WYKADZ ALGEBRY LINIOWEJ Z GEOMETRI

JACEK DBECKI

Rozwizywanie ukadw rwna liniowych metod Gaussa

Ukadem rwna liniowych nazywa si ukad rwna postaci

a11x1 + + a1pxp = b1,...

......

aq1x1 + + aqpxp = bq.Zakadamy tu, e wspczynniki aji dla i {1, . . . , p}, j {1, . . . , q} oraz wyrazy wolne b1, . . . , bq sliczbami rzeczywistymi, a przez rozwizanie takiego ukadu rwna rozumiemy kady cig liczbrzeczywistych x1, . . . , xp, ktre speniaj wszystkie rwnania tego ukadu.

Omwimy teraz metod Gaussa, dziki ktrej mona wyznaczy wszystkie rozwizania danegoukadu rwna liniowych lub stwierdzi, e nie ma on rozwiza, czyli jest sprzeczny. Metoda tapolega na przeksztacaniu ukadu za pomoc dwch operacji elementarnych:1) dodania do ktrego rwnania innego rwnania pomnoonego przez pewn liczb rzeczywist,2) zamiany dwch rwna miejscami.Oczywicie operacje te przeksztacaj ukad na ukad mu rwnowany, czyli majcy dokadnie tesame rozwizania.

Opiszemy najpierw oglnie odpowiedni algorytm, a pniej objanimy go na przykadzie.

Przed rozpoczciem oblicze rwnania naley zapisa jedno pod drugim w ten sposb, by wyrazyzawierajce te same niewiadome stay jeden pod drugim tworzc kolumny po lewej stronie rwna,natomiast wyrazy wolne stay po prawej stronie.Algorytm mona podzieli na dwie czci.W pierwszej sprowadza si ukad do postaci schodkowej. Ta cz skada si z tylu krokw, ile jestniewiadomych. W trakcie oblicze bdziemy podkrela niektre wyrazy, aby mc si potem donich odwoywa. Przypumy, e wykonalimy k 1 krokw i mamy wykona k-ty. Gdy w k-tejkolumnie brak niezerowych wyrazw lecych niej ni wszystkie wyrazy dotychczas podkrelone,to w k-tym kroku nie robimy nic. W przeciwnym wypadku oznaczmy przez l numer najwyszego zrwna lecych niej ni wszystkie wyrazy dotychczas podkrelone. Jeli l-te rwnanie ma w k-tejkolumnie wyraz zerowy, to zamieniamy miejscami rwnanie l-te i ktre (powiedzmy pierwsze odgry) spord rwna lecych niej i majcych w k-tej kolumnie wyraz niezerowy. Dziki temu l-terwnanie bdzie ju miao w k-tej kolumnie wyraz niezerowy, czyli wyraz postaci cxk, gdzie c 6= 0.Podkrelamy go. Naley teraz mnoy l-te rwnanie przez odpowiednie liczby rzeczywiste idodawa do rwna lecych poniej tak, by po takim przeksztaceniu miay one w k-tej kolumniewyrazy zerowe. Wida, e gdy przeksztacane rwnanie ma w k-tej kolumnie wyraz dxk, to liczb,przez ktr trzeba pomnoy l-te rwnanie, jest d/c.Po zakoczeniu pierwszej czci algorytmu pewna ilo ostatnich rwna moe mie zerowe lewestrony. Jeli cho jedno z nich ma niezerow praw stron, to oczywiste jest, e ukad jestsprzeczny, i algorytm si koczy. Jeli natomiast wszystkie takie rwnania maj rwnie prawestrony zerowe, to mona je zignorowa, bo nic nie wnosz do ukadu.

1

W drugiej czci wylicza si ju atwo idc od dou do gry niewiadome wystpujce wpodkrelonych wyrazach podstawiajc przy tym za kadym razem wartoci niewiadomychobliczonych wczeniej. W ten sposb niewiadome wystpujce w podkrelonych wyrazach zostanwyraone przez pozostae niewiadome, ktre traktuje si jako parametry mogce przyjmowadowolne wartoci ze zbioru liczb rzeczywistych. Jest jasne, e tak otrzymane wzory daj wszystkierozwizania rozpatrywanego ukadu.

Przykad. Rozwiemy nastpujcy ukad rwna liniowych

x1 2x2 +x3 +x4 x5 = 1,2x1 4x2 +2x3 +5x4 x5 = 1,3x1 6x2 +x3 +x4 2x5 = 3,x1 +2x2 +x3 2x4 x5 = 0.

Krok pierwszy. Podkrelamy wyraz pierwszego rwnania w pierwszej kolumnie. Mnoymy pierwszerwnanie przez 2 i dodajemy do drugiego, przez 3 i dodajemy do trzeciego, przez 1 i dodajemydo czwartego. Mamy

x1 2x2 +x3 +x4 x5 = 1,3x4 +x5 = 1,

2x3 2x4 +x5 = 0,2x3 x4 2x5 = 1.

