数学〔a方式(1/29)〕 a1 数 学...(2) 7 がをで座る座りは部で (7−1)! = 6! = 720...
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177
解答例・解説
数学〔A方式( 1 /29)〕2019年 4月 9日 (初校反映) 2
A 1 数 学 (解答)
I 0
(1)
(a + b + c)(bc + ca + ab) − abc = {a + (b + c)} {(b + c)a + bc} − abc
= (b + c)a2 + (b + c)2a + (b + c)bc + abc − abc
= (b + c){a2 + (b + c)a + bc
}
= (a + b)(b + c)(c + a) ……(答)
(2) 7 が を で座る座り は 部で (7 − 1)! = 6! = 720 り.
2 が り合う座り は 2 を 1 と考えて (6 − 1)! = 5! = 120 り.
そ に いて 2 の は 2 りなので 120 × 2 = 240 り.
よって求める座り は 部で 720 − 240 = 480 り ……(答)
(3) i) �ACDで より ADsin ∠ACD
= 15,
よって sin ∠ACD = AD15=
1015=
23……(答)
ii) ∠ACD = ∠ABD,∠ABC = 90◦より ∠ABD < 90◦となるので
cos ∠ABD =√1 − sin2 ∠ADB =
√1 − sin2 ∠ACD =
√1 −
(23
)2=
√53
�ADBで より
AD2 = AB2 +DB2 − 2AB · DBcos ∠ABD
102 = 92 +DB2 − 2 · 9 ·√53
DB
DB2 − 6√5DB − 19 = 0
DB = 3√5 ± 8,DB > 0より DB = 3
√5 + 8
よって �ABD = 12AB · BDsin ∠ABD
=12
× 9 × (8 + 3√5) × 2
3
= 24 + 9√5 ……(答)
2019年 4月 9日 (初校反映) 3
II 0
(1) abc(5) よ cab(8) は 3 の なので,
1 � a � 4,0 � b � 4,0 � c � 4, よ
1 � c � 7,0 � a � 7,0 � b � 7,となり,こ らより
1 � a � 4,0 � b � 4,1 � c � 4 · · · · · · · となる.
,n = 25a + 5b + c = 64c + 8a + bより,63c = 17a + 4b · · · · · · · である.
ここで ??より,
63c = 17a + 4b
� 17 × 4 + 4 × 4
= 84
c � 8463
となり,こ を すのは c = 1である.こ を ??に すると
63 = 17a + 4b
17a = 63 − 4b bに 0から で 4を て
17a = 63, 59, 55, 51, 47 aは なのでこ を すのは
17a = 51
a = 3
このとき b = 3
以上より,a = 3, b = 3, c = 1 ……(答)
(2) n = 25 × 3 + 5 × 3 + 1 = 91 ……(答)
(3) 91 = 1011011(2) ……(答)
2019年 4月 9日 (初校反映) 4
III 0
(1)
f (x) = 2x2 + 2(a − 1)x + a2 − 2a − 5
= 2(x + a − 1
2
)2+ a2 − 2a − 5 − (a − 1)2
2
= 2(x + a − 1
2
)2+
a2 − 2a − 112
となる め,y = f (x)のグラフの頂点の座標は(− a − 1
2, a2 − 2a − 11
2
)……(答)
(2) を すのはグラフの軸が 1 < x < 3, f (1) > 0, f (3) > 0,グラフの頂点の y 座標 < 0
のときである.
