第二章原子的能级和辐射

内容提要：1 、光谱 2 、氢原子光谱的一般情况 3 、玻尔氢原子模型目的要求：1 、掌握氢原子光谱规律及玻尔基本假设2 、了解研究原子结构的光谱研究方法

重点难点：1 、氢原子光谱规律 2 、玻尔理论的提出。

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光谱光谱————研究原子结构的重要途径之一研究原子结构的重要途径之一

第二章原子的能级和辐射第二章原子的能级和辐射

研究原子物理的两种方法是碰撞和光谱下面我们来学习得用光谱对原子作进一步的了解。牛顿在 1666 年观察到，通过小孔的太阳光在透过棱镜时其后面形成一条彩色带。他称这条彩色带为太阳光的光谱。电磁辐射的强度按频率 ( 或波长 ) 分布的记录称为光谱。用光谱仪可以把光按波长展开，把不同成分的强度记录下来，或把按波长展开后的光谱摄成相片．后一种光谱仪称为摄谱仪．

光谱的类别：（ 1 ）连续光谱（多为固体发光）：太阳光、白炽灯等光源发出的光具有各种波长，光强随频率的变化是连续的，当这种光通过分光元件形成的光谱就是连续光谱。

（ 2 ）带状光谱（分子发光）：有些光源发的光形成的光谱是由许多片连续的光谱带组成的。（ 3 ）线光谱（原子发光）：由一条条细线组成，这表明

这种光源发出的光只含有某一些频率（波长）成份，其中每一条谱线代表一种波长，谱线间的间距代表波长差。

发射光谱与吸收光谱：直接对光源进行观测得到的光谱叫发射光谱还有一种观察光谱的方法叫做吸收，就是将发出连续光谱的光通过要研究的物质，再观测其光谱，原本连续的某些地方会变得不连续，也就是说某些频率的光会被研究物质吸收掉。 19 世纪时人们已经积累了丰富的关于光谱的知识，基尔霍夫和本生提出，太阳光谱中的许多暗线( 从比较精密的光谱仪才能观测到 ) 是太阳外表较低温度大气的吸收谱线。

这些暗线有的与地球上的一些元素的谱线相对应。通过这种方法人们得知太阳大气的化学组成情况：其中含量最丰富的元素是氢，其次是氦、氧、氮和碳及其他金属和非金属元素。按质量计，氢占 71% ，氦占 26.5% ，其他元素占 2.5% 。

目前已经确定存在于太阳大气的元素约有 69 种，它们在地球上都能找到。

光谱法是研究物质成份的主要方法，目前已是物理学及化学中的一门重要的分支学科。

氢原子光谱氢原子光谱

19 世纪 60 年代以后 , 光谱研究成为一大热门课题。人们在太阳光谱、合金光谱、氢光谱的测量上积累了大量的数据资料 , 同时很多物理学家都致力于对光谱特别是氢光谱规律的研究。

其中最明显也是最容易最早观察到的谱线分别是： α 线（红色， 6562埃）、 β 线（深绿色， 4860埃）、 γ 线（青色， 4340埃）、 δ （紫色， 4101埃）这几条谱线用很简单的分光仪器就能观测到。

巴尔末通过仔细分析这些谱线的波长，提出了当时测得的氢光谱线波长之间的规律。

B=3645.6埃，当 n趋于无穷大时，波长趋于 B ，称为线系限。

这就是所谓的巴尔末公式，从公式中可以看出，随着 n 的增大，波长减小向线系限靠近，并且谱线的间隔越来越小。

1896 年里德伯用波数表示发现公式变得更齐一些，得 n=3,4,5,…RH 称为里德伯常数，等于 1.0967758×107米 -1

随着研究的进一步进行，人们发现氢发出的光谱线有一些不能用以上公式表示，但都可用类似的公式表示出来，于是人们相继发现了其它几个线系分别是：

)()(~22222

赖曼系（紫外区）巴尔末系（可见光区）帕邢系（近红外区）布喇开系（红外区）普丰特系（远红外区）综合起来可将所有的氢原子光谱表示为其中 m=1,2,3…, 对每一个m， n=m+1,m+2,m+3… 构成一个线系。

若进一步用光谱项表示，则

结论：（ 1 ）氢原子光谱为线状谱。

（ 2 ）谱线间存在一定的关系。

（ 3 ）每一谱线都可表达成两个光谱项之差。

值得一提的是：这些光谱研究中得到的经验公式，并没有引起大多数物理学家的注意，似乎只是一些数字规律，并没有把原子光谱的这些规律和原子的内部结构联系起来，直到 1913 年丹麦物理学家玻尔从好友那得知巴尔末公式，才引起了他的注意。

后来有人问玻尔：你怎么会不知道巴尔末和里德伯公式呢？玻尔回答：当时大多数物理学家都认为，原子光谱太复杂，它决不会是基础物理的一部分。玻尔将他得知这一公式比作“七巧板中的最后一块”

玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论

α粒子散射实验证明了原子的核式结构，但其中并未考虑电子的情况，在此基础上，玻尔结合已有光谱资料在 1913 年发展了氢原子的理论。

1 、电子的运动及经典理论的困难

卢瑟福模型与太阳系有极大的相似之处：

它们都受 1／ r2力支配；体系总质量的 99． 9％都集中在中心 ( 原子核或太阳 ) ．

但是太阳系内的作用力是万有引力而原子内则是库仑力（大家可能自己算一下原子核与电子之间的静电力与万有引力的大小，分别约为原于核和电子将在相互间的静电作用下运动．原子内的大部分空间是空的，因此原子的大小一般指的就是最外层电子轨道的半径。

那么由什么决定外层电子轨道的大小呢 ?

