algoritmo de colÔnia de formigas aplicado À otimizaÇÃo de ... · apÊndice b – fluxograma do...

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS DE CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

E DE MATERIAIS - PPGEM

RUBEM MATIMOTO KOIDE

ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS APLICADO À OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS

COMPOSTOS LAMINADOS

CURITIBA

FEVEREIRO – 2010



COMPOSTOS LAMINADOS

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Marco A. Luersen, Dr. Eng.

CURITIBA

FEVEREIRO – 2010

TERMO DE APROVAÇÃO



COMPOSTOS LAMINADOS

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em Mecânica dos Sólidos e Vibrações, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

_________________________________ Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr. Eng.

Coordenador de Curso

Banca Examinadora

______________________________ _________________________________ Prof. Marco Antônio Luersen, Dr. Eng. Prof. Pablo Andrés Muñoz-Rojas, Dr. Eng. (UTFPR) (UDESC)

______________________________ _________________________________ Prof. Jucélio Tomás Pereira, Dr. Eng. Prof. Lauro César Galvão, Dr. Eng. (UTFPR) (UTFPR)

Curitiba, 23 de fevereiro de 2010

iii

Dedico este trabalho a Deus que é a fonte

de toda criação.

Aos meus pais Masaaki Koide e Fugico

Matimoto Koide que iniciaram minha

educação.

À minha esposa Ângela R. Kampa M.

Koide e meu filho Rubem Kenzo Kampa

Koide pelo apoio e compreensão.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por tornar tudo possível.

Agradeço a minha família, em especial minha esposa Ângela, pelo incentivo, pela

compreensão e apoio durante o curso.

Ao professor e orientador Marco Antonio Luersen por auxiliar na conquista deste

desafio.

Aos professores do PPGEM por transmitirem seus conhecimentos.

Ao PPGEM e CITEC/LAMES pela infraestrutura e administrações disponibilizadas.

À centenária UTFPR pela infraestrutura física e administrativa.

Aos colegas do LAMES ao compartilhar as idéias e pela amizade.

Ao colega Gustavo Von Zeska de França pela colaboração na programação em

MATLAB.

À Capes por proporcionar os recursos para a pesquisa.

v

“Vá em frente, que a fé virá até você.”

Conselho dado por D’Alembert a Laplace

vi

KOIDE, Rubem Matimoto, Algoritmo de colônia de formigas aplicado à otimização de materiais compostos laminados, 2010, Dissertação (Mestrado em

Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais,

Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 113 p.

RESUMO

O algoritmo de colônia de formigas é uma heurística que foi formulada na

década de 1990 por Marco Dorigo. A idéia foi inspirada no comportamento de

formigas reais, relacionada às suas habilidades em encontrar o caminho mais curto

entre o ninho e o alimento. Esta busca é efetuada através da exploração das trilhas

de feromônio, substância química depositada pelas formigas durante seu percurso.

Devido a este comportamento cooperativo e eficaz de busca, elas vão construindo

alternativas melhores no caminho para encontrar o alimento. Este comportamento foi

então simulado em algoritmos de otimização, conhecidos como otimização com

colônia de formigas (ACO, do inglês Ant Colony Optimization). Assim, esta

dissertação tem por objetivo estudar e aplicar o método de colônia de formigas à

otimização de materiais compostos laminados. Tais materiais são formados pelo

empilhamento de lâminas, sendo que uma lâmina é composta por uma matriz,

geralmente polimérica, reforçada por fibras. Normalmente sua otimização está

relacionada às melhores configurações dos ângulos de orientação das lâminas, e

consequentemente das fibras. A variante Ant Colony System (ACS) é implementada

na plataforma Matlab e aplicada a problemas de otimização de placas compostas

laminadas como a maximização da resistência, a minimização do peso, a

minimização do custo e a maximização da frequência fundamental. Este último

problema foi também resolvido com uma interface com o programa de elementos

finitos ABAQUS, possibilitando assim a otimização de problemas cuja resposta

estrutural não possui solução analítica. Os testes numéricos realizados indicam que

o método é competitivo, em relação às outras técnicas encontradas na literatura,

para a otimização de materiais compostos laminados.

Palavras-chave: Otimização com colônia de formigas, Meta-heurística, Materiais

compostos laminados.

vii

KOIDE, Rubem Matimoto, Ant colony optimization applied to laminated composite materials, 2010, Thesis (Master in Engineering) - Programa de Pós-

graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica

Federal do Paraná, Curitiba, 113 p.

ABSTRACT

The ant colony algorithm is a heuristic formulated in the decade of the 1990s by

Marco Dorigo. The idea was inspired by the behavior of real ants, related to their

ability to find the shortest path between the nest and the food. This search is run by

exploiting pheromone trails, a chemical substance deposited by the ants during their

journey. Due to this cooperative behavior and effective search, they build better

alternatives on the path to find food. This behavior was then simulated in optimization

algorithms, called Ant Colony Optimization (ACO). Thus, this dissertation aims to

study and apply the ant colony method to the optimization of laminated composite

materials. This kind of material is made by stacking plies where each ply is

composed by a usually polymeric matrix, reinforced by fibers. Usually, its optimization

is related to the best settings of the orientation angles of the plies, and consequently

the fibers. The variant Ant Colony System (ACS) is implemented and applied to

laminated composite plate problems, such as the maximization of the strength, the

minimization of the cost and the maximization of the fundamental frequency. This last

problem was also solved using an interface with the finite element program ABAQUS,

allowing the optimization of problems without analytical solution for the structural

response. The numerical tests carried out indicate that the method is competitive

compared to other techniques found in the literature for optimization of composite

laminates materials.

Keywords: Ant colony optimization, Meta-heuristic, Laminated composite materials.

viii

SUMÁRIO

RESUMO.................................................................................................................... vi

ABSTRACT ............................................................................................................... vii

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. xi

LISTA DE TABELAS .................................................................................................xiii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS .................................................................... xv

LISTA DE SÍMBOLOS.............................................................................................. xvi

1 INTRODUÇÃO......................................................................................................1

1.1 Considerações Gerais ............................................................................................................. 1 1.2 Objetivos e Organização do Trabalho ..................................................................................... 2

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................4

2.1 Otimização e Problemas de Otimização.................................................................................. 4 2.2 Otimização Estrutural de Materiais Compostos....................................................................... 5 2.3 Algoritmo de Colônia de Formigas Aplicado a Materiais Compostos Laminados................. 10

3 CONCEITOS DA MECÂNICA DOS MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS .13

3.1 Definições e Generalidades................................................................................................... 13 3.2 Comportamento Macromecâmico de uma Lâmina................................................................ 16 3.3 Comportamento Macromecânico dos Laminados via Teoria Clássica dos Laminados........ 21

3.3.1 Tensões e Deformações em Laminados.......................................................................... 22 3.3.2 Forças e Momentos Resultantes no Laminado ................................................................ 25

3.4 Critérios de Falha................................................................................................................... 30 3.4.1 Teoria da Máxima Tensão ................................................................................................ 30 3.4.2 Teoria da Máxima Deformação ........................................................................................ 31 3.4.3 Teoria de Tsai-Hill............................................................................................................. 31 3.4.4 Teoria de Hoffman ............................................................................................................ 32 3.4.5 Teoria de Tsai-Wu ............................................................................................................ 32

3.5 Frequência Natural e Carga Crítica de Flambagem de Laminados ...................................... 32 3.5.1 Frequência Natural ........................................................................................................... 33 3.5.2 Carga de Flambagem ....................................................................................................... 34

3.6 Alguns Aspectos sobre o Projeto de Compostos Laminados................................................ 35

4 ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS .....................................................38

ix

4.1 Origem dos Algoritmos de Colônia de Formigas................................................................... 38 4.1.1 Algoritmo Ant System - AS ............................................................................................... 42 4.1.2 Algoritmos de Otimização de Colônia de Formigas (ACO) .............................................. 44

4.2 Aplicações da Técnica de Otimização de Colônia de Formigas ........................................... 49 4.3 Ant Colony System (ACS) Aplicado a Materiais Compostos Laminados.............................. 50 4.4 ACO Associado ao Método dos Elementos Finitos (ABAQUS) ............................................ 58

5 RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÃO ...................................................61

5.1 Caso 1 - Maximização do Fator Crítico de Carga.................................................................. 61 5.2 Caso 2 - Minimização do Peso com Restrição na Carga de Flambagem para Laminado

Híbrido.................................................................................................................................... 69 5.3 Caso 3 - Minimização do Custo com Restrição na Carga de Flambagem e no Peso para

Laminado Híbrido................................................................................................................... 72 5.4 Caso 4 - Maximização da Frequência Fundamental de Placas Retangulares...................... 75 5.5 Maximização da Frequência Fundamental de Placas Quadradas e Retangulares com um

Furo Central ........................................................................................................................... 79 5.5.1 Caso 5 - Placa Quadrada com Furo Central .................................................................... 80 5.5.2 Caso 6 - Placa Retangular com Furo Central................................................................... 82

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....................85

PRODUÇÃO CIENTÍFICA NO PERÍODO (Março 2008 – Fevereiro 2010)...............87

REFERÊNCIAS.........................................................................................................88

APÊNDICE A – PRINCIPAIS ALGORITMOS de COLôNIA DE FORMIGAS ............95

APÊNDICE B – FLUXOGRAMA DO ALGORITMO ACO APLICADO AOS

MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS...............................................................100

APÊNDICE C – MODOS DE VIBRAÇÃO FUNDAMENTAL DE PLACAS

APRESENTADAs NAS SEÇÕES 5.4 E 5.5 ............................................................101

ANEXO A – TEORIA DOS GRAFOS ......................................................................105

A. INTRODUÇÃO..................................................................................................105

A.1 Definição .............................................................................................................................. 105 A.2 Representação do Grafo...................................................................................................... 106 A.3 Exemplo do Grafo ................................................................................................................ 106 A.4 Algumas Definições e Características dos Grafos .............................................................. 106

A.4.1 Grafo Simples ................................................................................................................. 106

x

A.4.2 Peso do Grafo................................................................................................................. 106 A.4.3 Grafo Direcionado........................................................................................................... 107 A.4.4 Circuito Euleriano............................................................................................................ 107 A.4.5 Grafo Euleriano............................................................................................................... 107 A.4.6 Ciclo Hamiltoniano.......................................................................................................... 108 A.4.7 Grafo Hamiltoniano......................................................................................................... 108 A.4.8 Grafo Bipartido................................................................................................................ 108 A.4.9 Grafo Valorado................................................................................................................ 109

A.5 Grafo Aleatório ..................................................................................................................... 109 A.6 Teorias de Probabilidade Estocástica ................................................................................. 110

A.6.1 Probabilidade Condicional .............................................................................................. 110 A.6.2 Fórmula da Probabilidade Total...................................................................................... 110 A.6.3 Fórmula de Bayes........................................................................................................... 110

GLOSSÁRIO ...........................................................................................................112

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 - Material composto laminado. .................................................................14

Figura 3.2 - Sistema de coordenadas principais do material.....................................16

Figura 3.3 - Sistemas de coordenadas x-y e 1-2.......................................................20

Figura 3.4 - Deformação de um laminado segundo a TCL........................................23

Figura 3.5 - Geometria e definição das coordenadas ao longo das camadas do

laminado.............................................................................................................26

Figura 3.6 - Representação do sentido positivo das forças e momentos resultantes

no laminado........................................................................................................27

Figura 3.7 - Acoplamentos dos termos das matrizes constitutivas............................29

Figura 3.8 - Placa retangular sujeita a carregamentos compressivos. ......................35

Figura 4.1 - Experimento da ponte dupla para trilha de formigas..............................39

Figura 4.2 - Formação da trilha de feromônio na busca do alimento. .......................40

Figura 4.3 - Pseudocódigo do algoritmo ACO...........................................................45

Figura 4.4 - Representação de ACO aplicado a material composto laminado. .........51

Figura 4.5 - Representação esquemática do grafo para um laminado de 4 lâminas e

3 opções de orientações (0°, 45° ou 90°)...........................................................54

Figura 4.6 - Exemplo do grafo para um laminado [0, 45, 90,45]................................55

Figura 4.7 – Exemplo de grafo para um laminado híbrido [ 1 2 1 245 0 0 90mat mat mat mat, , , ]. .56

Figura 4.8 - Pseudocódigo do ACO aplicado a material composto laminado............57

Figura 4.9 - Pseudocódigo para a busca local. .........................................................58

Figura 4.10 - Fluxograma da integração do ACO, desenvolvido em Matlab, com o

ABAQUS. ...........................................................................................................60

Figura 5.1 - Placa quadrada com furo de diâmetro D . .............................................80

Figura 5.2 - Malha da placa quadrada com furo de diâmetro D = 0,08 m................81

xii

Figura 5.3 - Primeiro modo de vibração da placa quadrada com furo de diâmetro D

= 0,08 m. ............................................................................................................82

Figura 5.4 - Primeiro modo de vibração da placa retangular com furo de diâmetro D

= 0,06 m. ............................................................................................................84

Figura A.1 - Exemplo de grafo.................................................................................105

Figura A.2 - Exemplo de grafo direcionado. ............................................................107

Figura A.3 - Exemplo de grafo Euleriano (As pontes de Königsberg). ....................107

Figura A.4 - Exemplo de grafo bipartido. .................................................................108

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Influência dos parâmetros no projeto de compostos laminados (HAFTKA

e GÜRDAL, 1992). ...............................................................................................7

Tabela 3.1 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e

de orientações....................................................................................................37

Tabela 3.2 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e

de materiais........................................................................................................37

Tabela 4.1 - Correspondência entre a natureza e o ACO. ........................................41

Tabela 4.2 - Parâmetros para o ACS. .......................................................................49

Tabela 4.3 - Representação do ACO aplicado a materiais compostos laminados. ...52

Tabela 5.1 - Propriedades da lâmina de grafite/epóxi. ..............................................63

Tabela 5.2 - Cargas aplicadas no laminado. .............................................................63

Tabela 5.3 - Caso 1: Comparação de resultados entre ACO (presente trabalho) x

ACO de AYMERICH e SERRA (2008)* para o carregamento 2. .......................64

Tabela 5.4 - Ótimos práticos para o carregamento 1 (KOGISO et al., 1994a). .........65

Tabela 5.5 - Ótimos práticos para o carregamento 2 (KOGISO et al., 1994a). .........65

Tabela 5.6 - Ótimos práticos para o carregamento 3 (KOGISO et al.,1994a). ..........66

Tabela 5.7 – Parâmetros adotados nos testes do caso 1 com ACO. ........................67

Tabela 5.8 - Comparação do desempenho sem busca local do ACO x AG..............68

Tabela 5.9 - Comparação do desempenho com busca local do ACO x AG..............68

Tabela 5.10 - Propriedades das lâminas. ..................................................................69

Tabela 5.11 - Valores mínimos para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas

no laminado........................................................................................................70

Tabela 5.12 - Caso 2: Comparação ACO (presente trabalho) x AG (GIRARD, 2006).

...........................................................................................................................72

xiv

Tabela 5.13 - Valor mínimo para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas no

laminado.............................................................................................................73


...........................................................................................................................75

Tabela 5.15 - Características da placa de laminado. ................................................76

Tabela 5.16 - Propriedades do grafite/epóxi. ............................................................77

Tabela 5.17 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular. .......77

Tabela 5.18 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular obtida

via ACO/ABAQUS..............................................................................................79

Tabela 5.19 - Caso 5: Sequência de empilhamento ótima da placa quadrada com

furo com ACO/ABAQUS.....................................................................................81

Tabela 5.20 - Sequência de empilhamento da placa retangular com furo com

ABAQUS. ...........................................................................................................83

Tabela 5.21 - Caso 6: Sequência ótima de empilhamento da placa retangular com

furo (ACO/ABAQUS). .........................................................................................83

xv

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACO - Ant Colony Optimization

ACOR - Ant Colony Optimization for Contínuos Domains

ACS - Ant Colony System

AF - Avaliação da Função Objetivo

AG - Algoritmo Genético

AS - Ant System

ASRANK - Rank – Based Ant System

CAE - Computer Aided Design, Módulo do ABAQUS, extensão do

nome do arquivo

C-E - Carbono-Epóxi

DP - Desvio Padrão

MATLAB® - MATrix LABoratory - Programa de computação científica

MCLACA - Multi City-Layer Ant Colony Algorithm

MCLACAW1 - Multi City-Layer Ant Colony Algorithm Without Interchange

ME - Média

MEF - Método dos Elementos Finitos

MMAS - MAX-MIN Ant System

PSO - Particle Swarm Optimization

S-ACO - Simple Ant Colony Optimization

SIMPLE-ACO - Simple Ant Colony Optimization

TCL - Teoria Clássica dos Laminados

U - Unidade Monetária

V-E - Vidro-Epóxi

xvi

LISTA DE SÍMBOLOS

a - Comprimento do laminado A - Conjunto das arestas dos nós do grafo

ijA - Matriz de rigidez extensional

mnA - Coeficientes da série de Fourier da frequência natural b - Largura do laminado

ijB - Matriz entre flexão e membrana de acoplamento C - Conjunto dos componentes

bsC - Comprimento do circuito da melhor solução da iteração

ijC - Coeficientes da matriz constitutiva do material nnC - Comprimento do circuito

D - Diâmetro

ijD - Componentes da matriz de flexão e - Espessura da lâmina

E - Módulo de Young (Subseção 3.2) - Conjunto de arestas ou pares de vértices (Subseção A.1) f - Função a ser minimizada

fBL - Solução gerada com a rotina de busca local fmin - A melhor solução da iteração

f ( x ) - Função objetivo

f* - A melhor solução

sF - Fator de segurança

F( x ) - Função penalizada

12F - Coeficiente de acoplamento do critério de Tsai_Wu g - Aceleração da gravidade

jg ( x ) - Funções de restrições de desigualdade

ming - Soma mínima da restrição

somag - Soma das restrições

xvii

g( x ) - A restrição

1g - Restrição para cbλ

2g - Restrição para W

G - Módulo de cisalhamento

G( n ) - Grafo aleatório com n vértices

G( N ,A ) - Grafo dos nós N e arestas A

h - Espessura do laminado

ih ( x ) - Funções de restrições de igualdade

J - Variável randômica selecionada pela probabilidade kijp

k - Índice que indica o número da camada de laminado (Subseção 3.3.1) - Formiga (Subseção 4.1.1) l - Candidato do conjunto de soluções

m - Material da lâmina (Seção 3.1) - Modo de vibração da frequência natural (Subseção 3.5.1) - Quantidades de formigas artificiais do ACS (Subseção 4.1.2.1)

kmat - Material correspondente a cada par de lâmina

xM - Momento fletor resultante proveniente da distribução de tensões na direção x

xyM - Momento torsor resultante em relação ao plano xy

yM - Momento fletor resultante proveniente da distribuição de tensões na direção y

n - Número de lâminas do laminado (Seção 3.1) - Modo de vibração da frequência natural (Subseção 3.5.1) - Número de pontos no circuito das formigas (Subseção 4.1.2.1) - Número de pares de lâminas (Seção 5.1)

en - Número de restrições de igualdade

gn - Número de restrições de desigualdade

N - Conjunto de nós do grafo (Subseção 4.1) - Unidade de medida de força Newton (Seção 5.1)

Νki - Conjunto das soluções das k -ésimas formigas

NI - Número de iterações NL - Número total de lâminas

xviii

xN - Força resultante (por unidade de comprimento) na direção x

yN - Força resultante na direção y

xyN - Força cisalhante resultante em relação ao plano xy p - Meia onda na direção x na equação para modo de flambagem

kijp - Probabilidade da formiga k escolher o próximo nó j estando no nó

i

( )P A - Probabilidade de ocorrência do evento A

( )P B - Probabilidade de ocorrência do evento B

( )P A / B - Probabilidade condicional de A dado B

( )P n - Propriedade do grafo aleatório

q - Meia onda na direção y na equação para modo flambagem (Subseção 3.5.2)

q - Variável randômica entre 0 e 1 (Subseção 4.1.2.1)

0q - Parâmetro do ACS que indica a probabilidade do melhor movimento ( )0 10 ≤ ≤q

Q - Matriz constitutiva reduzida

ijQ - Componentes da matriz constitutiva reduzida nas direções principais do material

ijQ - Componentes da matriz constitutiva reduzida em direções quaisquer

ℜn - Conjunto dos números reais n -dimensional *s - Solução ótima

S - Domínio das variáveis da função objetivo (Seção 2.1) - Matriz de complacência (Subseção 3.2)

- Resistência mecânica ao cisalhamento no plano 1-2 (Subseção 3.4.1)

ijS - Coeficientes da matriz de complacência

12S - Tensão cisalhante no plano 1, 2

εS - Deformação máxima cisalhante de falha t - Tempo

bsT - Conjunto com as melhores soluções das iterações

u - Deslocamento na direção x

xix

cu - Deslocamento u no ponto c

0u - Deslocamento na direção x no plano médio da placa U - Unidade monetária v - Deslocamento na direção y

0v - Deslocamento na direção y no plano médio da placa V - Conjunto de vértices ou nós do grafo

1V - Subconjunto de vértices ou nós do grafo do conjunto V

2V - Subconjunto de vértices ou nós do grafo do conjunto V ( 1V ≠ 2V ) w - Deslocamento na direção z

0w - Deslocamento na direção z no plano médio da placa W - Peso do laminado

maxW - Peso máximo do laminado

X - Resistência na direção longitudinal às fibras - Conjunto das soluções (Seção 4.3)

X - Conjunto das soluções factíveis

cX - Resistência mecânica em compressão da lâmina na direção longitudinal às fibras

εcX - Deformação de falha à compressão da lâmina na direção longitudinal das fibras

εtX - Deformação de falha à tração da lâmina na direção longitudinal das fibras

tX - Resistência mecânica em tração da lâmina na direção longitudinal às fibras

x, y - Coordenadas do plano x, y

Y - Resistência na direção transversal às fibras

cY - Resistência mecânica em compressão na direção transversal

εcY - Deformação de falha à compressão da lâmina na direção transversal às fibras

εtY - Deformação de falha à tração da lâmina na direção transversal às fibras

tY - Resistência mecânica em tração na direção transversal z - Direção perpendicular ao plano x, y (Seção 3.3) - Índice da sequência de empilhamento das lâminas (Subseção 3.3.2)

cz - Deslocamento na direção z do ponto c

kz - Espessura da lâmina k

xx

1−kz - Espessura da lâmina 1−k

0z - Espessura do laminado no ponto inicial 1,2 - Coordenadas do plano 1, 2

% - Comentário no pseudocódigo α - Parâmetro de controle de influência de feromônio (Seção 2.3)

- Parâmetro de controle de influência de feromônio do AS (Subseção 4.1.1)

β - Ângulo, declive do laminado após deformação (Subseção 3.3.1)

- Parâmetro de controle da informação heurística do AS (Subseção 4.1.1)

- Parâmetro de controle da informação heurística do ACS (Subseção 4.1.2.1)

γ - Deformação cisalhante kγ - Deformação cisalhante na direção principal da k -ésima lâmina

xyγ - Deformação cisalhante no plano x, y 0γ xy - Deformação cisalhante xy no plano médio da placa

xzγ - Deformação cisalhante em relação ao plano x,z

γ yz - Deformação cisalhante em relação ao plano y,z uγ - Deformação cisalhante admissível de falha

12γ - Deformação cisalhante no plano 1,2 bΔ - Valor de bonificação gΔ - Fator de relaxamento

pΔ - Valor de penalização

τΔ k - Quantidade de feromônio a depositar pela formiga k

τΔ bsij - Quantidade de feromônio para a melhor solução da iteração

ε j - Componentes de deformação kε - Deformação normal na direção principal da k -ésima lâmina uε - Deformação normal admissível de falha

εx - Deformação normal na direção x ε y - Deformação normal na direção y

0εx - Deformação normal na direção x , atuando no plano médio da placa

xxi

0ε y - Deformação normal na direção y , atuando no plano médio da placa

εz - Deformação normal na direção z

2ε - Deformação normal na direção 2 η - Informação heurística ou valor heurístico

fn - Número total de avaliações da função objetivo

θ - Ângulo de orientação da fibra na lâmina (Seção 3.1)

- Ângulo do eixo x, y para o eixo 1,2 (Seção 3.2)

θ k - Ângulo de orientação de duas lâminas contíguas

κx - Curvatura em x na superfície média após o deslocamento 0u

κ y - Curvatura em y na superfície média após o deslocamento 0u

κz - Curvatura em xy na superfície média após o deslocamento 0u

λc - Menor valor entre o fator crítico da carga de flambagem e o fator crítico de falha

λcb - Fator crítico da carga de flambagem

λcf - Fator crítico de falha

minλ - Carga crítica mínima de flambagem

ν - Coeficiente de Poisson ξ - Parâmetro da taxa de evaporação local de feromônio do ACS

π - Número PI ρ - Parâmetro da taxa de evaporação de feromônio (Seção 2.3) - Densidade média ao longo da espessura (Subseção 3.5.1)

- Parâmetro da taxa de evaporação de feromônio do AS (Subseção 4.1.1)

- Parâmetro da taxa de evaporação global de feromônio do ACS (Subseção 4.1.2.1)

σ i - Componentes de tensão

xσ - Tensão normal na direção x

yσ - Tensão normal na direção y

1σ - Tensão normal na direção 1

2σ - Tensão normal na direção 2 τ - Tensão cisalhante

xxii

xyτ - Tensão cisalhante no plano x, y

12τ - Tensão cisalhante no plano 1,2 τ ij - Feromônio artificial

0τ - Valor inicial de quantidade de feromônio

ω - Frequência natural ωmax - Máxima frequência fundamental

Ω - Restrições do problema (Seção 4.3)

- Conjunto não vazio (Subseção A.6.1)

Capítulo 1 Introdução 1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Gerais

Os materiais compostos laminados são usados atualmente em peças e

componentes estruturais nas indústrias aeronáutica, automobilística, militar,

espacial, principalmente devido às suas excelentes características de alta rigidez e

baixo peso, e facilidade de adaptá-los às geometrias complexas. As aplicações têm

se expandido também às indústrias de produtos esportivos, construção civil e de

autopeças. Com o objetivo de melhorar o desempenho de compostos laminados via

otimização de seu projeto estrutural, estuda-se qual a melhor configuração para a

espessura das lâminas, os ângulos de orientação das fibras e diferentes tipos de

materiais das lâminas. Geralmente estas variáveis têm valores discretos definidos

em um espaço finito (por exemplo, comumentemente as opções de orientações das

fibras são 0°, ± 45º e 90º para um dado material onde a espessura da lâmina é pré-

definida). A conjugação destes parâmetros visando a otimização da estrutura leva a

um problema de otimização combinatória em função dessas variáveis discretas.

