amortizacija kredita
DESCRIPTION
materijalTRANSCRIPT
AMORTIZACIJA KREDITA
1
Jednaki anuiteti Rj = R
-zajam Z mora biti jednak sumi diskontovanih vrednosti buducih
anuiteta, odnosno Z je sadašnja vrednost buducih n periodicnih
placanja iznosa R
-obracun pomocu konformne kamatne stope
r = rk - kamatna stopa po periodu placanja
r = rk =(1 +
ra
m
)1/s
− 1
s - broj placanja u jednom periodu kapitalisanja
ra - godišnja kamatna stopa
m - broj kapitalisanja u toku godine
28. mart 2007.
2
Jednaki anuiteti
Z = R1− (1 + r)−n
r
R =Zr
1− (1 + r)−n
n - broj periodicnih placanja
R - anuitet
Z - iznos kredita
r = rk - kamatna stopa po periodu placanja
28. mart 2007.
3
dug u j−tom periodu - razlika duga iz prethodnog perioda i otplate
Bj
Dj = Dj−1 −Bj , j = 1, 2, . . . , n
pocetni dug je jednak iznosu kredita
D0 = Z
kamata za j−ti period
Ij = rDj−1, j = 1, 2, . . . , n
otplata je razlika anuiteta i kamate
Bj = R− Ij , j = 1, 2, . . . , n
28. mart 2007.
4
j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 Bj = R− Ij R
1 D0 = Z I1 = r ·D0 B1 = R− I1 R
2 D1 = D0 −B1 I2 = r ·D1 B2 = R− I2 R
......
......
...
l Dl−1 = Dl−2 −Bl−1 Il = r ·Dl−1 Bl = R− Il R
......
......
...
n Dn−1 In = r ·Dn−1 Bn = R− In R
=Dn−2 −Bn−1
Pnj=1 Dj−1 r
Pnj=1 Dj−1
Pnj=1 Bj n ·R
28. mart 2007.
5
kontrolna vrsta
1) poslednja otplata mora biti jednaka poslednjem ostatku duga
Bn = Dn−1
2) zbir svih otplata mora biti jednak zajmu
n∑
j=1
Bj = Z
3) zbir ukupne kamate i ukupnih otplata mora biti jednaka zbiru svih
anuitetan∑
j=1
Bj +n∑
j=1
Ij = nR
28. mart 2007.
6
Plan amortizacije
Zadatak
Banka odobrava kredit na dve godine sa godišnjom kamatnom
stopom 8%, polugodišnjim kapitalisanjem i tromesecnim anuitetima.
Firma je uzela kredit od 20 000 USD. Napraviti plan amortizacije
kredita.
28. mart 2007.
7
j Dj−1 Ij Bj R
1 20000.00 396.08 2331.81 2727.89
2 17668.19 349.90 2377.99 2727.89
3 15290.20 302.81 2425.08 2727.89
4 12865.12 254.78 2473.11 2727.89
5 10392.01 205.80 2522.09 2727.89
6 7869.92 155.86 2572.03 2727.89
7 5297.89 104.92 2622.97 2727.89
8 2674.92 52.97 2674.92 2727.89
92058.23 1823.11 20000.00 21823.11
28. mart 2007.
8
Plan amortizacije
ostatak duga nakon placanja prvih l anuiteta (ostatak duga na
pocetku (l + 1)−vog perioda)
Dl = R (1 + r)−1+· · ·+R (1 + r)−(n−l) = R1− (1 + r)−(n−l)
r
kamata u (l + 1)−vom periodu
Il+1 = r ·Dl
otplata u (l + 1)−vom periodu
Bl+1 = R−Il+1 = R−Rr1− (1 + r)−(n−l)
r= R(1+r)−(n−l)
28. mart 2007.
9
Dl = Bl+1 + Bl+2 + · · ·+ Bn
otplaceni deo duga
Ol = Z −Dl = B1 + B2 + · · ·+ Bl
= R(1 + r)−n + R(1 + r)−(n−1) + · · ·+ R(1 + r)−(n−(l−1))
= R(1 + r)−n (1 + r)l − 1r
28. mart 2007.
10
Plan amortizacije
R =Zr
1− (1 + r)−n
odredjivanje broja anuiteta (n)
n = −ln
(1− Zr
R
)
ln(1 + r)
odredjivanje vremena amortizacije kredita (N )
N =n
ms
28. mart 2007.
11
Plan amortizacije
anuitetni ostatak R0
Z = R (1 + r)−1+R (1 + r)−2+· · ·+R (1 + r)−(n−1)+R0 (1 + r)−n
Z = R1− (1 + r)−(n−1)
r+ R0(1 + r)−n
R0 =(
Z −R1− (1 + r)−(n−1)
r
)(1 + r)n
28. mart 2007.
12
Plan amortizacije
Zadatak Kredit od 10 000 dinara treba otplacivati mesecnim
anuitetima od 2 000 din, uz 10% kamate mesecno. Odrediti broj
anuiteta i anuitetni ostatak.
Zadatak Kredit od Z = 10 000 EUR sa kamatnom stopom
ra = 12% i polugodišnjim kapitalisanjem treba vratiti polugodišnjim
anuitetima zaokruženim na deset EUR za 3 godine. Napraviti plan
amortizacije.
28. mart 2007.
