ROSKILDEUNIVERSITET

Matematikvejledningigymnasiet

Afsluttendeprojektpåmatematikvejlederuddannelsen

Projekteterudarbejdetaf:

MaritHvalsøeSchou

BentePernillePihl

Dato15.januar2014

Vejledere:MogensNissogUffeJankvist

Side1af242

Indhold:Indledning.........................................................................................................................................................................3 

Snublesten........................................................................................................................................................................4 

Miniprojekterne.............................................................................................................................................................5 

Emner..............................................................................................................................................................................5 

Detektionstesten........................................................................................................................................................6 

Problemformuleringerne.......................................................................................................................................6 

Metoder..........................................................................................................................................................................7 

Enrammeforalgebraiskaktivitet......................................................................................................................9 

Findings...........................................................................................................................................................................11 

Matematikvejledningen............................................................................................................................................11 

Vejledningenstrefaser.........................................................................................................................................11 

ElevAsomgennemgåendefigur......................................................................................................................13 

Vejlederrolleniforholdtilkolleger................................................................................................................15 

Hvemskalhjælpes?................................................................................................................................................15 

Matematikvejlederensårshjul..........................................................................................................................16 

Skolernesholdning.................................................................................................................................................17 

Didaktiskekonsekvenser.........................................................................................................................................17 

Læringsfindings.......................................................................................................................................................17 

Fremtidigudvikling...............................................................................................................................................17 

DEL1–Algebra–begreberogbegrebsdannelse..........................................................................................23 

DEL2–Matematiskeræsonnementerogbevisførelse...............................................................................55 

DEL3–Matematiskmodellering..........................................................................................................................97 

Litteraturliste.............................................................................................................................................................141 

Bilag................................................................................................................................................................................146 

Side2af242

AbstractThis report concludes the programme in mathematics counselling at Roskilde University. Throughthreeprojects,eachwithadifferentmathematicalfocus,thereportillustratesandexaminesthethreestages of counselling: identification, diagnosis and intervention. In each project, we use a speciallydesignedtestbyMogensNissandUffeJankvisttohelpidentifystudentswithlearningproblems.Thetestresultsalsoworkasthestartingpointfordiagnosingeachstudent.Hereafterdifferentpathsarechosentohelpthestudentsovercometheirlearningproblems.Thetopicforthefirstprojectisconceptsandtheircreation,andthemathematicalfocusisalgebra.Ananalysisofthetestresultsshowthatproblemswithequation‐solvingservesasamarkerforgeneralproblems in algebra, and therefore theempirical emphasishasbeenplaced in thisarea. Inorder todiagnosethespecific learningproblemsofthestudents,moretestsandinterviewsareneeded.Afterseveraldiscussionswiththeidentifiedstudentsaboutmathematicalproblems,developedonbasisofthediagnosis,anevaluatingtestindicatesthatdialogueasawayofcounsellingcanleadtobuilding‐uporactivatingtheconceptimagesofthestudentsthatimprovestheirunderstandinganduseofmethodsin algebra. The test results do not provide evidence to conclude that studentswithout problems inalgebra mainly choose mathematics at an A‐level (the higher level), while students with majorproblems in this area choose it at aB‐level.Therefore, there isnobasis fororganizing the teachingdifferentlyduetothisaspect.Ontheotherhand,thetestresultsshowthetendencythatgirlsdolesswellthanboysinalgebraatthebeginningoftheHTXprogram.In the second project we investigate different aspects aboutmathematical reasoning and proof. Inordernot to letalgebraovershadowthe learningdifficulties in this field,weusemainlygeometricalarguments.Itisshownthattheidentifiedstudentshaveproofschemesonthetwolowesttaxonomicallevels, i.e. external conviction proof schemes and empirical proof schemes. We cannot show anyconnectionbetweenthestudents’beliefsandtheirlearningproblems.Howeverweusethebeliefsofthe entire class to decide that group work is a possible way of intervention. Through creation ofdidacticalsituationsandinternalisationweconcludethatthesociomathematicalnormsandlearningopportunitiesarisingfromtheclass‐basedinterventionhelpstheidentifiedstudentsovercomeseveraloftheirlearningproblems.Finally,we examine students’ difficulties inmodelling in the thirdproject. Instead of projecting ourownwaysofexplaininghowtomodel, someexcellent studentsare interviewedand their strategiesaresuccessfullypassedontothestudentsidentifiedwithlearningproblems.Theinterventionisagainacombinationofcounsellingdialogueandaclass‐basedinterventionwithfocusonpre‐mathematizingandmathematizing.Onbasisof our research in the threeprojectsweconclude thata test (in combinationwith teacherobservations)isagoodwayofidentifyingstudentswithlearningproblems.Todiagnosetheoriginofthose problems, interviews and possibly extra tests are needed. Counselling conversations aboutproblemsdesignedtosuit thestudent’sspecificneedsworkwellasan intervention,andthiscanbeevenmore successful if combinedwith class‐based intervention creating sociomathematical normsamong the students. This, however, is not always possible, and then the counselling can becomplementedwithInternetresourcesasexercisesandvideosandspeciallydevelopedmaterials.

Side3af242

IndledningDenstadigtvoksendeelevfrekvenspådegymnasialeuddannelserharbetydet,atflereogflereeleveroplevervanskeligheder.Læsningogskrivningerdiscipliner,derindgåriallefag,ogsommangeeleverharproblemermed.Derforoprettedemanalleredefra1980’ernedeførstelæsevejlederuddannelsermeddetformålatuddannepersoner,sombl.a.kanidentificerelæsesvageelever,diagnosticerehvorideresvanskelighederliggeroginterveneregennemvejledning.IdageruddannelsenaflæsevejlederetilgymnasietfortrinsvisiUC‐regi,ogpådeflestegymnasieskolerfindesderidag2‐3læsevejledere.Idengymnasialefagrækkeindgårflerematematikholdigefag.Udovermatematikfagetselv,kannævnesdenaturvidenskabeligefag,samfundsfagogteknologi/teknikfag(påhtx).Detharderformangefølgevirkninger,nåreleverneharproblemermedmatematik.Iefteråret2012udbødInstitutforNatur,SystemerogModellerpåRoskildeUniversitetderforenmatematikvejlederuddannelsemeddetformålatuddannepersoner,derkanhjælpematematiksvageeleverigymnasiet.Elever,derharproblemerpånoglespecielleområder,somdeigenogigenfalderover–snublesten,ogsomforhindredemiatlærenymatematikelleretandetmatematikholdigtfag.Dennerapportbeskriver,hvorledesvigennemmatematikvejlederuddannelsenerblevetklogerepå,hvorsnublesteneneligger,oghvordanmankanhjælpeelevernemedatfjernedem.Vistartermedatsenærmerepåhvadensnublestenkanvære.Viharundersøgtkonkretesnublestenigennemtreminiprojekter,DEL1,DEL2ogDEL3inærværenderapport.Væsentligeresultaterogrefleksioneroverarbejdetmeddisseminiprojekter,vilblivetrukketfremogbeskrevether.Derefterfølgerenredegørelseaf,hvordanvigennemvejlederuddannelsenharopbyggetværktøjertilatfungeresommatematikvejledere,oghvordanviforestillerosatskullefungerepåskolen.Endeligsluttesderafmedenbeskrivelseafdedidaktiskekonsekvenseruddannelsenharhaftforvoresegenundervisning.

Side4af242

SnublestenGennemuddannelsenharvilæstmangematematikdidaktiskeartikleromeleverslæringsvanskeligheder.Problemerneervelbeskrevne,ogmangeafdemgenkendervifravoreegneelever.Tilgengældfinderviikkesåmangeanvisningerpå,hvordanvanskelighedernekanafhjælpes.Enstordelafdetarbejdeviharudførtiforbindelsemeddetreminiprojekterharderforværetundersøgelseraf,hvilkemetodermankananvende,oghvoreffektivedeer.Detmestoverraskendeharværetopdagelsenafalledesnublestenviikketidligereharbemærket.Somlærerfindermanhurtigtudaf,hvilkeelever,derharvanskeligtvedmatematik.Mendeterdefærrestelærere,derharforudsætningerne(erkendelsesmæssige,didaktiskeellerfaglige)foratdykkenedogfindeudaf,hvaddervirkeligerpåspil,nåreleverharlæringsvanskeligheder.Ienpressetundervisningssituation,stillermansigoftetilfredsmed,atelevennikkersamtykkendesomsvarpåetspørgsmål,ogmanundresnårelevenstillerethelttilsvarendespørgsmålidenefterfølgendetime.Manvedgodt,atnogetergalt,menhvad?Herhardevejledningssamtalerviharhaftogefterfølgendetransskriberet,sammenholdtmedlitteraturommatematiklæringog–forståelse,givetosenindsigt,ellermåskeretterefligenafenindsigt,iantalletogartenafdesteder,detkangågalt.Someksemplerpåsnublestenviharbeskæftigetosmedgennemuddannelsener:

- Talforståelseheletal,brøkerogreelletal,størsteogmindstetal

- Algebrabrøker,løsning(bådesomprocesogprodukt)afligningeroguligheder,overgangfrasummertilprodukterogfraproduktertilpotenser,parenteser

- Funktionervariable,samhørendeværdier,graf,forskriftogsammenhængmedligningerogløsningafligninger

- Ræsonnementerogbevisførelseopbygningvha.argumenter,generaliseringer,modsætningtileksempel,modeksempel

- Modelleringpræmatematiseringogmatematisering.

Nedenståendeelevbesvarelseviserflereeksemplerpåsnublesten.EksempleterhentetfraDEL1ogkommerfraelevenssidstevejledningssamtale.Manseratbrugenafmatematiskesymbolerogkonventionervolderstorevanskelighederogresultereriproblemermedligningsløsning.Elevenved,atnårmanskalløseligningen,erdetdenubekendte,s,derskalisoleres,menvejendertilerbrolagtmedsnublesten!Elevenvedikkehvordanenvariabelgangetmedettalskalforstås,hankanikkedividere,nårderindgårsymboler.Endeligvisereleveningenforståelseforbegrebetløsningvedatindsætteresultatetsomettjek.

Side5af242

Miniprojekterne

EmnerHverafvejlederuddannelsenstresemestreharresulteretietminiprojekt,hvorvigennembrugaflitteraturogindsamletempiriharbelystdetreemner:

- Begreberogbegrebsdannelseimatematik- Ræsonnementerogbevisførelseimatematik- Modellerogmodelleringimatematik.

Emnernevirkerumiddelbartmegetforskellige.Begrebsdannelsenernogetfundamentalt,brugafræsonnementermegetabstraktog”ren”,mensmodelleringerkonkretoganvendelsesorienteret.Imidlertidviserdetsig,nårmandykkernediområderne,atdevæversigindihinandenogpåflereområderindeholderdesammeproblemstillinger,dergiversigudtrykitilsvarendelæringsvanskeligheder.Førvigikigangmedproblemformuleringogempiriindsamling,satteviosindinogetafdenlitteratur,derfindesomdetaktuelleområde.OmbegrebsdannelsenhentedeviprimærthjælphosTall&Vinner(1981),Skemp(1976)ogSfard(1991).OmræsonnementerogbevisførelsebenyttedeviderudoverisærHarel&Sowder(2007aog2007b),Schoenfeld(1989)ogYackel&Cobb(1996).OmemnetmodelleringblevartiklerafM.Niss(2007og2010)tilføjet.Ialletre

Side6af242

miniprojekterlænedeviosendvidereopafenartikelomalgebralæringafKieran(2007),ogdenmodelhunbeskriverher.DettevendervitilbagetiliafsnittetomGTG‐modellen.Vioplevedealtså,atdenlitteraturvihavdebenyttettilatbelyseettidligereemne,ogsåvarbrugbartilatforklarelæringsvanskelighederindenfordeefterfølgendeemner,hvilketgiverengodprogressioniprojekterneogermedtilatbindedemsammen.

DetektionstestenEtvilkårforhvertminiprojektvardetektionstesten.Indenforhvertområdevarderudvikletendetektionstest1,somskullehjælpeosmedatidentificereelevermedsåstorelæringsvanskeligheder,atdetburdegiveanledningtilvejledning.Vivalgteendvidereatanvendeelevernestestresultatersomudgangspunktforendiagnosticeringafdisselæringsvanskeligheder.Atdetretestsermegetforskelligefølgernaturligtaf,atdeskalteste3megetforskelligeting.Ligesomvistuderendeharudvikletosundervejsogerblevetklogere,menerviogsåatdetretestserblevetbedrefraprojekttilprojekt.Såledesvarvoresvæsentligstekritikpunkterafdenførstetest,atdeflestespørgsmålvarmultiplechoiceopgavermedkuntomuligesvar.Mankunnealtsåblotvedatgætte,forventemangerigtigesvar,selvomelevenikkehavdenogenforståelseafspørgsmålet.Dervarogsåkunenenkeltrepræsentationsformtilstede,nemligdensymbolske,ogvoresundersøgelserviser,atnetopdennevolderelevernesærligmangeproblemer.Itestenomræsonnementerogbevisførelsevarderindførtfleresvarmuligheder,ogeleverneblevbedtomatbegrundederessvar.Treafopgavernevarendvidereillustreretmedfigurer.Tilslutkomtestenommodellering,hvordeflestespørgsmålvaråbne,oghvorflererepræsentationerkomispil.Endelopgavervarillustreret.Hvertestvardesignet,såmaniopgavernekomgodtrundtiemnetogfiktesteteleverneiforholdtilmangeafdesnublesten,derkendesfralitteraturen.Overordnetsetvarvitilfredsemeddetretest,ogvivillebestemtikkeselvhaveværetistandtilatdesignesåalsidigetests.Efterathavearbejdetmedelevernesbesvarelseafdetretests,harviflereforslagtiljusteringer,såmanmåskeimindregradtesterandreting,enddetmanforventeratteste,fxeleverneslæseforståelseellersymbolbehandlingskompetence,nårdeterderesevnetilatræsonnereelleropstilleenmodel,mansøgervidenom.Viklarover,atnårkompleksitetenientestvokserogopgaverneblivermereåbne,bliverdenvanskeligereatbedømmeobjektivtogmulighedenforatgøredenelektroniskogselvrettendeforsvinder.Vived,atmaniFrankrig2hararbejdetmedenselvrettendetestafbegrebsforståelsemedrelativtfåopgaver,ogdetvilværemegetrelevantatsenærmerepådennetestidetviderearbejde.

ProblemformuleringerneSomnævntovenforharderværetenprogressionikompleksitetenideområder,vihararbejdetmedirapporterne.Detteafspejlersigogsåivoresproblemformuleringer,dernokharændretsiggennemuddannelsen,menialletreprojekterkredseromdetsammeemne:

1AfMogensNissogUffeJanskvist2BrigitteGrugeon‐Allysetal(2012)

Side7af242

hvordantilrettelæggervidetbedstmuligeinterventionsforløb,såvikanhjælpeelevernemedatovervindedereslæringsvanskeligheder?Somnystartedepåuddannelsenhavdeviikkedenstoreerfaringmedudførelsenafetmatematikdidaktiskprojekt,ogderforvalgteviførsteprojektatundersøgetreheltforskelligeting:hareleverneslæringsforudsætningerimatematikbetydningforderesvalgafstudieretningmht.matematikniveau?harelevenskønbetydningforforekomstenaflæringsvanskeligheder?ogervejledningssamtalerengodmådeatintervenerepå?Iandetprojektblevvimerefokuseredeogindsnævredeundersøgelsernetilatomfattedelæringsvanskeligheder,visåhoseleverne.Kunnedissevanskelighederforklaresvha.elevernesmatematikforestillingerogderesbevisskemaer?Foratudvideartenafinterventionsaktiviteterprøvedeviogsåatinvolveredeidentificeredeeleversklassekammeratergennemetundervisningsforløb.Udviklingenafforløbetbyggedepådeerfaringer,vihavdeiførsteprojekt,hvordetvartydeligt,atalgebravarenfremtrædendesnublesten.Vivalgtederforsåvidtmuligtatundgåalgebratungeopgaver.Igennembrugafenklassebaseretinterventionundersøgtevi,omdeopståedesociomatematiskenormer,kunnefjernenogleafeleverneslæringsvanskeligheder.Itredjeprojektarbejdedevivideremeddegodeerfaringermedsåvelsamtalersomklasserumsintervention.Vihavdeset,atklasserumsinterventionenfungeredegodtiforbindelsemedforståelsenogbrugenafmatematiskeræsonnementerogbevisførelse.Menvardetogsåengodmådeathjælpeelever,derharsværtvedatmodellere?Detteerikkenogenselvfølge,forimodelleringindgårmangeflereforskelligedelprocesserendibevisførelse.Ideforegåendeprojekterbyggedevejledningssamtalernepåvoreserfaringer,oghvadvimentekunnehjælpeeleverne.Idetteprojektvalgteviatsøgehjælphosnogleafelevernesklassekammerater,dervargodetilatmodellere.Medandreord:kandygtigeeleversmodelleringsstrategierhjælpedesvageelevermedatovervindenogleafdereslæringsvanskeligheder?

MetoderDemetoderdereranvendttilatbesvareproblemformuleringernegårigenidetrerapporter,menharnaturligvisudvikletsigundervejs.Voresudgangspunktharværetresultaterneafdentidligerebeskrevnedetektionstest.IDEL1testedevi163eleverfra7klasser,forathavedetbedstmuligeudgangspunktforatbesvarespørgsmåleneomsammenhængenmellemeleverneslæringsvanskelighederogdereskønogvalgafstudieretning.DettebehovhavdeviikkeiDEL2,såhertestedevikunvoresegne”observationsklasser”,dvs.54eleverfratoklasser.IDEL3havdevibrugforatidentificerenogledygtigeelever,ogderforudvidedeviattertestfeltettilatomfatte141eleverfra6klasser.Testresultaternegavosmangeinformationer:hvilkeområdergavanledningtildestørstesnublesten?Hvilkeeleverkunneidentificeresmedlæringsvanskeligheder?Hvilkeopgavetyperskulleviarbejdevideremed?ogendeligtogvoresdiagnosticeringssamtalerhvergangudgangspunktielevernestestresultater.

Side8af242

Iforbindelsemedidentifikationenforsøgtevihvergang,atforudidentificereelever,somvimentevillehaveproblemermedtestenpågrundaflæringsvanskeligheder.Herobserveredevi,atdetikkevaralleelevermedpotentielleproblemer,viopdagedeidendagligeundervisningogpåbaggrundafderesskriftligeopgaver.Omvendtvarderelever,somviforventedevilleklaresigdårligt,deropnåedepæneresultateritesten.Detvarderfortydeligt,atenkombinationaftestenoglærerobservationergavdenbedsteidentifikation.Viforsøgteogsåatforudsige,hvilkesvarelevernevillekommemed,ogdermedhvordepotentiellevanskelighederlå.Menhermåttevierkende,atvoresforudsigelserikkealtidvarligegode.Sommetiderlåproblemernenogleheltandresteder,endviforestilledeos,ogdervarmangeflereafdem!Hvorviiførsteprojektnokfikopstilletdiagnoserfordeidentificeredeelever,vardetførstiandetogtredjeprojekt,atviopstilledemålforeleverneogkriterierforinterventionenssucces.Detblevogsåmereogmeretydeligt,hvordanvikunneudnyttetdendidaktiskelitteraturtilatgiveeleverneenpræcisdiagnose.Elevernestestresultaterfungeredegodtsomudgangspunktforendiagnosticering.Foratundersøgehveridentificeretelevssærligelæringsvanskeligheder,badvidemuddybederesbesvarelseafudvalgteopgaver,ogdialogenkomsamtidigtilatfungeresomenførsteintervention.Udgangspunktetforinterventionssamtalerneiførsteprojektvaropgaver,lavetudfrakendskabettildeidentificeredeeleverslæringsvanskeligheder(sebilag3).Iandetogtredjeprojekt,lavedeviikkeblotopgavertildeidentificeredeelever,mentilheleklassen.MatematiseringsforløbetiDEL3bestodafenrækkeopgaver,hvorimodviDEL2udvikledematerialetiletheltforløb(bilag11)beståendeafteori,eksemplerogopgaver.Atinddrageklassebaseretinterventionerikkeuproblematiskiforholdtilvoreskommenderollesommatematikvejleder.Deterlangtfrasikkert,atvoreskollegerønskeratindgåidentypesamarbejde.DettevendervitilbagetiliafsnittetomMatematikvejledningen.Nårvialligevelvalgteatanvendedennemetodeivoresprojekt,skyldtesdet,atviherhavdeengodmulighedforatafprøve,hvordanudviklingenafsociomatematiskenormerpåvirkereleverneogkanmedvirketilatafhjælpelæringsvanskeligheder.Endeliganvendteviforskelligemetodertilatevalueredeforskelligetyperinterventionerssucces.Ideførstetoprojekterbestodevalueringenientestmedopgaverafsammetypesomelevernehavdearbejdetmedivejledningsforløbet.IDEL3lavedeelevernenogleopgaver,somdesammenredegjordeforienfællesdiskussion,efterfulgtafenmundtligevalueringafderesegenoplevelseafvejledningen.Dennetypeevalueringermeresubjektivendentest,mengiversamtidigflereinformationeromudbyttet.Detvarligeledesartenafemnet,derfikostilatvælgedenneevalueringsform.Modelleringviliskolesammenhængtypiskforegåisamarbejdemedandre.Ovenståendeafsnitviser,atdererentydeligudviklingiproblemformuleringernemellemhverdel,ogentilhørendetætsammenhængmellemproblemformulering,designafundersøgelseroganvendelseafmetoder,derførertildeopnåederesultater.

Side9af242

EnrammeforalgebraiskaktivitetDetblevhurtigttydeligt,atalgebraerenkildetilmangesnublesten,ogderformåværeetfokuspunktfor(al)matematikvejledning.Somenfællesrammeforopbygningoganvendelseafdeopgaver,derbenyttesgennemdetredele,harviderforvalgtatanvendeGTG‐modellen(Kieran,2007),dererillustreretherunder.GTG‐modellenharendvideredenfordel,atdensbeskrivelseogsåpasserpådenmådemanarbejdermedalgebraigrundskolen,ogdenbliverderfordetbånd,derikkeblotbinderdetredeleidennerapportsammen,menogsåforbindergrundskolensoggymnasietsmatematikundervisning(indenforalgebra).

GTG‐modellen

Transformationelleaktivitetererregelbaseredeogtrænerdenteknik,derskaberresultater,fx

- regningmedparenteser,faktorisering,forkortelseetc.- symbolmanipulationer

endvidereindeholderdeenerkendelsesdel.

Generationelleaktiviteteromfatteropstillingafudtrykfxalgebraiskeobjektersom

- ligninger,derindeholderenubekendt,somrepræsentererdet,derskalbestemmes,- generelleudtryk,derbeskrivergeometriskestrukturer- generelleudtrykomtalfølgerogreglerforforholdmellemtal.

Aktivitererpåglobal/meta‐niveaumedtagerkontekstogmotivationfx

- løsningafkontekstopgaver- modellering

Side10af242

ViharprimærtbenyttetdetransformationelleopgaveriDEL1somfxdenneopgavefradenuddybendetest(bilag4),somvialleredeharkiggetpåiafsnittet”Snublesten”:Opgave1”Løsligningen ”IDEL2benyttedevifortrinsvisdegenerationelleopgaver,hereksemplificeretvednedenståendeopgavefradenafsluttendetest(sebilag12):Opgave10 udregnsummenafde2førsteuligetaldvs.1+3 udregnsummenafde3førsteuligetal udregnsummenafde4førsteuligetal udregnsummenafde5førsteuligetalSepåresultaterneafdeudregnedesummer.Derertaleomensærligtypetal.Hvilkentype?Opskrivensætning,dergeneralisererdet,duharopdaget.Hardualleredenuvistsætningen?ellerharduenidétil,hvordanmankanviseden?Endeligvardetprimærtopgaverpåglobal/meta‐niveau,derblevanvendtiDEL3iarbejdetmedmodellering.Eteksempelframatematiseringsforløbetsesher:Opgave2

Hvormegetvardenårligeaffaldsproduktioni2007?Hvorstorvarvæksteniaffaldsproduktioni2004ogi2007?BenyttelsenafGTG‐modellenharhjulpetosmedatse,hvadelevernebrugeralgebratil,oghvoridereslæringsvanskelighederbestår.Desudenhardenværetetnyttigtredskabiudviklingenafopgaverogtilatgiveosetpræcistsprogtilattaleomlæringsvanskeligheder.Iundersøgelserneidetreprojekterkunnevihavevalgtatbeskæftigeosmedmangeandreaspekterafundervisningogvejledning.Detkunnehaveværetinteressantatdykkenedietmindreområde,fxbrøkerogdivision,somvived,volderstoreproblemer,ogvikunnehavevalgtatfokuserepåenenkeltelevfrastartenogbeskrivevedkommendesudvikling.Imidlertidmenervi,atdenanvendtetilgangharstørreværdifordenkommendematematikvejledningpåvoresskoler,idetdeninddrageretstørreempirigrundlag(flereidentificeredeeleverogenhelklasse),somergrundigtundersøgt.

146 ss

Side11af242

FindingsDetharvistsig,atflereeleverharlangtstørrelæringsvanskelighederenddendagligeundervisningergiverudtrykfor.Voresnyerhvervedekompetencerfravejlederuddannelsehargjortdetmuligtforosatgennemskue,atmangeeleverstadigbefindersigpågrundskoleniveau.Derermegetstoreforskellepåelevernesfagligeniveau,afhængigeafhvordekommerfra.HereksemplificeretvedIshøjogOdense.ElevAharvistatmatematikvejledningkanændreenelevsmatematikforstillinger.Disseændringerhargivetsigudslagiateleverblevetmereåbenogklartilvejledning,såmanvedhvervejledningsrundeharkunnestartepåethøjereniveau.Istartenvarderelever,manikkekunnesættehendesammenmedivejledningen,mentilsidstvardetmatematiklæringendervardetprimære.Hunforeslogselv,atelevI,somtidligeredeltogivejledningen,atterskullemedienfællesvejledning.ElevIharvistatdetharværetmuligtatfjernesåmangesnublesten,athannuikkelængereerenoplagtkandidattilvejledning.Dygtigeelever(peers)harandremåderatforklaretingenepåendenvejleder.Afstandmellemelevogpeererikkesåstor,ogdettekangøredetnemmereatoverføreviden.Ikkeblotdeudvalgteeleverharændretmatematikforetillingergenneminterventionerne.Ogsåderesklassekammeraterharfåetenholdningtilfaget,ogdenvisersigidenmådedediskuterermatematikpå.Normerfradenklasse(gruppe)baseredeinterventiondukkerlangtoftereopiundervisningen,endfradentraditionelleundervisning.

MatematikvejledningenEfter3semestresuddannelseervinuklartilatfungeresommatematikvejlederepåvoresskoler.Menhvadforestillervios,atarbejdetkommertilatbeståi?oghvadblivervoresrolleiforholdtilkollegerne?hvilkeforventningerharskolernetilos?hvilkeeleverskalvisatsepåathjælpe?

VejledningenstrefaserVoresvæsentligstearbejdsopgavebliverathjælpeelever,deropleverenellerfleresnublesten,ogsomvigennemvejledningskalhjælpepåvejtilenbedreforståelseaffaget.Matematikvejledningenhvilerpåtreben:identifikation,diagnosticeringogintervention,ogpåbaggrundafdetreprojektervihararbejdetmedunderuddannelsen,harvinuetgodtudgangspunktforatigangsætteovenståendetrefasermedetfornuftigtindhold.Voresuddannelseerdoglangtfraslut.Derermegetatlæreendnu,ogvivilkommetilatjustere

Side12af242

voresvejledningsforløbmangegangeifremtiden,nårerfaringerogydereligerestudierviserosnyeogbedrevejemodmålet.Medafsætideerfaringervihargjortosidetreprojekter,kanvinuopsætterammerneforetvejledningsforløb:IdentifikationUddannelsenharudstyretosmed3forskelligedetektionstest.Viforestilleros,atdetisærblivertest1,vikommertilatanvende,ogatdetbliverallenyeelever,derfårtestenindenforderesførstetomånederpåhtx.Viviljustereopgaverneefterderetningslinjer,derertrukketfremiDel1.Vilaverenrettenøgletiltesten,ogladerelevernesegenmatematiklærerrettebesvarelserne.Hereftertalervimedhvermatematiklærer,sompåforhånderblevetbedtomatidentificereelever,derkanhavesærligelæringsvanskeligheder.Sammengennemgårviresultaterneogudpegereventuelleelever,derharbehovforvejledning.Detkanovervejes,omdentest,alleeleverfårskalværeenegentliginitialtest/screening,derrammerbredereogharfærreopgaver.Deelever,derbliversendttilvejledningvilførsthermødedetektionstest1,ogdennebliverrettetafvejlederen(se”Matematikvejlederensårshjul”).Idenudstrækningdererinteressefrafagkollegerne,vilvitilbydeatgiveelevernedeøvrigetotests.ForA‐niveaueleverertestenomræsonnementersærligrelevant.Hvisresultaterneviser,atderikkeergenerelleproblemeriklassen,vilvisomvejlederetageosafdeidentificeredeelever.Menmederfaringernefradetoprojekterombevisførelseogmodelleringforventervi,atmangeeleveropleverproblemerher,ogatviilangtdeflestetilfældebørforeslåmatematiklærerenatfølgeoppåtestenmedenformforklassebaseretinterventionmedfokuspådettestedeområde.DiagnosticeringUddannelsenhargivetosbegrebsapparatommatematiklæringogbegrebsdannelse,somvikanbrugetilatdiagnosticereelevernessnublesten:erdertaleommangelfuldebegrebsbilleder?harelevenenreninstrumenteltilgangtillæring?eretmatematiskbegrebendnuikkekondenseret?ellerharelevenetautoritærtbevisskema?Vivilbenytteinterviewformentilatdiagnosticeredeidentificeredeelever.Indensamtalenanalyserervielevenstestbesvarelseforatfindeområder,derviserspeciellelæringsvanskeligheder,ogviudvælgerdeopgaver,sominterviewetkommertilatdrejesigom.Underdiagnosticeringenerdetvigtigtatundersøgemangeforskelligevinklerpåelevensvanskeligheder,ogdetervigtigtatobserveredeubevistematematikforestillingereleveribesiddelseaf,såmanfårenmosaikafforklaringer,dertilsammengiveretdækkendebilledeaf,hvorforelevenopleverproblemerifaget.InterventionAtfåudvikletgodeogalsidigeinterventionsaktiviteterblivervoresstørsteudfordring.Hermåviudnyttedetnetværkafandrematematikvejledere,somuddannelsenhargivetos.

Side13af242

Viharalleredeudvikletmangeopgaver,somelevernekanarbejdemed,menvivilfåbehovforflereforskelligetyperopgaver.Pånettetfindesderetvældafressourcer,somviskalhavefundetogafprøvet.Mangeerpåengelsk,ogdetvilbremsenogleeleveriatbrugedem.SomeksemplerinternetsiderkannævnesFriViden.dk,traeneren.emu.dkogKhanAcademy.com.Menvibørogsåudforskeandretyperafaktiviteter:elevernelaveregnevisualiseringeriprogrammersomGeogebraellerMaple,brugafklodser,blomsterpinde,papirklip,rumgeometriskefigureretc.Herkanvihentehjælpimaterialerfralæreruddannelsen,hvordentypekreativeaktivitetererlangtmerealmindelige.Mangeafdeelever,vikommertilatvejlede,befindersigoftepågrundskoleniveausærligindenforalgebra.Hvereleverunik,ogskøntmangeaktiviteterkanbrugesafflereelever,måviforventeatdeinogengradskaljusteresforattilgodesedenenkelteelevsspeciellebehovogmålretteindsatsen.Dervilblivebehovforatfølgeoppåinterventionen,forhvornårerman”færdig”medenelev?Herbørdetovervejes,omikkedetvilværeengodinvesteringatgiveelevernenoglekortesamtalermedjævnemellemrumfxhverandenmåned,hvormanpåetkvarterladerelevenfortælle,hvordandetgår,ogmandrøfteretkonkretmatematiskeksempel,derberørerdenellerdesnublesten,vejledningenhardrejessigom.Detkanhavestorbetydningforelevenatvide,atderstadigernogen,derinteresserersigfor,atdetgårgodtifaget.Somnævntunderidentifikationen,vilvejledningenafeleverkunneforbedres,hvismatematiklærerenstøtteropomdetidendagligeundervisning.Desociomatematiskenormer,derdannes,nårmanarbejderpåenbestemområde,forbedrereleverneschancerforatoverkommedereslæringsvanskeligheder.Allerbedstvildetvære,hvislærereneropmærksompådeidentificeredeeleversvanskelighederiplanlægningatundervisningen.Detteerdogikkealtidrealistisk,menengenerelopmærksomhedpåområdetvilogsåværeenfordel.

ElevAsomgennemgåendefigurIalletreprojekterharviarbejdetmedelevA.ElevAerenpigepå18år,dernugåri2.c,enmatA‐biotekAstudieretningpåOdenseTekniskeGymnasium.ElevAerensjovpige,derharhaftrigtigsværtvedmatematik,mensomgernevil.Hunharikkeretstorfagligselvtillidmenerrapireplikkenogikkebangeforatsigesinmening.Ibegyndelsenholdthunsigforsigselvitimerne,sandsynligvisfordihunikkemente,athunhavdenogetfagligtatbydeindmed.Numidti2.gharhunfundetnoglegodesamarbejdspartnere,isærenbestemtpige,somsupplererhendegodtogsomharnogenlundesammefagligeniveau.Ofteindgårpigerneikonstellationermedflereandreeleveriklassen.ElevAhargangimangetingudenforskolen,ogerikkeenafdeoverpræsterende,myreflittigepiger,derellerskendetegnerklassen.Detbetyder,athunikkealtidfårfulgtoppådeekstraaktiviteter,hunerblevetpræsenteretforivejledningen.IDEL1såviatAhavdeproblemermedforskelligerepræsentationerafenfunktion,isærsammenhængenmellemforskriftoggraf,ogathunikkekunnebrugedengrafiskerepræsentationafenlinjetilatløseenligning.Selvebegrebet”enløsning”varfremmedfor

Side14af242

hende,oghunhavdeeninstrumenteltilgangtilalgebraiskligningsløsning.Detgikbedst,nårdenubekendtehedx.Underinterventionenlykkedesdetikke,atfåreificeretløsningsbegrebet,menhunblevlangtbedretilatbestemmeløsningerforligninger,ogdetgikfremadmedsammenhængenmellemalgebraiskeoggrafiskerepræsentationer.DetvarprimærtelevAsfortsatteproblemermedalgebra,derresulteredei,atundervisningsforløbetomræsonnementerogbevisførelse(Del2)komtilathandleomgeometriskeargumenter.Diagnosenviste,atAhavdeproblemermedbegrebetudsagnogækvivalensmellemudsagn,samtathendesbevisskemaervaraftypen”ydreoverbevisning”.Vitilrettelagdederforetinterventionsforløb,hvorAmødteudsagnogækvivalensmellemudsagnheltudenmatematiskindhold,ogdetgikforbløffendegodt.Denafsluttendetestviste,atAvarblevetlangtbedretilatfølgeandresargumenterogenddakunneopstilleenkædeafsimpleræsonnementer.Elevensbevisskemaerhavdeflyttetsigtilethøjeretaksonomiskniveau.EndeligbeskrevviiDel3,elevAsprimæresnublestensomværendeenmangelfuldsymbol‐ogformalismekompetencekombineretmed(derresultereri)storeproblemermedalgebraiskemanipulationerogdermedmatematisering.Hunhavdeproblemermedatkommeigangmedopgaver,ogviarbejdedederformed,hvordanderkunnedannesogfremkaldesbegrebsbilleder,somkunnestøttehende.Interventionenvardelvistsuccesfuld,isærdendel,derhandledeomatfåhulpåopgavervedatsættebillederpådeangivneoplysninger.Detvarogsåtydeligt,atdetgikfremadmedalgebraen.Hunblevbedretilatopstilleformeludtrykfraentekstogforetageberegninger,somnedenståendeeksempelfraafsnittet”Analyseafelevernesbesvarelse”viser–dogmedenmisforståelse,somblevopdagetundervoressamtale.

EndeligsåvientydeligforbedringikvalitetenafdeargumenterelevAbenyttedesigafidokumentationafbesvarelserne,oghunblevistandtilatvælge(ogfravælge)antagelser,derskulleindgåiløsningenafåbneopgaver.

Side15af242

Detteviseros,atderikkeblotereneffektafmatematikvejledningen–elevAhavdeforbedretsigvedhverevaluering,menatderogsåerenlangtidseffekt,idetområder,derblevberørtitidligeredelestadigblevbehersketogløbendeblevforbedret.Samtidigbørdetdogbemærkes,atkvalitetenafdetforløb,Aharværetigennem,næppeopnåsunder”almindelig”vejledning.Detvilikkeværemuligtatgiveenenkeltelev,såmegenopmærksomhedinklusivundervisningsforløb,dererskræddersyettileleven,somdenneelevharværetgenstandfor.Menmåskevilvoresvoksendeerfaringerogaktivitetssamlinginogengradkompenserefordette?

VejlederrolleniforholdtilkollegerMangeskolerharlæsevejledere,derudførertilsvarendeaktiviteterindenforlæsning.Dalæsevanskeligheder(ofte)vilmedførevisseformerformatematikvanskeligheder,vildetværenaturligtmedettætsamarbejdemellemdetotypervejledere.Læsevejlederenvilkunnestøttematematikvejlederenmedrådomlæsestrategier,ogafhængigtaflæsevejlederensfagligebaggrundvilhjælpenogsåkunnegådenandenvej.Mankanforestillesigatmatematikvejlederneopdagersvagelæsere,derikkeerblevetidentificeretienlæsescreening,ogkanhenviseenelevtillæsevejledningen.Indenformatematikfaggruppen,bliverderbehovforetudstraktsamarbejde,hvismatematikvejledningenskallykkes.IDEL1harvidiskuteretnogleafdeudfordringer,dettekangiveanledningtil.Nøgleordeneforetgodtsamarbejdeerrespektogtillid.Somvejlederskalmanhaverespektfordenmådekollegerneplanlæggerogudførerderesundervisningpå,ogdeskalhavetillidtil,atogsådekankommemedspørgsmåliforbindelsemedidentifikationafsvageeleveroginspirationtilforskelligeinterventionsaktiviteterogunderstøttendeundervisningsforløb.Viskalværeopmærksommepå,atdettekanværegrænseoverskridendefornoglekolleger.Endeligservimulighedenforetsamarbejdemedkollegerfraandrematematikholdigefag.Ogsådisselærereviloplevenogleafelevernesmatematiksnublesteniforholdtilegenundervisning,ogdeharderforbrugforatkendetilmatematikvejledningensindhold.

Hvemskalhjælpes?Allerhelstvilvinaturligvishjælpealledeelever,derharlæringsvanskelighederimatematik,mendetteernæppeenrealistiskmulighed.Nogleeleverønskerikkeatblivehjulpet,ellerdemanglerdenmotivation,dergørdetmuligtathjælpedem.Andreermåskesåsvage,atdetvilkræveenmassivindsatsathjælpeenenkeltelev,derdermedlæggersåstortbeslagpåmatematikvejlederen,atdetforhindrerhjælpentilandreelever.Detervoresholdning,atelever,dervirkeligønskeratfåhjælp,ogsomvilbrugedenekstratiddettager,atgåtilsamtalerogarbejdemeddeanvisteinterventionsaktiviteter,skaltilbydesvejledning.Sommetidermåmanundervejserkende,atdetafforskelligeårsagerikkelykkes,ogsåmåvejledningenhøreop.Menvimener,atmanmåtagechancenogtilbydevejledningtilelever,dervirkermegetsvage.Måskekannetopdenneopmærksomhedgiveelevenlystentilatgøreenekstraindsats.Omvendtkandetogsåværeengodidéattilbydevejledningtilelever,dermåskeikkevirkersåsvageiundervisningen.Voresprojekterviser,atnårman

Side16af242

førstgraverlidtdybere,vilderofteliggeproblemerbegravet,somnårderyddesafvejen,resultererietøgetlæringspotentialeimangesammenhænge.

MatematikvejlederensårshjulPåbaggrundafovenståendeharvilavetenskematiskoversigtover,hvilkearbejdsopgaverenmatematikvejlederkommertilatudføreiløbetafåret.

Opgavermedelever

Screeningafalleelever,derrettesaflæ

reren,som

senderudvalgteelevertilm

at‐vejlder.

Udføreogrettedetektionstest.

Identificereelever,derskaltilvejledning

Diagnosticering(interviewsà1time/elev)

Intervention(vejledningsmødermedeleverafca.

20min/elev/gang).Hverelevmødesmedvejleder

ca.3gange.

Intervention

Testomræsonnem

enteriudvalgteklasserHver

lærerretterselvefterudleveretrettenøgle.

IdentifikationudfratestogSO‐forløbom

argumentation

Intervention

Interventionogtestommodellering

Diagnosticering

Intervention(eksamensperiode)

Interventionefterbehov

Opgaver

Forberedetestogrettenøgle.Møderm

ed1.

årslærere

Seminarforfaggruppenom

læringsvanskelighedermedfokuspåalgebra

Seminarforlærereinatvid.fagomvejledning

Seminarforfaggruppeom

ræsonnem

enterog

bevisførelse.ForberedelseafSO‐projekt(A‐

klasser)omargum

entation

Forberedetestomræsonnem

entsam

trettenøgle.Mødemeddeinvolveredelærere.

Deltagelsei2‐dagessem

inarmed

vejledernetvæ

rk

Fagligopdatering

Måned

August

September

Oktober

Novem

ber

Decem

ber

Januar

Februar

Marts

April

Maj

Juni

Heleåret

Side17af242

SkolernesholdningIovenståendeafsnitervifremkommetmedforslagtilhvilkearbejdsopgaverenmatematikvejlederkommertilatudførebådeiforholdtilelever,læsevejleder,fagkollegerogøvrigekollegerimatematikholdigefag.Hvordanvirkelighedenkommertilatseud,vedviendnuikke.Deteruklart,hvormangeressourcerdenenkelteskolevilbrugepåmatematikvejledning,omdenpædagogiskeledelseharenholdningtil,hvordandisseressourcerskalprioriteres,ogomviskalforblivedenenestematematikvejlederpåhvervoresskole.Disseproblemstillingerharviikkebeskæftigetosmedivoresprojekter,mendeharværetdebatteretunderuddannelsen,daemnetselvsagtliggerosmegetpåsinde.

Didaktiskekonsekvenser

LæringsfindingsUddannelsenharikkeblotrustetostilatvejledeelevermedlæringsvanskeligheder,menharogsåpåvirketdenmåde,vitænkerundervisningpå.Såledeserviblevetmegetmereopmærksommepå,atderkanliggealvorligeforståelsesmæssigeproblemerbagrelativt”uskyldige”forkertesvar.Nårenelevlaverfejliligningsløsning,kandetskyldesenbanalregne‐ellerskrivefejl,mendetkanogsåværeenmegetmangelfuldsymbol‐ogformalismekompetenceellerproblemermedgrundlæggendetalforståelse.Foratafklaredette,viletsvarfralæreren,formuleretsometspørgsmåloftevirkelangtbedre,endblotetsvar,deranviserløsningen.Kendskabtilbegrebersominstrumentelversusrelationellæring,begrebsdefinitionerogbegrebsbilleder,bevisskemaerogsociomatematiskenormer,forblotatnævnenoglefå,haralleefterladtsigsporidenmåde,vitilrettelæggervoresundervisning.Såledesbrugervinumangeflereforskelligerepræsentationerogillustrationeroverforeleverne,foratgivedemmangebegrebsbillederattrækkepå.Somunderviserepåhtx,hvorbrugafmatematikprogrammertraditioneltfyldermeget,hararbejdetmedtransformationelleopgavergjortosopmærksommepå,atderiudførelsenafalgebraiske”rutineopgaver”ogsåliggerenerkendelsesdel,somervigtigathuskeogbrugetidpå.Viskalhellereikkeværebekymredeoveratbrugelangtidpådeforskelligedelprocesserimodellering,forherudviklesmangekompetencerinklusivbrugenafræsonnementer.

FremtidigudviklingDereringentvivlom,atuddannelsensommatematikvejlederharsatenudviklingigang,derikkestopperher.Derermegendidaktisklitteratur,somskallæses,mangeundersøgelser,derskalforetagesogmangeinterventionsaktiviteter,somskalfindesellerudvikles.Hvisviskalpegepåkonkreteområder,hvorvigernesåenmulighedforvidereuddannelseerdetirelationtilproblemløsning(problemsolving),derfyldermegetpågymnasialtniveau,ogsomgiveranledningtilmangevanskeligheder,samtlæsningafmatematisketekster,somviharhaftmegetfokuspådesenereårpåhtx(bl.a.påfagdidaktiskkursus).Herkommereleverneoftetil

Side18af242

kort,dadet(stadig)erdefærrestelærere,somerklarover,atderertaleometgenereltproblemogendnufærre,dervedhvadmankangøreveddet.Viforventerosmegetatdetmatematikvejledernetværk,viharfåetpåuddannelsen,ogserfremtil,atdetvoksermednyeårgange.Viergodtklarover,atdetkræverenindsatsfraosalle,hvisdennystartedematematikvejlederforeningskalblivetilandetogmereendenhjemmesideogenårliggeneralforsamling,menskalbliveenaktivforeningtilgavnogglædeforbådelærereogelever.   

Side19af242

IndholdDEL1–Algebra–begreberogbegrebsdannelse..........................................................................................23 

Indledning.......................................................................................................................................................................23 

Matematikpåhtx.........................................................................................................................................................23 

Indsnævringafproblemfelt....................................................................................................................................24 

Problemformulering...................................................................................................................................................25 

Begrebsdannelseogbegrebsbilleder..................................................................................................................26 

Hvordaneleverlæreralgebra................................................................................................................................29 

Algebraiskbegrebsdannelse..............................................................................................................................30 

Algebraiskeaktiviteter–enmodel.................................................................................................................30 

Elevforudsætninger‐algebraiudskolingen...............................................................................................31 

Algebraigymnasiet...............................................................................................................................................34 

Vejledningenstrefaser.............................................................................................................................................35 

1.fase:Identifikation.............................................................................................................................................35 

2.fase:Diagnosticering........................................................................................................................................36 

3.fase:Intervention...............................................................................................................................................36 

Empiri...............................................................................................................................................................................37 

Metodevedbrugafdendiagnostisketest...................................................................................................37 

Resultateroganalyseafdetektionstest1....................................................................................................37 

Lærerensforventningerversuselevernesbesvarelser.........................................................................40 

Samtalemedudvalgteelever.............................................................................................................................41 

Harsamtalernevirket?.........................................................................................................................................48 

Detektionstest1...........................................................................................................................................................49 

Identifikationafelever,derharbehovformatematikvejledning..........................................................50 

Findings...........................................................................................................................................................................51 

Diskussion.......................................................................................................................................................................52 

Sammenhængenmellemeleverneslæringsforudsætningerogderesvalgafstudieretning52 

Forskellenpådrengeogpiger...........................................................................................................................52 

Vejledningssamtalersomintervention.........................................................................................................53 

Konklusion......................................................................................................................................................................54 

DEL2–Matematiskeræsonnementerogbevisførelse...............................................................................55 

Indledning.......................................................................................................................................................................55 

RæsonnementetsrollepåHTX..............................................................................................................................55 

Side20af242

Problemformulering...................................................................................................................................................57 

Eleversmatematikforestillinger...........................................................................................................................57 

Bevisskemaer................................................................................................................................................................59 

Sociomatematiskenormer.......................................................................................................................................61 

Undersøgelsesbaseretundervisning..............................................................................................................62 

Didaktiskesituationer..........................................................................................................................................63 

Vejledningenstrefaser.............................................................................................................................................64 

1.fase:Identifikation.............................................................................................................................................64 

2.fase:Diagnosticering........................................................................................................................................65 

3.fase:Intervention...............................................................................................................................................65 

Empiri...............................................................................................................................................................................66 

Undersøgelseafeleversmatematikforestillinger.....................................................................................66 

Detektionstest2......................................................................................................................................................69 

Metodevedbrugafdetektionstest2.........................................................................................................69 

Resultateroganalyseafdetektionstest2................................................................................................69 

Lærerensforventningerversuselevernesbesvarelser.....................................................................71 

Diagnosticeringafudvalgteelever..................................................................................................................72 

ElevA(OTG).........................................................................................................................................................72 

ElevI(OTG)..........................................................................................................................................................73 

ElevCogD(CPHWest)...................................................................................................................................74 

Undervisningsforløbet..........................................................................................................................................76 

Udviklingafforløbet.........................................................................................................................................76 

ObservationerundergruppearbejdetpåOTG......................................................................................79 

Institutionalisering............................................................................................................................................81 

ObservationerunderforløbetpåCPHWest...........................................................................................83 

Afsluttendevejledningssamtale.......................................................................................................................83 

Harforløbetvirket?....................................................................................................................................................86 

Detektionstest2...........................................................................................................................................................91 

Strategiformatematikvejledning.........................................................................................................................92 

Findings...........................................................................................................................................................................94 

Diskussion.......................................................................................................................................................................94 

Matematikforestillinger.......................................................................................................................................94 

Bevisskemaer...........................................................................................................................................................95 

Sociomatematiskenormer..................................................................................................................................95 

Side21af242

Konklusion......................................................................................................................................................................95 

DEL3–Matematiskmodellering..........................................................................................................................97 

Indledning.......................................................................................................................................................................97 

Matematiskemodellerogmodellering..............................................................................................................97 

Modellerogmodelleringsrollepåhtx.............................................................................................................100 

Problemformulering................................................................................................................................................102 

Modelleringskompetencenssærligestatus...................................................................................................103 

Bevisførelseogmodelleringsombegrundelsesformer...........................................................................105 

Snublesten...................................................................................................................................................................106 

Vejledningenstrefaser..........................................................................................................................................108 

1.fase:Identifikation..........................................................................................................................................108 

2.fase:Diagnosticering.....................................................................................................................................109 

3.fase:Intervention............................................................................................................................................109 

Succeskriterier...........................................................................................................................................................109 

Empiri............................................................................................................................................................................110 

Detektionstest3...................................................................................................................................................110 

Metodevedbrugafdetektionstest3......................................................................................................110 

Resultateroganalyseafdetektionstest3.............................................................................................110 

Identifikationafsvageogstærkeelever....................................................................................................111 

Sammenligningmedtidligeretestresultater...........................................................................................113 

Lærerensforventningerversuselevernesbesvarelse........................................................................113 

Analyseafdygtigeogsvageeleversbesvarelseafdetektionstest3..............................................114 

Hvadkanmanlæreafdedygtigeelever?.............................................................................................114 

Snublestenvedmodellering.......................................................................................................................116 

Diagnosticeringafdeudvalgteelever.........................................................................................................118 

ElevA(OTG)......................................................................................................................................................119 

ElevM(OTG).....................................................................................................................................................122 

Interventionmedfokuspåmatematiseringogpræmatematisering............................................124 

UndervisningsforløbetpåOTG..................................................................................................................124 

Analyseafmatematiseringsopgaver......................................................................................................125 

ObservationerundermatematiseringsforløbetpåOTG................................................................128 

Harforløbetvirket?.................................................................................................................................................131 

Denafsluttendesamtale...................................................................................................................................131 

Analyseafelevernesbesvarelse....................................................................................................................132 

Side22af242

Detektionstest3........................................................................................................................................................136 

Læringsfindings.........................................................................................................................................................136 

Vejlederrollen........................................................................................................................................................136 

Didaktiskekonsekvenser.................................................................................................................................137 

Findings........................................................................................................................................................................138 

Diskussion....................................................................................................................................................................138 

Overførselafdygtigeeleversmodelleringsstrategiertilelevermedlæringsvanskeligheder......................................................................................................................................................................................138 

Klassebaseretinterventionogsociomatematiskenormer................................................................139 

Konklusion...................................................................................................................................................................139 

Litteraturliste.............................................................................................................................................................141 

Bilag................................................................................................................................................................................146 

Side23af242

DEL1–Algebra–begreberogbegrebsdannelse

IndledningPåtekniskgymnasiumspillermatematikfagetenstorrollebådeisinegenretogsometredskabsfagfordenaturligvidenskabeligefagfysik,kemi,biologisamtteknologiogteknikfagene.AlleeleverharfagetpåmindstB‐niveau,ogknap80%afelevernevælgerA‐niveauentenienstudieretningellervedetløftpå3.år.AtsåmangeeleverharfagetpåA‐niveauerproblematisk,dadetikkeersåstorendelafelevmassen,derharevneroginteresseforfaget,ogsomeristandtilatydedennødvendigearbejdsindsats.Trodsetstortoplysendearbejdefraskolernesside,ereleverneoverbevisteomnødvendighedenafattagematematikpåA‐niveauforatkunnekommeindpåderesønskestudiumefterstudentereksamen.DerfindesderforeleverpåsåvelA‐somB‐niveau,derharmassiveproblemermedfaget,ogviharidetteprojektundersøgt,hvordanenmanglendebegrebsforståelseogbegrebsdannelsegiverindlæringsvanskeligheder.Deelever,viharsetpå,erallepågrundforløbet(1.semester),ogdeharendnuikkevalgtderesendeligestudieretning.SomredskabtilundersøgelsenharvibenyttetendetektionstestudarbejdetafMogensNissogUffeJankvist.Dennetestbestårafenrækkealgebraopgaver–ibegrebetsbredeforstandsombeskrevetiafsnittetHvordaneleverlæreralgebra.Testenervedlagtsombilag1.

