algorytmy poszukiwania i porzĄdkowania · algorytmy poszukiwania i porzĄdkowania elementy jĘzyka...
TRANSCRIPT
ALGORYTMY POSZUKIWANIA I PORZĄDKOWANIA ELEMENTY JĘZYKA PROGRAMOWANIA
Maciej M. SysłoUniwersytet Wrocławski
Uniwersytet UMK w [email protected]
2informatyka +
Algorytm, algorytmika
Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu
Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa300 p.n.e
algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w.
Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami
informatyka + 3
Na str. 3-7 są zamieszczone uwagi wstępne na temat algorytmiki. Można je pominąć i wrócić później.
Algorytmy a informatyka
Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmamiCzy zajmuje się też algorytmami kulinarnymi?
Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś,
zanim nie nauczy tego – kogoś innego.W rzeczywistości,
człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę,zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera.
Ralf Gomory (IBM):Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami)
informatyka + 4
Algorytmiczne rozwiązywanie problemu
Dla problemu – chcemy otrzymać rozwiązanie komputerowe, które jest:
• zrozumiałe dla każdego, kto zna problemu • poprawne, czyli spełnia specyfikację (opis) problemu• efektywne, czyli nie marnuje czasu i pamięci
Metoda rozwiązywania: • analiza sytuacji problemowej• sporządzenie specyfikacji: wykaz danych, wyników i relacji• projekt rozwiązania• komputerowa realizacja rozwiązania – implementacja• testowanie poprawności rozwiązania• dokumentacja i prezentacja rozwiązania
informatyka + 5
Rozwiązywanie problemów z pomocą komputerów
Objaśnienie dwóch terminów:Problem:
• problem, gdy nie podano nam, jak należy go rozwiązać, ale wiemy wystarczająco, by poradzić sobie z nim
• a więc, problem jest dla każdego nie tylko dla orłów
Programowanie: • komputery wykonują tylko programy• cokolwiek uruchamiamy na komputerze: Google, dokument w Word,
arkusz w Excel, naciśnięcie klawisza – jest programem• każdy widoczny i niewidoczny efekt działania komputera to wynik
działania jakiegoś programuKonkluzja: powinniśmy lepiej poznać programowanie komputerów
informatyka + 6
Myślenie algorytmiczneMyślenie komputacyjne (ang. computational thinking)
informatyka + 7
Reklama firmy IBM z 1924 roku
Komputer to maszyna do myślenia !!!
Poszukiwanie, porządkowanie, elementy programowania PLAN
• Rozgrzewka (warm-up) – kilka krótkich programów • Przeszukiwanie zbioru – Min i Max: schematy blokowe,
pierwsze programy, złożoność algorytmu, • Kompletowanie podium zwycięzców turnieju• Jednoczesne znajdowanie najmniejszego i największego
elementu• Porządkowanie przez wybór – iteracja algorytmu• Porządkowanie przez zliczanie• Poszukiwanie informacji w zbiorach nieuporządkowanych
i uporządkowanych • Dziel i zwyciężaj, rekurencja: sortowanie przez scalanie i
sortowanie szybkie
informatyka + 8
Rozgrzewka przy komputerach
Rozgrzewka (warm-up) – kilka krótkich programów:• obliczanie pole trójkąta• dodatkowo sprawdzanie, czy dane są dobre – warunek • obliczanie pola trójkąta dla ciągu danych – iteracja i tablice
Ciekawe zadanie dotyczące trójkątów:Dane: ciąg (bardzo długi) liczbOdpowiedź: czy z każdej trójki liczb z tego ciągu można
zbudować trójkąt? Wskazówka: istnieje rozwiązanie, w którym nie trzeba
sprawdzać warunku trójkąta dla każdej trójki liczb
