algebra lineal, 8va edición bernard kolman & david r. hill

1. LGEBRA LINEALOctava edicinBernard Kolman David R. Hill

2. LGEBRA LINEAL 3. LGEBRA LINEALOCTAVA EDICINBernard KolmanDrexel UniversityDavid R. HillTemple UniversityTRADUCCIN:Victor Hugo Ibarra MercadoEscuela de Actuara-Universidad AnhuacESFM-IPNREVISIN TCNICA:Alfonso Bustamante Arias Eddy Herrera DazaJefe del Departamento de Matemticas y Estadstica Pontificia Universidad Javeriana,Universidad ICESI, Cali, ColombiaBogot, ColombiaCarlos Hernndez Garciadiego Oscar Andrs Montao CarreoInstituto de Matemticas Pontificia Universidad JaverianaUniversidad Nacional Autnoma de MxicoCali, ColombiaJaime Kiwa Kristal Jorge Ivn CastaoDepartamento de Ciencias Bsicas Universidad EAFITInstituto Tecnolgico de Ciudad Jurez Medelln, ColombiaGustavo Preciado Rosas Conrado Josu SallerDepartamento de MatemticasUniversidad Tecnolgica NacionalInstituto Tecnolgico Autnomo de Mxico Buenos Aires, ArgentinaFabio Molina FocazzioPontificia Universidad Javeriana,Bogot, Colombia MXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ECUADORESPAA GUATEMALA PANAM PER PUERTO RICO URUGUAY VENEZUELA 4. KOLMAN, BERNARD; HILL, DAVID R. lgebra lineal PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006 ISBN: 970-26-0696-9 rea: Universitarios Formato: 20 25.5 cmPginas 760Authorized translation from the English language edition, entitled Introductory linear algebra: an applied first course 8th ed., by Bernard Kolman andDavid R. Hill, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. All rights reserved.ISBN 0-13-143740-2Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Introductory linear algebra: an applied first course 8a ed., de Bernard Kolman yDavid R. Hill, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright 2005. Todos los derechos reservados.Esta edicin en espaol es la nica autorizada.Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duartee-mail: [email protected] de desarrollo: Esthela Gonzlez GuerreroSupervisor de produccin: Enrique Trejo HernndezEdicin en ingls:Executive Acquisitions Editor: George Lobell Art Drector: Kenny BeckEditor-in-Chief: Sally Yagan Interior Designer/Cover Designer: Kristine CarneyProduction Editor: Jeanne Audino Art Director: Thomas BenfattiAssistant Managing Editor: Bayani Mendoza de LeonCreative Director: Carole AnsonSenior Managing Editor: Linda Mihatov BehrensDirector of Creative Services: Paul BelfantiExecutive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Cover Image: Wassily Kandinsky, Farbstudien mit Angaben zurVice President/Director of Production and Manufacturing: David W.Maltechnik, 1913, Riccardi Stdische Galerie im Lenbachhaus, MunichAssistant Manufacturing Manager/Buyer: Michael BellCover Image Specialist: Karen SanatarManufacturing Manager: Trudy Pisciotti Art Studio Laserwords Private LimitedMarketing Manager: Halee DinseyComposition; Dennis KletzingMarketing Assistant: Rachel BeckmanOCTAVA EDICIN, 2006D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 5005 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoCmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Nm. 1031.Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema derecuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico,por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editoro de sus representantes.ISBN 970-26-0696-9Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 5. A la memoria de Lillie; para Lisa y Stephen B. K.Para Suzanne D. R. H. 6. CONTENIDOPrefacio xiAl estudiante xix1 Ecuaciones lineales y matrices 11.1 Sistemas lineales 11.2 Matrices 101.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 211.4 Propiedades de las operaciones con matrices 391.5 Transformaciones matriciales 521.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales 621.7 La inversa de una matriz 911.8 Factorizacin LU (opcional) 1072 Aplicaciones de ecuaciones linealesy matrices (opcional) 1192.1 Introduccin a la teora de cdigos 1192.2 Teora de grficas 1252.3 Creacin de grficos por computadora 1352.4 Circuitos elctricos 1442.5 Cadenas de Markov 1492.6 Modelos econmicos lineales 1592.7 Introduccin a wavelets (ondeletas u onditas) 1663 Determinantes 1823.1 Definicin y propiedades 1823.2 Desarrollo por cofactores y aplicaciones 1963.3 Determinantes desde un punto de vista computacional 2104 Vectores en R n 2144.1 Vectores en el plano 2144.2 n-vectores 2294.3 Transformaciones lineales 247vii 7. viii Contenido 5Aplicaciones de vectoresen R2 y R3 (opcional) 2595.1Producto cruz en R3 2595.2Rectas y planos 264 6Espacios vectoriales reales 2726.1Espacios vectoriales 2726.2Subespacios 2796.3Independencia lineal 2916.4Bases y dimensin 3036.5Sistemas homogneos 3176.6El rango de una matriz y sus aplicaciones 3286.7Coordenadas y cambio de base 3406.8Bases ortonormales en R n 3526.9Complementos ortogonales 360 7Aplicaciones de espacios vectorialesreales (opcional) 3757.1Factorizacin QR 3757.2Mnimos cuadrados 3787.3Algo ms sobre codificacin 390 8Valores propios, vectores propiosy diagonalizacin 4088.1Valores propios y vectores propios 4088.2Diagonalizacin 4228.3Diagonalizacin de matrices simtricas 433 9Aplicaciones de valores propiosy vectores propios (opcional) 4479.1La sucesin de Fibonacci 4479.2Ecuaciones diferenciales 4519.3Sistemas dinmicos 4619.4Formas cuadrticas 4759.5Secciones cnicas 4849.6Superficies cudricas 491 10 Transformaciones lineales y matrices 50210.1 Definiciones y ejemplos 50210.2 El ncleo y la imagen de una transformacin lineal 50810.3 La matriz de una transformacin lineal 52110.4 Introduccin a fractales (opcional) 536 8. Contenido ix 11 Programacin lineal (opcional) 55811.1 El problema de la programacin lineal; solucin geomtrica 55811.2 El mtodo smplex 57511.3 Dualidad 59111.4 Teora de juegos 598 12 MATLAB para lgebra lineal 61512.1 Entrada y salida en MATLAB 61612.2 Operaciones matriciales con MATLAB 62012.3 Potencias de matrices y algunas matrices especiales 62312.4 Operaciones elementales por fila con MATLAB 62512.5 Inversas de matrices en MATLAB 63412.6 Vectores en MATLAB 63512.7 Aplicaciones de las combinaciones lineales en MATLAB 63712.8 Transformaciones lineales en MATLAB 64012.9 Resumen de comandos de MATLAB 643APNDICE ANmero complejos A1A-1 Nmero complejos A1A-2 Nmeros complejos en lgebra lineal A9APNDICE BInstruccin adicional A19B-1 Espacios con producto interno (requiere conocimientos de clculo) A19B-2 Transformaciones lineales invertibles y compuestas A30Glosario para lgebra lineal A39Respuestas A45ndice I1 9. PREFACIOMaterial incluidoEste libro presenta una introduccin al lgebra lineal y a algunas de sus aplicacionesimportantes. Est pensado para alumnos de nivel medio y avanzado, y cubre msmaterial del que se requerira para impartir un curso semestral o trimestral. Omitiendoalgunas secciones, es posible:abarcar en un semestre o en un trimestre los elementosesenciales del lgebra lineal (incluyendo los valores y vectores propios), ensear cmoutilizar la computadora en problemas de lgebra lineal, y dedicar algn tiempo a variasaplicaciones relacionadas con el tema. Si se toma en cuenta que existe gran cantidad deaplicaciones de lgebra lineal en disciplinas como matemticas, fsica, biologa, qumi-ca, ingeniera, estadstica, economa, finanzas, psicologa y sociologa, no resulta exa-gerado afirmar que esta materia es una de las que ms impacto tendr en la vida de losestudiantes. Por otro lado, el contenido de esta obra puede utilizarse tambin en un cur-so de lgebra lineal con duracin de un ao, o para impartir un segundo curso del temacon hincapi en las aplicaciones. Al final del prefacio proponemos cierto ritmo para es-tudiar el material bsico. El nivel y el ritmo del curso se pueden modificar fcilmente,variando el tiempo que se invierta en el material terico y en las aplicaciones. Contarcon conocimientos de clculo diferencial e integral no es un requisito; sin embargo,se incluyen varios ejemplos y ejercicios en que se utilizan ciertos aspectos bsicos declculo, a los que aadimos la nota Requiere conocimientos de clculo. En el texto se subrayan los aspectos computacionales y geomtricos de la materia,manteniendo la abstraccin en un nivel mnimo. De acuerdo con lo anterior, en ocasio-nes omitiremos las demostraciones de algunos teoremas, difciles o poco provechosas,a la vez que ampliaremos su ilustracin mediante ejemplos. Las demostraciones tienenel nivel adecuado para el estudiante. Tambin hemos centrado nuestra atencin en lasreas esenciales del lgebra lineal; el libro no pretende describir la materia en formaexhaustiva.Novedades en la octava edicinNos complace mucho la amplia aceptacin que han tenido las primeras siete edicionesde esta obra. El xito alcanzado por el movimiento para la reforma del clculo realiza-do en Estados Unidos durante los ltimos aos, dio lugar a que se hayan comenzado agestar ideas para mejorar la enseanza del lgebra lineal. El grupo de estudio del pro-grama de lgebra lineal y otros de carcter similar han hecho varias recomendacionesen este sentido. Al preparar esta edicin, las hemos tomado en cuenta, as como las su-gerencias de profesores y estudiantes. Aunque realizamos muchos cambios en esta edi-cin, nuestro objetivo sigue siendo el mismo que en las anteriores:desarrollar un libro de texto que ayude al maestro a ensear y al estu-diante a aprender las ideas bsicas del lgebra lineal, as como a com-prender algunas de sus aplicaciones.Para lograrlo, esta edicin incluye las caractersticas siguientes:xi 10. xii Prefacio Se agregaron estas nuevas secciones: Seccin 1.5, Transformaciones matriciales: introduce, desde muy temprano, algunas aplicaciones geomtricas. Seccin 2.1, Introduccin a la teora de cdigos: junto con un material de apoyo sobre matrices binarias que se presenta a lo largo de los primeros seis captulos, esta nueva seccin proporciona una introduccin a los conceptos bsicos de la teora de cdigos. Seccin 7.3, Algo ms sobre codificacin: desarrolla algunos cdigos sencillos y sus propiedades bsicas relacionadas con el lgebra lineal. Se agreg ms material geomtrico. Tambin se aadieron ejercicios nuevos a todos los niveles. Algunos de ellos corres- ponden al tipo de respuesta abierta lo que permite explorar con ms amplitud un tema y realizar nuevos hallazgos, mientras que otros son de desarrollo. Se agregaron ms ilustraciones. Se actualizaron los archivos M de MATLAB a versiones ms recientes. Al final de cada seccin se agreg un listado de trminos clave, lo que refleja nuestro inters en desarrollar an ms las habilidades de comunicacin. En las preguntas de falso/verdadero se pide al estudiante que justifique su respuesta, lo que da una oportunidad adicional para exploracin y redaccin. Al repaso acumulativo de los primeros diez captulos se agregaron 25 preguntas de falso/verdadero. Adems se aadi un glosario, caracterstica totalmente nueva en esta edicin. Ejercicios Los ejercicios se agrupan en tres clases. Los de la primera, Ejercicios, son de rutina. En la segunda, Ejercicios tericos, incluimos los que cubren las lagunas de algunas demostraciones y amplan el material tratado en el texto. Algunos de ellos piden una solucin oral. En esta era de la tecnologa, es particularmente importante escribir con cuidado y precisin, y estos ejercicios ayudarn al estudiante a mejorar esta habilidad, adems de elevar el nivel del curso y plantear retos a los alumnos ms dotados y con ms inters. La tercera clase, Ejercicios con MATLAB (ML) consta de ejercicios preparados por Da- vid R. Hill para resolverse con ayuda de MATLAB o de algn otro paquete de software matemtico.Las respuestas a los ejercicios numricos impares y los ejercicios ML aparecen al final del libro. Al trmino del captulo 10 se da un repaso acumulativo del material b- sico de lgebra lineal presentado hasta all, el cual consiste en 100 preguntas de falso/ verdadero (las respuestas se dan al final del texto). Presentacin La experiencia nos ha enseado que los conceptos abstractos deben presentarse de manera gradual y basarse en fundamentos firmes. Por lo tanto, comenzamos el estudio del lgebra lineal con el tratamiento de las matrices como simples arreglos de nmeros que surgen de manera natural en la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, un problema familiar para el estudiante. En cada nueva edicin nos hemos preocupado por perfec- cionar los aspectos pedaggicos de la exposicin. Las ideas abstractas se han equilibrado cuidadosamente, y acentan los aspectos geomtricos y de clculo de la materia. 