考虑一个氢原子，电子带电荷 -e ，而原子核带电荷 +Ze( 对氢原于 Z＝ 1) 。

NN 478 1003.1103.2 和

已知原子核的质量远远大于电子质量，所以讨论它们的运动时，可以近似地看作只是电子绕原子核的运动，而不考虑原子核的运动。假定电子的速度足够小，可以在非相对论力学的范围内进行讨论。和力学中行星运动的解一样、电子的轨道是圆锥曲线，而圆周运动是最简单的形式，暂就以此来讨论。

电子作圆周运动受到的向心力为

电子动能为

r 是电子与原子核之间的距离， m 是电子的质量。原子总能量为电子的动能和体系的势能之和。因此，原子的总能量为

由上式可知电子绕原子核的轨道半径与原子的能量有关，轨道半径 r越大，能量越大 ( 它的绝对值越小，因为能量 E 是负数 )；而 r越小，则能量越小，原子中的电子束缚越紧。

由 E和 r 的对应关系，并不能确定电子轨道的大小，找不到理由能选出一个特定的轨道半径 r 。而每一种原子应有一个确定的大小，即有一确定的 r值。

另外，电子绕原子核旋转时，电子的运动是一种加速运动。根据经典电磁理论，带电粒子作加速运动时要发射电磁辐射，也就是原子会发射光。

由于电磁被带走了能量，电子的能量将逐渐减小。

显然．这是与实际观察的事实不符，事实表明原子的大小是稳定的，其大小约为 10-10m 的数量级。

经典理论认为，原子所发射光的频率应等于原子中电子运动的频率

由上式可知，电子绕核运动的半径期将逐渐缩小，电子最终将因不断损失能量而落到原子核上，整个原子塌缩成只有原子核那样大小。

30422 mrZe

由上段的讨论可知，随着原子能量的减小，电子运动的轨道半径 r 不断变小，因此频率 f 也将不断增大，且是连续变化的。因此原子发射的应是连续光谱。

但是实验观察到的原子光谱是一系列的线光谱，其谱线具有确定的分立的频率。

经典理论既不能说明氢原子有稳定的大小，也不能说明氢原子和光谱具有分立的线光谱。经典物理在原子的结构问题上遇到了难以克服的困难。

2 、玻尔假设丹麦物理学家玻尔 (N． Bohr) 在普朗克关于黑体辐射的量子论和爱因斯坦关于光子的概念（ 1905年提出）的启发下，他把量子概念应用到原子系统。

他认为尽管经典理论在解决各种宏观问题上取得了很大成就，但它不适用于发生在原子范围内的过程。在原子行星模型的基础上，即原子中电子在原子核库仑引力的作用下，在以原子核为中心的圆轨道上运动，其运动服从经典力学规律。

1913 年他提出了如下的假设：(1) 原子存在一系列具有确定能量的稳定状态，称为定态。玻尔注意到了原子发射波长分立的线光谱这一事实。也就是说原子发射出的光子具有分立的、确定的能量。由此，他假设原子的能量状态也是分立的，不连续的，可分别以 El， E2，…， Em，…， En ，表示这些能量。处于一定能量状态的原子是稳定的，即使电子绕原子核作加速运动也不发生电磁辐射，这就是玻尔的定态假设。

(2) 当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，原子的能量状态发生改变，这时原子才发射或吸收电磁辐射，所发射或吸收的电磁辐射的频率由下式决定

En和 Em 分别为跃迁前后原子的能量， h 为普朗克常数，其值为 6.62×10-34 J/S 。上式称为玻尔的频率法则。

通常用一条水平线表示一个能量状态。原子的辐射和吸收过程可以用右图表示。

能量最低的状态称为基态。通过这条假设，玻尔将原子的状态和原子光谱联系起来。

（ 3 ）角动量量子化玻尔假设原子中电子的轨道角动量是量子化的，它的值只能是的整数倍。一般也叫普朗克常数。

所以电子绕原子核作圆周运动的角动量的值为：

其中 n 为正整数，所以角动量只能有不连续的值。这称为玻尔量子条件。

,3,2,12/ n　nhmvr

3 、玻尔氢原子模型玻尔利用这三个假设和卢瑟福提出的核式模型结合在一起，推导出了氢原子的大小和能级。（ 1 ）氢原子的大小由和量子条件，可得

再代回量子条件求出

　nhmvr 2/

米其中 10

42 10529.022

nh aar

可见原子中的电子的运动速度和轨道都不是连续变化的，而是和正整数 n 有关。 n 称为主量子数。对于氢 Z=1 ，所以

如图给出不同 n值的氢原子的圆形轨道，根据前面的讨论知，电子在不同轨道上运动时，原子的能量不同。

,16,9,4, 1111 aaaar

（ 2 ）氢原子的定态能将电子轨道半径公式代入原子能量公式得

可见原子能量也只能取分立值，这称为能量的量子化。当 n=1 时，氢原子能量最小，称为基态，代入实验数据计算得，对 n≥2 的状态称为激发态（对其它原子，基态的主量子数 n 一般大于2 ）。

eVE 6.131

一般可用能级图来形象地表示原子量子化的能量值．在能级图上用一条横续表示原子可能有的一个能量值，称为一个能级。其高度是按能量大小成比例画出来的。能量随 n增加而迅速升高，其绝对值反比于 n2 。氢原子可以具有的能量分别为，,9/,4/, 111 EEE

由于我们是以静止电子在无限远处，即与原子核无相互作用时的能量力零点的，所以原子中电子的能量均是负值。

氢原子的能级如图所示：

由上面的讨论可知，量子数 n决定了原子的状态，即其大小和能量。

当时，电子已远离原子核，不再受到核电场束缚作用，成为一个自由电子，这时的原于处于电离状态，相应的势能量为零。

已知基态的能量为 -13.6eV ，所以将一个基态电子电离至少需要 13． 6eV 的能量，这个能量称为电离能。

相反，当一个自由电子与原子核结合为一个基态氢原子时，至少释放 13． 6eV 的能量，这个能量又称为氢原子的结合能。

自由电子的能量由它的动能决定、等于，所以能量是正值，并可以连续地变化。

这相当于能级网上的连续能量区。

221 mv

内容提要：1 、氢原子的光谱理论

目的要求：能利用玻尔理论解释氢原子和类氢离子的结构及其光谱规律

重点难点：1 、利用玻尔理论解光谱问题。 2 、里德伯常数的变化。

2、类氢离子光谱

一、氢原子的光谱理论根据玻尔频率规则，这里 ν 是频率，用波数表示则为

对氢而言， Z=1 ，把此式与从光谱实验中总结出来的经验公式对比，就知道里德伯常数

hEE 12

代入原子能量公式

得到波数公式

hcEE 12~

代入各常数计算得，而实验得出的经验值为。由玻尔理论推导出的理论值与实验值惊人的一致，有力地说明了玻尔假设的正确性。它能够定量地对氢原子发射光谱和吸收光谱作出解释。