Krok drugi. Nie robimy nic.Krok trzeci. Zamieniamy miejscami rwnania drugie i trzecie

x1 2x2 +x3 +x4 x5 = 1,2x3 2x4 +x5 = 0,

3x4 +x5 = 1,2x3 x4 2x5 = 1,

po czym podkrelamy wyraz drugiego rwnania w trzeciej kolumnie. Mnoymy drugie rwnanieprzez 0 i dodajemy do trzeciego, przez 1 i dodajemy do czwartego. Mamy

x1 2x2 +x3 +x4 x5 = 1,2x3 2x4 +x5 = 0,

3x4 +x5 = 1,3x4 x5 = 1.

Krok czwarty. Podkrelamy wyraz trzeciego rwnania w czwartej kolumnie. Mnoymy trzecierwnanie przez 1 i dodajemy do czwartego. Mamy

x1 2x2 +x3 +x4 x5 = 1,2x3 2x4 +x5 = 0,

3x4 +x5 = 1,0 = 0.

Krok pity. Nie robimy nic.Otrzymany ukad ma posta schodkow. Wida, e nie jest sprzeczny. Ignorujemy czwarterwnanie i przechodzimy do drugiej czci algorytmu.Wyliczamy x4 z trzeciego rwnania

x4 =13(x5 1) = 13x5 13 .

2

Wyliczamy x3 z drugiego rwnania wstawiajc za x4 wczeniej obliczon warto

x3 = 12(2(1

3x5 13) x5

)= 5

6x5 +

13.

Wyliczamy x1 z pierwszego rwnania wstawiajc za x3 i x4 wczeniej obliczone wartoci

x1 = 2x2 (56x5 + 13) (13x5 13) + x5 + 1 = 2x2 + 12x5 + 1.

Ostatecznie mamy zatem rozwizanie w postaci

x1 = 2x2 +12x5 +1,

x3 =56x5 +

13,

x4 = 13x5 13 .Jeeli teraz wemiemy dowolne liczby rzeczywiste x2, x5, wstawimy do tych wzorw i obliczymy znich x1, x3, x4, to cig x1, x2, x3, x4, x5 bdzie rozwizaniem naszego ukadu. Co wicej, kaderozwizanie da si uzyska w ten sposb.

Grupy, piercienie, ciaa

Niech X bdzie zbiorem. Dziaaniem w zbiorze X nazywa si dowolne odwzorowanie

d : X X X.

Przypomnijmy, e iloczyn kartezjaski X X jest zbiorem wszystkich par (x, y), gdzie x, y X (iprzy tym (x, y) 6= (y, x), gdy x 6= y). Zatem dziaanie d przyporzdkowuje kadej parze elementwzbioru X pewien element z X.

W dalszej czci wykadu bdziemy czsto uywa nastpujcych oznacze, ktre s powszechnieprzyjte we wszystkich gaziach matematyki:N zbir liczb naturalnych,Z zbir liczb cakowitych,Q zbir liczb wymiernych,R zbir liczb rzeczywistych.Umawiamy si przy tym, e na naszym wykadzie bdziemy za liczb naturaln uwaa rwnie 0.

Dobrze znanymi przykadami dziaa s: zwyke dodawanie w zbiorach N, Z, Q, R, zwykeodejmowanie w zbiorach Z, Q, R, zwyke mnoenie w zbiorach N, Z, Q, R.

Dziaanie d w zbiorze X nazywamy: przemiennym, gdy d(y, x) = d(x, y) dla wszystkich x, y X, cznym, gdy d(d(x, y), z) = d(x, d(y, z)) dla wszystkich x, y, z X.

Na przykad zwyke dodawanie i mnoenie w N, Z, Q, R s przemienne i czne.

Element e nalecy do zbioru X nazywa si elementem neutralnym dla dziaania d w X, gdyd(x, e) = x i d(e, x) = x dla kadego x X.

Oczywicie w N, Z, Q, R elementem neutralnym dla zwykego dodawania jest 0, a dla zwykegomnoenia 1.

3

Twierdzenie. Dla dowolnego dziaania moe istnie co najwyej jeden element neutralny.

Dowd: Gdy e i e s elementami neutralnymi dla d, to e = d(e, e) = e.

Jeeli dziaanie d w zbiorze X ma element neutralny e i jeeli x X, to element y zbioru X nazywasi elementem przeciwnym albo elementem odwrotnym do x, gdy d(x, y) = e i d(y, x) = e.

Oczywicie wzgldem zwykego dodawania w Z, Q, R kady element x posiada element przeciwny,mianowicie x.

