ami pro - 6geop · drepte perpendiculare dreptele a §i b sunt perpendiculare dac¬ formeaz¬ un...
TRANSCRIPT
UNGHIURI ADIACENTE
- au v¼rful comun- au o latur¬ comun¬- celelalte dou¬ laturi sunt situate de o
parte §i de alta fa@¬ de latura comun¬
m(ˆAOB) = m(ˆAOC) / m(ˆCOB)
O
C
B
A
BISECTOAREA UNUI UNGHI
Este semidreapta cu urm¬toarele propriet¬@i:- are originea ”n v¼rful unghiului- este situat¬ ”n interiorul unghiului- formeaz¬ unghiuri congruente cu laturile unghiului
ˆAOC Á ˆ COB
Un punct din interiorul unui unghi propriu apar@inebisectoarei unghiului « distan@ele de la punct la laturileunghiului sunt egale
ˆAOC Á ˆ COB « [MN] Á [MP]
A
O B
C
A
O B
CM
N
P
UNGHIURI SUPLEMENTARE
Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care sumam¬surilor este egal¬ cu 180o
m(ˆAOB) / m(ˆMNP) = 180o
Unghiul MNP este suplementul unghiului AOB.Unghiul AOB este suplementul unghiului MNP.
Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuriadiacente sunt semidrepte opuse, atunciunghiurile sunt suplementare.
m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 180o
Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §isuplementele lor sunt congruente.
A O
B
M
N P
A O
B
C
UNGHI DREPT
Este unghiul congruent cu suplementul s¬u.
m(ˆAOB) = 90o
Orice dou¬ unghiuri drepte sunt congruente.
DREPTE PERPENDICULARE
Dreptele a §i b sunt perpendiculare dac¬ formeaz¬ ununghi drept.
a ^ b « m(ˆO) = 90o
A
O BC
a
b
O
UNGHIURI OPUSE LA VŠRF
Dou¬ unghiuri proprii se numescopuse la v¼rf dac¬ au laturile ”n prelungire.
Unghiurile opuse la v¼rf sunt congruente.
ˆAOB Á ˆ COD ˆBOC Á ˆAOD
Dac¬ punctele A, O, C sunt coliniare §i ˆAOB Á ˆ COD,
atunci §i punctele B, O, D sunt coliniare.
¤ .A,O,B
∠ AOB ≡ ∠ CODC,O,D
A
B
C
D
O
UNGHIURI COMPLEMENTARE
Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care sumam¬surilor este egal¬ cu 90o.
Unghiul MNP este complementul unghiului AOB.Unghiul AOB este complementul unghiului MNP.Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuri adiacentesunt perpendiculare, atunci unghiurile suntcomplementare.
m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 90o
Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §isuplementele lor sunt congruente.
AO
BM
N
P
A O
B C
M¬sura unghiului format de bisectoarele a dou¬unghiuri adiacente este egal¬ cu semisuma m¬suriloraccestora.
.m(∠ MON)=m(∠ AOB)+m(∠ BOC)
2
Bisectoarele a dou¬ unghiuri adiacente §i suplementaresunt perpendiculare.
Perpendiculara dus¬ pe bisectoarea unui unghi estebisectoarea unghiului adiacent §i suplementar acestuia.
A
O
B
C
M
N
A O B
C
M
N
UNGHIURI ™N JURUL UNUI PUNCT
- au v¼rful comun- nu au puncte interioare comune- reuniunea lor §i a interioarelor
acoper¬ ”ntreg planul
Suma m¬surilor unghiurilor ”njurul unui punct este egal¬ cu 360o.
m(ˆAOB) / m(ˆBOC) / m(ˆCOD) // m(ˆDOE) / m(ˆEOF) / m(ˆFOA) = 360o
A
B C
D
A'
EF
OPERA`II CU UNGHIURI
Dac¬ unghiurile AOC §i BOC sunt adiacente,atunci:
m(ˆAOB) = m(ˆAOC) /m(ˆBOC).