11. Prefacio xiiiTemarioEl captulo 1 aborda las matrices y sus propiedades. La seccin 1.5 Transformacionesmatriciales, nueva en esta edicin, proporciona una introduccin a este importantetema. Este captulo consiste en dos partes: en la primera se analizan las matrices y lossistemas lineales; en la segunda se comentan las soluciones de sistemas lineales. El ca-ptulo 2, cuyo estudio es opcional, est dedicado al anlisis de aplicaciones de ecuacio-nes lineales y matrices en reas como la teora de cdigos, la creacin de grficos porcomputadora, la teora de grficas, los circuitos elctricos, las cadenas de Markov, losmodelos lineales en economa, y las wavelets. En la seccin 2.1, Introduccin a la teo-ra de cdigos tambin nueva en esta edicin, se desarrollan los fundamentos pa-ra introducir un poco de material de la teora de cdigos. Para mantener la discusin deestos temas en un nivel elemental, ha sido necesario abundar en detalles tcnicos. El ca-ptulo 3 presenta brevemente las propiedades bsicas de las determinantes. El captulo 4plantea el tema de los vectores en R n, adems de explicar los vectores en el plano yofrecer una introduccin a las transformaciones lineales. El captulo 5, cuya lectura esopcional, proporciona una oportunidad de explorar algunos de los muchos conceptosgeomtricos relacionados con vectores en R2 y R3; por conveniencia, limitamos nuestraatencin a las reas de producto cruz en R3, y rectas y planos. En el captulo 6 llegamos a un concepto ms abstracto, el de espacio vectorial. Laabstraccin en este captulo se maneja con ms sencillez una vez que se ha cubierto elmaterial sobre vectores en R n. El captulo 7 (opcional) presenta tres aplicaciones de es-pacios vectoriales reales: la factorizacin QR, mnimos cuadrados y, en la seccin 7.3,Algo ms sobre codificacin nueva en esta edicin, una introduccin a algunos c-digos sencillos. El captulo 8, que versa sobre valores propios (eigenvalores) y vectorespropios (eigenvectores), constituye el punto culminante del curso, y ahora se presentaen tres secciones para facilitar la enseanza; en este captulo se desarrolla cuidadosa-mente la diagonalizacin de matrices simtricas. El captulo 9, de estudio opcional, aborda diversas aplicaciones de valores y vecto-res propios. stas incluyen sucesiones de Fibonacci, ecuaciones diferenciales, sistemasdinmicos, formas cuadrticas, secciones cnicas y superficies cudricas. El captulo 10cubre las transformaciones lineales y matrices. La seccin 10.4 (opcional), Introduc-cin a fractales, analiza una aplicacin de ciertas transformaciones no lineales. El ca-ptulo 11 (opcional) se ocupa de la programacin lineal, una importante aplicacin dellgebra lineal. La seccin 11.4 presenta las ideas bsicas de la teora de juegos. El ca-ptulo 12 proporciona una breve introduccin a MATLAB (abreviatura de MATRIX LA-BORATORY), un paquete de software muy til para realizar clculos de lgebra linealen computadora (vea la descripcin ms adelante). El apndice A presenta de manera breve pero completa los nmeros complejos ysu uso en lgebra lineal. El apndice B toca otros dos temas avanzados del lgebra li-neal: los espacios con producto interno, la composicin de transformaciones lineales ylas transformaciones lineales invertibles.AplicacionesCasi todas las aplicaciones son completamente independientes; pueden abordarse des-pus de terminar todo el material introductorio de lgebra lineal en el curso, o bienestudiarse tan pronto como se termine de desarrollar el material necesario para una apli-cacin en particular. En el caso de la mayora de las aplicaciones se da una Vista pre-liminar de una aplicacin en lugares adecuados de libro, cuyo propsito es indicarcmo proporcionar una aplicacin inmediata del material que se acaba de estudiar. Eldiagrama que aparece al final de este prefacio proporciona los requisitos de cada una delas aplicaciones, y la Vista preliminar de una aplicacin ser til para decidir cul apli-cacin estudiar y cundo hacerlo. 12. xiv PrefacioAlgunas de las secciones en los captulos 2, 5, 7, 9 y 11 tambin pueden utilizarse como proyectos independientes para los estudiantes. La experiencia en el aula a partir de este enfoque ha demostrado una reaccin favorable de los estudiantes. Por lo tanto, el profesor puede ser muy selectivo, tanto en la eleccin del material como en el mtodo de estudio de estas aplicaciones. Material al final de los captulo Cada captulo contiene un resumen de Ideas clave para el repaso, un conjunto de ejercicios complementarios (las respuestas de todos los ejercicios impares aparecen al final del libro), y un examen del captulo (todas las respuestas aparecen al final del libro). Software MATLAB Aunque los ejercicios ML pueden resolverse usando diferentes paquetes de software, a nuestro juicio MATLAB es el ms apropiado para este propsito. MATLAB es un paquete de software verstil y poderoso, cuya piedra angular son sus capacidades para lgebra lineal. MATLAB incorpora rutinas de clculo de calidad profesional, muy tiles en lgebra lineal. El cdigo de programacin de MATLAB est escrito en lenguaje C, y ha ido mejorando en cada nueva versin del software. MATLAB est disponible de The Math Works, Inc., 24 Prime Park Way, Natick, MA 01760, [(508) 653-1415], direccin de co- rreo electrnico: [email protected]; este libro no incluye el programa ni las rutinas de comandos desarrolladas para la resolucin de los ejercicios ML. La versin de MATLAB para el estudiante incluye tambin una versin de Maple, proporcionado as una capacidad de clculo simblico.El captulo 12 de esta edicin incluye una breve introduccin a las capacidades de MATLAB para resolver problemas de lgebra lineal. Aunque MATLAB permite la creacin de programas para implementar muchos algoritmos matemticos, es preciso aclarar que en este libro no se pide al lector que escriba programas, sino simplemente que use MATLAB (o algn otro paquete de software comparable) para resolver problemas numricos es- pecficos. Aproximadamente 24 archivos (M) han sido desarrollados para que el alumno los utilice con los ejercicios ML en este libro; el material correspondiente est disponible en el sitio Web de Prentice Hall, www.pearsoneducacion.net/kolman. Estos archivos M estn diseados para transformar muchas de las capacidades de MATLAB en funcin de las necesidades del curso. Esto proporciona una herramienta pedaggica que permite al estudiante razonar los pasos para la resolucin de un problema, dejando a MATLAB la responsabilidad de realizar clculos que, por su complejidad, podran resul- tar tediosos. Sin duda, ste es el papel ideal de MATLAB (o de cualquier otro paquete de software) al iniciar un curso de lgebra lineal. Por otra parte, la introduccin a una po- tente herramienta como MATLAB al inicio de la carrera universitaria, abre el camino a otros tipos de software que sern de gran ayuda para el estudiante en cursos posteriores, especialmente en ciencias e ingenieras. Material complementario Manual de soluciones para el profesor (0-13-143742-9). Contiene las respuestas a todos los ejercicios de nmero par, y soluciones a todos los ejercicios tericos est disponible en ingls (slo para el profesor) solictelo al representante de Pearson Educacin. 13. Prefacio xvLecturas obligatorias para comprender las aplicacionesSeccin 2.1 Material sobre bits en el captulo 1Seccin 2.2 Seccin 1.4Seccin 2.3 Seccin 1.5Seccin 2.4 Seccin 1.6Seccin 2.5 Seccin 1.6Seccin 2.6 Seccin 1.7Seccin 2.7 Seccin 1.7Seccin 5.1 Seccin 4.1 y Captulo 3Seccin 5.2 Secciones 4.1 y 5.1Seccin 7.1 Seccin 6.8Seccin 7.2 Secciones 1.6, 1.7, 4.2, 6.9Seccin 7.3 Seccin 2.1Seccin 9.1 Seccin 8.2Seccin 9.2 Seccin 8.2Seccin 9.3 Seccin 9.2Seccin 9.4 Seccin 8.3Seccin 9.5 Seccin 9.4Seccin 9.6 Seccin 9.5Seccin 10.4Seccin 8.2Secciones 11.1-11.3 Seccin 1.6Seccin 11.4Secciones 11.1 11.3 A los usuarios de las ediciones anteriores: Durante los 29 aos de vida de las siete ediciones anteriores de esta obra, el libro se ha utilizado principalmente para el curso de lgebra lineal de segundo ao de licen- ciatura. Este curso cubri lo bsico de lgebra lineal y utiliz el tiempo extra disponible para el estudio de aplicaciones seleccionadas del tema. En esta nueva edicin no hemos cambiado el fundamento estructural para la enseanza del material esen- cial de lgebra lineal. Por lo tanto, este material puede ensearse exactamente de la misma manera que antes. La ubicacin de las aplicaciones, con mayor cohesin y unificada con propsitos pedaggicamente estratgicos, junto con nuevas aplicaciones y otros materiales, facilitar sin duda la imparticin de un curso ms rico y ms variado. 