3 ATOMOS CON UN ELECTRON

3.1 lntroduccin 3.2 Atomo de hidrgeno 3.3 Espectro del hidrgeno 3.4 Cuantizacin del momentum angular 3.5 Funciones de onda de un electrn en un campo de fuerzas centrales 3.6 Efecto Zeeman 3.7 Espn del electrn 3.8 Adicin de momenta angulares 3.9 lnteraccin espn-rbita

3.2) 8.1 lntroduccin

Afomo de hidrgeno

113

Comenzaremos nuestro estudio de los tomos resumien do las ideas fundamentales acerca de su estructura atmica. Un tomo tiene una dimensin total del orden de 10-9 m. Est compuesto de un ncleo relativamente pesado (cuyas dimensiones son del orden de 10-14m) alrededor del cual se mueven los electrones, cada uno de carga - e, que ocupan el resto del volumen atmico. El ncleo est compuesto de A partculas (A es el nmero msico) llamadas nucleones, de las cuales Z son pro. tones (Z es el nmero afmico), cada uno de carga + e, y N (= A - Z) son neutrones que no tienen carga elctrica. El ncleo posee entonces una carga .positiva + Ze. En cualquier tomo el nmero de electrones es gual al de protones (es decir Z) por lo que el tomo es un sistema elctricamente neutro. Sin embargo, en ciertas circunstancias un tomo puede ganar o perder algunos electrones, cargndose negativa o positvamente; en este caso se denomina ion. La masa del nuclen es cerca de 1850 veces ms grande que la del electrn; en consecuencia, la masa del tomo es prcticamente igual a la de su ncleo. Sn embargo, los electrones Z de un tomo son responsables de la mayoria de las propiedades atmcas que se retlejan en las propiedades macroscpcas de la materia, tales como las propiedades elsticas y electromagnticas de los diversos materiales. Las interacciones electromagnticas entre electrones y ncleos de tomos diferent es juegan un papel bsico en la ligadura de tomos para formar molculas, en las reacciones qumicas y en prcticamente todas las propiedades macroscpicas de la materia. Podemos explicar el movimiento de los electrones alrededor del ncleo consi

polares de la fig. 3-11, que representan las funciones d de la tabla 3-5. Para valores mayores de I la situacin se hace an ms compleja. Una propiedad importante de las funciones angulares Y/ml es que tienen pari~ dad igual a (-1)/. Esto es, para I = O, 2, 4, ..., entero par, las funciones Y/ml tienen el mismo valor y el mismo signo en puntos situados simtricamente res~ pecto al origen de coordenada s, siendo por lo tanto funciones pares, mientras que para I = 1, 3, 5, ..., entero impar, las funciones Y/ml tienen el mismo valor pero signos opue,stos en puntos simtricos, siendo entonces funciones impares. Se puede demostrar que para transiciones dipolares elctricas los estados inicial y final deben tener paridades opuestas, por 10 que estos estados no pueden ten er

3.,5)

Funciones de onda de un eleclrn

129

I

z

z

y x}l'ig. 3-10. Funciones

y

y

xangulares de onda para los estados p (l

=

1).

z

z

z

y

y

y

xI d3z2-r2

dyz

z ---y

z

xdX2 -y2

xdxylIf

Fig. 3-11.

Funciones

angulares

de onda para los estados

d (1 = 2).

el mismo valor de 1. Por esa razn, el valor M = O es imposible para esas transiciones, como se indicM anteriormente en relacin con la ec. (3.17). La parte radial R(r) de la funcin de onda Ij(r,6, t/J) depende de la energia Y del mdulo del momentum angular, pero no de su orientacin. Podemos entender esto porque dada la simetria esfrica de un campo central, la distribucin radial del movimiento electrnico debe ser independiente de la orientaci.n de SuDlomentum angular, o sea que debe ser independiente de m,. Este es el anlogo

130

Atomos con un electrnTABLA 8-6 Funciones mos hidrogen oides de onda radiales de los to-

(3.511

-

n

I

Rnl(r) (p

= 2Zr/nao)

1

OO

Z)* RIo(r)= 2 (-;;; e-p/aR (1')- --- (Z ta (2 p)e-p/a 1 ao - 2V2 ao -

2 1 -

1 -;;; RaI(r)= 2V6 (Z ra pe-p/a

O R30(r) 9V3 (Z ra (6 - 6p + pa)e-p/a = 1 -;;; -------. 3 1 2 Ra1(r) 9Vf>-;;;ra p(4 - p)e-p/a = 1 (Z

1 -;;; Ra2(r)= 9V30 (Z ta pae-p/a

cuntico del resultado clsico de que la energia y el mdulo del momentum angular determinan el "tamao" de la rbita. Por lo tanto, la funcin radial depende del nmero cuntico n asociado con la energia, y de I pero no de ml. Luego, estas funciones radiales se representan por Rnl(r) Y la funcin de onda total es IjInlm(r, ,1

=

Rno(r) Y1m(0, 1.

