algoritmos e teoria dos grafos aula 07 - ufpr · 2019. 3. 21. · algoritmos e teoria dos grafos...
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Algoritmos e Teoria dos GrafosAula 07
Prof. Murilo V. G. da Silva
DINF/UFPR
Material da Disciplina:
Renato J. S. Carmo
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Graus de vertices em trilhas
Teorema
Se T e uma trilha sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice interno de Tem G [T ] e par.
Prova: (em sala)
Corolario
Se T e uma trilha fechada sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice emG [T ] e par.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Graus de vertices em trilhas
Teorema
Se T e uma trilha sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice interno de Tem G [T ] e par.
Prova: (em sala)
Corolario
Se T e uma trilha fechada sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice emG [T ] e par.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Graus de vertices em trilhas
Teorema
Se T e uma trilha sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice interno de Tem G [T ] e par.
Prova: (em sala)
Corolario
Se T e uma trilha fechada sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice emG [T ] e par.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Graus de vertices em trilhas
Teorema
Se T e uma trilha sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice interno de Tem G [T ] e par.
Prova: (em sala)
Corolario
Se T e uma trilha fechada sobre um grafo G , entao o grau de todo vertice emG [T ] e par.
Prova: Exercıcio
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
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Caminhos
Teorema
Se P e um caminho maximal em um grafo G , entao todos os vizinhos de suas pontasestao em P.
Prova: (em sala)
Teorema
Se P e um caminho direcionado maximal em um grafo direcionado G , entao
todos os vizinhos de entrada de seu vertice inicial estao em P, e
todos os vizinhos de saıda seu vertice final estao em P.
Prova: (exercıcio)
Teorema
Todo passeio de tamanho mınimo entre dois vertices de um grafo e um caminho.
Prova: (em sala)
Exercıcio: Prove o mesmo resultado para grafos direcionados
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Caminhos mınimos
Definicao de caminho mınimo
Caminho mınimo: Um caminho de tamanho mınimo
O mesmo vale para grafos direcionados
No caso de grafos com pesos trata-se de um caminho de peso mınimo
Teorema
Todo segmento de caminho mınimo em um grafo G e caminho mınimo em G .
Exercıcio: Prove o teorema acima e tambem a versao direcionada do teorema
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Caminhos mınimos
Definicao de caminho mınimo
Caminho mınimo: Um caminho de tamanho mınimo
O mesmo vale para grafos direcionados
No caso de grafos com pesos trata-se de um caminho de peso mınimo
Teorema
Todo segmento de caminho mınimo em um grafo G e caminho mınimo em G .
Exercıcio: Prove o teorema acima e tambem a versao direcionada do teorema
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Caminhos mınimos
Definicao de caminho mınimo
Caminho mınimo: Um caminho de tamanho mınimo
O mesmo vale para grafos direcionados
No caso de grafos com pesos trata-se de um caminho de peso mınimo
Teorema
Todo segmento de caminho mınimo em um grafo G e caminho mınimo em G .
Exercıcio: Prove o teorema acima e tambem a versao direcionada do teorema
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Caminhos mınimos
Definicao de caminho mınimo
Caminho mınimo: Um caminho de tamanho mınimo
O mesmo vale para grafos direcionados
No caso de grafos com pesos trata-se de um caminho de peso mınimo
Teorema
Todo segmento de caminho mınimo em um grafo G e caminho mınimo em G .
Exercıcio: Prove o teorema acima e tambem a versao direcionada do teorema
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Caminhos mınimos
Definicao de caminho mınimo
Caminho mınimo: Um caminho de tamanho mınimo
O mesmo vale para grafos direcionados
No caso de grafos com pesos trata-se de um caminho de peso mınimo
Teorema
Todo segmento de caminho mınimo em um grafo G e caminho mınimo em G .
Exercıcio: Prove o teorema acima e tambem a versao direcionada do teorema
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Ciclos
Ciclo (ou circuito)
Um ciclo e uma trilha fechada cujos vertices sao todos distintos, exceto pelas pontas.
Cn: Um grafo induzido por um ciclo de n vertices
Grafo acıclico: Um grafo que nao contem nenhum ciclo
Uma corda do ciclo C em um grafo G e uma aresta ligando dois vertices naoadjacentes G [C ]
Cintura
A cintura de um grafo G e o tamanho um ciclo de tamanho mınimo em G e edenotada por γ(G).
Convencao: Se G e acıclico, γ(G) = ∞.
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Ciclos
Ciclo (ou circuito)
Um ciclo e uma trilha fechada cujos vertices sao todos distintos, exceto pelas pontas.
