Урок 8. Введение в редукцию графов

1Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 5. Системы исполнения функциональных программ.

Глава 5. Системы исполнения функциональных программ5.3. Функциональные модели последовательных процессов

Рассмотрим простой язык императивного программирования без функций, переходов и сложных структур данных.

Выражения: Целые числа: 12 25 0

Простые переменные целого типа: x myInt

Унарные и бинарные операции с целыми результатами: (x+12) * (y-1)

Логические константы и выражения (но не переменные): not (x < 5)

Операторы:

Присваивание: x := x+1

Последовательное исполнение: begin s1; s2; ... end

Условный оператор: if b then s1 else s2

Пустой оператор: skip

Оператор цикла: while b do s

Программа начинает работу в состоянии, заданном совокупностью значений переменных(например, заданных оператором ввода данных), а результат программы – конечное состояние(например, выведенное в конце работы оператором вывода).

2Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 5. Системы исполнения функциональных программ.

Рассмотрим программу вычисления факториала.

Пример программы.

begin f := 1; while n > 1 do begin f := f * n; n := n – 1 endend

В начальном состоянии существенно только значение переменной n; в конце работы результат определяется значением переменной f.

Прежде всего, переведем программу в вид, удобный для обработки.

data Expression = { представление выражений }data Operator = { представление операторов }data Context = { представление контекста переменных }

Два способа обработки и исполнения программы:

Интерпретация: interpret :: Operator -> Context -> Context Компиляция: compile :: Operator -> (Context -> Context)

На самом деле оба способа представлены одной и той же карринговой функцией!

3Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 5. Системы исполнения функциональных программ.

Представление выражений и программ.

data Expression = Integral Int | Logical Bool | Variable String | Unary String Expression | Binary Expression String Expression

data Operator = Skip | Assignment String Expression | Sequence [Operator] | If Expression Operator Operator | While Expression Operator

type Context = [(String, Expression)]

interpret :: Operator -> Context -> Contexteval :: Expression -> Context -> Expression

eval v@(Integral n) _ = veval v@(Logical b) _ = veval (Variable x) ctx = assoc x ctxeval (Unary op ex) ctx = intrinsic op [eval ex ctx]eval (Binary e1 op e2) ctx = intrinsic op [eval e1 ctx, eval e2 ctx]

intrinsic "+" [(Integral a), (Integral b)] = Integral (a+b)intrinsic "-" [(Integral a)] = Integral (-a)intrinsic "and" [(Logical a), (Logical b)] = Logical (a && b)

intrinsic :: String -> [Expression] -> Expression

4Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 5. Системы исполнения функциональных программ.

Исполнение операторов.

replace :: String -> Expression -> Context -> Context

replace x val = map (\(y,v) -> (y,if x == y then val else v))

replace "f" (Integral 20) [("n", (Integral 4)), ("f", (Integral 5))]

Например:

даст в результате [("n", (Integral 4)), ("f", (Integral 20))]

interpret :: Operator -> Context -> Context

interpret Skip ctx = ctxinterpret (Assignment x expr) ctx = replace x (eval expr ctx) ctxinterpret (Sequence []) ctx = ctxinterpret (Sequence (s:seq)) ctx = interpret (Sequence seq) (interpret s ctx)interpret (If expr s1 s2) ctx = case (eval expr ctx) of (Logical True) -> interpret s1 ctx (Logical False) -> interpret s2 ctxinterpret oper@(While expr s) ctx = case (eval expr ctx) of (Logical True) -> interpret oper (interpret s ctx) (Logical False) -> ctx

5Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 5. Системы исполнения функциональных программ.

Пример компиляции и исполнения программы

begin f := 1; while n > 1 do begin f := f * n; n := n – 1 endend

program = Sequence [(Assignment "f" (Integral 1)), (While (Binary (Variable "n") ">" (Integral 1)) (Sequence [(Assignment "f" (Binary (Variable "f") "*" (Variable "n"))), (Assignment "n" (Binary (Variable "n") "-" (Integral 1)))])) ]

compile program - функция преобразования контекстов

interpret program [("f", (Integral 0)), ("n", (Integral 3))]

[("f", (Integral 6)), ("n", (Integral 0))]

6Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 6. Введение в редукцию графов.

Глава 6. Введение в редукцию графов6.1. Представление лямбда-выражений в виде графов

Будем исходить из представления программ в виде структур данных расширенного лямбда-исчисления. Наша основная задача – корректно представить концепцию разделения переменных.

Константа c. c

Примитивная функция f. f

Лямбда-выражение λx.E.λ

x E

Применение функции E1 E2.@

E1 E2

Применение конструктора C x y z.C

x zy

7Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Особенности представления некоторых типов выражений.