Twierdzenie. Jeeli dziaanie w zbiorze X ma element neutralny i jest czne, to dowolny elementzbioru X moe mie co najwyej jeden element przeciwny lub odwrotny.

Dowd: Gdy e jest elementem neutralnym dla cznego dziaania d w X, x X, a y i y selementami zbioru X przeciwnymi lub odwrotnymi do x, toy = d(y, e) = d(y, d(x, y)) = d(d(y, x), y) = d(e, y) = y.

Definicja. Grup nazywa si zbir z okrelonym w nim dziaaniem, ktre jest czne, posiadaelement neutralny i jest takie, e kady element tego zbioru posiada element przeciwny lubodwrotny.

Jeli dodatkowo dziaanie jest przemienne, to grup nazywa si przemienn lub abelow.

Przykadami grup s zbiory Z, Q, R ze zwykym dodawaniem. S to grupy abelowe.

W praktyce dziaanie w dowolnej grupie zapisuje si tak samo, jak zwyke dodawanie, czyli zamiastd(x, y) pisze si x+ y (jest to zapis addytywny), albo jak zwyke mnoenie, czyli zamiast d(x, y)pisze si x y lub xy (jest to zapis multyplikatywny), przy czym zapis addytywny stosuje si tylko wprzypadku grup abelowych. Uywajc zapisu addytywnego dziaanie nazywa si dodawaniem,element neutralny oznacza si przez 0 i nazywa zerem, a element przeciwny do x oznacza si przezx. Uywajc zapisu multyplikatywnego dziaanie nazywa si mnoeniem, element neutralnyoznacza si przez 1 i nazywa jedynk, a element odwrotny do x oznacza si przez 1/x lub x1.

Podamy teraz przykady grup nieabelowych. W tym celu przypomnimy najpierw niektrepodstawowe fakty z teorii mnogoci.

Jeeli X i Y s zbiorami, to odwzorowanie f : X Y przyporzdkowuje kademu elementowi xzbioru X dokadnie jeden element f(x) zbioru Y . Jeeli kady element zbioru Y jestprzyporzdkowany poprzez f co najwyej jednemu elementowi zbioru X (to znaczy dla kadychx, x X takich, e x 6= x, jest f(x) 6= f(x)), to f nazywamy injekcj, natomiast gdy kadyelement zbioru Y jest przyporzdkowany poprzez f co najmniej jednemu elementowi zbioru X (toznaczy dla kadego y Y istnieje taki x X, e y = f(x)), to f nazywamy surjekcj.Odwzorowanie, ktre jest rwnoczenie injekcj i surjekcj nazywamy bijekcj. Do kadej bijekcjif : X Y mamy bijekcj odwrotn f1 : Y X tak, e dla kadego y Y f1(y) = x, gdzie xjest jedynym elementem X, dla ktrego f(x) = y.

Jeeli X, Y , Z s zbiorami, to zoenie odwzorowa f : X Y i g : Y Z oznaczane przez g fjest odwzorowaniem X Z okrelonym wzorem (g f)(x) = g(f(x)) dla kadego x X.

4

Przykad. Niech Z bdzie dowolnym zbiorem. Wtedy zbir wszystkich bijekcji Z Z zeskadaniem odwzorowa jako dziaaniem (to znaczy w zapisie multyplikatywnym gf = g f dlabijekcji f, g : Z Z) jest grup. Elementem neutralnym jest odwzorowanie identycznocioweidZ : Z Z okrelone wzorem idZ(z) = z dla kadego z Z, a elementem odwrotnym do bijekcjif : Z Z jest bijekcja do niej odwrotna f1 : Z Z.

wiczenie. Wykaza, e grupa bijekcji zbioru Z jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy Z ma conajwyej dwa elementy.

Przykad. Wemy za Z w poprzednim przykadzie zbir {1, . . . , n}, gdzie n N. Bijekcje tegozbioru nazywa si permutacjami. Dostajemy wic grup permutacji zbioru n-elementowego, ktrbdziemy oznacza przez Sn. Jak wiadomo z kombinatoryki grupa ta ma n! elementw. Wygodniebdzie dowoln permutacj : {1, . . . , n} {1, . . . , n} z Sn zapisywa w postaci(

1 . . . n(1) . . . (n)

).

Uatwi to mnoenie permutacji i ich odwracanie, na przykad w grupie S5 mamy(1 2 3 4 53 1 5 2 4

)(1 2 3 4 54 2 5 1 3

)=

(1 2 3 4 52 1 4 3 5

),(

1 2 3 4 52 5 4 1 3

)1=

(1 2 3 4 54 1 5 3 2

).

Przejdziemy teraz od grup do piercieni i cia.