i) グラフの軸が 1 < x < 3より
1 < − a − 12< 3
−6 < a − 1 < −2−5 < a < −1
ii) f (1) > 0より
f (1) = 2 + 2(a − 1) + a2 − 2a − 5 > 0
a2 − 5 > 0
(a −√5)(a +
√5) > 0
a < −√5,√5 < a
iii) f (3) > 0より
f (3) = 18 + 6(a − 1) + a2 − 2a − 5 > 0
a2 + 4a + 7 > 0
(a + 2)2 + 3 > 0 よって aはす ての
iv) グラフの頂点の y 座標 < 0より
a2 − 2a − 112
< 0
a2 − 2a − 11 < 0
(a − 1 + 2√3)(a − 1 − 2
√3) < 0
1 − 2√3 <a < 1 + 2
√3
こ らの 部分は
a−51 − 2√3 −
√5 −1
√5 1 + 2
√3 より,1 − 2
√3 < a < −
√5 ……(答)
①
②
4まで
178
解答例・解説
数学〔A方式( 1 /30)〕2019年 4月 9日 (初校反映) 6
A 2 数 学 (解答)
I 0
(1) 1
2 −√3=
2 +√3
4 − 3= 2 +
√3
1 <√3 < 2より,3 < 2 +
√3 < 4.よって a = 3,b = 2 +
√3 − 3 =
√3 − 1
a2 + ab + 2b2 = 32 + 3(√3 − 1) + 2(
√3 − 1)2
= 9 + 3√3 − 3 + 2(4 − 2
√3)
= 14 −√3 ……(答)
(2) i) 80100
× 5100
+20100
× 7100
=27500
……(答)
ii) Aで を り す は 80100
× 5100
=4100
なので
410027500
=4100
× 50027=
2027
……(答)
(3) i) x(x − 2) � 0, り x � 0,2 � x のとき
x(x − 2) � x
x(x − 2) � x
x(x − 3) � 0
0 � x � 3
x � 0,2 � x より,x = 0,2 � x � 3 · · · · · · ·
ii) x(x − 2) < 0, り 0 < x < 2のとき
x(x − 2) � x
−x(x − 2) � x
x(x − 1) � 0
x � 0,1 � x
0 < x < 2より,1 � x < 2 · · · · · · ·
??,??より,x = 0,1 � x � 3 ……(答)
2019年 4月 9日 (初校反映) 7
II 0
(1) AP = t,QA = 12
t,PB = 4 − t,BM = MC =√3,CQ = 2 − 1
2t となる.
よって �APQ = 12AP · AQsin 60◦ = 1
2× t × 1
2t ×
√32=
√38
t2 ……(答)
(2) �PBM = 12BP · BMsin 30◦ = 1
2(4 − t) ×
√3 × 1
2=√3 −
√34
t ……(答)
(3) �CQM = 12CQ · CM = 1
2(2 − 1
2t)√3 =
√3 −
√34
t
,�ABC = 2√3より
�PQM = �ABC − (�APQ + �PBM + �CQM)
= 2√3 −
( √38
t2 +√3 −
√34
t +√3 −
√34
t)
= −√38
t2 +√32
t
= −√38
(t − 2)2 +√32
となる.0 < t < 4より,t = 2で最大値
√32をとる. ……(答)
III 0
(1) AE = 3a,AF = 4a より,�AEF = 12AE · AF sin 60◦ = 1
2× 3a × 4a ×
√32=
3√3a2 ……(答)
(2) 頂点 Dから �ABCに 線 DHを す.
DA = DB = DC,∠DHA = ∠DHB = ∠DHC = 90◦より (DH は ),�DHA ≡ �DHB ≡
�DHCとなる め,AH = BH = CHであり,点 Hは �ABCの 心である.
�ABCで より
BCsin A
= 2AH
AH = 6a
2 ×√32
=6√3
a = 2√3a
�AHDで の より
HD2 = AD2 −AH2 = (6a)2 − (2√3a)2 = 24a2
HD = 2√6a
求める 積 V は
V = 13
× �AEF ×HD
=13
× 3√3a2 × 2
√6a
= 6√2a3 ……(答)
2019年 4月 9日 (初校反映) 7
II 0
(1) AP = t,QA = 12
t,PB = 4 − t,BM = MC =√3,CQ = 2 − 1
2t となる.
