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AmpliacióndemiANTROPOLOGÍADELAVIDACOTIDIANARECORDATORIO76(Divagacionespapiroflécticas)

PREÁMBULO

EnesterecordatoriosevaahablarmuchodeCP(creasepattern,eninglés)ycreonecesariohaceralgunasprecisionesdesdeelprincipio.Elacrónimoinglésyaestaacuñadoenespañolperosutraduccióndifieresegúnlosautores.

Mipreferenciaesésta:CP=Modelodedobleces.Doblezeslaseñalquequedaenlapartepordondesehadobladoalgo.Esdecirlahuelladeunplegado,quepuederesultarenmon-teoenvalle,segúndesdedóndeselamire.UnCPeseso,uncon-juntodelíneas(señalesohuellas)ynounconjuntodepliegues.Unpliegueestahechodetrescosas:doscarasysulíneadeinter-secciónodoblez.

Otrosllamancicatrizaldoblez,queescosapocoapropiada:Unacicatriz,enelmejordeloscasos,esunasuturaynoundoblez.Ambaspalabras(cicatrizydoblez)tienenencomúnunacosamuyinteresanteparalosjugadoresdeIntelect:queambascontienenunaz,laletrademayorvaloreneljuego.

UNOEn1969regreséaMadridparaquedarme.PocodespuéscomencémiandadurainformáticaconeldesarrollodelaprogramacióndeTubosacodadosenelespacioqueacometíconIBMyaqueenaqueltiemponoteníamosenfábricaunosordenadoresconlasaplicacionesdecálculonecesarias(eranunosEricsson):estábamosconectadosenmodoCALLconlasededeIBMenCastellana4(no-tableconstruccióndelarquitectoMiguelFisac)quenosprestólavaliosaayudadeJ.M.BelmonteBadía,profesordeCálculonuméricoenlaE.T.SdeIngenierosdeCaminosdeMadrid,yqueademástrabajabaparaaquellafirma.Yaen1974miobrahabíaempezadoatomarcuerpoyculminaríaen1982conelPremiodeInnovaciónTecnológicaIndustrialdelMinisteriodeIndustriayEnergía.Coincidiendocontodoesto,miamigoJuanManuelqueviajóaJapónmeenseñóellibrodepapiro-flexiaquehabíacompradoallítituladoORIGAMIFORTHEENTHUSIAST,delautorJohnMontroll.Meencantóynoparéhastaconseguirlo.Eraelaño1979.MicompañeroLuisAlbertoPetithabíafundadoen1957elSIMOqueyovisitabacadaañoconelmayorinterés.Estoseríahacia1980,cuandoelsalónaúnseinstalabaenlaCasadeCampo.EnunadeesasvisitasanualessemeocurriópreguntarenelestanddeIBMsihabíaposibilidaddedisponerdealgúnprogramadeordenador(hoyhablaríamosdealgunaaplicación)quepermitieramanejarlascomplicacionesdelapapiroflexiaparaobtenerfigurasconmásfacilidad.MerespondieronquelosinvestigadoresdelaCompañíaestabantrabajandoenello.Mequedésorprendidoycontento:Noesperabaunarespuestatanpositiva.DeboaclararqueelacrónimoSIMOhaidocambiandode

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significadohastanuestrosdías:EmpezóportenerelsentidoinicialdeSalónInformativodeMate-rialdeOficina,paraevolucionarcomoSalóndelaInformáticaydelMaterialdeOficina,etc.DOSAhora,enfebrerode2016,recibolaconferenciadedivulgaciónsobreorigamiqueacabadedictarRobertLang,elfamosofísicocalifornianoquemutóalorigamidesdesuespecialidaddefísicodelláser,yquedentroyadelorigamihatrabajadoincesantemente(queyosepa,desdeantesde1994hastahoy)ensuTreeMaker,unaaplicaciónquepermite,precisamente,aquelloqueyoechabademenosenlaIBMdelSIMOaqueacabodereferirme.ConocíaRobertLangenMadridelaño2000conocasióndelaConvenciónInternacionaldePapiro-flexiaquesecelebróennuestracapital.EnellasepresentóellibroqueyoacababadepublicarparalaAEP(AsociaciónEspañoladePapiroflexia)coneltítulodeMatemáticasyPapiroflexia.TuveocasióndemostrárseloaR.Lang.Lomiróconinterésymecomentó,segúnloojeaba,queleparecíadebuenaspectoperoquecomoélnosabíaespañol,mejorharíatraduciéndoloalinglésparaque,además,pudieratenerunamayordifusiónenlaRed.Comoyahecontadoenalgúnotrositio,fueloquehice:lotradujeylopuseenmisitiowebjuntoconlaversiónespañola.VeanacontinuaciónloquenosdiceelpropioR.Lang.Deboaclararqueloquealolargodeestemiescritodestacocomodeél,loes,aunquenotodocorrespondaalaconferenciadedivulgaciónaquemehereferidoenDOS.

