第五章　標準分數 第六章　常態分配

第五章　標準分數第六章　常態分配授課教師：葉玉賢老師

標準分數：定義與分類 標準分數是以標準差為單位，表示個人原始分數和團體平均數之差的一種分數。故標準分數是以平均數為參照點，來說明個人在團體分數的「位置」。

標準分數：定義與分類Z 分數的計算方式就是將原始分數減掉平均分數後，再除以標準差。

X ：原始分數 M ：平均分數SD ：標準差 從公式可知， z分數只是原始分數的直線轉換而已。

SDMXscoreZ

當原始分數轉換為「有多少個標準差」的概念…

當原始分數轉換為「有多少個標準差」的概念… 我們的理解是： 假定標準差是一個測量單位，則小明的分數應該是掉落在平均數以上或以下的「幾個單位」呢？ 「幾個單位」中的「幾」個，即是 Z分數的概念。所以 Z分數並沒有單位可言，而是一個數字。

Ｚ分數的進一步解釋… 假設某國中舉行高中聯招試題模擬考試，已知數學科的全校平均數為 60.00 ，標準差為 4.50 ，而英文科的全校平均數為 75.00 ，標準差為 8.60 ；且Ａ班的數學成績平均為 55.50 ，英文成績平均為 83.60 ，而Ｂ班的數學成績平均為 64.50 ，英文則為 66.40 。請問： 我們可以直接拿不同單位的原始分數來比較嗎？ 究竟兩班各科的平均成績高於「幾」個標準差？ ＡＢ兩班的數學與英文成績孰優？

Ｚ分數的特性當 z分數小於 0時，表示該觀察值落在平均數以下。•當 z分數大於 0，表示該觀察值落在平均數以上；數值越大，表示距離平均數越遠，•若觀察值恰等於平均數，則 z分數為 0。

Ｚ分數的特性• 任何一組數據經過 z 公式轉換後，均具有平均數為 0 ，標準差為 1 的特性。• z 分數僅是將原始分數進行線性轉換，並未改變各分數的相對關係與距離，因此， z 分數轉換並不會改變分配的形狀。

缺點…　 Z 分數的缺點是原始分數小於平均數時，會產生負值。 Z 分數的另一個缺點是不容易對家長解釋分數的意義。

直線轉換公式直線轉換式： Z = az + b

大寫的 Z ： 轉換的標準分數a ：直線轉換式的斜率，是 Z 分數分配的標準差b ：直線轉換式的截距，是 Z 分數分配的平均數T 分數 (T=10z+50)SAT 考試（ Scholastic Assessment Test ）（ SAT=100z+500 ）魏氏智力測驗為（平均數為 100 ，標準差為 15 的標準分數）（ WISC=15z+100 ）

比西智力測驗的離差智商＝ 16Z ＋ 100( 比西智力測驗的平均數 100 ，標準差 16)魏氏智力測驗的離差智商＝ 15Z ＋ 100( 魏氏智力測驗的平均數 100 ，標準差 15)

例題例 1：小華班上的數學成績平均分數為 82分，標準差 9，而小華的數學成績為91分，請問小華的 Z分數是多少？例 2：承例 1，小明的數學成績是 64分，請問小明的 Z分數是多少？

答案是…1

982-91scoreZ

29

82-64scoreZ

另一個標準分數： T分數T 分數是由 Z分數以線性轉換而得的標準分數。 T分數的計算方式為： T＝ 10Z ＋ 50 承 Z分數例 1與例 2，小華的 Z分數為 1，小明 Z分數為 -2 ，則小華與小明的 T分數為小華的 T分數＝ 10 × 1 ＋ 50 ＝ 60小明的 T分數 10 ×-2 ＋ 50=30

　當原始分數的分佈情形並不是常態分配時，通常會考慮將原始分數轉換成常態化標準分數，以使分數的分配達到趨近常態分配的情形。 計算常態化的標準分數，首先將原始分數轉換成百分等級，再藉由常態分配表，查出百分等級相對應的 Z 分數，即為原始分數的常態化標準分數。

常態分配

何謂常態？ 天下烏鴉一般黑 ………………嗎？表示…1. 只要有一隻烏鴉不是黑色的，則「烏鴉是黑色的」的說法就可以被推翻。2. 事實上，找不到烏鴉不是黑色的，所以烏鴉是黑色的是一種常態。3. 但萬一哪一天找到烏鴉不是黑色的呢… ?