Uma forma bastante eficiente de resolver problemas de otimização combinatória é

através de meta-heurísticas (BLUM e ROLI, 2003). Diversas meta-heurísticas foram

testadas e usadas com o objetivo de otimizar materiais compostos laminados, como

por exemplo, algoritmos genéticos (AG), busca tabu, simulated annealing, entre

outros.

Um dos mais atuais e promissores algoritmos heurísticos, que têm evoluído

desde sua publicação na década de 1990 por Marco Dorigo (DORIGO e STÜTZLE,

2004), é o algoritmo denominado de otimização de colônia de formigas (ACO, do

inglês Ant Colony Optimization). Ele baseia-se na simulação do comportamento real

das formigas forrageiras que buscam seu alimento através das trilhas de feromônio e

no comportamento denominado estimergia (em inglês stigmergy), que é o tipo de

comunicação indireta entre as formigas, na qual elas rastreiam os melhores

caminhos. Da aplicação deste conhecimento, via comportamento simulado com

formigas artificiais, criou-se o algoritmo ACO. Este algoritmo busca melhores


soluções, nas trilhas em que se encontra maior quantidade de feromônio, com o

controle de seu depósito e evaporação. Realizam-se também atualizações locais e

globais de feromônio, melhorando assim a busca de resultados e alternativas por

caminhos não trilhados.

O avanço desta técnica em diversos problemas de otimização combinatória

tem-lhe creditado razões para que se amplie sua aplicação, especificamente no

presente caso aos problemas de otimização de estruturas de materiais compostos

laminados. Normalmente tais problemas de otimização visam o mínimo custo ou

peso, ou a maximização da rigidez da estrutura, como é detalhado posteriormente

neste texto.

1.2 Objetivos e Organização do Trabalho

Esta dissertação tem como objetivo a implementação e aplicação do método de

colônia de formigas na otimização estrutural de materiais compostos laminados.

Podem ser encontradas na literatura diversas técnicas de otimização aplicadas a

compostos laminados como: algoritmos genéticos, simulated annealing, artificial

immune system, busca tabu, método de Nelder–Mead, entre outras. Entretanto, o

algoritmo de colônia de formigas ainda é pouco explorado para este tipo de

aplicação. A proposta de sua implementação proporciona, assim, uma opção às

técnicas já existentes, além de possibilitar seu estudo detalhado bem como a

comparação com outros métodos.

Para fundamentar o estudo, é feita primeiramente uma revisão sobre

otimização, alguns conceitos e definições, a qual é a base para as formulações dos

problemas de otimização aqui estudados. As definições e teorias relacionadas ao

comportamento mecânico dos materiais compostos laminados também são descritas

e formuladas.

O algoritmo de colônia de formigas, sendo o objeto do presente estudo, é

detalhado para a sua melhor compreensão. A origem e a construção do algoritmo

são explicadas. As variantes do mesmo e a escolha pelo Ant Colony System (ACS)

para a aplicação corrente também são detalhadas. As características fundamentais


do algoritmo, como a construção via grafos, o feromônio e suas atualizações em

nível local e global de modo a tornar o algoritmo mais eficiente, também são

descritas.

Partindo-se da construção do algoritmo de colônia de formigas particularizado

para problemas de materiais compostos laminados, foram testados diversos casos

encontrados na literatura, como a maximização da resistência, a minimização do

custo, a minimização do peso e maximização da frequência fundamental

considerando placas retangulares ou quadradas. Na sequência, associou-se o

algoritmo de colônia de formigas ao programa de elementos finitos ABAQUS, para a

otimização de geometrias complexas.

A dissertação está dividida em seis capítulos, os quais apresentam os assuntos

descritos abaixo.

O Capítulo 1 contempla a introdução do trabalho focando principalmente o

objetivo, bem como sua estruturação.

O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica de otimização e técnicas de

otimização envolvidas nos problemas de compostos laminados.

O Capítulo 3 resume a teoria da mecânica dos materiais compostos laminados

e os critérios de falha usualmente utilizados para estes materiais. Os conceitos

mostrados neste capítulo servirão de base para a compreensão dos problemas de

otimização estudados.

O Capítulo 4 está organizado de modo a descrever a origem do algoritmo de

colônia de formigas, os procedimentos que compõem o mesmo e a justificativa de

escolha pelo algoritmo Ant Colony System (ACS) dentre as diversas variantes. Os

fundamentos do algoritmo de colônia de formigas aplicados aos materiais compostos

laminados também são expostos.

O Capítulo 5 descreve os diversos problemas solucionados aplicando o

algoritmo desenvolvido e implementado. Os resultados de testes numéricos são

apresentados e discutidos.

Para finalizar, no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste trabalho e

as sugestões para futuras pesquisas complementares, e no Glossário alguns termos

específicos relacionados com o tema do trabalho.

Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 4

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Otimização e Problemas de Otimização

Otimização refere-se, como define CASTRO (2006), aos conceitos, métodos e

aplicações relacionadas com a determinação da melhor ou das melhores soluções

para um dado problema. Envolve o estudo das condições ótimas, desenvolvimento e

análise de algoritmos, aplicações e experimentações computacionais. Para resolver

através de algoritmos um problema de otimização, é necessário desenvolver

inicialmente a formulação matemática do problema. Em seguida descrever todos os

aspectos do problema, o que proporcionará definir a função objetivo a minimizar ou a

maximizar, respeitando os critérios de restrições impostas pelo problema, do qual se

extraem as soluções factíveis e, a partir destas, as ótimas ou melhores soluções.

Outro aspecto importante relativo aos algoritmos de otimização, que se baseiam em

processos iterativos de busca da solução, diz respeito à convergência. Deve-se

garantir as condições de convergência, velocidade de convergência para uma

solução de boa qualidade.

Normalmente o objetivo da otimização de um projeto é melhorar a sua

eficiência e diminuir seu custo. A otimização busca, portanto, determinar qual é o

melhor projeto, sem que seja necessário computar todas as possíveis alternativas.

Os problemas de otimização podem ser representados por uma função

objetivo, por vezes também denominada função custo ou de mérito, que é a função

a ser avaliada, buscando a sua maximização ou minimização, sob determinadas

restrições (ARORA, 2004). A função objetivo e as funções de restrições dependem

das variáveis de projeto. As variáveis de projeto são aquelas que sofrem alterações

durante o processo de otimização. As restrições são funções que estabelecem

limites permitidos pelas variáveis.

Matematicamente a função objetivo pode ser escrita como

f(x), tal que x nS ,∈ ⊂ ℜ Eq. 2.1


onde x são as variáveis de projeto pertencentes ao domínio S destas variáveis.

Estas podem ser do tipo: reais, inteiras, mistas (reais e inteiras em um mesmo

problema), discretas, contínuas, limitadas, etc.

As restrições são representadas por

hi(x) = 0 1= ei ,...,n ,

gj(x) ≤ 0 1,..., gj n= , Eq. 2.2

sendo que hi(x) são as funções de restrições de igualdade e gj(x) as funções de

restrições de desigualdade.

A otimização combinatória considera o problema dentro de um conjunto finito

de variáveis, e a otimização contínua resolve o problema em um domínio infinito,

pois as variáveis possuem variação contínua. As restrições determinam os campos

das soluções factíveis e das infactíveis. As factíveis significam que as possíveis

soluções candidatas respeitam as restrições, e as infactíveis é o conjunto de

soluções que violam as condições impostas pelas restrições. Um problema de

otimização busca sempre uma solução ótima factível (PHAM e KARABOGA, 2000).

Por vezes, alguns problemas de otimização são classificados como difíceis (do

inglês hard). A interpretação para difícil diz respeito principalmente ao tempo

computacional necessário para se encontrar a solução. Um problema difícil é

definido por CORNE et al. (1999) como um problema que não garante a obtenção da

melhor solução em um tempo aceitável. Além disso, não existe um método ou

algoritmo de otimização que seja eficiente para todos os tipos de problemas. Os

métodos estocásticos (processos de busca com algum elemento randômico) têm se

destacado na solução de problemas em que outros métodos não conseguem

apresentar bons resultados (SPALL, 2003).

2.2 Otimização Estrutural de Materiais Compostos

Estudos sobre a mecânica dos materiais compostos se intensificaram a partir

de 1960, com pesquisadores como Dr. Stephen Tsai, Dr. Rozen, Dr. Broustman,


Dow e outros, como relata CHAMIS (2007). Estes desenvolveram a base teórica da

mecânica dos materiais compostos que considera a análise da micromecânica e da

macromecânica, evoluindo da teoria clássica dos laminados, para o campo das

estruturas dos compostos. Várias teorias foram desenvolvidas, também, para a

análise de falhas em termos das tensões, como as teorias de Tsai-Hill, Tsai-Wu,

Hoffmann, entre outras.

O projeto de estruturas de compostos laminados, como qualquer outro projeto

estrutural, normalmente visa a redução de custo e peso, além de buscar uma

maximização da resistência. Assim, os projetos de compostos reforçados podem se

tornar muitas vezes um problema de otimização multiobjetivo, sendo necessário

computar a espessura ótima do laminado, o ângulo das lâminas, o material de cada

lâmina. Além disso, devido às restrições de fabricação, o ângulo e a espessura da

lâmina são selecionados de valores discretos e o projeto torna-se um problema de

otimização discreta (DEKA et al., 2005). Como descrevem BLOOMFIELD et al.

(2009) a otimização do empilhamento é inerentemente um problema com variáveis

discretas. Em projeto de laminados, a espessura da lâmina é geralmente fixada e as

orientações das lâminas têm valores discretos. A determinação da sequência de

empilhamento de uma placa de espessura dada usando as orientações das lâminas

como variáveis de projeto é um problema combinatório. Outra restrição dos

laminados está relacionada à quantidade de lâminas adjacentes de mesma

orientação. A ocorrência de mais de quatro lâminas adjacentes com a mesma

orientação pode deixar a matriz quebradiça, devido aos efeitos de tensões térmicas

geradas durante o processo de cura (GÜRDAL et al., 1999).

Decidir o número de lâminas de orientação específica não é suficiente para

definir o melhor laminado (HAFTKA e GÜRDAL, 1992), mas sim conhecer a

sequência de empilhamento, as orientações para cada lâmina e os respectivos

materiais. O que determinará a melhoria no projeto de laminados compostos são as

escolhas dos valores das variáveis de projeto, o que significa projetar as

propriedades do laminado (WIDMAIER, 2005). A Tabela 2.1 mostra a influência da

variação dos parâmetros no projeto de compostos laminados.


Tabela 2.1 - Influência dos parâmetros no projeto de compostos laminados (HAFTKA e GÜRDAL, 1992).

Parâmetros do projeto Influência principal

Ângulo de orientação da lâmina Direção da resistência

Espessura da lâmina Resistência global

Sequência de empilhamento Rigidez e acoplamento entre as matrizes constitutivas

Resumindo, um projeto eficiente de compostos laminados não computa

somente a área e a espessura que determinada aplicação deve alcançar, mas

também as propriedades global e local dos materiais através do uso seletivo da

orientação, número e sequência de empilhamento das lâminas que constituem o

laminado (HAFTKA e GÜRDAL, 1992). Assim, em função do número de variáveis de

projeto, a otimização de compostos laminados torna-se complexa. Encontrar o

melhor projeto, sem que se violem as restrições, é normalmente muito difícil e é

onde muitas das soluções encontradas podem ser ótimos locais. Considerando, por

exemplo, um laminado com 20 lâminas, sendo que cada uma dessas lâminas pode

assumir 2 orientações (0° e 90°), há aproximadamente 220 ≈ 1.000.000 possíveis

alternativas de soluções para o projeto (GÜRDAL et al., 1999).

O projeto de otimização de estruturas de compostos laminados é um problema

de otimização global, com múltiplos ótimos locais e um espaço de projeto complexo,

destaca ERDAL e SONMEZ (2005). A otimização com algoritmo determinístico pode

tender para um ponto de ótimo local em vez de um ótimo global, dependendo do

ponto inicial. Além disso, se o ponto inicial estiver em uma região infactível, ou seja,

inviável, o algoritmo pode convergir para um ótimo local infactível. Muitos métodos

de otimização também não são adequados para variáveis discretas, por exemplo, o

número de lâminas do laminado ou valores discretos para as orientações das

lâminas. Por estas razões, as técnicas de otimização estocásticas têm se destacado

por não serem sensíveis ao ponto inicial, efetuando a busca em uma região grande,

escapando de estagnar num ótimo local e poder tratar problemas em variáveis

contínuas, discretas ou mistas com a mesma facilidade. Assim, recentemente, têm

surgido métodos não determinísticos para a otimização de materiais compostos

laminados, como os algoritmos heurísticos, que são algoritmos exploratórios não


exatos e meta-heurísticos, que buscam solucionar problemas genéricos onde não se

tem um algoritmo eficiente. Em uma meta-heurística utilizam-se estratégias guiadas

por processos de busca heurística e estocástica na exploração do espaço da

solução (CASTRO, 2006). A mesma utiliza técnica de busca de modo a escapar de

um mínimo local.

Uma meta-heurística é um tipo de algoritmo exploratório inteligente onde

técnicas de alto nível (meta = alto nível, do prefixo grego) são aplicadas nos

procedimentos heurísticos (do grego heuriskein = descobrir). A mesma é usada para

resolver problemas difíceis, para encontrar a melhor alternativa, a mais próxima da

solução ótima, com menor custo computacional. Meta-heurísticas vêm sendo

aplicadas na solução de problemas específicos dentre os quais problemas de

otimização combinatória. Exemplos de meta-heurísticas são o simulated annealing, a

busca tabu, algoritmos genéticos, algoritmo de colônia de formigas, entre outros.

Podem ser encontrados na literatura inúmeros trabalhos aplicando-se

diferentes técnicas de solução a problemas de otimização de materiais compostos

laminados, entretanto há predominância dos algoritmos genéticos. Dentre estes

trabalhos evidenciam-se aqui os seguintes: LE RICHE e HAFTKA (1993) estudaram

o uso de algoritmos genéticos para otimizar a sequência de empilhamento na

maximização da carga de flambagem e analisaram também os efeitos das lâminas

adjacentes como restrição; TODOROKI et al. (1996) otimizaram a sequência ótima

de empilhamento com a técnica de decisão sequencial orientados a objeto e pelo

método branch and bound; LIU et al. (2000) desenvolveram um algoritmo genético

com novas características permutativas, a fim de obterem a sequência de

empilhamento das lâminas, para resolver o problema da máxima carga de

flambagem; GANTOVNIK et al. (2002) adotaram um algoritmo genético no qual

incluíram uma memória para as variáveis contínuas, para a minimização do peso, e

assim obterem a melhor sequência de empilhamento, neste caso com variáveis

discretas e contínuas; SOREMEKUN et al. (2002) utilizaram um algoritmo genético

para resolver o problema de minimização de peso e custo de estruturas com

quantidades diferentes de lâminas; TERADA et al. (2001) maximizaram a carga de

flambagem utilizando o método fractal branch and bound na otimização da

sequência de empilhamento para uma placa retangular; SPALLINO e RIZZO (2002)


otimizaram estruturas de compostos laminados utilizando estratégias evolucionárias

e teoria dos jogos em problemas discretos multiobjetivos. LUERSEN e LE RICHE

(2004) aplicaram o método Globalized Nelder-Mead na maximização da carga de

flambagem; DEKA et al. (2005) combinaram algoritmos genéticos com o método de

elementos finitos para a otimização multiobjetivo de minimização de custo e peso

combinados; ZEHNDER e ERMANNI (2006) pesquisaram a técnica de algoritmos

evolucionários na otimização de rigidez de estruturas; AKBULUT e SONMEZ (2008)

investigaram a aplicação do algoritmo simulated annealing na minimização da

espessura do laminado. LOPEZ et al. (2008) analisaram os efeitos dos critérios de

falha na minimização do peso dos materiais compostos laminados. Estes

pesquisadores também desenvolveram e aplicaram um algoritmo genético na

otimização de materiais compostos híbridos (LOPEZ et al., 2009).

As soluções ótimas muitas vezes requerem um tempo elevado de

processamento computacional em relação às partes heurísticas. Por outro lado, a

inclusão de uma rotina de busca local muitas vezes tende a reduzir este tempo.

Dessa forma, surgem os algoritmos híbridos, como por exemplo, um algoritmo

genético com busca local, como apresentado por LEE et al. (2005).

De forma a complementar às técnicas de otimização, tem-se o método dos

elementos finitos como ferramenta auxiliar no projeto e otimização de estruturas.

Como avalia ACEVES et al. (2008), o avanço do método dos elementos finitos e sua

combinação com algoritmos de otimização permitiu o seu uso como estratégia na

otimização do projeto de estruturas de material composto com geometrias

complexas.

Um aspecto importante destas estruturas está relacionado ao comportamento

dinâmico das placas de laminados compostos. A melhoria do desempenho dinâmico

do material composto está diretamente relacionada com a otimização dos valores

das frequências naturais para diminuir os riscos da ressonância causada por

excitações externas. Em função desta necessidade, muitos pesquisadores vêm

realizando estudos desta natureza, adotando o método dos elementos finitos,

incorporando ou analisando via programas comerciais, como citado a seguir.

TESSLER et al. (1995) estudaram a vibração de placas finas de laminados

compostos utilizando a técnica de elementos finitos com o ABAQUS, comparando


com a solução analítica e com uma teoria de ordem superior para placas de

laminados. LEE e KIM (1996) compararam os resultados analíticos da frequência

fundamental com os resultados obtidos pelo ABAQUS. HU e JUANG (1997)

utilizaram o método da programação linear sequencial em combinação com o

ABAQUS para a otimização das orientações das fibras no problema de maximização

da frequência fundamental. DANO et al. (2000) desenvolveram, via ABAQUS, um

modelo em elementos finitos para análise de falha em laminados simétricos

balanceados. Problemas de maximização de frequências fundamentais foram

resolvidos por NARITA e HODGKINSON (2005) e NARITA e ROBINSON (2006)

onde abordam a otimização considerando que as lâminas externas têm um maior

efeito na rigidez em relação às internas. Assim, a sequência ótima de empilhamento

pode ser obtida determinando-se a melhor orientação das fibras para cada camada

ordenadamente de fora para dentro. Muitos pesquisadores têm desenvolvido

trabalhos para analisar a vibração em laminados compostos utilizando teorias de

ordem superior, como por exemplo, PRADYUMNA e BANDYOPADHYAY (2007),

que analisaram o comportamento estático e dinâmico de laminados via elementos

finitos de casca de ordem superior.

2.3 Algoritmo de Colônia de Formigas Aplicado a Materiais Compostos Laminados

Poucos trabalhos apresentam a aplicação do ACO em compostos laminados.

Dentre estes se destacam os trabalhos de AYMERICH e SERRA (2008) e

ABACHIZADEH e TAHANI (2009).

No primeiro artigo é utilizada a variante Ant System (AS) para otimizar a

sequência de empilhamento de placas laminadas. Foi maximizada a carga de

flambagem de uma placa retangular de espessura fixa, sujeita a forças de

compressão biaxiais e restrições de resistência. Os resultados, comparados com

aqueles obtidos com um algoritmo genético e busca tabu, foram semelhantes ou

melhores. A seleção dos parâmetros do ACO apropriados que controlam o processo

durante a busca são essenciais para melhorar o desempenho do algoritmo. Um valor

alto de α , que é o parâmetro de controle de influência de feromônio, tende a

aumentar a importância probabilística do conhecimento acumulado. Por outro lado, o


aumento da taxa de evaporação ρ evita o acúmulo excessivo de feromônio,

diminuindo o risco de estagnação do algoritmo e promove a procura por soluções em

novas regiões. Os testes realizados por AYMERICH e SERRA (2008) conduziram a

valores de α = 0,95 e ρ = 0,91. Outro ponto importante observado pelos autores

acima diz respeito às restrições do problema. Elas foram introduzidas na construção

das soluções viáveis no fim de cada iteração de processamento do algoritmo ACO.