MatematikpåhtxIlæreplanenforB‐niveauet(UVM,2010b)erdefagligemåludtryktvedde8kernekompetencer,somdefineretiKOM‐rapporten(Niss&Jensen,2002).Eleverneskal:

- opnåkendskabtilmatematisktankegangogræsonnement,kunneforetagesimplematematiskeræsonnementerogudføreenklebeviser

- kunnevekslemellemetmatematiskbegrebsforskelligerepræsentationer- kunneformulereogløsematematiskeproblemerafsåvelteoretisksom

anvendelsesmæssigkarakter- kunneanalyserekonkrete,praktiskeproblemstillingerprimærtindenforteknologiog

naturvidenskab,opstilleenenkelmatematiskmodelforproblemet,løseproblemetsamtdokumentereogfortolkeløsningenpraktisk,herundergøreredeformodellenseventuellebegrænsningerogdensvaliditet

- kunneanvenderelevantematematiskehjælpemidler,herunderCAS‐værktøjerogmatematikprogrammer,tilvisualiseringerogundersøgelser,derunderstøtterbegrebsudviklingen,samttildokumentation.Endviderekunnebenytteittilberegningerogundersøgelserafudtryk,derliggeridirekteforlængelseafdetipkt.2.2.nævnte

- kunneformuleresigiogskiftemellemdetmatematiskesymbolsprogogdetdagligeskrevneellertaltesprog.

Side24af242

ImatematikAerdefagligemåludtryktpåtilsvarendemåde,dogpåethøjereniveau(UVM,2010a).Foratopnådefagligemål,forventesdet,ateleverneharetfundamentaf”grundlæggendefærdigheder”,sommankanbyggepå.Såledeslyderdetiafsnittetomdidaktiskeprincipperilæreplanen:Foratstyrkeelevensmatematiskebegrebsforståelseskalderiundervisningenarbejdesmedatudvikleogvedligeholdeelevensgrundlæggendefærdighederitilstrækkeligtomfang.Denneformuleringersærdelesvæsentlig,idetmanpåhtxarbejdermegetmedmatematikprogrammer,ogfagetikkeafsluttesmedendelprøveudenhjælpemidler,somdetertilfældetefter9.klassetrinogpådeøvrigegymnasialeuddannelser.Undervisningenmisterderfornemtfokuspå”degrundlæggendefærdigheder”.Imidlertidkræverarbejdemedbevisførelseherundersymbolmanipulation,opstillingafligningeretc.,ateleverneharkendskabtilogforståelseforbl.a.fundamentalalgebra,ogderforer”degrundlæggendefærdigheder”særdelesvigtigepåhtx,selvomdeikketestesiensærskiltprøve.Detteprojektbelyserbegrebsindlæringogproblemerhermedindenforområdetalgebrameddetmålforøjeatkunnehjælpesvageelever,sådeikkebremsesideresvideretilegnelseafmatematikfagetpågrundafmanglende”grundlæggendefærdigheder”.

IndsnævringafproblemfeltSomtidligerenævntharetvilkårfordetteprojektværetanvendelsenafentilformåletudviklettest.Viharefterfølgendeanalyseretdedata,viharfåetvedatgive163eleverdennetest.Foratsehvadderisærliggradgiversvageeleverproblemer,harviopdelttestensopgaverifirekategorier:symbolerogmatematiskekonventioner,talforståelse,ligningersamtvariabelsammenhæng.Denneopdelingfindesibilag2.Ennærmereanalyseaftestresultaterne,dereropsummeretibilag3,viser,atdeelever,derklarersigdårligtitesten,alleklarersigspecieltdårligtiområdetligninger.Viharderforvalgtatfokuserepådeproblemer,eleverneharmedmanipulationafsymbolske/talmæssigealgebraiskeudtrykiforbindelsemedligningsløsning,detvilsigedendelafkernestoffet,derbeskæftigersigmedregningsarterneshierarki,reduktion,reglerforregningmedpotenserogrødder,ligningsløsning,bådeanalytisk,grafiskogvedhjælpafit.(UVM,2010b)Iforholdtilvoreskommenderollesommatematikvejledereerderaltsåvægtigegrundetilatbeskæftigesigmedelevernesbegrebsindlæringafdendelafalgebraen,deromhandlerbrugafbogstaver/symboler,samtatundersøgehvilkestrategierenvejledningidetteområdeskalbyggepå.Herkanmandragenytteafinternationaleundersøgelseraf,hvordaneleverlæreralgebra,oghvordanmankanafhjælpeproblemerhermed.Manskaldogværeopmærksompå,atDanmarkpåflereområderadskillersigfrarestenafverdenidenmådeundervisningen

Side25af242

tilrettelæggesbådemht.formogindhold,såundersøgelsernesresultaterkanikkedirekteoverførestildanskeforhold.Viharendviderefundetdetinteressantatsepå,omdererensammenhængmellemelevernestestresultaterogderesvalgafstudieretningpåhtx,dvs.omdevælgerenstudieretningmedmatematikA.Viserdersigentydeligsammenhæng,kandetfåbetydningfordendagligeundervisningstilrettelæggelse.Idenudstrækningmanbenytterklassebaseretintervention,kanmatematikvejledningenbedremålretteselevernesbehov.Iforbindelsemedenmasteruddannelsearbejdededennerapportseneforfatter(Pihl)meddeganskestoreforskelle,dererpådrengesogpigerstilgangogudbytteafmatematikundervisningen.Detvilderforværeinteressantatundersøge,omdenneforskelharbetydningfordereslæringsvanskeligheder.Viharderforstilletosselvfølgendespørgsmål,somvigernevilundersøgeidetteprojekt:

- Hvordanlærereleveralgebra?ogsermandesammetendenseriDanmarksominternationaltiforholdtilindlæringogproblemernehermed?

- Erderforskelpåomfangetogtypenafindlæringsvanskelighederforelever,derharvalgthhv.enA‐ellerenB‐studieretning?ogerderforskelpådrengesogpigersindlæringsvanskeligheder?

- Hvordanvejlederman?Hjælperdetatsamtalemedelever?dvs.kandetteføretilopbygningelleraktiveringafbegrebsbilleder,dergørdemistandtilbedreatforståalgebra?

ProblemformuleringOvenståendebetragtninger/spørgsmålgiveranledningtilfølgendeproblemformulering:

I hvor høj grad afspejler elevernes valg af studieretninger medmatematik A deres læringsforudsætninger, og eksisterer der er ensammenhæng mellem elevernes køn og deres eventuelle problemermedbegrebstilegnelse?Resultaterne af detektionstest 1 giver anledning til udvælgelse af etantalelever,derharklaretsigdårligt.Ihvilkenudstrækning fungerervejledningssamtalersommiddeltilatafhjælpedeidentificeredeeleverslæringsvanskeligheder?

Foratkunneanalyserevoreegneeleverslæringsvanskelighederharvisetpå,hvordanforskelligematematikdidaktikerebeskrivermatematiskbegrebsdannelse.Dissetankerogteorierredegøresderforifølgendeafsnit.

Side26af242

BegrebsdannelseogbegrebsbillederTallogVinner(1981)redegørideresartikelforforskellenpåenbegrebsdefinitionogetbegrebsbillede.Denformellebegrebsdefinitionerdendefinitionsomelevenfårpræsenteretiundervisningen,ogsombenyttesafmatematikere.Enelevkanhavesinegenbegrebsdefinition,somadskillersigfradenformelle,daelevenoftevilformuleresitbegrebmedandre(selvvalgte)ord.TallogVinner(1981)beskriveretbegrebsbilledesomdensamledekognitivestruktur,derbestårafmentalebilleder,forskelligeegenskaber,processermv.associeretmedetbestemtmatematiskbegreb.Begrebsbilledetbliveropbyggetudfraegneerfaringerogudviklesyderligeregennemarbejdetmedbegrebet.Enmanglendeoverensstemmelsemellembegrebsdefinitionerogbegrebsbillederresultererofteilæringsvanskeligheder.Hviseleverneharsvagebegrebsbilleder,vildeundergeneralisereoghavevanskelighedervedatbrugematematikkeniukendtesituationer.Omvendtvilsvagebegrebsdefinitionerføretil,ateleverneovergeneraliserevedfxatlavederesegnealgebraiskeregler.Foratstyrkebegrebsdannelsenerdetvigtigtatarbejdemedforskelligerepræsentationerogderigennemgiveelevernevarieredebegrebsbilleder.Matematiskebegreberogdermedbegrebsdannelseogbegrebsbillederblivermegettidligtintroduceretforbørninæstenallekulturer.Herforståshvordanet(nyt)begrebbliverindført,bliverbrugtogenforståelseopstår.MatematiskebegreberkanifølgeSfard(1991)defineresogforståspåtomåder:Operationelt,hvordetdrejersigomprocesserogalgoritmer,resultatetafelevenshandlinger,ogstrukturelt,hvorbegrebeterblevetet(virkeligtfysisk)objekt,derkanbehandlesogmanipuleresmedsomethele.AnnaSfardbeskrivertrestadierafmatematiklæring(sefigur1).Førstfindereninternaliseringsted,hvorbegrebetkangenkendesogbrugesiforbindelsemedalleredekendtebegrebogprocesser.Hereftervileleveniforbindelsemedanvendelseafbegrebetfåetbrederekendskabtilhvorledesdetbenyttes;derskerenkondensering.Sidsteskridtiforståelsenafetbegreber,nårelevenkanbrugebegrebetsomen”ting”ogikkesomenproces;dettekaldetreifikation(tingsliggørelse).Underdeførstetostadierharelevenenoperationelforståelseafbegrebet,hvorimoddetkræverenstrukturelforståelseatnåoppådetsidstestadium.Sagtmedandreord:”Operationelforståelseerdenenestemåde,hvorpåmankankommeikontaktmeddeabstraktebegreber”.Detteerenpointe,derermegetvæsentlig,iforbindelsemedundervisningsplanlægning.

Side27af242

Figur1EnmodelforA.Sfard’strestadierimatematiskbegrebsdannelse.

Ibarnetsførsteleveårerdettalbegrebetogmængdebegrebet,derbliverindarbejdet.Detbetyder,atnårbørnstarteriskolen,villæreren”bygge”ovenpådetbegrebsbillede,sombørnene(forhåbentlig)harmedhjemmefra.Iløbetafgrundskolenbliverdertilføjetnyebegreber,sombørneneskalforholdesigtilogfåsatindietsystem.Ideførsteårfårelevernelovtilatbrugeegnemetodertilatløsematematiskeproblemstillinger.Førstiudskolingen(7.‐9.klasse)bliverbørnenemereformeltintroducerettilmetoderogbegreberimatematik.Deelever,somvælgergymnasiet,vilherbliveintroduceretformangenyeogmerekompliceredebegreber.Denyebegreberbliverofteindførtmedafsætidet,somelevenalleredekender.Ladossepåetkonkreteksempel,sombelysernogleafdestadier,visenerevendertilbagetilianalysenafvoreudvalgteeleversvanskeligheder.

Side28af242

Påfigur2sesenfølgeafbegreber,derfølgernaturligtefterhinandeniforbindelsemedligningsløsning.

Figur2Enfølgeafmatematiskebegreber

Ofteblivernyebegrebernavngivetoganvendt,forførstsenereatbliveformeltdefineret.Servifxpåligninger,vildisseefterenuformelintroduktionmedforskelligekonkreteeksemplerog”historier”blivertilenegentligligningmedetx,somdenubekendte.Hereftervildeflesteeleverkunnegenkendeenligning,sometmatematiskudtryk,somindeholderetxogetlighedstegn.Denneligningkanløsesvedatflytterundtpåtalogsymbolervedhjælpafenrækkeregneregler,ellervedat”gøredetsammepåbeggesideraflighedstegnet”.Atdetteprincipielterénogsammemetode,erderikkemangeelever,dererklarover.Elever,somkunopnårendelvisforståelseafetbegreb,vilopnådet,somSkemp(1976)kaldereninstrumentalforståelse,ogeleverviloftekunværeistandtilatløselignendeopgaver.Bliverdenukendtebenævntmedetandetbogstav,opstårproblemermedatgenkendedetsomenligning.Førstnårelevenharfåetdenformelledefinitionmedisinbegrebsdannelseogdernæsthardannetsignoglebegrebsbilleder,harhanopnåetenrelationelforståelseforbegrebet.Elevenvilværeistandtilatløseligninger,someropskrevetanderledes,fxvedbrugafandrevariabelnavneellersomerstilletmedenandenordlyd.Sombeskrevetovenforblivernyebegreberoftebyggetovenpåalleredekendtebegreber.Detbetyder,atharmanenbegrænsetforståelsepåetgivetniveau,kandetresultereiforkerteellermangelfuldebegrebsbilleder,derførertillæringsvanskeligheder.Dettekanmedføreatbegrebet

- ikkebliverforstået,dvs.elevenkanikkebrugedet- blivermisforstået,dvs.elevenbrugerdetforkert- bliverdelvistforstået,dvs.elevenkankunbrugedetibegrænsetomfang.

Kvadratligning

Ligningafførstegrad

Envariabel

Multiplicere

Læggesammen

Side29af242

Elevermedmanglendebegrebsbilledervilhavesværtvedatlærenyebegreberoganvendealleredekendtebegreber.

HvordaneleverlæreralgebraIdetteafsnitpræsenteresdenramme,viharvalgtatplacerebegrebsdannelsenafalgebrai.HertilharvibenyttetKieransartikelfra20073,hvorihunopsummerervæsentligeinternationaleresultaterindenfordetteforskningsfelt.Sidenmidtenaf80'erneharder(iUSA)væretendiskussionomindholdogundervisningafalgebraiskolen.Derertoretninger:tradition‐versusreform‐retningen.Traditionellealgebrakurservarertypisketårogharfølgendeindhold

- løsningafligningerogligningssystemer- uligheder- symbolskmanipulation- faktoriseringafpolynomierogrationelleudtryk.

Formåletmedalgebraeratgenkendeforskelligeformerogomskrivedem.Reformlinjenomfatter

- funktioner- tekstopgaverom"denvirkeligeverden"ogbrugafteknologi- forskelligerepræsentationer.

Naturligvisfindesderkombinationerafovenståenderetninger,menligesomdehverforsiggiveranledningtilforskelligetyperindlæringsvanskeligheder,harforskningvist,atogsåkombinationerskaberproblemerfxmedatskabesammenhængmellemligningerogfunktioner.Danmarkharenklarreformtilgangtilalgebra,idetderivorelæreplanernetoplæggesvægtpådeområder,somkarakterisererdenneretning.Bådehvadangårform(opbygning)ogindhold,adskillerdendanskegymnasieskoleoghtxisærdeleshedsigdogfradeflesteandrelande,hvormanmangestederfølgerdentraditionellelinje.

3Artiklenerenoversigtsartikel,ogviharvalgtikkeatangivedekilderdenbenyttersigafundervejsirapporten.DerhenvisesistedettilKieran(2007).

Side30af242

AlgebraiskbegrebsdannelseNåreleverskalskabemeningidenalgebraundervisning,demodtager,skelnermanmellem

1. forståelse,derkommerframatematikkenselvherunder‐dealgebraiskestrukturerinkl.bogstaverogsymboler‐matematiskerepræsentationer

2. forståelse,derkommerfrakonteksten3. forståelse,somkommerfradet,derliggerudenforkontekstenogmatematikkenselvså

somkropssprog,metaforer,egneoplevelserosv.Vivilidetteprojektfokuserepådetførstepunkt,menskalherkortuddybe,hvadderforståsvedalletreveje,derkanføretilalgebraiskbegrebsforståelse.Ad1.Foratkunnearbejdemedalgebraiskeudtrykkræverdetforståelseafdematematiskeoperationerogtilladteomskrivninger.Derbyggespåkendtetalberegningeroggeneraliserestilbogstaverogsymboler.Forskningviser,atdenneovergangermegetvanskelig.Alternativtarbejdesdermedandrerepræsentationerfxtabelleroggrafer.Dettekanpådenenesideværemedtilatskabeøgetforståelsevedatudnytte,atelevernekandanneflereforskelligebegrebsbilleder,menpådenandensideharmangeeleverproblemermedatskabesammenhængmellemforskelligerepræsentationer.Ad2.Vedatarbejdemedopgaver,der"betydernoget",kandetøgeforståelsenafdenbenyttedealgebra.Manmener,atenkontekst,hvorderregnes/løsesopgaverskaberdetfundament,hvorpåalgebraisktankegangogræsonnementhviler.Algebraerdetværktøj,dergørdetmuligtatløseheleklasserafproblemerpåengang.Dettevendervitilbagetilidetoefterfølgendeprojekteromhhv.matematiskræsonnementogbevisførelsesamtommodellering.Ad3.Gårmanskridtetvidereogarbejdermedmodellering,fårhjælpemidlersomfxitbetydning,ligesomkropssprog,fortællinger,tidligereoplevelserosv.indgåridenproces,hvoreleverneskalskabemeningialgebra.Nåreleverførstegangmøderalgebra,vildebenyttederesvidenfraandreområder.Udfordringenerathjælpeelevernemedattransformeredennevidentilvidenom”skolealgebraen”.Dettevilvisenærmerepåivorttredjeprojekt.

Algebraiskeaktiviteter–enmodelForatlærealgebragennemgåreleverforskelligeaktiviteter.Dissekaninddelesiforskelligekategorier,derafhængeraf,hvilkentypebegrebsliggørelse,derarbejdesmed.ViharidetteprojektvalgtatarbejdemedGTG‐modellen,dererudvikletafKieran(2007),ibeskrivelsenafdisseaktiviteter.Modellenervistpåfigur3.Meddennemodelvilviførstanalyseregrundskolematematikken,ogdermeddeforudsætningerelevernemøderopmedigymnasiet.Derefterbenyttesmodellentilatkategorisereopgavetyperneidetektionstesten,ogvikanpåbaggrundafdettearbejdebeslutte,hvilkeaktiviteter,derskalliggetilgrundforvejledningen.Tilslutbenyttesmodellenidiskussionenafhvorledesenfremtidigmatematikvejledningskal

Side31af242

tilrettelægges.VivilogsåidekommendeprojekteranvendeGTG‐modellen.Hvorviidetteprojektharfokuspåtransformationelleogtildelsgenerationelleaktiviteter,vilnæsteprojekthavevægtpågenerationelleaktiviteter,ogsidsteprojekthavefokuspåaktiviteterpådetglobale/meta‐niveau.

Figur3GTG‐modellen

Degenerationelleaktiviteteromfatteropstillingafudtrykfxalgebraiskeobjektersom

- ligninger,derindeholderenubekendt,somrepræsentererdet,derskalbestemmes,- generelleudtryk,derbeskrivergeometriskestrukturer- generelleudtrykomtalfølgerogreglerforforholdmellemtal.

Enstordelafdenmening,elevernelæggerialgebra,skabesher,ogderesforståelseafhængerafdenmådeaktiviteternerefererertilhhv.bogstavsymbolik,funktionerogmultiplerepræsentationer.Gennemtransformationelle(regelbaserede)aktiviteteropnåsikkeblotfærdighedervedatsubstituere,faktorisere,gangeud,forkorteosv.Dererogsåenforståelsesdelknyttettildisseaktiviteter,somikkeblotergivetveddenteknik,somproducererresultater,menogsåskaberenerkendelsesdelomdeobjekter,manarbejdermed.Endeligerderdetglobale/meta‐niveau,sommedtagerkontekstenogmotivationenfordeaktiviteter,dererforegåetpådeforegåendeniveauer.Hersermanpåalgebraensometværktøjtilatlavematematikogherinkluderesløsningafopgaverogmodellering.

Elevforudsætninger‐algebraiudskolingenForatforstådeproblemer,noglegymnasieeleverharmedalgebra,servipåhvilkenundervisning,deharmødtigrundskolen.Viharvalgtatundersøgegrundskolematematikken

Side32af242

gennemlæreplanoglæsevejledning4,ogefterfølgendeharvisammenholdtdissebeskrivelsermedderesultatersomdendidaktiskeforskningerkommetfremtil.ItrinmålforfagetMatematikefter9.klasse(UVM,2009a)hedderdetomarbejdetmedtalogalgebra:Undervisningenskalledefremmod,atelevernehartilegnetsigkundskaberogfærdigheder,dersætterdemistandtilat

- kendedereelletaloganvendedemipraktiskeogteoretiskesammenhænge- arbejdemedtalfølgerogforandringermedhenblikpåatundersøge,systematisereog

generalisere- regnemedbrøker,bl.a.iforbindelsemedløsningafligningerogalgebraiskeproblemer- forståoganvendeprocentbegrebet- kenderegningsarterneshierarkisamtbegrundeoganvenderegneregler- forståoganvendeformlerogmatematiskeudtryk,hvoriderindgårvariable- anvendefunktionertilatbeskrivesammenhængeogforandringer- arbejdemedfunktioneriforskelligerepræsentationer- løseligningerogenkleligningssystemerogvedinspektionløseenkleuligheder- bestemmeløsningertilligningerogligningssystemergrafisk.

Sammenlignermanovenståendetrinmålmeddefagligemålogkernestoffetformatematikpåhtx,kanmanse,atmatematikkenpådetouddannelserliggerfintiforlængelseafhinanden.Problemerneopstår,nåreleverneigrundskolenafforskelligeårsagerikkeharerhvervetsigdissekundskaber.Ilæsevejledningenfremhæves,atderskalarbejdesmedtalogalgebraibehandlingafproblemstillingerfrahverdagenogikkeblotgennemrenetalopgaverogmanipulationmedbogstavudtryk.Detteerdogogsåenvigtigdel,idétalgebraikkekanbliveetanvendeligtsprog,derkanbenyttesiforbindelsemedbeskrivelseafgeneraliseringerogsammenhænge,hvismanikkekanomskrivesymboludtryk.Deaktivitetermanarbejdermedigrundskolen,kanbeskrivesvedhjælpafGTG‐modellen.Ilæsevejledningenerarbejdetmedalgebrabeskrevetvedhjælpafdenalgebraiskecyklus,somillustreretpåfigur4.Vigenfinderdegenerationelleaktivitetersomoversættelseogopskrivningafalgebraiskeudtryk,detransformationelleaktivitetersomomskrivningafalgebraiskeudtrykogdetglobale/metaniveausomtolkningafudtrykogoversættelseafhændelser.

4Dettekanværeproblematisk,idetpraksispåskolerneikkenødvendigvisafspejlerstyredokumenterneintentioner.DetteertydeliggjortiEVA(2012)hvorfradettecitaterhentet:”NoglelærerehardenholdningtilFællesMål,atFællesMålervejledendesnarereendetforpligtendeafsætforderesundervisning.Detindebærer,atFællesMålpåforskelligvisharindflydelsepådenmåde,lærerneplanlæggerogtilrettelæggerderesundervisningpå,menatlærerneihøjgradudvælgerdetfraFællesMål,somdefinderbrugbart”(s.37).Rapportenviserendvidere,atmangematematiklærereigrundskolensletikkekendertilhverkenFællesMålellerdetilhørendevejledninger.

Side33af242

Arbejdetmedalgebrakansessomcirkulært.Arbejdetbeståraffasermed

• oversættelseafenhændelseellerenproblemstillingtiletalgebraiskudtryk

• omskrivningafsymboludtryk• tolkningafsymboludtryk(der

igenknyttestilhændelsenellerproblemstillingen)

Deteraltsånødvendigtatkunnehåndtereallefaserafdenalgebraiskecyklus,hvisalgebraskalbliveetbrugbartsprogogredskab.(UVM,2009,b)

Viharaltsåenforventningom,ateleverneharudførtdetreforskelligetyperaktiviteterfraGTG‐modellen,derkarakterisererbegrebsindlæringafalgebra.Imidlertidvisersåvelvoreerfaringersomdetektionstesten,atdisseaktiviteterikkeførertil,atalleeleverkanhåndteredeforskelligefaseridenalgebraiskecyklus,ogdederforopleverproblemer,nårdemødermatematiskeområder,derforudsætteranvendelseafalgebra.Vivenderosderforattermoddeninternationaleforskning,foratundersøge,hvoroghvorforeleverharproblemermedbegrebsindlæringen.IafsnittetVejledningenstrefaservilvisammenholdeforskningsresultaternemedvoreegneobservationer.Etanerkendtproblemerovergangenfraaritmetiktilalgebra.Herbenyttesforskelligetilgangebl.a.multiplerepræsentationersomregneark,tabelleroggrafer.Imidlertidharmangeeleversværtvedatkoblesymbolermeddeøvrigerepræsentationsformer,deroftegiverbedremeningfordem5.Dererdeltemeningeromhvorvidt"hjælpemidler"somvægte,stænger,linealeretc.harpositivbetydning,nåreleverskallæreatmanipulereligningerogskalforståligheder.Almindeligtforekommendefejlerfxatsætteusynligeparenteserogmisforstå,hvaddetvilsige,attoobjektererækvivalente.

5Vimener,atnogleafdisseproblemerskyldes,atmangeelevaktiviteterforegårisammerækkefølge:forskrifttabelgraf.Kunsjældentbliverelevernebedtomatarbejdemedandreskiftirepræsentationsform,ogdetgiverensvagerebegrebsdannelse.

Figur4 Algebraiskcyklus

Side34af242

AlgebraigymnasietImodsætningtildendidaktiskeforskningpågrundskoleområdet,erderfærrestudierafgenerationelleaktivitetermedfokuspåbogstaverogsymbolerpågymnasieniveau.Mendenforskning,dererpåområdet,viser,atelevernefortsatopleverproblemer.Dekanikkesestrukturer,generelleloveogmønstre,ogdemanglerabstraktforståelseuafhængigafkonkretetalberegninger.Isærbrugafparametregivervanskelighederogkunmegetfåeleverkanredegørepåforskellenmellemenparameter,envariableogenubekendt.Foratimødegådisseproblemerarbejdesdermedalgebraisammenhængmedfunktioner.Funktionsbegrebeterimidlertidogsåmegetsvært,blandtandetovergangenfraprocestilobjektervanskelig.Omvendtkandethjælpeeleverne,atarbejdemedfunktioner,derernemmereatplacereienkontekst,ogsomkanaktivereflerebegrebsbilleder,samtgiveflereløsningsstrategier.Imodsætningtilyngreeleverforetrækkergymnasieeleveratfindesymbolskeløsningerfremforgrafiske.6Deflesteeleverharen,ihvertfaldoverfladisk,forståelseafsammenhængenmellemensymbolskogengrafiskrepræsentation,hvorimoddehardetsværeremedsammenhængenmellemensymbolskrepræsentationogentabel.Dynamiskevisuellerepræsentationer,hvorforskelligestørrelserkanændreskontinuert,givergoderesultater.Arbejdermanlængeoggrundigtmedmultiplerepræsentationerantyderforskningsresultaterne,atdetharenpositiveffektpåeleverneslæring.Vivenderoshereftermodforskelligetransformationelleaktiviteter,derskalhjælpeelevernetilaterkende,atetalgebraiskudtrykharentalværdi,atdennetalværdiafhængerafværdierneafdeindgåendesymboler,samtattalværdienikkeændrersigikke,nårmanbenytter(lovlige)algebraiskeregneregleroglovetilomskrivninger.Problemernemedatopnåensådanerkendelseermangeogstrækkersigfraforståelsenafhvilkeomskrivninger,dererlovlige,tilækvivalensbegrebet,fxatdeterdensammeløsning,manfårtrodsomskrivninger.Traditioneltharsymbolskmanipulationværeten”papirogblyant”aktivitet,menforskningviser,atbenyttelseafCASbådekanforøgedenbegrebsmæssigeogdentekniskeforståelse,sålængemanikkeglemmerdentekniskesideafsagenogudelukkendeladermaskinenklaredennedel.Transformationelleaktiviteter,derkombinererbrugafCASog”håndregning”vedfxgraftegning,udfyldelseafsildebenogomformuleringafudtryk,giveretpositivtresultatpåelevernesbegrebsdannelse.Herviserdetsig,atnåreleverudviklerteknikkertilatløseenbestemttypeopgaver,førerdetsamtidigtilenformforteoridannelse.Undersøgelserviser,atjomerevirkelighedsnæreopgaver,derarbejdesmed‐ikkemindstvedhjælpafit,jomindrefokuserderpåsymbolskmanipulation,ogdettekansombeskrevetovenforgiveproblemerielevernesarbejdemedatskabemeningialgebra.Deterentendens,viogsåharsetherhjemme,hvormansommatematiklærerpåhtxkankommetilat

6Vimener,atenforklaringpådetteerdenopfattelse,gymnasielærerneharafhvad”godmatematik”er,ogsomdebevistellerubevistoverførertileleverne.

Side35af242

nedprioritere”grundlæggendealgebraiskefærdigheder”.Detliggerihtx‐profilenatarbejdemedvirkelighedsnæreopgaverogmodellering,ogviskalværemegetopmærksommepåogsåatholdefokuspådenalgebraiskebegrebsdannelse,dererenafforudsætningerneforudviklingenafræsonnementskompetencen.Flereinternationaleundersøgelsertyderpå,atlærerensbetydningforundervisningsudbyttetvoksermedøgetbrugafit.Lærerenskalsørgefor,atelevernereflektererogundersøgerderesultater,sometmatematikprogramgiver,ogatderfølgesopmedgruppe‐ogklassediskussioner.Viafslutterdetteafsnitomtransformationelleaktivitetermedatnævneetområde,hvormangegymnasieeleveropleverproblemer,nemligløsningenafkvadratiskeligningerbådeafformen 2 0Ax Bx C og ( ) ( ) 0x a x b .Pådenenesidekandeflesteelever”opdrages

tilatindsætteistandardløsningsformlen,mensamtidigforstårdeikkex'erneidetoled 2Ax

ogBx erens,elleratx'etidetoparenteserikkeantagerforskelligeværdiersamtidig.Foratafhjælpeproblemerneanbefalesdetatarbejdemedsammenligningafgrafiskeoganalytiskeløsninger.Viharnuredegjortfornogleafdeinternationaleresultateromeleverslæringafalgebra,samthvorderofteopstårproblemer,ogviharsetpåhvilkeforudsætningervoreegneeleverhar,nårdekommerfragrundskolen.Herfravenderviosmodmatematikvejledningenafelevermedindlæringsvanskeligheder,derskyldesmanglendebegrebsdannelseindenforalgebra.

VejledningenstrefaserSommatematikvejlederskalmanførstkunneidentificeredeelever,derharbrugforvejledning,hernæstskalmankunnediagnosticere,hvilkeproblemerderertaleom,ogendeligskalmanvedhjælpafforskelligeredskaberinterveneremoddisseproblemer,såelevernesmatematiklæringforbedres.Idetteafsnitbeskrives,hvordanviergåetigennemde3trin.DekonkreteresultaterogobservationerfindesiafsnittetEmpiri,ogidenafsluttendediskussionservipå,hvordanfremgangsmådenkanrettestil,såvejledningenkaneffektiviseresogforbedres.

1.fase:IdentifikationForatidentificeredeelever,derharsåstoreindlæringsvanskelighederimatematik,atdeharbehovforvejledning,harvibenyttetentest,derindeholderovervejendetransformationelleopgaverindenforområdernetalforståelse,symbolerogmatematiskekonventionersamtvariabelsammenhængogtransformationelleopgaveromligninger.Viharendviderebedtklassernesmatematiklærerpåforhåndudpegedeelever,demener,vilhaveproblemermedtesten.Påbaggrundaftestresultaterneogvoresegetforhåndskendskabtileleverneudvalgtevihhv.en(Pihl)ogtre(Schou)elever,somvarsærligsvage,ogsomvihararbejdetvideremed.

Side36af242

2.fase:DiagnosticeringDetektionstest1hjalposmedatidentificerenogleafdeproblemereleverneharmedalgebra.Foryderligereatundersøgeartenaflæringsvanskelighederblevdefireudvalgteeleverinterviewetomnogleafdeopgaver,deikkehavdelavetkorrekt.Detfremgikafsamtalerne,atelevernepånogleområderheltmangledebegrebsbilleder,derkanhjælpedem,ogandrestederstemtebegrebsbillederneikkeoverensmeddeformelleregler,hvilketførtetil”hjemmelavede”regneregler.Vikunnebl.a.diagnosticereproblemerpåfølgendeområderkendtfradeninternationaleforskning:

- overgangenfrataltilsymbolerfxbetydningenafskrivemådersoma2og2a- metodefremforforståelse(kanløseligninger,hvordenubekendtebetegnesxmen

ikkeaogkanmedformuleringen”løsligningen”menikkemedandenordlyd)- ”detachmentofatermfromtheindicatedoperation”og”jumpingofwiththeposterior

operation”- manglendeforståelseafsammenhængmellemforskelligerepræsentationer.

Vifandtisærproblemerindenforligningsløsningaltsåtransformationelleaktiviteter,ogbesluttedeatfokuserepådetteområdeiinterventionen.

3.fase:InterventionUdfravoresførstesamtalermedeleverneogdiagnosticeringenafvæsentligeproblemer,lavedevienrækkenyeopgaverafsammetypesomdetransformationelleopgaveridetektionstest1.Formåletmeddisseopgavervartosidet.Pådenenesidevillevigerneyderligereudforskeelevernesforståelseafalgebraogligningsløsning:hvilkebegrebsbilleder,deharerhvervetsig,hvordandissestemmeroverensmedbegrebsdefinitionerne,samthvorrobustelevernesforståelseafalgebra/ligningsløsninger.Medsidstnævntepunktmenesihvorhøjgradforskelligerepræsentationerafligningerogløsningerkanbringesispil.Pådenandensidevillevibrugeelevernessvarsomudgangspunktforenvejledning.Interventionenforegikefterfølgendemodel:

- Elevernelaveropgaverne,mensdebliverobserveret.Undervejsforklarerde(skriftligt)hvilkeovervejelserdegørsig.

- Eleverneinterviewesomderesløsningafopgaverne.- Fejlogmisforståelserdiskuteres.

Foratseomvejledningenhavdenogeneffekt,fikeleverneca.enmånedeftervejledningenennyrækkeopgaverafsammetype,derblevrettetmenikkediskuteretmedeleverne.Iløbetatdennemånedhavdevisomunderviserefokuspå,atstilleelevernetilsvarendeopgaveri

Side37af242

undervisningenogstøttedem,nårdehavdeproblemer.ElevernepåOTGblevendviderebedtomregelmæssigtatgåindpåTræneren7ogregnerelevanteopgaver.

EmpiriIdetteafsnitpræsenteresderesultatervifikfradetektionstest1,samtdeobservationervigjordeosundersamtalernemeddeudvalgteelever.

MetodevedbrugafdendiagnostisketestPåCPHWestblevalleeleverpå1.århtxtestet.Eleverneerfordeltpå4klassermed23eleveri1.mf,29eleveri1.bio,13eleveri1.kodog24eleveri1.tip.8Testenblevforetagetiugerne41og432012.Detvilsigecirka9‐11ugerefterelevernesstartpåhtx.PåCPHWeststarterelevernemedgeometriogtrigonometriogbliverderforikke”trænet”ialmenefærdighederimatematik.PåOTG(OdenseTekniskeGymnasium)blevtreklasserpå1.århtxtestet.Dervar25eleveri1.a,26eleveri1.cog26eleveri1.h9.Testenblevforetagetiuge39,detvilsige7ugerefterelevernesstartpåhtx.PåOTGstarterelevernemedligningerogefterfølgendetrigonometri.Datalmaterialetfra1.aog1.hikkevarsådetaljeretsomfordeøvrigeklasser,harvivalgtikkeatmedtagedemidetfølgende,undtagenitabel1.

Resultateroganalyseafdetektionstest1Itabel1erelevernedeltopefterderesstudieretninger.Daviendvidereønskeratundersøge,omderernogensammenhængmellemelevernesresultaterogdereskønerdettilligeangivet,hvorstorandelenafpigereriklasserne.

1.mf 1.bio 1.kod 1.tip 1.a 1.c 1.h

Antaleleveritesten 23 29 13 21 25 26 26

Andelpigeri% 20 62 23 0 0 54 4

Gennemsnitrigtige 28,0 26,8 28,6 28,8 36,7 33,5 32,0

Bedste/dårligstepointtal

44/16 49/15 47/14 37/19 ‐/‐ 43/24 ‐/‐

Tabel1Inddelingefterklasser

7Trænerenpåadressenhttp://traeneren.emu.dkereninternetportalmedselvrettendematematikopgaverpåflereniveauer,bl.a.kanmanfindeopgavermedløsningafligninger.8mf=studieretningmedMatematikA,FysikAogIdehistorieB,bio=studieretningmedBioteknologiA,MatematikAogIdehistorieB,kod=studieretningmedKommunikationA,DesignBogSamfundsfagBogtip=studieretningmedTeknologiA,InformationsteknologiBogProgrammeringC9a=studieretningmedMatematikA,FysikAogStatikogstyrkelæreC,c=studieretningmedBioteknologiA,MatematikA,PsykologiCogh=studieretningmedEngelskA,Kommunikation/itAogSamfundsfagB

Side38af242

Ensammenligningafde5klasservisertydeligeforskelle.PåOTGfåreleverneetvæsentligthøjeregennemsnit,enddegørpåCPHWest.Nogetafdettekanskyldes,ateleverneerblevetintroducerettilligningerpåOTGmenikkepåCPHWest.Manbemærker,atklassernemedbioteknologiharmangepiger,hvilketertypiskforallehtx‐skoler.Pågrundlagafdettetalmaterialeerderikkebelægforatsige,atderernogensammenhængmellemelevernesvalgafstudieretning(valgafmatematikA/matematikB)ogderesformåenindenforalgebra.Itabel2erelevernedeltopefterkønogefterskole.

DrengeCPH

PigerCPH

DrengeOTG

PigerOTG

Antaleleveritesten 60 26 12 14

Gennemsnitrigtige 29,2 24,9 35,4 31,8

Bedste/dårligstepointtal 49/19 47/14 43/24 40/25

Tabel2Inddelingefterkønogskole

Tabellenvisen,atderertydeligeforskellepå,hvordankønneneklaresig.Detgælderforbeggeskoler,atpigernescorerca.4pointmindreigennemsnitenddrengene.PåCPHWesterderstorvariationipigernespræstationer,mensdetpåOTGerenmerehomogenflok(dekommerallefrasammeklasse).Fordrengeneerderikkedensammestoreforskel.Bilag3viserhvorledesalleeleverharklaretspørgsmålene.Førstesøjleangiverhvilkenklasse/studieretningelevenkommerfra,andensøjlerangiverkønnet.Herefterfølgerde57spørgsmålitesten.YdersttilhøjrevisersøjlenSUM,hvormangerigtigesvarhverelevharopnået.Idefiresidstesøjlersesantalletafrigtigesvaropdeltidefirekategorier:symbolerogkonventioner(16spørgsmål),talforståelse(21spørgsmål),ligninger(12spørgsmål)samtvariabelsammenhæng(8spørgsmål).HvordandetektionstestensspørgsmålerkategoriseretkanfindesiBilag2.Sermanpådeenkeltespørgsmål,erderenrækkeopgaver,somnæstenalleeleversvarerkorrektpå(mereend90%).Detdrejersigomspørgsmålnr.1,5,30,38,51og52.Detteeropgaver,somentenhandleromsymbolerogmatematiskekonventionelleromtalforståelse.Ligeledeserderenrækkeopgaversomstortsetingenkansvarepå(mindreend10%).Detdrejersigomspørgsmålnr.12,32,33,37,42,47og57.Hererdertaleomopgaver,derhandleromsymbolerogmatematiskekonventioner,ligninger,enenkeltomvariabelsammenhængeogenomtalforståelse.Vihavdeenforventningom,ateleverneikkevilleklareopgaverneomsymbolerogtalforståelsegodt,dadeteropgavermedstørrekompleksitetenddeøvrige.Derimodvardetmegetoverraskendeatelevernehavdesåstoreproblemermedopgaverneomligninger.Ibilag3viserdegulefeltertilhøjreiskemaet,hvilke

Side39af242

eleverderhar50%ellerfærrerigtigeindenforhverkategori,oghvorderaltsåersærligeproblemer.Hersesdettydeligt,atselvdygtigeeleverharvanskelighedermedopgaveromligningsløsning,ogviharderforvalgtatarbejdevideremeddetteområde.Dererligeledesstoreproblemermedvariabelsammenhæng,somdensidstesøjleindikerer.Mendaeleverneskendskabtildetteområdeformodesatværemindre,harviidetfølgendefokuseretpåligningsløsningen,derdukkeropimangesammenhængeiundervisningen,ogsomdetderforervigtigtatfåafhjulpetelevernesproblemermed.Idefølgendefigurerogtabellerserviudelukkendepåelevernesbesvarelseafde12opgaveromligninger.Blandtsamtligeelevererdenmaksimalescore10rigtigeogdendårligstescoreer0rigtige.Påfigur5kanmansefordelingafantalrigtigesvarhoseleverne.

Figur5

Detsesafdiagrammet,at35%afelevernekanklarehalvdelenellerflereafopgaverneomligninger.Dererdogstorforskelpådetoskoler.PåOTGerdetca.65%,dersvarerrigtigtpåhalvdelenellerflereafopgaverne10,hvorimodpåCPHWesterdetkuner20%,derkanklarehalvdelenellerflereafopgaverne.

Opdelermanefterkønogstudieretning(setabel3),genfindestendensentilatpigerneklarersigdårligereenddrengene,ogsåindenforområdetligninger.

10Somtidligerenævntkandettetilskrives,atmanpåOTGhararbejdetmedligningerogligningssystemer.

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Antalelever

Antalrigtigebesvarelserindenforligninger

Side40af242

1.mf 1.bio 1.kod 1.tip 1.c

Gennemsnitrigtigeiligninger,alle 3,69 4,24 3,85 4,00 6,23

Drenge 3,8 5,0 4,2 4,0 6,7

Piger 3,4 3,8 2,7 ‐ 5,9

Tabel3Gennemsnitfordeltpåkønogstudieretning

Tabel4viserhvordande15bedsteeleverogde15dårligsteeleverharklaretopgavernemedligninger.

17 18 19 20 21 25 32 33 34 35 36 37

15bedste 14 1 10 10 10 13 3 2 13 13 14 5

15dårligste 4 7 2 0 4 2 2 0 4 4 0 0

Tabel4Antalrigtigeopgaverblandtde15bedsteogde15dårligstebesvarelser

Deterbemærkelsesværdigt,atde15dårligstplaceredeeleverklareropgave18væsentligbedreenddebedsteelever.Årsagenkanmåskefindesiopgavensformulering,somer”Findesdernogenværdierafb ,såledesat bb 44 ?JaNej”.Dedårligstplaceredeeleverforstårikkeopgavenoggætter,oghalvdelengætterrigtigt.Debedstplaceredeeleversvarermuligvisforkert,fordideharmisforståetopgavenogopfattetdensomækvivalentmedopgave5(”Betyder b4 detsammesom b4 ?JaNej”),hvorsvareternej.Alleeleverklareropgave32dårligt.Dettekanskyldes,ateleverneikkekanoverskue3ubekendtienligning.Eleverneharsandsynligvisaldrigsetnogettilsvarendefør.Opgave33erenkvadratiskligning,ogvivedfrainternationaleundersøgelser,atnæstenalleeleverharproblemermedsådanne.Iopgave37,somerenligningudenløsning,bryderelevernesmetodetilligningsløsningsammen,sådeentenikkefårsvaretellerkonkludererforkert.Blandtde15bedsteerder20%pigerogblandtde15dårligsteerder60%piger.Tilsammenligningerandelenafpigerblandtdetestedeelever35%.Dereraltsåmarkantforskelpå,hvordandrengenepræstereriforholdtilpigerne.

LærerensforventningerversuselevernesbesvarelserIndenelevernefikdetektionstest1,blevderesmatematiklærerbedtomatudvælgede3‐5eleverfrahverklasse,somlærerenforventede,villeklaresigdårligstitesten.Disseeleverermarkeretmedgultiførstekolonneibilag3.Detvistesig,atdervarganskegodoverensstemmelsemellemforventningogresultat,menatenkelteeleverklaredesigheltanderledesendforventet.Blandtandetbleveleverfra1.cpåOTGmedhhv.32,33,34og39

Side41af242

pointvurderetsommegetsvageogmedindlæringsproblemer.Omvendtblevenelevmed29pointvurderetsommegetaktiv,engageretogjævn,ogenelevmed32pointansesiskrivendestundforatværeenafklassensdygtigstetilmatematik.Testenhjalpdogmedatidentificereklassens3absolutsvagesteelever.PåCPHWestblevflereeleverikkeidentificeretsomelevermedindlæringsvanskeligheder.Detgjaldtenbl.a.endreng,somstartedesenereiklassenenddeøvrigeogsomhavdeetstortfraværimatematik.Elevenvar”usynlig”.Derudoverdrejededetsigom5piger,somallesidderienklassemedmatematikpåA‐niveau.Pigerneerihærdige,omhyggelige,spørgerendelogaflevererpæneopgaver.Deblevderforikke”opdaget”idendagligeundervisning.Idiskussionsafsnittetvendervitilbagetilforholdetmellemtestoglærerobservationer,oghvordanbeggedelebørindgåiidentificeringsfasen.

SamtalemedudvalgteeleverAfpraktiskegrundeblevdeelever,derskulleinterviewes,valgtiPihlogSchousegneklasser.FraCPHWestblevdetendrengfra1.tip,derermegetarbejdsomitimerne,spørgermeget,kommertilstortsetalletimerogafleverersineafleveringsopgavertiltiden.Disseopgaverharallehaftetfornuftigtniveau(omkringkarakteren7).PåOTGblevdervalgttopigerogendrengfra1.c,somligeledesvarbådeaktiveogspørgelystne.Ibilag3erdefireudvalgteelevermarkeretmedfed(tekst)ogorange(rækken).Itabel5seshvordande4eleverharklaretopgaverneiligninger.1angiverkorrektsvar,0etforkertsvarogblankmarkerer,atelevenikkeharsvaretpåopgaven

17 18 19 20 21 25 32 33 34 35 36 37 sum

A 0 1

0 0 0 0 1 1 1 4

B 0 0

1 1 0 1 3

I 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 5

K 1 0

0

0 0 0 0 0 0 1

Tabel5Resultaterfradetektionstest1afde4udvalgteeleverforopgavermedligninger

Detsesitabel5,atdeudvalgteeleverklareropgavernemedligningerdårligt,dererforholdsvismangeopgaver,somikkeerblevetbesvaret.DettegælderdogikkeforelevI.PåOTGforetoglærereninterviewsmeddetreudvalgteelever,herkaldetA(pige),B(pige)ogI(dreng).Pigerneblevinterviewetsammen.Efterudvælgelsenbleveleverneinterviewetientimeomderesresultaterafdendiagnostisketekst.Detvarikkekundeopgaver,dervarlavetforkert,menogsånogleafdekorrektesvar,derblevuddybetforatafklare,hvorfornogleopgavervarbesvaretrigtigt,mensandre–og

Side42af242

tilsvarende–opgavervarlavetforkert.Løsningenpådeopgaver,dervarlavetforkertblevdiskuteretundervejs.Omkringenmånedsenerebleveleverneinterviewetigen,dennegangogsåelevK(dreng)fraCPHWest.Seancenstartedemed,atelevernesadhverforsigoglavedeennytest,herkaldet”Uddybendetest”(sebilag4),derudelukkendebestodaftransformationelleopgaverindenforligningsløsning.Meddennetestvillevigerneundersøgenøjere,hvorelevernesproblemervar.Vihavdederforlavetflereopgaverafsammetype,menhvorordlydenvarlidtforskellig:denvariablehedx,s,tetc.ogeleverneblevbedtomat”løseligningen”,”bestemmet”,”viseomsvarenløsning”osv.Endelighavdeviindføjetnogleillustrationer,såelevernekunneløseligningernegrafisk,hvisdekunnekobleforskelligerepræsentationer.Følgendetransskriptionervisereksemplerpå,hvorledeselevernesmanglendebegrebsbilledergiverdemvanskelighedervedatforståogdermedlære,grundlæggendealgebrasomfxligningsløsning.ViserpånedenståendeinternationaltanerkendteproblemersomomtaltiafsnittetHvordaneleverlæreralgebra:

- overgangenfrataltilsymboler- metodefremforforståelse- ”detachmentofatermfromtheindicatedoperation”og”jumpingofwiththeposterior

operation”- problemermedmultiblepræsentationer- kvadratiskeligninger

Overgangenfrataltilsymbolerfxbetydningenafskrivemådersoma2og2a.Lærerogelevtaleromopgavernefradendiagnostisketest.Lærer:“Vilduprøveatforklare,hvadduforstårveda2,oghvadduforstårved2a?”I:“Detdera2harjegkunsettogangeførifolkeskolen,tileksamenogengangfør.Jegkiggerpådetogtænker:derståraog2foroven.Hvadkunnedetvære?Kunnedetvære,atvihar2afa?Hvadkunnedetvære?plusellergange?ellererdetbare2asomdether?(pegerpådetandetudtrykiopgaven).Mensåerdetikke2a,formanvilikkeskrivedetpåtoforskelligemåder.Dereretformålmed,atmanskriverdetpådenhermådesoma2.Mensåtænktejegpå,atjegharlærtnogetmed,atderernoget,dererusynligt.Dettogmiglangtid,førjegkommeddentanke,ogsåtænktejeg,atsåmådetværegange.Såmådetværesådanher aa ”.

Elevenræsonnerersigfremtil,atdetotingmåbetydenogetforskelligt–ellersvillemanbrugesammeskrivemåde.Hanhuskerogså,atnogleregneoperationer”erusynlige”,dvs.manskriverdemikke,mendeliggerimplicitiudtrykket.Mendereringensammenhængmellem,hvadhanvedomatregnemedtal,oghvadettilsvarendesymboludtrykbetyder.Andrestedervisereleven,athanudenproblemerkanberegne32,mendermanglerendybereforståelse,attalbegrebetogdetabstrakteudtryk.

Side43af242

Løsningafligningermedforskelligordlyd.Lærerogeleverdiskutereropgaverfradenuddybendetest.Lærer:”Heriopgave1skriverdu”Vilaversomtilx”,hvorforgørvidet?A:”Fordideterligemeget,hvilketbogstavvibruger.Detvilaltidværedetsamme.Mensåerdetbarenemmereformig,atlavedetomtildetjegkender.”Detviserher,eratAharenmetodetilatløseligninger,menathunikkekanløsedem,hvisdenubekendteharetandetnavnendx.Dogerhunsåbevidstomsitproblem,athunkanændretnavnet,såmetodenkanbruges,ogopgavenkanløses.Atdererproblemermedligningsløsning,serviiopgaverne7og8,hvorAikkekanbrugebegrebet”løsning”.HerblanderBsigistedetmedfølgendeforklaringpå,hvadenløsningtilenligninger:B:”Atxerligmedetbestemttalogså…altsåløsningener,hvismanregnersammensomenligning,ogsåfinderresultatetx,ogsåkanmansættexindigen,ogsågiverdet,detsommanfandtfør.”B’sstrategiforatviseometgivettalerenløsningerførstatløseligningen,dernæstatse,atdetvardettalmanskullefå,ogtilslutatindsættedet,foratsikresig,atdetpasser.Atmanskalomkringdenlilleomvejførstatløseligningen,gentagerBiopgave8.B:”Jegløserligningenogfårat 2x .”Lærer:”Veddusåatdeterenløsning?”B:”2detjox,ogdererkun x2

1 ,sådeter1.Sådeter 11 ogdeter0,ogsåpasserdet.”

Bharaltsåetbilledeafenløsning,somdetmanfår,nårmanløserenligning,ogførstdereftertjekker,atdennerentfaktiskpasserindiligningen.Detervigtigt,atBfårrettetsitbegrebsbilledetil,såhunikkeharbrugforatløseligningenførst,idetdersidenhenvilkommemangeligninger,derikkekanløsesanalytisk,mensomskalløsesvedfxgætogindsættelse.

”Detachmentofatermfromtheindicatedoperation”og”jumpingofwiththeposterioroperation”,derbetyderatmanikkeudførerdenoperationpåetled,somerangivet,elleratmanudførerenandenoperation,somstårforanetefterfølgendeled.IdenfølgendesamtaleviserelevenI,hvorledeshanløseropgave1idenuddybendetest:”Løsligningen 146 ss ”Elevensberegningerervistpåfigur6.

Side44af242

Figur6I’sløsningafopgave1

I:”Derstår:løsligningen,ogsåvarder2s…oglighedstegnetbetyder,atjegskalisoleres’et.Detharjegsågjort.”Lærer:”oghvadgørdu?”I:”Detførstejeggør,er,atjegtager6ogminusserdetfradenenesidetildenandenside,ogsåharjegsalenestående.Såtagerjegs,ogdaderergange,dividererjegfradenenesidetildenanden.Såkommerdertilatståsdivideretmedserligmed4plus1minus6.Såherharvikunspådenenesideogtallenepådenandenside.Såregnerjegdetud.Sågiverdet 1s .”Lærer:”Hvordankandutjekkeomdeterrigtigt?”I:”Vedatsættedetind. 16 deter‐6,oghvisvikiggerhersågiverdet 14 ,jasågiver

det‐3.Såerdetforkert!”Eleveneraltsåheltklarover,hvaddetvilsigenogeterenløsning.Hanvedogsåatgangeogdividereeromvendteoperationer,ogatnårmanløserligninger,skaldenubekendte(uansethvadmankalderden)isolerespådenenesideogtallenepådenanden.Menefterhvilkereglerdettekangøres,vedhanikke.Elevenharingenidé,omhvad6sog4sbetyder,ogat6ergangetpås,afholderhamikkefraattrække6fra,såhanfårstilbage.Herbørvejledningenfølgesopafforskelligeaktiviteter,derkangiveelevenetkonkretbilledeaf,hvad6sbetyder,oghvordanregnereglerneopstårvedat”manheletidengørdetsammepåbeggesideraf

Side45af242

lighedstegnet”.Foreksempelkanmanarbejdefremogtilbagemellemligningerog”historier”,hvorsbetydernogetbestemtogikkenogetsåabstraktsom”enubekendt”.Manglendeforståelseafsammenhængmellemforskelligerepræsentationer:Viserigenpåopgave8idenuddybendetest,hvorligningerne 012

1 x og 6121 x skal

løses.Opgaverneerillustreretafgrafenforfunktionen 12( ) 1f x x .

Hvordenførsteopgaveerformuleretsom”Er2enløsningtil…”,erandenopgavestilletsom”Bestemxså…”.SomtidligeresetvedAikke,hvadenløsninger,såhunerstatter0med2iligningen,menkommerikkevidere.Iandenopgavenårhunfremtil,at 72

1 x .