Представление лямбда-выражений в виде графов (продолжение).

Глава 6. Введение в редукцию графов.

Частичное применений примитивных функций и конструкторов.

1+2 + 1 2 + 1

@

+ 1

@

2

@

+ 1

1 : lst : 1 lst

:

1 lst

: 1

@

: 1

или :

1 t

λ

t

8Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Представление лямбда-выражений в виде графов (продолжение).

Глава 6. Введение в редукцию графов.

Блоки let x = E1 in E2 и letrec x1 = E1;... xk = Ek in E.

let x = E1 in E2 (λx.E2) E1

E2

λ

x

@

E1

letrec x1 = E1;... xk = Ek in E – моделируется с помощью циклических графов.

9Кубенский А.А. Функциональное программирование.

let twice = λf.λx.f (f x) in twice (λx.+ x 1) 2

Пример представления выражения в виде графа.

Глава 6. Введение в редукцию графов.

(λf.λx.f (f x)) (λx.+ x 1) 2

2

λ

x

λ

f

f

@

x

@

f

λ

@

@

x @

@

+ x

1

10Кубенский А.А. Функциональное программирование.

• Нахождение самого левого из самых внешних редексов: проход по «левому гребню» графа.

Правила редукции графов.

Глава 6. Введение в редукцию графов.

2

x

x

@

succ

λ

@

• Копирование тела лямбда-выражения.

x

@

succ

• Подстановка аргумента вместо свободных вхождений переменной лямбда-выражения в тело.

• Замещение в дереве @-узла результатом «вычислений».

Некоторые особенности этой процедуры:• Тело лямбда-выражения копируется, чтобы его можно было переиспользовать; «мусор»

удаляется• Подстановка аргументов производится с помощью установки ссылок; тем самым

производится эффективное разделение переменных• Результат редукции замещает редуцируемое выражение, тем самым все ссылки на этот

результат будут иметь новое значение

11Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Пример редукции графов.

Глава 6. Введение в редукцию графов.

(λf.λx.f (f x)) (λx.+ x 1) 2

2

λ

x

λ

f

f

@

x

@

f

λ

@

@

x @

@

+ x

1

12Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Глава 6. Введение в редукцию графов.

2

λ

@

@

x @

@

+ x

1

Пример редукции графов.

(λf.λx.f (f x)) (λx.+ x 1) 2

@

@

+

1

3

4

13Кубенский А.А. Функциональное программирование.

δ-редукция в графовом представлении

Глава 6. Введение в редукцию графов.

Если при проходе по левому гребню находим константу, то это – примитивная функция

2+

@

3

@

- сначала выполняем редукцию всех строгих аргументов;- потом формируем результат в соответствии с правилами этой примитивной функции;- результат замещает собой корень редекса.

@

@

*

612

14Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Общий алгоритм редукции графов (пока без учета рекурсии)

Глава 6. Введение в редукцию графов.

while (выражение не находится в СЗНФ) { спуск от корня по левому гребню до первой вершины, отличной от @-вершины; switch (тип вершины) { case (примитивная функция): if (число аргументов k > числа пройденных @-вершин) выражение находится в СЗНФ; else { редуцировать все строгие аргументы; сформировать результат согласно правилам примитивной функции; заменить k-ю @-вершину этим результатом; } break; case (λ-вершина): if (выше нет @-вершин) выражение находится в СЗНФ; else { создать копию тела с подстановкой (разделяемого) аргумента вместо свободных вхождений переменной λ-выражения; подставить результат вместо вершины редекса (первая @-вершина вверх по гребню); } break; default: // константа-значение или конструктор if (выше нет @-вершин) выражение находится в СЗНФ; else ошибка типа ! break; }}

15Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Использование вершин-синонимов

Глава 6. Введение в редукцию графов.

При выполнении редукций есть одна проблема, связанная с копированием: в теле функциипеременная может быть в корне. Тогда вместо подстановки ссылки на аргумент придется делатькопию вершины, представляющей аргумент.

+

@

λ@

x

1

2

x

@

x@

Можно вместо копирования вершины создавать «вершину-синоним» - «прозрачную» по ссылкам.

Θ

При прохождении вершины-синонима можно оптимизировать их количество, убирать двойные синонимы, заменять ссылки на синоним ссылками на саму вершину.

16Кубенский А.А. Функциональное программирование.

Использование вершин-синонимов (продолжение)

Глава 6. Введение в редукцию графов.

Аналогичная проблема возникает при применении примитивных функций-селекторов, которыене преобразуют, а просто выдают аргумент или его часть (например, head или tail).

head

head

@

@

:

:

1 nil

nil

head (cons (head (cons 1 nil)) nil)

Θ

Θ