Ю.Н. Прошин, С.К. Сайкин, Р.Г....

Ю.Н. Прошин, С.К. Сайкин, Р.Г. Деминов

Кафедра теоретической физикиИнститут Физики

Казанский Федеральный Университет2010, Казань

Численные методы и математическое моделирование

Лекционный материал

Ю.Н. Прошинкафедра теоретической физики

Казанского федерального университетаyurii.proshin@ksu.ru

2004-2010, Казань

методы и математическое моделирование

Kazan State

University1804-2004

# 2Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 1

Орг. замечания илитература

Потоковые лекции - первые 9 недель (18 часов)

Практические занятия по кафедрам (еще 9 недель – 18 ч.)

ЭКЗАМЕН или ЗАЧЕТ?

Рекомендуемая литература1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Т. 1-2,

1990, М.: Мир. (аб., ч.з. 9)2. Прошин Ю.Н., Еремин И.М. Вычислительная физика (практический

курс), 2009, Казанский университет, 180 с. (аб., ч.з. 9)3. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы

математических вычислений,1980, М.: Мир. (аб., ч.з. 9)4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное

обеспечение,2001, М.: Мир. (аб., ч.з. 9)5. Сборник задач по математике Ч. 4. (Под. ред.Ефимова А.В.) 1990,

М.: Наука. (аб., ч.з. 9)6. Коткин Г.Л., Черкасский В.С. Компьютерное моделирование физичес-

ких процессов с использованием MatLab, 2001, Новосибирск : НГУ7. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов в

пакете MATLAB. – М.: Горячая линия – Телеком, 592 с., 20038. Деминов Р.Г., Сайкин С.К., Прошин Ю.Н. Вычислительные методы в

теоретической физике. 2000, Казань: КГУ. (ч.з. 9, каф. т.ф.)

Орг. замечания илитература

Зачемфизику компьютер?

“Общечеловеческие” цели и желания

“Общенаучные” цели

“Физические” цели

Зачемфизику компьютер??

"Общечеловеческие" цели и желания—Интернет (общение, поиск информации, заработок, …)

—Обучение (языки, предметы, …)—Словари, переводчики, базы данных, справочники, энциклопедии, книги, …

—Развлечения (игры, видео, фото, музыка, …)

—Разное (???)

Зачемфизику компьютер???

“Общенаучные” цели—Презентации (PowerPoint, Acrobat, …)—Набор и правка статей (WinWord, LaTeX,

OpenOffice…)—Научная графика (Origin, Grapher, Excel,

…)— "Рисовалки" (Corel Draw, Corel Photopaint,

Photoshop,…)—Спец. рисовалки (ChemDraw, …)—Дигитайзеры – "оцифровка" кривых

(Grafula, …)

Зачемфизику компьютер????

“Физические” цели—Управление экспериментом {в реальном времени}

—Аналитические вычисления {символьные преобразования} (Maple, Mathematica, Derive, MathCad, Matlab,…)

—Численный анализ (Fortran, Pascal-Delphi,C,…; Matlab, MathCad, Maple, Mathematica, …)

—Моделирование (Matlab; Maple, MathCad,Mathematica; Fortran, C, Pascal-Delphi,спец. программы и пакеты …)

Программное обеспечение.Для работы…

Таких систем – пропасть. Но для эрцгерцога, наверное, купили что-нибудь этакое особенное.

Гашек "Похождения бравого солдата Швейка"

Зачемфизику компьютер????

“Физические” цели—Управление экспериментом {в реальном времени}

—Аналитические вычисления {символьные преобразования} (Maple, Mathematica, Derive, MathCad, Matlab,…)

—Численный анализ (Fortran, Pascal-Delphi,C,…; Matlab, MathCad, Maple, Mathematica, …)

—Моделирование (Matlab; Maple, MathCad,Mathematica; Fortran, C, Pascal-Delphi,…)

Йозеф Швейк

Численный анализ.Простой пример

Численное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений)

Простой пример:

> solve({u+v+w=5, 3*u+v=15, u-2*v-w=0});{u = 4, w = -2, v = 3}

2 53 100

u vu v− =⎧

⎨ + =⎩

Вывод: можно легко решить и без компьютера!

- 2 - 0

u v wu v

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ =⎩Решение в Maple

> solve({2*u-v=5, 3*u+v=100});{u = 21, w = 37}

Вывод: и опять можно решить без компьютера!

Численный анализ.НеПростой пример

Численное решение СЛАУ (с большим количеством уравнений)"Нормальный" пример

(часто встречается в физике и технике)

Вывод: невозможно решить без компьютера?

, const; , 1,2,...,~ 10 , где 2

ij iNn

Nj j Nj

a x ba b i j N

a x b N n

⎧=⎪

⎪ − =⎪

= ≥⎪⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

∑Решение в MatLab>> tic;a=rand(1000,1000); b=rand(1000,1);x=a\b;tocelapsed_time =

1.0620

невоз за допустимое время!

Численный анализ.Методы

Численное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений)- - "" -ое дифференцирование- - "" -ые интегрирование и суммирование- - "" -ая интерполяция- - "" -ая аппроксимация (МНК - метод наименьших квадратов) =>LSM- - "" -ое нахождение собственных значений- - "" -ое решение НлАУ (нелинейных алгебраических уравнений)- - "" -ое решение ОДУ (обыкновеных дифференциальных уравнений)

=>ODE- - "" -ое решение ДУвЧП (дифференциальных уравнений в частных

прозводных) =>PDE- - "" -ая оптимизация- - "" -ое решение интегральных уравнений- - "" -ое БПФ (быстрое преобразование Фурье) =>FFTстатистическая обработка эксперимента,

и т.п., и т.д., и др., …

Численныйанализ

Численные методы описаны и реализованы

в книгах и учебниках по численному анализу;

в банках алгоритмов – NAG, IMSL, … {языки программирования Фортран, Си в виде (под)программ};

в математических пакетах (MatLab, Maple, Mathematica, Origin, MathCad, …)в виде функцийфункций

Численное моделирование.Пример

Компьютерное моделирование => в программу закладываются основные законы (свойства, правила) задачи (модели).

Задача:• Пусть каждому студенту на курсе из 100 человек выдается по 100

долларов. • Профессор, который также начинает с 100 долларами в кармане,

выбирает случайным образом студента и бросает монету. • Если выпадает "решка", профессор дает студенту 2 доллара; в

противном случае студент дает профессору 2 доллара. • Ни профессору, ни студенту не разрешается делать долги.

Вопросы:• Какова вероятность того, что у студента будет n долларов? • Какова вероятность того, что у профессора будет m долларов?• Одинаковы ли эти две вероятности?

Задача:• Студенту => 100 долларов. Профессору => 100 долларов Вопросы:• Какова вероятность того, что у студента имеется n долларов? • Какова вероятность того, что у профессора имеется m долларов?• Одинаковы ли эти две вероятности?

Как искать ответы:• эксперимент? • аналитические методы? • правила игры => в программу для компьютера => промоделировать большое число обменов и вычислить вероятности

"Что будет, если...?" Например, как бы изменились вероятности, если бы обмен производился

по 1 доллару, а не по 2? Или по 0.5? Или… ? И т.д.

Задача:• Студенту => 100 долларов. Профессору => 100 долларов Вопросы:• Какова вероятность того, что у студента имеется n долларов? • Какова вероятность того, что у профессора имеется m долларов?• Одинаковы ли эти две вероятности?

Как искать ответы:• эксперимент? • аналитические методы? • правила игры => в программу для компьютера => промоделировать большое число обменов и вычислить вероятности

Если заменить игроков другими объектами (например, под деньгами понимать энергию) и слегка изменить правила игры, указанный тип моделирования может найти применение

в задачах магнетизма и физики частиц

Метод Монте-Карло!

Численное моделирование иреальный эксперимент

Использование компьютеров дли моделирования в течение последних 25 лет помогло открыть новые

упрощающие физические принципы. Гулд, Тобочник

Лабораторный эксперимент Вычислительный экспериментОбразец МодельФизический прибор Программа для компьютераКалибровка Тестирование программыИзмерение РасчетАнализ данных Анализ данных

Общие замечания при решениизадач на ЭВМ.

Постановка задачи и ее уточнение, анализ простейших моделей и ключевых факторов, пробное исследование, построение расчетной модели и обсчет задачи, обработка результатов и...

И с высокой вероятностью исследователя ждет повторение данного цикла или некоторых его частей: постановка, анализ, исследование, обработка и т. д.

Украл, выпил - в тюрьму! Украл, выпил - в тюрьму!Романтика!

Доцент, "Джентльмены удачи"

данного цикла

Главной целью расчета является все жепонимание, а не число

Численноемоделирование

Методы численного моделирования описаны и реализованы

в книгах и учебниках по моделированию;

в специализированных программах, написанных на Фортране, Си, Дельфи (Паскале),… для конкретных целей (квантовая химия, фракталы, кватовомеханические методы Монте-Карло, механика…)

в математических пакетах (MatLab, Maple, Mathematica, Origin, MathCad,других CAD'ах, …)

{В MatLab есть спец. пакет Simulink для создания моделей }

Примерное содержание курса

Алгоритмы, методы и неприятности

Некоторые методы и задачиМетод Монте Карло, Суммирование по решетке,Решение СЛАУ и ДифУр-й, Задача Изинга, …

Нелинейность, Бифуркации, Хаос …

Обзор программного обеспечения

Подготовка публикаций (статьи) (постеры) (дипломы)

(LaTeX vs WinWord) (PowerPoint)

Internet, где, как и что искать… и можно ли всё найти?

(диссертации)

Численный анализ.Суммирование по решетке

Расчет постоянной Маделунга

Энергия кулоновского взаимодействие в ионном кристалле отдельного иона со всеми остальными

Здесь qi - заряд i-го иона, Rij = |ri - rj| - расстояние между i-м и j-м ионами. Для вычисления решеточной суммы будем использовать методы Эвьена и Эвальда [Займан Дж. Принципы твердого тела. М., Наука, 1975].

i j ji i

j jij ij

q q qM q

R R= =∑ ∑

Численный анализ.Суммирование по решетке

Расчет постоянной Маделунга

Энергия кулоновского взаимодействие в ионном кристалле отдельного иона со всеми остальными

Здесь qi - заряд i-го иона, Rij = |ri - rj| - расстояние между i-м и j-м ионами. Для вычисления решеточной суммы будем использовать методы Эвьена и Эвальда [Займан Дж. Принципы твердого тела. М., Наука, 1975].

i j ji i

j jij ij

q q qM q

R R= =∑ ∑

Суммирование по решетке.Кристалл перовскита АВО3

Параметры кубической решетки перовскита для разных кристаллов (а – постоянная решетки при T = 298K).

Кристалл KMgF3 KNiF3 KCoF3 KFeF3 KMnF3

a (Å) с точностью ±0.001 Å 3.960 4.014 4.069 4.121 4.190

Координаты атомов в элементарной ячейке :B (0, 0, 0); qB = 2e;A (a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, -a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2), (a/2, -a/2, -a/2),

(-a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (-a/2, -a/2, -a/2); qA = 1e; O(F) (a/2, 0, 0), (0, a/2, 0), (0, 0, a/2), (-a/2, 0, 0), (0, -a/2, 0), (0, 0, -a/2); qO = −1e.

Суммирование по решетке.Постоянная Маделунга

Задача: Рассчитать Mi для ионов типа B.

R= ∑

Координаты атомов в элементарной ячейке :B (0, 0, 0); qB = 2e;A (a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, -a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2), (a/2, -a/2, -a/2),

(-a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (-a/2, -a/2, -a/2); qA = 1e; O(F) (a/2, 0, 0), (0, a/2, 0), (0, 0, a/2), (-a/2, 0, 0), (0, -a/2, 0), (0, 0, -a/2); qO = −1e.

ион типа B

ион типа A;

ион типа O (F)

Суммирование по решетке.Постоянная Маделунга

R= ∑

Координаты атомов в элементарной ячейке :A (0, 0, 0); qA = 1e;

B (a/2, a/2, a/2), (a/2, a/2, -a/2), (a/2, -a/2, a/2), (-a/2, a/2, a/2),(a/2, -a/2, -a/2), (-a/2, a/2, -a/2), (-a/2, -a/2, a/2), (-a/2, -a/2, -a/2); qB = 2e;

O(F) (a/2, a/2, 0), (a/2, -a/2, 0), (-a/2, a/2, 0), (-a/2, -a/2, 0), (0, a/2, a/2),(0, a/2, -a/2), (0, -a/2, a/2), (0, -a/2, -a/2), (a/2, 0, a/2),

(a/2, 0, -a/2), (-a/2, 0, a/2), (-a/2, 0, -a/2),; qO = −1e.

ион типа B

ион типа A;

ион типа O (F)

Задача: Рассчитать Mi для ионов типа A.

( ) ( )2

j R Rij

q Re e RR R

± ±∑ ∑ ∑

Суммирование по решетке.Проблема сходимости

i ij ij

R= ∑ион типа B: +2e

ион типа A: +e

ион типа O(F): -e Ряд сходитсяОЧЕНЬ медленно

~ ~ 1j

j R Rij

q Re eR R∑ ∑ ∑

j R Rij

q Re e RR R∑ ∑ ∑

- для плоскости

- для

объема

( ) ( )2

13~ ~j

j R Rij

q Re e RR R

−± ±∑ ∑ ∑

Суммирование по решетке.Метод Эвьена

ион типа B: +2e

ион типа O(F): -e

суммирование по мультиполям!!!

суммирование по электронейтральным

"комплексам":

идея Эвьена

ион типа B: +2e Эфф. заряд 2|e|

ион типа A: +e Эфф. заряд |e|/8

ион типа O(F): -e Эфф. заряд -|e|/2

суммирование по элементарной ячейке:

15эфф эфф эффA O B

1 18 6 2 08 2

Q q q q q

= = ⋅ + ⋅ + =

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ − + ≡⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Общие замечания при решениизадач на ЭВМ.

Что известно об исходной задаче? (Основные свойства, учет симметрии,…)Входные данные, интервал их изменения и как эти изменения могут повлиять на ход решения? Каков приблизительно результат решения, как должен выглядеть предполагаемый ответ? Как добиться результата? Выбор способа (аналитическое исследование или численный анализ) и методов решения задачи, необходимого инструмента (программного продукта). Наилучший метод приводит к верному результату за кратчайшее время. Проверка полученных на каждом шаге решения результатов (программирование, корректность полученных величин, проверка модели или метода на известных результатах).Сколько усилий потребует решение поставленной задачи? (количество необходимого времени для освоения пакета, программирования и отладки, затрат машинного времени на решение задачи) Когда будут получены окончательные результаты?

Хеминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

Конец лекции

ВопросыПожеланияЗамечания?

Зачемфизику компьютер?

“Общечеловеческие” цели и желания

“Общенаучные” цели

“Физические” цели

Программное обеспечение.Для работы…

Я. Гашек "Похождения бравого солдата Швейка"

Программное обеспечение.Обзор.

Набор и правка статей (WinWord…)Научная графика (Origin…)Спец. рисовалки (ChemDraw, …)Дигитайзеры – "оцифровка" кривых (Grafula, …) Математические пакеты

MatlabMaple

Йозеф Швейк

Набор и правка статейWinWord (сравнение с LaTeX)

LaTeX –> исторически определил формат научных статей и переписки.

Удобства: конвертируемость, переносимость, приспособляемость (стилевые файлы, преамбула), обычные текстовые файлы (*.tex), простота, автоматизация нумерации ссылок,

Недостатки: его НУЖНО изучать (хотя бы немного!),не WYSWYG редакторы -> набор – компилляция – просмотр – редактирование –компилляция – просмотр – – редактирование –компилляция – просмотр … -

WYSWYG = What You See is What You Get

Набор и правка статейLaTeX

LaTeX –> сейчас принят стандарт LaTeX2e,разрабатывается LaTeX3e.

Пакеты (1-2 CDs): LiveTeXeTeXMikTeXTeXAidScientific WorkPlace, …

Редакторы: Scientific WorkPlaceWinEdtWinTeXTeXAid, …

Исходный текст набираетсяв любом текстовом редакторе, способном

сохранять файлы в формате ASCII.После того, как файл с описанием текста

создан, его преобразуют с помощью компилятора TEXа

в специальный dvi-файл (device independent), который можно просмотретьна экране или распечатать.

Статья на русском языке в формате LATEX обычно начинается со строк

\documentclass[12pt]{article}\usepackage[cp1251]{inputenc}\usepackage[russian]{babel}\begin{document}….….

% Заканчивается\end{document}

Простейший LaTeX файл

LaTeX файл посложнее…

\documentclass[12pt]{article}\usepackage[cp1251]{inputenc}\usepackage[russian]{babel}\usepackage{amssymb,amsmath}\textheight=24cm % высота текста\textwidth=16cm % ширина текста\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края\parindent=24pt % абзацный отступ\parskip=0pt % интервал между абзацами\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам\flushbottom % выравнивание высоты страниц%\def\baselinestretch{1.5} % печать с большим интервалом\title{\LaTeXe\ в примерах\thanks{%Титульная страница~--- тоже пример...}}\author{\copyright~~К. В. Воронцов}\date{30 мая 2005}

\begin{document}

\maketitle % вывести заголовок, автора, дату

\documentclass[12pt]{article}\usepackage[cp1251]{inputenc}\usepackage[russian]{babel}\usepackage{amssymb,amsmath}\textheight=24cm % высота текста\textwidth=16cm % ширина текста\oddsidemargin=0pt % отступ от левого края\topmargin=-1.5cm % отступ от верхнего края\parindent=24pt % абзацный отступ\parskip=0pt % интервал между абзацами\tolerance=2000 % терпимость к "жидким" строкам\flushbottom % выравнивание высоты страниц%\def\baselinestretch{1.5} % печать с большим интервалом\title{\LaTeXe\ в примерах\thanks{%Титульная страница~--- тоже пример...}}\author{\copyright~~К. В. Воронцов}\date{30 мая 2005}

\begin{document}

\maketitle % вывести заголовок, автора, дату\thispagestyle{empty} % не нумеровать первую страницу

\begin{document}\maketitle % вывести заголовок, автора, дату\thispagestyle{empty} % не нумеровать первую страницу

\begin{abstract} % начало аннотацииЭто наглядное пособие ...\end{abstract} % конец аннотации

\tableofcontents % сгенерировать оглавление

\section{Введение} % первый раздел\input intro % вставить файл intro.tex

\begin{thebibliography}{00} % библиография

\bibitem{lvovsky94latex}Львовский~С.~М. Набор и вёрстка в пакете~\LaTeX.~---М., Космосинформ, 1994.\bibitem{knuth93texbook}Кнут~Д. Всё про \TeX.~--- Протвино, RD\TeX, 1993.\end{thebibliography}\end{document}

LaTeX –> как выглядит текст и формулыЭффект влияния на сверхпроводимость обменного рассеяния описывается фундаментальным уравнением Абрикосова-Горькова~\cite{Abr_Gor}\begin{equation}\ln \frac{{T_c }}{{T_{cs} }} =\Psi \left( {\frac{1}{2}} \right) - \Psi \left( {\frac{1}{2} +\frac{{\gamma _s }}{{2\pi T_c }}} \right)\label{Main_Eq}\end{equation}Здесь $T_c$ и $T_{cs}$ -- температуры сверхпроводящего перехода металлапри наличии $sd$-обменного взаимодействия и при его отсутствиисоответственно, $\Psi(x)$ -- дигамма-функция. Уравнение (\ref{Main_Eq}),справедливое для парамагнитной фазы металла, описывает эффекты рассеянияна локализованных спинах, причем параметр $\gamma_s$ представляетвеличину затухания электронной волновой функции за счет этого рассеяния.\begin{thebibliography}{999}….\bibitem{Abr_Gor} Абрикосов А А, Горьков Л П {\it ЖЭТФ} {\bf 39} 1781 (1960)

WinWord –> как ДОЛЖНЫ выглядеть формулы в тексте:

переменная и (или) величина –> должны быть наклоненыγs a = b + c f(x)

векторы и матрицы –> должны быть прямые и полужирныеμs a = b + c f(r,t)

функции, цифры, знаки, текст и сокращ. –> прямыематричный элемент xij матрицы x при i = 2 и j = 3 равен 0.Eнач = εF + μBgH sin x + tgn(arccos(y2 −1))греческие символы могут быть прямыми (σ γ ρ ξ Φ ΓΔ δ)или наклонными (σ γ ρ ξ Φ ΓΔ δ), но единообразно во всем тексте (для ПРОПИСНЫХ и строчных допускае-

тся разное написание (σ γ ρ ξ Φ ΓΔ δ) !)

WinWord –> настройка Редактора формул Equation editor или MathType(!)

Набор и правка статейWinWord vs LaTeX (туда-сюда-обратно!)

Программы набора и преобразования

MathType 6

Word2TeX

Word-to-latex

rtf2latex

latex2rtf

ltx2word

tex2rtf

WinWord to LaTeX LaTeX to WinWord

Научная графикаOrigin

Origin –> построение графиков и диаграмм произвольной сложности (графическое представление данных)

2- и 3-мерная графика (большой выбор формы представления)легкая трансформация и настройка любого элемента графикавозможность фитинга (подгонки) практически любой сложностибогатейшие возможности импорта и экспорта данных и графикиподдержка и работа в формате Excel и MatLabвозможность написания программ-скриптов (свой язык программирования)поддержка внешних модулей, написанных на Fortran и Свычислительные возможности, аппроксимация данных, …

OriginДанные

График

Список окон

Origin. Интерфейс.

Основной объект –текстовый файл с

колонками данных

Origin 7.5. Демо-примеры.c:\Program Files\OriginLab\OriginPro75\Samples\Analysis\Curve Fitting\

Linear Fit.OPJNLSF Built In Func.OPJ

\2D Binning\... \Data Masking\... …\Analysis\FFT\...Analysis\Statistics\...…\Worksheet to Matrix\

Graphing\2D Plots\Inset.opjColor Scale.OPJLine & Scatter Plots.OPJ

\3D Plots\3D Surface & Contour.OPJ3D Scatter 2.opj

\EXCEL data\... \Layouts\... …\Miscellaneous\... \Statistical Graphs\.

Programming\Random Walk.OPJIsing Model.OPJBubble Sort.OPJ

UIM\ UIM.OPJ

Nb/Gd multilayersJiang et al. Phys.Rev.Lett. (1995):experimental points.

Izyumov, Proshin, Khusainov Physics/Uspekhi (2002): fitting

dNb = 600 Å

dNb = 500 ÅFitting with the Buzdin-Radovich's theory

is not possible: Jiang et all.

Математические пакеты MatLab (Matrix Laboratory)

MatLab => мощнейший пакет (численные и аналитические расчеты) свой язык программированияогромное число встроенных функцийвозможность написания программ-скриптов, функцийработа в интерактивном режимелегкое создание графического интерфейса для своих программ 2х- и 3х- мерная графика с легкой настройкойбогатейшие возможности импорта и экспорта данных и графикибольшое количество Toolboxes (спец. пакетов)поддержка внешних модулей, написанных на Fortran и С

и многое-многое другое

Matlab (интерфейс).

Окно ввода команд

Переменные

Прошлые команды

• Диалоговый интерфейс.Команда -> результат, команда -> результат ... >> s=5 - команда.s=

5 - результат.>> _ - приглашение к следующей команде.

• Дополнен средствами программирования, m-files(язык программирования высокого уровня, аналогичен BASIC)

Может включать пользовательские функции и программы m-files, mex-files,*.dll.

• Предназначен для работы с численными данными.Есть ядро, адаптированное из Maple, для аналитических расчетов.

Matlab

MatLab (матричная лаборатория)

• Ориентирован на работу с матрицами.

Все переменные задаются в виде матриц.

>> A=[1 2 3.14; 4e-13 0 1] - матрица из 2 строк 3 столбцов.>> a=4 – скаляр - матрица 1x1.>> A(1,2)=0 – обращение к элементу первой строки второго столбца.Множество матричных операций, операции с индексами матриц. >> c=A*b – стандартные команды.>> c=A.*b – перемножение каждого из элементов.>> c=expm(b) – матричные функции.>> c=exp(b) – поэлементная опреация.>> c=b(:,2:6) – выделение столбцов со 2 по 6 в матрицу с.

Matlab

Пример. Решение системы линейных уравнений.

ax = b

x = a-1b x = a\bили

Matlab (m-files)

• Текстовый файл с расширением *.m

• Список последовательных команд.Кроме операций с переменными включает циклы и условные операторы.

• Оперирует с текущим содержимымWorkspace.

Matlab

m-files, functions

- обращение к функции

описание –функции

• Имя файла и имя функции должны быть одинаковыми.

• Путь к функции должен быть указан.

Matlab

Операции с аналитическими выражениями.Решение уравнения: Операции с матрицами:

Решение ДУ:

Matlab Пример.(Ordinary Differential Equation. Задача Коши)

2dy xydx

(0) 1y =

Начальное условие:

Уравнение:

Аналитическое решение:2

( ) xy x e−= >> y=dsolve('Dy=-2*t*y')y =

C1*exp(-t^2)

Matlab

C++ programs

Проектэти файлы должныбыть включены -

Зависит от версии компилятора

Порядок важен -

Matlab

C++ programs

Тип переменной -массив, Matlab

Тип переменной -индекс, Matlab

Эрмитово сопряжение

Собственные вектора,собственные значения

Matlab

>>demo Mathematics

Демонстрационные примеры (MatLab R2006a)

Basic Matrix OperationsMatrix ManipulationUsing FFT in MATLABFFT for Spectral AnalysisPredicting the US PopulationOptimal Fit of a Non-linear FunctionInteger ArithmeticSingle Precision MathInverses of MatricesGraphs and MatricesSparse MatricesGraphical Representation of Sparse MatricesMatrix ExponentialsEig. & Singular Value Finite Difference LaplacianTessellation and Interpolation of Scattered DataDifferential Equations in MATLABDifferential Equations – ExamplesGraphical Approach to Solving InequalitiesSplines in Two DimensionsNumerical Integration of Differential EquationsLoma Prieta Earthquake

Matlab

>>demo 3-D Visualization

Klein BottleTeapotChanging TransparencyVolume Visualization

>>demo ProgrammingDesktop Tools and Development EnvironmentCreating Graphical User InterfacesExternal InterfacesGallery Logo

ModesWerner Boy's SurfaceCrullerFour Linked ToriKlein BottleThree-Dimensional KnotQuiverSpherical Surface Harmonic

Matlab

>>demo

Creating and Simulating Models from the Command Line

Radioactive DecayLotka-Volterra ReactionsDecaying-Dimerizing ReactionsYeast Heterotrimeric G Protein Cycle

These demos explore creating, configuring and simulating a SimBiology model from the MATLAB command line.

2-D Plots3-D Plots3-D Surface PlotsLine PlottingAxes PropertiesAxes Aspect RatioVibrating LogoLorenz Attractor AnimationVisualizing SoundEarth's TopographyImages and MatricesExamples of Images and ColormapsViewing a PennySquare Wave from Sine WavesFunctions of Complex VariablesInteractive Plot Creation with the Plot Tools (7 min, 12 sec)

Matlab

>>demo Graphics

MatlabToolboxes (MatLab R2006a)

Bioinformatics Read, analyze, and visualize genomic, proteomic, and microarray data

Communications Design and analyze algorithms for the physical layer of communication systems

Control System Design and analyze controllers for closed-loop dynamic systems

Curve Fitting Perform model fitting and analysis

Data Acquisition Acquire and send out data from plug-in data acquisition boards

Database Exchange data with relational databases

Distributed Computing

Run MATLAB and Simulink applications on a computer cluster

Filter Design Design and analyze fixed-point, adaptive, and multirate filters

Filter Design HDL Coder

Generate VHDL and Verilog code for fixed-point filters from MATLAB

Financial Analyze financial data and develop financial algorithms

Financial Derivatives

Model and analyze equity and fixed-income derivatives

Fixed-Point Design and verify fixed-point algorithms and analyze fixed-point data

Fuzzy Logic Design and simulate fuzzy logic systems

GARCH Analyze financial volatility using univariate GARCH models

Genetic Algorithm and Direct Search

Solve optimization problems using genetic and direct search algorithms

Image Acquisition Acquire images and video from industry-standard hardware

Image Processing Perform image processing, analysis, and algorithm development

Instrument Control Control and communicate with test and measurement instruments

Link for Code Composer Studio

Verify, debug, visualize, and validate embedded software on Texas Instruments DSPs

Link for Code Composer Studio

Verify, debug, visualize, and validate embedded software on Texas Instruments DSPs

Link for ModelSim Cosimulate and verify VHDL and Verilog using ModelSim

Mapping Analyze and visualize geographically based information

Model Predictive Control

Develop model predictive controllers in MATLAB and Simulink

Neural Network Design and simulate neural networks

OPC Read, write, and log data from OPC servers

Optimization Solve standard and large-scale optimization problems

Partial Differential Equation

Solve and analyze partial differential equations

RF Design and analyze networks of RF components

Robust Control Design robust controllers for plants with uncertain parameters and unmodeled dynamics

Signal Processing Perform signal processing, analysis, and algorithm development

Spline Create and manipulate spline approximation models of data

Statistics Apply statistical algorithms and probability models

Symbolic Math Perform computations using symbolic mathematics and variable-precision arithmetic

System Identification

Create linear dynamic models from measured input-output data

Virtual Reality Animate and visualize Simulink systems in three dimensions

Wavelet Analyze and synthesize signals and images using wavelet techniques

+ Simulink A platform for multidomain simulation and Model-Based Design for dynamic systems. It provides an interactive graphical environment and a customizable set of block libraries, and can be extended for specialized applications.

