Ειδική Θεωρία Σχετικότητας · 2017-04-01 · Ειδική Θεωρία ......
Post on 23-Jan-2020
8 Views
Preview:
TRANSCRIPT
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 1
Ειδική Θεωρία Σχετικότητας
Σύνολο διαφανειών
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 2
Πριν τον Αινστάιν.
Νόμος του Νεύτωνα. Αδρανειακά Συστήματα.
Σχετικότητα στη Μηχανική. Οι νόμοι της Μηχανικής αναλλοίωτοι στα
αδρανειακά συστήματα. Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 3
Η μηχανική στo τέλος του 19ου αιώνα.
Κριτική του Ernst Mach στις αρχές της μηχανικής. • Όλες οι αρχές της Φυσικής πρέπει να προκύπτουν από την εμπειρία και να μην θεωρούνται αυταπόδεικτες. •Δεν υπάρχει απόλυτος χώρος. (Η υπόθεση ότι υπάρχει ένα σύστημα αναφοράς που είναι ακίνητο και όλες οι κινήσεις στο σύμπαν να μετριούνται προς αυτό.) Η έννοια του χώρου προκύπτει από τη σύγκριση των αποστάσεων των σωμάτων, σε σχέση με έναν χάρακα.
•Δεν υπάρχει απόλυτος χρόνος. Ο χρόνος προκύπτει από τους νόμους της μηχανικής πχ. ευθύγραμμη κίνηση ή από τη σύγκριση με περιοδικές κινήσεις π.χ. κίνηση της γύρω από τον ήλιο, περιστροφή της γης γύρω από τον άξονα της.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 4
Αδρανειακά Συστήματα Αναφοράς
Συστήματα που κινούνται με μηδενική επιτάχυνση. Δεν ασκούνται δυνάμεις από το σύστημα
στο σώμα. Τα πειράματα που πραγματοποιεί ο
κινούμενος παρατηρητής δεν επηρεάζονται από την κίνηση.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 5
Μη αδρανειακά Συστήματα
Συστήματα αναφοράς που επιταχύνονται. (Γραμμική επιτάχυνση, Περιστροφή) Το σύστημα ασκεί δυνάμεις στο σώμα το
οποίο επιταχύνεται. (Ακίνητος Παρατηρητής).
Ο παρατηρητής που κινείται αντιλαμβάνεται ότι ασκούνται δυνάμεις (Αδρανειακές δυνάμεις) οι οποίες ισορροπούνται από τις δυνάμεις που ασκεί το σύστημα.
Με τον τρόπο αυτό ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ότι σύστημα επιταχύνεται.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 6
Σχετικότητα στη Μηχανική Οι νόμοι της Μηχανικής διατηρούν την μορφή τους
στα Αδρανειακά Συστήματα Αναφοράς. Ή οι νόμοι της Μηχανικής παραμένουν Αναλλοίωτοι
στα Αδρανειακά Συστήματα Αναφοράς. Η παραπάνω σχέση ονομάζεται σχετικότητα του
Poincare.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 7
Ηλεκτρομαγνητική Θεωρία
Εξισώσεις Μάξγουελ. Προβλέπουν σταθερή ταχύτητα φωτός στο κενό
Δεν ακολουθούν τους μετασχηματισμούς Γαλιλαίου
Αιθέρας, ακίνητο "υλικό" που γεμίζει τον χώρο.
Από τον Νεύτωνα μέχρι τον Λόρεντζ, πολλές υποθέσεις αντιφατικές.
001 με/c =
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 8
Παράδειγμα επαγωγής.
Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αν κινείται ο μαγνήτης με ταχύτητα υ είτε κινείται ο δακτύλιος!
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 9
Βασικά πειράματα.
Αν η ταχύτητα του φωτός εξαρτιόνταν από την ταχύτητα του συστήματος, τότε θα μπορούσαμε να μετρήσουμε την διαφορά.
Πείραμα Michelson Morley. Το γρηγορότερο όχημα που διαθέτουμε είναι η Γη, που
κινείται με 30km το δευτερόλεπτο γύρω από τον ήλιο. Το αποτέλεσμα: Η ταχύτητα του φωτός δεν εξαρτάται από
την κίνηση της γης. Ο Lorentz επιμένει: Η συσκευή συστέλεται κατά τη
διεύθυνση της κίνησης.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 10
Απόλυτο Σύστημα;
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 11
Οι προτάσεις του Αινστάιν. Ισοδυναμία των αδρνειακών συστημάτων
Αν κάνουμε οποιοδήποτε πείραμα σε ένα σύστημα που κινείται με σταθερή ταχύτητα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με εκείνο σε σύστημα που θεωρούμε ακίνητο.
Αυτό διατυπώνεται διαφορετικά: Όλοι οι νόμοι της φυσικής διατηρούν τη μορφή τους, (είναι αναλλοίωτοι) στα αδρανειακά συστήματα.