（ a ）发射光谱：在一般情况下，氢原子处在基态，当它由外界获得一定的能量（如在气体放电管中，受到快速电子的撞击）后，原子中的电子由 n=1 的轨道跃迁至 n值较大的轨道，此时原子处在能量较高的状态。

17100973731.1 米R17100967758.1 米HR

这种状态称为激发态。这时多余的能量会以电磁辐射的形式放出，当原子从高能态向低能态跃迁时，由于原子的能量只能取分立值，因此所发射的谱线也是不连续的线状谱。当原子从 n>2 的状态跃迁到 n=2 的状态时，所得谱线就属巴尔末系。当原子从 n>1 的状态跃迁到 n=1 的状态时，所得谱线就属赖曼系。后来观测到的帕邢系、布喇开系都证明了玻尔理论是正确的。

例：氢原子由基态被激发到 n=4( 第三激发态 ) 的激发态，请问：（ 1 ）原子吸收的能量；（ 2 ）原子回到基太时可能发射出几种光，它们的波长是多少，属什么谱系？

解：（ 1 ）

所以原子吸收的能量为（ 2 ）从 n=4回到基态时，不一定直接从 4到1 ，也可能从 4到 3 再到 1 ，或从 4到 2 再到 1 ，还有从 3到 2 ，共 6 条谱线。

nmnn smsJEE

hc 4.9714 75.121242

106.175.12100.310626.619

（赖曼系）

在任一时刻，一个原子只能处于一个能级上，但是对大量原子来说，各个原子可以处在不同的能级上。各能级间的跃迁可以在不同的原子上发生，于是，实验时各种光谱线都能同时观察到。

b〕吸收光谱 : 原子从低能态跃迁到高能态时，由于能级是量子化的，所以只能吸收一些特定的能量。

因此，当具有连续谱的电磁辐射照在原子上时，只有一系列分立能量的光子能被原子吸收，结果使与这些光子相对应的谱线从出射的辐射中减弱 ( 或消失 ) 。显然吸收谱线和发射谱线应具有相同的波长。在一般情况下，氢原子是 ( 或有极大几率 )处于基态的。所以，在电磁辐射照射后，原子只可能从 M＝ 1 的状态跃迁到 M＞ 1 状态．因此只有对应于赖曼系的吸收谱线能被观察到。

但对于高温下的原子，它们可能处于激发态，在受到连续诺的电磁辐射的照射时，就可以观察到巴耳末系的吸收谱线。在恒星光诺中观察到的谱线就是这种情形。

吸收谱线的这些性质是不能以经典的电磁辐射，电子绕原子核旋转或电子对平衡位置的振荡来说明。

按照经典的情形，各个发射谱相应的谱线都应一起出现在吸收谱中。

c) 连续谱：当运动速度为 v 的自由电子与氢离子结合，跃迁到能级 En 时，将释放能量因而，当自由电子跃迁到氢原子某一量子化轨道时，所发射光子的波数为由于自由电子的能量可以连续变化，因而也将是连续变化的，于是在光谱图上出现了在线系限外的连续谱。

Enmv 221

上述过程的逆过程也会发生、即处于基态的电子吸收大于限电离能量而跃迁到连续能级区，成为自由电子，如果原子吸收的是电磁辐射，这就是原子的光电效应。玻尔理论不仅讨论了氢原子的具体问题，还包含着关于原子的基本规律。玻尔给出的定态假设和频率法则，不仅对一切原子是正确的，而且对其它微观客体也是适用的。

量子化是微观客体的基本特征。

例：已知氢光谱的某线系的极限波长为 3674埃，其中一波长为 6565埃，试由玻尔理论求该波长相应的终态能级的能量及电子的轨道半径。

玻尔理论认为当原子从一个具有较高能量En 的稳定态跃迁到较低能量的稳定态时，所发出单色光的波长由下式决定：其中 R=1.097×107m-1

解：

所谓极限波长，就是 n→∞ 时对应的波长，此时所以（代入极限波长）（巴尔末系）

)( 22111nm

将另一已知波长代入，可求得n=3则与此波长相应的始、终能态能量为：

E3=-E1/32=-13.6/9=-1.5(eV)

E2=-E1/22=-13.6/4=-3.4(eV)

相应轨道半径 :

r2=22r1=4×0.53×10-10=2.12×10-10(m)

r3=32r1=9×0.53×10-10=4.72×10-10(m)

)( 221

类氢离子的光谱类氢离子的光谱

1897 年，天文学家毕克林在星体的光谱中发现了一个很像巴尔末系的光谱线系，称为毕克林系。如图，从图中可以看出毕克林系每隔一条谱线就与巴耳末系的谱线几乎重合，但有一些很小的差别。

氦本来有两个电子，电离后失去一个电子，形成的氦离子与氢原子的结构类似。同理锂的二价离子、铍的三价离子结构都与氢原子类似，所以统称为类氢离子。因此，可以试用玻尔理论的结论。用玻尔理论可知原子的能量和原子序数 Z 的平方成正比。因此按 2.3节的（ 15 ）式得

设 n1=4 ，上式成为

)(4~22

11nnHeR

若改写为 :

其中 K=n/2=5/2,6/2,7/2… 这与经验公式完全一致，玻尔理论不仅很好地解释了氦离子的毕克林系，还预言了氦离子的其它谱线系的存在，并先后被发现。

福勒系

赖曼

赖曼 2

例：将氦离子再次电离成二价离需多少能量（氦离子的能级）解 :根据玻尔理论，原子的能量为：

3,2,1,)4(

对于氢， Z=1 ，对于氦离子， Z=2 ，所以，，可利用氢的 E1=-13.6eV 来估算类氢离子的能级。

HHe EE 421

电离一个氢原子所需的能量即为 E1和 E∞ 的能量差，电离一个氦离子也一样

所以电离一个氦离子需要 54.4eV 的能量。

激发到第一激发态呢？

锂离子（ Li++ ）呢？

eVeVEE HHe 4.546.1344 11

1 、里德伯常数的变化既然表达式相同，那么为什么这些谱线与氢的谱线会有微小的差别呢？我们注意到在玻尔理论中讨论电子运动时，我们认为电子是绕原子核运动的，而原子核是静止不动的，相当于认为原子核的质量为无穷大，所以推导出的里德伯常数用表示。事实上，由于原子核质量并非无穷大，其实电子和原子核都在绕着它们总质心运动。

