Основыфизики твердого...

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Лекция №1

• Трансляционная симметрия кристаллов

• Обратная решетка

• Зоны Бриллюэна

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаАморфные, поликристаллические и

кристаллические твердые тела

Кристалл(монокристалл)

Поликристалл

Аморфноесостояние

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much too complicated to be soluble.

P.A.M. Dirac 1902-1984

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаП.Дирак, в частности, имел в виду физику твердого тела.

Таким образом при описании свойств твердых тел приходится пользоваться различными приближениями.

Задачу упрощает симметрия кристаллов.• Кристаллы состоят из периодически повторяющихся в пространстве структурных элементов • Каждый из элементов называется базисом и может быть атомом, молекулой, группой атомов или молекул• Такое периодическое расположение структурных элемен-тов обладает трансляционной симметрией, то есть при перемещении одного из элементов на расстояние

где n1, n2, n3 – целые числа, а - векторы (которые мы определим ниже), этот элемент полностью совпадет с абсолютно идентичным структурным элементом

cnbnanR 321

rrrr++=

c,b,arrr

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела• Если заменить структурные элементы кристалла точками, то получим периодически расположенные в пространстве узлы, образу-ющие кристаллическую решетку

• Вектора в общем случае начинаются в одном из узлов и заканчиваются на соседних к нему узлах

• В 1848 году О.Бравэ показал, что все многообразие кристалли-ческих решеток кристаллов можно описать с помощью 7 кристалло-графических классов (сингоний) и 14 типов решеток (решетки Бравэ) если следовать следующим правилам при выборе векторов

(в порядке приоритетности условий)

c,b,arrr

c,b,arrr

1. Построенный на этих векторах параллелепипед (элементарная ячейка кристалла) наилучшим образом отражает симметрию кристалла

2. Элементарная ячейка имеет максимально возможное число прямых углов

3. Элементарная ячейка имеет наименьший объем после выполнения первых двух условий

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Решетки Бравэ

a

aa

a

aa

a

aa

SimpleCubic (P)

Body-CenteredCubic (I)

Face-CenteredCubic (F)

SimpleTetragonal (P)

c

aa

Body-CenteredTetragonal (I)

c

aa

SimpleOrthorhombic

(P)

Body-CenteredOrthorhombic

(I)

c

ba

c

ba

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

c

ba

c

ba

Base-CenteredOrthorhombic

(C)

Face-CenteredOrthorhombic

(F)

aa

a

Rhombohedral(R)

αα α

Hexagonal(H)

c

aa

120º

c

ba

c

ba

β β

Simple Monoclinic(P)

Base-CenteredMonoclinic (C)

c

ba

αβ

γ

Triclinic (P)

Решетки Бравэ

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Решетка Бравэ и кристаллическая решетка

Решетка Бравэ Кристаллическаярешетка

Базис

+ =

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаДвумерные решетки Бравэ

Имеется пять способов расположения точек на плоскости. Эти способы называются двумерными решетками Бравэ

a’

a’’

a

b’’

b’b γ

γ

γ

(a) Решетка только с трансляционной симметрией

ab

(б) Прямоугольная

a’

b’ γb

a

(в) Ромбическая (a=b)Эквивалентна центрированной

прямоугольной

a

b60o

(г) треугольная (a=b, γ=60o)

b

a

(д) квадратная (a=b, γ=90o)

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаАльтернативный способ описания решеток Бравэ

Примитивная ромбоэдрическая ячейка с векторами трансляций

)xz(2ac);zy(

2ab);yx(

2aa +=′+=′+=′ )xz(

2ac);zy(

2ab);yx(

2aa +=′+=′+=′

ГЦК ОЦК

Примитивная ромбоэдрическая ячейка с векторами трансляций

)xyx(2ac

);zyx(2ab);zyx(

2aa

+−=′

++−=′−+=′

)xyx(2ac

);zyx(2ab);zyx(

2aa

+−=′

++−=′−+=′

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаВ физике твердого тела особенное значение имеет примитивная ячей-ка Вигнера-Зейтца, которая конструируется следующим образом

Ячейка Вигнера-Зейтца имеет ту же площадь (объем), что и обычная примитивная ячейка и содержит только один узел решетки. Если подвергнуть эту ячейку трансляциям, определяемым всеми векторамирешетки, то она заполнит все пространство без перекрытия и разрывов. Отметим, что симметрия ячейки Вигнера-Зейтца такая же, как и у соответствующей решетки Бравэ!