Definicja. Piercieniem nazywa si zbir R z okrelonymi w nim dwoma dziaaniami:zapisywanym addytywnie dodawaniem i zapisywanym multyplikatywnie mnoeniem, takimi e R zdodawaniem jest grup abelow, e mnoenie jest czne, a oprcz tego zachodzi rozdzielnomnoenia wzgldem dodawania, to znaczy x(y + z) = xy + xz i (x+ y)z = xz + yz dla wszystkichx, y, z R.

Jeeli dodatkowo mnoenie jest przemienne, to mwimy, e piercie jest przemienny, a jeelimnoenie ma element neutralny, to mwimy, e piercie jest z jedynk. Na og wymaga siponadto, eby w piercieniu z jedynk jedynka bya rna od zera.

atwo zauway, e zbiory Z, Q, R ze zwykym dodawaniem i mnoeniem s piercieniamiprzemiennymi z jedynk.

Nieco bardziej skomplikowanym przykadem piercienia przemiennego z jedynk jest zbir R[X]wielomianw jednej zmiennej X o wspczynnikach rzeczywistych wraz ze znanymi ze szkoydziaaniami dodawania i mnoenia wielomianw.

Definicja. Piercie przemienny z jedynk, w ktrym kady element poza zerem ma elementodwrotny (oczywicie wzgldem mnoenia) nazywa si ciaem.

Wida, e ciaami s na przykad zbiory Q i R ze zwykym dodawaniem i mnoeniem.

Aby sobie utrwali definicj ciaa wypiszemy teraz wszystkie definiujce je aksjomaty, czyliwarunki, ktre powinny spenia okrelone w nim dziaania.

5

Ot zbir K wraz z okrelonym w nim dodawaniem i mnoeniem jest ciaem, gdy:1) + = + dla wszystkich , K,2) ( + ) + = + ( + ) dla wszystkich , , K,3) istnieje 0 K takie, e dla kadego K + 0 = ,4) dla kadego K istnieje K takie, e + () = 0,5) = dla wszystkich , K,6) () = () dla wszystkich , , K,7) istnieje 1 K taka, e dla kadego K 1 = ,8) dla kadego K \ {0} istnieje 1 K takie, e 1 = 1,9) ( + ) = + dla wszystkich , , K,10) 1 6= 0.

Warunki 3), 4), 7), 8), 9) moglimy tu napisa w uproszczonej formie dziki temu, e mamy 1) i 5).

Korzystajc tylko z aksjomatw 1)10) wykaemy teraz, e w dowolnym ciele mona stosowa wieleregu przeksztacania wyrae algebraicznych, ktre stosowao si w szkole do liczb rzeczywistych.

Twierdzenie. Jeeli K jest dowolnym ciaem, a , K, to zachodz nastpujce rwnoci:1) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy = 0 lub = 0,2) () = ,3) ( + ) = () + (),4) (1)1 = , o ile 6= 0,5) ()1 = (1)(1), o ile 6= 0 i 6= 0,6) () = () i () = (),7) ()() = .

Dowd: 0 + 0 = 0, wic 0 = (0 + 0) = 0 + 0 i po dodaniu (0) do obu stron dostajemy0 = (0 + 0) + ((0)) = 0 + (0 + ((0))) = 0 + 0 = 0, czyli jeli = 0, to = 0.Podobnie dowodzi si, e jeli = 0, to = 0. Natomiast jeli = 0, a 6= 0, to po pomnoeniuobu stron przez 1 dostajemy 0 = 10 = 1() = (1) = 1 = , co koczy dowd 1).2) zachodzi, bo () + = 0.3) zachodzi, bo (+ ) + (() + ()) = ( + ) + (() + ()) = (( + ) + ()) + () =( + ( + ())) + () = ( + 0) + () = + () = 0.4) zachodzi, bo 1 = 1.5) zachodzi, bo()(11) = ()(11) = (()1)1 = ((1))1 = (1)1 = 1 = 1.Skoro + () = ( + ()) = 0 = 0, to mamy () = (). Podobnie dowodzi si, e() = (), wic zachodzi 6).W kocu 7) wynika z 6) i 2).

W dowolnym ciele K definiuje si rwnie odejmowanie wzorem = + () dla kadych, K i dzielenie wzorem / = (1) dla kadych K, K \ {0}. Zwrmy uwag, eodejmowanie jest dziaaniem w K, lecz dzielenie formalnie nim nie jest, bo nie wolno dzieli przez 0.

wiczenie. Wykaza, e ( ) = dla wszystkich , , K.

Oczywicie w dowolnym ciele przyjmujemy tak kolejno wykonywania dziaa, do jakiej jestemyprzyzwyczajeni: najpierw mnoenie lub dzielenie, a dopiero pniej dodawanie lub odejmowanie, oile nawiasy nie wskazuj inaczej.

