《 应用时间序列分析 》 何书元 编著 北京大学出版社

《应用时间序列分析》何书元 编著

北京大学出版社

概率统计学科中应用性较强的一个分支广泛的应用领域：金融经济气象水文信号处理机械振动…………

Wolfer 记录的 300 年的太阳黑子数

太阳黑子对地球的影响 会出现磁暴现象 会引起地球上气候的变化 会影响地球上的地震 会影响树木生长 会影响到我们的身体 ………………………

杭州近三年房价走势

房地产业、房价 关乎国计民生的支柱产业 影响着城镇居民的住房消费 影响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关

行业的发展 影响着地方政府财政收入 …………………………….

股市是经济的晴雨表 从股市本身看，我国股市的确有自己的

特点 股票是一种高风险的资本投资 ………………………………

1985 至 2000 年广州月平均气温

国际航空公司月旅客数

0 50 100 150100

200

300

400

500

600

700

化学反应过程中溶液浓度数据

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20016

16.5

17

17.5

18

18.5

目的：描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的

建模和预测方法

参考书：1. 时间序列的理论与方法 田铮 译 高等教育出版社2. Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric

Methods Jianqing Fan Qiwei Yao3. 应用时间序列分析 王燕 中国人民大学出版社 4. 时间序列分析 易丹辉 中国人民大学出版社 5. 时间序列分析的小波方法 机械工业出版社

目 录

第一章 时间序列 第二章 自回归模型 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 第四章 均值和自协方差函数的估计 第五章 时间序列的预报 第六章 ARMA 模型的参数估计

《应用时间序列分析》

第一章

时间序列

时间序列、平稳序列 线性平稳序列、平稳序列的谱函数

§ 1.1 时间序列的分解 按照时间的顺序把随机事件变化发展的过

程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。

一、时间序列的定义 时间序列 : 按时间次序排列的随机变量序列

个观测样本 : 随机序列的 个有序观测值 称序列 是时间序列 (1.1) 的一次实现或一条轨道

)1.1(,, 21 XX

)2.1(,,, 21 nxxx n n

)3.1(,, 21 xx

二、时间序列的分解

趋势项 、季节项 、随机项

)4.1(,2,1, tRSTX tttt

}{ tT }{ tS }{ tR

模型的描述、解释 自然规律：一年四季变化 ( 降雨量、气温等等 ) 生活规律：周六、周日休息日 每天的上下班 ( 用水量、用电量 旅游人数、乘客人数 )

经济发展规律：螺旋型上升 ( 国民生产总值、股市价 格、外率等等 ) 社会的发展规律 : ( 道路是曲折的、前途是光明的 ) ………………………

注： 1. 单周期 s 季节项，则

此时在模型中可要求

.,2,1),()( ttSstS

s

j jt tS1

,2,1,0

2. 随机项，可设

3.

.,0E tRt

三、分解方法

例一 . 某城市居民季度用煤消耗量

例图

分解一般步骤1. 趋势项估计

分段趋势 ( 年平均 ) 线性回归拟合直线 二次曲线回归 滑动平均估计

}ˆ{ tT

2. 估计趋势项后 , 所得数据由季节项和随机项组成 , 季节项估计可由该数据的每个季节平均而得 .

3. 随机项估计即为

方法一：分段趋势法1 、趋势项 ( 年平均 )

减去趋势项后 , 所得数据 }ˆ{ tt TX

2 、季节项 }ˆ{ tS

3. 随机项的估计

.24,,2,1,ˆˆˆ tSTxR tttt

方法二：回归直线法一、趋势项估计 一元线性回归模型

最小二乘估计为

可得到

.24,,2,1,9.211.5780ˆ ttTt

2421

111,),,,(

.24,,2,1,

21

YxxxX

tbtax

T

tt

YXYYba TT 1)()ˆ,ˆ(

1. 直线趋势项

消去趋势项后 , 所得数据 }ˆ{ tt TX

2 、季节项估计 为}24,,2,1,ˆ{ tSt

3. 随机项估计为.24,,2,1,ˆˆˆ tSTxR tttt

方法三： 二次曲线法

26.10.175.5948 ttxt

YXYYcba TT 1)(),,(

24,,2,1,2 tctbtax tt

1. 二次项估计（趋势项）数据和二次趋势项估计

2. 季节项、随机项

例二、美国罢工数（ 51-80 年） （滑动平均法）

0 5 10 15 20 25 303000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

1. 趋势项（ 5 项平均）

2. 季节项和随机项

0 5 10 15 20 25 30-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

例三、化学溶液浓度变化数据

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20016

16.5

17

17.5

18

18.5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

例四、 Canadian lynx data （猞猁）

例五、沪深 1209（股指期货）

0 20 40 60 80 100 120 140 1602200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0 50 100 150