Dac¬ unghiurile MON §i MOP:- au v¼rful comun;- o latur¬ comun¬- laturile necomune se afl¬ de aceea§i parte a
laturii comune
atunci: m(ˆNOP) == m(ˆMOP) – m(ˆMON)
O
C
B
A
O
N
P
M
TRIUNGHIURI CONGRUENTE
† ABC Á †MNP «
[AB] ≡ [MN][BC] ≡ [NP][CA] ≡ [PM]∠ A ≡ ∠ M∠ B ≡ ∠ N∠ C ≡ ∠ P
A
B C
M
N P
CAZURILE DE CONGRUEN`®
I. L.U.L.
† ABC Á † MNP «
[AB] ≡ [MN][BC] ≡ [NP]∠ B ≡ ∠ N
II. U.L.U.
† ABC Á † MNP «
[BC] ≡ [NP]∠ B ≡ ∠ N∠ C ≡ ∠ P
III. L.L.L.
† ABC Á † MNP «
[AB] ≡ [MN][BC] ≡ [NP][CA] ≡ [PM]
A
B C
M
N P
A
B C
M
N P
A
B C
M
N P
CAZURILE DE CONGRUEN`® ALE TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE
C.C. C.U † ABC Á † MNP « † ABC Á † MNP «
[AB] ≡ [MN][AC] ≡ [MP]
[AC] ≡ [MP]∠ C ≡ ∠ P
I.U. I.C. † ABC Á † MNP « † ABC Á † MNP «
[BC] ≡ [NP]∠ C ≡ ∠ P
[BC] ≡ [NP][AC] ≡ [MP]
C
N
M P
B
C
N
M PA
B
C
N
M PA
B
C
N
M PA
B
MEDIATOAREA UNUI SEGMENT
Este dreapta perpendicular¬ pe segment ”n mijlocul s¬u.
Un punct apar@ine mediatoarei unui segment « este egaldep¬rtat de extremit¬@ile segmentului.
A BM
d
A BM
N
CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR
Dup¬ unghiuri-ascu@itunghice (toate unghiurile ascu@ite)-dreptunghice (un unghi drept)-obtuzunghice (un unghi obtuz)
Dup¬ laturi- oarecare (scalene)- isoscele (dou¬ laturi congruente)- echilaterale (toate laturile congruente)
A B
C M
N P
D
E F
A B
C
N P
M D
E F
LINII IMPORTANTE ™N TRIUNGHI
-™n¬l@imea AD ^ BC ( perpendiculara din v¼rf pe latura opus¬ - Bisectoarea ˆ BAA' Á ˆ AA'C
(intersec@ia dintre bisectoarea unghiului §i interiorul triunghiului) - Mediana [BM] Á [MC]
(segmentul ce une§te v¼rful cu mijlocul laturii opuse) - Mediatoarea [BM] Á [MC], d ^ BC(perpendiculara dus¬ prin mijlocul laturii)
A
B D A' M C
d
BISECTOARELE UNUI TRIUNGHI
™ntr-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente.
¤ AQ ÇBS ÇCQ = {I}
∠ BAQ ≡ ∠ QAC∠ BCP ≡ ∠ PCA∠ ABS ≡ ∠ SBC
Punctul de intersec@ie al bisectoarelor este centrulcercului ”nscris ”n triunghi.
[IE] Á [IE] Á [IG], IE ^ AC, IF ^ AB, IG ^ BC
A
B C
I
G
EP
Q
S
F
Punctul de intersec@ie al bisectoarelorexterioare a dou¬ unghiuri din triunghi se afl¬pe bisectoarea interioar¬ a celui de-al treileaunghi.
Punctul lor de intersec@ie este centrulcercului ex”nscris.
A
B C
I
DE
F
MEDIATOARELE UNUI TRIUNGHI
Mediatoarele laturilor unui triunghi suntconcurente.
Punctul de intersec@ie al mediatorelor laturilor unuitriunghi este centrul cercului circumscristriunghiului.