6

W dowolnym ciele K mona te rekurencyjnie zdefiniowa potg n dla K i n N, przyjmujc0 = 1 i m = m1 dla kadego m {1, . . . , n}.

Analizujc algorytm Gaussa mona si przekona, e da si go zastosowa do rozwizywaniaukadw rwna liniowych o wspczynnikach i wyrazach wolnych z dowolnego ciaa K, a nie tylkoz R. Oczywicie w takiej sytuacji rozwizania bd rwnie nalee do ciaa K zamiast do R.

Zobaczymy teraz, e istniej piercienie przemienne z jedynk, a nawet ciaa, ktre s skoczone.

Niech n N oraz n 2. Oznaczmy Zn = {0, . . . , n 1} i okrelmy w zbiorze Zn dodawanie imnoenie modulo n polegajce na tym, e dwie liczby z tego zbioru zwyczajnie dodajemy lubmnoymy, po czym bierzemy reszt z dzielenia wyniku przez n.Na przykad suma liczb 5 i 6 modulo 7 jest rwna 4, a ich iloczyn modulo 7 jest rwny 2.

wiczenie. Sprawdzi, e Zn z dodawaniem i mnoeniem modulo n jest piercieniem przemiennymz jedynk.

Twierdzenie. Jeeli n jest liczb pierwsz, to Zn jest ciaem.

Dowd: Wemy j Zn \ {0}. Niech r0, . . . , rn1 bd resztami z dzielenia przez n iloczynw0j, . . . , (n 1)j. Gdyby rk = rl dla pewnych k, l Zn takich, e k < l, to (l k)j byoby podzielneprzez przez n. Ale n jest liczb pierwsz, wic podzielne przez n musiaoby by l k lub j, co jestniemoliwe, bo l k, j {1, . . . , n 1}. Zatem liczby r0, . . . , rn1 s parami rne, a wkonsekwencji {r0, . . . , rn1} = {0, . . . , n 1}. W szczeglnoci istnieje takie m Zn, e rm = 1, cooznacza, e m jest elementem odwrotnym do j.

Niech K bdzie dowolnym ciaem. Jeeli istnieje liczba n N \ {0}, dla ktrej suma 1 + . . .+ 1zoona z n skadnikw bdcych jedynk ciaa K jest rwna 0, to najmniejsz tak liczbnazywamy charakterystyk ciaa K. W przeciwnym wypadku mwimy, e K ma charakterystyk 0.

Wida, e ciaa Q i R maj charakterystyki 0, natomiast ciao Zn, gdzie n jest liczb pierwsz, macharakterystyk n.

Twierdzenie. Rna od 0 charakterystyka ciaa jest liczb pierwsz.

Dowd: Niech charakterystyka bdzie rwna n. Przypumy dla dowodu nie wprost, e n = kl,gdzie k, l N, k 2 i l 2. Wtedy suma n jedynek jest rwna iloczynowi sum k i l jedynek, wicktra z tych dwch sum musi by rwna 0. Jednak k < n i l < n, co jest sprzeczne z definicj n.

Z ostatniego twierdzenia wynika, e gdy liczba n nie jest pierwsza, to Zn nie jest ciaem.

Ciao liczb zespolonych

Oznaczmy przez C zbir R R (czyli zbir par liczb rzeczywistych) oraz zdefiniujmy na tymzbiorze dodawanie i mnoenie nastpujcymi wzorami:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d),

(a, b)(c, d) = (ac bd, ad+ bc).

7

wiczenie. Sprawdzi, e zbir C z tymi dziaaniami jest ciaem (a przy tym zachodz rwnoci0 = (0, 0), (a, b) = (a,b), 1 = (1, 0), (a, b)1 = (a/(a2 + b2),b/(a2 + b2)), o ile (a, b) 6= 0).

Tak skonstruowane ciao nazywa si ciaem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonym.

Liczb zespoloni = (0, 1)

nazywa si jednostk urojon. Ma ona bardzo wan (i zaskakujc na pierwszy rzut oka) wasno,a mianowicie i2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = (1, 0) = 1, czyli

i2 = 1.

