x(0,+):
Τότε θα έχουμε ότι
0x,x0x,x
)x(f0x,x0x,00x,x
)x(f
x)x(f xR.
(δ) Αν f(x)<0 x(,0) και f(x)>0 x(0,+):
Τότε θα έχουμε ότι x)x(f0x,x0x,00x,x
)x(f
xR.
ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 219
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
21.1) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f για όλες τις τιμές του
πραγματικού αριθμού x, όταν:
(α) 2xx2x)x(f 23 , xR.
(β) 3xεφ)x(f ,
π,
2π
2π,
2π
2π,πx .
(γ) xσυνxημ)x(f , x[π,π].
(δ) f(x)=ημ2x+ 2 συνx, x[0,2π].
(ε) xσφxεφ)x(f ,
π2,
2π3
2π3,ππ,
2π
2π,0x .
(στ) xx)x(f , x[0,+).
21.2) Έστω συνάρτηση f:[1,1]R, συνεχής, ώστε να ισχύει
1)x(fx 22 x[1,1] και f(0)=1. Να βρείτε τον τύπο της f και να
χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
21.3) Έστω συνάρτηση f:ΑR, συνεχής με 0Α και επιπλέον να ισχύει
η συναρτησιακή σχέση )x(xf2x31)x(f 22 xA. Αν επιπλέον
ισχύει ότι f(0)=1, τότε:
(α) να υπολογίσετε το ευρύτερο σύνολο Α που μπορεί να έχει ως πεδίο
ορισμού η συνάρτηση f.
(β) να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για το σύνολο Α του
προηγούμενου ερωτήματος.
220 ΕΝΟΤΗΤΑ 21- ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
21.4) Έστω συνάρτηση f:
2π,
2π R, ώστε να ισχύει 1)x(fxημ 22
x
2π,
2π και 1)0(f .
(α) Να βρείτε τη γενική μορφή που έχει ο τύπος της συνάρτησης f.
(β) Να βρείτε τον συγκεκριμένο τύπο της f, αν είναι γνωστό ότι είναι
συνεχής.
21.5) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:AR, ώστε να ισχύει ότι
x4x)x(f 22 xA.
(α) Να βρείτε το ευρύτερο σύνολο Α το οποίο μπορεί να έχει η
συνάρτηση ως πεδίο ορισμού.
(β) Να προσδιορίσετε τους τύπους που μπορεί να έχει η συνάρτηση f στο
σύνολο Α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα.
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 221
ΕΝΟΤΗΤΑ 22η
Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano (IΙ)
Σύνολο Τιμών Συνεχούς Συνάρτησης Α) Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής
Ισχύει το παρακάτω θεώρημα, το οποίο αποτελεί γενίκευση του
θεωρήματος Bolzano:
Απόδειξη: Έστω f(α)<yo<f(β). Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)yo η οποία είναι συνεχής στο [α,β] ως διαφορά συνεχών και για την οποία ισχύει ότι g(α)·g(β)<0, διότι g(α)=f(α)yo<0 και g(β)=f(β)yo>0. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει xo(α,β), ώστε g(xo)=yof(xo)=yo.
Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής (Θ.Ε.Τ.): Έστω συνάρτηση f ορισμένη
σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], δηλαδή [α,β]Df. Αν η συνάρτηση f
είναι:
(α) συνεχής στο [α,β] και
(β) f(α)f(β) τότε,
για κάθε αριθμό yo μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένα τουλάχιστον
xo(α,β), ώστε f(xo)=yo.
222 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Σχόλιο: Αν μία συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα: Με τη βοήθεια του Θ.Ε.Τ. αποδεικνύεται η παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μία συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα. Απόδειξη: Παραλείπεται
Εφαρμογή 1: Έστω η συνάρτηση f(x)=x35x+1, x[1,2]. Τότε υπάρχει ξ(1,2), ώστε f(ξ)= 2. Λύση: Η f είναι συνεχής στο [1,2] ως πολυωνυμική. Ακόμη f(1)= 3 και f(2)= 1. Επειδή f(1)<2<f(2), σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(1,2) ώστε f(ξ)= 2.
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 223
Β) Θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής Ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Το παραπάνω θεώρημα εξασφαλίζει την ύπαρξη δύο τουλάχιστον αριθμών x1,x2[α,β], ώστε f(x1)=m, f(x2)=M και m≤f(x)≤M για κάθε x[α,β]. Παρατήρηση: Με εφαρμογή των θεωρημάτων Θ.Ε.Τ. και Θ.Μ.Ε.Τ. έπεται ότι η εικόνα f([α,β]) είναι ίση με το διάστημα [m,M]. Για παράδειγμα για τη συνεχή συνάρτηση f(x)=x44x2, με
xΑ=[59,
21
], ισχύει ότι
3≤f(x)≤0 για κάθε xA.
Δηλαδή ]0,3[])59,
21([f με
f(0)=0 και f(1)= 3. (βλ. σχήμα δίπλα)
Θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής (Θ.Μ.Ε.Τ.): Αν η f είναι
συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β], τότε η f παίρνει μία μέγιστη Μ
και μία ελάχιστη τιμή m.
224 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Γ) Σύνολο Τιμών Συνεχούς και Γνησίως Μονότονης Συνάρτησης Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το σύνολο τιμών μίας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης σε διάστημα:
Διάστημα Δ Μονοτονία f στο Δ f(Δ) Ενδεικτικό Σχήμα
Δ=[α,β] f1 [f(α),f(β)] (i)
f> [f(β),f(α)] (v)
Δ=[α,β) f1 [f(α), )x(flim
βx ) (ii)
f> ( )x(flimβx
,f(α)] (vi)
Δ=(α,β] f1 ( )x(flim
αx ,f(β)] (iii)
f> [f(β), )x(flimαx
) (vii)
Δ=(α,β) f1 ( )x(flim
αx , )x(flim
βx ) (iv)
f> ( )x(flimβx
, )x(flimαx
) (viii)
Στην περίπτωση που το ένα ή και τα δύο άκρα του διαστήματος Δ είναι ανοικτά, τότε ως α και β μπορούμε να θεωρήσουμε αντίστοιχα και τα στοιχεία ,+. Η κατανόηση και απομνημόνευση αυτών των αποτελεσμάτων μπορεί να γίνει μόνο με την ανάκληση κατάλληλων ενδεικτικών σχημάτων όπως φαίνονται και παρακάτω:
(i) (ii)
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 225
Παραδείγματα:
Λύση: (α) Πρέπει 2x00x
0x2
. Άρα Df=(0,2].
(β) Έστω x1,x2Df με x1<x2. Τότε 0<x1<x2≤2 και: )1(x23x23x2x2x2x2xx0 21212121
)2(1xln1xlnxlnxlnxlnxlnxx 21212121
Παράδειγμα 22.1: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 1xlnx23)x(f . Να βρεθούν για τη συνάρτηση f:
(α) το πεδίο ορισμού (β) η μονοτονία (γ) το σύνολο τιμών.
(iii) (iv)
(v) (vi)
(vii) (viii)
226 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Με πρόσθεση κατά μέλη των (1), (2) παίρνουμε ότι)x(f)x(f1xlnx231xlnx23 212211 . Άρα f>Df.
(γ) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,2]. Άρα το σύνολο
τιμών της f είναι το σύνολο
,2ln1)x(flim),2(f]2,0(f
0x.
Λύση: (α) x5+ex=2016 x5+ex2016=0. Θέτουμε f(x)= x5+ex2016 η οποία είναι συνεχής στο R ως πράξη συνεχών. Η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x)=0 και έχουμε:
20160)()2016ex(lim)x(flim x5
xx.
2016)()()2016ex(lim)x(flim x5
xx.
Άρα f(R)=(,+)=R. Επειδή 0(,+), δηλαδή ο αριθμός yo=0
ανήκει στο σύνολο τιμών της f, έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
xoR, ώστε f(xo)=0. Άρα η εξίσωση (1) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R.