Αλλοιώς : Ισοδυναμία των αδρνειακών συστημάτων.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 12
Ταχύτητα του φωτός
Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι σταθερή και ανεξάρτητη από την κίνηση του συστήματος αναφοράς.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 13
Εισαγωγή στη Eιδική Θεωρία της Σχετικότητας
Διδακτικοί στόχοι.
•Οι Νόμοι της Μηχανικής σε Κινούμενο Σύστημα.
•Πότε Δύο Γεγονότα είναι Ταυτόχρονα.
•Η Μέτρηση του Χρόνου και του Μήκους.
•Οι Δύο Νόμοι της Σχετικότητας.
•Μετασχηματισμός Χρόνου και Μήκους.
•Απλά Προβλήματα Στην Ε.Θ.Σ.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 14
Χώρος και Χρόνος
Σύστημα αναφοράς. Κάθε σημείο (Χ,Υ) αντιστοιχεί στη θέση του σώματος σε σχέση με την αρχή των αξόνων. Όμως πρέπει σε κάθε σημείο να προσδιορίσουμε και τον χρόνο. Για να είναι ο ίδιος σε κάθε σημείο πρέπει να συγχρονίσουμε κάθε ρολόι, με το ρολόι της αρχής. Για να συγχρονιστούν, στελνουμε μια ακτίνα φωτός σε κάθε ρολόι. Η διαφορά του χρόνου πρέπει να είναι : rij/c
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 15
Υπόθεση Αιθέρα.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 16
O Αιθέρας και το Πείραμα των Michelson - Morley
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 17
Υπολογισμός Ταχύτητας
M2
K M1
L
Ταχύτητα αιθέρα υ Από το ημιπερατό κάτοπτρο μέχρι την διόπτρα η διαδρομή είναι κοινή για τις δύο δέσμες. Η διαφορά θα προκύπτει ανάμεσα στις διαδρομές Κ -Μ1 Κ, και Κ -Μ2 -Κ .
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 18
Υπολογισμός ταχύτητας προς τον Αιθέρα
12
2
1
1
)1(2 −−=−
++
=
−−
ccL
vcL
vcLt
KMKυ
( ) 2122
2
22
2
2
υ
υυ
−=
−=′
−−
c
Lt
c
KMK
3
2
2
2
2
2
21
2
21
2
2
)211()(12
112
cL
cccL
cccLt
υυυ
υυ
=
−−−−=
=
−−
−=∆
−−
λυπ
λπφ
υ
2
2
2
42
2)2(
Ld
cLtcd
=∆=∆
=∆=∆
Χρόνος κατά τη διεύθυνση της Κίνησης
Χρόνος κάθετα προς την Κίνηση
Διαφορά Φάσης.
Υπολογισμός Διαφοράς Χρόνου
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 19
Συσκευή Michelson-Morley
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 20
Ταυτόχρονα γεγονότα. Το βαγόνι κινείται με ταχύτητα υ. Οι δύο κεραυνοί πέφτουν όταν τα σημεία Α και Β, συμπίπτουν με τα Α’, Β’.
21 tc
BOc
AOt ===
Ο Ακίνητος παρατηρητής που βρίσκεται στο Ο, βλέπει τις δύο λάμψεις να φθάνουν ταυτόχρονα.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 21
Ταυτόχρονα;
Η διαδρομή του φωτός από το Α μέχρι το Ο’, είναι μεγαλύτερη από εκείνη που ξεκινά από το Β και φθάνει το Ο’.
21
21
2211
ttc
dtc
dt
tdcttdct
>+
=−
=
+=+=
υυ
υυ
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 22
Παρατηρητής στο βαγόνι
Ο Κινούμενος κάνει ένα πείραμα: Στέλνει μία ακτίνα στην οροφή και μετρά τον χρόνο ανάμεσα στην εκπομπή και λήψη της. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αν το βαγόνι κινείται είτε είναι ακίνητο.
cdt 2Δ =′
Υπολογίζουμε το χρόνο που μετρά ο Κινούμενος:
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 23
Παρατηρητής στο έδαφος
Ο Ακίνητος διαπιστώνει ότι η εκπομπή και η λήψη γίνονται σε διαφορετικές θέσεις.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 24
Από το σχήμα υπολογίζουμε τη διαδρομή της φωτεινής ακτίνας, όπως τη βλέπει ο Ακίνητος, και από αυτήν τον χρόνο Δt.
2
2
cυ-1
tΔtΔ′
=
Υπολογισμός χρόνου σύμφωνα με τον Ακίνητο
( )2
2
2
2
222222
22
1
44
22c
cd
tdtctdtcυ
ΔΔυΔυΔ
−=→=−→
+=
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 25
Συμπέρασμα:
Ο χρόνος που μετρά ο Ακίνητος, είναι μεγαλύτερος από τον χρόνο, του Κινούμενου παρατηρητή.