Dowoln liczb rzeczywist a bdziemy utosamia z liczb zespolon (a, 0). Nie doprowadzi to donieporozumie, bo jeli wemiemy dwie liczby rzeczywiste a i b, potraktujemy je jako liczbyzespolone (a, 0) i (b, 0), a nastpnie obliczymy sum i iloczyn tych liczb zespolonych, to otrzymamy(a+ b, 0) i (ab, 0), czyli to samo, co gdybymy a i b dodali i pomnoyli jako liczby rzeczywiste, adopiero pniej otrzymane wyniki potraktowali jako liczby zespolone dopisujc 0 jako drugi wyrazpary. Ponadto, jeli a 6= b, to (a, 0) 6= (b, 0). Moemy wic uwaa, e R C.Dziki temu utosamieniu dowoln liczb zespolon (a, b) da si zapisa (i to jednoznacznie) jako

a+ bi,

gdzie a, b R. Faktycznie, (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a+ bi. W praktyce zawsze uywa siwanie tego zapisu. Uatwia on obliczenia, mona bowiem przeksztaca wyraenia zawierajceliczby zespolone wedug regu, do ktrych jestemy przyzwyczajeni, pamitajc jedynie, e i2 = 1.Na przykad (a+ bi)(c+ di) = ac+ adi+ bci+ bdi2 = ac+ adi+ bci bd = ac bd+ (ad+ bc)i.

Dla dowolnej liczby zespolonej a+ bi, gdzie a, b R, definiujemy: jej cz rzeczywist Re (a+ bi) = a i cz urojon Im (a+ bi) = b, liczb zespolon z ni sprzon a+ bi = a bi, warto bezwzgldn (nazywan te moduem) |a+ bi| = a2 + b2.

Zauwamy, e warto bezwzgldna liczby zespolonej jest nieujemn liczb rzeczywist i e wartocibezwzgldne liczby rzeczywistej jako liczby rzeczywistej i jako liczby zespolonej pokrywaj si.

wiczenie. Wykaza, e dla wszystkich p, q C1) Re p = (p+ p)/2, Im p = (p p)/(2i),2) p = p wtedy i tylko wtedy, gdy p R,3) p = p,4) p+ q = p+ q,5) p q = p q,6) pq = p q,7) p/q = p/q, pod warunkiem, e q 6= 0,8) |p+ q| |p|+ |q|,9) |p q| ||p| |q||,10) |pq| = |p||q|,11) |p/q| = |p|/|q|, pod warunkiem, e q 6= 0,12) |p| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy p = 0,13) pp = |p|2.

8

Rwno 13) przydaje si, gdy chcemy dzieli liczby zespolone. Najlepiej wwczas pomnoydzieln i dzielnik przez sprzenie dzielnika: (a+ bi)/(c+ di) = (a+ bi)(c di)/((c+ di)(c di)) =(ac+ bd+ (ad+ bc)i)/(c2 + d2) = (ac+ bd)/(c2 + d2) + ((ad+ bc)/(c2 + d2))i.

Liczby zespolone moemy oczywicie utosamia z punktami paszczyzny, na ktrej jest wybranyprostoktny ukad wsprzdnych kartezjaskich (w tym kontekcie nazywa si j paszczyznzespolon), w ten sposb, e liczbie zespolonej a+ bi, gdzie a, b R, odpowiada punkt owsprzdnych (a, b). Wida, e liczbom rzeczywistym odpowiadaj przy tym punkty osi odcitych.Parze liczb zespolonych wzajemnie ze sob sprzonych odpowiadaj punkty pooone symetryczniewzgldem osi odcitych. Warto bezwzgldna liczby zespolonej to odlego odpowiadajcego jejpunktu od pocztku ukadu wsprzdnych. Jeli popatrze na liczby zespolone jako na wektoryzaczepione w pocztku ukadu wsprzdnych o kocach w odpowiadajcych im punktach, tododawanie i odejmowanie liczb zespolonych jest tym samym, co dodawanie i odejmowaniewektorw.

wiczenie. Dlaczego nierwno 8) z poprzedniego wiczenia nazwa si nierwnoci trjkta?

Umwmy si nazywa ktami liczby rzeczywiste z przedziau [0, 2pi). Dla ktw i definiujemyich sum jako sum liczb i , gdy naley ona do [0, 2pi), a jako t sum liczb i pomniejszono 2pi w przeciwnym przypadku.

wiczenie. Sprawdzi, e zbir ktw z dziaaniem ich dodawania jest grup abelow.

Argumentem rnej od 0 liczby zespolonej a+ bi, gdzie a, b R, nazywa si jedyny kt taki, e

cos =a

a2 + b2, sin =

ba2 + b2

.

Bdziemy go oznacza przez arg(a+ bi). Z geometrycznego punktu widzenia jest to mierzony wradianach kt skierowany midzy dodatni posi osi odcitych a odcinkiem czcym pocztekukadu wsprzdnych z punktem (a, b).

Natychmiastow konsekwencj przyjtych definicji jest rwno

p = |p|(cos(arg p) + i sin(arg p))zachodzca dla p C \ {0}. Jej prawa strona to posta trygonometryczna liczby zespolonej p.

Nastpne wiczenie w poczeniu z rwnociami 10) i 11) z wczeniejszego wiczenia oraz powyszpostaci trygonometryczn daje interpretacj geometryczn mnoenia i dzielenia liczb zespolonych.

wiczenie. Wykaza, e dla wszystkich p, q C \ {0}arg(pq) = arg p+ arg q,

arg(p/q) = arg p arg q.