B’sløsningerbeskrevetunderpkt.2.Ingenafpigerneharnogenanelseom,hvadgrafenkanbrugestil.Følgendedialogviser,atdeingenbegrebsbillederhar,derkanhjælpedemtilatse,atgrafogforskriftertosiderafsammensag.Berindrerdogundervejs”nogetmedetsildeben”:Lærer:”A,duskriverherundergrafen”skæring=‐1oghældninger1tilhøjreog½op.”Deterrigtigt.Kandubrugedettilnoget?(stilhed)Prøvatsepådenøversteligning(stilhed)Hvader 12

1 x nedepågrafen?”

A:”Deterselvefunktionen”Lærer:”oghvornårerdenligmed0?Nustårderjo,atdenskalværeligemed0(pegeroppåligningen 012

1 x ),hvorerdet,funktionsværdiener0?Kandupegepådetsted?”

A:”Deterbareetvildtgæt.Jegvilsigederinde(pegerpå(0,0)),ellernårdenflugtermedenakse.”Lærer:”Herstårderenforskrift 12

1 xxf Hvadbetyderdet?Hvordanfårmansådanen

retlinjefrem,somgrafener?Deterrigtigt,atmanved,atdenskæreri‐1,ogsågårmanenudog½op,1udog½oposv.,menhvadbetyderdet,atetpunktliggerpådenherlinje?(stilhed)Hvadmedfxdetherpunkt?(pegerpå(1,4)).Hvismangår1udafx‐aksen,hvorforskalmansågå4opafy‐aksen?Kanmanregnesigfremtildet?”

B:”Vedatændrepådenderinde(pegerpåudtrykketfor xf ).Istedetfor‐1,dererdet

punktdernede(pegerpåskæringmedy‐aksen)såviljegsige+4”Lærer”Hvaderdetviharudafdenherakse?(pegerpåx‐aksen).”B:”Deterjox.Deterdenderskalændrestil4.”Lærer:”Hvadskerder,hvisdusætter4påx’splads?”B:”Sågiverdet3,nej, 14 x .”Lærer:”Hvadmeddenhalve?!”(langstilhed)”Prøvatskrivdetop.Alledestederderstårxskriverdu4”Bskriver 144 2

1 f ”Stårderetgangemellem½og4?Giverdetsåikke2‐1=1?”

Lærer:”Hvorfinderdudetstedpågrafen?”Bpegerpå(4,1):”Der.”

Side46af242

Lærer”Rigtigt.Forhvismansætter4ind,kommerder1ud.Det,derkommerud,erdetmanskaltegneopafy‐aksen.Deterpræcisdet,detbetyder,nårmanskaltegnesådanenlinje.”B:”Erdet,detmangør,nårmanlaverdetdersildebensdiagram?Deterjomegetnemmere!”Lærer:”Atlavesildeben?”B:”Ja!”Lærer:”Sånukandulaveetsildeben,ogsåkandutegnepunkterneindietkoordinatsystem,ogsåkandusige,atnuharduregnetværdierneudfornoglex’er.Mendetpasserjoogsåfordex’er,derliggerimellem,ogderforkandutegnehelelinjen.Ladosprøveatgåtilbagetildenførsteligningigen: 12

1 x ,hvornårerdetligmed0?Hvadskalmansætteind,forder

kommeret0ud?B:”2”(pegerpåpunktet(2,0)).Lærer:”Nemlig.KanIbrugedettilatløsedenandenligning?DenharIbeggetoregnetud,menkanmanogsåbrugefiguren?Nustårder”Bestemxså 612

1 x ”(megetlangstilhed).

Hvadsvarertil ( )f x heriligningen?

B:” ( )f x deterjo6.”

Lærer:”oghvadforenaksetegnermandenopaf?”B:”Derovre(pegerpå6påy‐aksen),såbliverdetjo14,ogdetpassermedfør!”A:”Hvorforfindermandetpåy‐aksen?”Lærer:”Detgørmanfordi,sammenhængenmellemenforskriftogengrafnetoper,atudafdeneneakse(pegerpåx‐aksen)hardetal,mansætterindiforskriften,ogsåvilmangernefindehvadfornogletal,dersvarertil,nårmansætterforskelligex’erind,ogdetfårmanvedatregnedetherud(pegerpå 1

2( ) 1f x x ),ogresultaterneafsættermanudafdenanden

akse(pegerpåy‐aksen).”(Laveretpareksempler…)A:”Nåh”Lærer:”Menmankanogsågådenandenvej,ogsigehvadforetxskaljegsætteindforatfåetbestemty?A,prøvatlaveeteksempel.”A:”Vivilhave3ud”(pegerpå3påy‐aksen,stilhed)Lærer:”Hvadforetxhardusåbrugfor?”A:”Såmådetvelvære8”(gårvandrettilhøjrefra3påy‐aksentilgrafenoglodretnedtil8påx‐aksen)Lærer:”Nemlig!”Samtalenviser,atpigerneikkekanvekslemellemdeforskelligerepræsentationer:grafogligning.Bfangerdetforholdsvishurtigt,ogharnogleerfaringermedatskrivestøttepunkterientabel.EnafårsagernetildisseproblemerkanværeureflekteretbrugafCAS.Mangeeleverigrundskolenbenyttergraftegningsprogrammer,ogpågymnasieniveautegnermanyderstsjældentgraferihånden.Mennårmanblotskalskriveenforskriftindietprogram,ogstrakskommergrafenud,såfårelevernealdrigopbyggetdenforståelseaf,hvadengrafer,oghvilkensammenhæng,denharmedforskriften.Ydermerekandetskabeendnustørreproblemermedatforstå,hvaddenubekendtexer,nårmanaldrigfårdenoplevelse,atman

Side47af242

skalsætteforskelligetalindpåx’splads,foratfindetilhørendey‐værdier,ellermanaldrigselvaflæserkoordinaterfraengraf.Kvadratiskesætninger:Viserpåopgave5fradenuddybendetest,somer”Findesdernogleværdierform så

233 mm ?Hvilke?”Påfigur7sesK’sbesvarelse.

Figur7K'sbesvarelseafopgave5

Lærer:”Hvadhardugjortiopgave5?”K:”Jegharprøvetmigfremogfandt,at1og3passede.”Lærer:”Hvadmenerdumedatdepasser?”Ksidderogregnerefterihovedet.K:”m=1ikkeerrigtig.”Lærer:”Hvadbetyder 2m ?”K:”Detbetyder mm .”Lærer:”Kanduikkeskrivedetoppådenmåde?”Ifællesskabfårdesamletbeggeudtrykpådenenesideaflighedstegnetogfårsatmudenforparentes.(0 ( 3)m m )

Lærer:”Kandunuse,hvilkem‐værdierderkanpasse?Hvornårblivertotalgangetmedhinandenligmed0?”K:”Nja,detved…”HereftertalerKoglærerenom0‐reglenogmedlidthjælpogforklaringkanKnutilsyneladendeforstå,atdeterm=0ogm=3,dererløsningtilligningen.Iopgave6somogsåerenkvadratiskligning”Løsligningen 042 xx ”harKfølgendeløsning:

Figur8K'sbesvarelseafopgave6

Lærer:”Hvadgjordeduiopgave6?”

Side48af242

K:”Detstodxianden,ogdetfjernermanvedattagekvadratroden.”Lærer:”Kanmanbaredet?”K:”Næ,detkanmanvistikke.”Lærer:”Hvadskalmansågøre?”K:”Detlignerlidtdetfraopgave5.”Kfårskrevetopgavenom,såledesatdernustår ( 4) 0x x ,ogvedhjælpaf0‐reglenkanhan

nuse,atx=0ogx=4erløsningertilopgaven.Iopgave7fradenuddybendetestsomer”Er 3x enløsningtil 23 xx ?Hvorfor?”.Kharindsat3påx‐etspladsogvist,atdetbliverdetsammepåbeggesideraflighedstegnet.Hanvedaltsågodthvadderforståsved,atnogeterenløsningtilenligning.Samtalenviser,atKikkehardetstorekendskabtilkvadratiskeligninger.Detharmedført,athaniførsteomganghargættetsigfremtilløsningerne.Iløbetafsamtalenfårhanvist/forklaretenmetode,somhankanbrugeidissesammenhænge.Hankangenkendeopgave6,somværendemegetligmedopgave5,ogkanbrugedennyeregel(0‐reglen).

Harsamtalernevirket?Foratseomvejledningenhavdenogeneffekt,gavvieleverneendnuenlilleprøve,kaldet”Evaluerendetest”,medsammetypeopgaver(Sebilag5).PåOTGdeltogeleverneAogIogbeggeeleverscorede9udaf12rigtige.ElevBhavdeskiftetklasseogdeltogikkelængereiforløbet.AogI’sbegrebsdannelseomhvadenligninger,oghvordandenløses,synesatværeblevetnogetmererobustundervejledningen,idetmangeafopgavernevarafpræcissammetypemenformuleretforskelligt.Detvistesig,atAstadigikkevidstehvadbegrebet”enløsning”betyder,samtatingenafelevernekunneanvendenulreglen.Detskalretfærdigvisnævnes,atdetvarderhellerikkemangeafdereskammerater,derkunne.FaktiskopnåedebådeAogIvæsentligbedrescoreendklassensomhelhed.PåCPHWestdeltogKoghanscorede8udaf12rigtig.Hanhavdeogsåfåetetlangtbedreresultatendfradeførstetests.Khavdeproblemermedopgave3,( xxx 352 )hvorxRerløsning.Hanangiver0,1,2,3og4somløsning.Hanharprøvetsigfremogfundetudaf,atdisseihvertfaldpasser.Iopgave5( tt 327 )harhanmuligvisogsåprøvetsigfrem,menfårikkegættetpå 2

1x ,dadetikkeerethelttal.Detkunneseudsomomhanstadiggætter

løsninger,nårligningenserlidtanderledesud.Hanharfxklaretopgave1ogopgave2heltkorrektmedmellemregninger.Iopgave2gørhanenddaprøveforatse,omdeterkorrektdethanerkommetfremtil.Derertreopgaver,derindeholderkvadratiskeligninger.Iopgave4svarerhanjatilatx=0erløsningtil 052 xx ,menhanharikkeskrevetnogleudregningervedsvaret.Opgave6,”Løsligningen ( 2) ( 4) 0x x ”ersprungetover.Opgave10,”Hvilket

xgørligningen 2 3 0x x sand?”.Kskriver0og3,hvilketogsåerkorrekt,mendaderikkeernogenomskrivninger/udregninger,kanhanhavegættetsigfrem.Iforbindelsemedde

Side49af242

kvadratiskeligningererdetsværtatseomhanharfåetrigtigfati0‐reglen.Altialtharhanklaretdenevaluerendeprøvemegetbedreenddetoforegåendeprøver/tests.

Detektionstest1Etgrundlæggenderedskabidetteprojekterdetektionstest1(bilag1).Testenerudarbejdetspecieltmeddetformålatundersøgeeleversbegrebstilegnelseogvanskelighedermeddetteindenforområdetalgebra.Vivilherdiskuterefordeleogulempervedbrugafensådantestogkommemedenkelteforslagtil,hvordantestenkanændres,sådenbedrekanbenyttestilatidentificereelever,derkanhavegavnattalemedenmatematikvejleder.Nogleaftestensopgaverliggerlangtfradenmatematik,elevernetidligereharmødt.Mankannævneopgave47omfunktionsbegrebet,derstortsetikkeblevbesvaretafnogleelever.Opgaversomdennebidragerikkemednyviden,ogspørgsmåleter,omdetikkeviloplevesmeremeningsfuldtforeleverne,hvissådanneopgaverudelades.Flereopgavertestermerehvadeleverne(tilfældigvis)hararbejdetmedigrundskolenmht.talmængder,endderesproblemermedattilegnesignyebegreber.Detgælderfxopgaverne41,42og49.Deternaturligviskorrekt,athvismanharlærtnogetiordetsdybesteforstand,såbehøvermanikkehuskedet,menmankanræsonneresigfremtilløsningenisituationen.Mangeelevermøderimidlertidenmereinstrumenteltilgangtilmatematikkenigrundskolen,oghvisdesåikke”ligekanhuske”,hvaddeskalgøre,nårdebliverstilletoverforopgaver,hareleverneingenredskabertilkommefremtiletfornuftigtsvar.Tilgengældkandisseopgaverbrugestilatundersøge,hvilkentalforståelseeleverneharerhvervetsig,nårdemøderoppågymnasiet.Testenbeståraf57opgaverhvorafde24ermultiplechoice,ogafdissehar23opgaverkuntomuligesvar.Elevernevilaltså,blotvedatgætte,igennemsnitfåca.12rigtigesvaridisseopgaver.DadetiefterbehandlingenaftestenerenstorfordelmedMCopgaver,vilviistedetforaterstatteMC‐opgavernemedåbnespørgsmålanbefale,atnogleafopgaverneomformuleres,sådererfleresvarmulighederogatja/nej‐opgavernesomminimumfåren”vedikke”mulighed,ogatelevernebliverbedtomatsvarepåalleopgaver.Manskalogsåværeopmærksompå,atmanikkenødvendigvistester,detmantrormantester.Deroptræderord,someleverneikkeerfortroligemedimatematiksammenhæng,sådeikkeforståropgaven,selvommatematikkenmåskenokerkendt.Iopgave43optræderfxordet”sædvanlige”ombrøker.Andrestedererdetsætningskonstruktionen,dervirkersomenbarrieresomfxformuleringenafopgave31.Deterbemærkelsesværdigt,attestenkunbenyttersigafenenkeltrepræsentationsform(densymbolske)11,isærdavifrainternationaleundersøgelserved,atgrundskoleeleverharlangtletterevedathåndteregrafiskeløsninger,ogdeelever,derarbejdesmedher,netopharafsluttetgrundskolen,ogkunligeerbegyndtatarbejdemedsymboludtryk.Detervigtigt,atviikkeienmisforståetiverefteratfølgedenfagdidaktiskeforskningglemmerdenvirkelighed,vibefinderosi.SåledeskommenteredeelevBunderensamtaleomopgave44,atdetvillehavehjulpetmedenfigur,for”detvarderaltidigrundskolen”.Endviderebemærkedehun”at11undtageterdogopgave47

Side50af242

manikkevarvanttilatregnemedsymboler,udendetkomligeeftermanhavdesettaleksempler”.Opgaversomnr.31,45og46villigeledeskunneforståsaflangtflereelever,hvisdeillustreresmedpassendefigurer.Viharbenyttettestentilatafdækkehvilketområde,derisæroptrædersomsnublestenfordetestedeelever,ogtilatidentificereelever,hvislæringsvanskelighederviharundersøgtnærmeregennemyderligeretestsogsamtaler.UnderarbejdetmeddetteprojektfandtvienartikelafdenfranskematematikdidaktikerBrigitteGrugeon‐Allys(2012),hvorihunbeskriveretforskningsprojektmedendiagnostisktest,dererudvikletiFrankrigudfraGTG‐modellen12.ViharforsøgtatkontakteBrigitteGrugeon‐Allys,menhardesværreikkefåetsvar.Ifølgeforskningsprojektetshjemmesidedrejerdetsigomenselvrettendetestmedrelativfåspørgsmål,ogdetvilværemegetinteressantathørenærmereomerfaringernemeddennetest.

Identifikationafelever,derharbehovformatematikvejledningResultaterneafdetektionstest1gavanledningtilidentifikationafetantalelever,derudvistelæringsvanskeligheder.Vitestede163eleverfra7klasser,ogdadetermegettidskrævende,atrettetestsfrasåmangeelever,vilderværeenpointeiatformindskedentidvejlederenbrugerpåatrettetests.Enmulighederatreduceremængdenafopgaveridetektionstest1(sandsynligvismedetinformationstabtilfølge),ogeventueltladedenenkeltematematiklærergiveogrettetesten.Påbaggrundaftestresultaterneoglærerensegneobservationeriundervisningensamtvedbedømmelseafskriftligeafleveringerkanlærerenindstilleelevertilmatematikvejledning.Vejlederenvurdererdokumentationenforindstillingerneogudvælgerelevertilyderligeretest/samtaler.Foratkvalificerelærerensobservationerkunnematematikvejlederenorientereom,hvadmanisærliggradskalværeopmærksompå,fxelever,der

- igenogigenspørgeromdesammeting- ikkekansvarepåspørgsmål- ikkegørsigbemærket- ikkedeltageraktivtiundervisningen

12Citatfraartiklen:“Ourworkisprimarilybasedontworesearches.Grugeon(1997)createdamodelofalgebraiccompetenceattheendofcompulsoryeducationthatcouldbeusedasareferencetoguidethedevelopmentofanappropriatediagnostic(Artigueandal.2002).Usinganinternationalsynthesisofresearchinthedidacticsofalgebra,Kieran(2007)proposedtheGTGmodelofconceptualizingalgebraicactivities[…].Thesetwoapproachesallowacategorizationofthetypesofproblemsencounteredinalgebra:problemsofgeneralisationandproof,traditionalarithmeticalproblems,problemswherealgebraappearsasamodelingtool,algebraicandfunctionalproblems.Weusetheseapproachestodefinetasksforadiagnostictestandtodefinedifferentaspectsofthemultidimensionalanalysisofstudents’activitiesinelementaryalgebra.”

Side51af242

- harproblemermedderesskriftligebesvarelser- ikkekankommeigangmedopgaver

Pålængeresigtkandetværehensigtsmæssigtatfåudvikletnogleelektronisketests(selvrettende),somafprøvereleverneietellerflerematematiskebegreber.Mankanforestillesigenrækkeaftests,somkanbrugespåforskelligetidspunkteriuddannelsen.Matematikvejlederenfårtestresultaternemenharogsåherbrugforinputfraklassenslærer,indenenelevsendestilvejledning.Manbørdogværeopmærksompå,atbrugenaftestsundervejsiuddannelsenkanskabekollegialeproblemer,idetnoglelærerekanføle,atdetiligesåhøjgraderdem,derblivertestet.Deterikkeetproblemveddenindledendetestibegyndelsenafgymnasieforløbet,dadenvilpegetilbageiundervisningssystemet.Viansersamarbejdetmellemmatematiklærerenogmatematikvejlederenforatværegrundsteneniidentifikationafelevermedindlæringsproblemer.Påskolermedlæsevejledere,viletsamarbejdeherværeoplagt.Somnævntiafsnittetomdetektionstest1,kanmanikkeværesikkerpå,atmantesterdetmantror.Mangeeleverharmassivelæsevanskeligheder,ogdetharindflydelsepåderesresultaterimatematik.Herkanlæsevejlederenbidragemedvidenogkonkreteforslagtilaktiviteter,somforbedrereleverneslæseteknik.

FindingsSamtalernemeddeudvalgteeleverharpåmangemåderåbnetvoreøjeiforholdtilatsedeproblemer,voreelevertumlermed.Deterpåmangemådermerebekvemtikkeatlæggemærketildevirkeligeproblemer,menblotsvarepådespørgsmålelevernestiller.Eleverergodetilatafkode,hvilkesvarogreaktionerenlærergernevilhave.Nårelevensomsvarpåenforklaringsvarer:”Åhja,NUforstårjeg…”,vilmangelærereværetilfredseoghurtigtgåvideretildennæsteelevmedhåndenivejret.Måskeharelevenvirkeligforståetsvaretpådenkonkreteopgave,menvardetnuogsåheleproblemet?Manerderforsomlærernødttilatgraveetspadestikdybere,ogdethardetteprojekthjulpetosmedatgøre.Etmisforholdmellembegrebsbillederogbegrebsdefinitionerskaberproblemer,mengennemundervisningogmatematikvejledningkanvihjælpeelevernemedatskabeflerebegrebsbilleder,derbidragertilenstørreforståelseafdenformellematematik.Foreksempelskalmanværeopmærksompåbådeatinddragesymbolskeoggrafiskerepræsentationervedligningsløsning,hvilketharhjulpetvoressvageelever.Viharsetmangeeksemplerpålæringsvanskeligheder,somvitidligerenokharbemærket,menhvisårsagviikkevarbevisteom,fx

- problemermedatforståhvadenløsningtilenligninger- problemermedatforståogskelnemellemforskelligeregneoperationer

Side52af242

- atelevenikkeudførerdenregneoperationpåetled,somerangivetmenbenytterentilfældigvalgtandenoperation

- atelevenudførerdenregneoperation,somstårforanetefterfølgendeledmanglendeforståelseaf,hvadengrafviser.

Diskussion

SammenhængenmellemeleverneslæringsforudsætningerogderesvalgafstudieretningSommatematiklæreriforskelligestudieretningerfårmanofteenfornemmelseafat”mat‐fyseleverneerdygtigetilmatematik”,”biotekkerneerflittige”,”tip’erneeralternative”osv.Menerderbelægfor,atnårmanerdygtigtilmatematik,såvælgermanenstudieretningmedmatematikA,oghvismanikkeersådygtig,startermanienmatematikB‐studieretning?Voreserfaringersigeros,ateftergrundforløbet,hvoreleverneharmulighedforatskifte,vildedygtigeeleversamlesigimatAstudieretningerne,menatderogsåhersidderelevermedmassivelæringsvanskeligheder,omvendtvilderogsåimatematikBstudieretningerneværeelever,derermegetdygtigetilmatematik,menrelativtflere,somikkeinteresserersigsåmegetforfaget.Voresundersøgelseridetteprojektharvist,atnårelevernevælgerstudieretningiforbindelsemedgymnasiestart,harstørrelsenafderesmatematikvanskelighederingenbetydning.Viharaltsåintetbelægfor,atdetvilværeenfordelattilrettelæggeundervisningenpådetoniveauerforskelligtforattilgodeseeleverneslæringsforudsætninger.Vimenerimidlertidatdererenpointeiattilrettelæggeundervisningenforskelligt,foratgiveeleverneetgodtgrundlagatvælgestudieretningpåeftergrundforløbet.Deterigrundforløbet,eleverneskalerkende,hvilketniveaudevilkunneklare.

ForskellenpådrengeogpigerViharset,atpigernepå1.århtxiIshøjogOdenseigennemsnitharetlidtdårligereudgangspunktialgebraenddrengene.Detervigtigt,atlærerneersærligtopmærksommepådette,dapigerneofteerdygtigetilatskjulederesmanglendeforståelse,ogdetvilresultereifølgeproblemer,hvisvanskelighederneikkeopdagesogrettes.FraHjemstedogPihl(2005)vedviatpigergernevilvise,hvordygtigedeer.Detgørdevedatbrugemegettidpåatlæse,regneopgaveoghjælpehinanden.Pigernefårderfornæstenaltidafleveretderesopgaver,ogderesbesvarelserergode,dvs.alterstortsetregnet,ogresultaterneerskrevetpæntopmedtegningerogforklaringer.Tilgengældopleverpigerneofteproblemermedselvstændigatkunnepræsterefxiforbindelsemedenskriftligprøveellerenmundtligoverhøring.Somlærerharmanansvarforatskabeengodklasserumskultur,hvordeterpositivtatspørge,nårderernoget,manikkeforstår.Hvislærerensignalerer,atdetergodtatspørge,vilpigernegøredet,forpigergørsomderbliversagt!

Side53af242

Vedatopbyggeetlæringsmiljø,hvordetatkunnespørgefriterfuldtacceptabelt,vilmanikkeblotløftepigerne,mendetvilogsåforbedredrengenesresultater,dadevilværemedpåen”lytter”.Drengevilikkevisenederlag,ogderforspørgerdeikkeindtilbegreber/emnersomdeikkeforstår.Nårdrengenespørger,vildeoftepakkespørgsmåletlidtind,fx”Erdetikkedenneherformeljegskalbruge?”,”Harjegforståetdetrigtigt,når…?”Pådenmådeviserdespørgendedrenge,atdenæstenharstyrpådet,dvs.deertætpåsucces.Viskalaltsåogsåværesærligopmærksommepådesvagedrenge,derikkeviludstilledereslæringsvanskeligheder.ForskellenpådrengesogpigerstilgangogudbytteafundervisningenerdokumenteretiEVA‐rapporten”Køn,karaktererogkarriere–Drengesogpigerspræstationeriuddannelse”(EVA,2005).Hervisermanblandtandet,atselvomderikkeersynderligforskelpågennemsnitskaraktererneimatematikfordetokøn,erderstorforskelispredningen.Ifølgerapportenopnåedepigerneetlidthøjeregennemsnitenddrengene.Imidlertidviserenanalyseaftallene,atpigerneerenmerehomogengruppeenddrengene,ogrigtigmangefårmiddelkarakterer.Drengeneerderimodmereforskellige,oghererderenstorgruppe,somdumperellerligenetopbestårsamtenstorgruppe,derfårtopkarakterer.

VejledningssamtalersominterventionNåreneleverblevetidentificeret,seafsnittet”Identifikationafelever,derharbehovformatematikvejledning”,ogdiagnosticeretmedenellerflerelæringsvanskeligheder,sombeskrevetiafsnittet”Samtalemedudvalgteelever”,skalderiværksættesaktiviteter,sommedvirkertil,atelevenkanovervinder(deleaf)dissevanskeligheder.Idetteprojektharvivist,atsamtalermedeleverneomderesproblemermedløsningafligninger,erensuccesfuldmetode.Gennemsamtalernefikelevernesatordogbillederpåbegrebsdefinitionerindenforemnetogdefikafprøvetogkorrigerettilhørenderegneregler.Samtalernehardenfordel,atalleredediagnosticeringssamtalensamtidigkommertilatfungeresomvejledning,samtatmanunderhversamtalefåretmereindgåendekendskabtilelevenslæringsvanskeligheder,ogderforløbendekanfølgeopogjusteredeøvrigeinterventionsaktiviteter,maniværksætter.Detkanfxdrejesigom,ateleventræneropgaver/metoderpåforskelligmåde.Hertænkervipå:

- Specieltudvikledeopgaver–gernemedinddragelseafitellerenkombinationafitogpapir+blyantsomforeslåetiKieran(2007)

- TræningsopgaverfranettetfxTrænerenogKahnAcademy(engelsk)- BrugafressourcersomfxFriVidenogYouTube

Viforestilleros,atetvejledningsforløbtilrettelæggessomenvekslenmellemsamtalerogaktiviteter,hvorelevenselvstændigtarbejdermedudvalgteopgaver/filmetc.Afhængigtafgradenaflæringsvanskelighederogelevensevnetilatovervindedem,vilforløbetkunneforlænges.Derafsluttesaltidmedenopfølgendesamtale.Selvstudiernetilrettelæggesafvejlederenisamarbejdemedelevenogevt.elevensegenmatematiklærer.

Side54af242

KonklusionProjektetbelyserogundersøgermatematikvejledningenstrefaser:identifikation,diagnosticeringogintervention.Somidentifikationeranvendtenkombinationaflærerobservationerogentilformåletudviklettest,beståendeafopgaverindenfortalforståelse,variabelsammenhæng,ligningerogmatematiskesymbolerogkonventioner.Manser,atproblemermedligningsløsningfungerersommarkørforgenerelleproblemerindenforalgebra,hvorforderiempirienlæggessærligvægtpådetteområde.Testresultaternegiverikkebelægforatkonkludere,atdetereleverudenproblemermedalgebra,dervælgerA‐studieretninger,menselevermedproblemerpåområdetvælgerfagetpåB‐niveau.Dererderforikkebasisforattilrettelæggeundervisningenforskelligtafdenneårsag.Tilgengældviserresultaterne,atdererentendenstil,atpigerklarersigdårligereialgebraibegyndelsenafhtx‐uddannelsen.Afslutningsvisgiverenevaluerendetestenindikationaf,atsamtalensomvejledningsformkanføretilopbygningelleraktiveringafbegrebsbilleder,dergørelevernebedreistandtilatforståogbenyttemetoderindenforalgebra,ogderforinogengradkanafhjælpeeleverneslæringsvanskeligheder.

Side55af242

DEL2–Matematiskeræsonnementerogbevisførelse

IndledningRæsonnementerogmatematiskbevisførelseerenvæsentligdelafmatematikfagetsidentitetogetområde,deroftevoldereleverneproblemer.Idennedelharviundersøgtmuligevejetilatafhjælpenogleafdissevanskeligheder.Netopfordisåmangeeleveropleverproblemermedbrugafmatematiskeræsonnementer,harvivalgtatundersøgemulighedenforikkeblotatløftenogleenkelteelever,menderimodheleklasservedatudnyttedendynamik,manopleveriklassediskussioneroggruppearbejde.Ioplæggettilundervisningsforløbettagesderudgangspunktidesærligevanskeligheder,somnoglesærligtudvalgteeleveroplever.SomredskabtilidentifikationafdisseeleverbenyttesendetektionstestudvikletafMogensNissogUffeJankvist.Testenervedlagtsombilag6.Enanalyseafklassernesbesvarelserikombinationmedinterviewsaf4udvalgteelevergiverindsigtideressærligeproblemeriforholdtilklassensgenerelleniveau.Tilatbeskriveelevernesforståelseafmatematiskeræsonnementerbenyttesbevisskemaer,ogdissedannergrundlagfordemål,deropstillesforhverafdeudvalgteelever.Endeligharvifundetdetinteressantatundersøgeelevernesmatematikforestillinger(beliefs)foratseomdissekanforklareeleverneslæringsvanskeligheder.Matematikforestillingerkanendviderebenyttestilatgiveindbliki,hvordanetklassebaseretundervisningsforløbkanpåvirkeeleversopfattelseafforskelligeaspektervedmatematikkenialmindelighed,ogbrugafræsonnementerisærdeleshed.

RæsonnementetsrollepåHTXLadosstartemedenpræcisering.Vivilidetteprojektbenytteordeneargument,ræsonnementogbevispåfølgendemåde:

Argument:forsøgpåatsammenknytteforskelligepåstandeellermeningermedhinandenforatoverbeviseenlæser/tilhører.(Gyldendal,2013)Ræsonnement:enkædeafforbundneargumenter,derskalretfærdiggøreenmatematiskpåstand.(Niss,2013a)Bevis:enlogiskdeduktion,derhvilerpåetsætafpræmisser,ogsomerfremsatforatretfærdiggøreenpåstandvedrørendeegenskabervedogrelationermellemveldefineredematematiskeobjekter.(Niss,2013a)

Viseraltså,atræsonnementerbyggerpåargumenter,ogatbevisererensærligslagsræsonnement.Indenvigårigangmedatundersøgeelevernesopfattelseafmatematiskeræsonnementerogbevisførelseogdereskunnenindenforområdet,vildetværepåsinpladsatkasteetblikpå

Side56af242

styredokumenterneforhtxdvs.læreplanogvejledningforfaget(UVM,2013a‐d),samthvordankravetomræsonnementskompetencenkommertiludtrykideskriftligeogmundtligeprøver.Defagligemålforuddannelseharnemligindflydelsepå,hvaddetvilværerelevantatundersøge,oghvordandetskalundersøges.Læreplanen(UVM,2013a)indledesmedfagetsidentitet,hvoromdethedder:”Matematikerkendetegnetvedsinaksiomatiskeopbygningogbenyttelseafdeduktion.Samtidiggiverfagetsundersøgendesidemulighedforudviklingafkreativitet”,ogdetteudfoldesyderligereunderdedidaktiskeprincipper.Ræsonnementerogbevisførelseansesaltsåforvæsentligeognævnesdirektesometaffagetsmål:”…opnåfortrolighedmedmatematisktankegangogræsonnementogselvkunneforetagematematiskeræsonnementer”.Deterderfornoget,elevernebedømmespå‐særligveddenmundtligeprøve,idetmanunderbedømmelseskriteriergenfinderordlydenfradefagligemål.Veddenskriftligeprøveskaleleven”anvendematematisketeorierogmetodertilløsningogdokumentation”samt”opstilleogbehandlemodellersamtvurdereresultater”.Påbeggeområderstilleskravom,ateleverneskalkunneargumenterefordereshandlingerpåbaggrundafderesmatematiskeviden.Mankanfralæreplanenfådetindtryk,atbevisførelsepåhtxskalopfattessomenprimærtdeduktivaktivitet,hvoreleverneskalkunnereproducerebeviserforudvalgtesætninger.VejledningerneformatematikAogBuddyberdetteyderligeremedeksemplerpåhvilkebevisetyper,dermedfordelkanarbejdesmediundervisningen.Detdrejersigomdebeviser,derforklarerfremforblotatbevise(Hanna,1990).Someksemplernævnesbeviser,derfølgerafenkonkretfigur,somfxbrugenafligedannedetrekanteribevisetforsætningenomafstandafetpunkttilenretlinje,ellerudledningenafformlenforhalverings‐/fordoblingskonstantenforeneksponentialfunktion,deropstillesudfragrafen.Omvendtfrarådesdetatbenyttebeviser,derkrævertricksellerindførelseafsmartehjælpefunktioneretc.Deeroftesværeathuske,fordieleverneikkekansemeningenmeddisse”godeidéer”.Deteraltsåihøjgradbevisførelsefremfordetenkeltematematiskeargument,derfokuserespå.Iforbindelsemeddenskriftligeprøvei2011blevderindførtennytypeeksamensopgave,hvorelevenfårberegninger/figurerogselvskalargumenterefor,hvordandissefremkommerogfølgerafhinanden.Herharelevenbrugforatkendeogbenyttematematiskeræsonnementer,ogdetteerenmådeatskabefokuspåræsonnementskompetencenindenfordenskriftligedelaffaget.Idetteprojektbenytterviopgaverafdennetypeisåvelundervisningsforløbetsomidenefterfølgendetest.Læsermanhelevejledningen,fåsimidlertidetnogetmerenuanceretbilledeafforholdetmellemræsonnementerogbevisførelse.Dererdogingentvivlom,atvejledningenmedfordelkangenskrives,sådetmatematiskeræsonnementisinemangeformerkommerifokusfremfordenaksiomatisk‐deduktivebevisførelse.Atdetnetoperdennetyperæsonnementer,derfyldermegetilæreplanogvejledningskalsessomenreaktionpådetidligerehtx‐bekendtgørelser,hvordetvaranvendelsenafmatematikkenipraktiskesammenhænge,der

Side57af242

vartoneangivende.Medreformeni2005vardetvigtigtatpræcisere,atmatematikpåhtxogsåharenteoretiskside.

ProblemformuleringTidligereerfaringerharvist,atalgebrafungerersomsnublestenformangeelevermedlæringsvanskeligheder,ogatproblemermedalgebravilforhindreeleverneiatvisederesræsonnementskompetence.Iinterventionenfravælgesdennetypeopgaverderfor,ogistedetfokuserespågeometriskeargumenter.

Ihvorhøjgradkandeidentificeredeeleversresultateridetektionstest2 forklares ved læringsvanskeligheder, der udspringer fra deresmatematikforestillingerog/ellerderesbevisskemaer?I hvilken udstrækning kan en klasserumsinterventionmed fokus påsociomatematiskenormerbidragetil,atdeidentificeredeeleveropnårdefastsattemålforræsonnementogbevisførelse?Hvordan påvirker en sådan intervention klassens matamtikfore‐stillinger?

EleversmatematikforestillingerIdennedelarbejdervimedindlæringsproblemerogmatematikvejledningindenforområdetræsonnementerogbevisførelse.Foratafdækkehvilkentypevejledningogundervisningsforløb,detvilværemesthensigtsmæssigtatbenytte,vilviundersøgeelevernesmatematikforestillingerprimærtindenfordetnævnteområde.Vivildelssammenlignedeudvalgteeleversmatematikforestillingermedheleklassensforestillinger,foratseomdisseeventueltadskillersigpåvæsentligepunkter.Samtidigvilvisammenholdevoreeleversmatematikforestillingermedinternationaleundersøgelser,foreventueltatkunneudnytteandreserfaringertilatforklarelæringsvanskelighederogiplanlægningenafinterventionen.Hvadenelevlærerafhængerafmangeting:fagligeforudsætninger,arbejdsindsats,motivation,undervisningen,etc.,ogmangeafdisseerogsåindbyrdesafhængige.Fxvilenelevsarbejdsindsatsafhængeaf,hvormotiveretelevenerforatlære,omvendtvoksermotivationenofte,nårmanføler,manlærernoget,hvilket(forhåbentlig)erenfølgeafengodarbejdsindsats!Internationalforskning(Op’tEyndeetal,2003)harvist,atetområde,derharstorindflydelsepåeleverslæring,erderesmatematikforestillinger(beliefs).Vivilidetfølgendebenyttefølgendedefinitionafeleversmatematikforestillinger:

Side58af242

Viharaltsåatgøremeddebevidsteogubevidsteforestillinger,elevergørsig,omhvadderersandtialt,hvadderharmedmatematikatgøre.Mankanfindemangeforskelligekategoriseringerafmatematikforestillinger.Viharhervalgtatbenyttenedenståendekategorierforatundersøgehvilkeforestillingerog”fordomme”eleverharomforskelligeaspekteraffaget(Op’tEyndeetal2003).Detdrejersigommatematikforestillinger

- ommatematik(fagetsnatur,områderogmetoder,undervisningen)- ompersonenselv(mål,middel,indsats)- omdensocialekontekst(sociomatematiskenormer).

Figur9viser,hvordaneleversmatematikforestillingerafhængerafdenkontekstdebefindersigi,deresindividuellemål,behov,ønskerosv.samtderesopfattelseafmatematikfaget.

Figur9Modelafeleversmatematikforestillinger

Nårmanhørerellerlærernogetforførstegang,vilmanofteaccepteredetudenatreflektereover,hvorvidtdetersandtellerej(Gilbert,1991).Matematikforestillingerkanderforværemegetsværeatændre,ogdeterofteførst,nårderopstårkonflikterellermodstrid,atdetvilføretilenændring(Spinoza,1982).Denneobservationervigtigtathuske,nårmanønskeratændreelevernesforestillingeraffxnødvendighedenellernaturenafetmatematiskræsonnement.Enelevsmatematikforestillingerafhængerafdensocialekontekst,somvedkommendeervoksetopi,ogafdenklasserumspraksismanerendelaf.Detbetyder

Students’ mathematics related beliefs are the implicitly or explicitly heldsubjectiveconceptions,theyholdtobetrueaboutmathematicseducation,aboutthemselvesasmathematicians,andaboutthemathematicsclasscontext.Thesebeliefsdetermine in close interactionwith eachotherandwith students’priorknowledge,theirmathematicallearningandproblemsolvinginclass.

PeterOp’tEyndeetal,(2003)

Side59af242

samtidigatsammeaktivitetellerresponskanføretilnye,forskelligeforestillingerforforskelligeeleverafhængigtafeleverneseksisterendematematikforestillinger(Pekhonen&Tørner,1996;Underhill,1988).Hvadmanopfattersomsandt,omfattersåvelvoreforestillingersomvoresviden.Skøntnærtbeslægtedeerderentydeligforskelpådetobegreber.Hvorforestillingerneerenindividuelkonstruktion,dereruafhængigafvaliditeten,ervidenensocialkonstruktion,derkræverensandhedsbetingelse(Scheffler,1965).Deter”Samfundet”,derbestemmer,omnogetersandtellerfalsk.Sometresultatafdenmådemanlærerpå,vilvidenoptrædei”klynger”,derafhængerafdenkonkretesituationogkontekst,manlæreri.Tilsvarendeoptræderforestillingeriklynger–hvadmanlærerifxenundervisningssituationaccepteressomsandtidennekontekstmenikkenødvendigvisudenforskolen(Bogdan1986)ogikkenødvendigvisietandetfag.Somlærerietnaturvidenskabeligtfagoplevermanoftedenneformformangelellermisforståettransfertilfxkemi‐ogfysikundervisning.Detertilstedeværelsenafdisseklynger,derforklarer,athvadderkansynessomtomodstridendeforestillinger,ikkebehøveropfattessomsådanafpersonen,hvisforestillingernetilhørerforskelligeklynger.Nårmanvilundersøgeenelevsmatematikforestillinger,erdetvigtigtatbemærke,atenpersonsjældenterbevidstomsineforestillinger,ogatspørgeskemaundersøgelserellerinterviewsderforikkenødvendigviskanafdækkedem.Mangeforestillingerkommerførsttiludtrykidenmåde,eleveragererpåiforbindelsemedfxproblemløsning.Foratafdækkeenpersonsmatematikforestillingermådetderforskeindirektegennemdeaktivitetervedkommendeudfører‐gerneiinteraktionmedandre(fxSchoenfeld,1985).Idennedelsempiridelerderredegjortforvoresundersøgelseafelevernes(klassenfraOTG)matematikforestillingerpåenkelteområder(seafsnittetUndersøgelseafeleversmatematikforestilling).Medovennævnteimentemåvierkende,atdernærmereertaleomderesselvopfattelseafegneforestillinger–detharikkeværetmuligtatlaveentilbundsgåendeundersøgelseafelevernesmatematikforestillinger.Imidlertiderundersøgelsensresultatetudmærketgrundlagforudviklingenafundervisningsforløbet(seafsnittetUndervisningsforløbet).

BevisskemaerIarbejdetmedatudvikleopgavertilundervisningsforløbetomræsonnementer,dersammenmedsamtalermeddeudvalgteelever,dannerrygradenivejledningsforløbet,harvibeskæftigetosmedbegrebetbevisskemaer.Gennemdisseskemaerkanmanopnåstørreforståelseaf,hvordanelevererkender,hvadetbeviser,oghvordandelærerselvatbevise.Viharbenyttetopbygningenafbevisskemaersombeskreveti(HarelogSowder,2007).Iprojektetsempiridelbenyttesbevisskemaernetilatdiagnosticeredeudvalgteeleversamtopstillemålforderesudvikling(seafsnittetDiagnosticeringafudvalgteelever).

Side60af242

Bevisførelseeretafmatematikkenssærkender,ogdeterdefærreste,derstillerspørgsmålstegnvedvigtighedenafatbevisetingimatematik.Imidlertidharrigtigmangeeleverstorevanskelighedervedbevisførelseogdennesbyggesten:detmatematiskeargument.Forenmatematikvejledererdetderforrelevantatvide,hvorfornogleeleverharproblemermedbevisførelse,oghvaddisseproblemerskyldes.Manmåderforforståforskelligeaspektervedbevisførelse.Deteraspekteraf

1. matematiskoghistorisk‐epistemologiskkaraktersom- hvaderetbevis,oghvadskaldetbrugestil?

2. kognitivartsom- hvadforstårelevervedbevisførelse?- hvilkeproblemeroplevereleverne,nårdearbejdermedbeviser?

3. socio‐kulturelkaraktersom- hvordanundervisermanibevisførelse?- hvordanskabermanenklassekultur,derbefordrerudviklingenafbevisetsom

begreb?- hvilkenformforvekselvirkningmellemeleverogmellemeleveroglærerøger

elevernesbegrebsforståelseforbevisførelse?Foratbesvaredissespørgsmålvilviarbejdemedelevernesbevisskemaer,derdefineressom

Dennedefinitionhvilerpådetreaspekternævntovenfor,nemlig(1)bevisførelseskalfølgenoglegivnereglerogtraditioner,(2)nyvidenbyggespåeksisterendevidenog(3)beviserføresvha.argumenter,derkanoverbeviseandre.Foratforståhvordanetbevisskemaopbygges,oghvordanenelevlærermatematik,kanmanmedfordelsammenlignemeddenhistoriskeudviklingaffaget.Ikkesådanatforstå,atenhverelevskaligennemheledenudvikling,fagetergåetigennem,mendetgivergodmeningatplanlæggeundervisningen,såelevenførstopnårenbrugbartalforståelse,dernæstbliveristandtilatforståogarbejdemedkonkreteproblemstillinger,ogførsttilsidstgårtildetabstrakte.DettestemmeroverensmedenafdepointersomMitchelmoreogWhitenåedefremtilideresartikel(Mitchelmore&White,2004).Idetdanskeuddannelsessystemharvienstærktraditionforatopbyggeundervisningenpådennemåde,menmangeandrestederindføresabstraktmatematikpåetlangttidligeretidspunktogudenreferencetilenkonkretkontekst.Nårmanbetragterdeinternationalestudierafgymnasieeleveroguniversitetsstuderende,bemærkerman,atdergenerelterproblemermedforståelsenafbevisetsbetydning,ogformangeelevererderingensammenhængmellemempiriogeksperimenterpådenenesideog

Aperson(oracommunity’s)proofschemeconsistsofwhatconstitutesascertainingandpersuadingforthatperson(orcommunity).

Harel&Sowder,(2007a)

Side61af242

formelbevisførelsepådenanden(Balacheff,1991).Enårsagkanværediskrepansenmellemhverdagssprogogformelmatematik:

- ordet”eller”virkerekskluderendeihverdagssprogetmeninkluderendeimatematik- sætninger,derindeholderet”hvis–så”vilidagligsprogetoftesvaretilet”hvisog

kunhvis”mensdetfungerersomet”og”imatematik(Harel&Sowder,2007a)- sætningen”undtagelsen,derbekræfterreglen”fungererbareikkeimatematik.

Disseforskelleskalmanværemegetopmærksompå,nårmanunderviseroginddragerræsonnementerogbeviser.Dererfleremåderatbeskriveentaksonomiforbevisskemaer.Viharvalgtatbenyttedenbeskrivelse,dereropstilletafHarelogSowder(2007a).Ibilag8sesenoversigtoverdentaksonomiforerhvervelseafbevisskemaer,derarbejdesmedidennedel.IførstekolonneerangivetdentitelHarelogSowderharbenyttetforhvertskema,næstekolonneindeholderenkortbeskrivelseafvæsentligekarakteristikaafskemaet,ogisidstekolonneharviforsøgtatsammenholdedetenkeltebevisskemameddetbegrebsforståelses‐/læringsniveau,enelevskalværepå,foratkunneudvikledetangivnebevisskema.Vierfuldtudklarover,atudgangspunktetfordetosidstekolonnererforskelligt,ogatviikkeharteoretiskbelægfordennesammenstillingfralitteraturen,menvimener,atdetpåtrodsafdettegiverenøgetforståelseafbevisskemaerne,nårvimedtagerdennetredjekolonne.Endvideregivervoressamtalermedelevernebåde,dadegikpågrundforløbet,ognuhvordeerstartetpåstudieretningen,entydeligfornemmelseaf,atsammenstillingenholderforihvertfalddeførsteniveauer(ydreoverbevisningogempiriskebevisskemaer).Internationaleundersøgelserviser,atdetmestfremherskendebevisskemaerdetempiriske.

SociomatematiskenormerViskalidetteafsnitudforskenogleafdeforhold,derpåvirkerudviklingenafeleversmatematikvidenogmatematikforestillingeriensocialkontekst,desociomatematiskenormer.Hervedforstårvideregler,somfastsætterhvilkematematikaktiviteter,derforegår,oghvordandeudføres.VihariDanmarkgennemmangeårhaftdenholdningtilmatematikundervisning,atforståelseikkeopnåsvedoverførsel,menveddeltagelseienmatematikudøvendekultur.Enholdning,somtydeligtfremgårafstyredokumenternefraUndervisningsministeriet,ogsomerifremmarchoverdetmesteafverden.Vikanderforikkeadskilledeprocesser,hvoreleverskabermeningimatematikkenogsamtidigudviklerderesræsonnementskompetencefraderesopbygningafenantagetfællesforståelse(taken‐as‐shared)genneminteraktioniklasserummet(Yackel&Cobb,1996).Eksemplerpåsociomatematiskenormererfastsættelsenafhvad,derermatematiskacceptabelt,forskelligt,elegantellereffektivt.Detundervisningsforløb,derudviklesgennemdetteprojekt,harfokuspå,hvordanargumentersammensættestilforskelligetyperacceptablematematiskeræsonnementer.

Side62af242

YackelogCobb(1996)harpåvist,atnåreleverarbejdermedatforståandresargumenterellerskalsammenlignederesegneargumenterogmetodermedandres,vildetføretilrefleksion.Mankantaleomenreification(Sfard,1991),idetenbestemtforklaringellerløsningsmetodebliverrefleksionensobjekt.Herfindervimåskeenafårsagernetilelevernesproblemermedmatematiskeræsonnementerogbevisførelse.Reifikationenerdethøjesteniveauafmatematiskbegrebsforståelse,ogmangeelevernåraldrighertil.Dettegørdetvanskeligtatforstå(abstrakt)bevisførelsesommereendenrækkeenkeltdele(argumenter),sommanmereellermindrekanserigtighedenaf,mensomsamletsetikkenødvendigvisgivermegetmening.Viharikkefundetbelægfordennepåstandilitteraturen,ogdenudtrykkerderforblotvorespersonligehypotese.Idetfølgendevilvibeskrivedenteoretiskebegrundelsefordetometoderviharbenyttetidetklassebaseredeundervisningsforløb.

UndersøgelsesbaseretundervisningDetundervisningsforløb,viharudviklettilvorestoklasser,indeholderelementerafundersøgelsesbaseretdiskussionogargumentation(enquiry‐baseddiscussionandargumentation)(Yackel&Cobb,1996).Forløbetbestårafindledendeogopsamlendeklassediskussionersamtgruppearbejdemedetoplæg,dergivermulighedfordiskussionafforskelligematematiskeargumenterogderesværdi.Herudoverfåreleverneførstogsidstiforløbetentest,derudoveratindgåidenafsluttendediskussionindgårsomempiriogbenyttesvedevalueringafforløbet.Begrundelsenforatbenyttedenneundervisningsformer,atdenforhandlingafsociomatematiskenormer,derskabesherigennem,giveranledningtilenelevaktivitet,somfacilitererrefleksionogskabelseafsåvelvidensom(forhåbentlig)sandematematikforestillingeromræsonnementer.Bådeiklassediskussioneroglærer‐gruppediskussionerfårlærerenindsigtielevernesudviklingogbegrebsforståelse.Iklassediskussionerskalmandogværeopmærksompå,atdetkanværevanskeligtataktiverealle.Oftevildetværeenmindregruppeelever,derstyrerogdeltageridiskussionen,ogdenskalderforsuppleresmedlærer‐gruppediskussionerogselvstændigtgruppearbejdemedvejledningogfællesopsamling.Figur10viservoresmodelforenundersøgelsesbaseretundervisning,derudviklerdesociomatematiskenormer.

Side63af242

Figur10Modelforundervisningsforløb

DidaktiskesituationerViforsøgerikkedirekteatskabedidaktiskesituationersombeskrevetafBrousseau(1997),menvitilladerosatbenyttenogleaftermernefradenneteori.Sefigur10.Lærerogelevinteragereriklasse‐oglærer‐gruppediskussionerne,hvorderskabesenrammeogetfællessprogfordetviderearbejde,oghvorderskerendevolutionafdenopgave,somelevernesidenløserimindregrupper.Nårlærerenerdirekteinvolveretbetegneslæringssituationensomdidaktisk.Undergruppearbejdet,nårlærerenikkedeltageridiskussionerneellerblothørerpå,interagererelevernedirektemedmiljøet,dergiverenfeedback,somregulererelevernesaktiviteter.Dettekaldesenadidaktisksituation,ogherpåvirkerlærerenkunindirektearbejdetigennemdedidaktiskevariable,dererfaktorer,mankanændrepåforatfremprovokereændringerielevernesarbejde,sålæringkanfindested(Balacheff,1991).Eksemplerpådidaktiskevariableivorestilfældeeropgaveoplægget,it‐værktøjersomGeogebraogMaplesamtlitteratur/filmellerandrematerialer,somelevernearbejdermed.Hvismanønskeratskabeægtedidaktiskesituationer,skalelevernepåbaggrundafderesundersøgelserselvopstillehypoteser.Viharaftidsmæssigegrundevalgtenkombination,hvornoglepåstandeerformuleretpåforhånd,ogandreskalopstillesafeleverneselv.Herefterskalelevernevaliderepåstandenevedatunderbyggeogbeviseellermodbevisepåstandenemedargumenter,eksemplerogmodeksempler.Detteskabersociomatematiskenormerom

- hvaderetmatematiskræsonnement- forskelligetyperræsonnementer- eksemplerogmodeksemplersrolle.

Side64af242

Hvordeternødvendigt,vejlederlærerenidennefase,derivorestilfældemunderudienklassediskussionafopgaverne.Herskalviværeopmærksommepå,atvoreudvalgteeleverkommertilordeogviser,hvaddeernåetfremtil.Endeligafsluttesforløbetmedenklassediskussion,hvorresultaterneinstitutionaliseres,dvs.hvorlærerenholderresultaterogargumenteropmoddenetableredevidenpåområdet.Dettegiveranledningtil,atelevernesammenlignerderesegnematematikforestillingermeddenanerkendteviden,hvilketskaberrefleksionogmåskeændredeforestillinger.Somdetfremgårafovenstående,skalmanværeopmærksompå,atogsålærerensegnematematikforestillingerogmatematiskevidenspillerenafgørenderollei,hvilketfagligtniveauelevernenår,idetlærerenermedtilatdefinerenormerneforelevernesmatematiskeaktiviteter.

VejledningenstrefaserImatematikundervisningenbringeselevernefraetlaveretilethøjereniveauibevisskemaerneshierarki.Måleter,ateleverneopnåretdeduktivtbevisskema.Deterdoglangtfraalleelever,deropnårsåhøjtettaksonomiskniveau,ogenmatematikvejledersarbejdeeratidentificereelever,derbefindersigpåetmegetlavtniveau,diagnosticere,hvadderforhindrereleveniatnåethøjereniveau,fjernedenneforhindringogdermedforhåbentligbringeelevenoppåethøjeretrin.Viforestillerosikke,atvisommatematikvejlederskalarbejdemegetmedelever,somkunharproblemermedræsonnementskompetencerogmatematiskbevisførelse.Vikanikkeforestilleos,atenkollegavilkommeogsige:”KanduikkeligetageensnakmedUffe?Hanharsværtvedmatematiskbevisførelse.Hanerikkerigtigistandtilatforklare,hvilkeræsonnementermankanbrugeoghvorfor.”Meniarbejdetmedelever,derharlæringsvanskelighederindenforfxbegrebsforståelsevildetværenaturligtatinddragematematiskeræsonnementerivejledningsprocessen.Medudgangspunktiovenståendevalgtevifølgendeindholdidetrevejledningsfaser.

