Математика в Древней Греции

Математика в Древней Греции

История естественно-научных знаний в культуре и практической деятельностиСеминар 1 марта 2012

Великие математики Греции

Фалес Милетский (VI век до н.э.) Пифагор и пифагорейская школа (ок. 570 — 480 гг. до н.э.) Гиппократ Хиосский (вторая пол. V века до н.э.) Демокрит Абдерский (ок. 460 до н. э. — ок. 370 до н. э.) Архит Тарентский (конец V – начало IV века до н.э.) Феодор Киренский Теэтет (IV в. до н. э) Евдокс Книдский (первая пол. IV века до н.э.) и его ученики –

Каллипп, Менехм и Динострат Евклид (ок. 300 г. до н.э.) Архимед (III век до н.э.) Аполлоний (вторая половина III века до н.э.) Диофант (?)

«Начала» Евклида (Στοιχεῖα) 

Систематическое изложение античной математики.Написаны ок. 300 г. до н.э. и состоят из тринадцати книг.

Книги I-IV: основы планиметрии, свойства треугольников, параллелограммов, окружностей;

Книги V-VI: теория пропорций Евдокса, ее применение к теории подобных фигур;

Книги VII-IX: теория чисел, делимость, числовые пропорции;Книга X: классификация несоизмеримых величин;Книги XI-XIII: основы стереометрии, площади и объемы;

построение правильных многогранников.

Источники: «Начала» Гиппократа Хиосского, Евдокс Книдский, сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев, Теэтет Афинский.

«Начала» Евклида

Определения

точка – это то, что не имеет частей; линия – это длина без ширины; прямая – это линия, которая равно расположена по отношению к

точкам на ней; поверхность – это то, что имеет только длину и ширину; плоская поверхность есть та, которая равно расположена по

отношению к прямым на ней; граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

«Начала» Евклида

Постулаты Евклида

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по

прямой.3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние

односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

«Начала» Евклида

Аксиомы Евклида

1. Равные одному и тому же равны и между собой.2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.…4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.5. И целое больше части.

Язык математикиЗапись чисел

Аттическая системаСходна с римской системой записи чисел.I – 1, П (Γ) – 5, Δ – 10, Н – 100, Х – 1000, М - 10000 X H H Δ Δ Δ П I I I

Ионийская системаКаждая цифра обозначается отдельной буквой алфавита.Над буквами пишется линия.Тысячи обозначаются запятой перед буквой, десятки тысяч отделяются точкой.

Язык математики

Пример записи:

«Арифметика»Диофанта

В первой строчке записано уравнение

Язык математикиГеометрическая запись

1. «Если прямая AB разделена в какой-нибудь точке Г на два отрезка, то квадрат, построенный на целой линии АВ, равен квадратам на обоих отрезках АГ и ГВ, вместе с удвоенным прямоугольником из отрезков АГ и ГВ» (Книга II, теор. 4)

Задание: Какое известное алгебраическое равенство изложено в этом отрывке? Докажите его геометрически.

2. «Если прямая АВ разделена в одной точке Г на равные, а в точке Д на неравные отрезки, то прямоугольник из неравных отрезков АД и ДВ вместе с квадратом части, заключенной между точками деления Г и Д, составит квадрат, построенный на половине данной линии» (Книга II, теор. 5)

Задание: докажите это утверждение геометрически.

Язык математики

«Начала» Евклида

Византийский манускрипт D’Orville 301 (888 г. н.э),Bodleian Library, Oxford.

Числа и геометрические величиныТеория пропорций

Классическая теория («Начала» VII-IX):

Опр. 22: «Числа будут пропорциональны, если первое от второго, а третье от четвертого будут или равнократными, или той же частью, или теми же «частями»».

В современной записи:A : B = C : D, еслиA = mF, B = nF, а C = mG, D = nGТогда A/B = C/D = m/n

Числа и геометрические величиныТеория пропорций

Теория отношений Евдокса («Начала», книга V):

Расширение теории на любые величины (в том числе отрезки, объемы и д.т.), подчиняющиеся аксиоме Евдокса-Архимеда:

«…две величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»

(«Начала», книга V, определение 4)

a : b = c : dВеличина a так же относится к b, как c к d, если при любых двух

чисел m и n справедливо следующее:в случае, когда ma > nb, будет также mc > nd,в случае, когда ma < nb, будет также mc < nd,в случае, когда ma = nb, будет также mc = nd.

Числа и геометрические величины

Открытие несоизмеримости (Пифагор)

Задание:Докажите, что диагональ квадрата

несоизмерима с его стороной.(Если сторона квадрата выражается

целым числом, то его диагональ нельзя выразить отношениемцелых чисел).

Какие математические знания используются в этом доказательстве?

Числа и геометрические величины

Теорема Пифагора

Задание:Докажите теорему Пифагора

любым известным вам способом.

Каков геометрический смыслэтой теоремы?

Каков ее алгебраический смысл?

Геометрическая алгебра

Решение квадратных уравнений

Данная задачасводится к квадратному уравнению:

а (а - х) = х2

Задание:Покажите,что данное построениеприводит к верному ответу

Классические задачи древности

Задача Дельфийского оракула: Дан алтарь кубической формы. Построить куб, чей объем равен удвоенному данному.

Трисекция угла: Разделить данный угол на три равные части при помощи циркуля и линейки.

Квадратура круга: Построить квадрат равновеликий данному кругу.

Построения циркулем и линейкой

Задача 1: Построить биссектрису данного угла.

Задача 2: Разделить данный отрезок пополам.

Задача 3: Разделить данный отрезок на три равные части.

Задача 4: Дан единичный отрезок. Построить отрезок равный:

Задача 5: Удвоить отрезок, используя только циркуль.