algebarski izrazi (3. dio) · – izlučivanjem zajedničkog faktora – primjenom svojstava –...

Dodatna nastava iz matematike 8. razred

Aleksandra-Maria Vuković

OŠ Gornji Mihaljevec

[email protected]

11/28/2010

Algebarski izrazi (3. dio)

Aleksandra-Maria Vuković [email protected] 2

SSAADDRRŽŽAAJJ

6. FAKTORIZACIJA.......................................................................................................................................... 3

[ Primjer 9. Prost i složen algebarski izraz ] ..................................................................................................... 3

6.1. IZLUČIVANJE ZAJEDNIČKOG FAKTORA .................................................................................................... 4

[ Primjer 10. Najveći zajednički djelitelj monoma ] .......................................................................................... 4

[ Primjer 11. Faktorizacija izlučivanjem zajedničkog faktora ]........................................................................... 5

6.2. FAKTORIZACIJA PRIMJENOM SVOJSTAVA (FORMULA) ............................................................................ 5

6.2.1. RAZLIKA KVADRATA ..................................................................................................................................................................... 5

[ Primjer 12. Faktorizacija razlike kvadrata – lakši primjer ].............................................................................................................. 6

[ Primjer 13. Faktorizacija razlike kvadrata – teži primjer ] ............................................................................................................... 6

6.2.2. KVADRAT ZBROJA I RAZL IKE ....................................................................................................................................................... 7

[ Primjer 14. Izlučivanje broja (–1) ] ....................................................................................................................................................... 8

[ Primjer 15. Faktorizacija kvadrata zbroja i razlike – lakši primjer ]................................................................................................ 8

[ Primjer 16. Faktorizacija kvadrata zbroja i razlike – teži primjer ] ................................................................................................. 9

6.3. FAKTORIZACIJA GRUPIRANJEM ČLANOVA ............................................................................................ 11

[ Primjer 17. Grupiranje članova polinoma ] ................................................................................................. 11

{ Zadaci za vježbu } ..................................................................................................................................... 13

mailto:[email protected]


66.. FFAAKKTTOORRIIZZAACCIIJJAA

FAKTORIZIRATI algebarski izraz znači napisati zadani polinom u obliku umnoška izraza koji se ne mogu dalje rastaviti.

Kao što se brojevi koji imaju samo 2 djelitelja (broj 1 i sam taj broj) zovu prosti brojevi, tako se

algebarski izrazi koji su djeljivi samo s brojem 1 i sa samim sobom (ne može ih se napisati u obliku umnoška drugih algebarskih izraza) zovu PROSTI ALGEBARSKI IZRAZI.

[[ PPrriimmjjeerr 99.. PPrroosstt ii sslloožžeenn aallggeebbaarrsskkii iizzrraazz ]]

𝑍𝑎𝑑𝑎𝑛𝑖 𝑠𝑢 𝑖𝑧𝑟𝑎𝑧𝑖: 4𝑎𝑏 + 2𝑎2 𝑖 2𝑎 − 𝑏.𝑂𝑑𝑟𝑒𝑑𝑖 𝑘𝑜𝑗𝑖 𝑗𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑠𝑡, 𝑎 𝑘𝑜𝑗𝑖 𝑠𝑙𝑜ž𝑒𝑛.

RJEŠENJE: pitamo se koji od ta dva izraza ima više od dva, a koji ima samo dva djelitelja lako uočimo da drugi izraz ima samo 2 djelitelja tj. da je to PROST ALGEBARSKI IZRAZ

2a – b koeficijenti: 2 (uz a) i 1 (uz b) zajednički djelitelji: 1

nepoznanice: a i b zajednički djelitelji: 1

Zaključujemo da je zajednički faktor članova 2a i b samo BROJ 1. A kako pri dijeljenju brojem

1 dobijemo taj isti izraz, onda je drugi faktor i zadani izraz tj. 2a – b.

2a – b = 1 (2a – b) izraz 2a – b djeljiv je samo s brojem 1 i sa samim sobom prvi izraz ima više djelitelja tj. da je to SLOŽEN ALGEBARSKI IZRAZ

4ab + 2a2 koeficijenti: 4 (uz ab) i 2 (uz a2) zajednički djelitelji: 1, 2

nepoznanice: ab i a2 zajednički djelitelji: 1, a

Zaključujemo da su zajednički faktori članova 4ab i 2a2: 1, 2, a, 2a.