Jako wniosek z tego wiczenia atwo uzyska (przez indukcj ze wzgldu na n) wzr de Moivrea

pn = |p|n(cos(n arg p) + i sin(n arg p))obowizujcy dla wszystkich p C \ {0} i n N.

9

wiczenie. Wykaza, e jeeli p C \ {0} i n N \ {0}, to istnieje dokadnie n zespolonychpierwiastkw stopnia n z p, czyli takich liczb zespolonych q, e qn = p.

Podobnie jak definiowao si w szkole wielomiany jednej zmiennej o wspczynnikach rzeczywistychi ich rzeczywiste pierwiastki, mona te zdefiniowa wielomiany jednej zmiennej o wspczynnikachzespolonych i ich zespolone pierwiastki. Okazuje si, e w przypadku zespolonym zachodzinastpujce zasadnicze twierdzenie algebry, ktre na razie przyjmujemy bez dowodu.

Twierdzenie. Ciao liczb zespolonych jest algebraicznie domknite, to znaczy kady wielomianjednej zmiennej o wspczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego ma co najmniejjeden pierwiastek zespolony.

wiczenie. Korzystajc z zasadniczego twierdzenia algebry udowodni, e1) kady niezerowy wielomian jednej zmiennej o wspczynnikach zespolonych jest iloczynemwielomianw jednej zmiennej o wspczynnikach zespolonych stopnia co najwyej pierwszego,2) kady niezerowy wielomian jednej zmiennej o wspczynnikach rzeczywistych jest iloczynemwielomianw jednej zmiennej o wspczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyej drugiego.

Definicja przestrzeni wektorowej

Wprowadzimy teraz kluczowe dla caej algebry liniowej pojcie przestrzeni wektorowej.

Zamy, e K jest dowolnym ciaem.

Definicja. Przestrzeni wektorow (lub inaczej przestrzeni liniow) nad ciaem K nazywa sizbir U z dwoma dziaaniami wewntrznym U U 3 (u, v) 7 u+ v U i zewntrznymK U 3 (, u) 7 u U , ktre speniaj nastpujce warunki:1) v + u = u+ v dla wszystkich u, v U (przemienno dodawania wektorw),2) (u+ v) + w = u+ (v + w) dla wszystkich u, v, w U (czno dodawania wektorw),3) istnieje oznaczany przez 0 element zbioru U taki, e dla kadego u U u+ 0 = u (istnieniewektora zerowego),4) dla kadego u U istnieje oznaczany przez u element zbioru U taki, e u+ (u) = 0 (istnieniewektorw przeciwnych),5) ( + )u = u+ u dla wszystkich , K, u U (rozdzielno mnoenia wektorw przezskalary wzgldem dodawania skalarw),6) (u+ v) = u+ v dla wszystkich K, u, v U (rozdzielno mnoenia wektorw przezskalary wzgldem dodawania wektorw),7) ()u = (u) dla wszystkich , K, u U (czno mieszana mnoenia skalarw iwektorw przez skalary),8) 1u = u dla kadego u U .

Warto si dokadniej przyjrze tej definicji.Dziaania tego rodzaju, jakiego rozwaalimy do tej pory, nazywamy teraz dziaaniamiwewntrznymi dla odrnienia od dziaania innego rodzaju, ktre si tutaj pojawio i ktrenazywamy dziaaniem zewntrznym.Jak wida, elementy ciaa K nazywa si w kontekcie powyszej definicji skalarami, a elementyprzestrzeni wektorowej U wektorami. W konsekwencji zapisywane addytywnie dziaaniewewntrzne w U nazywa si dodawaniem wektorw, a zapisywane multyplikatywnie dziaaniezewntrzne mnoeniem wektorw przez skalary.

10

Wiemy (ze wzgldu na 1)), e wektor 0 z warunku 3) jest jedyny (dlatego nie ma wtpliwoci cooznaczylimy przez 0). Nazywa si go wektorem zerowym. Podobnie (ze wzgldu na 1) i 2)) dlakadego u U wektor u z warunku 4) jest jedyny (dlatego nie ma wtpliwoci co oznaczylimyprzez u). Nazywa si go wektorem przeciwnym do u.Warunki 1)4) mwi dokadnie tyle, e U z dodawaniem wektorw jest grup abelow. Nowrzecz do zapamitania s wic tylko warunki 5)8).Dziki warunkowi 4) moemy okreli odejmowanie wektorw wzorem u v = u+(v) dla u, v U .Oczywicie, o ile nawiasy nie wskazuj inaczej, najpierw wykonuje si mnoenie wektorw przezskalary, a dopiero pniej dodawanie lub odejmowanie wektorw.

wiczenie. Udowodni, e warunek 1) z ostatniej definicji wynika z pozostaych warunkw.