En1989escribíunartículoparalarevistaEngineering&Sciencesobreelestadodelapapiroflexiatécnicaqueyaentoncespresentabaavancesgraciasalaincorpora-cióndeprincipioscientíficosymatemáticos.Refiriéndomeaalgunasdelascone-xionesentreorigami,matemáticasytecnología,escribí:

Lacomputaciónserindióalatractivodelapapiroflexiacuando,en1971,Art-hurAppel(*)programóunordenadormodelo360deIBMparapoderim-primirconfiguracionesgeométricassencillasaunritmodemásdecienporminuto.El90%deellasresultaroninútiles,peroellosugeríaunapreguntainteresante:Algúndíapodríaunordenadordiseñarunmodeloquepudierajuzgarsesuperioralquediseñaelhombre?Dadoqueengranmedidaelpro-cesodediseñoesgeométrico,lasperspectivasnosontansombríascomopu-dieraparecer.

(*)FamosoinvestigadordeIBMcitadoporelacadémicoFernandoBombalGordónenlaconferen-ciaquedictóenlaRealAcademiadeCienciasdeMadridbajoeltítuloMatémáticas,LógicayOrde-nadoresel31-3-2016.Deloanteriorquierodestacartrescosas:1.-Noerayoelúnicoqueseplanteabaunacosatancuriosa:descubrirlacoincidenciadelasmate-máticasenelámbitodeunartetanmágicocomoeldelapapiroflexia.Heconocidomásdeunpapi-roflectaqueseejercitaenlamagia.2.-NomeengañaronlosdeIBMenelSIMO:diezañosantesdemipreguntayasehabíanrendidoalembrujodelapapiroflexia.3.-Estacosaladejoparaverlaacontinuación.

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TRESDebodeclararqueavecessoydelosquesaltanaconclusiones,queescosaquellevanmuyamallosingleses.Sinembargoy,sinpretendersersabio,queseríaunatonteríapormiparte,piensoquelossabiosnecesitaránmuchasvecessaltaralasconclusionesquesuintuiciónlesapunta,enocasiones,consólounpocodeapoyo:eselriesgoquelavidasepermiteensuavancecontinuo.Amímesuelepasarestoconellenguaje,conlaspalabras.Recordaréahoraalgunoscasosy,siem-preeldemisimpáticaymuysevillanaprimaPepitaque,cuandodeniñaoíahablardelasruinasdeItálica,pensabaquesetratabadelasruedasmetálicas.EltrajínenquememetíconeltodelinfinitivodelosverbosinglesesalrelacionarloconelartículoneutrogriegoτόcondujoalDiccionarioOxfordylaUniversidaddeOhioaentretenerseendeshacermiatropellodándome,comopropinaamicuriosidadunaenseñanzamuyinteresante.Otro.Ahoranoséporqué,perohabíaadjudicadoyolaautoríadeunosbellosflexágonosespacialesauntalR.Nealypretendíasaberalgomásdeél.DelamanodeGoogledoyconuntalRadfordM.Neal,ProfesordeEstadísticaAvanzadaydeCienciadelaComputaciónenlaUniversidaddeToron-to.Mepongoencontactoconélymerespondemuygentil:“Losiento,peroyonosoyelautor.LaúnicaotrapersonaqueconozcocomoR.Nealesmimadreperotampococreoqueellasearespon-sabledeeso.Ledeseosuerteensubúsqueda”.

Ylatuve.MetropecéenInternetconR.Neale,delquesediceenWikipedia:“Esuneminentepapiroflectaamericano,conocidoporsussencillosyelegantesmodelos,quevamásalládeloslími-tesconvencionalesdelaPapiroflexia.”Eldetalleenquehabíafalladoyo,eralaúltimaletradelape-llido.

Otromás.CuandoyateníaconsolidadoenlaRedmisitioweb(construidoconmultituddepáginas)quisesabercualfuerasuposiciónenella,esdecir,elrangodeaprecioquemispáginaspodríanme-receraloslectores.Descubríque,efectivamente,existíaunPageRank(rangodepágina)queapun-taba,entreotrascosas,alasvisitasquerecibíacadapágina:Unadesignaciónperfectaparaunafun-ciónconcreta,perotambiénuncrasoerrorpormiparte:Resultaqueesadesignaciónhayqueen-tenderlacomoquesetratadeunalgoritmodiseñadoporelSr.Page(elSr.Página,LarryPage,-unodelosfundadoresdeGoogle-)paralafuncióndeordenacióndelaspáginaswebconarregloacier-toscriterios.¡Tambiénescoincidencialadelapellidoylafunción!AlgoparecidomehapasadoconelSr.AppeldeIBMquecuentaR.Lang.Alleerlomedije:¡Tate!,esteseñortienequeserunspinoffistadeIBMqueterminófundandoydandonombrealaFábricadelaManzana.Otroerror,nosésicrasoomagro(spinoffeselnombrequesedaaunaempresa-brotequesedesgajadeotramayorodeuncentrodeinvestigación,comúnmentedelamanodealgúnempleadodeprestigio).ElfundadordeApplenofuenadieprocedentedeIBM;lacrearondosdenombreEsteban.SteveWozniakaseguraqueelorigendelnombreesqueSteve Jobshabríadecididollamar«manzana»alaempresaporqueungranjerodeOregónlesugirióestenombre.Otracoincidencia:queunodelosEstebanseapellidaraJobs(segúnelWebster:algoquerequieremuygrandeesfuerzo.¡Yvayasilodesarrollóhastasumuerte!).

