第四节 积分的换元法
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本课件由王科制作开发
第四节 积分的换元法
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
本课件由王科制作开发
在第二节已经看到不定积分的运算与求导
)()]([))](([d
d '' xxFxFx
一、不定积分的换元法
运算是互逆的,回顾复合函数的求导法则:
由原函数与不定积分的定义,从 (1) 式有 CxFxxxF )]([d)()]([ ''
如果设 ),(),()(' xuufuF 则 )]([)]([' xfxF
由此得到不定积分的第一换元法.
本课件由王科制作开发
定理 1 设
可导,则 )(
' |d)(()]([d)()]([ xuuufCxFxxxf
注 (1) 上式求不定积分可按以下步骤进行
CuFuuf )(d)( )(xu ,
xxxfxxg d)()]([__________
d)( '恒等变形
)(d)]([________
xxf 凑积分 )(]d)([
_________xuuuf 换元
CuF xu )(|)(_______
积分 CxF )]([________
回代
本课件由王科制作开发
(2) 在凑微分时,要考虑不定积分 uuf d)(
可求 .
(3) 设 CuFuuf )(d)(
公式, CxFxxfxxxf )]([)(d)]([d)()]([ '
了基本积分公式的使用范围.
表明了基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数,公式仍成立,这就大大扩充
是某一个基本积分
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例 1 求 xxx d4 2.
解 )4(d42
1d4 222 xxxxx 因为
所以令 24 xu ,则
uuxxx d2
1d4 2
12
Cu 2
3
3
2
2
1
Cx 2
32 )4(
3
1
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例 2 求 xxd3sin .
解 )3(d3sin3
1d3sin xxxx
Cx 3cos3
1
例 3 求 )tan1(cos
d2 xx
x.
解
x
x
xx
x
tan1
tand
)tan1(cos
d2
x
x
tan1
)tan1(d
Cx |tan1|ln
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例 4 求 )ln32(
d
xx
x.
解
x
x
xx
x
ln32
)ln32(d
3
1
)ln32(
d
Cx |ln32|ln3
1
以上几例都是直接用凑微分求积分的,
这里熟悉一些“凑微分”是非常有用的 .
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下面介绍几个凑微分的等式供参考,
);(d1
d baxa
x
以下 a,b 为常数, a≠0 .
);(d2
1)(d
2
1d 22 bax
axxx
);ln(d1d
bxaax
x
);(2
)(2 bxada
xdx
dx
);1
(dd
2 xx
x
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);(dd xx exe );(sinddcos xxx
);(cosddsin xxx );(tanddsec2 xxx
;secddtansec xxxx
)(arcsind1
d2
xx
x
)(arctand1
d2
xx
x
等等.
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例 5 求 xxdsec4 .
解 )(tandsecdsec 24 xxxx
)(tand)1(tan2 xx
Cxx tantan3
1 3
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xxxxxxx dsin2
1d5sin
2
1d2cos3sin
Cxx cos2
15cos
10
1
例 6 求 . 解
xxx d2cos3sin
可转化成与例 3 类似的积分.
此题不能像前面的例题那样直接凑微分,由积化和差公式, sin3xcos2x=(sin5x+sinx) ,
类似的可求∫ sin mx cos nxdx,
∫sin mx sin nxdx 的积分 .
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例 7 求 xxd3sin 2 . 解 xx d)6cos1(
2
1
例 8 求 xxdsin3.
解 xxxxxxx cosd)1(cosdsinsindsin 223
xxxx cosd)1(cosdsin 23
xxd3sin 2
Cxx
6sin12
1
2
由于被积函数 x3sin 是奇次幂,
于是 313cos cosx x C
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例 9 证明
Ca
x
xa
xarcsin
d22
证
2
22
)(1
)(dd
ax
ax
xa
x
(a>0) .
Ca
xarcsin
例 10 求 )2(
d
xx
x.
解 被积函数是一个真分式的有理函数,
可用简化分母的方法求解,即把 )2(
1
xx拆成 2
x
b
x
a的形式,确定 a,b 的值,
然后逐项积分.
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因为 )2
11(
2
1
)2(
1
xxxx
所以
2
d
2
1d
2
1
)2(
d
x
x
x
x
xx
x
2
)2(d
2
1ln
2
1
x
xx
Cxx 2ln2
1ln
2
1
Cx
x
2ln
2
1
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例 11 证明
解 因为 4x-1=2(2x-1)+1 ,所以
xx
xd
)12(
14100 .
10099100 )12(
d
)12(
d2d
)12(
14
x
x
x
xx
x
x
Cxx
9998 )12(
1
198
1
)12(
1
98
1
10099 )12(
)12(d
2
1
)12(
)12(d
x
x
x
x
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以上用不定积分的第一换元法求解了一些
22
d
ax
x例题,但有些不定积分,如 (a≠0),
下面通过代换 x=φ(t) ,即第二换元法来求解.