Με τη βοήθεια της μονοτονίας θα αποδείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι
μοναδική. Έστω x1,x2R με x1<x2. Τότε:
52
5121 xxxx (1)
2016e2016eeexx 2121 xxxx21 (2)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) λαμβάνουμε τελικά ότι
f(x1)<f(x2). Άρα f1R και επομένως η (1) έχει μοναδική ρίζα.
(β) Α΄ τρόπος (Με θ. Bolzano): f(0)= 2016 και
)x(flimx
. Άρα
υπάρχει α>0, ώστε f(α)>0. Η f είναι συνεχής στο [0,α] και ακόμη ισχύει
Παράδειγμα 22.2: Έστω η εξίσωση x5+ex=2016 (1). (α) Να αποδειχτεί ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. (β) Να αποδειχτεί ότι η ρίζα της εξίσωσης είναι θετική.
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 227
ότι f(0)·f(α)<0. Από θεώρημα Bolzano έπεται ότι η εξίσωση (1) έχει
θετική ρίζα η οποία είναι και μοναδική, όπως αποδείχτηκε στο
προηγούμενο ερώτημα.
Β΄ τρόπος (Με σύνολο τιμών): Επειδή f1R, άρα και f1[0,+). Επίσης
2015)0(f και όπως έχουμε δείξει ισχύει ότι
)x(flimx
.
Επομένως f([0,+))=(2015,+). Επειδή 0(2015,+), έπεται ότι
υπάρχει xo[0,+), ώστε f(xo)=0. Όμως f(0)0, άρα xo(0,+). Δηλαδή
η εξίσωση (1) έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα που όπως αποδείχτηκε
από μονοτονία είναι μοναδική.
Στο ερώτημα (α) χρησιμοποιήσαμε την παρακάτω (προφανή) πρόταση:
Αν η f:(α,β)R είναι συνεχής και ισχύει
)x(flimκαι)x(flimή
)x(flimκαι)x(flim
βxαx
βxαx, τότε f((α,β))=(,+)=R
ακόμη και αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη.
Λύση: Επειδή η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [2,8], έπεται ότι η
f θα έχει μία μέγιστη Μ και μία ελάχιστη τιμή m, δηλαδή θα ισχύει ότι
m≤f(x)≤M x[2,8]. Άρα m≤f(3)≤M 3m≤3f(3)≤3M (1). Όμοια
προκύπτει ότι 5m≤5f(4)≤5M (2) και 2m≤2f(7)≤2M (3). Προσθέτοντας τις
(1), (2) και (3) κατά μέλη παίρνουμε ότι:
Παράδειγμα 22.3: Έστω συνάρτηση f:[2,8]R συνεχής. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo[2,8], ώστε
10)7(f2)4(f5)3(f3)x(f o
.
228 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
M10
)7(f2)4(f5)3(f3mM10)7(f2)4(f5)3(f3m10
.
Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Αν m=M, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή και άρα
Mm10
)7(f2)4(f5)3(f3)x(f
για κάθε x[2,8].
Αν m<M, τότε θα ισχύει ότι f([2,8])=[m,M]. Επειδή
]M,m[10
)7(f2)4(f5)3(f3
, θα υπάρχει xo[2,8] ώστε
10)7(f2)4(f5)3(f3)x(f o
.
Παρατήρηση: Το κλάσμα ήταν της μορφής
ν21
νν2211
λ...λλ)x(fλ...)x(fλ)x(fλ
, δηλαδή το άθροισμα των συντελεστών
των f(xi) ήταν ίσο με τον παρονομαστή. Λύση: Επειδή f1[2,8], έπεται ότι m=f(2)<f(3)<f(4)<f(7)<f(8)=M. Άρα m<f(3)<M και άρα 3m<3f(3)<3M. Εργαζόμενοι όμοια όπως στο παράδειγμα 3 καταλήγουμε στην ανισοτική σχέση
M10
)7(f2)4(f5)3(f3m
, δηλαδή )M,m(10
)7(f2)4(f5)3(f3
.
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα xo[2,8], ώστε
10)7(f2)4(f5)3(f3)x(f o
. Όμως f(2)=m και f(8)=M. Άρα xo2 και
xo8. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι xo(2,8).
Παράδειγμα 22.4: Αν η f του προηγούμενου παραδείγματος είναι επιπλέον γνησίως αύξουσα, τότε το xo ανήκει ειδικότερα στο ανοικτό διάστημα (2,8).
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 229
Λύση: (α) (i) Έστω x1,x2[5,0] με x1<x2. Τότε έχουμε:
x1<x2≤0 x1>x2≥0 (x1)2>(x2)2 x12>x2
2 x1
2<x22 (1)
x1<x2 2x1<2x2 (2) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε τελικά f(x1)<f(x2), δηλαδή f1[5,0]. Επιπλέον η f είναι συνεχής στο [5,0] ως πολυωνυμική και άρα f([5,0])=[f(5),f(0)]=[35,0]. (ii) Έστω x1,x2(0,+) με x1<x2. Τότε έχουμε ότι:
1e1eee0x1
x1xx0 2121 x
1x1
x1
x1
2121
).x(f)x(f 21 Άρα f>(0,+). Επίσης η f είναι συνεχής στο ίδιο διάστημα ως πράξη συνεχών. Άρα ),2())x(flim),x(flim(),0(f
0xx
, διότι ισχύει:
211)1e(lim)1e(lim)x(flim u
0u
x/1ux1
xx
.
)1e(lim)1e(lim)x(flim u
u
x/1u
0xμε0/1ήμορφ
x1
0x0x.
Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f([5,+))=f([5,0])f((0,+))=[35,0](2,+). (β) Επειδή 1500f([5,+)) έπεται ότι η εξίσωση 1500)x(f είναι αδύνατη.
Παράδειγμα 22.5: Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
),0(x,1e
]0,5[x,x2x)x(f
x1
2
.
(α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. (β) Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 1500)x(f είναι αδύνατη.
230 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
22.1) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, όταν:
(α) f(x)=lnx+1, x(0,2e] (β) f(x)= x2+2x, x[2,+)
(γ) f(x)= 3συνx+2, x[0,π] (δ) 3e2)x(f x1
, x(,0)
(ε)
),0(x,1x
1
]0,5(x,1x)x(f
3
(στ) )x1xln()x(f 2
(ζ)
),0(x,x1
]0,6(x,1x3)x(f
4
(η) f(x)=xημx
(θ) x32x)x(f
(Σε κάθε περίπτωση να βρείτε και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης
f(x)=0.)
22.2) Έστω συνάρτηση f:[0,3]R, συνεχής. Να δείξετε ότι υπάρχει
xo[0,3], ώστε να ισχύει ότι 5
)2(f3)1(f)21(f
)x(f o
.
22.3) Έστω συνάρτηση f:[0,3]R, συνεχής και γνησίως φθίνουσα. Να
δείξετε ότι υπάρχει xo(0,3), ώστε να ισχύει ότι
.5
)2(f3)1(f)21(f
)x(f o
ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 231
22.4) Έστω η συνάρτηση 2ee)x(f
x1
x1
, x>0.
(α) Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία.
(β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε το πεδίο
ορισμού της συνάρτησης 1f . Να βρείτε τον τύπο της 1f .
22.5) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=lnxln(2x+1).
(α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
(β) Να δείξετε ότι οι fC και 1fC δεν έχουν κοινά σημεία, χωρίς να
υπολογίσετε τον τύπο της 1f .
(γ) Να βρείτε τον τύπο της 1f .
22.6) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x)=xln(1ex).
(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
(β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
(γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2050 έχει μοναδική ρίζα.
(δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της 1f .
(ε) Να δείξετε ότι οι fC και 1fC δεν έχουν κοινά σημεία.
22.7) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)=x5+ex3+1, xR.
(α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
(β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.
(γ) Να λύσετε την ανίσωση 3)e1245ex(f 3
3x51 .
(δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 45x3
e1)10x(ef .