4ab + 2a2 = 1 (4ab + 2a2)

4ab + 2a2 = 2 (2ab + a2)

4ab + 2a2 = a (4b + 2a)

4ab + 2a2 = 2a (2b + 1)



FAKTORIZACIJA ALGEBARSKOG IZRAZA

Algebarske izraze FAKTORIZIRAMO na način koji je prikladan za dani izraz i to:

– izlučivanjem zajedničkog faktora – primjenom svojstava – formula (kvadrat zbroja i razlike, kub zbroja i razlike, razlika kvadrata …) – grupiranjem pojedinih članova kombinirano s izlučivanjem zajedničkog faktora – primjenom pravila rastavljanja (faktorizacije) kvadratnog trinoma

66..11.. IIZZLLUUČČIIVVAANNJJEE ZZAAJJEEDDNNIIČČKKOOGG FFAAKKTTOORRAA U 4. poglavlju je dosta detaljno objašnjen princip izlučivanja zajedničkog faktora algebarskog izraza. Sada ćemo detaljnije objasniti postupak određivanja najvećeg zajedničkog djelitelja pojedinih članova (monoma) zadanog algebarskog izraza. Naravno, moguće je pronaći nzd slovnih varijabli samo ako su one "istoimene" tj. sadrže u sebi istu nepoznanicu, samo s rzl. eksponentima. OSNOVNO PRAVILO je da je nzd istoimenih varijabli ona varijabla koja ima NAJMANJI EKSPONENT.

[[ PPrriimmjjeerr 1100.. NNaajjvveeććii zzaajjeeddnniiččkkii ddjjeelliitteelljj mmoonnoommaa ]]

𝒂) 𝑃𝑟𝑜𝑛𝑎đ𝑖 𝑛𝑧𝑑(𝑎5, 𝑎2 , 𝑎3)

𝒃) 𝑃𝑟𝑜𝑛𝑎đ𝑖 𝑛𝑧𝑑(𝑥 4𝑦2,𝑥 2𝑦, 𝑥 3𝑦3)

𝒄) 𝑃𝑟𝑜𝑛𝑎đ𝑖 𝑛𝑧𝑑(2𝑎, 3𝑏)

RJEŠENJE:

pod a)

tražimo monom s kojim su istovremeno djeljiva sva tri zadana monoma: a5, a2 i a3 na temelju pravila dijeljenja potencija jednakih baza zaključujemo da je to potencija a 2 tj. ona koja ima najmanji

eksponent

nzd(a5, a2, a3) = a2

pod b) i opet tražimo monom s kojim su istovremeno djeljiva sva tri zadana monoma

nzd(x4y2, x2y, x3y3) = x2y



pod c)

i ovdje tražimo monom s kojim su istovremeno djeljiva oba zadana monoma no, kako zadani monomi nemaju zajedničkih faktora osim broja 1, zaključujemo da im je najveći zajednički djelitelj upravo broj 1

nzd(2a, 3b) = 1

[[ PPrriimmjjeerr 1111.. FFaakkttoorriizzaacciijjaa iizzlluuččiivvaannjjeemm zzaajjeeddnniiččkkoogg ffaakkttoorraa ]]

𝒂) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚: 20𝑎5 − 15𝑎2 + 10𝑎3

𝒃) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚: 2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2

RJEŠENJE:

pod a)

da bismo zadani polinom napisali u obliku umnoška tj. faktorizirali treba pronaći nzd monoma 20a 5, 15a2 i 10a3 te izlučiti taj zajednički faktor (nzd)

nzd(20, 15, 10) = 5 nzd(a5, a2, a3) = a2

Zaključujemo da je ZAJEDNIČKI FAKTOR sva tri člana monom 5a2

20a5 – 15a2 + 10a3 = 5a2 (4a3 – 3 + 2a)

pod b)

kako u eksponentu imamo zbroj treba primijeniti svojstvo množenja potencija jednakih baza tj. primijeniti obrat tog svojstva

an+m = an am

2x+1 = 2x 21 = 2x 2 2x+2 = 2x 22 = 2x 4 2x + 2x+1 + 2x+2 = 2x + 2x 21 + 2x 22 = 2x (1 + 21 + 22) = 2x (1 + 2 + 4) = 2x 5