1.fase:IdentifikationForatidentificeredeelever,derharsærligsværtvedatræsonnere,anvendtevidetektionstest2.Ibilag6sestestensfuldetekstogibilag7sesensammentællingafelevernesresultater.Vihavdepåforhåndtestetdesammetoklasseriforbindelsemed”Begreberogbegrebsdannelse”oghavdederforetforhåndskendskabtileleverne.Viudvalgteherefterhvertoelever.Schouudvalgtetoafdetre,derogsåvarmediforrigeforløb.Dentredjeelevgårikkelængereiklassen.Pihlvalgtetonyeelever,dahunskiftedeklassevedårsskiftet.Vividstefraforrigetest,atdevalgteeleverhavdeproblemermedsymboler,talforståelse,ligningerogvariabelsammenhænge.Detvistesigikkeoverraskende,atdeogsåherhavdeproblemermedatræsonnere.

Side65af242

2.fase:DiagnosticeringDeudvalgteeleverblevinviterettilensamtale.Foratafprøveforskelligemetodervalgtevi,atelevernepåOTGblevinviteretenkeltvis,ogpåCPHWestblevdetoeleverinviteretsammen.Vioptogsamtalerneogefterfølgendeudfyldteviet”transskriptionsskema”somindeholdtopgaverogbeskrivelserafdetræsonnementsindhold,derlåispørgsmålene(Sebilag9).Dettegjordevi,foratkunneforetageenensartetanalyseafhverelev.Detfremgikafsamtalerne,atelevernehavdemegetsværtvedatlæseopgaverneogdermedforstå,hvaddetvar,deskullesvarepå.Elevernevarligeledesmegetusikrepå,hvordanmanskulleforklare/visedetønskede.Viinddrogelevernesbevisskemaeridiagnosticeringenforatopstillemålforinterventionen.Derimodvardetintetbelægfor,atderesmatematikforestillingervarrelaterettildereslæringsvanskeligheder(se3.fase:Intervention).

3.fase:InterventionPåbeggeskolervarelevernebedtomatudføreenhurtigskrivningsøvelse(bilag13),hvordekortskulleskriveomargumentationimatematik.PåOTGfikeleverneendvidereetspørgeskema(bilag10),hvordeskulleafkrydse,hvorenigedevarienlangrækkepåstandeangåendematematikforatafdækkeelevernesmatematikopfattelse.Detvarpåforhåndbesluttetatarbejdemedklassebaseretintervention,dabevistbrugafræsonnementerogbevisførelseerrelativtukendtforalleelever.Efterathaveundersøgtelevernesmatematikforestillingerbesluttedevi,atundervisningsforløbetskulleforegåigrupper.Undervisningenforegikpåforskelligmåde,idetmanpåCPHWestpåforhåndhavdeplanlagtetforløbforheleførsteårgangommatematiskargumentation,somindeholdtenrækkemindrebeviser.Detvarderforikkemuligtatskræddersyetforløbudfradeidentificeredeeleverslæringsvanskeligheder.Elevernearbejdemedmaterialetigrupper,ogdeskulleskriftligtgøreredefordeangivneeksempler.Beviserneblevgennemgåetogdiskuteretiklassen,foratopnåenfællesforståelseimådenatanvenderæsonnementerimatematik.PåOTGblevderudvikletetspecieltforløb,hvoreleverneigrupperskulleløse”Opgavermedræsonnementer”(bilag11).IafsnittetUdviklingafforløbeterderredegjortforhvordandeudvalgteeleversdiagnoseogopstilledemålførtetilvalgogudformningafopgaver.Opgaverneblevefterfølgendediskuteretiklassen,ligeledesmeddenhensigtatopnåenfællesforståelseafløsningenafopgaverne.Detoudvalgteeleverblevendnuenganginviterettilensamtale,hvordeblevpræsenteretforenrækkenyeopgaver.Disseopgaverhandledeomnogleafdetyperræsonnementer,dervarintroduceretunderklassediskussionerne.Noglevarkonkretetalopgaver,mensandrevarentenudenmatematiskindholdellerrentsymbolske.Denneganghavdeelevernehverkensetellerlavetopgavernefør,menunderdentimesomsamtalenvarede,fikdetaltsigigennemhvilkeargumenter,dervaracceptableogtilstrækkeligeforatløsedem.Foratseomvejledningenhavdenogeneffektfikelevernefrabeggeklasserefterfølgendeenmindreevalueringstest(bilag12)medspørgsmålsomfulgteideernefradetektionstest2.Som

Side66af242

afslutningpåevalueringstestenvarderenrækkespørgsmål,somskulleafdækkederes”nye”matematikopfattelse.

Empiri

UndersøgelseafeleversmatematikforestillingerIndenvistartededetegentligeforløbmedmatematiskeræsonnementer,badvielevernefrabeggeklasseromatudfyldeenhurtigskrivningsøvelse(bilag13).Herskulleelevernepåmaksimum15minutterbeskrive:Hvadforstårduvedetmatematiskargument(ræsonnement)?Mankandelederesbesvarelseopitohovedgrupper.Denenegruppemener,atetmatematiskargumentharnogetatgøremedatforklare,hvordanmanerkommetfremtiletsvarienmatematikopgave.”Hvorforharjegbrugtdenformel,somjeg…”.Denandengruppemener,atetmatematiskargumenteretbevisfor,atenformelersand.Erdetanderledesatargumentereimatematikendiandrefag?Hvordan?Idettespørgsmålmenerlangtstørstedelenafeleverne,atdeteranderledesatargumentereimatematik.Enelevskriver:”Ja,deteranderledes,nårduargumentereimatematik,deterikkeligesom,nårduargumentereridanskellersamfundsfag,fordinårduargumentererimatematikbrugerduformlerogudtryktilatargumenteremed,mennårduargumentereridanskellersamfundsfagbrugerduartikler,bøgerosv.”Enandenelevskriver:”Ja,deteranderledesatargumentereimatematikendiandrefag.Deterdetfordiatiandrefagbehøvesmanikkeatfindeenløsning.Mankangåpåkompromisforatallebliverenige.Hvoratimatematikskalmanhelstfindefremtilsammeresultat.”Hvorforbrugervimatematiskeræsonnementer?Hererdermange,dernævner,atvibrugerræsonnementertilatbeviseensammenhæng,enformelelleromnogetersand/rigtigellerfalsk/forkert.Etpareksempler:”Foratbevise,atenpåstanderrigtigellerforkert”,”Vibrugermatematiskeræsonnementersåmankanbevisedeteorierviharunderfagetmatematik.Eteksempelpådetkanværeatviharenpåstanddersiger:180°ientrekant.Såkanmansåbevisedennesætningrentmatematisk”og”Fordiviskalargumentereforhvordanoghvorledesvierkommettilsvaretellerresultatet.”Hvordankanmanviseomenmatematiskpåstanderrigtigellerforkert?Hererderendel,dermener,atmankanregnesigfremtildet.”Mankanregnedetudpålommeregneren,ogmankanselvregnedetudihovedet”,”Vedatbevisedet,altsåregnesigfremtildet.”eller”Kommeranpåopgaven,hvisdeterenligning,erdethvorbeggesideraflighedstegnetstemmeroverensmedhinanden”.Generelterelevernesbesvarelsehermegetfokuseretpåregneopgaver,hvorman”kanregne”sigfremtiletfacit,somkantjekkeshoslærerenelleri

Side67af242

facitlisten.Megetfåangiver”Vedatlaveetbevis,dertrinfortrinomdenpågældendepåstanderrigtigellerforkert”.Næsteningeneleverved,atmankandeduceresigfremtiletresultat.Elevernehavdepådaværendetidspunktafforløbetmegetfokuspåatargumentereforengivenløsningsmetode/formel,somsåvillegiveetfacit.Etfacit,somkunnetjekkespåenellerfleremåder.Forståelsenfor,atræsonnementerbrugestilatafklareomenpåstanderrigtigellerforkert,låforholdsvislangtvækfordeflesteelever.Foratundersøgeelevernes(selvopfattelseafderes)matematikforestillinger,fikklassenfraOTGudleveretetspørgeskema(sebilag10),somdeudfyldteindenforløbetomræsonnementerogbevisførelse.Dereskendskabtilbegrebernekomsåledesfradendagligeundervisning,hvorordenebenyttes,nårderarbejdesmedellergennemgåsnyteorielleridokumentationen,nårderløsesopgaver.Bilag10viserde27spørgsmålogderesopdelingidetrekategorierfraafsnittetEleversMatematikforestillinger.Spørgsmålmarkeretmed*erhentetfraSchoenfeld,(1989og1992),nogleafdemiletteretilrettetform.Spørgsmåleneerfordeltmed11ommatematik,6ompersonenselvog10spørgsmålomdesociomatematiskenormer.Forudforplanlægningenafdetfællesforløbforheleklassen,foretogviennærmereanalyseafelevernesmatematikforestillinger,foratafdækkeomklassenvilleværesånegativtstemtoverforgruppearbejdsform,atmodstandenkunnehindrelæring.Dettevistesigimidlertidikkeatværetilfældet–tværtimod.Enovervægtafelevermente,at”gruppearbejdegørdetnemmereatforståmatematikken”(spg.4),at”mankanoftefindedenrigtigeløsningpåflereforskelligemåder”(spg.11)ogat”detatlavefejlerendelafatlærematematik”(spg.10).Samtidigvareleverneuenigei,at”dererkunénmådeatkommefremtiletkorrektsvarpå,ogfordetmesteerdetvha.enregelsomlærerenligeharvist”(spg.17)samtat”hvismanikkestraksved,hvordanmanskallaveenopgave,kandetikkebetalesigatbrugelangtidpåden”(spg.19).Dissesvargiveretbilledeafengruppeelever,dergernearbejdersammenigrupper,ikkeerbangeforatlavefejlogkanindgåiselvstændigediskussioneromforskelligevejetilmålet,udendereslærerharfortaltdem,hvaddeskalgøre.Vibesluttedederfor,atplanlæggeetforløb,derskulleforegåigruppermedenopfølgendeklassediskussionoginstitutionalisering.SomdeterbeskrevetiafsnittetUndervisningsforløb,vistedetsig,atdettebillededannedeetudmærketgrundlagforvorestilrettelæggelseafforløbet.Ensammenligningafdeudvalgteeleversbesvarelseafspørgsmåleneangåendematematikforestillingervisteingeniøjnefaldendeforskellefrarestenafklassen.Undersøgelsenkanderforikkebrugestilatkastelysover,hvorfornetopdisseeleverharsærligeindlæringsproblemer.Vitogefterfølgendeikkesærligehensyntildeudvalgteeleversmatematikforestillingeriforbindelsemedudarbejdelsenafundervisningsforløbet.

Side68af242

Efterundervisningsforløbetbleveleverneatterspurgttilderesmatematikforestillinger,mendennegangmedtogvikun8afde27spørgsmål.Viforventede,atforløbetinogengradhavdeændretelevernesforestillingeromvisseaspekterafbrugenafmatematiskeræsonnementer.Hervistedetsig–hvadmanogsågenfinderilitteraturen(Op’tEyndeetal,2003)–atmatematikforestillingerkanværevanskeligeatændre.Ibilag10erresultatetvistsomtallenei().Manbemærker,atderstadigerca.ligemangeelever,dermenerhhv.ikkemener,atmatematikmesthandleromathuske.Ligeledesharantalletafelever,sommener,atselvommanharbevistnogetsymbolsk,sågælderdetikkenødvendigvisforalletal,hellerikkeændretsig.Dettekommersomenoverraskelse.Derimoderdertresteder,hvortalleneharflyttetsigmarkant.Dobbeltsåmangeelevermenernu,atmankunbrugermatematiskeræsonnementer,nårmanskalbevisenoget.Enårsagtildetteresultatkanvære,atelevernemåskeikkeharbemærketdetlilleord”kun”,ogenandengrundkanvære,atdetnetoperbevisførelse,derharværetfokuseretpå,ogeleverneikkehar”regnetopgaver”itraditionelforstandundervejs.Detteafspejlesogsåi,atantalletafelever,dermener,atmanbedstlærermatematikvedatløseopgaver,næstenerhalveret.Endeligerderbetydeligflereelever,somikkelængeremener,atmatematikmesthandleromtalogberegninger.Somenelevkommenterede:”Dethandlermegetomberegning,menoverhovedetikkekunomtal”.PåCPHWestblevderikkeudførtenindledendeafdækningafelevernesmatematikforestillinger.Derblevkungennemførtenundersøgelseiforbindelsemeddenafsluttendetest.IstørstedelenafspørgsmåleneerderikkeforskelpåelevernepåOTGogpåCPHWest(sebilag10).Tostedererderstorforskelpåderesudsagn,ogdetdrejersigom”Matematiskeræsonnementerermegetsværeatfølge”og”Selvommanbeviservedatregnemedbogstaver,erdetikkesikkert,atdetgælderforalletal.”PåCPHWestkunnedettydepå,atelevernestadigharsværtvedatforstå,hvadetmatematiskræsonnementer,ogderforikkeforstår,atnårmanharvistnogetmedsymboler,sågælderdetforalletal.Tilslutsammenlignedevideindsamlededatamedinternationaleundersøgelserafdemed*markeredematematikforestillinger(Schoenfeld,1989).Sammenligningenviser,atkunispørgsmål3”matematikhandlermestomathuske”,fordelerdedanskeeleversigsomderesudenlandskekammerater.Ibeggepopulationererderca.ligemangeelever,dererenigeoguenigeomspørgsmålet.Påalleandreområderafvigervoreseleversmatematikforestillingersigfradeinternationaleresultater:elevernemener,atdekanbrugederesvidenframatematikundervisningeniandrefagogidereslivgenerelt,deved,atmatematikopgaverkantagelangtidatløse,atmankankommefremtilløsningenpåfleremåder,ogatopgaverneikkenødvendigviskanløsesvha.dennetopgennemgåedeteori.Endeligmenervoreselever,atmatematik(kan)lavessammenmedandre.Vimener,atdisseforskelleihøjgradafspejlerdenmådemanunderviserpå,bådeigrundskolenogigymnasiet(htx).Resultaternebekræfterosi,atviharvalgtetbrugbartundervisningsforløb.Ovenståendeanalyseviser,atviikkeumiddelbartkandragenytteafinternationaleresultaterommatematikforestillinger.

Side69af242

Detektionstest2

Metodevedbrugafdetektionstest2Vivalgteatgivetestentiltoførsteårsklasser,somtidligereerblevettestetunderudarbejdelseafDEL1vedmatematikvejlederuddannelsen.Deneneklasseerenbioteknologi/matematikklassemed27eleverfordeltmed15drengeog12pigerfraOTG.Denandenklasseerenfysik/matematikklassemed27eleverfordeltmed20drengeog7pigerfraCPHWest.Ialttog54elevertesten.

Resultateroganalyseafdetektionstest2.Vigennemførtetesteniuge7.Itabel6kanmanseenopsummeringafresultaternefordetoklasser,samtidigharvidelteleverneopefterkøn.

CPHWest

OTG Drenge Piger

Antalelever 27 27 35 19

Gennemsnitrigtige 13,7 14,9 15 14

Bedste/dårligstescore 24/5,5 20/5,5 24/5,5 21/5,5

Tabel6Inddelingefterskoleogkøn

Tabel6viser,atderikkeerstorforskelpåskolerneoghellerikkepåkønnene.Dethartidligerevistsig,atderharværetforskelidrengeogpigerspræstationerindenforalgebra(SeafsnittetResultateroganalyseafdetektionstest1).Detserikkeumiddelbartudtil,atderersammenhængmellemkønogpræstation,nårdetdrejersigombrugafræsonnementer.Ennærmereanalyseantyderdog,atdrengeneklarersiglidtbedreiopgavermedalgebra,ogpigerneklarersiglidtbedreiopgaverudenalgebra,hvilketunderbyggesafvorestidligereundersøgelser.Tabel6viserogså,atderikkeerforskelpådetoklasserspræstationer.IDEL1–Algebra–begreberogbegrebsdannelseundersøgtevieleverneslæringsvanskelighedermedhensyntilbrugafalgebra,ogviafdækkede,atdervarstoreproblemer.Foratundersøge,hvorstorindflydelsebrugenafalgebrahavdepåeleverneslæringsvanskelighedermedræsonnementerogbevisførelse,valgteviopdeletestensspørgsmålopitogrupper.Enkategorimedspørgsmål,somviharvurderet,kanløsesudenbrugafalgebra(totalt14spørgsmål):1,8,10,11,13,14,15,16,17,19,20,21a,21bog22.Enandenkategorimedspørgsmål,somviharvurderet,vilbliveløstvedhjælpafalgebra(totalt12spørgsmål):2,3,4,5a,5b,5c,6,7,9,12,18og23.Ibilag7eralleelevernesresultatertaltsammen.Resultaterneviser,atca.63%afelevernebesvarermindst50%afspørgsmålenekorrekt.Fordeltpådetokategoriersesdet,atca.76%afelevernebesvarermindsthalvdelenrigtigispørgsmåludenalgebraog46%besvarermindsthalvdelenkorrektispørgsmålmedalgebra.

Side70af242

Detsesligeledesafbilag7,atdetistortsetalletilfældeeriforbindelsemedalgebra‐spørgsmålene,atelevernebesvarerforkertellerundladeratsvare.Dettesesvedatsepå,omdeharbesvaretmereellermindreend50%afspørgsmålenekorrektindenfordetokategorier.Dererfaktiskkunénelev,somklarersiganderledesenddeøvrige,nemligvedathaveenmegetstørreprocentdelkorrektialgebra‐spørgsmåleneendideøvrigespørgsmål.Detersærligtspørgsmål5b,5c,6,8,9,15,16,18og20,dergivereleverneudfordringer,somdeikkekanklare.Påbaggrundaftestresultaterneogvortkendskabtileleverne,udvalgtevihvertoelever,tilsamtale.DetoeleverfraOTGvarendreng(I)ogenpige(A),ogbeggeergengangereiforholdtilforrigeundersøgelse.Ascoredelavtibeggekategorier,hvorimodIblevvalgtsometeksempelpåenelev,hvoralgebraikkenødvendigvisoverskyggerproblemermedræsonnementer.Detbørligebemærkes,atItidligerehavdeproblemermedalgebra(seDEL1).DetoeleverfraCPHWestvarogsåendreng(C)ogenpige(D).Cblevvalgt,fordihanhavdescoretmegetlavtialgebra‐spørgsmåleneogforholdsvishøjtiikke‐algebra‐spørgsmålene.Pigenhavdescoretmegetlavtibeggekategorier.Itabel7sesde4udvalgteeleversresultaterforalle23spørgsmål.

køn

skole

1 2 3 4 5a 5b 5c 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21a21b 22 23 total

Ikkealgebra

Algebra

B M O 1 1 1 1 1 1 1 0 0,5 0 1 1 1 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 1 13 3,5 9,5

A K O 1 1 0 0 0 0 1 0 0,5 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 8,5 5 3,5

C M C 1 0 0,5 0 0 0,5 0,5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 11,5 9 2,5

D K C 0 0 0 1 0 0 0,5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 5,5 3 2,5

Tabel7Resultaterfordeudvalgteelever

Tildiagnosticeringenvalgtevitometoder.PåCPHWestblevderlavetetfællesinterviewmedbeggeeleversamtidigt,hvordehavdemulighedforattaleomderesbesvarelser,udendesomudgangspunktvidste,hvaddervarrigtigtellerforkert.Dettegjordevi,fordivihavdeenforventningom,atelevernesdiskussionmedhinandenvilleåbneopforisærD,somtildagligterenforholdsvisstillepige.PåOTGvalgteviatlaveinterviewmedelevernehverforsig,fordiderespersonlighederermegetforskellige,ogvoresvurderingvar,atdeikkevillehaveglædeafattalesammen.Påforhåndvarderudvalgtenrækkespørgsmålfradetektionstest2,somdeskulleudspørgesom.Vimenteikke,atdetvilleværeoverkommeligtihverkentidellerkoncentrationatspørgeindtilallespørgsmål,ogvalgtederforottespørgsmåludefterfølgendekriterier:

- Spørgsmålsomforholdsvismangehavdeklaretdårligt- Spørgsmålsomvoresudvalgtehavdeklaretdårligt- Spørgsmålsomrepræsenteredeforskelligetyperafræsonnementer.

Side71af242

Itabel7erdeudvalgtespørgsmålmarkeretmedorange.

LærerensforventningerversuselevernesbesvarelserIndenudleveringenafdetektionstest2tilelevernehavdeviudsethvilkeelever,viforventedevilleklaretestengodt/skidtogdetvistesigattestresultaternestemtefintoverensmedvoresforventninger.Endviderehavdevikonstrueretenbesvarelse,somvimente,engennemsnitselevvillelaveden,menhervaroverensstemmelsenmeddefaktiskebesvarelserikkenærsåstor,somDEL1.Nedenforgennemgåsnogleafafvigelserne.Entestsomdetektionstest2vilderforværeetgodtsupplementtilatafdækkeeleverneskunnenindenforområdet.Spørgsmål9:Hervarforventningen,atelevernehavdekendskabtil,atx=0ogsåerenretlinje,somgårgennem(0,0).Denmulighedvarderikkemange,derhavdehusket(9elever).Spørgsmål11:Forventningentilsvaretpådettespørgsmålvar,atelevernevillefindeetgennemsnit(svarendetilatantalmændogkvindererdetsamme),såledesat34,5%villeværesvaret.Detvarderikkemangeelever,dergjorde.Devaroverraskendebevidsteom,atantalletafmændogkvinderikkevarens,ogdettotalegav200%.Spørgsmål12:Vihavdeforventet,atelevernevillesvarejatilatf(x)=0x‐2eretførstegradspolynomium,menelevernekunnegodtlæse,atderstoda≠0,såmangesvaredeheltkorrekt(31elever)og7delvistkorrektpåspørgsmålet.Spørgsmål16:Voresforventningvar,atelevernevaristandtilmedtal‐eksempleratvise,atdeterkorrekt,atvolumenbliverottegangestørrevedenfordoblingafkantlængderneienterning.Menkun(16elever)varistandtilatsvarekorrektpådette.Spørgsmål18:Hervarvoresforventning,atelevernesystematiskgennemgikallemulighederogkrydsededea‐værdieraf,somgavetfalskudsagn.Mendetvarderikkemange,dervaristandtil.Kun5eleversvaredeheltkorrekt,22eleverkrydsededeneneafdetokorrektesvaraf.Restenudelodellersvaredeheltforkert.Spørgsmål23:Hervarvoresforventning,ateleverneikkekunneforståspørgsmåletogderforvilleundladeatsvareeller”Jegkanikkesvare”.Dettevardogikketilfældet.Rigtigmange(30)harsvaretkorrektpåspørgsmålet.Derblevdesværreikkebedtomenforklaring,ogdetervoresoverbevisning,ateleverneerkommetmedet(kvalificeret)gæt,udenafhaveforståetræsonnementet.

Side72af242

DiagnosticeringafudvalgteeleverEfterdetektionstest2foretogviendiagnosticeringeftersamtalemedeleverneomdeudvalgteopgaver.Vilagdevægtpåelevernes

- forståelseafopgaveformuleringenslogik;enhveropgaveformuleringharenlogiskstruktur,somskalafkodes,uansethvadopgavenkonkrethandlerom

- behandlingenafdenmatematiskesubstansiopgaven;detdrejersigomræsonnementer,derspecieltknyttersigtilreglerneforomgangmeddetmatematiskeindholdiopgaven

- forståelseafdenlogiskestrukturideræsonnementer,derskalbenyttesiopgavebehandlingen;uafhængigtafhvordanopgavenkonkretløses,erderenlogiskstrukturforgangeniløsningen.13

Ibilag14findestransskriptionerafdeleafdissesamtaler,samthvilkebevisskemaerelevernehartilknyttethverenkeltopgave.Nedenforvisesenkelteeksempler.Påbaggrundafensamletanalyseafhverenkeltelevforetogviendiagnosticeringafelevenogopstilledemålforelevensudbytteafforløbet.

ElevA(OTG)

Spørgsmål20AyaogAlibetragtertallene3og11.Debemærker,atderessum(3+11)eretligetal,mensderesprodukt(3∙11)eretuligetal.Ayasiger”Hvissummenaftoheltalerlige,såerderesproduktulige”Alisiger”Hvisproduktetaftoheltalerulige,såerderessumlige”ErindholdetiAya’sogAli’sudsagndetsamme?A(læseropgavenop):”Desigervelnøjagtigdetsammepåetellerandetplan?”Lærer:”Hvaderdet,Ayaforudsætter,oghvadpåstårhunfølgerafdenneforudsætning?oghvaderdetAliforudsætter,oghvadpåstårhan?LadosstartemedAya.”A:”Hvisvihartouligetalogplusserdemsammen,sågiverdeetligetal”Lærer:”Erdernogensteder,derstår,attalleneskalværeligeelleruligepåforhånd?”A:”Nej.”Lærer:”Nej,sådetkanduikkeantage.Menhvaderdet,hunsiger?prøvengangtil!”A:”Summenaftoheletalerlige,hvisdebliverplussetsammen…mensåhvisdeblivergangetsammen,såbliverdetulige.”(DiskussionafhvordaneksemplethængersammenmedAya’sudsagn)Lærer:”HvadsigerAliså?”A:”Hvismangangertoheletal,ogdeterulige,såhvismanplusserdem,såvildetblivelige”(SnakomeksempletssammenhængmedAli’sudsagn)Lærer:”Ogerdetsånøjagtigtdetsamme,desigerdeto?”13AnalysekriterieropstilletafMogensNiss

Side73af242

A:”Jamendesigerjopåhverderesmådedetsamme.”AnalyseAforstårikke,atderfremsættestoimplikationer,ogatdeerforskellige.Derafprøvesflerekonkretetaleksempler,mendetteførerikketilyderligereforståelseafforskellenidetoudsagn.Aviserheretydrerefererendebevisskemapåautoritærtniveau.DiagnosticeringafelevAManbemærker,atAfortsatharvanskelighedervedgrundliggendealgebra.Derudovererderproblemermedforståelsenafbegrebetudsagnogækvivalensmellemudsagn.Dereringenkendskabtilforskelligetyperræsonnementer,somfxnårmanvenderenimplikationvedatnegereellervisernogetvedmodstrid.Endelafdettekanskyldes,atAikkeharmødtdennetyperæsonnementerfør,atdestoreproblemermedalgebraoverskyggerlogikkeniopgaveformuleringogræsonnement,samtatAsletikketrorpåsigselv.Inogletilfældevisersamtalen,atderkunskallidthjælptil,førAkansigenogetfornuftigt.Bevisskemaerneerovervejendeaftypenydreoverbevisning.Målet14forAeratopnåkendskabtilforskelligetyperræsonnementer,fortrinsvisafikke‐algebraiskkarakter,idetdetmåansesforurealistiskogsåatkunneafhjælpevanskelighederpådetteområdeunderforløbet.Askalkunnefølgeandresargumenter,ogskalselvbliveistandtilatopstillesimpleræsonnementer.

ElevI(OTG)

Spørgsmål13Etkvadrateretrektangel,hvorallefiresidererligelange.Erethvertkvadratetrektangel?I:”Hertænkerjegpåetkvadrat,påenterning.Allesidererligelange.(Tegnerkvadrat,hvorallesiderer1)Mensåerderetrektangel.Deterlidtanderledes(tegnerrektangelpåhøjkantmedsidelængder1og2).Siderneoverforhinandenerligelange.Sådet(pegerpåkvadratet)kalderjegetkvadrat,ogdet(pegerpårektanglet)kalderjegikkeetkvadrat.Jegkalderdetetrektangel.Såerspørgsmåleterethvertkvadratetrektangel?jegvilmenenej,forsåvilmanikkekaldedettoforskelligeting.”AnalyseHergenkenderviI’sargumentationfravejledningenialgebraiefteråret:hvistotingharforskelligenavne,mådeværeforskellige,ellersvillemankaldedemdetsamme.Elevenmanglerklasselogik.Derertaleometydreoverbevisningsskema,dererrituelt,idetfigurenskalseudpåenspecielmådeforatværeatenbestemttype.

14Demål,derbliveropstilletfordenenkelteelev,erlærerensmål

Side74af242

Spørgsmål16Susannesiger,athvismanlaverennyterningvedatfordoblelængdenafallekanterneienterning,hardennyeterningetottegangesåstortrumfangsomdenoprindelige.HarSusanneret?Iprøverførstattegnesituationen.Hanfårtegnetenterningogfordoblerdeneneside.I:”…såskaldenfylde8gangesåmeget?Jegveddetikke.Lærer:”Hvormangeafsidernehardufordobletnu,nårduhartegnetsådander?”I:”Denderside(peger).Nåh,jegskalogsåfordoblefornedenogbagved!(tegner)Lærer:”Hvorstortetrumfanghardender?”I:”Otte.Vihavdekunénterning.Såpasserdetjo!”AnalyseIforstår,athanskaltagestillingtilenimplikation(somietdirektebevis),ogræsonnementetbloteratbekræfte,atvolumenetottedobles,nårallesiderfordobles.Derertaleometempirisk(induktivt)bevisskema,idetItegnersigfrem,ogudfraetenkelteksempelslutter,atpåstandenerkorrekt.DiagnosticeringafelevIViharheratgøremedenelev,derikkehardeheltstorevanskelighedermedalgebra.Hanerogsåvisuelogkantegnesigfremtilløsningenafnogleopgaver.TilgengældharIsværtvedatforstå,hvadhanlæser,ogderervanskelighedermedbegrebetudsagnogækvivalensmellemudsagn.Imanglerkendskabtilforskelligetypermatematiskeræsonnementerbortsetfradentype,manbenytterveddirektebevisførelse,mensomforelevAkandetteskyldes,atIhellerikkeharmødtdennetyperæsonnementerfør.Bevisskemaerneerovervejendeaftypenydreoverbevisning,mendererogsåempiriskebevisskemaer,ognoglestedertangererdetdendeduktivetype.MåletforIeratfåkendskabtilforskelligeræsonnementstyperbl.a.betydningenafmodeksempler,atkunnefølgeandresargumenterogselvbliveistandtilatopstillesimpleræsonnementer.

ElevCogD(CPHWest)

Spørgsmål18Ayasiger,atderforallereelletalgælder,ata2a.Hvilketaffølgendeværdierafakanbrugestilatvise,atdetteudsagnerfalsk.a) a=‐½b) a=0c) a=1/10d) a=1e) a=0,2

Side75af242

D:”Denfattedejegoverhovedetikke.”Lærer:”Hvorforgjordeduikkedet?”C:”Jegvidsteikke,hvaddereelletaler,oghvaddenderstregnedenunderbetyder.”D:”Jegvedikke,hvaddenderstregbetyder.”Lærer:”Veddu(henvendttilD)hvaddereelletaler?”D:”Nej.”Lærer:”Jegplejeratsige,deteralledetalvikender,dvspositive,negative,heletal,brøker,decimaltalogkvadratrødderogπ.Såerderogsåligetegnetimellemaogaianden.Hvadbetyderdet?HarInogenideom,hvaddetkanvære.”C:”Erdetnogetmedstørreend?”Lærer:”Ja,oghvorforerdersådenstregunder?”C:”Kandetværeenbrøkstreg?”Lærer:”Nej,deterikkenogenbrøkstreg.”D:”Detkunneværeetlighedstegn.”Lærer:”Ja.Iharmåskesetdettidligere,hvordersåvartostregerunder>istedetforen.Detbetyder,atdetderstårhereraiandenerstørreendellerligmeda.Detbetyder,attagermanettalogsætterianden,såvildetværestørreendellerligmedtalletselv.”C:”Deterjorigtigt.”Lærer:”Erdetrigtigt?”C:”Detviljegsigeatdeter.”Lærer:”Ladosse,hvadderståriopgaven.”HvilkenaffølgendeværdierkananvendestilatvisedetIKKEersandt”.HvisnuIprøver..”C:”Jegtror,atdeterdenderminusder.”Lærer:”Hvadskerder,nårvisætterminus½ianden.”C:”Såbliverdetenfjerdedel.”Lærer:”Ja,detblevenfjerdedel.Mankansåsigeat¼erstørreendellerligmed‐½.”C:”Determindreend.”Lærer:”Nej,deter…”D:”Deterstørre.”Lærer:”Deteneeretnegativttalogdetandeterpositivt.Denerfaktiskok.Kanvibruge0?Dvs.derstår0iandenerstørreendellerligmed0.”C:”Denkanvihellerikkebruge.Denviljogivenul”Lærer:”Viprøvermedentiendedel.Hvormegetbliver1/10ianden?”C:”Deterenhundrededel.”Lærer:”Såstårderatenhundrededelogstørreendellerligmedentiendedel.”C:”Deterjomindreend.”Lærer:”Ja,hvadharvisåvist?”C:”Atdetikkealtiderstørreendellerligmed.”Lærer:”Hvadmed1?”C:”Detbliver1igen.”Lærer:”Ja,sågælderlighedstegnet.Hvadmed0,2?”

Side76af242

C:”Deter0,02.Erdetikke?”Lærer:”Nej,duskalligehuskeogsåatgangeto‐tallernemedhinanden.Detgiver..”C:”0,04”Sammenmedlærerenkommerdefremtilattallenemellem0og1erdem,dergivernogetandet.AnalyseHererdetforståelsenafopgaven,derheltmanglerhosbeggeelever.Beggeeleverfårmedhjælpfralærerenenforståelseafordogtegnogendermedvedatsættealletalleneindetsvarpåopgaven.Debefindersigbeggepådetempirisk‐induktiveniveau.DiagnosticeringDetgælderforbeggeelever,atderimangeafopgaverneerproblemerbådemedord,symboleroglogiskopbygningafspørgsmålene.Ideflestetilfældeerbevisskemaerneafydreoverbevisning,hvisdetoverhovedetharværetmuligtatindplacerederesbesvarelser.Iopgaver,hvordetermuligtatanvendetalharsærligtCetlillefortrin.Dogikkeiopgavernemedprocentregning.Målsætningforbeggedisseeleverer,atdeskalblivebedreistandtilatforståopbygningenafetspørgsmålogdermedøgemulighedenforatkunnesvareoghermedanvendesimpleræsonnementer.

Undervisningsforløbet

UdviklingafforløbetUdviklingenafdeopgaver,derindgikiforløbet,blevforetagetpåbaggrundafdiagnosticeringenogdeopstilledemålforelevernepåOTG,idetmanpåCPHWestvarbundetafatbenytteetfællesskoleprojekt.DaelevAprimærthavdebevisskemaeraftypenindreoverbevisning,dvs.ræsonnementerskalopstillesafenautoritetoghelstopskrivespåensærligformforatbliveaccepteret,vardetvigtigt,atAkomtilatarbejdemedræsonnementer,derblevskrevetoppåandremåder,ogathunarbejdedemedatselvatopstillehypoteserogargumenterefordemvha.konkretetaleksemplerforatnåetempiriskskema.TilsvarendeovervejelserforelevIindgikiudviklingen.Vivalgteatfokuserepå,atelevernelærte,hvadetudsagner,oghvaddetvilsige,atudsagnerækvivalente.Derudoverskulledemødeforskelligetyperræsonnementer,ogdeskullelæreatfølgeandresræsonnementerogselvopstillesmåfølgerafsimpleræsonnementer.Endeligskulledemødebrugenafmodeksempleriargumentation.Detvarvigtigt,atopgavernevarskrevetietrelativtenkeltsprog,ogdermåtteikkeværenegationer,forsågikeleverneistå,nårdeskullearbejdeigrupper.Endeligmåtteopgaverneikkekrævebrugafformegetalgebra,somkunneskabesåstorevanskeligheder,atelevernemistedefokuspåselveargumentationen.Valgetfaldtderforpågeometri,hvordetmestealgebrakanundgås,oghvortankenomatmatematikkenbyggerpånogle”sandheder”,aksiomer,harenfremtrædendeplads.Hertilkometeksempelpåenopgave,somved

Side77af242

inspektiongavenmodstrid,dogførstefterafprøvningafdetal,derofteprøvesmednemlig1og2.Vikoncentreredeosomdirektebeviser,såelevernefikenklarfornemmelseaf,hvaddetbetyder,at A B .Hvaderforudsætningen/antagelsen?hvaderhypotesen,somskalvises?Underinstitutionaliseringenskullederinddrageseksemplerpåandrebevistyperfxkontaposition,ogidiskussionerneafsvarenefrasåveldetektionstestensomdenafsluttendetestskullebegreberneudsagnogækvivalenteudsagnindgå,såeleverneogsåsånegeredeudsagn.Derskulleafsættestidtil,ateleverneselvstændigtkunnearbejdedemedopgaver,derindeholdtdeindførtebegreberefterdiskussionenafdetektionstestenogindenenafsluttendetest.Disseopgavervillevisamtidigbenyttesomudgangspunktforandenvejledningssamtalemeddeudvalgteelever.Skøntviforsøgteatundgålængerealgebraiskeberegninger,kunneetvistalgebraiskindholdiopgaverneikkeundgås.VibenytteratterGTG‐modellen(Kieran,2007)fra(Seafsnittet”Algebraiskeaktiviteter–enmodel)iudformningenoganalysenafopgaverne,mendennegangmedvægtenlagtpådegenerationelleaktiviteter.Disseomfatteropstillingafudtrykforobjektersomfx

- generelleudtryk,derbeskrivergeometriskestrukturer- generelleudtrykomtalfølger.

Idetfølgendevilvikortanalyserehverafde6opgaveriforløbet,somsesibilag11:Opgave1Eleverneskalvise,attoudsagnomenretvinklettrekanterækvivalente.Denoverordnedeantagelseer,attrekantenerretvinklet,ogdetteerenforudsætningiheleargumentationskæden.Undervisningenaf A B antagesdet,atarealetkanopskrivespåenbestemtmåde,ogheraffølgerså,attrekantenstospidsevinklermåværeidentiske.Omvendtnårmanviser, B A erantagelsen,atdissetovinklererensogheraffølger,atarealetkanbestemmessom¼afkvadratetpåhypotenusen.Hvisikkealleledibevisførelsenhavdeværetopstillet,villeopgavenprimærthaveværettransformationel,menherhvordererfokuspå,hvorforhveromskrivningerkorrekt,drejerdetsigistedetomhvilkeforudsætninger,derførertildenenkelteopskrivning,ogmanbevægersigmoddetgenerationelle.Manskalforstå,atmanskaltagestillingtiltoforskelligeimplikationer,ogathvisdeneneeropfyldtvildenandenogsåværedet,samtatdegælderforalleretvinkledetrekanter.Detmatematiskeindholdertrekantsberegningeromsidelængderoghøjder,samtganskemangealgebraiskeomskrivninger.Løsningsræsonnementetslogikeratbekræfteimplikationernehverforsigogdermedslutte,atdeerækvivalente.Opgave2UdfraEuklidsførste3aksiomer,skaleleverneopskrivedeudtryk(ligninger),dergiver,attopvinklerneerens.Hertilbenyttesdengenerationelleaktiviteta).Opgaveformuleringenslogikeratbegrundeenpåstand.Detmatematiskeindholderatopstillenoglesammenhængeomvinkelsummer,derudfraEuklidsaksiomerførertilsvaret.Løsningsræsonnementetslogikeratbekræftedeenkelteargumenteriræsonnementet.

Side78af242

Opgave3Envidereudviklingafopgave2.Herermålet,ateleverneser,atudfraetpostulatogettidligerevistresultat(opgave2),kanmanviseenuniversalpåstandnemlig,atvinkelsummenientrekantaltider180grader.Mankanikkelængereblotantage,atensliggendevinklervedparallellelinjererligestore.Atvisedenneantagelseerendelafbevisførelsen.Denneopgaveerligeledesengenerationelaktivitetaftypea).Opgaveformuleringenslogikeratbegrundeenpåstand.Detantydedebeviskræveracceptafuniversalpåstanden,at”ensliggende”vinklervedparallellelinjererligestore.Detteskalvisesher.Detmatematiskeindholderforståelseogbrugafaksiomerneogopgave1omvinkler.Løsningsræsonnementetslogikerbekræftelseafdeindgåendeimplikationer.Opgave4Eleverneskalherviseenpåstandomvinkelsummenifirkanter.Pågrundlagafresultatetfraopgave3kandekommefremtil,atdenfremsattepåstandersandforenhvermuligfirkant.Engenerationelaktivitetaftypea).Dererogsåmulighedforatviseempiriskbevisskemavedattegneeksemplerogmåleop.DenmatematiskesubstansertrekantsberegningerogmålingerifxGeogebra.Logikkeniløsningsræsonnementeter,atenhverfirkantkantrianguleres.Opgave5Mangårnuetniveauop,ogserpån‐kanter.Opgaveformuleringenslogikerher,atmanselvskalfremsætteenpåstandudfraempiri.Detmatematiskeindholdermodelleringafn‐kanter,trianguleringogbestemmelseafvinkelsummenaftrekanter.Løsningsræsonnementeterprincipieltdetsammesomiopgave4,mendererflerespecialtilfælde,idetenn‐kantkanhaveflereforskelligeformerendenfirkant.Detforventesikke,atelevernekankommemedetformeltbevisforderespåstandomvinkelsummenienn‐kant,mendetervigtigt,atdedrøfterhvilketyperræsonnementer,dererbrugfor,ogsåselvomdeikkeeristandtilatopskrivedetpåkorrektmatematiskvis.Mankanskelnemellemdebesvarelser,derargumentererfor,atpåstandengælderforenheltgenerelfirkant,ogde,derbenyttermangeeksemplerpåkonkreten‐kantersombelæg.Dererherligeledestaleomengenerationelopgaveaftypea).Opgave6Idenneopgaveskalderfremsættesenpåstandpåbaggrundafempiri.Detmatematiskeindholderterminologienforcirkler.Løsningsræsonnementetslogiker,atenpåstandkanmodbevisesmedblotetenkeltmodbevis.Hervilpåstandenholde,nårderafsættes1–4punkterpåperiferien,mensderfremkommerenmodstridvedafsættelseafflerepunkter.Opgavennærmersigengenerationelaktivitetaftypeb).

Side79af242

Denafsluttendetest(bilag12)bestårafopgaver,derskalviseomelevernekan

- følgeogredegøreforandrestankegang(8)15- argumentereforsandhedenafenpåstand(1,2,3,9)- tagestillingtilpåstande(4,5,6)- forkasteenpåstandudframodeksempler(7)- udpegeækvivalenteudsagn(11,12,13)- opstilleenhypoteseudfraempiri(10)

Vistilledeikkeopgaveraftransformationelkarakter.Deopgaver,derhavdealgebraiskindholdvaralleafdengenerationelletype.Hervedundgikvi,ateleverneblevbremsetideresræsonnementerafalgebraiskemanipulationer,somviiforvejenvidste,dehavdesværtved.

ObservationerundergruppearbejdetpåOTGEfterenkortintroduktiontilforløbet(ca.20minutter)gikeleverneigangmedopgaverne.Devarinddeltigrupperaf4personer.Detoudvalgteeleverhavdeselvværetmedtilatlavederesegnegrupper,mensdeøvrigegruppervarlavetaflærerenpågrundlagafresultaternefradetektionstest2.Ihvergruppevarelever,derhavdescoret(relativt)højtindenforhhv.algebraogikke‐algebraopgaver,ogspredningenihvergruppevargjortsålillesommulig.Deførste4lektionerblevderarbejdetintenst,mensaktivitetsniveauetdensidstedagvarnogetmindre–måskepågrundafudsigttilpåskeferie?Enandenårsagvar,atdeflestegrupperhavdenået,detdemagtedeiløbetafdeførste4lektioner,mensmandensidstedagdelsforsøgteatsvarepådet,manmanglede–menikkerigtigkunnefindeudaf,ogbrugtetidentilatlaveenpænbesvarelse.Somlærerbestodarbejdetmestiatgårundtoglytte.Indimellemblevmanspurgtomkonkretespørgsmål,oghergjaldtdetomatsvaremedetspørgsmål,derkunneledeelevernevidereideresegnediskussioner.Grupperne,derindeholdtdeudvalgteelever,blevvideofilmetundervejs.Afvideofilmensesdettydeligt,hvordandesociomatematiskenormerdannesundervejs,menmanbemærkerogså,hvadeleverneharsværtved.GruppenmedelevAarbejdermedopgave5Elev1:”Viskalopstilleenhypotese,altsåensætning,omhvormangegradervinkelsummenerienn‐kant.Altsåligesomomdereretforholdmellem,hvormangekanterdener,oghvormangegraderdenhar.”Elev2:”Ja.f.eks.ientrekantogenfirkant,dererikkedensammevinkelsum.”Elev1.”Nårderkommerenekstravinkelpå,hvorstorerforskellensåhvergang.A:Ientrekanterden180,ienfirkanterden360.”Elev1:”ErdernogetItænker?atdetkanmåskeværedet?forviskaljoopstilleenhypotese.Hvergangderkommerenekstrakantkommerder90gradermere,ellersådannoget.”

15Tallenei()henvisertilopgavenummeretidenafsluttendetest.

Side80af242

Elev2:”Altsåfraentrekanttilenfirkantderharvijoligedetdobbelte.”A:”trorIdeterdetdobbelteigen,hvisdererdeterenfemkant?Nej,detmåvære180oveni.Eller…detkunneegentliggodtvære360oveni.”Elev2:”Såerdetogsådetdobbelteigen.”Elev1:”Denkanjogodtværevoreshypotese.Hvisdetnuervoreshypotese,hvordanskalvisåskrivedet?Atdenstigermedsåogsåmangegrader?”A:”Jegtrordenstigermed180grader.”Elev1:”180graderhvergang?”Elev2:”180gange2n.Ellerstigerdenbaremed180graderhvergang?”A:”Kanvisige180gangesiderne?…Nej.”Elev2:”Hvisvinugangermedgange2n.”A:”Såbliverdetbaremegethøjtligepludselig.”Elev1:”Skalviikkeprøveogtegnenogen?ogmåledem?Såkanvimåskefindeudafnoget.Viskallaveenfemkantogensekskantogensyvkantogenottekant.”…Aftegningernekommergruppenfremtilfølgende:Elev2:”Forhverekstrakant,såplusservimed180grader.”Elev1:”Detvarligedet,vitalteomførsomvoreshypotese!vikunnebareikkefindeudafatformuleredenordentligt.Kanvipåenandenmådeenddethervise,atdenersand?Kanvigøredetanderledesendvedbareattegnedenind?”Elev2:”Viharaltidetstartpunkt,somertrekanten,ogsomer180.Skalvihavedetmed?”Elev1:”Ladmigligeprøveattegnedet.”A:”Næh,enstjerne!”Elev1:”Ja.Nårjegsiger180såtænkerjegtrekant.Jegtegnerligeensekskant.Erdeikkeopbyggetaftrekanter?ogdeterderforviplussermed180.KanIsehvadjegmener?”Elev2:”Jah…”Elev1:”Detmåhavenogetmeddetatgøre.Jegvilfindeenandenmådeatvisedet.Se,hvisvinuplusserdenhertrekantpåenellerandenfigur…”Elev2:”Såfårmanjo180gradermerepå,fordereraltid180graderientrekant.”Elev1:”Seher.Nårmanplusserenkantmerepå,såplussermanfaktiskentrekantmerepå.Detgørmanjofaktisk.”A:”Sånårdugårfraentrekanttilenfirkant,såerdetbareentrekantsmidtoveni?”Elev1:”Ligepræcis!Sånårmanskalhaveennyn‐kant,såkommerderentrekantmerepå,ogderfrakommerde180,forientrekanterderaltid180grader.”A:”Ja.Detlydermegetrigtigt.”Elev2:”Detgodttænkt.”Elev1:”Tak!Menerdetheretgodtnokbevis?”Elev2:”Jegtror,viskalhaveendecideretsætning,somkanbrugestilatregnedetudmed.”Elev1:”Kanviikkebrugedet,derståriopgavensomhjælp.”A:”Mensigerviikke,atienhvilkesomhelstfigur,såerdetfigurenfør,dergivervinkelsummenafdennyefigur?”

Side81af242

Elev1:”Deterihvertfalddetbedste,viharhaftindtilnu…”Gruppendiskutererfremogtilbageogendermedfølgendeformuleringideresaflevering:”Voreshypoteseer,atmanforhver”ekstra”kant,kommer180graderekstratilvinkelsummen.Dvs.ienn‐kantervinkelsummenafdenforrigevinkel+180graderdennyevinkelsumafnyfigur.Voresbevisvillelydesåledes180+180(n‐3)=vinkelsumafn‐kant.”Detteudtrykafprøvesoptilen9‐kant.Detpasserialletilfældeoggruppenmenernok,at”nuhardeknækketden”.Defortsætterdiskussionenomdeteretrigtigbevis,ellerderskalregnesmedbogstaver.Er‐3og180fxbogstaver?Viserhernogleelever,derførstgørsigklart,hvaddeskalgøre(laveensætning,somiopgaveformuleringenbenævneshypotese).Destartermedforskelligemereellermindreumotiveredegæt,ogforkasternogleafdemundervejs.Aviserenfinintuition,mendeltagergenereltforlidtidiskussionen.Næstefaseerenstruktureretempiriopsamling,hvordertegnesogmåles.Påbaggrundheraffremkommerenkorrektarbejdshypotese.Gruppenerklarover,atdetteikkeviltilfredsstillelæreren(!)Detskalbevises,athypotesenersand.Isærelev1gribersagenfornuftigtanoggiversigtilatskitseresituationenforatforstå,hvaddersker.Sammenmedgruppenkommerderenforklaring,dergodtnokikkeermatematiskheltuddybendenok,somfaktiskminderombegyndelsentiletinduktionsbevis.Mengruppenerstadigikketilfreds,fordermangleren”formel”somden,derantydesioplægget.Mankommerfremtiletforslag,derafspejlerdenmåde,somudtrykketerfremkommetpå,ogdenneafprøvesogvirker.Gruppenfølersigoverbevisteom,atformlenerkorrekt,mendegiversamtidigudtrykfor,atdegodtved,atnogleeksemplermedtalikkeeretbevis.Manskalregnemedbogstaver.Denendeligeformuleringerfornuftig,skøntterminologienmed”bevis”forselvepåstandenermisforstået.Ovenståendevisermangeeksemplerpåelevernesfaktiskematematikforestillinger.

InstitutionaliseringEfterde6lektionerà50minutter,somelevernehavdetilatarbejdemedoplægget,blevderbenyttetyderligeretolektionertilforløbet.Klassengiksammenmedlærerenopgaverneigennemforatnåtilenantagetfællesforståelseaf,hvadmatematiskeræsonnementerer,hvordanoghvornårmanbenytterdem,oghvilkeresultater,derkommerudafdet.Forateleverneikkeskulleladesigdistrahereafcomputerensmangefristelser,fikalleelevergruppensbesvarelseudleveretpåpapir.Dervargenerelgoddiskussionslystogalledeltog,selvomnogleskullepressesmereendandre.Detlykkedesdogatfåca.halvdelenafklassentiltavlenogalletilatsigenogetiløbetafdetolektioner.VistartedemedendiskussionafEuklidspostulaterogaksiomer.Isærhans”manglende”brugafsymbolerblevbemærket,ogmangeelevergavudtrykfor,atdetnokvarførstegang,derigtighavdeset,hvorforsymbolerfaktiskerretpraktiskeimatematik.

Side82af242

UdfraPostulat5fikvidiskuteretosfremtildenudgaveafparallelpostulatet,somelevernekender,nemligatvedskæringmedtoparallellelinjererensliggendevinklerligestore.Hertilsådeeteksempelpåbevisførelsevha.kontraposition,somEuklidbenyttedeofte.Iopgave1skulleelevernefølgeengivenbevisførelse,ogdeskullebeskrivehvertenkeltræsonnementikæden.Detgikfint,ogselveidéenomtoækvivalenteudsagnsyntesforståetafmange.Detonæsteopgaverkrævedenogetmerediskussion.Førstskullemanvise,attopvinklervarligestore,ogdernæstskulledettebrugestilatvise,atdetovinkleruogdetovinklerwpåfigurenvarens.Elevernehavdehaftsværtvedatbrugeaksiomerne,menefterdenfællessnakom,hvordandesåud,nårmanbenyttedesymboler,komderforslagom,atmanjokunneskrive 180u v og ' 180u v såmåtte 'u v u v ogdermed 'v v .Detblevaccepteretafklassen.Detspringendepunktiopgave3varoverraskendenokikkeatse,atopgave2straksførtetil,atdepåfigurenangivnevinklervarens.Detteblevstraksforklaretafflereelevervedtavlenmedtegningeroghenvisningtildet,derligevarvist.Derimodvardetforståelsenaf,atmanoverhovedetskullemedtagedetteargumentforathaveetfuldgyldigtbevis.Påfigurenvarvinklernejoangivetmedsammenavne,ogsåmåttedeogsåværeens!Opgavenomvinkelsummenienfirkantkomklassenhurtigtigennem.Tilgengældvarderstordiskussionafn‐kanten.Mangehypoteservaropstillet:Vinkelsummenblevangivetsom

180 360n ,180 ( 3) 180n ogsom A B ,såførstmåttederskaffesenighedom,at

allesagdedetsamme.Denførstegruppemente,atdenunokhavdevist,detvarrigtigt,fordehavdemåltheltoptilen11‐kant,ognårmantegnedefxen8kant(derblevtegnetenforholdsvisregulær8‐kant)ogmantegnedeallelinjestykkerfrasammepunkt,såkomder6trekanteraltså2mindreendde8,ogsåmåttedetvære180 ( 2)n .

Hertilvarderstraksengruppe,derprotesterede:hvadhvisn‐kantenikkevarsåpæn,ogmanikkefiklinjestykker,somgavtrekanter,dertilsammenfyldtehelen‐kanten?Herkomsåenlængerediskussionaf,hvorvidtmanaltidkunnedeleenn‐kantopitrekanter,somlåheltindein‐kanten,ogsomtilsammengavdethele.Endeligvarderenenkeltgruppe,dernæstenhavdefåetlavetetinduktionsbevis.Deargumenteredefor,athvergangmanskullehaveennyn‐kant,derhavdeenkantmereenddengamle,såsvarededettilatlæggeetpunktudenfordengamlen‐kantogforbindedetmedtoafhjørnerne.Dettesvaredenøjagtigttilatbyggeentrekantpå,ogsåkomder180gradermere.Udenatgåheltidetaljer,blevdepræsenteretfor,hvadetinduktionsbeviser,ogendelelevervarstraksmedpåidéen.Densidsteopgave,derblevgennemgået,varopgave6omopdelingenafencirkel.Allegruppervarkommetfremtilenhypoteseom,atnårmantilføjeretekstrapunkt,såfordoblesantalletatrum.3afgruppernemente,athypotesenmåtteværesand,mensderesterendegrupperhavdelavetsåmangefigurer,atdevarkommetfremtilenmodstrid.Kunenafdissegruppervarheltmedpå,atsåvarhypotesenikkesand,mensdeøvrige3varlidtfloveover,atdervargåetnogetgalt,ogathypotesenikkepassede,nårmankomoptil6punkter.Havdedetegnetforkert?Detgavenrigtiggoddiskussionaf,hvadetenkeltmodeksempelkaniforholdtil1000godeeksempler.

