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Alessandro Musesti - Universita Cattolica del Sacro Cuore

Un teorema e per sempre

a cura di Alessandro Musesti

Universita Cattolica del Sacro Cuore, Brescia

Breaking news

Il 26 dicembre 2017 e stato scoperto il piu grande numero primoconosciuto:

277 232 917 − 1

Tale numero ha 23 249 425 cifre:

46733318335923109998833558556111552125132110281771

(23 249 325 cifre)

79894627999939614659217371136582730618069762179071

Il precedente record 274 207 281 − 1 aveva 22 338 618 cifre (gennaio 2016)

“I promessi sposi” ha circa 1 310 000 caratteri. . .

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277 232 917 − 1

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(23 249 325 cifre)

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(23 249 325 cifre)

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Numeri primi

Troveremo mai il numero primo piu grande di tutti? Quello definitivo?

La risposta, naturalmente, e NO! I numeri primi sono infiniti.

Ma come facciamo ad esserne certi?

Lo possiamo dimostrare! Euclide lo ha fatto prima di noi, 2300 anni fa (eprobabilmente non fu il primo).

Ma noi possiamo seguire e capire la sua dimostrazione, o farne un’altra, sene siamo capaci.

Una volta che una proprieta e dimostrata, se il ragionamento e corretto ele ipotesi di partenza sono chiare, lo restera per sempre.

Una dimostrazione dura per sempre, ben piu di un diamante!

Numeri primi

La dimostrazione di Euclide

Teorema

I numeri primi sono infiniti.

Dimostrazione

Prendiamo i numeri primi p1, p2, . . . , pn e formiamo il numero

1 + p1 · p2 · · · pn

Tale numero non e divisibile per p1, ne per p2, . . . ne per pn, perche dasempre resto 1.

Se lo fattorizziamo, troveremo quindi almeno un numero primo nuovo.

Semplice, vero? Eppure questo semplice ragionamento ci garantisce che lacaccia ai numeri primi grandi non finira mai, almeno fino a quando ci saraqualche essere interessato a trovarli.I moderni metodi crittografici si basano proprio su questo.

Teorema

Dimostrazione

1 + p1 · p2 · · · pn

Teorema

Dimostrazione

1 + p1 · p2 · · · pn

Teorema

Dimostrazione

1 + p1 · p2 · · · pn

Teorema

Dimostrazione

1 + p1 · p2 · · · pn

Semplice, vero? Eppure questo semplice ragionamento ci garantisce che lacaccia ai numeri primi grandi non finira mai, almeno fino a quando ci saraqualche essere interessato a trovarli.

I moderni metodi crittografici si basano proprio su questo.

Teorema

Dimostrazione

1 + p1 · p2 · · · pn

Il teorema di Pitagora

Teorema

Per un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c vale l’uguaglianza

a2 + b2 = c2.

Dimostrazione

(a + b)2 = 4 · 1

2ab + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Teorema

a2 + b2 = c2.

Dimostrazione

(a + b)2 = 4 · 1

2ab + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Teorema

a2 + b2 = c2.

Dimostrazione

(a + b)2 = 4 · 1

2ab + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Teorema

a2 + b2 = c2.

Dimostrazione

(a + b)2 = 4 · 1

2ab + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Teorema

a2 + b2 = c2.

Dimostrazione

(a + b)2 = 4 · 1

2ab + c2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

a2 + b2 = c2

Il sito http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ riporta 115dimostrazioni diverse del Teorema di Pitagora!

Il libro del 1927The Pythagorean Proposition, di Elisha S. Loomis (1852–1940)presenta 367 dimostrazioni diverse del teorema!

E senza dubbio uno dei teoremi piu apprezzati della storia dellaMatematica, e ammette anche tante generalizzazioni: ad esempio, e veroanche il viceversa:

Teorema

Se per un triangolo di lati a, b, c vale l’uguaglianza

a2 + b2 = c2,

allora il triangolo e rettangolo, con l’angolo retto tra a e b.

Ed e valido per poligoni qualsiasi, basta che siano simili.

