algunos exámenes de la asignatura (parcialmente resueltos)

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia.

1 de Febrero de 2001

Notas:

• No esta permitido el uso de calculadora programable o grafica.

• Tiempo: 3 horas y media.

• Puntuacion: Problema 1, 3 puntos; Problema 2, 2 puntos; Problema 3, 2 puntos; Problema 4, 3 puntos.

1. Dada la funcion f(x) =x3

x2 − 1, se pide:

(a) Representarla graficamente en su dominio de definicion, estudiando previamente: dominio de exis-tencia, continuidad, simetrıas, cortes con los ejes, asıntotas, crecimiento, decrecimiento, maximos,mınimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexion.

(b) Calcula, justificadamente, el area de la region comprendida entre la grafica de la funcion f(x), el ejeOX y las rectas x = 2 y x = 3.

2. Dada la ecuacion x3x − 1 = 0, se pide:

(a) Demostrar que posee una unica raız real.

(b) Obtener un intervalo en donde se pueda aplicar el metodo de Newton para hallar una aproximacionde dicha raız. Calcular la iteracion x2.

3. La siguiente tabla representa la relacion entre la edad de gestacion (en semanas) de un feto y su peso (engramos):

Edad de gestacion (X) 28 28 30 32 34 34 36 38Peso (Y ) 1237 1040 1450 1675 2200 2125 2600 2800

¿Que edad aproximada tiene un feto de 2 Kilos de peso? Analizar la fiabilidad de esta estimacion.

4. El numero de basofilos por mm3 de sangre en un individuo sigue una distribucion normal con desviaciontıpica 9. Un individuo sospechoso de padecer una cierta enfermedad se considera patologico si tiene masde 34 basofilos por mm3 de sangre. Se sabe que la probabilidad de que un individuo sea patologico es0.1587. Se pide:

(a) Probar que la media de dicha distribucion es 25.

(b) Calcular la probabilidad de que el numero de basofilos por mm3 de sangre este comprendido entre12 y 16.

(c) Calcular dos valores a y b (a < b) tales que el 70% de individuos tiene un numero de basofiloscomprendido entre esos valores, sabiendo que el 10% tiene un numero de basofilos superior a b.


5 de Septiembre de 2001

Notas:


• Tiempo: 3 horas y media.

• Puntuacion: Problema 1, 2 puntos; Problema 2, 3 puntos; Problema 3, 2 puntos; Problema 4, 3 puntos.

1. Dada la funcion f(x) =x

e|x−1| , se pide:

(a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f en su dominio.(b) Enunciar el Teorema de Weierstrass. Calcular los maximos y mınimos absolutos de f en el intervalo

[−2, 2], caso de que existan.

2. Se considera la funcion f(x) = x ln(x2). Se pide:

(a) Calcular el area de la region comprendida entre la curva y = f(x), el eje OX y las rectas verticalesx = 1

2 y x = 2, estudiando previamente el signo de f(x).(b) Demostrar que la ecuacion xln(x2) = 1 tiene una unica raız real.(c) Aproximar dicha raız por el Metodo de Newton, obteniendo previamente un intervalo donde se pueda

aplicar dicho metodo. Calcular hasta la segunda iteracion x2.

3. Los pesos de 50 estudiantes de primer curso de la Facultad de Farmacia vienen dados por la siguientetabla:

Peso (X) [50, 58) [58, 62) [62, 68) [68, 74) [74, 80]Numero de estudiantes (Y ) 3 10 14 13 10

(a) Dibujar el histograma.(b) Calcular el peso por debajo del cual se encuentra el 85 por ciento de los estudiantes y el peso por

encima del cual se encuentra el 46 por ciento de los mismos.(c) Se va a realizar una donacion de sangre en la Facultad de Farmacia y el peso mınimo para ser donante

es 55Kg. Calcular cuantos de los 50 alumnos podran donar.

4. En una cierta poblacion que consta de dos hospitales A y B se estima que el numero de enfermos queprecisan atencion medica un dıa determinado es 125 (se supone que diariamente cada enfermo recibe unaatencion medica). Se sabe que la probabilidad de que un enfermo acuda al hospital A es 0.6. Se pide:

(a) Considerar la variable aleatoria X: ”numero de enfermos que acuden al hospital A un dıa determi-nado” y justificar que su distribucion de probabilidad es binomial. Aproximarla por una variablealeatoria cuya distribucion de probabilidad sea normal.

(b) Calcular la probabilidad de que un dıa determinado acudan al hospital A 65 enfermos o menos.(c) Calcular la probabilidad de que un dıa determinado acudan al hospital A exactamente 75 enfermos.(d) Calcular el numero de atenciones medicas diarias que debe ofrecer el hospital A para que un enfermo

que acuda a el un dıa determinado pueda ser atendido con probabilidad 0.4.

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia.21 de Septiembre de 2001

Notas:


• Tiempo: 3 horas.

• Puntuacion: Problema 1, 2′5 puntos; Problema 2, 2′5 puntos; Problema 3, 2 puntos; Problema 4, 3 puntos.

1. Dada la funcion

f(x) ={

x2 sen 1x + e|x| si x 6= 0,

1 si x = 0,

estudiar razonadamente la continuidad y derivabilidad de f(x) en su dominio.

2. Dada la funcion

f(x) =x2

x + 1se pide:

(a) Representarla graficamente en su dominio de definicion, estudiando previamente: dominio de exis-tencia, continuidad, simetrıas, cortes con los ejes, asıntotas, crecimiento, decrecimiento, maximos,mınimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexion.

(b) Obtener el area comprendida entre el eje OX, las rectas x = 0, x = 2 y la funcion y = f(x).

3. Las calificaciones de 15 alumnos en la asignatura Matematica Aplicada son:

7, 6, 2, 8′5, 9, 6, 6, 5, 5′5, 4′5, 3, 1, 8, 7′5, 6′5.

(a) Calcular la media, la mediana y la moda.

(b) Hallar los percentiles de orden 20 y 70.

4. El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye segun una variablenormal de media de 17 minutos y desviacion tıpica de 3 minutos.

(a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de llegada este comprendido entre 13 y 21 minutos.

(b) ¿Para que valor de t la probabilidad de que la ambulancia emplee mas de t minutos en llegar es del5%?.


3 de Diciembre de 2001

1. Dada la funcion f(x) =x2

ex, se pide:

(a) Calcular limx→−∞

f(x) y limx→+∞

f(x).

(b) Calcular∫ 2

0

f(x)dx.

2. (a) Calcular el polinomio de interpolacion que pasa por los puntos (-3,-47), (-2,18), (-1,7)y (0,-2).

(b) Probar que el polinomio 13x3+40x2+18x−2 tiene 3 raıces reales y separarlas en intervalosdisjuntos.

(c) Obtener un intervalo en el cual se verifiquen las hipotesis del metodo de Newton paraaproximar la raız mayor del polinomio del apartado anterior. Como aplicacion obtenerla primera iteracion x1.

3. Para investigar la dependencia de la energıa desprendida por el cuerpo humano respecto dela complexion fısica, los investigadores usaron tecnicas para determinar la masa corporallibre de grasa de 7 personas. Tambien midieron la energıa total desprendida en 24 horaspor cada individuo durante una actividad sedentaria. Los resultados obtenidos se muestranen la siguiente tabla:

X 49′3 59′3 68′3 48′1 57′6 78′1 76′1Y 1′894 2′050 2′353 1′838 1′948 2′528 2′568

donde X representa la masa corporal e Y la energıa total desprendida en 24 horas porindividuo. Se pide:

(a) Calcular la recta de regresion de Y sobre X.

(b) Dibujar la nube de puntos y la recta de regresion calculada en el apartado anterior.

(c) Calcular la energıa desprendida en 24 horas por un individuo con masa corporal de50 kg. ¿Es fiable este valor?

4. El peso de los jovenes con 18 anos de edad se distribuye segun una distribucion normalcon media 56 Kg y una desviacion tıpica σ. Se sabe que el 80 % de los jovenes pesa entre52 y 60 Kg. Se pide:

(a) Probar que σ = 3′125.

(b) ¿Que porcentaje de jovenes pesa entre 53 y 57 Kg.?

(c) Calcular el peso por encima del cual se halla el 40 % de los jovenes.

(d) Calcular el peso por debajo del cual se halla el 35 % de los jovenes.

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Problema 1, 2 puntos; problema 2, 3 puntos; problema 3, 2 puntos; problema

4, 3 puntos.

MATEMATICA APLICADA (FARMACIA)

Examen Final (24 de enero de 2002)

Nota: No esta permitido el uso de calculadora programable o grafica.Tiempo: 3 horas y media.Puntuacion: Pb 1: 3.5 puntos, Pb 2: 2.5 puntos, Pb 3: 2 puntos y Pb 4: 2 puntos.

1. Dada la ecuacion x5 + 5x + 1 = 0 , se pide:a) Separar sus raıces.b) Aproximar una de ellas mediante el metodo de Newton con un error menor que 10−2.c) Efectuar la representacion grafica de la funcion f(x) = x5 + 5x + 1.

2. Un garaje particular tiene 40 m3 de aire limpio y un extractor para ventilacion que permite renovar elaire a razon de v2 m3/h. Se introduce un automovil que queda con el motor en marcha y se cierra la puerta.El motor arroja una mezcla de gases a razon de v1 m3/h; dicha mezcla contiene 0.04 gr de monoxido decarbono por cada m3 de mezcla.

a) Establecer la ecuacion diferencial para la cantidad de monoxido de carbono (en gramos) que hay en el garajeen cada instante.

b) Cuando v1 = 3 m3/h y v2 = 80 m3/h, la ecuacion diferencial que resulta es

y′ = 0.12− 2y

Determinar la cantidad de monoxido de carbono que hay en el garaje en cada instante.c) El monoxido de carbono empieza a ser peligroso en concentracion superior a 0.0002 gr/m3. ¿Es prudente

vaciar el maletero del coche con el motor en marcha si en dicha operacion se tarda 5 min?

3. El ındice de mortalidad (Y) de siete grupos que consumıan diariamente (X) cigarrillos, aparece en lasiguiente tabla:

X 3 5 6 15 20 40 45Y 0.2 0.3 0.3 0.2 0.7 1.4 1.5

Se pide:a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.b) ¿Es razonable utilizar la recta de regresion para hacer predicciones de Y a partir de X?c) Hallar la recta de regresion de Y sobre X.d) ¿Que ındice de mortalidad se espera para una persona que consume 60 cigarrillos diarios?

4. Entre los diabeticos, el nivel X de glucosa en sangre, en ayunas, puede suponerse de distribucion aproxi-madamente normal, con media 1.06 mg/ml y desviacion tıpica 0.08 mg/ml. Se pide:

a) ¿Que porcentaje de diabeticos tendra niveles de glucosa entre 0.9 y 1.2 mg/ml?b) Hallar P (1.06 ≤ X ≤ 1.1).c) Encontrar un valor K que tenga la propiedad de que el 25 por ciento de los diabeticos tenga un nivel de

glucosa por debajo de este valor.

MATEMATICA APLICADA (FARMACIA)

Examen de septiembre (5 de septiembre de 2002)

Notas:No esta permitido el uso de calculadora programable o grafica.Tiempo: 3 horas y media.Puntuacion: Pb 1: 3’5 puntos; Pb 2: 2’5 puntos; Pb 3: 2 puntos; Pb 4: 2 puntos.

1. La temperatura de cierto proceso natural es funcion del tiempo. Con intervalos de tiempo de una horase ha obtenido la siguiente tabla:

Tiempo 0 1 2 3Temperatura − 1 − 1 5 23

Se pide:a) Hallar justificadamente un polinomio de grado menor o igual que tres que ofrezca una aproximacion de la

temperatura.b) Justificar que la ecuacion x3 − x− 1 = 0 posee una unica solucion en el intervalo [1, 1′5].c) Hallar una aproximacion de dicha raız con un error menor que 10−2.

2. En cierto cultivo de bacterias, la velocidad de aumento en cada instante es proporcional al numero debacterias existente en ese momento. Se ha hallado que el numero de bacterias se duplica cada 4 horas.

a) Plantear y resolver la ecuacion diferencial para el numero de bacterias que hay en cada instante.b) Al cabo de 5 horas, se retira la mitad de las bacterias que hay en ese instante y se continua con el cultivo

durante 1 hora mas.b1) ¿Cuantas bacterias hay en ese momento?b2) Durante las primeras cuatro horas, ¿en que momento habıa dicho numero de bacterias?

Nota: Se supone que la cantidad de bacterias existente en el instante inicial es x0.

3. Se ha aplicado un test de aptitudes a los empleados de una factorıa. Las puntuaciones (xi), agrupadasen clases, estan recogidas en la siguiente tabla:

xi [38, 50) [50, 56) [56, 62) [62, 68) [68, 80]ni 15 15 25 18 15

a) Dibujar el histograma.b) Calcular la media aritmetica y la desviacion tıpica.c) Hallar la puntuacion por encima de la cual queda el 30 por ciento de los empleados.d) Calcular el porcentaje de empleados cuya puntuacion esta en el intervalo (50,70).

4. La longitud de los arenques de una determinada poblacion sigue una distribucion normal de media 54 mmy desviacion tıpica 4’5 mm. Se pide:

a) ¿Que porcentaje de arenques mide entre 54 y 60 mm?b) ¿Que porcentaje mide mas de 48 mm?c) Para otra poblacion de peces cuya longitud sigue tambien una distribucion normal, se sabe que el 10 por

ciento mide menos de 61’2 mm y el 80 por ciento mide entre 61’2 y 67’4 mm. Calcular la media y la desviaciontıpica de esta distribucion.


24 de Enero de 2003

1. Dada la funcion f(x) =2x2 + x

x + 1, se pide:

(a) Calcular todas las asıntotas de la funcion f(x).

(b) Estudiar razonadamente el crecimiento, decrecimiento, maximos y mınimos de f(x).

(c) Calcular el area de la region del primer cuadrante limitada por la curva y = f(x), suasıntota oblicua y = 2x− 1 y las rectas verticales x = 0 y x = 1.

2. Dada la ecuacion diferencial ordinaria

y′(t) + 2y(t) = 1 + e−t

,

calcular su solucion suponiendo que y(0) = y0. Obtener asımismo el limt→+∞

y(t).

3. Se realiza un estudio sobre los efectos del ejercicio fısico en 6 pacientes con enfermedadcoronaria, midiendo el oxıgeno consumido (en ml/Kg) por cada paciente antes de comen-zar un programa de entrenamiento de seis meses (X) y despues de este programa (Y ),obteniendose los siguientes datos:

X 47 24 a 41 43 42Y 41 26 57 39 52 54

(a) Calcular el valor de a para que la media de la variable X sea 40.A partir de ahora tomemos el valor a = 43. Se pide:

(b) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.

(c) Hallar la recta de regresion de Y sobre X. Si un paciente antes de comenzar el entre-namiento consume 35 ml/Kg de oxıgeno, ¿que consumo se espera que tenga despuesde el?

4. En personas sanas, la concentracion X en sangre de determinada proteına sigue una dis-tribucion normal de media 6′85 gr/dl y desviacion tıpica 0′42 gr/dl. Se pide:

(a) ¿Que porcentaje de personas sanas presentara en sangre una concentracion de esaproteına superior a 6′5 gr/dl?

(b) Hallar la probabilidad de que la concentracion de esa proteına tome valores compren-didos entre 6′5 y 8 gr/dl.

(c) Hallar un valor k tal que el 33% de las personas sanas tenga en sangre una concentracionde dicha proteına por debajo de k.

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Prob. 1, 3’5 ptos., Prob. 2, 2’5 ptos., Prob. 3, 2 ptos., Probl. 4, 2 ptos.

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia


1. Dada la funcionf(x) =

11− e−x

,

se pide:

(a) Calcular el dominio y las asıntotas de la funcion y estudiar razonadamente su crecimiento.

(b) Calcular el area de la region limitada por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las rectasverticales x = 1 y x = 2.

2. Un vino que esta a 10◦C se saca de una bodega y se deja reposar en un cuarto con temperaturaambiente 23◦C.

(a) Sabiendo que la ley de enfriamiento de Newton es

T ′(t) = k(m− T ),

donde T (t) es la temperatura del vino en el instante t, m es la temperatura ambiente y kes una constante, expresar la temperatura del vino en funcion del tiempo y k.

(b) Si transcurridos 10 minutos el vino alcanzo los 15◦C, ¿en que momento la temperatura delvino llega a 18◦C?

3. Las puntuaciones obtenidas por 50 personas en una prueba para acceder a un puesto de unaempresa fueron de

Puntuaciones [10,20) [20,30) [30,50) [50,60]ni 9 13 21 7

(a) Calcular la media aritmetica y la desviacion tıpica.

(b) Construir la distribucion de frecuencias porcentuales acumulada.

(c) ¿Que porcentaje de personas tiene una puntuacion menor que 40?

(d) Si la empresa piensa rechazar el 60% de las personas presentadas, ¿cual es la puntuacionmınima requerida para ser admitido?

4. La probabilidad de que una persona se recupere de un virus tomando un farmaco es de 1/20.Dicho farmaco se le suministra a 50 personas. Llamemos X a la variable aleatoria binomial“numero de enfermos que se recuperan de las 50 personas”. Se pide:

(a) Aproximar dicha variable por otra cuya distribucion de probabilidad sea normal.

(b) Calcular la probabilidad de que se recuperen 5 o mas enfermos.

(c) Calcular la probabilidad que se recuperen exactamente 3 enfermos.



10 de Noviembre de 2003

1. Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = ex − x− 2, se pide:

(a) Determinar el numero de raıces y separarlas en intervalos disjuntos.

(b) Utilizando el metodo de Newton, encontrar un intervalo de convergencia para aproxi-mar la mayor de las raıces y calcular hasta la segunda iteracion.

2. Un deposito contiene 100 litros de una disolucion salina cuya concentracion se desconoce.Comienza a entrar en el deposito otra disolucion conteniendo 2 gramos de sal por litro arazon de 5 litros por minuto. La mezcla (que se hace uniforme instantaneamente) sale ala misma velocidad. Se pide:

(a) Justificar que la cantidad de sal que hay en el deposito, y, verifica la ecuacion diferen-cial y′ = 10− 0.05y y resolverla.

(b) Sabiendo que al cabo de 10 minutos la mezcla que sale tiene una concentracion de 1.5gramos de sal por litro, hallar la concentracion inicial.

3. Los datos que siguen corresponden a los valores del metabolismo basal (MB) en varonessanos, ası como sus edades respectivas:

Edad en anos 16 20 30 40 50 60MB 45.7 41.4 39.3 38 36.7 35.5

Se pide:

(a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal. ¿Es razonable usar la recta de regresionpara hacer predicciones del valor del metabolismo en funcion de la edad en varonessanos?

(b) ¿Que valor de MB se espera en un varon sano de 35 anos?

4. El tamano de los individuos de una poblacion sigue una distribucion normal N(µ, σ). Sesabe que el porcentaje de individuos que mide menos de 53.2 mm es del 20% y el porcentajede individuos que mide entre 53.2 mm y 75 mm es del 40%. Se pide:

(a) Calcular razonadamente el valor de la media µ y de la desviacion tıpica σ.

(b) Sabiendo que µ = 70 y σ = 20, calcular el porcentaje de individuos que miden menosde 70 mm.

(c) Hallar un valor k tal que el 30% de los individuos tengan un tamano superior a k.


Matematica Aplicada. Farmacia Convocatoria de Febrero, 2 de Febrero de 2004

Ejercicio 1: Determina los extremos absolutos de la funcion

f(x) =

{ln(x + 1) 0 ≤ x < 1−x + 1 + ln(2) 1 ≤ x ≤ 3

en el intervalo [1, 3].

Ejercicio 2: Dada la funcionf(x) = ex(x + 1)2.

a) Comprobar que la funcion es creciente en el intervalo (−1,+∞).

b) Estudiar el signo de f en el intervalo [1, 4]. Hallar el area comprendida entre la funcion, el ejeOX y la rectas x = 1 y x = 4.

Ejercicio 3: Dada la ecuacionsen (x)− 2x + 2 = 0.

a) Comprobar que se puede aplicar el Metodo de Newton en el intervalo [π4 , π

2 ].

b) Escribir el metodo para dicha ecuacion.

Ejercicio 4: Se considera la ecuacion diferencial

y′ = 2ty + t + et2

Se pide:

a) Resolver la ecuacion diferencial anterior sabiendo que y(0) = 1/2.

b) Calcular limt→∞

y(t).

Ejercicio 5: En un ayuntamiento se realiza un examen para optar a policıa local al que se presentan80 personas, obteniendose los siguientes resultados:

Puntuaciones [0, 3) [3, 5) [5, 8) [8, 10]ni 16 30 25 9

Calcular:

a) La media aritmetica, la varianza y la desviacion tıpica.

b) Si el ayuntamiento quiere contratar solo al 20 por ciento de los que obtuvieron mejor nota, ¿cualdebe ser la nota de corte?

Ejercicio 6: El peso de los bebes recien nacidos se distribuye segun una distribucion normal conmedia 3.25 Kg. y desviacion tıpica 0.3. Se pide:

a) Porcentaje de bebes con peso comprendido entre 3 y 3.5 Kg.

b) Calcular el peso por encima del cual se encuentra el 15 por ciento de los bebes.

Tiempo: 3.5 h.Puntuacion:

Ejercicios 2, 3, 5 y 6: 1.5 puntos cada uno;

Ejercicios 1 y 4: 2 puntos cada uno.

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia10 de Septiembre de 2004

1. Dada la funcion

f(x) =

a sen (x) + b si −π

2≤ x ≤ 0

1− cos(x)sen (x)

si 0 < x ≤ π

2

(a) ¿Para que valores de a y b es la funcion f continua en el intervalo [−π/2, π/2]? ¿Y derivable?(b) Para los valores a = 1/2 y b = 0, hallar los extremos absolutos de f en [−π/2, π/2].

2. Empıricamente se han obtenido los siguientes valores de y = f(x):

x 0 2 4 6y 0 1 4 2

(a) Hallar el polinomio de interpolacion que se ajuste a estos datos.(b) Si a la tabla anterior se le anade una nueva observacion:

x 8y 1

obtener el nuevo polinomio de interpolacion correspondiente a todos los datos.(c) Hallar el valor que, aproximadamente, deberıa corresponder a x = 7 mediante ambos polinomios

¿Cual de los dos valores obtenidos crees que se deberıa tomar como mejor aproximacion de f(7)?¿Por que?

3. Se considera la ecuacion diferencial

y′(t) = − y(t)t + 1

+1

(t− 1)2.

(a) Calcular la solucion general y(t) de dicha ecuacion diferencial.(b) Calcular la solucion particular con dato inicial y(2) = −2/3. ¿Cuanto vale lim

t→+∞y(t)?

4. Los pesos en miligramos de 50 pastillas de ciertos medicamentos distintos vienen dados por la siguientetabla:

Peso (X) [200, 210) [210, 215) [215, 220) [220, 230) [230, 240]Numero de pastillas (Y ) 3 10 14 13 10

(a) Dibujar el histograma.(b) Calcular el tanto por ciento de pastillas con peso menor que 212 mg.(c) Calcular el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 15% de las mismas, y el peso

por encima del cual se encuentra el 74 % de las pastillas de medicamentos.

5. El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro sanitario se distribuye segun unavariable normal de media de 17 minutos y desviacion tıpica de 3 minutos.

(a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de llegada este comprendido entre 13 y 21 minutos.(b) Hallar la probabilidad de que la ambulancia tarde exactamente 15 minutos en llegar al centro

sanitario.(c) ¿Para que valor de t la probabilidad de que la ambulancia emplee mas de t minutos en llegar es

del 5%?

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Prob. 1: 2’5 pts., Prob. 2: 2 pts., Prob. 3: 2’5 pts., Prob. 4: 1’5 pts, Prob. 5: 1’5 pts.


22 de Enero de 2005

1. Dada la funcion f(x) =

√x

1 +√

x, se pide:

(a) Estudiar su dominio, crecimiento y decrecimiento, y asıntotas.

(b) Calcular, razonadamente, el area de la figura delimitada por la curva y = f(x), el eje OX y las rectasx = 0 y x = 1.

2. Dada la funcion f(x) = x3 + px2 + q, se pide:

(a) Hallar las contantes p y q para que f(x) tenga un mınimo en x = 2 siendo f(2) = 3.

(b) Suponemos a partir de ahora que p = −3 y q = 7, se pide:

(i) Hallar razonadamente el numero de raıces que posee f(x) en su dominio.

(ii) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Metodo de Newton, con garantıade su convergencia, para aproximar la menor de las raıces obtenidas en el apartado anterior.

3. Un deposito contiene 1000 litros de agua sin contaminar. En t = 0 comienza a entrar en el deposito, arazon de 10 litros por minuto, agua contaminada con una concentracion de 5 gramos de contaminante porlitro; y la mezcla, bien disuelta instantaneamente, sale a la misma velocidad. Se pide:

(a) Encontrar la cantidad de contaminante que hay en el deposito en cada instante.

(b) ¿Cuando habra 50 gramos de contaminante en el deposito?

4. Para abonar una parcela de huerta se necesitan al menos 8 kg. de nitrogeno y 12 kg. de fosforo. Sedispone de un producto A cuyo precio es de 0’24 euros/kg. y que contiene un 10 % de nitrogeno y un30 % de fosforo. Existe en el mercado otro producto B que contiene un 20 % de nitrogeno y un 20 % defosforo, y cuyo precio es de 0’18 euros/kg.

(a) Representa graficamente la region factible que corresponde a las restricciones de este ejercicio.

(b) ¿Que cantidades se deben tomar de A y B para abonar la parcela con el menor gasto posible?

5. En una gasolinera se ha estudiado el numero de vehıculos que repostaron en un dıa, obteniendose lossiguientes resultados:

Horas [0, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) [20, 24]ni 10 40 60 70 20

Se pide:

(a) Dibujar el histograma.

(b) Calcular la media aritmetica, la varianza y la desviacion tıpica.

(c) ¿Cual es el porcentaje de coches que han repostado cuando han pasado 19 horas? ¿A que hora hanrepostado el 40 % de los coches?

Tiempo: 3 horas y media.Puntuacion:

Problemas 1, 3 y 5: 2 ptos.Problema 2: 2’5 ptos.Problema 4: 1’5 ptos.

SOLUCIONES DEL EXAMEN DE ENERO DE 2005

1)

(a) En este caso, para que la funcion tenga sentido necesitamos que x ≥ 0 para que la raız cuadrada tengasentido, y que 1+

√x 6= 0 para que el denominador no se anule. Este segundo caso nunca ocurre, ası pues

el dominio viene dado por la expresion:

Dom(f) = [0,+∞).

Para estudiar la monotonıa de la funcion, calculamos su derivada:

f ′(x) =

1

2√

x(1 +

√x) −

√x

1

2√

x

(1 +√

x)2=

1

2√

x (1 +√

x)2> 0

Luego f es creciente en (0,+∞).

Calculo de asıntotas:

– Asıntotas verticales: No hay.

– Asıntotas horizontales: son de la forma y = a, donde a = limx→+∞

f(x). Notemos que:

limx→+∞

√x

1 +√

x=

+∞+∞ = (aplicando la regla de L’Hopital)

= limx→+∞

1

2√

x1

2√

x

= limx→∞

1 = 1,

luego y = 1 es una asıntota horizontal.

– Asıntotas oblicuas: No hay ya que son incompatibles con las asıntotas horizontales.

(b) Observemos que la funcion estudiada solo se anula en el punto x = 0, de manera que en el intervalo[0, 1] siempre es positiva. Notemos que dicho area corresponderıa a la seccion cerrada que aparece en lasiguiente figura:

0

0.5

1

1x

Entonces, el area viene dada por:

A =

∫ 1

0

f(x) dx =

∫ 1

0

√x

1 +√

xdx

= (haciendo el cambio de variable x = t2 ⇒ dx = 2tdt)

=

∫ 1

0

t

1 + t2t dt =

∫ 1

0

2t2

1 + tdt = (dividiendo)

=

∫ 1

0

[

2t − 2 +2

1 + t

]

dt =[

t2 − 2t + 2ln|1 + t|]

∣

∣

∣

t=1

t=0

= 1 − 2 + 2 ln|2| − 2 ln|1| = 2 ln(2) − 1 = 0′3862.

2)

(a) Para que f(x) tenga un mınimo en x = 2, se tiene que verificar que f ′(x) = 0, es decir,

f ′(x) = 3x2 + 2 p x = 0 ⇒ x (3x + 2p) = 0 ⇒

x = 0

x = −2p

3= 2

luego p = −3. Es decir, f(x) = x3 − 3x2 + q.

Como ademas, el valor de f en x = 2 debe ser 3, se debe verificar que f(2) = 8 − 12 + q = −4 + q = 3,luego q = 7.

(b) Dados p = −3, q = 7, la funcion es entonces f(x) = x3 − 3x2 + 7.

(i) Para saber cuantas raıces posee, debemos estudiar su crecimiento:

f ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) = 0 ⇒{

x = 0x = 2

De ello se deduce que la funcion es creciente en (−∞, 0)∪ (2,+∞) y decreciente en (0, 2). Por tanto,alcanza un maximo relativo en el punto (0, 7) y un mınimo relativo en el punto (2, 3). Ademas,

limx→+∞

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) = −∞.

La representacion grafica de la funcion es la siguiente (observemos la situacion del maximo y mınimorelativos):

3–3 2 x

Por tanto, la ecuacion posee una unica raız real.

(ii) La raız se encuentra en el intervalo (−∞, 0). Procedemos a encontrar un intervalo mas pequeno enel que podamos aplicar la regla de Fourier. Observemos que f(−1) = 3 > 0 y f(−2) = −13 < 0. Siconsideramos el intervalo [−2,−1], vemos que:

∗ f(−2) · f(−1) < 0,

∗ f ′(x) 6= 0 en todo el intervalo [−2,−1],

∗ f ′′(x) = 6x − 6 < 0, ∀x ∈ [−2,−1].

Entonces, si tuviesemos que elegir el extremo x0 del intervalo [−2,−1] tal que signo(f(x0)) =signo(f ′′(x0)), serıa x0 = −2.

3) Denotamos por y(t) la cantidad de contaminante en el agua en el minuto t. La cantidad inicial es0 g/l × 1000 l = 0 g, es decir, y(0) = 0.

El deposito tiene 1000 litros, pero la cantidad de contaminante disuelto va variando, ya que a la concentracioninicial se le esta inyectando una disolucion con otra concentracion distinta. La variacion de contaminante, y ′(t),viene dada por la diferencia entre la cantidad de contaminante a la entrada y a la salida por unidad de tiempo(minutos).

Si llamamos ce a la concentracion de contaminante en la disolucion de entrada, cs a la concentracion decontaminante en la disolucion de salida, ve a la velocidad de entrada y vs a la velocidad de salida, entonces:

y′(t) = ce · ve − cs · vs.

Segun los datos del problema, ve = vs = 10, ce = 5, y

cs =cantidad de contaminante

no litros=

y(t)

volumen del deposito,

es decir,

y′(t) = 5 · 10 − y(t)

1000· 10 = 50 − 1

100y(t)

(a) Por tanto, para encontrar la cantidad de contaminante que hay en el deposito en cada instante, tenemosque resolver la ecuacion lineal:

y′(t) +1

100y(t) = 50.