Side83af242

Derblevendviderebrugtca.tretimertildiskussionafbesvarelsenafsåveldetektionstest2somdenafsluttendetest.Fremgangsmådenvardensammesomunderinstitutionaliseringen,hvorelevernekommedderesforslagtilløsningen,ogmanifællesskabblevenigeom,hvaddervaracceptableargumenter.Lærerenholdtsigsåvidtmuligtibaggrunden,menfikmedspørgsmålledtdiskussionenpårettevej,nårdentogenuhensigtsmæssigdrejning.Etenkelteksempelfradiskussionenskaltrækkesfremher.Denhandledeomdetektionstest2’sopgave18,hvormanskulleforkasteenpåstandvha.modeksempler.Herbegyndteeleverneatopstillehypoteserom,hvornårpåstandenvarsand,oghvordanmanmåttesepåpositiveognegativetalhverforsig.Detlykkedesvedopdelingafdereelletalitretalmængderatfåopskrevet”ensætning”omsandhedsværdienafpåstandenindenforhverafdisse.Endvidereinddroglærerenfleresamtandreeksemplerpåmatematiskeræsonnementer,ogelevernefikefterfølgendemulighedforselvatarbejdemeddissetyper.

ObservationerunderforløbetpåCPHWestPåCPHWesthavdeelevernetidligerearbejdetmedmatematiskargumentationogmindrebeviserietSO‐projekt16,hvordehavdefåetenoversigtoverforskelligematematiskebevistyper(direktebevis,matematiskinduktion,bevisvedkontrapositionogindirektebevis)samteksemplerpådisse.Efterenugesvinterferiestartedeklassenopmedenintroduktiontilvoresforløbomræsonnementer(bilag11).Elevernefiklovtilselvatvælgesigindigruppermedomkring3‐4personerihver.Detbetød,atgruppernebestodafelever,somselvmente,atdekunnearbejdegodtsammen.Detvardogfleretilfælde,hvorgrupperneikkefiklavetsåmeget.Detresulteredei,atnoglegrupperlodsiginspirerelidtformegetafandresopgaver.Dervarfleregodediskussionerigrupperne,særligtopgave6medcirklen.Hervarderfleregrupper,derhurtigtfikopstilletenhypotese,somdevarheltoverbevisteom,varkorrekt.Herbadlærerendemomligeattegneetparekstrapunkter,hvilketmedførte,atdemente,atdenuikkelængerevaristandtilattælle(”Deterheltumuligtattællealledesmåområder”).Efterendtarbejdeblevbesvarelserneafleveret.Opgavenblevlæstigennemaflæreren,somikkegavskriftligtilbagemelding.Underdenefterfølgendeinstitutionaliseringvistedetsigimidlertid,atdenherskendeklassekulturskaludviklesyderligere,førdennetypediskussiongiverettilfredsstillendeudbytte.Eleverneerikkehelttryggevedhinanden,ogdeterikkeacceptabeltatsigenoget,somerforkertellerbareikkeheltkorrekt.Endvideredeltogaltforfåeleveraktivt,ogmanfikdetindtryk,atdervarforfå,derhavdearbejdetseriøstmedopgaverneundergruppearbejdet.

AfsluttendevejledningssamtaleEfterklassediskussionerneafgruppearbejdetogdetektionstest2,fikeleverneAogIfraOTGenvejledningssamtalepå1timehver.Herblevdepræsenteretforopgaver,deromhandlede

16SO‐projekt=ProjektindenforStudieområdet.Studieområdetbestårafforløb,hvorelevernebl.a.læreromfagenesmetoder.Matematiskargumentationerendelafkernestoffet.

Side84af242

nogleargumenter,somikkehavdeværetigruppearbejdet,mensomvarblevettagetopiforbindelsemeddiskussionerne.Disseargumenterblevefterfølgendebenyttetidenafsluttendetest,hvorheleklassenfikmulighedforatarbejdemedopgavernepåegenhånd.NedenståendeviserendelafelevA’sbesvarelseafopgavernefrafigur11,hvoropgaveformuleringenslogiker,atderopstillestoimplikationer,ogmanskaltagestillingtilomdisseerens.Logikkeniløsningsræsonnementeter,atiførstespørgsmålerdetoudsagnhinandensmodsatte,ogdeteneersandt,mensdetandeterfalsk.Iandetspørgsmålerdertaleombevisførelsevedkontraposition.Derermedviljeundgåetetmatematiskindholdidenneopgave,dafokusliggerpåselveargumentationen.

Figur11Opgavefravejledningssamtale

A:”Deerikkeens…(pause,pegerpåudsagnbiførstespørgsmål)…forvikunneligesågodthaveværetimartsellermajmåned,nårdeterforår.”Lærer:”Nemlig,smaddergodt.”A:”Jegharhovedetmedidag,”Lærer:”såprøvdennæste.”A:”Desigerveldetsamme.Fordiherib’erenerviudenformartstilmajperioden,hvordender(pegerpåudsagna)siger,vieriaprilmåned,såerdetforår”Lærer:”Ja,deterrigtiggodt!Oglægligemærketil,atdetherspørgsmåltoereteksempelpådet,vitalteomisidstetime,athvisviharetudsagn,dergårdenvej(peger)vikunnejogodtskriveapril forår,såerdetdetsammesomatsigeikke‐forår ikke‐april.”A:”Såerdetveletja!”…Aharingenproblemermeddenneopgave.Determåskelidtoverraskende,nårmantagerhendesproblemermedentilsvarendeopgaveidetektionstestenibetragtning.Viformoder,atdetvarformuleringenogdetmatematiskeindholdidetektionstesten,dertidligerebremsedeelevA.Sandsynligvisikombinationmedmanglendekendskabtildennetypeargumentation.Idenafsluttendetest(sebilag12)forekomtreopgaverafsammetype,menhvorindholdetvarmatematisk(udsagnomligeoguligetal),ogdisseopgaverhavdeelevAhelleringenproblemermed.

Side85af242

Underklassediskussionernevarvinåetfremtil,atligetalkanskrivessom2noguligetalsom2m+1,hvornogmerheletal.Etpareleverhavdevistpåtavlen,atproduktetaftouligetalltidmåværeulige.Nedenståendetransskriptionviser,hvordanelevItaklerfølgendepåstand:

summenaftouligetaleraltidulige.17

Lærer:”Hvadsigerdutildenneopgave?”I:”Jegvedikke…”Lærer:”Ok,jegomformulererden.Manhartouligetal.Hvadbliverdetså,nårmanlæggerdemsammen?”I:”Såbliverdeuligeellerhvad?”Lærer:”Ja,deterdet,duskalvise.Nuhardutouligetal.Prøvatskrivetouligetalop.I:”Såvardetnogetmed,atmanskrevdemoppåenbestemtmåde.Nogetmedet1‐tal”.Lærer:”Ja.Kanduværemerepræcis?”I:”Nårmangangermed2bliverdetlige…Ligetalvar2n.”Lærer:”oghvordanskrivermansåuligetal?”I:”Erdetsåikke2n+1?”Lærer:”Nemlig.Prøvsåatlæseop,hvadduskalvise”I(læserop):”Jeghartouligetal,ogsåplusserjegdem,ogsåbliverdetlige?”Lærer:”Ligepræcis.Hvordanvilduvisedet?I:”Jegskriver 2 1A n og 2 1B n ”Lærer:”Skaldetotaldulæggersammenværeens?I:”Næ,detstårderikkenogetom”Lærer:”Men A og B erskrevetoppåpræcissammemåde!Såerdejoens.Dukanskrivedetenen somm ,såerdeikkeens.Hvadfårduså,nårdulæggerdemsammen?”I:”2 1 2 1 6n m ”Lærer:”Ahh.Dukanikkevidehvadn ogm er,sådemmåduskriveopigen.”I:”2 2 2n m ”Lærer:”Erdetetligetal?”I:”Deterdetvel,forderer2allesteder.”YderligeresnakbringerikkeelevItilpåegenhåndatfåskrevettalletopsom 2N ,hvor

1N n m ,menmanharenfornemmelseaf,athanudmærketkanfølgeargumentationen,nårdenbliverfortalt.Dettemønstergentagersigvedetparafdeandreopgaver.Mendererdogogsåopgaver,hvorelevenmedganskesmå”hjælpespørgsmål”kommerfintigennemdenødvendigeræsonnementer.

17Disseopgavererafdentransformationelletype,menvimener,atdetalgebraiskeindholdersåbegrænset,atdetikkeerdet,derbremsereleverne.

Side86af242

Harforløbetvirket?Viskalidetteafsnitundersøge,omdeudvalgteeleverharnåetdemål,derblevsatefterdiagnosticeringen.Endviderevilvikortgøreredefor,hvilkekonsekvenserdetharhaftforklasserne,atdeharværetigennemundervisningsforløbetomræsonnementerogbevisførelse.Somafslutningfikbeggeklasserentest(sebilag12)beståendeafopgaver,somkrævedeargumenterafdetyper,dervarkendtfragruppearbejdet,ellersomvarintroduceretideefterfølgendediskussioner.Ingenafopgavernekunnebesvaresmedja/nejudendervarandreopgaver,somkrydstjekkedeelevernesbesvarelser.KlassenfraOTGfikigennemsnit8,3rigtigesvar(64%),hvordenlavestescorevar3(23%)ogdenhøjestevar11,5(88%)udaf13mulige.ElevIplaceredesiglidtundergennemsnittetmed7point,menselevAtilbådelærerensoghendesegenstoreoverraskelseendtemed11point.PåCPHWestvardesidste3spørgsmålikkemedogderforkanklasserneikkeheltsammenlignes.KlassenfraCPHWesthavdeigennemsnit4,7(47%)rigtigesvar,hvordenlavestescorevar2(20%)ogdenhøjeste8,5(85%)udaf10mulige.ElevCplaceredesigmed5rigtige(50%)lidtovermidtenogelevDplaceredesigmed4,5rigtigeomkringmidtenafklassen.Idetektionstest2varCplaceretidendårligstefemtedel,ogDvardeneneblandttreelever,derklarededetektionstest2dårligst.

MåletforAvaratopnåkendskabtilforskelligetyperræsonnementer,overvejendeafikke‐algebraiskkarakter,atkunnefølgeandresargumenterogselvatkunneopstillesimpleræsonnementer.Figur12visereteksempelfradenafsluttendetest,hvorAselvharopstilletderæsonnementer,derførertilbesvarelsenafdenførsteopgave.Manbemærker,athunharlidtproblemermedrækkefølgenafargumenterne.Såledessigerhun,attrekanterneerligedannede,indenhunviser,atalletrevinklerparvisterens.MenstraksherefterpåviserAvedberegninger,atogsåvinklerneAogDmåværeens.

Figur12A’sbesvarelseafopgave1

Side87af242

Figur13A’sbesvarelseafopgave2og3

Dennelidtbagvendteargumentationkunneværeettilfælde,mengårigenidenfølgendeopgave,somvisther.Aadskillerdetofigureribådeopgave2og3,såsituationenblivermagentildeniopgave1.Herefterbenyttesdensammeargumentation.Igenkommerargumentetom,atvinklerneAogFerligestorelidtforsent.Detteerimidlertidkommetpåpladsiopgave3,hvorræsonnementeterheltkorrekt.

Figur14A’sbesvarelseafopgave10

Tilslutviseseteksempel(figur14),hvorAerblevetbedtomatopstilleenhypotese.Hunforsøgeratudtrykkedensymbolsksom”ensætning”eller”enformel”,præcissomelevensgruppefandtfremtilunderderesdiskussionafoplægget(seafsnittetObservationerundergruppearbejdet).Desociomatematiskenormerudvikletigruppen,harvistA,hvaddererkrævetienopgavesomdenne.Eftersamtalerogtest,måvikonkludere,atelevAtilfuldeharnåetdeopstilledemål.

Side88af242

MåletforIvaratfåkendskabtilforskelligeræsonnementstyperbl.a.betydningenafmodeksempler,atkunnefølgeandresargumenterogselvatbliveistandtilatopstillesimpleræsonnementer.

Figur15I’sbesvarelseafopgave9

UnderdensidstevejledningssamtaleblevIbedtomatvise,atsummenaftouligetalaltiderulige.Itestenvaropgavenattagestillingtilenpåstandom,atsummenaftoligetalaltidvarligeogatvisedet.Figur15viserI’sbesvarelse.Elevenhartydeligvisfåetmegetudafvejledningssamtalenogeristandtilatgentageræsonnementherframeddeændringer,derkræves.Manbemærker,at 2a n erblevetændrettil 2a N øverstibeviset,mendeteruklart,hvornårdenneændringerforetagetoghvorfor.SermansamtidigpåI’s(ligeledeskorrekte)besvarelseafopgave8,måvikonkludere,atelevenharopfyldtmåletomatfølgeandresargumenterogselvkunneopstillesimpleræsonnementerforengivenpåstand.TilgengælderIikkeselvstændigtistandtilatopstilleenhypotesepåennærsåuddybendemådesomA.Iseretmønster(sefigur16),hvorsummenbliverskiftevisligeoguligetal(dennetypebesvarelseoptrådtemangegange).Måskeerdetdendidaktiskekontrakt,dervisersigher.Deforegåendetoopgaverogdeefterfølgendetreopgaverhandledeomligeoguligetal,ogordet”uligetal”indgåriopgaveformuleringen.Densidste(meningsløse)delafI’sbesvarelsetyderpå,athanformoder,atdeterenløsningomligeoguligetal,derforventes.EndeligerIklarover,atdermanglernogetihansforklaring,oghanindsætterordene”ulige”og”tal”.Dogerplaceringenafordet”ulige”ikkekorrekt.Dererdogingentvivlommeningenmedhansudsagn.

Side89af242

Figur16I’sbesvarelseafopgave10

Måletmedatfåkendskabtilforskelligetyperræsonnementernåsikkefuldtud,idetopgaver12og13ikkebesvareskorrekt,ogIerhellerikkeistandtilatfindemodeksemplerpåenforkertpåstand(opgave7,sefigur17).Sammenholdesbesvarelsenmedsamtalernetyderdetpåproblemermedatforstå,hvadselvepåstandensiger.a2bliverdeltmedb,mendetundersøgessletikke,ombgåropia.I’sbesvarelseafspejlerdeobservationer,derblevgjortundergruppearbejdet,hvorI’sgruppediskuteredeivrigt,menikkekomsådybtnedidenmatematiskesubstans,sommansåiA’sgruppe.Desociomatematiskenormer,derblevopstilletiI’sgruppe,varikkeafsammematematiskekvalitet.MåletforCvaratværeistandtilatlæseogforståsprogetogsymboleranvendtiopgaver,hvordetermeningen,atmanskalværeistandtilatræsonneresigfremtiletsvar.Idenafsluttendetesterhanistandtilatsvarepåallespørgsmål,dogikkekorrektialle,menenklarfremgangiforståelsenafopgaverne.Figur18viserC’sbesvarelseafspørgsmål3idenafsluttendetest.Detviser,athan(ikkemedbrugafopgave1og2)kanvisegenerelt,atdiagonalerneerligelange.HanvælgeratbrugePythagoraslæresætningogbrugerdenudelukkendesymbolsk.

Figur17I’sbesvarelseafopgave7

Side90af242

Figur18C’sbesvarelseafopgave3

Charnåetmåletmedatværeistandtilbedreatforståopbygningenidissetyperafopgaver.Hanerligeledesblevetmeregenerelisitudtryk,dvs.hanvælgerselvatbrugesymboleroggårikkestraksigangmedatsættetalind.MåletforDvarligesommedCatværeistandtilatlæseogforståopgaverne.Hunvarogsåistandtilatsvarepåallespørgsmåleneogsvarenevarafenvæsentligbedrekarakterendidetektionstesten.Figur19og20visereksemplerpåhendesbesvarelser.

Figur19D’sbesvarelseafopgave1

Ispørgsmål1manglerdernogleargumenter,menhuneristandtilatbrugenogleargumenter,såmanermedpå,athunved,atvinklerneidetotrekantererens,ogatde

Side91af242

dervederligedannede.Derfraslutterhun,atdetolinjestykkerogsåerligelange.Hunmangleratargumenterefor,atdetkungælder,når|AB|og|EF|erligelange.

Figur20D’sbesvarelseafopgave2

Hunviserherispørgsmål2(figur20),athunermedpåattrekanternehardesammevinklerogderforvildettilsvarendegældefordetoøvrigesideritrekanterne.Dmanglerstadigendelindenhunhardetheltpåpladsmedtilstrækkeligeargumentationforsinepåstande,menhunharrykketsigmeget,dahuntidligeresletikkevaristandtilatbrugeargumenter,somhunharvisther.Hunharnåetsitforeløbigemål,nemligatværebedreistandtilatforståopgaverafdennekaraktersamtidigmed,athunerbegyndtatbrugesimpleræsonnementer.Fordeudvalgteeleverkanvialtsåkonkludere,atderesudbytteafforløbetharværetmegetforskelligt,menatdealleharhaftgavnafdenekstraopmærksomhed,somvejledningenhargivet.Tilslutvilviknytteetparkommentarertilforløbetsbetydningforklasserne.Visertydeligt,atalleeleverharhaftetforholdsviststortudbytteafforløbetiformafetnytfællessprogogenforståelseforbetydningenafmatematiskeræsonnementerogbevisførelse.Deterderforvigtigt,atviidenfremtidigeundervisningholderfastidennevidenogrefererertilbagetilden.Klassernehargennemudbygningenafdesociomatematiskenormeromræsonnementerfåetentydeligfornemmelsefor,hvadetacceptabeltargumenter,attaleksemplerikkeernoktilatbevisenoget,menatetenkeltmodeksempelernoktilatforkasteenpåstand.Elevernesbesvarelserafdenafsluttendetestgaveksemplerpåargumentationskæder,somdetikkevillehaveværetrealistiskeatforventeførdetteforløb.

Detektionstest2Idennedelafprojektetharder,somivoresDEL1–Algebra–begreberogbegrebsdannelse,væretanvendtendetektionstestmeddetformål,atkunnevurdereelevernesevnetilatforståenopgaveslogik,behandledenmatematiskesubstansogbenytteræsonnementeri

Side92af242

forbindelsemedopgaveløsningen.Opgaverneidennetestvarmegetforskelligefrahvadelevernetidligerehavdeset,ogflereafopgavernevarpåetniveau,sommannokikkekanforvente,atenelevefterca.6månederpåtekniskgymnasiumvilværeistandtilatbesvarefyldestgørende.Særligtopgave5voldteelevernestorevanskeligheder,dadeikkeforstod,hvadopgavengikudpå.Enhverelevved,atalletalikkeerligmednul,menalligevelsvarermangeafdemjatilspørgsmåletogmener,atbeviseterkorrekt!iopgave23havdeeleverneogsåproblemermedatforstå,hvadderegentligblevforventetafdem.Hvadmenesdermeddetmindstetal?Tænkesderpådetpositivetal,somliggeruendeligtætpå0ellererdetettal,somliggerudeiretningmod‐? Testenindeholder23spørgsmål,hvorafdetonævntevarsærligsværeforeleverne.Desudenindeholdertestenenrækkespørgsmål,hvorelevenvedgætkanrammedenrigtigeløsning.Detdrejersigomspørgsmålene6,(7),19,20,21og23,oghervilledethaveværetønskeligt,atdervarblevetspurgtindtilhvorfor,elleratderhavdeværetetandetspørgsmålsomkunnekrydstjekkesvaret.Testenermedtilatafdækkeindenforhvilkeområderafræsonnementskompetencen,eleverneopleversærligevanskeligheder.Voresanalyseafresultaternelederostildenformodning,atelever,derharvanskeligtvedalgebraoggenereltalforståelseoftevilfremståsomelevermedringeræsonnementskompetence,damanimangeræsonnementerogvedbevisførelsebenytteralgebraiskemanipulationer.Mankanderforoverveje,atudskiftenogleafopgavernemedandretypersomfxdeeksemplerdernævnesiafsnittetAfsluttendevejledningssamtaleogdetdirektebevisibilag11.Detektionstest2eretgodtværktøjtilatidentificerehvilkeelever,derharsærligevanskelighedermedræsonnementerogetnødvendigtsupplementtilvoreegneobservationer.SomvibeskreviafsnittetLærerensforventningerversuselevernesbesvarelservarviikkeselvsågodetilatforudsigeelevernesbesvarelser,ogdermeddereskonkreteproblemer,somviforventede.

StrategiformatematikvejledningSomtidligerenævnt,servidetforholdsvisusandsynligt,atvisommatematikvejlederevilfåhenvistenelevpga.problemermedræsonnementerogbevisførelse.Voreskendskabtilgymnasieeleverfortælleros,atdeterandrestederipalettenafmatematikkundskaber,atdemassiveproblemerligger.Særligproblemermedalgebrasomfxikkeatkunne”regne”medbogstaverogudføremanipulationerpåudtryk/ligningerviloverskyggeandrevanskeligheder,ogforhindrereleverneiatopnåmangeafdematematiskekernekompetencerogidenneforbindelseræsonnementskompetencen.Gennemvoresarbejdemeddetteprojekt,harvidogsamtidigoplevet,atengennemtænktogbevistitalesættelseafbrugenafargumentationogbevisførelseimatematikundervisningen,kangiveetstortudbytte.Ræsonnementerogbevisførelseerendelafethvertmatematiskområde,menikkeenselvstændigdisciplinigymnasiet,ogderforbliverundervisningenofteindforstået.Netopdennemangelpåfokuspå

Side93af242

begrebetmatematiskræsonnementmedvirkertil,ateleverneopfatterfxbevisførelsesomnoget,derbenyttesmere”adhoc”endsomenbevidststrategi,mankanlære. Meddenviden,viharnu,menervi,atdetvilværepassendeatudføredetektionstest2på1.årselevermedmatematikAistudieretningen.Deintroduceresforholdsvistidligtiforløbettilbevisførelseogkravombrugafræsonnementersomdokumentationiopgaveløsning.Forelever,derikkeharmatematikpåA‐niveau,vilvimene,atdetgiverbedremeningatventemedatudføredetektionstestentilstartenaf2.år.Detskyldes,atelever,derikkeharvalgtmatematikApåforhånd,genereltsetermindremotiveredeformatematikogderfortrivesbedstmedvirkelighedsnæreproblemstillingerimatematikken.Etforslagtiletvejledningsforløbmedenellerflereelevermedlæringsvanskelighederindenformatematiskræsonnementogbevisførelsekanvære:IdentifikationEnlærermedenførsteårsklassemedmatematikAistudieretningharfåetdetindtryk,atdersidderetpareleveriklassen,somharvanskelighedervedatlæseogforstådenlogiskeopbygningafetbevis.Derforretterlærerenhenvendelsetilmatematikvejlederen.Matematikvejlederenbederlærerenomatskriveenkortudtalelseomhverelev,derindeholderenbeskrivelseaftypen/omfangetafproblemerfordenævnteelever.Matematikvejlederenvilbiståmedudførelsenafdetektionstesten.DiagnosticeringVejlederengennemførerenegentligdiagnosticeringafdeudvalgteelevervedensamtaleentenenkeltvisellerismågrupper,afhængigafproblemstillingerogelevernesbehov.InterventionMatematikvejlederendiskuterermedklassenslærer,hvordanmankantilrettelæggeetforløb,somisærliggradtilgodeserdediagnosticeredeelever.Hvislærerenikkeerinteresseretiatgennemføreetsådantforløb,foretageskundendelafnedenståendeintervention,sominvolvererdeudpegedeelever.Klassengennemføreretforløb,somvilgivealleeleveretbedreindblikimatematiskargumentation.Iløbetafdenperiode,hvorforløbetblivergennemført,vildediagnosticeredeeleverhaveenellerfleresamtalermedmatematikvejlederenforatfølgeoppåudbyttetafundervisningeniklassen.Etsådanvejledningsforløbvileftervoresmeningkunneløfteelevernesevnetilatlæse,forståogskrivevedhjælpafmatematiskeargumenter.Despørgsmål,somanvendesiendetektionstesttilbrugpå1.år,børnaturligvisholdesietsprogogpåetniveau,dergørdetmuligtforeleverneatforstå,hvadderforventesafdem.På2.og3.årkanmangentageprocedurenmedentest,derafspejlerfagetsprogression,ogsomresultereriandreklassebaseredeforløbellervejledningssamtalerforenkelteelever.

Side94af242

FindingsDevæsentligsteopdagelser,derkanuddragesafvoresarbejdeidennedeler:

- Determuligtattilrettelæggeetforløb,hvormatematiskebeviserikkekunernogetmangørforlærerenskyld,menhvoreleverneoplever,atarbejdetmedræsonnementerogbevisførelseerspændendeoginteressant.Beviser,derforklarer,ervelegnede.

- Læringsvanskelighederindenforalgebraoverskyggerelevernesproblemermed

matematiskeræsonnementer.

- ForskellenafresultaternefordetoskolervarforholdsvisstorDEL1,menidennedelerdenneforskelstortsetvæk.

- Drengeneogpigernepræstererstortsetensidetektionstest2,imodsætningtilderesresultateridetektionstest1.

- ElevIharovervundetmangeafsinevanskelighedermedalgebra–vejledningenfraDEL1harhaftenlangtidseffekt.

Diskussion

MatematikforestillingerIndenvigikigangmedprojektet,havdevienformodningom,atdervilleværeensammenhængmellemelevernesmatematikforestillingerogdereslæringsvanskelighederindenforemnet.Endvidereforventedevi,atkunnedragenytteafudenlandskeundersøgelserafeleversmatematikforestillinger.Detvistesigimidlertid,atvoreseleverhavdematematikforestillinger,derpåmangeområderafvegfrade,dersesiudlandet,ogatderikkevartydeligforskelpåstærkeogsvageeleversmatematikforestillinger.Diagnosticeringenblevderforikkeforetagetpåbaggrundafdematematikforestillingerdeidentificeredeeleverhavde. Manbørdogoverveje,ommanianalysenafdeidentificeredeeleversbesvarelseogefterfølgendeinterviewsikkebørhavemerefokuspådematematikforestillinger,elevernegiverudtrykforher,ogikkeblotbaseresigpåenspørgeskemaundersøgelseogenskriveøvelse.Deterofteelevernesubevistematematikforestillinger,dererdemestinteressanteoganvendelige.Denefterfølgendeundersøgelseafklassernesmatematikforestillingerviste,atdervarsketenmarkantændringielevernesholdningtilmatematik,idetdenusåatbrugafræsonnementerikkekunskeriforbindelsemedbevisførelsemenogsåerendelafopgaveløsning.

Side95af242

BevisskemaerElevernesbevisskemaervarderimodtætknyttettildereslæringsvanskelighederogetnyttigtredskabidiagnosticeringenogdenefterfølgendeopstillingenafmålfordefireelever.Kombinationenafbevisskemaerogelevernesbegrebsforståelse/læringsniveau,hjalposmedatafgøre,hvorieleverneslæringsvanskelighederlå,oghvordanvikunnearbejdemedatfådemoppåethøjereniveauoggivedemetmereavanceretbevisskema. Foratklarlæggedennærmeresammenhængmellemlæringsvanskelighederogbevisskemaer,børmanundersøgehvilkebevisskemaer,eleveruden(ellermedsvage)læringsvanskelighederhar.Mendetteliggerudoverdetteprojekt.

SociomatematiskenormerSomnævntkunneviikkebenytteelevernesmatematikforestillingerdirekteiplanlægningenafundervisningsforløbet.Imidlertidvistevoresundersøgelser,atelevernesholdningerogtankerommatematikundervisningvaretgodtudgangspunktforetklassebaseretforløbplanlagtsomgruppearbejde,hvorelevernepåegenhåndskulleudforskeopstillingoganvendelseafmatematiskeræsonnementer.KunelevernefraOTGindgikidenneundersøgelse,ogdetvistesigatdenklassebaseredeinterventionfungeredelangbedsther.DettetydersammenmedobservationernefraCPHWestpå,atmatematikforestillingerneherafvigerfrademiOdense. Deobservationervigjordeossåvelunderelevernesgruppearbejdesomunderdenefterfølgendeinternaliseringtyderpå,atdesociomatematiskenormeriforbindelsemedudviklingenafdenfællesforståelseforbrugafræsonnementerharvirketgunstigtforalleelever.Resultatetafdenafsluttendetestviseratdeidentificeredeeleverharhaftstorglædeafforløbet.ElevernefraOTGharrykketmest,ogdettekanskyldesatforløbetvarskræddersyettildem,ogatdemodtogmerevejledning.Deterdogikkemuligtatkonkludere,atdetisærliggradharværetdesociomatematiskenormer,derisærdeleshedharvirketpositivt.Herkanforetagesyderligereundersøgelserogsammenligningermedelever,derkunmodtagervejledningogtraditioneltavleundervisning.

KonklusionDennedelafprojektetbelysteogundersøgtematematikvejledningenstrefaser:identifikation,diagnosticeringogintervention.Identifikationenafelevermedsærligeproblemermedræsonnementerogbevisførelseblevforetagetudfraresultaterafdetektionstest2ikombinationaflærerobservationer.Enundersøgelseafelevernesmatematikforestillingerviste,atderikkekunneudpegesvæsentligeforskellemellemdeidentificeredeeleverogderesklassekammerater.Denefterfølgendediagnosticeringgennemsamtalerogbenyttelseafbevisskemaer,vistesigatføretilopstillingafmål,somvarrealistiskeogdelvistopnåelige.Dissemålblevforfulgtgennemvejledningogetklassebaseretundervisningsforløb.UndersøgelsenafOTG‐elevernesmatematikforestillingerresulteredei,atdetteforløbblevplanlagtsomgruppearbejde,ogudviklingenafundervisningsforløbettogudgangspunktide

Side96af242

udvalgteeleverssærligeproblemer.Såvelobservationerneunderforløbet,deefterfølgendevejledningssamtaler,somdenafsluttendetestviste,atetundervisningsforløbsomdette,kangiveanledningtilopstillingafbrugbaresociomatematiskenormer,derikkeblotstyrkerdeudvalgteelevermenogsågiverderesklassekammerateretvæsentligtudbytte.Etudbytte,derafhængigtafklassekulturen(diskussionslyst,arbejdsmoraletc.).Endeligsåviatklassensmatematikforestillingerombrugafræsonnementeribevisførelseogopgaveløsninghavdeændretsigmarkant. 

Side97af242

DEL3–Matematiskmodellering

IndledningMatematiskmodelleringspillerensærligfremtrædenderollepåhtx,menersamtidigetområde,deroftevoldereleverneproblemer.Idennedelafprojektetharviundersøgtmuligevejetilatafhjælpenogleafdissevanskeligheder.Netopfordisåmangeeleveropleverproblemermedmodellering,harvivalgtatundersøgemulighedenforikkeblotatløftenogleenkelteelever,menderimodenhelklassevedatudnyttedendynamik,manopleverigruppe‐ogklassediskussioner.Imatematiseringsforløbet,derblevgennemførtideneneklasse,togviudgangspunktidevanskeligheder,somnogleudvalgteeleveroplever.SomredskabtilidentifikationafdisseeleverbenyttedeviendetektionstestudvikletafMogensNissogUffeJankvist.Testenervedlagtsombilag15.Udfratestresultaterneharviudvalgtfiredygtigeogfiresvageelever.Samtalermeddedygtigeelevervisteoshvilkestrategier,dererkendetegnendeforelever,somergodetilmodellering.Dissestrategierforsøgtevigennemsamtaleratvideregivetildesvageelever.Påbaggrundafdetektionstestensresultaternevalgteviatfokuserepådelprocessernepræmatmatiseringogmatematisering.Tilatbeskriveelevernesudfordringervedmodelleringharvibenyttetdenteori,dererbeskrevetiDEL1ogDEL2suppleretmedetafsnitommodelleringsombegrundelsesform.

MatematiskemodellerogmodelleringDenklassiskebetydningafordetmodelleringeratindfange,beskriveogbehandleeneksisterendeverden.Dettebetegnesogsådeskriptivmodellering.Imidlertidbenyttesmatematiskemodellerogsåsombeslutningsgrundlagogtilatindrette”virkeligheden”,dvs.vedatforeskrivereglerellerangivestandarder,sombørfølges.Dettekaldespræskriptivmodellering(Niss,2013a).Iundervisningenmødermanbeggetypermodelleringdogmedhovedvægtenpådendeskriptivemodellering.PåhtxfinderviblandtandetdeskriptivmodelleringiprojektprøvenpåB‐niveau.Menfxioptimeringsopgaver,hvorenbestemtgeometriskformskalvælges,såmanopnårstørstmuligtrumfangmedetbestemareal,såproduktionsomkostningernekanminimeres,servieksemplerpåpræskriptivmodellering.Ihverdagenstårmanganskeofteidensituation,atmanønskeratsigenoget(fornuftigt)omdenomverden,manbefindersigi,detkanværeenbeskrivelseafetobjekt,ensammenhængmellemstørrelserellerenprognoseforenfremtidigudvikling.Vivilherbeskæftigeosmeddesituationer,hvormatematikkenkanhjælpeosmeddette.

Side98af242

Somdematematikerevinuenganger(!),viletgodtbilledepåenmatematiskmodelværeentripel(D,f,M)somvistpåfigur21,beståendeafetekstra‐matematiskdomæneD,etmatematiskdomæneMsamtenafbildningfimellemdem.

Figur21Matematiskmodel

Herskalvipassepåmedatføreparallellentilmatematikkenforlangt.IenmatematiskmodelvendermantilbagefraMtilDvedattolkeogevaluerekonklusionernefradetmatematiskedomæneMpådetekstra‐matematiskedomæne.Menattaleomanvendelsenafdeninversefunktionf‐1,førerforvidt!Modelleringerdenprocesmangennemløberforatbyggeenmatematiskmodel.Påfigur22erdeforskelligefaserimodelleringsprocessenanskueliggjortsomencyklus.Tiltiderkandetværenødvendigtatgennemløbedennecyklusfleregangeforatopnåentilfredsstillendematematiskmodel,derkanhjælpemedatbesvaredetgivneproblem.

Figur22Modelleringscyklus(Niss,2010)

Side99af242

Ladoskortgennemgåmodelleringscyklussen:Manstartermedetproblemfra”virkeligheden”,deraltsåikkeerformuleretmedmatematik.Problemetvilofteværekomplekst,ogforatbyggeenmodelerdetnødvendigtatsimplificereproblemet.Dermågøresnogleantagelser,ogdereroplysningerellerbaggrundsviden,sommåudelades.Denneidentifikationsfasekaldespræmatematiseringen(påfigur22kaldetindentificationogspecification)ogeroftevanskelig,dadenkræverenforforståelseafemnet,somkangivemodelbyggerenenidéom,hvilkenvejmanskalfølge,hvilkematematiskeområder,derkangivesvar,oghvadderersåuvæsenligt,atmankanskæredetbort.Denforenkledevirkelighedsammenligneshereftermeddetoprindeligeproblem,foratundersøgeomforenklingengivermening.Erkompleksitetenentenforstorellerlilleiforenklingen,måmaneventueltforetageendnunoglevalg,førdetnyeogmeresimpleproblempådenenesideeromfattendenoktilatbeskrivevæsentligedelevedvirkeligheden,ogpådenandensideerreduceretsåmeget,atmanharmulighedforatarbejdemeddet.Detforenkledeproblemomformulereselleroversættestilmatematik.Dettebenævnesmatematisering.Hererderoftebehovforatopstilleligninger,funktionsforskrifterogandresymboludtrykellertegnegraferogfigurerienvekslenmellemforskelligerepræsentationer.Idisseaktiviteterspillerkontekstogmotivationenstorrolle,ogbenytterviGTG‐modellen,derblevbenyttetidetidligere(seafsnittet”Algebraiskeaktiviteter–enmodel”),erdertaleomalgebraopgaverpådetglobale/meta‐niveau,hvoralgebrabetragtessometværktøjtilatlavematematikmed.Viharigennemvejlederuddannelsenstredeleanvendthelemodellen,derbeskriverprogressionenialgebra‐læring.Pådeforegåendeniveauer(generationelleogtransformationelleopgavetyper)fokuseredemanpåforståelsenaf”algebrasomdisciplin”gennemfxopstillingogmanipulationafsymbolskeudtryksamtudledningafdiverseregler.Manbefindersignuidetmatematiskedomæne,ogvedhjælpeafforskelligeredskabersomfxit‐værktøjerkandetproblem,somfremkomgennemmatematiseringen,løses.Denmatematiskeløsningskalnufortolkesiforholdtildetoprindeligeproblemfravirkeligheden.Detteskerigennemenvalideringafdenopstilledemodel.Dettekanforegåpåtomåder:

- Sammenligningafmodeloutputmeddenkendtevirkelighed,herundereventuelledata.Mankanhereftersvarepå,hvorgodoverensstemmelsenmellemoutputogdataer,samtomrelevansenafdeopnåedesvarpådestilledespørgsmålidenidealiseredesituationertilfredsstillende;

- Diskussionafmodellensegenskaberogrækkeviddeiforholdtildenoprindeligesituation/kontekst(Niss,2013a).

Hvilkenmådemananvender,afhængerafsituationenogmåletformodelleringen.

Side100af242

Modelleringeraltsåenproces,enrækkehandlinger,mensenmodelersummenafdissehandlingersammenmedenbeskrivelseafdenvirkelighedogdetmatematiskeområde,manarbejderi.Determeningsløstkunatsemodellensometproduktafmodelleringiformaffxenregneforskrift.Enmodelskalsesidenkontekst,ihvilkendenerskabt.

ModellerogmodelleringsrollepåhtxImodsætningtildeøvrigegymnasialeuddannelser,hvorarbejdetmedmatematiskemodellerførstgennemdesenereårharvundetfrem,erhtx‐uddannelsensåatsige”fødtmedmodellering”.Alleredeveduddannelsensstarti1982varformåletmedmatematikundervisningenifølgestyredokumenterne,ateleverneskulleopnåfærdighediatanvendefundamentalematematiskebegreber,metoderogtankegangeiforbindelsemedanalyse,formuleringogløsningafproblemer,særligtiforbindelsemeddeøvrigefagiHTX‐forsøgsuddannelsenogmedhenblikpåanvendelseiingeniør‐ogteknikeruddannelserne(BEKnr.200,1987).Vedbekendtgørelsesændringeni1995,hvoruddannelsenblevgjort3‐årigogsidestilletmeddeøvrigegymnasialeuddannelserblevdetteudfoldetyderligere,tydeligstiprojektopgaverne,dersommålhavde:gennemløsningafpraktiskeproblemstillingerindenforteknologi,teknikogdeøvrigenaturvidenskabeligefagområderatstyrkeevnentilatanalysere,opstilleløsningsmodeller,løseproblemerogdokumentereenløsning(BEKnr.462,1995).Manbemærker,atdettenærmersigbeskrivelsenafmodelleringskompetencen.Medgymnasiereformeni2005blevensretningenafdegymnasialeuddannelserlangtmereudtaltendtidligere.Htxerdogfortsatdenuddannelse,hvorderlæggesmestvægtpåarbejdetmedmodelleringimatematik.Dettekommertiludtrykibeskrivelsenaffagetsidentitethvor:Fagetspraktiskedimensionharstorvægtogbeståri,atmanvedhjælpafmatematisketeorierogmodellerbeskriver,analysererogvurderertekniske/teknologiske,naturvidenskabeligeogsamfundsmæssigeemnerogrelationer(UVM,2013a,læreplanimatA,htx).Affagetsmålfremgårdet,ataktivmodelbygningindgår,idetelevenskalkunneanalyserepraktiskeproblemstillingerprimærtindenforteknik,teknologiognaturvidenskab,opstilleenmatematiskmodelforproblemet,løseproblemetsamtdokumentereogtolkeløsningenpraktisk,herundergøreredeformodellenseventuellebegrænsningerogdensvaliditet(UVM,2013a,LæreplanmatA,htx).Ogdetteafspejlesibedømmelseskriterierne,hvormodelleringskompetencennævneseksplicitvedsåveldenmundtligesomdenskriftligeprøve.Modelleringsprocessenerimidlertidbådelang,vanskeligogtidskrævende,ogdetvilikkeværerealistiskatkrævedetteafelevertilen5‐timersskriftligprøve.Tidligereeksamenssætviserdaogså,atmanbedømmer,omelevernekanopstilleogbehandlematematiskemodellersamtvurdereresultaterirelativsimpleogstereotypesammenhængesomfxatlaveregressionpånoglegivnedata,ellerforetageoptimeringafrumligeellerplanefigureretc.Atmaniundervisningentilskyndestilatgennemføreen”ægte”modelleringogovenikøbetkanladedetindgåsometbedømmelseskriteriumskyldesprojektarbejdsformenpåhtx–også

Side101af242

imatematik.Veddenmundtligeprøveifaget,trækkerelevenetafdisseprojekter,somelevenkortskalredegørefor.Mangeprojekterinvolverermodellering,ogdetvilderforværeyderstrelevant,hviselevenidettespørgsmålredegørformodelleringsprocessenidenkonkretesituation.Ensådanredegørelsekanværeforberedtpåforhåndoggiveelevenlidtroogselvtillidindenprøven(UVM,2013b,VejledningenMatA,htx).PåB‐niveauharmodelleringencentralpladsveddenafsluttendeprojektprøve,deraltidindeholderen”friopgave”,hvorelevenfårpræsenteretenproblemstilling,derskalbeskrivesmatematisk.Afhængigtafelevensniveauerdetmuligtatforetagedeflestedelprocesserimodelleringscyklussen.Endeligharmodellersåfremtrædendeenpladspåhtx,atdeterendelafkernestoffetiStudieområdet(SO)(UVM2013e,LæreplanforSO)hvordererkravom,atettemaommodellermedsamspilmellemdenaturvidenskabeligefagogmatematikskalindgå.Hererdetenstorstyrke,atalleeleverharbiologiogsamfundsfagpåmindstC‐niveauogfysik,kemi,ogteknologipåmindstB‐niveausamtetteknikfagpåA‐niveau,idetdissefagallebidragermedgodeogrelevanteeksemplerpåde”virkelighedssituationer”,mankanmodellerematematisk.Detfremgåribeskrivelsenafbegrebernemodellerogmodellering,atmodelbygningbestårafenrækkedelprocesser,hvorafenafdemermatematisering.PåhtxharmanenlangtraditionforatkræveenforholdsvishøjgradafmatematiseringveddenskriftligeprøvepåA‐niveau,desværreikkemedsærliggodtresultat.DerforforetogfagkonsulentenensammenlignendeanalyseafdeskriftligeA‐prøverimatematik,derviste,atgradenafmatematiseringpåhtxvarlangthøjereendpådeøvrigeuddannelser.Daerfaringerne(Evalueringer,UVM)viste,atdetnetopvarher,elevernehavdedestørsteproblemervedprøven,ændredeopgavekommissionenpraksisfraprøvenmaj2012.Foratligestillehtx‐elevernemeddeøvrigeA‐eleverblevendelafopgavernevedprøvenformuleret,såkravenetilmatematiseringblevmindre.Iendelopgaverskulleeleverneikkelængereselvuddragedetmatematiskeindhold,deristedetblevangivetiopgaven.Denneændringførtetilenstigningikaraktergennemsnittetogenvæsentliglaveredumpeprocentvedprøvernei2012og2013.Derernaturligvisenvisfarevedatændreeksamensopgaverneidenneretning,ideteksamenisærlighøjgraderbestemmendefor,hvadderforegåriundervisningen.Gennemnyhedsbreveogpåkonferencerharfagkonsulentenredegjortforgrundentildenneændringogpointeret,atdeterendogmegetvæsentligtfortsatatfokuserepåmatematiseringiundervisningen,ikkemindstiforbindelsemeddeprojekterelevernelaver.Somdetfremgårafovenståendeermodelleringerenmegetvæsentligkompetencepåhtx.Imidlertiderdetbegrænset,hvormegetdelprocessersompræmatematiseringogmatematiseringforekommeridenskriftligeprøvepåA‐niveau,dertagesafca.70%afeleverne.Derforfjernesfokusfradissedelprocesserofte.Resultatetafdetektionstest3viser,atdetvilværerelevant,atkoncentreresigomnetopdissedelprocesseriprojektet.Detteførertilfølgendeproblemformulering:

Side102af242

Problemformulering

Resultaterneafdetektionstest3giveranledningtiludvælgelseafsåvelsvagemodellører som elever, der er dygtige til atmodellere. Er detmuligt, at overføre dygtige elevers modelleringsstrategier til elevermedlæringsvanskelighederpådetteområde?Ihvilkenudstrækning forbedrerbrugenafklasserumsinterventiondeidentificerede elevers mulighed for at opnå de fastsatte mål formodellering?

IDEL1ogDEL2harvibenyttetteoriombegrebslæring,matematikforestillingerogbevisskemaertilatdiagnosticereeleverslæringsvanskeligheder,opstillemålsamtplanlæggeintervention.Detharfungeretgodt.Damodelleringbyggerovenpåtemaernefordeforegåendedeleafprojektet,harvivalgtattageudgangspunktiteoriogpraksisherfraivoresundersøgelseraf,hvorvidttidligereudledteogafprøvedemetoder,kanbenyttestilhjælpeelever,somharproblemermedmodellering.

Side103af242

ModelleringskompetencenssærligestatusModelleringskompetencenerenafde8kernekompetencer,somvibenytteriundervisningsbeskrivelserneogstyredokumenterformatematikiDanmark.Detbillede,vikenderbedstafkompetencerne,erdensåkaldtekompetenceblomst,derbeståraf8symmetriskeblade,deroverlapperhinanden.Menerdetteetretvisendebillede?Vendermansigmodandrelandestraditioner,serman,atdetikkeerallesteder,deroptræderenmodelleringskompetence.Mankandaogsåargumenterefor,atnetopmodellerings‐kompetencenharenandenstatusenddeøvrige7kernekompetencer.Fxerdetdenenestekompetence,derkræver,atmangårudoverdenrenematematikoginvolvererdenomkringliggendeverden.Setfraethtx‐synspunktvilvivovedenpåstand,atmodelleringskompetencenindeholderalledeøvrigekompetencer,idetdealle(kan)bringesispilimodelleringsprocessen:Tankegang:atvidehvilkespørgsmål,derkanstillespåvejenmodudviklingenafenmodel,sommatematikkenkanbesvare.Videhvilkeforsimplingermanernødttilatlave.Symbol‐ogformalisme:gennemmatematiseringenoversættesensprogligellerintuitivbeskrivelsetilensymbolskiformafligninger,graferetc.derkanbehandlesmatematisk.Ræsonnement:gennemmatematiskargumentationkanudtrykopstillesogbehandles.Problembehandling:opstillingafdetmatematiskeproblemogløsningenafdet.Hjælpemiddel:modellereroftesåkomplekse,atanvendelseafhjælpemidlerfxiterpåkrævet.Repræsentation:imodelleringsprocessenanvendesflererepræsentationersåsomfigurer,billeder,symboludtryk,datasætetc.foratforståproblemetsomfangogkommefremtilenløsningsmetode.Endviderebenyttesflererepræsentationerivalideringenafmodellenogdensrækkevidde.Kommunikation:gennemheleprocessenskalmankunneforståandresformuleringerogselvudtrykkesig,såandrekanforståmodellen,ogderesultaterdengiver.Derfindesnaturligvistilfældeafaktivmodelbygning,somikkeindeholderalledeovenståendedele,menoftevildetværetilfældet.

Side104af242

Sermanigenpåkompetenceblomsten,viletmereretvisendebilledemåskeværeenblomstmed7blade,oghvormodelleringskompetencenerdenfarveellerdetomrids,derafgrænserblomsten.Pådennemådeermodelleringskompetencenmereendsummenafdeøvrigekompetencer,idetmanudmærketkanbesiddedeøvrigekompetencerudenatbesiddemodelleringskompetencen.Detgiverderforrigtiggodmening,athaveenselvstændigmodelleringskompetence.Idiskussionenafhvorformodelleringervigtigiundervisningssammenhængfindermantomodsatrettetsynspunkter:

- Manarbejdermedmodelleringforatlærematematik.Modelleringfungerersometværktøjogenmotivationforatlærefaget

- Manlærermatematikforatkunneanvendedetiandresammenhænge,iandrefagogivirkeligesituationer,altsåforatkunnemodellere.

Igrundskolenogpåerhvervsuddannelserneerderingenskarpadskillelsemellemdissetoindgangsvinkler.Menpågymnasieniveauogpådevideregåendeuddannelsertrækkesgrænsenskarpereop,ogherharførstnævntetilgangværetfremherskende.Htxerdogenundtagelse,hvorbeggevinklerforekommerofte.Følgermanmediudviklingenimatematikundervisningensesdet,atdetblivermereogmerealmindeligtatsedetotilgangesometsupplementtilhinandenfremforet”enteneller”.Hervenderviattertilbagetilvorestidligerepointe,atmodelleringermereendsummenafdeøvrigekompetencer.Undersøgelser(Niss,Blum&Galbraith,2007)viser,atderikkefinderenautomatisktransferstedmellematlæreteoretiskmatematikogatkunnemodellere.Elever,derhararbejdetmeddeleafmodelleringsprocessensomfxvalideringafmodellerellerharbenyttetmatematiskteoriindenforandrefagområder,opnårikkeautomatiskkompetencerindenforaktivmodelbygning.Deteraltsånødvendigt,atmansystematiskundervisereleverneimodelleringikkemindstmedvægtpåmatematiseringsfasen,oghererdetenforudsætning,atlærerenselvkanarbejdemedmodellering.Desværreerdetteikkenogenselvfølge.Medentraditionelakademiskbaggrundharmansommatematiklærerigymnasietnemligikkenødvendigvisnogensindemødtægtemodellering.

Side105af242

BevisførelseogmodelleringsombegrundelsesformerSædvanligvisbefindermatematiskbevisførelseogmodelleringsigihversinendeafdetspektrum,derbeskriverundervisningsfagetMatematik.Påfigur23oplistesnogleafdepunkter,derkendetegnerdet,mangegymnasielærereopfattersomrenmatematikkontramatematikianvendelse18

Figur23Renmatematikvs.Matematikianvendelse

Umiddelbartserhvertpunktidenenekasseudtilatfindesinmodsætningidenandenkasse.Vivildogargumenterefor,atdererligheder.Sidstepunkthandleromunderbyggelseafpåstande,ogigymnasieundervisningenopfattesdennetypisksomendeduktivaktivitet,hvormanvedbevisførelseskalreproducereandresargumenterogræsonnementer,foratviseengivenpåstand(sætning).IDEL2(Ræsonnementerogbevisførelse)udvikledevietundervisningsforløbombevisetsombegreb,oghergjordevibrugafdesociomatematiskenormer,deropstodiklassentilatforbedreudbyttet.Elevernesåforskelligetyperafmatematiskeræsonnementerogbeviser,ogdeopstilledeogunderbyggedeselvforskelligepåstande.Deflesteafdisselåindenfordetmatematiskedomæne.Dervardogogsåeksemplerpåpåstande,somlåudenfor,menhvormetoderogargumentervaraftilsvarendetype.Idetektionstest3såviligeledeseksemplerpåopgaver,hvormatematiseringsprocessenvarenunderbyggelseafenpåstandeidetekstra‐matematiskedomæne,dervardirektesammenligneligemed”etrigtigtbevis”.Eteksempeleropgave6,hvorfølgendeerispilimatematiseringen:SpørgsmåletomhvorvidtAyaharretkan(fx)matematiseressåledes:Ladoskaldeoliereservenefternårforrn.”Erdetsårigtigt,atrn>0forallen,nårr0=100∙106ogrn+1=rn–rn∙0.01uansethvadner?”.DenneformellematematiseringafAyaspåstandmåantagesatværemegetkrævende,ogvilnæppebliveopnåetafnogenelev.Enløsere

18Viharbevidstvalgtbetegnelsen”matematikianvendelse”fremfor”anvendtmatematik”,idetviopfattermatematikianvendelsesomensamletbetegnelseforalledemådermankanbringematematikkenispiliomverdenen,hvorimodanvendtmatematikiundervisningssammenhængoftesessomdenlidtkunstigemåde,hvorpåmanstårindeifagetogkiggerudpåomverdenen,mensmanlederefter(søgte)måderatbrugefagetpå.Detteskalikkeforståsnegativt,ogvisermangeeksemplerpågodeogmotiverendeanvendelserafmatematikkenikkemindstieksamensopgaverne.Idetteprojekterderfokuspådenmodsattevej:manstårudeivirkeligheden,ogharbrugformatematikken.

Side106af242

matematiseringafdensammetankegang,menindenforrækkeviddekunnelyde:”Erdetrigtigt,athvisr>0,erogsår‐0,01∙r>0?”(Niss,2013b)Vimenerderfor,atunderbyggelsenafpåstandeisåveldetmatematiskesomdetekstra‐matematiskedomæneharsåmangelighedspunkter,atdetgivermeningatbeskriveelevernesevnetilunderbyggelsepåsammemådenemligvedbrugafbevisskemaer.Dettevendervitilbagetilinæsteafsnit.