よって �APQ = 12AP · AQsin 60◦ = 1
2× t × 1
2t ×
√32=
√38
t2 ……(答)
(2) �PBM = 12BP · BMsin 30◦ = 1
2(4 − t) ×
√3 × 1
2=√3 −
√34
t ……(答)
(3) �CQM = 12CQ · CM = 1
2(2 − 1
2t)√3 =
√3 −
√34
t
,�ABC = 2√3より
�PQM = �ABC − (�APQ + �PBM + �CQM)
= 2√3 −
( √38
t2 +√3 −
√34
t +√3 −
√34
t)
= −√38
t2 +√32
t
= −√38
(t − 2)2 +√32
となる.0 < t < 4より,t = 2で最大値
√32をとる. ……(答)
III 0
(1) AE = 3a,AF = 4a より,�AEF = 12AE · AF sin 60◦ = 1
2× 3a × 4a ×
√32=
3√3a2 ……(答)
(2) 頂点 Dから �ABCに 線 DHを す.
DA = DB = DC,∠DHA = ∠DHB = ∠DHC = 90◦より (DH は ),�DHA ≡ �DHB ≡
�DHCとなる め,AH = BH = CHであり,点 Hは �ABCの 心である.
�ABCで より
BCsin A
= 2AH
AH = 6a
2 ×√32
=6√3
a = 2√3a
�AHDで の より
HD2 = AD2 −AH2 = (6a)2 − (2√3a)2 = 24a2
HD = 2√6a
求める 積 V は
V = 13
× �AEF ×HD
=13
× 3√3a2 × 2
√6a
= 6√2a3 ……(答)
①
②
②①
179
解答例・解説
数学〔B方式( 1 /31)〕2019年 4月 9日 (初校反映) 9
B 数 学 (解答)
I 0
(1)
(x2 + x + 1)2 − (2x + 1)2 − (x2 − 1)2 =(x2 + x + 1 + 2x + 1
) (x2 + x + 1 − 2x − 1
)− (x2 − 1)2
= (x2 + 3x + 2)(x2 − x) − (x2 − 1)2
= x(x − 1)(x + 1)(x + 2) − {(x + 1)(x − 1)}2
= (x − 1)(x + 1) {x (x + 2) − (x + 1)(x − 1)}= (x − 1)(x + 1)(x2 + 2x − x2 + 1)= (x − 1)(x + 1)(2x + 1) ……(答)
(2)
(x +√2)(y − 2
√2) = 8 − 5
√2
xy − 2√2x +
√2y − 4 = 8 − 5
√2
(xy − 12) + (y − 2x + 5)√2 = 0
x,yは なので
xy − 12 = 0
y − 2x + 5 = 0が り .こ を解いて (x, y) =
(− 32,−8
), (4, 3) ……(答)
(3) i) 200 ÷ 4 = 50, よって 50 ……(答)
ii) 200 ÷ 5 = 40, よって 40 ……(答)
iii) 200 ÷ 6 = 33あ り 2, よって 33 ……(答)
iv) 4で 5で り る のは 200 ÷ 20 = 10より,10
5で 6で り る のは 200 ÷ 30 = 6あ り 20より,6
4で 6で り る のは 200 ÷ 12 = 16あ り 8より,16
4で 5で 6で り る のは 200 ÷ 60 = 3あ り 20より,3
以上より,
4か 5か 6のい かで り る のは 50+ 40+ 33− 10− 6− 16+ 3 = 94 なので,
4で 5で 6で り ない のは 200 − 94 = 106 ……(答)
II 0
(1) S1 =12
× 13 × 13 × sin 60◦ = 1694
√3 ……(答)
(2) ラ の より CBBE
· EGGA
· AFFC=
41
· EGGA
· 31= 1,よって EG = 1
12GA
S2 : S3 = AE : AGであるので,S2 : S3 = 13 : 12 ……(答)
(3) S3 =1213
S2 =1213
· 14
S1 =313
S1
S4 = S1 − 3 · S3 = S1 − 3 · 313
S1 =413
S1 =413
· 1694
√3 = 13
√3 ……(答)
(4) �GHIの重心をO,GKと JLの交点をM,HLと JKの交点を Nとする.ここで,OはGK
と HLの交点である.
