Instituto Universitario Politécnico Santiago MariñoExtensión BarcelonaCurso: Estadística II

Algebra de Probabilidad

Alumno: Neptali Ávila

C.I.: 18.511.247

Barcelona, 31 de Marzo de 2.017

ExperimentoDefinición: Es la comprobación de un supuesto afirmado en la hipótesis

de la investigación para verificar su veracidad.

1.- El papel que no se moja

Materiales:- Un trozo de papel (una hoja de periódico, por ejemplo).- Un vaso.- Un recipiente de mayor tamaño que el vaso.- Agua.

Procedimiento:Arrugamos el trozo de papel y lo metemos en el vaso (lo suficientemente

apretado como para que no se caiga al girar el vaso).Llenamos el recipiente de agua al nivel en el que el vaso pueda quedar completamente sumergido.Ponemos el vaso boca abajo y lo introducimos poco a poco en el recipiente. Lo mantenemos ahí durante 30 segundos.Por último, sacamos el vaso de agua y tocamos el papel.Como podréis comprobar, el papel... ¡está seco! ¿Cómo es posible?

Ejemplo:

IntroducciónLa probabilidad es un instrumento que nos ayuda a la hora de

tomar de decisiones , ya que, nos facilita una manera de evaluar, las

dudas que tienen que ver con sucesos a futuro.

Son variados los instrumentos que podemos usar para sucesos

o eventos en donde se nos presentan varias posibilidades.

A continuación se les presentara varios métodos que se

pueden utilizar a la hora de estudiar, medir y buscar los posibles

resultados para un evento en particular.

ProbabilidadDefinición: Es aquella posibilidad que hay entre diversas posibilidades de que un determinado hecho suceda. Es decir que es aquello que puede suceder o pasar.Ejemplo: 1.- En una caja hay 6 bolas blancas y 4 azules. ¿Qué probabilidad hay de que al extraer al azar una bola de la caja sea:a) azul? Solución: En la caja hay 10 bolas en total, luego

extraer una bola de la caja puede ocurrir de 10 maneras diferentes, esto sería el valor de n. Que la bola sea azul, sería  , en este caso, 6. Entonces:

Respuesta: La probabilidad de que la bola sea azul es 0,6

Ejemplo: 2.- Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:a) Salga 6 en todos.b) Los puntos obtenidos sumen 7.

Solución: b)

a)

ExperimentoExplicación:A nuestro parecer, el vaso está vacío. Pero esto no es así. En realidad, el vaso está lleno de aire, el cual ejerce una presión sobre el agua impidiendo que ésta entre. Si siguiéramos sumergiendo el vaso a mayor profundidad, el agua acabaría por vencer la presión del aire y entraría en el vaso.

2.- Agua que congela al instante

Para este experimento es necesario cuidar el tiempo en el que nuestros

refrigeradores enfrían el agua un poco antes de cambiar de estado a sólido.

Podemos ver en el video que las botellas se retiran del congelador y el agua aún

está líquida, pero al aplicar un estímulo como un golpe en la botella genera la

energía que se acumula y desencadena la cristalización de todo el agua. Así

mismo, al vaciarla en un recipiente con hielo, el chorro de agua se cristaliza ante

nuestra mirada. Este experimento también se puede hacer con refrescos de soda,

el comportamiento del líquido es el mismo, lo que variará será el tiempo de

refrigeración para conseguir la temperatura adecuada.

Ejemplo:

Evento espacio muestralDefinición: Es un subconjunto de un espacio muestral, entonces ,

el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E, S, Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo.

1.- El papa de un bebe próximo a nacer quiere que su hijo se llame Juan, Camilo o Felipe. La mama por su parte pretende que se llame Andrés o Pablo. Para que ambos queden felices deciden combinar los nombres propuestos, considerando que primero ira el de papa, y luego el de la mama ¿De cuantas formas diferentes se pueden proponer un nombre para el bebe?