这样一来的话，原子核的质量不同，则它们的运动半径也不同，所以里德伯常数也不同。下面我们就来看一下原子核质量对里德伯常数的影响。令M和m 分别代表原子核和电子的质量， r1和 r2 分别代表它们离质心的距离， r仍代表原子核与电子之间的距离。

那么

由此得

它们所受的向心力为

将速度用角速度表示

并把半径代入上式，得

可写成

与 2.3节的（ 1 ）比较，令

相当于只考虑电子运动时电子的质量，称为折合质量。体系角动量还是量子化的 , 有着

（写出 ω 代入上式，可求得r ）

以上两式消去 ω 得

下面再看原子的能量，等于原子核动能、电子动能及它们之间的势能之和，即

代入 V,v和 r1， r2 的表达式 , 得

上式与前面推导得到的式子是一样的，所不同的是其中的 r ，代入上面的 r ，得到

可见不同之处在于用折合质量

当M=∞ 时，

由此可见原子核的质量的不同会引起里德伯常数的差异，从而导致谱线不能完全重合。我们常在R 上加一下标，表示不同原子的里德伯常数。里德伯常数随原子核质量变化这情况曾被用来证实氢的同位素氘的存在。

起初人们曾从原子量的测定估计到氢有两种同位素，氘原子的质量是氢原子质量的 2倍。但由于自然界的氢中氘的含量很少（约为 0.015% ），所以很难证实。

1932 年，尤里在低温（ 14K ）下对氢进行蒸发，由于氢比氘的蒸发速度要快，因而大大提高了氘的含量。将剩下的氢装入放电管中进行摄谱，发现前 4条谱线都是双线，且这些双线的波长差与假定氘核质量为氢核质量两倍算得的波长差相符合，从而证实了氘的存在。尤里也因此获得 1935 年的诺贝尔奖。

例：（陈宏芳， P26 ）已知 RH=10967758米 -1 ，氢原子核质量是电子质量的 1836倍。试计算氘的里德伯常数 RD ，并给出它与氢的巴尔末系中前四条谱线的波长差。解：

00027.1118362

)11836(2

所以计算得米 -1

10970744DR

用表示氢原子和氘原子从 n 态到m=2态跃迁辐射的波长，则

2222 nR

所以

DH 和

内容提要：1 、夫兰克 -赫兹实验 2 、量子化通则 3 、电子的椭圆轨道目的要求：1 、理解夫兰克 -赫兹实验的原理及其对验证原子能级的意义； 2 、掌握量子化通则及量子数的意义

重点难点：1 、量子数的意义。 2 、验证实验的设计思想。

夫兰克夫兰克 --赫兹实验与原子能级赫兹实验与原子能级

玻尔理论中一个重要的基本假设是原子内部能量的量子化。玻尔理论很好地解释了氢原子和类氢离子的光谱，说明这个观点在光谱的研究中得到了证实。那么在其它类型的实验中是否能得到证实呢 ? 我们知道，经电场加速的电子，其速率一般远大于常温下原子的热运动。当具有一定能量的电子和原子发生碰撞时，由于原子的质量远大于电子的质量，原子在碰撞后虽然获得一定的动量，但获得的动能非常小，可忽略不计。

而电子在碰撞后的动能有两种可能情况：一种是碰撞前后电子的动能摹本不变，电子几乎不损失能量，只是运动方向改变，这就是发生弹性碰撞。另一种情况是非弹性碰撞，即电子失去了—部分或全部动能，所失去的动能转化为原子内部的能量，使原子激发或电离。如果原子的能量状态是分立的。原子从基态跃迁到较高的能态，那电子的能量损失将也是分立的。

1 、激发电势的测定弗兰克 (J． Franck)印赫兹 (G． Herz) 在玻尔理论发表后的第二年 (1914年 ) ，在他们设计的电子和汞原子碰撞的实验中，正是利用非弹性碰撞使汞原子从低能级激发到高能级，通过测量碰撞后电子的能量分布，对原子能量的量子化进行了验证。

他们用的实验装置如图所示 :

在充有汞真气的真空容器中 , 电子从热阴极 K发出，经栅极 G加速而射向阳极 A 。在阳极 A 和栅极 G 之间加反偏压，使阳极电压比栅极电压约低 0.5伏，这样动能很小的电子通过栅极后，若没有足够的动能就不会被阳极收集。

实验时改变栅极和阴极间的电压 Vc ，测量阳极收集到的电流 I和 Vc 的关系，得到如图所示的曲线。

随着电压的增加，电流呈周期性变化，电流峰值的间隔约为 4． 9伏。这实验现象可以用原子能量量子化的理论给以解释。当 VG 由零逐渐增加时，在开始阶段电流随着电压 VG 的增加而增加，电流基本按 V3/2 规律迅速增加，与真空二极管的待性曲线相似。在电子从阴极到栅极的路径中，电子有一定的几率和汞原子发生碰撞，碰撞过程中就有可能把能量转移给汞原子。

一般情况下，绝大多数汞原子是处于基态 ( 最低能极 ) 上，获得能量后就可能跃迁到激发态。设激发态和基态间的能量差为 E ，则电子的动能至少要等于或大于 E 时才可能引起原子的激发。当 VG值较小时 : 电子的动能还较低，小于 E ，不足以和原子发生非弹性碰撞，只能与汞原子发生弹性碰撞。当 VG＝ V1 后，即电子的动能 eV1 大于或等于 E时 : 电子在栅极附近和原子就可能发生非弹性碰撞，使汞原子从基态跃迁到第一激发态。

而电子失去了能量，它的剩余动能不足以克服 G、A 间的反偏压，故达不到 A极，致使电流 I 下降，因而电流曲线形成一个峰。电压继续增加使电子经非弹性碰撞后又得到加速而增大了能量，从而电流再次增加。