Os autores implementaram uma rotina de ação daemon, cujo termo significa um

programa específico para executar uma determinada tarefa, para melhorar o

desempenho do algoritmo com a introdução de uma rotina de busca local. O terceiro

ponto considerado diz respeito à quantidade de formigas, sendo adotada apenas

uma formiga por iteração. Isto para diminuir a complexidade computacional e limitar

o número de parâmetros a serem observados que poderiam afetar ou aumentar os

custos computacionais, como destacam os autores. Embora os mesmos ressaltem

que evidências experimentais apontam que uma colônia de formigas apresente

melhores resultados, o número de formigas a ser utilizado deve ser avaliado de

acordo com o problema específico em análise.

O segundo artigo (ABACHIZADEH e TAHANI, 2009) trata da otimização da

frequência fundamental e da minimização do custo de compostos laminados. O

algoritmo implementado neste caso é o Ant Colony System, ACS, que é outra

variante do ACO. As restrições são impostas através da penalização da função

objetivo e os valores dos parâmetros do algoritmo foram adotados conforme as

sugestões de DORIGO e STÜTZLE (2004). Os autores detectaram uma rápida

convergência para um ótimo global nas primeiras iterações. Os resultados obtidos,

quando comparados com algoritmos genéticos e simulated annealing, revelam que o

ACO apresenta ótimos resultados e supera-os em determinados casos. Não foram

adotadas as ações daemon para rastrearem uma busca localizada. Porque este

algoritmo já atua com a atualização local e global de feromônio, melhorando o seu

desempenho, além de considerar a evaporação e depósito nestas instâncias durante

os percursos realizados pelas formigas.

Recentemente, BLOOMFIELD et al. (2009) analisaram e compararam um AG,

um ACO e um PSO (otimização por enxame de partículas, do inglês particle swarm

optimization). Tais algoritmos foram aplicados na minimização do peso sujeito às


restrições de resistência e flambagem de materiais compostos laminados. Estes

pesquisadores concluíram que, para os problemas analisados, o ACO é um dos

melhores métodos para determinar a sequência de empilhamento do laminado

composto.

WANG et al. (2009) aplicaram o algoritmo de colônia de formigas na

maximização do fator crítico de carga e realizaram testes de desempenho do

algoritmo comparando com trabalhos desenvolvidos em AG e ACO. A otimização da

rigidez de painéis T e a sequência de empilhamento do laminado foram estudados

por WANG et al. (2010) para a maximização da carga de flambagem sob restrição

do peso utilizando um ACO.

Capítulo 3 Conceitos da Mecânica dos Materiais Compostos Laminados 13

3 CONCEITOS DA MECÂNICA DOS MATERIAIS COMPOSTOS

LAMINADOS

3.1 Definições e Generalidades

Material composto, ou também chamado material compósito, significa a união

de dois ou mais materiais que são combinados para formar um terceiro material

(JONES, 1999). Ou, como define STAAB (1999), material composto é considerado

um material que contenha dois ou mais constituintes com comportamentos

macroscópicos significativamente diferentes, unidos para formar um terceiro material

com comportamento diferente dos dois primeiros.

Os materiais compostos têm sido usados na natureza desde tempos remotos.

Pode-se identificar seu uso através da história, como os tijolos, placas de madeira

utilizadas pelos egípcios, fibras de plantas utilizadas pelos povos Maias e Incas e

espadas dos samurais, fabricadas em multicamadas. Outros exemplos da natureza

considerados como compostos são: bambu, tecido dos músculos e ossos, como

exemplifica STAAB (1999).

Os materiais compostos têm evoluído principalmente devido aos avanços

tecnológicos em diversas áreas como: espacial, aeronáutica e automobilística. As

novas tecnologias têm levado estas indústrias a adotarem e projetarem estruturas

com tais materiais, pois eles são ideais para aplicações onde são requeridas altas

relações resistência-peso ou rigidez-peso (JONES, 1999).

A partir de 1960, estes materiais tiveram seu uso intensificado pela indústria

militar, mas vêm sendo atualmente utilizados também em outras aplicações, tais

como: raquetes de tênis e tacos de golfe, bicicletas, contêineres, na construção civil

e em satélites.

Um caso particular dos materiais compostos são os compostos laminados,

objeto do presente estudo. Eles são formados pela união (empilhamento) de várias

lâminas, onde cada lâmina é composta pela matriz, que é sua fase contínua, e pelas

fibras. Neste trabalho são consideradas que as fibras são contínuas, unidirecionais e

paralelas, alinhadas segundo uma orientação. Este arranjo fornece um caráter


ortrotópico ao material, onde sua resistência e rigidez são muito maiores na direção

das fibras do que na direção transversal (perpendicular) a elas. A Figura 3.1

apresenta, de forma esquemática, como é formado um material composto laminado.

As fibras têm a função de reforço, aumentando a rigidez do conjunto. Como exemplo

de fibras comumentemente utilizadas tem-se as fibras de vidro, carbono e boro. Já a

matriz, tem a função de suportar e proteger as fibras e distribuir de forma

homogênea o carregamento para estas. Ela possui normalmente baixa densidade,

rigidez e resistência em relação às fibras. Como exemplo de materiais utilizados

para matrizes tem-se o poliéster e o epóxi.

Figura 3.1 - Material composto laminado.

Os laminados podem ser compostos de diferentes lâminas com materiais e

orientações diferentes. Assim, pode-se desenvolver elementos estruturais com

características voltadas às necessidades específicas de cada aplicação.

A nomenclatura para a sequência de empilhamento do laminado apresenta

uma notação padrão. Este padrão lista as orientações das diferentes lâminas em

relação a um sistema de referência, iniciando da lâmina superior para a inferior, e é

representado como

1 2 n, , ,⎡ ⎤θ θ θ⎣ ⎦… ou 1 2 n/ / /⎡ ⎤θ θ θ⎣ ⎦… . Eq. 3.1


Esta expressão indica a sequência de empilhamento de um laminado composto de

n lâminas, todas de um mesmo material e espessura, onde iθ representa o ângulo

de orientação da lâmina i. Os laminados podem ter diversas lâminas adjacentes com

a mesma orientação. Nesses casos, para simplificar a notação, escreve-se o ângulo

e a quantidade correspodente de lâminas que possuem a mesma orientação. Por

exemplo, 2 30 90 45, ,⎡ ⎤⎣ ⎦ representa um laminado que possui um total de 6 lâminas, 2

orientadas a 0°, 3 orientadas a 90° e uma orientada a 45°, cuja notação estendida é

[ ]0 0 90 90 90 45, , , , , .

Em alguns casos têm-se duas lâminas adjacentes onde uma é o par negativo

da outra (+θ e −θ). Neste caso, o sinal ± é indicado na frente do ângulo que

representa a orientação do par de lâminas. Por exemplo, [ ]45± indica duas lâminas,

uma orientada a +45° e outra a -45°. Se cada lâmina do laminado possuir seu par

negativo, não necessariamente em posição adjacente, o laminado é dito

balanceado.

Os laminados também podem ser simétricos em relação a um plano de

empilhamento, ou seja, apresentam a configuração das orientações espelhada

abaixo e acima do plano médio, que é o plano de simetria. A letra s em subscrito

representa a notação para simétrico. Por exemplo, [ ]s0 60, , indica o empilhamento

de 4 lâminas, com as seguintes orientações: 0°, 60°, 60° e 0°.

No caso de material composto laminado híbrido (possui diferentes tipos de

lâminas), a indicação dos diferentes materiais e suas respectivas espessuras é feita

adicionando novos índices, normalmente superescritos, à sequência de

empilhamento. Assim, o empilhamento é indicado por

1 2,m,e ,m,e n ,m,e, , ,⎡ ⎤θ θ θ⎣ ⎦… , Eq. 3.2

onde m representa o material e e a espessura das respectivas lâminas da

sequência de empilhamento.

A seguir são descritos os conceitos básicos do comportamento mecânico de

laminados, baseados na Teoria Clássica dos Laminados (JONES, 1999 e GÜRDAL


et al. 1999). Isto permite um equacionamento analítico da resposta estrutural do

laminado, o qual é utilizado nos problemas propostos e solucionado no Capítulo 5.

3.2 Comportamento Macromecâmico de uma Lâmina

O comportamento mecânico do laminado está diretamente relacionado ao

comportamento da lâmina. Dessa forma, para analisar o laminado, é necessário

compreender primeiramente uma lâmina.

A lâmina (do tipo matriz-fibra) é estudada aqui do ponto de vista

macromecânico, onde ela é presumida homogênea e os efeitos dos materiais

constituintes são detectados como uma média das propriedades do composto.

Devido à sua constituição, a lâmina pode ser considerada ortotrópica e assim

apresenta diferentes propriedades mecânicas em 3 direções mutualmente

perpendiculares (JONES, 1999). Uma dessas direções é dada pelo eixo na direção

longitudinal às fibras, outra pelo eixo na direção transversal às fibras e a terceira

pelo eixo ortogonal aos dois anteriores. Tais direções são representadas por 1, 2 e 3,

respectivamente, como mostrado na Figura 3.2 e designadas por direções principais

do material ou direções de ortotropia.

Figura 3.2 - Sistema de coordenadas principais do material.

Partindo da relação tensão-deformação elástica-linear (lei de Hooke

generalizada), que em notação compactada pode ser escrita como


6

11 6i ij j

jC , i ,..., ,σ

=

= ε =∑ Eq. 3.3

onde iσ são as componentes de tensão, ijC a matriz constitutiva do material e jε as

componentes de deformação. Para o caso de material completamente anisotrópico,

a matriz ijC é simétrica e a relação tensão-deformação pode ser escrita na forma

explícita como

1 111 12 13 14 15 16

2 212 22 23 24 25 26

3 313 23 33 34 35 36

14 24 34 44 45 4623 23

15 25 35 45 55 5631 31

16 26 36 46 56 6612 12

C C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C CC C C C C C

σσσ

ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

,

⎪⎪⎪

Eq. 3.4

onde iσ , neste caso, representam as tensões normais, ijτ as tensões cisalhantes, iε

as deformações longitudinais e ijγ as deformações cisalhantes.

Quando o material apresenta o plano de simetria (z = 0) é chamado

monoclínico, e sua equação constitutiva fica

1 111 21 31 16

2 212 22 32 26

3 313 23 33 36

44 4523 23

45 5531 31

16 26 36 6612 12

0 00 00 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0

C C C CC C C CC C C C

C CC C

C C C C

ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

σσσ

. Eq. 3.5

Finalmente, para material ortotrópico (três planos de simetria mutualmente

perpendiculares), tem-se


1 111 21 31

2 212 22 32

3 313 23 33

4423 23

5531 31

6612 12

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

C C CC C CC C C

CC

C

ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

τ γ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

σσσ

Eq. 3.6

A relação inversa da lei de Hooke é expressa como

6

1

1 6i ij jj

S , i ,...,σ=

ε = =∑ Eq. 3.7

onde ijS é matriz de complacência.

Similarmente, pode-se obter as formas matriciais para a relação deformação-

tensão. A relação deformação-tensão para material anisotrópico é expressa como

1 111 12 13 14 15 16

2 212 22 23 24 25 26

3 313 23 33 34 35 36

14 24 34 44 45 4623 23

15 25 35 45 55 5631 31

16 26 36 46 56 6612 12

S S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S SS S S S S S

ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬γ τ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪γ τ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪

γ τ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

σσσ

⎪⎪⎪

Eq. 3.8

A matriz de complacência pode ser escrita em termos das constantes de

engenharia. Estas constantes são medidas por testes de tensão uniaxial ou testes

de cisalhamento puro. Tais constantes são o módulo de elasticidade ou módulo de

Young, E , o coeficiente de Poisson, ν e o módulo de cisalhamento, G .

Considerando um material ortotrópico, a matriz de complacência pode ser

escrita como


[ ]

1 21 2 31 3

12 1 2 32 3

13 1 23 2 3

23

31

12

0 0 00 0 00 0 0

S0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

1/E - /E - /E- /E 1/E - /E- /E - /E 1/E

1/G1/G

1/G

ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥ν ν⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Eq. 3.9

Como será visto na Seção 3.3, sob as hipóteses da Teoria Clássica dos

Laminados, pode-se considerar a lâmina e o laminado em um estado plano de

tensões. Assim, particulizando-se as relações deformação-tensão para este estado

de tensões,

1 111 21

2 21 22 2

6612 12

00

0 0

σσ

ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥γ τ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

S SS S

S Eq. 3.10

e

3

23

31

3 13 1 23 2

23

31

000

00

S S

σ

σ σ

=τ =τ =ε = +γ =γ =

Eq. 3.11

Invertendo-se a Eq. 3.10, obtém-se a relação tensão-deformação, expressa

como

1 111 12

2 12 22 2

6612 12

00

0 0

σσ

ε⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ γ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Q QQ Q

Q Eq. 3.12

onde ijQ são os componentes da matriz constitutiva, que em termos das constantes

elásticas de engenharia podem ser escritos como


111

12 21

21 112

12 21

222

12 21

66 12

1

1

1

=− ν νν

=− ν ν

=− ν ν

=

EQ

EQ

EQ

Q G

Eq. 3.13

Como as direções principais do material no plano da lâmina (1-2) nem sempre

coincidem com as direções das coordenadas de referência x-y, é necessário realizar

uma transformação de coordenadas de um sistema para outro. A expressão desta

transformação é dada em função do ângulo θ , que é o ângulo que relaciona o

sistema x-y com o sistema 1-2 (ver Figura 3.3). Para a relação tensão-deformação

ortotrópica, em estado plano de tensões, tem-se (JONES, 1999)

2 21

2 22

2 212

σ σσ σ

τ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤θ θ θ θ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪= θ θ θ θ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥θ θ − θ θ θ − θτ ⎩ ⎭⎣ ⎦⎩ ⎭

x

y

xy

cos sen -2sen cossen cos 2sen cos

sen cos sen cos cos sen. Eq. 3.14

Figura 3.3 - Sistemas de coordenadas x-y e 1-2.

Substituindo a relação tensão-deformação no sistema principal do material (Eq. 3.12)

na Eq. 3.14, obtem-se


11 12 16

12 22 26

16 26 66

σσ

⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε ε⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤

= ε = ε⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ γ γ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

x x x

y y y

xy xy xy

Q Q Q

Q Q Q Q

Q Q Q

, Eq. 3.15

onde ⎡ ⎤⎣ ⎦Q é a matriz constitutiva reduzida cujas componentes ijQ são expressas por

4 2 2 4

11 12 66 2211

2 2 4 411 22 66 1212

4 2 2 411 12 66 2222

3 311 12 66 12 22 6616

11 12 6626

2 2

4

2 2

2 2

2

= θ + + θ θ + θ

= + − θ θ + θ + θ)

= θ + + θ θ + θ

= − − θ θ + − + θ θ

= − −

Q Q cos ( Q Q )sen cos Q sen

Q ( Q Q Q )sen cos Q ( sen cos

Q Q sen ( Q Q )sen cos Q cos

Q ( Q Q Q )sen cos ( Q Q Q )sen cos

Q ( Q Q Q ) 3 312 22 66

2 2 4 411 22 12 66 6666

2

2 2

θ θ + − + θ θ

= + − − θ θ + θ + θ)

sen cos ( Q Q Q )sen cos

Q ( Q Q Q Q )sen cos Q ( sen cos

Eq. 3.16

A Eq. 3.15 relaciona as tensões em uma lâmina no sistema x-y, com as

respectivas deformações, em função da orientação das fibras e das propriedades

elásticas dadas no sistema principal do material.

3.3 Comportamento Macromecânico dos Laminados via Teoria Clássica dos Laminados

O desenvolvimento teórico para análise de tensões e deformação considera

alguns pressupostos ou condições especiais. Estas suposições são baseadas nas

hipóteses de Kirchhoff nos estudos de placas e nas hipóteses de Kirchhoff-Love nos

estudos de cascas. Aplicadas aos materiais compostos laminados, as principais

hipóteses são (JONES, 1999 e GÜRDAL et al. 1999):

As lâminas são perfeitamente coladas;

• A colagem ou a resina utilizada para unir as lâminas é infinitamente fina

e não deformável por cisalhamento, possibilitando deslocamento

contínuo através das lâminas;


• O laminado é considerado fino, ou seja, trata-se de uma placa ou casca

de pequena espessura;

• Baseado na hipótese acima, a superfície de referência permanece reta e

perpendicular à geometria da estrutura. Assim, as deformações

cisalhantes transversais são nulas ( 0xz yzγ γ= = );

• Não há deformações normais na direção perpendicular à superfície de

referência. Ou seja, 0zε = e, portanto a espessura permanece

constante.

As hipóteses acima levam à chamada Teoria Clássica dos Laminados (TCL),

que não considera as seguintes tensões: σ z , τzx , τzy . Somente as tensões:

σ x ,σ y , τxy são não nulas. Ou seja, resume-se ao estado plano de tensões. Ao

mesmo tempo tem-se 0z xz yzε γ γ= = = , isto é, estado plano de deformação (não há

deformação alguma no plano z).

Devido a estas considerações, JONES (1999) destaca algumas observações

que dizem respeito a esta teoria, como:

• A teoria clássica dos laminados é incapaz de predizer algumas tensões,

que normalmente causam falhas no laminado;

• Existência de valores de τxy que não são possíveis obter via TCL, como

nas bordas dos laminados.

3.3.1 Tensões e Deformações em Laminados

Com base nas hipóteses apresentadas anteriormente, os deslocamentos são

analisados a partir de um estado não deformado para o deformado, conforme

representado na Figura 3.4. Adotando as hipóteses de Kirchhoff para placas e as de

Kirchhoff-Love para cascas, pode-se obter os deslocamentos, u , v , w do laminado

para os respectivos eixos x, y e z.

Considerando uma dada seção transversal, o deslocamento 0u é aquele

relacionado com o ponto B, no plano médio do laminado (Figura 3.4 (b)). O


deslocamento uc do ponto C, em uma posição z = zc, com a linha ABCD

permanecendo reta após a deformação, é expresso por

0= − βc cu u z , Eq. 3.17

onde β é o ângulo de rotação da seção transversal que, para pequenos

deslocamentos, é dado por

0∂β =

∂wx

. Eq. 3.18

(a)

(b) Figura 3.4 - Deformação de um laminado segundo a TCL.


Assim, para qualquer ponto do laminado, o deslocamento na direção x é

00

∂= −

∂wu u zx

. Eq. 3.19

Similarmente para o deslocamento na direção y tem-se

00

∂= −

∂wv v zy

. Eq. 3.20

As deformações do laminado ficam reduzidas a xε , yε , xyγ , em virtude das

hipóteses de Kirchhoff. Considerando pequenas deformações e elasticidade linear,

tem-se

∂ ∂ ∂ ∂ε = ε = γ = +

∂ ∂ ∂ ∂x y xyu v u v; ;x y y x

. Eq. 3.21

Substituindo agora as Eq. 3.19 e Eq. 3.20 na Eq. 3.21, tem-se as deformações,

dadas por

0

0

0

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫εε κ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ε = ε + κ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪γ κγ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

xx x

y y y

xy xyxy

z Eq. 3.22

onde 0εx , 0

yε , 0xyγ são as deformações na superfície média, expressas por

0

0

0 0

0

0 0

x

y

xy

uxvy

u vy x

⎧ ⎫∂⎪ ⎪

∂⎧ ⎫ε ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪

γ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∂ ∂+⎪ ⎪

∂ ∂⎩ ⎭

Eq. 3.23


e xκ , yκ , κxy as curvaturas da deformação na superfície média, dadas por

20

2

20

2

202

x

y

xy

wxwyw

x y

⎧ ⎫∂⎪ ⎪

∂⎪ ⎪⎧ ⎫κ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂⎪ ⎪κ = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬

∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪κ⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪

∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

Eq. 3.24

Substituindo a Eq. 3.22 na expressão das tensões (Eq. 3.15) e utilizando as

Eq. 3.23 e Eq. 3.24, obtem-se a distribuição de tensões ao longo da espessura do

laminado,

011 12 16

012 22 26

016 26 66

σσ

⎧ ⎫⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε⎡ ⎤ κ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ε + κ⎨ ⎬ ⎨⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎥τ κγ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

xx x

y y y

xy xyxyk k

Q Q QQ Q Q zQ Q Q

Eq. 3.25

onde k representa a k -ésima lâmina. Note que os termos ijQ são diferentes para

cada camada do laminado, e a variação das tensões através da espessura do

laminado não é necessariamente linear, apesar da variação da deformação ser

linear.

3.3.2 Forças e Momentos Resultantes no Laminado

Normalmente em um laminado não são as tensões ou deformações os

parâmetros conhecidos, mas sim as forças e momentos externos atuantes. Assim,

para relacionar tensões com os esforços atuantes, definem-se forças e momentos

resultantes, através da integração em relação à espessura total h do laminado.

A força resultante Nx em relação ao eixo x é expressa como

2

2

h /

x xh /

N dz.σ−

= ∫ Eq. 3.26


O momento resultante Mx, provocado pela distribuição das tensões σx, é dado

por

2

2

h /

x xh /

M z dz.σ−

= ∫ Eq. 3.27

Considerando as forças resultantes em todos os eixos e também substituindo a

integral contínua pela soma de integrais que representam a contribuição de cada

lâmina, tem-se

1

2

12

k

k

x x xzh / NL

y y ykh / z

xy xy xy k

NN dz dz,

N

σ σσ σ

−=−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ τ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∑∫ ∫ Eq. 3.28

onde NL é o número total de lâminas. Os limites kz e 1−kz da integral da Eq. 3.28

são as variações nas espessuras do laminado, lâmina a lâmina, e 0 2= −z h / ,

corresponde o ponto inicial, conforme visualizado na Figura 3.5.

Figura 3.5 - Geometria e definição das coordenadas ao longo das camadas do

laminado.


Da mesma forma, os momentos resultantes são dados por

1

2

12

k

k

x x xzh / NL

y y ykh / z

xy xy xy k

MM z dz z dz.

M

σ σσ σ

−=−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ τ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∑∫ ∫ Eq. 3.29

As direções e convenção de sentido positivo das forças e momentos

resultantes estão representadas na Figura 3.6.

Figura 3.6 - Representação do sentido positivo das forças e momentos resultantes

no laminado.

