Лекция 2...

Лекция 2Динамика поступательного

движения

ВСГУТУ, кафедра «Физика»

Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления

План:

1. Принцип относительности

2. Первый закон Ньютона

3. Второй закон Ньютона

4. Третий закон Ньютона

5. Силы в механике

6. Алгоритм решения задач динамики

7. Система частиц

8. Силы инерции

9. Тело переменной массы2

Первый закон Ньютона (закон инерции)

Инерция – явление сохранения скорости телом, если на

него не действуют внешние силы

Существует такая система отсчета, в которой всякое тело

находится в состоянии покоя или равномерного

прямолинейного движения пока воздействие со стороны

других тел не заставит его изменить это состояние

𝐅 = 0 → 𝐯 = 0

3

4

Инерциальные системы отсчета

Однородность времени

Однородность пространства

Изотропность пространства

К-система – неподвижная система

К’-система – подвижная система

Преобразования Галилея

𝐫′ = 𝐫 − 𝐯0𝑡

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣0𝑡

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝑡

Смена системы координат

К’-система движется поступательно относительно К-системы

𝐫 = 𝐫′ + 𝐯0𝑡

𝐯𝟎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝐯 =𝑑𝐫

𝑑𝑡=𝑑𝐫′

𝑑𝑡+ 𝐯0𝑑𝑡

𝑑𝑡=

𝐯 = 𝐯′ + 𝐯𝟎

𝐚 =𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝐚′

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея

Принцип относительности Галилея

Все инерциальные системы по

своим механическим свойствам

эквивалентны друг другу

Во всех инерциальных системах

отсчета свойства пространства и

времени одинаковы, одинаковы

также и все законы механики

7

8

Сила – величина, характеризующая влияние

одного тела на другое, причина ускорения

СИ 𝐹 = Н =кг∙м

с2, ньютон

СГС 𝐹 = дин =г∙см

с2, дина

Инертность – свойство тела сопротивляться

изменению его скорости.

Масса – мера инертности при поступательном

движении

𝑚 = кг

Аддитивная величина

Постоянная величина

9

Второй закон Ньютона

Ускорение материальной точки пропорционально

действующей на нее силе и обратно пропорционально

её массе

𝑎 = 𝐹

𝑚𝐅 = 𝑚 ⋅ 𝐚 𝑚 ⋅ 𝐚 = 𝐅

Инвариантно относительно преобразований Галилея

10

11

𝐚 =𝐅

𝑚

12

Производная импульса частицы по времени равна

действующей на тело силе

𝑑 𝑝

𝑑𝑡= 𝐹

𝑑 𝑝

𝑑𝑡=𝑑(𝑚 𝑣)