Si consideramos que se trata de una ecuacion lineal completa, la solucion de la parte homogenea es

y(t) = Ae−t

100 . Buscamos entonces la solucion de la ecuacion lineal completa como y(t) = A(t) e−t

100 , demanera que:

A′(t) = 50 et

100 ⇒ A(t) = 5000 et

100 + C,

luego y(t) = 5000+C e−t

100 . Como y(0) = 0, entonces C = −5000. Finalmente, la evolucion de la cantidadde sal en el deposito es:

y(t) = 5000 (1 − e−t

100 ).

(b) La cantidad de contaminante en el deposito sera igual a 50 si se verifica que:

5000 (1 − e−t

100 ) = 50 ⇒ t = −100 ln

(

99

100

)

= 1′005,

lo que corresponde a 1 minuto y 0’3 segundos.

4) Si analizamos la informacion, observamos que:

• Hay dos elementos que se mezclan: nitrogeno y fosforo.

• Hay dos productos distintos: A y B.

• Hay un precio para cada producto.

• Los ingresos corresponden a la venta de la cantidad de producto de tipo A y la cantidad de producto detipo B.

Por tanto, adjudicamos el valor x a la cantidad de producto A (en kg.), y el valor y a la cantidad de productoB (en kg.)

Prestemos atencion al siguiente cuadro:

Cantidad de nitrogeno Cantidad de fosforo PrecioProducto A 0’1 x 0’3 x 0’24 xProducto B 0’2 y 0’2 y 0’18 y

Total 0’1 x+ 0’2 y ≥ 8 0’3 x+0’2 y ≥ 12 0’24 x + 0’18 y

Por tanto, la funcion que queremos minimizar (funcion objetivo) es:

F (x, y) = 0′24x + 0′18 y.

Para encontrar el mınimo de la funcion anterior, necesitamos dibujar el dominio limitado por las restriccionesalgebraicas que aparecen en el planteamiento del problema, y que en este caso son:

x ≥ 0,y ≥ 0,

0′1x + 0′2 y ≥ 8,0′3x + 0′2 y ≥ 12.

(1)

(a) En el dibujo siguiente la lınea gruesa representa la recta x + 2 y = 80, y la mas fina es 3x + 2 y = 120. Lazona sombreada representa el sector que verifica a la vez las cuatro condiciones de (1):

0

10

20

30

40

50

60

y

20 40 60 80x

(b) Con esto, debemos abonar la parcela de huerta con el menor gasto posible.

Observemos que la funcion F (x, y) no esta acotada superiormente (luego no posee maximo), pero sı estaacotada inferiormente (luego sı posee mınimo).

Sabemos que el mınimo de la funcion se alcanza en uno de los vertices de la figura anterior. Dichos verticesson (0, 60), (20, 30) y (80, 0). Por tanto, evaluamos la funcion objetivo en cada uno de dichos puntos. Elmenor de los tres valores correspondera al mınimo de dicha funcion:

f(0, 60) = 10′8,

f(20, 30) = 10′2,

f(80, 0) = 19′2.

Ası pues, el mınimo se alcanza en el punto (20, 30). Es decir, se tienen que comprar 20 kg. de productoA y 30 kg. de producto B para que abonar una parcela de una huerta con el menor gasto posible.

5)

(a) En primer lugar, construimos la tabla de frecuencias absoluta, ni, y de alturas, hi:

HorasFrecuencia absoluta

ni

Altura hi

[0, 8) 10 1′25[8, 12) 40 10[12, 16) 60 15[16, 20) 70 17′5[20, 24] 20 5

Y dibujamos el histograma, que viene dado por:

01.25

5

10

15

17.5

ni

8 12 16 20 24horas

(b) Para calcular la media aritmetica, la varianza y la desviacion tıpica de una variable cuantitativa continua,es necesario calcular las marcas de clase, ci. Completamos entonces la tabla anterior con dichas marcas:


ni

Altura hi Marcas ci

[0, 8) 10 1′25 4[8, 12) 40 10 10[12, 16) 60 15 14[16, 20) 70 17′5 18[20, 24] 20 5 22

Entonces, la media aritmetica viene dada por la expresion:

x =

5∑

i=1

ci · ni

N=

4 · 10 + 10 · 40 + 14 · 60 + 18 · 70 + 22 · 20200

= 14′9,

la varianza por:

S2X

=

5∑

i=1

(ci − x) · ni

N=

5∑

i=1

c2i· ni

N− x2

=42 · 10 + 102 · 40 + 142 · 60 + 182 · 70 + 222 · 20

200− 14′92 = 19′39

y la desviacion tıpica por:

SX =√

S2X

= 4′4

(c) Completamos la tabla con los porcentajes simples y acumulados de cada hora:


ni

Altura hi Marcas ci

Porcentajes simples

pi

Porcentajes acumulados

Pi

[0, 8) 10 1′25 4 5 5[8, 12) 40 10 10 20 25[12, 16) 60 15 14 30 55[16, 20) 70 17′5 18 35 90[20, 24] 20 5 22 10 100

El porcentaje de coches que han repostado hasta las 19 horas se calcula usando la recta que une los puntosA = (16, 55) y B = (20, 90), que viene dada por la expresion:

y − 55 =35

4(x − 16).

Si x = 19, entonces y = 55 +35

4(19 − 16) = 81′25%.

Por el contrario, si queremos ver a que hora han repostado el 40 % de los coches, usamos la recta que unelos puntos C = (12, 25) y D = (16, 55), que viene dada por la expresion:

y − 25 =30

4(x − 12).

Si y = 40, entonces x = 12 +4

30(40 − 25) = 14 horas.

Licenciatura de Farmacia.Examen de Matemática Aplicada.

Jueves, 15 de Septiembre de 2005

Dada la función f(x) =

a) Estudiar su dominio, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos y asíntotas.b) Calcular, razonadamente, el área de la figura delimitada por la curva y = f (x), el eje O X y las rectas

x = O y x = 1.

2. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener2 cm de altura cada uno y los laterales 1 cm. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja para que el gasto depapel sea mínimo?

3. El efecto medido en determinados tiempos de la concentración de una vacuna en sangre es el siguiente:

tiempo (horas)concentración (mg/l)

Hallar el polinomio de interpolación que pasa por dichos pares de valores. Usarlo para predecir cuál erala concentración a las 5 horas.

4. Hallar la solución particular del siguiente problema:l' 1

y' + -y = cosx,x

.Y(7r) = 1.

5. Una empresa farmacéutica tiene las siguientes restricciones a la hora de adquirir compuestos para susproductos: como máximo puede adquirir 2.000 unidades anuales de un compuesto A y 3.000 unidades deotro compuesto B.

Por otro lado, la elaboración de un producto P1 requiere dos unidades de A y una de B, y el producto sevende a 3 euros. Un segundo producto, P2, requiere tres unidades de A y seis de B en su composición. Elprecio de venta de este producto es de 4 euros.

¿Qué cantidades se deben producir de P1 y P2 para obtener el máximo beneficio?

6. Se ha realizado un estudio en cinco países tomando los datos de la expectativa de vida al nacer (X) y larenta per cápita en euros (Y), obteniéndose:

IXI4915015415716111 y 1873140215361869111711

Se pide:

(a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. ¿Es razonable usar las recta de regresión para predecirla expectativa de vida al nacer en función de la renta per cápita?

(b) ¿Qué expectativa de vida al nacer se puede esperar en un país con una renta de 1000 euros?

Tiempo: 3 horas y media.Puntuación:

y-", 1rroolemas 1,4, 5 Y 6: 2 ptas.Problemas 2 y 3: 1 pta.

Soluciones:

Ejercicio 1. Como f(x) = (2-:1:)(2+:1:)' es claro que Dom(f) = IR. -{2, -2}. Además el signo de f es claro:

negativo, positivo y negativo en los intervalos (-00, -2), (-2,2) y (2, +00) respectivamente. Su derivada esf'(x) = ~. De modo que su signo es positivo o negativo según el semieje de la recta real en que estemos.Completamos este análisis más tarde.

Análisis de las asíntotas: como claramente y = O es asíntota horizontal (en ambas direcciones: x -t :f:oo),no hay asíntotas oblícuas. Las verticales son los valores que anulan el denominador: x = 2 y x = -2 ya que enellos lim:l:-+:l:o f(x) = :f:oo con signos dados según el análisis anterior.

En estos valores, 2 y -2, f no es continua ni, por tanto, derivable. Así, el signo de la derivada hay queinterpretarlo del siguiente modo: f es decreciente en (-00, -2) y también lo es en (-2, O], mientras que escreciente en [0,2) yen (2, +00). Esta distinción es obligada hacerla, ya que la función no es decreciente en todo( -00, O] ni creciente en todo [0,00) (recuérdense las asíntotas y los saltos infinitos).

Es obvio que la función no tiene mínimo ni máximo absoluto, aunque sí tiene un mínimo relativo en x = O.Para la integral, primero descomponemos la expresión racional del siguiente modo:

De la expresión anterior, operando (igualando numeradores) obtenemos

1 = A(2 + x) + B(2 -x),

de donde deducimos queA = B = 1/4.

Esto permite calcular fácilmente la integral:

1 1 1 2+X I.dx = -(in 12 + xl -in 12 -xl) = -in -4 4 2-x

Así, el área que nos piden se obtiene aplicando la Regla de Barrow:

1

1 1 -1 2+x 1 1o (2 -x)(2 + x) dx -[4 In 1:2""=-;-1]0 = 4 In3 '"" 0'2746.

~ ~f

U~~~ //~r.~~gb~~/,p di. -

r;1~=~.

4r

Ejercicio 3 La tabla de valores permite construir por el Método de Diferencias Divididas el polinomio de

interpolación asociado:Ou

122 24

o44 32

-4

6 24

con lo que la solución esp(x) = 0+ 12x -2x(x -2) = -2X2 + 16x = -2x(x -8).

Haciéndolo por cualquier otro método, el resultado final ha de seguir siendo el mismo porque el polinomio de

interpolación de grado menor o igual que 3 es único.Para responder a la pregunta, simplemente calculamos p(5) = 30. Luego la concentración en sangre a las 5

horas era 30 mg/l.

Ejercicio 4. Dado el Problema de Cauchy

y'+~y=cosx,Y(7r) = 1

multiplicamos por el factor integrante eln x (es decir, en este caso simplemente por x) y obtenemos

xy' + y = xcosx,

de donde (xy)' = xcosx

y por tantoxy = ! XCO8X

JImponiendo la condición inicial, obtenemos que la solución al problema de Cauchy planteado es y(x) = sen x +

cosx + 11" + 1--.

x

A = (a + :¿)(b + 4),

que, integrando por partes, implicaf cosx + C

xy = xsenx -senxdx = xsenx + cosx + C =>- y(x) = senx + -x -.

Ejercicio 5. Notamos x e y las cantidades que se producirán de los productos P1 y P2 respectivamente.La función a optimizar es el beneficio: 3x + 4y, sujeta a las restricciones: x ~ O, y ~ O, 2x + 3y ~ 2000 yx + 6y ~ 3000. En este caso, la región factible es la siguiente

donde el punto de intersección de las dos rectas y = ~ -~x e y = 500 -~x es P(~, ~). El valor de lafunción que muestra el beneficio en los puntos candidatos (estos son (O, O), (0,500), (1000, O) y P) es (respec-tivamente) O, 2000, 3000 y 2777'77 respectivamente, lo que permite ver que el máximo se alcanza produciendo1000 unidades del producto P1 y ninguna del producto P2.

Ejercicio 6. Hacemos los cálculos previos estándar para obtener el coeficiente de correlación lineal: x = 54'2,Y = 770'2, s~ = 19'76, Sx = 4'44, s~ = 74278'16, Sy = 272'54, y finalmente la covarianza SXy = ~ -xy =812'16.

Ahora podemos calcular el coeficiente de correlación: r = -!..U:- = 0'67, que no es demasiado bueno, por tantoBXBy

la información dada por las rectas de regresión no será del todo fiable. Usando y -y = ~(x -x) obtenemosBX

que el valor que corresponde a y = 1000 es, despejando, x = 59'79, mientras que si usamos x -x = ~ (y -y)By

se obtiene x = 56'71. Luego la expectativa de vida sería entre 56 y 59 años.

Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia. Curso 2005/06

Primera Prueba Intermedia de Seguimiento - 18 de noviembre de 2005

Examen Tipo A

1. (4 puntos) Se considera la siguiente funcion:

f(x) = x3ex.

(a) Estudia el dominio, simetrıas, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrec-imiento, maximos y mınimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexion y asıntotasde f(x).

(b) Representa la grafica de la funcion.


f(x) =

senx, si −2π ≤ x ≤ 0,

ln(

1x + 1

), si 0 < x ≤ 2π.

(a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x) en el intervalo [−2π, 2π].

(b) Estudia los maximos y mınimos absolutos de la funcion anterior en dicho intervalo.

3. (3 puntos) Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = xex2 − 1, se pide:

(a) Determinar el numero de raıces de dicha ecuacion y separarlas en intervalos disjuntos.

(b) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Metodo de Newton, para aprox-imar la mayor de las raıces obtenidas en el apartado anterior.

(c) Aplicar el metodo de Newton para aproximar dicha raız, calculando hasta la segunda iteracion¿Con cuantas cifras decimales hemos obtenido tal aproximacion? Razona la respuesta.

4. (1 punto) Calcular las siguientes integrales:

(a)∫

ln(x6)x

dx.

(b)∫

x3cos(x4)dx.

Tiempo: 3 horas.

1. Estudio y representacion de f(x) = x3ex.

(a) Estudia el dominio, simetrıas, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrec-imiento, maximos y mınimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexion y asıntotasde f(x).Resolucion: La funcion es continua y derivable en todo su dominio, que es todo R.

No tiene asıntotas verticales, simetrıas ni comportamiento periodico.

Sı tiene una asıntota horizontal en y = 0 ya que

limx→−∞

x3ex = “−∞ · 0′′ = limx→−∞

x3

e−x=

L′Hlim

x→−∞

3x2

−e−x=

L′Hlim

x→−∞

6x

e−x=

L′Hlim

x→−∞

6−e−x

= 0.

Sin embargo, limx→+∞ f(x) = +∞, luego no tiene ahı asıntota horizontal. Tambien es obvio queno tiene asıntota oblıcua cuando x → +∞.

La derivada de la funcion, necesaria para estudiar el crecimiento y decrecimiento de esta, es:

f ′(x) = ex(x3 + 3x2) = exx2(x + 3).

Analizando el signo de f ′ concluimos por tanto quef es decreciente en (−∞,−3),f es creciente en (−3, 0) y en (0,+∞). En realidad, como f es continua, es creciente en todo(−3,+∞).

Por tanto en x = −3 tiene un mınimo, no solo relativo, sino tambien absoluto. La funcion notiene maximo absoluto, ya que comprobamos antes que limx→+∞ f(x) = +∞.

Para el analisis de concavidad y convexidad y puntos de inflexion hacemos la derivada segunda:

f ′′(x) = ex(x3 + 6x2 + 6x) = exx(x2 + 6x + 6).

Se puede comprobar que las raıces de la ecuacion x2 + 6x + 6 = 0 son −3±√

3. De modo que elsigno de f ′′ es:negativo en (−∞,−3−

√3) (f concava),

positivo en (−3−√

3,−3 +√

3) (f convexa),negativo en (−3 +

√3, 0) (f concava),

positivo en (0,+∞) (f convexa).

Los puntos −3−√

3, −3 +√

3 y 0 son puntos de inflexion.

(b) Representa la grafica de la funcion.Resolucion: La grafica de la funcion viene dada por:

2. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion f(x) =

senx, si −2π ≤ x ≤ 0,

ln(

1x + 1

), si 0 < x ≤ 2π,

en el intervalo [−2π, 2π].Resolucion: La funcion es continua en [−2π, 0) ∪ (0, 2π]. Estudiamos separadamente lo queocurre en x = 0:

f−(0) = f(0−) = limx→0−

f(x) = limx→0−

senx = 0

f+(0) = f(0+) = limx→0+

f(x) = limx→0+

ln(

1x + 1

)= 0

f(0) = 0

Entonces, f tambien es continua en x = 0. Por tanto, f es continua en [−2π, 2π].Estudiamos ahora la derivabilidad:• la funcion es derivable en [−2π, 0) ∪ (0, 2π], la derivada en esos puntos es:

f ′(x) =

cosx si −2π ≤ x < 0;

− 1x + 1

si 0 < x ≤ 2π.

• Veamos que ocurre en x = 0. Para ello, calculamos las derivadas laterales:

limh→0−

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0−

senh− 0h

=“0”0

= (regla de L’Hopital)

= limh→0−

cosh1

= 1

limh→0+

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0+

ln(

1h + 1

)− 0

h=

“0”0


= limh→0+

− 1h+1

1= −1.

Entonces, f no es derivable en x = 0. Por tanto, f solo es derivable en [−2π, 0) ∪ (0, 2π].

(b) Estudia los maximos y mınimos absolutos de la funcion anterior en dicho intervalo.Resolucion: Como f : [−2π, 2π] → R es una funcion continua en [−2π, 2π], se verifica el Teoremade Weierstrass y tenemos garantizada la existencia de maximo/s y mınimo/s absolutos. Para suestudio, seguimos los siguientes pasos:

• Puntos de (−2π, 2π) donde la funcion es derivable y f ′(x) = 0. En nuestro caso, se trata delos puntos que verifican:

x ∈ (−2π, 0) ∪ (0, 2π), f ′(x) = 0,

es decir,

f ′(x) = 0 ⇔

cosx = 0 si −2π < x < 0,

− 1x + 1

= 0 si 0 < x < 2π,

⇔

{x = −π

2 , −3π2 si −2π < x < 0,

no hay si 0 < x < 2π,

}

• Puntos de (−2π, 2π) donde f no es derivable. En nuestro caso, el candidato es x = 0.• Los extremos del intervalo, es decir, x = −2π y x = 2π.

Ahora calculamos la imagen de cada uno de los puntos de los apartados anteriores:

f(−π

2

)= −1, f

(−3π

2

)= 1, f(0) = 0, f(−2π) = 0, f(2π) = ln

(1

2π + 1

)∼ −1, 9855.

Por tanto, el maximo absoluto se alcanza en x = −3π

2y es 1, y el mınimo absoluto se alcanza en

x = 2π y es ln(

12π + 1

)∼ −1, 9855.

La grafica de f en dicho intervalo es:

3. Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = xex2 − 1, se pide:

a) Determinar el numero de raıces de dicha ecuacion y separarlas en intervalos disjuntos.

b) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Metodo de Newton, para aprox-imar la mayor de las raıces obtenidas en el apartado anterior.

c) Aplicar el metodo de Newton para aproximar dicha raız, calculando hasta la segunda iteracion¿Con cuantas cifras decimales hemos obtenido tal aproximacion? Razona la respuesta.

Resolucion:

a) Por un lado, la funcion f(x) = xex2 − 1 esta definida y es continua en R y verifica

limx→+∞

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) = −∞.

Por otro lado, estudiamos su crecimiento:

f ′(x) = (2 x2 + 1)ex2esta definida en R y f ′(x) > 0, ∀ x ∈ R.

En consecuencia, la ecuacion posee una unica raız real en R pues la funcion es estrictamentecreciente en todo R y pasa de ser negativa a ser positiva. La representacion grafica de la funcion

es la siguiente:

b) Para aproximar dicha raız, procedemos a continuacion a encontrar un intervalo mas pequenoen el que podamos aplicar el metodo de Newton. Haciendo cuentas, obtenemos primero quef(0) = −1 < 0 y f(1) = e − 1 ∼ 1.71828 > 0. Por tanto, la raız que queremos aproximar seencuentra en el intervalo [0, 1]. Comprobamos ahora que en este intervalo se cumplen las hipotesispara poder aplicar el metodo de Newton. En concreto, probamos que en [0, 1] se verifica que:

• f(0) < 0 y f(1) > 0.• f ′(x) > 0 en todo el intervalo [0, 1].• f ′′(x) = (4 x3 + 6 x)ex2

= 2x (2x2 + 3) ex2 ≥ 0, ∀x ∈ [0, 1].

Entonces, el extremo x0 del intervalo [0, 1] que verifica signo(f(x0)) = signo(f ′′(x0)) es x0 = 1,que es el punto que debemos elegir para iniciar el metodo de Newton.

c) Para aproximar la raız que esta en el intervalo [0, 1], aplicamos el metodo de Newton, comenzandoen x0 = 1 y obtenemos, hasta la segunda iteracion:

x0 = 1x1 = 0.789293147057x2 = 0.676668460950

Observamos que x1 y x2 no coinciden en ninguna cifra decimal y, por tanto, no podemos afirmarque x2 aproxime con ninguna cifra exacta la raız de la ecuacion f(x) = 0. Sin embargo, sicalculamos una iteracion mas, vemos que x3 = 0.6536774, luego resulta que al menos tenıa unacifra exacta.

4. Calcular las siguientes integrales:

(a)∫

ln(x6)x

dx.

(b)∫

x3cos(x4)dx.

Resolucion:

∫ln(x6)

xdx = 6

∫ln(x)

xdx = 3

∫2ln(x)

1x

dx = 3(ln(x))2 + C.

∫x3cos(x4)dx =

14

∫4x3cos(x4)dx =

14sen(x4) + C.



Examen Tipo B


f(x) =x

x2 − 1.



2. (2 puntos) Dada la funcion

f(x) =

{e−2x, −2 ≤ x ≤ 0,

sen(x + π/2), 0 < x ≤ π.

(a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f(x) en el intervalo [−2, π].


3. (3 puntos) Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = 6ln(x + 2)− x2 − 1, se pide:





(a)∫

x√

5x2 − 1dx.

(b)∫

x2sen(x3)dx.

Tiempo: 3 horas.

1. Estudio y representacion de f(x) = xx2−1

.

(a) Estudia el dominio, simetrıas, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrec-imiento, maximos y mınimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexion y asıntotasde f(x).Resolucion: La funcion tiene dominio dom f = R− {−1, 1}. Es continua en su dominio.

En los valores x = ±1 tiene asıntotas verticales.

Ademas tiene asıntota horizontal y = 0 ya que limx→±∞ f(x) = 0. Por tanto no tiene sentidobuscar asıntotas oblıcuas.

Se comprueba facilmente que es simetrica impar, y que no posee ningun tipo de periodicidad. Elunico punto de corte con los ejes es el (0, 0).

Para ver su crecimiento y decrecimiento, observemos que

f ′(x) =x2 − 1− 2x2

(x2 − 1)2= − x2 + 1

(x2 − 1)2.

Por tanto, f es derivable en su dominio de definicion, y el signo de la derivada es, siempre queexiste, negativo. Esto implica que f es decreciente en los intervalos (−∞,−1), (−1, 1) y (1,+∞).

Por el estudio de las asıntotas y lo anterior, sabemos que f no posee ni maximos ni mınimosrelativos ni absolutos.

Para ver concavidad y convexidad y puntos de inflexion, tengase en cuenta que

f ′′(x) = −2x(x2 − 1)2 − 2(x2 − 1)2x(x2 + 1)(x2 − 1)4

= −2x(x2 − 1)− 4x(x2 + 1)(x2 − 1)3

= −2x3 − 2x− 4x3 − 4x

(x2 − 1)3

=2x3 + 6x

(x2 − 1)3

=2x(x2 + 3)(x2 − 1)3

.

Ası pues, el signo de la derivada segunda esnegativo en (−∞,−1) y (0, 1),positivo en (−1, 0) y (1,+∞).

El unico cambio de signo de f ′′ donde f sea continua es en x = 0, que es por tanto un punto deinflexion.


2. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion f(x) =

{e−2x, −2 ≤ x ≤ 0,

sen(x + π/2), 0 < x ≤ π.en

el intervalo [−2, π].Resolucion: La funcion es continua en [−2, 0) ∪ (0, π]. Estudiamos separadamente lo que ocurreen x = 0:

f−(0) = f(0−) = limx→0−

f(x) = limx→0−

e−2x = 1

f+(0) = f(0+) = limx→0+

f(x) = limx→0+

sen(x + π/2) = 1

f(0) = 1

Entonces, f tambien es continua en x = 0. Por tanto, f es continua en [−2, π].Estudiamos ahora la derivabilidad:

• la funcion es derivable en [−2, 0) ∪ (0, π], la derivada en esos puntos es:

f ′(x) =

{ −2 e−2x si −2 ≤ x < 0;

cos(x + π/2) si 0 < x ≤ π.

• Veamos que ocurre en x = 0. Para ello, calculamos las derivadas laterales:

limh→0−

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0−

e−2h − 1h

=“0”0


= limh→0−

−2 e−2h

1= −2

limh→0+

f(0 + h)− f(0)h

= limh→0+

sen(h + π/2)− 1h

=“0”0


= limh→0+

cos(h + π/2)1

= 0.

Entonces, f no es derivable en x = 0. Por tanto, f solo es derivable en [−2, 0) ∪ (0, π].

(b) Estudia los maximos y mınimos absolutos de la funcion anterior en dicho intervalo.Resolucion: Como f : [−2, π] → R es una funcion continua en [−2, π], se verifica el Teoremade Weierstrass y tenemos garantizada la existencia de maximo/s y mınimo/s absolutos. Para suestudio, seguimos los siguientes pasos:

• Puntos de (−2, π) donde la funcion es derivable y f ′(x) = 0. En nuestro caso, se trata de lospuntos que verifican:

x ∈ (−2, 0) ∪ (0, π), f ′(x) = 0,

es decir,

f ′(x) = 0 ⇔

{−2 e−2x = 0 si −2 < x < 0,

cos(x + π/2) = 0 si 0 < x < π,

}Vemos que no hay ningun punto que verifique ninguna de la dos condiciones anteriores.

• Puntos de (−2, π) donde f no es derivable. En nuestro caso, x = 0.• Los extremos del intervalo, es decir, x = −2 y x = π.

Ahora calculamos la imagen de cada uno de los puntos de los apartados anteriores:

f(0) = 1, f(−2) = e4, f(π) = −1.

Por tanto, el maximo absoluto se alcanza en x = −2 y es e4, y el mınimo absoluto se alcanza enx = π y es −1.

La grafica de f en dicho intervalo es:

3. Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = 6 ln(x + 2)− x2 − 1, se pide:




Resolucion:

a) Por un lado, la funcion f(x) = 6ln(x + 2) − x2 − 1 esta definida y es continua en (−2,+∞) yverifica

limx→−2+

f(x) = −∞, limx→+∞

f(x) = −∞.

(El segundo lımite se calcula haciendo L’Hopital en un paso intermedio).Por otro lado, estudiamos su crecimiento:

f ′(x) =6

(x + 2)− 2x = −2 (x− 1) (x + 3)

x + 2definida en (−2,+∞)

y f ′(x) = 0 ⇔{

x = −3 < −2 (⇒ no esta en (−2,+∞))x = 1

De donde se prueba que la funcion es creciente en (−2, 1) y decreciente en (1,+∞), alcanzandoen x = 1 un maximo con valor f(1) = 6ln(3)− 2 ∼ 4.59167 > 0.

En consecuencia, la ecuacion posee dos raıces reales: una en el intervalo (−2, 1) donde la funciones estrictamente creciente y pasa de ser negativa a ser positiva. La otra raız esta en (1,+∞) dondela funcion es estrictamente decreciente y pasa de ser positiva a ser negativa. La representacion

grafica de la funcion es la siguiente:

b) La raız mayor se encuentra en el intervalo (1,+∞). Procedemos a continuacion a encontrar unintervalo mas pequeno en el que podamos aplicar el metodo de Newton para aproximar dicha raız.Haciendo cuentas, obtenemos primero que f(2) = 6ln(4)− 5 ∼ 3.3178 > 0 y f(3) = 6ln(5)− 10 ∼−0.34337 < 0. Por tanto, la raız que queremos aproximar se encuentra en el intervalo [2, 3].Comprobamos ahora que en este intervalo se cumplen las hipotesis para poder aplicar el metodode Newton. En concreto, probamos que en [2, 3] se verifica que:

• f(2) > 0 y f(3) < 0.• f ′(x) < 0 en todo el intervalo [2, 3].

• f ′′(x) = − 6(x + 2)2

− 2 < 0, ∀x ∈ [2, 3].

Entonces, el extremo x0 del intervalo [2, 3] que verifica signo(f(x0)) = signo(f ′′(x0)) es x0 = 3,que es el punto que debemos elegir para iniciar el metodo de Newton.

c) Para aproximar la raız que esta en el intervalo [2, 3], aplicamos el metodo de Newton, comenzandoen x0 = 3 y obtenemos, hasta la segunda iteracion

x0 = 3x1 = 2.9284640572x2 = 2.9272274183

Observamos que x1 y x2 coinciden en dos cifras decimales y, por tanto, podemos afirmar que x2

es una aproximacion de la raız de la ecuacion f(x) = 0 que esta en el intervalo [2, 3], con, almenos, dos cifras decimales exactas. De hecho, si hicieramos x3 nos darıamos cuenta que tiene almenos 6 cifras decimales exactas.


(a)∫

x√

5x2 − 1dx.

(b)∫

x2sen(x3)dx.

Resolucion:

∫x√

5x2 − 1dx =110

∫10x(5x2 − 1)1/2dx =

110

(5x2 − 1)3/2

32

=115

(5x2 − 1)3/2 + C.

∫x2sen(x3)dx = −1

3

∫3x2(−sen(x3))dx = −1

3cos(x3) + C.



Examen Tipo C


f(x) =x3

x2 − 1.



2. (2 puntos) Dada la funcion f(x) =x2 − 2x2 − 1

, se pide:

(a) Estudia su continuidad y derivabilidad en el intervalo (−1, 1).


3. (3 puntos) Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = (x + 1)e−x + 1, se pide:





(a)∫

x

2 + 3x2dx.

(b)∫

(x23 +

√x + 1)dx.

Tiempo: 3 horas.

1. Estudio y representacion de la funcion f(x) =x3

x2 − 1.

(a) Estudia el dominio, simetrıas, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y decrec-imiento, maximos y mınimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexion y asıntotasde f(x).Resolucion: Es continua en su dominio de definicion: dom f = R− {−1, 1}.

En los puntos x = 1 y x = −1 tiene sendas asıntotas verticales, es decir, la funcion es discontinuacon salto infinito en dichos valores, y el estudio posterior de crecimiento y decrecimiento seraanalizado por zonas.

El regionamiento de la funcion (es decir, el estudio de su signo) es simple, y ayudara para larepresentacion grafica: la funcion es:negativa en (−∞,−1),positiva en (−1, 0),negativa en (0, 1),positiva en (1,+∞).

Notemos ademas que f(−x) = −f(x), es decir, es simetrica impar.

Obviamente no tiene ningun tipo de periodicidad.

Y el unico punto de corte con los ejes es el (0, 0).

Asıntotas horizontales no tiene, ya que cuando x → ±∞ la funcion no se acerca a ningun numero,sino a infinito. Vemos si tiene asıntotas oblicuas:

limx→±∞

f(x)x

= limx→±∞

x3

x3 − x= 1 = m.

Para hallar el coeficiente n de la asıntota y = mx + n hacemos

limx→±∞

f(x)− x = limx→±∞

x3 − x3 + x

x2 − 1= 0.

Por tanto, en efecto, la funcion tiene una asıntota oblıcua y = x cuando x → ±∞.

Para estudiar el crecimiento, vemos primero la derivada de la funcion:

f ′(x) =3x2(x2 − 1)− 2x4

(x2 − 1)2=

3x4 − 3x2 − 2x4

(x2 − 1)2=

x4 − 3x2

(x2 − 1)2=

x2(x2 − 3)(x2 − 1)2

con lo cual la funcion f es derivable en su dominio, y el signo de la funcion derivada es:positivo en (−∞,−

√3),

negativo en (−√

3,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,√

3),positivo de nuevo en (

√3,+∞).