El espacio muestral serán todas las combinaciones que se puedan armar con los 3 nombres que propone el papa y los 2 que propone la mama; se debe tener en cuenta que primero ira el del papa y luego el de la madre. Por lo tanto, tenemos:S= ( Juan Andrés, Juan Pablo, Camilo Andrés, Camilo Pablo, Felipe Andrés, Felipe Pablo)

Ejemplo:

Solución:

Evento espacio muestral2.- Los candidatos para formar la nueva junta del consejo comunal son

Carlos, Josefa, Elías y Marina. Se requiere que la junta este compuesta por un presidente y por un secretario ¿De cuantas formas se puede formar esta junta?

Sean C=Carlos, J=Josefa, E=Elias y M=MarinaEn el espacio muestral se debe considerar el orden en el que se seleccione

la junta.

S= {(C,J), (J,C), (C,E), (E,C), (C,M), (M,C), (J,E), (E,J), (J,M), ( M,J), (E,M), (M,E)}

Ejemplo:

Solución:

Sucesos simples y compuestosDefinición: La probabilidad simple hace referencia a experimentos

simples, es decir, formado por una única experiencia y a un único suceso de su espacio muestral.

Los experimentos compuestos son aquellos en los que los sucesos elementales se componen de resultados de varios sucesos simples: lanzar 2 monedas, sacar 2 bolas de una urna con o sin reemplazamiento, etc....

1.-

2.-

Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Ejemplo:

Ejemplo:

Análisis de Técnicas o Reglas de conteoLas técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar

eventos difíciles de cuantificar. Para facilitar el conteo examinaremos varias técnicas: Principios de multiplicación: Si un suceso se puede realizar de “m” formas diferentes y luego se puede realizar otro suceso de “n” formas diferentes, el número total de formas en que pueden ocurrir es igual a m x n. Es decir, ambos eventos se realizan, primero uno y luego el otro.

Ejemplo1.-¿de cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 3 pantalones y 3 camisas?

Solución: Para vestirse, la persona se pone el pantalón y luego la camisa, es decir tiene 3 x 3 = 9 opciones diferentes de vestirse.

Ejemplo 2.-Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.

Solución: (3)(4)=12

Principio de la adición: Un suceso “A” se puede realizar de “m” maneras diferentes, y otro suceso “B” se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, si ocurre uno no puede ocurrir el otro, el total de formas en que puede ocurrir A o B es m + n.

Ejemplo1.-: ¿de cuántas formas se puede proteger del frío una persona que tiene 3 chompas y 3 casacas? sabiendo que no se puede poner casaca y chompa a la vez.

Solucion: Para enfrentar el frío, la persona se puede poner casaca o chompa, es decir, tiene 3 + 3 = 6 opciones diferentes para protegerse del frío.

Análisis de Técnicas o Reglas de conteo

Ejemplo 2.- Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:M = Número de maneras de seleccionar una lavadora WhirpoolN = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca

General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 manerasW = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

Análisis de Técnicas o Reglas de conteo

PRINCIPIO DE PERMUTACION: Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.

Ejemplo1.- ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes? Aplicando la formula de la permutación tenemos: n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.

PRINCIPIO DE COMBINACION: Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto orden. Una combinación es una selección de objetos sin importar el orden en que se escojan:

                                          Ejemplo1.-En una compañía se quiere establecer un código de

colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte

que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del

producto?Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35 r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Probabilidades ConjuntaDefinición: Cuando 2 o mas eventos independientes se

presente uno a continuación de otro. O cuando se requiere que se presenten ambos simultáneamente. Simbología. P(AB) = P(A)*P(B)

Ejemplo 1.- Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.

⅓

AS

AS

AS

A1

S1

A2

S2

A2

S2

⅓

⅓⅔

⅔

⅔

P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

Probabilidades Marginal

Ejemplo 2.- En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:

Eventos

Característica

A1 LargoA2 CortoB1 Punta planaB2 Punta de Cruz

Evento A1 A2 TotalB1 40 60 100B2 15 20 35

Total 55 80 135

Definición: La probabilidad marginal de un evento bajo condiciones de dependencia estadística se calcula mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta dicho evento

Solución: Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135.

Probabilidades CondicionalDefinición: Se trata de determinar la probabilidad de que ocurra

un evento A (aposteriori) dado que ya aconteció un evento B (apriori), y se representa mediante P(A|B), se lee probabilidad de A dado B o probabilidad de A condicionada a B.