Bioinformatics Read, analyze, and visualize genomic, proteomic, and microarray dataCommunications Design and analyze algorithms for the physical layer of communication systemsControl System Design and analyze controllers for closed-loop dynamic systemsCurve Fitting Perform model fitting and analysisData Acquisition Acquire and send out data from plug-in data acquisition boardsDatabase Exchange data with relational databasesDistributed Computing Run MATLAB and Simulink applications on a computer clusterFilter Design Design and analyze fixed-point, adaptive, and multirate filtersFilter Design HDL Coder Generate VHDL and Verilog code for fixed-point filters from MATLABFinancial Analyze financial data and develop financial algorithmsFinancial Derivatives Model and analyze equity and fixed-income derivativesFixed-Point Design and verify fixed-point algorithms and analyze fixed-point dataFuzzy Logic Design and simulate fuzzy logic systemsGARCH Analyze financial volatility using univariate GARCH modelsGenetic Algorithm and Direct Search

Image Acquisition Acquire images and video from industry-standard hardwareImage Processing Perform image processing, analysis, and algorithm developmentInstrument Control Control and communicate with test and measurement instrumentsLink for Code Composer Verify, debug, visualize, and validate embedded software on Texas

Toolboxes Description

Curve Fitting Perform model fitting and analysisData Acquisition Acquire and send out data from plug-in data acquisition boardsDatabase Exchange data with relational databasesFilter Design Design and analyze fixed-point, adaptive, and multirate filtersGenetic Algorithm and Direct Search

Optimization Solve standard and large-scale optimization problemsPartial Differential Equation

Solve and analyze partial differential equations

Signal Processing Perform signal processing, analysis, and algorithm developmentSpline Create and manipulate spline approximation models of dataStatistics Apply statistical algorithms and probability modelsSymbolic Math Perform computations using symbolic mathematics and variable-precision

arithmeticWavelet Analyze and synthesize signals and images using wavelet techniques

Simulink A platform for multidomain simulation and Model-Based Design for dynamic systems. It provides an interactive graphical environment and a customizable set of block libraries, and can be extended for specialized applications.

+ Compiler, Editor, Programming, Graphical User Interfaces File, I/O and External Interfacing, Desktop Tools and Development Environment,

Toolboxes Description

Математические пакеты Maple

Maple => мощнейший пакет (аналитические и численные расчеты) свой язык программированияогромное число встроенных функцийвозможность написания программ-скриптов, функцийработа в интерактивном режиме2х- и 3х- мерная графика с легкой настройкойбогатейшие возможности импорта и экспорта данных и графикиогромное число пакетов + поддержка в Internet появление маплетов – возможность GUI

и многое-многое другое

• Диалоговый интерфейс.Команда -> результат, команда -> результат ... [> f=a^2; - команда.

f = a2 - результат.[ > _ - приглашение к следующей команде.Текущий сеанс может быть сохранен как скрипт.Это НЕ текстовый файл. Может обрабатываться только в Maple.

• Наглядное графическое представление выражений.

• Пакет предназначен для работы с аналитическими формулами.

Конечно же работает с числами!

Рабочая область

Конец лекции

ВопросыПожеланияЗамечания?

# 1Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 3

Методы Монте Карло

Монте Карло

Одна из пяти областейМонако

Основана в 1866 годупринцем Чарльзом III

Всемирно известные казино, роскошные отели,пляжи

The Monte Carlo Grand Hotel

Монте Карло

Всемирно известные казино, роскошные отели,пляжи

The casino at night.David Tomlinson - Lonely Planet Images

Port de Monaco and Monte Carlo.Manfred Gottschalk - Lonely Planet Images

Monte Carlo,Monaco-where the rich and famous people

Monte Carlo,Monaco-where the rich and famous people live

Методы Монте Карло

Монте Карло – это множество статистических методов, используемых для решения физических и математических задач.В этих методах для моделирования используются последовательности случайных чисел.Методы Монте Карло наиболее удобны для моделирования случайных и вероятностных процессов.

Монте Карло Методы

Los Alamos National LaboratoryRobert R. Wilson, Monte Carlo Study of Shower Production, Phys. Rev. 86, 261 (1952)C. L. Longmire and M. N. Rosenbluth, Diffusion of Charged Particles across a Magnetic Field, Phys. Rev. 103, 507 (1956) N. Metropolis et al., Monte Carlo Calculations on Intranuclear Cascades, Phys. Rev. 110, 185 (1958)Metropolis, Rosenbluth, Teller

Рождение

Пример 1. Площадь пруда (интегрирование)

Площадь пруда S

S0 = (b – a)*H

S = S0*nпопаданий/nполное

Интегрирование I

a bГенерируем случайным образом n пар точек (x1,y1), (x2,y2),... (xN,yN), на интервале [a,b]

0( , ) ,

- число точек , для которых ( )

nF a b Sn

n iy f x

f(x2)f(x3)

x1 x2x3 x4

Пример 2. Расчет числа π

Set Nin=0Do N times—Calculate 3 random numbers, r1, r2, r3

—Let x=r1 [0,1]—Let y=r2 [0,1]—Use r3 to choose quadrant (change signs of

x and y), int [1,2,3,4]—If x2+y2 ≤ 1 set Nin = Nin + 1Estimate for p = π = 4Nin/N

N = 103

Пример 2. Расчет числа π

(x1,y1)

(x2,y2)

N = 105

N = 104

Пример 3. Интегрирование

( , ) ( ) ( )=

= ≈ Δ∑∫b N

F a b f x dx f x x

Метод прямоугольников Метод Монте Карло (II)

f(x1) f(x2)... f(xN)

x1 x2... xN – выбираются случайным образомна интервале [a,b]

1( , ) ( ) ( )=

= − ∑N

F a b b a f xN

x1 x2... xN – задаются как xi=x1+(i-1)∆x

(2) (3)

Пример 3. Интегрирование

z f(x,y)

Многомерная функция f(x,y,z,a,b,c…)

Интегрирование методом прямоугольников,трапеций, Симпсона,... усложняется. На каждом шаге надо пересчитывать все координаты.

Метод Монте Карло:∑=

−−−=N

iiiizzyyxx zyxf

,...),,(1)...)()((),( αβαβαβ

Примечание: число точек N должно быть достаточно большим. большим

Пример 4. Случайное блуждание

y do sample = 1 to Nbegin

x = 0; y = 0;do step = 1 to nbegin

ir = 4*rand( );case ir0 : x = x + 1.0; 1 : y = y + 1.0; 2 : x = x - 1.0; 3 : y = y - 1.0;end

end; {accumulate results} end

Примечание: можно усложнить проблему, задав траекторию без самопересечений, возвратов, и т.д.

OriginПопытка раз

OriginПопытка два

OriginПопытка три

Генератор случайных чисел

Насколько случайно случайное?

Простой линейный генератор

1 ( )modn nx ax b m+ = +x0 задается при инициализацииm - модуль, a – множитель,b – инкремент суть целочисленныеконстантыНапример:a = 7141, b = 54733, m = 259200Выбор констант определяет периодичность в повторении “случайных” чисел.

x0 = 1, a = 3, b = 4, m = 32⇒1, 7, 25, 15, 17, 23, 9, 31, 1, 7, 25, …⇒Период равен 8 !?

{Xn+1/m} от 0 до 1

1 ( )modn nx ax b m+ = +x0 задается при инициализацииm - модуль, a – множитель,b – инкремент суть целочисленныеконстантыНапример:a = 7141, b = 54733, m = 259200Выбор констант определяет периодичность в повторении “случайных” чисел.

Проверка парных корреляций

• Строим на плоскости множество точек Xi(xn, xn+1).

• Точки равномерно заполняют пространство – “хороший”генератор.

• Точки ложатся в хаотическом порядке на несколько прямых –“плохой” генератор.

1 ( )modn nx ax b m+ = +

Как улучшить?

Перемешивание порядка выдачи чисел. Основной генератор заполняет буфер случайными числами. Дополнительный генератор выбирает числа из буфера.Два основных генератора создают случайные числа N = n1 + n2/z или N = |n1 - n2|. Можно тоже использовать буфер и дополнительный генератор.Можно создать другой генератор. Существует множество генераторов, например, “Xorshift”,“Lagged Fibonacci”, “Multiply-With-Carry”…

Генерация случайных чисел с заданным распределением

Нужно генерировать случайные числа с плотностью вероятности f(x) (Det:=>f(x) dx в интервале от x до

x + dx )и (интегральной) функцией распределения

с нормировкой F(∞) = 1. (Det:=> вероятность выпадения сл. числа <= x)

∫∞−

dxxfxF )()(

Inverse transformation method(метод обратного преобразования)

Генерируется равномерное распределение xi на интервале [0,1].Решается обратная задача yi = F -1(xi).Величина yi распределена с плотностью вероятностиf(x). Пример: Генерация частиц с энергиями согласно распределению Больцмана f(E) ~ e-E/kT. Энергия i-й частицы запишется как Ei = -kT ln(r), где r - случайное число на интервале [0,1].Во многих случаях не так просто представить F -1(xi).

Rejection method (метод отбора- отказа)

• Выбираем промежуточную функцию для сравнения, h(x), которая “перекрывает” искомую функцию f(x) . В данном примере h(x) это прямоугольная функция.

• Равномерно заполняем точками область под h(x).

• Из всех точек выбираем только те, которые находятся под кривой f(x) .

Rejection method (метод отбора- отказа)

Генерация точек (xi,yi) и еще один пример

• Значение xi генерируется согласно методу обратного преобразования для функции h(x).

• Значение yi определяется как h(xi)*rand(A), где случайная величина задана на интервале [0,1].

• На примере h(x) задана квадратичной функцией. f(x) –распределение Максвелла.

To be continued

Методы Монте-Карлопродолжение

Выборки

Простая. На каждом шаге выбор идет из максимального набора различных вариантов. При этом многие из вариантов могут быть отклонены дополнительными правилами.

Ограниченная. На каждом шаге создается свой список вариантов, который включает дополнительные ограничения.

По значимости. Преимущественно выбираются варианты, дающие наибольший вклад.

Простая и Ограниченная выборки Примеры

Случайное блуждание без самопересечений

do sample = 1 to nbeginstep = 0;repeat

generate-one-step;step = step + 1

until (step-invalid or step = N)accumulate-results

do sample = 1 to nbeginstep = 0;repeatgenerate-valid-listif list = empty thenterminate = true

elsegenerate-step-from-the-list;

step = step + 1until (terminate or step = N)accumulate-results; end;

Проблемы: быстрое обрывание, сложно набрать статистику…

Еще раз об интегрированииЧасто при интегрировании удобно выбирать точки с большей плотностью в области быстрого изменения функции.

Тогда интеграл может быть записан как

где xi генерируется согласнофункции p(xi)

( )1( , )( )=

= ∑N

f xF a bN p x

Выборка по значимости

( )( , ) ( ) ,( )

( ) 1, ( ) 0

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

f xF a b f x dx dxp x

p x dx p x

Выборка по значимости

( ) 1; ( )

F a b e dx

p x p x Ae0 1 2 3 4

exp(-x2) exp(-x)

Выборка по значимостиАлгоритм Метрополиса

Получим распределение p(x) “случайным блужданием” точек xi

generate point xfor i = 1 to Ngenerate step = rand( ) x1 = x + step;w = p(x1)/p(x);if w >= 1 then

x = x1else r = rand ( );

if r <= w thenx = x1

Функция Метрополиса

N должно быть достаточно большим.Максимальный шаг должен быть выбран “правильно”. 1/2 – 1/3 всех шагов должно приниматься.

( )( ) min 1,( )

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠n

p xw x xp x

Пример. Двумерная модель Изинга

Гамильтониан

Функция Метрополиса

∆E складывается из энергии Зеемана во внешнем поле и обменной энергии.Процессы с уменьшением энергии принимаются все.Процессы с увеличением энергии принимаются согласно распределению Больцмана.

min 1,Δ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

EkTw e

= −∑ ∑i i ji i j

H g HS J S Sμ

Пример. Метод Монте-Карло для микроканонический ансамбль

Ансамбль систем, характеризуемый величинами E, T, V, и описываемый распределением вероятностей вида (1), называется микроканоническим ансамблем.

Эффективная вычислительная процедура метода Монте-Карлодля микроканонического ансамбля была предложена М. Кройцемс сотрудниками: выделение двух подсистем (исходная система+ подсистема-"демон", состоящая из одного элемента).

1 , если достижимо

0, в противном случае

⎧ −⎪= Ω⎨⎪⎩

sP (1)

1. Сгенерировать начальную конфигурацию системы с заданным значением полной энергии.

2. Выбрать случайным образом частицу и произвести пробное изменение ее состояния.

3. Вычислить полную энергию системы в новом состоянии. 4. Если в новом состоянии энергия системы оказывается меньше, то

система отдает энергию демону и новая конфигурация принимается.5. Если в новом состоянии энергия системы оказывается больше, то новая

конфигурация принимается только в том случае, если энергии демона достаточно, чтобы передать ее системе. В противном случае новая конфигурация не принимается, и частица сохраняет свое старое состояние.

6. Если пробное изменение не меняет энергию системы, то новая конфигурация принимается.Перечисленные выше действия повторяются до получения

репрезентативной выборки микросостояний...