Ası, la funcion f escreciente en (−∞,−

√3),

decreciente en (−√

3,−1),decreciente en (−1, 1),decreciente en (1,

√3),

y creciente en (√

3,+∞).

En particular, deducimos que f tiene en −√

3 un maximo relativo, o local, y en√

3 un mınimorelativo o local. Pero ninguno de los dos son absolutos, ya que las asıntotas verticales de la funcionmuestran que esta alcanza valores tan grandes y tan pequenos como se quiera.

Antes de hacer la representacion grafica, haremos el estudio de signo de la derivada segunda,para identificar las zonas donde f es concava y convexa, ası como sus puntos de inflexion, silos tiene. No obstante, notese, que con lo que sabemos hasta aquı, ya podrıamos efectuar dicharepresentacion1.

f ′′(x) =(4x3 − 6x)(x2 − 1)2 − 2(x2 − 1)2x(x4 − 3x2)

(x2 − 1)4

=(4x3 − 6x)(x2 − 1)− 4x(x4 − 3x2)

(x2 − 1)3

=4x5 − 4x3 − 6x3 + 6x− 4x5 + 12x3

(x2 − 1)3

=2x3 + 6x

(x2 − 1)3

=2x(x2 + 3)(x2 − 1)3

de modo que f ′′ esnegativa en (−∞,−1),positiva en (−1, 0),negativa en (0, 1),y positiva en (1,+∞).

Como en 1 y −1 la funcion tiene asıntotas, el unico punto de inflexion es x = 0, donde f pasa deconvexa a concava. Ademas en (−∞,−1) es concava, y en (1,+∞) es convexa.


1En realidad, faltarıa tambien analizar cuando la funcion y su asıntota oblicua se cortan, pero se comprueba trivialmenteque esto solo ocurre en el origen de coordenadas.

2. (a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion f(x) =x2 − 2x2 − 1

en el intervalo (−1, 1).

Resolucion: La funcion es continua y derivable en (−1, 1), ya que es un cociente de dos poli-nomios (que son funciones continuas) y el denominador no se anula en dicho intervalo.

(b) Estudia los maximos y mınimos absolutos de la funcion anterior en dicho intervalo.Resolucion: La funcion f : (−1, 1) → R esta definida en un intervalo abierto. Por tanto, aunquees continua, no verifica las hipotesis del Teorema de Weierstrass. Eso implica que no tenemosgarantizada la existencia de maximos ni mınimos absolutos.En este caso, tenemos que recurrir al estudio del crecimiento/decrecimiento de la funcion. Paraello, procedemos al calculo de la derivada:

f ′(x) =2x

(x2 − 1)2

Por tanto, f es decreciente en (−1, 0) y creciente en (0, 1). Observemos que:

limx→1−

f(x) = limx2 − 2x2 − 1

= +∞, limx→−1+

f(x) = limx2 − 2x2 − 1

= +∞.

Entonces, f tiene un mınimo en x = 0 que es 2. Concretamente, la grafica de f en (−1, 1) es:

A la vista de la grafica anterior, f es una funcion que posee un mınimo absoluto que se alcanzaen x = 0 y es 2, pero no alcanza maximo absoluto en ningun punto.

3. Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) = (x + 1)e−x + 1, se pide:




Resolucion:

a) Por un lado, la funcion f(x) = (x + 1)e−x + 1 esta definida y es continua en R y verifica

limx→−∞

f(x) = −∞, limx→+∞

f(x) = 1.

Por otro lado, estudiamos su crecimiento:

f ′(x) = −xe−x esta definida en R y f ′(x) = 0 ⇔ x = 0.

De donde se prueba que la funcion es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0,+∞), alcanzandoen x = 0 un maximo con valor f(0) = 2 > 0.

En consecuencia, la ecuacion posee una unica raız real que esta en el intervalo (−∞, 0) donde lafuncion es estrictamente creciente y pasa de ser negativa a ser positiva. La representacion grafica

de la funcion es la siguiente:

b) Para aproximar dicha raız, procedemos a continuacion a encontrar un intervalo mas pequenoen el que podamos aplicar el metodo de Newton. Haciendo cuentas, obtenemos primero quef(−2) = −6.389 < 0 y f(−1) = 1 > 0. Por tanto, la raız que queremos aproximar se encuentraen el intervalo [−2,−1]. Comprobamos ahora que en este intervalo se cumplen las hipotesis parapoder aplicar el metodo de Newton. En concreto, probamos que en [−2,−1] se verifica que:

• f(−2) < 0 y f(−1) > 0.• f ′(x) > 0 en todo el intervalo [−2,−1].• f ′′(x) = (x− 1)e−x < 0, ∀x ∈ [−2,−1].

Entonces, el extremo x0 del intervalo [−2,−1] que verifica signo(f(x0)) = signo(f ′′(x0)) esx0 = −2, que es el punto que debemos elegir para iniciar el metodo de Newton.

c) Para aproximar la raız que esta en el intervalo [−2,−1], aplicamos el metodo de Newton, comen-zando en x0 = −2 y obtenemos, hasta la segunda iteracion:

x0 = −2x1 = −1.56766764x2 = −1.33857785

Observamos que x1 y x2 no coinciden en ninguna cifra decimal y, por tanto, en principio solopodemos afirmar que x2 es una aproximacion de la raız de la ecuacion f(x) = 0 con cero cifrasdecimales exactas.


(a)∫

x

2 + 3x2dx.

(b)∫

(x23 +

√x + 1)dx.

Resolucion: ∫x

2 + 3x2dx =

16

∫6x

2 + 3x2dx =

16ln(2 + 3x2) + C.

∫(x

23 +

√x + 1)dx =

∫x

23 dx +

∫(x + 1)

12 dx =

x5/3

53

+(x + 1)3/2

32

=35x5/3 +

23(x + 1)3/2 + C.

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia8 de Noviembre de 2005

1. Dada la funcion f(x) =x + 11− x

, se pide:

(a) Representarla graficamente en su dominio de definicion, estudiando previamente: dominio de exis-tencia, simetrıas, corte con los ejes, crecimiento, decrecimiento, maximos, mınimos, concavidad,convexidad, puntos de inflexion y asıntotas.

(b) Calcular, razonadamente, el area de la figura delimitada por la curva y = f(x), el eje OX y lasrectas x = −1 y x = 0.

2. (a) Resuelve la siguiente e. d. o. (ecuacion diferencial ordinaria):

y′ =1t

y2

sujeta a la condicion inicial y(1) = 1.

(b) Encontrar un valor de t en el cual la solucion se va a infinito.

3. Dada la ecuacion x3 − 2x2 − 4 = 0, se pide:

(a) Demostrar que posee una unica raız real.(b) Obtener un intervalo en el que se verifique la Regla de Fourier. Aproximar la unica raız calculando

2 iteraciones del Metodo de Newton.

4. Un entusiasta de la salud desea tener un mınimo de 36 unidades de vitamina A al dıa y 30 unidadesde vitamina D, para lo que cuenta con la posibilidad de elegir entre dos complejos vitamınicos. Elcomplejo I cuesta 2 euros, y proporciona 1 unidad de vitamina A y 6 unidades de vitamina D. Elcomplejo II cuesta 3 euros y da 3 unidades de vitamina A y 2 unidades de vitamina D. ¿Cual es lacombinacion mas barata de ambos complejos para tener garantizadas las necesidades mınimas diarias?

5. A una cierta especie se le suministra diariamente una cantidad de mg de una sustancia (X) y se observael aumento de peso en gramos en un mes (Y ), obteniendose:

X 1 2 3 4 5Y 30 20 a 45 60

Se pide:

(a) Calcular a para que la media aritmetica de Y sea 40.

A partir de ahora tomemos a = 45.

(b) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.(c) Usando la recta de regresion, calcular cuantos mg. habrıa que suministrar diariamente para que

la especie gane 50 gramos al mes.

Tiempo: 3 horas.

Puntuacion: Prob. 1: 3 ptos., Prob. 2: 2 ptos., Prob. 3: 1,5 ptos., Prob. 4: 1,5 ptos., Prob. 5: 2 ptos.

Matematica Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Examen de Noviembre de 2005 1

SOLUCIONES DEL EXAMEN DE NOVIEMBRE DE 2005

1) Dada la funcion f(x) =x + 1

1− x, se pide:

(a) Representarla graficamente en su dominio de definicion, estudiando pre-viamente: dominio de existencia, simetrıas, corte con los ejes, crecimien-to, decrecimiento, maximos, mınimos, concavidad, convexidad, puntosde inflexion y asıntotas.

Resolucion: En este caso, para que la funcion tenga sentido necesita-mos que x 6= 1 para que el denominador de la funcion no se anule. Eldominio viene dado por la expresion:

Dom(f) = R\{1} = (−∞, 1) ∪ (1, +∞).

La funcion no es par, ni impar, ni periodica.

Corte con los ejes:

• Corte con OX: si y = 0, entoncesx + 1

1− x= 0, lo que ocurre si

x = −1, es decir, se obtiene el punto (−1, 0).

• Corte con OY : si x = 0, entonces y = 1, es decir, se obtiene elpunto (0, 1).

Para estudiar la monotonıa (crecimiento/decrecimiento) de la funcion,calculamos su derivada:

f ′(x) =2

(1− x)2> 0

Luego f es creciente en Dom(f). (Notemos que f es creciente en(−∞, 1) y f es creciente en (1,∞), pero que f no esta definida enx = 1).

2 Matematica Aplicada - Licenciatura de Farmacia - Examen de Noviembre de 2005

Observemos que funcion f es derivable en todo su dominio, y que laderivada no se anula en ningun punto. Por tanto, no se alcanzan nimaximos ni mınimos.

Concavidad/convexidad: Para ello, calculamos la derivada segundade f :

f ′′(x) =4

(1− x)3.

Luego, f es convexa (f ′′(x) ≥ 0) si x ∈ (−∞, 1); y f es concava(f ′′(x) ≤ 0) si x ∈ (1, +∞). Por tanto, como f ′′(x) 6= 0, no hay puntosde inflexion.


• Asıntotas verticales: 1 /∈ Dom(f), luego x = 1 es un candidato aasıntota. Como:

lımx→1−

f(x) = +∞, lımx→1+

f(x) = −∞,

entonces, efectivamente la recta x = 1 es una asıntota vertical def .

• Asıntotas horizontales: son de la forma y = a, donde a = lımx→±∞

f(x).

Notemos que:lım

x→±∞f(x) = −1,

luego y = −1 es una asıntota horizontal.

• Asıntotas oblicuas: No hay ya que son incompatibles con las asınto-tas horizontales.

La grafica viene entonces dada por:

–20

–15

–10

–5

5

10

15

x


(b) Calcular, razonadamente, el area de la figura delimitada por la curvay = f(x), el eje OX y las rectas x = −1 y x = 0.

Resolucion: Observemos que la funcion f es positiva en el intervalo[−1, 0], y, por tanto, la integral pedida viene dada por la expresion:

A =

∫ 0

−1

f(x) dx =

∫ 0

−1

x + 1

1− xdx = (dividiendo) =

∫ 0

−1

[−1 +

2

1− x

]dx

= [−x− 2 ln |1− x|]∣∣∣x=0

x=−1= −1− 2 ln(1) + 2 ln(2) = −1 + 2 ln(2)

= 0, 3862 u2


2) (a) Resuelve la siguiente e. d. o (ecuacion diferencial ordinaria):

y′ =1

ty2

sujeta a la condicion inicial y(1) = 1.Resolucion: Reescribimos la ecuacion diferencial como:

y′ =y2

t⇔ dy

dt=

y2

t⇔ dy

y2=

dt

t,

lo que implica que

∫dy

y2=

∫dt

t⇔ − 1

y(t)= lnt + C ⇔ y(t) =

1

−lnt− C

Por tanto, si sustituimos el dato inicial y(1) = 1 obtenemos que y(1) =1

−C= 1 lo que implica que C = −1. Entonces, la solucion viene dada por la

expresion:

y(t) =1

1− lnt.

(b) Encontrar un valor de t en el cual la solucion se va a infinito.Resolucion: La solucion y(t) tendera a infinito si el denominador 1 −

lnt tiende a cero, es decir, si lnt tiende a 1. Como ln(e) = 1, entonces si

consideramos t0 = e entonces lımt→e

1

1− lnt= ∞. Por tanto, la solucion se va a

infinito si el tiempo tiende a e.


3) Dada la ecuacion x3 − 2x2 − 4 = 0, se pide:

(a) Demostrar que posee una unica raız real.

Resolucion: La funcion f(x) = x3 − 2x2 − 4 tiene por derivada:

f ′(x) = 3x2 − 4x = x(3x− 4) = 0 ⇒{

x = 0

x = 43

Observemos que f es creciente en (−∞, 0) ∪ (43, +∞), y decreciente

en (0, 43). Ademas, lım

x→−∞f(x) = −∞, f(0) = −4, f

(43

)= −140

27y

lımx→+∞

f(x) = +∞, correspondiendo a la siguiente grafica:

–40

–20

0

20

40

60

–3 –2 –1 1 2 3 4 5x

Por tanto, posee una unica raız real, que se encuentra en el intervalo(4

3, +∞).


(b) Obtener un intervalo en el que se verifique la Regla de Fourier. Apro-ximar la unica raız calculando 2 iteraciones del Metodo de Newton.

Resolucion: Proponemos el intervalo [2, 3] para aplicar la regla deFourier (que asegura que el metodo de Newton sera convergente). En-tonces, comprobamos que:

• f(2) = −4, f(3) = 5, luego f(2) · f(3) < 0,

• f ′(x) = 3x2 − 4x 6= 0 en [2, 3],

• f ′′(x) = 6x− 4 ≥ 0 o f ′′(x) = 6x− 4 ≤ 0 en [2, 3]

Ahora solo falta elegir el punto de inicializacion x0 del metodo de New-ton, que corresponde a aquel en el que signo(f(x0)) = signo(f ′′(x0)).Como f ′′(2) = 8 y f ′′(3) = 14, entonces x0 = 3.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

xn f(xn) f ′(xn) xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)n=0 3 5 15 x1 =2,666666n=1 2,666666 0,740740 10,666666 x2 =2,597222

Por tanto, x2 = 2, 597222.


4) Esquematizamos la informacion dada por el enunciado en el siguientecuadro:

Cantidad de Complejo vitamina A vitamina D gastosComplejo I x x 6 x 2 xComplejo II y 3 y 2 y 3 y

Total ≥ 36 ≥ 30 2 x + 3 y

Con esto, disenarıamos la combinacion ideal.

Por tanto, la funcion que queremos minimizar (funcion objetivo) es:

F (x, y) = 2 x + 3 y.

Para encontrar el mınimo de la funcion anterior, necesitamos dibujar el domi-nio limitado por las restricciones algebraicas que aparecen en el planteamientodel problema, y que en este caso son:

x ≥ 0,y ≥ 0,

x + 3 y ≥ 36,6 x + 2 y ≥ 30.

(1)

En el dibujo siguiente la lınea gruesa representa la recta x+3 y = 36, y la masfina es 6x + 2y = 30, o lo que es lo mismo, 3 x + y = 15. La zona sombreadarepresenta el sector que verifica a la vez las cuatro condiciones de (1):

0

2

4

6

8

10

12

14

y

10 20 30 40x

Sabemos que el mınimo de la funcion se alcanza en uno de los vertices de

la figura anterior. Dichos vertices son (0, 15),

(9

8,93

8

)y (36, 0). Por tanto,


evaluamos la funcion objetivo en cada uno de dichos puntos. El menor de lostres valores correspondera al mınimo de dicha funcion:

f(0, 15) = 45,

f

(9

8,93

8

)=

297

8= 37, 125,

f(36, 0) = 72.

Ası pues, el mınimo se alcanza en el punto

(9

8,93

8

). Es decir, hay que mezclar

9

8unidades del complejo I y

93

8unidades del complejo II para que el coste

de la mezcla sea mınimo.


5) A una cierta especie se le suministra diariamente una cantidad de mgde una sustancia (X) y se observa el aumento de peso en gramos en un mes(Y ), obteniendose:

X 1 2 3 4 5Y 30 20 a 45 60

Se pide:

(a) Calcular a para que la media aritmetica de Y sea 40.

Resolucion: La media aritmetica de la variable Y viene dada por laexpresion:

y =30 + 20 + a + 45 + 60

5=

155 + a

5= 31 +

a

5,

luego y = 40 si y solo si a = 45.

A partir de ahora tomemos a = 45.

(b) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.

Resolucion: El coeficiente de correlacion lineal viene dado por la ex-presion:

r =SXY

SXSY

,

luego necesitamos calcular SX y SY . Para ello, necesitamos la mediaaritmetica de X, que es:

x =1 + 2 + 3 + 4 + 5

5= 3.

Podemos calcular la desviacion tıpica SX directamente, es decir,

SX =

((1− 3)2 + (2− 3)2 + (3− 3)2 + (4− 3)2 + (5− 3)2

5

)1/2

=√

2,

o usando la formula de Koning:

SX =

(12 + 22 + 32 + 42 + 52

5− x2

)1/2

= (11− 9)1/2 =√

2.

Procedemos igual en el caso de la variable Y , es decir, calculamos ladesviacion tıpica directamente:

SY =

((30− 40)2 + (20− 40)2 + (45− 40)2 + (45− 40)2 + (60− 40)2

5

)1/2

=√

190,


o bien, usamos el teorema de Koning:

SY =

(302 + 202 + 452 + 452 + 602

5− y2

)1/2

=(1790− 402

)1/2=√

190.

Y la covarianza viene dada por:

SXY =(−2) · (−10) + (−1) · (−20) + 0 · 5 + 1 · 5 + 2 · 20

5= 17,

o bien por

SXY =1 · 30 + 2 · 20 + 3 · 45 + 4 · 45 + 5 · 60

5− x · y = 137− 120 = 17.

Por tanto, r =SXY

SXSY

=17√

2√

190=

17

190

√95 = 0, 8720.

(c) ¿Cuantos mg habrıa que suministrar diariamente para que la especiegane 50 gramos al mes?

Resolucion: Observamos que r es aceptable, por tanto las rectas deregresion de Y respecto a X y de X respecto a Y son aceptables. Larecta de regresion de Y respecto de X viene dada por la expresion:

y − y =SXY

S2X

(x− x) es decir, y − 40 =17

2(x− 3),

y la recta de regresion de X respecto de Y viene dada por:

x− x =SXY

S2Y

(y − y) es decir, x− 3 =17

190(y − 40).

Si sustituimos y = 50 en la primera obtenemos:

x = 3 +10 · 217

= 4, 1764.

Entonces, para que la especie gane 50 gramos al mes habrıa que sumi-nistrar 4, 1764 mg. diariamente.

Y en la segunda, obtenemos x = 3 +17 · 10

190= 3, 8947, luego para que

la especie gane 50 gramos al mes habrıa que suministrar 3, 8947 mg.diariamente.


Segunda Prueba Intermedia de Seguimiento (1er. dıa) - 18 de enero de 2006

Examen Tipo A

1. (2,5 puntos) Calcula el area de la figura plana limitada por la curva y =x

x2 − 3x− 4, el eje OX, y

las rectas verticales x = 0 y x = 2.

2. (2,5 puntos) Se considera la ecuacion diferencial:

y′ = (1 + x) (1 + y).

(a) Calcular la solucion general y(x) de dicha ecuacion diferencial.

(b) Calcular la solucion particular con dato y(0) = 0.

Tiempo: 1 hora.

Soluciones

1. Si dibujamos la figura plana, obtenemos:

Recordemos que lo importante es conocer si la curva y =x

x2 − 3x− 4corta o no al eje OX. Para ello,

calculamos: y =x

x2 − 3x− 4

y = 0

⇒ x

x2 − 3x− 4= 0 ⇒ x = 0

Luego ambas curvas se cortan en x = 0 que es uno de los lımites de integracion. Por tanto la curvatiene signo constante en los puntos a la derecha de x = 0. Como, por ejemplo, en x = 1 el valor de yes y = −1/6, entonces la curva es negativa en el intervalo [0, 2].

Por tanto, el area viene dada por la expresion:

A =∫ 2

0

[0− x

x2 − 3x− 4

]dx = −

∫ 2

0

x

x2 − 3x− 4dx

Observemos que se trata de una integral de tipo racional, por lo que tendremos que descomponer elintegrando de la forma:

x

x2 − 3x− 4=

A

x− 4+

B

x + 1,

donde realizando los calculos oportunos obtenemos que A =45

y B =15. De ese modo,

A = −∫ 2

0

x

x2 − 3x− 4dx = −

∫ 2

0

45

x− 4dx−

∫ 2

0

15

x + 1dx

= −45

∫ 2

0

1x− 4

dx− 15

∫ 2

0

1x + 1

dx

= −[45

ln |x− 4|+ 15

ln |x + 1|+ c]x=2

x=0

= −45

ln | − 2| − 15

ln |3| − c +45

ln | − 4|+ 15

ln |1|+ c

= −45

ln 2− 15

ln 3 +45

ln 4 = 0, 3347

2. Si resolvemos dicha ecuacion como de variables separables, obtenemos:

dy

dx= (1 + x) (1 + y) ⇒ dy

1 + y= (1 + x) dx ⇒ ln |1 + y| = x +

x2

2+ c, c ∈ R

Tomando logaritmos:

|1 + y| = ex+x2

2+c ⇒ y = −1± ec ex+x2

2 ,

luego si consideramos K = ±ec, entonces la solucion general viene dada por la expresion:

y(x) = −1 + K ex+x2

2 , K ∈ R

Para obtener la solucion particular imponemos la condicion y(0) = 0, es decir,

y(0) = −1 + K = 0 ⇒ K = 1.

Entonces, la solucion particular viene dada por:

y(x) = −1 + ex+x2

2 .


Segunda Prueba Intermedia de Seguimiento (2o dıa) - 19 de enero de 2006

1. (2 puntos) Una empresa farmaceutica comercializa dos medicamentos distintos (medicamento 1 ymedicamento 2) en cuya fabricacion utiliza los compuestos A y B. Una caja del medicamento 1 sefabrica con 5 g. del compuesto A y 4 g. del compuesto B, y por su produccion se obtiene un beneficiode 4 � por caja. Una caja del medicamento 2 se fabrica con 4 g. del compuesto A y 4 g. del compuestoB, y por su produccion se obtiene un beneficio de 3 � por caja. Teniendo en cuenta que la empresadispone de 3 kg. del compuesto A y 2’5 kg. del compuesto B, ¿que numero de cajas del medicamento1 y del medicamento 2 tendra que producir para obtener el maximo beneficio?

2. (1’5 puntos) La oficina central de un banco ha contado la cantidad de dinero que retiraron losclientes en un determinado dıa, agrupando las cantidades de 100 � en 100 �, obteniendo los siguientesresultados:

[0, 100) [100, 200) [200, 300) [300, 400]33 17 29 21

¿Que porcentaje de personas retiraron una cantidad inferior a 250 �?

3. (1’5 puntos) La siguiente tabla recoge la edad con la que se han casado 5 parejas:

edad mujer 25 18 21 29 27edad hombre 28 23 22 30 27

Si llamamos X a la edad de la mujer, Y a la edad del hombre:

a) Calcular la media aritmetica y la desviacion tıpica correspondientes a la edad de la mujer, esdecir, x y SX .

b) Si la media aritmetica y la desviacion tıpica de la edad del hombre son, respectivamente, y = 26,SY = 3′033, y la covarianza es SXY = 11, ¿cual es el coeficiente de correlacion lineal? ¿Serıaadecuado usar la recta de regresion lineal para predecir, dada la edad de una mujer, cual sera laedad del hombre con el que se case? ¿Por que?

c) Escribe alguna de las dos rectas de regresion lineal para este problema.

Tiempo: 1 hora.

Soluciones

1. Si analizamos la informacion, observamos que:

Hay dos productos distintos: medicamento 1 y medicamento 2.

Hay dos compuestos distintos: A y B, con los que se fabrican los medicamebtos.

Hay un precio por medicamento.

Los ingresos corresponden a la venta de todos los medicamentos de tipo 1 y todos los de tipo 2.

Por tanto, adjudicamos el valor x al numero de cajas del meicamento 1, y el valor y al numero decajas del medicamento 2.


No de cajas compuesto A compuesto B ingresosMedicamento 1 x 5 x 4 x 4 xMedicamento 2 y 4 y 4 y 3 y

Total ≤ 3000 ≤ 2500 4 x + 3 y

Por tanto, la funcion que queremos maximizar (funcion objetivo) es:

P (x, y) = 4 x + 3 y.

Para encontrar el maximo de la funcion anterior, necesitamos dibujar el dominio limitado por lasrestricciones algebraicas que aparecen en el planteamiento del problema, y que en este caso son:

x ≥ 0,y ≥ 0,

5 x + 4 y ≤ 3000,4 x + 4 y ≤ 2500.

(1)

En el dibujo siguiente la lınea gruesa representa la recta 5x+4y = 3000, y la mas fina es 4x+4y = 2500.La zona sombreada representa el sector que verifica a la vez las cuatro condiciones de (1):

Sabemos que el maximo de la funcion se alcanza en uno de los vertices de la figura anterior. Dichosvertices son (0, 0), (0, 625), (600, 0) y (500, 125). Por tanto, evaluamos la funcion objetivo en cada unode dichos puntos. El mayor de los cuatro valores correspondera al maximo de dicha funcion:

P (0, 0) = 0,P (0, 625) = 1875,P (600, 0) = 2400,

P (500, 125) = 2375.

Ası pues, el maximo se alcanza en el punto (600, 0). Es decir, a la empresa lo que mas le conviene esfabricar solo el medicamento 1 (600 cajas) para maximizar beneficios.

2. Completamos la tabla dada en el enunciado del problema con los porcentajes simples, pi, y acumulados,Pi, de manera que obtenemos:

xi ni pi Pi

[0, 100) 33 33 33[100, 200) 17 17 50[200, 300) 29 29 79[300, 400] 21 21 100

Si buscamos el porcentaje de personas que retiraron menos de 250 �, sera una cantidad que estara entreel 50% asociado a los que retiraron menos de 200 �, y el 79 % asociado a los que retiraron menos de300 �.

Por tanto, tenemos que calcular la recta que une los puntos (200, 50) y (300, 79), que es:

y = 50 +29100

(x− 200).

Para responder a la pregunta del enunciado, sustituimos x = 250 en la recta anterior y obtenemosy = 64′5, es decir, el porcentaje de persnas que retiraron del banco una cantidad inferior a 250 � esdel 64’5 %.

3. A continuacion describimos los calculos que hay que realizar:

a) La media aritmetica y la desviacion tıpica vienen dadas, respectivamente, por las expresiones:

x =25 + 18 + 21 + 29 + 27

5= 24,

SX =

√252 + 182 + 212 + 292 + 272

5− 242 = 4.

b) El coeficiente de correlacion lineal viene dado por la expresion:

r =SXY

SX SY=

114 · 3′033

= 0′9.

Por tanto, dado el valor obtenido para r (que es muy cercano a 1), sı resulta acertado usar lasrectas de regresion lineal para hacer predicciones.

c) La recta de regresion lineal de Y respecto de X viene dada por la expresion:

y − y =SXY

S2X

(x− x), es decir, y − 26 =1116

(x− 24);

y la recta de regresion lineal de X respecto de Y viene dada por la expresion:

x− x =SXY

S2Y

(y − y), es decir, x− 24 =119′2

(y − 26).

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de FarmaciaPrimera Convocatoria del curso 2005/2006

27 de enero de 2006


f(x) =x

ln x.

(a) Estudia el dominio, simetrıas, periodicidad, continuidad, derivabilidad, crecimiento y de-crecimiento, maximos y mınimos relativos, concavidad y convexidad, puntos de inflexiony asıntotas de f(x).


2. (2 puntos) En un laboratorio se dispone de dos tipos de vitaminas, A y B. De A se tienen1000 gramos y 800 gramos de B. Se quiere fabricar un complejo vitamınico con A y B, mediantepastillas que contengan 2 mg de A y 1 mg de B, que se venderan a 10 centimos cada pastilla, yotro tipo de pastillas que contendran 1 mg de A y 2 mg de B, y que se venderan a 15 centimoscada pastilla. ¿Cuantas pastillas de cada tipo se tendran que fabricar para obtener el mayorbeneficio?

3. (3 puntos) La depuradora de una fabrica de productos quımicos posee un deposito de 104

litros en el cual entra una disolucion toxica con una concentracion de 5 gramos/litro, a razonde 2 litros por minuto. La mezcla, que se hace uniforme, sale a la misma velocidad del deposito.Si suponemos que inicialmente la depuradora no esta contaminada, se pide:

(a) Encuentra la cantidad de toxico y(t) que hay en cada instante en el deposito de la depu-radora.

(b) ¿En que momento la concentracion del deposito es de 1 gramo/litro?

(c) ¿Habra algun momento en que la concentracion en el deposito llegue a ser de 5 gramos/litro?Justifica la respuesta.

4. (2 puntos) La siguiente tabla recoge el espacio (en metros) recorrido por un coche desde queel conductor pisa el freno hasta que se detiene para distintas velocidades (en km/h):

velocidad 20 30 40 50 60 70distancia 18 29 46 67 98 132

Si llamamos X a la variable velocidad, e Y a la variable distancia, se pide:

(a) Calcula la media y la desviacion tıpica de las variables X e Y.

(b) Calcula el coeficiente de correlacion lineal.

(c) ¿Se podra predecir con fiabilidad la distancia que recorrera un coche desde que el conductorpisa el freno hasta que el coche se detiene? ¿Como?

(d) ¿Que distancia recorrera el coche desde que se pise el freno hasta detenerse si va a 75km/h?

Tiempo: 3 horas y media.

Resolucion:

1. En este caso, para que la funcion tenga sentido necesitamos que x > 0 para que el logaritmoneperiano exista, y que ln(x) 6= 0 para que el denominador no se anule. Ası pues el dominioviene dado por la expresion:

Dom(f) = (0, +∞)\{1} = (0, 1) ∪ (1, +∞).

La funcion no es simetrica par, ni impar, ni periodica. Y es continua y derivable en su dominiopor composicion de funciones que son continuas y derivables.


• Asıntotas verticales: Analizamos x = 0 y x = 1:

limx→0+

x

ln x= 0, lim

x→1−

x

ln x= −∞, lim

x→1+

x

ln x= +∞.

A la vista de los resultados obtenidos, hay una asıntota vertical en x = 1 (pero no enx = 0).

• Asıntotas horizontales: son de la forma y = a, donde a = limx→+∞

f(x). Notemos que:

limx→+∞

x

ln x=

+∞+∞

= (aplicando la regla de L’Hopital)

= limx→+∞

11x

= limx→∞

x = +∞,

luego no existen asıntotas horizontales.

• Asıntotas oblicuas: Son de la forma y = m x + n donde m = limx→∞

f(x)

xy n = lim

x→∞(f(x)−

m x). Como:

m = limx→+∞

f(x)

x= lim

x→+∞

1

ln x= 0, n = lim

x→∞(f(x)−m x) = lim

x→∞f(x) = +∞,

no hay asıntotas oblicuas.

Para estudiar la monotonıa de la funcion, calculamos su derivada y el signo de esta:

f ′(x) =ln x− x 1

x

(ln x)2=

ln x− 1

(ln x)2, donde f ′(x) = 0 ⇔ ln x = 1 ⇔ x = e.