14. xvi Prefacio Agradecimientos Nos complace expresar nuestro agradecimiento a las siguientes personas, que revisaron exhaustivamente el manuscrito de la primera edicin: William Arendt, University of Missouri, y David Shedler, Virginia Commonwealth University. En la segunda edicin: Gerald E. Bergum, South Dakota State University; Jame O. Brooks, Villanova Univer- sity; Frank R. DeMeyer, Colorado State University; Joseph Malkevitch, York College de la City University de New York; Harry W. McLaughlin, Rensselaer Polytechnic Ins- titute; y Lynn Arthur Steen, St. Olafs College. De la tercera edicin: Jerry Goldman, DePaul University; David R. Hill, Temple University; Allan Krall, The Pennsylvania State University en University Park; Stanley Lukawecki, Clemson University; David Royster, The University of North Carolina; Sandra Welch, Stephen F. Austin State Uni- versity; y Paul Zweir, Calvin College.De la cuarta edicin: William G. Vick, Broome Community College; Carrol G. Wells, Western Kentucky University; Andre L. Yandl, Seattle University; y Lance L. Littlejohn, Utah State University. De la quinta edicin: Paul Been, Indiana Univer- sity-South Bend; John Broughton, Indiana University of Pennsylvania; Michael Ge- rahty, University of Iowa; Philippe Loustaunau, George Mason University; Wayne McDaniels, University of Missouri; y Larry Runyan, Shoreline Community College. De la sexta edicin: Daniel D. Anderson, University of Iowa; Jrgen Gerlach, Rad- ford University; W. L. Golik, University of Missouri en St. Louis; Charles Heuer, Con- cordia College; Matt Insall, University of Missouri en Rolla; Irwin Pressman, Carleton University; y James Snodgrass, Xavier University. De la sptima edicin: Ali A. Dad- del, University of California-Davis; Herman E. Gollwitzer, Drexel University; John Goulet, Worcester Polytechnic Institute; J. D. Key, Clemson University; John Mitchell, Rensselaer Polytechnic Institute; y Karen Schroeder, Bentley College.De la octava edicin: Juergen Gerlach; Radford University; Lanita Presson, Uni- versity of Alabama, Huntsville; Tomaz Pisanski, Colgate University; Mike Daven, Mount Saint Mary College; David Goldberg, Purdue University; y Aimee J. Ellington, Virginia Commonwealth University.Agradecemos tambin a Vera Pless, de la University de Illinois en Chicago, por su revisin crtica del material acerca de teora de cdigos.Tambin queremos dar las gracias a las siguientes personas, por la ayuda que brin- daron en ciertas partes del manuscrito: Thomas I. Bartlow, Robert E. Beck y Michael L. Levitan, de Villanova University; Robert C. Busby, Robin Clark, el finado Charles S. Duris, Herman E. Gollwitzer, Miltin Schwartz y el finado John H. Staib, de Drexel University; Avi Vardi, Seymour Lipschutz, Temple University; Oded Kariv, Technion, Israel Institute of Technology; William F. Trench, Trinity University; y Alex Stanoye- vitch, University of Hawaii; y nuestro agradecimiento, asimismo, a todos los maestros y estudiantes de Estados Unidos y de otros pases, que han compartido con nosotros sus experiencias con el libro y nos han ofrecido tiles sugerencias.Las diversas sugerencias, los comentarios y las crticas de estas personas han me- jorado mucho la obra. Para todos, una sincera expresin de gratitud.Agradecemos tambin a Dennis R. Kletzing, de la Stetson University, quien reali- z la tipografa de todo el original del Manual de soluciones para el estudiante y del Manual de respuestas. Dennis encontr varios errores y obr milagros en muy poco tiempo. Fue un placer trabajar con l.Nuestra gratitud a Dennis Kletzing, de la Stetson University, y a Nina Edelman y Kathy OHara, de la Temple University, por preparar el Manual de soluciones para el estudiante.Tambin debemos agradecer a Nina Edelman, Temple University, quien junto con Lilian Brady, hicieron una lectura crtica de las galeras, y a Blaise deSesa por su ayuda en la edicin y la verificacin de las soluciones a los ejercicios. 15. Prefacio xvii Por ltimo, una sincera expresin de agradecimiento a Jeanne Audino, editora deproduccin, quien con paciencia y experiencia gui este libro desde su concepcin has-ta su publicacin; a George Lobell, editor ejecutivo, y a todo el equipo de Prentice Hallpor su entusiasmo, inters y cooperacin constantes durante las etapas de concepcin,diseo, produccin y mercadeo de esta edicin. Bernard [email protected] David R. [email protected] 16. AL ESTUDIANTEEs muy probable que este curso sea muy diferente a cualquier otro de matemticas quehaya estudiado hasta ahora, por lo menos en dos sentidos importantes. Primero, esposible que constituya su primera experiencia en materia de abstraccin; en segundolugar, es un curso de matemticas que puede tener gran impacto en su vocacin profe-sional. A diferencia de otros cursos de matemticas, ste no le dar una serie de tcnicasaisladas de clculo para resolver ciertos tipos de problemas. En lugar de ello, desarro-llaremos un ncleo de material, denominado lgebra lineal, introduciendo ciertas defi-niciones y creando procedimientos para la determinacin de propiedades y la demos-tracin de teoremas. Esta ltima es una habilidad que toma tiempo dominar, por lo queal principio slo esperamos que lea y entienda las comprobaciones que se incluyen en ellibro; conforme avance en el curso, sin embargo, ser capaz de realizar algunas demos-traciones sencillas por su propia cuenta. Poco a poco lo introduciremos a la abstraccin,aunque manteniendo la exigencia a este respecto en el mnimo, e ilustrando ampliamen-te cada idea abstracta con ejemplos numricos y aplicaciones. Si bien har muchosclculos, el objetivo de casi todos los problemas no es solamente obtener la respuestacorrecta, sino que entienda y explique cmo obtener la respuesta e interpretar el re-sultado. El lgebra lineal se utiliza diariamente para resolver problemas en otras reas dematemticas, fsica, biologa, ingeniera, estadstica, economa, finanzas, psicologa ysociologa. Entre las aplicaciones que utilizan lgebra lineal estn la transmisin de in-formacin, el desarrollo de efectos especiales en pelculas y vdeo, la grabacin de so-nido, el desarrollo de motores (o mquinas) de bsqueda en Internet, y el anlisiseconmico. Como podr ver, el lgebra lineal nos afecta profundamente. En este librose incluyen aplicaciones seleccionadas y, si hay tiempo suficiente, algunas de ellas po-drn abordarse con ms amplitud a lo largo del curso. Adems, muchas de las aplica-ciones pueden usarse como proyectos de estudio autodidacta. Hay tres tipos de ejercicios en esta obra: primero, los ejercicios computacionales.Estos ejercicios, as como sus nmeros han sido cuidadosamente seleccionados de ma-nera de casi todos ellos pueden realizarse fcilmente a mano. Cuando se le pida que uti-lice lgebra lineal en aplicaciones reales, encontrar que el tamao de los problemas esmucho ms grande, y que los nmeros involucrados no siempre son sencillos. ste noes un impedimento, ya que es casi seguro que emplee algn tipo de software para resol-verlos. Una muestra de este tipo de programas se provee para el tercer tipo de ejercicios,diseados para resolverse por medio de una computadora y MATLAB, una poderosaherramienta de software que tiene como base las matrices y que se utiliza ampliamenteen la industria. La segunda categora est compuesta por ejercicios tericos. En algunosxix 17. xx Al estudiante de stos es probable que se le pida demostrar un resultado o analizar una idea. La capacidad de obtener una respuesta no siempre es suficiente en el mundo actual; muchas veces se le pedir que prepare un informe en donde se analice la solucin y se justifi- quen los pasos que le llevaron a ella, as como interpretar los resultados. Estos tipos de ejercicios le darn experiencia en la redaccin de textos relacionados con las matemticas; esta disciplina utiliza palabras, no slo smbolos. Recomendaciones para aprender lgebra lineal Lea el libro lentamente, y tenga lpiz y papel a mano. Quiz tenga que leer una seccin en particular ms de una vez. Detngase a verificar los pasos marcados con verifique en el texto. Asegrese de realizar su tarea de manera oportuna. Si espera hasta que los problemas le sean explicados en clase, no aprender a resolverlos por usted mismo. Aun cuando no pueda terminar un problema, intntelo: de esta manera le ser ms fcil comprenderlo cuando se le analice en clase. Tal vez le sea til trabajar con otros estudiantes el material cubierto en clase y algunos problemas de tarea. Asegrese de preguntar tan pronto como algo no le quede claro. Cuando se cons-truye una casa, lo primero que se coloca son los cimientos; el estudio del lgebralineal sigue el mismo principio: en este curso cada idea abstracta tiene como ba-se una serie de conceptos desarrollados previamente. Si alguno de tales conceptosle resulta confuso o sencillamente incomprensible, sus conocimientos sern insu-ficientes para entender las ideas subsecuentes. Haga uso de los recursos pedaggicos que proporciona este libro. Al final de ca-da seccin se presenta una lista de trminos clave; al final de cada captulo se ofre-ce una lista de ideas clave para repasar, ejercicios complementarios y un examendel captulo. Al final de los primeros diez captulos (que completan el ncleo delmaterial de lgebra lineal de que se compone el curso) se hace un repaso que con-siste en 100 preguntas de falso/verdadero, en las que le pedimos que justifique surespuesta. Por ltimo, al final del libro aparece un glosario de trminos relaciona-dos con el lgebra lineal. Estamos seguros de que su esfuerzo por aprender lgebra lineal se ver ampliamente re- compensado en otros cursos y a lo largo de su carrera profesional. Le deseamos mucho xito en su estudio del lgebra lineal. 18. LGEBRA LINEAL 19. CAPTULO 1 ECUACIONES LINEALES Y MATRICES1.1 SISTEMAS LINEALES Una gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales y socia- les, as como en ingeniera y en ciencias fsicas, tienen que ver con ecuaciones que re- lacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuacin del tipo ax = b, que expresa la variable b en trminos de la variable x y la constante a, se denomina ecuacin lineal. Aqu se utiliza la palabra lineal porque la grfica de la ecuacin anterior es una lnea recta. De manera anloga, la ecuacina1x1 + a2x2 + + anxn = b, (1) que expresa b en trminos de las variables x1, x2, . . . , xn y las constantes conocidas a1, a2, . . . , an, se denomina ecuacin lineal. En muchas aplicaciones se nos dan b y las constantes a 1, a2 , . . . , an y se nos dice que debemos determinar los nmeros x1, x2, . . . , xn, denominados incgnitas, que satisfacen la ecuacin (1).Una solucin de una ecuacin lineal (1) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . , sn que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuando x1 = s1, x2 = s2, . . . , xn = sn se sustituyen en (1).En consecuencia, x1 = 2, x2 = 3 y x3 = 4 es una solucin de la ecuacin lineal6x1 3x2 + 4x3 = 13, ya que 6(2) 3(3) + 4(4) = 13. sta no es la nica solucin para la ecuacin lineal dada, ya que x1 = 3, x2 = 1 y x3 = 7 tambin lo es. De manera ms general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas x1, x2, . . . , xn al que podemos llamar simplemente sistema lineal, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n incgnitas. Un sistema lineal puede denotarse sin problema mediantea11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2... . (2)... ... ..am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm .1 20. 