Substituindo a Eq. 3.25, nas Eq. 3.28 e Eq. 3.29 e colocando a matriz

constitutiva reduzida, ijQ , para fora da integral, pois é constante ao longo da

espessura de uma lâmina k , obtêm-se as forças resultantes em função da matriz

constitutiva reduzida e das deformações,

1 1

011 12 16

012 22 26

1 016 26 66

k k

k k

xx xz zNL

y y yk z z

xy zxyk

N Q Q QN Q Q Q dz zdz

Q Q QN − −=

⎧ ⎫⎧ ⎫⎧ ⎫ ε ⎧ ⎫⎡ ⎤ κ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ε + κ⎨ ⎬ ⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ κγ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

∑ ∫ ∫ Eq. 3.30

bem como os momentos resultantes em função dessas mesmas quantidades,


1 1

011 12 16

0 212 22 26

1 016 26 66

k k

k k

xx xz zNL

y y yk z z

xy zxyk

M Q Q QM Q Q Q zdz z dz

Q Q QM − −=

⎧ ⎫⎧ ⎫⎧ ⎫ ε ⎧ ⎫⎡ ⎤ κ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ε + κ⎨ ⎬ ⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ κγ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

∑ ∫ ∫ . Eq. 3.31

Como 0εx , 0ε y , 0γ xy e κx , κ y , κxy não são funções de z, pois são valores na

superfície média, estes termos podem ser removidos para fora da integral. Assim, as

Eq. 3.30 e Eq. 3.31 podem ser reescritas da seguinte forma

0

11 12 16 11 12 160

12 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

011 12 16

012 22 26

016 26 66

xx x

y y y

xy xyxy

xx

y y

xy xy

N A A A B B BN A A A B B B

A A A B B BN

M B B BM B B B

B B BM

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε κ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ε + κ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ κ⎣ ⎦ ⎣ ⎦γ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭

⎧⎧ ⎫ ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ε⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦ γ⎩ ⎭

11 12 16

12 22 26

16 26 66

x

y

xy

D D DD D D ,D D D

⎫ ⎧ ⎫κ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥+ κ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ κ⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

Eq. 3.32

onde Aij é a matriz constitutiva (ou também chamada de matriz de rigidez) de

extensão (ou de membrana), dada por

( )11

NL

ij k kijk k

A Q z z −=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , Eq. 3.33

Bij é a matriz de acoplamento flexão-extensão, expresssa por

( )2 21

1

12

NL

ij k kijk k

B Q z z −=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , Eq. 3.34

e Dij a matriz constitutiva de flexão, obtida por

( )3 31

1

13

NL

ij k kijk k

D Q z z −=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ . Eq. 3.35


Os termos 16A e 26A da matriz de extensão representam o acoplamento entre

extensão e cisalhamento e os termos 16D e 26D representam o acoplamento entre

flexão e torção. A Figura 3.7 resume os termos de acoplamentos da matriz

constitutiva do laminado. Para um laminado simétrico, que ocorre frequentemente

em aplicações, a matriz ijB é nula, e não se tem o acoplamento entre flexão e

membrana. Casos contrários, quando os termos de ijB não são todos nulos, implica

em que um carregamento de membrana no laminado provoca também uma flexão

sobre ele.

Figura 3.7 - Acoplamentos dos termos das matrizes constitutivas.

A Eq. 3.32 pode ser escrita em forma compacta como

0⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

N A B εM B D κ

. Eq. 3.36

Como geralmente os esforços solicitantes são os valores conhecidos e as

deformações desconhecidas, inverte-se a Eq. 3.36, e desta forma obtêm-se as


deformações e curvaturas no plano médio em função dos esforços resultantes e da

inversa da matriz constitutiva,

10

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

A B NεB D Mκ

. Eq. 3.37

Obtendo-se 0ε e κ a partir da Eq. 3.37 , utilizam-se as Eq. 3.25 e Eq. 3.14 para

se obter as tensões nos sistemas x- y e 1-2, para qualquer lâmina k do laminado.

3.4 Critérios de Falha

Nesta seção são apresentados alguns critérios para prever a falha de um

laminado, todos baseados na falha da primeira lâmina (do inglês first-ply failure).

Nesses critérios, se qualquer lâmina falhar, é considerado que o laminado falhou.

Tais critérios são amplamente aplicados no projeto estrutural de materiais

compostos laminados e alguns deles são utilizados nos problemas de otimização

solucionados no presente trabalho.

3.4.1 Teoria da Máxima Tensão

Na teoria da máxima tensão, para não ocorrer a falha, o valor das tensões nas

direções principais do material ( 1 2,σ σ e 12τ ) devem ser menores que as

correspondentes resistências do material. Estas condições são expressas por

1

2

12

σσ

< << <

− < τ <

c t

c t

X XY Y

S S Eq. 3.38

onde Xc e Xt são as resistências da lâmina em compressão e tração,

respectivamente, na direção longitudial às fibras, Yc e Yt as resistências em

compressão e tração, respectivamente, na direção transversal às fibras e S a

resistência ao cisalhamento no plano 1-2.


3.4.2 Teoria da Máxima Deformação

A teoria da máxima deformação limita as deformações do material aos

correspondentes valores de suas deformações de falha. Ela é expressa como

1

2

12

ε ε

ε ε

ε ε

< ε << ε <

− < γ <

c t

c t

X XY Y

S S Eq. 3.39

onde cX ε e tX ε são as deformações normais de falha em compressão e tração,

respectivamente, na direção longitudinal, cYε e tYε as deformações normais de falha

em compressão e tração, respectivamente, na direção transversal, e Sε a

deformação cisalhante de falha no plano 1-2.

3.4.3 Teoria de Tsai-Hill

O critério de Tsai-Hill foi baseado no critério de escoamento de Von Mises,

adaptando-o para materiais ortotrópicos. Para não ocorrer a falha da lâmina, a

seguinte inequação deve ser atendida

2 2 21 1 2 2 122 2 2 2 1

X X Y Sσ σ σ σ τ

− + + < Eq. 3.40

onde X e Y são as resistências nas direções longitudinal e transversal às fibras,

respectivamente. Entretanto, X e Y devem ser usados adequadamente de acordo

com os sinais das tensões 1σ e 2σ . Caso 1σ for positivo, X = Xt, do contrário, X = Xc.

Da mesma forma, se 2σ for positivo, Y = Yt, do contrário Y = Yc.


3.4.4 Teoria de Hoffman

O critério de Hoffman é uma generalização do critério de Tsai-Hill, que leva em

conta as diferenças entre as resistências em tração e compressão. Este critério é

escrito como

22 21 2 1 2 12

1 212

1 1 1 1 1t c t c t c t c t cX X YY X X X X Y Y S

σ σ σ σ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ

+ − + − + − + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Eq. 3.41

3.4.5 Teoria de Tsai-Wu

Uma forma mais geral de critério de falha, de forma a melhorar a correlação

com resultados experimentais, é dada pela teoria de Tsai-Wu. Para o estado plano

de tensões tal critério é expresso como

22 21 2 1 2 12

12 1 212

1 1 1 12 1t c t c t c t c t c

FX X YY X X X X Y Y Sσ σ σ σ σ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ+ + + − + − + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Eq. 3.42

onde 12F é um parâmetro obtido de ensaios experimentais e denominado de

coeficiente de acoplamento entre as tensões normais. Segundo PEREIRA (2003),

pode variar de 121 1F− < < . Note que se 12 1/ 2F = − , recai-se no critério de Hoffman.

3.5 Frequência Natural e Carga Crítica de Flambagem de Laminados

Nesta seção são apresentadas formulações analíticas para prever as

frequências naturais e a carga crítica de flambagem de placas laminadas, utilizando

a TCL e certas hipóteses adicionais. As equações resultantes são utilizadas em

alguns dos problemas resolvidos no Capítulo 5.


3.5.1 Frequência Natural

Muitas vezes a melhoria da performance dinâmica de uma estrutura está

diretamente relacionada com a otimização de suas frequências naturais, de forma a

diminuir os riscos de ressonâncias causadas por excitações externas. Não é

diferente no caso de materiais compostos laminados. Assim, torna-se importante

prever seu comportamento dinâmico e suas frequências naturais.

Considere uma placa retangular simplesmente suportada nas quatro arestas,

com comprimento a, na direção x e largura b, na direção y, e com espessura total h

na direção z. As lâminas têm espessuras iguais, são caracterizadas por serem

ortotrópicas e o empilhamento é simétrico e balanceado. A seguinte equação

diferencial governa o comportamento dinâmico da placa (GÜRDAL et al. (1999),

JONES (1999) e REDDY (2004)),

( )4 4 4 4 4 2

11 16 12 66 26 224 3 2 2 3 4 24 2 2 4w w w w w wD D D D D D h ,x x y x y x y y t

ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Eq. 3.43

onde w é a deflexão na direção z, h a espessura total do laminado e ρ a densidade

média ao longo da espessura, dada por

2

21

1 1 NLh / (k ) (k )

h /k

dzh NL

ρ ρ ρ=

= = ∑∫ Eq. 3.44

sendo ρ ( k ) a densidade do material na k -ésima lâmina, NL o número total de

lâminas e ijD os componentes da matriz de rigidez de flexão.

Segundo JONES (1999), a presença dos termos 16D e 26D da rigidez de flexão e

que estão associados ao acoplamento flexão-torção na Eq. 3.43 resulta em uma

solução impossível. Entretanto, é considerado que esses termos são

negligenciáveis, o que pode ser obtido, exceto para placas muito finas, empilhando-

se uma lâmina com orientação θ+ próxima de uma com orientação θ− (GÜRDAL et

al. , 1999).


Aplicando as condições de contorno para a placa simplesmente suportada,

dadas por

0 e 0xw M= = em 0 e emx x a= =

0 e 0yw M= = em 0 e emy y b= = Eq. 3.45

onde xM e yM são os momentos resultantes, definidos na sub-seção 3.3.2, e

fazendo uso de uma abordagem por Rayleigh-Ritz, a solução geral para o

deslocamento transversal w é expressa por (JONES, 1999)

1 1

mni tmn

m n

m x n yw( x, y,t ) A sin sin ea b

ωπ π∞ ∞

= =

= ∑∑ , Eq. 3.46

onde mnω é a frequência natural do modo de vibração (m, n), i o número complexo

definido como 1= −i , t a variável tempo e mnA os coeficientes da série de Fourier.

Substituindo a Eq. 3.46 na Eq. 3.43 obtém-se a equação para as frequências

naturais (JONES, 1999)

( )4 2 2 42

11 12 66 222 2mnm m n mD D D Da a b bh

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

πωρ

,

1 2 3m,n , , ...=

Eq. 3.47

3.5.2 Carga de Flambagem

Como as estruturas de materiais compostos laminados possuem geralmente

pequena espessura, se ocorrerem tensões compressivas, elas poderão estar

sujeitas à flambagem. Assim, a previsão da carga de flambagem se torna importante

no projeto de tais estruturas.

Uma formulação para determinar a carga crítica de flambagem para uma placa

retangular simplesmente apoiada nas quatro arestas, com empilhamento simétrico

de lâminas e somente com carregamentos de membrana compressivos Nx e Ny (Nxy =

0), conforme mostra a Figura 3.8, é apresentada por GÜRDAL et al. (1999). Os


modos de flambagem são senoidais e o fator crítico de flambagem cbλ , que

representa a razão entre carga de flambagem e carga aplicada é dado por

( )4 2 2 4

211 12 66 22

2 2

2 2

cb p ,q

x y

p p q qD D D Da a b a

minp qN Na b

π⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦λ = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Eq. 3.48

onde p e q são os números de meias ondas nas direções x e y, a o comprimento, b

a largura da placa e Dij os componentes da matriz de flexão. Note que a flambagem

ocorre quando o fator crítico de flambagem for menor que 1 ( 1cbλ < ).

Figura 3.8 - Placa retangular sujeita a carregamentos compressivos.

3.6 Alguns Aspectos sobre o Projeto de Compostos Laminados

O projeto de uma estrutura eficiente de compostos laminados significa

encontrar, para uma determinada aplicação específica, não somente a sua forma ou

espessura, mas projetar as propriedades do material através da escolha das

orientações, número e sequência de empilhamento das lâminas (GÜRDAL et al.,

1999). Os ângulos de orientações das lâminas variam entre -90° e 90° e, por razões

práticas e comerciais normalmente são valores discretos, como por exemplo, 0°,


±45° e 90°, ou entre 0° e 90°, com incrementos de 15°. Também, como já

mencionado, é possível combinar, em um mesmo laminado, diferentes tipos de

lâminas. Por exemplo, lâminas reforçadas com fibras de vidro e lâminas reforçadas

com fibras de carbono. As primeiras normalmente apresentam menor rigidez e

resistência, mas também um custo menor em relação às segundas.

Assim, o projeto de um laminado visa encontrar a sequência de empilhamento,

com diferentes propriedades em diferentes direções, utilizando as propriedades

naturais de cada lâmina. No entanto, encontrar a melhor sequência de

empilhamento pode se tornar um problema complexo, em função das inúmeras

possibilidades para um determinado número de variáveis. Considerando, por

exemplo, as orientações 0°, 45° e 90°, os números de possíveis soluções para

diferentes números de lâminas do laminado são apresentados na Tabela 3.1. Se

considerarmos agora somente o material como variável, tendo-se a opção de dois

materiais, as quantidades de possíveis soluções são mostradas na Tabela 3.2.

Para os casos de otimização de materiais híbridos têm-se então as

possibilidades para a sequência de orientação de empilhamento multiplicadas pelas

possibilidades obtidas com a sequência de materiais do laminado.

Outro aspecto que está relacionado aos materiais compostos é o projeto com

menor custo em combinação com a otimização do seu comportamento mecânico.

Por exemplo, caso deseja-se minimizar o custo e maximizar a rigidez, ou minimizar o

custo e também o peso, recai-se em um problema de otimização multiobjetivo. A

otimização multiobjetivo de compostos laminados não é abordada no presente

trabalho, podendo o leitor interessado consultar os trabalhos de SOREMEKUM

(1997) e ABACHIZADEH e TAHANI (2009), entre outros.


Tabela 3.1 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e de orientações

Quantidade de

lâminas Quantidade de ângulos

(0°, 45° e 90°) Número de

possíveis soluções 1 3 3

2 3 9

5 3 243

8 3 6561

10 3 59049

20 3 3486784401

n 3 3n

Tabela 3.2 - Número de possíveis soluções em função da quantidade de lâminas e de materiais

Quantidade de

lâminas Quantidade de materiais

(grafite/epoxy-vidro/epoxy) Número de

possíveis soluções. 1 2 2

2 2 4

5 2 32

8 2 256

10 2 1024

20 2 1048576

n 2 2n

Capítulo 4 Algoritmo de Colônia de Formigas 38

4 ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS

4.1 Origem dos Algoritmos de Colônia de Formigas

Os algoritmos de colônia de formigas (ACO, do inglês Ant Colony Optimization)

como o próprio nome indica, foram inspirados nas formigas, principalmente no

comportamento que elas apresentam na busca por alimento, mas também no que

diz respeito à organização do trabalho e cooperação entre si. Uma colônia de

insetos é muito organizada e as atividades coletivas dos insetos são realizadas com

a auto-organização. A auto-organização relacionada ao comportamento social dos

insetos é descrita por BONABEAU et al. (1999) como um mecanismo estrutural

dinâmico de um sistema de interações entre os seus componentes. O estudo da

auto-organização social dos insetos aplicado como uma ferramenta a outros campos

do conhecimento originou projetos de sistemas inteligentes com estas

características, dentre eles o algoritmo de colônia de formigas.

Outro fator de relevância observado por biologistas diz respeito à forma de

comunicação das formigas. A auto-organização dos insetos necessita de uma

interação entre si. Esta interação pode ser direta, através de antenas, contato das

mandíbulas, contato visual ou contatos químicos. Também pode ser de forma

indireta em que dois indivíduos interagem quando um deles modifica o ambiente e o

outro responde a esta mudança posteriormente (BONABEAU et al., 1999). Assim,

uma informação indireta é transferida através de modificações no ambiente. Esta

forma indireta de comunicação é denominada estimergia, em inglês stigmergy, e

significa estímulo dos trabalhadores para melhorar o seu desempenho (DORIGO e

STÜTZLE, 2004). Já segundo CASTRO (2006), estimergia é o método de

comunicação em que os indivíduos de um sistema se comunicam entre si pela

modificação do ambiente local. Este termo foi introduzido por Grassé (BONABEAU

et al., 1999) para explicar a coordenação de tarefas e a organização das formigas.

As formigas percebem as mudanças realizadas por outras formigas no ambiente e

este torna-se um meio de comunicação. O que torna isto aplicável a algoritmos é

que esta comunicação, estimergia, pode ser quantitativamente operacional, e a

mesma é flexível, cujas perturbações externas podem ser detectadas, observadas, e


relacionadas às formigas artificiais, porque estas respondem positivamente a estas

perturbações.

Detectou-se que uma forma de comunicação entre as formigas, ou entre as

formigas e o ambiente, baseia-se no feromônio, um elemento químico produzido

pelas formigas (DORIGO e STÜTZLE, 2004). Para algumas espécies de formigas,

como a Lasius niger ou a Argentine Iridomyrmex humilis, o feromônio é utilizado para

fazer trilhas e assim marcar caminhos ao seu redor. As trilhas de feromônio são

utilizadas pelas formigas para se moverem do ninho até uma determinada fonte de

alimentos.

Deneubourg, Aron, Goss, e Pasteels, citados por DORIGO e STÜTZLE (2004),

realizaram um experimento real de ponte dupla com formigas da espécie Argentine

em busca de alimento entre o ninho e a fonte de alimento, conforme representado

na Figura 4.1.

Figura 4.1 - Experimento da ponte dupla para trilha de formigas.

Inicialmente as formigas reais movem-se randomicamente em busca de

alimento, ou seja, realizam buscas exploratórias por possíveis soluções. Ao

encontrarem alimento elas retornam para o ninho depositando feromônio. A

quantidade maior de feromônio significa que mais formigas encontraram este

caminho e depositaram o feromônio, aumentando a probabilidade de este ser o


melhor caminho ou o mais curto. Assim, este caminho tornou-se uma solução que foi

otimizada em função do nível de feromônio encontrado na trilha.

Os resultados comprovaram que as formigas circulavam pelo caminho com

maior quantidade de feromônio, que também era o mais curto. O depósito de

feromônio estimulava cada vez mais as formigas a optarem pelo caminho com maior

concentração química desta substância, convergindo para um determinado caminho.

A trilha de feromônio está ilustrada na Figura 4.2.

Figura 4.2 - Formação da trilha de feromônio na busca do alimento.

Computando via feromônio a capacidade de se comunicar, marcar e rastrear

as trilhas como formigas artificiais, o algoritmo de colônia de formigas foi criado por

Marco Dorigo em 1992 (DORIGO e STÜTZLE, 2004). Assim, um modelo natural de

trilha de feromônio de insetos foi a base para um sistema artificial. As formigas

artificiais são também denominadas agentes. A análise probabilística do

comportamento das formigas artificiais partiu do modelo estocástico do

comportamento das formigas reais, conforme descrito por DORIGO e STÜTZLE

(2004).

O nível de feromônio artificial permite a formiga intensificar a busca por um

determinado caminho, ou trilha por um circuito menor e gastando, portanto, menos


tempo. Isto significa que, quanto maior a quantidade de feromônio na trilha, melhor é

o caminho.

A sensibilidade em relação ao elemento químico permite uma comunicação

interativa entre as formigas reais. A transposição matemática deste nível de controle

ou sensibilidade de feromônio leva à construção da solução heurística de colônia de

formigas artificiais para resolver problemas difíceis de otimização.

As características básicas do algoritmo de colônia de formigas, como explicam

BONABEAU et al. (1999), são: i) a retroalimentação positiva em função das trilhas

de feromônio, isto é, quanto maior o nível de feromônio melhor a qualidade da

solução; ii) o feromônio virtual, cuja quantidade é acrescida nas soluções boas e

decrescida em outras soluções não efetivamente boas evitando a estagnação; iii) o

comportamento cooperativo das formigas, cuja exploração é coletiva; e iv) o reforço

de feromônio nas trilhas de feromônio das formigas que atingiram melhores

desempenhos.

VIANA et al. (2008) apresentam a correspondência entre o que acontece na

natureza e o algoritmo ACO. Tal correspondência está representada na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 - Correspondência entre a natureza e o ACO.

Natureza ACO

Possíveis caminhos entre o ninho e o alimento

Conjunto de possíveis soluções (diferentes vetores das variáveis de projeto)

Caminho mais curto Solução ótima Ação via comunicação por feromônio Procedimento de otimização

O processo de obtenção da solução com o algoritmo de colônia de formigas

pode adotar uma representação por grafos. Um grafo é designado por G( N ,A ) ,

onde N é o conjunto de nós e A simboliza as arestas entre os nós, e as formigas

artificiais processam a construção da solução através da seleção probabilística dos

nós. Ao comportamento das formigas artificiais adiciona-se uma forma de memória

que armazena parcialmente as trilhas percorridas. Assim, a construção da solução

passa a ter as seguintes características:


• Construção de uma solução probabilística para a trilha de feromônio,

sem uma atualização no percurso de ida do circuito;

• O circuito de retorno é determinístico e com atualização de feromônio. A

atualização corresponde à taxa de adição de feromônio e

simultaneamente à taxa de diminuição do mesmo;

• As soluções geradas são avaliadas pela sua qualidade, e esta avaliação

é usada para determinar a quantidade de feromônio a depositar e a

evaporar, de forma similar ao comportamento das formigas reais para

melhorar a busca pelo caminho de alimento.

4.1.1 Algoritmo Ant System - AS

O algoritmo S-ACO, Simple-ACO ou AS, foi o primeiro algoritmo baseado no

comportamento de formigas a ser desenvolvido por Marco Dorigo, na década de

1990 (DORIGO e STÜTZLE, 2004). Ele adaptou o comportamento das formigas

reais para a obtenção da solução, por meio de grafos para o problema do caixeiro

viajante (problema de caminho mínimo). Relacionou cada aresta (i,j) do grafo

G( N ,A ) a uma variável ijτ , denominada trilha de feromônio artificial, ou

simplesmente trilha de feromônio. A construção da solução inicia com cada formiga

partindo de um determinado nó (ninho) e a seleção do próximo nó (alimento) se dá

de forma aleatória para a decisão da escolha, e as informações das arestas são

armazenadas justamente para a tomada de decisão. A quantidade inicial de

feromônio é constante para todos os arcos ou arestas.

As probabilidades kijp nas quais ocorrem as decisões para uma formiga k

percorrer a conexão i, j , são dadas por (DORIGO e STÜTZLE, 2004)

[ ] [ ]

0

ki

ij ij ki

kil ilij

l

ki

, jp

, j

ατ η

τ η

β

α β

∈ Ν

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ∈ Ν⎪= ⎨⎪⎪ ∉ Ν⎩

∑ Eq. 4.1


onde ijτ é a quantidade de feromônio, α é o parâmetro que controla a influência de

feromônio, ijη é a informação heurística ou valor heurístico que é definida em função

das características do problema, β é o parâmetro que controla a influência da

informação heurística, l é o candidato do conjunto de soluções, Νki é o conjunto de

nós de vizinhança viável do nó i , associado à k -ésima formiga.

A atualização de feromônio, dada por

k k kij ij ,τ τ τ← + Δ Eq. 4.2

ocorre no retorno do circuito da k -ésima formiga, depositando uma quantidade kτΔ

de feromônio nos arcos visitados. O valor de kτΔ é assumido constante para todas

as formigas. Esta variação de feromônio faz com que os caminhos mais curtos

sejam alcançados pela intensificação da quantidade de feromônio nos melhores

trechos.

A evaporação do nível de feromônio tende a permitir uma convergência das

formigas para um subótimo, ou seja, uma solução nas proximidades do ótimo. Como

a quantidade de feromônio diminui, isto leva à exploração de caminhos alternativos

durante o processo de busca, e a evaporação limita o nível máximo de feromônio,

evitando uma estagnação da solução em um ótimo local. A evaporação respeita a

equação

k kij ij ,τ ρ τ← (1− ) ∀ ∈( i, j ) A ; [ ]0 1ρ ∈ , Eq. 4.3

sendo ρ um parâmetro da taxa de evaporação de feromônio do algoritmo AS.

Segundo DORIGO e STÜTZLE (2004), as principais características do AS são:


• Somente a adição de uma quantidade de feromônio, kτΔ , não é

suficiente para permitir uma solução efetiva de problemas de

otimização;

• Uma convergência mais rápida é obtida com a atualização de

feromônio baseada na qualidade da solução;

• O parâmetro ρ controla o nível de feromônio no AS. Valores muito

grandes do fator de evaporação pioram o comportamento do algoritmo,

em razão das flutuações randômicas;

• O maior número de formigas eleva a perfomance do algoritmo,

entretanto aumenta o tempo de processamento;

• A evaporação de feromônio se faz importante, principalmente na

resolução de problemas complexos.