Luego f es decreciente en (0, 1) ∪ (1, e) y creciente en (e, +∞). Por tanto, hay un mınimorelativo en x = e, cuyo valor es f(e) = e (se representa el punto (e, e)).

Para el estudio de la concavidad/convexidad, calculamos la derivada segunda de la funcion ysu signo:

f ′′(x) =1x

(ln x)2 − (ln x− 1) 2 ln x 1x

(ln x)4=

2− ln x

x (ln x)3, donde f ′′(x) = 0 ⇔ x = e2.

Por tanto, la funcion es convexa (f ′′(x) > 0) en (1, e2) y concava (f ′′(x) < 0) en (0, 1)∪(e2, +∞).Y hay un punto de inflexion en x = e2 (punto (e2, e2

2)).

La representacion grafica viene dada entonces por:

2. Si analizamos la informacion, observamos que:

• Hay dos tipos de vitaminas: A y B.

• Se quieren fabricar dos complejos vitamınicos distintos, que se distribuiran como pastillas:pastillas de tipo 1 y pastillas de tipo 2.

• Hay un precio por cada pastilla.

• Los ingresos corresponden a la venta de todas las pastillas de tipo 1 mas todas las pastillasde tipo 2.

Por tanto, adjudicamos el valor x al numero de pastillas de tipo 1, y el valor y al numero depastillas de tipo 2.


No de pastillas vitamina A vitamina B ingresosPastilla 1 x 2 x x 0,10 xPastilla 2 y y 2 y 0,15 y

Total x+y ≤ 1000000 ≤ 800000 0,10 x + 0,15 y

Por tanto, la funcion que queremos maximizar (funcion objetivo) es:

F (x, y) = 0, 10 x + 0, 15 y.

Para encontrar el maximo de la funcion anterior, necesitamos dibujar el dominio limitado porlas restricciones algebraicas que aparecen en el planteamiento del problema, y que en este casoson:

x ≥ 0,y ≥ 0,

2 x + y ≤ 1000000,x + 2 y ≤ 800000.

(1)

En el dibujo siguiente la lınea gruesa representa la recta 2x + y = 1000000, y la mas fina esx + 2 y = 800000. La zona sombreada representa el sector que verifica a la vez las cuatrocondiciones de (1):

Sabemos que el maximo de la funcion se alcanza en uno de los vertices de la figura anterior.Dichos vertices son (0, 0), (0, 400000), (500000, 0) y (400000, 200000). Por tanto, evaluamos lafuncion objetivo en cada uno de dichos puntos. El mayor de los cuatro valores corresponderaal maximo de dicha funcion:

F (0, 0) = 0,F (0, 400000) = 60000,F (500000, 0) = 50000,

F (400000, 200000) = 70000.

Ası pues, el maximo se alcanza en el punto (400000, 200000). Es decir, fabricando 400000pastillas de tipo 1 y 200000 pastillas del tipo 2 maximizamos beneficios, que serıan 70000euros.

3. Denotamos por y(t) la cantidad de toxico (en gramos) en la depuradora en el minuto t. Lacantidad inicial es y(0) = 0.

El deposito tiene 104 litros, pero la cantidad de toxico disuelta va variando, ya que a la concen-tracion inicial se le esta inyectando una disolucion con otra concentracion distinta. La variacionde toxico, y′(t), viene dada por la diferencia entre la cantidad de toxico que entra y la cantidadde toxico que sale por unidad de tiempo.

Si llamamos ce a la concentracion de toxico en la disolucion inicial, cs a la concentracion detoxico en la disolucion final, ve a la velocidad de entrada y vs a la velocidad de salida, entonces:

y′(t) = ce · ve − cs · vs.

Segun los datos del problema, ve = vs = 2, ce = 5, y

cs =cantidad de toxico

no litros=

y(t)

volumen del deposito,

es decir,

y′(t) = 5 · 2− y(t)

10000· 2 = 10− 1

5000y(t).

Por tanto, tenemos que resolver la ecuacion lineal completa:

y′(t) +1

5000y(t) = 10.

(a) Si consideramos que se trata de una ecuacion lineal completa, la solucion de la parte

homogenea es y(t) = A e−t

5000 . Buscamos entonces la solucion de la ecuacion lineal completacomo y(t) = A(t) e−

t5000 , de manera que:

A′(t) = 10 et

5000 ⇒ A(t) = 50000 et

5000 + C,

luego y(t) = 50000 + C e−t

5000 . Como y(0) = 0, entonces C = −50000. Finalmente, laevolucion de la cantidad de toxico en la depuradora es:

y(t) = 50000− 50000 e−t

5000 .

(b) Buscamos el tiempo t en el que la concentracion de toxico en la depuradora sea 1 g/l, es

decir,y(t)

10000= 1. Para ello, se debe verificar:

5(1− e−

t5000

)= 1 ⇒ t = −5000 ln

(4

5

)= 1115, 71 min.

que se corresponde a 18 horas, 35 minutos y 43 segundos.

(c) La concentracion sera de 5 g./l. si se verifica que:

5(1− e−

t5000

)= 5 ⇒ 1− e−

t5000 = 1 ⇒ e−

t5000 = 0,

y “eso solo puede ocurrir en el infinito”. Por tanto, no se alcanza en un instante de tiempofijo, sino que cuando el tiempo crece (hasta infinito) la concentracion tiende a ser esa.

4. A continuacion describimos los calculos que hay que realizar:

(a) Las medias aritmeticas y las desviaciones tıpicas vienen dadas, respectivamente, por lasexpresiones:

x =20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70

6= 45,

SX =

√202 + 302 + 402 + 502 + 602 + 702

6− 452 =

√875

3= 17, 07,

y =18 + 29 + 46 + 67 + 98 + 132

6= 65,

SY =

√182 + 292 + 462 + 672 + 982 + 1322

6− 652 =

√4724

3= 39, 68.

(b) Para calcular el coeficiente de correlacion lineal, debemos calcular previamente la covari-anza, SXY :

SXY =20 · 18 + 30 · 29 + 40 · 46 + 50 · 67 + 60 · 98 + 70 · 132

6− 45 · 65 = 665.

El coeficiente de correlacion lineal viene dado por la expresion:

r =SXY

SX SY

=665

17, 07 · 39, 68= 0′98.

(c) Dado el valor obtenido para r (que es muy cercano a 1), sı se puede predecir con fiabilidadla distancia que recorrera un coche desde que el conuctor pisa el freno hasta que el cochese detiene. Para ello, se usara la recta de regresion lineal.

(d) La recta de regresion lineal de Y respecto de X viene dada por la expresion:

y − y =SXY

S2X

(x− x), es decir, y − 65 =665

291, 67(x− 45);

y la recta de regresion lineal de X respecto de Y viene dada por la expresion:

x− x =SXY

S2Y

(y − y), es decir, x− 45 =665

1574, 67(y − 65).

Si usamos la primera recta, para x = 75, y = 65 + 2, 28 · (75− 45) = 133, 40 m. Si usamos

la segunda, para x = 75, y = 65 +1574, 66

665(75− 45) = 136, 04 m.

MATEMATICA APLICADA - CURSO 2005/06Segunda convocatoria. Examen de Septiembre


1. Estudiar el dominio, continuidad y derivabilidad de la siguiente funcion:

f(x) =

{ln(2x−x2)

x−1 , si x 6= 1,

0, si x = 1.

2. Hallar justificadamente el area encerrada entre el eje OX, las rectas x = 1 y x = −1 y la funcion

f(x) =x3

x2 + 1.

3. Se considera la funcion f(x) de la que se conocen los valores f(0) = −2, f(1) = 1, f(2) = 4 yf(3) = 13.

1. Calcular el polinomio de interpolacion de f(x) en los puntos 0, 1, 2 y 3.

2. Determinar el numero de raıces del polinomio P (x) = x3−3x2+5x−2 separandolas en intervalosdisjuntos.

3. Encontrar un intervalo en el que se pueda aplicar el Metodo de Newton para aproximar una delas raıces de P (x). Calcular dicha raız con una cifra decimal exacta.

4. La concentracion de glucosa y(t) (en gr/cm3) en la corriente sanguınea de un paciente al quese le esta administrando por vıa intravenosa una solucion de glucosa verifica la siguiente ecuaciondiferencial:

y′(t) = 2 − ky(t)

con k > 0 una constante. Se pide:

a) Resolver la ecuacion diferencial anterior.

b) Si suponemos a partir de ahora que k = 2, ¿cual es la concentracion de la solucion de glucosa encada instante si inicialmente no habıa vestigio alguno de glucosa en la sangre?

c) Si se continuara indefinidamente administrando la solucion de glucosa, ¿que concentracion deglucosa se alcanzarıa?

5. En una empresa farmaceutica se realiza un examen para optar a realizar unas practicas duranteel verano, al que se presentan 100 estudiantes de la Facultad de Farmacia, obteniendose los siguientesresultados:

Calificaciones [0, 3) [3, 5) [5, 8) [8, 10]ni 20 30 40 10

Se pide:

a) La media aritmetica, la varianza y la desviacion tıpica de las calificaciones obtenidas.

b) Si la empresa farmaceutica pretende que las practicas solo las realicen los 30 mejores alumnos,¿cual debe ser la nota mınima obtenida para realizar las practicas?

Tiempo: Tres horas y media.Puntuacion: Problema 1: 2 puntos. Problema 2: 1.5 puntos. Problema 3: 2.5 puntos. Problema 4:2 puntos. Problema 5: 2 puntos.

Resolucion Examen Matematica Aplicada - Convocatoria Septiembre 2005-06:

1. El dominio de la funcion

f(x) =

{ln(2x−x2)

x−1, si x 6= 1,

0, si x = 1,

es el conjunto de valores de x para los que la expresion formal anterior tiene sentido.Por propia definicion, para x = 1, hay un valor asignado: f(1) = 0, por lo que 1 ∈Dom(f). Para

ver cuales de los elementos de R\{1} tambien pertenecen al dominio nos vamos a la primera partede la definicion, y recordamos que ln x tiene sentido si x > 0.

En este caso, tenemos ln(2x − x2), que tendra sentido si 2x − x2 > 0. Un analisis de signos nosdice (raıces x = 0 y x = 2) que 2x− x2 > 0 en (0, 2). [Nota: al denominador de la expresion, x− 1,no debemos prestarle atencion, pues se anula en un valor que no toma.]

Todo unido implica que Dom(f) = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ {1} = (0, 2).

Analisis de la continuidad de f en el intervalo (0, 2) : la primera expresion de la definicion de f escociente de expresiones continuas en valores de x no problematicos (gracias a que estamos trabajandoen el dominio de f). Por tanto, f es continua en (0, 1) ∪ (1, 2).

Para ver si f es continua en x = 1, nos preguntamos si existe limx→1 f(x) y en tal caso, si coincidecon f(1) = 0.

limx→1

ln(2x− x2)

x− 1=

0

0= lim

x→1

2−2x2x−x2

1= lim

x→1

2− 2x

2x− x2=

0

1= 0,

donde hemos utilizado la Regla de L’Hopital. Ası, f es continua en todo el intervalo abierto (0, 2).

Analisis de derivabilidad de f en (0, 2) :En los intervalos abiertos (0, 1) y (1, 2) f es derivable al ser cociente de funciones derivables. Por

lo que solo queda comprobar si lo es tambien en x = 1.Una opcion serıa comprobar si los lımites laterales limx→1+ f ′(x) y limx→1− f ′(x) existen y son

iguales. Pero la expresion

f ′(x) =2−2x2x−x2 (x− 1)− ln(2x− x2)

(x− 1)2

es incomoda para trabajar, ya que sustituyendo x = 1 se producen muchas indeterminaciones, yobligarıa a mucho trabajo.

Una segunda opcion, mas comoda, es acudir a la definicion: f es derivable en x = 1 si existe elsiguiente lımite

limh→0

f(1 + h)− f(1)

h.

Comprobamos que ası es, usando la Regla de L’Hopital de nuevo:

limh→0

f(1 + h)− f(1)

h= lim

h→0

ln[2(1 + h)− (1 + h)2]− 0

h2= lim

h→0

ln(2 + 2h− 1− h2 − 2h)

h2

= limh→0

ln(1− h2)

h2=

0

0= lim

h→0

−2h1−h2

2h= lim

h→0

−1

1− h2= −1.

Luego f es derivable en todo su dominio (0, 2).

2. El area encerrada entre el eje OX, las rectas x = 1, x = −1 y la funcion f(x) = x3

x2+1se

calculara a traves de ciertas (o cierta) integrales.

Antes realizamos un breve analisis de la funcion f (recalcamos lo de “breve”, aquı no se estapidiendo representacion de f, ni un analisis exhaustivo, por lo que no tenemos que desperdiciartiempo en cuestiones que no se piden).

La funcion es continua (cociente de funciones continuas, y el denominador nunca se anula), porlo que Dom(f) = R y en particular tiene sentido calcular su area en la zona que piden. Claramentela funcion en simetrica impar f(−x) = −f(x), por lo que el area no corresponde directamente a la

integral∫ 1

−1f(x)dx, ya que el signo menos de una mitad afectarıa (de hecho, anularıa a la otra y

darıa como resultado cero). Como obviamente el corte con el eje OX esta en x = 0, tenemos lassiguientes opciones:

A =

∫ 1

−1

∣∣∣∣ x3

x2 + 1

∣∣∣∣ dx = −∫ 0

−1

x3

x2 + 1dx +

∫ 1

0

x3

x2 + 1dx = 2

∫ 1

0

x3

x2 + 1dx.

La ultima igualdad se debe a la simetrıa de la funcion f, y es la mas comoda para los calculos, aunquedefinir A1 = −

∫ 0

−1x3

x2+1dx, y A2 =

∫ 1

0x3

x2+1dx, y calcular al final A = A1 +A2 tambien es valido (pero

mas largo y lento).Calculamos una primitiva de f :∫

x3

x2 + 1dx =

∫ (x− x

x2 + 1

)dx =

x2

2− ln(x2 + 1)

2,

y finalmente aplicamos la Regla de Barrow:

A = 2

∫ 1

0

x3

x2 + 1dx =

[x2 − ln(x2 + 1)

]1

0= 1− ln 2− 0 + 0 = 1− ln 2 ∼ 0′3068.

3. Apartado 1. El unico polinomio de interpolacion de grado menor o igual que 3 para los valoresdados se puede obtener facilmente a traves del Metodo de las diferencias divididas de Newton:

0 −23

1 1 03 1

2 4 39

3 13

con lo que

p(x) = −2 + 3x + x(x− 1)(x− 2)

= −2 + 3x + (x2 − x)(x− 2)

= −2 + 3x + x3 − 2x2 − x2 + 2x

= x3 − 3x2 + 5x− 2.

No esta de mas comprobar que efectivamente p(0) = −2, p(1) = 1, p(2) = 4 y p(3) = 13.

Apartado 2. Numero de raıces de P (x) = x3− 3x2 + 5x− 2 y separarlas en intervalos disjuntos.

Este analisis consta de dos partes: a) el analisis de signo de la derivada P ′, para determinar zonasde crecimiento y decrecimiento de P.

b) el analisis de posible cambio de signo de P en cada una de las zonas anteriores.La derivada es P ′(x) = 3x2−6x+5. Vemos que la derivada no tiene raıces, ya que el discriminante

b2 − 4ac = 36 − 60 < 0. Eso significa que la funcion (continua) P ′ es siempre positiva o negativa.Basta sustituir un valor (p.ej. x = 0) para ver que P ′(x) > 0 siempre, y por tanto P siempre escreciente, en todo R. Eso implica que en todo R cortara al eje OX a lo mas una vez, es decir, comomucho P tendra una raız.

Para saber cuantas tiene y completar el apartado, pasamos al analisis b). ¿Hay cambio de signo?Cogemos los “extremos” (en un sentido formal) del unico intervalo anterior: limx→−∞ P (x) = −∞,limx→+∞ P (x) = +∞. Como sı hay cambio de signo, rigurosamente esto hay que senalarlo en unintervalo cerrado y acotado, por ejemplo el [0, 1], por el Teorema de Bolzano hay al menos unaraız.

Combinando los dos analisis, concluımos: hay exactamente una raız de P (x) = 0 en todo R,concretamente se haya en el intervalo [0, 1].

Apartado 3. Para calcularla por el Metodo de Newton y asegurarnos la convergencia del metodo,aplicamos la Regla de Fourier:

(i) buscamos un intervalo [a, b] donde hay cambio de signo de P ,(ii) donde la derivada, P ′, no se anule(iii) y que P ′′ sea mayor o igual que cero, o menor o igual que cero en todo [a, b].

Antes de elegir el intervalo, calculamos P ′′(x) = 6x− 6. Como el punto crıtico de P ′′ es x = 1, elintervalo que busquemos debe estar o bien totalmente a la izquierda de x = 1, o bien totalmente ala derecha.

Ya sabemos que en [0, 1] hay cambio de signo de P, y que la derivada no se anula ahı (¡en realidadno se anula nunca!). El [0, 1] es un intervalo valido (no el unico, pueden escogerse muchos otros)para aplicar con exito el Metodo de Newton, y como el signoP (0) coincide con el signo global de P ′′

en [0, 1], comenzamos por x0 = 0.

x1 = x0 −P (x0)

P ′(x0)= 0′4, x2 = x1 −

P (x1)

P ′(x1)= 0′5350649, x3 = x2 −

P (x2)

P ′(x2)= 0′5465328

con lo que una aproximacion de una cifra decimal exacta de la raız de P es 0′5.

4. Apartado a) Metodo de separacion de variables:

y′ = 2− ky ⇒ dy

dt= 2− ky ⇒

∫1

2− kydy =

∫dt ⇒ −1

kln |2− ky| = t + C

⇒ ln |2− ky| = −kt−Ck ⇒ |2− ky| = e−kte−Ck ⇒ 2− ky = ±e−Cke−kt ⇒ 2± e−Cke−kt = ky,

con lo que y(t) = 2k

+ Ae−kt, donde A ∈ R es una constante cualquiera.

Apartado b) Si k = 2 e y(0) = 0, la solucion concreta es y(t) = 1− e−2t.

Apartado c) limt→+∞

y(t) = limt→+∞

1− e−2t = 1. La concentracion tiende a 1 gr/cm3 si t → +∞.

5. Tras la lectura de lo que nos piden, elaboramos la siguiente tabla:

ai ni pi Pi

[0, 3) 1′5 20 20% 20%[3, 5) 4 30 30% 50%[5, 8) 6′5 40 40% 90%[8, 10] 9 10 10% 100%

Apartado a)

media x =1′5× 20 + 4× 30 + 6′5× 40 + 9× 10

100= 5.

varianza S2X =

∑a2

i ni

N− x2 =

1′52 × 20 + 42 × 30 + 6′52 × 40 + 92 × 10

100− 25 = 5′25

desviacion tıpica SX =√

S2X ∼ 2′2912.

Apartado b) Los 30 mejores alumnos representan el mejor 30% del total.

Buscamos la nota que contiene por debajo al 70%.Viendo la tabla, esto corresponde al intervalo [5, 8), ya que acumulado hasta la calificacion 5 se

encuentra el 50% de los alumnos, y hasta la calificacion 8 esta el 90% de los alumnos.Interpolamos linealmente dicho intervalo:

y − 50 =90− 50

8− 5(x− 5),

sustituimos y = 70 y despejamos x = 6′5, esa es la nota de corte de los mejores 30 alumnos.

Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia. Curso 2006-07.Examen de 3a Convocatoria Extraordinario

1. Representa la funcion

f(x) =−x2

3x2 + 1,

calculando previamente su dominio, y estudiando su continuidad, derivabilidad, maximos y mınimos (relativos y abso-lutos), asıntotas, zonas de crecimiento y decrecimiento, concavidad, convexidad y puntos de inflexion si los hubiera.

2. Dada la ecuacion f(x) = 0, con f(x) =ex

x + 1− 2, se pide:

a) Determinar el numero de raıces de dicha ecuacion en el intervalo (−1,+∞) y separarlas en intervalos disjuntos.

b) Obtener justificadamente un intervalo donde se pueda aplicar el Metodo de Newton, para aproximar la mayor delas raıces obtenidas en el apartado anterior.

c) Aplicar el metodo de Newton para aproximar dicha raız, calculando hasta la segunda iteracion ¿Con cuantas cifrasdecimales hemos obtenido tal aproximacion? Razona la respuesta.

3. Sea y(t) el numero de bacterias que hay en un organismo, medido en miles, en el instante t que corresponde al numerode meses que llevan las bacterias en el organismo. Se observa que el crecimiento del numero de bacterias en dichoorganismo responde a la siguiente ecuacion diferencial:

y′(t) = 2(y(t) + 10t).

a) Resolver la ecuacion diferencial que satisface el numero de bacterias y(t).

b) Si inicialmente habıa 5 bacterias, ¿que cantidad habra al cabo de 3 meses?

4. El ındice de mortalidad Y de siete grupos de personas que consumıan diariamente X cigarrillos, aparece en la siguientetabla

X 4 7 9 16 20 30 40Y 0.2 0.4 0.4 0.5 0.7 1.2 1.5

a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal. ¿Es fiable establecer el ındice de mortalidad a partir del consumodiario de cigarrillos?

b) ¿Que ındice de mortalidad se espera para una persona que consume 50 cigarrillos diarios?

c) ¿Que consumo diario de cigarrillos se le atribuye a una persona con un ındice de mortalidad de 1?

Tiempo: 3.5 horas.Puntuacion: Problema 1: 3 puntos.

Problemas 2 y 4: 2.5 puntos.Problema 3: 2 puntos.


Primera Prueba Intermedia de Seguimiento.


Tipo 1

1. Se considera la siguiente funcion:

f(x) =(x + 2)3

x + 1.

Estudiar el dominio, la continuidad y derivabilidad de esta funcion. Hallar si tiene algun maximo o mınimorelativo y donde se alcanzan.

2. Hallar el polinomio de interpolacion que se ajusta a estos datos

x −2 −1 1 2

y −55 −4 −10 5

3. Calcular ∫cosx

√

4 − sen2xdx.

Tiempo: 1 hora.




Tipo 2

1. Se considera la siguiente funcion:

f(x) =(x − 1)2

x(x + 2).

Estudiar el dominio, la continuidad y derivabilidad de esta funcion. Hallar si tiene algun maximo o mınimorelativo y donde se alcanzan.


x −3 −1 1 3

y −106 2 6 50

3. Calcular ∫x

√

9 − 6x4dx.

Tiempo: 1 hora.




Tipo 3

1. Sea la funcion:

f(x) =x + 2

x + 1.

Estudiar el dominio, la continuidad y derivabilidad. Analizar los intervalos de crecimiento y decrecimientoy las asıntotas. >Alcanza f el valor 1? Razona la respuesta.

2. La ecuacion x2ex = 1 tiene una unica solucion que se encuentra en el intervalo [0′5, 1]. Comprueba queen este intervalo se tiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalo hastala primera iteracion.


x −3 −1 1 3

y −98 4 10 112

Tiempo: 1 hora.




Tipo 4

1. Sea la funcion:

f(x) =

√

x

2√

x + 1.

Estudiar el dominio, la continuidad y derivabilidad. Analizar los intervalos de crecimiento y decrecimientoy las asıntotas. >Alcanza f el valor 1

2? Razona la respuesta.

2. La ecuacion x2e2x = 1 tiene una unica solucion que se encuentra en el intervalo [0′5, 1]. Comprueba queen este intervalo se tiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalo hastala primera iteracion.


x −2 −1 1 2

y −11 −5 −3 −27

Tiempo: 1 hora.


Primera Prueba Intermedia de Seguimiento – 22-11-06 – Tipo 5

1. Sea la funcion:f(x) = x3

− 4x2 + x + 1.

Calcular los maximos y mınimos relativos de esta funcion. ¿Tiene asıntotas?Calcular el numero de raıces reales de la funcion.


x −2 −1 1 2

y −1 8 2 −1

3. Calcular∫

e1

x

x2dx.

Tiempo: 1 hora.

Resolucion:

Ejercicio 1: El polinomio f(x) = x3− 4x2 + x + 1 es una funcion bien definida, continua y derivable en todo R. Su

derivada es f ′(x) = 3x2− 8x + 1. Los ceros de f ′ son

−b ±√

b2− 4ac

2a=

8 ±

√

64 − 12

6=

8 ±

√

52

6∼ {0′1314, 2′5351}.

Se ve facilmente que f ′ tiene signo positivo en (−∞, 8−√

52

6) y en ( 8+

√52

6, +∞), y tiene signo negativo en (8−

√52

6, 8+

√52

6).

Por tanto, f es estrictamente creciente en (−∞, 8−√

52

6) y en ( 8+

√52

6, +∞), y estrictamente decreciente en ( 8−

√52

6, 8+

√52

6).

Como f es continua, de lo anterior se deduce que f posee un maximo relativo en x = 8−√

52

6, y vale f

(

8−√

52

6

)

∼ 1′0646.

Del mismo modo, f posee un mınimo relativo en x = 8+√

52

6, y vale f

(

8+√

52

6

)

∼ −5′8794. Ninguno de dichos extremos

son absolutos, sino solo relativos. Esto se debe a que limx→+∞ f(x) = +∞ y limx→−∞ f(x) = −∞.

El calculo anterior nos dice que no hay asıntotas horizontales. Tampoco hay verticales, ya que no hay ningun puntoa con la propiedad limx→a f(x) = ∞. De hecho, ya se ha dicho que domf = R. Cabe aun la posibilidad de que existan

asıntotas oblicuas. Pero comprobamos que limx→±∞f(x)

x = +∞, con lo que tampoco hay.

El crecimiento y decrecimiento de f, el signo de f en x = 8±√

52

6y los lımites limx→±∞ f(x) indican que a lo mas

hay tres raıces (en (−∞, 8−√

52

6), ( 8−

√52

6, 8+

√52

6), ( 8+

√52

6, +∞) respectivamente). El analisis de signo (para aplicar el

Teorema de Bolzano y ver donde al menos hay una raız) indica que hay exactamente tres raıces: una en cada intervalo.

Ejercicio 2: Usando el Metodo de las Diferencias Divididas de Newton obtenemos el unico polinomio de gradomenor o igual que 3 interpola dichos valores:

−2 −19

−1 8 −4−3 1

1 2 0−3

2 −1

p(x) = −1 + 9(x + 2) − 4(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1)(x − 1)

= x3− 2x2

− 4x + 7.

Es breve (y conveniente) comprobar que efectivamente p(−2) = −1, p(−1) = 8, p(1) = 2, p(2) = −1.

Ejercicio 3:∫

e1/x

x2dx = −e1/x + C.



1. Sea la funcion:f(x) = x3

− 2x2 + x − 2.

Calcular los maximos y mınimos relativos de esta funcion. ¿Tiene asıntotas?Calcular el numero de raıces reales de la funcion.


x −3 −1 1 3

y −34 0 −6 44

3. Calcular ∫1

ex + e−xdx.

Tiempo: 1 hora.

Resolucion:

Ejercicio 1: El polinomio f(x) = x3− 2x2 + x− 2 es una funcion bien definida, continua y derivable en todo R. Su

derivada es f ′(x) = 3x2− 4x + 1. Los ceros de f ′ son

−b ±√

b2− 4ac

2a=

4 ±

√

16 − 12

6=

4 ± 2

6= {1, 1/3}.

Se ve facilmente que f ′ tiene signo positivo en (−∞, 1/3) y en (1, +∞), y tiene signo negativo en (1/3, 1). Por tanto, f

es estrictamente creciente en (−∞, 1/3) y en (1, +∞), y estrictamente decreciente en (1/3, 1). Como f es continua, delo anterior se deduce que f posee un maximo relativo en x = 1/3, y vale f(1/3) = −50/27 ∼ −1′8518518. Del mismomodo, f posee un mınimo relativo en x = 1, y vale f(1) = −2. Ninguno de dichos extremos son absolutos, sino solorelativos. Esto se debe a que limx→+∞ f(x) = +∞ y limx→−∞ f(x) = −∞.

El calculo anterior nos dice que no hay asıntotas horizontales. Tampoco hay verticales, ya que no hay ningun puntoa con la propiedad limx→a f(x) = ∞. De hecho, ya se ha dicho que domf = R. Cabe aun la posibilidad de que existan

asıntotas oblicuas. Pero comprobamos que limx→±∞f(x)

x = +∞, con lo que tampoco hay.El crecimiento y decrecimiento de f, el signo de f en x = 1/3, 1 y los lımites limx→±∞ f(x) indican que a lo

mas hay tres raıces (en (−∞, 1/3), (1/3, 1), (1, +∞) respectivamente). Pero por el analisis de signo (para aplicar elTeorema de Bolzano y ver donde al menos hay una raız) comprobamos que solo hay una raız en todo R, que de hechose encuentra en (1, +∞).

Ejercicio 2: Usando el Metodo de las Diferencias Divididas de Newton obtenemos que

−3 −3417

−1 0 −5−3 2

1 −6 725

3 44

Por tanto, el unico polinomio de interpolacion de grado menor o igual que 3 que pasa por dichos valores es

p(x) = −34 + 17(x + 3) − 5(x + 3)(x + 1) + 2(x + 3)(x + 1)(x − 1)

= 2x3 + x2− 5x − 4.

Es breve (y conveniente) comprobar que efectivamente p(−3) = −34, p(−1) = 0, p(1) = −6, p(3) = 44.

Ejercicio 3: ∫1

ex + e−xdx =

∫1

e−x(1 + e2x)dx =

∫ex

1 + e2xdx = arctan(ex) + C.



1. Sea la funcion:f(x) = ex(x−1).

Estudiar el dominio, la continuidad y derivabilidad. ¿Esta acotada superiormente? Hallar el mınimoabsoluto de esta funcion y donde se alcanza.

2. La ecuacion x − ln (x3) = 0 tiene una solucion en el intervalo [4, 5]. Comprueba que en este intervalo setiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalo hasta la primera iteracion.

3. Calcular∫

1

tgx5

dx.

Tiempo: 1 hora.

Resolucion:

Ejercicio 1: La funcion f(x) = ex(x−1) tiene dominio domf = R. Es una funcion continua y derivable, porser composicion de funciones continuas y derivables. Como limx→±∞ f(x) = +∞, la funcion no esta acotada

superiormente. Es facil ver que la derivada vale f ′(x) = (2x − 1)e(x+1)2

, por lo que su signo es negativo en(−∞, 1/2), y positivo en (1/2, +∞). Por tanto, f es estrictamente decreciente en (−∞, 1/2) y estrictamentecreciente en (1/2, +∞). Como f es continua, de lo anterior se deduce que tiene un mınimo absoluto en x = 1/2,

y el mınimo vale f(1/2) = e−1/4∼ 0′7788.

Ejercicio 2: La funcion f(x) = x− ln(x3) esta bien definida, es continua, derivable dos veces, y con derivada

segunda continua en el intervalo [4, 5]. (De hecho, domf = (0, +∞).) Su derivada primera vale f ′(x) = 1 −3

x ,

y su derivada segunda f ′′(x) = 3

x2 . Veamos que se cumplen las tres condiciones de la Regla de Fourier: a)f(4) ∼ −0′15, f(5) ∼ 0′17 tienen signo distinto; b) f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ [4, 5], ya que solo se anula en x = 3. c)f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ [4, 5]. Por tanto, existe una unica raız de f en el intervalo [4, 5] y el Metodo de Newton convergea dicha solucion si tomamos por valor inicial x0 = 5 (ya que el signo de f(5) coincide con el signo global de f ′′

en todo el intervalo [4, 5]). La primera iteracion serıa x1 = x0 − f(x0)/f ′(x0) ∼ 4′5707843.