(б) проводим перпендикуляры к этим линиям в их середине

(a) Строятся линии, соединяю-щие ближайшие узлы решетки

(в) получившийся многоуголь-ник (многогранник), наимень-шей площади (объема) называется ячейкой Вигнера-Зейтца

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Атомные плоскости

Хотя определение кристаллической решетки и базиса вполне достаточны для описания структуры кристаллов, очень полезным оказывается рассмотрение кристаллических плоскостей.

Принято описывать кристаллические плоскости с помощью индексов Миллера.

Как определяют эти индексы?

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаКристаллические плоскости и индексы Миллера

O

b

a

Плоскость, которой хотим задать индексы Миллера

b/4

a/3

Соответственно искомая плоскость называется плоскость (3,4) где 3и 4 обозначают индексы Миллера

Семейст

во

эквива

лентных

плоско

стей

Возьмем плоскость, которая пересекает кристаллические оси в точках с координатами 4а и 3bБлижайшая к началу координат и параллельная заданной плоскость пересекает оси в точках a/3 и b/4

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаПравила вычисления индексов Миллера

1. Определить координаты (x, y, z), пересечения плоскости с кристалло-графическими осями в единицах параметров элементарной ячейки (a,b,c).

O

b

ab/4

a/3

2. Рассчитать обратные значения этих координат: (1/x, 1/y, 1/z)

3. Умножить значения на наимень-шее целое кратное к знаменате-лям: (h, k, l)4. (h, k, l) – индексы Миллера, определяющие набор эквивалентных плоскостей, отсекающих на координатных осях (a,b,c) отрезки длиной пропорциональной 1/h, 1/k and 1/l.

Пример для 2-мерного случая

x=4, y=3 1/4,1/3

Индексы Миллера (3,4)

Пример для 3-мерного случая

x=5, y=3, z=1 1/5,1/3,1

Индексы Миллера (3,5,15)

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаПримеры

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z(1,0,0) (1,1,0) (1,1,1)

(2,0,1) (2,1,0) (1,1,1)

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаОбозначения

Плоскости обычно обозначаются как

Семейства эквивалентных плоскостей

Направления в кристаллической решетке

Узлы решетки

Отметим, что направление не обязательно перпендикулярно кплоскости

Индексы Миллера, направления и узлы могут задаваться отрицательными значениями, напр.Они могут также обладать множественностью, напр. для кубического кристалла имеет множественность 6:

( )l,k,h

{ }l,k,h

[ ]l,k,h

z,y,x[ ]l,k,h

( )l,k,h

( )1,1,1{ }0,0,1

( )

)1,0,0()1,0,0()0,1,0()0,1,0()0,0,1(0,0,1

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаОбратная решетка

По аналогии с прямой кристаллической решеткой можем теперь определить нормаль к плоскости (hkl) как точку в элементарной ячейке, заданной векторами a*, b* и c*, где

]cb[a]ba[2*c

]cb[a]ac[2*b

]cb[a]cb[2*a

×⋅×⋅π=

×⋅×⋅π=

×⋅×⋅π= ортогонален к b и c

ортогонален к c и a

ортогонален к a и b

Из этих определений следует, что:a*.b = 0 a*.c = 0 a*a = 2π

b*.c = 0 b*.a = 0 b*b = 2π

c*.a = 0 c*.b = 0 c*c = 2π

Решетка, построенная на элементарных векторах трансляций a*, b* и c*,называется Обратной Решеткой, а a*, b* и c* векторами обратной решетки