Centrul cercului circumscris unui triunghidreptunghic este mijlocul ipotenuzei.
A
B CM
NP
A
B CO
MEDIANELE UNUI TRIUNGHI
Medianele unui triunghi sunt concurente.
Punctul de concuren@¬ al medianelor se nume§tecentrul de greutate al triunghiului.
Centrul de greutate al triunghiului se afl¬ pe fiecare median¬, la o treime de baz¬§i dou¬ treimi de v¼rf
Triunghiul MNP se nume§te triunghi median sau complementar.
A
B C
M
N
P
G
™N®L`IMILE UNUI TRIUNGHI
™n¬l@imile unui triunghi sunt concurente.Punctul de concuren@¬ al ”n¬l@imilor se nume§te ortocentru.
-Triunghiul format din ortocentru §i dou¬ v¼rfuri are dreptortocentru cel de-al treilea v¼rf al s¬u.
- A este ortocentru ”n † HBC - B este ortocentru ”n † HAC
- C este ortocentru ”n † HAB
A
B CD
E
FH
- Ortocentrul unui triunghiobtuzunghic se afl¬ ”nexteriorul triunghiului.
- Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afl¬ ”n v¼rful s¬u drept.
Triunghiul av¼nd drept v¼rfuri picioarele ”n¬l@imilor senume§te triunghi ortic.
™n¬l@imile triunghiului sunt bisectoarele triunghiuluiortic.
A
B CD
E
F
H
BA
DC A
B C
H
B'
A'
C'
DREPTE PARALELE
Dou¬ drepte sunt paralele dac¬:- sunt coplanare;- nu au nici un punct comun.
a ½½ b
Axioma paralelelor (postulatul lui Euclid)Printr-un punct exterior unei drepte date, trece o singur¬ paralel¬ la dreapta dat¬.
Dou¬ drepte distincte paralele cu a treia dreapt¬ suntparalele ”ntre ele.
a ½½b, b ½½ c ¤ a ½½ c
a
b
×A
a
b
c
DREPTE PARALELE T®IATE DE O SECANT®(ˆ3, ˆ5); (ˆ4, ˆ6) - unghiuri alterne interne(ˆ1, ˆ7); (ˆ2, ˆ8) - unghiuri alterne externe(ˆ1, ˆ5); (ˆ4, ˆ8) - unghiuri corespondente(ˆ2, ˆ6); (ˆ3, ˆ7) - unghiuri corespondente(ˆ4, ˆ5); (ˆ3, ˆ6) - unghiuri interne
(de aceea§i parte a secantei)(ˆ1, ˆ8); (ˆ2, ˆ7) - unghiuri externe
(de aceea§i parte a secantei)Dreptele a §i b sunt paralele « a) unghiurile alterne interne sunt congruente
b) unghiurile alterne exerne sunt congruente c) unghiurile corespondente sunt congruente d) unghiurile interne sunt suplementare e) unghiurile exerne sunt suplementare
a ½½ b « a) ˆ3 Á ˆ 5 (a.i.), ˆ 4 Á ˆ 6 (a.i.); b) ˆ1 Á ˆ 7 (a.i.), ˆ 2 Á ˆ 8 (a.e.) c) ˆ2 Á ˆ 6 (coresp), ˆ 3 Á ˆ 7 (coresp.);
d) m(ˆ4) / m(ˆ5) = 180o(i.), m(ˆ3) / m(ˆ6) = 180o(i.), e) m(ˆ1) / m(ˆ8) = 180o(e.), m(ˆ2) / m(ˆ7) = 180o(e.).