informatyka + 9
WarsztatyAlgorytm, język programowania, komputer
informatyka + 10
Proces komputerowej realizacji algorytmu:• Opis algorytmu – słowny • Zapis w języku programowania
(Pascal, C++)• Kompilacja – przetłumaczenie
na język zrozumiały przez komputer
• Wykonanie• Testowanie• Dokumentacja
Znajdowanie elementu w zbiorze
Znajdź element w zbiorze:• najwyższego ucznia w swojej klasie – metoda spaghetti • jak zmieni się Twój algorytm, jeśli chciałbyś znaleźć w klasie
najniższego ucznia• znajdź w swojej klasie ucznia, któremu droga do szkoły zabiera
najwięcej czasu• znajdź najstarszego (lub najmłodszego) ucznia w swojej szkole• znajdź największą kartę w potasowanej talii kart• znajdź najlepszego tenisistę w swojej klasie – nie ma remisów• znajdź najlepszego gracza w warcaby w swojej klasie – możliwe
są remisyPodstawowa operacja – porównanie:
• dwóch liczb lub kombinacji liczb (data, karty): czy x < y ?• dwóch zawodników: rozegranie meczu
informatyka + 11
Specyfikacja problemu
Specyfikacja problemu – dokładne opisanie problemu
Problem Min – Znajdowanie najmniejszego elementu w zbiorzeDane: Liczba naturalna n i zbiór n liczb dany w ciągu x1, x2, ..., xn
Wynik: Najmniejsza wśród liczb x1, x2, ..., xn – oznaczmy ją min
Metoda rozwiązania: przeszukiwanie liniowe – od lewej do prawej
Algorytm Min – Znajdowanie najmniejszego elementu w zbiorzeKrok 1. Przyjmij za min pierwszy element w zbiorze (w ciągu),
czyli przypisz min := x1.Krok 2. Dla kolejnych elementów xi, gdzie i = 2, 3, ..., n,
jeśli min > xi, to przypisz min := xi.
Algorytm Max – prosta modyfikacja: zamiana > na <Wyznaczanie imin – indeksu elementu o wartości min
informatyka + 12
imin := 1
imin := i
Algorytm Min – demo
Demonstracja przeszukiwania od lewej do prawej:
informatyka + 13
(Zgrubny) schemat blokowy algorytmu Min
informatyka + 14
Instrukcja iteracyjna
Instrukcje warunkowe:rozgałęzienia algorytmu
Ada Augusta, córka Byrona, uznawana powszechnie za pierwszą programistkę komputerów, przełomowe znaczenie maszyny analitycznej Ch. Babbage’a, pierwowzoru dzisiejszych komputerów, upatrywała właśnie „w możliwości wielokrotnego wykonywania przez nią danego ciągu instrukcji, z liczbą powtórzeń z góry zadaną lub zależną od wyników obliczeń”, a więc w iteracji.
Krok 1:
Krok 2:
min ← pierwszy element ze zbioru A
Czy porównano wszystkie elementy ze zbioru A ?
Nie
min > x ?
Tak
x ← kolejny element ze zbioru A
Tak
min ← x
Nie
Koniec algorytmu
Pełny schemat blokowy algorytmu Min
informatyka + 15
Skomputeryzowany schemat blokowy
informatyka + 16
Schemat blokowy wykonany w programie ELI
Ciąg (tablica) z danymi
Bloki warunkowe
Iteracja
Wprowadzanie danych
Algorytm Min w postaci programu
Program w języku Pascalprogram Min;var i,imin,min,n,x:integer;
beginread(n);
read(x); min:=x; imin:=1;
for i:=2 to n do beginread(x);
if min > x then beginmin:=x; imin:=i
endend;write(imin,min)
end.
informatyka + 17
nazwa programudeklaracje, typy zmiennychblok programu – początek czytaj nczytaj pierwszy element iteracja od 2 do nczytaj kolejny elementinstrukcja warunkowapopraw mininstrukcja war. – koniec iteracja – koniec pisz wynikblok programu – koniec
Pracochłonność algorytmu Min
• Porównanie – podstawowa operacja w algorytmie Min.• Pracochłonność (złożoność obliczeniowa) algorytmu –
liczba podstawowych operacji wykonywanych przez algorytm.