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Yameimaginoallectoratentoseñalandomigazapomanzanero.Ahoranosetratadeunacoinci-dencia,sinodeunadisincidencia:DonArthurAppeltieneterminadosuapellidoenelquehacepen-sarenlapalabrafrancesallamadaollamamientoconacentofónicoagudo.Porelcontrario,laman-zanadelosMactermina,eninglés,conlasletrasledeAppleysuacentograve.Nosetrata,pues,deunlapsuscalami.CUATROYaesmomentoparaprofundizarunpocoenlaconferenciadeR.LangalaquemehereferidoenDOS.Enellaenfatizaeldescubrimientodelasmatemáticasqueseocultantraslapapiroflexia:ÉstasconstituyenunaherramientapoderosaydegranutilidadparacrearCPs.Serefierealoqueresultadelasbasesdeplegadocomplejas,aesasqueseconstruyenconotraselementalesmezcladasconarteparaimitaralanaturaleza.Noolvidemosqueelartedelapapiro-flexia,comoeldelaesculturaolapinturapuedetenderalrealismooalasuperacióndelasformasnaturalesmediantelacaricatura,perotomandoenserioalmodelo.Enescultura/arquitecturaamimegustarecordarlaampliacióndelBancodeEspañaquehahechoelarquitectoMoneoparalaesquinaAlcalá/MarquésdeCubas,olasúltimasintervencionesenlaSagradaFamiliabarcelonesa.Consisten,endefinitiva,encaricaturastremendamenteseriasdelaobraalaqueprestancontinuidad.Asuvezlasbaseselementalesutilizanformasdeplegadomáselementalesaún.Listaréalgunasdeestasformasybaseselementales,segúnJ.Montroll:

FORMAS:Plisado;cometa;plegadoinverso(alinterioroalexterior);plieguedearrugaco-lapsada(alinterioroalexterior);orejadeconejo(sencillaydoble);plegadopreliminar;plegadoenpétalo(variantesIyII);plegadoconaplastamiento;plegadoencrep.

BASES:Pez;pájaro(grulla,paralosjaponeses);rana;pájaro,estirada;bombadeagua;pájaroyrana,encrep.ElhablardebasesdeplegadomedapretextoparahaceralgunasaclaracionesaltextodemilibroMatemáticasyPapiroflexia(INCENTRO-TeoremadeFushimi-,pág.61ysiguientes).

http://www.caprichos-ingenieros.com/ewExternalFiles/Extraordinario%202000.pdfHayquedecir,primero,quelosnodosdeunplegado(lospuntosdeinterseccióndelosdobleces)puedenestarsituadosdentrodelasuperficiedelcuadradodepartida(p.elachepadelagrulla)oenlasaristasdedichocuadrado(ladosovértices).Estaúltimasituacióneslaadecuadaparatodaclasedeapéndicesoextremos:enlamismagrulla,elpico,lacolaolasdosalas.Enelcasodeinsec-tosocuadrúpedos,elmorro,lacola,laspatas,cuernosyorejas,oantenasymandíbulas.Esnotableladiferenciaentreestasdosposicionesparalosnodos.Unnodoenelinteriordelpapelexigeparaélunnúmeropardeplieguesyaquecadaplieguesuponedoscarasdeplegado(dosán-gulos;flapsselasllamaeninglés).Ademáshandecerrarselos360ºdisponiblesenelpapel.Esde-cir,lalíneadeplegadoinicialhadecoincidirconlafinalunavezaplastadalafigura.Encambio,sielnodosesitúaenunladooenunvértice,lacantidaddecaraspuedeserparoimpar(laslíneasinicialyfinalnotienenporquécoincidir).Entodocasosiemprehabráqueatenersealaexigenciaanotadaenmilibrodenoincurrireninterferenciadelpapelconsigomismoenlosplie-gues.Porejemplo,unnododevérticepodría,teóricamente,admitirtodossusdoblecesenmonte,

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peroelgruesodelpapelloimpideodificulta.Habráqueadministrarunadistribuciónrazonabledelíneasenmonteyenvalleenelcasodeunapéndicemuyagudo.Otracuestiónquequedaincompletaenellibroeslodelos180º,equivalenteaqueenunnodohanderesultarsuplementarioslosángulosalternosqueseformanenelaplastamiento.Elloesciertotomadoalpiedelaletratalcomosedemuestraparaunaplastamientodecuatrocaras(flaps,sola-pas),comoenelcasodelIncentrodeuntriángulo.Perosilascarasaplastadassonmásdecuatro(siempreennúmeroparcuandoelnodoesinterioralcuadradodelpapel),lacosahayqueexplicarlamejor.

LaFig.1esunaampliacióndelúniconododeseiscarasexistenteenlafigurasuperiordelapág.62dellibro,dichoestosóloamododeaclaración.LlamandoA,B,C,D,E,Falosángulosdedichasca-rasqueconcurrenenelnodoyplegandohastaelaplastamientolamencionadaFig.1,paraobtenerlaFig.2,podremosescribir:A+B+C+D+E+F=360º(figuraextendida)A-B+C-D+E-F=0º(figuraaplastada)Esdecir,A+C+E=B+D+FQue,teniendoencuentaloqueocurreenlafiguraextendidanosllevaaqueA+C+E=B+D+F=180º.Observarqueenlafiguraaplastadalossumandospositivosestántomadosensentidolevógiroylosnegativosensentidodestrógirotalcomopidelarealidaddelaplastamiento.Tambiénsepuedecomprobarquelaanteriordemostraciónesválidasielgiroseoriginadesdecualquierotracara(anteshemosempezadoporlaA).Y,porsupuesto,lavalidezdelrazonamientoparacualquiernú-meropardecarassuperioraseis.AsimismoseveenlaFig.1queladiferenciadeplieguesenmonteyenvalleesigualados.