Como o objetivo é a otimização de problemas considerados difíceis, a garantia

de convergência em solução é necessária para se ter resultados considerados

ótimos. A convergência do ACO foi testada e comprovada numericamente para a

função analítica OneMax por GUTJAHR (2008).

4.1.2 Algoritmos de Otimização de Colônia de Formigas (ACO)

O primeiro algoritmo de colônia de formigas (Ant System) deu origem a outros

algoritmos que foram denominados algoritmos de otimização de colônia de formigas,

ACO, do inglês Ant Colony Optimization. Suas principais variantes podem ser

encontradas no Apêndice A.

O algoritmo ACO resume-se em três procedimentos:

• Construção das soluções com as formigas;

• Atualização de feromônio;

• Ações daemon.

O primeiro procedimento é a construção das soluções pelas formigas com base

em um grafo. As formigas movem-se entre os componentes do grafo, variáveis do

problema, estabelecendo uma conexão entre eles. Este movimento é determinado


estocasticamente e localmente pelas informações das trilhas de feromônio e pela

informação heurística, η , a qual é utilizada para melhorar a eficiência do algoritmo

sendo definida em função das características do problema.

O segundo procedimento está relacionado ao depósito ou à evaporação do

feromônio durante a construção na busca da solução. Quanto maior a quantidade de

feromônio maior a probabilidade de uma mesma conexão ou componente ser usado,

reforçando sua trilha. Por outro lado, a diminuição faz com que se busquem novas

regiões ainda não consideradas, podendo ser regiões próximas do ótimo.

O terceiro procedimento, ações daemon, diz respeito a rotinas que venham a

melhorar a busca em determinado local, ações de busca local, ou um conjunto de

ações globais que possibilitem tomar decisões positivas. O termo daemon, que é

originário da linguagem computacional, significa uma rotina ou um programa criado

para realizar determinada tarefa padrão, com fins específicos, a ser executado

sempre que solicitado.

Na Figura 4.3 é apresentado o pseudocódigo resumido do algoritmo ACO

segundo DORIGO e STÜTZLE (2004).

Figura 4.3 - Pseudocódigo do algoritmo ACO.

Destacam-se, entre as principais variantes dos algoritmos ACO, os seguintes:

MAX-MIN Ant System (MMAS), Ant Colony System (ACS) e o ASRANK. Mais

recentemente, outros pesquisadores vêm introduzindo métodos de melhoria para o

ACO, como XIA et al. (2008) e SOCHA e DORIGO (2008) com o algoritmo ACOR

para problemas com variáveis contínuas. O algoritmo MMAS apresenta melhores

resultados, embora com um tempo computacional maior (DORIGO e STÜTZLE,


2004). O Ant Colony System, ACS, é descrito e estudado com maiores detalhes em

razão das suas características e vantagens, além do mesmo ser adotado no

presente trabalho.

4.1.2.1 Algoritmo Ant Colony System – ACS

O ACS é uma variante ou extensão do algoritmo AS, e tem as seguintes

características que o torna mais eficiente:

• Explora a experiência acumulada pelas formigas com mais intensidade

do que o AS;

• A evaporação e o depósito de feromônio são alterados somente nos

circuitos de melhor qualidade;

• Remove feromônio nas conexões dos circuitos aumentando a

exploração de outros caminhos diferentes.

Estas alterações no algoritmo AS possibilitaram execuções com tempos

computacionais menores, além de encontrar soluções factíveis ótimas e apresentar

prova de convergência. Estas razões determinaram sua seleção para a

implementação no problema de otimização do corrente trabalho.

O procedimento da construção de soluções na forma da representação por

grafos segue a regra pseudoaleatória proporcional. Para selecionar a próxima opção

j , a partir do ponto i , tal regra é dada por (DORIGO e STÜTZLE, 2004)

[ ] [ ]{ }( )

0

0

ki

,il ill

kij

arg max , q qj

J p , q q ,

τ η β

∈ Ν

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩

Eq. 4.4

onde q é um parâmetro randômico uniformemente distribuído entre 0 e 1 e 0q é um

parâmetro constante, também entre 0 e 1, Νki é o conjunto de nós de vizinhança

viável do nó i , associado à k -ésima formiga e J a variável randômica selecionada


de acordo com a probabilidade kijp , dada pela primeira das equações (4.1). As

outras quantidades desta equação são as mesmas apresentadas na Eq. 4.1.

A parametrização do valor de 0q busca valores em torno da melhor solução ou

define a exploração de soluções alternativas. O parâmetro 0q determina a

importância relativa da investigação versus a exploração (DORIGO e

GAMBARDELLA, 1997). Se 0q q≤ , procede-se uma investigação na qual, o

elemento com a maior combinação de feromônio e informação heurística é

escolhido. Caso contrário, se 0q q> , a exploração de um novo elemento é

determinado proporcionalmente à sua distribuição probabilística (ABACHIZADEH e

TAHANI, 2009). Um valor alto de α , que é o parâmetro de controle de influência de

feromônio, tende a aumentar a importância probabilística do conhecimento

acumulado. E o valor do parâmetro β influência a importância da característica do

problema com o controle da informação heurística.

A matriz de feromônio, τ ij , é denominada também como medida de

desejabilidade. DORIGO e GAMBARDELLA (1997) observaram experimentalmente

que é a propriedade de desejabilidade que indica se as formigas exploram diferentes

caminhos, então há uma maior probabilidade de uma delas encontrar uma solução

melhor. Segundo estudos com experimentos numéricos realizados por DORIGO e

GAMBARDELLA (1997), a função heurística ηil , também denominada valor

heurístico ou matriz heurística, é importante para que o algoritmo encontre boas

soluções em tempo razoável. Estes testes numéricos experimentais com o ACS

aplicado ao problema Oliver30, com mais de 30 execuções, e 10000 iterações por

execução, apontaram que a ausência da informação heurística piora o desempenho

do algoritmo (DORIGO e GAMBARDELLA, 1997).

O segundo procedimento das atividades da meta-heurística ACS é a

atualização de feromônio, que se processa via análise local e global. A atualização

local atua junto à construção das soluções, onde uma parcela de feromônio é

reduzida permitindo a exploração de regiões não consideradas e diminuindo a

tendência à estagnação do algoritmo. Realiza-se também um acréscimo de

feromônio favorecendo uma solução subótima, próxima da solução ótima,


correspondente ao trajeto i, j . A expressão da atualização local de feromônio é

dada por

0τ τ τ← (1− ξ) + ξij ij , 0 1< ξ < , Eq. 4.5

onde ξ é um parâmetro da taxa de evaporação local de feromônio do algoritmo

ACS. O valor inicial de feromônio 0τ é calculado por

01

nnn Cτ = Eq. 4.6

sendo n o número de pontos do circuito e nnC o comprimento do circuito, ou a

função objetivo, simbolizada para o problema do caixeiro viajante.

A atualização local altera dinamicamente a desejabilidade ou o nível de

feromônio nas arestas. Toda vez que a formiga utilizar a mesma aresta esta se torna

menos desejável, pois existe perda de feromônio. Dessa maneira as formigas fazem

melhor uso da informação de feromônio (DORIGO e GAMBARDELLA, 1997).

A atualização global se faz a cada iteração do algoritmo, e a mesma se

processa tanto com a evaporação e depósito de feromônio, que são aplicados

somente à melhor solução, ou ao melhor percurso que as formigas encontram e

estão no conjunto bsT . A aresta correspondente à melhor solução recebe um

reforço de feromônio (DORIGO e GAMBARDELLA, 1997). A atualização global é

dada por

τ ρ τ ρ τ← (1− ) + Δ bsij ij ij , ∀ ∈ bs( i, j ) T , Eq. 4.7

onde ρ é um parâmetro da taxa de evaporação global de feromônio do algoritmo

ACS e bsT o conjunto das melhores soluções. O valor do feromônio para a melhor

solução da iteração é calculado por


1τΔ =bs bsij / C , Eq. 4.8

sendo bsC o comprimento do circuito da melhor solução da iteração (no caso do

problema do caixeiro viajante), ou o melhor valor da função objetivo (no corrente

trabalho).

DORIGO e STÜLZLE (2004) sugeriram valores dos parâmetros para os

diferentes tipos de extensões de ACO. Para o ACS os parâmetros são ajustados

segundo suas recomendações, os quais estão mostrados na Tabela 4.2, onde m é o

número de formigas. Os demais parâmetros são aqueles explanados a partir das Eq.

4.4, Eq. 4.5 e Eq. 4.7. Os valores dos parâmetros para outras variantes de ACO

encontram-se no Apêndice A.

Tabela 4.2 - Parâmetros para o ACS.

m α β 0q ξ ρ

5 1 2 0,9 0,1 0,1

4.2 Aplicações da Técnica de Otimização de Colônia de Formigas

Originalmente, o algoritmo de colônia de formigas foi desenvolvido para

resolver o problema do caixeiro viajante, e tem evoluído aperfeiçoando-se com base

na sua característica principal, o feromônio. Em paralelo à sua evolução como

algoritmo, as aplicações que utilizam o ACO também vêm crescendo em diversos

campos que exigem a solução de problemas complexos de otimização.

O ACO tem se mostrado um algoritmo potencial, versátil e aplicável em

pesquisa operacional e aplicações científicas e tecnológicas. A seguir alguns

exemplos de aplicações envolvendo o ACO em diferentes áreas:

• k-cardinality tree problem, o qual é considerado um problema de

otimização combinatória muito difícil (BLUM e BLESA, 2005);


• problemas de sequenciamento de produção (GAJPAL et al., 2006);

• otimização de estruturas treliçadas (SERRA e VENINI, 2006);

• problema da mochila multidimensional (KONG et al., 2008);

• rotas de coleta de lixo (KARADIMAS et al., 2007);

• testes com funções multimodais e não convexas para encontrar o

mínimo global (TOKSARI, 2008);

• análise do limite plástico de estruturas (KAVEH e JAHANSHAHI, 2008).

Estas e outras importantes aplicações têm potencializado o algoritmo ACO,

mas o mesmo ainda tem sido pouco usado em problemas de otimização de

estruturas de materiais compostos laminados.

4.3 Ant Colony System (ACS) Aplicado a Materiais Compostos Laminados

As características e vantagens do ACS, descritas na Subseção 4.1.2.1,

determinaram sua escolha para a investigação do presente trabalho, qual seja, a

aplicação a problemas de otimização de materiais compostos laminados. Segundo

DORIGO e STÜLZLE (2004) o ACS possibilita resolver problemas de otimização

com variáveis discretas, com tempo computacional menor em relação às outras

variantes, com atualizações locais e globais de feromônio para evitar estagnação em

mínimos locais. Além disso, é uma das variantes que evoluiu positivamente em

relação ao primeiro ACO.

A obtenção da melhor sequência de empilhamento de um laminado composto é

um problema de otimização combinatória cuja solução via ACO está representada

na Figura 4.4.


Figura 4.4 - Representação de ACO aplicado a material composto laminado.

A otimização de estruturas e componentes de materiais compostos laminados

geralmente recai em problemas de minimização do peso ou do custo e maximização

da rigidez, ou da carga de flambagem, além de possíveis conjugações multiobjetivos

como: peso e custo, peso e flambagem, etc. As restrições normalmente são os

critérios de falha e as características geométricas do laminado. A Tabela 4.3

apresenta uma correlação do ACS com problemas de otimização de materiais

compostos laminados.


Tabela 4.3 - Representação do ACO aplicado a materiais compostos laminados.

Características do problema

Mapeamento do problema Aplicação em laminados

Conjunto dos componentes C

{ }1 2 ncC c ,c ,...,c= Possibilidades de ângulos de orientação da lâmina, por exemplo:

{ }2 20 15 30 45 60 75 90,C , , , , ,= ± ± ± ± ±

Conjunto das soluções X ( ) ( )

( )i j i h

j h

c ,...,c , c ,...,c ...,x

c ,...,c ,...=

Todas as soluções candidatas para n lâminas

Subconjunto S de X S X⊆ Soluções candidatas para n lâminas

Restrições Ω Ω - Simetria e balancemento do laminado;

- Máximo número de lâminas contíguas com a mesma orientação;

- Falha da primeira lâmina;

- Carga máxima de flambagem

Conjunto das soluções factíveis X

x X∈ Sequências de empilhamento factíveis, isto é, que respeitem as restrições

Solução ótima *s *s X∈ Sequência ótima de empilhamento

Função objetivo f(x) - Peso (a ser minimizado);

- Custo (a ser minimizado);

- Carga de flambagem (a ser maximizada);

- Resistência (a ser maximizada).

Inicialmente, os caminhos de k formigas são gerados aleatoriamente. Cada

formiga constrói uma solução factível aplicando repetidamente a regra estocástica

(regra de transição de estado) dada pela Eq. 4.4. Enquanto está construindo a

solução, a formiga também modifica a quantidade de feromônio nas arestas

visitadas aplicando a regra de atualização de feromônio local.

As formigas movem-se através de um espaço de busca multidimensional onde

a dimensão do espaço de busca é igual ao número de lâminas multiplicadas pelas

quantidades que podem variar em cada lâmina. Se todas as lâminas forem de um

mesmo material, o espaço será igual ao número de lâminas. Quando houver

possibilidade de escolha de mais de um material, além da orientação, a dimensão do

espaço será duas vezes o número de lâminas. A cada iteração, cada formiga

seleciona um caminho (empilhamento) o qual muda de acordo com a sua própria


experiência e também com a experiência das outras formigas da colônia. No fim do

caminho, o percurso ou o empilhamento, é avaliado usando a função de avaliação, e

cada formiga deposita feromônio nas arestas (posição de uma dada lâmina) que

tenha sido visitada (BLOOMFIELD et al., 2009).

Na construção da solução, via representação por grafo, a função feromônio tem

valores para cada par de elementos ou para cada par de elementos localizado no

espaço de solução. Uma sequência utilizando todos, ou alguns, destes elementos, é

a solução final para o problema. Os elementos são caracterizados baseados na

natureza do problema (ABACHIZADEH e TAHANI, 2009).

A execução do algoritmo ACS aqui implementado é baseada nos três

procedimentos descritos na Subseção 4.1.2.1. O valor inicial do feromônio 0τ é

informado no início do algoritmo. Sua quantidade, para o caso de laminados, foi

obtida baseada na Eq. 4.6. Tal equação tem uma relação com a quantidade de nós,

que no presente caso é dada pela quantidade de orientação dos ângulos das fibras

multiplicados pela quantidade de material das lâminas. Como as aplicações de

materiais compostos em estruturas buscam frequentemente a redução de peso, o

valor relativo a esta variável também tem importância na quantidade de feromônio.

Assim, o valor do feromônio inicial 0τ é adotado como

01 ,

N Wτ = Eq. 4.9

onde N é o número de nós, o qual é obtido pela quantidade de orientações dos

ângulos multiplicada pela quantidade de materiais da lâmina, e W o peso inicial do

laminado, obtido com uma sequência aleatória do laminado.

A informação (ou matriz) heurística ijη tem uma relação com o problema a ser

resolvido com o ACO. Para o caso dos laminados que são formados de lâminas que

podem ter espessuras diferentes e formados com materiais também diferentes, a

informação heurística ou matriz heurística proposta no presente trabalho é dada por


1ij

j jeη

ρ= Eq. 4.10

onde je é a espessura da lâmina e jρ a densidade do material da lâmina.

Os demais parâmetros para o ACS estão detalhados na Tabela 4.2, sugeridos

por DORIGO e STÜLZLE (2004).

O ACO é baseado em um grafo G( N ,A ) , definindo N como o conjunto dos

componentes, ou seja, os ângulos das orientações das fibras, e A como a

combinação entre estes componentes, que resultará na sequência de empilhamento

dos ângulos. Uma representação esquemática do grafo mostrando todas as

possibilidades para um laminado de 4 lâminas e 3 opções de orientações para as

lâminas pode ser visualizada na Figura 4.5.

ijτ

Figura 4.5 - Representação esquemática do grafo para um laminado de 4 lâminas

e 3 opções de orientações (0°, 45° ou 90°).

Para um laminado nas mesmas condições anteriores e cuja sequência de

empilhamento é [0, 45, 90, 45] o respectivo grafo está representado na Figura 4.6.


0

ij

ττ+

0

ij

ττ+

0

ij

ττ+

Figura 4.6 - Exemplo do grafo para um laminado [0, 45, 90,45].

O grafo G( N ,A ) da Figura 4.6 é formado pelo conjunto de nós N = {{0, 45,

90}1, {0, 45, 90}2, {0, 45, 90}3, {0, 45, 90}4}, onde os índices 1, 2, 3 e 4 indica o

número da lâmina e pelo conjunto das arestas destes compontes A = {(0, 45), (45,

90), (90, 45)}, resultante da sequência de empilhamento das lâminas do laminado.

A matriz de feromônio, ijτ , é atualizada partindo de um valor inicial 0τ igual

para todas as opções, e à medida que a formiga encontra uma lâmina melhor, o

nível de feromônio é atualizado. Para o exemplo em questão, se a sequência de

empilhamento construída iθ = [0, 45, 90, 45] for uma boa solução, um valor adicional

de feromônio é somado nas ligações selecionadas, conforme está representado na

Figura 4.6.

No caso de material composto híbrido as possíveis soluções das orientações dos

ângulos e materiais da sequência de empilhamento têm a sua complexidade com a

adição de diferentes materiais. Para um laminado de 4 lâminas com 3 possíveis

orientações [0°, 45°, 90°] e dois materiais, 1mat e 2mat , o grafo da sequência de

empilhamento [ 1 2 1 245 0 0 90mat mat mat mat, , , ] está representado na Figura 4.7.


Figura 4.7 – Exemplo de grafo para um laminado híbrido [ 1 2 1 245 0 0 90mat mat mat mat, , , ].

De forma resumida, o pseudocódigo do ACO aplicado aos materiais compostos

laminados, considerando somente as orientações como variáveis, está apresentado

na Figura 4.8. Neste pseudocódigo f representa a função a ser minimizada, m o

número de formigas, iθ o ângulo de orientação da lâmina i , NI o número total de

iterações, n o número total de lâminas, % comentário, *f a melhor solução obtida,

minf a melhor solução da iteração, l as soluções obtidas pelas formigas durante a

busca. Uma rotina de busca local foi desenvolvida, a qual é solicitada, caso o

problema a resolver utiliza-a. Esta se resume em construir uma nova solução a partir

de uma boa solução encontrada pelas formigas em uma dada iteração, minf , via

perturbação do ângulo da sequência de empilhamento. O seu pseudocódigo está

representado na Figura 4.9, onde BLf é a solução construída com a busca local. No

Apêndice B é também apresentado um fluxograma do ACO implementado.


Figura 4.8 - Pseudocódigo do ACO aplicado a material composto laminado.


Figura 4.9 - Pseudocódigo para a busca local.

4.4 ACO Associado ao Método dos Elementos Finitos (ABAQUS)

O método dos elementos finitos (MEF) é uma técnica de cálculo computacional

utilizada frequentemente para resolver problemas de engenharia. Esta técnica se

baseia em obter uma solução aproximada para as equações diferencias governantes

do problema, como descrito em HUTTON (2004). O MEF pode ser dividido em três

etapas básicas, a primeira etapa é a de pré-processamento, que consiste na

modelagem do problema. A segunda fase é a de solução, em que as equações que

representam o problema são resolvidas, e a última fase é a de pós processamento,

em que as soluções obtidas são avaliadas e analisadas.

O avanço do método de elementos finitos permitiu o seu uso como estratégia na

otimização do projeto de estruturas de material composto, em combinação com

algoritmos de otimização, como avalia ACEVES et al. (2008). Vários softwares

comerciais possibilitam a resolução de problemas com a utilização de materiais

compostos, dentre eles o ABAQUS. O mesmo realiza o cálculo estrutural do

laminado em função de diversos parâmetros como o tipo de material, tipo de

elemento e as condições de contorno (ABAQUS, 2008).

Para o processamento de compostos laminados com geometrias complexas, ou

que não tenham uma solução analítica prática, criou-se uma macro no ABAQUS,

denominada Matlab_Vib.py, cujo objetivo é a integração com o ACO, desenvolvido

em Matlab. O ACO gera a sequência de empilhamento e grava no diretório de

trabalho um arquivo denominado empilhamento.txt com as características do

laminado como: ângulo, material, número de lâminas. No ABAQUS, modela-se a


estrutura do composto laminado, definindo suas dimensões, condições de contorno,

a malha para o cálculo de elementos finitos, e as propriedades do material. O

arquivo do ABAQUS com essas informações recebe a extensão .cae. Em seguida,

no ABAQUS, a macro é executada. Os dados do arquivo empilhamento.txt são lidos,

o composto laminado é montado e o cálculo por elementos finitos é executado. Após

este cálculo é gerado o arquivo resultados.txt com as informações necessárias para

calcular o valor correspondente da função objetivo e das restrições para a iteração

corrente, e o mesmo é gravado no diretório de trabalho. O ACO, em Matlab, lê o

arquivo resultados.txt e processa os passos do algoritmo correspondentes àquela

iteração. A execução termina quando o número máximo de iterações é alcançado. O

fluxograma que representa este processo se encontra na Figura 4.10.


Figura 4.10 - Fluxograma da integração do ACO, desenvolvido em Matlab, com o

ABAQUS.

Capítulo 5 Resultados Numéricos e Discussão 61

5 RESULTADOS NUMÉRICOS E DISCUSSÃO

Neste capítulo são apresentados os resultados de diversos testes numéricos

realizados com o algoritmo de colônia de formigas na otimização de placas

laminadas retangulares. Foram solucionados problemas de maximização da

resistência, minimização de custo e minimização do peso, nos quais a resposta

estrutural é dada pela Teoria Clássica dos Laminados (TCL). Os resultados obtidos

são comparados com soluções encontradas na literatura. Testes também foram

realizados para um problema de maximização da frequência fundamental de placas.

Nestes últimos, além da TCL, também foi utilizado o programa comercial de

elementos finitos ABAQUS para efetuar o cálculo estrutural.

5.1 Caso 1 - Maximização do Fator Crítico de Carga

O problema solucionado nesta seção também foi investigado por vários

pesquisadores, entre eles KOGISO et al. (1994a) através da otimização via

algoritmos genéticos (AG), e AYMERICH e SERRA (2008) e WANG et al. (2009)

utilizando ACO. Ele consiste em encontrar a sequência de empilhamento ótima que

maximize o fator de carga crítica, que corresponde ao menor valor entre o fator

crítico da carga de flambagem e o fator crítico de falha por deformação para uma

placa retangular simplesmente apoiada, submetida a carregamentos compressivos.

As orientações possíveis para as lâminas são 0°, +45°, -45° e 90°.

Considerou-se como restrição o número máximo de lâminas adjacentes com a

mesma orientação igual a quatro, e o laminado simétrico e balanceado. Para

respeitar a condição de simetria, opera-se somente com a metade das lâminas do

laminado, a outra metade possuindo orientações simétricas. Para o balanceamento

considera-se sempre empilhamento feito por duas lâminas contíguas, cujas

orientações possuem sinais opostos (por exemplo, +45° e -45°, designadas por ±45).

Note que para os ângulos de 0° e 90°, seus respectivos pares negativos são iguais.

Portanto, o número de variáveis (orientações dos pares de lâminas) será igual ao

número total de lâminas dividido por 4. A restrição de número máximo de lâminas


contíguas foi levada em conta durante a construção da solução, rejeitando-se uma

solução infactível.