当电压为 V2时 : 一部分电子会由于发生两次非弹性碰撞而失去能量，使电流又下降，形成第二个峰。

显然 4． 9eV 应当是汞原子基态与其第一激发愁能级之间的能量间隔。这一点在汞原子的发射光谱中也得到了证实。根据

得米 =2.5×103埃

这与测得的光谱非常一致。

继续下去在 V3， V4，…处电流又再出现峰值。实验测得这些峰值之间的电压差为 4.9伏。

VeEhh c

106.19.41000.310626.6

弗兰克 -赫兹实验表明．汞原子和电子碰撞时，能够从电子处接收的能量不是任意的，只能是一定数量的能量．

如 4.9eV ，从而说明了原子分立能级的存在。

他们用不同于光谱的方法表明了原子能量的量子化现象，弗兰克 -赫兹也因此而获得 1925 年的诺贝尔物理奖。

例：（陈宏芳， P31 ）在气体放电管中，一束能量为 10eV 的电子和单原子气体发生碰撞，发射出的辐射波长有： 140.2nm,253.6nm和 313.2nm 。基中253.6nm 的光谱较其它两个成分强。请给出相应的能级图，并给出到达阳极的电子的能量。解：由光子波长可算得各辐射相应的能量间隔的跃迁。若波长是以 nm 为单位、则由式算得能级间隔：

E＝ 8． 84eV， 4． 89eV， 3.96eV 。

由题意得知 253.6nm 的谱线较强，说明这可能相应于原于获取能量后，由基态跃迁到第一激发态，再退激发而发出的辐射。而它相应的能量间隔为 4． 89eV 。由此，可推测 8． 84ev 相应于第二激发态。 3． 96ev几乎正好等于这两个激发态之间的能量差。因此，这些跃迁有关的能级图如图所示。

到达阳极的电子能量有下列几种：（ 1 ）没和原子发生非弹性碰撞的电子，其能量仍为 10eV 。（ 2 ）和原子发生非弹性磁撞，使原子激发到第一激发态，因而电子的能量损失 4.89eV ，所以到阳极的电子能量为 10-4.89=5.11eV

（ 3 ）和原子发生非弹性碰撞，使原子激发到第二激发态，因而电子的能量损失 8.84eV,所以到阳极的电子能量为 10-8.84=1.16eV

上述实验测量的是汞的第一激发电位（为什么？），用改进了的装置可以测量汞原子的更高的激发电位及电离电位。用来测量原子更高激发态的仪器如图所示：它与原来的仪器的不同之处在于：把对电子的加速与碰撞分在两个区内进行，从而可以把电子加速到较大的能量。

量子化通则量子化通则

在玻尔的氢原子理论中，有一条角动量量子化条件 mvr=nh/2，并在此条件下推导出结论正确解释和预言了实验结果。说明该假设条件是合理的。我们可将条件写为：

式中， ps 为动量， Q 为圆周（位移）。 pф 表示角动量， 2为角位移。我们可以这样理解，在圆周运动中，动量与位移的乘积或角动量与角位移的乘积必须等于 h 的整倍数。

不久，索末菲等人将这要条件进行更进一步的概括，提出量子化的普用法则：

即：动量（线动量或角动量）对其对应的位移（线位移或角位移）的周期积分值为量子化的，等于 h的整数倍。

在玻尔理论中，电子与原子核之间的作用力是与距离的平方成反比的，并且绕原子核作圆周运动的。但是根据力学（经典理论）知识，在这种受力情况下，应该是作椭圆运动的，如行星绕太阳运动一样。于是索末菲于 1916 年对玻尔的氢原子理论进行了推扩。他认为：

电子绕着原子核在一个平面内作椭圆运动。这与圆周运动不同。圆周运动是一个自由度的（只要一个量：角度就能描述出电子的位置），而椭圆运动是两个自由度的运动，需要两个量来描述，一个角度，一个半径。

所以根据索末菲量子化通则：

就有：

式中称为角量子数和径量子数rnn 和

对波尔的圆轨道来说，仅一个变量 ф， Pф 是恒定值，将 Pф 从积分号中提出得到的就是玻尔的量子化条件。这与我们的常识也是相符合的，因为圆本来就是一种特殊的椭圆。在这种情况下，原子体系的能量为

令称为主量子数可推导得出椭圆轨道半长轴和半短轴的关系和数值（推导过程可参考史斌星编的原子物理学）

（ 7 ）

（ 8 ）

我们要搞清楚的是轨道形状同量子数之间的关系。从（ 7 ）式可以看出，轨道的半长轴只决定于主量子数 n ，而根据力学知识，我们知道，作椭圆运动的物体的总能量只依赖于长轴的数值。由此可见，原子的能量还是由主量子数决定的。所以，主量子数 n 相同的轨道，半长轴是相同的，能量也是相等的。

由（ 8 ），半短轴决定于主量子数和角量子数，对同一主量子数，如果角量子数不同，则轨道的半短轴将不同。但短轴与长轴之比为 nф/n ，可见椭圆轨道的形状是一定的，并不是任意变化的。对于同一 n ，有多个 nф值。

由此可见，在同一主量子数 n 的情况下，电子有 n 种轨道，如图所示，但它们的能量是相同的。

内容提要：1 、原子能量的相对论效应2 、原子空间取向量子化3 、原子的激发与辐射、激光原理4 、玻尔理论的局限性

目的要求：1 、了解相对论效应对原子能量的影响 2 、掌握原子的磁性与空间量子化的意义3 、理解原子发光机理和激光原理4 、了解玻尔理论的局限性

重点难点：1 、空间量子化的意义2 、原子发光机理与受激辐射

原子能量的相对论效应

按照相对论原理，物体的质量随它的运动速度而改变，质量与速度的关系是

一、相对论效应

从而运动物理的动能应写成：

电子在椭圆轨道中运动时，速度是变的，近原子核时快，远离原子核时慢，而保持角动量不变．所以电子的质量在轨道运动中是一直在改变的．　　这样的情况产生的效果是，电子的轨道不是闭合的．好象椭圆轨道有一个连续进动， n相同而 nф 不同的那些轨道，速度的变化不同，因而质量的变化和进动的情况不完全相同．因此这些轨道运动的能量是略有差别的．