Fig.1

Fig.2

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NOTALovistoanteses,comosedijo,paranodossituadosenelinteriordelpapel.Siloestánenunladoylarotacióndeánguloshacequeelladofinalcoincidaconelinicial,enlasexpresionesanterioreshandecambiarselosgradospasando360a180y180a90.CINCO(ElTREEMAKERdeRobertLang)Segúnsuautor,esunaaplicaciónparadiseñarCPs.Losustantivodesunombrehacereferenciaalodendríticodelateoríadegrafos.Yovengollamandofigurasesqueléticasalascompuestasporaris-tas(untetraedroesquelético,porejemplo).AhorapreferiríallamarConstructordepaloidesalaaplicacióndeR.Lang,porelparecidodesufigurabásicaconuninsectopalo.Tambiénnuestroau-torhabladeskeletonofacreasepatternydestickfigures(stickinsects-insectospalo-,sonalgunas).Asípues,lastickfiguredeR.Lang(mipaloide)sería,paraconstruirunmiriápodo,unalíneahori-zontalcentraldelaquepartenacadalado,muchasypequeñaslíneastransversales,laspatas.Laspuntasextremasdeéstasdebensituarseenlosladosopuestosdelcuadradodepartidaparaoptimizarelusodelpapel,talcomoapuntéenCUATRO.Unavezconseguidoesto,quenoesfácil,hayqueatacarlafasederecogidadepapelhaciaelinterior,queasimismoesdificultosadadalaproporcióndelongitudesentreunapatayelcuerpodelmiriápodo,yaqueelanimalhadecentrarseenelcuadradodepapel.Perolasdificultadesnoterminanahí:sóloacabandeempezar.Pareceinevitablesucumbiralaten-tacióndedeclararlacosacomotareaimposible.Sinembargo,elhechodequeR.Langhayaconse-guidoconsuaplicaciónlaCPqueproduceunhermosoescorpiónsegún:http://www.langorigami.com/crease-pattern/scorpion-varileg-opus-379) ,obligaalaperseveran-cia.Copioloqueélmismodice:

EstoscomplicadosModelosdedoblecessonextremadamentedifícilesdeconseguiryproblemáticosparaobtenerdeelloslasfigurasdefinitivaspuestoquedependedelcriteriodelplegadorlaasignacióndelmodovalleomonteacadadoblezylaconsecucióndelasfasessucesivasdelplegadodesdelaprimeraalaúltima.PeroelvalordelTREEMAKER(Constructordepaloides)esquecombinanovedadyeficacia:Losmodelosqueseobtienenson,porlogeneral,lassolucionesmásefica-cesdeentrelasposiblesapartirdeunpaloideyson,frecuentemente,estructurascompletamentenuevasenelmundodelorigami.

Tansólohabríaqueañadirqueelpaloideeslafiguraesqueléticaintermediaentrelafotografíadelanimal-objeto(unalagartija,unacabra,etc.talcomosevenenelcampo)ylafotografíaquepuedeobtenersealfinaldelaelaboraciónpapiroflécticaapartirdeuncuadradodepapel.Hayqueseñalarqueestaúltimaeselresultadodeafinarunabasedefinitiva,aunqueprevia.ObservencómoR.Langcalificaesteproceso:Esfácilelpasodelaprimerafotodecampoalpaloide,difícillatransicióndeéstealabasedefinitivayfácil(paraunexpertoplegador)elúltimopasoalmodelofinalenpapel. Continúanuestroautor:

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Todoestoconduceaotrapregunta:Sieresunpapiroflecta(ointentasserlo),nece-sitasusarelTREEMAKER(Constructordepaloides)?Larespuestaes:sindudaal-guna,no.Lageneralidaddepapiroflectastécnicosnolousan;dehecho,yotampo-colousoenlamayoríademispropiosdiseños.Paraloquesílouso,decididamen-te,esparatanteosrápidosdediversosprototiposdeplieguesenunabaseantesdedecidirmeporeldefinitivo.Paraesoesunaherramientadeincalculablevalor,den-trodelasdemiarsenal.Sinélnohubierapodidodiseñaralgunasdemisobras,particularmenteciervos,elescorpiónolalangostadeMaine.

SEISEnCINCOhablédeunhipotéticomiriápodoquemedarápieahoraparaunanuevaaclaraciónaltextodemilibroMatemáticasyPapiroflexia(INCENTROeHIPÉRBOLA,pág.63ysiguientes).

http://www.caprichos-ingenieros.com/ewExternalFiles/Extraordinario%202000.pdfSetrataderelacionarelteoremadeFushimisobreelincentro,coneldesarrolloqueToshiyukiMe-gurohizoapropósitodelincentroylahipérbola,aplicandoesarelación,enestaocasión,alareco-gidadepapelqueseprecisaenlaelaboracióndetodaobraplegada.Anteshedichoquelodeseabledeunbuendiseñoestenerlosnodosdelosextremosdelosapéndi-cesdelasfigurasasentadosenlosladosdelcuadradodepartida(FumiakiKawahata).Imaginemospuesque,medianteelpaloidedelmiriápodohemoslogradounaformadeplegadocomoeldelaFig.3(uncuadradoplisadoenespiga;enélsedestacadentrodeungrancírculoloqueluegoseam-plía.Laslíneascontinuasindicanplieguesenmonteylasdiscontinuas,envalle).Losnodoscentralesdelaespigamuestranunaangulaciónde60,120,120,60gradosparasusca-ras,esdecir,lanecesariaparasuaplastamiento(ángulosalternossuplementarios;3plegadosenmonte–1plegadoenvalle=3plegadosenvalle–1plegadoenmonte=2).