232 ΕΝΟΤΗΤΑ 22-ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
22.8) Έστω η συνάρτηση με τύπο
2x,11xe
2x,x)1xln()x(f
3x2
2
.
(α) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής. (β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
f.
(γ) Να δείξετε ότι για κάθε α,βR, η εξίσωση 03x
)β(f31x
)α(f2
έχει
μία τουλάχιστον ρίζα στο (1,3).
(δ) Να εξετάσετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=λ, για τις
διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ.
22.9) Έστω η συνάρτηση f:(0,2]R συνεχής για την οποία ισχύει ότι
f<(0,1] και f>[1,2]. Αν ισχύει ότι
)x(flim0x
, f(1)=3 και f(2)=1, τότε
να βρείτε:
(α) το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
(β) το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=2 στο (0,2].
22.10) Έστω συνάρτηση f:(0,+)R συνεχής και γνησίως αύξουσα για
την οποία ισχύει ότι x3+x2+2≤f(x)x≤x3+2x2+2 x>0.
(α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
(β) Να δείξετε ότι η 1f είναι γνησίως αύξουσα.
(γ) Αν υποτεθεί ότι η 1f είναι επίσης συνεχής, να υπολογίσετε τα όρια:
(i) )x(f2x3lim 12x
και (ii) )x(fx
xημlim 1x .
ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 233
ΕΝΟΤΗΤΑ 23η
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
23.1) Έστω συνάρτηση f:RR, με f(R)=R και για την οποία ισχύει η
συναρτησιακή σχέση 1x2)x(f5)x(f 3 xR.
(α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε την
αντίστροφή της.
(β) Να δείξετε ότι οι fC και 1fC , τέμνονται σε ένα μόνο σημείο της
μορφής Α(xo,xo), όπου xo(0,1).
(γ) Να υπολογίσετε το όριο 4
1
x xx2συν)x(flim
.
(δ) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.
23.2) Έστω συνάρτηση f:(0,+)R συνεχής, ώστε να ισχύει η
συναρτησιακή σχέση 0x4)x(xf2)x(f 33 , για κάθε x(0,+).
(α) Να δείξετε ότι για κάθε x(0,+), ισχύει ότι 2x2<f(x)<0.
(β) Να υπολογίσετε τα όρια:
(i)
x1συν)x(flim
0x (ii)
x)x(flim
0x και (iii) 20x x
)x(flim
.
(γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 6x2+3f(x)=xf(x)+2x3 έχει μία
τουλάχιστον ρίζα στο (2,4).
23.3) Έστω συνάρτηση f:RR, για την οποία ισχύει η συναρτησιακή
σχέση 1x2)x(fx2 22 xR.
(α) Να δείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός xo[0,1), ώστε να ισχύει
η ισότητα oο x3)x(f .
(β) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:
(i)
x1fxημlim 2
0x (ii) 4x x
x2συν)x(flim
και
234 ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
(iii) x5ημx
x6x1fxημ
lim 4
3
0x
.
23.4) Δίνονται οι συναρτήσεις f:RR και g:RR, ώστε για κάθε
πραγματικό αριθμό x να ισχύουν οι σχέσεις 1ex)x(f x3 και
1xe)x(g )x(g3 , με g(R)=R.
(α) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0.
(β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
(γ) Να εξετάσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία.
(δ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη και ότι fg 1 .
(ε) Να λύσετε την ανίσωση (gof)(x)≤0.
23.5) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 3x
x2ln)x(f
.
(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.
(β) Να υπολογίσετε τα όρια )x(flim0x
και )x(flim3x
.
(γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (0,+).
(δ) Έστω η συνάρτηση g:(0,+)R, με g(x)=f(x) x>0. Να βρείτε τη
συνάρτηση 1g .
23.6) Έστω διάστημα Δ και συνάρτηση f:ΔR η οποία είναι γνησίως
αύξουσα.
ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 235
(α) Να αποδείξετε πλήρως, την ευρέως χρησιμοποιούμενη σε ασκήσεις,
ιδιότητα: «Αν x1,x2Δ, με f(x1)<f(x2) τότε θα ισχύει και x1<x2.»
(β) Έστω συνάρτηση g:ΔR για την οποία ισχύει η ιδιότητα:
«Αν x1,x2Δ με g(x1)<g(x2), τότε θα ισχύει και x1<x2.»
Να εξετάσετε, αν συνεπάγεται ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα.
23.7) Έστω η συνεχής συνάρτηση f:RR για την οποία ισχύει η
συναρτησιακή σχέση: 1xx2)x(f 22 xR.
(α) Να βρείτε τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης f.
(β) Να υπολογίσετε το όριο )x(fxημlim
5
x .
23.8) (α) Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και κR*. Αν για
κάθε x,yΔ ισχύει η συνθήκη yxκ)y(f)x(f (συνθήκη
Lipschitz), να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Δ.
(β) Με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας:
2ΒΑσυν
2ΒΑημ2ΒημΑημ
, να δείξετε ότι η συνάρτηση
f(x)=ημx είναι συνεχής.
23.9) Δίνεται η συνάρτηση f:[0,+)R με τύπο f(x)=ex+2x2+1.
(α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
(β) Να υπολογίσετε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.
(γ) Να αποδείξετε η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να εξετάσετε τη
συνάρτηση 1f ως προς τη μονοτονία.
236 ΕΝΟΤΗΤΑ 23-ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
(δ) Να δείξετε ότι x)x(f 1 x 1fD .
(ε) Αν είναι γνωστό ότι η 1f είναι συνεχής, να υπολογίσετε τα όρια:
(i) 2x
1)2x(συν)x(flim1
2x
και
x2)1x()x(flim
1
x
.
23.10) (α) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό
2π,0ξ , ώστε να ισχύει η
ισότητα 6
9πημ3
7πημ2
8πημ
ημξ
.
(β) Να δείξετε ότι η εξίσωση 02x2xημ
1x1xημ
έχει μία τουλάχιστον
ρίζα xo(1,2).
(γ) Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης 3xσφ)x(f ,
όταν x(0,π)(π,2π)
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 237
ΕΝΟΤΗΤΑ 1η
1.1) (i) 3x
1)3x)(1x(
1x)x(f
, Df=R{1,3}. (ii) Dg=[2,2].
(iii) x)1x(x)1x(x)x(h 2
3
, Dh=R{0,1}. (iv) Dw=R{3}.
(v) }0{],1[D2f . (vi) ),1()1,(D
3f .
(vii) }κπ)1κ2(x/x{D4f ZR .
(viii) xεφ)x(f5 , με }κ2πκx/x{D
5f ZR .
1.4) (i) Df=(1,+){2,3,4,...}. (ii) Dg=[0,1]. (iii) Dh=R.
1.5) 01xxx3x201xxx
3x20)x(f 2323
με
01xxx 23 ...
1.7) }κ3π2κπ2x/x{Df ZR .
1.10) Df=R{ln2,ln3}. Ακόμη, προκύπτει η ισοδυναμία
),3(ln)1,2(lnx0)x(f .
1.13) (i) R, (ii) R, (iii)
3,31 , (iv) (2,3], (v) R, (vi) ]3,0[ ,
(vii) R.
1.14) Να θέσετε όπου x το 1x.
1.16) Να μελετήσετε το παράδειγμα 1.5.
1.17) Αρκεί να δείξετε ότι f(x)≥0.
1.18) Να λάβετε υπόψη ότι α≤f(x)≤β, x[α,β]. Τελικά, προκύπτει ότι
f(x)=x x[α,β] ή f(x)=α+βx x[α,β].
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
238 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 2η
2.1) (iii)
5x3,81x40x5
3x,8
3x3,2x34
)x(f2
2.2) (β) Προκύπτει ότι 3α και β=3.
2.7) Ισχύει ότι Df=Z. Να διακρίνετε τις περιπτώσεις:
Αν x περιττός, τότε f(x2)=...
Αν x άρτιος, τότε f(x2)=...
