арифметическая и геометрическая прогрессии

Термин «прогрессия»имеет латинское происхождение

(progression, что означает «движение вперёд») и был введён

римским автором Боэцием (VI в.).

Этим термином в математике прежде именовали всякую

последовательность чисел, построенную по такому закону,

который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном

направлении.

Проверь себя!Проверь себя!

Прогрессии

Арифметическая Геометрическая

Определение

Формула n первых членов прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии

Свойства

a b

daa nn 1

nnda

Sn

2

)1(2 1

211

nnn

aaa

gbb nn 1

11

nn gbb

1

)1(1

g

gbS

n

n

11 nnn bbb

)1(1 ndaan

Зная эти формулы, можно Зная эти формулы, можно решить много интересных задач решить много интересных задач литературного, исторического и литературного, исторического и

практического содержания.практического содержания.

Даже в литературе мы встречаемсяДаже в литературе мы встречаемся с с математическими понятиями! математическими понятиями!

Так, вспомним строки изТак, вспомним строки из"Евгения Онегина"."Евгения Онегина".

......Не мог он ямба от хорея,Не мог он ямба от хорея,Как мы не бились отличить...Как мы не бились отличить...

Прогрессии в литературеПрогрессии в литературе

       ЯмбЯмб -- это стихотворный размер с это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8...ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8... Номера Номера

ударных слогов образуют арифметическую ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессию с первым членом 2 и разностью

прогрессии 2.прогрессии 2.

Прогрессии в литературеПрогрессии в литературе

ЯмбЯмб «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Прогрессии в литературеПрогрессии в литературе

Так бей, не знай отдохновенья,

Пусть жила жизни глубока:

Алмаз горит издалека —

Дроби, мой гневный ямб, каменья!

(А. Блок)

ЯмбЯ помню чудное мгновенье...

ЯмбУнылая пора, очей очарованье...

ХорейХорей -- это стихотворный размер с это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуютударных слогов образуют арифметическую арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и

разностью прогрессии 2.разностью прогрессии 2.

Прогрессии в литературеПрогрессии в литературе

Хорей «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

Классический хорей: Листья падают в саду… В этот старый сад, бывало, Ранним утром я уйду И блуждаю, где попало. (И.Бунин) Вот ещё хорей (тоже из Бунина): Яблони и сизые дорожки, Изумрудно-яркая трава На берёзах — серые серёжки И ветвей плакучих кружева.

Прогрессии в литературеПрогрессии в литературе

ХорейХорейБуря мглою небо кроет... Буря мглою небо кроет...

НАЗАД, В ИСТОРИЮ!НАЗАД, В ИСТОРИЮ!Понятие числовой последо -вательности возникло и раз-

вивалось задолго до соз - дания учения о функциях.

На связь между прогрессиями первым

обратил внимание великийАРХИМЕД

(ок. 287–212 гг. до н.э)

Прогрессии в древностиПрогрессии в древности

Задачи на Задачи на прогрессии, прогрессии,

дошедшие до нас из дошедшие до нас из древности, были древности, были

связаны с запросами связаны с запросами хозяйственной хозяйственной

жизни: жизни: распределение распределение

продуктов, деление продуктов, деление наследства и др. наследства и др.

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас

документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их

суммы:

Древний ЕгипетДревний Египет

2

)1(......321

nnn

)1(2......642 nnn

Древний ЕгипетДревний Египет

n

baS

dn

n

Sa

22)1(

Формула, которой пользовались египтяне:

Задача из египетского папируса Ахмеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же

между каждым человеком и его соседом равна меры»

8

1

Задача из Задача из папируса Райндапапируса Райнда

«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает

по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа

этого ряда и их сумма?»

«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как

велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401

колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

Англия Англия XVIII XVIII веквек

В XVIII в. в английских учебниках появились

обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

Арифметическая

Геометрическая

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был

восхищен её остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был

скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

Задача - легенда

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. Сета молчал. -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его. -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за

прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь. Мудрец поклонился.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у

ворот дворца.

Стоит ли царю смеяться? Стоит ли царю смеяться?

Решение задачи - легендыРешение задачи - легенды

,11 b ,2g n = 64

?64 S

126464 S

Её сумма равна

18 446 744 073 709 551 615

Дано ; 1, 2, 4, 8, 16…

Найти

Наградой за 64-ю клетку должно было бытьНаградой за 64-ю клетку должно было быть

18 446 744 073 709 551 61518 446 744 073 709 551 615

восемнадцать квинтиллионовчетыреста сорок шесть квадриллионовсемьсот сорок четыре триллионасемьдесят три миллиардасемьсот девять миллионовпятьсот пятьдесят одна тысячашестьсот пятнадцать зёрен.

Если всё это зерно засыпать в амбар высотой 4 метра и шириной 10 метров, то длина амбара

была бы вдвое больше, чем расстояние от Земли до Солнца...

ВыводВывод Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей

поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и

пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить

удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог

бы рассчитаться.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности

Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Задача из арифметики Задача из арифметики МагницкогоМагницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда

продавец предложил другие условия:"Если по-твоему цена  лошади высока, то

купи её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый

гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“

Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за

гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение задачи из Решение задачи из арифметики Магницкогоарифметики Магницкого

1. Составим последовательность чисел ;2;2;1;2

1;4

1 2

2. Данная последовательность является геометрической

прогрессией со знаменателем q =2, n = 24, (4 подковы по 6

гвоздей)

4

11 b

3. Попытаемся подсчитать сумму ;2;2;1;2

1;4

1 2

5. Имеем pS 420004

34194303

4

12

4

12

2

1

124

12

4

12224

2

24

24

111

q

bqbS

n

n4. Зная формулу

НАСЛЕДСТВОНАСЛЕДСТВО

Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$,

а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в

предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За

третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег

хватило на год такой безбедной жизни?

РешениеРешение ?:

10;50;100:

10

1

aÍàéòè

ndaÄàíî

Применив формулу )1(1 ndaan ,получаем:

$550)110(5010010 a

42340003652

)1365(50200365

S

?;365;50;1001 nSnda

nnda

Sn

2

)1(2 1Применив формулу

БАКТЕРИИБАКТЕРИИ

В благоприятных В благоприятных условиях бактерии условиях бактерии

размножаются так, что размножаются так, что на протяжении одной на протяжении одной минуты одна из них минуты одна из них

делится на две. Указать делится на две. Указать количество бактерий, количество бактерий,

рожденных одной рожденных одной бактерией за 7 минут.бактерией за 7 минут.

РешениеРешение

111

q

bqbS

n

n Зная формулу

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q =2, n = 7.

11 b

12712

121 7

7

SПолучаем м

ПеременкаПеременка

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой.

Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина

следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

РешениеРешение Составим последовательность чисел

;2

1;4

1;2

1;1

1n3nS

111

q

bqbS

n

n Зная формулу

;1

21

121

3

n

Значит

Вывод: не дойдёт!Вывод: не дойдёт!

Откуда 2

1

2

1

n

Заключение Заключение

Закончился двадцатый век.Куда стремится человек? Изучен космос и моря,Строенье звезд и вся земля.Но математиков зовет Известный лозунг

«Прогрессия — движение вперед».