• Pytanie: Ile porównań wykonuje algorytm Min?• Odpowiedź: o jedno mniej niż jest elementów, czyli n – 1
Pytania:• Czy można szybciej?• Czy istnieje szybszy algorytm znajdowania min?• A może metoda pucharowa wyłaniania zwycięzcy w turnieju jest
szybsza?
informatyka + 18
Wyłanianie najlepszego zawodnika w turniejuczyli inny sposób znajdowania max (lub min)
informatyka + 19
Bartek Romek Bolek Witek Tomek Zenek Tolek Felek
Bartek Witek Tomek Tolek
Bartek Tomek
TomekPorównania – mecze Ośmiu zawodników: 7 meczyn zawodników: n – 1 meczy
a więc nie jest szybsza
A może mamy algorytm najlepszy?
Podsumowanie:Mamy dwa algorytmy znajdowania min lub max:• przeszukiwanie liniowe• rozegranie turniejuktóre na zbiorze n elementów wykonują n – 1 porównań
Może nie ma szybszego algorytmu?
TAK! Hugo Steinhaus tak to uzasadnił:Jeśli Tomek jest zwycięzcą turnieju, w którym startuje n zawodników, to każdy inny spośród n – 1 zawodników musiał przegrać przynajmniej raz, a zatem rozegrano przynajmniej n – 1 meczy. Zatem każdy algorytm musi wykonać przynajmniej n – 1 porównań, czyli nasze algorytmy są najszybsze – są optymalne.
informatyka + 20
A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w turnieju?
informatyka + 21
Bartek Romek Bolek Witek Tomek Zenek Tolek Felek
Bartek Witek Tomek Tolek
Bartek Tomek
TomekCzy jest nim Bartek?Bo przegrał z Tomkiem?
Ale Bartek nie grał z drugą połową!
???
???Tylko dwa dodatkowe mecze!
3 1 2 2 5 3 4 8 2 5
Jednoczesne znajdowanie min i max
informatyka + 22
Obserwacja:jeśli x ≤ y, to x kandydatem na min, a y kandydatem na max
Algorytm „dziel i zwyciężaj”:Krok 1. Podział na kandydatów na min i kandydatów na max
Kandydaci na max
Kandydaci na min
max = 8
min = 1
Krok 2. Znajdź min i max
Liczba porównań: • algorytm naiwny: n – 1 (min) + n – 2 (max) = 2n – 3 • algorytm dziel i zwyciężaj: n/2(podział)+ (n/2–1)(min) + (n/2–1)(max)
ok. 3n/2 – 2 – jest to algorytm optymalny
Porównania parami
3↑3 ? 1
↓1
2↑2 ? 2
↓2
5↑5 ? 3
↓3
8↑
4 ? 8↓4
5↑
2 ? 5↓2
Problem porządkowania (sortowania)
Problem porządkowania (sortowania)Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x1, x2, ..., xn
Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej
Algorytm: porządkowanie przez wybór – Selection SortIdea: najmniejszy wśród nieuporządkowanych daj na początek
Krok 1. Dla i = 1, 2, ..., n – 1 wykonaj kroki 2 i 3, a następnie zakończ algorytm
Krok 2. Znajdź k takie, że xk jest najmniejszym elementem w ciągu xi, ..., xn
Krok 3. Zamień miejscami elementy xi oraz xk
informatyka + 23
Porządkowanie przez wybór – demo (1)
informatyka + 24
Żółte – podciąg już uporządkowany
Zielone i czerwone –podciąg porządkowany
Porządkowanie przez wybór – demo (2)
informatyka + 25
Podciąg już uporządkowany
Podciąg porządkowany
Złożoność porządkowania przez wybór
Liczba zamian elementów w kolejnych krokach: 1 + 1 + 1 + … + 1 = n – 1
Liczba porównań w kolejnych krokach:
(n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 3 + 2 + 1 = ?