Fig.3

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Enelladosuperiordelcuadradosevenlosnodosvacíosrepresentandolospuntosterminalesdelosapéndices(extremossuperioresdelaslíneasenvalle),ylosnodosllenosquehanderecogersehaciaelinteriordelpapel,alahoradeplegar.Otrotantoocurreconelladoinferiordelcuadradoaunqueellonoestéalavistaenestafigura3.LaFig.3constituiríaloqueF.Kawahatallamalíneabásicaqueeselresultadodeacomodarelpaloi-deenelcuadradodepapelquesevaaplegar.R.Langllamaaesalínealadeloscaminoscríticosydeelladicequeesdifícildeconseguirademásdeadvertirdequemuestratodoslosdoblecesdeunadelasmúltiplesmanerasdellegaralograrelmodelodeplegadodefinitivo,insinuandoasíquedejaalartistaplegadoramplialibertaddeejecucióndelosplieguessucesivos.LaFig.4(loencirculadodelaFig.3,ampliado)nospermiteverlosparámetrosdeunahipérbolaasentadaenelplanocoordenadodeorigenOqueobedeceasuecuacióncanónica.ElúnicopuntodelacurvamostradoendichaFig.4esV,suvértice.Laecuaciónes:

𝑥!

𝑎! −𝑦!

𝑏! = 1F1yF2sonlosfocosO,sucentroyVsuvértice.a=OVb=VDc=OF1=OF2=OD,demaneraque

c2=a2+b2Delaecuaciónsededuce:

𝑦 =1𝑎 𝑏!𝑥! − 𝑎!𝑏!

Dandovaloresaxenestaúltimaigualdadobtenemoslasparejas(x,y)queexpresanlaposiciónenelplanodelosdiversospuntosdelahipérbola.

Fig.4

9

Latangenteenunpuntocualquieradelahipérbolavaldráy/xsiendo

𝑦𝑥 =

1𝑎

𝑏!𝑥! − 𝑎!𝑏!

𝑥! =𝑏𝑎 1−

𝑎!

𝑥!

Cuandoxtiendeainfinitoresultaquey/x=b/a=VD/OV,esdecir,ladirecciónODesladelaasíntotadelahipérbolapuestoelpuntodelinfinitodeéstadireccióneseldesutangenciaalacurvaqueocurreparax=∞.ODes,pues,unsegmentodelaasíntotapuestoquepasaporelcentroOdelahipérbola.EnlaFig.4seapreciatambiénqueelnodoDesaplastableparalosángulosEDF1;F1DV;VDF2;F2DE,puestoquecadados,alternados,sonsuplementarios. ElloesasíporqueelángulorectoenDestádivididoentrespartesigualesyaqueelánguloagudodelaespigamide60º(DOF2esuntriánguloequiláteroalsersuánguloenO=60ºylosladosODyOF2iguales).Además,tambiénesDF1O=ODF1;DF1V=VDF2;ODV=VDF2(todosigualesa30º).Todoesto,queesciertoparalaformadeespigadeFig.3,valetambiénparacualquierotradisposi-cióndelaespigapuestoqueloúnicoqueladefineessuánguloagudoαysupaso.Supongamosque,conservandoelpaso(F1OF2)alteramoselánguloagudode60ºparaquepaseaserEDOF2=α(Fig.5,conlaslíneasdeespigamásinclinadasaladerechaquelasdelaFig.4)ObservandodichaFig.5sevequelosángulosmenoresdesutriánguloisóscelesmidenα/2,lomismoquelosángulosmenoresdelosdostriángulosrectángulosconvérticeDehipotenusasco-munes.Estoscuatroángulostienen,respectivamente,susladosperpendiculares.ElresultadoesqueEDF1+VDF2=180ºYqueEDF2+F1DV=180º

Fig.5

10

Esdecir(Fig.6),loscuatroángulosdelnodoD,tomadoscomoparejasenordenalterno,sonsuple-mentarios.Asímismoocurreque3líneasenmontemenos1envalle(laDV),esiguala2.Conocerelánguloagudodelaespigaysupasoesconocerelparámetrocdelahipérbolaconelquesepuedehallarb=DVya=OV.Seve,pues,quevariandolaangulacióndelaespigasevaríalaposicióndelvérticeVdelahipérbolaentresucentroOysufocoF2,peroseconservalaposibilidaddeaplastamientodelnodoDalserDE(EdeFig.5)laasíntotadelahipérbola.EnlaFig.6sepuedeapreciarelnodoDconsustreslí-neasdeplegadoenmonteyunaenvalle,asícomountramodelaasíntotadesdeDyotrodelacur-va,obtenidaporpuntos,desdeelvérticeV(obsérveselatendenciaalacercamientodelacurvaasuasíntota).SólomequedarecordarqueDVesellugargeométricodelosincentrosdelostriángulosdebaseF1F2quetienencomovérticesuperiorlosdiversospuntosdelahipérbola.EstoyasevioenlaPág.65demilibro.SIETE(mássobreCPs)Ensuconferencia,R.Langpusounsencilloybelloejemploqueexpresalarelaciónentreunave(desupropiodiseño,entiendo)ysuCP.Entreambos(Figs.7y8),ydadasusencillez,seaprecialainexistencia,porinnecesaria,delafasedeafinadomencionadaenCINCO.EnlaFig.8sevecómolaimagenesperfectamenteaplastable,deacuerdocontodolodichohastaaquí;peroelloesdesmentidoporla7.

