Álgebra BooleanaJunho 2014

A que chamamos álgebra booleana?

Um processador é composto de transistores que realizam funções sob sinais digitais. Essestransistores, montados entre eles, formam os componentes que realizam funções muito simples.A partir desses elementos, é possível criar circuitos realizando operações bem complexas. Aálgebra booleana (do nome do matemático inglês George Boole 1815 - 1864) é um meio paracriartais circuitos.

A álgebra booleana é uma álgebra que traduz os sinais em expressões matemáticas. Para isso,é preciso definir cada sinal elementar por variáveis lógicas e seu processamento por funçõeslógicas. Certos métodos (tabela da verdade) permitem definir operações que queremos realizare, traduzir o resultado em uma expressão algébrica. Graças a regras chamadas "leis decomposição", estas expressões podem ser simplificadas. Isso permitirá de representar, graças asímbolos, um circuito lógico, ou seja, um circuito que esquematiza o arranjo dos componentesbásicos (nível lógico), sem considerar a realização através dos transistores (nível físico).

Variável lógica

Um computador só manipula dados binários, assim, chamamos variável lógica um dado binário,ou seja, um dado com dois status possíveis: 0 ou 1.

Função lógica

Chamamos « função lógica » uma entidade que aceita diversos valores lógicos na entrada cujasaída (pode ter várias) pode ter dois status possíveis: 0 ou 1.

Na realidade, estas funções são exercidas por componentes eletrônicos admitindo sinaiselétricos na entrada e restituindo um sinal de saída. Os sinais eletrônicos podem ter um valor decerca de 5 volts (essa é a ordem geral de grandeza) que é representado por 1 ou 0 V, que érepresentado por um 0.

As portas lógicas

As funções lógicas básicas são chamadas de portas lógicas . Trata-se de funções com uma ouduas entradas e uma saída:

A função OU (em inglês OR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de suas entradasestiver em 1A função E (em inglês AND) coloca sua saída em 1, caso suas duas entradas estiveremem 1A função OU EXCLUSIVO (em inglês XOR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra desuas entradas estiver em 1 mas, não ambas, simultâneamenteA função NÃO (também chamada de inversor) coloca sua saída em 1, caso sua entradaesteja em 0 e, vice-versa

Em geral, definimos as funções NÃO OU (comumente chamada NOR ) e NÃO E ( NAND ) comosendo a composição respectiva de um NÃO com um OU e um E.

Cronograma

Um cronograma é um diagrama que mostra a evolução das entradas e saídas em função dotempo. Veja, por exemplo, um exemplo de um cronograma do operador E :

Este cronograma é um cronograma ideal; na realidade, os sinais elétricos não passamimediatamente de 0 a 1, os declives (aqui verticais) são oblíquos e o processamento dasentradas causa um atraso nas saídas:

Expressão algébrica

O propósito da álgebra booleana é descrever o processamento de sinais, em forma deexpressão algébrica. Como vimos, os sinais são representados por nomes de variáveis. Asfunçãos lógicas são representadas por operadores:

a função OU é representada por um mais:

a função E é representada por um ponto:

a função NÃO é representada por uma barra em cima da variável inversa:

Às vezes, ela é representada por uma / diante da variável inversa

a função OU EXCLUSIVO é representada por um mais cercado:

Uma expressão algébrica será, então, uma expressão do tipo:

Tabela da verdade

Uma tabela da verdade é uma tabela que descreve todas as possibilidades de saídas emfunção das entradas. Assim, colocamos as variáveis de entrada nas colunas da esquerdafazendo-as variar de modo a cobrir todas as possibilidades. A coluna (ou as colunas se a funçãotiver múltiplas saídas) da direita descreve a saída.

Veja, por exemplo, as tabelas da verdade das portas lógicas:

Nome da porta Entrada Saída

A B S

OU

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

E

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

NÃOOU

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

NÃO E

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0NÃO

0 1

1 0

À partir da tabela da verdade de uma função, é possível escrever a expressão algébrica damesma. Ou seja, a seguinte tabela da verdade:

Entrada Sortie

A B S

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1 1 0

A saída vale 1 quando A vale 1 e B vale 0, a expressão algébrica desta função, então, é:

Consideremos agora a seguinte tabela da verdade:

Entrada Saída

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

A saída vale 1 quando

A vale 0B vale 1C vale 0

ou

A vale 1B vale 1C vale 0

Assim, a expressão algébrica desta função é :

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