Ejercicio 3:∫

1

tgx5

dx =

∫

cos x5

senx5

dx = 5 ln∣

∣

∣sen

x

5

∣

∣

∣+ C.



1. Sea la funcion:f(x) = e(x+1)

2

.

Estudiar el dominio, la continuidad y derivabilidad. ¿Esta acotada superiormente? Hallar el mınimoabsoluto de esta funcion y donde se alcanza.

2. La ecuacion x− ln (x4) = −1 tiene una solucion en el intervalo [6, 7]. Comprueba que en este intervalo setiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalo hasta la primera iteracion.

3. Calcular ∫5

2 + 8x2dx.

Tiempo: 1 hora.

Resolucion:

Ejercicio 1: La funcion f(x) = e(x+1)2

tiene dominio domf = R. Es una funcion continua y derivable, porser composicion de funciones continuas y derivables. Como limx→±∞ f(x) = +∞, la funcion no esta acotada

superiormente. Es facil ver que la derivada vale f ′(x) = 2(x + 1)e(x+1)2

, por lo que su signo es negativo en(−∞,−1), y positivo en (−1, +∞). Por tanto, f es estrictamente decreciente en (−∞,−1) y estrictamentecreciente en (−1, +∞). Como f es continua, de lo anterior se deduce que tiene un mınimo absoluto en x = −1,

y el mınimo vale f(−1) = 1.

Ejercicio 2: La funcion f(x) = x−ln(x4)+1 esta bien definida, es continua, derivable dos veces, y con derivada

segunda continua en el intervalo [6, 7]. (De hecho, domf = R \ {0}.) Su derivada primera vale f ′(x) = 1 −4

x,

y su derivada segunda f ′′(x) = 4

x2 . Veamos que se cumplen las tres condiciones de la Regla de Fourier: a)

f(6) = −0′1670378, f(7) = 0′2163594 tienen signo distinto; b) f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ [6, 7], ya que solo se anula enx = 4. c) f ′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ [6, 7]. Por tanto, existe una unica raız de f en el intervalo [6, 7] y el Metodo de Newtonconverge a dicha solucion si tomamos por valor inicial x0 = 7 (ya que el signo de f(7) coincide con el signoglobal de f ′′ en todo el intervalo [6, 7]). La primera iteracion serıa x1 = x0 − f(x0)/f ′(x0) ∼ 6′49516.

Ejercicio 3:

∫5

2 + 8x2dx = 5

∫1

2 + 8x2dx =

5

2

∫1

1 + 4x2dx =

5

4

∫2

1 + (2x)2dx =

5

4arctan(2x) + C.


Primera Prueba Intermedia de Seguimiento


Tipo 9

1. Sea la funcion:f(x) = ln (x2 + 1).

Estudiar el dominio, continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos ymınimos absolutos de f .

2. La ecuacion x3−6x2 +9x+1 = 0 tiene una unica raiz que se encuentra en el intervalo [−1, 0]. Comprueba

que en este intervalo se tiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalohasta la primera iteracion.

3. Calcular ∫1

x√

x − 4dx.

Tiempo: 1 hora.




Tipo 10

1. Sea la funcion:f(x) = ln (x + 1) − x2.

Estudiar el dominio, continuidad, derivabilidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos ymınimos absolutos de f .

2. La ecuacion x3− 3x2

− 9x− 6 = 0 tiene una unica raiz que se encuentra en el intervalo [5, 6]. Compruebaque en este intervalo se tiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalohasta la primera iteracion.

3. Calcular ∫x√

x − 9dx.

Tiempo: 1 hora.




Tipo 11

1. Sea la funcion:

f(x) =x2

x2 + 1.

Estudiar dominio, continuidad, derivabilidad y asıntotas de f . ¿Alcanza f el valor 1? ¿Tiene maximoabsoluto? ¿Y mınimo absoluto?

2. La ecuacion x2−8 ln (x) = 1 tiene una unica raiz en el intervalo [3, 4]. Comprueba que en este intervalo se

tiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalo hasta la primera iteracion.

3. Calcular ∫x

(2x2 + 7)2dx.

Tiempo: 1 hora.




Tipo 12

1. Sea la funcion:

f(x) =ex

x + 1.

Estudiar el dominio, continuidad, derivabilidad y asıntotas de f . ¿Alcanza f el valor 0? ¿Tiene maximoabsoluto? ¿Tiene mınimo absoluto? ¿Y mınimo relativo?

2. La ecuacion x2− 18 ln (x) = −10 tiene una solucion en el intervalo [3′5, 4]. Comprueba que en este

intervalo se tiene garantıa de que el Metodo de Newton aproxima dicha solucion, y aplıcalo hasta laprimera iteracion.

3. Calcular ∫dx

cos2x(4tgx + 3)3.

Tiempo: 1 hora.

Examen de Matematica Aplicada. Licenciatura de Farmacia

Primera Convocatoria del curso 2006/20072 de Febrero de 2007

1. (3 puntos)

(a) Estudia el comportamiento de la funcion

f(x) =x2 + x + 2

x + 2,

indicando su dominio, donde es continua y derivable, asıntotas, intervalos de crecimientoy decrecimiento, maximos y mınimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad ypuntos de inflexion. Dibuja su grafica.

(b) Hallar los extremos absolutos de f en [−1, 1].

2. (2 puntos) Calcular razonadamente el area de la figura encerrada entre las rectas x = 1, x = 3,

y las funciones f(x) =1

xy g(x) =

1

x(x + 2).

3. (3 puntos) Disponemos de un recipiente con 4 litros de agua. Por uno de sus orificios intro-ducimos una disolucion con una concentracion de 2 gramos por litro a razon de 0′1 litros porhora, mientras que por otro extraemos la mezcla que se va generando (que se hace uniformeinstantaneamente), a razon de 0′1 litros por hora. ¿En que instante tendremos la disolucioncon una concentracion de 1′5 gramos por litro?

4. (2 puntos) El consumo electrico (en Kw.) semanal medio de 80 familias espanolas vienerecogido en la siguiente tabla:

Consumo [20,34) [34,44) [44,52) [52,60) [60,70) [70,84]No de familias (ni) 4 10 16 24 18 8

Se pide:

a) Calcular la media aritmetica y la mediana.

b) ¿Cual es el consumo por encima del cual esta el 40% de las familias?

c) ¿Que porcentaje de familias consumen entre 48 y 60 Kw. a la semana?

Tiempo: 3 horas y media.


Convocatoria extraordinaria. 22 de Marzo de 2007

1. (3 puntos) Dada la funcion

f(x) =x2 − x + 2

x + 1,

se pide:

a) Estudiar su dominio, donde es continua y derivable, asıntotas, intervalos de crecimiento y decre-cimiento, maximos y mınimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexion.Dibujar su grafica.

b) Si la concentracion de una sustancia contaminante en un lago viene dada por la funcion anterior,donde x representa el tiempo que transcurre medido en horas, y sabemos que varıa en el intervalo[0, 10], ¿al cabo de cuantas horas la concentracion es maxima?. ¿Y mınima?

2. (3 puntos) Calcula la solucion general de la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:

y′ =y

1 + x+

12 + x

.

¿Cual es la solucion de la ecuacion diferencial anterior sujeta a la condicion inicial y(0) = 1?

3. (2 puntos) Un industrial farmaceutico fabrica dos productos A y B. Por cada kilo de A necesita 4 horasde trabajo y 60 euros de material y, ademas, le proporciona un beneficio de 75 euros. Por cada kilo deB necesita 8 horas de trabajo y 48 euros de material, y obtiene una ganancia de 40 euros. El industrialpuede contar con 200 horas de trabajo cada semana y no puede gastar mas de 1920 euros en material. Sepide:

a) Representar graficamente la region factible que corresponde a las restricciones de este ejercicio.

b) ¿Cuantos kilos por semana puede obtener de cada producto para obtener el maximo beneficio posible?

4. (2 puntos) Los pesos (en kilogramos) de 50 estudiantes de primer curso de la Facultad de Farmaciavienen recogidos en la siguiente tabla:

Pesos [50, 56) [56, 64) [64, 70) [70, 74) [74, 80]Estudiantes (ni) 4 10 15 12 9

Se pide:

a) Calcular la media aritmetica y mediana.

b) ¿Cual es el peso por encima del cual estan el 60% de los estudiantes?

c) Se va a realizar una donacion de sangre en la Facultad de Farmacia y el peso mınimo para ser donantees 60 Kg. ¿Cuantos alumnos de los 50 podran donar sangre?

Tiempo: 3 horas.

Matematica Aplicada Licenciatura de Farmacia Curso 2006/07

Examen de Septiembre - 13 de septiembre de 2007

1. Dada la funcion

f(x) =ex

x + 2,

representarla graficamente en su dominio de definicion, estudiando previamente: dominio,cortes con los ejes, asıntotas, crecimiento, decrecimiento, maximos, mınimos, concavidad, con-vexidad y puntos de inflexion.

2. Calcular ∫ π/3

π/4

(1 + (tg x)2) ln(tg x) dx.

Indicacion: Recuerda que la derivada de tg x es (tg x)′ = (1 + (tg x)2).

3. Se administra un medicamento por vıa intravenosa a razon de 2 mg/min. Se conoce que lacantidad de medicamento en el instante t, funcion que denotamos y = y(t), satisface la ecuaciondiferencial

y′ = ky + 2,

donde k es una constante de proporcionalidad. Se pide:

(a) Admitiendo que inicialmente no hay rastro de medicamento en la sangre, obtener y enfuncion de t y k.

(b) Suponiendo que k < 0 ¿Cual es lımite de y(t) cuando t tiende a +∞?

4. La siguiente tabla representa la relacion entre la estatura (en cm.) y el peso (en Kg.) de 6jugadores de un equipo de balonmano:

Estatura (X) 178 183 184 186 195 196Peso (Y ) 85 91 91 89 92 98

Se pide:

a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal ¿ Es razonable usar la recta de regresion parahacer predicciones del peso de un jugador (Y) en funcion de su estatura (X)?

b) ¿ Que talla se espera que tenga un jugador que pese 88 Kg.?

c) ¿ Que peso se espera que tenga un jugador que mida 190 cm.?

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Problema 1: 3 ptos., Problema 2: 2 ptos., Problemas 3 y 4: 2,5 ptos.

Resolucion del examen de Matematica Aplicada de 13 de septiembre de 2007.

Problema 1.Representar graficamente

f(x) =ex

x + 2.

Dominio:

Dom f = {x ∈ R : x 6= −2}.Corte con los ejes:El punto (0, 1/2). Al eje OX no lo corta.Asıntotas:

limx→+∞

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) = 0.

Entonces, y = 0 es una asıntota horizontal por la izquierda.

limx→−2+

f(x) = +∞, limx→−2−

f(x) = −∞.

Por tanto, x = −2 es asıntota vertical (por la derecha de -2 se va a +∞ y por laizquierda se va a −∞).

Asıntotas oblicuas no tiene porque limx→+∞f(x)

x = +∞.Crecimiento, decrecimiento, maximos y mınimos.

f ′(x) =x + 1

(x + 2)2ex.

Esta derivada se anula en x = −1. Entonces, tenemos los intervalos (−∞,−2),(−2,−1) y (−1, +∞). El signo de la derivada en los dos primeros intervalos esnegativo y el signo en el tercer intervalo es positivo. Por consiguiente,

f(x) decrece en (−∞,−2) y (−2,−1), y crece en (−1, +∞).En x = −1 hay un mınimo relativo. No hay maximos ni relativos ni absolutos.

Tampoco hay mınimo absoluto.Concavidad, convexidad, puntos de inflexion.La derivada segunda es

f ′′(x) =(x2 + 2x + 2)ex

(x + 2)3 .

Esta derivada no se anula nunca, por tanto, los intervalos donde hay que estudiar elsigno de la derivada segunda son (−∞,−2) y (−2, +∞). En el primer intervalo, laderivada segunda es negativa y en el segundo intervalo es positiva. Entonces,

f(x) es concava en (−∞,−2) y es convexa en (−2, +∞).No hay puntos de inflexion (porque −2 no pertenece al dominio).

Problema 2.Calcular ∫ π/3

π/4(1 + (tg x)2) ln(tg x) dx.

Hacemos el cambio de variables tg x = t. Entonces

tg x = t, (1 + (tg x)2)dx = dt.∫(1 + (tg x)2) ln(tg x) dx =

∫ln t dt,

y esta ultima integral se resuelve por partes,

u = ln t du =1

tdt,

dv = dt v = t

y resulta ∫ln t dt = t ln t−

∫1dt = t ln t− t.

Deshaciendo el cambio se tiene que∫(1 + (tg x)2) ln(tg x) dx = tg x(ln(tg x)− 1) + cte.

Aplicando ahora la regla de Barrow resulta∫ π/3

π/4(1 + (tg x)2) ln(tg x) dx = tg

π

3

(ln

(tg

π

3

)− 1

)− tg

π

4

(ln

(tg

π

4

)− 1

)=

=√

3(ln√

3− 1) + 1 ∼ 0′2193753.

Problema 3.a)Resolver y′ = ky + 2, sabiendo que y(0) = 0.Se trata de una e.d.o. lineal no homogenea. Las soluciones de la ecuacion homogeneay′ = ky, denotemoslas por yH , son

yH = Cekt.

Buscamos una solucion particular de la ecuacion no homogenea, que denotaremospor yp. Esta solucion es de la forma yp(t) = C(t)ekt. Imponemos que yp verifique lae.d.o. del enunciado del problema y nos queda

C ′(t)ekt + C(t)kekt = kC(t)ekt + 2,

de dondeC ′(t) = 2e−kt

y por tanto,

C(t) =

∫2e−ktdt = −2

ke−kt.

Sustituida C(t) en yp(t) obtenemos la expresion de esta:

yp ≡ −2

k.

Entonces, las soluciones de la e.d.o. del enunciado son

y(t) = yH(t) + yp = Cekt − 2

k,

donde C es una constante arbitraria. Ahora se impone que y(0) = 0 y queda que laconstante debe ser

C =2

k,

por lo que la solucion de este apartado a) es

y(t) =2

k(ekt − 1).

b) Obtener limt→+∞ y(t).Como k < 0, se tiene qu elimt→+∞ ekt = 0, y por tanto

limt→+∞

y(t) = limt→+∞

2

k(ekt − 1) = −2

k.

Problema 4.a) Calcular el coeficiente de correlacion.

x =178 + 183 + 184 + 186 + 195 + 196

6= 187

y =85 + 91 + 91 + 89 + 92 + 98

6= 91

S2X =

1782 + 1832 + 1842 + 1862 + 1952 + 1962

6− 1872 = 42,

SX = 6, 4807

S2Y =

852 + 912 + 912 + 892 + 922 + 982

6− 912 = 15,

SY = 3, 8729

SXY =178 · 85 + 183 · 91 + 184 · 91 + 186 · 89 + 195 · 92 + 196 · 98

6−187·91 = 21, 166

r =21, 166

6, 4807 · 3, 8729= 0, 843

Como r es cercano a 1, es razonable predecir el peso en funcion de la talla o viceversa.b) Talla para un peso de 88 Kg.Calculamos la recta de regresion de X sobre Y .

x− x =SXY

S2Y

(y − y),

x− 187 =21, 1666

15(y − 91).

Sustituyendo y por 88 queda

x = 187 +21, 1666

15(88− 91) = 182, 76 cm.

c) Peso para una talla de 190 cm.Calculamos la recta de regresion de Y sobre X.

y − y =SXY

S2X

(x− x),

y = 91 +21, 166

42(x− 187).

Sustituyendo x por 190 queda

y = 91 +21, 166

42(190− 187) = 92, 51 Kg.

Nota: los apartados b) y c) se consideran igualmente validos si se usa cualquiera delas dos rectas de regresion anteriores (ya que se trata de predecir simplemente devalores aproximados).


4 de septiembre de 2008

Ejercicio 1: Dada la funcion

f(x) =3

1 + e−2x.

Estudiar su dominio, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y mınimos relativos, inter-valos de concavidad y convexidad y puntos de inflexion. Dibujar su grafica ¿Tiene la funcion maximo o mınimoabsoluto? Razona la repuesta.

Ejercicio 2: Hallar el polinomio de interpolacion de grado menor o igual que tres que pasa por los siguientespares de valores: (−1,−8), (0, 0), (2,−2), (3, 0).

Ejercicio 3: Denotemos por y = y(t) el tamano de una poblacion en el instante t. Supongamos que y satisfacela ecuacion diferencial

y′ = 0, 05y (400− y) ,

con y(0) = 50. Se pide:

1. Obtener el valor de y para cada instante t.

2. Determinar el instante t en el que el tamano de la poblacion es de 200 individuos.

3. Calcular el lımite de y(t) cuando t tiende a infinito

Ejercicio 4: Una empresa se dedica a la instalacion de pesos y tensiometros en farmacias, y dispone de 100pesos y 75 tensiometros. Cuando la farmacia esta en el centro, el convenio existente es el de instalar 2 pesosy 1 tensiometro. El precio convenido es de 100 euros por instalacion. Si la farmacia esta en el extrarradio, elconvenio es el de instalar 1 peso y 1 tensiometro, siendo el precio de la instalacion 75 euros. Calcular, supuestademanda suficiente, la distribucion de farmacias atendidas que le haga obtener mas beneficio.

Tiempo: 3 horas.

Puntuacion: Ejercicios 1 y 3: 3 ptos. Ejercicios 2 y 4: 2 ptos..

Solucion del examen de Matematica Aplicada de Lic. Farmacia – 4/septiembre/2008

Ejercicio 1 La funcion f(x) =3

1 + e−2xes continua (y derivable) por ser composicion de funciones continuas

(y derivables) y no anularse su denominador nunca. Ası, dom(f) = R.

f ′(x) =−3(−2e−2x)(1 + e−2x)2

=6e−2x

(1 + e−2x)2.

Ahora podemos calcular la derivada segunda (como de costumbre cuando intervienen funciones racionales, primerosimplificamos antes de operar):

f ′′(x) =−12e−2x(1 + e−2x)2 − 6e−2x2(1 + e−2x)(−2e−2x)

(1 + e−2x)4

=−12e−2x(1 + e−2x) + 24e−4x

(1 + e−2x)3

=−12e−2x + 12e−4x

(1 + e−2x)3

=12e−2x(e−2x − 1)

(1 + e−2x)3.

El analisis de signo de f es simple: todos los elementos en f son positivos, de modo que f(x) > 0 para todo x ∈ R.Igualmente f ′ es siempre estrictamente positiva, esto significa que f es estrictamente creciente en todo R, con loque f no posee ni maximo ni mınimo absoluto en R, ya que siempre que nos vayamos a la izquierda conseguimosun valor menor para f, y siempre que nos vayamos a la derecha conseguimos un valor mayor para f.

El signo de f ′′ es simple de analizar, porque casi todos sus factores son siempre positivos. El unico factor quepuede cambiar de signo es (e−2x − 1). Como la funcion ez tiene valor mayor o menor que 1 segun sea z positivo onegativo respectivamente, concluimos que f ′′(x) > 0 si x < 0 (es decir, f es convexa en (−∞, 0)), y f ′′(x) < 0 six > 0 (es decir, f es concava en (0,+∞)). El punto x = 0 es punto de inflexion para f.

Comolim

x→+∞f(x) = 3, lim

x→−∞f(x) = 0,

deducimos que f posee dos asıntotas horizontales (por tanto no tiene asıntotas oblıcuas; tampoco tenıa verticalesya que f es siempre continua). Dichos valores, 0 y 3 son respectivamente ınfimo y supremo de f en todo R.

Con todos estos datos, la grafica de f es como sigue:

1

Ejercicio 2 Usando el algoritmo de las Diferencias Divididas de Newton tenemos que

−1 −88

0 0 −3−1 1

2 −2 12

3 0

con lo que el polinomio de interpolacion es

p(x) = −8 + 8(x + 1)− 3(x + 1)x + (x + 1)x(x− 2)= −8 + 8x + 8− 3x2 − 3x + x3 − x2 − 2x

= x3 − 4x2 + 3x.

Se puede hacer la comprobacion de que efectivamente p(−1) = −8, p(0) = 0, p(2) = −2 y p(3) = 0.

Ejercicio 3 Como la ecuaciondy

dt= 0′05y(400− y) puede ser trivialmente escrita como

1y(400− y)

dy = 0′05dt,

es claro que se trata de variables separables.Usamos un metodo de descomposicion de funciones racionales para hacer la integral respecto de y :

A

y+

B

400− y=

1y(400− y)

=A(400− y) + By

y(400− y).

Ası, debemos encontrar constantes A y B tal que se tenga By + A(400− y) = 1. Dando un par de valores a y, el 0y el 400, tenemos que A = B = 1/400, de donde

1400

(1y

+1

400− y

)dy = 0′05dt,

por tanto (1y

+1

400− y

)dy = 20dt,

de donde la integracion es inmediata:ln |y| − ln |400− y| = 20t + C,

siendo C una constante real cualquiera en principio. Usando propiedades de la funcion logarıtmica,

ln∣∣∣∣ y

400− y

∣∣∣∣ = 20t + C,

y por tantoy

400− y= Ke20t, K ∈ R.

Si usamos el dato inicial y(0) = 50, sustituyendo en la expresion anterior tenemos que

50350

= K = (simplificando) =17.

Con este valor fijo de K, la unica solucion del problema, que nos piden, cumple

y

400− y=

17e20t,

con lo que operando hasta despejar y resulta

y = (400− y)17e20t =

4007

e20t − 17e20ty ⇒

(1 +

17e20t

)y =

4007

e20t.

2

Finalmente tenemos

y(t) =4007 e20t

1 + 17e20t

=400

7e−20t + 1.

Veamos el momento en que toma el valor 200:

y(t) =400

7e−20t + 1= 200 ⇒ 1 =

27e−20t + 1

⇒ 7e−20t + 1 = 2 ⇒ 7e−20t = 1

⇒ e−20t = 1/7 ⇒ −20t = ln(

17

)⇒ t =

120

ln 7 ∼ 0′0972955

Usando la formula explıcita de la solucion, podemos responder la pregunta sobre el lımite:

limt→+∞

y(t) = 400.

Ejercicio 4 Como el numero total de pesos disponibles es 100 unidades, y el numero total de tensiometros 75,es claro que si llamamos x e y al numero de farmacias en el centro y en el extrarradio (respectivamente) en que seharan instalaciones, entonces tenemos las siguientes restricciones:

2x + y ≤ 100, x + y ≤ 75.

Por otro lado, resultan naturales las restricciones x ≥ 0, y ≥ 0, con lo que las anteriores cuatro inecuacionesdelimitan el dominio o region factible.

La funcion a optimizar (o funcion beneficio, llamemosla b) es: b(x, y) = 100x+75y (euros por instalar productosen x farmacias del centro y en y farmacias del extrarradio).

La region factible es el area cerrada y acotada delimitado por el cuadrilatero de vertices (0, 0), (0, 75), (50, 0) y(25, 50) (este ultimo se obtiene de intersecar las rectas 2x + y = 100 y x + y = 75 procedentes de las restriccionesdel problema).

Sabemos que la funcion objetivo alcanza su maximo valor en uno de estos cuatro vertices, con lo que evaluamosy tomamos el mayor de ellos:

b(0, 0) = 0, b(0, 75) = 5625, b(50, 0) = 5000, b(25, 50) = 6250.

La distribucion mas beneficiosa consiste en hacer instalaciones en 25 farmacias del centro y en 50 farmacias delextrarradio, en la proporcion senalada en el enunciado, obteniendo un valor de 6250 euros.

3

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 17:00-17:55 Tipo ALicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09 Prof. Pedro Marın Rubio

4 ptos Ejercicio 1 Hallar el dominio de la funcion

f(x) = (x− 1) ln(x− 1).

Calcular si posee asıntotas, estudiar su crecimiento, decrecimiento y la existencia de maximos y mınimos relativos.

4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion xex = 3, estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, dar ra-zonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier para aproximarla menor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, es decir, calcular x2.

2 ptos Ejercicio 3 Calcular∫ √

x

x + 1dx.

Solucion:

1 Por saber que el dominio de un polinomio es todo R, y el de un logaritmo donde su argumento es estrictamentepositivo, tenemos que dom(f) = (1,+∞). Ahı, f es continua y derivable por ser algebra y composicion de funcioneselementales (y por tanto tendra sentido calcular posteriormente su derivada).

Como se puede ver aplicando la Regla de L’Hopital, limx→1+

f(x) = 0. Por tanto, y dado que f es continua en todo

(1,+∞), f no posee ninguna asıntota vertical.Por otro lado, lim

x→+∞f(x) = +∞, por lo que tampoco f posee asıntota horizontal.

Queda ver si tiene asıntota oblicua, pero para ello una de las cosas que deberıan ocurrir es que limx→+∞

f(x)/x

fuera finito, y en este caso, limx→+∞

x− 1x

ln(x− 1) = +∞. Por tanto, f tampoco posee asıntota oblicua.

Para estudiar la monotonıa de f, analizamos el signo de su derivada, f ′(x) = ln(x − 1) + 1. Viendo cuandof ′(x) = 0, claramente deducimos que el signo de f ′ es negativo en el intervalo (1, 1+e−1), y positivo en (1+e−1,+∞).De ello deducimos que f posee un mınimo relativo, y de hecho absoluto, en x = 1+e−1. Sin embargo, por el analisisprevio sobre la existencia o no de asıntotas, sabemos que f no posee maximo absoluto, ni supremo, ya que f noesta acotada superiormente. Por la izquierda, es decir, con x → 1+, f no posee tampoco maximo relativo, porqueahı f no esta definida propiamente.

2 Analizamos la funcion auxiliar g(x) = xex − 3, que es continua y derivable en todo R, por algebra ycomposicion de funciones elementales.

Separemos las raıces de g. Tenemos que g′(x) = ex(x + 1), por lo que su signo es negativo en (−∞,−1), ypositivo en (−1,+∞). Por tanto, g posee a lo mas una raız en (−∞,−1], y tambien posee a lo mas una raız en[−1,+∞).

El estudio de limx→−∞

g(x) = −3, g(−1) = −e−1 − 3 < 0 y limx→+∞

g(x) = +∞, combinado con lo anterior y con el

Teorema de Bolzano, nos dice que g posee exactamente una raız, que esta en el intervalo [−1,+∞).Para poder aproximarla, buscamos un intervalo [a, b] donde se satisfaga la Regla de Fourier, cuyo enunciado esta

en los apuntes de clase y no repetimos aquı. Vemos que el signo de g′′(x) = ex(x + 2) es negativo a la izquierdade x = −2 y positivo a la derecha de dicho punto. Por tanto, y como la raız de g esta en [−1,+∞), la terceracondicion la tenemos automaticamente (ya que [a, b] sera un intervalo dentro de [−1,+∞)).

Para buscar un intervalo [a, b] que no anule la derivada g′, simplemente lo elegimos con −1 < a. Tomamos porejemplo el valor 0. Como g(0) = −3 es negativo y sabemos que la funcion crece hasta +∞, ese valor sera validopara a. Ahora tomamos por ejemplo el valor 2, y como g(2) = 2e2 − 3 > 0, ya tenemos un intervalo [a, b] = [0, 2]donde hay cambio de signo (primera condicion de la Regla de Fourier; y donde obviamente tambien se cumple lasegunda condicion).

Tomamos como valor inicial para el Metodo de Newton x0 = 2, ya que g(2) tiene el mismo signo que la derivada

segunda en todo el intervalo. Ası, el metodo sera convergente. Aplicando dos veces xn+1 = xn−g(xn)g′(xn)

, obtenemos

x1 = 1′4686686 y x2 = 1′1535298.

3 Usando el metodo de sustitucion, concretamente poniendo x = t2, tenemos∫ √x

x + 1dx =

∫2t2

t2 + 1dt = 2

∫t2 + 1− 1

t2 + 1dt = 2

∫ (1− 1

t2 + 1

)dt = 2(t− arctgt) + C = 2(

√x− arctg

√x) + C.

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 17:00-17:55 Tipo BLicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09 Prof. Pedro Marın Rubio


f(x) = (x− 2) ln(x− 2).


4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion xe2x = 2, estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, dar ra-zonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier para aproximarla menor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, es decir, calcular x2.

2 ptos Ejercicio 3 Calcular∫

1√x + 1

dx.

Solucion:

1 Por saber que el dominio de un polinomio es todo R, y el de un logaritmo donde su argumento es estrictamentepositivo, tenemos que dom(f) = (2,+∞). Ahı, f es continua y derivable por ser algebra y composicion de funcioneselementales (y por tanto tendra sentido calcular posteriormente su derivada).

Como se puede ver aplicando la Regla de L’Hopital, limx→2+

f(x) = 0. Por tanto, y dado que f es continua en todo

(2,+∞), f no posee ninguna asıntota vertical.Por otro lado, lim

x→+∞f(x) = +∞, por lo que tampoco f posee asıntota horizontal.

Queda ver si tiene asıntota oblicua, pero para ello una de las cosas que deberıan ocurrir es que limx→+∞

f(x)/x

fuera finito, y en este caso, limx→+∞

x− 2x

ln(x− 2) = +∞. Por tanto, f tampoco posee asıntota oblicua.

Para estudiar la monotonıa de f, analizamos el signo de su derivada, f ′(x) = ln(x − 2) + 1. Viendo cuandof ′(x) = 0, claramente deducimos que el signo de f ′ es negativo en el intervalo (2, 2+e−1), y positivo en (2+e−1,+∞).De ello deducimos que f posee un mınimo relativo, y de hecho absoluto, en x = 2+e−1. Sin embargo, por el analisisprevio sobre la existencia o no de asıntotas, sabemos que f no posee maximo absoluto, ni supremo, ya que f noesta acotada superiormente. Por la izquierda, es decir, con x → 2+, f no posee tampoco maximo relativo, porqueahı f no esta definida propiamente.

2 Analizamos la funcion auxiliar g(x) = xe2x − 2, que es continua y derivable en todo R, por algebra ycomposicion de funciones elementales.

Separemos las raıces de g. Tenemos que g′(x) = e2x(1 + 2x), por lo que su signo es negativo en (−∞,−1/2), ypositivo en (−1/2,+∞). Por tanto, g posee a lo mas una raız en (−∞,−1/2], y tambien posee a lo mas una raız en[−1/2,+∞).

El estudio de limx→−∞

g(x) = −2, g(−1/2) = −e−1/2 − 2 < 0 y limx→+∞

g(x) = +∞, combinado con lo anterior y

con el Teorema de Bolzano, nos dice que g posee exactamente una raız, que esta en el intervalo [−1/2,+∞).Para poder aproximarla, buscamos un intervalo [a, b] donde se satisfaga la Regla de Fourier, cuyo enunciado esta

en los apuntes de clase y no repetimos aquı. Vemos que el signo de g′′(x) = 4e2x(1 + x) es negativo a la izquierdade x = −1 y positivo a la derecha de dicho punto. Por tanto, y como la raız de g esta en [−1/2,+∞), la terceracondicion la tenemos automaticamente (ya que [a, b] sera un intervalo dentro de [−1/2,+∞)).

Para buscar un intervalo [a, b] que no anule la derivada g′, simplemente lo elegimos con −1/2 < a. Tomamospor ejemplo el valor 0. Como g(0) = −2 es negativo y sabemos que la funcion crece hasta +∞, ese valor sera validopara a. Ahora tomamos por ejemplo el valor 1, y como g(1) = e2 − 2 > 0, ya tenemos un intervalo [a, b] = [0, 1]donde hay cambio de signo (primera condicion de la Regla de Fourier; y donde obviamente tambien se cumple lasegunda condicion).