66..22.. FFAAKKTTOORRIIZZAACCIIJJAA PPRRIIMMJJEENNOOMM SSVVOOJJSSTTAAVVAA ((FFOORRMMUULLAA))

66..22..11.. RRAAZZLLIIKKAA KKVVAADDRRAATTAA vrlo često dani algebarski izraz možemo faktorizirati primjenom formule za RAZLIKU KVADRATA pri tome je najvažnije PREPOZNATI kada treba primijeniti upravo formulu za faktorizaciju razlike kvadrata primjenjujemo je kada:

– je zadani izraz dvočlani (oblika I2 – II2) – dvočlani izraz nema zajedničkog faktora koji bi izlučili



FAKTORIZACIJA RAZLIKE KVADRATA

a2 – b2 = (a – b) (a + b) ILI I2 – II2 = (I – II) (I + II)

[[ PPrriimmjjeerr 1122.. FFaakkttoorriizzaacciijjaa rraazzlliikkee kkvvaaddrraattaa –– llaakkššii pprriimmjjeerr ]]

𝒂) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚: 𝑥2 − 9

𝒃) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 𝑎4 − 81

𝒄) 𝑁𝑎𝑝𝑖š𝑖 𝑢 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑘𝑢 𝑢𝑚𝑛𝑜š𝑘𝑎: (3𝑥 + 2𝑦)2 − 4𝑧2

RJEŠENJE: pod a) kada treba faktorizirati razliku kvadrata najbolje je najprije zadani izraz napisati u obliku (I) 2 – (II)2 kako bi lakše prepoznali prvi i drugi član "bez" kvadrata

x2 – 9 = (x)2 – (3)2 = (x – 3) (x + 3) I = x, II = 3

pod b) najprije napisati u obliku (I)2 – (II)2 da bismo prvi monom tj. a4 prikazali u obliku (I)2 tj. u obliku kvadrata treba primijeniti svojstvo potenciranja potencije

an am = an m a4 = a2 2 = (a2)2

a4 – 81 = (a2)2 – (9)2 = (a2 – 9) (a2 + 9)

I = a2, II = 9 pod c)

najprije napisati u obliku (I)2 – (II)2 pri tome uočiti da je prvi član DVOČLANI IZRAZ

(3x + 2y)2 – 4z2 = (3x + 2y)2 – (2z)2 = (3x + 2y – 2z) (3x + 2y + 2z)

I = 3x + 2y, II = 2z

[[ PPrriimmjjeerr 1133.. FFaakkttoorriizzaacciijjaa rraazzlliikkee kkvvaaddrraattaa –– tteežžii pprriimmjjeerr ]]

𝒂) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 8𝑥2𝑦4 − 18𝑎4𝑏2

𝒃) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 4𝑥2 − (2𝑥 − 3𝑦) 2

𝒄) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 𝑥2𝑚 − 𝑦2𝑛



RJEŠENJE:

pod a) uočiti da koeficijenti 8 i 18 nisu kvadrati prirodnih brojeva najprije treba IZLUČITI ZAJEDNIČKI FAKTOR, a onda faktorizirati dobivenu razliku kvadrata

8x2y4 – 18a4b2 = 2 (4x2y4 – 9a4b2) = 2 [ (2xy2)2 – (3a2b)2 ] = 2 (2xy 2 – 3a2b) (2xy 2 + 3a2b) razlika kvadrata I = 2xy2, II = 3a2b

pod b) najprije napisati u obliku (I)2 – (II)2 pri tome uočiti da je drugi član DVOČLANI IZRAZ zato ćemo morati koristiti "dvostruke zagrade", jer ćemo u zagradi gdje je (I – II) na drugom mjestu imati dvočlani

