(alcune) isometrie · 2014-09-18 · delle ordinate è una isometria siano e due punti e siano e i...
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(alcune)
ISOMETRIE
(alcune)
ISOMETRIE
ISOMETRIE
TRASLAZIONI
SIMMETRIE
(alcune)
ISOMETRIE
ISOMETRIE
TRASLAZIONI
SIMMETRIE
(alcune)
ISOMETRIE
ISOMETRIE
TRASLAZIONI
SIMMETRIE
Rispettoall'asse delle
ascisse
Rispettoall'asse delle
ordinate
(alcune)
ISOMETRIE
ISOMETRIE
TRASLAZIONI
SIMMETRIE
Rispettoall'asse delle
ascisse
Rispettoall'asse delle
ordinate
Rispettoal centro degli
assi
(alcune)
ISOMETRIE
ISOMETRIE
TRASLAZIONI
SIMMETRIE
Rispettoall'asse delle
ascisse
Rispettoall'asse delle
ordinate
Rispettoal centro degli
assi
ASSIA
LI
SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ASCISSE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.P x , y P
x
y
SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ASCISSE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.
Si dicesimmetrico di
rispetto all'assedelle ascisse
il punto tale che sia:
P x , y
P' x ' , y '
P
P
x '=y '=
x
y
P'
SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ASCISSE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.
Si dicesimmetrico di
rispetto all'assedelle ascisse
il punto tale che sia:
P x , y
P' x ' , y '
P
P
x '= xy '=− y
x= x '
y
y ' P'
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto
all'asse delle ascisse.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ascisse
conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto
all'asse delle ascisse.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ascisse
conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'
P' Q'
P xP , yP Q xQ , yQ
OQ
P
P Q
P' xP ,− yP Q xQ ,− yQ
x '= xy '=− y
x
y
P'
Q'
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto
all'asse delle ascisse.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ascisse
conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'
P' Q'
P xP , yP Q xQ , yQ
OQ
P
P Q
P' xP ,− yP Q' xQ ,− yQ
x '= xy '=− y
x
y
P'
Q'
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP Q' xQ ,− yQ
tesi
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
tesi
Q' xQ ,− yQ
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ
2
tesi
Q' xQ ,− yQ
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
tesi
P'Q'2 = x P− xQ2− yP yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ
2
Q' xQ ,− yQ
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
tesi
P'Q'2 = x P− xQ2− yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2− yP yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ
2
Q' xQ ,− yQ
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
tesi
P'Q'2 = x P− xQ2−12 yP− yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2− yP yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ
2
Q' xQ ,− yQ
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2 yP− yQ
2 = PQ2
tesi
P'Q'2 = x P− xQ2−12 yP− yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2− yP yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ
2
Q' xQ ,− yQ
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' xP ,− yP
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2 yP− yQ
2 = PQ2
tesi
QED
P'Q'2 = x P− xQ2−12 yP− yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2− yP yQ
2P'Q'2 = x P− xQ2− yP−− yQ
2
Q' xQ ,− yQ
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)
x
y
O
R
Q
P P 1,3 Q3,1 R 2,4
Trovare i vertici del triangolosimmetrico di rispetto all'asse delle ascisse.
I due triangoli hanno lo stesso perimetro?
E la stessa area?
PQR
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)
x '= xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
x
y
O
R
Q
P
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)
x '= xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4
x
y
O
R
Q
P
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)
x '= xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4
R'
Q'
P'
x
y
O
R
Q
P
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)
x '= xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ascisse conserva le lunghezze dei lati.
P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4
R'
Q'
P'
x
y
O
R
Q
P
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ascisse)
x '= xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ascisse conserva le lunghezze dei lati.
Hanno anche la stessa area perché triangoli con i lati congruenti sono congruenti.
P' 1,−3 Q' 3,−1 R' 2,−4
R'
Q'
P'
x
y
O
R
Q
P
SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ORDINATE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.P x , y
P
x
y
SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ORDINATE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.
Si dicesimmetrico di
rispetto all'assedelle ordinate
il punto tale che sia:
P x , y
P' x ' , y '
P
P
x '=y '=
P'
x
y
SIMMETRIA RISPETTOALL'ASSE DELLE ORDINATE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.
Si dicesimmetrico di
rispetto all'assedelle ordinate
il punto tale che sia:
P x , y
P' x ' , y '
P
P
x '=−xy '= y
P'
x ' x
y= y '
La simmetria rispetto all'assedelle ordinate è una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto
all'asse delle ordinate.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ordinateconserva le distanze, cioè che
PQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
La simmetria rispetto all'assedelle ordinate è una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto
all'asse delle ordinate.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ordinateconserva le distanze, cioè che
PQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
P xP , yP Q xQ , yQ
P' −xP , yP Q' −xQ , yQ
x '=−xy '= y
x
P'
Q'
La simmetria rispetto all'assedelle ordinate è una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici rispetto
all'asse delle ordinate.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'asse delle ordinateconserva le distanze, cioè che
PQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
P xP , yP Q xQ , yQ
P' −xP , yP Q' −xQ , yQ
x '=−xy '= y
x
P'
Q'
La simmetria rispetto all'assedelle ascisse è una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' −xP , yP Q' −xQ , yQ
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2 yP− yQ
2 = PQ2
tesi
QED
P'Q'2 = −12 xP− xQ2 yP− yQ
2P'Q'2 = − xP− xQ2 yP− yQ
2
P'Q'2 = −xPxQ2 yP− yQ
2P'Q'2 = −xP−−xQ2 yP− yQ
2
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)
x
y
O
R
Q
P P 1,3 Q3,1 R 2,4
Trovare i vertici del triangolosimmetrico di rispetto all'asse delle ordinate.