O problema de otimização é então formulado como

Obter: { }2 20 45 90 1k k, , , , k a nθ θ ∈ ± = , Maximizar: λ λ λ=c cb cfmin( , ) Sujeito a: - Máximo número de lâminas adjacentes com a mesma orientação = 4 - Laminado simétrico e balanceado

Eq. 5.1

onde θ k representa as orientações de um par de lâminas contíguas, n é o número

total de pares de lâminas, λc é o menor valor entre λcb e λcf , sendo λcb o fator

crítico da carga de flambagem dado pela Eq. 3.48, λcf o fator crítico de falha dado

pela Eq. 5.2.

O fator crítico de falha por deformação, λcf , é expresso como

1 2 12

1 2 12

u u u

cf k k kks s s

min min , ,F F F

ε ε γλε ε γ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ Eq. 5.2

onde uiε , i = 1,2 e 12

uγ são as deformações de falha, kiε , i = 1,2 e 12

kγ são as

deformações normais e cisalhante, respectivamente nas direções principais do

material da k -ésima lâmina e sF o fator de segurança. Para o cálculo do fator crítico

de falha λcf foi considerado os valores das deformações máximas de falha levando-

se em conta um fator de segurança sF de 1,5.

O material das lâminas é grafite/epóxi, cujas propriedades são apresentadas na

Tabela 5.1.


Tabela 5.1 - Propriedades da lâmina de grafite/epóxi.

Propriedades elásticas do material Deformações admissíveis

E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) 12υ 1uε 2

uε 12uγ

127,59 13,03 6,41 0,30 0,008 0,029 0,015

O laminado é composto por um total de 48 lâminas onde cada lâmina tem uma

espessura e = 0,127 mm. A placa laminada possui comprimento a = 0,508 m e

largura b = 0,127 m e está sujeita a um carregamento biaxial compressivo xN e yN ,

conforme representado na Figura 3.8. Três casos de carregamento foram

considerados, sendo o valor de yN dado em função de xN , conforme apresentado

na Tabela 5.2.

Tabela 5.2 - Cargas aplicadas no laminado.

Carregamento

1 2 3

xN (N/m)

yN (N/m)

xN (N/m)

yN (N/m)

xN (N/m)

yN (N/m)

175 xN /8 175 xN /4 175 xN /2

Uma análise preliminar foi realizada para o carregamento 2, fixando em 3500 o

número de avaliações da função objetivo. Os parâmetros utilizados no ACO desta

análise são aqueles mostrados na Tabela 4.2. Os resultados das melhores

sequências de empilhamento e fatores de carga encontrados são comparados com

aqueles obtidos por AYMERICH e SERRA (2008) e estão relatados na Tabela 5.3. A

melhor sequência de empilhamento não foi a mesma obtida por AYMERICH e

SERRA (2008), mas apresentam valores muito próximos para os fatores críticos de

flambagem e para os fatores críticos de falha por deformação.


Tabela 5.3 - Caso 1: Comparação de resultados entre ACO (presente trabalho) x ACO de AYMERICH e SERRA (2008)* para o carregamento 2.

Sequência de empilhamento Referências Fator de carga

cbλ cfλ

[±452, 902, ±453, 02, ±45, 04, ±45, 02]s AYMERICH e SERRA

(2008) 12743,45 12678,78

[±45, 902, ±454, (02, ±45, 02)2]s AYMERICH e SERRA

(2008) 12725,26 12678,78

[902, ±455, (02, ±45, 02)2]s AYMERICH e SERRA

(2008) 12674,85 12678,78

[±453, 904, ±452, 02, ±45, 04]s Presente trabalho 12459,75 12690,69

[902, ±454, (02, ±45)3, 02]s Presente trabalho 12418,12 12690,69

[±452, 902, ±452, 02, ±452, 02, ±45, 04]s Presente trabalho 12634,43 12690,69

* problema baseado no trabalho de KOGISO et al. (1994a) usando AG.

Para medir o desempenho e a qualidade do algoritmo ACO implementado

foram realizados testes para os três carregamentos. Os indicadores de desempenho

e do custo computacional do processo de busca estão baseados em solucionar o

problema um determinado número de vezes, por exemplo, executá-lo 100 vezes e

em seguida obter: o “preço”; a “solução ótima prática”; a “confiabilidade prática” e o

“preço normalizado” para um número fixo de avaliações da função objetivo

(AYMERICH e SERRA, 2008).

O conceito de “solução ótima prática” é definido como uma fração específica da

solução ótima global de modo a avaliar a qualidade de um projeto. A “confiabilidade

prática” é definida como a probabilidade de alcançar um ótimo prático, isto é, a

relação entre o número de execuções em que foi encontrado um ótimo prático e o

número total de execuções. Por exemplo, se o algoritmo foi executado 100 vezes, e

em 80 delas obteve-se um ótimo prático, a confiabilidade prática é de 0,80 (WANG

et al., 2009). O “preço normalizado” é a média do número de avaliações da função

objetivo para alcançar um ótimo prático, chamado também de “preço”, dividido pela

confiabilidade prática (KOGISO et al., (1994b), WANG et al., (2009)).


Para a definição de uma solução ótima prática foi considerada uma variação de

0,1% da solução ótima global (AYMERICH e SERRA, 2008). As soluções ótimas

práticas obtidas por KOGISO et al. (1994a) e utilizadas como padrão estão

apresentadas na Tabela 5.4, Tabela 5.5 e Tabela 5.6 para os carregamentos 1, 2 e

3, respectivamente.

Tabela 5.4 - Ótimos práticos para o carregamento 1 (KOGISO et al., 1994a).

Sequência de empilhamento Fator de carga

Flambagem cbλ Falha cfλ

[±455, 04, ±45, 04, 902, 02]s 14659,58 13518,66

[±455, 04, 902, 04, ±45, 02]s 14610,85 13518,66

[±452, 902, ±45, (±45, 04)2, ±45, 02]s 14421,31 13518,66

[±454, 02, ±45, 04, ±45, 04, 902]s 14284,15 13518,66

[±454, 02, ±45, 04, 902, 04, ±45]s 14251,66 13518,66

Tabela 5.5 - Ótimos práticos para o carregamento 2 (KOGISO et al., 1994a).



[±452, 902, ±453, 02, ±45, 04, ±45, 02]s 12743,45 12678,78

[±45, 902, ±454, (02, ±45, 02)2]s 12725,26 12678,78

[902, ±455, (02, ±45, 02)2]s 12674,85 12678,78


Tabela 5.6 - Ótimos práticos para o carregamento 3 (KOGISO et al.,1994a).



[902, ±452, (902, ±45)2, ±455]s 9998,20 10398,14

[902, ±452, (902, ±45)2, ±454, 902]s 9997,61 10187,94

[(902, ±452)2, (902, ±45)2, ±452]s 9997,61 10187,94

[(902, ±45)2, ±452, (±45, 902, ±45)2]s 9994,84 10187,94

[±45, 904, ±452, 902, ±454, 902, ±45]s 9994,84 10187,94

[(±45, 902)2, 902, ±454, 902, ±452]s 9994,84 10187,94

[904, ±457, 902, ±452]s 9994,69 10398,14

[904, ±456, (±45, 902)2]s 9994,11 10187,94

[(902, ±45)2, ±453, (902, ±45)2, ±45]s 9994,11 10187,94

[±45, 904, (±452, 902, ±45)2, ±45]s 9994,11 10187,94

[904, ±457, 904, ±45]s 9990,61 10187,94

[±45, 904, ±453, 904, ±454]s 9990,61 10187,94

[902, ±453, 904, ±45, 902, ±454]s 9990,61 10187,94

De forma similar ao realizado por AYMERICH e SERRA (2008), os parâmetros

de influência de feromônio α e a taxa de controle de evaporação local de feromônio

ξ foram examinados para identificar quais os melhores valores para um custo

computacional menor possível e uma convergência para uma boa solução. Assim o

algoritmo ACO foi executado 100 vezes para diferentes pares de α e ξ para cada

um dos três carregamentos. Para α foram atribuídos os valores: 0,5; 0,75 e 1,0. A

taxa de controle de evaporação ξ recebeu os valores: 0,1; 0,5 e 0,75. O critério de

parada foi de 1000 avaliações da função objetivo, de modo a determinar o “preço”,

cujo desempenho seja atingido com uma “confiabilidade prática” mínima de 0,85, ou

seja uma probabilidade de 85% de alcançar um ótimo prático. A média dos melhores

valores alcançados, correspondentes aos menores preços e que superam uma

“confiabilidade prática” de 0,85 considerando os três carregamentos foi α = 0,82 e

ξ = 0,35.

Em seguida, com valores fixos dos parâmetros, foi realizada a análise de

desempenho. O preço, o preço normalizado e a confiabilidade prática foram obtidos

também com 100 execuções do ACO com 1000 avaliações em cada execução


adotando os seguintes valores dos parâmetros: m = 5; α = 0,82; ξ = 0,35; β = 2;

0q = 0,90 e ρ = 0,1. KOGISO et al. (1994a) realizaram testes semelhantes com um

AG e AYMERICH e SERRA (2008) e WANG et al. (2009) realizaram também esses

testes com um ACO. AYMERICH e SERRA (2008) consideraram os parâmetros m =

1, α = 0,95, ρ = 0,91. WANG et al. (2009) desenvolveram algoritmos de colônia de

formigas denominados MCLACAW1 e MCLACA, sem busca local e com busca local

respectivamente. Os parâmetros do ACO utilizados por estes pesquisadores foram:

m = 10; α = 0,5; 0q = 0,8; ξ = 0,8; ρ = 0,6. A Tabela 5.7 apresenta os valores

adotados neste teste.

Tabela 5.7 – Parâmetros adotados nos testes do caso 1 com ACO.

Parâmetros ACO (presente trabalho)

ACO (AYMERICH e SERRA, 2008)

ACO (WANG et al., 2009)

m 5 1 10

α 0,82 0,95 0,5

ξ 0,35 - 0,8

β 2 - -

0q 0,90 - 0,8

ρ 0,1 0,91 0,6

Os resultados comparativos do desempenho dos algoritmos sem a utilização

de uma busca local são apresentados na Tabela 5.8. Os valores para o preço do

ACO do presente trabalho apresentam números próximos ou melhores, entretanto,

neste caso sem busca local, a confiabilidade prática é inferior aos valores

encontrados nas outras referências. A Tabela 5.9 apresenta os testes realizados

com a utilização da rotina de busca local e observa-se que ocorre uma melhora na

confiabilidade prática e no preço, porém, para o carregamento 2, o algoritmo

apresenta um desempenho pior que os demais.


Tabela 5.8 - Comparação do desempenho sem busca local do ACO x AG.

Carregamento Algoritmo Preço Confiabilidade prática

Preço normalizado

GA (KOGISO et al., 1994a) 294 0,84 350 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 199 0,99 201 MCLACAW1 (WANG et al., 2009) 157 0,52 301 1

ACO (presente trabalho) 206 0,98 210





GA (KOGISO et al., 1994a) 639 0,81 789 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 452 0,87 518 MCLACAW1 (WANG et al., 2009) 418 0,47 889

Média ponderada*

ACO (presente trabalho) 284 0,48 596 * média ponderada pela confiabilidade prática.

Tabela 5.9 - Comparação do desempenho com busca local do ACO x AG.

Carregamento Algoritmo Preço Confiabilidade prática

Preço normalizado

GA (KOGISO et al., 1994a) 154 0,80 193 ACO (AYMERICH e SERRA, 2008) 125 0,93 134

MCLACA (WANG et al., 2009) 148 1 148 1



MCLACA (WANG et al., 2009) 502 0,96 523 2



MCLACA (WANG et al., 2009) 445 0,83 536 3



MCLACA (WANG et al., 2009) 358 0,93 385 Média

ponderada ACO (presente trabalho) 275 0,66 416

* média ponderada pela confiabilidade prática.


Na análise de busca pelos melhores parâmetros, tomou-se como base o

trabalho de AYMERICH e SERRA (2008), assim variou-se somente α e ξ . No

entanto o ACS (variante do ACO utilizada no presente trabalho) utiliza os parâmetros

( 0m, , , , q ,α ξ β ρ ), e somente a combinação de dois deles foram utilizados para a

análise do desempenho. Acredita-se que para a obtenção de valores melhores para

os parâmetros é necessário processar a combinação e variação de todos eles. Por

exemplo, variar o número de formigas de 1 a 10 com intervalos unitários, e para os

demais parâmetros iniciando em 0,1 até 1,0, com intervalos decimais. Desta forma

poderia se obter uma melhor correlação e influência de cada parâmetro no problema

a ser resolvido.

5.2 Caso 2 - Minimização do Peso com Restrição na Carga de Flambagem para Laminado Híbrido

O problema de minimização do peso de uma placa composta laminada

formada por dois tipos de materiais e submetida a uma carga compressiva biaxial foi

formulado e solucionado via AG por GIRARD (2006). As possibilidades para as

orientações das lâminas são 0°, +45, -45 e 90°. As restrições são: um valor limite

mínimo para o fator crítico de flambagem, que depende do número de lâminas do

laminado, e o laminado deve ser simétrico e balanceado.

As características e propriedades dos dois materiais são apresentadas na

Tabela 5.10. Além da sequência ótima de empilhamento é necessária também a

determinação dos materiais. Note que o carbono/epóxi apresenta uma rigidez maior

que o vidro-epoxi.

Tabela 5.10 - Propriedades das lâminas.

Material E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) 12υ e (mm) ρ (Kg/m3)

Carbono-Epoxi (C-E) 138,0 9,0 7,1 0,30 0,127 1605

Vidro-Epoxi (V-E) 43,4 8,9 4,55 0,27 0,127 1993


Os valores para λmin , fator crítico mínimo de flambagem sob carga

compressiva biaxial no laminado correspondente ao seu número total de lâminas,

NL , são mostrados na Tabela 5.11. A placa possui comprimento a = 0,9144 m e

largura b = 0,762 m.

O problema de otimização é escrito como

Obter: { } { } { }2 20 45 90 1k k k k,mat , , , , mat C E,V E , k a nθ θ ∈ ± = − − =

Minimizar: W Sujeito a: - cb minλ ≥ λ

- Laminado simétrico e balanceado

Eq. 5.3

onde kmat é o material correspondente a cada par de lâminas k , podendo ser de

carbono/epóxi (C-E) ou de vidro/epóxi (V-E), W é o peso do laminado, λmin é o

menor valor admissível para o fator crítico de flambagem e cbλ o fator crítico de

flambagem, este último definido como a relação entre a carga crítica de flambagem e

carga aplicada, conforme a Eq. 3.48. Para o cálculo do peso total em Newton do

laminado foi considerado o mesmo valor de aceleração da gravidade utilizado por

GIRARD (2006), g = 9,9 m/s2. A condição de simetria e balanceamento é tratada da

mesma forma que no caso 1.

Tabela 5.11 - Valores mínimos para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas no laminado.

Número de lâminas Flambagem Carregamento

NL minλ xN (N/m) yN (N/m)

36 90 175 175

40 125 175 175

48 225 175 175

52 275 175 175


Para a restrição sobre o fator crítico de flambagem, cbλ , a função de avaliação

f ( x ) é penalizada. A penalização e a função de avaliação foram adaptadas do

trabalho de GIRARD (2006), e são dadas por

00

1

0 0000011

cb

min

f ( x ) b g( x ) se g( x )F( x )

f ( x ) p g( x ) se g( x )

( x )g( x )

b ,p

λλ

− Δ ≥⎧⎪= ⎨ + Δ <⎪⎩⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ =Δ =

Eq. 5.4

onde bΔ é um valor de bonificação e pΔ um valor de penalização e g( x ) a

restrição. A função a minimizar f ( x ) , que no presente caso é o peso W , é

penalizada ou bonificada em função da restrição g( x ) . Se a mesma for menor ou

igual a zero recebe uma bonificação bΔ e caso contrário, uma penalização pΔ . Note

que a restrição é satisfeita para 0g( x ) > .

Os parâmetros utilizados para o ACO são aqueles relacionados na Tabela 4.2.

Os resultados para a minimização do peso estão apresentados na Tabela 5.12, e

são comparados com aqueles obtidos por GIRARD (2006) em 50 execuções

independentes. Para cada caso foram feitas 100 execuções independentes,

mantendo o padrão adotado no presente trabalho.

O valor fn representa a média do número total de avaliações da função

objetivo para encontrar a melhor solução e DP o respectivo desvio padrão. As

sequências de empilhamento (orientação e material) encontradas pelo ACO são

idênticas àquelas obtidas por GIRARD (2006). Os correspondentes valores de peso

e cbλ apresentam pequenas diferenças, provavelmente devido a erros numéricos de

arredondamento. Os números de avaliações para o ACO obter cada um dos quatros

laminados ótimos foram um pouco inferior àqueles necessários através do AG.

Como esperado, todas as lâminas são de carbono-epoxi, pois este é mais rígido e

mais leve que o vidro-epoxi.



NL λmin Método Sequência de empilhamento

Material (C-E-V-E) Peso (N) λcb fn (DP)

36 90 AG [±459]s 36/0 50,63 95,64 14320

40 125 AG [±4510]s 40/0 56,26 131,20 18115

48 225 AG [±4512]s 48/0 67,51 226,71 27180

52 275 AG [±4513]s 52/0 73,14 288,24 27160

36 90 ACO [±459]s 36/0 50,62 95,69 14314 (340)

40 125 ACO [±4510]s 40/0 56,24 131,23 15439 (204)

48 225 ACO [±4512]s 48/0 67,49 226,82 26517 (201)

52 275 ACO [±4513]s 52/0 73,12 288,39 27051 (150)

5.3 Caso 3 - Minimização do Custo com Restrição na Carga de Flambagem e no Peso para Laminado Híbrido

A minimização do custo de uma placa composta laminada, simétrica e

balanceada, formada por dois tipos de materiais e submetida à carga compressiva

biaxial foi também formulada e solucionada via AG por GIRARD (2006). As

possibilidades para as orientações das lâminas são as mesmas do caso 2: 0°, +45°,

-45° e 90°. As restrições são: máximo peso de 85 N e um limite mínimo para cbλ ,

similar ao caso 2.

Os materiais utilizados no laminado são o carbono/epóxi (C-E), com um custo

de oito unidades monetárias por quilograma (8 U/Kg) e o vidro/epóxi (V-E), que tem

um custo de uma unidade monetária por quilograma (1 U/Kg). As características e

propriedades dos dois materiais são as mesmas apresentadas na Tabela 5.10.

São solucionados 3 casos, com os seguintes números totais de lâminas: 48, 52

e 60. Os valores para λmin e para a carga compressiva biaxial aplicada aos


laminados são mostrados na Tabela 5.13. A placa possui comprimento a = 0,9144

m e largura b = 0,762 m.

O problema de otimização é então escrito como

Obter: { } { } { }2 20 45 90 1k k k k,mat , , , , mat C E,V E , k a nθ θ ∈ ± = − − =

Minimizar: Custo do material do laminado Sujeito a: - cb minλ ≥ λ

- 85maxW W N≤ =

- Laminado simétrico e balanceado

Eq. 5.5

Similar ao caso 2, as restrições sobre cbλ e W foram levadas em conta através

da penalização da função de avaliação f ( x ) . As penalizações consideradas e a

função de avaliação foram adaptadas de GIRARD (2006) e são dadas por

Tabela 5.13 - Valor mínimo para o fator crítico de flambagem e cargas aplicadas no laminado.

Número de lâminas Flambagem Carregamento

NL minλ xN (N/m) yN (N/m)

48 150 175 175

52 250 175 175

60 375 175 175


( ) ( )( )( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2

1 2

1

2

00

0

1

1

0 00000110 01

soma min

min min

min

soma

cb

min

max

f ( x ) b g se gF( x )

f ( x ) p g se g

g min ; g x ; g x

g g x g x

g x g

W xg x g

Wb ,pg ,

λλ

− Δ =⎧⎪= ⎨ + Δ ≠⎪⎩=

= +

= − + Δ

= − + Δ

Δ =Δ =Δ =

Eq. 5.6

onde f ( x ) é função a minimizar, ou seja, no presente caso o custo, 1g é a restrição

para cbλ , 2g a restrição para W , bΔ um fator de bonificação, pΔ um fator de

penalização, gΔ um fator de relaxamento sobre as restrições e F(x) a função

penalizada. Note que a violação das restrições, já considerando a relaxação, se dá

quando 1 0g < e/ou 2 0g < . A condição ming = 0 corresponde à satisfação de ambas

as restrições, assim a função é bonificada, do contrário é penalizada.

O ACO foi utilizado sem a rotina de busca local. Os resultados dos testes desta

seção bem como os ângulos obtidos por GIRARD (2006) estão apresentados na

Tabela 5.14. Nas sequências de empilhamento os ângulos que estão sublinhados

correspondem às lâminas de material vidro/epóxi (V-E) e os demais às de

carbono/epóxi (C-E). O valor fn representa o número total médio de avaliações da

função objetivo necessário para o algoritmo encontrar a melhor solução e DP o

desvio padrão, obtidos com 100 execuções distintas do ACO e NL o número total de

lâminas. Os resultados de GIRARD (2006) são para 50 execuções.



NL λmin Método Sequência de empilhamento

Material (C-E-V-E)

Custo (U)

Peso (N) λcb fn (DP)

48 150 AG [±453, ±459]s 12/36 19,99 79,73 165,56 23945

52 250 AG [±456, ±457]s 24/28 32,21 82,64 259,47 27345

60 375 AG [±4515]s 60/0 68,19 84,39 442,79 24894

48 150 ACO [±453, 904 , ±457]s 12/36 19,98 79,73 190,23 23744 (1080)

52 250 ACO [902, ±455, 902 , ±455, 02]s

24/28 32,21 82,63 283,09 25581 (1225)

60 375 ACO [±4515]s 60/0 68,17 84,36 443,02 25039 (935)

Da análise das sequências de empilhamento obtidas nota-se que, tanto para o

ACO como para o AG, as melhores configurações do laminado são obtidas com as

lâminas de carbono/epóxi nas superfícies externas. Esta configuração possibilita

satisfazer as restrições de flambagem, pois assim apresenta uma rigidez à flexão

maior e com peso menor. Apesar dos resultados para as orientações dos ângulos

apresentarem uma pequena diferença entre os dois métodos, a sequência de

materiais e os correspondentes custos obtidos, atingiram resultados semelhantes.

Para o laminado de 60 lâminas as sequências de empilhamento obtidas pelo ACO e

pelo AG são idênticas. Já para os laminados com 48 e 52 lâminas, as sequências de

empilhamento obtidas com o ACO não apresentaram todos os ângulos a ±45° e os

fatores críticos de flambagem foram também um pouco superiores.

Os números de avaliações da função objetivo fn foram também próximos para

os dois métodos, sendo que em dois dos três casos o fn para o ACO foi um pouco

inferior.

5.4 Caso 4 - Maximização da Frequência Fundamental de Placas Retangulares

Os problemas solucionados nesta seção são para placas retangulares

simplesmente apoiadas de diferentes relações comprimento/largura ( a / b ) onde

procura-se a sequência de empilhamento que maximize a frequência fundamental.


Utilizando a Teoria Clássica dos Laminados a frequência fundamental ω para

uma dada placa retangular simplesmente apoiada com um dada relação a / b pode

ser obtida através da Eq. 3.47. As orientações das lâminas podem variar de -90° a

90°, com incrementos de 15°, e o laminado deve ser balanceado e simétrico.