Teorema

a2 + b2 = c2,

Teorema

a2 + b2 = c2,

Il teorema di Pitagora generalizzato

Euclide, nella Proposizione VI.31, ha dimostrato anche questo teorema piugenerale.

L’ultimo teorema di Fermat

Sappiamo che esistono le terne pitagoriche, terne di numeri interi chesoddisfano il teorema di Pitagora, ad esempio

32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132

Pierre de Fermat nel 1637 affermo che queste terne di numeri interi nonesistono per potenze superiori, cioe non esistono numeri interi per cui

an + bn = cn, n ≥ 3

Purtroppo Fermat non scrisse la dimostrazione (che diceva pero di avere).

Nonostante Fermat fosse un matematico di altissimo livello, in mancanzadi una dimostrazione non gli si poteva credere sulla parola. . .

Dopo secoli di tentativi Andrew Wiles, matematico britannico, ne pubblicola prima dimostrazione nel 1995, oltre 350 anni dopo la sua formulazione.

32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132

an + bn = cn, n ≥ 3

32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132

an + bn = cn, n ≥ 3

32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132

an + bn = cn, n ≥ 3

32 + 42 = 52, 52 + 122 = 132

an + bn = cn, n ≥ 3

Nascita di un teorema: la congettura

Quasi sempre un teorema nasce da una congettura, ovvero unaproposizione che si ritiene possa essere vera, ma che ancora non e statadimostrata.

Quello che abbiamo chiamato Ultimo teorema di Fermat, prima del 1995avrebbe dovuto chiamarsi congettura di Fermat poiche, anche se siriteneva fosse vero, non ne esisteva dimostrazione.

Esistono tuttora notevoli congetture, in attesa di una dimostrazione: tra lepiu famose troviamo i sette Millennium Problems, del Clay Institute,ognuno dotato di un premio di un milione di dollari.

La congettura di Goldbach

Una congettura molto facile da enunciare e la seguente:

ogni numero pari piu grande di 2 e la somma di due numeri primi.

Essa e stata formulata in un carteggio tra Christian Goldbach e il grandeLeonhard Euler nel 1742. Pur nella sua semplicita, tale proposizione non estata tuttora ne dimostrata ne falsificata.

Nel 2013, il matematico di origine peruviana Harald Helfgott ha annunciatola dimostrazione della cosiddetta congettura debole di Goldbach, secondocui ogni numero dispari piu grande di 5 e la somma di tre numeri primi.

La sua dimostrazione pero e ancora allo studio degli esperti che devonovalidarla.

Esistono naturalmente delle grosse evidenze numeriche della congettura diGoldbach: con l’aiuto dei calcolatori elettronici la congettura e stataverificata per tutti i numeri pari fino a

4 · 1018 = 4 000 000 000 000 000 000

(quattro miliardi di miliardi).

Ma finche non ne verra data una dimostrazione, non potremo mai sapereche l’affermazione e vera per tutti i numeri pari, neppure con l’uso deicomputer piu potenti.

E pensare che per dimostrare che Goldbach si sbagliava basterebbe trovareun solo controesempio. . .

4 · 1018 = 4 000 000 000 000 000 000

Attenzione alle cattive congetture!

Non tutte le congetture formulate nella storia si sono rivelate vere. Tra lepiu famose c’e la congettura sui numeri primi di Fermat:

22n + 1 e un numero primo

Pierre de Fermat enuncio la congettura in base all’osservazione che

220+ 1 = 3

221+ 1 = 5

222+ 1 = 17

223+ 1 = 257

224+ 1 = 65 537

che sono tutti numeri primi. Il numero successivo era troppo grande peressere trattato da Fermat.

Attenzione alle cattive congetture!

Non tutte le congetture formulate nella storia si sono rivelate vere. Tra lepiu famose c’e la congettura sui numeri primi di Fermat:

22n + 1 e un numero primo

Pierre de Fermat enuncio la congettura in base all’osservazione che

220+ 1 = 3

221+ 1 = 5

222+ 1 = 17

223+ 1 = 257

224+ 1 = 65 537

che sono tutti numeri primi. Il numero successivo era troppo grande peressere trattato da Fermat.