Пример. Двумерная модель Изинга

Гамильтониан

Система и граничные условия

= − −∑ ∑i j ii j i

H J S S h S

1. Задание числа спинов решетки Ns.2. Задание числа шагов метода Монте-Карло на спин Ntrial..3. Задание начальной конфигурации системы.4. Выбор случайным образом одного из спинов системы.5. Вычисление пробного изменения энергии.6. Если пробное изменение приводит к уменьшению энергии системы, то

система отдает энергию демону и новая конфигурация принимается.7. Если пробное изменение увеличивает энергию системы, то новая

конфигурация принимается в том случае, если демон имеет достаточную энергию для передачи ее системе.

8. Если пробное изменение не меняет энергию системы, то принимается новая конфигурация.

9. Повторение пп. 4-�8 (число повторений равно Ns).10.Повторение пп. 4-�9 (число повторений равно Ntrial).

Аккумулирование данных, вычисление средних, …

Пример. Транспорт частиц

1 ⎛ ⎞∂+ ⋅∇ − ⋅ ∇ = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

f V ff ft t

∂ ∂∂ ∂

Решить уравнение Больцмана

Задача

Существует множество приближенных решений для частных случаев!

Это интегро-дифференциальное уравнение.

А что если добавить еще уравнение Пуассона для заряда частиц?

( )∇ = − −reV n Nε

Сделать среду неоднородной, ограниченных размеров,...?

Транспорт частицМодель

Генерируется N частиц (representation particles). Обычно, это не реальные частицы. Каждая из representation particles может представлять множество реальных частиц. Начальные условия координаты частиц, их скорости, часто не влияют на конечный результат. Задаются граничные условия, которые определяют возникновение, исчезновение частиц в системе.

Координаты, скорости,... каждой из частиц пересчитываются через интервал времени dt (sampling time). Перемещения частиц описывается методом молекулярной динамики. На самом деле это немного сложнее, если ввести рассеяние частиц. Появляется еще один интервал времени δt (scattering time).

Рассеяния моделируются, используя метод Монте-Карло.

Транспорт частицРассеяние

Пусть есть несколько механизмов рассеяния, которые определяются вероятностями w1(E), w2(E), w3(E),…. Введем wself(E) = 1-w1-w2-…

Строим шкалу

Генерируем случайное число r которое определяет механизм рассеяния включая и саморассеяние.Когда механизм выбран переходим к генерации новых параметров частицы – vx,vy,vz…Примечание: хорошо бы иметь таблицу интегральных вероятностей рассеяния в зависимости от энергии.

1w 2w 3...w 10

Выбор конечного состояния

Транспорт частиц

Проверяем изменяется ли энергия частицы при рассеянии. Например, рассеяние электронов на примесях не изменяет энергии, а рассеяние на фононах изменяет на ħω.Генерируем новую энергию частицы соответствующую данному типу рассеяния.Генерируем новое направление движения согласно формуле рассеяния.

Пример: выбор произвольного угла рассеяния

или

Литература

Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике.К. Биндер, Д. В. Хеерман, Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике.D. W. Heerman, Computer simulations methods in theoretical physics.С. В. Поршнев, Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB.

Some materials have been adapted from presentations by M.A. Novotny and M. Schram

Публикация научныхстатей

и«дисертаций»

Материал, изложенный далее, является субъективным и предназначен только для принятия к сведению.

Для чего это надо?

Статьи – основной “продукт” труда ученого.В более прикладной области это – патент.

Своими статьями вы создаете себе “имя” в научной среде.Другие люди знают вас по вашим научным работам.

Влияет на карьерный рост.При приеме на работу вас оценивают по публикациям.

Отчетность по учебе.Отчетность по грантам.

Когда начать?

Можно начать подготовку статьи, когда известно какой результат вы ожидаете.Оценка результата может быть получена задолго до точных измерений или точных расчетов.В любой оценке не исключена ошибка!

Желательно не откладывать полученные результаты на потом.Физика – динамичная наука. Любые новые результаты могут быть не актуальны через месяц.Через некоторое время вам потребуются дополнительные усилия, чтобы вспомнить детали работы.

Как начать?

Мотивация. Для чего это нужно?Почему ваша работа должна быть интересна для других?Какая польза от вашей работы?

Вы не единственный человек в мире, работающий по данной теме! Что сделано другими людьми?Начните с чтения обзоров (review).На кого ссылаются другие люди работающие по теме?Хорошо бы знать основные группы и имена и работы экспертов в данной тематике. Как ваша работа коррелирует с их исследованиями?

Тип статьи.RegularShort (letter, brief report, rapid communication)Review.

Журнал.Важно выбрать журнал, специализированный по исследуемой тематике. Это определяет как представлять результат.(С другой стороны - рейтинги, импакт-факторы, …)

Abstract 4 РезюмеIntroduction 1 ВведениеMain part 2 Основнаяa) … частьb)……Conclusions 3 ВыводыAcknowledgements 5 БлагодарностиAppendix 2 Приложение (-я)

Дополнение (-я)References 1-3 Ссылки

(литература)

Структура. Regular paper.

Порядок написания

Introduction

Введение - наиболее важная формальная часть вашей работы.

Introduction

Эта часть должна подготавливать читателя к основной части статьи. Большинство читателей могут не быть специалистами в вашей области! Краткий обзор или ссылки на обзоры (можно и то, и другое).Должна учитываться специфика журнала.Описать проблему.

Важно мотивировать необходимость вашей работы.Не просто важно, а очень важно! Здесь можно также включить краткое описание вашей работы.Можно включить краткие выводы.

Introduction

Необходимо упомянуть другие группы работающие в данной области!Начните с чтения обзоров (review).На кого ссылаются другие люди работающие по теме?Хорошо бы знать основные группы и имена и работы экспертов в данной тематике. Как ваша работа коррелирует с их исследованиями?

В конце введения можно описать структуру вашей статьи.Это поможет читателю быстрее найти то, что его интересует.

Пример

Ref. to review

motivation

What has beendoneby other groups?

Пример

Short review +references to othergroups.

Пример

Что сделано.Кратко!

Пример

Структураработы.

Introduction

Так как эта часть формальная, то нет необходимости проявлять излишнюю индивидуальность в написании. Используйте конструкции из других работ, но не переписывайте дословно!

Не пренебрегайте ссылками на других!!!Постарайтесь подкрепить каждое из утверждений соответствующей ссылкой, если это не ваше персональное открытие.

Желательно не делать негативных сравнений.

Main part

Структура этой части достаточно индивидуальна.Вы сами определяете как удобнее представить материал.

Экспериментальная работа

Детали эксперимента. (Experiment setup)Описание установки. Специфика.Условия.

Результаты. (Results)Очень важно представить в наглядном виде!Таблицы, графики.Многие журналы позволяют бесплатно использовать цвета в onlineпубликациях.

Обсуждение результатов. (Theory, Discussion)Объяснение, как вы понимаете, результатов.Может быть включена теоретическая модель. Это – плюс!Теория может быть выделена в отдельную секцию.

Теоретическая работа

Теория. Может состоять из нескольких логических частей.

Расчеты и специфические результаты.То же самое, что и для экспериментальной работы.

Очень важно представить в наглядном виде!Детали громоздких расчетов надо выносить в дополнения.

Обсуждение результатов. Сравнение с другими моделями (работами, результатами…).Преимущества и недостатки.Что было бы хорошо сделать для того, чтобы улучшить модель.

Представление результатов

Схематическое представление.Движение доменной стенки и туннелирование

Цвет

Ч/БНеобходимоследить, чтобыв ч/б вариантецвета были различимы.

Необходимо следить, чтобы в ч/б варианте цвета были различимы.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

df /ξs0

ds /ξs0 = 0.65ls /ξs0 = 0.2lf /ξs0 = 0.02σs = 1.5nsf = 1.5

b 2Iτf = 0.05 2Iτf = 0.1 2Iτf = 0.15 2Iτf = 0.2

df /ξs0

ah = 0.3

Необходимо следить, чтобы в ч/б варианте цвета были различимы.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

df /ξs0

b 2Iτf = 0.05 2Iτf = 0.1 2Iτf = 0.15 2Iτf = 0.2

df /ξs0

ah = 0.3

Необходимо следить и за толщиной линий!

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

df /ξs0

b 2Iτf = 0.05 2Iτf = 0.1 2Iτf = 0.15 2Iτf = 0.2

df /ξs0

ah = 0.3

Conclusions

Необходимо детально описать все выводы вашей работы.Если в работе получены численные результаты, можно привести наиболее важные из них.

Можно очень кратко описать рассмотренную проблему.Заключение должно быть самодостаточным.После прочтения заключения читатель должен иметь представление о вашей работе, даже если он не читал другие части.

Conclusions

Возможно слишком коротко!

Что изучалось?

Результаты

Abstract

Краткое описание того что сделано. 5-10 предложений.Наиболее важные выводы.Abstract должен создавать представление о вашей работе.Много общего с заключением. Больше акцент на то, что сделано.Желательно писать после заключения.

References

Список ссылок автоматически готов после написания основной части работы.Меньше ссылок – меньше работы.Ссылаться ТОЛЬКО на свои работы.

Как наиболее просто создать негативное представление о себе.

Acknowledgements

Формат acknowledgements можно взять из других статей.Благодарите тех людей, которые оказали вам помощь.Если вы благодарите несколько человек, пишите фамилии в алфавитном порядке.Не используйте титулы, если люди, которых вы благодарите, имеют разные ученые степени.Благодарите фонды, оказавшие материальную поддержку.

Несколько авторов.

Только один человек работает с master copy в каждый момент времени.Обычно master copy должна побывать не менее двух раз у каждого из авторов.

Работа над статьей.

Несколько авторов.

Алфавитный.Согласно вкладу в работу. Первый автор –наибольший вклад.Теоретики с экспериментаторами – первые экспериментаторы.Последний – Bo$$

Список авторов в статье.

Препринт готов.

“Выдержать” статью.Возможно, через 1-2 недели у вас появятся некоторые поправки к статье.

Отправить препринт в arxiv.orgПечать в журнале обычно занимает несколько месяцев.

Отправить в журнал.

That is only beginning.

От подачи статьи в журнал до публикации в среднем проходит 3-6 месяцев

Удача, если возьмут сразу. Обычно - замечания рецензентов (ссылки!) или

даже отклонение статьи (можно бороться!)исправления, переписка, принятие.

Proof – корректура (читать и смотреть внимательно, рисунки, формулы)

Постеры. Доклады на конференциях.

Плакаты-презентации. Размеры - A0 (120*90), A1 (80*60)

Титул: название, авторы, место работы (affilation)Краткость. Что получено. Новизна. Главные слова.Красочность (не переусердствовать!). Графики. Рисунки. Схемы.

Выводы. Ссылки.Копии своих статей по теме доклада (если есть)Изготовление (плакат, полистно?)

PowerPoint, Latex, Corel, Word, …Формат (ppt, pdf, jpg, tiff, doc, … где печатать!)Перевозка. Крепление.

Примеры.

Какписатьбакалаврскуюработу или магистерскую

диссертацию(добавлено Р.Г. Дёминовым на основе публикации В.В. Монахова (СПбГУ) и

правил оформления выпускной квалификационной работы (КГУ))

Выпускная квалификационная работа должна включать:

•Титульный лист. Оформляется по образцу.•Содержание. Включает порядок расположения отдельных частей выпускной квалификационной работы с указанием страниц, на которых соответствующий раздел начинается.•Введение. В нем автор обосновывает научную актуальность, практическуюзначимость, новизну темы, а также указывает цель и задачи проводимогоисследования.•Основная часть. Структура основной части определяется правиламиоформления выпускных квалификационных работ, которые разрабатываютсяучебно-методическими комиссиями соответствующих структурныхподразделений КГУ.•Заключение (или выводы). В заключении подводится итог проведенномуисследованию, формулируются предложения и выводы автора, вытекающие изработы.•Список литературы. В список литературы включаются только те работы, накоторые сделаны ссылки по тексту работы. Список оформляется в соответствиис ГОСТ 7.1-2003.•Приложения. Приводятся используемые в работе, таблицы, графики, схемы идр. (аналитические табличные и графические материалы могут быть приведенытакже в основной части).

Оформление выпускной квалификационной работы

Во введении необходимо:•показать актуальность выбранной темы и состояние ее разработки,

неисследованные аспекты проблемы;

•сформулировать основную цель квалификационной работы бакалавра и

дипломной работы, обосновать цель и главные задачи, которые необходимо

решить для достижения поставленной цели;

•указать исходные методологические принципы, определяющие подход к

изучению темы; дать характеристику статистических источников;

•обосновать правомерность структуры дипломной работы.

•В среднем объем введения может варьироваться от 2 до 5 страниц.

Оформление выпускной квалификационной работы.Введение

Сначала дается краткая характеристика области, в которой выполненаработа (1-3 предложения) и место в этой области конкретно раздела, покоторому выполнялась работа.

Все важные утверждения должны быть подкреплены ссылками по форме:[1], [5-14], [1,3,7-9,21] и т.п. Нумерация ссылок сквозная по всей работе.Упоминаемая первой ссылка должна иметь номер 1, вторая 2 и т.д.

Затем обосновывается актуальность работы:а) научная новизна и теоретическая значимость,б) практическая значимость работы.При этом обычно упоминаются предыдущие труды научной группы в даннойобласти, и обосновывается важность их развития в данной работе.

Далее идет фраза, которую лучше повторить дословно:"В связи с этим целью данной работы являлось… (цель должна бытьодна!)…Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:…; (первая задача)…: (вторая задача) (итого, от двух до пяти задач)

Конец введения - либо последняя сформулированная задача, либо несколькослов после нее - о путях решения задач. В него не следует включатьобзорный материал.

В магистерской диссертации, в отличие от бакалаврской работы, в концевведения следует добавить описание структуры диссертации. Например:

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированацель работы и перечислены решаемые задачи.

В первой главе рассмотрена применяемая методика и проведен обзорлитературы по ….

Во второй главе описана экспериментальная установка и ….В третьей главе …В заключение диссертации сформулированы общие выводы по …

В первой главе, как правило, излагаются известные результаты по

направлению работы, и проводится их критический анализ. В том числе,

возможно, с включением оригинальных результатов, полученных автором

работы (диссертации). Все важные утверждения (за исключением тех, что

основаны на результатах, полученных лично автором в данной работе)

должны быть подкреплены ссылками.