(3.18)

La tabla 3-6 da las funciones radiales correspondientes a los tres primeros niveles de energia de los tomos hidrogenoides. La fig. 3-12 muestra estas funciones. La lnea de trazos indica en cada caso el radio clsico de la rbita, conforme a la ec. (3.11). Podemos ver que, aunque lo ms probable es que el electrn se encuentre dentro del radio clsico de la rbita, tambin se puede encontrar a distancias mayores. La probabilidad de encontrar el electrn dentro de una capa esfrica de radios l' y l' + dI' independientemente de su posicin angular es proporcional a r2[Rnl(r)]2 (ver problema 3.25). La fig. 3-13 muestra estas probabilidades. Una particularidad interesante que se aprecia fcilmente en la fig. 3-12 es que las funciones radiales para electrones s tienen valores relativamente grandes para l' pequeo. Decimos que los electrones s describen rbitas penetrantes que llegan muy cerca del ncleo. Los electrones p son menos penetrantes, los electrones d an menos y as sucesivamente para valores crecientes del momentuIll angular. Esto es fcil de entender si consideramos que (tanto en la mecnica clsica como en la cuntica) el movimiento radial bajo la accin de una fuerza

3.5)Funciones11

de onda de un electrnn=3 l,O

131

n=1

n=2 2,0

6 l,O 4 1=0 2 1\ 1=0 0,5 1=0

O

8

O

8

12

o al

4

8

o.:~,

r, A

ai

4r, A

8

j

0'2~ () 01~, ' O

1=1 ~1112

4 3 o r, A

,

I 8

L12

.'il\'. 3-12. ordcnada de Funeioncs ~s (Rnl(r) ro-a/aJ x 10-8. para n la curva radiales del hidrgcllo

=

1, 2 Y 3. En cada caso, la

n=1

401=0 20

4()

n=3 I=()

2()

4

8

12

60 1= 1 40

~lA"()2()

4

S

12

) a~

4o r, A

8

()

~h-t

:o

,

~

I

8r. A

12

((;!

En cada caso la ordenada es [raRnl(r)ro-I] x 10-1&.

l'ig. 3-13.

Distribucin

radial de probabilidad

en el hidrgno

para n

=

..

l, 2 Y 3.

132

Atomos con un electrn

(3.511

eentral corresponde a un potencial efectivoEp,et

=

Ep(r)

+ -2mr2 =

L2

E p (r)

+

1(12mr1)1i2 + n'

(3.19)

donde Ep(r) es la energa potencial de la fuerza central (el potencal coulombano en el caso de un electrn) y L2f2mr2 se denomina potencial centrifugo (ver ejemplo 3.5). Para los estados s tenemos I = O Y no hay potencial centrfugo por lo que Ep,et = Ep' Luego, un electrn s ligado o con energa E negativa (fig. 3-14a) se puede mover clsicamente entre O y A tenien do en consecuenca acceso al origen de coordenadas. La forma de la parte radial de la funcn de onda debe ser entonces como se muestra en la parte inferior de la figura. (El nmero de oscilacones de la funcn de onda depende de la energa). Para otros valores del momentum angular, la forma del potencial efectivo es cOmo se muestra en la fig. 3-14(b). Clsicamente, el electrn se debe mover por lo tanto entre B y C. Traducmos esto allenguaje cuntico dicendo que la funcn de onda debe decrecer rpidamente fuera de los limites clsicos del movimiento, debiendo ser entonces muy pequea cerca del origen. Cuanto mayor sea el momentum angular, tanto ms lejos del origen comienza la funcn de onda a ser aprecable y tanto menos "penetrante" es la rbita. Esta caracterstica del movimiento electrnico se refleja en muchas propiedades importantes del tomo. Por ejemplo: los electrones s son muy sensibles a la forma y a la estructura interna del ncleo, mientras que los electrones que tienen momentum angular mayor son mucho menos sensibles a la forma y a la estructura nucleares.EJEMPLO 3.4. propias. Anlisis de los operadores de momentum angular y sus funciones momentum

Solucin: Recordemos de la tabla angular est dado por

2-2, seccin 2.12, que el operadorUs UI/

U.

L

=-

ifiT X V

= - i1iI x%x

y %y

z %z

de donde concIuimos que la componenteL.

Z es

=

-ifi

(X~oy

-y ~ox ),expresar

(3.20)L. en coordena-

y expresiones parecidas para Ls y LI/.Es ms conveniente das esfricas. Observando en la fig. 3-8 que

x = r sen 6 cos t/>, y = r sen 6 sen t/>, z = r cos 6, tenemos que

~=

o

ox ~+o ox

oy ~+~~.o oy

o oz

3.5)

Funciones E\ \

de onda de un electrn

133

E

'Potencial \\

centrifugo-l(l+

1)/r2

,,

,

"-

o

A

'''''....r

------CI

r.E

E

~

~

.f

R(r)

R(r)

o

r

r

'*-'I~ Elcclrln s (I = O) (a) 1r!0 (b)

Fig. 3.14. Potencial efectivo y funcin dc onda radial para I = O y I =ic. en el moO vimiento bajo la accin de una fuerza central. Pero ox/ot/> =

-

r sen 6 sen

t/> =

- y, oy/o r sen 6 cos t/> x y oz/ot/> O.Luego, = = =

o L.

ot/>

= -y

o o ---'- + x ox oy~.ot/>

,

con lo que el operador L. se escribe en la forma

=

-ifi

(3.21)

Se puede demostrar que esta relacin es absolutamente general y que el operador cuntico correspondiente a la componente del momentum angular segn cualquier esa direccin. La ecuacin de valores propios es, conforme a la ec. (2.48), L.