I primi di Fermat

Ma un secolo dopo, ancora Euler, che era un abilissimo calcolatore,dimostro che

225+ 1 = 641 · 6700417

falsificando cosı la congettura di Fermat.

La cosa buffa e che da allora non sono piu stati scoperti altri numeri primidi Fermat, oltre ai primi cinque gia noti, ed anzi oggi si e piu orientati apensare che non ce ne siano altri o che, se ce ne sono, debbano comunqueessere in numero finito.

La congettura di Fermat si e dunque rivelata grossolanamente falsa:diffidate dal trarre conclusioni troppo frettolose!

I primi di Fermat

225+ 1 = 641 · 6700417

I primi di Fermat

225+ 1 = 641 · 6700417

Un’altra congettura: l’ipotesi cinese

Congettura

Un numero naturale n > 2 e primo se e solo se il resto della divisione

2n : n

e esattamente 2.

Verifica - I3 primo 24 non primo 05 primo 26 non primo 47 primo 28 non primo 09 non primo 8

10 non primo 411 primo 212 non primo 413 primo 214 non primo 415 non primo 816 non primo 017 primo 218 non primo 1019 primo 220 non primo 1621 non primo 822 non primo 423 primo 224 non primo 1625 non primo 726 non primo 427 non primo 26

28 non primo 1629 primo 230 non primo 431 primo 232 non primo 033 non primo 834 non primo 435 non primo 1836 non primo 2837 primo 238 non primo 439 non primo 840 non primo 1641 primo 242 non primo 2243 primo 244 non primo 1645 non primo 1746 non primo 447 primo 248 non primo 1649 non primo 3050 non primo 2451 non primo 852 non primo 16

53 primo 254 non primo 2855 non primo 4356 non primo 3257 non primo 858 non primo 459 primo 260 non primo 1661 primo 262 non primo 463 non primo 864 non primo 065 non primo 3266 non primo 6467 primo 268 non primo 1669 non primo 870 non primo 4471 primo 272 non primo 6473 primo 274 non primo 475 non primo 6876 non primo 1677 non primo 18

Verifica - II78 non primo 6479 primo 280 non primo 1681 non primo 8082 non primo 483 primo 284 non primo 6485 non primo 3286 non primo 487 non primo 888 non primo 8089 primo 290 non primo 6491 non primo 3792 non primo 1693 non primo 894 non primo 495 non primo 1396 non primo 6497 primo 298 non primo 1899 non primo 17

100 non primo 76101 primo 2102 non primo 64

103 primo 2104 non primo 48105 non primo 92106 non primo 4107 primo 2108 non primo 28109 primo 2110 non primo 34111 non primo 8112 non primo 16113 primo 2114 non primo 64115 non primo 78116 non primo 16117 non primo 44118 non primo 4119 non primo 60120 non primo 16121 non primo 112122 non primo 4123 non primo 8124 non primo 16125 non primo 57126 non primo 64127 primo 2

128 non primo 0129 non primo 8130 non primo 114131 primo 2132 non primo 4133 non primo 128134 non primo 4135 non primo 53136 non primo 120137 primo 2138 non primo 64139 primo 2140 non primo 116141 non primo 8142 non primo 4143 non primo 85144 non primo 64145 non primo 32146 non primo 4147 non primo 50148 non primo 16149 primo 2150 non primo 124151 primo 2152 non primo 104

Verifica - III153 non primo 53154 non primo 16155 non primo 63156 non primo 40157 primo 2158 non primo 4159 non primo 8160 non primo 96161 non primo 151162 non primo 82163 primo 2164 non primo 16165 non primo 32166 non primo 4167 primo 2168 non primo 64169 non primo 80170 non primo 4171 non primo 170172 non primo 16173 primo 2174 non primo 64175 non primo 93176 non primo 64177 non primo 8