izraz, pa ćemo zbog minusa ispred zagrade morati svima promijeniti predznak

4x2 – (2x – 3y)2 = (2x)2 – (2x – 3y)2 = (2x – (2x – 3y)) (2x + 2x – 3y) = I = 2x, II = 2x – 3y (I – II) (I + II) = (2x – 2x + 3y) (2x + 2x – 3y) = 3y (4x – 3y) 2x – 2x = 0

pod c) da bismo napisali razliku kvadrata u obliku (I)2 – (II)2 moramo primijeniti svojstvo potenciranje potencije

x2m – y2n = (xm)2 – (yn)2 = (xm – y n) (xm + y n) I = xm, II = yn

66..22..22.. KKVVAADDRRAATT ZZBBRROOJJAA II RRAAZZLLIIKKEE

vrlo često dani algebarski izraz možemo faktorizirati primjenom formule za KVADRAT ZBROJA I

KVADRAT RAZLIKE pri tome je najvažnije PREPOZNATI kada treba primijeniti upravo formulu za faktorizaciju kvadrata

zbroja i razlike primjenjujemo je kada:

– je zadani izraz tročlani (oblika I2 2 I II + II2)

– tročlani izraz nema zajedničkog faktora koji bi izlučili

FAKTORIZACIJA KVADRATA ZBROJA I RAZLIKE

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b) (a + b) ILI I2 + 2III + II2 = (I + II)2 = (I + II) (I + II)

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = (a – b) (a – b) ILI I2 – 2III + II2 = (I – II)2 = (I – II) (I – II)



[[ PPrriimmjjeerr 1144.. IIzzlluuččiivvaannjjee bbrroojjaa ((––11)) ]]

kada neki broj (izraz) MNOŽIMO ILI DIJELIMO BROJEM (–1) u rezultatu ćemo dobiti suprotan broj

(izraz)

IZLUČIVANJE BROJA (–1)

x (–1) = –x –x = –1 x

–x (–1) = x x = –1 (–x)

Tako je primjerice:

–a = –1 a

–x + y = –1 (x – y) provjera: –1 (x – y) = –1 x + (–1) (–y) = –x + y

–a + b – c = –1 (a – b + c)

ovo svojstvo množenja tj. dijeljenja brojem (–1) koristimo pri ZAMJENI ČLANOVA U RAZLICI kako za razliku (oduzimanje) ne vrijedi komutativnost, izlučivanjem faktora (–1) možemo zamijeniti mjesta

članovima u razlici

3 – 5 5 – 3, jer je 3 – 5 = –2, a 5 – 3 = 2 suprotni brojevi Izlučivanjem faktora (–1) dobijemo:

3 – 5 = –1 (–3 + 5) = –1 (5 – 3) = –1 2 = –2

3 – 5 = –1 (5 – 3) = – (5 – 3)

IZLUČIVANJE BROJA (–1) U RAZLICI

(a – b) = –1 (b – a) = – (b – a)

[[ PPrriimmjjeerr 1155.. FFaakkttoorriizzaacciijjaa kkvvaaddrraattaa zzbbrroojjaa ii rraazzlliikkee –– llaakkššii pprriimmjjeerr ]]

𝒂) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 4𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 9𝑏2

𝒃) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 + 𝑦2

𝒄) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 6𝑥 − 𝑥2 − 9

RJEŠENJE: pod a) uočiti da je zadani polinom tročlani izraz što znači da to može biti razvijen kvadrat zbroja ili razlike kako je predznak drugog tj. srednjeg člana pozitivan, znači da je u pitanju razvijen KVADRAT ZBROJA

4a2 + 12ab + 9b2 = ( ____ + ____ )2 = (2a + 3b)2 = (2a + 3b) (2a + 3b) I2 + 2III + II2 treba napraviti provjeru srednjeg člana



pod b)

najprije treba promijeniti REDOSLIJED ČLANOVA primjenom svojstva komutativnosti zbrajanja (zamjenom mjesta pribrojnika zbroj ostaje isti)