2.9) Οι τετμημένες των σημείων τομής προσδιορίζονται από τη λύση της
εξίσωσης f(x)=g(x) με xDfDg.
2.10) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης χωρίς απόλυτα.
2.11) f(x)>0... 2.14) Να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό.
2.17) Να θέσετε όπου x το x.
2.19) Να εξετάσετε αν υπάρχει xoR, ώστε η παράσταση f(xo) να
εκφράζει σταθερό πολυώνυμο ως προς α (γιατί;).
2.20) Να θέσετε όπου x, το x1
. 2.21) Να μελετήσετε το παράδειγμα 2.5.
2.22) Το σημείο Μ έχει τετμημένη xo= 161 . 2.23) x=
22
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 3η
3.1) Να ελέγξετε το πεδίο ορισμού και τους κανόνες αντιστοιχίας των
δύο συναρτήσεων.
3.3) Να μελετήσετε το παράδειγμα 3.2.
3.4) (i) Αν g(x)=x22 και h(x)=ημx, τότε f(x)=(hog)(x)=h(g(x)).
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 239
(iv) Για x>0, παρατηρήστε ότι xlnxxlnx eex)x(fx .
3.7) Έστω c ένας οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός. Θεωρούμε τη
συνάρτηση g(x)=c με Dg=A ένα οποιοδήποτε μη κενό σύνολο Α.
Τελικά... f(c)=c και επειδή c είναι ένας οποιοδήποτε τυχαίος πραγματικός
αριθμός, έπεται ότι f(x)=x xR.
3.8) Να μελετήσετε την υπόδειξη της προηγούμενης άσκησης.
3.10) Αφού f(g(x))=g(f(x)) xR, τότε θα ισχύει και
f(f(g(x)))=f(g(f(x)))...
3.11) Από τον τύπο (fof)(x)=4x3, για x=0 έπεται ότι 3)0)(fof( . Από
τον τύπο (fofοf)(x)=8x+λ, για x=0 έχουμε την ισοδυναμία:
λ)3(fλ))0)(fof((fλ)0)(fοfof( .
3.12) Ισχύει ότι (fog)(ξ)=(gof)(ξ).
3.13) Για x=0, ισχύει ότι f(f(0))=f(0)+α·0=f(0). Επίσης ισχύει ότι
(fof)(f(0))=f(f(0))+α·f(0)... Τελικά προκύπτει ότι 1)0(f .
3.14) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 3.3, 3.4 και 3.5. Ειδικότερα
έχουμε ότι:
(i) Υπάρχει μοναδική συνάρτηση με τύπο f(x)=3x2+10x+9 και Df=R.
(ii) Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με τύπο x1)x(f και πεδίο
ορισμού οποιοδήποτε σύνολο Df με Df(,1].
(iii) Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με τύπο της μορφής
Bx,xσυνAx,xσυν
)x(f , όπου ΑΒ= και ΑΒ=R. (βλ. και
παράδειγμα 3.4)
3.15) (i) Αφού η g είναι άρτια με πεδίο ορισμού το Α, τότε για κάθε xA
ισχύει ότι xA. Αφού η h δεν είναι άρτια, θα υπάρχει xoA ώστε
h(xo)h(xo).
240 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ 4η
4.1) (i) γν. φθίνουσα. (ii) γν. αύξουσα. (iii) γν. φθίνουσα.
(iv) γν. αύξουσα. (v) γν. φθίνουσα. (vi) γν. φθίνουσα στο (,3]
και γν. αύξουσα στο [3,+).
(vii) Να διερευνήσετε τις περιπτώσεις λ<5, λ>5 και λ=5 (γιατί;).
4.2) Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (,0] και [1,+), ενώ είναι
σταθερή στο [0,1].
4.3) Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε ένα από τα
διαστήματα που αναφέρονται στην εκφώνηση. Όμως η f δεν είναι
γνησίως φθίνουσα στο R, διότι για παράδειγμα βλέπουμε ότι 1<3 αλλά
f(1)<0<f(3).
4.4) (i) fmax=7 για x=4. (ii) 2fmin για x=5. (iii) 1fmin για x=3.
(iv) Δεν έχει ακρότατα. (v) 7fmin και 1fmax . Το πλήθος των
θέσεων ακροτάτων είναι άπειρο (να γράψετε τη γενική μορφή τους).
(ix) 1fmin και 11fmax .
4.5) Να διερευνήσετε τις περιπτώσεις λ>0 και λ<0. Θυμηθείτε ότι το
πρόσημο του συντελεστή του μεγιστοβαθμίου όρου καθορίζει και το
είδος του ακροτάτου. (βλ. συνάρτηση f(x)=αx2+βx+γ, α0).
4.10) (i) 0154
43543
xxxxx
. Η συνάρτηση
154
43)x(f
xx
είναι γνησίως φθίνουσα (γιατί;) και έχει προφανή
ρίζα τη x=0. Άρα 0x)0(f)x(f0)x(ff
>
. (Αν μία συνάρτηση
είναι γνησίως μονότονη, τότε έχει το πολύ μία ρίζα.) Όμοια λύνονται και
τα υπόλοιπα ερωτήματα.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 241
4.13) (i) 0154
43543
xxxxx
. Η συνάρτηση
154
43)x(f
xx
είναι γνησίως φθίνουσα και έχει προφανή ρίζα τη
x=0. Άρα 0x)0(f)x(f0)x(ff
>
. Όμοια λύνονται και τα
υπόλοιπα ερωτήματα.
4.14) (ii) Θυμηθείτε την τριγωνική ανισότητα βαβαβα
που ισχύει α,βR. Εδώ χρειάζεται να εφαρμόσετε κατάλληλα την
ανισότητα βαβα .
ΕΝΟΤΗΤΑ 5η
5.1) (i) 2
2x)x(f 1 , xR. (ii) Δεν είναι 1-1. (iii) x1 e2)x(f .
(iv) )3xln()x(f 1 , x>3. (v) Δεν είναι 1-1.
(viii) x1x1ln)x(f 1
, 1<x<1, (xi) x123)x(f 1 , x≥1.
(xvi)
0x,1x2x,e)x(f 2
2x1 .
(xvii)
),1(x,x)0,1(x,x
]1,0[]1,(x,x)x(f
3
31 .
5.2) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
5.3) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.
5.7) Ισχύει ότι 1xή0x...xx 2 . Να δείξετε ότι f(0)=f(1).
5.8) Θεωρήστε τη συνάρτηση g(x)=f(x)+x3. Από υπόθεση έπεται ότι
(gof)(x)=2x+5, άρα η gof είναι 1-1...
242 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
5.9) (ii) α=3 και βR, με β9.
5.11) (α) Έστω f(x1)=f(x2) f(f(x1))=f(f(x2))...
5.12) (ii) 3)x(f)x(f))3(f(fx)3(f 11 ...
5.14) (i) Για κάθε x0, ισχύει ότι 1x1x .
5.15) (ii) Αρκεί να δείξετε ότι xA και yf(A) που συνδέονται με τη
σχέση f(x)=y, τότε προκύπτει ότι g(y)=x.
ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
6.2) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 6.6.
6.3) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 6.7.
ΕΝΟΤΗΤΑ 7η
7.2) (α) 2x4x
2x4x4x
8x6x)x(f2
, x4...
Σε όλα τα ερωτήματα απλοποιείστε τον τύπο της συνάρτησης όπου αυτό
είναι εφικτό.
ΕΝΟΤΗΤΑ 8η
8.1) (α) 15242325x4x3xlim15231523
2x
.
(β) 81)1(7)1x7(lim1x7lim 22
1x
2
1x
. Μπορείτε και
κατευθείαν να κάνετε αντικατάσταση, δηλαδή να γράψετε
81)1(71x7lim 22
1x
.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 243
8.2) Επειδή υπάρχουν τα όρια )x(flim3x
και )x(glim3x
, τότε εφαρμόζοντας
ιδιότητες των ορίων, θα έχουμε...
(β) 20)2(342)x(glim3)x(flim2)x(g3)x(f2lim 22
3x3x
2
3x
.