2 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesLos dos subndices, i y j, se utilizan como sigue. El primer subndice, i, indica que es-tamos trabajando con la i-sima ecuacin, mientras que el segundo subndice, j, estasociado con la j-sima variable xj. As, la i-sima ecuacin esai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi.En (2), las aij son constantes conocidas. Dados los valores de b1, b2, . . . , bm, queremosdeterminar los valores de x1, x2, . . . , xn que satisfagan cada ecuacin en (2). Una solucin del sistema lineal (2) es una sucesin de n nmeros s1, s2, . . . , sn,que tiene la propiedad de que cada ecuacin en (2) se satisface cuando x1 = s1, x2 = s2,. . . , xn = sn se sustituyen en (2). Para encontrar las soluciones del sistema lineal, usaremos una tcnica denominadamtodo de eliminacin. Esto es, eliminamos algunas de las incgnitas sumando unmltiplo de una ecuacin a otra ecuacin. Casi todos los lectores habrn tenido algunaexperiencia con esta tcnica en cursos de lgebra en niveles bsicos, aunque lo ms se-guro es que haya sido con la restriccin de hacerlo con sistemas lineales en los que m= n, es decir, sistemas lineales con tantas ecuaciones como incgnitas. En este cursoampliaremos este panorama, poniendo en prctica el mtodo citado tratando con siste-mas en los que tenemos m = n, m n y m n. En realidad, existe una gran cantidadde aplicaciones en que m n. Si nuestro problema involucra dos, tres o cuatro incg-nitas, solemos escribir x, y, z y w. En esta seccin utilizaremos el mtodo de elimina-cin como se estudi en cursos bsicos, y en la seccin 1.5 lo haremos de maneramucho ms sistemtica.EJEMPLO 1 El director de un fondo de inversin tiene $100,000 para invertir. Las reglas del fondoestablecen que la inversin debe hacerse tanto en certificados de depsito (CD), como alargo plazo. El objetivo del director es obtener un rendimiento de $7,800 sobre las in-versiones al cabo de un ao. Los CD elegidos tienen un rendimiento de 5% anual, mien-tras que el bono ofrece 9% al ao. El director determina cmo sigue la cantidad x quedebe invertir en los CD, y la cantidad y que dedicar a comprar bonos: Como la inversin total es de $100,000, debemos tener x + y = 100,000. Toda vezque el rendimiento deseado es de $7,800, obtenemos la ecuacin 0.05x + 0.09y = 7,800.Por lo tanto, tenemos el sistema lineal x+y = 100,000 (3) 0.05x + 0.09y =7,800.Para eliminar x, sumamos (0.05) veces la primera ecuacin a la segunda, para obtenerx+ y = 100,000 0.04y =2,800,en donde la segunda ecuacin no tiene trmino x; en otras palabras, hemos eliminadola incgnita x. Despus despejamos y en la segunda ecuacin, para obtener y = 70,000,y sustituyendo y en la primera ecuacin de (3), obtenemos x = 30,000.Para comprobar que x = 30,000, y = 70,000 es una solucin de (3), verificamos que es-tos valores de x y y satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema lineal dado. Enconsecuencia, el director del fondo debe invertir $30,000 en los CD y $70,000 en bo-nos a largo plazo. 21. Sec. 1.1 Sistemas lineales 3EJEMPLO 2 Considere el sistema linealx 3y = 7 (4) 2x 6y = 7.Nuevamente decidimos eliminar x. Para ello, sumamos (2) veces la primera ecuacina la segunda, y obtenemosx 3y = 7 0x + 0y = 21cuya segunda ecuacin no tiene sentido. Esto significa que la solucin del sistema li-neal (4) es el conjunto vaco; en trminos prcticos, podemos decir que el sistema notiene solucin, es un conjunto vaco. Podramos haber obtenido la misma conclusinobservando que en (4) el lado izquierdo de la segunda ecuacin es igual a dos veces ellado izquierdo de la primera ecuacin, pero el lado derecho de la segunda ecuacin noes dos veces el lado derecho de la primera ecuacin.EJEMPLO 3 Considere el sistema lineal x + 2y + 3z = 62x 3y + 2z = 14(5)3x + y z = 2.Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que da por resultadox + 2y + 3z =6 7y 4z =2 (6) 5y 10z = 20.Despus eliminamos y como sigue, con ayuda de la segunda ecuacin en (6). Multipli-camos la tercera ecuacin de (6) por 1 , para obtener 5 x + 2y + 3z = 6 7y 4z = 2y + 2z = 4.Luego intercambiamos la segunda y tercera ecuaciones, lo que nos da x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4 (7) 7y 4z = 2.Ahora sumamos 7 veces la segunda ecuacin a la tercera, para obtener x + 2y + 3z = 6y + 2z = 4 10z = 30.1Al multiplicar la tercera ecuacin por 10, tenemos x + 2y + 3z = 6 y + 2z = 4(8)z = 3. 22. 4 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesSustituyendo z = 3 en la segunda ecuacin de (8), encontramos que y = 2. Al susti-tuir estos valores de z y y en la primera ecuacin de (8), obtenemos x = 1. Para com-probar que x = 1, y = 2, z = 3 es una solucin de (5), verificamos que estos valoresde x, y y z satisfagan cada una de las ecuaciones del sistema. En consecuencia, x = 1,y = 2, z = 3 es una solucin para el sistema lineal. La importancia del procedimien-to radica en el hecho de que los sistemas lineales (5) y (8) tienen exactamente las mis-mas soluciones. El sistema (8) tiene la ventaja de que puede resolverse con muchafacilidad, dando los valores anteriores para x, y y z.EJEMPLO 4 Considere el sistema lineal x + 2y 3z = 4 (9)2x + y 3z = 4.Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y obtenemos x + 2y 3z = 4 (10) 3y + 3z = 12.Despejamos y en la segunda ecuacin en (10) para obtenery = z 4,donde z puede ser cualquier nmero real. Entonces, con base en la primera ecuacin de(10),x = 4 2y + 3z= 4 2(z 4) + 3z= z + 4.Por lo tanto, una solucin para el sistema lineal (9) esx=r+4y=r4z = r,donde r es cualquier nmero real. Esto significa que el sistema lineal (9) tiene un n-mero infinito de soluciones. Cada vez que asignamos un valor a r, obtenemos otra so-lucin para (9). En consecuencia, si r = 1, entoncesx = 5, y = 3y z=1es una solucin, mientras que si r = 2, entonces x = 2, y = 6 y z = 2es otra solucin. EJEMPLO 5 Considere el sistema lineal x + 2y = 102x 2y = 4 (11)3x + 5y = 26. 23. Sec. 1.1 Sistemas lineales 5Una vez ms, para eliminar x sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y(3) veces la primera ecuacin a la tercera, obteniendox + 2y = 106y = 24 y = 4.Multiplicando la segunda ecuacin por 1 y la tercera por (1), tenemos6x + 2y = 10 y= 4 (12) y = 4,que tiene las mismas soluciones que (11). Al sustituir y = 4 en la primera ecuacin de(12), obtenemos x = 2. Por lo tanto, x = 2, y = 4 es una solucin para (11). EJEMPLO 6 Considere el sistema linealx + 2y = 10 2x 2y = 4 (13) 3x + 5y = 20.Para eliminar x, sumamos (2) veces la primera ecuacin a la segunda y (3) veces laprimera ecuacin a la tercera, lo que nos dax + 2y = 106y = 24 y = 10.Al multiplicar la segunda ecuacin por 1 y la tercera por (1), obtenemos el sis- 6temax + 2y = 10 y= 4 (14) y = 10,que no tiene solucin. Como (14) y (13) tienen las mismas soluciones, concluimos que(13) no tiene solucin.Estos ejemplos sugieren que un sistema lineal puede tener una solucin (es decir,una nica solucin), no tener solucin, o un nmero infinito de soluciones. Hemos visto que el mtodo de eliminacin consiste de la realizacin repetida de las operaciones siguientes: 1. Intercambiar dos ecuaciones. 2. Multiplicar una ecuacin por una constante diferente de cero. 3. Sumar un mltiplo de una ecuacin a la otra.No es difcil demostrar (ejercicios T.1 a T.3) que el mtodo de eliminacin propor-ciona otro sistema lineal que tiene exactamente las mismas soluciones que el sistemadado. El nuevo sistema lineal puede resolverse despus sin dificultad. 24. 6 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices Como quiz haya notado, hasta el momento, hemos descrito el mtodo de elimina-cin nicamente en trminos generales, de manera que no hemos indicado regla algunapara seleccionar las incgnitas que sern eliminadas. Antes de proporcionar una descripcinsistemtica del mtodo de eliminacin en la siguiente seccin, hablaremos del conceptode matriz, lo que nos ayudar a simplificar en gran medida nuestra notacin, permitin-donos desarrollar herramientas para resolver muchos problemas importantes. Considere ahora un sistema lineal con las incgnitas x y y; a1x + a2y = c1 (15) b1x + b2y = c2.La grfica de cada una de estas ecuaciones es una lnea recta, que denotamos median-te l1 y l2, respectivamente. Si x = s1, y = s2 es una solucin del sistema lineal (15), en-tonces el punto (s1, s2) pertenece a ambas rectas, l1 y l2. De manera recproca, si elpunto (s1, s2) est en ambas rectas, l1 y l2, entonces x = s1, y = s2 es una solucin parael sistema lineal (15). (Vea la figura 1.1.) En consecuencia, hemos llegado a las mismastres posibilidades mencionadas, siguiendo una alternativa geomtrica:1. El sistema tiene una solucin nica; esto es, las rectas l1 y l2 se intersecan exactamente en un punto.2. El sistema no tiene solucin; es decir, las rectas l1 y l2 no se intersecan.3. El sistema tiene un nmero infinito de soluciones; en otras palabras, las rectas l1 y l2 coinciden. Figura 1.1 y yy l2l2 x x xl1l2 l1l1(a) Una nica solucin (b) No hay solucin (c) Una infinidad de soluciones Ahora, consideremos un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incgnitas, x, yy z: a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 (16) a3 x + b3 y + c3 z = d3 .La grfica de cada una de estas ecuaciones es un plano, y se denota con P1, P2 y P3,respectivamente. Como en el caso de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos in-cgnitas, el sistema lineal en (16) puede tener una solucin nica, no tener solucin otener una infinidad de soluciones. Estas situaciones se ilustran en la figura 1.2. Paracomprender de forma ms concreta algunos de los casos posibles, piense en que las pa-redes (planos) de una habitacin se intersecan en un nico punto: una esquina de la ha-bitacin; de esta manera, el sistema lineal tiene una solucin nica. Ahora piense en losplanos como si se tratara de las pginas de un libro. Cuando el libro se sostiene abier-to, tres de sus pginas se intersecan en una lnea recta (el lomo); en este caso, el siste-ma lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Por otra parte, cuando se cierra ellibro, aparentemente las tres pginas son paralelas y no se intersecan, por lo que pode-mos decir que el sistema lineal no tiene solucin. 25. Sec. 1.1 Sistemas lineales 7 Figura 1.2 P1P1 P3 P1P3 P2 P2 P2P3(a) Una nica solucin (b) No hay solucin (c) Una infinidad de solucionesEJEMPLO 7 (Planeacin de produccin) Un fabricante produce tres tipos diferentes de productosqumicos: A, B y C. Cada producto debe pasar por dos mquinas de procesamiento:X y Y. La manufactura del producto requiere los tiempos siguientes en las mquinas X y Y:1. Una tonelada de A requiere 2 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.2. Una tonelada de B requiere 3 horas en la mquina X y 2 horas en la mquina Y.3. Una tonelada de C requiere 4 horas en la mquina X y 3 horas en la mquina Y.La mquina X est disponible durante 80 horas a la semana, y la mquina Y puede uti-lizarse 60 horas a la semana. Como la gerencia no quiere que las costosas mquinas Xy Y estn ociosas, le gustara saber cuntas toneladas debe manufacturar de cada pro-ducto, de modo que las mquinas se utilicen a su capacidad total. Daremos por sentadoque el fabricante puede vender todos los productos que se manufacturen. Para resolver este problema, denotamos con x1, x2 y x3, respectivamente, el nme-ro de toneladas de productos A, B y C que se fabricarn. El nmero de horas que la m-quina X ser utilizada es 2x1 + 3x2 + 4x3,que debe ser igual a 80. Por lo tanto, As tenemos que2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.De manera similar, el nmero de horas que emplear la mquina Y es 60, por lo que te-nemos2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.Desde el punto de vista matemtico, nuestro problema consiste en determinar los valo-res no negativos de x1, x2 y x3 tales que2x1 + 3x2 + 4x3 = 80.2x1 + 2x2 + 3x3 = 60.Este sistema lineal tiene un nmero infinito de soluciones. Siguiendo el mtodo delejemplo 4, vemos que todas las soluciones estn dadas por 20 x3x1 =2x2 = 20 x3x3 = cualquier nmero real tal que 0 x3 20, 26. 8 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices toda vez que debemos tener x1 0, x2 0 y x3 0. Cuando x3 = 10, tenemosx1 = 5, x2 = 10,x3 = 10 mientras quex1 = 13 2, x2 = 13,x3 = 7 cuando x3 = 7. Observe que una solucin es tan buena como la otra. Ninguna es me- jor, a menos que se nos diera ms informacin o se nos plantearan algunas restric- ciones. Trminos claveEcuacin lineal Solucin de un sistema linealSin solucinIncgnitasMtodo de eliminacinInfinidad de solucionesSolucin de una ecuacin lineal Solucin nica Manipulacin de un sistema linealSistema lineal 1.1 EjerciciosEn los ejercicios 1 a 14, resuelva el sistema lineal dado por me- (c) Cuntos valores diferentes de t pueden seleccionarsedio del mtodo de eliminacin.en la parte (b)? 