SnublestenDamodelleringerenkompleksstørrelse,somkræverkompetencerindenformangeområder,erdetheltforventeligt,atmangeeleveropleverproblemer.Viharidennedelafprojektetvalgtatfokuserepådelprocessernepræmatematiseringogmatematisering,ogvivilidetteafsnitbenyttevoreskendskabtilmatematiklæringtilatunderbygge,hvorfornetopdisseoptrædersomsnublestenforelevermedlæringsvanskeligheder.Valgetafmatematiskdomæneogmatematiskestørrelserforudsætter,atelevenharenidéom,hvordanmankanudnyttedenvalgtematematiskerepræsentationtilatfåsvarpåbådedeekstra‐matematiskeogdeoversattespørgsmål.Dettekanbenævnesiværksatforegribelse,ogdetersvært!Manskalvidehvilkenslagsmatematik,derkanløseetproblem,sommanendnuikkeharformuleretmatematisk(Niss,2013a).Præmatematiseringerdenproces,hvormanskalforstå,hvadproblemetgårudpå,hvorunødvendigeelementerskrællesbort,oghvormanlæggersigfastpå,hvadderervigtigtogrelevantidespørgsmål,derskaloversættestilmatematik.Foratkunnegøredettekrævesenhøjgradafomverdensforståelse,hvaddereressentielt,oghvaddererligegyldigedetaljer.Megetafdetteliggerikkeblotudenformatematikundervisningen,menogsåudenforundervisningengenereltoghørertiliprivatsfæren.Hvaddiskuterermanmedvennerne?sermaniTV?ellerlæseriavisen?Hvilkeoplevelserharmanhaftmedfamiliensombarn?oghvaderderblevettaltomvedmiddagsbordet?Voreseleverkommermedheltforskelligbaggrund,ogdetertydeligt,atdenharstorbetydningforelevernesmulighederforatpræmatematisere.Ogsåelevernesmatematikforestillinger(Seafsnittet”Eleversmatematikforestillinger”og”Undersøgelseafeleveresmatematikforestillinger”)influererpåpræmatematiseringen.Hvadeleverneopfattersommatematikogmatematikundervisning,nårdeskalstilleskarptpådeelementer,dererrelevanteogmuligeatmatematisere,påvirkerderesengagementipræmatematiseringen.Dettegiversigogsåudslagimanglendedeltagelse,hvisdesletikkeopfatterdettesomendelaffaget!Viundersøgtematematikforestillingernehos4eleverpåOTGvha.etspørgeskema(sebilag22).Skøntdetfagligeniveauhavdebetydningforelevernessvar,vardettydeligt,atdenundervisningogdesociomatematiskenormer,dehavdeværetunderlagtihverderesklasse(dedygtigei2.hogdesvagei2.c),slogendnutydeligereigennem.Foreksempelvardetkunelevernefra2.c,dererklæredesigenigei,at”Jeglavertitentegning,nårjegarbejdermedetmatematiskproblem”oguenigeiat”Matematikhandler

Side107af242

mestomathuske”.Ibeggetilfældeafspejledesvarene,deholdningeroghandlinger,derharværetherskendeiklassen.Atmatematiseringenerensnublestenforelevermedlæringsvanskelighederkanbegrundesudfraflerelæringsteorier,somvitidligereharbeskæftigetosmed:

- Skemps(1976)beskrivelseafmatematikforståelse- AnnaSfards(1991)beskrivelseafmatematiklæring- Tall&Vinners(1981)forklaringpåbegrebsdannelse- MogensNiss’(2013b)sammenstillingafbevisførelseogmodelleringsom

begrundelsesformer.Foratkunneudføreiværksatforegribelse,erdetikketilstrækkeligtathaveeninstrumentelforståelse,(atvidehvordanmenikkehvorfor).Manskalbesiddeenrelationelforståelse,(atvidehvornåroghvorfor)(Skemp,1976).Sammenstillervimatematiseringmeddenunderbyggelseafpåstande(justification),følgerdet,atelevenskalbesiddelogiskforståelse(atdet,derfremføres,følgeraflogiskeslutninger)(Skemp,1979).IAnnaSfards(1991)beskrivelseafudviklingenafmatematikforståelse,startermanpåetoperationeltniveau,hvormatematikkenopfattessomprocesser,fxkanmanudføreforskelligealgoritmer,nårmanbliversattildet.Herfrakanmanudvikleenstrukturelforståelse,hvormatematikkenopfattessomobjekter,mankangørenogetved.Førstpådetteniveaukanderforegåiværksatforegribelse,idetmanførstheropfattermatematikkensombeståendeafforskelligebegreber,derkanløseforskelligeproblemer,ogikkeblotmetoder,derkanudføres.Tall&Vinner(1981)benytterbegrebsdefinitionerogdannelsenafbegrebsbilledertilatforklarehvorfornogleeleverharlæringsvanskeligheder.Enmanglendeoverensstemmelsemellemdetogiveranledningtilforskelligeproblemer,derogsåharbetydningforelevernesmulighedforatmatematisere.Hviseleverneharsvagebegrebsbilledervildeundergeneralisere,oghavevanskelighedervedatbrugematematikkeniukendtesituationer.Imatematiseringenogvediværksatforegribelseliggerdetimplicit,atmanbefindersigienukendtsituation,ogenelevmedmanglendeellersvagebegrebsbillederviloplevevanskeligheder.Pådeområder,hvorbegrebsdefinitionerneersvage,kaneleverneovergeneraliserevedfxatlavederesegnealgebraiskeregler.Netopalgebraeretområde,somanvendesmegetvedmatematisering,nårderskalopstillesligninger,funktionsforskrifterogandresymboludtryk,ellernårderskaltegnesgraferogfigurerogvekslesmellemforskelligerepræsentationer.Enmangelfuldsymbol‐ogformalismekompetenceerenhindringforenvellykketmatematiseringpågymnasialtniveau.IDEL2”Matematiskeræsonnementerogbevisførelse”introduceredevidesåkaldtebevisskemaer.Vibenyttedeentaksonomi,sebilag8(Harel&Sowder,2007a),derbeskrev,hvordanpersoneropfatterogkanudførematematiskeræsonnementer.Detlavesteniveau

Side108af242

kaldesydreoverbevisning,ogdeterkendetegnetved,atpersonenerafhængigaf,hvadbogenellerlærerenfortæller,atbestemterammerskalværetilstede,fxatetbevisskalopskrivespåenbestemtmåde,førdetaccepteressomgældende,ogatpersonenoftevillaveegnealgebraiskeregler.Opfattes(deleaf)matematiseringensomenunderbyggelseafpåstandeietekstra‐matematiskedomæne(D)sefigur22,giverdetgodmeningatanvendebevisskemaeridiagnosticeringenafeleversvanskelighedermedmodellering.VivilsluttedetteafsnitmedvendetilbagetildiagnosticeringenafElevA,somblevforetagetiDEL1ogDEL2ogsammenlignedenmeddebetragtningerommatematiseringsvanskeligheder,vinetopharbeskrevet.IdenførsterapportblevElevAdiagnosticerettilathavdeproblemermedbegrebsforståelse:”Aharingenanelseom,hvadgrafenkanbrugestil.Dereringenbegrebsbilleder,derkanhjælpehendetilatse,atgrafogforskriftertosiderafsammensag.”Idenandenrapportkomvifremtilat"Afortsatharvanskelighedervedgrundlæggendealgebra.Derudovererderproblemermedforståelsenafbegrebetudsagnogækvivalensmellemudsagn.Dereringenkendskabtilforskelligetyperræsonnementer,somfxnårmanvenderenimplikationvedatnegereellervisernogetvedmodstrid.Endelafdettekanskyldes,atAikkeharmødtdennetyperæsonnementerfør,atdestoreproblemermedalgebraoverskyggerlogikkeniopgaveformuleringogræsonnement,samtatAsletikketrorpåsigselv.Inogletilfældevisersamtalen,atderkunskallidthjælptil,førAkansigenogetfornuftigt.Bevisskemaerneerovervejendeaftypenydreoverbevisning.Dereraltsåfinoverensstemmelsemellemdepunkterviharstilletopsomsnublesteniforbindelsemedmatematisering,ogdeobservationervitidligereharforetagetosiforbindelsemeddiagnosticeringenafElevA.Vimåderforformode,atendiagnosticeringafElevAudfraDetektionstest3vilvise,athunogsåharproblemermedmodellering.Atdenneformodningerkorrektvendervitilbagetiliempiriafsnittet.

Vejledningenstrefaser

1.fase:IdentifikationForatkunneidentificereelevermedmangelfuldmodelleringskompetenceanvendtevidenudleverededetektionstest3,derblevudvidetmedetekstraspørgsmål14,hvorfokusvarpåvalideringogrækkeviddeafengivenmodel.Voreskendskabtilelevernevardenneganglangtstørreendtidligerebl.a.pågrundafresultaternefradetoforegåendedetektionstests,menogsåfordiviharundervistdemilængeretid.Påbaggrundafresultatetfradetektionstest3ogdettestørrekendskabtileleverne,kunneviidentificere,deelever,derhavdesærligelæringsvanskelighederindenformodellering.

Side109af242

2.fase:DiagnosticeringForatdiagnosticeredeidentificeredeeleversproblemer,udvalgtevi7aftestensopgaversomudgangspunktforennærmereundersøgelse.Detvaropgaver,somelevernehavdeklaretdårligt.Indensamtalernemeddesvageeleverinterviewedevidefiredygtigeelevermedhenblikpåatundersøge,hvaddetvar,devardygtigetil,ogomdeiderestilgangtilmodelleringbetnyttedenoglesærligestrategrier.Dissestrategierblevpræsenteretfordesvageeleveridetdiagnosticerendeinterview.Vifilmedeallesamtalerneogtransskriberededeleafdem(sebilag17ogbilag18).

3.fase:InterventionDenenedelafinterventionenbestodafsamtalermeddesvageelever.Udoverdetførsteinterviewomtestresultaternehavdeviplanlagtenvejledningssamtaleomsærligvanskeligeproblemstillinger,somdiagnosticeringenhavdeafdækket.DesværrenåedevikunatafholdedennesamtalepåOTG.Tilsidstdeltogallefireeleveriensamtaleomdeafsluttendeopgaveribilag21.Disseopgaverhavdedelavetderhjemmepåforhånd.Elevernevarblevetbedtomatbrugeentimepåopgaverne,ogatlavedemaleneudenhjælpfraandre.Vedsamtalendrøftedevideresresultaterogmetoder.IDEL2benyttedeviendvidereetklassebaseretundervisningsforløbtilatunderstøttearbejdet.UndersøgelsenafelevernesmatematikforestillingerpåOTGhavdevist,atgruppearbejdevillefungeregodt,ogdepositiveerfaringerfrasidstgentogsig.Denalmindeligeundervisningidifferentialregningblevudvidetmedet”matematiseringsforløb”,deruddybesiafsnittetUndervisningsforløbetpåOTG.InterventionssamtalenpåOTG,dernævnesovenfor,foregikundervejsimatematiseringsforløbetogomhandledeopgavernefradette.Pågrundafandreprojekterogderafmanglendetid,blevderikkelavetettilsvarendeforløbiklassenpåCPHWest.Dettegiverosimidlertidmulighedforatvurderebetydningenafdenmanglendeklassebaseretintervention.

SucceskriterierVedprojektetsstartopstilledevinoglemålfor,hvadderskulletilforatmankunneopfatteinterventionensomsuccesfuld.Imodsætningtiltidligere,hvorderblevsluttetafmedentest,besluttedevi,atvidennegangalenevillebenytteinterviewsmeddeidentificeredeeleversomafslutning.Underdetteinterviewskulleelevernebeskrive,hvordandevillematematiserenoglegivneproblemstillinger,derlåtætopafdeopgaver,somvihavdevalgtudfraDetektionstest3,ogdeskullegøreredeforderesopfattelseafforløbet.Hvisvikunnese,ateleverneklaredeopgavernebedreenddenindledendetest,ogelevernesamtidigudtrykte,atforløbethavdegivetdemnoglestrategiertilatangribeforskelligeproblemstillingerimatematiseringsprocessen,villevikunnekonkludere,atforløbethavdevirketefterhensigten.

Side110af242

Empiri

Detektionstest3Testen,derskulleanvendesidennedelafprojektetvarudformetafM.NissogU.Jankvist.OpgavernehavdefokuspåforskelligedelprocesserimodelleringscyklussenogendelafdemvarPISAopgaver.Vitilføjedeenekstraopgave,deromhandledevalideringafenmodel,dadissedelprocesserikkevarrepræsenteretitesten.Bilag15visertestenisitfuldeomfang.

Metodevedbrugafdetektionstest3Foratfåetstørretalmaterialeatarbejdemedvalgteviatteste3klasserpåhverskole.IOdensevardetdesamme3klasser,dervarblevettestetiforbindelsemedDEL1.ToafdemhavdematematikAistudieretningen(2.aog2.c),enhavdematematikB(2.h),ogalletrevarpå2.år.PåCPHWesttestedevito2.årsklasser,enmedmatematikB(2.tip)ogenmedmatematikA(2.mf),derudoverblevet3.årsholdmedmatematikAsomvalgfagtestet.Vihåbedepådennemådeatkunnefåinformationeromforskellepåårgangeogniveauer.

Resultateroganalyseafdetektionstest3Vigennemførtetesteniseptember2013.Inedenståendetabellerkanmanseenopsummeringafresultaterneforalleklasserne.Ibilag16sessamtligeresultater. 2.a 2.c 2.h 2.mf 2.tip 3.vmat

Antalelever 26 27 26 28 18 16

Gennemsnitrigtige 11,2 9,1 9,0 7,1 7,4 7,5

Tabel8Inddelingefterklasse

Tabel8viser,atdererstorforskelpå2.aogdetoøvrigeklasserfraOTG,ligesomderyderligereerstorforskelpåklassernefraOTGogklassernefraCPHWest.DereringenstorforskelpådetreklasserfraCPHWest,selvomderi2.tipikkeermatematikistudieretningenog3.vmateretholdmedmatematikAsomvalgfagpåtredjeår.

Tabel9Inddelingefterskole,kønogetnicitet

CPHWest

OTG Drenge PigerEtniskdansk

Andenetnisk

baggrund

Antalelever 62 79 118 23 119 22

Gennemsnitrigtige 7,3 9,7 8,9 7,3 9,3 5,2

Bedste/dårligste 13/1 14/3,75 14/1 11/2,5 14/3,75 11,75/1

Side111af242

Tabel9visersammentællingafpoint,nårviharfordeltefterskole,kønogetniskoprindelse.Detsesumiddelbartligesomitabel1atelevernefraOTGklarersigbedreenelevernefraCPHWest.Deterdensammetendens,somvisåiDEL1(seafsnitResultateroganalyseafdetektionstest1).Vikanogsåherkonstatere,atdrengenescorerhøjereendpigerne,detgjordedeogsåiDEL1.Vihardennegangogsåsetpåelevernesetniskeoprindelseogkankonstatere,atdedanskeeleverklarersigmarkantbedreendelevermedandenetniskbaggrund.

IdentifikationafsvageogstærkeeleverUdfratestresultaternevalgtevifireelever,derhavdeklarettestenvirkeliggodt.PåOTGvardettoeleverfradenklasse,derharmatematikB.Eleverneslærermente,atdetodrenge(ElevDaogElevMa)varetgodtvalg,dadebeggeermegetbevidsteom,hvordandelærermatematik.PåCPHWestblevderligeledesfundettodygtigeelever(M1ogM2).Deneneharværetdygtigtilmatematikihelesithtx‐livogdenandenerpludseligherpåandetårblevetmegetihærdigogvældigdygtig.Deerbeggetoikkedestærkestetilatbeskrivematematiskebegrebermundtligt,mengodetilatbrugematematikken.Blandtdeelever,derhavdeklaretsigdårligstitestenvarderto,enfrahverskole,somtidligereharværetidentificeretmedlæringsvanskeligheder.Dissetoeleverblevvalgtudigen.DetdrejedesigomAfraOTG,someninteresseretpige,dersynesatmatematikersvært.Hunharflyttetsigmegetfagligtsidenhunblevudvalgtførstegang,oghunermegetgladforatdeltage.DenandenvarendrengCfraCPHWest,somermegetsvagimatematik,menmegetihærdigoginteresseret.Udfravortkendskabtilelevermedlæringsvanskelighederogelevernesbesvarelseaftestenudvalgteviendnutoelevertilnærmereundersøgelse.FraOTGblevdetM,dererensød,menmegetsvagelev.Tilgengælderhannogetafdetmestihærdige,mankantænkesig,ogdetgælderforallefag.Detvarinteressant,atelevIpåOTGfraprojekt1og2dennegangklaredesigforholdsvisgodt,ogderforikkeblevidentificerettilathavesærligevanskelighedermedmodellering.PåCPHWestblevSvalgt.Hunerenstillepige,somidenalmindeligeundervisningklaresiggodt,mensomklaredetestendårligt.Foratafgørehvilkeopgaver,derskullebenyttesidetviderearbejdemedatdiagnosticeredeudvalgtesvageelever,foretogvienanalyseafopgaverneiDetektionstest3påbaggrundafdekommentarerM.Nisshavdefremsendt(seBilag26).Detteanskueliggjorde,hvadderisærliggradvarpåspilideenkelteopgaver.Enopdelingafopgavernepådeenkeltedelprocesserimodelleringscyklussesitabel10.

Side112af242

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Præmatematisering Matematisering Matematiskprobl.løsn. Afmatematisering Validering Rækkevidde Tabel10OpgaverneiDetektionstest3fordeltpåmodelleringscyklussensdelprocesser

Tabel11viserresultaterneafdefireudvalgteelever.

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 total

A 1 0,5 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0 1 1 0 1 5,5

M 0 1 0 1 0 0,5 0 0,5 1 1 0 1 0 6

C 1 0,5 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 6,5

S 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0,5 0 5,5Tabel11Resultaterforvoresudvalgteelever

Vedatsammenlignetabel10og11,valgteviatlæggefokuspåpræmatematiseringogmatematiseringogbenytteopgaverne2,5,6,7,8,11og12.Itabel12erangivethvormangeprocentrigtigebesvarelser,dererforhveropgave.Vihardelteleverneopifiregrupper,hvor

- gruppeIerde10%bedste=særligtdygtigeelever- gruppeIIerde25%bedste=dygtigeelever- gruppeIIIerde25%svagesteeleverog- gruppeIVerde10%særligtsvageelever.

Derudovererdetsamlederesultatangivet

Opgave 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Alle 78 93 55 72 71 55 27 52 67 86 54 46 80 31

I 93 100 100 100 95 71 79 95 100 100 100 86 96 66

II 94 97 87 89 91 81 64 91 91 100 94 81 96 57

III 42 86 17 49 46 14 1 8 39 57 16 7 69 11

IV 29 68 7 45 32 2 0 4 39 48 0 4 46 14

Tabel12Angiverhvormangeprocentrigtigede4elevgrupperhar.

Side113af242

Deopgaver,derermarkeretmedgult,erdeopgaverviharvalgtatintervieweeleverneom.Derernogleopgaver,somdesvageeleverklarermegetdårligt.Detdrejersigomopgaverne3,6,7,8,11,12og14.Desudenkanmanseitabel12atopgave2,3,5,6,11og13giverdesærligtsvageeleverstørreproblemerenddesvageelever.Vivalgteatsebortfraopgave3,daresultaterneveddetotyperrentetilskrivninger,varsåens,ateleverneikkemente,atmankunneseforskel.Opgave5blevtagetmedda,detvarentypeopgave,dervaranderledesenddeøvrige,dadenudelukkendeindeholdtetbilledeogetspørgsmål.Opgave13blevikketagetmeddavoresudvalgteeleverhavdeklaretopgavenimodsætningtildeflesteeleverigruppenafsærligtsvageelever.Opgave14blevhellerikketagetmed,dadetvardenopgavealleklarededårligst.Detteskyldesmuligvis,ateleverneikkeheltvarklarover,hvaddetvilsige,atenmodelafdentypeskaltolkes.Denneopgaveudmærkedesigiøvrigtvedatværedenenesteopgavesærligtsvageeleverklaredebedreenddesvageelever.Årsagentildettekanviikkeidentificere.

SammenligningmedtidligeretestresultaterEfterathavetestetdesammeklasser(2.cog2.mf)tregangemedforskelligtfokusharvifundetdetværeinteressantatse,omdertegnersigetmønsterfor,hvordaneleverneklarersig.Viharderforsamletalletestresultateriensamletoversigt,somsesibilag19.Derer46elever,somhardeltagetialle3detektionstests.Dererikkeumiddelbartnogetmønsteri,atdenenetestfremfordetoandresigernogetentydigtomeleverne.Detenestevikanseer,atklarermansiggodtidenenetest,såklarermansigoftestogsågodtideøvrige,ogtilsvarendeklarermansigdårligtidenene,såvilmansandsynligvisogsåklaredeøvrigedårligt.Dengenerelletendenseraltså,atresultaterneafdetretestsfølgesad.Dettekanvirkeoverraskende,fordekompetencer,derskaltilforatklaredetektionstest1og2ermegetforskellige.Derimoderdetheltforudsigeligt,atresultatetafdetektionstest3erstærktkorreleretmedresultaterneaftest1og2,jfvoresargumentationiafsnittetSnublesten.Detbørdogbemærkes,atempirigrundlagetikkeerstortnoktilatkunneudtalesigomgenerelletendenser.

LærerensforventningerversuselevernesbesvarelseIndendetektionstest3blevuddelttileleverne,havdevibesvaretspørgsmålene,somviforventede,atengennemsnitselevvillesvare.Vivilkortgennemgånogleeksemplerpåafvigelsermellemvoressvarogelevernesbevarelse.Spørgsmål9:Voresforventningvar,atelevernevillehavesværtvedatafkodetekstenidenneopgaveogderforvalgteentilfældiggraf.Mendeflestehavdeforståetopgavenogvidste,atkundenenegrafskulleknække.Spørgsmål12:Denneopgavervarenafdemeleverneklarededårligst.Voresforventningvar,atelevernevilletegnegraferneogaflæsedenefterspurgtealder.Detvardermegetfå,der

Side114af242

gjorde.Langtdeflesteafdeelever,dersvaredekorrekt,havdeprøvetsigfrem,oghervardetheldigt,atsvaretvarethelttal.Ikkemangehavdeset,atmankunnesætteligningernelighinanden.Mangehavdeopgivet,sandsynligvisfordideikkeforstodtekstenogdermedikkevidste,hvaddetvardeskullefindeudaf.Imodsætningtildetidligeredetektionstestsvarvoresforudsigelserafelevernessvarmegetpræcisedennegang.Manskaldogtilføje,atvierganskechokeredeover,hvordårligtnogleafeleverneklaredesig.

Analyseafdygtigeogsvageeleversbesvarelseafdetektionstest3Idetteafsnitvilviførstforsøgeatindkredse,hvadderkendetegnerdedygtigeeleversbesvarelseafopgaverne.Dernæstvilvisepå,hvaddeter,desvageeleverharspecieltsværtveditesten.

Hvadkanmanlæreafdedygtigeelever?Voresidémedatundersøge,hvaddedygtigeeleverkan,udsprangaf,atvifleregangeharforsøgtatforudse,hvadelevernevilsvarepåengiventest.Sommetiderrammervirigtig,menandregangegårdetgalt.Detkanværevanskeligtpåforhåndatudpege,hvadeleverkan,oghvaddeikkekan.Vivalgtederforatinterviewenogleelever,derhavdeklaretsigrigtiggodtitesten,foratse,omdervarnogetspecielt,derkendetegnededisseelever,ogsomvikunnese,ikkevartilstedehosdesvageelever.Ibilag17ersamtalenmeddefireeleverDa,Ma,M1ogM2,derklaredesigrigtiggodtitestengengivet.Herskalkunnævnestretypiskeksempel,nemligopgave6,7og8.Opgave6Lærer:”HvadbiderImærkei,nårIlæserteksten?”Da:”Jegbidermærkeiatdeneneerrelativogdenandenerfasttal,ogsåvedjeg–hvisjegnuvisualisererdenindeihovedet–denenebliverenellerandenkurve,derblivermindreogmindre,hvorimoddenandenerenretlinje,ogsåsammenlignerjegdeto.Lærer:”Såduserfaktisknoglegraferfordig.Duprøveratlavedenpådenmåde.”Da:”Ja.”Lærer:”Hvadmeddig,Ma?”Ma:”Detgørjegikkerigtigt.Jegserligesomenkageformig,hvormanheletidenfjernernoget,sådan1%afdetmanhar.Ogsåkanmanse,atderblivervedmedatværenoget.Deterligesomdetderparadoks(Zenonogskildpadden).Samtalenviser,atbeggeeleverskabergodebilleder,somdeogsåtegnerideresbesvarelser,ogsomsætterdemigangmedatargumenterekorrektforløsningen.Opgave7Lærer:”Detvarenmegetupopulæropgave.Rigtigmangeelevertoggennemsnittetafdetohastigheder”

Side115af242

Ma:”Detførstejeggjordevarogsåbareattagegennemsnittet,ogsåtænktejegneeej.”Da:”Vedmigvardetfaktiskenhedernederikkepassede.(…)Derforblevjegvedmedatlaveompåbrøkerne,ogjegblevvedmedatskrivedemopanderledes.”Lærer:”Hvadvardet,dergjorde,atIhavdeenfornemmelseaf,atdetvarforkert,(bareatlæggetallenesammenogdelemedto)?Resultaterneafdetometoderjoikkeheltforskellige,såmanstrakskanse,atnogeterforkert.”Ma:”Jegvarsådanlidtusikkerpådetførsteogsåtænktejegatjegvarheltsikkerpå,atdetvarrigtighvismanregnerdetpådenmåde,jegsåhargjort.Såmåmannokhellerebrugelidtmeretidpådet,ogsåværesikker.”PAUSEMa:”Detkomsådanlidthenadvejen–deternoksådanherdetskalregnes,menjeghavdeikkenogenfastidéomhvordanpåforhånd.Da:”Detsammeher.Detvarførsti2.eller3.forsøgatdetsådanrigtiggikopformig,hvordandetskullehængesammen.”Ma:”Såvardettilgengældrimeligtydeligtatdetvardenrigtigemådeatgøredetpå.”Eleverneviseratdereroverensstemmelsemellemderesformellebegrebsdefinitionerogbegrebsbilleder,sådeikkeovergeneraliserer,menihverttrinerbevidsteomderæsonnementer,derførertildetrigtigesvar.Opgave8M2:”Ja,jegerstartetmedatregnearealetudfordetoforskelligepizzaer.”Lærer:”Hvorforerdubegyndtatregnearealetud?”M2:”Deterjosåmegetpizzadererogsåharjegdivideretmedprisen.Arealetmedprisenogsåfindermanudafhvormegetmanegentligfårpr.krone.Såkanmansehvadforendererbilligst”Lærer:”Mmm.HvadhardugjortM1?”M1:”Jegvalgteatsehvilketalgikbeggepriseropiogdeterså120,ogsåharjegregnetudhvorstorenpizzaogsåselvfølgeliggangetmed3eller4altefterhvilkenpizzamanhar.Ogsåkanmanfindeudafhvilkenenderhardetstørstearealtilsidstogdetersådentil40kr.”Hervisereleverne,atdehurtigtermedpå,atdetharnogetmedatforholdetmellemarealogprisatgøre.Deskabernoglebillederihovedet,somdeikkebehøverattegne,menkanregnemedalligevel.Detfremgårmegettydeligtafsamtalerne,atdetervigtigt,athaveenbredomverdensforståelse.Kendskabettildenverdenvileveri,harbetydningharbetydningforfleredelprocesserimodelleringscyklussen.Manskalvide,hvorhøjengennemsnitspersoner,manskalvide,atnårmanserting,dererlangtvæk,bliverbilledetforvrængetafperspektivet,manskalværebevidstom,atfarterstrækningpr.tidetc.Desværreerensådanbevidsthed,ikkenogetvikanarbejdeintensivtmedimatematikundervisningen,menvikanstøtteoghjælpeelevernevedatvælgeordogbegreber,dekender.

Side116af242

Enandenting,dergårigen,erdedygtigeelevernesbrugafbilleder.Deharenomfattendepaletteafbegrebsbilleder,somgør,atdeheltubevist”ser”problemetogdernæstdetsløsningsometbilledeenteniformafenfigur,engrafellertilsvarende.Somviskalsesenere,havdedesvageeleveretlangtsvagerebegrebsbilledeapparat,menderhvordekunneskabeet”fysisk”billedeafsituationengikdetlangtbedreendellers.Endviderevarderstoroverensstemmelsemellemdedygtigeeleversbegrebsbillederogdeformellebegrebsdefinitioner,hvilketgjordeatdehverkenover‐ellerundergeneraliserede.Dettekomfxtiludtrykiopgavenomgennemsnitsfart,hvordisseeleverikkeblotgrebfatiordet”gennemsnit”oglavedeennyregelom,at”manfindergennemsnitsfartenvedatlæggefartenopognedafbakkensammenogdivideremedto”.Detvilværemuligtatintervenereoverfordesvageelever,vedatopfordredemtilatlaveogbrugebillederafforskelligslags.Endeligkanmanafinterviewetse,atdedygtigeeleverssymbol‐ogformalismekompetenceerlangtmereveludvikletenddesvageelevers,ogatdetteoftebremserdesvageeleverimatematiseringsprocessen.Detteerogsåetområde,derkantrænes.Mankankonkludereatfølgendeområderervæsentligeforatkunnematematisere

(1) Enbredomverdensforståelse(2) Evnentilatskabebilleder(3) Symbol‐ogformalismekompetencen.

Mankanprimærtfokuserepå(2)og(3)imatematikundervisningen.Iinterventionenfordesvageelevervilvibenytteresultaternefradetteafsnitiarbejdetmedatforbedreelevernes”matematiseringskompetence”.

SnublestenvedmodelleringVivilnusepådesvageeleveresbesvarelseafdevalgteopgaver.Ibilag18ersamtalernemedde4elevergengivet.Samtalerneviser,ateleverneharsværtvedatforstå,hvaddeter,derpræcistbliverspurgtom.Dettekanskyldesmangeting,menenting,somvisersigtydeligt,erderesmanglendeforståelseafdenvirkelighed,desommenneskerbefindersigi.Hertænkesbl.a.påopgave5,hvorhøjdenafenbygningskalvurderes.Hermanglerendeleleverevnentilatkunnefornemmeperspektivetibilledetogkendskabtilhøjdenafenpersonogfordensagsskyldogsåethus.Viharsetsvarsom”denerhøjereenddetoandrebygninger”og”2,5km”.Etandeteksempeleropgave6,hvorAya’sudsagnom,atolienaldrigslipperop,nårmanhvertårudvinder1%.Tilsidstvilmængdenværesålille,atviskaltilatdelemolekylernefor,atdetkanladesiggøreattage1%.Iopgave6havdemangeeleverogsåsværtvedatskullegivedeneneret.Atbeggekunnehaverethavdedesværtvedatforstå.(Seevt.transskriptionafSibilag18).Enandentypefejl,somogsåskyldeslæsevanskelighedersesibesvarelserafbl.a.opgave7,hvorgennemsnitsfartenskalbestemmes.Hererdetentid,derangivessomsvarhostoafdeudvalgteelever.Hosandresvageelevererdertaleomenovergeneraliseringafbegrebetgennemsnit,somderforbliveretgennemsnitafdetoangivnehastigheder.Særligtnårtekstenbliverlang,someksempelvisopgave12,bliverdetsværtatfåoverblikover

Side117af242

opgaven.Iopgave12erderingenafdesvageeleversomundervejledningenselvidentificererdetoligninger,dererangivetiteksten.Samtalerneviserogså,atdesvageeleverharsværtvedatskabederigtigebillederentenihovedetellerpåpapiret.Detsesfxiopgave8,opgavenmedpizzaen(sefigur23),hvorelevernefokuserermegetpådetal,dereropgivetiopgaven,menikkeeristandtilatse,atdiameterenskalbrugestilatsigenogetomarealet.

Figur23C’sbesvarelseafopgave8

Iopgave11,denmedterningen(seeksempelpåfigur24),erderogsåendelafdesvageelever,somikkekanfåopbyggetenrumligfigurafterningen,mensandrefokusermegetpåatfåtallenetilatforholdesigtilhinanden.

Figur24S’sbesvarelseafopgave11

Side118af242

Somviogsåforventede,sesdet,atdesvageeleverharsværtvedatløsemodelleringsopgaver,dadeofteerlæsesvage/usikreogderforikkealtidfårdenrigtigeinformationudafteksten,deharikkeenbredomverdenforståelse,defårikkeskabtdekorrektebilleder,ogdeerusikreibrugafsymbolerogformalismeindenformatematik.Vivilivoresegenskabafmatematikvejlederværeistandtilathjælpemedatlæreatlæseteksten,såledesatmankantrækkederelevanteinformationerudafentekst/opgave.Vivilhavesværtvedatgiveeleverneenstørreomverdenforståelseogdermedkandetmåskeogsåblivesværtatfåsatderigtigebillederpå.

DiagnosticeringafdeudvalgteeleverIdennedelafprojektetidentificeredevifireelever,somsvageimodellering.Afdisse4vardetkundetofraOTGderefterfølgendemodtogvejledning.ForatmålretteindsatsendiagnosticeredevielevernegennemensamtaleomudvalgteopgaveriDetektionstest3.Somnævnttidligerehavdevipåforhåndbemærket,atisæropgavermedmatematiseringvoldteeleverneproblemer,ogforetogderfordiagnosticeringenpåbaggrundafelevernesbesvarelseafopgaverne2,5,6,7,8,11og12.SkemaetherunderviserførsteskridtpåvejenimodendiagnosticeringafdefireidentificeredeeleverA,M,CogS.Iøversterækkeerangivetopgavensnummerogirækkennedenforfindesfokusområdernefordeenkelteopgaver.Derækker,dererbenævntA,M,CogS,viserelevernesopnåedepointihveropgave,ognedenforerangivethvaddererelevenssærligeproblemerihveropgave.Pm:præmatematisering.M:matematisering.Pl:problemløsning.Am:afmatematisering.V:validering.Endeligvisersøjlentilhøjre,detsamledeantalpointhverelevharopnået.

2 5 6 7 8 11 12 Point

Indhold Dressing Bygning Olie Athen Pizza Terning Hjerte

Fokus M Pm,M Pm,M Pm,M Pm,M M,Pl Am

A 0,5 0,25 0,25 0,25 0 0 5,5

Problem ‐ Pm Pl,Am Pm,M Pm,M M ‐

M 1 0 0,5 0 0,5 0 6

Problem ‐ Pm M Pm,M Pm,M M ‐

C 0,5 1 0 0 0 1 6,5

Problem Pl,Am V Pm M M ‐ ‐

S 1 1 0 0 0 5,5

Problem ‐ ‐ Pm,M M,Pl Pl Pm,M

Tabel13Oversigtoverde4svageelever,opgaver,fokusområderogpoint.

Side119af242

Ibilag18findestransskriptionerafdeleafdissesamtaler,samtenuddybendebeskrivelseafhvilkeproblemerelevernehavde.Nedenforvisesenkelteeksempler.Påbaggrundafensamletanalyseafhverenkeltelevforetogviendiagnosticeringafelevenogopstilledemålforelevensudbytteafforløbet.

ElevA(OTG)Opgave8,sefigur24.

Figur24A’sbesvarelseafspørgmål8

Lærer:”Duhartegnetnoget.Detsynesjegerengodidé.”A:”Ja,menjegerikkesikkerpå,atdeerrigtige.Jegsynes,deermegetsmå.”Lærer:”Jah,mendetkommerjoanpådetmålestoksforholdigenjo.Hvaderdet?10kronersforskel,ogpizzaenerkun10cmidiameteren.Nårnumankiggerpåsådanetstykkepizza.Hvadplejermansåatmålesådanetstykkepizzai?Hvisdugernevilvide,hvormegetpizzadufår,hvadmålerdusåpizzaeni?Erdetdiameterendumålerdeni?”Goddag,jegvilgernehave3diameterpizza!”A:”…”Kansletikkekommeigangmedopgaven.Lærerentaleromarealerogrumfangsommålforpizzaen,oghereftergårsamtalenvidere.Lærer:”Hvordanfinderdusåudafhvadforenpizza,hvordufårmestforpengene?”A:”Såviljegdaprøveatregneudhvorstordeneriforholdtildenanden,sådanarealmæssigt.Såskaljegjobrugeradius.”Lærer:”Kandufindeden,nårduhardiameteren?”A:”Ja,deterjodethalve.”Lærer:”Kanduhuskearealetafsådanenpizza?–cirkel!”A:”Detførstejegtænkerpå…detvedjegikkeomerrigtigt.Deterpigangeradiusianden.”

Side120af242

Lærer:”Ja.(Askriverarealerneopforbeggepizzaer).Nemlig.Dererihvertfaldikkenogentvivlom,atdenstorepizzahardetstørsteareal.Menhvisdunuskalfindeudafvedhvadforendufårmestforpengene,hvadskaldusågøreveddederarealer?Hvadveddumereompizzaerne?”A:”Ikkeandetendhvormegetdekoster.(Skriverdetudforpizzaerne).”Lærer:”Oghvordanfinderdusåudafhvordufårmestforpengene?”Gårigenistå.Kommermedforskelligeforslag,menvedikkerigtig,hvadmanfårudafdet.Harenfornemmelseafatdenstorepizzaermegetstørreenddenlille,ogatmanfårmestforpengeneher,dadenkuner10kr.dyrere,mendetlykkesikkeatkommeigennemfornuftigeberegninger.Deterbådepræmatematiseringenogselvematematiseringen,dergårgalther.Ategnerenstorogenlillecirkelmenkommerikkefremtil,atderesarealeretmålforstørrelsenafpizzaerne.Hunhuskerikke,hvordanmanberegnercirklensarealogkommersletikkefremtil,atdeterforholdmellemarealogpris,manskalfinde.Opgave11,sefigur25Lærer:”Detereninteressantopgave,fordenharvifaktiskkiggetpåfør.Dugætterpå8,96.Duharlavetenfintegning(Tokvadrater,hvorsidelængdenideneneerdobbeltsålangsomidenandenmarkeretmedfedpåfigurenherunder),ogduerpåvej...Hvadgælderderomdeneneterningiforholdtildenandenterning?”

Figur25A’sbesvarelseafspørgsmål11

A:”Denstoreer4gangedenlille.”Lærer:”Hvorforfire?”A:”Nårjeglæggerdemopvedsidenafhinanden,sålignerdetatdenkandækkesådanfiregang(peger).”

Side121af242

Lærer:”Hvorforfikduså8,96?oghvorforskrevdu”dobbelt”?”A:”Ja,detvedjeghellerikke.Fordijegharglemtdefire?Jegtrorikke,jeghartænktvidereover,atdenvarfiregangesåstor.”Lærer:”Duharfuldkommenreti,atdetderkvadrater4gangesåstortsomdetder(peger).Menerdetheretretvisendebilledeafterningen?Erdetterningen,mankanseher?”A:”Nej,deterkundeneneoverfladeafterningen.Dermåjoværefireafdempåhverside.Hvismanprøverattegne…(tegnerenrumligfigur,derervistsvagtpåovenståendebillede)Såbliverdenstørrepåalleleder.”Lærer:”Prøvattegnenafdesmåind.Hvorliggerdenhennepådenstore?”A:”Denliggerjoher(tegner).”Lærer:”Stikkerdenbagud?ellerliggerdenkunpådenderoverflade?”A:”Denstikkerjobagud.”Lærer:”Prøvattegneheledenlilleterningind”A:”(Tegnerheltkorrekt).Denvilliggesådanher.”Lærer:”Hvormangeafdesmåkandersåværeidenstore?”A:”(Mumlerogtegner).1,2,3…Detmåjosåvære8udfrahvadjegkanse.”Lærer:”Hvordankandusåregneud,hvortungdennyeterningvar?”A:”Skalvelgangemed8.Erdetså4,8ggangetmed8?Detskriverjeglige!”Seretpartal(2og4)ogbrugerdemtilatregnedendobbelteværdiud.Aharlavetentodimensionaltegningogvedgodt,atdetenearealer4gangesåstortsomdetandet.Mendermanglerdenrumligedimension,detrigtige”billede”påvirkeligheden.DiagnosticeringafelevADenneelevhardeltagetibådeDEL1ogDEL2,ogharhervist,atdenekstraopmærksomhedpåspecifikkeområderharenpositivogvedvarendeeffekt.Samtalenviste,attiltrodsfor,atAklaredesigdårligtitesten,havdehunenbedreforståelseafpræmatematiseringogmatematiseringendhendesbesvarelsegavindtrykaf.Oftevardetnedskrivningenafetbrugbartsvar,dervoldtestørreproblemer,endatkommefremtildet.Fratidligerevidesdet,atisærenmangelfuldsymbol‐ogformalismekompetenceikombinationmedbrugenafalgebraersnublestenforA.Dettekommerogsåtiludtrykherfxiopgaverne7,8,11og12,hvoropstillingogberegningerafgennemsnitsfart,pizzapris,terningevægtoghjertefrekvensikkelykkes.Aharennogenlundebredforståelseafsinomverden,menhunerikkegodtilatskabebilleder,derkanhjælpehendeigang.Bliverhunhjulpettillavedissebillederiformafgrafiskerepræsentationerogfigurer,kommerhunoftefremtilenløsning.MåletforAerderforselvatkunneproducere”derigtige”billederudfrateksten.Herudoverskalderfortsatarbejdesmedsymbol‐ogformalismekompetencenogalgebraiskeberegninger.ForAvildetsandsynligvisværeenfordel,hvisendelafdissekanforetagesmedetCAS‐værktøj.

Side122af242

ElevM(OTG)Opgave7,sefigur25.M:”Hvadharjeggjorther?Derharjegbaretagetgennemsnittet.Jegharbareplusset…Jegskalligeseher:3km,dendobbeltefart,deterså6km.Ja,hunstigeropadenbakkemed3km/tognårhunkommernedadbakkensåerdetmed6km/tfordeterdendobbeltefart.Derharjegsåbaresagt3plusdendobbeltefartsomer6deter9kmitimenogsådivideretdetmed2fordeter2,findgennemsnittet,ogdetgiver4,5.”Lærer:”Duharfundetetgennemsnit.Måmangodttagegennemsnitafhastighederpådenmåde?Hvorfortrordumanmåtagegennemsnitafhastigheder?”M:”Jegtrorbare,atdetermedtalatgøre.Jegsådervarettalogsåsattejegkmbagefter.

Figur25M’sbesvarelseafspørgsmål7

Matematiseringenbeståri,atmanskalbestemmedenstrækningpigentilbagelægger,oghvorlængehuneromdet,menMmangleretbegrebsbilledefor”fart”ogovergeneraliserer.Deterderforpræmatematiseringen,dergårgalther.Opgave8,sefigur26.Lærer:”Såerderpizzaen.Hvadtænkteduder?”M:”Derharjegtegnetenpå30diameterogenpå40diameterogsåharjegsådansetbarelagtdenher(denlille)indidenher(denstore).Såharjegtaget2pizzaerogfåetdensamledediametersomer40ogsåerjeggåetindogharkiggetpåhvormangegangestørredenherdiameterdeter10ogdetharjegillustreretsådanher(senoter)ogsåharjegsåsagtattil30kr.derfårmanlidtmereendhvismankunkøberentil40kr.Ellerdeterdetsamme,

Side123af242

undskyld.Trorjeg,vardetsådanjegskrev?(Læsersintekst.)JAdaharjegskrevetatdentil30kr.kanbetalesigmereenddentil40kr.”Lærer:”Ladmigligetegneen,derpasserlidtbedremedteksten.(Tegner2pizzaerindenihinanden,hvordeneneharendiameterpå3ogdenandenpå4.)Prøvligeatmarkeredetstykkepizzaafdenlille,sommanfårfor10kr.”M:”(Tænker).Deterentredjedel.”Lærer:”Såfarvervifor10kr.pizza.(Skravererentredjedel).Nårnumankøberdentil40kr.hvormegetfårmansåmere?Hvormegetpizzafårmanfordeekstra10kr.?”M:”Dether(pegerpåringenudenomdenlillepizza)Lærer:”Hvorstortsynesdu,atdetserudiforholdtildetduharfarvet?”M:”Jegsynesdetserstørreud.”Lærer:”Hvisnumanfårmerepizzafor10kr.der(pegerpåringen)endmanbetalerforetstykkepizzaderinde(pegerpådetskraverede)for10kr.hvadforenpizzakansåbedstbetalesig?”M:”Denhertil40kr.”

Figur26M’sbesvarelseafspørgsmål8

Ipræmatematiseringengørelevensigikkeklart,atbeggepizzaerharsammetykkelse,ogderderforertaleomtocylindre.Derdannesbillederafcirkelskiver,mendadeterordet”diameter”,somforekommeriteksten,bliverdetdenneogikkearealet,derbenyttessommålforpizzaernesstørrelse.Mlaverfigurer,mendeersåmisvisendeistørrelsesforholdet,atmatematiseringengårgalt.

Side124af242

DiagnosticeringafelevMMerenheltusædvanligflittigogihærdigelev,derdesværreikkefårsåmegetudafsitstorearbejde.Hanharentypiskinstrumenteltilgangtilfagetogerikkekommetlængereendtiletoperationeltniveau.Genkenderhanenmetodeellerenalgoritme,gårhanstraksigang,ogkommeroftegodtigennem.Hansfavoritdisciplinererprocentregningogtrigonometri,hvorderfindesmangestandardopgaver,somhanklarerudmærket.Tilgengældskalmanikkeindføreretmegetnyt,ellerdrejeenopgaveretmeget,førdetgårgalt.Samtalenviste,atMharstoreproblemermedsåvelpræmatematiseringsommatematisering,hvorafdetsidsteoftefølgerafdetførste.Mharproblemermedatforståformellebegrebsdefinitioner,sommanfxseriopgave7.Hanhartilgengældnoglemegetrobustebegrebsbilleder,derdogikkerækker,hvorforhanovergeneralisereroglaversineegenregelforgennemsnitsfart.Hangriberfatienkeltordudenatgøresigklart,ihvilkensammenhængdeskalbenyttes.Dettesesfxiopgaverne7og8hvordeterordsom”gennemsnit”og”diameter”,dersætterhamigang,menienforkertretning.ElevMforsøgerofteatbenyttefigurer,mendadeermangelfuldeellerforkerte,fårhanikkedetudafdem,derkunnehavebragthamigennemprocessen.Dettesesbådeiopgave8og11,hvordetisidstnævnteopgaveerentodimensionalterning,derforhindrerhamiatnådetkorrekteresultat.EndeligharMsværtvedatlæsestørretekstersomfxopgave12.Idenneopgaveerderyderligeredetproblem,atdenikkeerskrevetop,somMplejeratseden.Devariablehedderalderoganbefaletmaksimalhjertefrekvens,ogikkexogysomdetofte(menikkealtid!)ertilfældet.MåletforMeratblivebedretilatuddragedetvæsentligeienproblemstillingoggernefålavetdenrigtigefigur,derkanhjælpemedatløsedet.DerudoverskalderfortsatarbejdesmedatudvikleogudvideelevM’sbegrebsbillederogderesindbyrdessammenhængsamtsammenhængenmeddeformellebegrebsdefinitioner.

InterventionmedfokuspåmatematiseringogpræmatematiseringUnderdenefterfølgendeinterventionssamtalemedAogMvarderfokuspåderessærligeproblemer.BeskrivelsenafdenafsluttendeinterventionssamtalefindesiafsnittetHarforløbetvirket?PåOTGblevinterventionensuppleretmedetklassebaseretundervisningsforløb,dertrænedeeleverneimatematiseringgennemdiskussionermedklassekammeraterne.

UndervisningsforløbetpåOTGIDEL2benyttedevipåOTGenkombinationafsamtalermeddeudvalgteeleverhverforsigogetundervisningsforløb,derinvolveredeheleklassen.Dettevistesigatværeensuccesfuldmetode,idetelevernemedlæringsvanskelighederbådefikhjælp,dervarmålrettetderessærligebehov,samtidigmedatdeblevstøttetiudviklingenafræsonnementskompetencenigennemdesociomatematiskenormer,deropstodiklassenunderforløbet.Derudover

Side125af242

bemærkedevienpositiveffektpåklassensomhelhedgennemdendiskussion,derforegikigrupperneogdenefterfølgendeinstitutionaliseringiklassediskussionerne.PåOTGvalgteviderforatbenyttesammekombinationidennedelafprojektet,dogmedenlidtandenudformning.Iperiodenfraefterårsferienogfremtil1.decemberarbejde2.cmeddifferentialregning.Denneundervisningforegikhelttraditioneltmedenblandingafgennemgangafnytstof,træningsopgaverihånden,opgaverpåcomputeren(KhanAcademy,MapleogGeogebra)samtarbejdemedetprojekt.Enundervisningsplanfindesibilag20.Mensomnogetnytblevderhvergangarbejdetmeden”matematiseringsopgave”19.Herbleveleverneopdeltinyeogtilfældigegrupperpå4personerhvergang,ogderblevbrugtca.10‐15minigrupperneogca.5minpåfællesopsamlinghvergang.Detteindslagblevintroduceretforeleverne,efterdehavdehaftdetektionstest3,ogdetblevbegrundetmedklassensresultateraftesten.Iforbindelsemedtestenhavdeklassenfåetgennemgåetmodelleringscyklussen,ogdenneblevtrukketfremigenunderintroduktionenaf”matematiseringsforløbet”.Derudoverblevmodelleringscyklussentagetfremunderdenfællesopsamlingefterhveropgave,nårelevernehavdeinddragetandredelprocesserenddeto,somforløbethavdefokuspå(præmatematiseringogmatematisering).

AnalyseafmatematiseringsopgaverIdetteafsnitvilvianalyseredeopgaver,dererbenyttetiundervisningsforløbetpåOTG.Opgaverneerkonstrueret,sådebådegiverklassenindsigti,hvordandifferentialregningindgårivoresomverden,ogtrænereleverneinogleafmodelleringensdelprocesser,samtidigmedatopgavernefungerersominterventionfordeudvalgteeleverAogM.Ianalysenlæggesvægtpåpræmatematiseringogmatematisering,dererfokusområdernefordemål,dereropstilletforeleverne,menandredelprocesserindgåridenudstrækning,deerrelevanteforskabelsenafbegrebsbillederindenfordifferentialregning.Opgave1Bremselængde

Tegndataindietkoordinatsystem,ogforbindP(10;226)ogQ(15,297)medenretlinje. Hvadsigerhældningskoefficientenfordennerettelinjeombevægelsen? Givetskønoverbilenshastighedtilt=30s.Forløbetsførsteopgave,hvoreleverneendnuikkekendernogleformellebegrebsdefinitionerfradifferentialregning.Opgavenerstortsetmatematiseret,ogkernenerderforproblemløsningeniformafindtegningafrettelinjerogberegningafderes19ForyderligerebeskrivelseafopgaverneseafsnittetAnalyseafmatematiseringsopgaver.

Side126af242

hældningskoefficientsamtafmatematiseringitolkningenafhældningskoefficientenogskønnetafbilenshastighedenteniformaftangentenshældningellergennemsnittetaftosekanthældninger.Opgave2Affaldsproduktion

Hvormegetvardenårligeaffaldsproduktioni2007? Hvorstorvarvæksteniaffaldsproduktioni2004ogi2007?Opgavenermindrestilladseretendiopgave1.Opgavenskerneermatematiseringen,hvoreleverneforventesselvatindtegnepunkterne,tegneen”bedstegraf”(punkterneliggerikkepåentypegraf,dekenderiforvejen)ogaflæseenfunktionsværdisamttotangenthældninger.Alternativttiltangenteni2004,kangennemsnittetafsekanthældningernefra02‐04og04‐06findesogsekanthældningenfra06‐08beregnes,nården”bedstegraf”gennempunkterneantyder,atdissehældningerliggertætpåtangenthældningerne.Opgave3HegnEnlandmandskalhaveindhegnetetrektangulærtområdetilsinekalve.Hanhar200mhegn. Hvilkedimensionerskalindhegningenhave,foratkalvenefårmestmuligpladsatgræsse

på? Kanmanforestillesigenform,dergiveretstørreareal?Hvilket?Enopgaveioptimeringsomeleverneendnuikkeharstiftetbekendtskabmed.Differentiationerikkenødvendig,idetarealfunktioneneretandengradspolynomium,somharmaksimumitoppunktet,derkanfindesvedindsættelseienformelellergrafiskifxGeogebra.Opgavenskerneermatematisering,hvoreleverneskalkunneopstilledetoligninger,derbeskriverhhv.sammenhængenmellemområdetslængdeogbreddeogområdetsareal.Dernæstskalderredegøresfor,atderfindesetstørstmuligtareal.Isidstedelafopgavenundersøgeseleverneskendskabtilarealetafandregeometriskeformer.Opgave4HegnlangsåLandmandenbeslutteratlaveindhegningentilkalvenelangsenå,såhanikkeskalbrugehegnpådeneneside. Hvilkedimensionerskalindhegningennuhave,foratkalvenefårmestmuligpladsat

græssepå?

Side127af242

Kanmanatterforestillesigenform,dergiveretstørreareal?Hvilket?Indholdetidenneopgavesvaretildeniopgave3.Imatematiseringsprocessenskalderblottageshensyntildenyekonditioner,nemligatdetkunernødvendigtatsepå3siderafområdet.Opgave5SodavandsafkølingEnsodavandtagesudafetkøleskabet.Udenforkøleskabeterder22grader.Hvorhurtigtstigersodavandenstemperatur?(Angivblotetudtrykellerlavenskitsederviserforløbet).Opgavenskerneerpræmatematiseringogmatematisering.Præmatematiseringenforegårvedatredegørefor,hvaddersker,nårensodavandtagesudafkøleskabetoglangsomtvarmesop,indtildenstemperaturnærmersigomgivelserne.Daomgivelserneermegetstørreendsodavanden,vilmanreeltikkeopleveennedkølingafrummet.Sodavandenstemperatureraltsåproportionalmedforskellenmellemsodavandstemperaturogrumtemperaturen.Imatematiseringenskalderformuleresetudtryk,derafspejlerdenneproportionalitet,ellerderskaltegnesen(t;T)‐graf,somviser,attemperaturenførststigermegetfordernæstatfladeud,nårmannærmersigrumtemperaturen.Opgave6EpidemiVivilhersepåhvordanenepidemiudviklersigienbefolkning. Overvejhvadderharbetydningfor,hvorhurtigtepidemienudviklersig,oggørredeforde

antagelserogforsimplingerIgørjer. Lavenfigurog/elleropskrivetudtryk,derfortæller,hvordanepidemienudviklersig,dvs.

medhvilkenhastighedantalletafsygepersonerstiger.Opgavenerafsammetypesomopgave5.Kernenerpræmatematiseringogmatematisering.Ipræmatematiseringenskalelevernegøreredefor,hvordanensygdomspredersig,vedatsygepersonermøderraske.Hertagermanikkehensyntil,atdesygebliverraskeigen,eventueltkannævnes,atnårmanførstharværetsyg,blivermanikkesmittetmedsammesygdomigenumiddelbartefter,atmanerblevetrask.Imatematiseringenskaldetteformuleressometudtryk,derviser,atvækstenisygepersonerbådeerproportionalmed,hvormangesygeoghvormangeikke‐sygepersoner,dereribefolkningen.HermåindføresbetegnelsersombefolkningensstørrelseKogantalsygeS.Alternativtkandertegnesenlogistiskvækstkurvemedtidenudafx‐aksenogantalsygeopady‐aksen.OpgaveomregnmålerEnregnmålererenbeholder(ogengeometriskfigur),hvorimanopsamlerregnvand.Påsidenerplaceretenskala,somviserhvormangemmregn,dererfaldet.