8.3) (α) Θέτουμε g(x)=4f(x)+24x. Από υπόθεση, η g ορίζεται κοντά στο
xo=1 και επιπλέον ισχύει ότι 10)x(glim1x
. Ακόμη, κοντά στο xo=1
ισχύει ότι 4
2x4)x(g)x(f . Επομένως θα έχουμε ότι
2
42410
4
)2x4(lim)x(glim
4lim
2x4)x(glim)x(flim 1x1x
1x
1x1x
.
8.5) Εργαστείτε όπως στην άσκηση 8.3. Πιο συγκεκριμένα έχουμε ότι
...2x
2x22x
)x(f4x2x
22x)x(f4x 22
8.6) Στα ερωτήματα (α), (β) και (δ) να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα
)x(flim)x(flimoo xxxx
.
8.7) Πρέπει να ισχύουν οι ισότητες )x(flim)x(flim2x2x
και
)x(flim)x(flim3x3x
.
8.8) Εργαστείτε όμοια, όπως προτείνεται στην υπόδειξη της άσκησης 8.7.
ΕΝΟΤΗΤΑ 9η
9.2) Να εξετάσετε αν ισχύει η ισότητα )x(f)x(flim oxx o
.
ΕΝΟΤΗΤΑ 10η
10.1) 6 10.2) Για την παραγοντοποίηση του αριθμητή, μπορείτε να
εφαρμόσετε την ταυτότητα 2233 βαβαβαβα .
244 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
10.3) 1. 10.4) Εφαρμόστε σχήμα Horner, για την παραγοντοποίηση
του αριθμητή και του παρονομαστή για ρ=1.
10.5) Να εξετάσετε τα πλευρικά όρια στο xo=5. 10.6) 21
.
10.7) ...)xx1)(x1(
2xx)xx1)(x1(
3x1
1)x(f 2
2
2
10.8)
49
.
10.9) Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 10.2 (δ).
10.10) Παρατηρήστε ότι 22 xx .
10.11) Ισχύει 1ν23ν2ν1ννν β...βαβααβαβα ...
10.12) Ισχύει ότι νx...xxνx...xxx 1ννν32 .
Παραγοντοποιήστε τον αριθμητή (με ποιο τρόπο;).
ΕΝΟΤΗΤΑ 11η
11.1) 21
11.2) 83 11.3)
121
11.4) 83
11.5) 54
11.6) 49
11.7) Ε.Κ.Π.(2,3)=6. Να εφαρμόσετε την ταυτότητα
5432234566 βαββαβαβααβαβα , για την άρση της
απροσδιοριστίας από τον αριθμητή. (βλ. και παράδειγμα 11.2(β)).
11.8) Παρατηρήστε ότι Df=(1,0](1,+) (γιατί;). Άρα
...)x(flim)x(flim1x1x
, διότι η f κοντά στο xo=1 ορίζεται μόνο από
δεξιά. Τελικά 0)x(flim1x
.
11.9) Παρατηρήστε ότι Df=(1,+). Άρα για x>1, ισχύει ότι
...1x
1x1x)x(f31
21
21
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 245
11.12-11.14) Εφαρμόστε πλευρικά όρια. 11.15) Να εφαρμόσετε την
ταυτότητα 1ν23ν2ν1ννν β...βαβααβαβα , όπου
x1α και β=1.
ΕΝΟΤΗΤΑ 12η
12.1) Να μελετήσετε το παράδειγμα 12.1.
12.2) (α) Για x=0, προκύπτει ότι 1≤f(0)≤1. Άρα f(0)=1. (β) Να
εφαρμόσετε κριτήριο παρεμβολής.
12.5) Για x2, από υπόθεση έπεται ότι 2x1xxx2)x(f 2 ,
διότι 02x . Άρα θα ισχύει ότι :
2x1xxx2)x(f2x1xx 22 ...
12.7) Για x κοντά στο xo=2, ισχύει ότι 1<x<3. Τελικά 4L .
12.8) Ισχύει η ανισότητα )x(f)x(f)x(f .
12.9) Ισχύει η ανισότητα 0≤f(x)≤f(x)+g(x) κοντά στο xo.
12.11) () Έστω ότι L)x(flimoxx
. Να θέσετε g(x)=f(x)L...
() Έστω ότι 0L)x(flimoxx
. Να εφαρμόσετε για κατάλληλο Α την
ανισότητα ΑΑΑ .
ΕΝΟΤΗΤΑ 13η
13.1) (α) Βλέπε παράδειγμα 13.5(α).
(β) ...xσυν
1x
xημlimx
xεφlim0x0x
246 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
(γ) ...x4συν
1
x4x2ημ
x4x4ημ
limx4συν
1x2ημx4ημlim
x2ημx4εφlim
0x0x0x
(ζ) ...xσυν1xσυν1lim
xσυν1xημlim
2
πx
2
πx
13.2) (α) ...
x2x2ημ
xπ)xπ(ημ
2xπlim
)xπ(2x2ημ)xπ(2
)xπ(ημ
limx2ημ
)xπ(ημlim
3
23
0x3
3
3
0x
3
0x
(β) ...xσυν
1
xxx
xxημ
limxx
xσυνxημ
limxx
xεφlim0x0x0x
(ζ) Να θέσετε 3 xσυνu . Τότε xσυνu3 .
13.3) (α) Να θέσετε xu . Τότε xu2 .
(β) Να εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 13.4.
13.4) Να θέσετε 11xxημ)x(f)x(g
για x κοντά στο xo=0.
13.5) (α) Να εφαρμόσετε κριτήριο παρεμβολής.
13.6) Για x>0 ισχύει ότι ...x
x3ημ2x
xημ)x(f
13.7) Για x0 ισχύει ότι ...x
xημxx
x3)x(f
13.9) Να εργαστείτε όπως στο παράδειγμα 13.7.
13.11) Να θέσετε 1xu .
13.12) Στην ενότητα 7 είδαμε την ισοδυναμία
L)x(flimL)hx(flimoxxo0h
. Αυτό σημαίνει ότι ικανοποιείται η
τρίτη συνθήκη του θεωρήματος αλλαγής μεταβλητής στα όρια...
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 247
13.13) Επειδή L)x(flimoxx
R, έπεται ότι η f ορίζεται κοντά στο xo.
Τότε, κοντά στο xo θα ορίζεται και η συνάρτηση oxxα)x(f)x(g
. Αν το
h ορίζεται κοντά στο 0, τότε το xo+h ορίζεται κοντά στο xo. Επομένως, η
παράσταση h
α)hx(f)hx(g oo
ορίζεται κοντά στο 0 (προσέξτε ότι
η h είναι η μεταβλητή). Σύμφωνα με τη βασική ιδιότητα (β) της ενότητας
7, αποδεικνύεται η ζητούμενη ισοδυναμία ως εξής:
L)x(glimL)hx(glimL
hα)hx(flim
oxx
τηταόιδιήβασικ
o0ho
0h
Lxx
α)x(flimoxx o
.
Θα ήταν λάθος (ή τουλάχιστον ανεπαρκές) να κάναμε αλλαγή
μεταβλητής για την απόδειξη της συνεπαγωγής από αριστερά προς τα
δεξιά, όπως περιγράφεται παρακάτω:
«Έστω ότι Lh
α)hx(flim o0h
. Θέτω x=xo+h. Για h0, τότε xxo.
Επίσης h=xxo. Άρα oxx
o0h xx
α)x(flimh
α)hx(flimo
»
Βλέπε και σχόλια που ακολουθούν τα παραδείγματα 13.2 και 13.3 καθώς
επίσης και τα σχόλια στην υποσημείωση.
13.14) Αν L)x(flimoxx
και η f είναι περιττή (ή άρτια), τότε για τον
υπολογισμό του ορίου )x(flimoxx
γράφουμε
...)x(flim)x(flimoo xx)(xx
και συνεχίζουμε εφαρμόζοντας το
μετασχηματισμό xu .
