Функции. Теория пределов

Функции. Теория Функции. Теория пределов.пределов.

ПланПланI. Величины постоянные и переменныеII. Понятие функции:

1. определение функции2. область определения, значения3. сложная функция4. способы задания функции

III. Основные элементарные функции, их свойства, графики

IV. Непрерывность функции. Предел функцииV. Бесконечно малые и бесконечно большие

величиныVI. Основные теоремы о пределахVII. Методы раскрытия неопределенностей

,

0

0

I. I. Величины постоянные и Величины постоянные и переменныепеременные

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, всевремя приходится иметь дело с величинами постоянными ивеличинами переменными.

Def1: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая

одно и то же значение.

Def2: Переменной величиной называется величина, которая может

принимать различные числовые значения.Обозначение: переменная величина: x, y, z, v, u… постоянная величина: a, b, c…

Def3: Множество всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины

Часто будем рассматривать случай, когда известна иобласть изменения Х, и порядок, в котором онапринимает свои числовые значения. В этом случае будемговорить об упорядоченной переменной величине.

# 1) числовая последовательность

2) Арифметическая и геометрическая прогрессииРассмотрим числовую бесконечную последовательность:

Def1: Если при , то говорят, что a – есть предел

переменной величины

Nn ,1

n n

x

Nn , nxxn axn

axxx nn n

lim 01

lim 1

#n

nn

xn

II. II. Понятие функцииПонятие функции1. 1. Определение функцииОпределение функции

Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны междусобой так, что значения одних величин полностью

определяютзначение других.

Пусть D и E – непустые числовые множества, а х и у – соответственно их элементы. Если каждому

ставитьсяв соответствии по некоторому закону только одно

значение , то говорят, что между переменными х и у

существуетфункциональная зависимость и называют х

независимойпеременной (v-аргументом), а у – зависимой

переменной (v-функцией)

Dx

Ey

Символическая запись функции: )( )( Dxxfy

Def: Областью определения D функции называется множество значений х, для которых функция определена (имеет смысл)

Def: Множеством значений Е функции называются все значения, которые принимает зависимая переменная

Функция f отображает множество D на множестве Е .

Для функций f и g, заданных на одном и том же множестве D,

можно определить их сумму, разность, произведение и частное.

Это новые функции:

Где в случае частного предполагается, что на D.

)( );(/)( );()( );()( );()( Dxxgxfxgxfxgxfxgxf 0)( xg

22. . Область определения, Область определения, значениязначения

Def: Если функция f отображаетмножество D на множестве E, а функция Fотображает множество E на множестве G,то функция z=F(f(x)) называется функциейот функций f и F (или сложной функцией).Она определена на множестве D иотображает D на G.

3. Сложная функция3. Сложная функция

4. Способы задания функции4. Способы задания функции Аналитический способ – это способ задания функций

припомощи формул. Например: у=2х; у=х+1; у=lgx.Если уравнение, с помощью которого задана функция, неразрешено относительно у, то функция называется

неявной.Например: 2х+3у-5=0 – уравнение неявно задающее

функцию.у=(5-2х)/3

Функция задана не одной, а несколькими переменными.

Например:

0 если ,

0 если ,2

2

xx

xxy

Табличный способ – это способ задания функции при

помощи таблицы. Примерами такого задания являются таблицы

логарифмов и т.п.

Недостатком табличного способа является то, что функция

задается не для всех значений аргумента.

Графический способ – это способ задания функции при

помощи графика. Графиком функции у=f(x) называется

множество точек (х; у) плоскости (Х0У) координаты которых

связаны соотношением у=f(x). Само равенство у=f(x) называется

Уравнением это графика

III. III. Основные элементарные Основные элементарные функции, их свойства, функции, их свойства, графикиграфики

1. Целая рациональная функция Многочлен вида y=a0+a1x+a2х2+…amxm -целая рациональная

функция. Пример: y=kx+b – линейная функция. Её график – прямая линия. При b=0 линейная функция y=kx выражает прямо пропорциональную зависимость у от х.

2. Дробно-рациональная функция Эта функция определяется как отношение двух многочленов:

Пример: у=k/x – обратно

пропорциональная зависимость между х и у. Её график – равносторонняя гипербола. 3. Степенная функция y=xa, где

Пример1 : Пример2 :

nn

mm

xbxbb

xaxaay

...

...

10

10

Rа2axy xy

4. Показательная функция y=aх, а>0 и а≠1

5. Логарифмическая функция y=logax, а>0 и

а≠0

6. Тригонометрические функции y=cosx; y=sinx; y=tgx; y=ctgx

Переменная x обычно выражается в радианах.

