1. El Pb-209, isotopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez

proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo y tiene una vida

media de 3,3 horas, si al principio había 3 gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre 80%?

Solución:

Variables

:cantidad de plutonio que queda en cualquier instante

: tiempo de desintegración del Pb-209 medidos en horas

3g ; años

Modelo exponencial:

Problema de valor inicial

Resolviendo la ecuación diferencial

Integrándola ecuación diferencial

Como se trata de un problema de valor inicial

Reemplazando la constante en la ecuación

Calcular la constante de proporcionalidad con la condición de que la vida media es

de 3,3 horas, esto quiere decir que en 3,3 horas se desintegra el 50% de la cantidad inicial del Pb-209

Reemplazando la constante de proporcionalidad en la ecuación

Calcular el tiempo que debe transcurrir para que se desintegre 80% de Pb-209 , esto

quiere decir después de un tiempo se va encontrar el 20% de la cantidad inicial.

El tiempo que se demora para que se desintegre 80% de Pb-209 es de 7,66 horas

2. Al caer una gota de agua se evapora y al mismo tiempo retiene su forma esférica .si se hacen las suposiciones adicionales de que la rapidez con que se evapora es proporcional a su área y no se considera la resistencia del aire, la

velocidad de la gota de lluvia se determina con

En ella, es la densidad del agua, es el radio de la gota cuando , es la

constante de proporcionalidad, y la dirección positiva se define hacia abajo.

a. Si al gota de lluvia cae desde el reposo ,determine

b. Sea la ecuación ; si y 10

segundos después, determine el tiempo en el que se evapora la gota de lluvia por completo.

a) Modelo de caída libre

Solución:

Variable:

:velocidad de la gota cuando cae en un instante

:tiempo de caída de la gota ,medido en segundos

:radio de la gota ,medido en pie

Modelo de caída libre

Problema de valor inicial

Resolviendo la ecuación diferencial

Factor integrante

Reemplazando en I

Integrando la ecuación diferencial

Como se trata de un problema de valor inicial

Reemplazando la contante en la ecuación

b) Sea la ecuación de evaporación de la gota

Variable:

:radio de evaporación en un instante

: tiempo de evaporación medido en segundo

Solución:

Como se trata de un problema de valor inicial

Si luego de 10 segundos su radio

Reemplazando en la ecuación

El tiempo en que se evapora la gota

El tiempo que debe de pasar para que se evapore la gota es de 33,33 segundos

3. Un tanque contiene inicialmente de agua pura y le entra salmuera con

de sal por galón a razón de . El tanque está bien mezclado, y él

sale una solución con la misma rapidez. Determine la cantidad de gramos

de sal que hay en el tanque en cualquier instante ¿Cuál es la concentración

luego de ?

Solución:

Variables:

: tiempo medido en minutos

: concentración de la solución en el tanque para cualquier instante medido

en libras

Modelo Matemático:

Resolviendo:

Método del factor integrante:

Multiplicando a toda la ecuación con el factor integrante:

Integrando ambos miembros:

Para se tiene que

Tenemos que:

Nos pide cuando

4. La ley de crecimiento de una población viene dada por la ecuación diferencial

Dónde: a y b son números positivos.

Calcular:

a) , con la condición

b) Estudiar el comportamiento de a largo plazo

c) Si y el tiempo se mide en horas, calcular luego de 4 y 6

horas.

Solución:

Variables:

el crecimiento de la población medido en personas

Planteando la ecuación:

Podemos observar que estamos ante una ecuación diferencial de Bernoulli. Dividiendo

a todo por

Haciendo un cambio de variable:

Aplicando el cambio nos queda:

Para finalizar aplicamos teorema del factor integrante:

Multiplicando a todo por el factor integrante:

Integrando ambos miembros:

http://matema.ujaen.es/jnavas/web_modelos/problemas/ptema5.pdf