13
j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 Bj = R− Ij R
1 10 000.00 600.00 1 430.00 2 030
2 8 570.00 514.20 1 515.80 2 030
3 7 054.20 423.25 1 606.80 2 030
4 5 447.40 326.84 1 703.20 2 030
5 3 744.20 224.65 1 805.40 2 030
6 1 938.80 116.33 1 938.80 2 055. 10∑
36 754.60 2 205.27 10 000.00 12 205.10
28. mart 2007.
14
Razliciti anuiteti Rj
opšta pravila
D0 = Z dato
Ij = r ·Dj−1
Bj = Rj − Ij
Dj = Dj−1 −Bj , j = 1, 2, . . . , n
28. mart 2007.
15
Razliciti anuiteti Rj
Zadatak Kredit od 30 000 EUR treba otplatiti za najviše 6 meseci,
mesecnim anuitetima koji su najmanje 10% od ostatka duga i 8%kamate mesecno. Napraviti plan amortizacije.
napomena -u ovakvim slucajevima plan amortizacije nije
jedinstveno odredjen
28. mart 2007.
16
Razliciti anuiteti Rj
j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 Bj = Rj − Ij Rj
1 30 000 2 400 3 000 5 400
2 27 000 2 160 5 000 7 160
3 22 000 1 760 5 000 6 760
4 17 000 1 360 5 000 6 360
5 12 000 960 6 000 6 960
6 6 000 480 6 000 6 480∑
114 000 9 120 30 000 39 120
28. mart 2007.
17
Razliciti anuiteti i jednake otplate po anuitetu
B1 = B2 = · · · = Bn = B
Z =n∑
j=1
Bj = nB
otplata
B =Z
nkamata
Ij = r ·Dj−1 = r ·B(n− (j − 1))
28. mart 2007.
18
anuitet
Rj = B + Ij = B + rB(n− (j − 1))
= B (1 + r(n− (j − 1)))
ukupna kamata
n∑
j=1
Ij = rZn + 1
2= rB
n(n + 1)2
suma svih anuiteta
n∑
j=1
Rj=n∑
j=1
Bj +n∑
j=1
Ij= Z + rZn + 1
2= Z
(1 + r
n + 12
)
28. mart 2007.
19
Razliciti anuiteti i jednake otplate po anuitetu
Zadatak Kredit od 30 000 EUR treba otplatiti za 6 meseci sa 8%mesecne kamatne stope i sa anuitetima kod kojih su otplate
jednake. Napraviti plan amortizacije.
28. mart 2007.
20
j Dj−1 Ij = r ·Dj−1 B = Rj − Ij Rj
1 30 000 2 400 5 000 7 400
2 25 000 2 000 5 000 7 000
3 20 000 1 600 5 000 6 600
4 15 000 1 200 5 000 6 200
5 10 000 800 5 000 5 800
6 5 000 400 5 000 5 400∑
105 000 8 400 30 000 38 400
28. mart 2007.
21
Razliciti anuiteti koji cine aritmeticku progresiju
R1 = R
R2 = R + d
R3 = R + 2d
...
Rn = R + (n− 1) d
28. mart 2007.
22
Razliciti anuiteti koji cine aritmeticku progresiju
Z = R (1 + r)−1+(R + d) (1 + r)−2+· · ·+(R + (n− 1) d) (1 + r)−n
Q = (1 + r)−2 + 2 (1 + r)−3 + · · ·+ (n− 1) (1 + r)−n
Q(1 + r)−Q = Qr =1− (1 + r)−n
r− n(1 + r)−n
28. mart 2007.
23
Q =1r
(1− (1 + r)−n
r− n (1 + r)−n
)
Z = R1− (1 + r)−n
r+ dQ
R =r
1− (1 + r)−n (Z − dQ)
Ij = r ·Dj−1, Bj = Rj − Ij , Dj = Dj−1 −Bj
28. mart 2007.
24
Razliciti anuiteti koji cine aritmeticku progresiju
Zadatak Kredit od 200 000 dinara sa 5% kamatne stope treba
vratiti godišnjim anuitetima koji rastu za 3 000 dinara u roku od 6godina. Odrediti anuitete.
28. mart 2007.
25
Razliciti anuiteti koji cine geometrijsku progresiju
R1 = R
R2 = Rq
R3 = Rq2
...
Rn = Rqn−1
28. mart 2007.
26
Razliciti anuiteti koji cine geometrijsku progresiju
Z = R (1 + r)−1 + Rq (1 + r)−2 + . . . + Rqn−1 (1 + r)−n
=R
q
(q (1 + r)−1 + q2 (1 + r)−2 + . . . + qn (1 + r)−n
)
Neka je r1 = q (1 + r)−1
Z =R
1 + r
1− rn1
1− r1, ako je r1〈1
Z =R
1 + r
rn1 − 1
r1 − 1, ako je r1〉1
28. mart 2007.
27
anuitet
R = Z (1 + r)1− r1
1− rn1
, ako je r1〈1
R = Z (1 + r)r1 − 1rn1 − 1
, ako je r1〉1
Zadatak Kredit od 1 000 000 dinara se amortizuje za 4 godine sa
kamatnom stopom 6% tako da svaki anuitet bude za 50% veci od
prethodnog. Odrediti anuitete.
28. mart 2007.