Tomamos como valor inicial para el Metodo de Newton x0 = 1, ya que g(1) tiene el mismo signo que la derivada

segunda en todo el intervalo. Ası, el metodo sera convergente. Aplicando dos veces xn+1 = xn−g(xn)g′(xn)

, obtenemos

x1 = 0′7568901 y x2 = 0′6308897.

3 Usando el metodo de sustitucion, concretamente poniendo x = t2, tenemos∫1√

x + 1dx =

∫2t

t + 1dt = 2

∫t + 1− 1

t + 1dt = 2

∫ (1− 1

t + 1

)dt = 2(t− ln |t+1|)+C = 2(

√x− ln(

√x+1))+C.

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 18:00-18:55 Tipo ALicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09 Prof. Pedro Marın Rubio


f(x) =x3

x− 1.


4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion e−x = −3x + 2, estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, darrazonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier para aproximarla menor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, es decir, calcular x2.


1x2(x + 1)

dx.

Solucion:

1 La funcion f es racional, por tanto es una funcion elemental. Ası, dom(f) = R\{1} = (−∞, 1)∪(1,+∞). Endicho dominio, la funcion es continua y derivable (lo que usaremos despues). Pero habremos de separar el analisisde f en los dos intervalos citados, (−∞, 1) y (1,+∞), ya que lim

x→1+f(x) = +∞, y lim

x→1−f(x) = −∞, o sea, que f

tiene una discontinuidad de salto infinito en x = 1, y una asıntota vertical ahı, obviamente.Por otro lado, lim

x→±∞f(x) = +∞, por lo que f no posee asıntotas horizontales, y cabe preguntarse si tiene

asıntotas oblicuas. Pero limx→±∞

f(x)/x = ±∞, por lo que tampoco posee asıntotas oblicuas.

Para el estudio de la monotonıa de f, analizamos el signo de f ′(x) =3x2(x− 1)− x3

(x− 1)2=

2x3 − 3x2

(x− 1)2=

x2(2x− 3)(x− 1)2

.

Vemos que el signo depende de cuatro intervalos, concretamente (−∞, 0), (0, 1), (1, 3/2) y (3/2,+∞). En los tresprimeros el signo de f ′ es negativo, y en el ultimo es positivo. Esto implica que f es estrictamente decreciente en(−∞, 1), y tambien en (1, 3/2] (pero ojo, no en la union). En el intervalo [3/2,+∞) f es estrictamente creciente.Por tanto f posee un mınimo relativo en x = 3/2, y no tiene ningun maximo relativo. Sin embargo dicho mınimo noes absoluto. De hecho la funcion no tiene un mınimo absoluto ni esta acotada inferiormente; tampoco esta acotadasuperiormente (todo ello visto en el analisis de existencia de asıntotas), por lo que tampoco tiene maximo absoluto.

2 Tomamos la funcion g(x) = e−x + 3x − 2, que esta bien definida en todo R, donde es continua y de hechoderivable por ser algebra y composicion de funciones elementales. Para saber cuantas raıces tiene, analizamosprimero el signo de g′(x) = −e−x + 3, que obviamente varıa segun estemos a la izquierda o a la derecha de− ln 3 ∼ −1′0986123. A la izquierda de dicho punto g′ es negativa, y a la derecha es positiva. Por tanto, g posee alo mas una raız en (−∞,− ln 3] y a lo mas otra raız en [− ln 3,+∞). Para ver si realmente posee raıces y cuantas,analizamos ahora el signo de lim

x→−∞g(x) = +∞, g(− ln 3) = 3− 3 ln 3− 2 < 0 y finalmente lim

x→+∞g(x) = +∞. Por

tanto, de todo lo anterior y con ayuda del Teorema de Bolzano sabemos que g posee exactamente dos raıces, unaen cada uno de los intervalos citados antes.

Para aproximar la menor de las raıces, primero comprobamos que en un cierto intervalo [a, b] se cumplen lascondiciones de la Regla de Fourier (que no enunciamos aquı explıcitamente, veanse los apuntes de clase). Comog′′(x) = e−x tiene siempre signo constante (positivo), la tercera condicion es vacua en este caso. Para la condicionsegunda, basta que b < − ln 3. Empezaremos por hacer pruebas con determinados valores, para buscar un cambiode signo en g (condicion primera de la Regla de Fourier).

Si tomamos el valor −2, que es menor que − ln 3, tenemos que g(−2) ∼ −0′6109439. Ese signo negativo, unidoa que ya sabemos que lim

x→−∞g(x) = +∞, hace valida la eleccion de b = −2. Ahora comenzamos por probar que

ocurre con el valor −3. Se tiene que g(−3) ∼ 9′0855369, con lo que el intervalo [a, b] = [−3,−2] es valido paraaplicar el Metodo de Newton, y sera convergente si comenzamos con x0 = −3 ya que el signo de g(−3) y el de g′′

coinciden. Usando ahora la formula xn+1 = xn −g(xn)g′(xn)

, tenemos x1 = −2′4682323 y que x2 = −2′1959092.

3 El metodo de descomposicion de funciones racionales dice que existen tres constantes A, B y C tales que

1x2(x + 1)

=A

x+

B

x2+

C

x + 1=

Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2

x2(x + 1),

de donde ha de cumplirse la igualdad 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2. Tomando por ejemplo los valores x = 0,x = −1 y x = 1, concluimos que B = 1, C = 1 y A = −1. Ası,∫

1x2(x + 1)

dx =∫

−1x

+1x2

+1

x + 1dx = − ln |x| − 1

x+ ln |x + 1|+ C.

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 18:00-18:55 Tipo BLicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09 Prof. Pedro Marın Rubio


f(x) =x3

x− 2.


4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion e−x = −2x + 3, estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, darrazonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier para aproximarla menor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, es decir, calcular x2.


x− 1x2(x + 1)

dx.

Solucion:

1 La funcion f es racional, por tanto es una funcion elemental. Ası, dom(f) = R\{2} = (−∞, 2)∪(2,+∞). Endicho dominio, la funcion es continua y derivable (lo que usaremos despues). Pero habremos de separar el analisisde f en los dos intervalos citados, (−∞, 2) y (2,+∞), ya que lim

x→2+f(x) = +∞, y lim

x→2−f(x) = −∞, o sea, que f

tiene una discontinuidad de salto infinito en x = 2, y una asıntota vertical ahı, obviamente.Por otro lado, lim

x→±∞f(x) = +∞, por lo que f no posee asıntotas horizontales, y cabe preguntarse si tiene

asıntotas oblicuas. Pero limx→±∞

f(x)/x = ±∞, por lo que tampoco posee asıntotas oblicuas.

Para el estudio de la monotonıa de f, analizamos el signo de f ′(x) =3x2(x− 2)− x3

(x− 2)2=

2x3 − 6x2

(x− 2)2=

2x2(x− 3)(x− 2)2

.

Vemos que el signo depende de cuatro intervalos, concretamente (−∞, 0), (0, 2), (2, 3) y (3,+∞). En los tres primerosel signo de f ′ es negativo, y en el ultimo es positivo. Esto implica que f es estrictamente decreciente en (−∞, 2), ytambien en (2, 3] (pero ojo, no en la union). En el intervalo [3,+∞) f es estrictamente creciente. Por tanto f poseeun mınimo relativo en x = 3, y no tiene ningun maximo relativo. Sin embargo dicho mınimo no es absoluto. Dehecho la funcion no tiene un mınimo absoluto ni esta acotada inferiormente; tampoco esta acotada superiormente(todo ello visto en el analisis de existencia de asıntotas), por lo que tampoco tiene maximo absoluto.

2 Tomamos la funcion g(x) = e−x + 2x − 3, que esta bien definida en todo R, donde es continua y de hechoderivable por ser algebra y composicion de funciones elementales. Para saber cuantas raıces tiene, analizamosprimero el signo de g′(x) = −e−x + 2, que obviamente varıa segun estemos a la izquierda o a la derecha de− ln 2 ∼ −0′6931471. A la izquierda de dicho punto g′ es negativa, y a la derecha es positiva. Por tanto, g posee alo mas una raız en (−∞,− ln 2] y a lo mas otra raız en [− ln 2,+∞). Para ver si realmente posee raıces y cuantas,analizamos ahora el signo de lim

x→−∞g(x) = +∞, g(− ln 2) = 2− 2 ln 2− 3 < 0 y finalmente lim

x→+∞g(x) = +∞. Por

tanto, de todo lo anterior y con ayuda del Teorema de Bolzano sabemos que g posee exactamente dos raıces, unaen cada uno de los intervalos citados antes.

Para aproximar la menor de las raıces, primero comprobamos que en un cierto intervalo [a, b] se cumplen lascondiciones de la Regla de Fourier (que no enunciamos aquı explıcitamente, veanse los apuntes de clase). Comog′′(x) = e−x tiene siempre signo constante (positivo), la tercera condicion es vacua en este caso. Para la condicionsegunda, basta que b < − ln 2. Empezaremos por hacer pruebas con determinados valores, para buscar un cambiode signo en g (condicion primera de la Regla de Fourier).

Si tomamos el valor −1, que es menor que − ln 2, tenemos que g(−1) = e − 5 < 0. Ese signo negativo, unidoa que ya sabemos que lim

x→−∞g(x) = +∞, hace valida la eleccion de b = −1. Ahora comenzamos por probar que

ocurre con el valor −2. Se tiene que g(−2) > 0, con lo que el intervalo [a, b] = [−2,−1] es valido para aplicar elMetodo de Newton, y sera convergente si comenzamos con x0 = −2 ya que el signo de g(−2) y el de g′′ coinciden.

Usando ahora la formula xn+1 = xn −g(xn)g′(xn)

, tenemos x1 = −1′9278063 y que x2 = −1′9239493.

3 El metodo de descomposicion de funciones racionales dice que existen tres constantes A, B y C tales que

x− 1x2(x + 1)

=A

x+

B

x2+

C

x + 1=

Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2

x2(x + 1),

de donde ha de cumplirse la igualdad x− 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2. Tomando por ejemplo los valores x = 0,x = −1 y x = 1, concluimos que B = −1, C = −2 y A = 2. Ası,∫

x− 1x2(x + 1)

dx =∫

2x− 1

x2− 2

x + 1dx = 2 ln |x|+ 1

x− 2 ln |x + 1|+ C.

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 12:00-12:55 Tipo ALicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09 Prof. Antonio Suarez Fernandez


f(x) =x2 + 1x2 + 3

.

Calcular si posee asıntotas, estudiar su crecimiento, decrecimiento y la existencia de maximos y mınimosrelativos.

4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion

2 ln(x + 2) = x2,

estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, dar razonadamente un intervalo y punto inicial dondese verifiquen las hipotesis del Metodo de Newton para aproximar la mayor de las raıces (caso de que hayavarias). Realizar dos iteraciones del metodo, es decir, calcular x2.

2 ptos Ejercicio 3 Hallar el area de la zona acotada encerrada por la funcion f(x) = −x2 + 1 y eleje OX.



f(x) =x2 + 1x2 + 3

.

Calcular si posee asıntotas, estudiar su crecimiento, decrecimiento y la existencia de maximos y mınimosrelativos.

4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion

2 ln(x + 2) = x2,

estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, dar razonadamente un intervalo y punto inicial dondese verifiquen las hipotesis del Metodo de Newton para aproximar la mayor de las raıces (caso de que hayavarias). Realizar dos iteraciones del metodo, es decir, calcular x2.

2 ptos Ejercicio 3 Hallar el area de la zona acotada encerrada por la funcion f(x) = −x2 + 1 y eleje OX.

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 Tipo ALicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09


f(x) =ex

x− 1.


4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion 2x3 − 3x2 − 12x − 8 = 0, estudiar el numero de raıces que posee, sepa-rarlas, dar razonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier paraaproximar la menor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, esdecir, calcular x2.


1x(x− 1)

dx.



f(x) =ex

x− 1.


4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion 2x3 − 3x2 − 12x − 8 = 0, estudiar el numero de raıces que posee, sepa-rarlas, dar razonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier paraaproximar la menor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, esdecir, calcular x2.


1x(x− 1)

dx.

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 26-11-08 09:00-09:55 Tipo ALicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09 Prof. Manuel Luna Laynez


f(x) =x2

ex2 .

Calcular si posee asıntotas, estudiar su crecimiento, decrecimiento y la existencia de maximos y mınimos locales.

4 ptos Ejercicio 2 Dada la ecuacion 2ex − 4x− 4 = 0, estudiar el numero de raıces que posee, separarlas, darrazonadamente un intervalo y punto inicial donde se verifiquen las hipotesis de la Regla de Fourier para aproximarla mayor de las raıces (caso de que haya varias). Realizar dos iteraciones del Metodo de Newton, es decir, calcular x2.


ln(x2)dx.



f(x) =x2

ex2 .




ln(x2)dx.



f(x) =x2

ex2 .




ln(x2)dx.


4 ptos Ejercicio 1

1. Resuelve la E.D.y′ = ex+y + ey.

2. Obten la solucion particular que verifica y(0) = 0.

3 ptos Ejercicio 2 Un empresa de transporte internacional quiere estudiar los dıas que transcurrenhasta la entrega de los encargos (X), obteniendo los siguientes datos:

Dıas [0,2) [2,4) [4,6) [6,8]ni 14 10 10 6

1. Calcular la media aritmetica y la desviacion tıpica.

2. ¿Que tanto por ciento de encargos se entregan antes de 3 dıas?

3. ¿Que tiempo tarda en mandar el 90% de sus encargos?

3 ptos Ejercicio 3 En los tests estandarizados del Coeficiente Intelectual (CI), la media es 100 y ladesviacion tıpica es 15. Si se supone que el CI se distribuye segun una normal, se pide:

1. ¿Que porcentaje de personas tiene un CI superior a 90?

2. ¿Que porcentaje de personas tiene un CI superior a 90 e inferior a 115?

3. ¿Cual es la puntuacion de una persona que esta entre el 10% mas inteligente de la poblacion?


4 ptos Ejercicio 1 Se considera la siguiente ecuacion diferencial{y′ =

y

t− te−2t,

y(1) = 1

Calcular y(t).

3 ptos Ejercicio 2 En un centro de ensenanza se ha realizado una estadıstica referente a la nota global de losalumnos de bachiller que van a acudir a la Selectividad, y se ha obtenido lo siguiente

Notas [5,6) [6,7) [7,9) [9,10]ni 25 50 15 10


2. ¿Que tanto por ciento de alumnos saca mas de 8?

3. ¿Que nota deja por encima de ella solo al 5%?

3 ptos Ejercicio 3 El peso de los 1000 alumnos de un instituto se distribuye segun una normal de media 60kg y de desviacion tıpica 12 kg.

a) ¿Cuantos alumnos cabe esperar que pesen mas de 50 kg?b) ¿Cual es el peso por encima del cual se encuentra el 60 por ciento de los alumnos?

2a Prueba Intermedia Matematica Aplicada 14-01-09 Tipo BLicenciatura de Farmacia. Curso 2008-09

4 ptos Ejercicio 1 Se considera la siguiente ecuacion diferencial{y′ =

y

t− te−4t,

y(1) = 0

Calcular y(t).

3 ptos Ejercicio 2 En un centro de ensenanza se ha realizado una estadıstica referente a la nota global de losalumnos de bachiller que van a acudir a la Selectividad, y se ha obtenido lo siguiente

Notas [5,6) [6,7) [7,9) [9,10]ni 20 30 25 25


2. ¿Que tanto por ciento de alumnos saca mas de 8?

3. ¿Que nota deja por encima de ella solo al 5%?

3 ptos Ejercicio 3 El peso de los 1000 alumnos de un instituto se distribuye segun una normal de media 58kg y de desviacion tıpica 10 kg.

a) ¿Cuantos alumnos cabe esperar que pesen mas de 60 kg?b) ¿Cual es el peso por encima del cual se encuentra el 70 por ciento de los alumnos?


4 ptos Ejercicio 1. Resuelve la ecuacion diferencial

y′ + xy = x.

Obten la solucion particular que verifica y(0) = 2.¿Hay alguna solucion particular, y(x), que verifique limx→+∞ y(x) = 1?

3 ptos Ejercicio 2. En un hospital se esta experimentando un medicamento que regula latemperatura corporal. Para ello, se administran diferentes dosis del producto a 4 pacientes con fiebrealta y se observa cuanto tiempo tarda en normalizarse completamente su temperatura. Se obtienenlos siguientes resultados:

X = Dosis(mg) 2 4 6 8

Y = Tiempo(min) 136 126 115 98

a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.b) ¿Cuanto tiempo cabe esperar que tarde en normalizarse la temperatura de un paciente al que

se le han administrado 5’3 mg del medicamento?

3 ptos Ejercicio 3. La maxima puntuacion posible en un examen de matematicas es de 100puntos. La puntuacion media obtenida ha sido de 74 y la desviacion tıpica de 11. Suponiendo quela puntuacion obtenida tiene una distribucion normal,

a) Hallar el porcentaje de alumnos con una puntuacion igual o superior a 90.b) Hallar el porcentaje de alumnos con una puntuacion entre 60 y 90 (ambas inclusive).c) Hallar la puntuacion por encima de la cual se queda el 10% de los alumnos.


4 ptos Ejercicio 1. Resuelve la ecuacion diferencial

y′ + xy = x.

Obten la solucion particular que verifica y(0) = 2.¿Hay alguna solucion particular, y(x), que verifique limx→+∞ y(x) = 1?

3 ptos Ejercicio 2. En un hospital se esta experimentando un medicamento que regula latemperatura corporal. Para ello, se administran diferentes dosis del producto a 4 pacientes con fiebrealta y se observa cuanto tiempo tarda en normalizarse completamente su temperatura. Se obtienenlos siguientes resultados:

X = Dosis(mg) 2 4 6 8

Y = Tiempo(min) 136 126 115 98

a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal.b) ¿Cuanto tiempo cabe esperar que tarde en normalizarse la temperatura de un paciente al que

se le han administrado 5’3 mg del medicamento?

3 ptos Ejercicio 3. La maxima puntuacion posible en un examen de matematicas es de 100puntos. La puntuacion media obtenida ha sido de 74 y la desviacion tıpica de 11. Suponiendo quela puntuacion obtenida tiene una distribucion normal,

a) Hallar el porcentaje de alumnos con una puntuacion igual o superior a 90.b) Hallar el porcentaje de alumnos con una puntuacion entre 60 y 90 (ambas inclusive).c) Hallar la puntuacion por encima de la cual se queda el 10% de los alumnos.

1

Matemática Aplicada. Grupo 3. 14 de Enero de 2009.Segunda Prueba Intermedia de Seguimiento.

1. a) Resuelve la E.D.

y′ − 1x

y = x2.

b) Obtén la solución particular que verifica y(1) = 0.

c) Determina el comportamiento de todas las soluciones cuando x → −∞ y cuandox→ +∞.

2. Los casos de sida y los casos de sida provocados por el consumo de drogas en diversascomunidades autónomas se recogen en la siguiente tabla:

X = Casos totales 4962 1041 845 1154Y = Casos consumo drogas 3564 529 273 808

a) Halla el coeficiente de de correlación lineal.

b) Habiéndose determinado en una comunidad 953 casos totales de sida, ¿cuántos es posibleque sean por consumo de droga?

3. La puntuación de un test de aptitud escolar sigue una distribución normal de media 500 ydesviación típica 100.

a) Calcula la probabilidad de que la puntuación de un estudiante supere el valor 700.

b) Calcula la puntuación tal que el 10 % de los estudiantes que realizaron el test obtuvodicha puntuación o superior.

Puntuación: Problema 1, 4 puntos; problema 2, 3 puntos; problema 3, 3 puntos.

Matematica Aplicada. Primera convocatoria. (19–enero–2009)

Primer Parcial

Ejercicio 1: Calcular dominio, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, existencia demaximos y mınimos absolutos y relativos, zonas de concavidad, convexidad, y puntos de inflexion, ydar la representacion grafica de la siguiente funcion:

f(x) =x

x2 − 4.

Ejercicio 2: Calcular el area encerrada por la funcion f(x) =1

x2 − 4, el eje OX y las rectas x = 0

y x = 1.

Ejercicio 3: Hallar el polinomio de interpolacion que se ajuste a estos datos:

x -1 0 2 3

y -8 -1 19 56

Ejercicio 4: Aproximar la unica raız del polinomio p(x) = x3 − x2 − x − 1 mediante el metodode Newton con dos cifras decimales de precision, determinando previamente un intervalo donde severifique el resultado de convergencia.

Segundo Parcial

Ejercicio 5: Un salon de 100 m3 de volumen contiene 12 m3 de CO2. Para purificar el aire, seempieza a extraer aire de la sala y a renovarlo a la misma velocidad de 20 m3/min. El aire que seintroduce tiene un contenido de 4 m3 de CO2 por cada 100 m3 de aire.

a) Probar que el volumen de CO2 en cada instante satisface la ecuacion diferencialy′ + 0′2y = 0′8.

b) Resolver la ecuacion y calcular cuanto tiempo debe transcurrir para que en la sala haya 6 m3

de CO2.

Ejercicio 6: Se considera la siguiente tabla de resultados obtenidos por los participantes en unconcurso

Puntuaciones [10, 20) [20, 40) [40, 60) [60, 70]Concursantes 15 6 13 6

a) Calcular la media x y la desviacion tıpica Sx.b) Calcular la puntuacion por debajo de la que se encuentra el 50% de los concursantes.c) Determinar el porcentaje de concursantes que se encuentra por debajo de la puntuacion x−Sx

y el que se encuentra por encima de la puntuacion x + Sx.

Ejercicio 7: En un estudio de Drosophila melanogaster se demostro que el numero de cerdas enel quinto segmento abdominal en machos sigue una distribucion normal de media 18′7 y desviaciontıpica 2′1.

a) ¿Que porcentaje de la poblacion de machos tiene menos de 17 cerdas?b) Calcular el numero de cerdas por encima del cual esta el 60% de la poblacion de machos.

Los alumnos con el primer parcial deben hacer los ejercicios 1, 2, 3 y 4, con la puntuacion3 puntos, 3 puntos, 2 puntos y 2 puntos, respectivamente. Los alumnos con el segundoparcial deben hacer los ejercicios 5, 6 y 7, con la puntuacion 4 puntos, 3 puntos y 3puntos, respectivamente. Los alumnos con toda la materia deben hacer los ejercicios 1,4, 5 y 7, con la puntuacion 3 puntos, 2 puntos, 3 puntos y 2 puntos, respectivamente.

Tiempo: 2 horas para los que vayan con un parcial, 3 horas para los que vayan con laasignatura completa.

Solucion Examen 1a Convocatoria Matematica Aplicada – 19 de enero de 2009

Ejercicio 1: La funcion f(x) = xx2−4 es racional. Su denominador se anula si x = ±2, por lo que su dom(f) =

R \ {2,−2}. La funcion es continua y derivable en su dominio. Y aunque no se pide, observese que es simetricaimpar, ya que f(x) = −f(−x).

f posee asıntotas verticales en x = ±2.Ademas, f posee asıntota horizontal en y = 0, ya que lımx→±∞ f(x) = 0.El signo de f es alternado del siguiente modo: negativo en (−∞,−2), positivo en (−2, 0), negativo en (0, 2) y

positivo en (2,+∞).El unico corte con los ejes de la funcion es el origen de coordenadas.El analisis del crecimiento y/o decrecimiento de f viene dado por el signo de su derivada:

f ′(x) =x2 − 4− 2x2

(x2 − 4)2=

−4− x2

(x2 − 4)2.

Observese que f ′ es, siempre que tiene sentido, negativa, de modo que f es decreciente en los intervalos (−∞,−2),(−2, 0), (0, 2) y (2,+∞). Notese que no se senalan otros intervalos ya que la funcion tiene discontinuidades de saltoinfinito (por las asıntotas verticales) en x = ±2.

Al ser f siempre derivable en su dominio, y no anularse nunca la derivada, f no posee extremos relativos. Ydebido a la existencia de asıntotas verticales que tienden a ±∞, resulta que f tampoco posee extremos absolutos,ni supremo ni ınfimo (f no esta acotada ni superior ni inferiormente).

El analisis de la concavidad/convexidad de f depende del signo de f ′′.

f ′′(x) =−2x(x2 − 4)2 − 2(x2 − 4)2x(−4− x2)

(x2 − 4)4

=−2x(x2 − 4) + 4x(4 + x2)

(x2 − 4)3

=−2x3 + 8x + 16x + 4x3

(x2 − 4)3

=2x3 + 24x

(x2 − 4)3

=2x(x2 + 12)(x2 − 4)3

.

Resulta por tanto que f ′′ es negativa en (−∞,−2), positiva en (−2, 0), negativa en (0, 2), y positiva en (2,+∞).Ası, se deduce que f es concava en (−∞,−2), convexa en (−2, 0), concava en (0, 2), y convexa en (2,+∞), y queel punto x = 0 es un punto de inflexion.

La grafica de la funcion f es como se indica a continuacion:

1

Ejercicio 2: Como la funcion f(x) = 1/(x2 − 4) es negativa en el intervalo [0, 1], el area pedida se obtienecomo

A = −∫ 1

0

f(x)dx =∫ 1

0

14− x2

dx.

Para resolver la integral indefinida, que es de tipo racional, usamos un metodo de descomposicion:

14− x2

=B

2 + x+

C

2− x=

B(2− x) + C(2 + x)4− x2

,

de donde 1 + B(2− x) + C(2 + x), y por tanto B = C = 1/4. Por tanto resulta que

A =14

[(ln |2 + x| − ln |2− x|)]10 =14(ln 3− ln 2 + ln 2) =

14

ln 3 ∼ 0′274653.

Ejercicio 3: El Metodo de Diferencias Divididas de Newton permite obtener la siguiente tabla:

−1 −87

0 −1 110 2

2 19 937

3 56

de donde

p(x) = −8 + 7(x + 1) + (x + 1)x + 2(x + 1)x(x− 2)= −8 + 7x + 7 + x2 + x + (2x2 + 2x)(x− 2)= −1 + 8x + x2 + 2x3 − 4x2 + 2x2 − 4x

= 2x3 − x2 + 4x− 1.

(Resulta recomendable comprobar efectivamente que p(xi) = yi.)

Ejercicio 4: El polinomio p(x) = x3 − x2 − x− 1 tiene por derivada p′(x) = 3x2 − 2x− 1, y p′′(x) = 6x− 2.

Es inmediato comprobar que p′ se anula si x = 1 y x = −1/3, por lo que el analisis del numero de ceros de pdependera de los intervalos (−∞,−1/3), (−1/3, 1) y (1,+∞). Como ocurre que

lımx→−∞

p(x) = −∞, p(−1/3) = −22/27, p(1) = −2, lımx→+∞

p(x) = +∞,

el teorema de Bolzano combinado con el crecimiento/decrecimiento de p nos garantiza que existe un unico cero dep, que esta en el intervalo [1,+∞).

Para aplicar la Regla de Fourier necesitamos un intervalo [a, b] donde p cambie de signo, pero no se anule p′ y quep′′ no cambie de signo. Obviamente debemos desplazarnos un poco a la derecha de x = 1. Probamos inicialmentecon x = 3/2, y resulta que p(3/2) = −11/8, mientras que p(2) = 1 > 0, con lo que el intervalo [3/2, 2] es valido(recuerdese que p′′ tiene signo constante a la derecha de x = 1/3, y su signo ahı es positivo). La Regla de Fouriergarantiza la convergencia del Metodo de Newton si comenzamos por x0 = 2, ya que p(2) tiene el mismo signo quep′′.

El Metodo de Newton consiste en xn+1 = xn − p(xn)p′(xn) , siendo las primeras iteraciones x1 = 1′8571429, x2 =

1′8395445, x3 = 1′8392868, con lo que nos detenemos ya que hemos conseguido tres cifras decimales exactas almenos (y el ejercicio pedıa dos cifras decimales exactas).

2

Ejercicio 5: (a) Las ecuaciones diferenciales de mezclas aplican la formula y′ = ceve − csvs siendo y(t) lacantidad de CO2 en el instante t, ce = 4/100, ve = vs = 20m3/min, cs = y(t)/100. Al sustituir en la formulaanterior, comprobamos que efectivamente obtenemos la ecuacion y′ = 0′8− 0′2y.

(b) La resolucion del (PC) y′ = 0′8− 0′2y con dato inicial y(0) = 12 es como sigue (variables separables):∫dy

0′8− 0′2y=

∫dt,

−10′2

ln |0′8− 0′2y| = t + C,

ln |0′8− 0′2y| = −0′2t + C,

0′8− 0′2y = Ke−0′2t.

Llegados a este punto, resulta especialmente comodo sustituir el dato inicial y(0) = 12, de donde 0′8− 2′4 = K =−1′6.

Volviendo sobre la solucion, obtenemos que

y =0′80′2

+1′60′2

e−0′2t = 4 + 8e−0′2t.

Para ver cuando la funcion alcanza el valor 6, resolvemos la ecuacion y(t) = 6, es decir, 0′8 − 1′2 = −1′6e−0′2t, osea, −0′4

−1′6 = 0′25 = e−0′2t, y por tanto, t = −10′2 ln 0′25 = 6′9314718 min.

Ejercicio 6: Tenemos la siguiente tabla:marca clase Puntuaciones Concursantes (ni) pi = ni

40100 Pi

15 [10,20) 15 37’5% 37’5%30 [20,40) 6 15 % 52’5%50 [40,60) 13 32’5% 85 %65 [60,70] 6 15 % 100 %

(a) Es facil comprobar que

x =σcini

N=

152 + 30 · 6 + 50 · 13 + 65 · 640

= 36′125.

Por otro lado,

SX =√

S2X =

√σc2

i ni

N− x2 =

√153 + 302 · 6 + 502 · 14 + 652 · 6

40− 36′1252 =

√360′60937 = 18′989718.

(b) Si y = 50, usando la recta y − 37′5 = 52′5−37′540−20 (x− 20) deducimos que x = 36′666.

(c) Como x − SX = 17′135282, el porcentaje por debajo se halla usando la recta y = 37′510 (x − 10), de donde

y = 26′757308 % .Por otro lado, como x + SX = 55′114718, usando la recta y − 52′5 = 85−52′5

60−40 (x − 40), deducimos que y =77′061417 % es el porcentaje por debajo de dicha cantidad. Como nos piden el porcentaje que queda por encima,este es y = 22′938583 % .

Ejercicio 7: Nos dicen que X ∼ N(18′7, 2′1), de modo que(a) el porcentaje pedido requiere que calculemos previamente

P (X < 17) = P (Z <17− 18′7

2′1) = P (Z < −0′8095) = P (Z > 0′8095) = 1− P (Z < 0′8095)

= 1− 0′791 = 0′209,

donde hemos tipificado y usado la simetrıa de la funcion de densidad de la distribucion normal. Concluimos que elporcentaje pedido es 20′9 % .

(b) Ahora nos piden un cierto valor a de modo que P (X > a) = 0′6. Pero esto es lo mismo que pedir P (Z >a−18′7

2′1 ) = 0′6, que a su vez equivale a que P (Z < a−18′72′1 ) = 0′4. Si llamamos b = a−18′7

2′1 y usamos de nuevola simetrıa de la funcion de densidad de la distribucion normal, tenemos que P (Z > −b) = 0′4 y por tantoP (Z < −b) = 0′6. De lo ultimo, mirando la tabla de la distribucion normal estandar, deducimos que −b = 0′25, yahora sustituyendo b por su valor y despejando, obtenemos que a = 18′175.