I due triangoli hanno lo stesso perimetro?
E la stessa area?
PQR
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '= y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '= y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '= y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4
R'
Q'
P'
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '= y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4
I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ordinate conserva le lunghezze dei lati.
R'
Q'
P'
ESEMPIO(simmetria rispetto all'asse delle ordinate)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '= y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,3 Q' −3,1 R' −2,4
I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'asse delle ordinate conserva le lunghezze dei lati.
Hanno anche la stessa area perché triangoli con i lati congruenti sono congruenti.
R'
Q'
P'
SIMMETRIA RISPETTO ALL'ORIGINE
x
y
O
P
x
y DEFINIZIONE
Sia un punto.P x , y
SIMMETRIA RISPETTO ALL'ORIGINE
x
y
O
DEFINIZIONE
Sia un punto.
Si dicesimmetrico di rispetto all'origineil punto
tale che sia:
P x , y
P' x ' , y '
P
x '=y '=P'
x '
y '
P
x
y
SIMMETRIA RISPETTO ALL'ORIGINE
x
y
O
P'
x '
y '
P
x
y DEFINIZIONE
Sia un punto.
Si dicesimmetrico di rispetto all'origineil punto
tale che sia:
P x , y
P' x ' , y '
P
x '=−xy '=− y
La simmetria rispetto all'origineè una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici
rispetto all'origine.
Dimostriamo che la simmetriarispetto all'origine
conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
La simmetria rispetto all'origineè una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici
rispetto all'origine.
Dimostriamo che la simmetriarispetto allorigine
conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
P xP , yP Q xQ , yQ
P' −xP ,− yP Q' −xQ ,− yQ
x '=−xy '=− y
P'
Q'
La simmetria rispetto all'origineè una isometria
Siano e due punti e siano e i rispettivi simmetrici
rispetto all'origine.
Dimostriamo che la simmetriarispetto allorigine
conserva le distanze, cioè chePQ = P'Q'
P' Q'
OQ
P
P Q
x
y
P xP , yP Q xQ , yQ
P' −xP ,− yP Q' −xQ ,− yQ
x '=−xy '=− y
P'
Q'
La simmetria rispetto all'origineè una isometria
PQ = P'Q'⇔PQ2 = P'Q'2
P xP , yP Q xQ , yQ P' −xP ,− yP Q' −xQ ,− yQ
PQ2 = xP−xQ2 yP− yQ
2
P'Q'2 = x P− xQ2 yP− yQ
2 = PQ2
tesi
QED
P'Q'2 = −12 xP− xQ2−12 yP− yQ
2
P'Q'2 = − xP− xQ2− yP− yQ
2
P'Q'2 = −xPxQ2−yP yQ
2
P'Q'2 = −xP−−xQ2− yP−− yQ
2
ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)
x
y
O
R
Q
P P 1,3 Q3,1 R 2,4
Trovare i vertici del triangolosimmetrico di rispetto all'origine.
I due triangoli hanno lo stesso perimetro?
E la stessa area?
PQR
ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4
ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4
R'
Q'
P'
ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4
R'
Q'
P'
I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'origine conserva le lunghezze dei lati.
ESEMPIO(simmetria rispetto all'origine)
x
y
O
R
Q
Px '=−xy '=− y
P 1,3 Q3,1 R 2,4Simmetria:
P' −1,−3 Q' −3,−1 R' −2,−4
R'
Q'
P'
I due triangoli hanno lo stesso perimetro perché la simmetria rispetto all'origine conserva le lunghezze dei lati.
Hanno anche la stessa area perché triangoli con i lati congruenti sono congruenti.
OSSERVAZIONE: La simmetria rispetto all'origineè la composizione delle due simmetrie rispetto
agli assi, in un ordine qualsiasi.
x
y
O
Il triangolo verde è il simmetrico del triangolo blu rispetto all'origine.
Il triangolo viola (risp. rosso) è il simmetrico del triangolo blu rispetto all'asse delle ascisse (risp. ordinate).
Il triangolo verde è il simmetrico del triangolo viola (risp. rosso) rispetto all'asse delle ordinate (risp. ascisse).
RIEPILOGO ISOMETRIEx '= xy '=− y
Simmetria rispetto all'asse delle ascisse:
x '=−xy '= y
Simmetria rispetto all'asse delle ordinate:
x '=−xy '=− y
Simmetria rispetto all'origine:
x '=xay '= yb
Traslazionedi vettore :v a ,b