Αυτή η ισότητα δεν ισχύει πάντα.
248 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
13.17) Θεωρήστε τη συνάρτηση g(x)=f(x)+f(x) η οποία είναι άρτια...
13.19) (α) Να δείξετε ότι f(0)=0.
(β) Υπολογίστε το όριο )hα(flim0h
.
(γ) Έστω ότι L)x(flim0x
R με L0. Θεωρούμε την τιμή 2πxo για
την οποία μηδενίζεται το συνημίτονο. Τότε έχουμε ότι
)2π(f...)h
2π(flim
0h
. Άρα )
2π(f)x(flim
2πx
(Α)
Επιπλέον, )A(
2πx
2πx
xσυν)2π(f)
2π(συν)x(flim)
2πx(flim
00)2π(f0)
2π(f . Ακόμη ισχύει ότι
.L)u(flim)2πx(flim
0u
2πxu
2πx
Άρα L=0 (άτοπο).
13.20) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 13.8 και 13.9.
ΕΝΟΤΗΤΑ 14η
14.1) (α) + (β) (γ) Δεν υπάρχει (ε) Δεν υπάρχει
(στ) Να εξετάσετε το πρόσημο της συνάρτησης g(x)=x·ημx στο
.2π,
2π
(η) Θυμηθείτε ότι για x0, ισχύει ότι xxημ .
(ιδ) Να θέσετε xu
(ιε) Ισχύει ότι 02)x1(lim3x
. Άρα 1x<0 κοντά στο xo=3.
Επομένως, κοντά στο xo=3 ισχύει η ισότητα 1x)x1(x1 . Με
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 249
τον ίδιο τρόπο μπορείτε να εργαστείτε και για τις υπόλοιπες παραστάσεις
που έχουν απόλυτα.
14.2) (α) Το όριο υπάρχει μόνο για λ=2 (γιατί;)
(γ) Αν μ9, τότε μ9λ6)x(flim
3x
R.
Αν μ=9 και 6λ , τότε τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα.
Αν μ=9 και 6λ , τότε 31)x(flim
3x
.
14.3) (α) 1x1lim
1x και 2λλ2xλxλlim 222
1x
.
Αν 02λλ2 , τότε
1x
2xλxλlim22
1x ή . Άρα... (βλ. και
παράδειγμα 14.6).
14.4) (α) Να θέσετε )x(f3x)x(g . Τότε
)x(glim
2x και
)x(g3x)x(f
κοντά στο xo=2...
14.7) (β) ...
)x(f11
2)x(flim
)x(f1)x(f
)x(f)x(f2)x(f
lim1)x(f
)x(f2)x(flim3x
2
3x
2
3x
(γ) Να μελετήσετε το παράδειγμα 14.7 (β).
ΕΝΟΤΗΤΑ 15η
15.1) και 15.2) Να μελετήσετε το παράδειγμα 15.1.
ΕΝΟΤΗΤΑ 16η
16.1) (α) + . (β) +. (γ) 0. (δ) 0. (ε) 2.
250 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
16.2) (α) + . (β) +. (γ) +. (δ) .
16.3) (α) 21
(β) 1 (γ) Αν λάβουμε υπόψη τους
μεγιστοβάθμιους όρους, τότε για x>0 έχουμε ότι
...x0xxxxxxxx 222222 Να μελετήσετε και το
παράδειγμα 16.6.
16.4) (α) Έστω xλ3x2x)x(f 2 . Για x<0, τότε xx και
22
2
x3
x21λxxλ
x3
x21xxλ3x2x . Ισχύει ότι
xlimx
και 1λx3
x21λlim 2x
. Να διακρίνετε τις
περιπτώσεις: λ1<0, λ1>0 και λ1=0...
(β) Να μελετήσετε το παράδειγμα 16.2.
16.6) Να μελετήσετε το παράδειγμα 16.8.
16.7) Να μελετήσετε την παράγραφο Ε΄ της ενότητας 16 και το
παράδειγμα 16.9.
16.8) (α)
)x(flimx
και
)x(flimx
. (β) 25
16.9) (α) 0.
16.10) (α)
)x(flimx
. Για τον υπολογισμό του ορίου )x(flimx
, να
λάβετε υπόψη ότι η f είναι περιττή.
(β) Να θέσετε g(x)=f(x)5x. Τότε f(x)=g(x)+5x για x κοντά στο + με
4)x(glimx
...
ΕΝΟΤΗΤΑ 17η
17.1) (α)
x
x5lim , 05lim x
x
. (β) 0
51lim xx
,
xx 51lim .
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 251
(γ) +. (δ) +.
17.2) (α) 0. (β) 38
. (γ) +.
17.3) Θα λάβετε υπόψη τις περιπτώσεις: α<3, α=3, 3<α<5, α=5 και α>5.
17.4) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 17.2 και 17.4. Ειδικότερα έχουμε:
(α) +. (β)+. (γ)+. (δ) 25 .
17.5) (α) Να εφαρμόσετε το κριτήριο παρεμβολής. (β) 0.
(γ) Ισχύει ότι x3ημe1e xx . (δ) + (ε) .
ΕΝΟΤΗΤΑ 18η
18.1) (α) Η f συνεχής xR{2} (β) συνεχής (γ) συνεχής
(δ) 1Df. (ε) συνεχής (στ) H f συνεχής xR{1}
(ιγ) Για x>0 ισχύει ότι xln)1x2(xln1x2 212x22
eex
.
18.2) (α) α=3. (β) H f είναι συνεχής για κάθε ζεύγος (α,β) της
μορφής (α,β)=(κ,3κ), κR. (γ) 21α και
23β .
(δ) (α,β,γ)=(12,16,0). (ε) 4
2πβα . (στ) α=0.
18.3) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 18.3 και 18.4.
18.4) Ισχύει ότι f(0)=g(0)=0 (γιατί;). Παρατηρήστε επίσης ότι
)x(g)x(f)x(f .
18.5) Να διακρίνετε τις περιπτώσεις x>0, x<0 και x=0 (γιατί;). Τελικά,
προκύπτει ότι
0x,x0x,x
)x(f 2 .
252 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
18.6) Να εφαρμόσετε αλλαγή μεταβλητής στα όρια )hx(flim o0h
και
)hx(flim o0h
. Πρώτα όμως, πρέπει να παρατηρήσετε ότι το όριο
)x(flimoxx
υπάρχει και ισούται με )x(f ο . (Βλέπετε και σχόλια στην
ενότητα 13, στα παραδείγματα 13.2 και 13.3).
18.7) (α) Εύκολα παρατηρούμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει
ότι ημxx2≤ημx+x2, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0.
Για x;, έχουμε ότι f(x)=ημxx2. Άρα σε αυτή την περίπτωση
ισχύει ότι ημxx2=f(x)<ημx+x2.
Για xR;, τότε ισχύει και x0. Επομένως, θα έχουμε ότι 22 xxημxxημ)x(f . Δηλαδή 22 xxημ)x(fxxημ .
Σε κάθε περίπτωση ισχύει το ζητούμενο.
18.8) Να αποδείξετε ότι x)x(fx xR.
18.9) (α) Για ένα οποιοδήποτε xoR, ισχύει ότι
oooo xxκ)x(f)x(fxxκ)x(f (γιατί;).
18.10) (α) Παρατηρήστε ότι f(1)=0 (γιατί;). Άρα, από υπόθεση έπεται ότι
0)1(f)x(flimoxx
. Τότε για οποιαδήποτε xo>0, ισχύει ότι
)x(f...xxxlim)x(flim oo
oxxxx oo
.
(β) Να αποδείξετε πρωτίστως ότι για κάθε x,y>0 ισχύει ότι
)y(f)x(fyxf
και ότι 0
αxflim
αx
...
18.11) (α) Για x=y=0 προκύπτει ότι f(0)=0. Επίσης f(xx)=f(0) και
f(xx)=f(x)+f(x). Άρα )x(f)x(f ...