3



Ejercicio 1: Calcular dominio, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, existencia demaximos y mınimos absolutos y relativos, zonas de concavidad, convexidad, y puntos de inflexion, ydar la representacion grafica de la siguiente funcion:

f(x) =x

x4 + 3.

Ejercicio 2: Calcular el area contenida entre las funciones f(x) =2

x2 + 1y g(x) = x2, con las rectas

x = 0 y x = 2.

Ejercicio 3:

(a) Determina el valor de m para que la funcion y = x sea solucion de la ecuacion diferencial

(1 + x2)y′ − xy = m.

(b) Resuelve la anterior ecuacion diferencial para m = 0.

(c) Calcula los lımites cuando x → −∞ y cuando x → +∞ de la solucion del apartado (b) queverifica y(0) = 3.

Ejercicio 4: El numero de semillas que produce una planta sigue una distribucion normal de media142 y desviacion tıpica 31.

(a) Calcular la probabilidad de que una planta produzca mas de 200 semillas.

(b) ¿Cual es el numero de semillas de modo que el 15% de la poblacion produzca dicho numero osuperior?

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Ejercicios 1 y 3: 3 puntos cada uno; ejercicios 2 y 4: 2 puntos cada uno.

1

Soluciones (indicaciones) del examen de Matematica Aplicada de la Licenciatura de Farmaciadel 1 de Septiembre de 2009.

Ejercicio 1: f(x) =x

x4 + 3a) Dominio: Dom(f) = Rb) Asıntotas: La funcion f unicamente tiene la asıntota (horizontal) y = 0.c) Monotonıa y extremos:

c.1) Derivada de f : f ′(x) =3− 3x4

(x4 + 3)2c.2) Ceros de la derivada: f ′(x) = 0⇔ 3− 3x4 = 0⇔ x ∈ {−1, 1}c.3) Signo de la derivada: f ′ > 0 en (−1, 1); f ′ < 0 en R \ [−1, 1]c.4) La funcion f es estrictamente creciente en (−1, 1) y estrictamente decreciente en R \ [−1, 1]; f alcanza

su maximo absoluto en 1 y su mınimo absoluto en −1.d) Concavidad-convexidad y puntos de inflexion:

d.1) Segunda derivada de f : f ′′(x) =12x3(x4 − 5)

(x4 + 3)3

d.2) Ceros de la segunda derivada: f ′′(x) = 0⇔ 12x3(x4 − 5) = 0⇔ x ∈{− 4√

5, 0, 4√

5}

d.3) Signo de la segunda derivada: f ′′ > 0 en(− 4√

5, 0)∪(

4√

5,∞); f ′′ < 0 en

(−∞,− 4

√5)∪(0, 4√

5)

d.4) La funcion f es convexa en(− 4√

5, 0)∪(

4√

5, +∞)

y concava en(−∞,− 4

√5)∪(0, 4√

5); los puntos de la

grafica de f con abscisas x ∈{− 4√

5, 0, 4√

5}

son punto de inflexion.

Ejercicio 2: f(x) =2

x2 + 1, g(x) = x2

a) Puntos de corte entre las graficas de f y g: f(x)− g(x) = 0⇔ 2−x2−x4

x2+1 = 0⇔ 2−x2−x4 = 0⇔ x ∈ {−1, 1}b) Signo de f(x)− g(x) cuando x ∈ [0, 2]: f − g > 0 en [0, 1) y f − g < 0 en (1, 2]

c) El area A encerrada por f , g y las rectas x = 0 y x = 2 viene dado por

A =∫ 1

0

(f(x)− g(x))dx +∫ 2

1

(g(x)− f(x))dx ≈ 2.9273

Ejercicio 3: (1 + x2)y′ − xy = ma) y = x es solucion de la ecuacion diferencial ⇔ (1 + x2)1− x · x = m⇔ 1 = mb) Cuando m = 0 la ecuacion diferencial es de variables separables. Se tiene:

1

(1 + x2)y′ − xy = 0⇔ dy

y=

xdx

1 + x2⇔ ln |y| = ln(

√1 + x2) + C ⇔ y = K

√1 + x2, K ∈ R

c) La solucion particular de la ecuacion diferencial (con m = 0) que satisface y(0) = 3 es la que se obtiene conK = 3, es decir, y = 3

√1 + x2. Para ella se verifica:

limx→+∞

3√

1 + x2 = limx→−∞

3√

1 + x2 = +∞

Ejercicio 4: X = N(142, 31)⇒ Z =X − 142

31= N(0, 1)

a) P (X > 200) = P (Z >200− 142

31) = 1− P (Z <

5831

) = 0′0307

b) P (X ≥ k) = 0′15 ⇔ P (Z ≥ k − 14231

) = 0′15 ⇔ P (Z <k − 142

31) = 1 − 0′15 = 0′85 ⇔ k − 142

31= 1′04 ⇔

k = 174′24

2


14 de Diciembre de 2009

Ejercicio 1: (a) Calcular dominio, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, existencia demaximos y mınimos absolutos y relativos, zonas de concavidad, convexidad, y puntos de inflexion, y darla representacion grafica de la siguiente funcion:

f(x) = ex(x + 1).

(b) Calcular el area contenida entre la funcion f, el eje OX, y las rectas x = 0 y x = 2.

Ejercicio 2: Empıricamente se han obtenido los siguientes valores de y = f(x) :

x -2 -1 0 2y -14 2 2 26

Hallar el polinomio de interpolacion que se ajuste a estos datos.

Ejercicio 3: El uranio 238 se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de uranio exis-tente. Llamando y(t) a la cantidad de uranio en el tiempo t, y sabiendo que despues de 40 anos se hadesintegrado el 43% de la cantidad inicial, calcular la solucion del problema anterior en funcion de lacantidad inicial.

Ejercicio 4: Para el diagnostico de una cierta enfermedad es necesario saber la concentracion de unadeterminada sustancia A en el hıgado, cuya extraccion es mas dificultosa que si se averigua la concentracionen sangre. Se sabe que el coeficiente de correlacion lineal entre las variables concentracion en el hıgado,X, y concentracion en la sangre, Y , es 0′95. La media aritmetica y la desviacion de X son 15 y 2respectivamente, y la media aritmetica y la desviacion de Y son 20 y 3 respectivamente. Calcular:

a) La covarianza.

b) La concentracion en el hıgado de un enfermo que tiene una concentracion de 24 en la sangre.

c) La concentracion en sangre de un enfermo con 17 de concentracion en el hıgado.

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Ejercicio 1: 4 puntos; Ejercicios 2, 3 y 4: 2 puntos.

Prueba Intermedia de Seguimiento de Matematica Aplicada y Estadıstica - Grado en Farmacia 2009/10 - 23/11/09A

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . .

1. La velocidad de crecimiento, V , de una poblacion es funcion de la temperatura del medio (medida en gradoscentrıgados), t, y viene dada por la expresion:

V (t) =√

t ln t

donde esta tenga sentido.

a) ¿Que ocurre con la velocidad cuando la temperatura se acerca a 0o C por la derecha? ¿Y si la temperaturase hace muy grande?

b) ¿Que temperaturas favorecen el desarrollo de la poblacion?, es decir, ¿para que valores de t es la velocidadde crecimiento es positiva?

c) ¿Para que valor de la temperatura se hace mınima la velocidad?

2. Un enfermo se mide la temperatura durante cuatro horas consecutivas. Los valores que ha obtenido son lossiguientes:

Dıas 1 2 3 4Temperatura 37.5 38 37 36.5

a) Obtener el polinomio de interpolacion.

b) Calcular la temperatura esperada para la quinta hora.

Ejercicio 1: 3 puntos. Ejercicio 2: 2 puntos.

Prueba Intermedia de Seguimiento de Matematica Aplicada y Estadıstica - Grado en Farmacia 2009/10 - 23/11/09A

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . .

3. Dada la funcion

f(x) =e2x + 1ex + 1

,

a) Estudia el signo de f(x) en el intervalo [0, 1].

b) Calcula, razonadamente, el area del recinto limitado por la funcion f(x), el eje OX y las rectas verticalesx = 0 y x = 1.

4. El producto de los iones H+ y OH− en el agua es una constante que vale 10−14 en el sistema internacional demedidas. ¿Que concentraciones de estos iones deben tenerse en una disolucion para que la suma de los iones H+

y OH− sea mınima?


Prueba Intermedia de Seguimiento de Matematica Aplicada y Estadıstica - Grado en Farmacia 2009/10 - 23/11/09B

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . .

1. La velocidad de crecimiento, V , de una poblacion es funcion de la temperatura del medio (medida en gradoscentrıgados), t, y viene dada por la expresion:

V (t) =√

t− 1 ln(t− 1)

donde esta tenga sentido.

a) ¿Que ocurre con la velocidad cuando la temperatura se acerca a 1o C por la derecha? ¿Y si la temperaturase hace muy grande?

b) ¿Que temperaturas favorecen el desarrollo de la poblacion?, es decir, ¿para que valores de t es la velocidadde crecimiento es positiva?

c) ¿Para que valor de la temperatura se hace mınima la velocidad?

2. Un enfermo se mide la temperatura durante cuatro horas consecutivas. Los valores que ha obtenido son lossiguientes:

Dıas 1 2 3 4Temperatura 37 38 37 35.5

a) Obtener el polinomio de interpolacion.

b) Calcular la temperatura esperada para la quinta hora.


Prueba Intermedia de Seguimiento de Matematica Aplicada y Estadıstica - Grado en Farmacia 2009/10 - 23/11/09B

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . .

3. Dada la funcion

f(x) =e2x + 1ex − 1

,

a) Estudia el signo de f(x) en el intervalo [1, 2].

b) Calcula, razonadamente, el area del recinto limitado por la funcion f(x), el eje OX y las rectas verticalesx = 1 y x = 2.

4. El producto de los iones H+ y OH− en el agua es una constante que vale 10−12 en el sistema internacional demedidas. ¿Que concentraciones de estos iones deben tenerse en una disolucion para que la suma de los iones H+

y OH− sea mınima?


2a Prueba Intermedia de Seguimiento Matematica Aplicada y EstadısticaProfesor: Pedro Marın Rubio Grupo 6 - 2009/10

Nombre y apellidos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Los datos que siguen corresponden a los valores de la presion sanguınea sistolica en varones, asıcomo sus edades respectivas:

Edad en anos 16 20 30 40 50 60Presion 9 9.6 10 11 12.6 14

Se pide:

(a) Calcular el coeficiente de correlacion lineal. ¿Es razonable usar la recta de regresion para hacerpredicciones del valor de la presion en funcion de la edad de los varones?

(b) ¿Que valor de presion sanguınea se espera para un varon de 35 anos?

2. La estatura en centımetros de una poblacion dada sigue una normal de media 175 y desviaciontıpica desconocida. Sin embargo se conoce que la probabilidad de que un individuo elegido al azarde la poblacion este en el intervalo [173,177] es de 0’8. Hallar la desviacion tıpica.

3. El contenido de nicotina de unos cigarrillos sigue una distribucion normal con una desviacion tıpicade 1 mg. Se toma una muestra aleatoria de 36 cigarrillos con una media muestral de 3 mg.

(a) Obtenga un intervalo de confianza del 95% para el verdadero contenido promedio de nicotinade los cigarrillos.

(b) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es de 2, 9 mg., ¿que puede decirsede acuerdo con el intervalo hallado?

4. Los kilometros que un utilitario de cierta marca puede recorrer sin reparaciones importantes sigueuna Normal de media 220 (en miles de km) y desviacion tıpica 15 (en miles de km). La marca realizaunas mejoras en el modelo y en una muestra de 100 unidades de estos automoviles mejorados seobtiene una media de 225 (en miles de Km) con la misma desviacion. Plantee un test para contrastarla hipotesis de que las mejoras no han surtido efecto frente a que sı lo han hecho como parecenindicar los datos e indique la conclusion a la que se llega con un nivel de significacion del 5%.

Solucion:

1. (a) Llamaremos xi a los datos relativos a la edad, e yi a las presiones obtenidas. Para hallarr = SXY

SXSYnecesitamos previamente las medias

x =∑xi

6= 36; y =

∑yi

6= 11′0333,

ası como las desviaciones tıpicas, que a su vez se deducen de las varianzas respectivas:

S2X =

∑x2i

6− x2 = 246′66; S2

Y =∑y2i

6− y2 = 3′0855.

Esto implica queSX = 15′7056, SY = 1′7565.

Hallamos ahora la covarianza de ambos conjuntos de datos:

SXY =∑xiyi6

− xy = 27′1333.

Por tanto, r = 0′98351555. Como es un valor muy cercano a 1, sı es cierto que hay relacion linealentre ambas variables y las rectas de regresion nos son utiles para predecir valores.

(b) Tenemos el valor x = 35, y queremos asociarle un valor y. Hay dos posibles rectas de regresion,cualquiera de ellas genera un resultado valido.

Si usamos y − y = SXY

S2X

(x− x) e imponemos x = 35, obtenemos que y = 10′92333.

Por otro lado, si usamos la recta x − x = SXY

S2Y

(y − y), e imponemos x = 35, obtenemos y =10′9196151, que obviamente es un valor similar al anterior.

1

2. X = N(175, σ). Nos dicen queP (X ∈ [173, 177]) = 0′8.

Tras tipificar, se tiene que

P (Z =X − 175

σ∈[−2σ,

2σ

]) = 0′8.

Por simetrıa, esto implica que P (Z ∈ [0, 2/σ]) = 0′4, y por tanto P (Z ≤ 2/σ) = 0′9. Ahora usandola tabla de la distribucion de la normal estandar, obtenemos que 2/σ = 1′28 con lo que concluımosque σ = 1′5625.

3. X = N(µ, 1). Nos dan una muestra de tamano n = 36 y media muestral x = 3.

(a) El IC al 95%, es decir con 1−α = 0′95 implica que zα/2 = 1′96. La expresion del IC viene dadapor

IC = (x− zα/2σ√n, x+ zα/2

σ√n

) = (3− 1′9616, 3 + 1′96

16

) = (2′673333, 3′326666).

(b) Existen por tanto un 95% de posibilidades de que la media real este en el intervalo anterior,que es donde esta el valor 2’9 dicho por el fabricante. Resulta por tanto un valor creıble, o dichode otro modo, no es un valor que podamos rechazar.

4. Inicialmente hay dos planteamientos validos (ambos) para afrontar este problema, y conducen aconclusiones similares.

Planteamiento 1: Si hay mejora, deberıa tener un promedio de duracion estrictamente superioral promedio antiguo.

En este planteamiento el contraste de hipotesis unilateral que hay que realizar tiene como hipotesisde partida H0 : µ ≤ µ0 = 220. Mas aun, segun el enunciado se tiene X = N(220, 15). Obviamente,tomaremos como H1 la hipotesis de que µ > µ0.

Dada la muestra de tamano n = 100, y media muestral x = 225, como α = 0′05, zα = 1′645.

Por tanto la region de aceptacion de H0 sera (−∞, zα] = (−∞, 1′645], y la region crıtica o derechazo sera (1′645,+∞).

El estadıstico en este caso es

z =x− µ0

σ/√n

=225− 220

15/10= 3′3333,

que no pertenece a la region admisible sino a la region crıtica. Por tanto, y a un 95% de nivel deaceptacion, rechazamos la hipotesis H0 y efectivamente creemos que los nuevos vehıculos tienen unamejora en su funcionamiento.

Planteamiento 2: Preguntarse si la media continua siendo la misma o no. La respuesta negativacorresponde a que hay efectivamente un cambio en los nuevos modelos (puede que para mejor opara peor).

En este planteamiento el contraste de hipotesis bilateral que hay que realizar tiene como hipotesisde partida H0 : µ = µ0 = 220. Mas aun, segun el enunciado se tiene X = N(220, 15). Obviamente,tomaremos como H1 la hipotesis de que µ 6= µ0.

Dada la muestra de tamano n = 100, y media muestral x = 225, como α = 0′05, zα/2 = 1′96.

Por tanto la region de aceptacion de H0 sera [−zα/2, zα/2] = [−1′96, 1′96], y la region crıtica o derechazo sera R \ [−zα/2, zα/2].

El estadıstico en este caso es

z =x− µ0

σ/√n

=225− 220

15/10= 3′3333,

que no pertenece a la region admisible sino a la region crıtica. Por tanto, y a un 95% de nivel deaceptacion, rechazamos la hipotesis H0 y efectivamente creemos que los nuevos vehıculos tienen uncambio con respecto a los antiguos (supuestamente para mejor, cosa que se confirma estrictamentepor el planteamiento 1).

2


26 de Enero de 2010

Ejercicio 1: Estudiar el dominio, asıntotas, intervalos donde es creciente o decreciente, extremos, inter-valos donde es concava o convexa y los puntos de inflexion de la funcion

f(x) =x3

(x− 1)2.

Ejercicio 2: Las funciones f(x) = lnx y g(x) = 1/x tienen un unico punto de corte en el intervalo(0, +∞). Hallar justificadamente un intervalo donde se verifican las condiciones de la Regla de Fourier, yaplicar entonces el Metodo de Newton para obtener dos iteraciones.

Ejercicio 3: La Ley de Newton para la evolucion de la temperatura de un objeto es

T ′ = k(M − T ),

donde T (t) es la temperatura del objeto en el tiempo t (medido en horas), M es la temperatura ambientede la sala donde se deja el cuerpo, y k es una constante de proporcionalidad que depende de las propiedadesdel objeto y el entorno.

Se ha sacado una botella de vino de un sotano, donde estaba a 18◦, y subido a una sala que estaba auna temperatura ambiente de 27◦. Tras tres horas, la temperatura de la botella es de 25◦.

1. Calcula la solucion del (PC) dependiente de k.

2. Usar el dato T (3) = 25 para obtener k.

Ejercicio 4: La siguiente tabla representa la relacion entre la edad de gestacion (en semanas) de un fetoy su peso (en gramos):

Edad de gestacion (X) 28 29 31 33 35 38Peso (Y) 1350 1545 1800 2100 2600 3100

1. Calcular el coeficiente de correlacion lineal.

2. ¿Que edad aproximada tendra un feto de 2 kilos de peso? Analizar la fiabilidad de esta estimacion.

Tiempo: 3 horas.Puntuacion: Ejercicio 1: 4 puntos, Ejercicios 2, 3 y 4: 2 puntos.

Matematica Aplicada y Estadıstica. Primera convocatoria. (26–enero–2010)

Primer Parcial

Ejercicio 1: Estudiar el dominio, asıntotas, intervalos donde es creciente o decreciente, extremos,intervalos donde es concava o convexa y los puntos de inflexion de la funcion

f(x) =x3

(x− 1)2.

Ejercicio 2: Calcular el area encerrada por las graficas de las funciones f(x) = x3 − 1 y g(x) =10x2 − 24x− 1.

Ejercicio 3: Dado un segmento AB de longitud |AB | = 1 metro, determinar de que manera se hade dividir en dos partes AC, CB de manera que el producto |AC |3 ∗ |CB | sea maximo.

Ejercicio 4: El numero de turistas (en millones) en los ultimos anos en Espana sigue la siguientetabla:

Anos 2004 2005 2006 2007 2008Numero de turistas 52’4 55’9 58’2 59’2 57’4

Calcular el polinomio de interpolacion y estimar lo que ocurre en 2009.

Segundo Parcial

Ejercicio 5: La siguiente tabla representa la relacion entre la edad de gestacion (en semanas) de unfeto y su peso (en gramos):

Edad de gestacion (X) 28 29 31 33 35 38Peso (Y) 1350 1545 1800 2100 2600 3100

1. Calcular el coeficiente de correlacion lineal.

2. ¿Que edad aproximada tendra un feto de 2 kilos de peso? Analizar la fiabilidad de esta esti-macion.

Ejercicio 6: Sea X la variable aleatoria numero de horas que tarda un determinado medicamentoen ser absorbido tras su administracion oral. Supongamos que dicha variable aleatoria sigue unadistribucion normal de media desconocida y desviacion tıpica 3. Sabiendo que

P (X < 10) = 0′8.

Se pide:

1. Calcular la media de la variable anterior.

Tomar a partir de ahora µ = 7′45.

2. Hallar la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores comprendidos entre 6 y 10.

Ejercicio 7: Se sabe que la estatura de las personas de una ciudad sigue una distribucion normalcon desviacion tıpica 0′4m. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas esde 1′75m.

1. Calcule un intervalo de un 95% de confianza para la media de las estaturas de la poblacion.

2. ¿Cual serıa el mınimo tamano muestral necesario para que pueda decirse que la verdaderamedia de las estaturas esta a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel de confianzadel 90%?

Ejercicio 8: En una comunidad autonoma se desea estudiar el numero medio de hijos por mujer apartir de los datos disponibles en cada municipio. Se supone que este numero sigue una distribucionNormal con desviacion tıpica igual a 0′08. El valor medio de estos datos para 36 municipios resultaser de 1′17 hijos por mujer. Se desea contrastar con un nivel de significacion de 0′01 si el numeromedio de hijos por mujer en la comunidad es de 1′25.

Plantee un test para contrastar la hipotesis y obtenga la conclusion.

Los alumnos con el primer parcial deben hacer los ejercicios 1, 2, 3 y 4, con la puntuacion3 puntos, 3 puntos, 2 puntos y 2 puntos, respectivamente. Los alumnos con el segundoparcial deben hacer los ejercicios 5, 6, 7 y 8, con la puntuacion 2,5 puntos cada ejercicio.Los alumnos con toda la materia deben hacer los ejercicios 1, 2, 5, 7 y 8 con la puntuacion3 puntos, 2 puntos, 2 puntos, 1,5 puntos y 1,5 puntos, respectivamente.

Tiempo: 2 horas para los que vayan con un parcial, 3 horas para los que vayan con laasignatura completa.

Matematica Aplicada y Estadıstica Tipo 1 - 23/11/2010Prueba Intermedia de Seguimiento Grupo 5 - Prof. Pedro Marın Rubio

1. Calcula dominio, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y mınimos, zonas de concavi-dad y convexidad, y puntos de inflexion para la funcion:

g(x) = xex2.

2. La concentracion de un compuesto organico en un embalse viene dada, en funcion del tiempo t, medido endıas, por

C(t) =1 + t

ett > 0.

Sabiendo que la concentracion media en los 5 primeros dıas es

15

∫ 5

0

C(t)dt,

determine por el metodo de los trapecios una aproximacion de la concentracion media en los 5 primeros dıas.(Tomar n = 5).

3 Calcular la siguiente integral: ∫x5 + x4 + 1

x3 + x2dx.

4 Para fabricar dos tipos de cable, A y B, que se venderan a 150 y 100 euros el hectometro (Hm), respectivamente,se emplean 16Kg de plastico y 4Kg de cobre para cada Hm del tipo A, y 6Kg de plastico y 12Kg de cobre paracada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doblede la del tipo A y que, ademas, no pueden emplearse mas de 252Kg de plastico ni mas de 168Kg de cobre,determina la longitud de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida ensu venta sea maxima.

Solucion:

1. La funcion es continua y derivable en todo R por algebra y composicion de funciones elementales. Por tanto,dom(g) = R.

Al ser su dominio todo R, y ser continua en dicho dominio, no es posible que en ningun punto a ∈ R,ocurra limx→a f(x) = ∞, con lo que no existen asıntotas verticales. Ademas, en este caso es claro quelimx→±∞ f(x) = ±∞ con lo que tampoco hay asıntotas horizaontales. Por ultimo, en este sentido, se tieneque limx→±∞ f(x)/x = limx→±∞ ex2

= +∞, con lo que no hay asıntotas oblıcuas.

La derivada de la funcion g es g′(x) = ex2(1 + 2x2), que claramente tiene signo siempre positivo. Ello implica

que g es estrictamente creciente en todo su dominio, y que no posee extremos (ni maximo ni mınimo) nirelativos ni absolutos.

La derivada segunda de la funcion g es g′′(x) = ex22x(2x2 + 3), de donde queda claro que el signo varıa con el

signo de x. Esto es, g′′(x) > 0 si x > 0 (ahı g es convexa), g′′(x) < 0 si x < 0 (ahı g es concava), y g′′(0) = 0.El valor x = 0 es un punto de inflexion.

La representacion grafica de g es como sigue:

2. La regla del trapecio para aproximar una integral es∫ b

a

f(x)dx ∼ h

2(f(a) + 2(f(x1) + . . . + f(xn−1)) + f(b)),

donde h = (b− a)/n, x0 = a, xi+1 = xi + h para todo i = 0, . . . , n− 1.

En el caso concreto que nos dan, ocurre que h = (5−0)/5 = 1, y por tanto los valores {xi}5i=0 son los numeros0, 1, 2, 3, 4 y 5. Ası, la aproximacion de la integral es∫ 5

0

C(t)dt =12

[1 + 2

(2e

+3e2

+4e3

+5e4

)+

6e5

]= 1′9908314.

Por tanto, la aproximacion que nos piden del valor medio es

c =15

∫ 5

0

C(t)dt ∼ 15

1′9908314 = 0′3996628.

3. Para calcular la integral que piden (que es de tipo racional), primero debemos manipular la fraccion, ya queel grado del numerador es mayor que el del denominador.

Dividiendo, se tiene quex5 + x4 + 1

x3 + x2= x2 +

1x3 + x2

,

donde al ultimo sumando tambien debemos tratarlo descomponiendo en sus raıces al denominador (observeseque la raız 0 es multiple). Concretamente, se tiene que existen valores numericos A, B y C tales que

1x3 + x2

=A

x+

B

x2+

C

x + 1.

Operando en la igualdad anterior, dejando el mismo denominador en ambos lados, igualando entonces numer-adores, y sustituyendo valores de x adecuados, no es difıcil concluir que A = −1, B = C = 1.

2

Por todo ello, la integral que pedıan calcular al principio es la siguiente:∫x5 + x4 + 1

x3 + x2dx =

∫ (x2 − 1

x+

1x2

+1

x + 1

)dx

=x3

3− ln |x| − 1

x+ ln |x + 1|

=x3

3− 1

x+ ln

∣∣∣∣x + 1x

∣∣∣∣+ C.

4. Llamemos x al numero de hectometros de tipo A fabricados, e y al numero de hectometros de tipo B fabricados.La funcion objetivo es f(x, y) = 150x + 100y, la cual se pretende maximizar, cuando (x, y) pertenecen a unaregion concreta, que es la region factible, dada por las siguientes restricciones.

D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, y; y ≤ 2x; 16x + 6y ≤ 252; 4x + 12y ≤ 168}.

La region del plano que cumple todas las restricciones anteriores es

donde a = (6, 12), b = (12, 10), c = (15′75, 0) y el ultimo vertice es el origen de coordenadas (0, 0). Esos puntosson los candidatos para que f alcance el maximo, siendo los valores

f(0, 0) = 0; f(6, 12) = 2100; f(12, 10) = 2800; f(15′75, 0) = 2362′5.

Por tanto, el maximo beneficio se alcanza generando 12 hectometros del tipo A y 10 hectometros del tipo B.

3

Matematica Aplicada y Estadıstica Tipo 2 - 23/11/2010Prueba Intermedia de Seguimiento Grupo 5 - Prof. Pedro Marın Rubio

1. Calcula dominio, asıntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y mınimos, zonas de concavi-dad y convexidad, y puntos de inflexion para la funcion:

g(x) = xe−x2.

2. Durante cinco dıas, la concentracion de un compuesto organico en un embalse viene dada en funcion deltiempo t, medido en dıas, por

C(t) =5− t

ett ∈ [0, 5].

Sabiendo que la concentracion media en esos cinco dıas es

15

∫ 5

0

C(t)dt,

determine por el metodo de los trapecios una aproximacion de la concentracion media en esos cinco dıas.(Tomar n = 5).

3 Calcular la siguiente integral: ∫x5 − x4 + x + 1

x3 − x2dx.

4 Para fabricar dos tipos de cable, A y B, que se venderan a 60 y 240 euros el hectometro (Hm), respectivamente,se emplean 12Kg de plastico y 3Kg de cobre para cada Hm del tipo A, y 8Kg de plastico y 11Kg de cobrepara cada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que seisveces la del tipo A y que, ademas, no pueden emplearse mas de 120Kg de plastico ni mas de 138Kg de cobre,determina la longitud de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida ensu venta sea maxima.

Solucion:

1. Al tratarse de algebra y composicion de funciones elementales que son continuas y derivables en todo R, setiene que dom(g) = R, y que ahı la funcion es tambien continua y derivable.

Por esta razon, no puede haber ningun punto a ∈ R donde limx→a f(x) = ±∞, por lo que g no posee asıntotasverticales.

Sin embargo, sı es claro que posee asıntotas horizontales en ambos sentidos, ya que limx→±∞ g(x) = 0, usandopara resolver la indeterminacion ∞ · 0 la Regla de L’Hopital:

limx→∞

g(x) = limx→∞

x

ex2 = limx→∞

12xex2 = 0.

Esto tambien nos dice que g no posee asıntotas oblıcuas, al tener horizontales.

Como g′(x) = e−x2(1 − 2x2), y la exponencial siempre es positiva, el signo de g′ depende del polinomio

1 − 2x2, cuyo analisis de signo es simple: g′(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1/√

2) ∪ (1/√

2, +∞) y g′(x) > 0si x ∈ (−1/

√2, 1/√

2). Por tanto, g es decreciente en (−∞,−1/√

2) ∪ (1/√

2, +∞) y g es creciente en(−1/

√2, 1/√

2). En particular se tiene que g posee mınimo en x = −1/√

2 y maximo en x = 1/√

2. Di-chos extremos no son solo relativos, sino absolutos (conclusion a la que se llega usando que g tiene asıntotahorizontal en y = 0).

La derivada segunda de g es g′′(x) = −2xe−x2(3− 2x2), donde el signo de g′′ es el mismo que el que tenga el

polinomio −2x(3− 2x2), cuya factorizacion y analisis son faciles: g′′(x) < 0 si x ∈ (−∞,−√

3/2 ∪ (0,√

3/2)(siendo ahı g concava) y g′′(x) > 0 si x ∈ (−

√3/2, 0) ∪ (

√3/2, +∞) (siendo ahı g convexa). Los puntos

x = ±√

3/2 y x = 0 son puntos de inflexion.

La representacion grafica de y = g(x) es como sigue:

2. La regla del trapecio para aproximar una integral es∫ b

a

f(x)dx ∼ h

2(f(a) + 2(f(x1) + . . . + f(xn−1)) + f(b)),

donde h = (b− a)/n, x0 = a, xi+1 = xi + h para todo i = 0, . . . , n− 1.

En el caso concreto que nos dan, ocurre que h = (5−0)/5 = 1, y por tanto los valores {xi}5i=0 son los numeros0, 1, 2, 3, 4 y 5. Ası, la aproximacion de la integral es∫ 5

0

C(t)dt =12

[1 + 2

(4e

+3e2

+2e3

+1e4

)+ 0]

= 4′4954134.

Por tanto, la aproximacion que nos piden del valor medio es

c =15

∫ 5

0

C(t)dt ∼ 15

4′4954134 = 0′8990826.

3. Para calcular la integral que piden (que es de tipo racional), primero debemos manipular la fraccion, ya queel grado del numerador es mayor que el del denominador.

Dividiendo, se tiene quex5 − x4 + x + 1

x3 − x2= x2 +

x + 1x3 − x2

,

donde al ultimo sumando tambien debemos tratarlo descomponiendo en sus raıces al denominador (observeseque la raız 0 es multiple). Concretamente, se tiene que existen valores numericos A, B y C tales que

x + 1x3 − x2

=A

x+

B

x2+

C

x− 1.