7. Обратные тригонометрические функци y=arсsin x; -π/2≤у≤π/2, -1≤х≤1; y=arсcos x |х|

≤1, 0≤у≤π; y=arсtg x |у|< π/2; y=arсctg x 0<y< π

Def: Окрестностью данной точки Х0 называетсяпроизвольный интервал (a; b), содержащийвнутри себя эту точку.

Часто рассматривают - окрестность точки Х0,

когда эта точка является центром окрестности.

В этом случае число называется радиусомокрестности ;; 00 XX

IV.IV. Непрерывность и предел Непрерывность и предел функциифункции

Предел функцииПредел функцииПонятие предела является одним из важнейших понятий, лежащих воснове математического анализа. Каждая операция

математическогоанализа связана с соответствующим предельным переходом.

Def: Число А называется Число А называется пределомпределом функции функции y=f(x)y=f(x) при стремлении х к а при стремлении х к а(или в точке а), если для любого числа (или в точке а), если для любого числа εε>0>0 существует такое число существует такое число δδ= = δδ((εε) ) >0>0, что для всех х, удовлетворяющих условию , что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|0<|хх-a|< -a|< δδ, , имеет место неравенство имеет место неравенство |f(x)|f(x)-А-А|<|< εε

Обозначается это так: Обозначается это так: или или f(x)f(x)→→A A припри x x →→aa

Другими словами, число А есть предел функции f(x) вточке х=а, если длявсех х, достаточно близких к числу а и отличных от него, соответствующиеим значения функции f(x) оказываются сколь угодно близкими к числу А(естественно, в тех точках х, в которых функция f(x) определена).

Axfax

)(lim

Непрерывность функцииНепрерывность функции

Если при постепенном изменении аргумента функция такжеизменяется постепенно, то говорят, что функция непрерывна.При этом малому изменению аргумента соответствует малоеизменение функции. Дадим строгое определение:

Def: Функция f(x) называется непрерывной в точке хнепрерывной в точке х00, если она

определена в некоторой окрестности этой точки (включаясаму эту точку) и предел функции в точке х0 существует и

равен значению функции в самой этой точке, т.е.

)()(lim 00

xfAxfxx

Def: Функция называется бесконечно малой при x→a, если

Def: Функция называется бесконечно большой при x→a, если

V.V. Бесконечно малые и Бесконечно малые и бесконечно большие бесконечно большие величинывеличины

)(х

)(х

0)(lim

xax

)(lim xax

VI.VI. Основные теоремы о Основные теоремы о пределахпределах

Теорема 1: Для того, чтобы число А было пределомфункции f(x) при , необходимо и достаточно,чтобы эта функция была представлена в виде , где - бесконечно малая.

ax

)()( xAxf )(xСледствие 1: Функция не может в одной точке иметь 2 различных предела.

Теорема 2: Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3: Если функция для всех x в некоторой

окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a, и в точке

a имеет предел , то

)0)((0)( xfxf

0)(lim 0)(lim

xfxfaxax

Основные теоремы о пределахОсновные теоремы о пределах

axТеорема 4: Если функция f1(x) и f2(x) имеют приделы при

,то при , имеет пределы также их сумма f1(x)+f2(x), произведение f1(x)·f2(x), и при условии частноеf1(x)/f2(x), причем

ax

0)(lim 2 xf

),(lim)(lim))()((lim 2121 xfxfxfxfaxaxax

),(lim)(lim))()((lim 2121 xfxfxfxf

axaxax

).(lim/)(lim)(

)(lim 21

2

1 xfxfxf

xfaxaxax

Следствие 2: Если функция f(x) имеет предел при , то ax

n

ax

n

axxfxf ))((lim))((lim

Следствие 3: Постоянный множитель можно выносить за

где n – натуральное число.

знак предела const - C ,)(lim)(lim xfCxCfaxax

VII.VII. Методы раскрытия Методы раскрытия неопределенностейнеопределенностей

1. Неопределенность вида

Методы: 1. Разложение числителя и знаменателя

на множители с последующим сокращением.

2. Устранение иррациональных разностей. Домножение на сопряженное.

3. Первый замечательный предел.

0

0

1sin

lim0

2. Неопределенность вида

Метод: Деление на наибольшую степень

Th: Предел отношения двух многочленов (при условии, что аргумент стремится к ∞) равен

пределуотношения их старших членов.

0b и 0a Здесь

n)(m

n)(m

n)(m 0

lim...

...lim

00

0

0

0

01

10

110

b

a

xb

xa

bxbxb

axaxan

m

xn

nnm

mm

x

Примеры:Примеры:

1

23lim

3

1

x

xxx x

xx 14sin

7sinlim

0

nn

nnn 2

13lim

4

3

11

11lim

2

0

x

xxx