algebra lineare esercizio dato il vettore a := (3, 2, 5), scrivere lequazione cartesiana del piano...
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Algebra Lineare
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Esercizio
Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per il punto Xo := (2, 6, 4 )
ed ortogonale ad a .
Xo
a
X
2
XXo
0)-( o XXa
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3( x + 2 ) + 2( y + 6 ) + 5( z 4 ) = 0
3 x + 2 y + 5 z = 2
Esercizio
Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per il punto Xo := (2, 6, 4 )
ed ortogonale ad a .
2
0)-( o XXa
XXo = ( x + 2 , y + 6 , z 4 )
componenti di a
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Xo
a
3 x + 2 y + 5 z = 2
3 x + 2 y + 5 z = 3
PARALLELI
PARALLELI
z5y2x3)z,y,x(L FORMA LINEARE
gradiente di L
)2(L 1
)3(L 1
L : R3 R
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nn2211n21 xaxaxa)x,...,x,x(L )a,...,a,a(: n21a
xax )(L)x,...,x,x(: n21x
L : Rn RFORMA LINEARE
)()(L vuavu)(L)(L vuvaua ADDITIVITA’
)()(L xax)(L)( xxa
)(L)L()(L vuvu
)L()(L xx OMOGENEITA’
CONDIZIONI DI LINEARITA’
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1zy2x
5z4y3x2
retta
infinite soluzioni3z2yx5 unica soluzione
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
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3z2yx5
retta
1zy2x
5z4y3x2unica soluzioneinfinite soluzioni
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
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3z2yx5
retta
1zy2x
5z4y3x2unica soluzioneinfinite soluzioninessuna soluzione
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
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3z2yx5
1zy2x
5z4y3x2L1(x, y, z ) L2(x, y, z) L3(x, y, z)
)z,y,x(L
)z,y,x(L
)z,y,x(L
)z,y,x(L
3
2
1
INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3
TRASFORMAZIONE LINEARE
)(L)L()(L vuvu
)L()(L xx CONDIZIONI DI LINEARITA’
L : R3 R3
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L : R 2 R 2
L(x) = ( , )
L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2
L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2
L2(x)L1(x)
a11 a12
a21 a22AA =
matrice di
L
a1 = L(e1)
a1 a2
1
1
0
0
1
1
0
0
a2 = L(e2)
1 , 0
1 , 0
0 , 1
0 , 1
( )
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L : R 2 R 2
L(x) = ( , )
L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2
L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2
L2(x)L1(x)
a11 a12
a21 a22AA =( )
)(L: xxA
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L : R 2 R 2
G : R 2 R 2
AABB
)()(L xBAxB ))(G(L))(GL( xx
)( BA
R p
G R n
R m
LAABB m x nn x p
GL m x pA BA B
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m x pA BA B
colonna k-esima di : A BA B
R p
G R n
R m
LAABB m x nn x p
GL
))(G(L))(GL( kk ee
kk )(L bAb
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1.....00
..............
0.....10
0.....01
idn : R n R n
Id(ej) = ejn...,,2,1j
In
matrice identica
di ordine n AIAIΑ mn
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L : R n R m
L(x) = b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
mm
22
11
b)(L
..........
b)(L
b)(L
x
x
x
A A = (aij)
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I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :
I M P O R T A N T E P E R I C A L C O L I :f :A B è biettiva se e solo se :
b B , l’equazione :
f (x) = bha una e una sola soluzione
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L : R 2 R 2
R2
u
d
b:
c
a: vu
dc
baA
R2
e1
u
e2v
x
b
L(x) = b
e1
L(e1)= L(e1)= u
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R2R2
u
e1
e2
v
b
L(x) = b
1)L(rk 1)(rk ARango 1
L : R 2 R 2
d
b:
c
a: vu
dc
baA
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R2R2
e1
u
e2v
L(x) = b
Rango 2 2)(rk A
L : R 2 R 2
d
d:
c
a: vu
dc
baA
d
b:
c
a: vu
L( I2 )
I2
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u
v
u’
sin|||||||| vu
cos|||||||| vu cos||||||'|| vu vu ,'
dc
baA
d
b,
c
avu
a
c'u
bcad,' vuDet(A)
determinante di A dc
ba vu
prodotto esterno
uvvu
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x
y
z
a12
a23
a31
212
231
223 aaaa
a
u
v
)c,b,a(u)'c,'b,'a(v
( c , a ) ( c , a ) (
c’ ,
a’ )
(
c’ ,
a’ )
( a , b ) ( a , b )
( b , c ) ( b , c )
( a’ , b’ )
( a’ , b’ )
( b’
, c’
)
( b’
, c’
)
'a'c
ac
'b'a
ba
'b'a
ba,
'a'c
ac,
'c'b
cb:vu
'b'a
ba,
'a'c
ac,
'c'b
cb:vu
sinvuvu
'c'b
cb
vu
prodotto vettorialecross productprodotto esterno
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u v
u u xx vv
convesso
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u v
v v xx uu
concavo
u u xx vvvuuv
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0
R3R3
L(x) = b
i
L : R 3 R 3
k
u
x x
yy
z z
w
jI3vL( I3 )
Rango 3
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u
v
w
v x
w
cos|||||||| uwv
prodotto misto
"c'cc
"b'bb
"a'aa
A
"c
"b
"a
,
'c
'b
'a
,
c
b
a
wvu
Det(A) := "c"b"a
'c'b'a
cba
)( wvu determinante di A
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"b"a
'b'a,
"a"c
'a'c,
"c"b
'c'b:wv
"b"a
'b'ac
"a"c
'a'cb
"c"b
'c'ba wvu
"b"a
'b'ac
"c"a
'c'ab
"c"b
'c'ba wvu
"c"b"a
'c'b'a
cba
)( wvu =
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A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
D E T E R M I N A N T E di A :
a11'
Det a a( ) 'A 11 11
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A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Det a a( ) 'A 11 11
a12'
a a12 12'
D E T E R M I N A N T E di A :
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A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33a13
'
Det a a( ) 'A 11 11 a a12 12' a a13 13
'
D E T E R M I N A N T E di A :
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A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a Det Aiji j
ij' : ( ) ( ) 1complemento algebricoo cofattore o aggiunto di aij
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A :
a a aa a aa a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Det a a( ) 'A 11 11 a a12 12' a a13 13
'
Regola di LAPLACE
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0
R3R3
L(x) = b
i
L : R 3 R 3
k
u
x x
yy
z z
w
jI3vL( I3 )
Rango 3
0)(Det ABIETTIVA
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Risolvere gli esercizi 6.13 a pag.193 Risolvere gli esercizi 6.13 a pag.193
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