Оформление выпускной квалификационной работы.Основная часть (содержание диссертации)

Во второй главе экспериментаторы обычно описывают

экспериментальную установку, используемые образцы, материалы, реактивы,

приборы и методики. Указываются параметры установки диапазоны и режимы

измерений, ограничения используемых методик, погрешности. Описываются

условия и порядок приготовления образцов. Обязательно приведения

функциональной схемы установки, желательно наличие фотографий

установки и ее важнейших узлов. Если какие-то части установки

усовершенствованы автором, это следует в явном виде описать, чтобы не

возникало неоднозначного или ошибочного мнения о вкладе автора в

создании установки.

Во второй главе теоретики и разработчики программных продуктов

описывают использованные методики, способы расчетов, типы компьютеров и

операционных систем, компиляторы, прикладные программы и т.п. – все,

чтобы при необходимости можно было независимым образом однозначно

воспроизвести полученные результаты. Далее идут оригинальные результаты,

а в конце главы - краткие выводы.

В третьей главе экспериментаторы обычно приводят результаты

измерений, а теоретики излагают очередную часть оригинальных результатов.

При этом как теоретикам, так и экспериментаторам следует по возможности

сначала приводить фактические полученные результаты (графики, числа,

формулы), и только потом в отдельном параграфе: а) обсуждать эти

результаты; б) делать выводы; в) высказывать предположения.

Такие параграфы обычно называют "обсуждение результатов". Следуетпонимать, что результаты и их интерпретация - совершенно разные вещи.Разные люди одни и те же результаты в зависимости от своих знаний иквалификации могут интерпретировать совершенно по-разному. Именно длявозможности независимой оценки диссертации следует подробно описыватьусловия проведения экспериментов, численных расчетов и т.п. Поэтому надостараться отделить "безусловную часть" (такая вот кривая, к примеру,получилась в результате измерений, либо - такая вот формула следует присделанных предположениях).

В разделе "обсуждение результатов" надо объяснить (в том числеиспользуя ссылки на литературу), что эта кривая или формула означает, чтоиз нее следует, какие возникают вопросы и сомнения. Далее надо сделатьвыводы не дискуссионного характера (которые можно считать надежнообоснованными), а также высказать предположения дискуссионногохарактера (подчеркивая их дискуссионность употреблением слов "возможно","вероятно", "как мы считаем" и т.п.).

В конце третьей главы можно сделать краткие выводы максимально

общего плана по полученным результатам.

Делать число глав больше трех имеет смысл только в магистерских

диссертациях при очень большом объеме проделанной работы. Имейте в

виду, что слишком большой объем текста обычно свидетельствует о неумении

выделять главное и может рассматриваться как минус, а не плюс работы.

Заключение — самостоятельная часть квалификационной работы бакалавра

и дипломной работы специалиста. Оно не должно быть переложением

содержания работы. Заключение должно содержать:

в сжатой форме основные выводы и полученные результаты;

указание на то, что именно сделал автор квалификационной работы

бакалавра и дипломной работы;

задачи, намеченные для дальнейшего исследования данной темы.

Оформление выпускной квалификационной работы.Заключение

ВЫВОДЫ РЕЗУЛЬТАТЫ≠Важно:

Приложения помещают после списка использованных научной

литературы в порядке их упоминания в тексте. Каждое приложение следует

начинать с нового листа, в правом верхнем углу которого пишется слово

"Приложение" и номер, обозначены арабской цифрой (без знака №).

Оформление выпускной квалификационной работы.Приложения

К бакалаврским работам не предъявляется требований научной новизны,

они могут носить чисто обзорный или учебный характер. Хотя получаемая

оценка, конечно, зависит от качества и сложности проделанной работы.

Магистерская работа носит научный характер, результаты работы ( или их

часть) перед защитой диссертации должны быть направлены в печать. Это

должно подтверждаться наличием публикации либо выпиской из протокола

заседания кафедры или научной организации, направлявшей материалы в

печать. В магистерской диссертации обязательна ссылка на опубликованную

или направленную в печать работу автора.

Оформление выпускной квалификационной работы.

Работа (диссертация) должна быть оформлена на одной стороне листа

бумаги формата А4. Допускается представлять таблицы и иллюстрации на

листах бумаги формата не более A3. Текст следует печатать через 1.5 (иногда

2) интервала (размер шрифта — 12 или 14). соблюдая следующие размеры

полей: левое — 30 мм; правое — 10-15 мм; верхнее и нижнее — 20 мм. Все

страницы дипломной работы обязательно должны быть пронумерованы. Лист

с содержанием работы не нумеруется. Нумерация страниц начинается с

введения (четвертого листа) и заканчивается последним. Номера страниц,

чаще всего, проставляются внизу страницы в центре или справа.

Бланк титульного листа дипломной работы оформляется самостоятельно по

стандартному образцу.

За титульным листом располагают оглавление, с выделением глав ипараграфов (разделов и подразделов) по схеме, принятой в типографскихизданиях. Название каждой новой части и параграфа в тексте работы следуетписать более крупным шрифтом или выделать более жирно. Каждая глава(часть) начинается с новой страницы, параграфы (подразделы)располагаются друг за другом.

В тексте квалификационной работы рекомендуется чаше применятькрасную строку, выделяя законченную мысль в самостоятельный абзац.Слишком много цитат в работе приводить не следует, цитированиеиспользуется как прием аргументации. В случае необходимости можноизлагать чужие мысли своими словами, но и в этом варианте надо делатьссылку на первоисточник. Для наглядности в дипломную работу обязательнодолжны быть включены таблицы, рисунки и графики. Графики выполняютсячетко, красиво, желательно в цвете, в строгом соответствии с требованиямиделовой документации.

Нумерация таблиц, графиков и рисунков (отдельно для таблиц, рисункови графиков) должна быть сквозной на протяжении всей дипломной работы.Слово "таблица" и ее порядковый номер (без знака №) пишется сверху самойтаблицы в правой стороне. Затем дается ее название и единица измерения(если она общая для всех граф и строк таблицы). При ссылке на таблицуследует указать номер таблицы. Разрывать таблицу и переносить часть ее надругую страницу можно только в том случае, если она целиком не умещаетсяна одной странице. При этом на другую страницу переносится и шапкатаблицы, а также заголовок "Продолжение таблицы". Если таблица илирисунок заимствованы, делается обязательная ссылка на первоисточник (поправилам цитирования). Формулы расчетов в тексте надо выделять,записывая их более крупным шрифтом и отдельной строкой, давая подробноепояснение каждому символу (когда он встречается впервые). Рекомендуетсянумеровать формулы в пределах каждого раздела, особенно, если в текстеприходится на них ссылаться.

В бакалаврской работе или магистерской диссертации должно быть не

менее 30 страниц. Верхний предел не регламентируется, но разумно не более

50 страниц для бакалаврской и 80 страниц для магистерской работ.

Приложения имеют произвольную длину (в пределах разумного).

Страницы должны быть переплетены, подшиты или иным образом

культурно скреплены. Желательно, чтобы работа была в обложке. Нельзя

представлять работу в виде россыпи листов! Пусть даже положенных в

папочку. Или в папке, из которой работу надо извлекать, чтобы читать.

Оформление выпускной квалификационной работы.Объём

Стиль работы должен быть академическим, без риторических вопросов,многоточий, обращений к читателю и лирических отступлений.

Речь должна идти от третьего лица. Не следует писать: “Я получилследующие результаты:…”. Надо писать: “Были получены следующиерезультаты:…”. Либо: “Автором были получены следующие результаты:…”.Либо: “В данной работе были получены следующие результаты:…”. И т.п.

Когда описываются текущее состояние дел в изучаемой области илинаучной группе, в которой выполнялась работа, следует использоватьнастоящее время. А когда речь идет о результатах, полученных личноавтором, следует использовать прошедшее время. Например: “Имеющийсяалгоритм быстрого преобразования Фурье не позволяет осуществлятьдвумерное преобразование Фурье. Разработанный алгоритм позволилпроводить такое преобразование”.

Оформление выпускной квалификационной работы.Стиль изложения

Министерство образования и науки Российское Федерации

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НАЗВАНИЕ ФАКУЛЬТЕТА

НАЗВАНИЕ КАФЕДРЫ

Специальность (направление): шифр -- название

Специализация: шифр — название

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

(Дипломная, бакалаврская работа или магистерская диссертация)

ТЕМА

Оформление выпускной квалификационной работы.Титульный лист

Работа завершена:«___»___________201_г. ________________________ (И.О. Фамилия)

Работа допущена к защите:Научный руководитель,ученая степень, ученое звание,должность«___»___________201_г. ________________________ (И.О. Фамилия)

Заведующий кафедрой,ученая степень, ученое звание«___»___________201_г. ________________________ (И.О. Фамилия)

Казань — 2010

Оформление выпускной квалификационной работы.Титульный лист

Начинать следует с актуальности темы.

Первую фразу доклада следует заучить наизусть, чтобы не пришлось

мучительно изобретать, о чем начинать говорить.

После актуальности следует сформулировать цель работы и решаемые

задачи (прямо по тексту работы).

Далее рассказывать по очереди по решаемым задачам – в основном об

оригинальных результатах, полученных докладчиком.

В конце четко сформулировать полученные результаты (прямо по тексту

работы). Их можно заучить, но разрешается и зачитать.

Оформление выпускной квалификационной работы.Доклад. Содержание

Следует подготовить 3-7 слайдов с важнейшими рисунками и формулами.Учтите, что при показе мелкие детали рисунков и мелкий шрифт будут невидны! Следует писать как можно крупнее, а линии на рисунках делатьжирными.

Время доклада определяется ведущим заседание и обычно составляетдля бакалаврских работ 8-10 минут, для магистерских 10-15 минут.

Доклад следует 1-2 раза отрепетировать вслух без свидетелей, засекаявремя выступления. При этом учитываются все паузы и сбои в рассказе. Еслиудается уложиться в запланированное время (лучше рассчитывать наминимальное, а не на максимальное), можно попробовать рассказ передзрителями.

Во время репетиции следует выступать по слайдам!Рассказывая, не пытайтесь рассказать все, что вы знаете. Излагайте

только самое главное.

Оформление выпускной квалификационной работы.Доклад. Репетиция

Старайтесь стоять лицом к аудитории. Не поворачивайтесь спиной каудитории.

Если во время доклада вы сбились и не можете закончить предложение,не пытайтесь его закончить. Начинайте следующую мысль. Это произведетгораздо лучшее впечатление на слушателей, чем долгие паузы и попыткизакончить предложение.

Не чешитесь, не ковыряйте в носу или ухе, не переминайтесь с ноги наногу, не ходите туда и обратно, и т.п. Это не шутка: в момент напряжениялюди часто себя не контролируют.

Говорите громко и отчетливо, чтобы вас было слышно. Говорите неторопясь, не тараторьте! Но в то же время не слишком медленно, безбольших пауз.

В самом конце доклада скажите: “Спасибо за внимание”.Не следует в конце доклада выражать благодарности. По регламенту

после доклада идут вопросы к докладчику, выступления научногоруководителя, рецензента, а затем студенту предоставляется заключительноеслово. Благодарности следует выражать именно во время заключительногослова. И не надо это делать слишком долго.

Оформление выпускной квалификационной работы.Доклад. Выступление

Успехов!

Решениедифференциальных

уравнений

Основные определения

0 0( , ) (1) ( ) (2)dy f y x y x ydx

где

y – зависимая переменная,

x – независимая переменная,

f(y,x ) – функция производной = правая часть,

x0 - начальное значение независимой переменной,

y0 - начальное значение зависимой переменной.

Основные определения

0 0(3) ( ) (4)tdy e y y t ydt

αλ −= =

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение

•первого порядка

•линейное

•в обыкновенных производных

•с зависящими от нез. переменной коэффициентами

Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4y

Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4 Точное решение

Дифференциальные уравнения.

• Общий случай

•Роль дифф. уравнений в физике (рост, убывание, стремление к равновесию,…, механика, молекулярная физика, квантовая механика, электродинамика, …. ).

•Примеры

( , , , , ,..., , , ,...)

d a b cd

α β γ=

y F y xx

Танцы звезд

• Задача многих тел. Уравнения Ньютона или Гамильтона.

• Задача многих тел. Уравнения Ньютона или Гамильтона (3 тела).

• Задача многих тел. Уравнения Ньютона или Гамильтона (немного больше).

Сеточные функции

• Пусть задана непрерывная функция g(x) на участке [a,b].

• Введем дискретный набор точек xi, сетку.

• Точки {x0,x1,x2,…xn} – узлы сетки

• Сетка с одинаковым расстоянием между произвольной парой соседних точек – равномерная сетка.• yi=g(xi) – сеточная функция, задаваемая в виде таблицы.

y0 y1 y2yn

Разности

• Можно ввести аналог производной для сеточной функции

• Также задается

• В общем случае

i i ix

df dx y y ydx +→ Δ = − - правая разность

1i i iy y y −∇ = − - левая разность

1 11 1( ) ( )2 2i i i i iy y y y yδ + −= Δ +∇ = − - центральная разность

1( )m mi iy y−Δ = Δ Δ

• Производные второго порядка

• Дифференцирование произведения

• Суммирование по частям

Разности

Полезные выражения

22 12i i i iy y y y+ +Δ = − + 1 12i i i iy y y y+ −Δ∇ = − + 2

1i iy y −Δ∇ = Δ

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y+ +Δ = Δ + Δ = Δ + Δ

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y− −∇ = ∇ + ∇ = ∇ + ∇

1 0 1 0 00 1 0

i i i i N N i i N Ni i i

y v v y y v y v v y y v y v− −

−= = =

Δ = − Δ + − = − Δ + −∑ ∑ ∑

Разностные уравнения

• Линейное разностное уравнение m-го порядка

или

• Например

)()(...)()()( 22110 ifyiayiayiayia mimiii =++++ +++

)()(...)()()( 2210 ifyiyiyiyi m

imiii =Δ++Δ+Δ+ αααα

)()()( 110 ifyiayia ii =+ + - уравнение первого порядка

ii yiiy )()(1 βϕ +=+Решение

Если задано граничное условие y0=const, все остальные значения находятся последовательно

Разностные уравнения

Граничные условия• Аналогично дифференциальным уравнениям чтобы найти частное решение требуется задать граничные условия.- уравнение первого порядка – один параметр- уравнение второго порядка – два параметра и т.д.

• Согласно заданным условиям уравнения второго порядка можно классифицировать как- Задача Коши. Заданы граничные условия в двух соседнихточках.