Ejemplo1.-: Al arrojar dos dados resultan caras iguales, ¿cuál es la probabilidad de que sumen ocho?

Solución: Identificamos los eventos dentro del espacio muestral: A={caras iguales}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} B={sumen más de ocho}={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

n(A)=6, n(B)=10 y n(A∩B)=2, aplicando la expresión P(B|A)=n(A∩B)/n(A)=2/6=1/3=0.333

Eventos mutuamente no ExcluyentesDefinición: Son dos resultados de un evento que no

pueden ocurrir al mismo tiempo.

Ejemplo 1.- Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo.

Sin embargo, sacar una carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente un rey rojo.Todos los eventos complementarios son mutuamente excluyentes, pero todos los eventos mutuamente excluyentes no son necesariamente complementarios.

Ejemplo 2.- si se lanzan dos dados al aire, sea el suceso A que aparezca un punto 6 en cualquiera de los dos dados lanzados, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia de 11/36 (porque hay 11 combinaciones de los puntos de los dados que cumplen esa condición: 1−6, 6−1, 2−6, 6−2, 3−6, 6−3, 4−6, 6−4, 5−6, 6−5, 6−6); y sea el suceso B que los puntos de ambos dados sumen un puntaje igual a 8 puntos, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia de 5/36 (porque hay 5 combinaciones que cumplen esa condición.

Eventos mutuamente ExcluyentesDefinición: Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que

si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas.

Ejemplo 1.- Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.

Sacar una carta de tréboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.

Ejemplo 2.- Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:

Solución: La probabilidad pedida es P(A∩C). Como son eventos mutuamente excluyentes, ambos no pueden suceder a la vez,P(A∩C) = 0.

Definición: El teorema de Bayes es un procedimiento para obtener probabilidades condicionales (probabilidades de ocurrencia de acontecimientos condicionadas a la ocurrencia de otros acontecimientos). La expresión del teorema de Bayes para dos variables discretas es:

Teorema de Bayes

Para variables que toman más de dos valores, la expresión es:

Ejemplo 1.- Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

Teorema de BayesSolución: Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparatoSuceso S: seleccionar el segundo aparatoSuceso T: seleccionar el tercer aparatoSuceso E: seleccionar un resultado con errorSe puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

Regla Aditiva Definición: Se aplica a la unión de eventos y se define como:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Se le llama P (AUB) a la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B.

Ejemplo1.-: Al final del semestre, Juan se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial en una universidad. Después de tener entrevistas en dos compañías donde quiere trabajar, él evalúa la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la compañía A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla de la compañía B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compañías es 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que obtendrá al menos una oferta de esas dos compañías?

Con la regla aditiva tenemos: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)=0.8 + 0.6 - 0.5 = 0.9.

Definición: Se utiliza para la intersección de eventos y se define como:

P (A int B) = P(A) P(B |A) P(B int A) = P(B)P(A|B) P(B int A) = P(A int B)

Se llama P(A int B) a la probabilidad de que ocurran los eventos A y B.

Regla Multiplicativa

Ejemplo 1.-: Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

Sean A el evento de que el primer fusible esté defectuoso y B el evento de que el segundo esté defectuoso; entonces, interpretamos A ∩ B como el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto,

P(A ∩ B) = (1/4)(4/19) = 1/19.

ConclusiónLa probabilidad es un método por el cual se obtiene

la frecuencia de un determinado suceso mediante la realización de un experimento aleatorio del cual se conocen todos los resultados posibles .

Pudimos dar una corta introducción de algunos métodos para la resolución de eventos con posibles probabilidades, ejemplificando cada uno para su mayor compresión.

Bibliografíahttp://www.monografias.com/trabajos93/tecnicas-conteo/tecnicas-conteo.shtml

http://www.shmoop.com/estadistica-basica-probabilidades/eventos-mutuamente-excluyentes-complementarios.html

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https://prezi.com/30kpo_sh6m4s/reglas-aditivas-y-multiplicativas/

https://matemovil.com/principio-de-la-multiplicacion-y-adicion-ejemplos-y-ejercicios/

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