1.x + 2y = 8 2. 2x 3y + 4z = 1216. Dado el sistema lineal3x 4y = 4.x 2y + z = 5 3x + y + 2z =1. 2x + 3y z = 0 3. 3x + 2y + z = 2 4.x+ y= 5 x 4y + 5z = 0,4x + 2y + 2z = 8 3x + 3y = 10. x y + z = 4. (a) verifique que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1 es una solucin. 5. 2x + 4y + 6z = 126.x + y 2z = 5(b) verifique que x2 = 2, y2 = 2, z2 = 2 es una solucin.2x 3y 4z = 152x + 3y + 4z = 2.(c) x = x1 + x2 = 1, y = y1 + y2 = 1 y z = z1 + z2 = 13x + 4y + 5z = 8.es una solucin del sistema lineal? 7.x + 4y z = 128. 3x + 4y z = 8(d) 3x, 3y, 3z, donde x, y y z son como en la parte (c), es3x + 8y 2z = 4.6x + 8y 2z = 3.una solucin del sistema lineal? 9.x + y + 3z = 12 10.x + y=117. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodo2x + 2y + 6z = 6.2x y = 5de eliminacin 3x + 4y = 2.2x + y 2z = 511. 2x + 3y = 13 12.x 5y = 63y + z = 7 x 2y = 33x + 2y = 1z = 4.5x + 2y = 27.5x + 2y = 1.13.x + 3y = 4 14. 2x + 3y z = 6 18. Resuelva el sistema lineal siguiente sin utilizar el mtodo2x + 5y = 8 2x y + 2z = 8de eliminacin x + 3y = 5.3x y + z = 7. 4x = 82x + 3y= 115. Dado el sistema lineal 3x + 5y 2z = 11. 2x y = 54x 2y = t, 19. Existe un valor de r tal que x = 1, y = 2, z = r sea una solucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelo(a) determine un valor de t para que el sistema tenga unasolucin.2x + 3y z = 11(b) determine un valor de t para que el sistema no tengax y + 2z = 7solucin.4x + y 2z = 12. 27. Sec. 1.1 Sistemas lineales 920. Existe un valor de r tal que x = r, y = 2, z = 1 sea una so- 24. Un fabricante produce dos tipos de plsticos: regular y es-lucin del siguiente sistema lineal? De ser as, determnelopecial. La produccin de cada tonelada de plstico regularrequiere dos horas en la planta A y 5 horas en la planta B;3x 2z = 4para producir cada tonelada de plstico especial se necesi- x 4y + z = 5tan 2 horas en la planta A y 3 horas en la planta B. Si la 2x + 3y + 2z = 9. planta A est disponible 8 horas diarias y la planta B 15horas al da, cuntas toneladas de cada tipo de plstico21. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-pueden producirse diariamente de modo que ambas plantasmente en los tres planos que se muestran en cada inciso dese utilicen al mximo de su capacidad?la figura 1.2.25. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en los22. Diga cul es el nmero de puntos que estn simultnea-alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contienemente en los tres planos que se muestran en cada inciso de2 unidades de protena, 3 unidades de grasa y 4 unidades dela figura 1.3.carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unida-des de protenas, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbo-hidratos. Por su parte, cada onza del alimento C contieneP1 P1 3 unidades de protenas, 3 unidades de grasa y 2 unidadesP3de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamenteP225 unidades de protenas, 24 unidades de grasa y 21 unida-P2des de carbohidratos, cuntas onzas de cada tipo de ali-P3mento deben utilizarse? (a)(b) 26. Un fabricante produce reveladores de pelcula de 2, 6 y 9minutos. La fabricacin de cada tonelada del revelador de2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 minutosen la planta B. Para manufacturar cada tonelada del revela-dor de 6 minutos son necesarios 12 minutos en la planta A yP1 P2 12 minutos en la planta B. Por ltimo, para producir cadatonelada del revelador de 9 minutos se utiliza 12 minutosla planta A y 12 minutos la planta B. Si la planta A estdisponible 10 horas al da y la planta B 16 horas diarias, P3cuntas toneladas de cada tipo de revelador de pelculapueden producirse de modo que las plantas operen a toda (c)su capacidad?27. Suponga que los tres puntos (1,5), (1, 1) y (2, 7) estnFigura 1.3 en la parbola p(x) = ax2 + bx + c. (a) Determine un sistema lineal de tres ecuaciones con tres23. Una refinera produce gasolina con azufre y sin azufre. Pa- incgnitas que deba resolverse para determinar a, b y c.ra producir cada tonelada de gasolina sin azufre 5 minutosen la planta mezcladora y 4 minutos en la planta de refina-(b) Resuelva el sistema lineal que obtuvo en la parte (a)cin, mientras que cada tonelada de gasolina con azufre re-para a, b y c.quiere 4 minutos en la planta mezcladora y 2 minutos en la28. Una herencia de $24,000 se dividi en tres fideicomisos; elplanta de refinacin. Si la planta mezcladora est disponi- segundo fideicomiso recibi el doble del primero. Los tres fi-ble 3 horas y la de refinacin 2 horas, cuntas toneladasdeicomisos pagan una tasa de inters de 9, 10 y 6% anual,de cada tipo de gasolina deben producirse de modo que las respectivamente; al final del primer ao, el rendimiento totalplantas operen a toda su capacidad? fue de $2,210. Cunto se invirti en cada fideicomiso?Ejercicios tericosT.1. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al intercam- ecuacin en (2) tiene exactamente las mismas soluciones biar dos ecuaciones en (2) tiene exactamente las mismas que (2). soluciones que (2).T.4. El sistema linealT.2. Demuestre que el sistema lineal obtenido al remplazar una ecuacin en (2) por un mltiplo constante de la ecuacin ax + by = 0 diferente de cero, tiene exactamente las mismas soluciones cx + dy = 0 que (2).siempre tiene solucin para cualesquiera valores de a, b, cT.3. Demuestre que el sistema lineal que se obtiene al remplazar y d? una ecuacin en (2) por ella misma ms un mltiplo de otra 28. 10 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices1.2 MATRICESSi analizamos el mtodo de eliminacin descrito en la seccin 1.1, observaremos lo si-guiente. Al realizar los pasos necesarios, slo modificamos los nmeros que aparecenjunto a las incgnitas x1, x2, . . . , xn. En consecuencia, podramos buscar una forma deescribir un sistema lineal sin tener que mantener las incgnitas. En esta seccin defini-remos un objeto, una matriz, que nos permite hacer precisamente eso: escribir sistemaslineales de una manera compacta que facilite la automatizacin del mtodo de elimina-cin en una computadora, dndonos un procedimiento rpido y eficaz para determinarlas soluciones. Su uso, sin embargo, no nos proporciona solamente la oportunidad decontar con una notacin conveniente, sino tambin como veremos a continuacinresolver sistemas de ecuaciones lineales y otros problemas computacionales de manerarpida y eficiente, desarrollando operaciones sobre las matrices y trabajando con ellasde acuerdo con las reglas que cumplen. Por supuesto, como debe hacer cualquier bue-na definicin, la del concepto de matriz no slo permite mirar de otra forma los proble-mas existentes, sino que, adems, da lugar a muchas nuevas preguntas, algunas de lascuales estudiaremos en este libro.DEFINICINUna matriz A de m n es un arreglo rectangular de mn nmeros reales (o complejos)ordenados en m filas (renglones) horizontales y n columnas verticales: a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n .. ... . . . .... (1) A= .fila ai1 ai2 ai j ain (rengln) i .. ..... . . .. .am1 am2 am j amncolumna jLa i-sima fila de A es ai1 ai2 ain (1 i m);La j-sima columna de A esa1 j a2 j . (1 j n). . .am jDiremos que A es m por n (que se escribe m n). Si m = n, decimos que A es unamatriz cuadrada de orden n, y que los nmeros a11, a22, . . . , ann forman la diagonalprincipal de A. Nos referimos al nmero aij, que est en la i-sima fila (rengln) y laj-sima columna de A, como el i, j-simo elemento de A, o la entrada (i, j) de A, y so-lemos escribir (1) como A = [aij]. Para simplificar, en este libro restringiremos nuestra atencin (salvo en el apndi-ce A) al anlisis de las matrices cuyas entradas son nmeros reales. Sin embargo, tambinse estudian las matrices con entradas complejas, mismas que tienen gran importanciaen muchas aplicaciones. 29. Sec. 1.2 Matrices 11EJEMPLO 1 Sean 112 314 A= , B= ,C = 1 , 10 12 32 110D = 201 , E= 3 ,F = 1 0 2 . 3 12Entonces, A es una matriz de 2 3 con a12 = 2, a13 = 3, a22 = 0 y a23 = 1; B es unamatriz de 2 2, con b11 = 1, b12 = 4, b21 = 2 y b22 = 3; C es una matriz de 3 1,con c11 = 1, c21 = 1 y c31 = 2; D es una matriz de 3 3; E es una matriz de 1 1, y Fes una matriz de 1 3. En D, los elementos d11 = 1, d22 = 0 y d33 = 2 forman la dia-gonal principal. Por conveniencia, en los ejemplos y ejercicios ilustrativos de los captulos 1 a7 centramos gran parte de nuestra atencin en matrices y expresiones que slo tienennmeros reales. Por otra parte, aunque aparecen en algunos ejemplos de los captulos 8 y9, es en el apndice A donde puede encontrarse una introduccin a los nmeros com-plejos y a sus propiedades, as como ejemplos y ejercicios que muestran cmo se utili-zan estos nmeros en lgebra lineal. Las matrices de 1 n o n 1 tambin se denominan un n-vectores, y lo denota-remos mediante letras minsculas en negritas. Cuando se sobreentienda el valor de n,nos referiremos a los n-vectores slo como vectores. En el captulo 4 analizaremos losvectores a detalle. 1EJEMPLO 2 u= 1 2 1 0 es un 4-vector y v = 1 es un 3-vector. 3Si todas las entradas de un n-vector son iguales a cero, se denota con 0.Observe que si A es una matriz de n n, los renglones de A son matrices de 1 n.El conjunto de todos los n-vectores con entradas reales se denota con Rn. De manera si-milar, el conjunto de todos los n-vectores con entradas complejas se denota medianteCn. Como se indic anteriormente, en los primeros siete captulos de este libro trabaja-remos casi por completo con vectores en Rn.EJEMPLO 3 (Despliegue de valores en forma de tabla) La matriz siguiente proporciona las dis-tancias entre las ciudades indicadas (en millas terrestres).Londres Madrid Nueva York Tokio Londres0 785 3,4695,959Madrid 7850 3,5936,706 Nueva York 3,469 3,5930 6,757 Tokio 5,959 6,706 6,7570 EJEMPLO 4 (Produccin) Suponga que un fabricante tiene cuatro plantas, en cada una de las cua-les se manufacturan tres productos. Si denotamos con aij el nmero de unidades del pro-ducto i elaboradas por la planta j en una semana, la matriz de 4 3 Producto 1Producto 2 Producto 3 Planta 1 560 340280 Planta 2360 450270 Planta 3 380 420210 Planta 40 80380 30. 12 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesproporciona la produccin semanal del fabricante. Por ejemplo, en una semana, la plan-ta 2 produce 270 unidades del producto 3. EJEMPLO 5 La tabla siguiente, en donde se lista el factor de congelacin del viento, muestra cmouna combinacin de la temperatura y la velocidad del viento hace que un cuerpo sesienta ms fro que la temperatura real. Por ejemplo, cuando la temperatura es de 10 Fy el viento es de 15 millas por hora, el cuerpo pierde la misma cantidad de calor que laque perdera si la temperatura fuera de 18 F sin viento.F 1510 5 0 510 mph512 7 0 510 15 10 3915 22 27 34 151118 25 31 38 45 201724 31 39 46 53Esta tabla puede representarse como la matriz 512 7 0 5 1015 10 3 9 15 22 2734 A=. 