- Краевая задача. Заданные точки не являются соседними.

• Граничные условия могут быть первого, второго и третьего рода.

Уравнения первого порядка

Метод Эйлера• Пусть задана система уравнений

(здесь yi – разные функции)

• Решение будет искаться в виде

где h – шаг сетки

• Ошибка дискретизации ~h

iiii aybxanixyxyxyxf

dxdy α=≤≤== )(,,,...,1)),(),...(),(,( 111

)),(),...(),(,()()( 211 knkkkikiki xyxyxyxfhxyxy ⋅+=+

Методы Рунге-Кутта

iiikk hkpxyxy

11 )()()( - общая формула, где

( );;)(1 yxfhhk ⋅=

( );;)( 12122 kyhxfhhk βα ++⋅=

( );;)( 23213133 kkyhxfhhk ββα +++⋅=

..........................................................

( );...;)( 3322113 +++++⋅= kkkyhxfhhk nnnn βββα

qijpp ijqq ≤<<0...... 12 βαα - константы

Методы Рунге-Кутта

Выбор параметров

Введем функцию погрешности метода

);(...)()()()()( 2211 hkphkphkpxyhxyh iii −−−−−+=ϕ

Будем искать коэффициенты из условия чтобы

0)0(,0)0(...)0()0( )1()( ≠===′′=′ +ss ϕϕϕϕ

тогда

)!1()(

!)0()( +

++=∑ s

h θϕθϕϕϕ

Уравнения первого порядка

Методы Рунге-Кутта• Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Хьюна) ε ~ h2

• Метод Рунге-Кутта-Фельберга ε ~ h5

( )( ),))(,()(,))(,(2

)()( 11 kkkkkkkk xyxfhxyxfxyxfhxyxy ⋅++⋅+= ++

43201 121

91)()( kkkkxyxy ii ++++=+ ( );;0 ii yxfhk ⋅=

01 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅= kyhxfhk ii ;

102 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅= kkyhxfhk ii

135128143

12869;

2103 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++⋅= kkkyhxfhk ii

1217; 32104 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+⋅= kkkkyhxfhk ii

• Например уравнение дрифт-диффузии

это уравнение в частных производных. Можно решать стационарное уравнение, приравняв нулю производную по времени.

Линейные уравнения второго порядка

n Jt x

nJ q nE k Tx

∂ ∂+ =

∂ ∂∂

= +∂

2 0n nn n n ED q E q nt x x x

μ μ∂ ∂ ∂ ∂− − − =

∂ ∂ ∂ ∂

2 0n nA Bnx x∂ ∂

+ + =∂ ∂

1 1 1 12

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02

i i i i ii i i

n x n x n x n x n xA B n xh h

+ − + −− + −+ + =

2D уравнение Пуассона

),( 2122

−=∂∂

+∂∂ - уравнение в частных производных

Функция u определена на всей границе – задача Дирихле ),(| 21 xxu B μ=

),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(212

2121212

212121 iifh

iiyiiyiiyh

iiyiiyiiy−=

++−−+

++−−

Разностное уравнение

• Разностное уравнение

с граничными условиями

можно представить в виде матричного уравнения

iiiiiii fybycya −=+− +− 11

Метод прогонки

2121110 , μημη +=+= −NN yyyy

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

−−−

−−

......

10...000...000

0...000.....................000...0000...000...01

Алгоритм

• Выберем соотношение

где коэффициенты определены как

с граничными условиями

• За один проход -> можно расcчитать все коэффициенты αi βi.

111 +++ += iiii yy βα

;; 11iii

ββα

α−+

;; 1111 μβηα ==

Алгоритм

• Теперь идем <- и считаем

где yN находится из граничных условий

111 +++ += iiii yy βα

1 ηαβημ

Buffer Layer AlxGax-1As n-

Schottky Layer AlxGax-1As nDoping Layer AlxGax-1As n+

Channel Layer GaAs n-

Substrate Layer AlxGax-1As n-

Source

(~50nm)

(~20nm)

(~8nm)

(~6nm)

Gate Metal

Пример

Структура

Пример

Задача

Рассчитать константы спин-орбитального взаимодействия в полупроводниковой гетероструктуре с металлическим затвором, как функции напряжения на затворе.

Спин-орбитальное взаимодействие

ˆ( )(2 )

ˆH Vm c

= ∇ ×pσ

( )D ( )iz y y x xH k k kγ σ σ= ⋅ −

( )i iz zk kγ β=

- общий вид

- формула специфичная для III-Vполупроводниковых гетероструктур

- константа спин-орбитального взаимодействия

Параметр β определяется зонной структурой полупроводника

Задача сводится к нахождению волновых функций электронов локализованных в квантовой яме

METAL Semiconductor

Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник

Band structure

n n n BJ q nE k T nμ μ= + ∇

qE qEn n nk T k T

′′′ ′+ + =

Уравнение дрифт-диффузии:

Уравнение Пуассона: ( )0 ( )r d ae p n N Nε ε ϕ⋅ = − − + −∇ ∇

Уравнение Шрёдингера:2 1 ( ) 0

2 * k k kV Em

ψ⎛ ⎞− ∇ ⋅ ∇Ψ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Уравнения

Initialize dopingconcentration

Poisson Equation

Schrцdinger Equation

Continuity andTransport Equations

Efn calculation

Does electrondensity converge

Calculate Spin Orbit terms

Алгоритм

Микроскопическая

модель

Макроскопическая

модель

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

psi_schefEsub#1Esub#2Esub#3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

psi_schefEsub#1Esub#2Esub#3

Vg = 0 V Vg = 0.5 V

Константы С-О взаимодействия

Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.Н. Н. Калиткин, Численные методы.Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы.Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику

Самарский А.А., Введение в численные методы.Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.

# 1Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекции

MatLab: решениедифференциальных

уравнений

Простой пример

2dy xydx

(0) 1y =2

( ) xy x e−=

В качестве самого простого примера приведем решение следующего урав

с начальным условием

и аналитическим решением

Возможный формат вызова процедуры решателя в MatLab: [T,Y]=ode45(@DiffEquatFunc,[Tstart,Tfinal],StartVector).

Простой примерСнимок экрана, который соответствует численному решениюэтой задачи в системе MatLab.

Файл-функция, описывающая правую часть уравнения, – текстовый файл с расширением func1.m – содержит всего две строки

function dd=func1(x,y) % название

dd=-2*x*y; % правая часть ДУ

Знаком % начинаются комментарии. Вызываться такая функция может из другой программы, функции, или, как в этом случае, из командного окна

>> [T,Y]=ode45(@func1,[0,2],1);

Здесь задан временной интервал от Tstart=0 до Tfinal=2 и начальное значениефункции StartVector=1. График полученной таким образом функции Y(T) воспроизводится вызовом встроенной функции plot

>> plot(T,Y);

Следующей строкой мы кружочками нарисовали на том же графике точное решение в точках полученного вектора-столбца T:

>> hold on; plot(T,exp(-T.^2),'ro'); hold off

В общем случае, процедура ode45 может решать систему уравнений следующего вида:

1 2( ) ( , , ,..., )X F nd t t x x xdt

где ( )tX – вектор-столбец

( )( )

...( )n

x tx t

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

F(t, x1, x2, …, xn) – функция-столбец, зависящая от времени и компонент вектора x.

Заметим, что уравнение (1) можно решить в MatLab и символьно. Приведем часть командного окна, где была вызвана стандартная процедура dsolve>> dsolve('Dy=-2*t*y','y(0)=1')ans = 2

exp(-t ) Здесь также использовано начальное условие.

Видим, что с точностью до переобозначения x → t результат совпадает с приведенным выше.

Решатели диф. уравнений в MatLab(solvers)

Для решения систем ОДУ в MatLAB реализованы различные методы. Их реализации названы решателями ОДУ. Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений:

Все решатели (ode45, ode23, ode133, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb )могут решать системы уравнений явного вида y’ = F(t, y).

Решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb могут решать уравнения неявного вида F(t, y, y’ ) = 0.

( ) { ( ), ( ),... ( )} ?n

t y t y t y t

Решатели диф. уравнений в MatLab(solvers)

• ode45 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка {начальная пробарешения}. Во многих случаях он дает хорошие результаты;

• ode23 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 3-го порядка. При умереннойжесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может датьвыигрыш в скорости решения;

• ode133 – многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Этоадаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения;

• ode15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1-го до 5-го, по умолчанию 5),использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, егостоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;

• ode23s – одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности;

• ode23t – метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты прирешении задач, описывающих осцилляторы с почти гармоническим выходнымсигналом;

• ode23tb – неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующийформулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем. При низкойточности этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s.

Движение заряженной частицы.Закон Кулона

Пусть некоторая точка массы m с зарядом q движется в электрическом поле двух неподвижных зарядов Q1 и Q2

( ) ( )1 21 23 3

qQ qQmR R r R rR r R r

= − + −− −

( ) ( )1 21 23 3

R VQ QV R r R r

R r R r

⎧ =⎪⎪⎨ = ⋅ − + ⋅ −⎪ − −⎪⎩

( ) ( )1 21 23 3

qQ qQmR R r R rR r R r

= − + −− −

( ) ( )1 21 23 3

R VQ QV R r R r

R r R rγ

⎧ =⎪⎪⎨ = ⋅ − + ⋅ −⎪ − −⎪⎩

1 2( , )R x x= 1 1 1( , )x yr C C= 2 2 2( , )x yr C C=3 4( , )V x x=

Пусть масса частицы m = 1, ее заряд q = 1. Перейдем к безразмерным единицам, и будем считать, что данная задача является "плоской". Введем следующие обозначения:

( ) ( )

3 32 2

1 1 1 2 2 23

2 2 2 21 1 2 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 24

2 2 2 21 1 2 1 1 2 22

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x xx x

Q x C Q x Cxx C x C x C x C

Q x C Q x Cx

x C x C x C x C

=⎧⎪ =⎪⎪ − −

= +⎪⎨ − + − − + −⎪⎪ − −

= +⎪− + − − + −⎪⎩

1 2( , )R x x= 1 1 1( , )x yr C C= 2 2 2( , )x yr C C=3 4( , )V x x=

Пусть масса частицы m = 1, ее заряд q = 1. Перейдем к безразмерным единицам, и будем считать, что данная задача является "плоской". Введем следующие обозначения:

Рассмотрим простейший случай финитного движения с Q1 = –50, Q2 = 0, С1 = (5,0) и С2 = (0,10). При таких начальных параметрах (Q2 = 0 и Q1 < 0) наша точка движется в притягивающем поле только первого заряда и, как мы помним из классической механики, должна описывать вокруг него эллипс. Проверим, запишем правую часть системы уравнений как файл-функцию, назвав ее pointq12.

function f=pointq12(t,x)global Q1 Q2 C1x C1y C2x C2yf=[x(3);x(4);...Q1*(x(1)-C1x)/(sqrt((x(1)-C1x)^2+(x(2)-C1y)^2))^3+...Q2*(x(1)-C2x)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3;...+Q1*(x(2)-C1y)/(sqrt((x(1)-C1x)^2+(x(2)-C1y)^2))^3+...Q2*(x(2)-C2y)/(sqrt((x(1)-C2x)^2+(x(2)-C2y)^2))^3];

Решим систему дифференциальных уравнений, вызвав процедуру ode45 из "пустой" файла-функции pointDyn.m

function pointDyn()clear allglobal Q1 Q2 C1x C1y C2x C2yQ1=-50; Q2=-0.; C1x=5; C1y=0; C2x=0; C2y=10;x0=0; y0=0; vx0=0; vy0=4.3; T1=4000;[t,h]=ode45(@pointq12,[0,T1],[x0,y0,vx0,vy0]);x=h(:,1); y=h(:,2); x1=C1x; y1=C1y; x2=C2x; y2=C2y;plot(x,y,'b-'); % отрисовка траекторииhold on% отрисовка положения неподвижных зарядовplot(x1,y1,'r+',x2,y2,'r*','MarkerSize',15);plot(x1,y1,'ro',x2,y2,'ro','MarkerSize',15);% comet(x,y); % отрисовка "движения"hold off;

Для данного примера относительной точности 10-3, заложенной по умолчанию в процедуре ode45, недостаточно. Придется либо уменьшать этот параметр, либо пробовать другие процедуры.

Изменим относительную точность решения на три порядка → 10-6 :tol = 1e-6; [t,h]=ode45(@pointq12,[0,T1],[x0,y0,vx0,vy0],...odeset('RelTol',tol))

Время расчета увеличилось, но теперь мы получили вполне приемлемый результат.

Теперь можно поэкспериментировать с начальными условиями и зарядами тел (например, можно убедиться, что при последовательном увеличении на единицу заряда Q1 с –50 до –46 движение становится инфинитным). Естественно, что движение станет также инфинитным, если взять заряды одного знака, т.е. Q1 > 0.

Введем значение Q2 = –0.2. Это внесет возмущение в орбиту движущейся точки.

Введем значение Q2 = +0.2. Траектория становится незамкнутой .

Q1 = –50 и Q2 = –1.5. T1 = 8000.

Следует подчеркнуть, что мы использовали модель точечных зарядов, т.е. пренебрегали возможностью "попадания" зарядов друг в друга. Дальнейшее улучшение программы связано с контролем в ходе решения выполнения закона сохранения энергии (особенно это существенно при решении задачи многих тел).

Теперь можно экспериментировать самостоятельно !

Ю.Н. Прошин, И.М. Еремин. Вычислительная физика (Практический курс) Казань: Казанский государственный университет, 2009. ("Задание 4. Движение заряда в кулоновском поле")

Движение под действием сил тяжести и трения

Рассмотрим траекторию движения пули под действием силы тяжести. При отсутствии сопротивления воздуха это будет парабола. При скорости пули больше скорости звука сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости и противоположна направлению движения. Уравнение движения пули массой m будет следующим

mw mr G F mg kVV= = + = −Примем для простоты, что коэффициент пропорциональности k в силе трения зависит от плотности воздуха ρ, которая, в общем случае, может меняться с высотой y, площади поперечного сечения пули S и некоторого постоянного безразмерного параметра bпорядка единицы, учитывающего форму пули. Из соображений размерности k = bρS.

Пусть масса пули - m = 9 грамм, S = 0.5 см2 (~ калибр 7.62 мм). Пусть ρ = ρ(0) = 1.22 кг/м3, g = 9.8 м/с2, коэффициент b = 0.5. При t0 = 0: x0=0, y0=0, а vx0 = 800 м/с, vy0 = 100 м/с. Переведем все в систему Си и обезразмерим.