Cn: Um grafo induzido por um ciclo de n vertices
Grafo acıclico: Um grafo que nao contem nenhum ciclo
Uma corda do ciclo C em um grafo G e uma aresta ligando dois vertices naoadjacentes G [C ]
Cintura
A cintura de um grafo G e o tamanho um ciclo de tamanho mınimo em G e edenotada por γ(G).
Convencao: Se G e acıclico, γ(G) = ∞.
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Ciclos
Ciclo (ou circuito)
Um ciclo e uma trilha fechada cujos vertices sao todos distintos, exceto pelas pontas.
Cn: Um grafo induzido por um ciclo de n vertices
Grafo acıclico: Um grafo que nao contem nenhum ciclo
Uma corda do ciclo C em um grafo G e uma aresta ligando dois vertices naoadjacentes G [C ]
Cintura
A cintura de um grafo G e o tamanho um ciclo de tamanho mınimo em G e edenotada por γ(G).
Convencao: Se G e acıclico, γ(G) = ∞.
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Ciclos
Ciclo (ou circuito)
Um ciclo e uma trilha fechada cujos vertices sao todos distintos, exceto pelas pontas.
Cn: Um grafo induzido por um ciclo de n vertices
Grafo acıclico: Um grafo que nao contem nenhum ciclo
Uma corda do ciclo C em um grafo G e uma aresta ligando dois vertices naoadjacentes G [C ]
Cintura
A cintura de um grafo G e o tamanho um ciclo de tamanho mınimo em G e edenotada por γ(G).
Convencao: Se G e acıclico, γ(G) = ∞.
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Ciclos
Ciclo (ou circuito)
Um ciclo e uma trilha fechada cujos vertices sao todos distintos, exceto pelas pontas.
Cn: Um grafo induzido por um ciclo de n vertices
Grafo acıclico: Um grafo que nao contem nenhum ciclo
Uma corda do ciclo C em um grafo G e uma aresta ligando dois vertices naoadjacentes G [C ]
Cintura
A cintura de um grafo G e o tamanho um ciclo de tamanho mınimo em G e edenotada por γ(G).
Convencao: Se G e acıclico, γ(G) = ∞.
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Ciclos
Ciclo (ou circuito)
Um ciclo e uma trilha fechada cujos vertices sao todos distintos, exceto pelas pontas.
Cn: Um grafo induzido por um ciclo de n vertices
Grafo acıclico: Um grafo que nao contem nenhum ciclo
Uma corda do ciclo C em um grafo G e uma aresta ligando dois vertices naoadjacentes G [C ]
Cintura
A cintura de um grafo G e o tamanho um ciclo de tamanho mınimo em G e edenotada por γ(G).
Convencao: Se G e acıclico, γ(G) = ∞.
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Ciclos
Teorema
Um grafo tem ciclo ⇔ tem caminhos distintos com os mesmos inıcio e fim.
Prova: em sala
Corolario
Um grafo e bipartido se e somente se nao tem ciclo ımpar.
Prova: Exercıcio
Corolario
Todo grafo acıclico e bipartido.
Prova: Exercıcio
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Ciclos
Teorema
Um grafo tem ciclo ⇔ tem caminhos distintos com os mesmos inıcio e fim.
Prova: em sala
Corolario
Um grafo e bipartido se e somente se nao tem ciclo ımpar.
Prova: Exercıcio
Corolario
Todo grafo acıclico e bipartido.
Prova: Exercıcio
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Ciclos
Teorema
Um grafo tem ciclo ⇔ tem caminhos distintos com os mesmos inıcio e fim.
Prova: em sala
Corolario
Um grafo e bipartido se e somente se nao tem ciclo ımpar.
Prova: Exercıcio
Corolario
Todo grafo acıclico e bipartido.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Ciclos
Teorema
Um grafo tem ciclo ⇔ tem caminhos distintos com os mesmos inıcio e fim.
Prova: em sala
Corolario
Um grafo e bipartido se e somente se nao tem ciclo ımpar.
Prova: Exercıcio
Corolario
Todo grafo acıclico e bipartido.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Ciclos
Teorema
Um grafo tem ciclo ⇔ tem caminhos distintos com os mesmos inıcio e fim.
Prova: em sala
Corolario
Um grafo e bipartido se e somente se nao tem ciclo ımpar.
Prova: Exercıcio
Corolario
Todo grafo acıclico e bipartido.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos
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Ciclos
Teorema
Um grafo tem ciclo ⇔ tem caminhos distintos com os mesmos inıcio e fim.
Prova: em sala
Corolario
Um grafo e bipartido se e somente se nao tem ciclo ımpar.
Prova: Exercıcio
Corolario
Todo grafo acıclico e bipartido.
Prova: Exercıcio
Prof. Murilo V. G. da Silva Algoritmos e Teoria dos Grafos