(β) ...)αx(f)αxx(flimαxαxxflim)x(flim ooxxooxxxx ooo
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 253
ΕΝΟΤΗΤΑ 19η
19.2) και 19.3) Να μελετήσετε το παράδειγμα 19.1.
ΕΝΟΤΗΤΑ 20η
20.1) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 20.1, 20.2. 20.4 και 20.5.
Ειδικότερα:
(β) Παρατηρήστε ότι 041 3 , διότι
41414104133333 που ισχύει.
(στ) Παρατηρήστε ότι 023
6π
, διότι
27π33π33π23
6π0
23
6π 222 , που ισχύει
διότι 16π4π4π 222 άρα και 27π2 .
20.2) Να μελετήσετε τα σχόλια του παραδείγματος 20.3. Παρατηρήστε
ότι α≤f(x)≤α x[α,α].
20.4) Από υπόθεση ισχύει ότι α·β>0 και β>0. Άρα α>0. Να θεωρήσετε τη
συνάρτηση h(x)=f(x)·g(x)x στο [α,β]...
20.5) Να μελετήσετε το παράδειγμα 20.2.
20.7) Παρατηρήστε ότι 12π και 1ημα≥0, με την ισότητα να ισχύει
μόνο όταν 2πκπ2α , όπου κ ένας οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός.
20.8) Να μελετήσετε το παράδειγμα 20.3.
20.10) (α) Να δείξετε ότι f(0)≤f(1) και f(1)≤f(0).
254 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
20.11) (α) Είναι
2α,0Dg . (β) Να εφαρμόσετε το θεώρημα Bolzano
για τη συνάρτηση g στο
2α,0 .
20.12) Να θέσετε στη συναρτησιακή σχέση όπου x=0 και όπου x=1. Στην
πρώτη περίπτωση προκύπτει ότι 1]γ)0(fβ)0(f[)0(f 2 ...
20.13) (α) Θεωρήστε τη συνάρτηση
21xf)x(f)x(g και
εφαρμόστε το θεώρημα Bolzano στο ευρύτερο διάστημα στο οποίο
ορίζεται η g.
(β) Θεωρήστε τη συνάρτηση
31xf)x(f)x(g η οποία ορίζεται στο
32,0 . Θα πρέπει να διερευνήσετε τις περιπτώσεις:
(i) g(0)=0, (ii) 032g
και (iii) 0
32g0g
.
20.15) Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση είναι άρτια και άρα η Cf έχει
άξονα συμμετρίας τον y΄y. Αυτό σημαίνει ότι αν η f έχει ρίζα στο (0,π),
τότε θα έχει ρίζα και στο (π,0)...
20.16) Θεωρήστε τη συνάρτηση g(x)=x·ημx1...
20.17) Για x0, ισχύει ότι 0xσυνxημxxxημxσυνxxσφ ...
20.18) Να μελετήσετε το παράδειγμα 20.5.
20.19) Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Για x≤0, ισχύει ότι x·2x≤0≤1. Άρα η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
(,0].
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 255
Για x>0, ισχύει η ισοδυναμία 0x1212x xx . Για τη
μοναδικότητα της ρίζας, μελετήστε τη μονοτονία της συνάρτησης
x12)x(g x στο (0,+).
20.20) Να μελετήσετε τα σχόλια στο παράδειγμα 20.4. Αν ο
μεγιστοβάθμιος όρος του P(x) είναι ο 1ν21ν2 xα με 0α 1ν2 , τότε ισχύει
ότι
)x(Plimx
και
)x(Plimx
.
20.23)
)x(Plimx
...
20.24) Να θεωρήσετε τη συνάρτηση h(x)=f(x)g(x)...
20.25) (Α΄ τρόπος) Υποθέστε ότι η συνάρτηση f εκφράζει το διάστημα
που διάνυσε ο περιπατητής ο περιπατητής από το σημείο Α σε
συνάρτηση με το χρόνο και υποθέστε ότι η f είναι συνεχής. Τότε f(8)=0
και f(21)=L, όπου L είναι το μήκος της διαδρομής ΑΒ. Έστω ότι κατ'
αναλογία η συνάρτηση g εκφράζει την απόσταση του περιπατητή από το
σημείο Α κατά την περιπλάνησή του τη δεύτερη ημέρα. Τότε g(8)=L και
g(21)=0...
(Β΄ τρόπος) Ένας πιο πρακτικός τρόπος να αποδειχθεί ο ισχυρισμός είναι
ο εξής: Υποθέστε ότι η κίνηση του περιπατητή από το σημείο Α στο Β
και από το Β στο Α γινόταν ταυτόχρονα. Τότε θα υπήρχε σημείο Γ στο
ενδιάμεσο της διαδρομής στο οποίο ο περιπατητής κάποια χρονική
στιγμή θα συναντούσε τον εαυτό του!
20.26) Έστω ένα σημείο αναφοράς Α πάνω στον κύκλο του ισημερινού.
Τότε η θερμοκρασία σε κάθε σημείο του ισημερινού μπορεί να
αντιστοιχεί σε μία γωνία. Για παράδειγμα στα σημεία Β και Γ
αντιστοιχούν οι θερμοκρασίες f(θ1) και f(θ2) αντίστοιχα, όπου f είναι η
256 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
συνάρτηση της υπόθεσης με
ΑΒθ1 και
ΑΓθ2 (βλ. σχήμα
παρακάτω).
Για ένα οποιοδήποτε
σημείο Δ του κύκλου
παρατηρούμε ότι αν θ
είναι η γωνία στην
οποία αντιστοιχεί, τότε
στο αντιδιαμετρικό του
σημείο Δ΄ θα αντιστοιχεί η γωνία π+θ.
Επίσης, η θερμοκρασία στο σημείο Α μπορεί να εκφραστεί με δύο
διαφορετικά ορίσματα της f, δηλαδή f(0)=f(2π)...
ΕΝΟΤΗΤΑ 21η
21.1) Να μελετήσετε το παράδειγμα 21.1. Ειδικότερα προκύπτει ότι:
(α) ■ f(x)>0x(2,1)(1,+).
■ f(x)=0x=1 ή x= 1 ή x= 2.
■ f(x)<0x(,2)(1,1).
(β) ■
2π,
3π
2π,
3π2x0)x(f .
■
π,
2π
3π,
2π
3π2,πx0)x(f .
■ 3πxή
3π2x0)x(f .
(γ) ■
π,
4π
4π3,πx0)x(f .
■
4π,
4π3x0)x(f .
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 257
■ 4πxή
4π3x0)x(f .
(στ) f(x)>0 0<x<1.
21.2) Η συνάρτηση εκφράζει ημικύκλιο με τύπο x2+y2=1, όπου y≥0.
21.3) (α)
22,
22Α . (β) Να μελετήσετε το παράδειγμα 21.3.
21.5) Να μελετήσετε το παράδειγμα 21.4.
ΕΝΟΤΗΤΑ 22η
22.1) Τα σύνολα τιμών είναι τα εξής:
(α) (,2+2ln2]. (β) (,0]. (γ) [1,5]. (δ) (3,1). (ε) (124,1).
(στ) Ισχύει ότι xxx1x 22 . Άρα 0x1x2 xR...
(ζ) (0,+). (η) Ισχύει ότι 1≤ημx≤1. Άρα x1≤xημx≤x+1...
(θ) [1,1].
22.2) Να μελετήσετε το παράδειγμα 22.3.
22.3) Να μελετήσετε το παράδειγμα 22.4.
22.4) )1xxln(
1)x(f2
1
.
22.5) (α) Είναι 1x2
xln)x(f
, με x>0. Να δείξετε ότι
2121 xx...)x(f)x(f (προσοχή η απόδειξη αυτή πρέπει να
εξασφαλίζει την ισοδυναμία σε κάθε βήμα). Τελικά f((0,+))=(,ln2).