Fig.6

Fig.8

Fig.7

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Dedondesededuceque,aveces,undefectosepuedeconvertirenunagranventaja.Aquí,eldefec-to,eslasumademifaltadehabilidadplegatoriaydelqueintroduceelespesordelpapel.LaFig.7podríaaplastarsecompletamente,peronoexactamenteporlaslíneasdela8.Hepreferidodejarlaasuaire,sinforzarlaalaplastamientoparaaprovecharlanaturalcurvaturadelapuntadelasalasquedaaéstasunarealistasensacióndeestaraleteandoenelvuelo.Aellocontribuyeelhechodequelasuperficiedelapuntadelalanoesuntriángulo,sinouncuadriláteroquebienpuedesernoplano.EnlaPág.65demilibrotratoloscuadriláterosaplastablesrelacionándolosconelTeoremadePoncelet.EnfatizaR.LangloqueseveenlaFig.8:enunCPsepuedencolorearsusfigurasinternasdetalmaneraquenohayanecesidaddequedosdeellasadyacentesseandelmismocolor(principioto-pológico).Simetríasyasimetríaspuestasdemanifiesto.Ladiagonaldelcuadradoentrelosvérticessuperiorderecho(picoycabezadelave)einferiorizquierdo(puntadelacola)eselejedesimetríabilateraldelpájaro.Laotradiagonal,encambio,noinducesimetríaalguna:eslalíneadeenvergaduradealas.Amí,estodelassimetríasmesueletraerdecabezaymerecuerdalodeaquelsorianodesconfiado(comoeradeesperar),queuncalurosodíadeveranoviajabaeneltrenjuntoalaventanilla.Enunaestacióndeltrayectoentróunpaisanoquesesentófrentealsoriano.Mientrasaquelseacomodabaymirabaalcampo,seprodujoestebrevediálogo:-Elpaisano:¡Hayqueverelcalorquehace;yasevequehastahanesquiladolasovejas!-Elsoriano:Sí,porlomenosdelladodeacá.Seguiréconotrosejemplosdedificultadcreciente.PrimerolagrulladeFig.9,quevinovolandodesdeJapóndondeyaen1797jugabaconlosniñosjaponesessegúnnoscuentaR.Lang.

Fig.9

Fig.10

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LlegóaMadridundíanubloso.Comomihijaesuntantodespistadaysehabíadejadoabiertaunaven-tana,secolóporella(Fig.10).Yoaprovechélaoca-siónparaanillarlayaveriguaralgunascosas.HabíasidoconstruidabajoespecificacióndeIsaoHondaapartirdelabasedepájaroyconsólotresúltimasfasesdeafinado.LadesmontéparaobtenersuCP(Fig.11),lavolvíamontarylaencaminéalaAEP(AsociaciónEspaño-ladePapiroflexia)paraqueallípudierahaceramistadconsucolegaPAJARITAdelaqueyahabíaoídohablar,segúnpudecomprobar.DichaFig.11muestravariascosas:Laspuntasdelasalasenunadiagonal;lacabezaconelpicoylacola,enlaotra.Estaúltimadiagonaldeterminaunasimetríaperfectamientrasquelaotra,acausadelacabeza,lapierdepormuypoco.AsícomoenlaFig.8fuicapazdedistinguirlosdoblecesmonteyvalle,dadalasencillezdelacons-trucción,enla11yanomeresultóposible.Sinembargo,unplegadorconmedianaexperienciayteniendoalavistaunapiezaterminada,sípodráplegarlagrulla,apartirdeuncuadradodepapelyteniendodelantelaFig.11comosifueraunresumendetodaslasfasesdelprocesodeplegado.Elúltimocasoqueveréeseldemiqueridacabramontés(Fig.12)quehaceañostengoconstruidasegúnprocesodeJ.Montrol:Ahílatengo,tanairosaella,encaramadaenunroquedodepapel.