GJKLは となるので JM=ML.よって �JKLに いて KMは 線.
に JHKL となるので JN=NK.よって �JKLに いて LNは 線.2019年 4月 9日 (初校反映) 10
Oは KMと LNの交点であるから,Oは �JKLの重心であり,�GHIと �JKLの重心は一
致する. ……(答)
III 0
(1) f (x) = −x2 + 4x = −(x − 2)2 + 4より,上に凸で軸が x = 2のグラフであるから,軸が区間
a � x � a + 1にある場合とそうでない場合に分けて考える.
軸が区間 a � x � a + 1にあるのは a � 2 � a + 1より 1 � a � 2
i) a < 1のとき, f (x)は x = a + 1のとき最大となる.
よって b = f (a + 1) = −(a + 1)2 + 4(a + 1) = −a2 + 2a + 3
ii) 1 � a � 2のとき,軸を含む区間であるので f (x)は頂点の y 座標 4が最大値となる
iii) 2 < aのとき, f (x)は x = aのとき最大となる.
よって b = f (a) = −a2 + 4a
以上より,b = g(a) =
−a2 + 2a + 3 (a < 1)
4 (1 � a � 2)
−a2 + 4a (2 < a)ここで,−a2 + 2a + 3 = −(a − 1)2 + 4,− a2 + 4a = −(a − 2)2 + 4.よってグラフは図のよう
になる. ……(答)
(2)
1
4
2-1 4
b = g(a)
a
b
O
−a2 + 2a + 3 = 0を解くと
(a − 3)(a + 1) = 0
a = −1, 3
−a2 + 4a = 0を解くと
a(a − 4) = 0
a = 0, 4
より,求める面積は図の斜線部
求める面積 S は
S =∫ 1
−1
(−a2 + 2a + 3
)da +
∫ 2
1
4da +∫ 4
2
(−a2 + 4a
)da
=
[− a3
3+ a2 + 3a
]1−1+
[4a
]21
+
[− a3
3+ 2a2
]42
={(− 13+ 1 + 3
)−(13+ 1 − 3
)}+ 4 +
{(− 64
3+ 32
)−(− 83+ 8
)}
=163+ 4 + 24 − 56
3
=443
……(答)
2019年 4月 9日 (初校反映) 9
B 数 学 (解答)
I 0
(1)
(x2 + x + 1)2 − (2x + 1)2 − (x2 − 1)2 =(x2 + x + 1 + 2x + 1
) (x2 + x + 1 − 2x − 1
)− (x2 − 1)2
= (x2 + 3x + 2)(x2 − x) − (x2 − 1)2
= x(x − 1)(x + 1)(x + 2) − {(x + 1)(x − 1)}2
= (x − 1)(x + 1) {x (x + 2) − (x + 1)(x − 1)}= (x − 1)(x + 1)(x2 + 2x − x2 + 1)= (x − 1)(x + 1)(2x + 1) ……(答)
(2)
(x +√2)(y − 2
√2) = 8 − 5
√2
xy − 2√2x +
√2y − 4 = 8 − 5
√2
(xy − 12) + (y − 2x + 5)√2 = 0
x,yは なので
xy − 12 = 0
y − 2x + 5 = 0が り .こ を解いて (x, y) =
(− 32,−8
), (4, 3) ……(答)
(3) i) 200 ÷ 4 = 50, よって 50 ……(答)
ii) 200 ÷ 5 = 40, よって 40 ……(答)
iii) 200 ÷ 6 = 33あ り 2, よって 33 ……(答)
iv) 4で 5で り る のは 200 ÷ 20 = 10より,10
5で 6で り る のは 200 ÷ 30 = 6あ り 20より,6
4で 6で り る のは 200 ÷ 12 = 16あ り 8より,16
4で 5で 6で り る のは 200 ÷ 60 = 3あ り 20より,3
以上より,
4か 5か 6のい かで り る のは 50+ 40+ 33− 10− 6− 16+ 3 = 94 なので,
4で 5で 6で り ない のは 200 − 94 = 106 ……(答)
II 0
(1) S1 =12
× 13 × 13 × sin 60◦ = 1694
√3 ……(答)
(2) ラ の より CBBE
· EGGA
· AFFC=
41
· EGGA
· 31= 1,よって EG = 1
12GA
S2 : S3 = AE : AGであるので,S2 : S3 = 13 : 12 ……(答)
(3) S3 =1213
S2 =1213
· 14
S1 =313
S1
S4 = S1 − 3 · S3 = S1 − 3 · 313
S1 =413
S1 =413
· 1694
√3 = 13
√3 ……(答)
(4) �GHIの重心をO,GKと JLの交点をM,HLと JKの交点を Nとする.ここで,OはGK
と HLの交点である.