–2xy + x2 + y2 = x2 – 2xy + y2

kako je predznak drugog tj. srednjeg člana negativan, znači da je u pitanju razvijen KVADRAT RAZLIKE

x2 – 2xy + y2 = ( ____ – ____ )2 = (x – y)2 = (x – y) (x – y) I2 – 2III+ II2 treba napraviti provjeru srednjeg člana

pod c)

najprije treba promijeniti REDOSLIJED ČLANOVA

6x – x2 – 9 = –x2 + 6x – 9 vidimo da je prvi član negativan, a po formuli za razvijen kvadrat zbroja ili razlike prvi član je uvijek pozitivan u prethodnom primjeru je pokazano da možemo IZLUČITI BROJ (–1) pri čemu ćemo dobiti suprotan broj tj. samo promijenimo predznake članova

–x2 + 6x – 9 = –1 (x2 – 6x + 9)

sada u zagradi imamo razvijen KVADRAT RAZLIKE

–1 (x2 – 6x + 9) = –1 ( ____ – ____ )2 = –1 (x – 3)2 = –1 (x – 3) (x – 3) I2 – 2III + II2

[[ PPrriimmjjeerr 1166.. FFaakkttoorriizzaacciijjaa kkvvaaddrraattaa zzbbrroojjaa ii rraazzlliikkee –– tteežžii pprriimmjjeerr ]]

𝒂) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 25𝑥2 + 1 − 𝑦2 + 10𝑥

𝒃) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 8𝑎3 + 8𝑎2 + 2𝑎

𝒄) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 𝑎4 − 2𝑎2𝑏3 + 𝑏6

𝒅) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 36𝑥5𝑦2 − 96𝑥4𝑦3 + 64𝑥3𝑦4

RJEŠENJE: pod a) uočiti da je zadani polinom četveročlani izraz, a razvijen kvadrat zbroja ili razlike je tročlani izraz treba najprije GRUPIRATI odgovarajuća tri člana koja su kvadrat zbroja ili razlike

Kako je član y2 negativan tj. imamo –y2, taj član NE MOŽE biti član razvijenog kvadrata zbroja ili

razlike, jer bi to bio treći član koji je uvijek pozitivan.



25x2 +1 – y2 + 10x = (25x2 + 10x + 1) – y 2 kvadrat zbroja

sada treba FAKTORIZIRATI dobiveni KVADRAT ZBROJA

(25x2 + 10x + 1) – y2 = ( ____ + ____ )2 – y2 = (5x + 1)2 – y 2 I2 + 2III + II2

još uvijek zadani izraz nije do kraja napisan u obliku umnoška treba uočiti da je dobiveni izraz zapravo složeniji primjer RAZLIKE KVADRATA u kojoj je prvi član dvočlani izraz

(5x + 1)2 – y2 = (5x + 1)2 – (y)2 = (5x + 1 – y) (5x + 1 + y) I = 5x + 1, II = y

pod b)

uočiti da koeficijenti 8 i 2 (koeficijenti uz prvi i treći član) nisu kvadrati prirodnih brojeva najprije

treba IZLUČITI ZAJEDNIČKI FAKTOR, a onda faktorizirati dobiveni kvadrat zbroja ili razlike

8a3 + 8a2 + 2a = 2a (4a2 + 4a + 1)

sada u zagradi imamo razvijen KVADRAT ZBROJA

2a (4a2 + 4a + 1) = 2a ( ____ + ____ )2 = 2a (2a + 1)2 = 2a (2a + 1) (2a + 1) I2 + 2III + II2

pod c)

uočiti da prvi i treći član treba napisati U OBLIKU KVADRATA i to primjenom svojstva potenciranje

potencije

a4 – 2a2b3 + b6 = (a2)2 – 2a2b3 + (b3)2 = ( ____ – ____ )2 = (a2 – b3)2 = (a2 – b3) (a2 – b3) I2 – 2III + II2

pod d)

iako koeficijenti uz prvi i treći član jesu kvadrati prirodnih brojeva, problem je što slovni dio u prvom i trećem članu NE MOŽEMO PRIKAZATI U OBLIKU KVADRATA zato najprije treba IZLUČITI ZAJEDNIČKI

FAKTOR slovnih dijelova

36x5y2 – 96x4y3 + 64x3y4 = x3y 2 (36x2 – 96xy + 64y2)

sada u zagradi imamo razvijen KVADRAT RAZLIKE

x3y2 (36x2 – 96xy + 64y2) = x3y2 ( ____ – ____ )2 = x3y2 (6x – 8y)2 = x3y 2 (6x – 8y) (6x – 8y) I2 – 2III + II2



66..33.. FFAAKKTTOORRIIZZAACCIIJJAA GGRRUUPPIIRRAANNJJEEMM ČČLLAANNOOVVAA

Često imamo algebarske izraze koje ne možemo faktorizirati niti jednim od do sada prikazanih načina (izlučivanjem zajedničkog faktora, primjenom formula), ali je moguće GRUPIRATI ČLANOVE zadanog

izraza u više grupa tako da svaka grupa IMA ZAJEDNIČKI FAKTOR.