Fig.11

Fig.12

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ElcariñoqueleprofesomellevóaevitarelsacrilegioinútildedesmontarlaparaobtenersuCP.Ellargoycomplicadoprocesodeplegadoconstade51fases,cosaquemehizopensarqueelCPcom-pletodeberíaterminarenunincalculableamontonamientodedoblecessobreelpapelcuadradodepartida:esdecir,enunresumencomplejoydeproblemáticainterpretaciónparareproducirlassucesivasfases,enordenydesdelaprimeraalaúltima.Loquehice,encambio,fueempezaraplegarlacabradesdesuprimerafase,registrandolosdoble-cesqueibansurgiendo.Asílleguéhastalafase21queesloquerecogelaFig.13.Asípues,aunqueincompleto,elCPdelaFig.13muestravariascosas:-Elejedesimetríabilateraldeladiagonalvertical.Suvérticeinferiorestádispuestoaacogerlaca-bezaaunquenoregistraaúnelmorro,orejasycuernos.Elvérticesuperiorestáreservadoaltrase-ro,consucola.Ladiagonalhorizontalreflejalaasimetríadecabezaycola.-Elgranrectánguloapuntaensusvérticessuperioresalaspatasyenlosinferiores,alasmanosdelacabra.-Resultaprácticamenteimposiblediscernirentredoblecesenmonteyenvalleporquehayunamezclaprofusadelíneasauxiliaresyactivas,delíneasquecambiandemodoalafectarsedehundi-dos,deplegadosinversos,etc.-Enverdad,nosemealcanzalautilidaddeunCPtancomplejo,máximesiestácompleto.Amenos,claroestá,queunaaplicaciónparaordenadoresseacapazdeiractuandosobrelaslíneasdeplega-doparairactivándolasdemanerasucesivaensimulacióndeloqueahorahaceunplegadorcuandosigueunprocesodeplegadoporfases.Algoasícomolamaneraenquesedesplieganautomática-menteciertosingeniosmodernos.

Fig.13

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-LoquenodudoesqueestosCPsseanunasverdaderasobrasdearteabstracto.OCHOLodeplegarydesplegarestanútilyantiguocomoelparaguas.ConestoempiezaKawahatasuar-tículoquetitulaLatécnicadelplegadoenelarteconstructivodelOrigami.Yconestoterminatam-biénR.Langsuconferencia.Citaéstenuevosingeniosplegablesydesplegablesalamparodelasavanzadastecnologíasactuales,talescomolosairbagsdeprotecciónenautomóviles,laslentesdelostelescopiosorbitalesolospanelessolaresdelasnavesespaciales.Yoquieroañadirunpardeejemplosquemeimpresionansobremanera.Conesotermino.ElposadoydesplieguedelrobotCuriosityenMarteel5deagostode2012(coincidiendoconlaOlimpiadadeLondres),ylaoperacióndecorazónaqueserásometidadentrodeunosdíaslamujerdeunodemisamigos.Consisteaquellaenimplantarleunaválvulatricúspidehechacontejidocar-diacodebueyquehadesertransportadamedianteuncatéterencuyapuntavaplegadalanuevaválvula,desdelainglehastaelcorazóndondeserádesplegadaparaquedarasentadaensulugarpreciso.Bibliografíahttp://www.elconfidencial.com/tecnologia/2016-02-13/las-matematicas-escondidas-en-el-arte-del-origami_1151347/ RECORDATORIO77UNOAcaboderecibirdemiamigoRafaelBuenounavaliosainformaciónenformade“GuíadelamineríaenLinares”.EsunrelatomuybienilustradodeloquefueelesplendordelaciudadysucomarcaenelsiglocomprendidoentremediadosdelXIXymediadosdelXX.Sinolvidarsusantecedentesro-manosycartagineses.AesteúltimorespectomefijaréendospalabrasclavequeaparecenenlaGuía:CástuloyAníbal.Cástulomuestraahoralasruinasdelaciudadhispano-romanaquefuecapitaldeOretaniaenlaqueseacabandedescubrirunosbellos,completosyextensosmosaicosromanos.EstámuycercadelaexplotaciónagropecuariamodélicallamadaTorrubiaqueyofrecuentaba(noconfundirconelpue-blodelmismonombrequetambiénestácercadeallí).Habríaquedecir,pues,queLinareseraunpueblooretanopróximoasucapital,yconunaextensazonadeinfluenciaminera(plomoyplata)queparaesolosromanosteníanunexcelenteolfato.Loteníannosóloparaencontrarmenasdeinterés,sinoparaencontraraplicacionesasupropioolfato.Recuerdohabervistoenlasruinasdelaciudadhispano-romanadeUxama(Osma,cercadeBurgodeOsma)cómounaimportanteconduccióndeagua,deseccióncuadrada,estabarecubiertaentodosuinteriorporunaláminadeplomo.Alolargodemividayohehabitadosucesivamentecasascontuberíasparaaguahechasdeplomo,dehierroyúltimamente,decobre.

