algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst
TRANSCRIPT
![Page 1: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/1.jpg)
Algebra en Bewijzen 1
DT
Les 5
Gerard van Alst
Maart 2015
![Page 2: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/2.jpg)
Doelen.
• Hoofdstuk 3: samenvatting.
• Hoofdstuk 4: beweringen met kwantoren:
wiskundige beschrijvingen van
beweringen.
• Bewijzen van deze beweringen.
![Page 3: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/3.jpg)
Binnenkomer….
• Een grote groep mensen kan verdeeld
worden in 8 gelijke groepjes, maar ook in
12 gelijke groepjes.
• Bewering:
• Wanneer er gekozen wordt om de groep in
8 groepjes te verdelen, is het aantal
groepsleden oneven.
• Waar of niet? Bewijs…
![Page 4: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/4.jpg)
Huiswerkbespreking (1)
![Page 5: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/5.jpg)
Huiswerkbespreking
• Zijn er nog vragen over het huiswerk?
• Bespreek:
• Opgave 3.4.6
• Bepaal alle geheeltallige oplossingen van vergelijking 42x + 24y = 12
• Opgave 3.4.7
• Al eerder is het volgende bepaald: ggd(132, 96) = 12.
• Met Euclides is afgeleid: een oplossing van 132x + 96y = 12 is x = 3 en y = –4.
• Bepaal alle geheeltallige oplossingen van vergelijking: 132x – 96y = 120.
![Page 6: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/6.jpg)
Overige vragen over huiswerk?
• Huiswerk: Maak de overige opgaven van
paragrafen 3.3 en 3.4 tot en met 3.4.7. (tot
en met blz. 36)
![Page 7: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/7.jpg)
Algemeen• We hebben een vergelijking .
• Hierbij zijn gehele getallen.
• Gevraagd: de oplossingen x, y, waarbij x en ygeheel zijn.
• 1. We bepalen m.b.v. Euclides ggd(a,b).
• 2. Als c een veelvoud is van ggd(a,b) dan zijn er oplossingen.
• 3. M.b.v. Euclides kunnen we één oplossing vinden: (x0,y0).
• 4. De algemene oplossing is te schrijven als:
x=x0+b0 k en y=y0 - a0 k, met k ℤ , Hierbij is
b0=b:ggd(a,b) en a0=a:ggd(a,b).
ax by c , ,a b c
![Page 8: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/8.jpg)
Bijvoorbeeld: opgave 3.4.5
• Daar hebben we: 15x-20y=5.
• ggd(15,-20)=5.
• Eén oplossing is: (-1,-1). (Ook m.b.v. Euclides)
• Nu is a=15 , b=-20, a0=15:5=3 en
b0=-20:5=-4.
• De algemene oplossing is nu:
• x = -1- 4k en y = -1 - 3k, waarbij k .
• Dit is ook te schrijven als: x=-1+4k en y=-1+3k,
waarbij k ℤ.
![Page 9: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/9.jpg)
Opmerking: Euclides en de
omdraaiing.
• Naar aanleiding van opg. 3.3.2d:
• ggd(16637,17399).
• Als het algoritme precies gevolgd wordt, krijgen we:
• 16637 = 0 • 17399 + 16637
• 17399 = 1 • 16637 + 762
• 16637 = 21 • 762 + 635 etc.
• De omdraaiing gebeurt dus eigenlijk “vanzelf”.
![Page 10: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/10.jpg)
Hoofdstuk 4: Beweringen met
kwantoren.
![Page 11: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/11.jpg)
Kwantoren.
![Page 12: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/12.jpg)
Beweringen met kwantoren (2)
![Page 13: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/13.jpg)
Nog een voorbeeld:
![Page 14: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/14.jpg)
Opgaven.
• Maak: opg. 4.2.1 acd, 4.2.2 abc
![Page 15: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/15.jpg)
Het bewijzen van beweringen met
kwantoren (4.3)
![Page 16: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/16.jpg)
Bewijzen van beweringen met
kwantoren (4.3)
• Indien we een bewering hebben met “Er is
een….” kunnen we dit bewijzen door een
voorbeeld te geven:
• Bijvoorbeeld: Er is een natuurlijk getal
waarvan zowel 7 als 11 een deler zijn.
• We kunnen volstaan met een voorbeeld:
neem n=77 dan is 7 | n en 11 | n, want
77=7•11.
[7 | en 11| ]n n n
![Page 17: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/17.jpg)
Opgaven: maak a,c,f.
![Page 18: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/18.jpg)
Opgave.
• Opmerking: de stof voor AB1 zal tot en
met hoofdstuk 5 zijn.
![Page 19: Algebra en bewijzen 1415 les5 gv alst](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022042602/55aeda871a28ab273c8b4774/html5/thumbnails/19.jpg)
Huiswerk
• Opgaven 3.4.8 t/m 3.4.11
• Opgaven par. 4.2 en 4.3.