Operando en la igualdad anterior, dejando el mismo denominador en ambos lados, igualando entonces numer-adores, y sustituyendo valores de x adecuados, no es difıcil concluir que A = −2, B = −1 y C = 2.

2

Por todo ello, la integral que pedıan calcular al principio es la siguiente:∫x5 − x4 + x + 1

x3 − x2dx =

∫ (x2 − 2

x− 1

x2+

2x− 1

)dx

=x3

3− 2 ln |x|+ 1

x+ 2 ln |x− 1|

=x3

3+

1x

+ 2 ln∣∣∣∣x− 1

x

∣∣∣∣+ C.

4. Llamemos x al numero de hectometros de tipo A fabricados, e y al numero de hectometros de tipo B fabricados.La funcion objetivo es f(x, y) = 60x + 240y, la cual se pretende maximizar, cuando (x, y) pertenecen a unaregion concreta, que es la region factible, dada por las siguientes restricciones.

D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, y; y ≤ 6x; 12x + 8y ≤ 120; 3x + 11y ≤ 138}.

La region del plano que cumple todas las restricciones anteriores es

donde a = (2, 12), b = (10, 0), y el ultimo vertice es el origen de coordenadas (0, 0). Esos puntos son loscandidatos para que f alcance el maximo, siendo los valores

f(0, 0) = 0; f(2, 12) = 3000; f(10, 0) = 600.

Por tanto, el maximo beneficio se alcanza generando 2 hectometros del tipo A y 12 hectometros del tipo B.

3

Matematica Aplicada y Estadıstica Grupo 5 : 18-19/01/20112a Prueba Intermedia de Seguimiento Prof. Pedro Marın Rubio

1. En un experimento para estudiar la relacion que hay entre la dosis de un medicamento y el tiempo de reaccionde una persona estimulada delante de una senal auditiva, se han elegido los datos siguientes:

Dosis (mg) 1 3 4 7 9Tiempo (s) 3’5 2’4 2’1 1’3 1’2

(a) Calcula el coeficiente de correlacion entre la dosis y el tiempo. ¿Crees que el tiempo de reaccion dependede la dosis?

(b) Calcula la recta de regresion del tiempo sobre la dosis. ¿Que tiempo se puede esperar al dar a un pacienteuna dosis de 5 mg.?

2. Se sabe que el tiempo de espera, en minutos, de los pacientes de un servicio de urgencias sigue una distribucionnormal. Se eligen al azar 16 pacientes y se observa que la media de espera es 14 minutos con una cuasidesviaciontıpica de 4 minutos.

(a) Calcular el intervalo de confianza para la media poblacional al 99 % de nivel de confianza.

(b) Si posteriormente conocemos la desviacion tıpica poblacional, σ = 5 minutos, obtener un nuevo intervalode confianza utilizando la misma muestra y nivel de confianza del 95%.

3. El tamano de los individuos de una poblacion sigue una distribucion normal N(µ, σ). Se sabe que el porcentajede individuos que mide menos de 53′2 cm es del 20 % y el porcentaje de individuos que mide entre 53′2 cm y75 cm es del 40%. Se pide:

(a) Calcular razonadamente el valor de la media µ y de la desviacion tıpica σ.

(b) Sabiendo que µ = 70 y σ = 20, calcular el porcentaje de individuos que miden menos de 60 cm.

(c) Hallar un valor k tal que el 30% de los individuos tengan un tamano superior a k.

4. La altura de los individuos de una ciudad sigue una ley normal con desviacion tıpica 10 cm.

(a) Deducir el tamano mınimo que debe tener una muestra para tener una confianza del 95 % de que el errormaximo de estimacion de la altura media de los individuos de dicha ciudad no supera los 6 cm.

(b) Calcular el nivel de confianza de una muestra de tamano 25 que indique que la media poblacionalesta comprendida entre 163’75 y 176’25 cm.

Puntuacion: 2’5 puntos cada ejercicio. Subapartados de los ejercicios 1, 2 y 4: 1’25 puntos. Subapartados delejercicio 3: 1, 1 y 0’5 puntos respectivamente.

Solucion:

1. Llamamos X a la variable estadıstica de las dosis, e Y a la de los tiempos de reaccion. Se tienen los siguientesresultados:

(a) las medias son x =∑

xi

5 = 4′8, y =∑

yi

5 = 2′1.

Por otro lado, las varianzas valen s2X =

∑x2

i

5 − x2 = 8′16, s2Y =

∑y2

i

5 − y2 = 0′7. Por tanto, susdesviaciones tıpicas son sX =

√s2

X = 2′85657137 y sY =√

s2Y = 0′83666003.

La covarianza entre ambas variables es sXY =∑

xiyi

5 − xy = −2′28.

Por ultimo, el coeficiente de correlacion lineal de Pearson vale r = sSY

sXsY= −0′95398325. Al estar muy

cercano a 1 en valor absoluto, implica que hay una correlacion lineal fuerte entre ambas variables.

(b) La recta de regresion pedida es y − y = sXY

s2X

(x − x), que en este caso equivale a la formula y =−0′27941176x + 3′44117647. En particular, si sustituimos x = 5 en la formula anterior, obtenemosque el tiempo de reaccion asociado es y = 2′0441179 sg.

2. Llamemos X a la variable aleatoria del tiempo de espera en el hospital. Tenemos que X ∼ N(µ, σ) con ambosparametros desconocidos. Por otro lado, con la notacion habitual para una muestra, tenemos n = 16, x = 14,y s = 4.

(a) Si se pide que 1 − α = 0′99, el IC= (x − tn−1,α/2s√n, x + tn−1,α/2

s√n), del que conocemos todos los

elementos menos tn−1,α/2, se calcula del siguiente modo.La t de Student de grado 15 asociada (α/2 = 0′005) al valor 0′995 = 1− α/2 es tn−1,α/2 = 2′9467. Portanto, IC= (11′05333, 16′9467).

(b) Supongamos ahora σ = 5 y 1 − α = 0′95. Entonces la formula para el IC es (x − zα/2σ√n, x + zα/2

σ√n),

donde de nuevo el unico elemento desconocido y a calcular es zα/2.

Como 1− α/2 = 0′975, se tiene que zα/2 = 1′96, de donde IC= (11′55, 16′45).

3. La v.a. X (tamano de la poblacion) sigue una ley de tipo N(µ, σ) con ambos parametros desconocidos.

(a) Tenemos los datos siguientes: P (X < 53′2) = 0′2 y P (53′2 < X < 75) = 0′4. Esto en particular implicaque P (X < 75) = 0′6.

Con la notacion usual de Z para la normal estandar,

P (Z <53′2− µ

σ) = 0′2 ⇒ P (Z >

µ− 53′2σ

) = 0′2 ⇒ P (Z <µ− 53′2

σ) = 0′8.

Esta ultima afirmacion, ası como que P (Z < 75−µσ ) = 0′6, implican (de forma aproximada) que

75− µ

σ= 0′25,

µ− 53′2σ

= 0′84.

Si resolvemos el sistema anterior, obtenemos µ = 70 y σ = 20.

(b) Ahora partimos (justificadamente a partir del apartado anterior) de que µ = 70 y σ = 20. Se pide, paraX ∼ N(70, 20), calcular el porcentaje de individuos con tamano inferior a 60.Para ello, primero calculamos P (X < 60).

P (X < 60) = P (Z <60− 70

20) = P (Z < −0′5) = P (Z > 0′5) = 1− P (Z < 0′5) = 1− 0′6915 = 0′3085.

Por tanto, el porcentaje requerido es 30’85 %.

(c) Se pide hallar k ∈ R tal que P (X > k) = 0′3, o lo que es lo mismo, tal que P (X < k) = 0′7. Tipificando,tenemos que P (Z < k−70

20 ) = 0′7. Buscando en la tabla de la normal estandard, aproximamos el ultimovalor:

k − 7020

= 0′525,

de donde, despejando, concluimos que k = 80′5 aproximadamente.

4. La altura de los individuos en la ciudad la denotaremos por la v.a. X ∼ N(µ, σ), donde σ = 10.

(a) Nos piden, para el valor 1−α = 0′95, que obtengamos el valor mınimo muestral n tal que el error maximodel IC sea E = zα/2

σ√n≤ 6. Como el valor zα/2 de la normal estandar asociado a 1− α = 0′95 es 1′96,

despejando en la desigualdad anterior, llegamos a que 3′2666 <√

n, es decir, 10′67111 < n, por lo que eltamano mınimo de la muestra ha de ser 11.

(b) Ahora es conocido n = 25, el tamano de la muestra. Nos dicen que el IC= (163′75, 176′25). Por tanto,

176′25− 163′75 = 12′5 = b− a = 2zα/2σ√n⇒ zα/2 = 3′125.

Como para este valor de zα/2 tenemos que P (Z < zα/2) = 1− α/2 = 0′9991, despejando deducimos queα = 0′0018 y por tanto el nivel de confianza que se pedıa, vale 1− α = 0′9982.

2

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada y Estadıstica, 21 y 22 de noviembre de 2011 Tipo 1Grado de Farmacia. Curso 2011-12. Grupo 1 (Prof. Pedro Marın Rubio)

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 ptos. Ejercicio 1 Estudiar la funcion

y = ln(x + 2) + ln(1 − x),

indicando el dominio de definicion, los puntos de corte con los ejes, las asıntotas, los intervalos de mono-tonıa, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexion. Dibujarla grafica de la funcion.

1.5 ptos. Ejercicio 2 Dependiendo de la profundidad de inmersion y del tiempo de buceo, losbuceadores saben que han de hacerse paradas de descompresion a fin de evitar la intoxicacion de la sangrepor nitrogeno. La tabla siguiente da el tiempo maximo de inmersion a cada profundidad, sin necesidadde efectuar descompresion.

Profundidad (m) 20 30 35 40

Tiempo (min) 60 30 25 20

Calcular el polinomio de interpolacion que relaciona la profundidad de inmersion y el tiempo de buceosin descompresion. Obtener el tiempo maximo de inmersion que se preve para una profundidad de 42 m.

3 ptos. Ejercicio 3 Calcular el area encerrada por las curvas

f(x) =1

x − 1y g(x) =

x

x + 3

y las rectas x = 2 y x = 5.

2 ptos. Ejercicio 4 Una esmeralda pesa 16 grs. y sabemos que su valor es 10 veces el cuadrado sesu peso. Si se parte en dos trozos la esmeralda, hallar el peso que debe tener cada uno de ellos para queel valor total sea mınimo.

Solucion

Ejercicio 1 El dominio de la funcion y = ln(x + 2) + ln(1 − x) es donde tenga sentido hacer la

suma. Dado que ln(x+2) es posible calcularlo si x+2 > 0, y ln(1−x) tiene sentido si 1−x > 0, para queambos sumandos tengan sentido, debemos considerar el conjunto que cumpla a la vez las dos restriccionesx + 2 > 0 y 1 − x > 0, es decir,

dom[ln(x + 2) + ln(1 − x)] = {x ∈ R : x > −2, 1 > x} = (−2, 1).

En dicho dominio, al tratarse de una funcion compuesta a partir de funciones elementales, tenemos quees una funcion continua y derivable en todo ese intervalo.

Los puntos de corte con los ejes son: de un lado el (0, ln 2), que es corte con el eje OY (simplementesustituyendo x = 0 ∈dom[y]; la interseccion con el eje OX se tiene cuando ln(x + 2) + ln(1 − x) = 0. Siestamos en un punto del dominio de la funcion, entonces

ln(x + 2) + ln(1 − x) = ln[(x + 2)(1 − x)]

1

y por tanto lo que hay que resolver es ln[(x + 2)(1 − x)] = 0, o equivalentemente (x + 2)(1 − x) = 1.Desarrollando la ecuacion anterior (de segundo grado), tenemos

−x2− x + 2 = 1 ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =

−1 +√

5

2∼ {0′618,−1′618}.

Observamos que ambos puntos estan en el dominio de la funcion, y por tanto son realmente puntos decorte con el eje OX.

Estudio de asıntotas. Como la funcion solo esta definida en (−2, 1), no tiene sentido plantearsebuscar asıntotas horizontales u oblıcuas (ya que no podemos tomar lımites con x tendiendo a ±∞). Loque sı tendrıa sentido es plantearse buscar asıntotas verticales. Como lim

x→0+ln x = −∞, y la funcion es

suma de dos logaritmos, es claro que los valores candidatos son x = 2 y x = −1. Ademas, en el resto de lospuntos del intervalo (−2, 1), la funcion esta bien definida, por lo que no puede haber ninguna explosionni por tanto ninguna asıntota vertical. En el caso de x = −2, como

limx→−2+

ln(1 − x) = ln(1 − x)|x=−2 = ln 3, limx→−2+

ln(x + 2) = −∞,

es claro que la suma de ambas funciones (por algebra de lımites) verifica

limx→−2+

ln(x + 2) + ln(1 − x) = −∞.

Por tanto, existe una asıntota vertical en x = −2, y usando el mismo argumento, la funcion posee otraasıntota vertical en x = 1.

Intervalos de monotonıa y extremos relativos. Como sabemos que la funcion es derivable en elintervalo (−2, 1), usamos las reglas usuales de derivacion, y tenemos

y′ =1

x + 2−

1

1 − x=

1 − x − x − 2

(x + 2)(1 − x)=

−2x − 1

(x + 2)(1 − x).

El signo de la funcion es positivo cuando x ∈ (−2,−1/2), y negativo si x ∈ (−1/2, 1). Por tanto, la funciones creciente si x ∈ (−2,−1/2), y decreciente si x ∈ (−1/2, 1); ademas, la funcion posee un maximo (relativoy absoluto) en x = −1/2. Finalmente, por el analisis previo de asıntotas verticales, la funcion no estaacotada inferiormente (por tanto, no tiene ni ınfimo ni mucho menos mınimo).

Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexion. Calculamos la segunda derivaday analizamos su signo.

y′′ =−1

(x + 2)2−

1

(1 − x)2=

−(1 − x)2 − (x + 2)2

(x + 2)2(1 − x)2=

−2x2− 2x − 5

(x + 2)2(1 − x)2.

El signo de esta funcion es el del numerador, ya que el denominador es siempre positivo. Cuando buscamoslas raıces de 2x2 +2x+5 = 0, obtenemos que no tiene raıces reales (discriminante estrictamente negativo),y por tanto tiene signo constante. Damos un valor cualquiera a −2x2

− 2x − 5, por ejemplo, x = 0, ytenemos que signo[y′′] es negativo. Por tanto la funcion es siempre concava y no posee puntos de inflexion.

Representacion grafica. Es posible, a partir de todo lo anterior, representar la funcion.

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

2

Ejercicio 2 Como la pregunta final para este problema de interpolacion polinomica requiere calcu-lar el tiempo esperado asociado a una profundidad de 42 m, asignaremos a la profundidad la variableindependiente (x), y el tiempo sera la variable dependiente (y).

Aplicamos el metodo de diferencias divididas de Newton,

x y

20 60−30/10 = −3

30 30 2/15−5/5 = −1 −2/(15 · 20) = −1/150

35 25 0−5/5 = −1

40 20

que implica que el polinomio de interpolacion es

p(x) = 60 − 3(x − 20) +2

15(x − 20)(x − 30) −

1

150(x − 20)(x − 30)(x − 35).

Como no es una expresion especialmente breve, no desarrollaremos los productos, y lo dejaremos ası,donde resulta mas facil evaluar p(42) = 16′88.

Ejercicio 3 El signo de ambas funciones en el intervalo [2, 5] es positivo. Sin embargo, se puedecalcular que la posicion de las graficas de ambas curvas cambia, en un intervalo f esta por encima de g,

y en otro intervalo g esta por encima de f. Para ello, resolvemos la ecuacion

f(x) = g(x) ⇔ x + 3 = x(x − 1) ⇔ x2− 2x − 3 = 0 ⇔ x ∈ {−1, 3}.

En el intervalo [2, 5] solo afecta el valor x = 3, siendo la situacion la siguiente:

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

El area solicitada corresponde a

A =

∫ 3

2(f(x) − g(x))dx +

∫ 5

3(g(x) − f(x))dx.

Antes de aplicar la regla de Barrow, calculamos primitivas para ambas funciones (la de f(x) es inmediata,y es la de g(x) la que necesita un poco de calculo):

∫

x

x + 3dx =

∫

x + 3 − 3

x + 3dx =

∫(

1 −

3

x + 3

)

dx = x − 3 ln |x + 3|.

3

Por tanto,∫

(

1

x − 1−

x

x + 3

)

dx = ln |x − 1| − x + 3 ln |x + 3|.

Ası, tenemos que

A = [ln |x − 1| − x + 3 ln |x + 3|]32 + [ln |x − 1| − x + 3 ln |x + 3|]53

= ln 2 − 3 + 3 ln 6 − (−2 + 3 ln 5) + 5 − ln 4 − 3 ln 8 − (3 − ln 2 − 3 ln 6)

= 2 ln 2 + 6 ln 6 − ln 4 − 3 ln 5 − 3 ln 8 + 1

∼ 0′68391845.

Ejercicio 4 Denotemos por x e y al peso de los dos trozos en que se separa la esmeralda, es decir,

x + y = 16. Queremos minimizar la funcion valor(x, y) = 10x2 + 10y2.

Si escribimos el problema en una sola variable (despejando y = 16−x), tenemos el siguiente problemade minimizacion para la funcion v(x) = 10(x2 + (16 − x)2) : min

x∈[0,16]v(x).

Como v′(x) = 20(x− (16− x)), es claro que el signo de v′ es negativo entre 0 y 8, y positivo entre 8 y16. Por tanto, para x = 8, v posee un mınimo (relativo y absoluto).

Por tanto, el valor mınimo se consigue separando la esmeralda en dos trozos, ambos de 8 gr.

4

1a Prueba Intermedia Matematica Aplicada y Estadıstica, 21 y 22 de noviembre de 2011 Tipo 2Grado de Farmacia. Curso 2011-12. Grupo 1 (Prof. Pedro Marın Rubio)

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 ptos. Ejercicio 1 Estudiar la funcion

y = ln[(x + 2)(1 − x)],

indicando el dominio de definicion, los puntos de corte con los ejes, las asıntotas, los intervalos de mono-tonıa, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexion. Dibujarla grafica de la funcion.

1.5 ptos. Ejercicio 2 Dependiendo de la profundidad de inmersion y del tiempo de buceo, losbuceadores saben que han de hacerse paradas de descompresion a fin de evitar la intoxicacion de la sangrepor nitrogeno. La tabla siguiente da el tiempo maximo de inmersion a cada profundidad, sin necesidadde efectuar descompresion.

Profundidad (m) 20 30 35 40

Tiempo (min) 65 35 30 25

Calcular el polinomio de interpolacion que relaciona la profundidad de inmersion y el tiempo de buceosin descompresion. Obtener el tiempo maximo de inmersion que se preve para una profundidad de 42 m.

3 ptos. Ejercicio 3 Calcular el area encerrada por las curvas

f(x) =2

x − 1y g(x) =

2x

x + 3

y las rectas x = 2 y x = 5.

2 ptos. Ejercicio 4 Una piedra preciosa pesa 20 grs. y sabemos que su valor es 12 veces el cuadradose su peso. Si se parte en dos trozos la piedra preciosa, hallar el peso que debe tener cada uno de ellospara que el valor total sea mınimo.

Solucion

Ejercicio 1 El dominio de la funcion y = ln[(x + 2)(1 − x)] es donde (x + 2)(1 − x) > 0, es decir,

dom[ln[(x + 2)(1 − x)]] = (−2, 1).

En dicho dominio, al tratarse de una funcion compuesta a partir de funciones elementales, tenemos quees una funcion continua y derivable en todo ese intervalo.

Los puntos de corte con los ejes son: de un lado el (0, ln 2), que es corte con el eje OY (simplementesustituyendo x = 0 ∈dom[y]; la interseccion con el eje OX se tiene cuando ln[(x+2)(1−x)] = 0. Por tantohay que resolver (x + 2)(1 − x) = 1. Desarrollando la ecuacion anterior (de segundo grado), tenemos

−x2− x + 2 = 1 ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =

−1 +√

5

2∼ {0′618,−1′618}.

Observamos que ambos puntos estan en el dominio de la funcion, y por tanto son realmente puntos decorte con el eje OX.

1

Estudio de asıntotas. Como la funcion solo esta definida en (−2, 1), no tiene sentido plantearsebuscar asıntotas horizontales u oblıcuas (ya que no podemos tomar lımites con x tendiendo a ±∞). Loque sı tendrıa sentido es plantearse buscar asıntotas verticales. Como lim

x→0+ln x = −∞, es claro que los

valores candidatos son x = 2 y x = −1. Ademas, en el resto de los puntos del intervalo (−2, 1), la funcionesta bien definida, por lo que no puede haber ninguna explosion ni por tanto ninguna asıntota vertical.En el caso de x = −2, como

limx→−2+

ln(1 − x) = ln(1 − x)|x=−2 = ln 3, limx→−2+

ln(x + 2) = −∞,

es claro quelim

x→−2+ln[(x + 2)(1 − x)] = lim

x→−2+ln(x + 2) + ln(1 − x) = −∞.

Por tanto, existe una asıntota vertical en x = −2, y usando el mismo argumento, la funcion posee otraasıntota vertical en x = 1.

Intervalos de monotonıa y extremos relativos. Como sabemos que la funcion es derivable en elintervalo (−2, 1), usamos las propiedades de derivacion (y la regla de la cadena) obteniendo

y′ =−2x − 1

(x + 2)(1 − x).

El signo de la funcion es positivo cuando x ∈ (−2,−1/2), y negativo si x ∈ (−1/2, 1). Por tanto, la funciones creciente si x ∈ (−2,−1/2), y decreciente si x ∈ (−1/2, 1); ademas, la funcion posee un maximo (relativoy absoluto) en x = −1/2. Finalmente, por el analisis previo de asıntotas verticales, la funcion no estaacotada inferiormente (por tanto, no tiene ni ınfimo ni mucho menos mınimo).

Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexion. Calculamos la segunda derivaday analizamos su signo.

y′′ =−2x2

− 2x − 5

(x + 2)2(1 − x)2.

El signo de esta funcion es el del numerador, ya que el denominador es siempre positivo. Cuando buscamoslas raıces de 2x2 +2x+5 = 0, obtenemos que no tiene raıces reales (discriminante estrictamente negativo),y por tanto tiene signo constante. Damos un valor cualquiera a −2x2

− 2x − 5, por ejemplo, x = 0, ytenemos que signo[y′′] es negativo. Por tanto la funcion es siempre concava y no posee puntos de inflexion.

Representacion grafica. Es posible, a partir de todo lo anterior, representar la funcion.

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

Ejercicio 2 Como la pregunta final para este problema de interpolacion polinomica requiere calcu-lar el tiempo esperado asociado a una profundidad de 42 m, asignaremos a la profundidad la variableindependiente (x), y el tiempo sera la variable dependiente (y).

2

Aplicamos el metodo de diferencias divididas de Newton,

x y

20 65−30/10 = −3

30 35 2/15−5/5 = −1 −2/(15 · 20) = −1/150

35 30 0−5/5 = −1

40 25

que implica que el polinomio de interpolacion es

p(x) = 65 − 3(x − 20) +2

15(x − 20)(x − 30) −

1

150(x − 20)(x − 30)(x − 35).

Como no es una expresion especialmente breve, no desarrollaremos los productos, y lo dejaremos ası,donde resulta mas facil evaluar p(42) = 21′88.

Ejercicio 3 El signo de ambas funciones en el intervalo [2, 5] es positivo. Sin embargo, se puedecalcular que la posicion de las graficas de ambas curvas cambia, en un intervalo f esta por encima de g,

y en otro intervalo g esta por encima de f. Para ello, resolvemos la ecuacion

f(x) = g(x) ⇔ x + 3 = x(x − 1) ⇔ x2− 2x − 3 = 0 ⇔ x ∈ {−1, 3}.

En el intervalo [2, 5] solo afecta el valor x = 3, siendo la situacion la siguiente:

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.5

1.0

1.5

2.0

El area solicitada corresponde a

A =

∫ 3

2(f(x) − g(x))dx +

∫ 5

3(g(x) − f(x))dx.

Antes de aplicar la regla de Barrow, calculamos primitivas para ambas funciones (la de f(x) es inmediata,y es la de g(x) la que necesita un poco de calculo):

∫

x

x + 3dx =

∫

x + 3 − 3

x + 3dx =

∫(

1 −

3

x + 3

)

dx = x − 3 ln |x + 3|.

Por tanto,∫

(

1

x − 1−

x

x + 3

)

dx = ln |x − 1| − x + 3 ln |x + 3|.

3

Ası, tenemos que

A = 2[ln |x − 1| − x + 3 ln |x + 3|]32 + 2[ln |x − 1| − x + 3 ln |x + 3|]53

= 2(ln 2 − 3 + 3 ln 6 − (−2 + 3 ln 5) + 5 − ln 4 − 3 ln 8 − (3 − ln 2 − 3 ln 6))

= 2(2 ln 2 + 6 ln 6 − ln 4 − 3 ln 5 − 3 ln 8 + 1)

∼ 1′3678369.

Ejercicio 4 Denotemos por x e y al peso de los dos trozos en que se separa la piedra preciosa, es

decir, x + y = 20. Queremos minimizar la funcion valor(x, y) = 12x2 + 12y2.

Si escribimos el problema en una sola variable (despejando y = 20−x), tenemos el siguiente problemade minimizacion para la funcion v(x) = 12(x2 + (20 − x)2) : min

x∈[0,20]v(x).

Como v′(x) = 24(x− (20−x)), es claro que el signo de v′ es negativo entre 0 y 10, y positivo entre 10y 20. Por tanto, para x = 10, v posee un mınimo (relativo y absoluto).

Por tanto, el valor mınimo se consigue separando la esmeralda en dos trozos, ambos de 10 gr.

4

2a Prueba Intermedia Matematica Aplicada y Estadıstica 18 y 19 de enero de 2012Grado de Farmacia. Curso 2011-12. Grupo 1 (Prof. Pedro Marın Rubio)

1. Las ventas mensuales en miles de euros de 1000 farmacias estan recogidas en la siguiente tabla:

Ventas [0,50) [50,100) [100,200) [200,400) [400,800)Farmacias 100 250 400 200 50

(a) Calcular la media aritmetica y la desviacion tıpica.(b) Hallar las ventas por encima de la cual esta el 60% de las farmacias.(c) Calcular el porcentaje de farmacias que tienen ventas entre 150.000 y 350.000 euros.

2. Segun un estudio, en Estados Unidos los empleados autonomos trabajan como media 44,6 horasa la semana, con una desviacion tıpica de 14,5 horas. Asumiendo que la distribucion de esavariable fuera normal, calcular:

(a) La probabilidad de que un trabajador autonomo trabaje mas de 40 horas.(b) La probabilidad de que un trabajador autonomo trabaje entre 40 y 52 horas.(c) ¿Cual es la jornada semanal por debajo de la cual solo estan el 30% de los autonomos?

3. En una muestra de 375 internautas, se encontro que 125 de ellos leıan la prensa en la redregularmente.

(a) Hallar, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo para estimar la proporcion de lectoresque leen la prensa en internet.

(b) Se pretende repetir el experimento para conseguir una cota de error de 0’1 con un nivel deconfianza del 90%. ¿Cuantos individuos debe tener la muestra?.

4. La direccion de un hospital sostiene que el numero de infectados en intervenciones quirurgicasen sus quirofanos no sobrepasa el 12%. Se realiza un control sobre 300 enfermos intervenidosen dicho hospital de los cuales 45 sufrieron una infeccion. Establezca un contraste de hipotesisunilateral e indique si puede aceptarse la afirmacion de la direccion con un nivel de significaciondel 1%.

SOLUCION:

Ejercicio 1

(a) x =∑cini/N = 171′25.

S2X =

∑c2ini/N − x2 = 17142′1875, de donde SX =

√S2X = 130′928177.

(b) La tabla estadıstica con los porcentajes acumulados es la siguiente:

ni pi = ni/10 Pi[1, 50) 100 10 10

[50, 100) 250 25 35[100, 200) 400 40 75[200, 400) 200 20 95[400, 800) 50 5 100

Buscamos el porcentaje 40% (empezando desde cero, para que coincida con el 60% por encima).La recta a usar es

y − 35 =75− 35

200− 100(x− 100),

y cuando sustituimos y = 40 y despejamos, tenemos x = 112′5, que es la solucion buscada,112500 euros/mes.

1

(c) El porcentaje entre [150, 350] se obtiene calculando el porcentaje por debajo de 350, y restandoleel que hay por debajo de 150. En el primer caso, se tiene que

y − 75 =95− 75

400− 200(x− 200),

y cuando ponemos x = 350, se tiene que y = 90. Por otro lado, usando la misma formula que enel apartado (b), se tiene que si x = 150, entonces y = 55.

Por tanto, la solucion a este apartado es 90-55=35%.

Ejercicio 2 Como nos dicen que X ∼ N(44′6, 14′5), tipificando y usando argumentos de simetrıapara la normal estandar, tenemos que

(a) P (X > 40) = P (Z > 40−44′614′5 ) = P (Z > −0′31724) = P (Z < 0′31724) ∼ P (Z < 0′32) = 0′6255.

(b) P (X ∈ [40, 52]) = P (X < 52) − P (X < 40) = P (Z < 52−44′614′5 ) − (1 − 0′6255) = P (Z <

0′51)− 1 + 0′6255 = 0′695− 1 + 0′6255 = 0′3205.

(c) Buscamos k tal que P (X < k) = 0′3. Por tanto, P (Z < k−44′614′5 ) = 0′3 y ası tambien se tendra

que P (Z > 44′6−k14′5 ) = 0′3, de donde P (Z < 44′6−k

14′5 ) = 0′7. Esto implica que 44′6−k14′5 = 0′525 con

lo que despejando se tiene k = 36′9875.

Ejercicio 3 Tenemos que p = 125/375 = 0′3333333333.

(a) La formula del intervalo de confianza en este caso es

IC :

(p− zα/2

√p(1− p)

n, p+ zα/2

√p(1− p)

n

).

Como α = 0′05, α/2 = 0′025, 1 − α/2 = 0′975, con lo que zα/2 = 1′96, y resulta que IC :(0′2856, 0′381).

(b) Se pide que E = 0′1. En este problema,

E = zα/2

√p(1− p)

n.

Ahora nos dicen que 1−α = 0′9, α = 0′1, α/2 = 0′05, 1−α/2 = 0′95, zα/2 = 1′645.Sustituyendoen lo anterior, se tiene (

0′11′645

)2

=p(1− p)

n⇒ n = 0′60133 ⇒ n = 61.

Ejercicio 4 La afirmacion de partida es la dada por el hospital: H0 : p ≤ 0′12 = p0. Mientrasque la hipotesis alternativa sera H1 : p > 0′12. Como n = 300 y hay 45 infectados, p = 45/300 = 0′15.El nivel de confianza que debemos usar es 1 − α = 0′99, con lo que zα = 2′33, la region crıtica es(zα,+∞), y el estimador de contraste

p− p0√p0(1−p0)

n

= 1′599,

que pertenece a la region de aceptacion R.A. (−∞, zα]. Por tanto, no hay razon para rechazar lahipotesis nula a partir de los datos estadısticos obtenidos.

2

algunos exámenes de la asignatura (parcialmente resueltos)

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