GJKLは となるので JM=ML.よって �JKLに いて KMは 線.
に JHKL となるので JN=NK.よって �JKLに いて LNは 線.2019年 4月 9日 (初校反映) 10
Oは KMと LNの交点であるから,Oは �JKLの重心であり,�GHIと �JKLの重心は一
致する. ……(答)
III 0
(1) f (x) = −x2 + 4x = −(x − 2)2 + 4より,上に凸で軸が x = 2のグラフであるから,軸が区間
a � x � a + 1にある場合とそうでない場合に分けて考える.
軸が区間 a � x � a + 1にあるのは a � 2 � a + 1より 1 � a � 2
i) a < 1のとき, f (x)は x = a + 1のとき最大となる.
よって b = f (a + 1) = −(a + 1)2 + 4(a + 1) = −a2 + 2a + 3
ii) 1 � a � 2のとき,軸を含む区間であるので f (x)は頂点の y 座標 4が最大値となる
iii) 2 < aのとき, f (x)は x = aのとき最大となる.
よって b = f (a) = −a2 + 4a
以上より,b = g(a) =
−a2 + 2a + 3 (a < 1)
4 (1 � a � 2)
−a2 + 4a (2 < a)ここで,−a2 + 2a + 3 = −(a − 1)2 + 4,− a2 + 4a = −(a − 2)2 + 4.よってグラフは図のよう
になる. ……(答)
(2)
1
4
2-1 4
b = g(a)
a
b
O
−a2 + 2a + 3 = 0を解くと
(a − 3)(a + 1) = 0
a = −1, 3
−a2 + 4a = 0を解くと
a(a − 4) = 0
a = 0, 4
より,求める面積は図の斜線部
求める面積 S は
S =∫ 1
−1
(−a2 + 2a + 3
)da +
∫ 2
1
4da +∫ 4
2
(−a2 + 4a
)da
=
[− a3
3+ a2 + 3a
]1−1+
[4a
]21
+
[− a3
3+ 2a2
]42
={(− 13+ 1 + 3
)−(13+ 1 − 3
)}+ 4 +
{(− 64
3+ 32
)−(− 83+ 8
)}
=163+ 4 + 24 − 56
3
=443
……(答)
189189
解答例・解説
数学〔A方式 1 /29〕Ⅰ⑴ まず展開して式を整理し、共通項を見つける。⑵ ( 7 人が円卓を囲んで座る座り方)-(先生 2 人が隣り合って座る座り方)を計算して求める。⑶ i)△ACD に正弦定理をあてはめる。 ⅱ)△ADB に余弦定理をあてはめて DB の長さを求める。
△ABD= 12 AB・BD sin∠ABD
Ⅱ⑴ まず、 1 ≦ a ≦ 4 、 0 ≦ b ≦ 4 、 1 ≦ c ≦ 4 …①である。次に、自然数 n についての式をつくる。 n=52a+5b+c
=82c+8a+b 63c=17a+4b …② ①より、 63c≦17×4+4×4
c≦ 8463
これと①から c=1 が求まる。 63=17a+4b b に 0 から 4 を順次代入し、a が整数であることから a を求める。⑶ ⑵で求めた91を 2 進法で表す。