Twierdzenie. Jeli U jest przestrzeni wektorow nad ciaem K, K oraz u U , to1) u = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy = 0 lub u = 0,2) ()u = (u) i (u) = (u).

Dowd: 0 = 0 + 0 w K, wic 0u = (0 + 0)u = 0u+ 0u i po dodaniu do obu stron (0u) mamy0 = (0u+ 0u) + ((0u)) = 0u+ (0u+ ((0u))) = 0u+ 0 = 0u. Podobnie 0 = 0 + 0 w U , wic0 = (0 + 0) = 0 + 0 i po dodaniu do obu stron (0) mamy0 = (0 + 0) + ((0)) = 0 + (0 + ((0))) = 0 + 0 = 0. Natomiast gdy 6= 0, a 0 = u, topo pomnoeniu obu stron przez 1 mamy 0 = 10 = 1(u) = (1)u = 1u = u, co daje 1).u+ ()u = (+ ())u = 0u = 0, wic z jednoznacznoci wektora przeciwnego dostajemy()u = (u). Podobnie u+ (u) = (u+ (u)) = 0 = 0, wic z jednoznacznoci wektoraprzeciwnego dostajemy (u) = (u), co daje 2).

Zwrmy uwag, e dziki wasnoci 2) mona pisa wyraenie u bez adnych nawiasw, aoprcz tego mamy uyteczn rwno u = (1)u.

Przestrze wektorow nad ciaem R lub C nazywa si odpowiednio rzeczywist lub zespolonprzestrzeni wektorow.

Podstawowe przykady przestrzeni wektorowych

O wektorach bya mowa na geometrii w szkole. I w istocie zbir wszystkich zaczepionych w jednymwyrnionym punkcie wektorw na paszczynie albo w przestrzeni ze znanymi z geometriidziaaniami dodawania wektorw i mnoenia wektorw przez liczby rzeczywiste jest przestrzeniwektorow nad ciaem liczb rzeczywistych. Mona si o tym przekona rysujc odpowiednieobrazki. Ale cisy dowd wymagaby cisego ujcia geometrii poczynajc od poj pierwotnych iaksjomatw. My postpimy inaczej. Dojdziemy do geometrii od algebry. Warto jednak od samegopocztku mie w pamici obraz wektorw na paszczynie i w przestrzeni, bo s one najlepszymrdem intuicji w algebrze liniowej.

Przejdmy do przykadw ju cakiem formalnych. Pierwszy z nich jest najwaniejszy.

Przykad. Niech K bdzie ciaem, a n N. Zbir Kn z dziaaniami(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn),

(a1, . . . , an) = (a1, . . . , an)

jest przestrzeni wektorow nad K (tutaj 0 = (0, . . . , 0) i (a1, . . . , an) = (a1, . . . ,an)).

11

Zauwamy, e gdy K = R, a n = 2 albo 3, to przestrze wektorow z tego przykadu monautosamia ze wspomnian wczeniej przestrzeni wektorow zaczepionych w jednym wyrnionympunkcie wektorw na paszczynie albo w przestrzeni pod warunkiem, e wybierze si ukadwsprzdnych kartezjaskich o pocztku w tym punkcie (dowolny wektor (a, b) z R2 albo (a, b, c) zR3 odpowiada wtedy wektorowi na paszczynie albo w przestrzeni o pocztku w wyrnionympunkcie i kocu w punkcie o wsprzdnych odpowiednio (a, b) albo (a, b, c); wane jest tu to, edziaania wykonywane arytmetycznie (czyli wedug wzorw z ostatniego przykadu) igeometrycznie daj ten sam wynik).

Przykad. Niech K bdzie ciaem, a X dowolnym zbiorem. Zbir KX (czyli zbir wszystkichfunkcji X K) z dziaaniami okrelonymi wzorami

(+ )(x) = (x) + (x),

()(x) = (x)

dla , KX , K, x X, jest przestrzeni wektorow nad K (tutaj 0 : X 3 x 7 0 K i : X 3 x 7 (x) K).

Przykad. Niech K bdzie podciaem ciaa L, to znaczy takim podzbiorem zbioru L, e dziaania zL mona zawzi do K i K z tymi zawonymi dziaaniami jest ciaem (mona tu wzi chobyK = Q i L = R albo K = R i L = C). Wwczas L ze swoim dodawaniem i obcitym do K Lswoim mnoeniem jest przestrzeni wektorow nad K.

wiczenie. Sprawdzi e zbiory z dziaaniami opisane w powyszych przykadach faktycznie sprzestrzeniami wektorowymi.

12