15 11 18 25 31 38 4520 17 24 31 39 4653 EJEMPLO 6 Con el sistema lineal considerado en el ejemplo 5 de la seccin 1.1, x + 2y = 102x 2y = 43x + 5y = 26,podemos asociar las matrices siguientes: 1210 x A = 2 2 , x= , b = 4 . y3526En la seccin 1.3, llamaremos A a la matriz de coeficientes del sistema lineal. DEFINICINUna matriz cuadrada A = [aij], en donde cada trmino fuera de la diagonal principal esigual a cero, es decir, aij = 0 para i j, es una matriz diagonal.EJEMPLO 7 30 0 40G=y H = 0 2 0 0 200 4son matrices diagonales. 31. Sec. 1.2 Matrices13DEFINICIN Una matriz diagonal A = [aij], en donde todos los trminos de la diagonal principal son iguales, es decir, aij = c para i = j y aij = 0 para i j, es una matriz escalar. EJEMPLO 8 Las siguientes son matrices escalares: 10020I3 = 010 , J= . 0 2001 Los motores de bsqueda para localizacin y recuperacin de informacin en In- ternet, utilizan matrices para seguir el rastro de las ubicaciones en donde sta se en- cuentra, el tipo de informacin que se halla en cada ubicacin, las palabras clave que aparecen en ellas, e incluso la manera en que los sitios Web se vinculan entre s con otros. En gran medida, la eficacia de Google estriba en la manera en que utiliza las matrices para determinar cules sitios estn referenciados en otros sitios. Esto es, en lugar de mantener de manera directa el rastro del contenido de la informacin de una p- gina Web real o de un tema de bsqueda individual, la estructura de la matriz de Google determina las pginas Web que coinciden con el tema de bsqueda, y luego presenta una lista de tales pginas en un orden de importancia. Suponga que existen n pginas Web accesibles durante cierto mes. Una manera sencilla de comprender las matrices que conforman el esquema de Google, consiste en imaginar una matriz A de n n, denominada matriz de conectividad, la cual slo contiene ceros al principio. Para construir las conexiones se procede como sigue. Cuando se detecta que el sitio Web j est vinculado con el sitio Web i, la entrada aij se hace igual a uno. Como n es muy grande su valor se calculaba en alrededor de 3 mil millones en diciembre de 2002, casi todas las entradas de la matriz de conectividad A son cero. (Las matrices como sta se denominan esparcidas, ralas o poco densas.) Si la fila (rengln) i de A contiene muchos unos, significa que existen muchos sitios vinculados al sitio i. El software que controla el motor de bsqueda de Google considera que los sitios que estn vinculados con muchos otros son ms importantes (en otras palabras, les da una calificacin ms alta). Por lo tanto, tales sitios apareceran al principio de la lista de resultados de bsqueda que generara Google cuando el usuario solicitara temas relacionados con la informacin del sitio i. Ya que Google actualiza su matriz de conectividad cada mes, n aumenta con el paso del tiempo, al agregarse nuevos enlaces y sitios. La tcnica fundamental que utiliza Google para calificar los sitios, emplea conceptos de lgebra lineal que estn fuera del alcance de este curso. Informacin adicional sobre el tema puede encontrarse en las fuentes siguientes. 1. Berry, Michael W. y Murray Browne. Understanding Search EnginesMathematicalModeling and Text Retrieval. Filadelfia: Siam, 1999. 2. www.google.com/technology/index.html 3. Moler, Cleve. The Worlds Largest Matrix Computation: Googles Page Rank Is anEigenvector of a Matrix of Order 2.7 Billion, MATLAB News and Notes, octubre de2002, pginas 12-13.En matemticas, siempre que se presenta un nuevo objeto es preciso definir cuando dos de ellos son iguales. Por ejemplo, en el conjunto de todos los nmeros raciona- les, decimos que los nmeros 2 y 4 son iguales, aunque no se representen de la misma3 6c manera. Lo que tenemos en mente es la definicin segn la cual a es igual a d cuandob ad = bc. De acuerdo con esto, tenemos la siguiente definicin.DEFINICIN Dos matrices de m n, A = [aij] y B = [bij], son iguales si aij = bij, 1 i m, 1 j n, es decir, si los elementos correspondientes son iguales. 32. 14 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesEJEMPLO 9 Las matrices 12 1 12w A = 2 34yB = 2x40 45 y 4zson iguales si w = 1, x = 3, y = 0 y z = 5. A continuacin definiremos varias operaciones que producirn nuevas matrices apartir de otras. Estas operaciones son tiles en las aplicaciones que involucran matrices.SUMA DE MATRICESDEFINICINSi A = [aij] y B = [bij] son matrices de m n, la suma de A y B da por resultado lamatriz C = [cij] de m n, definida por cij = aij + bij(i i m, 1 j n).Es decir, C se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B.EJEMPLO 10Sean 1 240 2 4 A= y B= . 2 131 31Entonces1 + 0 2 + 2 4 + (4) 1 0 0 A+B == .2 + 1 1 + 3 3 + 13 2 4Observe que la suma de las matrices A y B slo se define cuando A y B tienen elmismo nmero de filas (renglones) y el mismo nmero de columnas; es decir, slocuando A y B son del mismo tamao. establecemos la convencin, al escribir A + B entendemos que A y B tienen el mismo tamao. Hasta el momento, la suma de matrices slo se ha definido para dos matrices. Enocasiones, sin embargo, nuestro trabajo exigir que sumemos ms de dos matrices. Elteorema 1.1 de la seccin siguiente muestra que la suma de matrices satisface la propie-dad asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C. En la seccin 1.4 se consideran ms pro-piedades de las matrices, mismas que son similares a que satisfacen los nmeros reales.EJEMPLO 11(Produccin) Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos, A, B y C. Algunaspartes artes de cada uno se elaboran en la fbrica F1, ubicada en de Taiwn, y despusse terminan en la fbrica F2, de Estados Unidos. El costo total de cada producto constade los costos de manufactura y de embarque. En consecuencia, los costos (en dlares) decada fbrica pueden describirse mediante las matrices F1 y F2 de 3 2: Costo deCosto de manufactura embarque 3240Modelo A F1 = 5080 Modelo B 7020Modelo C 33. Sec. 1.2 Matrices 15Costo deCosto de manufactura embarque 40 60Modelo A F2 = 50 50 Modelo B 130 20Modelo C La matriz F1 + F2 proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cada producto. As, los costos totales de un producto del modelo C son $200 y $40, respectivamente. MULTIPLICACIN POR UN ESCALARDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m n y r es un nmero real, el mltiplo escalar de A por r, rA, es la matriz B = [bij] de m n, donde bij = raij(i i m, 1 j n). Es decir, B se obtiene multiplicando cada elemento de A por r.Si A y B son matrices de m n, escribimos A +(1)B como A B, y denomina- mos a esto diferencia de A y B.EJEMPLO 12 Sean23 52 13A= yB= .42135 2 Entonces22 3 + 1 5 3 04 8AB == .43 251+2 1 33 EJEMPLO 13 Sea p = [18.95 14.75 8.60] un 3-vector que representa los precios actuales de tres artculos almacenados en una bodega. Suponga que el almacn anuncia una venta en donde cada uno de estos artculos tiene un descuento de 20 por ciento. (a) Determine un 3-vector que proporcione el cambio en el precio de cada uno de los tres artculos. (b) Determine un 3-vector que proporcione los precios nuevos de los artculos.Solucin (a) Como el precio de cada artculo se reduce 20%, el 3-vector 0.20p = (0.20)18.95 (0.20)14.75 (0.20)8.60 = 3.79 2.95 1.72 proporciona la reduccin de los precios para los tres artculos. (b) Los precios nuevos de los artculos estn dados mediante la expresin p 0.20p = 18.95 14.75 8.60 3.79 2.95 1.72= 15.16 11.80 6.88 . Observe que esta expresin tambin puede escribirse comop 0.20p = 0.80p. 34. 16 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matrices Si A1, A2, . . . , Ak son matrices de m n y c1, c2, . . . , ck son nmeros reales, entonces una expresin de la formac1A1 + c2A2 + + ckAk(2) se denomina combinacin lineal de A1, A2, . . . , Ak, y c1, c2, . . . , ck se llaman coeficientes.EJEMPLO 14(a) Si 0 35523 A1 = 234y A2 = 623 , 1 2 3 1 23entonces C = 3A1 1 A2 es una combinacin lineal de A1 y A2. Por medio de la2multiplicacin por un escalar y la suma de matrices, podemos calcular C: 0 351 52 3C = 3 2 3 4 6 2 31 2 3 2 1 2 3 5 102 272 = 3 21 .82 72 5 212(b) 2[3 2] 3[5 0] + 4[2 5] es una combinacin lineal de [3 2], [5 0] y[2 5]. Puede calcularse (verifquelo) para obtener [17 16]. 1 0.1 1 0.1(c) 0.5 4 + 0.4 4 es una combinacin lineal de 4 y 4.60.26 0.2 0.46Puede calcularse para obtener (verifquelo) 0.4 .3.08 LA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZDEFINICINSi A = [aij] es una matriz de m n, la matriz A T = aiTj de n m, donde aiTj = a ji(1 i n, 1 j m)es la transpuesta de A. En consecuencia, las entradas en cada fila de AT son las entra-das correspondientes en la columna de A.EJEMPLO 15Sean 62 4 544 23 A= , B = 3 12 ,C = 32 ,05 2 043 2 3 2 D = 3 51 ,E = 1 .3 35. Sec. 1.2 Matrices 17Entonces 40 6 3 0 A = 2 T5 , B = 2 1 T4 , 3 2 42 3 3 5 32 CT =, D T = 5 , y ET =2 1 3 . 42 3 1MATRICES DE BINARIAS (OPCIONAL)En gran parte de nuestro trabajo con lgebra lineal utilizaremos matrices y vectores cu-yas entradas son nmeros reales o complejos. Por lo que los clculos, como combinacioneslineales, se determinan utilizando propiedades de las matrices y la aritmtica estndar debase 10. Sin embargo, el continuo desarrollo de la tecnologa de cmputo ha trado alprimer plano el uso de la representacin binaria (base 2) de la informacin. En casi to-das las aplicaciones de cmputo, como juegos de vdeo, comunicaciones mediante fax,transferencia electrnica de dinero, comunicaciones satelitales, DVD o la generacin demsica en CD, la matemtica subyacente es invisible y por completo transparente parael espectador o el usuario. La informacin codificada en representacin binaria est tanextendida y desempea un papel tan importante que estudiaremos brevemente algunasde sus caractersticas. Iniciaremos con un anlisis general de la suma y multiplicacinbinarias, y luego hablaremos de una clase especial de matrices binarias, que tiene un lu-gar clave en la teora de la informacin y la comunicacin. La representacin binaria de la informacin slo utiliza dos smbolos, 0 y 1. La in-formacin est codificada en trminos de 0 y 1 en una cadena de bits*. Por ejemplo, enlenguaje binario, el nmero decimal 5 se representa mediante la cadena 101, que se in-terpreta en trminos de base 2 como sigue:5 = 1(22) + 0(21) + 1(20). Los coeficientes de las potencias de 2 determinan la cadena de bits, 101, que pro-porciona la representacin binaria de 5. Al igual que utilizamos aritmtica de base 10 cuando tratamos con nmeros realesy complejos, en otros escenarios empleamos aritmtica de base 2, es decir, aritmticabinaria. La tabla 1.1 muestra la estructura de la suma binaria, y la tabla 1.2 la estructu-ra de la multiplicacin binaria. Tabla 1.1 Tabla 1.2+0 1 0100 1 00011 0 101 Las propiedades de la aritmtica binaria permiten la representacin de combinacio-nes de nmeros reales en forma binaria, suele estudiarse en cursos bsicos de cienciasde la computacin, o en cursos de matemticas finitas o discretas. No desviaremosnuestra atencin para analizar tales temas en este momento. En cambio, nuestro objeti-vo se centrar en un tipo particular de matrices y vectores cuyas entradas son dgitos bi-narios. Esta clase de matrices y vectores es importante en el estudio de la teora de lainformacin y en el campo de matemticas de cdigos de correccin de errores (tam-bin llamado teora de codificacin).*Un bit es un dgito binario (del ingls binary digit); esto es, un 0 o un 1. 