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаПостроение обратной решетки

a

b

b*

a*

(0,1)(1,0)(1,1)

(i) проводим перпендикуляр к каждой плоскости (hkl) из узла прямой решетки, выбранного как начало координат(ii) На линии перпендикуляра ставим точку на расстоянии 1/dhkl от началакоординатТаким образом кристаллографические плоскости могут быть заданы как набор точек в обратном пространстве

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

b*

a*

(0,0)

(1,0)

(2,0)

(3,0)

(3,1)

(2,1)

(1,1)

(0,1)

(2,2)

(1,2)

(0,2)

1/d01

1/d10

Построение обратной решетки

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаПостроение зон Бриллюэна

Nearestneighbour

2nd nearestneighbour

3rd nearestneighbour

4th nearestneighbour

Строим перпен-дикуляры к сере-динам линий, сое-диняющих бли-жайшие узлы об-ратной решетки, затем то же самое для следующих за ближайшими и т.д.

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Nearestneighbour

2nd nearestneighbour

3rd nearestneighbour

4th nearestneighbour

Получившийся ква-драт в центре пред-ставляет собой примитивную ячей-ку Вигнера Зейтцадля обратной ре-шетки и называется первой зоной Брил-люэна

Двигаясь от центра и пересекая Грани-цы Зон Бриллюэнамы попадаем во 2-ю, 3-ю, 4-ю и т.д. зоны Бриллюэна, которые становят-ся все более фраг-ментированными

Построение зон Бриллюэна

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаСхема зон Бриллюэна

Nearestneighbour

2nd nearestneighbour

3rd nearestneighbour

4th nearestneighbour

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела2 3

1

2

3

4

1 2

3

4

56

7

8

1 4

5

6

7

89

10

11

12

Легко видеть, что сег-менты 2-й, 3-й, 4-й и т.д. зон Бриллюэнамогут быть спроекти-рованы на 1-ю зону с помощью векторов примитивных транс-ляций обратной ре-шетки

1

2

3

4

8

7

6 5

4

3

21

4

107

89

1611

12 5

32

A

A

A

AA

A AТакое проектирование также показывает, что все зоны Бриллюэнаимеют одинаковую площадь (объем в 3-х мерном случае)

Таким образом, любой процесс, описанный в схеме расширенной зоны Бриллюэна (напр. в точке А) может быть идентично описан процессом в 1-й зоне Бриллюэна.

Первая зона Бриллюэна –есть примитивная ячейка обратной решетки.

Схема зон Бриллюэна

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого телаВыводы

Nearestneighbour

2nd nearestneighbour

3rd nearestneighbour

4th nearestneighbour

Так же как вся кристаллографическая или структурная информация содержится в примитивной ячейке прямой кристаллической решетки, так и вся информация о распространяющихся в кристалле волновых колебаниях содержится в примитивной (Вигнера-Зейтца) ячейке обратной решетки, т.е. в первой зоне Бриллюэна.Каждая волна может быть определена через соответствующий волновой вектор, κ=2π/λ, поэтому обратную решетку также называютпространством волновых векторов или k-пространством.

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Все зоны Бриллюэна: Квадратная Решетка

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

Первые зоны Бриллюэна: ОЦК

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

X

Γ

L

KX

X

U

W

Kz

Ky

Kx

Особые точки в k-пространстве для ОЦК

1-я зона Бриллюэна

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

реальная: ГЦКобратная: ОЦК

1-е зоны Бриллюэна для ГЦК, ОЦК и ГПУ решеток

ГПУ

реальная: ОЦКобратная: ГЦК

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

First Brillouin Zone FCC

© А.В.Белушкин, 2005

лекция №1

Основы физики твердого тела

First Brillouin Zone BCC