Side128af242

Billedetviserregnmåleren”CONE”. Hvorhøjtskalvandetståiregnmåleren,foratden

erhalvtfyldt?

Overvej(ognedskriv)hvilkeantagelsermanmågøresigomregnmålerensformforatkunnebesvareovenståendespørgsmål.Skalmanfxvidehvorhøjregnmålerener?hvor”spids”dener?ellerhvormegetvanddenkanindeholde?

OpgavenerinspireretafNiss(2010),hvormanfinderenanalyseafhelemodelleringscyklus.Idenneopgaveerfokusiførsteomgangpræmatematiseringiformafhvilkeoplysningermanhar,ogommanernødttilatantagenogle.Derudovererkerneniopgavenmatematiseringen,dvs.opstillingenafdeudtrykforrumfang,sommanopnårvedattegneetsnitgennemkeglenogindføresymbolerneHogRsamthogrforhøjdeogradiusihhv.denfyldteogdenhalvtfyldteregnmåler.Dernæstforventeseleverneatgennemgåproblemløsningen,såforholdetmellemhogHkanbestemmes.

ObservationerundermatematiseringsforløbetpåOTGVedforløbetsbegyndelsevardetmegettydeligt,atelevernevarusikrepå,hvaddethelehandledeom.Situationennærmersigetbrudpådendidaktiskekontraktformatematikundervisningeni2.c.Eleverneharprøvetatarbejdemedåbneopgaveriforbindelsemedmatematikprojekter.Mendeharikketidligerearbejdetmedheltukendteproblemstillingerafdenneslagsundertidspres.10‐15minuttererikkeretlangtid.Underprojektarbejdetharmantypisk1‐2lektioneradgangentilatfordybesigienproblemstilling,manerforberedtpå.Undervejsvarderflereogflereforudsætninger,someleverneselvskulletagestillingtil.Iopgavenomepidemi,vardetikkegjortklart,hvaddermentesmed”enbefolkning”,hvadderførtetilatengruppearbejdedemedklassen,enandenmedenlandsbyogentredjemeddendanskebefolkning.Allegrupperhavdedogfornuftigeovervejelseromforsimplingerogantagelser.Elevernebrugtehinandenmegetidiskussionen,ogstortsetalleeleverhavdenogetatbydeindmed.Nårmansomlærergikrundtoglyttede,varderingenelever,derikkehavdeidéer,mendervarendel,deriblandtdeudvalgteelever,somtydeligtmangledeomverdensforståelseogsomfølgeherafhavdesværtvedatse,hvilkentypematematik,derskulleisving.Dehavdemedandreordvanskeligtvedatudøveiværksatforegribelse.

Side129af242

Enmegetvæsentligobservationvar,atelevernefortrakatanvendegrafiskefremstillingsformerikombinationmedtekst,ogatdesåvidtmuligtundgikatopskrivesammenhængesymbolsk.Mangeafopgaverne”hængersammen”toogto,idetdeomhandlersammeproblemstillingogkanmatematiserespåsammemåde.Herkunnemanobservere,atdetalleredevedandenopgavegikvæsentligbedreendveddenførste,ogatfleregrupperforsøgtesigmedensymbolskmatematiseringher,nårdehavdesetnogetlignendetidligereidenklassediskussion,somafsluttedehveropgave.Deteraltsåtydeligt,atelevernemanglermetoderogværktøjertilatmatematisere,menatdetkanlæres,nårmanharfokuspådetiundervisningen.Sometkonkreteksempelsesherudklipafdenbesvarelse,somelevA’sgruppelavedeafopgavenomregnmåleren.Førstovervejedegruppen,hvadopgavengikudpå:

Figur27A’sgruppesførstetankeromenløsning

Iførsteomgangforsøgtegruppensigmednoglesymbolskeudtrykforkendtesammenhænge,oghernæstlavededeenskitseafettværsnitafregnmålerenogsattedesymbolerpå,somdehavdebrugtiformlerne:

Side130af242

Figur28aA’sgruppesforsøgpåløsning

Figur28bA’sgruppesforsøgpåløsning,illustration

Dadetteikkeførtetilmålet,besluttededesigforatprøvemedetkonkrettaleksempel:

Figur29A’sgruppesforsøgpåløsningmedkonkrettaleksempel

Side131af242

Dettefungeredehellerikke,mengruppenvardogkommetgodtigangmedopgaven.Detdemangledevar,atfindeendnuensammenhængmellemdeubekendte,ogherskullebetragtningeroverligedannedetrekanterinddrages.Desværrevardetteikkeenmetode,somelevernehavdearbejdetsåmegetmed,atdenvarblevetendelafderes”værktøjskasse”ogprocessensluttedeiførstegangher.Derskulledogikkemegetvejledningtil,førgruppenvaristandtilatarbejdevideremedproblemetogkommefremtilenfornuftigløsning.Mankandogovervej,omopgavenikkevarsåtekniskkrævende,atdetforhindredematematiseringen,ogdenderforbørmodificeres.Desværreerdetteenproblemstillingvioftemøderiundervisningssammenhæng.Kravenetileleverneeridagsåmangfoldige,atdetitkankommenogetafvejen,menharsværtvedatkombinereemnerogmetoder,fordiderikkeertidnoktildentræning,derskaltilforatmatematikforståelsenkondenseres.Resultateter,ateleverneharengodfornemmelseaf,hvilkenvejdeskal,mendekanikkekommehelevejenigennemtildetfærdigeresultat.

Harforløbetvirket?

DenafsluttendesamtaleForatundersøgeomdeudvalgtesvageelevervarblevetbedretilatmatematisere,fikdevedforløbetsslutningfemopgavermedproblemstillingerafsammetypesomdem,dehavdemødtidetektionstest3ogimatematiseringsforløbet.Opgavetypersomdehavdehaftproblemermed.Opgavernefindesibilag21.Foratudnyttetidenbedstmuligt,vareleverneblevetbedtomatbrugeca.entimepåopgavernepåforhånd,ogdetteskulleforegåALENE.Demåttealtsåikkediskutereopgavernemednogen.Dernæstmødtesdetoelevermeddereslærer(Schou),somsadogobserverede,menselevernediskuteredederesbesvarelse.Deblevikkebedtomatoverbevisehinandenom,atderessvarvardetrigtigemenderimodomtilsammenatfindedenbedsteløsningpåopgaven.FormåletmeddenneøvelsevaratgiveMogAmulighedforatvise,atdetilsammenkunnekomme(næsten)helevejengennemopgaverne,hvilketdevarretsikrepå,atdekunne.Derudovergavdetosmulighedenforatobservereelevernesindbyrdesdiskussion,derbelyserandreaspekterafderesovervejelser,endnårdeforklareenbesvarelsefordereslærer.Efteratværekommetfremtilenfællesløsning,blevdennepræsenteretforlæreren,dergavresponsogstilledespørgsmål,hvoreleverneentenikkevarkommetfremtilenløsningellerhavdeangrebetproblemetforkert.Elevernesindividuelleløsningerblevligeledesinddragetidiskussionen.Tilslutblevelevernebedtomderesmeningomdelsmatematiseringsforløbetogdelssamtalerne.

Side132af242

AnalyseafelevernesbesvarelseDetførstemanbemærker,er,atelevernevarblevetmegetmereopmærksommepåatgennemlæseopgaven,ogforståhvadderskullelaves.HeltkonkretvarMbegyndtatsættestregunderdevigtigsteord,oghanfortalte,hvorforordenevaressentielle,oghvaddefortalteham.Fxhavdehaniopgave1understregetordethøj,ogdetfortalteham,athanskullefindeenlængdeogdenskulleværeimeter.Imodsætningtildetektionstest3havdebeggeelevermegetmere,atbydeindmednu.Hverhavdeenopgavesomdeikkekunnekommeigangmed.Mvidsteikkehvadopgave2gikudpå,ogAgavopoverforopgave5.Ideeksemplerpåelevernesbesvarelser,dersesnedenfor,erderesrettelserogandrenoter,derkompåundersamtalen,skrevetmedrødt.Foratkunnefølgedenenkelteelevsudvikling,harvivalgtatbenytteklipfraderesindividuellebesvarelseristedetforfraderesfællesbesvarelsefrasamtalen.Iopgave1benyttedebeggeeleversammemetodesomidetektionstestensopgave5medvurderingafhushøjde.Mvalgteatbrugepersonernepåbilledet,skønthanbemærkede,atdetikkevargodt,atdestodetstykkeframuren.Anævntesomdetførste,atdenpersonskullebrugesommålestokmed,skulleståheltopadmuren.Hunmentedog,atmanstadigmåttetagehensyntilperspektivetvedatmåle,hvorlangtvækmanstod,nårmansåpåmuren.

Figur30M’sbesvarelseafopgave1fraafsluttendeopgaver

Opgave2omhandledeuendelighedsbegrebetog”grænseværdier”,somMbemærkede,dalærerenidenefterfølgendesamtalefortalteomZenonsparadoks.Ahavdegrebetopgaven

Side133af242

meget”fysisk”an,ogantoghvorlangtløbetvar,ogmedhvilkenhastighedmandogskildpaddeløb.Derfrafandthunudaf,hvorlængehverdeltagervaromløbet,ogdermedhvemdervandt.Metodenvarkorrekt,menantagelsernevarurealistiskeogberegningernevarfejlbehæftede.Dervardogsketetmegetstortfremskridtiforholdtildetektionstest3hvadangårmodetpåatkommeigangmedatgørenogetfornuftigt.

Figur31A’sbesvarelseafopgave3fraafsluttendeopgaver

Opgave3indeholdtelementerafopgaverneompizzaenogterningen.Denneopgavelavedebeggeeleverrigtig,bortsetfraatAlæsteradiussomendiameterogderfordeltemed2.Dettekanskyldesenukritiskgentagelseafdenløsning,derblevdiskuteretunderdetektionssamtalen.SeA’sforklaringpåfigur31.Problemstillingeniopgave4havdeelevernemødtimatematiseringsforløbetogunderinterventionen.Dennegangvarderimidlertidtaleomnegativogikkepositivvækst.Elevernevarstortsetenigeomløsningen,somsesfigurerne32aog32b.Mtegnerden(matematisk)korrektegraf,hvorimodAuddybedesinfigurmedatredegøreforatdersketeforskelligetingibegyndelsensomfxmanholdtkrusetihånden,sådetikkekøledesåhurtigtned.Derforgikderlidttidindenden”rigtige”afkølingbegyndte.Desudenbemærkedehun,attemperaturenilokaletjosåmåtteblivelidtvarmere!Mhavdeikkesatensluttemperaturpå,mendahanblevspurgt,såhanitekstenogkommenterede:”Hunsidderogarbejder,såerhunnokietrumellerenstue,ogsåsigervi24‐25grader.”Dissedetaljer,varderingenafeleverne,dertidligerehavdetænktpå.

Side134af242

Figur32aA’sbesvarelse Figur32bM’sbesvarelse

Skøntderibådeinterventionenogmatematiseringsforløbetsamtidendagligeundervisningvarblevettaltmegetomdifferentialregningiformafsekanterogtangenter,vidsteAikke,hvadhunskullegørevedopgave5.Mderimodvarheltklarovergennemsnitsaccelerationen,skønthanikkemente,atmankunnemedtagebegyndelsenafintervallet,”fordervarjoingenacceleration”.Hanhavdelavetandendelafopgavenpåsammemåde,mensåstraks,athanjoogsåderhavdelavetetgennemsnit.Medlidthjælpkomelevernedogigangmedattegnegrafenogfindeentangentidetrigtigepunkt,foratfindeøjebliksaccelerationen.Hererderstadigetstykkevej,førdeselvkankommeigennemopgaverafdennetype.

Side135af242

Figur33M’sbesvarelseafopgave5fraafsluttendeopgaver

Samtalenblevafsluttetmedengenerelevaluering.Beggeelevervarmegetpositive,ogdevarparatetilatydeenekstraindsats,hvisdekunnefålovtilfortsættei”projektet”,ogsåselvomdetofficieltstopperher.ElevAhavdetaltmedelevI,somdeltogiDEL1ogDEL2,omatdealletresomgruppe,gernevilleblivevedmedatdeltageisamtaleromopgaver,påsammemådesomdehavdegjortdethidtil.DetvarnogetoverraskendeidetAogIikketildagligharmegetatgøremedhinanden.Beggeeleverfølte,atdekunnemærke,atdervarsketnogetideresopfattelseafegneevner.Mudtryktedetsåledes.”Jegtørgodtsigenogetiengruppenu,ogsåselvomjegikkeerheltsikkerpå,atdeterrigtigt.Forjegersikkerpå,atnogetafdet,jegsiger,erlidtrigtigt.”OmvendtvistedenafsluttendesamtaleomdesammefemopgavermedeleverneSogCpåCPHWest,atderingenudviklingvarsketmeddetoelever,dervedforløbetsbegyndelsevarpåsammeniveausomelevernepåOTG.Matematiseringsforløbethavdealtsåhafteneffekt.

Side136af242

Detektionstest3Idettedennedelharvi,somidetidligere,anvendtentest,herkaldetdetektionstest3.TestenerudarbejdetafMogensNissogUffeJankvistmeddetformål,atkunnevurdereelevernesevnetilatmodellere.Dervaroprindeligt13spørgsmål,menvitilføjedeetekstraforatundersøgeelevernesevnetilatvurdererækkeviddeforogvalideringafmodellen.Spørgsmåleneitestenvarmegetforskellige,menallespørgsmåltogudgangspunktihverdagssituationer.Manforventedederforetvistforhåndskendskabtilproblemstillingerne,ogdettevillehjælpeelevernemedatsvarepåspørgsmålene.Detvistesigdog,atformangeelevergavdetikkenødvendigvisenafklaringpåspørgsmålet.Enstørregruppeeleverhavdesværtvedatfindematematikkeniopgaverneogbrugtemerederesintuitionendmatematikken,nårdesvarede.Dehavdeendvideresværtvedatbegrundesvaret.Vibemærkede,atidespørgsmål(3,6,8og12)hvoreleverneskulleforholdesigtiltomodeller,gikdetoftegalt.Derimodvarderandrespørgsmål(9,10og13),hvordervarindsatgrafiskeillustrationer,oghervareleverneilangtstørreudstrækningistandtilatsvarekorrekt‐enddamedenbegrundelse.Mankanderforoverveje,omflereopgaveritestenkanillustreres,ellerommaniopgavenkanbedeelevernelaveenillustration,somkanbringedempåvejmodenbesvarelse.Nogleafdeelever,derklarersigdårligt,varikkeeristandtilatlæseogforståenlængeretekst.Dettesåstydeligstispørgsmål12,somermegetlangtogsværtforståelig.Hervardermange,somheltundlodatsvarepåspørgsmålet.Manskalderforiensådantestværeklarover,atdetikkenødvendigvisermatematikkenmantester.Nogleeleverkommeraldrigdertil!Testresultaternetydedepå,atsvageeleverharproblemeroveraltimodelleringscyklussen.Formiddeleleverneerdetprimærtindenforpræmatematiseringogmatematisering,derervanskeligheder.Viskaldogværeopmærksommepå,atikkealledelprocessererligevelrepræsenteretVivilforeslå,atdertilføjesetparopgaverderinddragervalideringogrækkeviddeafmodeller.Konklusionener,atdetektionstest3bestemteretredskab,derkanbenyttestilatidentificereelever,somharproblemermedatmodellereimatematik.Testengiverendvidereenindikationaf,hvorimodelleringscyklussendetgårgalt.

LæringsfindingsArbejdetmedprojektetharhaftstorbetydningforvoresfremtidigevirkesåvelsommatematikvejledersomunderviser.

VejlederrollenDetervoresopfattelse,atvisommatematikvejlederikkevilfåhenvistelever,somharproblemermedderesmodelleringskompetence,ligesomviikkefårelever,derharproblemermedderesræsonnementskompetence.Mensomvikanseisammenstillingenafdetredetektionsstests,vildeelever,derharsværtvedmodelleringofteogsåhaveproblemermed

Side137af242

båderæsonnementerogalgebra.Vibørderforindtænkesåvelbrugafræsonnementersommodelleringiarbejdetmeddeelever,derbliverhenvisttilenmatematikvejledermedproblemerindenforalgebraogtalforståelse.Vivednu,atdisseeleveroftevilhavegenerelleproblemerimatematik.Detteskalundersøgesidiagnosticeringsfasen,såderkansættesindpåflerefelterforathjælpedem.Viser,atnogleafdesvageeleversamtidigharproblemermeddereslæse‐ogskrivefærdighederogderforbørhjælpesafenlæse‐ogskrivevejledersamtidig.Fordeelever,somkunharproblemermedatlæseentekstmedmatematiskindhold,vildetværematematikvejlederen,derskalinddragesforathjælpemedteknikkertilatfåtrukketde(imatematik)vigtigeinformationerudafteksten.Somviharset,ermodelleringnoget,derikkekommerafsigselv,menkræversystematiskarbejde.Vivilforeslå,atalleklassertestesindenformodelleringogpåbaggrundafresultatet,børlærereneventueltigangsætteetforløb,derkanafhjælpeidentificeredeproblemer.Herkanmatematikvejledereneventueltværebehjælpeligmedinspiration.Ideklasser,hvorderkunerfåelevermedvanskelighederimodellering,vilvejlederenkunneforetageenegentligdiagnoseoginterventionoverfordesvageelever.

DidaktiskekonsekvenserOvenståendebetragtningervedrørerdirektevoreskommendevirkesommatematikvejledere.Menherudoverharprojektetogsåafdækketaspekterafunderviserrollen,somviikketidligerevarbevidsteomogsombørundersøgesyderligere.Enudfoldningafdisseaspektervilføretildidaktiskekonsekvenserfordenmåde,viplanlæggerogudførerundervisningenpå.Viharset,atforskelligemodelleringsaktiviteterførertilopnåelseafdefagligemålfxtankegangskompetencen,somdetersværtatopnåpåandenvis.Detkræverdog,atmanlæggervægtpådedeleafmodelleringscyklussen,derunderstøtterpræmatematiseringogmatematisering,ogdissedelprocesseropfattestitsom”besværlige”eller”tidskrævende”,hvorformanundgårdem.Ønskermanatarbejdemed(oghavemulighedforatevaluere)dissefagligemål,måmanaltsågiveelevernetidtilatarbejdemeddissedeleafmodelleringen.Istyredokumenternelæggermanvægtpå,ateleverneskalhavemedindflydelsepåundervisningenbådeiforholdtilindholdogarbejdsformer.Mangematematiklærerefinderdetvanskeligtatinddrageeleverneisæriforholdtildetfagligeindhold.Mengennemaktivmodelbygningerdetmuligt,atinddrageområder,derinteresserereleverneogskabermotivationforatopnådefagligemål.Somviharset,harunderbyggelse,begrundelseogargumentationstorbetydningsåveliaktivmodelbygningsomivalideringafandresmodeller.Valideringogevalueringafmodellerafhængerkraftigtafdebegrundelser,hvorpådeerbygget.Disseaspekterstøtteropomdenklassiskebevisførelse,hvorforudsætningerogbegrundelsererendelafdetunderlagbevisførelsenhvilerpå.Idendagligeundervisninglæggesderimidlertidikkealtidvægtpådisseforudsætninger,hvisabstraktenaturgørdemsværeforeleverneatforstå.Herkantilsvarendeovervejelseriforbindelsemedmodellering,derisagensnaturerlangtmere

Side138af242

konkret,væreenmådeatfåelevernetilatacceptere,atdisseforudsætningerharenvigtigplads.Dererderforfleregrundetilatinddrageallemodelleringensdelprocesserimatematikundervisningen.Endeligharvilærtafdestrategier,dedygtigeeleverbenytter.Hervardetspecieltvigtighedenafathaveetstørreantalforskelligebegrebsbillederatkunnebringeispil,derharinspireretosiundervisningen,hvorviermegetbevisteomatbrugemangeogvarieredebillederogrepræsentationerafmatematiskebegreber.

FindingsDevæsentligsteopdagelser,derkanuddragesafvoresarbejdemedmodelleringer:- Resultaternefordetredetektionstestsfølgesad:klarermanéntestdårligt,vilmansom

oftestklaredeøvrigetestsdårligt.

- Det,dergørenelevistandtilatmodellere,afhængerisærafhvorvidtmanharenbredomverdensforståelse,eribesiddelseafmangeoggodematematiskebegrebsbilleder

- Enveludvikletsymbol‐ogformalismekompetencenødvendigforatkunneudføreægte

modellering.

Diskussion

OverførselafdygtigeeleversmodelleringsstrategiertilelevermedlæringsvanskelighederIanalysenafdedygtigeeleversmådeatgribeopgaverneanpå,fikvihurtigtfokuspåderesbrugafbegrebsbilleder.Dettekanhaveafholdtosfraatbemærkeandrestrategier,kendetegnendeforelever,dererdygtigetilatmodellere.Fxderesmådeatlæseentekst,gribeopgavenanpå,vurdereresultaterosv.Viobserveredeogså,atelevernehavdegodesymbol‐ogformalismekompetencer,ogatdevarbevidsteogvidendeomdenverden,deleveri.Sidstnævnteharensammenhængmeddannelseafbegrebsbilleder.Manharsimpelthennemmerevedatsættebillederpåting,manvednogetom.Ideførstedeleafprojektetharsymbol‐ogformalismekompetencenogsåspilletenstorrolle,sådeteretområde,vialleredeeropmærksommepåatinkludereimatematikvejledningen.Vikanobservere,atdetgårfremad,menatdeteretområde,hvoreleverneskaløvesigigenogigen.Derimodvarelevernesbrugafbegrebsbilledernoget,viikkeharværetsåopmærksommepåtidligere.Detteblevderforetfokuspunktivejledningenunderdennedelafprojektet,ogsomobservationerogeksemplerfradenafsluttendesamtaleviser,erdetmuligtatvideregivedennestrategitilsvageelevermedenvissucces.Voreserfaringermedde

Side139af242

dygtigeeleverfårostilatoverveje,atinddragedereskompetencerogtilgangetilatarbejdemedmodelleringsomendelafundervisningendvs.baseredeleafundervisningenpå”peer”‐undervisning.Idetteprojektharvifungeretsom”mellemled”mellemdedygtigeeleverogelevermedlæringsvanskeligheder,såbrugenafpeersbørundersøgesyderligere.Elevernesbrugafbegrebsbillederafhængernaturligvisaf,atdeharbilleder,derkanaktiveres.Mendeterikkenok,atviblot”giverdemmulighedfor”atdannebilleder.Detkræverogsåtræning.Fordygtigeelever,gårdetheltafsigselv,mendesvageskallæredet,ogdettebørindgåidendagligeundervisning.Detbørudviklesopgaverogforløb,dertrænerelevernesbevistebrugafbegrebsbilleder.Endviderevildetværeinteressantatundersøgenærmere,ombrugenafbegrebsbillederbegrænsersigtilmatematik,ellerommanmedfordelogsåkanbenytteiandrefag.

KlassebaseretinterventionogsociomatematiskenormerViharalleredeiDEL2set,atmanvha.enklassesmatematikforestillingerkanplanlæggeetforløb,dertagerudgangspunktideidentificeredeeleversdiagnoser.Tagermanikkehensyntilklassensmatematikforestillinger,ogplanlæggerfxetgruppearbejdemedefterfølgendeklassediskussionforenklasse,hvoreleverneikkeertryggevedhinanden,bliverlæringsudbyttetikkesåstort.Idetteprojektlodvideneneklasseogdermedogsådeidentificeredeelever(påOTG)deltageietmindrematematiseringsforløbvedsidenafdendagligeundervisning,mensdeidentificeredeeleverpåCPHWestkunmodtogvejledninggennemsamtaler.Herblevdetmegettydeligt,atdervarmegetstorforskelpå,hvorgodtvejledningenfungeredeidetelevernepåCPHWeststortsetikkeforbedredederesresultaterimodsætningtilelevernepåOTG.Matematiseringsforløbetbestodafetkortgruppearbejdeihvertmodulmedefterfølgendeinternalisering.Dervaraltsåikketaleomundervisning.Herafkonkluderervi,atbrugenafdennetypeafklassebaseretinterventionihøjgradharbidragettilelevernessuccesmedatoverkommelæringsvanskeligheder.

KonklusionGenstandsfeltetfordennedelafprojektetharværetmodelleringmedvægtpåpræmatematiseringogmatematisering.Vedhjælpafdetektionstest3vistedetsigmuligtatidentificere,hvorvidtelevervardygtigeellersvagetilmodellering,ogdetvarligeledesmuligtatidentificerehvilkedelprocesser,dervoldtedestørsteproblemer.Viharset,atelever,dererdygtigetilatmodellere,harnoglefællestræk.Deerisærlighøjgradistandtilatsættebillederpådenmatematiskevirkelighed,indenforhvilkendeskalagere.Dissebilledererfordedygtigeeleverenheltnaturligdelafdetatarbejdemedmatematik,ogdeterikkenødvendigtfordematanskueliggøredemikonkretform.Denindrevisualiseringertilstrækkeligforatløseproblemet.Disseeleverbesidderendvidereenveludvikletsymbol‐ogformalismekompetenceogbremsesikkeiproblemermedalgebra.Desvageeleverharderimodtypisksvagebegrebsbillederogskalhjælpestilatskabebrugbarebilleder,derkanhjælpedemmedatforståproblemetogbehandledetpåfornuftig

Side140af242

vis.Vihavdeienvisudstrækningheldtilatoverførededygtigeeleversstrategiertildesvageelever.Endeligsåvi,atdetharmegetstorbetydning,ateninterventionmedsamtalerfølgesopogunderstøttesafetforløbforheleklassenmedetbestemtfokusindenformodellering.Herarbejdedeviintensivtmedmatematisering,mendettevilkunneerstattesafandredelprocesserimodelleringscyklussen.

Side141af242

LitteraturlisteBalacheff,N.(1991).TheBenefitsandLimitsofsocialInteractions:TheCaseofmathematicalProof.Dordrecht,TheNetherlands:Kluwer.BEK.nr.200,(1987).Bekendtgørelseomenforsøgsuddannelsetilhøjeretekniskeksamen,https://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?=id=73380BEK.nr.462,(1995).Bekendtgørelseomdenerhvervsgymnasialeuddannelsetilhøjeretekniskeksamen,https://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?=id=73081Bogdan,R.J.(1986).TheImportanceofBelief.NewYork:OxfordUniversityPress.EVA(2005)Køn,karaktererogkarriere–Drengesogpigerspræstationeriuddannelse.DanmarksEvalueringsinstitutEVA(2012)FællesMål.EnundersøgelseaflærernesbrugafFællesMål.DanmarksEvalueringsinstitut.EvalueringerUVM.EvalueringafMatematikApåhtx,http://www.uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale‐uddannelser/Proever‐og‐eksamen/Evaluering‐af‐gymnasiale‐eksaminerGilbert,D.T.(1991).HowmentalSystemsbelieve.AmericanPsycologist,46(2).Grugeon‐Allys,B.etal(2012)Developmentanduseofadiagnostictoolinelementaryalgebrausinganonlineitembank.http://lutes.upmc.fr/delozanne/Publi/Publi2012/ICME12%20‐Lingot.pdf,Gyldedal(2013).Denstoredanske,Gyldendalsåbneencyclopædi.Hanna,G,(1990).SomePedagogicalAspectsofProof.Interchange,Vol.21,No.1(Spring1990),6‐13Harel,G.&Sowder,L.(2007a).TowardComprehensivePerspectivesonLearningandTeachingofProof.SecondHandbookofReasearchonMathematicsTeachingandLearning.Harel,G&Sowder,L(2007b).HowmentalSystemsbelieve.AmericanPsycologist,46(2).Hjemsted,K.&Pihl,B.P.(2005)Pigerogmatematik.MasteropgaveiGymnasiepædagogik,SDU.

Side142af242

Kieran,C,(2007).LearningandTeachingAlgebraatMiddleSchoolthroughCollegeLevels:BuildingMeaningforSymolsandtheirManipulationUniversitédyQuebecàMontreal.SecondHandbookofResearchonMathematicalTeachingandLeaning.EditedbyFrankKLesterJR.NationalCouncilofTeachersofMathematics.Michelmore,M.&White,P.(2004).TeachingmathematicalConcepts:InstructionforAbstraction.RLICME10.Niss,M&T.H.Jensen(2002)Kompetencerogmatematiklæring.Ideeroginspirationtiludviklingafmatematikunder‐visningiDanmark.Redaktion:MogensNissogTomasHøjgaardJensen,RUC.Uddannelsesstyrelsenstemahæfteserienr.18‐2002.UVM2002.Niss,M(2010).ModelingaCrucialAspectofStudents’MathematicalModeling,chapter4iModelingStudents’MathematicalModelingCompetencies,SpringerScience+BusinessMedia.Niss,M.(2013a).SlidesfraInternat2Niss,M.(2013b).SlidesfraInternat3Niss,M.(2013c),Analyseafdetektionstest3Niss,M.,W.Blum&P.Galbraith(2007).Introduction.InW.Blum,P.L.Galbraith,H.‐W.Henn&M.Niss,M.(Eds.)Modellingandapplicationsinmathematicseducation.The14thICMIStudy(pp.3‐32).NewYork:Springer.Op’tEynde,P.,deCorte,E.&Verschaffel,L.(2003).FramingStudents’Mathematics‐relatedBeliefs.PekhonenE.&TørnerU.(1996).OntheStructureofmathematicalBeliefsSystems.ZentralblattfürDidatikderMatematik4.Scheffler,I.(1965).ConditionsofKnowledge:AnIntroductiontoEpisteomologyandEducation.Chicago:ScottForesmanSchmidt,L.H.(1997)Afmagtenerdengrundlæggendekategoriitilværelsen.Drengeneogpigerne.Schoenfeld,A.H.(1985).Students’BeliefsaboutMathematicsandtheirEffectsonmathematicalPerformance:Aquestionnaireanalysis.Chicago,Illinois.

Side143af242

Schoenfeld,A.H.(1989).ExplorationsogStudents’MathematicalBeliefsandBehaviour.JournalforResearchinMathematicalEducationVol.20.No.4.Schoenfeld,A.H.(1992).Learningtothinkmathematically:Problemsolving,Metacognition,andSensemakinginMathematics.SecondHandbookofReasearchonMathematicsTeachingandLearning.Sfard,A.(1991).OntheDualNatureofMathematicalConceptions:ReflectionsonProcessesandObjectsasdifferentSidesofthesameCoin.EducationalStudiesinMathematics22:1‐36,KluwerAcademicPublishers.Skemp,R.R.(1976).RelationalUnderstandingandInstrumentalUnderstanding,MathematicsTeaching,77,20‐26.Skemp,R.R.(1979).GoalsofLearningandQualitiesofUnderstanding.MathematicsEducationResearchCentre,UniversityofWarwick.Spinoza,B.(1982).TheEticsandselectedLetters.Indianapolis,INHackett.Tall,T.&Vinner,S.(1981).ConceptImageandConceptDefinitioninMathematiswithparticularreferencetoLimitsandcontinuity,EducationalStudiesinMathematics,12,151‐169Underhill,R.(1988).MathematicsLearners’Beliefs:AReview.FocusonLearningProblemsonMathematics,10.Yackel,E.&Cobb,P.(1996).SociomathematicalNorms,Argumentation,andAutonomyinMathematics.JournalforResearchinMathematicsEducation,Vol.27,No.4,pp.458‐477UVM(2009a)FællesMål2009‐Matematik,Faghæfte12,Matematiskeemnerhttp://uvm.dk/Service/Publikationer/Publikationer/Folkeskolen/2009/Faelles‐Maal‐2009‐Matematik/Trinmaal‐for‐faget‐matematik‐efter‐9‐klasse/Matematiske‐emnerUVM(2009b)FællesMål2009‐Matematik,Faghæfte12,Faglig‐didaktiskeområderhttp://uvm.dk/Service/Publikationer/Publikationer/Folkeskolen/2009/Faelles‐Maal‐2009‐Matematik/Undervisningsvejledning‐for‐faget‐matematik/Faglig‐didaktiske‐omraaderUVM(2010a)Htx‐bekendtgørelsen,bilag21https://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=132640#B21UVM(2010b)Htx‐bekendtgørelsen,bilag22https://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=132640#B22

Side144af242

UVM(2013a)LæreplaniMatematikA,htxhttps://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=152550#Bil21UVM(2013b)VejledningiMatematikA,htxhttp://uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale‐uddannelser/Studieretninger‐og‐fag/Fag‐paa‐htx/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF13/130814%20HTX%20Matematik%20A.ashxUVM(2013c)LæreplaniMatematikB,htxhttps://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=152550#Bil22UVM(2013d)VejledningiMatematikB,htxhttp://uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale‐uddannelser/Studieretninger‐og‐fag/Fag‐paa‐htx/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF13/130814%20HTX%20Matematik%20B.ashxUVM(2013e)LæreplaniStudieområdet,htxhttps://www.retsinformation.dk/Forms/R0710.aspx?id=152550#Bil2

Side145af242

OversigtoverbilagBilag1Detektionstest1.........................................................................................................................................146 

Bilag2Detektionstest1–fordeltpåkategorier.........................................................................................150 

Bilag3Testresultater..............................................................................................................................................154 

Bilag4Uddybendetest..........................................................................................................................................155 

Bilag5Evaluerendetest........................................................................................................................................158 

Bilag6Detektionstest2.........................................................................................................................................159 

Bilag7Detektionstest2,samlederesultater................................................................................................163 

Bilag8Taksonomiifm.Bevisskemaer.............................................................................................................164 

Bilag9Skabelontiltransskriptionsskemaer................................................................................................165 

Bilag10Spørgeskema,matematikopfattelse...............................................................................................166 

Bilag11Opgaveriræsonnementer..................................................................................................................167 

Bilag12Afsluttendetestomræsonnementer.............................................................................................175 

Bilag13Hurtigskrivningsøvelse........................................................................................................................179 

Bilag14Transskriptionafelevsamtaler........................................................................................................180 

Bilag15Detektionstest3......................................................................................................................................195 

Bilag16Detektionstest3,samlederesultat..................................................................................................201 

Bilag17Interviewmedfireelever,derklaredesiggodtitesten........................................................205 

Bilag18Interviewmedfireelever,derklaredesigringeitesten......................................................212 

SamtalemedelevA,OTG..................................................................................................................................212 

SamtalemedelevM,OTG.................................................................................................................................217 

SamtalemedElevC,CPHWest......................................................................................................................220 

SamtalemedElevS,CPHWest.......................................................................................................................224 

Bilag19Samletresultatfradetredetektionstest......................................................................................229 

Bilag20PlanforundervisningsforløbetpåOTG........................................................................................230 

Bilag21Afsluttendeopgaver..............................................................................................................................231 

Bilag22Matematikforestillinger.......................................................................................................................233 

Bilag23Analyseafdetektionstest3(M.Niss,2013c)..............................................................................234 

Side146af242

Bilag1Detektionstest11. Givetandetudtrykfor 1

21 :

2. Givetandetudtrykfor 233 :

3. Betyder 2a detsammesom a2 ?Ja:_Nej:_4. Er3 3a a ?Ja:_Nej:_5. Betyder4b detsammesom4 b ?Ja:_Nej:_

6. Hvader ·a b

b a?(Hvorhverken a ellerb er0.)

7. Ertallet a positivtellernegativt,ellerkandetikkeafgøres?Positivt:_Negativt:_Kanikkeafgøres:_

8. Hvormegeter110%af85?9. Envarekosterinklusive25%moms150kr.Hvorstorenprocentdelafde150kr.udgør

momsen?

10. Hvader3 2

·32?

11. Hvilkettalerstørst:5

9eller0,6?

12. Hvader/c d

c?

13. Hvilkettalerstørst:13

3eller

13

4?

14. Hvader0·x ?15. Hvader0 x ?

16. Hvader5

5

a

a?(Hvor a ikkeer0.)

17. Findesdernogenværdieraf a ,såledesat 2 2a a ?Ja:_Nej:_18. Findesdernogenværdierafb ,såledesat4 4b b ?Ja:_Nej:_

19. Omtallene k og s vedvi,at4

·5k s .Isolér k :

20. Hvaderløsningen/løsningernetilligningen3 2x x x ?21. Hvadkandusigeomdetotalcogdnår:7 22 109c og7 22 109d ?22. Hvadkandumedordsigeomsammenhængenmellem x og y når 5y x ?

23. Er 2( )f x x x og ( ) ( 1)g x x x lighinandenellererdeforskellige?Lighinanden:_Forskellige:_

24. Hvis ( ) 5f x ,erdetsåenfunktion?Ja:_Nej:_25. Er 0x enløsningtilligningen3 2x x x ?Ja:_Nej:_26. Afrund148,72 51,351 tilethelttal:

27. Hvilkeaffølgendebrøkererlighinanden:1

4,

4

16,

4

12,

2

8

28. Opskriv3

20somdecimaltal:

Side147af242

29. Hvilkenersødest:Enblandingaf2teskefuldesukkerog6teskefuldecitronsaftellerenblandingaf8teskefuldesukkerog24teskefuldecitronsaft?Denførste:_Denanden:_Ligesøde:_

30. Hvilkettalerstørst:0,32 eller0,315 ?31. HvisP erantalprofessorerogS erantalstuderende,hvadudtrykkerfølgendeligningda

omsammenhængenmellemantalletafprofessorerogantalletafstuderende:6·P S ?32. Hvornårerdetoudtryka b c oga b c lighinanden?33. Løsligningen: ( 3)( 5) 0x x .34. Bestem n når:4 2 5 11 3 5n .35. Løsligningen:3 20 64x x .36. Løsligningen: 6 24x .37. Forhvilke x gælder:38 72 38x x ?

38. Er1

10og0,1 detsamme?Ja:_Nej:_

39. Er1

4og0, 4 detsamme?Ja:_Nej:_

40. Ligger9

11mellem1,0og1,2?Ja:_Nej:_

41. Hvormangedecimaltalerdermellem2

7og

3

7?

42. Hvormangebrøkererdermellem0,65og0,66?

43. Opskriv1/ 2

1/ 4og

2,1

4,1somsædvanligebrøker:

44. Hvaderarealetafetrektangelmedsiderne s og1

s(med 0s )?Hvaderomkredsen?

45. Ietkoordinatsystemerpunkternemedkoordinaterne (2, 7) og (7, 2) endepunkterneafetlinjestykke.Hvaderkoordinaterneforlinjestykketsmidtpunkt?

46. Ietkoordinatsystemgårderenretlinjegennempunkterne (0,0) og (1,3) .Opskrivenforskriftfordennelinje.

Side148af242

47. HvilkeaffigurerneA,B,C,D,EogFforestillerfunktioner?Fig.A:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.B:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.C:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.D:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.E:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.F:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_

Hvisduharsvaret'Ikkeenfunktion'tilenellerflereaffigurerne,forklardahvorforderikkeertaleomenfunktion.

Side149af242

48. Hvilkeheletalerdermellem 2 og3,5 ?49. Findesderetstørstetal a somopfylder:2 4a ?Ja:_Nej:_50. Hvis ba erså ab ?Ja:_Nej:_51. Hvisa b ersåb a ?Ja:_Nej:_52. Hvisa b ersåb a ?Ja:_Nej:_

53. Er1

11

a a

b b

?Ja:_Nej:_

54. Hvader·( 1)

·( 1)

a

b

?

55. Er3 3

4 4

a

a

?Ja:_Nej:_

56. Er1

1

a a

b b

?Ja:_Nej:_

57. Hvader3 1

3 1

x

x

?

Side150af242

Bilag2Detektionstest1–fordeltpåkategorierTransformationelleopgavermedtalforståelse:1.Givetandetudtrykfor 1

21 :

2.Givetandetudtrykfor 233 :

7.Ertallet a positivtellernegativt,ellerkandetikkeafgøres?Positivt:_Negativt:_Kanikkeafgøres:_8.Hvormegeter110% af85?9.Envarekosterinklusive25%moms150kr.Hvorstorenprocentdelafde150kr.udgørmomsen?

10.Hvader3 2

·32?

11.Hvilkettalerstørst:5

9eller0,6?

13.Hvilkettalerstørst:13

3eller

13

4?

26.Afrund148,72 51,351 tilethelttal:

27.Hvilkeaffølgendebrøkererlighinanden:1

4,

4

16,

4

12,

2

8

28.Opskriv3

20somdecimaltal:

29.Hvilkenersødest:Enblandingaf2teskefuldesukkerog6teskefuldecitronsaftellerenblandingaf8teskefuldesukkerog24teskefuldecitronsaft?Denførste:_Denanden:_Ligesøde:_30.Hvilkettalerstørst:0,32 eller0,315?

38.Er1

10og0,1 detsamme?Ja:_Nej:_

39.Er1

4og0, 4 detsamme?Ja:_Nej:_

40.Ligger9

11mellem1,0og1,2?Ja:_Nej:_

41.Hvormangedecimaltalerdermellem2

7og

3

7?

42.Hvormangebrøkererdermellem0,65og0,66?

43.Opskriv1/ 2

1/ 4og

2,1

4,1somsædvanligebrøker:

48.Hvilkeheletalerdermellem 2 og3,5 ?49.Findesderetstørstetal a somopfylder:2 4a ?Ja:_Nej:_Transformationelleopgavermedsymbolerogmatematiskekonventioner:3.Betyder 2a detsammesom a2 ?Ja:_Nej:_4.Er3 3a a ?Ja:_Nej:_5.Betyder4b detsammesom4 b ?Ja:_Nej:_

Side151af242

6.Hvader ·a b

b a?(Hvorhverken a ellerb er0.)

12.Hvader/c d

c?

14.Hvader0·x ?15.Hvader0 x ?

16.Hvader5

5

a

a?(Hvor a ikkeer0.)

50.Hvisa b ersåb a ?Ja:_Nej:_51.Hvisa b ersåb a ?Ja:_Nej:_52.Hvisa b ersåb a ?Ja:_Nej:_

53.Er1

11

a a

b b

?Ja:_Nej:_

54.Hvader·( 1)

·( 1)

a

b

?

55.Er3 3

4 4

a

a

?Ja:_Nej:_

56.Er1

1

a a

b b

?Ja:_Nej:_

57.Hvader3 1

3 1

x

x

?

Generationelleopgavermedvariabelsammenhæng22.Hvadkandumedordsigeomsammenhængenmellem x og y når 5y x ?

23.Er 2( )f x x x og ( ) ( 1)g x x x lighinandenellererdeforskellige?Lighinanden:_Forskellige:_24.Hvis ( ) 5f x ,erdetsåenfunktion?Ja:_Nej:_31.HvisP erantalprofessorerogS erantalstuderende,hvadudtrykkerfølgendeligningdaomsammenhængenmellemantalletafprofessorerogantalletafstuderende:6·P S ?

44.Hvaderarealetafetrektangelmedsiderne s og1

s(med 0s )?Hvaderomkredsen?

45.Ietkoordinatsystemerpunkternemedkoordinaterne (2, 7) og (7, 2) endepunkterneafetlinjestykke.Hvaderkoordinaterneforlinjestykketsmidtpunkt?46.Ietkoordinatsystemgårderenretlinjegennempunkterne (0,0) og (1,3) .Opskrivenforskriftfordennelinje.

Side152af242

47.HvilkeaffigurerneA,B,C,D,EogFforestillerfunktioner?

Fig.A:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.B:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.C:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.D:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.E:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_Fig.F:Enfunktion:_Ikkeenfunktion:_

Hvisduharsvaret'Ikkeenfunktion'tilenellerflereaffigurerne,forklardahvorforderikkeertaleomenfunktion.Transformationelleopgavermedligninger17.Findesdernogenværdieraf a ,såledesat 2 2a a ?Ja:_Nej:_18.Findesdernogenværdierafb ,såledesat4 4b b ?Ja:_Nej:_

19.Omtallene k og s vedvi,at4

·5k s .Isolér k :

20.Hvaderløsningen/løsningernetilligningen3 2x x x ?21.Hvadkandusigeomdetotal c ogd når:7 22 109c og7 22 109d ?25.Er 0x enløsningtilligningen3 2x x x ?Ja:_Nej:_

Side153af242

32.Hvornårerdetoudtryka b c oga b c lighinanden?33.Løsligningen: ( 3)( 5) 0x x .34.Bestem n når:4 2 5 11 3 5n .35.Løsligningen:3 20 64x x .36.Løsligningen: 6 24x .37.Forhvilke x gælder:38 72 38x x ?

Side154af242

Bilag3TestresultaterResultaternefindesidenmedfølgendeExcel‐fil‐Bilag3Forklaring:IkolonneAsesklassetilhørsforholdet.Deorangefeltermarkererdeelever,somlærerneharpegetpåsomsvageelever.De4elever,hvordererskrevetmedfedskrift,erdemderudvalgttilsamtale/vejledning.IkolonneBseskønnet.Deblåerdrengeogderødeerpiger.IkolonnerneC‐BHfindespointenefratestenskrevetindunderdeenkeltedelopgaver.Opgave44erdeltitodele.”0”betyderatsvareterforkert,”1”betyderatsvareterkorrektogetblanktfeltbetyder,atderikkeersvaretpåopgaven.IkolonneBIsesdensamledesumafrigtigesvarIkolonneBJerdensamledesumafrigtigesvarikategorien”Symbolerogmatematiskekonventioner”.Degulemarkeringerviserdeelever,somharsvaretrigtigtpåhalvdelenellermindreendhalvdelenafopgaverneindenforkategorien.IkolonneBKerdensamledesumafrigtigesvarikategorien”Talforståelse”.Degulemarkeringerviserelever,somharsvaretrigtigtpåhalvdelenellermindreendhalvdelenafopgaverneindenforkategorien.IkolonneBLerdensamledesumafrigtigesvarikategorien”Ligninger”.Degulemarkeringerviserelever,somharsvaretrigtigtpåhalvdelenellermindreendhalvdelenafopgaverneindenforkategorien.IkolonneBMerdensamledesumafrigtigesvarikategorien”Variabelsammenhæng”.Degulemarkeringerviserelever,somharsvaretrigtigtpåhalvdelenellermindreendhalvdelenafopgaverneindenforkategorien.Dennedersterækkeiskemaet,række114,viserhvormangeprocentafeleverne,derharsvaretkorrektpådenenkeltedelopgave.Opgaver,sommereend90%harsvaretkorrekt,erangivetmedgrønt,ogopgaver,sommindreend10%harsvaretkorrektervistmedrødt.

Side155af242

Bilag4Uddybendetest1. Løsligningen 146 ss 2. Bestemxså xx 242 3. Løsligningen 2264 2

123 xxxx

4. Findesderettaltså tt 325 ?Hvilket?

5. Findesdernogleværdierformså 23 mm ?Hvilke?

6. Løsligningen 042 xx .

7. Erx=3enløsningtil 23 xx ?hvorfor?8. Er2enløsningtil 012

1 x ?hvorfor?

Bestemxså 16 2

1 x

Side156af242

9. Hvilkexgørligningen 042 xx sand?

10. Finddeværdierafxsomopfylderat 1742

21 xx

Side157af242

11. Er 6232 xx ?Hvorfor?

12. Er 1333 xx ?Hvorfor?

13. Er 4242 xx ?Hvorfor?

14. Er ababa 44 ?Hvorfor?

Side158af242

Bilag5EvaluerendetestNavn: Klasse:1. Bestemxså xx 243 2. Løsligningen 435 ss 3. Hvaderløsningen/løsningernetilligningen xxx 352 ?

4. Erx=0enløsningtilligningen 052 xx ?5. Findesderettaltså tt 327 ?Hvilket?

6. Løsligningen 042 xx

7. Bestemn,når 1311524 n 8. Løsligningen 355 x 9. Forhvilkexgælder xx 858 ?

10. Hvilketxgørligningen 032 xx sand?

11. Er 2212 xx ?

12. Er 33 abba ?

Side159af242

Bilag6Detektionstest2Opgave1Imatematikerethvertkvadratetrektangel,ogethvertrektangelerenfirkant.Erdetsåkorrekt,atenhverfirkanteretkvadrat?Ja: ____  Nej:___   Sommetider:___   Jeg kan ikke svare: ___ 

Opgave2Begrund,atderikkefindesnogenløsningtilligningen38x+72=38x.Opgave3Begrund,atethverttalerløsningtilligningen3x‐x=2x.Opgave4Sørensiger,atnårmangangerettal,a,medetandettal,b,bliverresultatetaltidstørreenda.Hvilke(t)affølgendesvartilSørenanserduforkorrekt(e):a)Ja,dethardureti.b)Nej,forhvismangangerf.eks.4med½fårvisomresultat2,derjoermindreend4.c)Fordetmesteharduret,menderernoglefåundtagelser.d)Nej,forhvismanf.eks.ganger10med‐5fårman‐50,somjoermindreend10.

Opgave5Detfølgendeskalforestilleetbevisforatethverttalerligmed0.”Viserpåetvilkårligttalaogsætterb=a.Vedatgangemedapåbeggesideraflighedstegnetfårviab=a2.Såkanviudregnea(b‐a)=ab‐a2=0(daviharab=a2).Da0gangehvadsomhelst(f.eks.b‐a)er0,er0=0∙(b‐a),somsættesindovenfor,såvifåra∙(b‐a)=0=0∙(b‐a).Nukanvidivideremedb‐apåbeggesideraflighedstegnet.Tilbageståra=0.Daavarvilkårligtvalgterethverttalligmed0.”a)Erdetsandt,atethverttalerligmed0?Ja:___ Nej:___ Jegkanikkesvare:___b)Erdetanførtebeviskorrekt? Ja:___ Nej:___ Jegkanikkesvare:___c)Hvisdumener,atdetanførtebeviserukorrekt,hvadersågaltmeddet? Opgave6Anserdufølgendeargumentforholdbart:”Detpasseraldring,at(x+y)2=x2+y2,forvivedjo,atderaltidgælder(x+y)2=x2+y2+2xy”Ja:___ Nej:___ Måske:___ Jegkanikkesvare:___

Opgave7Hvorforerdetforbudtatdividereettal,t,med0?a)Fordi,detharmannuengangvedtaget.b)Fordiderikkefindesnogettalderganget0medgivert.c)Fordiderikkefindesnogettaldergangetmed0givert,medmindretselver0,ogsåvilalletalkunnebruges.

Opgave8Vurdérfølgenderæsonnement:

Side160af242

”I2010varnationalproduktetpr.indbyggerca.47000$iUSAogca.37000$iDanmark.Tagetunderétfordetolandevarnationalproduktetpr.indbyggerderfor(47000+37000)/2=42000$.”

Opgave9Vived,atenligningafformeny=ax(hvoraerenkonstant)giverenretlinjegennem(0,0)ietkoordinatsystem.Erdetsårigtigtatpåstå,atenhverretlinjegennem(0,0)harenligningafformeny=ax,hvoraerenkonstant?Ja:___ Nej:___ Jegkanikkesvare:___Givenkortbegrundelseforditsvar.

Opgave10Lad os antage, at 80 % af gæsterne på caféer er piger/kvinder. Er det så korrekt, at 80 % af pigerne/kvinderne går på café?  Ja: ___  Nej: ___  Jeg kan ikke svare: ___ Giv en kort begrundelse for dit svar.  

Opgave11Etdanskfolketingsmedlemudtalteienfolketingsdebati1999følgende:”Når39%afdenmandligeog30%afdenkvindeligebefolkningaldrigkommerpåbibliotekerne,vildetsige,atialt69%afhelebefolkningenaldrigkommerpåbibliotekerne.”

Opgave12Et førstegradspolynomium er for alle tal x givet ved forskriften f(x) = ax + b, hvor ikke a er 0. Er f(x) = 0x ‐ 2 et førstegradspolynomium?  Ja: ___  Nej: ___  Jeg kan ikke svare: ___  Giv en kort begrundelse for dit svar.  

Opgave13Etkvadrateretrektangel,hvorallefiresidererligelange.Erethvertkvadratetrektangel?

Opgave14Er ethvert rektangel også et kvadrat?  Ja: ___  Nej: ___  Jeg kan ikke svare: ___ 

Opgave15Søren siger, at hvis man laver en ny cirkel ved at halvere diameteren i en cirkel, har den nye cirkel både halvt så stor en omkreds og halvt så stort et areal som den oprindelige. Har Søren ret? 

 Ja: ___  Nej: ___  Jeg kan ikke svare:___ Giv en kort begrundelse for dit svar.  

Side161af242

Opgave16Susannesiger,athvismanlaverennyterningvedatfordoblelængdenafallekanterneienterning,hardennyeterningetottegangesåstortrumfangsomdenoprindelige.HarSusanneret?

Opgave17En taxa i Århus tager et startgebyr på kr. 30,00 og kr. 7,30 pr. kørt kilometer. Ali skal køre 10 kilometer med taxa i Århus og Aya skal køre 20 kilometer.  Er det rigtigt at Aya skal betale dobbelt så meget som Ali?  

Ja: ___  Nej: ___  Jeg kan ikke svare: ___ 

Giv en kort begrundelse for dit svar.  

Opgave18Ayasiger,atderforallereelletalgælder,ata2a.Hvilketaffølgendeværdierafakanbrugestilatvise,atdetteudsagnerfalsk.a) a=‐½b) a=0c) a=1/10d) a=1e) a=0,2

Opgave19Sørensiger,athvisen4‐sidetfigurharfireligelangesider,såerfigurenetkvadrat.Hvilkenafdefølgendefigurerkaneventueltbrugestilatvise,atSørenikkeharret?