- - - - ode45, + + + + ode113.

По осям - метры

Теперь можно проводить компьютерные "эксперименты", меняя параметры задачи. Например, можно учесть изменение плотности воздуха с высотой, или даже осевое вращение пули, возникающее в нарезном стрелковом оружии, и оценить как это влияет на точность стрельбы

Теперь можно проводить компьютерные "эксперименты", меняя параметры задачи. Например, можно учесть изменение плотности воздуха с высотой, или даже осевое вращение пули, возникающее в нарезном стрелковом оружии и оценить как это влияет на точность стрельбы (см. Вычислительная физика "Задание 2. Полет пули", на стр. 26).

I. Как изменится траектория пули с учетом распределения плотности воздуха по высоте. Построить аппроксимацию ρ(y) по следующим данным: в Европе плотность воздуха у поверхности Земли равна 1.258 кг/м3, на высоте 5 км – 0.735 кг/м3, на высоте 20 км – 0.087 кг/м3, на высоте 40 км – 0.004 кг/м3II. При каком угле вылета пуля достигает максимальной дальности?III. Если одну пулю выстрелить горизонтально из ствола, а другую пулю бросить с той же самой высоты в тот же самый момент, упадут ли обе из них в одно и то же время?IV. Если пулю выстрелить из винтовки вертикально вверх, какой будет ее окончательная скорость, когда она попадет в макушку чьей-то головы во время своего полета вниз?Построить фазовую диаграмму (y, Vy) при разных параметрах задачи. Зависит ли дальность от массы пули? Какая пуля улетит дальше, более тяжелая или более легкая?Учесть осевое вращение пули, возникающее в нарезном стрелковом оружии. Как это влияет на дальность и точность стрельбы?

Осциллятор Ван дер Поля. Жесткость системы ОДУ

Разберем, однако, известный пример осциллятора Ван дер Поля и увидим, что применение ode45 либо сильно удлиняет время решения, либо, вообще, не может привести к решению. Итак ДУ, описывающее осциллятор Ван дер Поля, выглядит следующим образом

22 1 0d x dxx x

dt dtμ− − + =

здесь μ – параметр. Перепишем

221 2 11

dx xdtdx x x xdt

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = − −⎪⎩

Используем в качестве функции, описывающей систему ДУ (13), функцию vanderpoldemo, входящую в стандартный демонстрационный пример MatLab – odedemo.

221 2 11

dx xdtdx x x xdt

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = − −⎪⎩

function dydt = vanderpoldemo(t,y,Mu)%VANDERPOLDEMO Defines the van der Pol equation % Copyright 1984-2002 The MathWorks, Inc. % $Revision: 1.2 $ $Date: 2002/06/17 13:20:38 $ dydt = [y(2); Mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

221 2 11

dx xdtdx x x xdt

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = − −⎪⎩

Для малых μ порядка единицы практически любой MatLab решатель ОДУ сможет эффективно решить уравнение Ван дер Поля. Для больших значений μ > 100 система ОДУ становится жесткой. Для быстрого и эффективного интегрирования таких систем должны быть использованы специальные метолы, реализованные в ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb. Сравним работу двух процедур ode45(синяя сплошная линия на графиках) и ode15s (прерывистая красная) при разных значениях μ.. Начальные условия

10 0 0.5x x= =

20 10 0 0x x x= = =

tspan = [0, 100]; x0 = [0.5; 0]; Mu = 0.0;disp(['Fig0 tspan = [0, 100]; mu=', num2str(Mu)])tic % Засекаем время[t,x] = ode45(@vanderpoldemo, tspan, x0,[],Mu);toc % Останавливаем и печатаем время % Plot of the solutionplot(t,x(:,1),'b','LineWidth',4)xlabel('t'); ylabel('solution x')title(['van der Pol Equation, \mu = ', num2str(Mu)])hold on; tic[t,x] = ode15s(@vanderpoldemo, tspan, x0,[],Mu);toc; plot(t,x(:,1),'r--','LineWidth',4); hold off

tspan = [0,100]; mu=0ode45 => 0.103 sec.ode15s => 0.284 sec.

периодическое решение для гармонического осциллятора с

амплитудой 0.5

tspan = [0,100]; mu=0.1ode45 => 0.112 sec.ode15s => 0.447 sec.

tspan=[0,100]; mu=1ode45 => 0.191 sec.

ode15s => 0.796 sec.

tspan=[0,100]; mu=10ode45 =>0.450 sec.ode15s => 1.07 sec.

Система становится жестче – малое изменение параметра, приводит к сильному изменению функции. Хотя по-прежнему ode45 быстрее ode15s.

tspan =[0,2000]; mu = 175ode45 => 190.4 sec.ode15s => 2.631 sec.

tspan=[0,10000]; mu=1000ode45 => Not solved!ode15s > 3.166 sec.

При μ = 1000 ode45 отказывается работать, а время работы ode15sувеличился на треть при увеличении временного диапазона почти в 5 раз:

tspan=[0,10000]; mu=1000ode45 => Not solved!ode15s > 3.166 sec.

При μ = 1000 ode45 отказывается работать, а время работы ode15sувеличился на треть при увеличении временного диапазона почти в 5 раз:

( ) ( , )X F Xd t tdt

Причина в том, что при увеличении параметра μ начинают сильно различаться порядки коэффициентов при разных слагаемых. Именно степень этого различия чаще всего и определяет жесткость системы ОДУ

В качестве соответствующей характеристики выбирают матрицу Якоби (якобиан) векторной функции F(t,X), определяющей правую часть системы ОДУ. Чем сильнее вырождена матрица Якоби, т.е. функциональная матрица, составленная из производных F(t,X), тем жестче система уравнений.

Система Лоренца (С.П.Кузнецов, Динамический хаос)

Система Лоренца

function lorenz(action)%LORENZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractor.% This demo animates the integration of the three coupled nonlinear differential% equations that define the "Lorenz Attractor", a chaotic system first described % by Edward Lorenz of the Massachusetts Institute of Technology.% Copyright 1984-2005 The MathWorks, Inc.% $Revision: 5.13.4.3 $ $Date: 2005/12/15 20:52:53 $

% The values of the global parameters areglobal SIGMA RHO BETASIGMA = 10.; BETA = 8./3.;

RHO = 28; %% 28 1 13.927 24.06 24.74

ЛитератураА.А. Дубанов Решение систем дифференциальных уравнений.http://www.exponenta.ru/educat/systemat/dubanov/index.aspЮ.Н. Прошин, И.М. Еремин. Вычислительная физика (Практический курс) Казань: Казанский государственный университет, 2009. – 180 с.С. П. Кузнецов, Динамический хаос. М: ФИЗМАТЛИТ, 2006 г. - 356 с.А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов, Основы теории сложных систем. – М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. – 620 с.

Численное решение:алгоритмы, методы и неприятности …

КУЛЬТУРА ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ

•До сих пор => Постановки задач и алгоритмы их решения.

•Однако, мы имеем цепочку «модель — алгоритм — программа».

•Одна из возможных причин несовпадения желаемого и получаемого

=> несовпадение машинной арифметики с обычной из-за конечности разрядной сетки ЭВМ.

Возникающие ошибки могут привести к большим неприятностям, если их не контролировать и не соблюдать некоторые элементарные правила организации вычислений. Правила эти неформальны и напоминают правила хорошего тона. Уровень их выполнения определяет уровень вычислительной культуры пользователя ЭВМ. Поясним на примерах основные из этих правил.

Пример 1. Коммутативность, ассоциативность, …

Вычислим (на обычном калькуляторе или на ЭВМ)

1016 + 1 — 1016, 1032 + 1010 — 1032

>> 10^16 + 1 - 10^16ans =

0>> 10^32 + 10^10 - 10^32ans =

1016 — 1016 + 1, 1032 — 1032 + 1010

>> single(10^8) + 1 - single(10^8)ans =

Пример 1. Коммутативность, ассоциативность, …

Вычислим (на обычном калькуляторе или на ЭВМ)

1016 + 1 — 1016, 1032 + 1010 — 1032

>> 10^16 - 10^16 + 1 ans =

1>> 10^32 - 10^32 + 10^10 ans =

1.0000e+010>>

>> 10^16 + 1 - 10^16ans =

0>> 10^32 + 10^10 - 10^32ans =

1016 — 1016 + 1, 1032 — 1032 + 1010

Таким образом, в машинной арифметике нарушаются законы коммутативности и ассоциативности действий.

Применимость основных выводов элементарной математики ставится под сомнение.

Пример 2. Предел.

Известно, что

>> (1+1./n).^nans =

2.0000 2.7220 3.2940 3.7110 4.1808 1.0000 1.0000

>> n=single([1 1e5 1e7 1.1e7 1.2e7 2e7 3e7])n =

1 100000 10000000 11000000 12000000 20000000 30000000

Вывод: при вычислениях с ЭВМ применимость основного понятия высшей математики — предела — также ставится под сомнение.

Правило 1.

Определение. Машинным эпсилоном называется наименьшее представимое в ЭВМ число ε, удовлетворяющее условию

Правило 1.Величина εМ характеризует наименьшую относительнуюпогрешность вычислений и зависит от конкретной ЭВМ

и разрядности вычислений (single, double,... ).Требовать БОЛЬШЕГО невозможно!

Задачаи комментарий к правилу 1.

Задача. Найти минимальное число εМ, используемое компьютером при вычислениях по умолчанию, определить количество значащих цифр используемых при численных расчетах, выяснить возможности его увеличения (уменьшения). (На примере любого языка программи-рования Си, Паскаль, Фортран, Дельфи или вычислительного пакета MatLab, Maple, Mathematica, MathCad, Origin, Derive).

•Очевидно, если εМ > 10-k, то на данной ЭВМ нельзя гарантировать, что в результатах будет содержаться не менее k верных значащих цифр.

•Напомним, что цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором эта цифра находится.

Чувствительность к исходным данным.Корни полинома

• Задача может быть чувствительна к малым ошибкам, допущенным при представлении исходных данных.

• Пример, корни уравнения p(x) = (x-2)2 = 0 равны двум,при изменении свободного члена на малую величину ε = 10-6 ⇒(x-2)2 = ε изменение в корнях много больше: x1,2 = 2 ± 10-3.

• Этот тип неустойчивости еще более выражен у полиномов более высокой степени. Корни следующего полиномиального уравнения p(x) = 0, где p(x) = (x-1)⋅(x-2)⋅...⋅(x-20) = x20 - 210x19 + …суть реальные числа от 1 до 20 и хорошо разделены.

Задача: Измените коэффициент при x19: (-210) ⇒ (-210 + 10-23) и проследите численно за катастрофическим изменением решения.

Пример 3. Эквивалентные формулы –разные результаты

Пусть εМ = 10-2 и требуется решить уравнение:

Округляем до двух значащих цифр. Формулы для решения уравнения

Результат:

Верный ответ -- ошибка получена при вычитании близких чисел.

Эквивалентная формула

получаем Правда, по этой формуле уже х2 будет вычислено с двукратной погрешностью.

Пример 4. Эквивалентные формулы –разные результаты

Оценка дисперсии случайной величины по измерениям :

Пусть х 1 = 12345.1, х 2 = 12345.2, х 3 = 12345.3.

>> x= single([12345.1 12345.2 12345.3])x = 1.0e+004 * 1.2345100 1.2345200 1.2345300>> x1=mean(x)x1 = 1.2345200e+004>> y1=sum((x).^2)/3, y2=x1^2y1 = 152403952y2 = 152403968>> y1-y2ans = -16>> y22=sum((x-x1).^2)/3y22 = 0.0066799>> y = std(x,1)^2y = 0.0066799

Чушь!

Истинно так!

Верный ответ

Находим среднее

И считаем СКО (1)

(1) (2)

а СКО (2) ?!

Правило 2.

Правило 2.При выборе формулы и порядка вычислений избегать

вычитания близких чисел и деления на малые величины.

Пример 5. Решения СЛАУ

Столь большие отличия в ответах возникли из-за того, что матрицы коэффициентов систем 1 и 2 плохо обусловлены: определители Δi = det|ai| малы. Действительно, Δ1 = 0.001, Δ2 = -0.001.

Правило 3.Избегать плохо обусловленных матриц. Использовать специальные методы.

25,503.

Переполнение, исчезновение порядка,…

Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне minD ≤ |х| ≤ maxD.

При выходе результата за minD => underflow (исчезновение порядка), при выходе за maxD => overflow (переполнение).

•При переполнении обычно говорят, что плохи исходные данные, а при исчезновении порядка полагают результат равным нулю.

•Не следует торопиться. Пусть 10-78 ≤ |х| ≤ 1076 и вычисляется величина x = ab/(cd) при a = 10-30, b = 10-60, c = 10-40, d = l0-50.

•Если x=a•b/c/d => 10-30-60/ c/d => underflow;

•Eсли x = 1/c/d•a•b => 10+40+50•a•b => overflow.

•Если x = a/c•b/d => 1010•10-60/l0-50 => правильный ответ х = 1.

•Этот же ответ можно получить, если отмасштабировать переменные, например, умножив на 1040.

Правило 4.

Правило 4.При переполнении или исчезновении порядка следует попытаться изменить последовательность действий,

ввести масштабные множители и т. д. При исчезновении порядка не всегда следует обнулять

результат.

Суммы, произведения…

Пример 7. Пусть εм = 10-2 и требуется найти S = 100 + 0.1 + … + 0.1

•Если вести суммирование слева направо, то с учетом округления до двух значащих цифр => S = 100

•Если вычислять справа налево, то после тысячи слагаемых => 100, и дальнейшее {+0.1+0.1+…} ничего не изменит. Результат S = 200

•Правильный результат S = 300 !? Как получить?!

•Сложим 1000 чисел по 0.1, затем еще 1000 чисел по 0.1, а потом сложим промежуточные суммы.

2000 слагаемых

Правило 5.

Правило 5.При сложении следует располагать слагаемые в порядке возрастания абсолютных величин, стараясь, чтобы при каждом сложении порядки величин различались мало. При необходимости цикл суммирования разбивается на

несколько более коротких.

Аналогичное правило действует при перемножении большого числа сомножителей.