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

)(log)1(log)( tXtXtY

例六、国际航空公司的月客数

0 50 100 150100

200

300

400

500

600

700

y2=log(y1); plot(y2);

0 50 100 1504.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

y3=diff(y2); y=y3(13:143)-y3(1:131);

0 20 40 60 80 100 120 140-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15数 据 处 理 后 的 图

§1.2 平稳序列1. 时间序列的分解中趋势项和季节项通

常可以用非随机函数来描述。2. 随机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。

一、平稳序列

例 2.1 平稳序列的线性变换

baEYt

例 2.2 调和平稳序列

自协方差函数的性质

性质 (2) 的证明 证 任取一个 维实向量有

Tnaaa ),,,( 21 n

0])([

))((

2

1

1 1

1 1

n

i ii

n

i

n

j jiji

n

i

n

j jijinT

XaE

XXaaE

aa

性质 (3) 、 Schwarz 不等式

非负定性、随机变量的线性相关

自相关系数

白噪声、白噪声模拟

例 2.3 Poisson 过程

Poisson 白噪声

Poisson 白噪声的 60 样本的产生

1. 随机产生服从 (0,1) 上均匀的 200 个样本 :

2. 给出服从参数为 1 的指数分布的 200 个独立样本 ;

3. 给出参数为 1 的 Poisson 过程一条样本轨道在 i=1,…,61 上的取值；

参数为 1 的 Poisson白噪声的60 个样本 I

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

样本 II

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

例：布朗运动

标准正态白噪声的 60 个样本 : A=randn(1,60) ； plot(A)

随机相位

随机相位独立白噪声的 60 个样本

独立白噪声的 60 个样本，其中独立同分布且都在上服从 均匀分布

ZtUatbX tt ),cos(

)2,0( ,, 21 UU

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 30 40 50 60-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

二、正交和不相关性

定理 2.2

§1.3 线性平稳序列和线性滤波 有限运动平均 线性平稳序列 时间序列的线性滤波

有限运动平均

)2,0(~,*85.0*36.0 221 WNX ttttt

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

MA 的平稳性

概率极限定理

线性平稳序列

1. 线性序列的 a.s. 收敛性

2. 线性序列的平稳性

注 : 绝对可和下的线性序列

注 : 均方意义下的线性序列

Nj

jNj

jtj aaE||

222

||

0)(

证 当 时

.0][2

][

][

||||

||||

2/||

2/1222

2/||

2/1222

2/||

2/1222

2/|| 2/||

22

2

kj kjj j

kj jj j

kj kjj j

kj kj kjjkjj

j kjjk

aa

aa

aa

aaaa

aa

k

单边线性序列

线性滤波

矩形窗滤波器

例 3.1 余弦波信号的滤波

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

注 :

)2/sin(

)]2/sin()2/[sin(2

1

)2/sin()cos(

)cos()cos())(cos(

M

jj

j

UtjbUjtb

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

Mj

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

余弦波信号的滤波

§1.4 正态时间序列和随机变量的收敛性 随机向量的数学期望和方差 正态平稳序列

随机向量的数学期望和方差

随机向量线性变换

多维正态分布

多维正态分布的充要条件

正态平稳序列

概率极限

正态序列收敛定理

正态线性序列

证明 平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何 ,有

其中 .

Nm

)9.4(),,0(~),,,( 21 m

Tm NXXXX

j ijjimmkjm

aa2,)(

对任何 , 定义

则有当 时 , 有

Tmbbbb ),,,( 21

n

0|)(| kk XnE

0|])([|||

|]))(([||)(|

1

1

m

k kkk

m

k kkkn

nXbE

nXbEYE

由定理 4.2, 得到 依分布收敛到 ， 且Yn

则 从而由 和定理 4.1得到 (4.9).

).,(~ VarYEYNY bbVarYEY mTΣ ,0

用同样方法可以证明 : 对任何 有

其中 .定理 4.4 成立 .

注 : 当 时结论仍成立 .

)10.4(),,0(~),,,( 21 m

Tlmll NXXXX

j ijjimmkjm

aa2,)(

Nl

2}{ la j

§1.5 严平稳序列及其遍历性

严平稳与宽平稳关系

遍历性

宽平稳遍历性例子

严平稳遍历定理

例 5.1

线性平稳列的遍历定理

（ 1 ）正态白噪声（ 2 ） Poisson白噪声（ 3 ）独立同分布的白噪声

Hilbert 空间中的平稳序列 Hilbert 空间 内积的连续性 复值随机变量

Hilbert 空间

内积的连续性

例、 n 维 Hilbert 空间

复值随机变量

复值时间序列

§1.7 平稳序列的谱函数 时域和频域

谱函数定义

谱函数存在唯一性定理

谱函数和谱密度的关系

线性平稳序列的谱密度

例 )2,0(~,*85.0*36.0 221 WNX ttttt

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

自相关函数图

谱密度图

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

两正交序列的谱

线性滤波与谱