𝑑𝑡= 𝑣𝑑𝑚

𝑑𝑡+ 𝑚𝑑 𝑣

𝑑𝑡= 𝑣𝑑𝑚

𝑑𝑡+ 𝑚 𝑎 = 𝐹

𝑷 = 𝑚𝒗 – импульс тела

Второй закон Ньютона

𝑑 𝑝 = 𝐹𝑑𝑡

𝐹𝑑𝑡 = Н ∙ с Импульс силы

Уравнение движения частицы 𝑓 𝑟, 𝑣, 𝑡, 𝐹 = 0

𝑑 𝑝

𝑑𝑡= 𝐹 𝑚 𝑎 = 𝐹

𝑑 𝑝

𝑑𝑡− 𝐹 = 0 𝑚 𝑎 − 𝐹 = 0

13

14

15

Принцип суперпозиции

𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 +⋯

𝐹 – равнодействующая

Третий закон Ньютона

Силы, с которыми две

материальные точки воздействуют

друг на друга, всегда равны по

модулю и направлены в

противоположные стороны вдоль

прямой, соединяющей эти точки

𝐹12 = 𝐹21

Воздействия тел друг на друга

имеют характер взаимодействия

16

17

𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐴

Третий закон Ньютона

Фундаментальные взаимодействия

1. Гравитационное

2. Электромагнитное

3. Сильное

4. Слабое

18

Силы в механике

Сила гравитационного притяжения

𝐹12 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑟122 𝑟12

Кулоновская сила

𝐹12 = 𝑘𝑞1𝑞2

𝑟122 𝑟12

19

Силы в механике

Сила тяжести 𝐹т = 𝑚 𝑔

Вес тела 𝑃

сила, с которой тело действует на опору или подвес

Вес ≠ масса

20

Силы в механике

Сила реакции опоры 𝑁сила, с которой опора

действует на тело

Сила упругости 𝐹упр = −𝑘 𝑥

сила, пропорциональная

смещению тела из положения

равновесия и направленная к

положению равновесия21

22

Сила упругости

𝐹упр = −𝑘 𝑥

Закон Гука

Силы в механике

Сила трения скольжения 𝐹тр = −𝜇𝑁

сила, возникающая при

скольжении тела по

поверхности другого тела

Сила сопротивления 𝐹сопр = −𝜎 𝑣,

𝐹сопр = −𝜎𝑣2

сила, действующая на тело

при его движении в жидкости

или газе23

24

Сила реакции опоры

𝑁

Сила трения

𝐹тр = −𝜇𝑁

Задачи динамики

Прямая задача. Найти действующую на частицу силу,

если известны масса точки и зависимость от времени ее

радиус-вектора

𝑚, 𝑟 = 𝑟 𝑡 → 𝐹

25

Задачи динамики

Обратная задача. Найти закон движения частицы, если

известны масса частицы, действующая на нее сила и

начальные условия

𝑚, 𝐹, 𝑟0 → 𝑟 = 𝑟(𝑡)

26

27

𝑚𝐚 = 𝐅𝑖

𝑚𝐚 = 𝐅тяг + 𝐅тр +𝑚𝐠 + 𝐍

28

𝑚𝐚 = 𝐅тяг + 𝐅тр +𝑚𝐠 + 𝐍

29

𝑚𝐚 = 𝐅тяг + 𝐅тр +𝑚𝐠 + 𝐍

Ось 0x:

𝑚𝑎𝑥 = 𝐹тяг − 𝐹тр −𝑚𝑔𝑥

Ось 0y:

𝑚𝑎𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔𝑦

30

Ось 0x:

𝑚𝑎𝑥 = 𝐹тяг − 𝐹тр −𝑚𝑔𝑥

Ось 0y:

𝑚𝑎𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔𝑦 = 0

Алгоритм решения задач динамики

Запись условия

Построение чертежа

Выбор системы координат

Расстановка сил

Запись 2-го з.Н. в векторной форме

Запись 2-го з.Н. на координатные оси

Решение полученной системы уравнений 31

Система частиц

Импульс системы

𝑃 =

𝑖

𝑝𝑖 = 𝑝1 + 𝑝2 +⋯

Второй закон Ньютона

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝐹 =

𝑖

𝐹𝑖 = 𝐹внеш + 𝐹внутр

32

33

𝐹 =

𝑖

𝐹𝑖 =

𝑖

𝐹𝑖 внеш +

𝑖

𝐹𝑖 внутр

𝑖

𝐹𝑖 внутр = 0

Второй закон Ньютонадля системы тел

𝑑 𝑝

𝑑𝑡= 𝐹 =

𝑖

𝐹𝑖 внеш

Центр масс (центр инерции)

– точка, характеризующая

движение тела как целого

𝑟𝐶 = 𝑚𝑖𝑟𝑖 𝑚𝑖

= 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑀

𝑣𝐶 = 𝑚𝑖𝑣𝑖𝑀

𝑃 = 𝑀𝑣𝐶

34

Центр масс (центр инерции)

Уравнение движения центра масс системы

𝑀𝑑𝑣𝑐𝑑𝑡= 𝐹внеш

При движении любой системы частиц ее центр инерции

движется так, как если бы вся масса системы была

сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены

все внешние силы, действующие на систему

35

36

Теорема о движении центра масс

Неинерциальные системы отсчетаК’-система движется ускоренно

относительно К-системы

𝐫 = 𝐫′ + 𝐯0𝑡

𝐯𝟎 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝐯 =𝑑𝐫

𝑑𝑡=𝑑𝐫′

𝑑𝑡+𝐯0𝑑𝑡

𝑑𝑡= 𝐯′ + 𝒗𝟎

𝐚 =𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝐚′ + 𝐚𝟎

38

𝑷 = −𝒎𝒈 𝑷 = − 𝒎𝒈−𝒎𝒂𝑷 = − 𝒎𝒈+𝒎𝒂

𝑑𝐫 = 𝑑𝐫′ + 𝑑𝛗, 𝐫 =

= 𝐯′𝑑𝑡 + 𝑑𝛗, 𝐫

𝐯 = 𝐯′ + 𝛚, 𝐫

𝑑𝐯 = 𝑑𝐯′ + 𝛚, 𝑑𝐫

𝐯′ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑑𝐯′ = 𝑑𝛗, 𝐯′

𝑑𝛗, 𝐯′ − Изменение скорости, обусловленное вращением К’-системы

К’-система вращается с 𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 относительно К-системы