1 2
34
5 6
78a
b
PERPENDICULARITATE ¦I PARALELISM
Dou¬ perpendiculare pe aceea§i dreapt¬ sunt paralele
¤ a ½½ ba ⊥ cb ⊥ c
O perpendicular¬ pe o dreapt¬ este perpendicular¬ pe oriceparalel¬ la dreapt¬.
c ^ a, a ½½ b ¤ c ^ b
c
a b
a
b
c
PARALELE INTERSECTATE DE PARALELE
Dou¬ drepte paralele sunt t¬iate de alte dou¬ drepteparalele dup¬ segmente congruente.
a ½½b, c ½½d ¤ [AB] Á [CD], [AD] Á [BC]a
b
c d
A B
D C
LINIA MIJLOCIE ™NTR-UN TRIUNGHI
Este segmentul care une§te mijloacele a dou¬laturi din triunghi.
Linia mijlocie este paralel¬ cu a treia latur¬ §i arelungimea egal¬ cu jum¬tate din lungimea acesteia.
Paralela dus¬ prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la alt¬ latur¬ atriunghiului trece prin mijlocul celei de-a treia laturi a triunghiului.
[AM] Á [MB], [AN] Á [NC] ¤ MN ½½ BC, MN = · BC12
[AM] Á [MB], MN ½½ BC ¤[AN] Á [NC]
A
B C
M N
SUMA M®SURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI
Suma m¬surilor unghiurilor unui triunghi este egal¬ cu 180o.† ABC ¤ m(ˆA) / m(ˆB) / m(ˆC) = 180o
Un triunghi are cel mult un unghi de m¬sur¬ mai mare sau egal¬ cu 90o.Unghiurile ascu@ite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare..
Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt [email protected] de la baza unui triunghi dreptunghic isoscel au m¬sura de 45o.Unghiurile unui triunghi echilateral au m¬sura de 60o.
A
B C
1 3
UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI
Este unghiul format de o latur¬ a triunghiului cuprelungirea altei laturi a triunghiului.
M¬sura unghiului exterior unui triunghi este egal¬ cusuma m¬surilor celor dou¬ unghiuri ale triunghiuluineadiacente cu el .
m(ˆACB') = m(ˆA) / m(ˆB)
A
B C B'
TRIUNGHIUL ISOSCELEste triunghiul cu dou¬ laturi conguente.
† ABC iso. « [AB] Á [AC]Propriet¬@i Un triunghi este isoscel «
- are dou¬ unghiuri congruente; - liniile importante corespunz¬toare bazei coincid; - liniile importante corespunz¬toare laturilor congruente sunt congruente.
† ABC iso. ([AB] Á [AC]) « -ˆB Á ˆ C ; - AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á A2;
- [BB'] Á [CC'] , [BD] Á [CE], [BP] Á [CN].
A
B C
A
B CM
1 2
A
B C
N P
M
B'C'
DE
G
I
H
TRIUNGHIUL ECHILATERALEste triunghiul cu toate laturile conguente.
† ABC echi. « [AB] Á [BC] Á [CA]Propriet¬@i Un triunghi este echilateral «
- are toate unghiurile congruente; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei
laturi coincid; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei laturi sunt congruente.
† ABC echi. ([AB] Á [BC] Á [CA]) « -ˆ A Á ˆB Á ˆ C;
- AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á ˆA2; BN ^ AC, [AN] Á [NC], ˆB1Á ˆ B2;
CP ^ AB, [AP] Á [PB], ˆC1Á ˆ C2 - [AM] Á [BN] Á [CP].
A
B C
A
B C
A
B CM
NP
O
UNGHIURI CU LATURILE PARALELE
Unghiurile cu laturile paralele suntcongruente sau suplementare.
OA ½½O'A' , OB ½½O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B'
sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o
A
O B
O' B'
O"
C
D
A
O B
O' B'
A'
O"
D
C
A'
UNGHIURI CU LATURILE PERPENDICULARE
Unghiurile cu laturile perpendicularesunt congruente sau suplementare.
OA ^O'A' , OB ^ O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B'
sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o
Dou¬ unghiuri congruente cu dou¬ laturi perpendiculare au §i celalte dou¬laturi perpendiculare.
O
A'B'
A
B
A
B
A'
B'
O
OB
O'
A'B'
AA B
OO'
B
A'