31
d
x
x等,就难以用凑微分的方法来积分,
关于不定积分的第二换元法有 函数定理 2
)(
'1]d)()]([[d)(
xttttfxxf
又函数,0)( t
有原函数,则 )()]([ ttf 有连续的导数且)(tx
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对第二换元法在使用上式时,通过变换 x=ψ(t) 化成 t 为积分变量的积分,最后一定要把 t 代回为 x .下面主要介绍使根式有理化的方法.
222222 ,, axaxxa
首先介绍三角代换.当被积函数含有二次根式直接用基本积分公式或凑微分 ( 如例 1) 的题目
(a>0) 时,除可以
外,可分别令 x=asin t , x=atan t , x=asec t
等代换化去根式,下面举例说明.
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例 12 求
解 由三角公式 xxa d22
. 1cossin 22 tt
ta costaaxa 22222 sin
令 x=asin t )22
(
t 则
ta cosdx=acos tdt ,于是
,
ttaxxa dcosd 2222
tta
d)2cos1(2
2
Ctta
)2sin2
1(
2
2
.)cossin(2
2
Cttta
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为了把最后一式还原为 x 的表达式,可以根据
22
t 、 a
xt sin
由于它们的表达式在一、四象限内相同,因此求 t 的其它三角函数值,
可利用 t 是锐角时作辅助直角三角形 ( 如下图 )
来求,有
a
xat
a
xt
22
cos,arcsin
Cxax
a
xaxxa 22
222
2arcsin
2d
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例 13 求
解 由三角公式
22
d
ax
x(a>0) .
tt 22 sec1tan
令 )22
(tan
ttax
则 ttaxtaax dsecd,sec 222
于是
t
ta
ta
ax
xd
sec
secd 2
22
ttdsec1tansecln Ctt
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根据 ,tan ta
x 作辅助直角三角形(如图)
有 a
axt
22
sec
,
1
22
22ln
dC
a
axx
ax
x
Caxx 22ln(
其中 aCC ln1
因此
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例 14 求
解 由于被积函数含有
.d1
xx
x
,1,1 txx 令
则 ,2,12 tdtdxtx 于是
tt
tx
x
xd
1
2d
12
2
tt
td
1
1)1(2
2
2
Cxx )1arctan1(2
Ctt )arctan(2
tt
d)1
11(2
2
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例 15 求
解 为了同时化去根式
.d
3 xx
x
,63 txxx ,令和
则 ,d6d, 56 ttxtx
ttt
t
xx
xd
6d23
5
3
于是
tt
td
16
3
t
t
td
1
1)1(6
3
tt
tt d)1
11(6 2
3 6 62 3 6 6 ln( 1)x x x x C
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例 16 求
解 为了使根式有理化,令
xx
x
xd
11
,d)1(
2d,
1
1222
tt
tx
tx
(x>0) .
于是
t
t
tx
x
x
xd
12d
112
2
,1
tx
x
则
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tt
d)1
11(2
2
Ct
tt
1
1ln2
2
2
( 1)2 ln
1
tt C
t
Cxx
x
x
x
ln)1
1ln(2
12
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定积分 定理 3
二、定积分的换元法
tttfxxfb
a d)()]([,d)( ' ,
(1) 函数 满足:
)(t 在 [α,β]( 或 [β,α]) 上有连续
的导数,
(2) 函数 f(x) 在
ba )(,)(
)(t 的值域上连续,则
tttfxxfb
a d)()]([d)( '
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证:由假设可知,上式两边的被积函数都在相应的积分区间上连续,因此都存在原函数.设 F(x) 是 f(x) 的一个原函数,由牛顿—
)()(d)( aFbFxxfba
设 )],([)( tFt
)()]([)()]([)( '''' ttfttFt 则
因此 Φ(t) 是 )()]([ ' ttf 的一个原函数 .
莱布尼茨公式
从而 ba tttfxxf d)()]([d)( '
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注: (1) “ 换元同时换限”,通过关系式 )(tx
上 ( 下 ) 限对应上 ( 下 ) 限,下限不一定小于上限.为了书写简便,换限可表示成:原积分变量 :下限→上限,有新积分变量 :下限→上限。 (2) 换元后,无需像不定积分那样,回代到原积分变量,只要对新积分变量直接用牛顿
—莱布尼茨公式.
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例 17 求解 由于 (cos t)′=-sin t ,因此可用 sin tdt
20
3 dsincos
ttt 的值.
,2
0:
t
凑微分.令 cos t=x ,则 dx=-sin tdt , 有 ;01: x 于是
0
13
20
3 ddsincos xxttt
10
3dxx
]4
[ 10
4x
4
1
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例 18 计算解
7
13 21 2 tt .