178 non primo 4179 primo 2180 non primo 136181 primo 2182 non primo 4183 non primo 8184 non primo 72185 non primo 32186 non primo 64187 non primo 161188 non primo 16189 non primo 134190 non primo 74191 primo 2192 non primo 64193 primo 2194 non primo 4195 non primo 8196 non primo 128197 primo 2198 non primo 190199 primo 2200 non primo 176201 non primo 8202 non primo 4

203 non primo 186204 non primo 16205 non primo 32206 non primo 4207 non primo 98208 non primo 16209 non primo 72210 non primo 64211 primo 2212 non primo 16213 non primo 8214 non primo 4215 non primo 118216 non primo 136217 non primo 128218 non primo 4219 non primo 8220 non primo 56221 non primo 32222 non primo 64223 primo 2224 non primo 32225 non primo 107226 non primo 4227 primo 2

Verifica - IV228 non primo 220229 primo 2230 non primo 104231 non primo 134232 non primo 24233 primo 2234 non primo 64235 non primo 173236 non primo 16237 non primo 8238 non primo 30239 primo 2240 non primo 16241 primo 2242 non primo 202243 non primo 242244 non primo 16245 non primo 67246 non primo 64247 non primo 193248 non primo 8249 non primo 8250 non primo 124251 primo 2252 non primo 64

253 non primo 162254 non primo 4255 non primo 128256 non primo 0257 primo 2258 non primo 64259 non primo 128260 non primo 256261 non primo 251262 non primo 4263 primo 2264 non primo 16265 non primo 32266 non primo 158267 non primo 8268 non primo 16269 primo 2270 non primo 244271 primo 2272 non primo 256273 non primo 239274 non primo 4275 non primo 43276 non primo 232277 primo 2

278 non primo 4279 non primo 233280 non primo 16281 primo 2282 non primo 64283 primo 2284 non primo 16285 non primo 107286 non primo 218287 non primo 46288 non primo 64289 non primo 155290 non primo 154291 non primo 8292 non primo 16293 primo 2294 non primo 148295 non primo 268296 non primo 256297 non primo 161298 non primo 4299 non primo 280300 non primo 76301 non primo 128302 non primo 4

Verifica - V303 non primo 8304 non primo 176305 non primo 32306 non primo 208307 primo 2308 non primo 256309 non primo 8310 non primo 94311 primo 2312 non primo 40313 primo 2314 non primo 4315 non primo 8316 non primo 16317 primo 2318 non primo 64319 non primo 105320 non primo 256321 non primo 8322 non primo 100323 non primo 314324 non primo 244325 non primo 132326 non primo 4327 non primo 8

328 non primo 256329 non primo 81330 non primo 34331 primo 2332 non primo 16333 non primo 179334 non primo 4335 non primo 233336 non primo 64337 primo 2338 non primo 316339 non primo 8340 non primo 16

341 = 11 × 31 non primo 2

La congettura e falsa!

Nei primi 100000numeri ce ne sono 79falsi (e 9592 primi)

341 = 11 × 31 non primo 2

Attenzione alle dimostrazioni

Una citazione

Scopo della scienza non e tanto quello di aprire la portaall’infinito sapere, quanto quello di porre una barriera all’infinitoerrore.

B. Brecht, Vita di Galileo

Un’applicazione alla crittografia

Condivisione di una chiave: l’esempio con i colori

Alice e Bob vogliono poter scambiare messaggi senza che altri(rappresentati da Eve, il malvagio) li capiscano. Per fare questo devonoentrambi avere una “chiave” che apra lo stesso lucchetto. Come possonofare a condividere questa chiave?

Vediamo un esempio, fatto coi colori, che si basa su un colore segreto (lachiave privata) e un colore noto a tutti (la chiave pubblica). Entrambigiungono a condividere un colore senza che Eve ne sia a conoscenza.

E facile mescolare i colori,ma e difficile capire qualicolori formano una miscela.

Come fare nella realta?

La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale e unafunzione facile da calcolare ma difficile da invertire.

Esempio importante: e facile (magari con una calcolatrice!) calcolare

59× 31 = 1829

ma e mooolto piu difficile (perche ci vuole tanto tempo!) scoprire che1829 e composto da 59 e 31.