Assim, similarmente ao utilizado nos problemas precedentes, considera-se

pares de lâminas, onde elas possuem o mesmo valor absoluto do ângulo de

orientação mas sinais opostos e opera-se somente com a metade do número de

lâminas do laminado, a outra metade possuindo sequência de empilhamento

simétrica.

O problema de otimização é formulado como

Obter: { }2 20 15 30 45 60 75 90 1θ θ ∈ ± ± ± ± ± =k k, , , , , , , , k a n , Maximizar: ω (frequência fundamental) Sujeito a: Laminado simétrico e balanceado

Eq. 5.7

onde θ k representam as orientações de duas lâminas contíguas, n o número de

pares de lâminas correspondente à metade do laminado devido à condição de

simetria e ω a frequência fundamental a maximizar.

As características geométricas do laminado são apresentadas na Tabela 5.15.

A relação comprimento/largura ( a / b ) varia de 0,2 a 2, com incremento de 0,2. O

laminado possui 8 lâminas de espessura 0,25 mm cada. As propriedades do

material, o grafite/epóxi T300/5208 são informadas na Tabela 5.16.

Tabela 5.15 - Características da placa de laminado.

Número de lâminas Comprimento/Largura Largura

NL a / b b (m)

8 0,2 a 2,0 0,25


Tabela 5.16 - Propriedades do grafite/epóxi.

Propriedades elásticas do material Densidade

E1 (GPa) E2 (GPa) G12 (GPa) 12υ ρ (Kg/m3)

181 10,3 7,17 0,28 1600

Os parâmetros do ACO adotados são aqueles apresentados na Tabela 4.2. As

sequências de empilhamento obtidas e respectivas frequências são apresentadas na

Tabela 5.17. Os resultados são comparados com aqueles obtidos por

ABACHIZADEH e TAHANI (2009), os quais também utilizaram um algoritmo de

otimização baseado em ACO. O número médio de avaliações fn correspondente a

100 execuções e o desvio padrão (DP) para alcançar a melhor solução via ACO são

também relatados. Nestes casos a melhor solução é a solução ótima do problema

pois ABACHIZADEH e TAHANI (2009) apresenta também os mesmos resultados

obtidos por enumeração de todas as possíveis soluções.

Tabela 5.17 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular.

ACO – ABACHIZADEH e TAHANI (2009) ACO – Presente trabalho

/a b Sequência de empilhamento ω (rad/s) Sequência de

empilhamento ω (rad/s) fn (DP)

0,2 [04]s 24390 [04]s 24389,88 13,5 (1,7)

0,4 [04]s 6170 [04]s 6170,01 8,8 (2,6)

0,6 [±152]s 2801 [±152]s 2801,00 11,8 (1,0)

0,8 [±302]s 1797 [±302]s 1797,21 18,0 (3,5)

1,0 [±452]s 1413 [±452]s 1413,00 13,0 (3,5)

1,2 [±452]s 1189 [±452]s 1189,11 14,5 (1,7)

1,4 [±602]s 1078 [±602]s 1077,86 16,0 (1,2)

1,6 [±752]s 1016 [±752]s 1016,42 16,5 (0,6)

1,8 [904]s 1003 [904]s 1002,46 13,0 (4,6)

2,0 [904]s 996 [904]s 996,32 7,5 (0,6)


As sequências de empilhamento encontradas são idênticas àquelas obtidas por

ABACHIZADEH e TAHANI (2009) e as frequências apresentam pequenos desvios,

provavelmente devidos a arrendondamentos. Os números de avaliações médios

necessários são baixos, bem menores que o número de soluções possíveis, que em

cada um dos casos é igual a 49 (72).

Na Seção 4.4 foi apresentada a macro do programa ABAQUS, a qual foi

associada ao ACO, desenvolvido em Matlab. Ela possibilita a otimização via ACO e

cálculo estrutural por elementos finitos. Assim, para efeitos de teste, realizaram-se

as otimizações das placas apresentadas inicialmente nesta seção, mas com o

cálculo da frequência realizado através do ABAQUS.

Na modelagem das placas via elementos finitos utilizou-se elementos do tipo

casca, de 8 nós e 6 graus de liberdade por nó: elemento SR8 do ABAQUS, definido

como elemento de casca semi-espessa, a qual adota a teoria de Mindlin, com a

utilização do princípio variacional de Hu-Washizu (ABAQUS, 2008). A formulação do

elemento é baseada em deformações assumidas com subintegração e estabilização

de modos espúrios. Para solução do problema de autovalores e autovetores,

resultante do problema de vibração livre, foi selecionado o método de Lanczos

(ABAQUS, 2008).

As sequências de empilhamento encontradas foram idênticas àquelas

encontradas via ACO/TCL e estão apresentadas na Tabela 5.18, juntamente com os

correspondentes valores de frequências fundamentais. Na coluna da extremidade

direita desta tabela é mostrada a diferença percentual entre as frequências obtidas

analiticamente (TCL) e numericamente (ABAQUS). Nota-se que esta diferença é

bastante pequena. Os modos de vibração correspondentes às frequências ótimas se

encontram no Apêndice C, onde também podem ser visualizadas as malhas

utilizadas.


Tabela 5.18 - Caso 4: Sequência ótima de empilhamento de placa retangular obtida via ACO/ABAQUS.

ABAQUS Erro percentual

(Analítico/ABAQUS) /a h /a b Sequência de empilhamento ω (rad/s) %

25 0,2 [04]s 24150,68 0,98

50 0,4 [04]s 6138,48 0,51

75 0,6 [±152]s 2791,31 1,03

100 0,8 [±302]s 1745,66 2,87

125 1,0 [±452]s 1385,25 3,56

150 1,2 [±452]s 1148,88 3,40

175 1,4 [±602]s 1053,94 2,45

200 1,6 [±752]s 1010,02 0,84

225 1,8 [904]s 1001,29 0,12

250 2,0 [904]s 995,19 0,11

5.5 Maximização da Frequência Fundamental de Placas Quadradas e Retangulares com um Furo Central

Os problemas apresentados nesta seção têm seu foco em placas quadradas e

retangulares com furo central, caracterizando estruturas cuja resposta estrutural não

possui solução analítica. Assim, faz-se uso do cálculo por elementos finitos

associado à otimização por algoritmo de colônia de formigas. Para tal utiliza-se a

interface entre o ACO, desenvolvido em Matlab e o ABAQUS, como descrito na

Seção 4.4 e cujos testes iniciais estão mostrados na Seção 5.4.

A formulação do problema de otimização para os casos solucionados nesta

seção é a mesma da Eq. 5.7, alterando a geometria da placa, a qual possui um furo

central. As propriedades do material são as mesmas apresentadas na Tabela 5.16.

A espessura de cada lâmina é de 0,25 mm e o laminado possui um total de 8

lâminas. As dimensões de comprimento e largura são especificadas para cada placa

definidas nas subseções seguintes. Os parâmetros do ACO são os mesmos


utilizados nos problemas da seção anterior (ver Tabela 4.2). O tipo de elemento finito

e o método de solução do problema de autovalores e autovetores são os mesmos

da Seção 5.4.

5.5.1 Caso 5 - Placa Quadrada com Furo Central

A estrutura a ser estudada é uma placa quadrada, com arestas de 0,25 m e

com um furo central de diâmetro D (Figura 5.1), o qual foi variado de 0 a 0,08 m,

com incrementos de 0,02 m.

Figura 5.1 - Placa quadrada com furo de diâmetro D .

A Tabela 5.19 apresenta os resultados obtidos para este problema.

Devido à simetria do problema e a geometria utilizada é esperado que a solução

ótima encontre resultados com as orientações à ±45º para todas as lâminas,

portanto os resultados obtidos são coerentes.


Tabela 5.19 - Caso 5: Sequência de empilhamento ótima da placa quadrada com furo com ACO/ABAQUS.

D (m) Sequência de empilhamento ω (rad/s) fn (DP)

0,00 [±452]s 1362,76 13,3 (1,0)

0,02 [±452]s 1350,26 12,3 (1,0)

0,04 [±452]s 1409,70 9,0 (0,8)

0,06 [±452]s 1632,75 10,5 (0,6)

0,08 [±452]s 2138,23 14,8 (0,5)

A malha da placa quadrada com furo de diâmetro D = 0,08 m está ilustrada na

Figura 5.2. O modo de vibração resultante com a melhor sequência de

empilhamento está representado na Figura 5.3. Os demais modos de vibração para

os diferentes valores do diâmetro D se encontram no Apêndice C. Nota-se

novamente que o número de avaliações para se obter a melhor solução foi bem

inferior ao número total de possíveis soluções (49).

Figura 5.2 - Malha da placa quadrada com furo de diâmetro D = 0,08 m.


Figura 5.3 - Primeiro modo de vibração da placa quadrada com furo de diâmetro

D = 0,08 m.

5.5.2 Caso 6 - Placa Retangular com Furo Central

Considera-se uma placa retangular com comprimento a = 0,50 m e largura b

= 0,25 m com furos de diâmetro D , no centro da placa, variando de 0 a 0,08 m, a

cada incremento de 0,02 m. Inicialmente foram realizados testes somente com o

ABAQUS, sem otimização, com o objetivo de observar o comportamento das

respostas das frequências para cada alteração nos diâmetros dos furos. Os

resultados são apresentados na Tabela 5.20, onde os valores correspondentes às

frequências fundamentais, foram obtidos com a modelagem de todas as lâminas

orientadas a ±45, ou seja, [±452]s, e no segundo teste todas as lâminas orientadas a

90: [904]s.


Tabela 5.20 - Sequência de empilhamento da placa retangular com furo com ABAQUS.

D (m) Sequência de empilhamento ω (rad/s) Sequência de empilhamento ω (rad/s)

0,00 [±452]s 793,94 [904]s 995,19

0,02 [±452]s 783,89 [904]s 961,45

0,04 [±452]s 780,12 [904]s 913,14

0,06 [±452]s 806,89 [904]s 902,08

0,08 [±452]s 868,08 [904]s 926,82

A frequência natural foi maximizada via ACO. Os resultados obtidos são

apresentados na Tabela 5.21.

Tabela 5.21 - Caso 6: Sequência ótima de empilhamento da placa retangular com furo (ACO/ABAQUS).

D (m) Sequência de empilhamento ω (rad/s) fn (DP)

0,00 [904]s 995,19 13,3 (1,0)

0,02 [904]s 961,45 13,0 (0,8)

0,04 [±75, 902]s 916,28 12,5 (0,6)

0,06 [±75, 902]s 913,95 10,5 (0,6)

0,08 [±75, 902]s 942,79 15,0 (0,8)

Observando-se os valores obtidos para as frequências na Tabela 5.20 e Tabela

5.21, conclui-se que os mesmos são coerentes. O modo fundamental de vibração

para a placa retangular com furo de diâmetro D = 0,06 m e com a configuração

ótima de empilhamento está representado na Figura 5.4. Os modos fundamentais

para as outras placas com diferentes diâmetros D do furo estão ilustrados no

Apêndice C.

Para os diâmetros D = 0 e D = 0,02, as melhores configurações são todas as

lâminas a 90°. Já para diâmetros D = 0,04, D = 0,06, D = 0,08, os valores de

frequências ótimas são superiores aqueles inicialmente testados (Tabela 5.20) e


apresentam lâminas com diferentes orientações. O número de avaliações fn para

se obter as melhores soluções também foi relativamente baixo.

Figura 5.4 - Primeiro modo de vibração da placa retangular com furo de diâmetro

D = 0,06 m.

Capítulo 6 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 85

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Devido ao crescimento da aplicação dos materiais compostos laminados em

diferentes setores industriais, eles vêm requerendo cada vez mais estudos para

melhorar seu desempenho. A otimização das estruturas formadas por estes

materiais necessitam acompanhar tal crescimento, daí a implementação de diversas

técnicas que estudem e viabilizem projetos desta natureza. O algoritmo de colônia

de formigas proposto neste trabalho e a interface com o programa de elementos

finitos ABAQUS vem contribuir com este objetivo.

A aplicação prática do ACO aos compostos laminados realizados em diversos

testes como a maximização da resistência, a minimização do custo, a minimização

do peso e a maximização da frequência fundamental comprovou ser uma técnica

competitiva com outras existentes na literatura. O desenvolvimento do presente ACO

iniciou com a formulação das características do algoritmo de colônia de formigas,

sua origem, os diferentes tipos existentes de algoritmos, a escolha pelo ACS, sua

formulação matemática e como aplicá-lo aos materiais compostos laminados. A

partir daí foi desenvolvida e implementada uma rotina ACO, considerando variáveis

discretas, representadas pela sequência dos ângulos de orientação das lâminas e

diferentes materiais. Esta rotina, criada em MATLAB, foi testada em diversos

problemas de otimização formulados para os compostos laminados. Seus resultados

foram apresentados, comparados com soluções disponíveis na literatura e

comentados. O algoritmo executado com os parâmetros sugeridos por DORIGO e

STÜTZLE (2004) se mostrou eficiente na solução dos problemas propostos.

A partir dos diversos testes realizados com o ACO para placas retangulares

com soluções analíticas, iniciou-se o estudo da otimização de materiais compostos

laminados com geometrias mais complexas, ou sem solução analítica. Para estes

últimos problemas criou-se uma rotina ou macro no ABAQUS, interfaceando-o com o

ACO, o que possibilitou a otimização via algoritmo de colônia de formigas de placas

onde o cálculo estrutural é feito pelo método de elementos finitos. Os testes foram

realizados para a maximização da frequência fundamental. Primeiramente com o

ACO e a TCL, para certificar-se dos valores calculados, depois a modelagem e

cálculo no ABAQUS, efetuando-se a comparação e validação de resultados. Na

Capítulo 6 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 86

sequência utilizou-se o ACO, desenvolvido em Matlab, conectado ao ABAQUS para

a otimização de placas com geometrias complexas, mais precisamente placas

quadradas e retangulares com um furo central.

Os resultados dos diversos testes comprovaram a possibilidade do cálculo e a

otimização via ACO de estruturas de materiais compostos laminados com geometria

relativamente complexa.

Testes numéricos foram realizados com dois parâmetros do ACO diferentes

daqueles sugeridos por DORIGO e STÜTZLE (2004) para avaliar o seu desempenho

através do preço, e da confiabilidade prática. Os valores médios obtidos para o

preço e para a confiabilidade prática foram próximos aos obtidos na literatura.

Entretanto, para um dos testes do caso 1, o desempenho foi pior que os resultados

apresentados por outros métodos. Existe assim a necessidade de realizar testes de

desempenho com uma quantidade maior de parâmetros do ACO, bem como uma

maior combinação de valores melhores para os parâmetros.

Como sugestões para a continuidade do presente trabalho pode-se citar:

• Implementação de operações para acrescentar e eliminar lâminas,

possibilitando assim a resolução de problemas de otimização de peso com

número variável de lâminas;

• Otimização de problemas envolvendo funções multiobjetivos, como por

exemplo minimização de peso e custo simultaneamente;

• Aplicação do ACO na otimização de estruturas do tipo casca e estruturas

com geometrias mais complexas que as placas retangulares com e sem

furo;

• Realização de um estudo mais detalhado dos diversos parâmetros do

ACO;

• Realização de testes com outras variantes de ACO;

• Desenvolvimento de otimização considerando variáveis contínuas (ACOR)

e discretas possibilitando assim ampliar o elenco de problemas de

otimização de estruturas de materiais compostos laminados a serem

resolvidos.

Referências 87

PRODUÇÃO CIENTÍFICA NO PERÍODO (Março 2008 – Fevereiro 2010)

KOIDE, R. M.; FRANÇA, G. Z.; LUERSEN, M. A. Maximização da frequência fundamental de compostos laminados usando algoritmo de colônia de formigas. In: 30th Iberian Latin American Congress on Computational Methods in

Engineering (CILAMCE), 2009, 13p.

KOIDE, R. M.; LUERSEN, M. A. Ant colony optimization applied to laminated composite plates. In: 20th International Congress of Mechanical Engineering

(COBEM 2009), 2009, 10p.

KOIDE, R. M.; LUERSEN, M. A. Otimização de placas de materiais compostos laminados utilizando algoritmo de colônia de formigas. II Seminário Anual do

Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecância e de Materiais da UTFPR,

2009, 9p.

Referências 88

REFERÊNCIAS

ABACHIZADEH, M.; TAHANI, M., An ant colony optimization approach to multi-

objective optimal design of symmetric hybrid laminates for maximum fundamental

frequency and minimum cost. Structural and Multidisciplinary Optimization, vol.

37, p. 367-376, 2009.

ABAQUS Version 6.8 Documentation. Dassault Systèmes Simulia Corp, 2008.

ACEVES, C. M.; SKORDOS, A. A.; SUTCLIFFE, M. P. F., Design selection

methodology for composite structures. Materials and Design, vol. 29, p. 418-426,

2008.

AKBULUT, M.; SONMEZ, F. O., Optimum design of composite laminates for

minimum thickness. Computers and Structures, vol. 86, p. 1974-1982, 2008.

ARORA, J. S. Introduction to Optimum Design. Elsevier Academic Press. London,

2004.

AYMERICH, F.; SERRA, M., Optimization of laminate stacking sequence for

maximum buckling load using the ant colony optimization (ACO) metaheuristic.

Composites Parte A: Applied Science and Manufacturing, vol. 39, p. 262-272,

2008.

BLOOMFIELD, M. W.; HERENCIA, J. E.; WEAVER, P. M., Analysis and

benchmarking of meta-heuristic techniques for lay-up optimization. Computers and Structures, DOI: 10.1016/j.compstruc.2009.10.007, 2009.

BLUM, C.; BLESA, M J., New metaheuristic approaches for the edge-weight k-

cardinality tree problem. Computers & Operations Research, vol. 32, p. 1355-1377,

2005.

BLUM, C.; ROLI, A., Metaheuristics in combinatorial optimization: overview and

conceptual comparison, ACM Computing Surveys, vol. 35, n.3, p. 268-308, 2003.

Referências 89

BONABEAU, E.; DORIGO, M.; THERAULAZ, G., Swarm Intelligence From Natural to Artificial Systems. Oxford University Press, New York, 1999.

CASTRO, L. N. de. Fundamentals of Natural Computing: Basic Concepts, Algorithms, and Applications. Chapman & Hall/CRC, 2006.

CHAMIS, C. C., Polymer composite mechanics review 1965 to 2006, Journal of Reinforced Plastics and Composites. n 26, p. 987-1019, 2007.

CORNE, D.; DORIGO, M.; GLOVER, F., News Ideas in Optimization. McGraw-Hill

International Limited, UK, 1999.

DANO, M.; GENDRON, G.; PICARD, A., Stress and failure analysis of mechanically

fastened joints in composite laminates. Composites Structures, vol. 50, p. 287-296,

2000.

DEKA, D. J; SANDEEP, G.; CHAKRABORTY, D.; DUTTA, A., Multiobjetictive

optimization of laminated composites using Finite Element Method and genetic

algorithm. Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol. 24, n. 3, p. 273-

285, 2005.

DORIGO, M.; GAMBARDELLA, L. M., Ant Colony System: A cooperative learning

approach to the traveling salesman problem. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, vol. 1, n. 1, p. 53-64, 1997.

DORIGO, M.; STÜTZLE, T. Ant Colony Optimization. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, 2004. ERDAL, O.; SONMEZ, F. O., Optimum design of composite laminates for maximum

buckling load capacity using simulated annealing. Composite Structures, vol. 71, p.

45-52, 2005.

FEOFILOFF, P.; KOHAYAKAWA, Y.; WAKABAYASI, Y., Uma introdução Sucinta à Teoria dos Grafos, 2009. Disponível em http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/.

Acessado em 07 de dezembro de 2009.

Referências 90

GAJPAL, Y.; RAJENDRAN, C.; ZIEGLER, H., An ant colony algorithm for scheduling

in flowshops with sequence-dependent setup times of jobs. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 30, p. 416-424, 2006.

GANTOVNIK, V. B.; GÜRDAL, Z.; WATSON, L. T., A genetic algorithm with memory

for optimal design of laminated sandwich composite panels. Composite Structures,

vol. 58, p. 513-520, 2002.

GIRARD, F., Optimisation de stratifiés en utilisant un algorithme génétique (in

French). 2006. 182 p.. M.Sc. Thesis, Faculté des Sciences et de Génie, Université

Laval, Québec, Canadá.

GÜRDAL, Z., HAFTKA, R.T., HAJELA, P., Design and Optimization of Laminated Composite Materials. John Wiley & Sons, Inc, New York, USA, 1999.

GUTJAHR, W. J., First steps to the runtime complexity analysis of ant colony

optimization, Computers & Operations Research. vol. 35, p. 2711-2727, 2008.

HAFTKA, R.; GÜRDAL, Z., Elements of Structural Optimization. 3rd rev. and

expanded ed.. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht, The Netherlands, 1992.

HU, H., JUANG, C., Maximization of the fundamental frequencies of laminated

curved panels against fiber orientation. Journal of Aircraft, vol. 34, p. 792-801,

1997.

HUTTON, D., Fundamentals of Finite Element Analysis. Mc Graw Hill, New York,

2004.

JONES, R. M. Mechanics of Composite Materials. 2a ed., Taylor & Francis, Inc.,

Philadelphia, 1999.

KARADIMAS, N. V.; PAPATZELOU, K.; LOUMOS, V. G., Optimal solid waste

collection routes identified by the ant colony system algorithm. Waste Management Research, vol. 25, p. 139-147, 2007.

KAVEH, A.; JAHANSHAHI, M., Plastic limit analysis of frames using ant colony

systems. Computers & Structures, vol. 86, p. 1152-1163, 2008.

Referências 91

KOGISO, N.; WATSON L. T.; GÜRDAL, Z.; HAFTKA, R., Genetic algorithms with

local improvement for composite laminate design. Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 7, p. 207-218, 1994a.

KOGISO, N.; WATSON L. T.; GÜRDAL, Z.; HAFTKA, R., NAGENDRA, S., Design of

composite laminates by a genetic algorithm with memory. Mechanics of Composite Materials and Structures, vol. 1, p. 95-117, 1994b.

KONG, M.; TIAN, P.; KAO, Y., A new ant colony optimization algorithm for the

multidimensional Knapsack problem. Computers & Operations Research, vol. 35,

p. 2672-2683, 2008.

LEE, Y., KIM, Y., Analysis of nonlinear vibration of hybrid composite plates.

Composites & Structures, vol. 61, n. 3, p. 573-578, 1996.

LEE, Y.; LIN, C.; JI, J.; CHEN, J., Optimization of a composite rotor blade using a

genetic algorithm with local search. Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol. 24, n. 16, 1759-1769, 2005.

LE RICHE, R. HAFTKA, R., Optimization of laminated stacking sequence for buckling

load maximization by genetic algorithm. AIAA Journal, vol. 31, p. 951-956, 1993.

LIU, B.; HAFTKA, R. T.; AKGÜN, M. A.; TODOROKI, A., Permutation genetic

algorithm for stacking sequence design of composite laminates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 186, p. 357-372, 2000.

LOPEZ, R. H.; LUERSEN, M. A.; CURSI, E. S., Effect of the Failure Criterion on the

Minimum Weight of Laminated Composites. Proceedings of the Ninth International Conference on Computational Structures Technology, B.H.V. Topping, M.

Papadrakakis, (Editors), Civil-Comp Press, Stirlingshire, United Kingdom, paper 10,

2008.