一开始我们认为原子中电子的轨道是圆形的，后来发现可以是椭圆。但主量子数相同时能量相同。后来进一步的研究发现，主量子数相同是能量并不一定相同。原子内部的运动情况要复杂得多。二、空间量子化1 、电子轨道运动的磁矩在电磁学中，我们知道，闭合回路中的电流会产生一个磁矩μ=iA 。而当电子作圆周运动时，相当于形成一个闭合回路，其中的电流为 i=e/τ,τ 为电子运动周期。闭合回路的面积为

mdtrdrrA

于是电子轨道运动的磁矩为 62p

e 代入角动量量子化条件，得

式中

hen ,2,1n

,/1092732.04

23 特斯拉）（焦耳米安２m

是轨道磁矩的最小单元，称为玻尔磁子。

　　上式给出了轨道磁矩与角动量的数值关系，方向相反。从式中可以看出：轨道磁矩的大小是量子化的，必须为玻尔磁子的整数倍。但是我们知道，磁矩是矢量，对于一个矢量来说，只知道其数值大小是不够的，还要知道它的方向。那么磁矩的方向又是如何呢，是不是可以取任意的方向呢？实验证明，原子角动量（轨道磁矩）的取向也是量子化的。这就

是所谓的空间量子化。其中最有名的实验是史特恩 - 盖拉赫实验。2 、史特恩 - 盖拉赫实验　　实验利用不对称的磁极产生不均匀的磁场，让一束银原子经

过不均匀的磁场区，发现一束银原子分成了两束。一束是上偏向磁场正向，另一束偏向磁场负向。说明有些原子受到向上的力，有些原子则受到相反的力的作用。这是什么原因呢？　我们根据电磁学中的知识可以知道，当一个闭合载流线圈处

在不均匀的磁场中是，由于其不同的边所受的磁力不同，所以整个线圈要所到一个力的作用，其数值如下

Z 为磁场方向， μz 是轨道磁矩在磁场方向的分量， β为轨道磁矩与磁场方向的夹角。根据实验现象可得出两束原子受到了不同方向的力，而 μ 的取值不同只能引起力的大小的不同，而不能引起方向不同，所以只有可能是磁矩方向不同。

dB 为正，亦即磁场强度沿Z方向增加，当 β小于 90度时，力是向着 B 方向的；当 β大于 90 度时，力与 B 的的方向是相反

的。很显然，原子取向不同，则受到的力的大小也不同，原子偏转的大小自然也不同。现在只有两种偏转，说明原子只能有两种取向。可见原子空间取向并不是任意的，而也是量子化的。3 、轨道取向量子化理论　原子取向量子化可以从量子化通则得到理论说明．上节讨论到，电子在库仑场中运动一般是一个平面上的椭圆运动，所以满足两个量子条件．　如果原子处于磁场中，那么由于磁场的作用，电子的轨道运动不再是平面运动，而是三维空间中的曲线运动（相当于线圈在磁场中转动）。

假设磁场不很强，它对电子运动的影响不是很大，那么运动可以近似地看作仍然是一个平面上的运动，但轨道平面是绕着磁场方向作缓慢旋进的．轨道实际是一个空间曲线．这样的三维运动就必须满足三个量子条件。　　为了理论处理的简化，设想原子先处在磁场中，然后磁场强度惭惭减到零，那么原子相对于原磁场方向的取向将保执但旋进和相应的附加能量不再出现，可暂不考虑．　这样，如果把电子运动仍作为三维运动来处理，实际是考虑在磁场下电子轨道的取向问题．这可以用极坐标 r、 θ和ψ来描述，如图 2． 22所示．

图２ . ２２

H 为磁场方向． N 为极轴， Ze 表示原子核 ,处在极坐标原点． -e 表示电子．图中显示出电子轨道平面与坐标参考球面相截的圆．P是轨道角动量，它垂直于轨道平面 . P 是 P 在磁场方向的分量。现在对应于坐标 r、 θ和ψ的广义动量是线动量 Pr ，角动量

P 和 P ，要满足三个量子化条件：。，， hndphndphndrp rr

根据角动量量子化假设 2

hnp ，，，， 321

P 是 P 在磁场方向的分量，所以 cospp

所以

ncos ， n 和 n 都是整数，而 1cos1 所以， nnnn ,,0,,1,

对一个 n ，只有 nn 个12 的值。也就是说，只有的值。个 nn 12

如图所示。

根据以上的讨论轨道方向量子化也可以看作轨道角动量在磁场或电场方向的分量的量子化。只是有场的存在，才有这种量子化。

理论中包括一个特殊方向——场的方向，这不能是任意的方向．

把理论的结论同实验的结果比较一下，发现还有出入．由实验知道银原子在磁场中有两个取向．按上述理论，可能的取向是个。12 n

如果实验中观察到的银原子所处的状态相当于，1n

也应该最少有三个取向，现在银原子的取向实际是两个，足见到目前为止我们对原子的描述是不完全的。

上述理论只是关于电子轨道的取向问题，以后我们会知道原子的角动量和联系着的磁矩不仅是由于电子的轨道运动，也还由于电子的自旋；角动量和磁矩还有更准确的表达式。这些都留待下几章再逐步予以阐述。

现在可以肯定，原子在磁场中取向的量子化这一情况确实存在( 原子在电场中的取也是量子化的 ) ；在进一步的述原子结构以后，这个问题就可以得到更清楚的了解了．

三、原子的激发与辐射

从前几节的讨论，知道一个原子可以处在不同状态，在每一状态时具有一定的内部能量．这些不同状态的能量值是彼此分隔的，所以称为能级。原子内部能量最低的那个状态称作基态。在基态的原子可以吸收能量而跃迁到较高能量的状态这个过程称作原子的激发。那些较基态能量高的状态称作激发态。原子可以从激发态退到基态或较低的能态，这时它要放出能量。