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Oretaniaeraunaregiónibero-romanaenlafronterasurdelImperiolindandoporallíconlosdomi-nioscartaginesesenquehabíansidoconvertidasprácticamentetodaAndalucíayanteslacostanorteafricanadesdeCartago(Túnez)hastaelestrechodeGibraltar.YnosóloAndalucía;loscarta-ginesesllegaronhastaCartagena(Cartagonova),elgranpuertoquenecesitabasupotenteescuadraparaevitarellargodesplazamientohastaelEstrecho,paraponerpieenHispania.Endefinitiva,losfenicios(libaneses,quenoexactamentejudíos)habíanconseguidollegaradomi-narlaorilladeenfrentedesumar(elMediterráneo)yaqueloscartaginesesnoeranotracosaqueunasentamientofenicioamitaddecamino(enTúnez,sibienconstituyendounacoloniamuyinde-pendiente).Comosesabey,comocabíaesperardetodabuenavecindad,romanosycartagineses(éstosllama-dospúnicos)sepelearonydejarondepelearconfrecuencia.YnosóloenHispania,sinoinclusoenItalia,enSicilia,especialmente.Yesqueeranlosautóctonoslosquesearrimabanaunbandooaotrocadavezysegúnconvenienciapropia.EnunodeestosvaivenesoretanosAníbal,ellídercartaginés,llegóacasarseconlaprincesaHimilce(esdecir,conunalinarense)hijadeMucro,reydeCástulo.Labodasecelebróenel220aCportodoloalto,yenCartagena,asíque¡VivaCartagena!Labodatuvolugarentrela1ªyla2ªGuerrapúnica.AníbalnosedetuvoenCartagenaparaafirmarseenlodelaorillaoestedelMediterráneo.Siguióhaciaelnortey,dosañosdespuésdesubodapusositioalenclavehispano-romanodeSaguntodes-truyéndoloparaseguirmásalnortecruzandolosPirineosylosAlpesafindeacercarsevictoriosoaRoma.ConSaguntohabíaempezadolaSegundaGuerraPúnica.NOTADesdefinalesdelsigloXIXgritarenEspaña“VivaCartagena!”,esunrecursofácilohábil,parasalirdeunasituacióncomprometidaoparaconseguirunaadhesión.SeguramentefueestoúltimoloquemovióaAníbalacasarseconlachica,yenCartago-Nova.ElmatrimoniotuvounhijoyellavivióenCartagenadondemurió(fueenterradaenCástulo)mien-trassumaridoluchabaenItaliacontralosromanos.EstaluchaapuntóaldeclivedeAníbalquefuederrotadodefinitivamenteenlabatalladeZama(202aC,Túnez).AntesdemorirHimilcey,segu-ramentevistoelporvenirdesumarido,sepasóalbandoromano.AníbalyanoparticipóenlaTer-ceraguerraPúnicaporquesesuicidoenel183aC.SuvencedorenZamahabíasidoelgeneralro-manoPublioCornelioEscipiónelafricano.Yahoraentroyoenescena,verán.CualquieraqueconozcamicurrículotalcomoestáenQuiensa-bráquesoyunarévacodeCeltíberia:TantocomooretanoshansidoPalomoLinares,AndrésSego-viaoRaphael.Bueno,celtíberociertamentelosoyperodudosiserémuyarévaco.LodigoporqueNumanciasíeraciudadarévacaperosushabitantehuelenachamusquinadesdequeen134aCPublioCornelioEs-cipiónEmiliano(elafricanomenorynietodelquefueraelverdugodeAníbalenZama)decidiófaci-litarlessuincineraciónantesdequefuerancadáveres.SólomequedanunpardeflecosrelativosaAníbal.EnlaGuíadelamineríaenLinareselnombredeAníbalsoloaparececomoeldeunmodernohotelconstruidoenlaciudadrecientemente.Yunape-culiaridad:AníbalVoyer,alasazónVicepresidentedelaAsociaciónEspañoladePapiroflexiacuan-

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dopublicómilibroMatemáticasyPapiroflexiahabíanacidoenLinaresdespuésdemimarchadeallíen1969.Nuncameloplanteé,peroalavistadeloquellevovisto,nomeextrañaríaquesunombrepuedatenerqueverconeldelGeneralcartaginés.Lociertoesquetodolugardeprosperidadcrecienteatraegentedeotrossitiosporlejanosquesean.ALinaresllegaron,siguiendoasusinversoresbritánicos,minerosdeCornuallesespecializa-dosenlaextraccióndecobreyestaño,cuandosusminasanunciabanagotamiento.PeroelLinaresprósperotambiénacogiógentemáspróxima.MiamigoRafaelBuenomecuentaquesuabuelosefueallíatrabajardeadministrativoenunamina,desdeAlbacetedonderesidía.YomismotambiénemigréaLinarescuandovivíaenCórdoba,succionadoporeldesarrolloindustrialquecrecíaenLinaresdespuésdeladesaparicióndesuactividadminera.DeCórdobamefuiconmifamiliaenlaqueyacontabamihijoJavierallínacido.Teníaunañocuan-dollegamos,y9cuandonosmarchamos,definitivamente,deLinaresaMadrid.Asípues,elniñovivióenLinaressuinfanciaconunaduraciónexactamenteigualquelamíaenSanVicentedelaBarquera.Mispropiosrecuerdosmehanexplicadolosdemihijoenaquelperiodo:lasituacióndelaEstacióndeMadrid,hoyconvertidaenmuseodelaminería,elHospitaldelosMarquesesdeLina-resdondeelmismocirujanoquelesalvóaéllavidanopudosalvarladeltoreroManoleteen1947.ElhospitalalquemerefierofuefundadoporlosMarquesesdeLinarescuandoelaugemineroparaatenderaloshombresdelaminaensusproblemasdesalud,especialmentetraumatismosysilico-sis.Dichosmarqueseshabíanllegadoaserunosdelosespañolesmásricos.Deorigenvascoyacti-vidadesdenegocioenCubaydeferrocarrilesenEspaña,construyeronsubellopalacioenunadelascuatroesquinasdelaplazamadrileñadeCibeles.HoysededelaCasadeAmérica,tienesóloundefecto:¡quesuvecinaedificacióndelacalleAlcalánotengaunpardepisosmenos!.Ah,yotrode-talle:unodelosarquitectosqueparticiparonensuconstruccióntambiénsellamabaAníbal.Yunomás:enelpalacioserodólagenialpelículadeBerlangaconguióndeRafaelAzcona“PatrimonioNacional”antesdeestarcompletamenteadecentado.