informatyka + 26
5 ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ∇
4 ♦ ♦ ♦ ♦ ∇ ∇
3 ♦ ♦ ♦ ∇ ∇ ∇
2 ♦ ♦ ∇ ∇ ∇ ∇
1 ♦ ∇ ∇ ∇ ∇ ∇
Przykładn = 6
6 = n
5 = n – 1
Pole prostokąta: 5 x 6Suma = pole czarnych diamentów:
5 x 62
Ogólnie suma:(n – 1) x n
2Liczby trójkątne
Porządkowanie przez zliczanie
Problem porządkowania niewielkich liczbDane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb całkowitych x1, x2, ..., xn,
należących do przedziału [1..M] – na ogół n < M. Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej
Algorytm. Porządkowanie przez zliczanie – CountingSortIdea: Liczymy, ile jest konkretnych liczb w ciągu
Krok 1. Dla i = 1, 2, ..., M: ci = 0 zerowanie liczników. Krok 2. Dla i = 1, 2, ..., n: zwiększ ck o 1, gdzie k = xi. Krok 3. Dla i = 1, 2, ..., M: na kolejnych ci pozycjach w ciągu x umieść
element i.
Liczba operacji – proporcjonalna do n + M.
informatyka + 27
Poszukiwanie elementu w zbiorze
Problem poszukiwania elementu w zbiorzeDane: Zbiór elementów w postaci ciągu n liczb x1, x2, ..., xn.
Wyróżniony element yWynik: Jeśli y należy do tego zbioru, to podaj jego miejsce (indeks) w
ciągu, a w przeciwnym razie – sygnalizuj brak takiego elementu w zbiorze
Dwa przypadki: • Nieuporządkowany ciąg liczb x1, x2, ..., xn
• Uporządkowany ciąg liczb x1, x2, ..., xn
Nasz cel:Jakie są korzyści z uporządkowania?Jak utrzymywać porządek wśród informacji?
informatyka + 28
– wstaw y do ciągu
Poszukiwania w zbiorze nieuporządkowanym
Algorytm – Poszukiwanie linioweKrok 1. Dla i = 1, 2, ..., n, jeśli xi = y, to przejdź do kroku 3. Krok 2. Komunikat: W ciągu danych nie ma elementu równego y.
Zakończ algorytm: – wynik: –1 Krok 3. Element równy y znajduje się na miejscu i w ciągu danych.
Zakończ algorytm: wynik: i
begini:=1;
while (x[i]<>y) and (i<n) do i:=i+1;if x[i]=y then PrzeszukiwanieLiniowe:=i
else PrzeszukiwanieLiniowe:=-1
end
informatyka + 29
Pewna niedogodność – sprawdzanie, czy koniec ciągu.
Poszukiwania w zbiorze nieuporządkowanymz wartownikiem
Algorytm – Poszukiwanie liniowe z wartownikiemTakie same kroki algorytmu inna implementacja, czyli komputerowa realizacja:
na końcu ciągu:
x1 x2 x3 x4 … xn
begini:=1;
x[n+1]:=y;
while x[i]<>y do i:=i+1;
if i<=n then PrzeszukiwanieLinioweWartownik:=i
else PrzeszukiwanieLinioweWartownik:=-1
end
informatyka + 30
wstawiamy wartownika – pilnuje końca ciąguxn+1
Nie ma sprawdzania, czy koniec ciągu, bo przeszukiwanie zawsze zatrzyma się na elemencie y.