Последовательные приближения

Пример 8. При расчетах методами последовательных приближений часто ведут вычисления до тех пор, пока поправка (разность между текущими и последующими приближениями) не станет меньше заданного порога. При этом, как правило, не обеспечивается заданная погрешность результата.

Найти S с точностью до 10-3.

Если вести вычисления до тех пор, пока общий член ряда 1/k2 не станет меньше 10-3, т. е. до kобрыв = 32, и S = 1.610.

Правильно => S = π2/6 = 1,650... .

Если же приближенную сумму ряда

то погрешность останется бесконечной, как бы мала ни становилась величина l/k, поскольку ряд расходится!

Правило 6.

Правило 6.Нужно помнить, что остановка итерационного процесса

x1, х2, … . по косвенному критерию (например, по

или

в задаче решения уравнения F (x) = O,

по критерию в задаче

оптимизации f (x) и т. д.)

не гарантирует достижения заданной погрешности

Пример 9. Неустойчивость алгоритмов

• Проверить неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) напримере вычисления интеграла

(n = 1, 2, 3,...)

при помощи рекуррентной формулы

, (n = 2, 3,...),

• E0 вычислить аналитически и построить таблицу значений Enпри n = 1, 2,..., 24. Оценить возникающую ошибку.

n xnE x e dx−= ∫

1 111 1 1 1

1n x n x n xn nE x e dx x e n x e dx n E− − − −

−= = − = − ⋅∫ ∫

Оценим (вычислим ТОЧНО!) начальное значение E0

1 111 1 1

1 000 0

11 1 1

1 0.367879441171442

1 0.367879441171442 0.632120558828558

E x e dx x e e dx E

E e dx e e e

− − −

= = − = −

∫ ∫

1 111 1 1 1

−= = − = − ⋅∫ ∫

Пример 9. Неустойчивость алгоритмовn En = 1 – nEn-11 0.36792 0.26423 0.20734 0.1709 5 0.14556 0.12687 0.11248 0.10099 0.091610 0.083911 0.077412 0.0718

n En = 1 – nEn-113 0.066914 0.062715 0.059016 0.055517 0.057218 -0.0295 19 1.5596 20 -30.1924 21 635.0403 22 -1.3970e+004 23 3.2131e+00524 -7.7114e+006

Уже для n=18получен

бессмысленный результат !

Причина в том, что начальная

ошибка округления быстро

накапливается: при вычислении

n=18 она умножается на 2, затем на 3,

4,..., 18

• Проверить неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) напримере вычисления интеграла

(n = 1, 2, 3,...)

при помощи рекуррентной формулы

, (n = 2, 3,...),

• E0 вычислить аналитически и построить таблицу значений Enпри n = 1, 2,..., 24. Оценить возникающую ошибку.

• Повторить вычисления, изменив алгоритм на устойчивый ⇒En-1 = (1 – En) /n.

Аналитически и численно оценить ошибку при вычислениях Enдля n = 24, 23,..., 1 при выборе начального значения E25 = 0 (показать, что начальная ошибка δE24 < 1/25 и далее уменьшается !).

n xnE x e dx−= ∫

1 111 1 1 1

−= = − = − ⋅∫ ∫

Пример 9. Неустойчивость алгоритмовn En = 1 – nEn-11 0.36792 0.26423 0.20734 0.1709 5 0.14556 0.12687 0.11248 0.10099 0.091610 0.083911 0.077412 0.0718

n En = 1 – nEn-113 0.066914 0.062715 0.059016 0.055517 0.057218 -0.0295 19 1.5596 20 -30.1924 21 635.0403 22 -1.3970e+004 23 3.2131e+00524 -7.7114e+006

En-1 =(1 – En)/n0.06690.06270.0590 0.05570.0528 0.05010.04770.04550.0436 0.04170.04000.0400

Пример 9. Неустойчивость алгоритмовn En-1 =(1 – En)/n1 0.36792 0.26423 0.20734 0.1709 5 0.14556 0.12687 0.11248 0.10099 0.091610 0.083911 0.077412 0.0718

En-1 =(1 – En)/n0.06690.06270.0590 0.05570.0528 0.05010.04770.04550.0436 0.04170.04000.0400

После первого шага начальная ошибка уменьшится в 24

раза, после второго — еще в 23 раза,

для n=20 мы получим все шесть значащих

цифр верных. Формула (2), в отличие

от (1), определяет устойчивый

вычислительный процесс: погрешность результата каждого

шага меньше погрешности

исходных данных.

Правило 6.

Пользуйтесь только устойчивыми численными алгоритмами!

Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.Н. Н. Калиткин, Численные методы.Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы.

БИФУРКАЦИИ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА И ПОЯВЛЕНИЕ ХАОСА

В ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

xn+1 = f(xn)

отображение– это функция, которая показывает зависимость

последующих значений параметров системы от предыдущих значений.

Они удобны ввиду их наглядности.

Свойства динамической системы определяется свойствами порождаемого

ей отображения

xn+1 = f(xn)

отображение– это функция, которая показывает зависимость

последующих значений параметров системы от предыдущих значений.

C помощью точечных отображенийизучают объекты не с непрерывным, а с

дискретным временем.При переходе к отображению размерность изучаемой системы может уменьшаться.

xn+1 = f(xn) = r xn(1 - xn)

• Ферхюльст (1845 год) - исследование популяции бабочек в замкнутой среде.

Это квадратичное отображение, гдеxn – численность популяции на n–шаге

(в n год) (0 ≤ x ≤ 1);(1- xn) – "свободные" места;

r – коэффициент "плодовитости" (0 ≤ r ≤ 4)

xn+1 = f(xn) = r xn(1 - xn)

• Задача о банковских процентах

zn+1 = (1 + ε)zn=…=(1 + ε)n+1z0

zn – сумма вклада на n–шаге (в n месяц);ε – процент роста вклада

xn+1 = f(xn) = r xn(1 - xn)

• Задача о банковских процентах

zn+1 = (1 + ε)zn=…=(1 + ε)n+1z0

zn+1 = [1 + ε0(1- zn/ zmax)]zn

εn = ε0(1 – zn/zmax)

xn = zn ε0/zmax(1 + ε0) r = zmax(1+ ε0)2/ε0

При изменении внешнего параметра rточечные отображения

демонстрируют довольно сложное поведение, которое становится

хаотическим при достаточно больших rхаотическим

Что такое ХАОС ?Это очень быстрое разбегание

изначально очень близких траекторий в фазовом пространстве

Свойства точечных отображений

x* x***

xn+1 = f(xn)x*

Точка x*

называется неподвижной,если x* = f(x*).

Точка x* -неустойчивая?

Точки x** и x*** –устойчивые?

xn+1 = xn

x* x***

xn+1 = f(xn)Построение Ламерея –«лестницаЛамерея»

Точка x*называется

неподвижной,если x* = f(x*).

Точка x* -неустойчивая

x0'x3x4

x**Точки x** и x*** -устойчивые

xn+1 = xn

x* x***

xn+1 = f(xn)x*

Точка x* - неустойчива,если |f ′(x*)| > 1.

β∗∗

Углы β**, β***< 45 ˚,

угол β∗ > 45˚

Точки x**, x*** -

устойчивы,если |f ′(x**,x***)|<1.

Цикл 2 порядка образует последовательность точек x1, x2 (или x3, x4), удовлетворяющих:

x2 = f(x1), x1 = f(x2)или

x4 = f(x3), x3 = f(x4)

xn+1 = f (xn)

x1 x2x3

Цикл 2 порядка образует последовательность точек x1, x2 (или x3, x4), удовлетворяющих:

x2 = f(x1), x1 = f(x2)или

x4 = f(x3), x3 = f(x4)

xn+1 = f (xn)

x1 x2x4x3

x0 x0'В принципе, могут быть

циклы любого порядка

- уст.

-неуст.

Точки циклов отображения

y = f (x)являются

неподвижными точками для

F (x) = f (f (x)) ≡ f 2(x):

F (x1) = F (x1);F (x2) = F (x2)

xn+1 = f (xn)

x1 x2x3x4

F (x) = f (f (x))

БифуркацияБифуркация – эти качественная перестройка картины движения.

Значения управляющего параметра, при которых происходят бифуркации,

называются критическими или бифуркационными значениями.

xn+1 = r xn(1 - xn)

1) 0 < r < 1. В этом случае отображение

имеет единственную неподвижную точку x* = 0,

которая является устойчивой

r = 0.95, x0=0.47

xn+1 = r xn(1 - xn)

r = 2.5, x0=0.7 2) 1 < r ≤ 3.На отрезке [0, 1] появляется еще

одна неподвижная устойчивая точка

x*1 = 1-1/r.

xn+1 = r xn(1 - xn)

2) 1 < r ≤ 3.На отрезке [0, 1] появляется еще

одна неподвижная устойчивая точка

x*1 = 1-1/r.

r = 2.5, x0=0.7r = 2.5, x0=0.01

Неподвижная точка x* = 0

теряет устойчивость.

xn+1 = r xn(1 - xn)

3) 3 < r ≤ 1+√6≈3.45 Отображение претерпевает бифуркацию:

неподвижная точка x*1 становится неустойчивой, и

вместо нее появляется

двукратный цикл.

r = 3.43, x0=0.7

xn+1 = r xn(1 - xn)

3) 3 < r ≤ 1+√6≈3.45 Отображение претерпевает бифуркацию:

неподвижная точка x*1 становится неустойчивой, и

вместо нее появляется

двукратный цикл.

r = 3.43, x0=0.7

xn+1 = r xn(1 - xn)

4)При переходе параметра r через значение 1+√6≈3.45, 2-кратный цикл

становится 4-кратным, и т.д.

xn+1 = r xn(1 - xn)

4)При переходе параметра r через значение 1+√6≈3.45, 2-кратный цикл

становится 4-кратным, и т.д.

xn+1 = r xn(1 - xn)

Например, при конечном

значении r = 4в системе имеются

неустойчивые циклы всех возможных

порядков

5) При r = r∞ ≈ 3.5699456… возникает устойчивыйцикл бесконечного (?!) порядка, при r∞ < r ≤ 4 отображение в основном ведет себя хаотически.

xn+1 = r xn(1 - xn)

Бифуркационная диаграммаБифуркационная диаграмма – это зависимость положения устойчивых

состояний x (либо неподвижных точек, либо точек циклов) от значения

параметра r.При переходе параметра через критические значения

r2, r3, … , r∞, …, rконечноепроисходят бифуркации

"удвоения периода"

Нажми меня (Program!) →

Бифуркационная диаграмма

r1 r2 r3r∞

Бифуркационная диаграмма:

«окна» с устойчи-

выми циклами

Универсальное число Фейгенбаума

lim m m

r rr r

δ −

→∞+

δ = 4,669201609…

xn+1 = r xn(1 - xn2)

1) 0 < r ≤1. отображение

имеет единственную неподвижную точку x* = 0,

которая является

устойчивой.

r = 0.5, x0=0.2

xn+1 = r xn(1 - xn2)

2) 1 < r ≤ 1.998... точка x*1 = 0

теряет устойчивость, появляется

новая устойчиваяточка x*2

r = 1.8, x0=0.55

xn+1 = r xn(1 - xn2)

3) 1.99... < r ≤2.235... происходит бифуркация

удвоения периода, появляется 2-кратный цикл

r = 2.2, x0=0.2

xn+1 = r xn(1 - xn2)

3) 1.99... < r ≤2.235... происходит бифуркация

удвоения периода, появляется 2-кратный цикл

r = 2.2, x0=0.2

xn+1 = r xn(1 - xn2)

4) Дальнейшее увеличение r ведет к каскаду бифуркаций удвоения периода

xn+1 = r xn(1 - xn2)

4) Дальнейшее увеличение r ведет к каскаду бифуркаций удвоения периода

xn+1 = r xn(1 – xn2)

Например, при r =2.59

в системе имеются

неустойчивые циклы всех возможных периодов

5)При r∞ < r ≤ 2.5980... отображение для боль-шинства значений r ведет себя хаотически.

Бифуркационные значения параметра r

2-кратный цикл r = 1.998… 4-кратный цикл r = 2.2355...

8-кратный цикл r = 2.28825...16-кратный цикл r = 2.29925…32-кратный цикл r = 2.3017…

64-кратный цикл r = 2.302225…128-кратный цикл r = 2.3022276...256-кратный цикл r = 2.3022282...

r конечное ≈ 2.59807612

Выводыуниверсальность свойств при анализе квадратичного и

кубического точечных отображений (Pascal, MatLab, PowerPoint...)

наличие критического значения управляющего параметра: при r∞ < rконечное, выполнение соотношения Фейгенбаума с универсальной константой δ;

самоподобие диаграмм при последовательном изменении масштаба, т.е. качественное воспроизведение ветвистой структуры диаграммы на все более мелких масштабах r. Это яркий пример фрактальности этих структур;

появление внутри "хаоса" областей с устойчивыми циклами различного порядка.

Литература[1] Шустер Г. "Детерминированный хаос", Москва "Наука",

[2] Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. "Введение в синергетику", Москва "Наука", 1990.

[3] Анищенко В.С. "Сложные колебания в простых системах", Москва "Наука", 1990.

[4] Анищенко В.С. "Устойчивость, бифуркации, катастрофы", Соросовский образовательный журнал, с. 10-19, 2000.

[5] Фейгенбаум М. Успехи физических наук, т. 141, с. 343-374, 1983.

[6] Петерс Е. "Хаос и порядок на рынке капитала", Москва ТВП "Научное издательство", 1997.

Ю.Н. Прошин, С.К. Сайкин, Р.Г....

Documents

Андрей Прошин business development...

Лапыгин Ю.Н. Сборник...

Труды Ю.Н. Рериха · 2020. 11. 13. ·...

Гурвич М.М., Лященко Ю.Н. -...

Рерих Ю.Н. - Тибет и Центральная...

Как подготовить -...

Лапыгин Ю.Н. - Системное решение...

Решебник (ГДЗ) по алгебре за 8...

Есин Ю.Н. Тайна богов древней...

ЕГЭ 2014 русский язык. Типовые...

казанов ю.н., оао мытищинская...

Белоножкин Ю.Н. Оптимизация...

Артеменко Ю.Н. - mysql Руководство...

Рерих Ю.Н. Тибетская живопись. ИД...

matlab: решение дифференциальных...

черниенко ю.н. рабочая программа...

гдз. алгебра. 7кл. уч. макарычева...

Тесты по алгебре. 8 класс. К...

домашняя работа к уч. алгебра 8кл....

Численное решение алгоритмы...