36. 18 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesDEFINICINUna matriz binaria de m n, es una matriz en que todas las entradas son bits. Estoes, cada una de sus entradas es ya sea 0 o 1. Un n-vector (o vector) binario es una matriz de 1 n o de n 1, todas cuyas en-tradas son bits. 1 0 0EJEMPLO 16A = 1 1 1 es una matriz binaria de 3 3. 0 1 0 11 EJEMPLO 17v = 0 es un 5-vector binario, y u = 0 0 0 0 es un 4-vector binario.0 1 Las definiciones de suma de matrices y multiplicacin por un escalar se aplicantambin a las matrices binarias, siempre y cuando utilicemos aritmtica binaria (de ba-se 2) para todos los clculos, y 0 y 1 como nicos escalares posibles. 1 01 1EJEMPLO 18Sean A = 1 1 y B = 0 1. Por medio de la definicin de la suma de matri-0 11 0ces y con ayuda de la tabla 1.1, tenemos 1+1 0+10 1 A + B = 1 + 0 1 + 1 = 1 0 . 0+1 1+01 1 Las combinaciones lineales de matrices binarias o n-vectores binarios son muy f-ciles de calcular con ayuda de las tablas 1.1 y 1.2, si se toma en cuenta el hecho de quelos nicos escalares son 0 y 1. 101EJEMPLO 19Sean c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, u1 =, u2 = y u3 = . Entonces 011101 c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 = 1+0 +10111 0 1 =+ +0 0 1(1 + 0) + 1 =(0 + 0) + 11+1 0 == .0+1 1De acuerdo con la tabla 1.1, tenemos que 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 0. Por lo tanto, elinverso aditivo de 0 es 0 (como es usual), y el inverso aditivo del 1 es 1. De aqu que,para calcular la diferencia de matrices binarias A y B, procedemos como sigue:A B = A + (inverso de 1) B = A + 1B = A + B.Como podemos ver, la diferencia de matrices binarias no aporta nada nuevo a las rela-ciones algebraicas entre matrices binarias.Las matrices binarias tambin se llaman matrices booleanas. 37. Sec. 1.2 Matrices19Trminos claveMatriz n-vector (o vector) Mltiplo escalar de una matrizFilas (renglones)Matriz diagonal Diferencia de matricesColumnas Matriz escalarCombinacin lineal de matricesTamao de una matriz 0, vector ceroTranspuesta de una matrizMatriz cuadradaRn, el conjunto de todos los n-vectores BitDiagonal principal de una matriz Google Matriz binaria (o booleana)Elemento (o entrada) de una matriz Matrices igualesMatriz triangular superiorij-simo elementoSuma de matricesMatriz triangular inferiorentrada (i, j) Mltiplo escalar 1.2 Ejercicios 1. Sean 5. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indica en cada caso: 42 3 5(a) 3D + 2F A=, B = 3 ,6 5 4 5(b) 3(2A) y 6A y(c) 3A + 2A y 5A 7 32 (d) 2(D + F) y 2D + 2F C = 4 35 .(e) (2 + 3)D y 2D + 3D 6 1 1(f) 3(B + D) (a) Cules son los valores de a12, a22, a23? (b) Cules son los valores de b11, b31?6. De ser posible, calcule: (c) Cules son los valores de c13, c31, c33?(a) AT y (AT)T(b) (C + E)T y CT + ET 2. Si(c) (2D + 3F)Ta+b c+d4 6=,(d) D DTcd ab 10 2(e) 2AT + B determine a, b, c y d.(f) (3D 2F)T 3. Si 7. De ser posible, calcule: a + 2b 2a b 4 2 =, (a) (2A)T 2c + d c 2d 4 3(b) (A B)T determine a, b, c y d.(c) (3BT 2A)TEn los ejercicios 4 a 7, sean (d) (3AT 5BT)T 1 0 (e) (A)T y (AT) 1 23A=, B = 21 ,(f) (C + E + FT)T 2 143 2 303 1 3 8. La matrizes una combinacin lineal de las matri-3 2 02 C = 4 15 , D = ,2 41 0 102 13 y ces 0 1 00 ? Justifique su respuesta. 2 4 5 4 5 E = 014 , F =,4 12 39. La matriz es una combinacin lineal de las 3 2103 0 0 010 10O = 0 0 0 .matrices 0yy1 00 ? Justifique su respuesta. 0 0 0 4. De ser posible, calcule la combinacin lineal que se indica 10. Sean en cada caso:12 310 0(a) C + E y E + C (b) A + B A = 6 2 3 yI 3 = 01 0 . 52 400 1(c) D F (d) 3C + 5O(e) 2C 3E (f) 2B + F Si es un nmero real, calcule I3 A. 38. 20 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesLos ejercicios 11 a 15 tienen que ver con matrices binarias. (a) A + B(b) C + D (c) A + B + (C + D)T (d) C B(e) A B + C D. 1 0 1 0 1 111. Sean A = 1 1 0, B = 1 0 1, y 1 013. Sea A =. 0 1 1 1 1 0 0 01 1 0 0 0 C = 0 1 1. Calcule cada una de las expresiones(a) Determine B de manera que A + B =.0 01 0 11 1 siguientes: (b) Determine C de manera que A + C =.1 1(a) A + B (b) B + C (c) A + B + C(d) A + CT(e) B C.14. Sea u = [1 1 0 0]. Determine el 4-vector v tal queu + v = [1 1 0 0]. 1 0 101112. Sean A + 1 0 ,B= 01,C = 00,y15. Sea u = [0 1 0 1]. Determine el 4-vector v tal queu + v = [1 1 1 1].0 0 D= .1 0 Calcule cada una de las expresiones siguientes:Ejercicios tericos T.1. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matrices a1100 0diagonales es una matriz diagonal. a21a22 0 0 a31a32a33 0 0 T.2. Demuestre que la suma y la diferencia de dos matrices es- . .... . . .. . . calares es una matriz escalar. . .. . . .. .. ... ... .0 T.3. Sea a n1 a n2 a n3 ann Matriz triangular inferior a bc(Los elementos que estn arriba de la diagonal principal son cero.) A = c de . eef(a) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-ces triangulares superiores es una matriz triangularsuperior.(a) Calcule A AT.(b) Demuestre que la suma y la diferencia de dos matri-(b) Calcule A + AT. ces triangulares inferiores es una matriz triangular in-(c) Calcule (A + AT)T.ferior.(c) Demuestre que si una matriz es al mismo tiempo T.4. Sea 0 la matriz de n n tal que todas sus entradas son triangular superior y triangular inferior, entonces escero. Demuestre que si k es un nmero real y A es una una matriz diagonal.matriz de n n tal que kA = O, entonces k = 0 o A = O. T.6. (a) Demuestre que si A es una matriz triangular superior,entonces AT es triangular inferior. T.5. Una matriz A = [aij] se denomina triangular superior siaij = 0 para i > j. Se llama triangular inferior si aij = 0 (b) Demuestre que si A es una matriz triangular inferior,para i < j. entonces AT es triangular superior. T.7. Si A es una matriz de n n, cules son las entradas dela diagonal principal de A AT? Justifique su respuesta. a11a12 a1nT.8. Si x es un n-vector, demuestre que x + 0 = x.0a22 a2n 0 0a33 a3n Los ejercicios T.9 a T.18 tienen que ver con matrices binarias. .. ... . . .. . . . .. . T.9. Haga una lista de todos los posibles 2-vectores binarios. .. . ... ... . . ... .Cuntos hay? 0 0 00ann T.10. Haga una lista de todos los posibles 3-vectores binarios.Cuntos hay?Matriz triangular superior(Los elementos que estn debajo de la diagonalT.11. Haga una lista de todos los posibles 4-vectores binarios.principal son cero.)Cuntos hay? 39. Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices21T.12. Cuntos 5-vectores binarios hay? Cuntos n-vectoresT.18. Un interruptor de luz normal tiene dos posiciones (o esta-binarios existen?dos) encendido y apagado. Suponga que la matriz binariaT.13. Haga una lista de todas las posibles matrices binarias de 1 02 2. Cuntas hay? A = 0 1T.14. Cuntas matrices binarias de 3 3 hay?1 1T.15. Cuntas matrices binarias de n n existen? representa un conmutador de interruptores en donde 0 re-T.16. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ONpresenta apagado y 1 representa encendido.(los trminos de muchos aparatos electrnicos para apa- (a) Determine una matriz B tal que A + B represente elgado y encendido, respectivamente), y sea conmutador de interruptores con el estado de cada interruptor invertido. ON ON OFFA = OFF ON OFF . (b) Sea OFF ON ON 1 1Determine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unaC = 0 0 .matriz con cada entrada igual a OFF.1 0T.17. Represente con 0 la palabra OFF y con 1 la palabra ON, y La matriz B del inciso (a) tambin invertir los es-seatados del conmutador de interruptores representado por C? Verifique su respuesta. ON ON OFF A = OFF ON OFF .(c) Si A es cualquier matriz binaria de m n que repre-OFF ON ONsenta un conmutador de interruptores, determine una matriz binaria B de m n tal que A + B inviertaDetermine la matriz B de ON/OFF tal que A + B sea unatodos los estados de los interruptores en A. Justifiquematriz con cada entrada igual a ON.por qu B invertir los estados de A.Ejercicios con MATLABPara utilizar MATLAB en esta seccin, primero deber leer lasvalores redondeados a cuatro decimales. Restablezcasecciones 12.1 y 12.2, las cuales proporcionan informacin bsicael formato a format short.acerca del programa as como de las operaciones matriciales conML.2. Escriba el comando H = hilb(5) en MATLAB; (Observeel mismo. Le pedimos que siga con cuidado los ejemplos o ilustra-que el ltimo carcter es un punto y coma, el cual sirveciones de las instrucciones de MATLAB que aparecen en laspara suprimir el despliegue del contenido de la matriz H;secciones 12.1 y 12.2 antes de intentar realizar estos ejercicios. vea la seccin 12.1.). Para obtener ms informacin acerca del comando hilb, escriba help hilb. Utilice los coman-ML.1. Introduzca las siguientes matrices en MATLAB. dos apropiados de MATLAB para hacer lo siguiente: 5 1 2 (a) Determine el tamao de H.A = 30 1 ,(b) Despliegue el contenido de H. 2 4 1 (c) Despliegue el contenido de H como nmeros racio- nales.42 2/ 3 B = 1/ 201 5 8.2 .(d) Extraiga las tres primeras columnas como una matriz.0.00001(9 + 4)/ 3(e) Extraiga las dos ltimas filas (renglones) como una matriz. Utilice los comandos apropiados de MATLAB para desple- gar lo siguiente: Los ejercicios ML.3 a ML.5 emplean matrices binarias y los co- (a) a23, b23, b12.mandos complementarios descritos en la seccin 12.9. (b) fila1(A), columna3(A), fila2(B).ML.3. Utilice bingen para resolver los ejercicios T.10 y T.11. (c) Escriba el comando format long de MATLAB y des- ML.4. Utilice bingen para resolver el ejercicio T.13. (Sugeren- pliegue la matriz B. Compare los elementos de B in-cia: una matriz de n n contiene el mismo nmero de dicados en el inciso (a) y los del despliegue actual.entradas que un n2-vector.) Observe que el comando format short despliega los ML.5. Resuelva el ejercicio 11 utilizando binadd.1.3 PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIN DE MATRICES En esta seccin presentaremos la operacin de multiplicacin de matrices. A diferencia de la suma, algunas de las propiedades de la multiplicacin de matrices la distinguen de la multiplicacin de nmeros reales. 40. 22 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesDEFINICINEl producto punto o producto interior de los n-vectores a y b es la suma de los pro-ductos de las entradas correspondientes. En consecuencia, si a1 b1 a2 b2 a=. y. b = . , . ..anbnentoncesn a b = a1 b1 + a2 b2 + + an bn = ai bi .* (1) i=1De manera similar, si a o b (o ambas) son n-vectores escritos como una matriz de 1 n,el producto punto a b est dado por (1). El producto punto de los vectores en Cn sedefine en el apndice A.2.El producto punto es una operacin importante que usaremos tanto en sta comoen secciones posteriores.EJEMPLO 1 El producto punto de 1 22 3u= y v= 324 1es u v = (1)(2) + (2)(3) + (3)(2) + (4)(1) = 6. 4EJEMPLO 2 Sean a = [x 2 3] y b = 1. Si a b = 4, determine x.2SolucinTenemos a b = 4x + 2 + 6 = 4 4x + 8 = 4x = 3.EJEMPLO 3 (Aplicacin: clculo de la calificacin promedio de un curso) Suponga que un pro-fesor utiliza cuatro notas para determinar la calificacin promedio que obtiene un estu-diante en un curso: cuestionarios, dos exmenes de una hora y un examen final. Cadauna de estas notas tiene una ponderacin de 10, 30, 30 y 30%, respectivamente. Si lascalificaciones de un estudiante son, en cada rubro, 78, 84, 62 y 85, podemos calcular elpromedio del curso haciendo 0.10780.30 84 w=y g= 0.30 620.3085y calculandow g = (0.10)(78) + (0.30)(84) + (0.30)(62) + (0.30)(85) = 77.1.As, el promedio del curso del estudiante es 77.1. *Tal vez ya est familiarizado con esta til notacin, la notacin de suma. De cualquier manera, la analizare-mos con detalle al final de esta seccin. 41. Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices23 MULTIPLICACIN DE MATRICESDEFINICIN Si A = [aij] es una matriz de m p, y B = [bij] es una matriz de p n, el producto de A y B, que se denota mediante AB, es la matriz C = [cij] de m n, definida comoci j = ai1 b1 j + ai2 b2 j + + ai p b pjp (2)= aik bk j (1 i m, 1 j n).k=1La ecuacin (2) dice que el i, j-simo elemento de la matriz producto es el produc- to punto de la i-sima fila, fili (A) y la j-sima columna, colj (B) de B; esto se muestra en la figura 1.4.Figura 1.4 a11 a12 ... a1pcolj(B)a21 a22 ... a2pb11 b12 ... b1j ...b1n . . . . . .b21b22 ... b2j ...b2n . . .fili(A) ai1 ai2 ... aip. ... ... . .. .. . . . . . .bp1bp2 ... bpj ...bpn . . .am1 am2 ... amp c11 c12 ...c1n c21 c22 ...c2n =... ... .. .cij . cm1 cm2 ...cmn p fili(A) . colj(B) = aik bkj k=1 Observe que el producto de A y B slo est definido cuando el nmero de filas de B es exactamente igual al nmero de columnas de A, como se indica en la figura 1.5.Figura 1.5 A B=ABm n mp p niguales tamao de AB EJEMPLO 4 Sean 25 12 1A= y B = 4 3 . 314 21 Entonces(1)( 2) + (2)(4) + ( 1)(2) (1)(5) + (2)(3) + (1)(1) AB =(3)( 2) + (1)(4) + (4)(2) (3)(5) + (1)(3) + (4)(1)4 2=.6 16 42. 24 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesEJEMPLO 5 Sean 1 23 14 A = 421y B = 3 1 .01 222Calcule la entrada (3, 2) de AB.SolucinSi AB = C, la entrada (3, 2) de AB es c32, que es fil3(A) col2(B). Ahora tenemos4fil 3 (A) col2 (B) = 0 1 2 1 = 5.2 EJEMPLO 6 El sistema linealx + 2y z = 2 3x+ 4z = 5puede escribirse (verifquelo) por medio del producto de matrices como x 12 1 2 y = . 3045 zEJEMPLO 7 Sean 2 1x 3A=yB = 4 . 2 1 1 y 12Si AB = , determine x y y.6SolucinTenemos 2 1x3 2 + 4x + 3y 12AB =4 = =. 2 11 44+y 6yEntonces 2 + 4x + 3y = 12 y = 6,por lo que x = 2 y y = 6.Las propiedades bsicas de la multiplicacin de matrices se estudiarn en la sec-cin siguiente. Por lo pronto, diremos que la multiplicacin de matrices requiere mu-cho ms cuidado que la suma, ya que las propiedades algebraicas de la multiplicacinde matrices difieren de las que satisfacen los nmeros reales. Parte del problema se de-be al hecho de que AB se define slo cuando el nmero de columnas de A es igual alnmero de filas de B. En consecuencia, si A es una matriz de m p y B es una matrizde p n, AB es una matriz de m n. Qu ocurre con BA? Pueden suceder cuatro si-tuaciones diferentes:1. Es posible que BA no est definido; esto pasar si n m.2. Si BA est definida, lo que significa que m = n, entonces BA es de p p, mientras que AB es de m m; de esta manera, si m p, AB y BA son de tamaos diferentes. 43. Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 25 3. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser iguales. 4. Si AB y BA son del mismo tamao, pueden ser diferentes. EJEMPLO 8 Si A es una matriz de 2 3 y B es una matriz de 3 4, AB es una matriz de 2 4, mientras que BA no est definida. EJEMPLO 9 Sean A de 2 3 y B de 3 2. Entonces AB es de 2 2, mientras que BA es de 3 3. EJEMPLO 10 Sean 1 22 1 A= yB= .1 30 1 Entonces23 17AB = mientras que B A = . 2213 En consecuencia, AB BA.Uno se preguntara por qu la igualdad y la suma de matrices se definen de manera natural, mientras que la multiplicacin de matrices parece mucho ms complicada. El ejemplo 11 nos proporciona una idea al respecto.EJEMPLO 11 (Ecologa) Una siembra se roca con pesticidas para eliminar insectos dainos; sin embargo, las plantas absorben parte de las sustancias. Luego, los animales herbvoros de la zona comen las plantas contaminadas y absorben los pesticidas. Para determinar la cantidad de pesticida absorbida por uno de esos animales, procedemos de la manera siguiente. Suponga que tenemos tres pesticidas y cuatro plantas. Sea aij la cantidad de pesticida i (en miligramos) absorbida por la planta j. Esta informacin puede representarse mediante la matriz Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 42343Pesticida 1A= 3 225 Pesticida 24164Pesticida 3 Imagine ahora, que tenemos tres animales herbvoros, y sea bij la cantidad de plantas del tipo i que uno de ellos, de tipo j, come mensualmente. La informacin puede representarse mediante la matriz Herbvoro 1 Herbvoro 2Herbvoro 3 20128 Planta 1 281515 Planta 2B= Planta 3301210401620Planta 4 La entrada (i, j) de AB proporciona la cantidad de pesticida del tipo i que ha absorbido el animal j. En consecuencia, si i = 2 y j = 3, la entrada (2, 3) de AB es 3(8) + 2(15) + 2(10) + 5(20)= 174 mg de pesticida, 2 absorbidos por el herbvoro 3. Ahora bien, si tuviramos p animales carnvoros (como el hombre) que se comen a los herbvoros, podramos repetir el anlisis para determinar cunto pesticida absorbe cada uno. 44. 26 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesA veces es til poder determinar una columna en el producto matricial AB sin te-ner que multiplicar las dos matrices. Puede demostrarse (ejercicio T.9) que la j-simacolumna del producto matricial AB es igual al producto matricial Acolj(B).EJEMPLO 12Sean 12 23 4A= 34 y B= .32 1 15Entonces, la segunda columna de AB es 1 2 73Acol2 ( B) = 34= 17 .2 1 5 7 ObservacinSi u y v son n-vectores, puede demostrarse (ejercicio T.14) que si los consideramoscomo matrices de n 1,u v = uT v.Esta observacin nos servir en el captulo 3. De manera similar, si u y v se consideranmatrices de 1 n, entoncesu v = uvT.Por ltimo, si u es una matriz de 1 n y v es una matriz de n 1, u v = uv. 12EJEMPLO 13Sean u = 2 y v = 1. Entonces31 u v = 1(2) + 2(1) + (3)(1) = 3.Adems, 2 uT v = 1 2 3 1 = 1(2) + 2( 1) + (3)(1) + 3. 1EL PRODUCTO MATRIZ-VECTOR ESCRITO EN TRMINOSDE COLUMNASSea a11a12 a1n a21a22 a2n A= . . . .. . ...am1 am2 amnuna matriz de m n, y sea c1 c2 c=. ..cn 45. Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 27 un n-vector, es decir una matriz de n 1. Como A es de m n y c es de n 1, el producto matricial Ac es la matriz de m 1 a11 a12 a1nc1 rengln1 ( A) c a21 a22 a2n c2 rengln2 ( A) c Ac = . .... . = . . ... ... .am1 am2 amn cnrenglnm ( A) c (3) a11 c1 + a12 c2 + + a1n cn a21 c1 + a22 c2 + + a2n cn = ....am1 c1 + am2 c2 + + amn cn El lado derecho de esta expresin puede escribirse como a11 a12 a1n a21 a22 a2n c1 . + c 2 . + + c n . . . . (4) . . .am1 am2 amn= c1col 1(A) + c2col 2(A) + + cn col n(A). En consecuencia, el producto Ac de una matriz A de m n y una matriz c de n 1 puede escribirse como una combinacin lineal de las columnas de A, en las que los coeficientes son las entradas en c.EJEMPLO 14 Sean 22 1 3A=y c = 3 .42 24 Entonces, el producto Ac escrito como una comunicacin lineal de las columnas de A es 22 1 3 2135Ac = 3 = 2 3 +4 =.42 242 26 4Si A es una matriz de m p y B es una matriz de p n, podemos concluir que la j-sima columna del producto AB se puede escribir como una combinacin lineal de las columnas de la matriz A, en la que los coeficientes son las entradas en la j-sima columna de la matriz B: col j (AB) = Acol j (B) = b1 j col1(A) + b2 j col2(A) + + b p j col p (A).EJEMPLO 15 Si A y B son las matrices definidas en el ejemplo 12, entonces 1247 6 2 3 4 AB = 34 = 61716 .3 2 1 15 177 1 46. 28 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesLas columnas de AB como combinaciones lineales de las columnas de A estn dadas por 4 1 2 col1 ( AB) = 6 = Acol1 ( B) = 2 3 + 3 4 17 15 7 1 2 col2 ( AB) = 17 = Acol2 ( B) = 3 3 + 2 471 5 6 1 2 col3 ( AB) = 16 = Acol3 ( B) = 4 3 + 1 4 .11 5 SISTEMAS LINEALESA continuacin generalizaremos el ejemplo 6. Consideremos el sistema lineal de mecuaciones en n incgnitas,a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2... ... ..(5)... .am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm .Ahora definamos las siguientes matrices: a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 b2 A= . ... . ,. x = . , .b = . . . . . . ..am1 am2 amn xnbmEntonces a11a12 a1n x1 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn a21a22 a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn Ax = . . .. . . = .. . . . .. .. .. . . ... am1 am2 amn xnam1 x1 + am2 x2 + + amn xn Las entradas en el producto Ax son slo los lados izquierdos de las ecuaciones en(5). Por lo tanto, el sistema lineal (5) puede escribirse en forma matricial como Ax = b.La matriz A es la matriz de coeficientes del sistema lineal (5), y la matriz a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 .. . . , .. .. .. . . am1 am2 amn bmobtenida al agregar la columna b a A, se denomina matriz aumentada del sistema li-neal (5). La matriz aumentada de (5) se escribe como A b . Recprocamente, cual-quier matriz con ms de una columna puede considerarse la matriz aumentada de unsistema lineal. La matriz de coeficientes y la matriz aumentada tienen una funcin esen-cial en nuestro mtodo de solucin de sistemas lineales. 47. Sec. 1.3 Producto punto y multiplicacin de matrices 29EJEMPLO 16 Considere el sistema lineal2x+ z=5 2x + 3y 4z = 7 3x + 2y + 2z = 3. Si hacemos 201 x5A= 23 4 , x = y yb = 7 ,322 z3 podemos escribir el sistema lineal dado en forma matricial, como Ax = b. La matriz de coeficientes es A y la matriz aumentada es 2015 2 3 47 .3 223 EJEMPLO 17 La matriz2 134 ,3025 es la matriz aumentada del sistema lineal 2x y + 3z = 4 3x + 2z = 5. Con base en el anlisis anterior, se desprende que el sistema lineal en (5) puede escribirse como una combinacin lineal de las columnas de A, como a11a12a1n b1 a21 a22 a2n b2 x1 . = x2 . + + xn . = . . . . . . (6)... . am1am2 amnbm Recprocamente, una ecuacin las de (6) siempre describe un sistema lineal como en (5). PARTICIN DE MATRICES (OPCIONAL) Si comenzamos con una matriz A = [aij] de m n, y eliminamos algunas filas (renglones) o columnas (pero no todos), obtenemos una submatriz de A.EJEMPLO 18 Sea 1 234 A = 2 4 35 . 3 05 3 Si eliminamos la segunda fila y la tercera columna, obtenemos la submatriz 1 24. 3 0 3 48. 30 Captulo 1 Ecuaciones lineales y matricesPara subdividir una matriz en submatrices, se pueden trazar rectas horizontales en-tre las filas (renglones) y rectas verticales entre las columnas. Por supuesto, la particinse puede realizar de muchas formas distintas.EJEMPLO 19La matriz a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25 A= a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45se puede separar como A11 A12A= . A21 A22Tambin podramos escribir a11 a12 a13 a14a15 a21 a22 a23 a24a25 A11 A12 A13 , A= =a31 a32 a33 a34a35 A21 A22 A23(7)a41 a42 a43 a44a45lo cual da otra particin de A. En consecuencia, podemos hablar de particiones de unamatriz. EJEMPLO 20La matriz aumentada de un sistema lineal es una matriz con una particin. As, si Ax =b, podemos escribir la matriz aumentada de este sistema como A b . Si A y B son matrices de m n que tienen una particin de la misma forma, A +B se obtiene simplemente sumando las submatrices correspondientes de A y B. De ma-nera anloga, si A es una matriz con una partic

algebra lineal, 8va edición bernard kolman & david r. hill

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