Poszukiwanie w zbiorze uporządkowanymZabawa w zgadywanie liczby
informatyka + 31
Zgadywana liczba: 17 w przedziale [1 : 20]Metoda: połowienia przedziału Kolejne kroki: strzałka wskazuje wybór;
kolor czerwony – ciąg do przeszukania:
Poszukiwanie przez połowieniew ciągu uporządkowanym function PrzeszukiwanieBinarne(x:tablicax; k,l:integer;
y:integer):integer;{Przeszukiwanie binarne ciagu x[k..l] w poszukiwaniu elementu y.}
var Lewy,Prawy,Srodek:integer;beginLewy:=k; Prawy:=l;while Lewy<=Prawy do beginSrodek:=(Lewy+Prawy) div 2;if x[Srodek]=y then beginPrzeszukiwanieBinarne:=Srodek; exitend; {element y nalezy do przeszukiwanego ciagu}if x[Srodek]<y then Lewy:=Srodek+1else Prawy:=Srodek-1end;PrzeszukiwanieBinarne:=-1
end
informatyka + 32
Połowienie przedziału
Początkowe końce przedziału
Zmiana końców przedziału
y nie należy do przeszukiwanego przedziału
y należy do przedziału
Dane: Uporządkowany ciąg liczb w tablicy x[k..l] oraz element y
Wynik: Miejsce dla y w ciągu x[k..l] takie, aby po wstawieniu y ciąg nadal był uporządkowany
Algorytm: y wstawiamy do przeszukiwanego ciągu w to miejsce, gdzie algorytm poszukiwania kończy działanie, a więc tam, gdzie jest y (jeśli y jest już w ciągu), albo gdzie powinien być.
informatyka + 33
Umieszczanie przez połowieniew ciągu uporządkowanym
Liczba kroków w algorytmie połowienia:Ile razy należy przepołowić ciąg o danej długości, aby znaleźć element lub miejsce dla niego?
Przykład dla n = 1200Kolejne długości ciągu:
1200, 600, 300, 150, 75, 38, 19, 10, 5, 3, 2, 1
11 razy dzielono ciąg o długości 1200, by pozostał 1 element
Liczba porównań w algorytmach poszukiwania dla n = 1200:• przez połowienie 11 • liniowy 1200
informatyka + 34
Poszukiwanie przez połowienie – złożoność
Porównaj, jaka jest potęga uporządkowania !!!
Dla n = 1200 liczba porównań w algorytmie połowienia wyniosła 11Pytania:
• Jak liczba porównań zależy od n?• Jak dobry jest to algorytm?
Liczba porównań dla różnych n:
informatyka + 35
Poszukiwanie przez połowieniezłożoność – dla orłów
n liczba porównań
100 71000 10
10000 14100000 17
1000000 2010000000 24
ok.log2 n
Funkcja logarytm, bardzo ważna w algorytmice
logarytm to anagram od
algorytm
Algorytm poszukiwania przez połowienie jest optymalny, czyli najszybciej przeszukuje zbiory uporządkowane.
Jednoczesne znajdowanie min i maxpełny algorytm dziel i zwyciężaj
informatyka + 36
Algorytm Min-i-Max-Rek(Z,min,max)Dane: Zbiór liczb ZWyniki: min – najmniejszy element w zbiorze Z
max – największy element w zbiorze Z
Krok 1. Jeśli Z = {a}, to min := a; max := aJeśli Z = {a, b}, to min := min {a, b}; max := max {a, b}
Krok 2. Gdy Z ma więcej niż dwa elementy, to: 2a. Podziel zbiór Z na dwa podzbiory Z1 i Z22b. Min-i-Max-Rek(Z1,min1,max1)2c. Min-i-Max-Rek(Z2,min2,max2) 2d. min := min {min1, min2}; max := max {max1, max2}
Rekurencyjne wywołania na podzbiorach
Jednoczesne znajdowanie min i maxpełny algorytm dziel i zwyciężaj DEMO
informatyka + 37
1 4 5 2 4 9 7 3
1 4 5 2 4 9 7 3dziel
dziel
1 4 5 2
dziel
4 9 7 3(1 ,4) (2, 5) (4, 9) (3, 7)
(min, max)
(1, 5)(3, 9)
(1, 9)
Sortowanie przez scalanie – scalanie
informatyka + 38
Scalanie – z dwóch uporządkowanych ciągów utwórz jeden uporządkowany
Algorytm scalania. Scal. Dane: dwa ciągi uporządkowaneWynik: scalony ciąg uporządkowany Krok: do tworzonego ciągu pobieraj najmniejszy element z
czoła scalanych ciągów
1 3 5 7 10 12
1 2 6 9 11 15 17 20
1 3 5 7 10 121 2 6 9 11 15 17 20
Scalane ciągiScalanie
1 1 2 3 5 6 7 9 10 11 12 15 17 20 Scalony ciąg
Sortowanie przez scalanie – scalanie
informatyka + 39
Scalane ciągi
Scalone ciągi, w innym miejscu
informatyka + 40
Algorytm porządkowania przez scalanie MergeSort(l,p,x)Dane: Ciąg liczb xl, xl+1, …, xpWynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do
największej.