7
123
127
1-3 2 )1(d)1(dt1 2 tttt
71
3
42 ])1[(
4
3 t )28(
2
3 3
例 19 计算
,sincoscoscos 3 xxxx
xxx dcoscos2
2
3
解 由于
]22
[sin
,在 x 上可正可负,于是
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2
2
2
2
3 dsincosdcoscos
xxxxxx
20
0
2
dsincosd)sin(cos
xxxxxx
20
2
10
2
2
1
cosd)(coscosd)(cos
xxxx
20
2
30
2
2
3
][cos3
2][cos
3
2
xx
3
4
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例 20 设函数 f(x) 在闭区间 [-a,a] 上连续,
证:
aa xxf 0d)(证明: (1)f(x) 为奇函数时,
(2)f(x) 为偶函数时,
aa
a xxfxxf 0 d)(2d)(
aa a
a xxfxxfxxf 00 d)(d)(d)(
对 0 d)(a xxf ,令 x=-t ,
则 dx=-dt , x: -a→0 有 t: a→0 ,于是
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从而
0 0 )d)((d)(a a ttfxxf
a ttf0 d)(
a xxf0 d)(
aa
a a xxfxxfxxf 0 0 d)(d)(d)(
a xxfxf0 d)]()([
(1) 若 f(x) 为奇函数,有 f(-x)+f(x)=0 ,所以
aa xxf 0d)(
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(2) 若 f(x) 为偶函数,有 f(-x)+f(x)=2f(x) ,所以
aa
a xxfxxf 0 d)(2d)(
该题的几何意义是明显的,如下图所示.
(a) (b)
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利用上例可简化奇偶函数在 [-a,a] 上的
xx 3coscos
2
2
20
33 dcoscos2dcoscos
xxxxxx
定积分计算.如上例中的被积函数 于是
是偶函数,
20
2
1
dsin)(cos2
xxx 20
2
1
cosd)(cos2
xx
20
2
3
][cos3
22
x3
4
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例 21 计算(1)
解 (1) 由于
4
42
3
dcos
1
xx
x
x
x
x 2
3
2 cos,
cos
1
4
4
4
4
4
42
3
22
3
dcoscos
dd
cos
1
xx
x
x
xx
x
x
11
2 d)2( xxx
分别是 ]4
,4
[
上的偶函数、奇函数,于是由例 20 有
40 2cos
d2
x
x 40][tan2
x 2
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(2) 由于 x2|x| 是 [-1,1] 上的偶函数,由例 20 有 11
10
32 d2d xxxxx
10
4 ][4
12 x 2
例 22 设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续,证明
20
20 d)(cosd)(sin
xxfxxf
证 由于 sin x 与 cos x 互为余函数,令 tx
2
,则 dx=-dt
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02
:,2
0:
tx 有 ,于是
20
0
2
)d)](2
[sin(d)(sin
ttfxxf
20 d)(cos
ttf
20 d)(cos
xxf
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例 23 设 f(x) 是以 T 为周期的连续函数,对
Taa
T xxfxxf 0 d)(d)(证 由于 Taa a
T TaT xxfxxfxxfxxf 0
0 d)(d)(d)(d)(
任意的常数 a ,则
对最后一个积分,令 x-T=u ,则 dx=du ,x:T→a+T ,有 u:0→a ;于是 TaT
a uTufxxf 0 d)(d)( a uuf0 d)( 0 d)(a xxf
因此 Taa
T xxfxxf 0 d)(d)(
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例 24 设函数
解 令 x-2=t ,则 dx=dt , x : 1→3 ,有 t : -1→1 ;
,0,1
,0,)(
2
xx
xxexf
x
11
31 d)(d)2( ttfxxf
10
01
2
][2
1]
2[
2tet
t
求 31 d)2( xxf
于是
0
110 dd)1(
2
ttett t
)1(2
1)
2
11( 1 e
e2
12
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例 25 求 解一 因被积函数是偶函数,所以
22
2 d4 xx
22
20
22 d42d4 xxxx
2
.
20
222
2 ]422
arcsin2
4[2d4 x
xxxx
由例 12 ,
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解二 24 xy
2 22
22 22
1d4 xx
(-2≤x≤2) 是以原点为圆心、2 为半径的上半圆周,由定积分的几何意义,有
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例 26 求 解 令 x=sin t ,则 dx=cos tdt; 定限时由于 t 的
xx
xd
11
2
2
2
的值 .
24:,1
2
2:
tx 有
2
4
21
2
2
2
dsin
cosd
1
tt
tx
x
x
取值不唯一,通常在原点邻近的单调
区间内取值, ,于是
2
4
d)sin(csc
ttt
2
4
]coscotcsc[ln
ttt .2
2)12ln(
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