放出能量可以取辐射的形式，那么放出能量就成为一个光子的能量。h

下面将分别讨论原子被激发和放出能量等有关问题。

1 、原子在各能态的分布我们所说一个原子的各个状态和相应的各个能级是指这原子可能有的状态和相应的一定能量。在某一时刻，一个原子当然只能在其一状态。但进行具体观察时，对象总是大量的原子。观察到的现象是大量原子同时分布在不同状态的情况的反映。例如我们同时看见许多光谱线，这是不同原子从不同的能级跃迁到另外一些能级的结果。而光谱线的强弱反映了参与发射不同谱线的原子的多少。大量原子会互相碰撞，彼此交换能量．有些会被激发到高能级，有些在低能级．在达到平衡时，在各个状态的原子数Ni决定于状态的能量 Ei 和温度 T，它们的关系可表达如下：

式中 k是玻尔兹曼常数， T是绝对温度。如果几个状态具有相同的能量，就称这一能级是简并的，这时处在这一能级的原子数为

ii egN

ig 等于简并在一起的状态数。从式中可能看出，能级越高，原子数越少，所以一般情况下，大部分原子是处在基态的。2 、原子的自发辐射原子被激发到高能级后，除上面所说通过碰撞可以放出能量外，还有可能自发地从高能级跃迁到较低能级，把多余的能量以辐射的形式放出。

可是对被激发的每一个原子，我们不能预知它在什么时刻跃迁。

我们只能求得跃迁的几率．

设有一个状态 2和一个能量较低的状态 1。那么在 dt 时间内，从状态 2 跃迁到状态 1 的原子数

必然与当时在状态 2 的原子数N2 成正比，与时间 dt 成正比，所以 dtNAdN 22121 21A 表示一个原子在单位时间内由状态 2 自发跃迁到状态 1 的几率。

2121 显然

221 dNdN 所以上式改为

积分得 dtAN

可见处在激发态的原子的数量将随时间成指数式下降。这就是自发辐射的过程，很显然，单位时间内跃迁的原子越多，则相应的谱线越强，也就是说谱线的强度与初态的原子数N2 和跃迁几率 A21 成正比。

3 、受激辐射当原子处在电磁辐射的场中时，原子和辐射场就要发生相互作用。现在再考虑原子的两个状态 2 和 1 ， 2 的能量 E2高于 1 的能量 El 。如果辐射场中辐射的频率 p 满足 12 EEh 的关系，那么原子和这个场发生相互作用时，有些原在状态 1 的原子会吸收一个光子的能量

12 EEh 跃迁到状态 2。这可以称作场致激发或称光致激发。

与上文所说的碰撞激发不同，另一些原在状态 2 的原子会受场的激动跃迁到状态 1 ；而以辐射的形式放出能量

12 EEh 只要状态 1和状态 2有原子存在，这里所说受辐射场的激动而吸收或发射的过程都会发生。这是由于大量原子处在电磁辐射的场中，由于原子内部运动的位相随机分布在辐射场的作用下，有些会从辐射场吸收能量，从低能级向高能级跃迁，有些从高能级向低能级跃迁而放出辐射。

这两个过程同时发生，且跃迁的原子数都与辐射密度成正比，与起始状态的原子数成正比。

根据原子能态分布公式4iE

ii egN

知道：低能级的原子数要大于高能级的原子数，所以一般在辐射作用下，原子由低能级向高能级跃迁的原子数目要多于由高能级向低能级跃迁的原子数。也就是说，一般情况下，处在辐射场中的原子吸收量要大于辐射量，所以不能向外界发出光。

现以我们希望在光的作用下能发出与更多的光，就必须使处在光场中的原子辐射量要大于吸收量，这样才能向外界输出更多的光。

要做到这一点，就必须使N2 大于 N1 ，这种情况称作反转。

如果把一个原子体系的原子数在能级上的分布反转，而且它自己所发的辐射 ( 开始时可能是自发辐射 ) 足够强的话，就可以自己触发受激发射，成为一个强的辐射源，这就是一种激光器。

在这种情况下产生的光就称为激光（ Laser ，全称“ light amplification by stimulated emission of radiation”,意为由受激辐射光放大产生的辐射）。

4 、激光原理产生激光的关键是实现粒子数的反转。目前实现粒子数反转的方法很多。如：对固体工作物质，常采用强光激励法，它利用闪光灯产生瞬间的强光，使粒子数反转，最早出现的红宝石激光器便是利用这中原理。对气体工作物质常用气体放电法（实验室常用的 He-Ne激光器）；对半导体工作物质，采用注入大电流激励发光，这就是现在用得最多的半导体激光器，它体积小，重量轻。但是并不是任何物质都可以作为产生激光的工作物质。要为要实现数子数反转，工作物质的能级必须满足一定的条件。下面我们对其中一种可能实现粒子数反转的能级（三能级系统）作些简单的介绍。设有三能级， E1， E2和 E3 ，三能级中的粒子数满足指数关系，如图所示。

现在如果有频率为

EE )( 1331

的强辐射照在粒子上，使一部分 E1 能级的粒子跃迁到 E3 能级，可使 E1和 E3 的粒子数几乎相等。如果 E2 比较靠近 E3 。这样就能使 E3 能级的粒子数大于 E2 能级的粒子数。

从而在 E2和 E3 之间形成了粒子数的反转。如果这时又有

EE )( 23

的辐射触发这两能级间的跃迁，就会形成有放大作用的受激辐射，也就是产生激光。如果 E2 接近 E1 ，则有可能因 E1 的粒子减少，而在 E2和 E1之间形成反转。

第一章、第二章小结内容提要：1 、第一章、第二章小结2 、习题

目的要求：1 、通过小结及时地复习所学的知识，加深对第一、二两章知识的系统理解

2 、通过习题的讲解，掌握用所学知识解决问题的能力重点难点：

1 、教学重点是让学生掌握玻尔氢原子理论，教学难点是量子化条件，能量公式、氢能级图及主量子数、角量子数和磁量子数的物理意义。

第一章、第二章小结

一、小结第一章：

1 ．原子的质量和大小

AA mR 1010~ 12310022.6 molN A

kgu 27106605655.11 2 ．原子核式结构模型(1)汤姆孙原子模型(2)粒子散射实验：装置、结果、分析

(3)原子的核式结构模型

(4) 粒子散射理论：

库仑散射理论公式（会推导）：

Zeb (P12式

1)卢瑟福散射公式：

ed dd sin2

实验验证 :