𝑑𝐫 = 𝐯′𝑑𝑡 + 𝑑𝛗, 𝐫

𝑑𝐯 = 𝑑𝐯′ + 𝛚, 𝑑𝐫

𝐯′ ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝑑𝐯′ = 𝐚′𝑑𝑡 + 𝑑𝛗, 𝐯′

𝐚 =𝑑𝐯

𝑑𝑡= 𝐚′ + 2 𝛚, 𝐯′ + 𝛚, 𝛚, 𝐫

К’-система вращается с 𝝎 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 относительно К-системы

Кориолисовоускорение

Осестремительноеускорение

Силы инерции

Основное уравнение динамики в неинерциальной системе

𝑚𝐚 = 𝑚𝐚′ +𝑚𝐚𝟎 + 2𝑚 𝛚, 𝐯′ + 𝑚 𝛚, 𝛚, 𝐫

41

Сила Кориолиса

Поступательная сила инерции

Центробежная сила инерции

Сила Кориолиса

𝑚𝒂′ = 𝑚𝐚 − 2𝑚 𝛚, 𝐯′

42

Движение тела переменной массы

𝑑𝐩

𝑑𝑡=𝑑(𝑚𝐯)

𝑑𝑡= 𝐯𝑑𝑚

𝑑𝑡+𝑚𝐚 = 𝐅

Уравнение Мещерского

𝑚𝐚 = −𝐯отн𝑑𝑚

𝑑𝑡+ 𝐅,

𝑑𝑚 – изменение массы тела

𝐯отн𝑑𝑚

𝑑𝑡– реактивная сила

43

Движение тела переменной массы

𝑚𝑑𝐯

𝑑𝑡= −𝒗отн

𝑑𝑚

𝑑𝑡

𝑑𝐯 = 𝐯отн𝑑𝑚

𝑚

∫ 𝑑𝑣 = −𝑣отн 𝑑𝑚

𝑚

𝑣 = −𝑣отн ln𝑚 + 𝐶

44

Начальные условия

𝑡0 = 0, 𝑣 = 0,𝑚 = 𝑚0

0 = −𝑣отн ln𝑚0 + 𝐶

𝐶 = 𝑣отн ln𝑚0

𝑣 = −𝑣отн ln𝑚0𝑚

Формула Циолковского

Движение тела переменной массы

Формула Циолковского

𝑣 = −𝑣отн ln𝑚0𝑚

𝑣отн = 2км

с, 𝑣1 косм = 8

км

с𝑚0𝑚= 54,6

98% массы ракеты приходится на топливо

45

46

47

48

49

𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓

50

𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓

Ось 0y𝑚1𝑎 = −𝑚1𝑔 + 𝑇Ось 0y’𝑚2𝑎 = 𝑚2𝑔 − 𝑇

51

𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓

Ось 0y𝑚1𝑎 = −𝑚1𝑔 + 𝑇Ось 0y’𝑚2𝑎 = 𝑚2𝑔 − 𝑇

𝑇 = 𝑚1𝑎 +𝑚1𝑔𝑇 = −𝑚2𝑎 +𝑚2𝑔

52

𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓𝑚1𝐚 = 𝑚1𝐠 + 𝐓

Ось 0y𝑚1𝑎 = −𝑚1𝑔 + 𝑇Ось 0y’𝑚2𝑎 = 𝑚2𝑔 − 𝑇

𝑇 = 𝑚1𝑎 +𝑚1𝑔𝑇 = −𝑚2𝑎 +𝑚2𝑔

𝑚1𝑎 +𝑚1𝑔 = −𝑚2𝑎 +𝑚2𝑔𝑎 𝑚1 +𝑚2 = 𝑔 𝑚2 −𝑚1