Provate a fattorizzare il numero 390900163. . .E invece verificate, con la calcolatrice, quanto fa

14087× 27749

Nelle attuali applicazioni informatiche si usano numeri di 1024 bit, chesuperano le 300 cifre decimali, e addirittura di 2048 bit!

La matematica ci viene in aiuto: una funzione unidirezionale e unafunzione facile da calcolare ma difficile da invertire.Esempio importante: e facile (magari con una calcolatrice!) calcolare

59× 31 = 1829

14087× 27749

59× 31 = 1829

14087× 27749

59× 31 = 1829

Provate a fattorizzare il numero 390900163. . .

E invece verificate, con la calcolatrice, quanto fa

14087× 27749

59× 31 = 1829

14087× 27749

59× 31 = 1829

14087× 27749

RSA Factoring Challenge

Nel 1991 fu lanciato un concorso che chiedeva di fattorizzare alcuni numerigrandi, per stimolare la ricerca sulla sicurezza dell’algoritmo RSA, che sibasa sulla fattorizzazione. Nel 2007 il concorso si e ufficialmente chiuso,ma tuttora alcuni gruppi stanno tentando di risolvere alcune delle sfideproposte.Nel settembre del 2013 e stato fattorizzato il numero RSA-210, compostoda 210 cifre decimali!

2452466449002782119765176635730880184670267876783327597434144517150616

0083003858721695220839933207154910362682719167986407977672324300560059

2035631246561218465817904100131859299619933817012149335034875870551067 =

43595856832594079179995196538721440638547091026522019

6318705482144524085345275999740244625255428455944579 ×56254576172688410375627700730444748174387694400751054

5104946851094548396577479473472146228550799322939273

Un attrezzo matematico: le moltiplicazioni e le potenze“sull’orologio”

Se un orologio segna le 9 e si aggiungono 5 ore, che ora segnera?

@10²@10·@10�@10�@10�@10Ovviamente, le 2.Se l’orologio segna le 5 si “moltiplica” quest’ora per 8, che ora risultera?

�@10²@10�@10@10�@10�@10·@10�@10Le 4, poiche 5× 8 = 40 = 12× 3 + 4. Quindi la lancetta delle ore fa tregiri e finisce sulle 4.Nell’aritmetica “dell’orologio” non interessa il numero dei giri, ma soloquello che avanza alla fine (il resto della divisione).Questa si chiama aritmetica modulare.

@10²@10·@10�@10�@10�@10Ovviamente, le 2.

Se l’orologio segna le 5 si “moltiplica” quest’ora per 8, che ora risultera?

�@10²@10�@10@10�@10�@10·@10�@10Le 4, poiche 5× 8 = 40 = 12× 3 + 4. Quindi la lancetta delle ore fa tregiri e finisce sulle 4.

Nell’aritmetica “dell’orologio” non interessa il numero dei giri, ma soloquello che avanza alla fine (il resto della divisione).Questa si chiama aritmetica modulare.

�@10²@10�@10@10�@10�@10·@10�@10Le 4, poiche 5× 8 = 40 = 12× 3 + 4. Quindi la lancetta delle ore fa tregiri e finisce sulle 4.Nell’aritmetica “dell’orologio” non interessa il numero dei giri, ma soloquello che avanza alla fine (il resto della divisione).

Questa si chiama aritmetica modulare.

L’aritmetica modulare con numeri primi

Risulta particolarmente utile usare “orologi” con p ore, dove p e unnumero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate colsuffisso “(modp)” (si legge modulo p).

Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna teneresolo il resto della divisione per p.

Ad esempio, scegliendo p = 11, avremo

7 + 9 = 5(mod11), 5× 8 = 7(mod11), 26 = 9(mod11)

L’insieme dei numeri {0, 1, . . . , p − 1} dotato di queste operazioniparticolari si denota con Zp.

Risulta particolarmente utile usare “orologi” con p ore, dove p e unnumero primo. Le operazioni fatte su questi orologi verranno indicate colsuffisso “(modp)” (si legge modulo p).Scrivere (modp) significa che delle operazioni che si fanno bisogna teneresolo il resto della divisione per p.