ANnMvtd

1(,Z,,

2sin 22

是靶原子的摩尔质量

(5) 微分散射面的物理意义、总截面(6)原子核大小的估计散射角： )

（会推导）

粒子正入射：

erm mrm

1415 1010~

第二章：1.氢原子光谱：线状谱、五个线系（记住名称、顺序）、广义巴尔末公式 :

(~22 nm

光谱项 2n

RnT 并合原则： )()(~ nTmT

2.玻尔氢原子理论：(1)玻尔三条基本假设的实验基础和内容（记

熟）(2)圆轨道理论（会推导）：氢原子中假设原子核静止，电子绕核作匀速率圆周运动

20 A529,0

对氢eVn

，２，３，1n(3)实验验证：（ a ）氢原子五个线系的形成

(Z~,)4(

(会推导）

非量子化轨道跃迁 )(2

1 2nEEmvh

（ b）夫－赫实验：装置、结果及分析；原子的电离电势、激发电势

3.类氢离子（

Li,He ，正电子偶素，原子等）(1) He+ 光谱 : 毕克林系与氢原子巴耳末系的异同等，类氢离子波

数公式

(2)理论处理（会推导）：计及原子核的运动，电子和原子核绕共同质心作匀速率圆周运动

正负电荷中心之距

能量

里德伯常数变化

重氢（氘）的发现4.椭圆轨道理论索末菲量子化条件 qq nhnpdq ，为整数

emEnp e

，，， 2

nnn ，，，，；，，， 321321

n一定， nE 一定，长半轴一定，有n个短半轴，有n个椭圆轨道（状态），即 nE 为n度简并

5空间量子化：(1)旧量子论中的三个量子数 n， mnn ，

的名称、取值范围、物理意义。

名称取值物理意义

主量子数

电子轨道大小，能级高低主要因素

角量子数

轨道形状，有 n 种，值越小表明轨道偏心率越大

磁量子数

轨道的方向，有 2n+1个方向

１，２，

n，１，２，

nnn ,,0,,1,

(2)空间量子化（

P空间取向）、电子的轨道磁矩（旧量子论）斯特恩—盖拉赫实验（现象、说明的问题）

二、习题

1 、教材习题

P21：72 、 (1)原子核式结构模型的提出是根据

粒子散射实验中（）

(A).绝大多数

粒子散射角接近 0180

(B). 粒子只偏 00 3~2

(C).以小角散射为主也存在大角散射( D).以大角散射为主也存在小角散射（ 2 ）进行卢瑟福理论实验验证时发现小角散射与实验不符这说明：( )

(A).原子不一定存在核式结构 (B).散射物太厚 (C).卢瑟福理论是错误的 ( D).小角散射时一次散射理论不成

(3)用相同能量的

粒子束和质子束分别与金箔正碰，测量金原子粒子束所得结果的核半径的上限 . 问用质子束所得结果是用

几倍？

A. 1/4 B . 1/2 C . 1 D. 2

（ 4）关于原子的核式结构学说，下列说法不正确的是； ( )A 、原子中大部分是空的，原子核很小B 、电子在核外绕原子核旋转，向心力是库仑引力C 、原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里D 、原子核的半径大约是

3 、教材习题 P76： 1 ， 2(注意电离能和电离电势的概念，第一激发态能量、第一激发能和第一激发电势的区别 ) ， 3 ， 4 ，5 ， 8 ， 9 ， 10

4、（ 1）右图为氢原子能级跃迁图，三条谱线波长有如下关系；

(A) 321

(B) 213

(C) 321

(D)213

（ 2 ）已知氢原子的赖曼线系的第一条谱线的波长为

1216 A

则十次电离的钠原子的赖曼线系的第一条谱线的波长约为； ( )

(A) 0.10

A (B) 100

0310 A

（ 3）图中表示氯原子的能级图，如果一个氯原子处于受激态 n=3时，它能辐射多少能量 ?( 　 ) )(evE n

(A) 只能1.8ev(B) 1.8ev和 10.2ev或 12.0ev

(C) 只能10.2ev(D) 1.8ev和 10.2ev或 13.6e

（ 4 ）氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：

A.R/4 和R/9

B.R 和R/4

C.4/R 和 9/R D.1/R 和4/R

（ 5）根据玻尔理论，氢原子的核外电子分别在第一轨道和第二轨道运行时，速度大小之比为　　　，半径比为　　　

1:2 4:1

计算题

1 、已知一群处于基态的氢原子被外界单色光激发后，在其发射的赖曼系谱线中仅观察到四条光谱线 ( 不考虑精细结构 ) 。（ 1 ）试求这外来单色光的光子能量（ 2 ）一共可观察到多少条光谱线？写出它们的波数表达式，并标明各谱线属于氢原子的哪个谱系？（ 3 ）计算频率最低的谱线的波长，要求结果有四位有效数字。( 已知氢原子的）米－１7100967758.1 HR

解：（ 1）

834722

10310626.6100967758.1)25

）（ev08.13

(2) 一共可观察到 10 条谱线喇漫系： 1/λH= RH [1/12-1/n2] n=2、 3、 4、 5 四条

巴耳末系： 1/λH= RH [1/22-1/n2] n=3、 4、 5 三条

帕邢系： 1/λH= RH [1/32-1/n2] 　　n=4、 5 　两条

布喇开系： 1/λH= RH [1/42-1/52] 　　　　一条

(3) 频率最低对应的波数也最小故对应为布喇开系：

HHH RR 9

7100967758.19

)(4052 nm

2 、毕克林系是由

He 发出的，其中的一条谱线的波长与氢原子的巴耳末系第一谱线相近，为使基态 He 激发，并发出这条谱线，必须至少用多大动能的电子去轰击它？

解：]

/(1[1 22 nm

∵RH ≌RHe 　　　∴当m=4 , n=6时　　 λHe≌λH欲使基态 He 激发并发射出与氢原子 H 线相近的谱线，需将 He 由 m=1激发至 n=6 的状态；ER = RHe hcZ2(1-1/62)=13.6×4×35/36=52.9(ev)

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第二章原子的能级和辐射

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第二章 原子的能级和辐射

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