(β) Έστω fCy,x . Τότε x>0 και y<0. Δηλαδή όλα τα σημεία της fC
βρίσκονται στο 4ο τεταρτημόριο. Λόγω συμμετρίας της fC με τη 1fC ως
προς τον άξονα y=x, ισχύει ότι 1ff Cx,yCy,x με x>0 και y<0.
Άρα όλα τα σημεία της 1fC βρίσκονται στο 2ο τεταρτημόριο.
258 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
(γ) 1e2
e)x(f x
x1
, x<ln2.
22.6) Ο τύπος της f γράφεται και ως x
x
e1eln)x(f
, x<0...
22.7) (α) Είναι f(R)=R, με f<R.
(β) Αφού f<R, έχουμε γενικά ότι )λ(f)y(ffλ)y(f 11 ... εφόσον
yf(Df) και λDf.
22.8) (β) f(R)=[4,+). 22.9) f(0,2])=(,3].
22.10) (α) f((0,+))=(2,+)
(β) Να μελετήσετε την απόδειξη της πρότασης 5.1 στην ενότητα 5.
(γ) Επειδή η 1f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με
),0()),2((f 1 , τότε έπεται ότι 0)x(flim 1
2x
και
)x(flim 1
x.
ΕΝΟΤΗΤΑ 23η
23.1) (α) Έστω x1,x2R. Τότε ... )x(f5)x(f)x(f5)x(f 223
113
...0)]x(f)x(f[5)]x(f)x(f[ 2123
13
Θυμηθείτε ότι α,βR, ισχύει ότι 0βαβα 22 .
(β) Έστω ότι Α(xo,yo) κοινό σημείο των fC και 1fC . Τότε f(xo)=yo και
oo1 y)x(f . Όμως oo
1oo x)y(fy)x(f . Λύνουμε το σύστημα
oo1
oo1
y)x(fx)y(f ...
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 259
(δ) Έστω αR. Μετά από πράξεις προκύπτει ότι
5αx2
5)α(f)α(f)x(f)x(f)αx(2)α(f)x(f 22
...
23.2) (α) Έστω ότι υπάρχει xo>0, ώστε f(xo)=0. Τότε
0x0x4)x(fx2)x(f o3oooo
3 , άτοπο. Άρα f(x)0 x>0 και
επειδή είναι συνεχής, διατηρεί πρόσημο...
(β) (i) 0 (ii) 0 (iii) 2.
(γ) Να εφαρμόσετε θεώρημα Bolzano.
23.3) (α) Να θεωρήσετε τη συνάρτηση g(x)=f(x)3x. Παρατηρήστε ότι
f(0)0, ενώ f(1)<3...
(β) (i) 2 (ii) 0 (iii) 58 .
23.4) (α) x=0 (β) (,+)
(γ) Έστω x1<x2. Τότε θα έχουμε ότι:
<f
21)x(g
23)x(g
13
21 )x(gf)x(gf1e)x(g1e)x(gxx 21
)x(g)x(g 21 . Άρα g<R.
(ε) Ισχύει ότι 0)0(g)0(g)0(gg0)0(g 11 ...
23.5) (α) ),0()3,(Df .
(β)
)x(flim0x
και
)x(flim3x
.
(γ) x
x1
e2e3)x(g
, με x(,ln2) (γιατί;)
23.6) (α) Έστω f γνησίως αύξουσα και x1,x2Δ με f(x1)<f(x2). Τότε θα
ισχύει είτε x1<x2, είτε x1=x2, είτε x1>x2.
■ Αν x1=x2, τότε f(x1)=f(x2), άτοπο από την υπόθεση ότι f(x1)<f(x2).
■ Αν x1>x2, τότε επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έπεται ότι f(x1)>f(x2),
πάλι άτοπο από την υπόθεση ότι f(x1)<f(x2).
Άρα τελικά x1<x2.
260 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
(β) Όχι απαραίτητα (γιατί;)
23.7) (α) Όπως στο παράδειγμα 21.4... (β) 0.
23.8) Να χρησιμοποιήσετε κριτήριο παρεμβολής.
23.9) (α) f<. (β) [2,+)
(γ) Στην ενότητα 5, να διαβάσετε την πρόταση 5.1. Χρειάζεται να την
αποδεικνύετε. Τελικά 1f <.
(δ) Να δείξετε πρώτα ότι f(x)>x xDf. Τότε για κάθε σημείο (xo,yo)Cf
με xoDf, ισχύει ότι yo>xo. Λόγω συμμετρίας της 1fC με τη fC ως προς
την ευθεία y=x, έπεται ότι όλα τα σημεία της 1fC θα είναι της μορφής
(yo,xo) με yo 1fD και xo fD . Τότε όμως όπως είπαμε θα ισχύει ότι
yo>xo. Όμως )y(fx o1
o . Άρα oo
1 y)y(f για κάθε yo 1fD . Αν τη
μεταβλητή yo τη συμβολίσουμε ως x, τότε προκύπτει το ζητούμενο.
(ε) Είναι ),2[D 1f και ),0[)),2([f 1 . Επιπλέον η 1f είναι
συνεχής και γνησίως αύξουσα...
23.10) (α) Να μελετήσετε τα παραδείγματα 22.3 και 22.4.
(β) Να μελετήσετε το παράδειγμα 20.2.
(γ) Πρέπει να λύσετε πρώτα την εξίσωση f(x)=0 και μετά να κάνετε
πίνακα προσήμων για τη συνάρτηση f, όπως στο παράδειγμα 21.1.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 261
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ανδρεαδάκης Σ., Κατσαργύρης Β., κ.α. (2006). Μαθηματικά
Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (έκδοση Η΄). Εκδ. Ο.Ε.Δ.Β. Κατσαργύρης Β., Μέντης Κ., κ.α. (1998). Μαθηματικά Γ΄Λυκείου.
Ανάλυση. (Έκδοση Ζ΄). Εκδ. Ο.Ε.Δ.Β. Λουρίδας Σωτήρης (2006). Μαθηματικά για Μαθηματικούς. Εκδ.
Μπόνια. Μαμούρης Α.Ι. (1977). Συναρτήσεις Θεωρία-Λυμένα Θέματα.
(Αυτοέκδοση) Μπάρλας Αναστ. (2015). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Ομάδας
Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Οικονομίας και Πληροφορικής, τεύχος Α΄. Εκδ. Ελληνοεκδοτική.
Νεγρεπόντης Σ., Γιωτόπουλος Σ., Γιαννακούλιας Ευστ., (1992). Απειροστικός Λογισμός, τόμος Ι. Εκδόσεις Αίθρα.
Ξένος Θανάσης (1999). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου. Συναρτήσεις, Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης, τόμος 2. Εκδ. Ζήτη.
Ξένος Θανάσης (2002). Κριτήρια Αξιολόγησης στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Εκδ. Ζήτη.
Παπαδάκης Β. (2009). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, τόμος Γ1. Εκδ. Σαββάλας.
Σκόμπρης Ν. (2007). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου, τόμοι Γ1 και Γ2. Εκδ. Σαββάλας.
Στεργίου Χ., Νάκης Χρ., Στεργίου Ι. (2006). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου (Μιγαδικοί-Όρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Εκδ. Σαββάλας.
Τζουβάρας Θ, Τζιρώνης Κ. (1999). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου (Μιγαδικοί-Συναρτήσεις-Όριο-Συνέχεια συνάρτησης-Η έννοια της παραγώγου-Παράγωγος Συνάρτηση, τόμος 2. Εκδ. Σαββάλας.
Χατζημανώλης Νίκος (2015). Σημειώσεις Πολυωνύμων Β΄ Λυκείου. Αυτοέκδοση.
Χατζημανώλης Νίκος (2014). Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου. Αυτοέκδοση
Lysari team: Αντωνόπουλος Νίκος, Βελαώρας Ι., κ.α. (2016). Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών-Οικονομίας και Πληροφορικής. Οδηγός Προετοιμασίας για τις Πανελλαδικές εξετάσεις. Εκδ. Ελληνοεκδοτική.
Spivak Michael (2004). Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός (8η έκδοση). Εκδ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
top related