中國人常講不怕“一萬”，只怕〝萬一〞… 表示〝一萬次中最多 只有可能一次發生〞的事件為意外，統計學家則以〝 20次實驗中最多 只有 1次發生〞， 此種機率低於 5% 的事件為異常。

機率與分配：機率是什麼？ 一副撲克牌有 52張其中有 4張 K 出現老 K的機率為多少？

機率與分配：機率是什麼？

naAP

a ： A 事件出現的次數n ：所有事件出現的次數

出現老Ｋ的機率是…

0769.0131

524

naAP

二項分配： binominal distribution

50.021

naAP

投擲 1 個銅板出現正面的機率

a ： A 事件出現的次數n ：所有可能出現的次數

二項分配： binominal distribution

投擲 2 個銅板有 4 種可能 正面 正面 正面 反面 反面 正面 反面 反面

可能情況 機率2 個正面 1/4

1 個正面 2/4

0 個正面 1/4

二項分配： binominal distribution

投擲 2次N＝ 2

二項分配： binominal distribution 投擲 3 個銅板有 8 種可能 正面 正面 正面 正面 正面 反面 正面 反面 正面 反面 正面 正面 正面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面 正面 反面 反面 反面

可能情況 機率3 個正面 1/8

2 個正面 3/8

1 個正面 3/8

0 個正面 1/8

二項分配： binominal distribution

投擲 4 個銅板出現正面的機率可能情況 機率4 個正面 1/16

3 個正面 4/16

2 個正面 6/16

1 個正面 4/16

0 個正面 1/16

二項分配： binominal distribution

投擲 4次N＝ 4

二項分配： binominal distribution

投擲 6 個銅板出現正面的機率可能情況 機率6 個正面 1/645 個正面 6/644 個正面 15/643 個正面 20/642 個正面 15/641 個正面 6/640 個正面 1/64

二項分配： binominal distribution

投擲 6次N＝ 6

二項分配： binominal distribution

投擲 10次N＝ 10

二項分配： binominal distribution

投擲次數愈多、愈像常態分配樣本數量愈大、愈像常態分配 當 pn 與 qn皆≧ 10 時，出現正面的平均數 μ 當 pn與 qn皆≧ 10 時，出現正面的標準差 σ

2npn 5.05.0nnpq

常態分配： normal distribution

反曲點 反曲點

鐘形分配 兩邊對稱

μ＋ 1σμ－ 1σ μ

常態分配： normal distribution

連續的分配 兩邊對稱於平均數 平均數＝中數＝眾數曲線有兩個反曲點： μ＋ 1σ與 μ－ 1σ曲線下的面積代表機率曲線下的全部面積為 1

標準常態分配

反曲點 反曲點

+1－ 1 0

以 Z分數為基礎 μ＝ 0 σ＝ 1

標準常態分配

回到教育議題… 假設某次 IQ 測驗有一萬人，平均分數為 100 分，標準差為 15 分，且 IQ 測驗成績直方圖呈鐘形…

我們可以知道約有 6800 人的成績在 85 分到 115 分之間，約有 9500 人的成績在 70 分到 1

30 分之間，約有 9970 人的成績在 55分到 145 分之間，也可由此推得 IQ 成績低於 55 分約有 1

5 人，而 IQ超過 145 分的大約有 15 人

例如，在 IQ 測驗中 平均分數是 100 分，標準差為 15 分， IQ超過 130 分者為智優， 低於 70 分者為智劣

IQ 成績直方圖

100

IQ 成績直方圖頂邊中點連線

100

IQ 成績次數分配折線圖

100

IQ 成績常態分佈圖

40 55 70 85 100 115 130 145 160

常態曲線 ( 或高斯曲線 )

221 )(

21)(

x

exf

1. 常態曲線公式是一條由兩個參數（平均數和標準差）所決定的函數。 將 χ‐μ 以 z分數取代 σ　換算公式所得出來的分配曲線稱之為標準化分配曲線（ standardized n

ormal distribution）

常態曲線圖

N( 2,)

f

21

鐘形分佈

標準常態分配密度函數呈對稱鐘形

0.00

0.15

0.30

0.45

0.60

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 z

圖6.10 經驗法則(68%,95%,99.7%)

0.00

0.15

0.30

0.45

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

68%

95%

99.7%

查表練習

查表練習

查表練習

查表練習

查表練習

查表練習σ=100μ=500

？