Kada se taj zajednički faktor izluči dobije se algebarski izraz koji se može rastaviti na već poznati način.

[[ PPrriimmjjeerr 1177.. GGrruuppiirraannjjee ččllaannoovvaa ppoolliinnoommaa ]]

𝒂) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦

𝒃) 𝑅𝑎𝑠𝑡𝑎𝑣𝑖 𝑛𝑎 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒: 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 9

𝒄) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

𝒅) 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑗: 𝑥9 − 8𝑥 6 − 𝑥 3 + 8

RJEŠENJE: pod a) uočiti da ne postoji zajednički faktor cijelog polinoma tj. svih njegovih članova, ali zato zajednički faktor imaju:

– prva dva člana (zajednički faktor je a) i druga dva člana (zajednički faktor je b) ili – prvi i treći član (zajednički faktor je x) te drugi i četvrti član (zajednički faktor je y)

zato ćemo grupirati članove na jedan od ova dva načina, recimo prva dva člana i druga dva člana

ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by)

sada ćemo IZLUČITI ZAJEDNIČKI FAKTOR IZ SVAKE GRUPE ČLANOVA

(ax + ay) + (bx + by) = a (x + y) + b (x + y)

uočiti da prvi i drugi član imaju zajednički faktor (x + y), pa sada IZLUČIMO ZAJEDNIČKI FAKTOR dobivenog dvočlanog izraza

a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

pod b)

i u ovom primjeru grupiramo prva dva člana i druga dva člana

x3 – 3x2 + 3x – 9 = (x3 – 3x2) + (3x – 9)



sada IZLUČIMO ZAJEDNIČKI FAKTOR IZ SVAKE GRUPE ČLANOVA

(x3 – 3x2) + (3x – 9) = x2 (x – 3) + 3 (x – 3)

na kraju IZLUČIMO ZAJEDNIČKI FAKTOR dobivenog dvočlanog izraza

x2 (x – 3) + 3 (x – 3) = (x – 3) (x2 + 3)

pod c)

u ovom primjeru bi najbolje bilo grupirati prvi i treći te drugi i četvrti član

a + b + ac + bc = (a + ac) + (b + bc)

sada IZLUČIMO ZAJEDNIČKI FAKTOR IZ SVAKE GRUPE ČLANOVA

(a + ac) + (b + bc) = a (1 + c) + b (1 + c)


a (1 + c) + b (1 + c) = (1 + c) (a + b)

pod d)

u ovom primjeru bi najbolje bilo grupirati prvi i treći te drugi i četvrti član

x9 – 8x6 – x3 + 8 = (x9 – x3) + (–8x6 + 8)

ako je u nekoj grupi prvi član grupe negativan onda je najbolje iz te grupe IZLUČITI ZAJEDNIČKI FAKTOR S NEGATIVNIM PREDZNAKOM

x9 = x3 x6 množenje potencija jednakih baza (x9 – x3) + (–8x6 + 8) = x3 (x6 – 1) – 8 (x6 – 1) kad izlučimo negativan faktor promijene se predznaci


x3 (x6 – 1) – 8 (x6 – 1) = (x6 – 1) (x3 – 8)



{{ ZZaaddaaccii zzaa vvjjeežžbbuu }}

U sljedećim zadacima su izmiješani RAZLIČITI POSTUPCI FAKTORIZACIJE: izlučivanje zajedničkog faktora, primjena formula i grupiranje članova.

U nekim zadacima će trebati primijeniti više postupaka faktorizacije – primjerice, najprije izlučiti

zajednički faktor, a zatim primijeniti odgovarajuću formulu ili grupirati članove.