LOPEZ, R. H.; LUERSEN, M. A.; CURSI, E. S., Optimization of Hybrid Laminated

Composites using a Genetic Algorithm. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering (JBSMSE), vol. 31, p. 269-278, 2009.

Referências 92

LUERSEN, M. A.; LE RICHE, R., Globalized Nelder-Mead method for engineering

optimization. Computers & Structures, vol. 82, p. 2251-2260, 2004.

NARITA, Y., HODGKINSON, J. M., Layerwise optimisation for maximising the

fundamental frequencies of point-supported rectangular laminated. Composite and Structures, vol. 69, p. 127-135, 2005.

NARITA, Y., ROBINSON, P., Maximizing the fundamental frequency of laminated

cylindrical panels using layerwise optimization. International Journal of Mechanical Sciences, vol. 48, p. 1516-1524, 2006.

PEREIRA, J. C., Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos.

GRANTE/UFSC, Florianópolis, 2003.

PHAM, D. T.; KARABOGA, D., Intelligent Optimisation Techniques. Genetic Algorithms, Tabu Search, Simulated Annealing and Neural Networks. Springer-

Verlag, Berlim, Heidelberg, New York, 2000.

PRADYUMNA, S., BANDYOPADHYAY, J. N., Static and free vibration analyses of

laminated shells using a higher-order theory. Journal of Reinforced Plastics and Composites, vol. 27, p. 167-186, 2008.

REDDY, J. N., An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Oxford

University Press, 2004.

SERRA, M.; VENINI, P., On some applications of ant colony optimization

metaheuristic to plane truss optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, vol. 32, p. 499-506, 2006.

SOCHA, K.; DORIGO, M., Ant colony optimization for continuous domains.

European Journal of Operational Research, vol. 185, p. 1155-1173, 2008.

SOREMEKUM, G.A., Genetic Algorithms for Composite Laminate Design and Optimization. 1997. 157 p.. Thesis (Master of Science in Engineering Mechanics) –

Polytechnic Institute and State University (Virginia Tech), Blacksburg, Virginia.

Referências 93

SOREMEKUN, G.; GÜRDAL, Z.; KASSAPOGLOU, C.; TONI, D., Stacking sequence

blending of multiple composite laminates using genetic algorithms. Composite Structures, vol. 56, p. 53-62, 2002.

SPALL, J. C., Introduction to Stochastic Search and Optimization: Estimation,

Simulation, and Control. John Wiley & Sons, Inc, 1a ed., New Jersey, 2003.

SPALLINO, R.; RIZZO, S., Multi-objective discrete optimization of laminated

structures. Mechanics Research Communications, vol. 29, p. 17-25, 2002.

STAAB, G. H. Laminar Composites. Butterworth-Heinemann, Worbun, MA, 1999.

TERADA, Y.; TODOROKI, A.; SHIMAMURA, Y., Stacking sequence optimizations

using fractal branch and bound method for laminated composites. JSME International Journal, Series A., vol. 44, n. 4, 2001.

TESSLER, A.; SAETHER, E.; TSUI, T., Vibration of thick laminated composite plates.

Journal of Sound and Vibration. vol. 179(3), p. 475-498, 1995.

TODOROKI, A.; SASADA, N.; MIKI, M., Object-oriented approach to optimize

composite laminated plate stiffness with discrete ply angles. Journal of Composite Materials, vol. 30, n. 9, p. 1020-1041, 1996.

TOKSARI, M. D., Minimizing the multimodal functions with Ant Colony Optimization

approach. Expert Systems with Applications, Article in Press, 2008.

VARES, M. E.; SIDORAVICIUS, V., Uma Introdução à Probabilidade. Curso da V

Escola do CBPF, 2004. Disponível em http://mesonpi.cat.cbpf.br/e2004/sub-

index.php?page=docs.php. Acessado em 07 de dezembro de 2009.

VIANA, F. A. C.; KOTINDA, G. I.; RADE D. A.; STEFFEN JR, V., Tuning dynamic

vibration absorbers by using ant colony optimization. Computer and Structures, vol.

86, p. 1539-1549, 2008.

WANG, W.; GUO, S.; CHANG, N.; FENG, Z.; YANG, W., A modified ant colony

algorithm for the stacking sequence optimization of a rectangular laminate.

Referências 94

Structural and Multidisciplinary Optimization, DOI:10.1007/s00158-009-0447-4,

2009.

WANG, W.; GUO, S.; CHANG, N.; YANG, W., Optimum buckling design of

composite stiffened panels using ant colony algorithm. Composite Structures, vol.

92, p. 712-719, 2010.

WIDMAIER, K., Algoritmo genético aplicado à otimização de asas de material compósito de veículos aéreos não tripulados. 2005. 203 p.. Dissertação

(Mestrado em Engenharia Mecânica) - Escola de Engenharia de São Carlos (EESC),

USP, São Carlos.

XIA, Y.; CHEN, J.; MENG, X., On the dynamic ant colony algorithm optimization

based on multi-pheromones. IEEE Computer Society, p. 630-635,

DOI:10.1109/ICIS.2008.112, 2008.

ZEHNDER, N.; ERMANNI, P., A methodology for the global optimization of laminated

composite structures. Composite Structures, vol. 72, p. 311-320, 2006.

Apêndice A Principais Algoritmos de Colônia de Formigas

95

APÊNDICE A – PRINCIPAIS ALGORITMOS DE COLÔNIA DE FORMIGAS

Tipos Autores Data Construção da Solução Feromônio Parâmetros Características e vantagens

AS

Ant System

Marco Dorigo

Dorigo,

Maniezzo &

Colorni

1992

1992,

1996

A formiga k constrói a solução aplicando

a regra de probabilidade abaixo:

[ ],

[ ] [ ]

0,

ij ijk kij ik

i il il

ki

p j Nj l

j N

τ ητ η

α β

α β

⎧ [ ]= ∈⎪

= Σ ∈ Ν⎨⎪ ∉⎩

A informação heurística é dada por

1ij

ijdη =

kiΝ = vizinhança de k

Evaporação : k kij ijρτ τ← (1− )

Depósito: 1

mk

ij ij ijk

τ τ=

← Δτ∑

A taxa de feromônio é dada por

1/ , ( , )0,

k kkij

C arc i joutro

⎧ ⎫∈ Τ⎪ ⎪Δτ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

kC = comprimento de kT

m é o número de formigas.

[ ]0 1,ρ =

α , β e m

são os

parâmetros

que

determinam

a influência

relativa da

trilha de

feromônio.

É o primeiro algoritmo ACO.

Esta variante pode ser sem busca

local – ou com busca local.

α é o parâmetro que influência o

feromônio.

β é o parâmetro que influência a

informação heurística.

EAS

Elitist Ant

System

Dorigo

Dorigo,

Maniezzo &

Colorni

1992

1991,

1996

Idem AS

Evaporação – Idem AS, com o

feromônio dado por

1

mk bs

ij ij ij ijk

eτ τ=

← Δτ + Δτ∑ ; kijΔτ - Idem

AS; e a taxa de feromônio é dado por

1/ , ( , )0,

bs bsbsij

C arc i joutro

⎧ ⎫∈ Τ⎪ ⎪Δτ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

bsC = comprimento de bsT

e =

Parâmetro

Reforço adicional de feromônio às

melhores soluções.


96


ASRANK

Rank Based

Ant System

Bullnheimer,

Hartl & Strauss

1997,

1999

Idem AS

Evaporação – Idem AS

1

1

( )w

r bsij ij ij ij

rw r wτ τ

−

=

← + − Δτ + Δτ∑

1/r rij CΔτ = , onde r é o melhor da

iteração.

1/bs bsij CΔτ = , e bs é a melhor de

todas as soluções.

A cada iteração somente é permitido

adicionar feromônio à melhor

formiga da iteração.

MMAS

MAX-MIN Ant

System

Stültze & Hoos

Stültze

1996,

2000

1999

Idem AS

Idem AS com [ ]min, maxτ τ dados por:

maxmin a

ττ = ; max

1bsC

τρ

=

1/best bestij CΔτ =

1/best ibij CΔτ =

ibC = melhor da iteração.

a é um

parâmetro.

Com ρ =

0,02 o

algoritmo

apresenta

bons

resultados.

a) Exploração do melhor circuito;

b) Intervalo definido de feromônio;

c) ijτ - inicia em maxτ ;

d) Reinicializar após a estagnação

ou se não houver melhora em

determinado número de iterações.

e) A exploração de soluções é maior;

f) Prova da convergência (com

GBAS e ACObs, minτ (θ);

g) Baixa taxa de evaporação;

h) Uma das melhores variantes do

AS, seguido do ACS e ASRANK.


97


ACS

Ant Colony

System

Dorigo, &

Gambardella

1997

A construção das soluções realiza-se

aplicando a regra pseudoaleatória dado

por

[ ] [ ]{ }

( )

0

0

ki

,il ill

kij

arg max , q q

J , q qj

J p

τ η β

∈ Ν

⎧ ≤⎪⎪⎪ >= ⎨⎪⎪⎪⎩

q = variável randômica [0,1]

0q = parâmetro

J a opção aleatória em função da

probabilidade kijp , semelhante ao AS

A informação heurística é dada por

1ij

ijdη = .

Atualização local de feromônio dado por

0ij ijτ τ τ← (1− ξ) + ξ

ξ é um parâmetro de evaporação local

entre 0 1< ξ <

Atualização Global (Evaporação e

Depósito)

( , )bs bsij ij ij i j Tτ τ← (1− ρ) + ρΔτ ∀ ∈

ρ é um parâmetro de evaporação

global entre 0 < ρ < 1

1/bs bsij CΔτ =

0 0 90q ,=

q é uma

variável

randômica

[0,1]

ξ = 0,1

O feromônio

inicial é

dado por

01

nnnCτ =

η é a

informação

heurística

ρ =

parâmetro

[0,1]

a) Explora a experiência acumulada;

b) A evaporação e depósito de

feromônio são alterados somente ao

longo do melhor trecho

c) Existe a remoção de feromônio

para aumentar a busca de novas

alternativas e evitar a estagnação;

d) Valor de 0 0 90q ,= alto

e) Regra de escolha pseudoaleatória

f) Busca muito agressiva;

g) Explora locais não visitados;

h) Retornam soluções de melhor

qualidade para curtos tempos

computacionais;

i) Prova da convergência (com

GBAS e ACObs, minτ (θ).

ANT-Q

(semelhante ACS)

Gambardella &

Dorigo

Dorigo, &

Gambardella

1995

1996

Idem ACS

Idem ACS, com 0 max , ki ijj Nτ γ τ⎡ ⎤= ∈ ⎣ ⎦

γ é um

parâmetro

A diferença entre o ACS e o ANT-Q

é a quantidade inicial de feromônio,

o termo 0τ .


98


ANTS

Approximate

Nondetermini

stic Tree

Search

Maniezzo

1999

,(1 )

ij ijk kij ik

l i il il

p j Nτ η

στ η∈ Ν

ζ + (1− ζ)= ∈

Σ ζ + − ζ

1

mk

ij ij ijk

τ τ=

← + Δτ∑

1 , ( , )

0

kk

kavgij

C LBarc i j T

L LB⎧ ⎫⎛ ⎞−

ϑ − ∈⎪ ⎪⎜ ⎟Δτ = −⎨ ⎬⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

0 1< ζ <

ϑ

a) Usa limite inferior (LB);

b) Nova regra a construção da

seleção;

c) Modificação do depósito de

feromônio;

d) Explora a idéia da programação

matemática.

Hyper-cube AS

Blum, Roli &

Dorigo

Blum, Dorigo

2001

2004

Soluções factíveis Srx

nv ∈R , combinações convexas dos

vetores binários nx ∈B

i iv x= γ∑ , nx ∈B

[0,1], 1i iγ ∈ γ =∑ ; e )( n1τ = τ , ..., τ

1

mk

ij ij ijk

τ τ ρ=

← (1− ρ) + Δτ∑

1

1/, ( , )

(1/ )

0,

k

mkk

ijh

Carc i j

C=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪Δτ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

a) Baseado na programação

matemática para problemas de

otimização combinatória;

b) Vetores binários;

c) A quantidade de feromônio é

forçado a ficar no intervalo [0,1].


99


ACOR

Ant Colony

Optimization

for

Continuous

Domains

Krzysztof

Socha,

Marco Dorigo

2006

1

ll k

rr

wpw

=

=

∑

A probabilidade é escolhida com a função

Gaussiana dada por

( )2

22

1 1

1( ) ( )2

il

il

xk k

i il l

il l l

G x w g x w e σ

σ

− −μ

= =

= =π

∑ ∑

onde

1 1

i iki e ll

e

s sk

σ=

⏐ − ⏐= ξ

−∑

0ξ >

i| ω |=| μ |

kiσ| |=

A informação de feromônio é

armazenada como uma solução no

arquivo T e cada solução eS , para um

problema n - dimensional do ACOR

Armazena em T as n variáveis e os

valores da função objetivo ef ( S ) .

0ξ >

a) Desenvolvido para variável

contínua;

b) A melhor solução é atualizada no

procedimento de busca local.

Apêndice B Fluxograma do Algoritmo ACO Aplicado aos Materiais Compostos Laminados

100

APÊNDICE B – FLUXOGRAMA DO ALGORITMO ACO APLICADO

AOS MATERIAIS COMPOSTOS LAMINADOS

Apêndice C Modos de Vibração Fundamental de Placas Apresentadas nas Seções 5.4 e 5.5

101

APÊNDICE C – MODOS DE VIBRAÇÃO FUNDAMENTAL DE PLACAS

APRESENTADAS NAS SEÇÕES 5.4 E 5.5

Modos de vibração para a placa retangular com ABAQUS e ACO/ABAQUS

(a/b) ABAQUS ACO e ABAQUS

0,2

0,8

1,4

2,0


102

Modos de vibração para a placa quadrada com furo de diâmetro D

Resultados ACO e ABAQUS

D = 0,02 m

θ k = [±452]s

ωmax = 1350,26 (rad/s)

D = 0,04 m

θ k = [±452]s

ωmax = 1409,70 (rad/s)

D = 0,06 m

θ k = [±452]s

ωmax = 1632,75 (rad/s)

D = 0,08 m

θ k = [±452]s

ωmax = 2138,23 (rad/s)


103

Modos de vibração para placa retangular com furo de diâmetro D com ABAQUS

D (m) Lâminas com orientações a ±45° Lâminas com orientações a 90°

0,02

0,04

0,06

0,08


104

Modos de vibração para a placa retangular com furo de diâmetro D

Resultados ACO e ABAQUS

a = 0,50 m

b = 0,25 m

D = 0,02 m

θ k = [904]s

ωmax = 961,45 (rad/s)

a = 0,50 m

b = 0,25 m

D = 0,04 m

θ k = [±75, 902]s

ωmax = 916,28 (rad/s)

a = 0,50 m

b = 0,25 m

D = 0,06 m

θ k = [±75, 902]s

ωmax = 913,95 (rad/s)

a = 0,50 m

b = 0,25 m

D = 0,08 m

θ k = [±75, 902]s

ωmax = 942,79 (rad/s)

Anexo A Teoria dos Grafos

105

ANEXO A – TEORIA DOS GRAFOS

A. INTRODUÇÃO

Este anexo apresenta de forma resumida a teoria dos grafos e as formulações

sobre probabilidade estocástica. Estas teorias foram aplicadas no desenvolvimento

do algoritmo de colônia de formigas. A teoria dos grafos estuda objetos

combinatórios, onde os grafos são bons modelos para muitos problemas em vários

ramos da matemática, da informática, da engenharia e da indústria, segundo

FEOFILOFF et al. (2009).

A.1 Definição

A palavra grafo é originária do inglês graph. O grafo G é uma estrutura

matemática constituída pelos conjuntos V , e E . Onde V é o conjunto finito e não

vazio de n vértices ou nós, e E é o conjunto de m arestas, e as arestas são pares

formados pelos vértices de V . A Figura A.1 representa graficamente os vértices

a, b, c , as arestas { } { } { }a,a , a,b , b,c e o laço { }a,a .

Figura A.1 - Exemplo de grafo.


106

A.2 Representação do Grafo

A Equação A.1 apresenta a formulação para o grafo, cuja representação é

( )G V ,E ou ( )=G V ,E Eq. A.1

onde G é o grafo, V é o conjunto dos vértices e E é o conjunto das arestas.

A.3 Exemplo do Grafo

A formulação de um exemplo de grafo é dada como

( )G V ,E ou ( )=G V ,E

{ }=V a,b,c

{ } { } { }{ }=E a,a , a,b , b,c

Laço (loop) = { }a,a

Eq. A.2

onde a , b , c são os vértices de V , e os pares { } { } { }a,a , a,b , b,c são as arestas

de E . O par com o mesmo vértice forma um laço { }a,a .

A.4 Algumas Definições e Características dos Grafos

A teoria dos grafos é extensa e suas variações recebem nomes específicos.

Alguns destes grafos são explicados e denominados como seguem.

A.4.1 Grafo Simples

Os grafos simples não têm o laço nem múltiplas arestas.

A.4.2 Peso do Grafo

É a atribuição de um número real a uma aresta que representa um determinado

peso a esta aresta.


107

A.4.3 Grafo Direcionado

Grafo direcionado ocorre quando cada aresta tem uma direção atribuída, ou

seja, considera a direção das ligações dos vértices, como na Figura A.2.

Figura A.2 - Exemplo de grafo direcionado.

A.4.4 Circuito Euleriano

O circuito Euleriano é um circuito onde todas as arestas são usadas somente

uma vez. Ou o ciclo que possui todas as arestas do grafo exatamente uma vez.

A.4.5 Grafo Euleriano

O grafo Euleriano é o grafo contendo um circuito Euleriano. A Figura A.3

apresenta um grafo Euleriano, exemplificado para as pontes de Königsberg.

Figura A.3 - Exemplo de grafo Euleriano (As pontes de Königsberg).


108

A.4.6 Ciclo Hamiltoniano

O ciclo Hamiltoniano é o circuito que tenha todos os vértices, passando através

de cada ponto apenas uma vez. Ou seja, cada vértice só aparece uma vez no ciclo.

A.4.7 Grafo Hamiltoniano

O grafo Hamiltoniano é o grafo que contém um ciclo Hamiltoniano.

O problema do caixeiro viajante, cujo circuito é hamiltoniano, pode ser

formulado com a estrutura da teoria dos grafos como

( )G V ,E

{ }1 2 3 1 2= =nV c ,c ,c ,...c ,n , ,...n

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 3 1 4 1= nE c ,c , c ,c , c ,c ,... c ,c

Eq. A.3

onde nc são as cidades e n é o número de cidades e os pares ( )1 nc ,c representam

a distância entre as cidades.

A.4.8 Grafo Bipartido

O grafo bipartido ocorre quando seu conjunto de vértices V pode ser

particionado em subconjuntos 1V e 2V , tais que toda aresta de G une um vértice

de 1V e outro de 2V , como exemplificado na Figura A.4.

Figura A.4 - Exemplo de grafo bipartido.


109

A.4.9 Grafo Valorado

O grafo valorado ocorre quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou

E com um conjunto de números.

A.5 Grafo Aleatório

Defini-se G( n ) a coleção de todos os grafos do conjunto de vértices

{ }1=V ,...,n .

2= NG( n ) ,

2⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

nN

Eq. A.4

onde n é o número de vértices e N a combinação dos pares formados pelos

vértices. E segundo FEOFILOFF et al. (2009), quase todo grafo tem uma

determinada propriedade P( n ) se a Eq. A.5 for verdadeira.

1→∞

=n

P( n )lim

G( n ) Eq. A.5

O conjunto G( n ) é baseado na introdução de uma medida de probabilidade

nesse conjunto. Seja p um número no intervalo (0,1) e escolha cada elemento de

V , independentemente, com probabilidade p. Se A é o conjunto dos pares

escolhidos, então ( )V ,A é um grafo aleatório em G( n ) . A probabilidade de que o

grafo ( )G V ,A assim construído seja idêntico a um determinado elemento de G( n )

que tenha m arestas é de ( )1 −− N mmp p . Num grafo aleatório as arestas são

dispostas ao acaso entre os diferentes pares possíveis de vértices, com certa

probabilidade p.


110

A.6 Teorias de Probabilidade Estocástica

Um resumo das fórmulas da teoria de probabilidade está formulada nas Eq.

A.6, Eq. A.7 e Eq. A.8, baseadas nas informações de VARES e SIDORAVICIUS

(2004).

A.6.1 Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional ( )P A\ B de A dado B é dada pela Eq. A.6.

A é o subconjunto de um espaço amostral. Os conjuntos em A são chamados

eventos aleatórios (VARES e SIDORAVICIUS, 2004).

( ) ( )( )∩

=P A B

P A\ BP B

Eq. A.6

onde o espaço de probabilidade é dado por ( )Ω, A, P e ∈B A com ( ) 0>P B e Ω

é um conjunto não vazio.

A.6.2 Fórmula da Probabilidade Total

A formulação para a probabilidade total de B dado A está representada por

( ) ( ) ( )1

n

i ii

P B P B / A P A=

= ∑ Eq. A.7

A.6.3 Fórmula de Bayes

A fórmula de Bayes relaciona as probabilidades de A e B com as respectivas

probabilidades condicionadas mútuas e é definida como


111

( ) ( ) ( )( ) ( )1

i ii n

i ij

P A P B AP A B

P A P B A=

|| =

|∑ Eq. A.8

onde ( ) 0>P B , iA representam as hipóteses de ocorrência, ( )iP A sua

probabilidade a priori e ( )iP A B| a probabilidade a posteriori, dada à ocorrência de

B .

Glossário 112

GLOSSÁRIO

Daemon Termo originário da linguagem computacional. É uma

rotina ou programa criado para uma tarefa padrão, com

fins específicos, a ser executado sempre que solicitado.

Feromônio Substância química usada pelos animais para se

comunicarem. Tratando-se de formigas, é a substância

química produzida pelas mesmas. Estas formam trilhas

marcadas com o feromônio.

Grafo O grafo G é uma estrutura matemática constituída

pelos conjuntos C e L, onde C é um conjunto finito e

não vazio de n vértices ou nós e L é um conjunto de m

arestas, e as arestas são pares formados pelos vértices

de C. Um grafo é representado por G(C,L) ou G=(C,L).

Heurística Algoritmos exploratórios não exatos. Heurística vem do

grego heuriskein, que significa descobrir.

Meta-heurística Método heurístico, usualmente sofisticado, para

resolver problemas de otimização. Metas-heurísticas

são geralmente aplicadas a problemas que não se

conhece um algoritmo eficiente para solucioná-los.

Exemplos de metas-heurísticas em otimização são:

algoritmos genéticos, simulated annealing, busca tabu

e colônia de formigas.

Otimização combinatória Ramo da otimização que aborda problemas de

otimização em conjuntos finitos.

Otimização estocástica Ramo da otimização que trata os problemas por

processo de busca randômica controlada por critérios

probabilísticos.

Glossário 113

Otimização determinística Ramo da otimização baseada em cálculo. Requerem

na maioria dos casos a primeira derivada da função

objetivo em relação às variáveis de projeto.

Stigmergy Estimergia. Do grego stigma que significa marca,

carimbo ou selo e ergon que significa trabalho. Forma

indireta de comunicação observada em insetos. Esta

comunicação indireta está relacionada com o meio

ambiente e com a interação dos seres no meio de

convívio, levando a cooperação e auto-organização

entre eles.

algoritmo de colÔnia de formigas aplicado À otimizaÇÃo de ... · apÊndice b – fluxograma do...

Documents