Krok 1. Jeśli l < p, to przyjmij s:=(l+p) div 2 i wykonaj trzy następne kroki.
Krok 2. MergeSort(l,s,x) – sortowanie pierwszej połowy ciąguKrok 3. MergeSort(s+1,p,x) – sortowanie drugiej połowy ciąguKrok 4. Zastosuj algorytm Scal do ciągów (xl, …, xs) i (xs+1, …, xp)
i wynik umieść w ciągu (xl, …, xp).
Rekurencyjne wywołania na podciągach
Sortowanie przez scalanie – opis
informatyka + 41
2 1 2 9 5 0
2 1 2 9 5 0dziel
dziel
2 1 dziel
9
0
1 2
9 5
1 2 2 0 5 9
0 1 2 2 5 9
Sortowanie przez scalanie DEMO
dziel
2 1
2
scal
scal
scal
scal
scal5
dziel
5 9
Sortowanie przez scalanie DEMO
informatyka + 42
Scalane ciągi
Wynik scalania dodatkowym miejscu
Posortowana pierwsza połowa ciągu
Posortowana jest już pierwsza połowa ciągu i w trakcie sortowania drugiej połowy, scalane są dwa podciągi z pierwszej części drugiej połowy, uporządkowane wcześniej rekurencyjnie tą samą metodą
informatyka + 43
Algorytm szybkiego sortowania QuickSort(l,p,x)Dane: Ciąg liczb xl, xl+1, …, xpWynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do
największej.
Krok 1. Jeśli l < p, to przyjmij za element podziału v = xl i podziel tym elementem dany ciąg. Oznacza to, że v znajdzie się na pozycji elementu xk, dla pewnego k spełniającego l ≤ k≤ p, i elementy na lewo będą od niego nie większe, a na prawo – nie mniejsze. Wykonaj dwa następne kroki.
Krok 2. QuickSort(l,k–1,x) – sortowanie elementów na lewo od vKrok 3. QuickSort(k+1,p,x) – sortowanie elementów na prawo od v
Rekurencyjne wywołania na podciągach
Sortowanie szybkie – opis
informatyka + 44
Sortowanie szybkie DEMO
7 5 8 10 1 15 12 4 11 19 1
7 5 1 10 1 15 12 4 11 19 8
7 5 1 4 1 15 12 10 11 19 8
7 5 1 4 1 15 12 10 11 19 8
1 5 1 4 7 15 12 10 11 19 8
Na lewo od 7 elementy nie większe od 7 –porządkujemy tak samo
7 na swoim miejscu w ciągu uporządkowanym
Na prawo od 7 elementy nie mniejsze od 7 –porządkujemy tak samo
Rekurencyjne wywołania na podciągach
Zamiana miejscami
Zamiana miejscami
Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +
Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna):• Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i
porządkowanie informacji • Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera.• Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne. Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): • Czy wszystko można policzyć na komputerze? • Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. • Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu
informacji. • Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych
małżeństw
informatyka + 45
Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +
Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach:• Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka
programowania• Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje• Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacjeKursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów:• Przegląd podstawowych algorytmów• Struktury danych i ich wykorzystanie• Zaawansowane algorytmyTendencje – Wykłady• Algorytmy w Internecie, K. Diks• Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk• Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło
informatyka + 46