Pri tome je VAŽNO PREPOZNATI O KOJI POSTUPAK FAKTORIZACIJE treba primijeniti.

Ako imamo tročlani izraz tada se radi ili o izlučivanju zajedničkog faktora ili o kvadratu zbroja (razlike). Ako se radi o kvadratu zbroja (razlike) tada:

– eventualno prije treba izlučiti zajednički faktor ili broj (–1) – ili treba najprije promijeniti redoslijed članova u zadanom polinomu

Ako imamo dvočlani izraz tada se radi ili o izlučivanju zajedničkog faktora ili o razlici kvadrata. Ako se radi o razlici kvadrata tada:

– eventualno prije treba izlučiti zajednički faktor ili broj (–1) – paziti kada je jedan od članova razlike kvadrata sam za sebe dvočlani izraz

Ako imamo višečlani izraz (primjerice četveročlani) tada treba

– ili izlučiti zajednički faktor svih članova – ili grupirati tri člana da dobijemo kvadrat zbroja (razlike), pa nakon faktorizacije kvadrata zbroja

(razlike) zajedno s četvrtim članom dobijemo razliku kvadrata koju na kraju treba faktorizirati – ili treba grupirati dva po dva člana i izlučiti grupni zajednički faktor

9. ZADATAK Faktoriziraj.

𝒂) 6𝑎𝑏 − 4𝑎𝑐

𝒃) 32𝑎𝑏3𝑐5 − 16𝑎5𝑏2𝑐4 + 24𝑎3𝑏5 𝑐2

𝒄) 5𝑥 + 5𝑥 +1 + 5𝑥+3 najprije primijeniti pravilo množenja potencija jednakih baza da prikažemo 5x+1 i 5x+3 kao umnožak, pa izlučiti zajednički faktor

𝒅) 9𝑥 2 − 𝑦2

𝒆) 𝑥4 − 𝑦4

𝒇) 49𝑎2𝑏2 − 42𝑎𝑏 + 9

𝒈) 𝑥3 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 12



10. ZADATAK Rastavi na faktore.

𝒂) 𝑎6 − 2𝑎4 + 𝑎2

𝒃) (2𝑥𝑦 − 9𝑧)2 − 9𝑥 2𝑦2 razlika kvadrata u kojoj je prvi član dvočlani izraz

𝒄) 9𝑎2𝑥 5

5−

3𝑎3 𝑥 2

10+

27𝑎4𝑥 5

25+

18𝑎3𝑥 4

20

sjeti se da izraz 9𝑎2 𝑥5

5 možemo pisati kao

9

5𝑎2𝑥 5

odrediti zajednički faktor koeficijenata (razlomaka) i slovnih dijelova i izlučiti zajednički faktor

𝒅) 𝑥5 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 1 grupiranje članova, pri čemu je zajednički faktor grupe (x2 – 1) samo broj 1, pa izlučimo broj 1 (neutralni element za …)

𝒆) 16 − 24𝑦 + 9𝑦2

𝒇) 2𝑥2 − 8 izlučiti zajednički faktor, pa dobijemo razliku kvadrata koju treba faktorizirati

𝒈) − 𝑎2 − 2𝑦 − 1 prvo izlučiti broj (–1), pa dobijemo kvadrat zbroja koji treba faktorizirati

𝒉) 9 − 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 najprije grupirati tri člana koja bi mogla biti kvadrat zbroja (razlike)

pri čemu treba izlučiti broj (–1), nakon toga faktoriziramo dobiveni kvadrat zbroja koji zajedno s četvrtim članom daje razliku kvadrata

koju na kraju treba faktorizirati (VIDI riješeni primjer)

𝒊) (2𝑥𝑦 − 9𝑧)2 − (2𝑥𝑦 + 9𝑧)2 ovo je razlika kvadrata u kojoj su i prvi i drugi član dvočlani izrazi, zato treba paziti na dvostruke zagrade

(VIDI riješeni primjer u kojem je 2. član dvočlani)

𝒋) 1 − 81𝑏4


algebarski izrazi (3. dio) · – izlučivanjem zajedničkog faktora – primjenom svojstava –...

Documents