7 + 9 = 5(mod11), 5× 8 = 7(mod11), 26 = 9(mod11)

7 + 9 = 5(mod11),

5× 8 = 7(mod11), 26 = 9(mod11)

7 + 9 = 5(mod11), 5× 8 = 7(mod11),

26 = 9(mod11)

7 + 9 = 5(mod11), 5× 8 = 7(mod11), 26 = 9(mod11)

Generatori di Zp

Un generatore g in Zp e un numero piu piccolo di p tale che calcolando

g , g2, g3, . . . , gp−2, gp−1(modp)

si esauriscano tutti i numeri tra 1 e p − 1. Ad esempio, si puo verificareche 2 e un generatore per p = 11, poiche

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n(mod11) 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1

Se p e primo, esiste sempre almeno un generatore in Zp, anche sepotrebbe non essere semplice trovarlo.

Generatori di Zp

Un generatore g in Zp e un numero piu piccolo di p tale che calcolando

g , g2, g3, . . . , gp−2, gp−1(modp)

si esauriscano tutti i numeri tra 1 e p − 1. Ad esempio, si puo verificareche 2 e un generatore per p = 11, poiche

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n(mod11) 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1

Se p e primo, esiste sempre almeno un generatore in Zp, anche sepotrebbe non essere semplice trovarlo.

Lo scambio di chiavi Diffie–Hellman–Merkle (1976)

E un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che sololoro due lo conoscano. Questo numero potra poi servire a scambiarsimessaggi in codice.

E basato sull’elevamento a potenza e sull’aritmetica dell’orologio. Siprende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z17.Ad esempio, si verifica che 6 e un generatore per p = 17, poiche

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6n 6 2 12 4 7 8 14 16 11 15 5 13 10 9 3 1

Questi numeri p e g sono noti a tutti e decisi una volta per tutte. Nellapratica p e un numero molto grande (1024 bit), mentre g puo ancheessere piccolo.

Poi si esegue la procedura seguente:

E un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che sololoro due lo conoscano. Questo numero potra poi servire a scambiarsimessaggi in codice.E basato sull’elevamento a potenza e sull’aritmetica dell’orologio. Siprende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z17.

Ad esempio, si verifica che 6 e un generatore per p = 17, poiche

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6n 6 2 12 4 7 8 14 16 11 15 5 13 10 9 3 1

E un metodo per condividere un numero tra due persone, in modo che sololoro due lo conoscano. Questo numero potra poi servire a scambiarsimessaggi in codice.E basato sull’elevamento a potenza e sull’aritmetica dell’orologio. Siprende un numero primo p, ad esempio p = 17, e un generatore g di Z17.Ad esempio, si verifica che 6 e un generatore per p = 17, poiche

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6n 6 2 12 4 7 8 14 16 11 15 5 13 10 9 3 1

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6n 6 2 12 4 7 8 14 16 11 15 5 13 10 9 3 1

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6n 6 2 12 4 7 8 14 16 11 15 5 13 10 9 3 1

1) Alice sceglie un numero a caso a tra 1 e p − 1, e lo stesso fa Bob conun numero b. Questi numeri sono le chiavi private di Alice e Bob, evanno tenuti segreti.Nel nostro esempio, scegliamo a = 10 e b = 14.

2) Alice calcola il numero A = ga(modp) = 610(mod17) =

e Bobcalcola il numero B = gb(modp) = 614(mod17) = 9.I numeri A e B sono le chiavi pubbliche e vengono divulgati. Chiunque lipuo conoscere.

3) Infine Alice prende la chiave pubblica di Bob, B = 9, e calcolaBa(modp) = 910(mod17) = 13.Bob prende la chiave pubblica di Alice, A = 15, e calcolaAb(modp) = 1514(mod17) = 13.

E un caso che sia risultato lo stesso numero? Certamente no: si hasempre Ab = (ga)b = gab = (gb)a = Ba(modp).Quindi Alice e Bob hanno una chiave in comune: il numero 13 .