Álgebra linear e geometria analítica 2ª aula. mais matrizes especiais
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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
2ª aula
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Mais matrizes especiais
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Matrizes em escada
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Exemplo:
100000000125000000201130000243242000401230021
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Exemplo:
100000000125000000201130000243242000401230021
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Exemplo:
100000000125000000201130000243242000401230021
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Matrizes condensadas
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Exemplo:
100000000021000000000110000040201000000200021
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Exemplo:
100000000021000000000110000040201000000200021
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Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em forma
de escada ou está condensada?
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Definição: Matriz em forma de escada
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:
• Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas;
• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo.
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Definição: Matriz em forma de escada(usando notação matemática)
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:
• Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro
elemento não nulo, então para p > i e q k, apq = 0.
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Definição: PIVOT
Quando uma matriz está em forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha chama-se pivot.(numa linha nula não há nenhum pivot)(em cada coluna há no máximo um pivot)
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Exemplo matriz em escada:
100000000125000000201130000243242000401230021
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Exemplo matriz em escada:
000000000000000000201130000243242000401230021
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Algumas considerações:
• As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz
• Pode haver colunas nulas em qualquer posição
• Qualquer linha tem sempre o pivot para a direita dos pivots das linhas acima dela
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Definição: Matriz condensada
Diz-se que uma matriz Amn está na forma condensada se é uma matriz em escada e
• Todos os pivots são iguais a 1;• Se aik é o pivot da linha i todos os elementos
da coluna k acima de aik são nulos.
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Exemplo de matriz condensada:
100000000021000000000110000040201000000200021
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Exemplo de matriz condensada:
000000000000000000201110000243201000401200021
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Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em
escada ou numa matriz condensada
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COMO?
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Operações elementaressobre
as linhas de uma matriz
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Tipos de Operações Elementares
216097634501432
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Tipos de Operações Elementares
Tipo I: Trocar duas linhas
L1 L3
216097634501432
014327634521609
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Tipos de Operações Elementares
Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo
0.5L1
216097634501432
216097634505.025.11
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Tipos de Operações Elementares
Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar
L2 L2- 0.5L1
216097634501432
2160975.555.2401432
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Exemplos:
101001100121010
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Exemplos:
101001100121010
101002101011001
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Exemplos:
101001100121010
101002101011001
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Exemplos:
300000321
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Exemplos:
300000321
000300321
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Exemplos:
300000321
000300321
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A partir de uma matriz podem-se obter várias matrizes em escada,
mas uma única matriz condensada
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Definição: Característica de uma matriz
A característica de uma matriz Amn é igual ao número de linhas não nulas numa sua forma de escada.(é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots)Representa-se por car(Amn )
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A uma coluna onde não há um pivot chama-se coluna livre.A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal.
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EXEMPLO:Determinar a característica de:
110010111012101
A
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Determinar a característica de:
110010111012101
A
L3 L3 + (-1) L1
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Determinar a característica de:
110010111012101
A
L3 L3 + (-1) L1
211000111012101
A
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Determinar a característica de:
110010111012101
A
L3 L3 + (-1) L1
211000111012101
A
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211000111012101
A
A matriz está em forma de escada.Há 3 pivots A matriz tem característica 3.As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres;
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Determinar a característica de:
184110530486410119325320321
A
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Determinar a característica de:
18110053044201023021100321
184110530486410119325320321
A
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Determinar a característica de:
18110053044201023021100321
1620062008200410021100321
![Page 44: Álgebra Linear e Geometria Analítica 2ª aula. Mais matrizes especiais](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062306/5706384d1a28abb8238f6943/html5/thumbnails/44.jpg)
Determinar a característica de:
1620062008200410021100321
800020000000410021100321
![Page 45: Álgebra Linear e Geometria Analítica 2ª aula. Mais matrizes especiais](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062306/5706384d1a28abb8238f6943/html5/thumbnails/45.jpg)
Determinar a característica de:
800020000000410021100321
000020008000410021100321
![Page 46: Álgebra Linear e Geometria Analítica 2ª aula. Mais matrizes especiais](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062306/5706384d1a28abb8238f6943/html5/thumbnails/46.jpg)
Determinar a característica de:
000020008000410021100321
000000008000410021100321
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Determinar a característica de:
000020008000410021100321
000000008000410021100321
A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots. A característica da matriz é 4.