Αυτό συμβαίνει γιατί:
1. Η ταχύτητα του φωτός είναι σταθερή.
2. Η εκπομπή και η λήψη, γίνονται σε διαφορετικά σημεία κατά τον Ακίνητο.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 26
Μετασχηματισμός Μήκους
l0
υ
Γη Αστέρι
Γήινος: υ
0lt =′∆
Εξωγήινος: υlt =∆
22
0
00
1 cll
ttll
tl
tl
υ−=⇒
′∆∆
=⇒∆
=′∆
Δύο διαφορετικά σημεία και δύο διαφορετικοί χρόνοι.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 27
Παράγοντας γ 221
1c/υ
γ−
=
Gammaf(x)=1/sqrt(1-x̂ 2)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
10
100
u/c
γ
β=υ/c γ=1/√(1-β2)
0,10000 1,00504
0,80000 1,66667
0,90000 2,29416
0,95000 3,20256
0,97000 4,11345
0,99000 7,08881
0,99500 10,01252
0,99900 22,36627
0,99990 70,71245
0,99999 223,60736
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 28
Μετασχηματισμός Γαλιλαίου
ttzzyy
tυxx
=′=′=′
−=′
ttzzyy
tυxx
′=
′=
′=+′=
( ) ( )t,z,y,x't,'z,'y,'x ↔
Ο υπολογισμός των συντεταγμένων ανάμεσα σε δύο αδρανειακά συστήματα, γράφεται με την μορφή μετασχηματισμού.
Ο μετασχηματισμός της κλασικής φυσικής, ονομάζεται μετασχηματισμός του Γαλιλαίου.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 29 1/4/2017 29
Μετασχηματισμός Lorentz
( )
−=
==
−=
xc
t't
z'zy'y
tx'x
2υγ
υγ ( )
+=
==
+=
'xc
'tt
'zz'yy
't'xx
2υγ
υγ
22
1
1
cυ
γ−
=
( ) ( )'t,'z,'y,'xt,z,y,x ↔
'SS → S'S →
Οι Μετασχηματισμοί Lorents:
Οι Αντίστροφοι Μετασχηματισμοί Lorentz:
XX Λ=′( )( )'t,'z,'y,'x
t,z,y,x=′=
X
X
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 30
Απόδειξη
)bxt(a't)tυx(k'x
yyzz
−=−=
=′=′
22222
22222
'tc'z'y'x
tczyxS
=++
=++)(S':Κινούμενος
)( :Ακίνητος
Λόγω της ομογένειας του χώρου ο μετασχηματισμός πρέπει να είναι γραμμικός.
cυb
ak
υkacbaυk
cbk
(t-bx)aczyυt)(xk
cυ
=
−==
⇒=
=−
−
=−
⇒
=++−
2
211
01
1
222
222
222
2222222
2
2
2
2
1
1
2
cυ
cυ
cxυt
't
z'zy'y
tυx'x
−
−=
==
−
−=
Τελικά:
Συγχρονισμός “ρολογιού” στη θέση (x΄,y΄,z΄)
Αντικαθιστώντας:
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 31 1/4/2017 31
Μετασχηματισμός Ταχύτητας.
+
′=
+
′=
+
+′=
2
2
2
1
1
1
cu
uu
cu
uu
cu
uu
x
zz
x
yy
x
xx
υγ
υγ
υυ
−
=′
−
=′
−
−=′
2
2
2
1
1
1
cu
uu
cu
uu
cu
uu
x
zz
x
yy
x
xx
υγ
υγ
υυ
Ορθός. Αντίστροφος. υυ −→
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 32 32
Μετασχηματισμός Ταχύτητας
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u'/c
u/c
Ταχύ
τητα
Σημ
είου
στο
Ακί
νητο
Σύσ
τημα
.
Ταχύτητα Σημείου στο Κινούμενο Σύστημα.
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 33
Σχετικιστική Ορμή
•Η Σχετικιστική Ορμή πρέπει να διατηρείται σε όλες τις κρούσεις.
•Η Σχετικιστική Ορμή πρέπει να τείνει στο κλασικό ορισμό της για ταχύτητες μικρές ως προς την ταχύτητα του φωτός.
muγ
cu
mup =
−
≡
2
2
1
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 34
Σχετικιστική δύναμη
2
2
1cu
maF
dtdPF
−
=
=
2
20
1cu
mm−
=
28/3/2017 Γ. Βούλγαρης 35
Σχετικιστική Ενέργεια
2
2
2
2
1mc
cu
mcK −
−
=
222
22
2
2
2
2
21
211
211
1
1
mumccumcK
cu
cu
=−
++=
++≈
−
top related