Ⅲ⑴ 頂点が(p, q)である 2 次関数は、f(x)=(x-p)2+q と表せる。 与式をこの形に変形する。
⑵ 条件を満たすのは、 グラフの軸が 1 < x< 3 …① f ⑴> 0 …② f ⑶> 0 …③ 頂点の y座標< 0 …④ ①~④を解いて a の共通部分を求める。
数学〔A方式 1 /30〕Ⅰ⑴ 分母を有理化すると、2+√3 3<2+√3 <4 なので a と b の値が求まる。⑵ i)機械Aの不良品の確率と機械Bの不良品の確率を加えると、
80100 × 5
100 + 20100 × 7
100 ⅱ)(機械Aで製造された不良品を取り出す確率)÷(不良品を取り出す確率)を計算する。⑶ 1 )場合分けをして絶対値をはずし、それぞれの不等式を解く。 2 )共通部分を求める。
Ⅱ⑴ △ABC は∠A=60°、∠B=30°の直角三角形。
△APQ= 12 AP・AQ sin60°
⑵ △PBM= 12 BP・BM sin30°
⑶ △PQM=△ABC-(△APQ+△PBM+△CQM) なので、△PQM は t の 2 次関数で表せる。 f(t)=(t-p)2+q の形に変形して最大値を求める。
Ⅲ⑴ 図をかいて解くこと。 AE=3a AF=4a
△AEF= 12 AE・AF sin60°
190190
解答例・解説
数学〔B方式 1 /31〕Ⅰ⑴ まず、式の特徴をつかむ。 1 項と 2 項、 3 項がそれぞれ平方の差になっていることに注目し、和と差の積に因数分解し、共通項をくくりだ
す。⑵ x、yが有理数のとき、 x+y√a=0 ならば x=0、y=0 が成り立つ。
⑶ ( 4 か 5 か 6 で割り切れる数)=( 4 で割り切れる数)+( 5 で割り切れる数)+( 6 で割り切れる数)-( 4 でも 5 でも割り切れる数)-( 4 でも6 でも割り切れる数)-( 5 でも 6 でも割り切れる数)+( 4 でも 5 でも 6 でも割り切れる数)
Ⅱ⑴ 三角形の面積の公式を使って求める。⑵ S2:S3=AE:AG であることを押さえたうえで、メネラウスの定理を利用して AE:AG を求める。⑶ S4=S1-3S3 なので、S3 と S1 の関係を求める。⑷ △GHI の重心をOとする。GK と JL の交点をM、HL と JK の交点をNとするとOは GK と HL の交点。四角形 GJKL と四角形 JHKL はひ
し形。△JKL において KM と LN は中線であることから結論が導かれる。
Ⅲ⑴ 2 次関数 f(x)は上に凸で、軸が x=2 のグラフなので、軸が区間 a ≦ x≦ a+1 にあるときと、そうでないときに場合分けする。 f(x)は、 a < 1 では、x=a+1 のとき最大値 1 ≦ a ≦ 2 では、最大値 4 2 < a では、x=a のとき最大値となる。⑵ グラフと a 軸の交点の座標を求め、⑴で書いたグラフの 0<b の部分の面積を積分を利用して求める。
⑵ 三角錐 AEFD の体積
= 13 ×△AEF ×高さ
頂点Dから△ABC までの距離が高さなので、頂点Dから△ABC に垂線を下ろして DH とし、その長さを求める。 点Hは△ABC の外心なので、まず AH の長さを求める。 次に△AHD が直角三角形であることを利用して、三平方の定理より DH を求める。