Opgave20AyaogAlibetragtertallene3og11.Debemærker,atderessum(3+11)eretligetal,mensderesprodukt(3∙11)eretuligetal.Ayasiger”Hvissummenaftoheltalerlige,såerderesproduktulige”Alisiger”Hvisproduktetaftoheltalerulige,såerderessumlige”ErindholdetiAya’sogAli’sudsagndetsamme.

Opgave21Nedenståendefigurudgøretbevisforatentrekantsvinkelsumaltider180°,hvilketsesvedattrekantensvinkelsumeru+v+w,densammesumsomveddenøverstelinje,hvorsummenklarterlig180°.

Side162af242

Harvibevistatalletrekanterharenvinkelsumpå180°?JaNejJegkanikkesvare.Ellerblivervinødttilatmålepådekonkretetrekanter,somvibetragter?JaNejJegkanikkesvare

Opgave22Tallet7erdenmestsandsynligesumvedkastmedtoterninger.Hvordankanmanbegrunde,atdetforholdersigsådan?

Opgave23

Vivilnubevise,atenn’tedel,somvikaldern

1,kanblivesålilleettalsomdetskalvære.

Antag,atderfindesenmindsten’tedel,somvikalderN

1hvorNeretpositivthelttal.Men

hvisvinulægger1tilinævneren,altså1

1

N,såvilderjogælde,at

NN

1

1

1

.Altsåmåvores

antagelseværeforkert,hvilketbetyder,atderikkefindesenmindsten’tedel.Erduenigiatoverståendeeretbevisforatenn’tedelkanblivesålillesomdetskalvære?Ja: ___  Nej: ___  Jeg kan ikke svare: ___  

Side163af242

Bilag7Detektionstest2,samlederesultater

køn 

skole 

1  2  3  4  5a  5b  5c  6  7  8  9  10  11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21a 21b  22  23  total 

Ikke algeb

ra 

Algeb

ra 

M  C  1  0  1  1  1  1  1  1  ½  1  1  1  1 ½ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1  1  24  14 10

K  C  1  1  1  1  1  1  0  0  1 1  0  1  1 ½ 1 1 1 1 1 ½ 1 0 1 1  1  1  21  13 8

K  O  1  1  1  ½  1  1     1  1 1  0  1  1 1 1 1 ½ 1 1 0 0 1 1 1  1  0  20  12½ 7½

M  O  1  0  1  1  1  1  0  0  ½  1  0  1  1 1 1 1 1 1 1 ½ 1 0 1 1  1  1  20  13 7

K  O  0  1  1  1  1  1     1  ½  1  0  1  0 0 1 1 ½ ½ 1 ½ 1 1 1 1  1  1  19  11 8

M  C  1  1  1  1  1        1  1 1  0  0  0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1  1  1  19  10 9

M  O  1  1  1  1  1  1  0  0  1 ½  0  1  1 ½ 1 0 1 1 1 1 1 0 1    1  1  19  10½ 8½

K  O  1  1  1  1  1  1  1  0  ½  0  1  1  1 1 1 1 ½ 1 0 0 0 1 1  ½  1  18½  9 9½

M  O  1  1  1  1  1  1  0  1  ½  0  0  1  1 1 1 1 ½ 0 1 ½ 0 0 1 1  1  1  18½  9½ 9

M  C  1  1  1  1  1  0     1  1 0     1  1 1 1 1 0 1 1 ½ 1 0 1 1  0  1  18½  10 8½

M  C  1  1  1  1  0        1  ½  0  1  1  0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1  0  1  18½  10 8½

M  C  1  1  1  1  1  1  0  1  ½  0  0  1  0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1  1  1  18½  10 8½

M  C  1  1  1  0  1  1  0  0  ½  0  0  1  1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1  1  0  18½  12 6½

M  O  1  1  1  ½  1  1  0  0  ½  0     ½  1 1 1 1 ½ ½ 1 ½ 0 1 1 1  1  1  18  10½ 7½

K  O  1  1  1  1  1  1  0  0  ½  0  0  1  1 1 1 1 ½ ½ 1 ½ 0 0 1 1  ½  1  17½  9½ 8

K  O  1  1  1  1  0  0  0  0  1 0  1  1  1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1  ½  1  17½  10½ 7

M  O  1  1  1  1  1  1  0  0  ½  0  0  1  1 1 1 1 ½ ½ 1 ½ 0 0 1 1  ½  1  17½  9½ 8

M  C  1  1  1  ½  0        0  1 0  0  1  0 1 1 1 1 1 1 ½ 1 0 1 1  1  1  17  11 6

M  C  1  0  1  ½  1  1  0  1  ½  1  0  1  1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1  1  0  17  11 6

M  O  1  1  1  1  0  0  0  0  1 0  0  1  1 ½ 1 1 1 0 1 ½ 1 1 1 1  1  0  17  12 5

K  C  1  1  1  1  1        0  ½  0  0  0  1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1  1  0  16½  11 5½

K  O  1  1  1  1  0  0     1  ½  1     1  ½ 0 1 ½ ½ 1 ½ 1 1 1 1  1     16½  11½ 5

M  C  1  1  0  1  1  1  0  0  ½  0  ½  1  1 1 1 1 ½ 0 1 0 0 1 1 1     1  16½  9½ 7

M  O  1  1  1  1           0  1    0  1  1 0 1 1 1 1 1 ½ 1 1 1 1  0  0  16½  12 4½

M  C  1  1  1  1  1  1  0  0  ½  1  0  1  1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0  0  1  15½  7 8½

M  C  0  ½  0  ½  1  1  0  1  ½        1  1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1  1  1  15½  9 6½

M  O  1  1  1  1  0        0  0 0  0  1  1 1 1 ½ 1 1 ½ 1 0 1 1  0  1  15  10½ 4½

K  O  1  ½  1  ½  1        0  ½  0     1  1 1 1 1 1 1 1 ½ 0 0 ½ 1  0     14½  9½ 5

M  O  1  1  1  1  0  0     0  1 0  0  1  1 1 1 0 1 0 ½ 0 1 1 1  0  1  14½  9 5½

K  O  1  1     1  0  0     0  1 0  0  1  1 1 0 1 0 0 1 ½ 1 0 1 1  1     13½  9 4½

M  C  1  1  1  1  0        0  ½  0  0  0  1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1  1  1  13½  9 4½

K  O  1  1  1  ½  0  0  0  1  1 0  ½  1  1 0 1 ½ 0 1 ½ 0 0 1 1  0  0  13  7½ 5½

M  O  1  1  1  1  1  1  1  0  ½  0  1  1  1 0 1 ½ 0 0 0 0 0 0 0     1  13  3½ 9½

M  O  1  1  1  1  1  0     0  ½  1  0  1  0 1 1 1 0 0 0 ½ 1 0 0 1  0     13  7 6

K  O  1  1  1     1  0  0  ½  ½  1  0  1  1 0 1 ½ 0 0 ½ 0 0 1 1  ½     12½  8 4½

K  C  1  1  1  1           0  ½     0  1  0 1 0 0 ½ 1 0 1 1 1 1  0  0  12  8½ 3½

M  O  1  ½  ½  1  1  1  0  0  ½  0  0  0  1 ½ 0 1 ½ 1 ½ 0 0 1 1  0  0  12  6½ 5½

K  C  1  0  0  0  1  1  0  1  ½  0  0  0  0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1  0  1  11½  7 4½

K  O  1  1  1  0  0  0  0  1  ½     0     1 1 1 0 1 0 1 1  1  0  11½  7 4½

M  C  1  1  1  1           1  ½     0  ½  0 1 0 1 ½ 0 0 0 0 0 1 1  0  1  11½  5 6½

M  C  1  0  0  ½  1  0     1  1 1  0  1  0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1  0  0  11½  7 4½

M  C  1  0  0  1  1  0     1  ½  0  0  0  1 ½ 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1  ½     11½  7½ 4

M  C  1  0  ½  0  0        ½  ½  0  0  1  0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1  1  1  11½  9 2½

M  O  1  1  ½  ½  0  0     0  ½  0  0  0  1 1 0 1 ½ 0 1 0 0 0 1 1  1  0  11  7½ 3½

M  O  1  1  1  1  1  0     0  ½  0  0  1  ½ 0 1 0 ½ 1 0 0 0 0 0  0  1  10½  5 5½

M  C  1  1  1  ½  0        0  1 1  0  1  0 ½ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1  0  0  10  6 4

K  C  0  1  1  ½  1  0     0  1 0  0  0  0 1 1 1 ½ 0 0 0 1 0 0 0  0  0  9  3½ 5½

K  O  1  1  0  0     0     0  1 0  ½  1  1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0        8½  5 3½

M  C  0  0  0  ½  0  0     1  ½  0  0  0  0 0 0 1 0 0 1 ½ 0 0 1 1  0  1  7  4 3½

M  C  1  0  1  ½  0        0  1 0  0  1  0 0 1 0 0 ½ 0 1 0 0 0  0  0  7  4½ 2½

K  C  0  0  0  ½  0  1  0  0  ½     ½  0  0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0  0  0  6½  3 3½

K  C  0  0  0  1  0        0  ½  0  0  0  0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1  0     5½  3 2½

M  C  1  0  0  0  0        0  1 0     1  0 0 0 0 0 1 ½ 0 0 0 0  0  1  5½  3 2½

M  O  1  1  0  0  0        0  ½  0     0  ½ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1    ½  1  5½  3 2½

87  75  73  72  54  37  4  33  65  23  11  72  58 63 61 83 37 33 81 28 52 24 82 80  45  54 

Dugulefeltererder,hvormindreen50%afsvareneerkorrekt.Derødefeltererder,hvoreleverneharklaretsigdårligst,dvs.desamletharopnåetmindreend40%afpointeneidenopgave.C=CPHWest,O=Odense

Side164af242

Bilag8Taksonomiifm.Bevisskemaer

Begrebsforståelse/læringsniveau

instrumentelforståelse(Skemp,1976)

internalisering(Sfard,1991)

kondensering(Sfard,1991)

empiriskabstration(Mitchelmore,

White,2004)

stærkebegrebsbillederogsvage

begrebsdefinitioner(TallogVinner,

1981)

relationelforståelse(Skem

p,1976)

reifikation(Sfard,1991)

matem

atiskabstraktion(Mitchelmore,

White,2004)

logiskforståelse(Skem

p,1976)

form

elforståelse(Skem

p,1976)

harikkebehovforstærke

begrebsbilledermenkanarbejde

abstrakt(TallogVinner,1981)

Beskrivelse

erafhængigafhvadbogeneller

enlærerfortæller

bestem

teram

merskalværetil

stedeifxensærligopskrivningen

laveregnealgebraiskeregler

evidensfraeksempler

(eksem

pel),m

ålinger,

indsættelseaftaliudtryk

nårmanumiddelbart(intuitivt?)

forstårnoget,ogikkeser

nødvendighedenafat

argumenterefordet

generaliseringdvs.”foralle”,

forståelseforlogik,serhvadder

ersandt

forståelseforhvorfornogeter

sandt

enhverbevisførelsestartermed

accepterede

principper/resultater

autoritært

rituelt

ikke‐refererende

symbolsk

induktivt

erkendelsesm

æssigt

transformationelt

kausalt

aksiom

atisk

Titel

20

Ydre

overbevisning

Empirisk

Deduktivt

20FraHarelogSowder

Side165af242

Bilag9SkabelontiltransskriptionsskemaerDentankegangderliggerbagdettesemesterstemaer,atmatematiskeræsonnementerangårretfærdiggørelsenafmatematiskepåstandeafenhverart,ikkekunpåstandederbliverophøjettil”sætninger”ienlærebog.Foralleopgaverneerræsonnementsindholdetlokaliseretmindsttresteder,derallerummerkravogdermedpotentiellevanskeligheder:(1)iforståelsenafopgaveformuleringenslogik;enhveropgaveformuleringharenlogiskstruktur,somskalafkodes,uansethvadopgavenkonkrethandlerom(2)ibehandlingenafdenmatematiskesubstansiopgaven;detdrejersigomræsonnementerderikkeerrentanalytisk‐logiske,menknyttersigtilreglerneforomgangmeddenmatematiskesubstansdererpåfærdeiopgaven(3)idenlogiskestrukturideræsonnementerderskalbenyttesiopgavebehandlingen;uansethvordanopgavenkonkretløses,erderenlogiskstrukturforgangeniløsningen.Detskalunderstregesatdetreslagsræsonnementsindholdinogletilfældekanværesåsammenvævede,atdetkanværesværtatskilledemad.VivalgteatudarbejdeetskemaforhvertudvalgtspørgsmålogindskrivekommentarerfraMogensNisstilhvertenkeltspørgsmål.Efterfølgendekunnevibedrediagnosticerevoreselever.

Spørgsmål6:Anserdufølgendeargumentforholdbart:”Detpasseraldring,at(x+y)2=x2+y2,forvivedjo,atderaltidgælder(x+y)2=x2+y2+2xy”

(1)Manskalforstå,atmananmodesomatevaluereetargumentfor,atennegativuniversalpåstand(”detpasseraldrig”)følgerafetkendtuniversalresultat(”detgælderaltid”),somerenidentitet.(2)Ræsonnementetsmatematiskesubstanserelementæralgebra.(3)Denlogiskestrukturiopgaveløsningener,atdetforhold,atdetohøjresiderharforskelligform,ikkeforhindrer,atdeinogletilfælde(nemligpræcishvisxelleryer0)kanhavesammeværdi.

Ovenståendevisereteksempelpåvoresskemaer.

Side166af242

Bilag10Spørgeskema,matematikopfattelse Matematikforestilling Enig Uenig Tja1 Jegersikkerpå,atjegvilklaremiggodtimatematik 19 1 7

2 Nårjegarbejderhård,kanjegforstå,detvilaverimatematik 23 4

3* Matematikhandlermestomathuske 10(9/11)

10(10/9)

7(5/8)

4 Gruppearbejdegørdetnemmereatforståmatematikken 16 2 9

5 Matematikeretvigtigtfag 27

6* Detjeglærerimatematik,kanjegbrugeiandrefag 25 2

7* Matematikgørdetnemmereatforstådenverdenjegleveri 10 3 14

8 Matematikudviklersigheletiden,ogmanopdagerstadignyeting 18 9

9 Allekanlærematematik 21 2 4

10 Atlavefejl,erendelafatlærematematik 27

11 Mankanoftefindedenrigtigeløsningpåflereforskelligemåder 24 1 2

12* De,derergodetilmatematikkanløseenhveropgavepåfåminutter 16 11

13 Matematikhandlermestomtalogberegninger 12(8/10)

4(7/12)

11(9/5)

14 Detkræverhårdtarbejdeatlærematematik 25 2

15 Manlærerbedstmatematikvedatløseopgaver 19(11/16)

1(2/4)

7(11/8)

16 Minfamiliestøttermigi,atjegskallærematematik 22 1 4

17* Dererkunénmådeatkommefremtiletkorrektsvarpå,ogfordetmesteerdetvha.enregelsomlærerenligeharvistos

4 17 6

18* Matematikopgaverharetogkunetrigtigtsvar 5 17 5

19 Hvisjegikkestraksved,hvordanjegskallaveenopgave,kan detikkebetalesigatbrugelangtidpåden 2 22 3

20 Deterikkenødvendigtatforståbeviserneforatkunnelaveopgaverne 13(12/12)

6(8/10)

8(4/7)

21 Nårjegharforståetbevisetforenregel,erdetnemmereatbrugeden,nårjeglaveropgaver

24 2 1

22 Matematiskeræsonnementerermegetsværeatfølge 5(4/12)

3(5/4)

19(15/12)

23 Selvommanbevisernogetvedatregnemedbogstaver,erdetikkesikkert,atdetgælderforalletal

7(7/18)

16(16/8)

4(1/2)

24 Vilavermestbeviserimatematik,fordimatematiklæreresynes,determegetvigtigt 12 8 7

25 Vibrugerkunmatematiskeræsonnementer,nårviskalbevisenoget 6(12/13)

4(8/10)

18(4/4)

25* ”Rigtigmatematik”lavermanalene 2 16 9

27 Nårmanløseropgaver,skalmansommetiderbrugematematiskeræsonnementer.

20(21/21)

0(1/4)

7(2/3)

Forestillingerommatematik Tali()angiverresultatetefterundervisningsforløbetForestillingerompersonen (antalfraOTG/antalfraCPHWest)Forestillingeromdensocialekontekst

Side167af242

Bilag11Opgaveriræsonnementer

Ræsonnementerimatematik.Idenneugeskalviarbejdemedræsonnementerimatematik.Detbetyder,atviskalstillespørgsmålsom: Hvornårharvivistenpåstand? Erdetfxnokatvise,atpåstandenerrigtig

i10tilfælde? Erdetgodtnok,hvismanikkekanfinde

nogentilfælde,hvordetgårgalt? Hvadforstårmanvedetmodeksempel? Falderdetheletiljorden,hvisvifinder

bareétmodeksempel?DeresultaterInårfremtil,kanmanselvfølgeligentenfindeienbogellergoogleogfindepånettet.Deterimidlertidikkedet,projektetgårudpå…Faktiskerjeresdiskussionerogargumenterundervejsmegetvigtigere,endomIligepræcisnårfremtildetkorrektematematiskebevis.Derforviljegbedejerladeværemedatgåpånettetellerfindesvareneijeresmatematikbog,mensIarbejdermeddisseopgaverEuklidVistartermeddegamlegrækere…Grækernevardeførste,derindførtebeviset,somvikenderdetidag,ogdenperson,derlagdegrundlagetforheledenklassiskegeometrivarEuklid.(ca.300årf.kr.Euklids13Elementer(bøger)ansesforatværedenmestsuccesfuldelærebog,dernogensindeerskrevet.Detvarenafdeførstebøger,derblevtryktogerkunovergåetafBibeleniantalforskelligeudgivelser(dererovertusindforskellige).

SomudgangspunktopstilledeEuklidenrækkeantagelser:postulaterneogaksiomerne.Postulaternevar"degeometriskeaksiomer",mensaksiomernevaralmindeligebegreber/slutningsregler.Disseantagelsererforudsætningerneforaldenmatematikviarbejdermed.P1:Derkantrækkesenretlinjefraethvilketsomhelstpunkttilethvilketsomhelstandetpunkt.P2:Enbegrænsetretlinjekanforlængesiretlinjeudenafbrydelse.

Side168af242

P3:Derkantegnesencirkelmedethvilketsomhelstcentrumogenhvilkensomhelstafstandsomradius.P4:Allerettevinklererligestore.P5:Hvisenretlinjeskærertorettelinjer,ogdeindvendigevinklerpåsammesidetilsammenermindreendtorette,såmødesdetolinjerhvisdeforlængesubegrænset,pådensidehvordetovinklerliggersomermindreenddetorette.Dette5.postulatkaldesogsåforparallelpostulatetogmankanviseatdeterækvivalentmedfølgende:Hvistoparallellelinjerskæresafentredje,såvilensliggendevinklerværeligestore.Dvs.påfigurenherundervilv=w

A1:Størrelsersomerligenogsammetredje,erindbyrdesligestore.A2:Hvisligestorestørrelserlæggestilligestorestørrelser,ersummerneligestore.

A3:Hvisligestorestørrelsertrækkesfraligestorestørrelser,erresterneligestore.

A4:Hvisuligestorestørrelserlæggestilligestoreersummerneuligestore.

A5:Dedobbelteafsammestørrelseerligestore.

A6:Dehalveafdensammestørrelseerligestore.

A7:Størrelserderkandækkehinandenerligestore.

A8:Detheleerstørreendendelafdet.

A9:Torettelinjerkanikkeindeslutteenflade.

DetdirektebevisFørstkiggervipåenbestemmådeatbeviseenpåstandpå.Detkaldesetdirektebevis.Fidusener,athvismanvedatnogetbestemgælder,såkanmanderafslutte,atnogetandetogsågælder:

HvisAsåBellerskrevetmedsymboler BA (AmedførerB).Sommetiderkanmanogsåsluttedenandenvej:HvisBsåA( AB ).MENDETERVIGTIGATBEMÆRKEATDETERTOHELTFORSKELLIGETING.Deterfølgendeeteksempelpå:

HvismangårpåOTGsåermanhtx’erDerimoderdetikkenødvendigvissandt,athvismanerhtx’ersågårmanpåOTG.IeksempleterA:”mangårpåOTG”ogB:”manerhtx’er”,ogdergælder

BA men AB

Side169af242

Nårderbådegælderat BA og AB skriverman BA Detoudsagnerækvivalentedvs.atdeudtrykkerpræcisdetsammen.Mansigerogså

AgælderhvisogkunhvisBgælder

Idenførsteopgaveservipåeteksempelpåetdirektebevis,dergælderbådedenenevejogdenandenvej,menhvormanbrugerforskelligeræsonnementerafhængigtaf,hvilkenvejmangår.Iskalforklarehvilkeræsonnementer,dererbrugtforatkommefralinjetillinje,oghvorformankanbrugehvertræsonnement.Toafforklaringerneerskrevetop,foratviseeksemplerpåhvilketyperræsonnementer,derertaleom.

Opgave1Viskalvisefølgende

SætningLadABCværeenretvinklettrekant,hvorvinkelCerret.DagælderTrekantensarealer 2

41 cAreal hvisogkunhvis BA

Bevis:Allerførsttegnesenfigur,dervisersituationen.Huskheletiden,atdebogstaverviregnermedbareernavneforsiderogvinkleritrekanten,somvistpåjeresfigur.Vistartermedatvise,athvistrekantensarealer 2

41 c såvilvinklerneAogBværeligestore.

Antag 241 cAreal

1. 222 cba DatrekantenerretvinkletgælderPythagorassætning2. 22

41 baAreal

3. baAreal 21 Arealetientrekanterenhalvhøjdegangegrundlinje

4. baba 2122

41

5. baba 222

6. 02 ba

7. ba 8. BA

Sågårvidenandenvejdvs.Antagat BA

Side170af242

1. ba 2. ghAreal 2

1 Arealetientrekanterenhalvhøjdegangegrundlinje

3. baAreal 21

4. 221 aAreal

5. 222 cba DatrekantenerretvinkletgælderPythagorassætning

6. 222 ca 7. 2

41 cAreal

HvadharIvist?!

IdefølgendeopgaverskalIselvfindefremtilhverttriniargumentationenogangivedetilhørenderæsonnementer.

Opgave2FigurenviserhvadmanforstårvedtopvinklerVispå baggrundafA1–A3at

SætningTopvinklererligestoredvs.v=v’ogw=w’

v

v’

w’w

Side171af242

Opgave3Itestenhavdevifølgendeopgave

Udfraparallelpostulatetogopgave2skalIopskriveetudførligtbevisforpåstandenomatvinkelsummenientrekantaltider180grader.Bevisetskalværesågodt,atalleIgruppenkanfremlæggedetforenafdeandre1.gklasser,derikkeharhafttesten.

Opgave4Visatvinkelsummenienvilkårligfirkantaltider360grader.NuskalIselvbådeopstilleensætning,ogderefterviseatdenerrigtig…Huskigenatderforhvertnyttriniargumentationskædenskalværeetmatematiskræsonnement,derbyggerpånogetmanvederrigtigt.

Side172af242

Opgave51. TegniGeogebraforskelligen‐kanter(entrekant,enfirkant,enfemkant,ensekskantosv.)2. Målhvormangegradervinkelsummenerihverafdissefigurer3. Opstilenhypotese(sætning)omhvor

mangegradervinkelsummenerienn‐kant.

SætningIenn‐kantervinkelsummenaltid…..grader

4. Undersøgomjereshypoteseersandvedatbrugematematiskeræsonnementer.Detvilsige:lavetbevis!

5. OvervejomIharvistsætningenforallen‐kanteriverden…

Ognuenopgavefordegrupper,dersletikkekanholdeopmedatvisegeometriskesammenhængeHvisIikkehartid,måIspringedenneopgaveover

Side173af242

Opgave5aPåfigurerneherunderkanmanse,hvadderforståsved

centervinkel periferivinkelVisfølgende

SætningEnperiferivinkeleraltidhalvtsåstorsomdentilsvarendecentervinkel.

(TipTegnbådeencentervinkelogenperiferivinkel,derspænderoversammebueindidensammecirkelogsepådetilsvarendetrekanter)EksemplerogmodeksemplerSommetiderkandetværesværtatlaveetdirektebevisforenpåstand,mantror,errigtig.Såfindesderandretyperbeviser,sommankanprøvesigfremmed.Demvendervitilbagetilpåetseneretidspunkt.Menførvislutterfordennegang,tagerviligedeindledendespørgsmålopigen.Imatematikerdetnemligsådan,atselvikkenoksåmangeeksemplerpå,atenpåstandholder,ernoktilatvise,atdenersand.Omvisåbrugterestenafjeresgymnasietidpåattegnetrekanterogmålederesvinkelsum,oghverenestegangfindefremtilatdenvar180grader,såvilledetikkeværenoktilatbevisesætningenfraopgave2.Menkunnevifindebareenenestetrekant,hvorvinkelsummenikkegav180grader,såhavdevifaktiskmodbevistsætningen–forsågælderdenjoikkealtid,ogdetskalensætninggøre!IdensidsteopgaveskalIikkelaveetmatematiskbevis,menIskalpåbaggrundafnedenståendekonstruktioneropstilleenhypoteseogundersøgeomIkanafgøre,omdenersandellerfalsk.

Opgave61. Tegnencirkel2. afsætetpunktpåcirkelperiferienogbemærk,atderernetop1sammenhængende

område(helecirklen)3. afsætetnytpunkt,forbinddetopunktermedenkordeogbemærk,atdernuer2områder4. afsætendnuetnytpunkt,forbinddettepunktmedkordertildeforrige2punkterog

bemærk,atderer4områder5. afsætetnytpunktogforetagetkvalificeretgætpåantalområderindenItegnerogtæller!6. fortsætprocedurenogforetaghvergangetkvalificeretgætindenIkontrollererved

tegningogoptælling

Side174af242

7. Opstilenhypoteseomantalområder,somdetindreatcirklenopdelesiafhængigtafantalpunkterpåperiferien

8. HvordanvilIafgøreomhypotesenersandogdermederenmatematisksætning?Periode: 18.–22.marts(6lektioner)Arbejdsform: Gruppearbejde(segrupperneiportfolien)Produkt: Skriftligafleveringafjeresnoterfratimerne.Imågerneskrivepænt

ogudførligtundervejs,mendeterikkemeningen,atIskalskriveindindeniaflevere.Læsdetigennem,ogtilføjhvaddermangler.

Afslutning/opsamling: Tirsdagd.2.april(ligeefterpåske)gennemgårviopgavernesamtbesvarelserneafdentestIhavdeførstpååret.SÅVÆRFORBEREDTEOGSØRGFORATLÆSEJERESBESVARELSEIGENNEMINDENTIRSDAG.

Side175af242

Bilag12AfsluttendetestomræsonnementerOpgave1OmtrekanterneABCogDEFvedvi,at

EB

DC

EDBC

Visat EFAB Opgave2OmtrekanterneABCogDEFvedvi,at

EB

DC

EDBC

Visat DFAC (Tip:dukanmåskebrugeresultatetfraopgavenovenfor!)Opgave3Vis,atdiagonalerneietrektangelerligelange.

(Tip:dukanmåskebrugeresultatetfraopgavenovenfor!)

Side176af242

Figurerneherunderviserforskelligetrekanter

Enligesidettrekanterentrekant,hvoralletresidererligelange.Opgave4Erenhverligesidettrekantogsåligebenet?___ja ___nej ___vedikkeOpgave5Erenhverligebenettrekantogsåligesidet?___ja ___nej ___vedikkeOpgave6Eneksponentieludviklingharforskriften xabxf )( hvoraeretpositivtreelttalog a 1,oghvorb 0 .Eneksponentialfunktionharforskriften xaxf )( medabeskrevetsomovenfor.

Er xxf 32)( eneksponentieludvikling? ____ja ___nej ___vedikke

Er xxf 4)( eneksponentieludvikling? ____ja ___nej ___vedikkeErenhvereksponentialfunktionogsåeneksponentieludvikling?

____ja ___nej ___vedikke

Side177af242

Opgave7Mogenspåståratforalleheletala,bgælder:

Hvisbgåropia2,såvilbgåopia.Hvilkeaffølgendeværdierforaogbkanbrugestilatvise,atMogensikkeharret?1) a=10 b=‐52) a=10 b=103) a=10 b=204) a=‐4 b=25) a=4 b=8

Opgave8Nedenforstårbevisetforfølgendesætning:

SummenaftouligetaleraltidligeSkrivforklaringerneiskemaet

12 na aeruligeforalleheltaln

12 mb

1212 mnba

222 mnba

12 mnba

Nba 2 summenaftouligetalerlige,dadetkanskrivesopsom2gangeetheltal(herkaldetN)

Opgave9Erdetsandtatsummenaftoligetalaltiderlige?___ja ___nej ___vedikkeVisdet!

Side178af242

Opgave10 udregnsummenafde2førsteuligetaldvs.1+3 udregnsummenafde3førsteuligetal udregnsummenafde4førsteuligetal udregnsummenafde5førsteuligetalSepåresultaterneafdeudregnedesummer.Derertaleomensærligtypetal.Hvilkentype?Opskrivensætning,dergeneralisererdet,duharopdaget.Hardualleredenuvistsætningen?ellerharduenidétil,hvordanmankanviseden?

Opgave11

Erfølgendetoudsagnækvivalente(a)Hvisx2eretuligetal,såerxetuligetal(b)Hvisxikkeeretuligetal,såerx2ikkeetuligetal___ja ___nej ___vedikke

Opgave12

Erfølgendetoudsagnækvivalente(a)Hvisx2eretuligetal,såerxetuligetal(b)Hvisxeretuligetalsåerx2etuligetal___ja ___nej ___vedikkeOpgave13

Erfølgendetoudsagnækvivalente(a)Hvisx2eretuligetal,såerxetuligetal(b)Hvisxeretligetal,såerx2etligetal___ja ___nej ___vedikke

Side179af242

Bilag13Hurtigskrivningsøvelse

Hurtigskrivningsøvelseom”ræsonnementer”På15minutterskaldusvaresågodtdukanpåfølgendespørgsmål.Hvadforstårduvedetmatematiskargument(ræsonnement)?Erdetanderledesatargumentereimatematikendiandrefag?Hvordan?Hvorforbrugervimatematiskeræsonnementer?Hvordankanmanviseomenmatematiskpåstanderrigtigellerforkert?

Side180af242

Bilag14TransskriptionafelevsamtalerInterviewoganalysermedAfraOTG

Spørgsmål6:

Anserdufølgendeargumentforholdbart:”Detpasseraldrig,at(x+y)2=x2+y2,forvivedjo,atderaltidgælder(x+y)2=x2+y2+2xy”

Denfundamentalealgebramangler.Ameneratdenførsteberegningerkorrekt,mensdenandenerforkert!Direkteadspurgtomopgavengivernogensomhelstmeningersvaret”nej”.

EfterendelsnakfremogtilbagekommerAfremtilathvisxelleryer0,såbliverdenførsteberegningrigtigfordi2xy‐leddetforsvinder,mendetvirkerforvirrendeatentenx2ellery2ledetogsåforsvinder.

Dererhertaleometydreoverbevisnings‐skemapåetafdeførsteniveauer

Spørgsmål11:

Etdanskfolketingsmedlemudtalteienfolketingsdebati1999følgende:

”Når39%afdenmandligeog30%afdenkvindeligebefolkningaldrigkommerpåbibliotekerne,vildetsige,atialt69%afhelebefolkningenaldrigkommerpåbibliotekerne.”

Amenerkorrektatdeterforkertsagt,idetmanikkekanlæggeprocentersammen:

”Deterkun39%afdenmandligebefolkningudaf100%ogdetkanhunaldriglæggesammenmed30%afdenkvindeligebefolkning.Detvilaldriggive69%afdendanskebefolkning.Mankanikkelæggeprocentersammen,nårdekommerafforskelligegrupper.”

DeterdogtvivlsomtomAvillekunneforståberegningeni(3).Detvirkersomomhendesforståelseerpåetmindrekonkretniveau.

Detersværtatplaceredennebesvarelseietafdemuligebevisskemaer

Spørgsmål13:

Etkvadrateretrektangel,hvorallefiresidererligelange.Erethvertkvadratetrektangel?

Asvarer”nej”tilspørgsmåletfordi”etrektangelkanogsåhavevidtforskelligesider–altsåsådan2og2...Menstadiglængereforatdetikkebliveretkvadratforetkvadratdeterbaresådanenlillefirkant.”

Ategneretrektangelogetkvadrat.Forhendeeretrektangelenfiresidetfigurmed4rettevinkler,hvorsidernetoogtoerparallelleogligelangemenIKKEharsammelængdesomdetandetparsider.Hunforklareratsådanharetrektangelsetud,sidenhunvarheltlille.

Hunveddoggodthvaddefinitionenpåetrektangeler,ognårhunbliverspurgtometrektangelopfylderbetingelserne,måhunoverrasketerkendeatdetgørdet!

A’sproblemer,athunharetforkertbegrebsbilledeatetrektangel,ogdetteoverskyggerhelt,athendesforståelseforopgavenslogik.Deteraltså(2)dererdetprimæreproblemher.

Abefindersigstadigpådeydreoverbevisningsskema,pådetrituelleniveau.Etrektangelskalseudpåenbestemmådeforatværeetrektangel,udeatmanbehøvertagehensyntildenformelledefinition.

Spørgsmål16:

Susannesiger,athvismanlaverennyterningvedatfordoblelængdenafallekanterneienterning,har

Side181af242

dennyeterningetottegangesåstortrumfangsomdenoprindelige.HarSusanneret?

A’sstoreproblemherer(2)idethunoverhovedetikkekanserumligt.Medhjælpfårhuntegnetendelafterningen,hvortoafsiderneerfordoblet,mendentredjeside,kanhunikkefåtegnet..HerefterprøverAmedenkonkretkasse,oghunfårkorrektfordoblethverside.Dogvolderberegningerneafbådedenlilleogdenstorekassemegetbesvær,oghunkommeraldrigsålangtsomtilatse,atdetstoretaler8gangesåstortsomdetlille.Medhjælpkommerhunigennemdetgenerelletilfælde,hvorhversideienvilkårligkassefordoblesogindserat hblhblhbl 8))(222(222

Abevægersigherpåkantenafdetempiriskebevisskema,menprøverkunmedetenkelteksempel,ogkanikkefuldføreberegningernepga.manglenderegnefærdigheder.

Spørgsmål18:

Ayasiger,atderforallereelletalgælder,ata2a.Hvilketaffølgendeværdierafakanbrugestilatvise,atdetteudsagnerfalsk.a) a=‐½b) a=0c) a=1/10d) a=1e) a=0,2

EfterathavelæstopgavenhøjtmåAerkende,athunikkeved,hvaddenhandlerom.

Lærer:”HvadpåstårAya?”

A:”ata2a”

Lærer:”Hvaderdetsåduskalgørenu?”

A:”Jegskalvise,atdetgodtkanværeforkert”

Lærer:”Nemlig,duskalfindenoglemodeksempler.Forhvisdukankommemedbareétmodeksempel,såharhunikkeretaltid,ognårhunikkeharretaltid,såerdetforkert,hvadhunsiger.Hvordanfindermanudafomdeterrigtigtellerforkert,dethunharpåstået?”

A:”Mankansætteettalindogseomdetgivernogetforkert”

Lærer:”Korrekt.Prøvengangatstartemedb)altsåsæt0ind”

A:”020.Deterok”

Lærer:”Kandetsåbrugessommodeksempel?

A:”Nej”

Lærer:”Såladosprøvemed‐½”

A:”‐½gange‐½…(tøver)…jegvedikkeomdetgiver¼,nogetsigermigatdetgiver¼.Såkandenjovelgodtbruges,for¼ermindreend½”

Lærer:”Prøvatskrivedetop,oghuskfortegnene!”

A:”Nå,nej.¼‐½.Øv”

Lærer:”Prøvnudennæste.1/10”

A:”Ah,debrøkerder…(1/10)2,vildtgæt:2/10.”(Lidtsnakombrøkregneregler)

Lærer:”(1/10)2=12deltmed102.Hvadgiverdet?”

A:”1/100”

Side182af242

Lærer:”Såsætterduindigen…”

A:”1/1001/10.Deterforkert,sådetkanbruges!”

Lærer:”Nemlig.Ladosligeprøvedesidste2.”

d)klaresudenproblemer,mene)kræverendelforklaringpåhvorfor0,22=0,04.HerefterserAumiddelbartatdetteogsåeretmodeksempel,ogatAyaderforikkeharretisinpåstand.

GanskehurtigtgennemskuerA,hvadopgavenhandlerom.Hererdetudelukkendemanglenderegnefærdigheder,derbremserhende,efterhunmedetganskelillepuf,harfåethulpåopgaven.

Vibefinderosstadigpågrænsenmellemetydreoverbevisningsskemaogetempiriskskema.

Spørgsmål20:

AyaogAlibetragtertallene3og11.Debemærker,atderessum(3+11)eretligetal,mensderesprodukt(3∙11)eretuligetal.

Ayasiger”Hvissummenaftoheltalerlige,såerderesproduktulige”

Alisiger”Hvisproduktetaftoheltalerulige,såerderessumlige”

ErindholdetiAya’sogAli’sudsagndetsamme.

Alæseropgavenopogsigerderefter:”Desigervelnøjagtigdetsammepåetellerandetplan?”

Lærer:”HvaderdetAyaforudsætter,oghvadpåstårhunfølgerafdenneforudsætning?oghvaderdetAliforudsætteroghvadpåstårhan?LadosstartemedAya.”

A:”Hvisvihartouligetalogplusserdemsammen,sågiverdeetligetal”

Lærer:”Erdernogensteder,derstår,attalleneskalværeligeelleruligepåforhånd?”

A:”Nej.”

Lærer:”Nej,sådetkanduikkeantage.Menhvaderdethunsiger?prøvengangtil!”

A:”Summenaftoheletalerlige,hvisdebliverplussetsammen…mensåhvisdeblivergangetsammen,såbliverdetulige.”

(DiskussionafhvordaneksemplethængersammenmedAya’sudsagn)

Lærer:”HvadsigerAliså?”A:”Hvismangangertoheletal,ogdeterulige,såhvismanplusserdem,såvildetblivelige”

(SnakomeksempletssammenhængmedAli’sudsagn)

Lærer:”Ogerdetsånøjagtigtdetsammedesigerdeto?”

A:”Jamendesigerjopåhverderesmådedetsamme.”

DerafsluttesmedensnakomatA=>BikkeerdetsammesomB=>A.EfterendeltaleksemplerfårAenforståelseforatAya’sudsagnmåværeforkert,idetderermodeksempler,menatnogettyderpåatAliharret.Derkanihvertfaldikkefindesmodeksempler.Hvisdetersådankandetoikkesigedetsammealligevel.

Aforstårikkeatderfremsættestoimplikationerogatdeerforskellige.Ikkeengangsammenhængenmeddekonkreteeksemplerstårklart.Elevenharheretydrerefererendebevisskemapåautoritærtniveau.

Spørgsmål21:

Nedenståendefigurudgøretbevisforatentrekantsvinkelsumaltider180°,hvilketsesvedattrekantensvinkelsumeru+v+w,densammesumsomveddenøverstelinje,hvorsummenklarterlig180°.

Side183af242

Harvibevistatalletrekanterharenvinkelsumpå180°?JaNejJegkanikkesvare.

Ellerblivervinødttilatmålepådekonkretetrekanter,somvibetragter?JaNejJegkanikkesvare

EfterførstegennemlæsningforstårAatterikke,hvadopgavengårudpå,menvedatdeledenopimindresætninger,gårdetrigtiggodt.Hunfølgerfintargumenterneogbemærkerselv,atdetikkeerheltklart,hvorfordetou’erogdetow’ererens.Påetspørgsmålom,hvorvidthunnukanværesikkerpåatenhvilkensomhelsttrekantharenvinkelsumpå180o,svarerhunja,deterhunsikkerpå.Forellersbliverdetikkeentrekant,denlukkerikkesammen.Hunbenytterderimodikkedensætninghunligeharvist!Deterderfortvivlsomtomelevenforstår(1)hvorimod(2)forefindes.(3)erdelvispåplads.

OgsåhererdetvanskeligtatplacereAietafdelistedebevisskemaer.

Spørgsmål23:

Vivilnubevise,atenn’tedel,somvikalder ,kanblivesålilleettalsomdetskalvære.

Antag,atderfindesenmindsten’tedel,somvikalder hvorNeretpositivthelttal.Menhvisvinu

lægger1tilinævneren,altså ,såvilderjogælde,at .Altsåmåvoresantagelsevære

forkert,hvilketbetyder,atderikkefindesenmindsten’tedel.

Erduenigiatoverståendeeretbevisforatenn’tedelkanblivesålillesomdetskalvære?

DenneopgaveforstodAintetaf–hellerikkeefterfleregennemlæsninger.

InterviewoganalysermedBfraOTG

Spørgsmål6:

Anserdufølgendeargumentforholdbart:

”Detpasseraldrig,at(x+y)2=x2+y2,forvivedjo,atderaltidgælder(x+y)2=x2+y2+2xy”

Bgenkenderstrakskvadratsætningen,ogatdenerskrevetopienandenrækkefølgeendhanplejeratseden.Denpasseraltså,mensåerdenførstesætningforkert.

Denlogiskestrukturiopgavenerikketilstede.DerertaleometbevisskemaaftypenYdreoverbevisning(rituelt)idetelevengenkenderenopskrivning,menikkekommervidereiargumentationen.

Spørgsmål11:

Etdanskfolketingsmedlemudtalteienfolketingsdebati1999følgende:

”Når39%afdenmandligeog30%afdenkvindeligebefolkningaldrigkommerpåbibliotekerne,vildetsige,atialt69%afhelebefolkningenaldrigkommerpåbibliotekerne.”

B:”jegsynesdeterenlatterligmådehungørdetpå.Hunplussededet.Hunplussededetenemeddetandet,sågavdet69,ogdetpasserikke,fordinårmansiger39%afdenmandligebefolkningog30%afdenkvindelige,såerdetudafentenmændeneellerkvinderne,menikkebeggedeleforsåerdetmangeflere,dererpåspil.”

Lærer:”Deterheltrigtigt.Hvorforhavdedusletikkeskrevetnogettildenneopgave?”

n

1

N

1

1

1

N NN

1

1

1

Side184af242

B:”Jegvidstegodthvadjegvillesige,menjegkunneikkeskrivedet,ogsåtroedejeg,atduvillemisforståmig.”

Dervaringenproblemermeddenneopgave,derbefindersigietdeduktivt(transformationelt)bevisskema.

Spørgsmål13:

Etkvadrateretrektangel,hvorallefiresidererligelange.Erethvertkvadratetrektangel?

B:”Hertænkerjegpåetkvadrat,påenterning.Allesidererligelange.(Tegnerkvadrat,hvorallesiderer1)Mensåerderetrektangel.Deterlidtanderledes(tegnerrektangelpåhøjkantmedsidelængder1og2).Siderneoverforhinandenerligelange.Sådet(pegerpåkvadratet)kalderjegetkvadrat,ogdet(pegerpårektanglet)kalderjegikkeetkvadrat.Jegkalderdetetrektangel.Såerspørgsmåleterethvertkvadratetrektangel?jegvilmenenej,forsåvilmanikkekaldedettoforskelligeting.”

HergenkenderviB’sargumentationfravejledningenialgebraiefteråret.Hvistotingharforskelligenavne,mådeværeforskellige,ellersvillemankaldedemdetsamme.Elevenmanglerklasselogik.

Derertaleometydreoverbevisningsskema,dererrituelt,idetfigurenskalseudpåenspecielmådeforatværeatenbestemttype.

Spørgsmål16:

Susannesiger,athvismanlaverennyterningvedatfordoblelængdenafallekanterneienterning,hardennyeterningetottegangesåstortrumfangsomdenoprindelige.HarSusanneret?

Bprøverførstattegnesituationen.Fårtegnetenterningogfordoblereneneside.

B:”…såskaldenfylde8gangesåmeget?Jegveddetikke.

Lærer:”Hvormangeafsidernehardufordobletnu,nårduhartegnetsådander?”

B:”Denderside(peger).Nåh,jegskalogsåfordoblefornedenogbagved!(tegner)**indsætfigur**

Lærer:”Hvorstortetrumfanghardender?”

B:”Otte.Vihavdekunenterning.Såpasserdetjo!”

Derertaleometempirisk(induktivt)bevisskemaidetBtegnersigfrem,ogudfraetenkelteksempelslutteratpåstandenerkorrekt.

Spørgsmål18:

Ayasiger,atderforallereelletalgælder,ata2a.Hvilketaffølgendeværdierafakanbrugestilatvise,atdetteudsagnerfalsk.a) a=‐½b) a=0c) a=1/10d) a=1e) a=0,2

B:”Hunkommermedensætningatforallereelletalgælder,ata2a.Sålænge,derståra2erdetaltidstørreellerligmeda.Detkanaldrigværemindre.Deterdethunprøveratsige.Ogsåskaljegviseomdetersandtellerfalsk.Såjegharbaretagetdetførste.(Hererdernogleproblemermedparenteserogbrøker,menfårdetberegnet).Detersårigtigt”

Lærer:”Kandetsåbrugestilatvise,atAyaikkeharret?”

Side185af242

B:”Nej,fordetvarjorigtigt.Mensåprøverjegdennæste…Deterogsårigtigt.Såerderdennæste.Detersammeprincipheletiden.(Harproblemermedatgangebrøkersammen,menfårtilsidst1/1001/10)Deterforkert.Såerpåstandenforkert.

Bharudelukkendeproblemermeddetregnetekniske,menudvisersikkerhediopgavensogræsonnementetslogik.Erheltklaroverbetydningenafetmodeksempel.

Pågrænsenmellemetempiriskinduktivtogetdeduktivttransformationeltbevisskemaidetforståelsenforeksempel/modeksempelertydelig

Spørgsmål20:

AyaogAlibetragtertallene3og11.Debemærker,atderessum(3+11)eretligetal,mensderesprodukt(3∙11)eretuligetal.Ayasiger”Hvissummenaftoheltalerlige,såerderesproduktulige”

Alisiger”Hvisproduktetaftoheltalerulige,såerderessumlige”

ErindholdetiAya’sogAli’sudsagndetsamme.

Bsvarerikkeumiddelbartpåspørgsmålet.Vilistedetforkiggepånogleeksempler.

B:”2+2=4,menhunmener,atdetskalværelige.”

Lærer:”Hvadskalværelige?”

Bpegerpå4‐tallet.

Lærer:”Mendeterjoensum.Detskalværeproduktet,derskalværelige”

Bforstårikkehvadderskalgøres,menkandoggodtsvarepå,hvadetprodukter.

Lærer:”Hvissummenaftoheltalerlige,såerderesproduktulige.Summener2+2=4.Duskalkiggepåproduktetafdesammetotal.Hvadgiverdet?”

B”Vikanjoregnedetud.2∙2=4.Deterikkeulige.Såerdetikkerigtigt,hvadAyasiger.

Lærer:”Hvadvildusågøre?”

B:”SåkiggerjegpåAli,forhunharikkeret.Jegsiger3*3=9ogdeterulige.Såerdetogsåforkerthvadhansiger.”

Lærer:”Hvorfordet?Hvadvardet,duskullekiggepå?”

B:”Detvardenher(pegerpåregnestykket).Detvar9”

Lærer:”Nej,detvarproduktet”

B:”Detersummen.Såskaljegbaresige3+3=6,ogdeterlige.”

Lærer:”Hvadvildusågørenu?”

B:”Såviljegprøveengang,med4,foratværemeresikker.(Beregner4+4=16).Dererogsålige.Sådeterogsårigtig.

Lærerenfortællerhvorfordetteeksempelsletikkekanbruges,nårproduktetafdetotalikkeerulige.

B:”Nå,ja.Såprøvervimed5.Detgårgodt.”

Lærer:”Stårdernogetom,atdetotalskalværeens?”

B:”Nej,såkanviprøvemednogetandet.3og5.Deterok,fornårmangangerdemerdetuligeognårmanplusserdemerdetlige.Menvikanikkevideomhanharret.Viharkunregnetnogeneksemplerud.”

Lærer:”MensigerAliogAyadetsammen?”

Side186af242

B:”Mankangodtsige,atdeterdetsamme,fordeterdesammedesigermednogetmedatplusseoggangeogligeogulige.MenAyasigernoget,dererforkert,ogjegtroratAliharret.Deterligesomdesigermodsætninger.”

Bharproblemerbådeopgavenogræsonnementetslogik.Selvefterenlængeresamtaleerdetvanskeligtforhamatforståhvadækvivalenteudsagner.Endelafskyldensynesatværedennogetkryptiskeformulering.Nåropgavenbliverpilletheltfrahinandenogreducerettilnogleberegninger,kanBfølgeimplikationerneihverttilfælde,menhankanstadigikkesammensættedemogforståomdererækvivalens.Resultateteratdettilhørendebevisskemabliverafydreoverbevisningogautoritært.

Spørgsmål21:

Nedenståendefigurudgøretbevisforatentrekantsvinkelsumaltider180°,hvilketsesvedattrekantensvinkelsumeru+v+w,densammesumsomveddenøverstelinje,hvorsummenklarterlig180°.

Harvibevistatalletrekanterharenvinkelsumpå180°?JaNejJegkanikkesvare.

Ellerblivervinødttilatmålepådekonkretetrekanter,somvibetragter?JaNejJegkanikkesvare

B:”Jegvilsigeja,forviveddetjo.Menkanmåledetmedenvinkelmåler”

Lærer:”Hardubrugforatmålevinklernepådennefigur,foratvide,atvinkelsummener180grader?”

B:”Nej,fordetserudsomomdetertegnetpåensærligmåde,sådanpræcist…”

Herserdetudtilatelevenharetempirisk(induktivtogerkendelsesmæssigt)bevisskema.

Spørgsmål23:

Vivilnubevise,atenn’tedel,somvikalder ,kanblivesålilleettalsomdetskalvære.

Antag,atderfindesenmindsten’tedel,somvikalder hvorNeretpositivthelttal.Menhvisvinulægger1

tilinævneren,altså ,såvilderjogælde,at .Altsåmåvoresantagelseværeforkert,hvilket

betyder,atderikkefindesenmindsten’tedel.Erduenigiatoverståendeeretbevisforatenn’tedelkanblivesålillesomdetskalvære?

B:”JegtænkerpåatNkanvære‐1.Såer1/(N+1)mindreend1/N.Såmå1/Nværemegetlille.Jegveddetikke.”

Idenneopgaveharelevenhverkenforståetopgavenellerræsonnementetslogik,ogdetmatematiskeindholdbeherskesikke.Mankanikkeindsættebesvarelsenietbevisskema.

InterviewoganalysermedCogDfraCPHWest

Spørgsmål6:

Anserdufølgendeargumentforholdbart:

”Detpasseraldring,at(x+y)2=x2+y2,forvivedjo,atderaltidgælder(x+y)2=x2+y2+2xy”

Lærer:Ikiggerligepåden.

C:Yes

n

1

N

1

1

1

N NN

1

1

1

Side187af242

Lærer:HardulæstdenigennemD?Kandufortællehvadduharsvaretoghvorfor?Duharsvaretmåske.

D:Jo.Dajegkomtildenheropgave,ja,såtænktejegbare…Jeghavdesværtveddeandre.Altså.Jegprøvedeatlæsedetfleregangeigennem.Jegvedikkehvorforjegkomtildethersvar.

Lærer:Etellerandetstedhardumåskeværetitvivl.Erdetsådanatdusletikkevedhvadopgavengårudpå.

D:Ja,deterfordi…,dethersprogher,det…Deterikkesånemtatforstådet.

Lærer:Sådeternogetmedsproget?

D:Hmm.

C:Sådanharjegdetogså.

Lærer:Duharsvaretnogetandet,duharsvaretnej.

C:Ja,fordi,jaladDtalefærdig.

Lærer:Jegvedikkeomderersåmeget.Dukunnejoogsåhavesatkrydsi”Jegkanikkesvare”.Istedetforatsvaremåske.Svareterjonokentenjaellernej.Detdererenhelgarderingpåenellerandenmåde.Menduharsvaretnej.(henvendttilC).

C:Ja,fordinår,jegvedatnårmanganger,nårnogetståripotens,såskaldetgangesmedsigselvognårnogetienparentesståripotens,såskalparentesengangesmedsigselvdetantalgangederståripotensen.

Lærer:ja.Oghvadbetyderdetsåiopgaven.Atdetaldrigpasserellerhvad?

C:Ja.

Lærer:Hvorforgørdetikkedet?

C:Fordi,nårmanfjernerparenteserne,såskaldugangeindellerhvaddethedder.Sådetbliverxgangexogsåxgangey

Lærer:Hvismankiggerpådetnuidag.Kunnemansågøreetellerandet,såmanvarheltsikkerpåatdetaldriggælder.

D:Jegtroratnårmanharenparentesogenpotens.Jegskalligeprøveatudtrykkemigrigtigt.Nejjegvedikkerigtig.

Idenresterendedelafsamtalenomdettespørgsmålgårdiskussionenpåformuleringenomatdetaldriggælderogdetersandt.Medmegethjælpindserbeggeelever,atnårxog/elleryernul,såpasserantagelsenogargumenteterikkeholdbart.

Dforstodsletikkeopgavenogkunneikkekommeigang.Dettekanikkesættesindietbevisskema

Chanforståikkeopgaveformuleringslogik,løsningsræsonnementetlogikmanglerforståelseforatnogetgælderselvomdetikkeseensud.Heratentenxellerykunnevære0.Hererdertaleomydreoverbevisningsskemapåetautoritærtniveau.

Spørgsmål11:

Etdanskfolketingsmedlemudtalteienfolketingsdebati1999følgende:

”Når39%afdenmandligeog30%afdenkvindeligebefolkningaldrigkommerpåbibliotekerne,vildetsige,atialt69%afhelebefolkningenaldrigkommerpåbibliotekerne.”

C:Jegvilsigeatdeterrigtignok,deterstadig69%,dadeter39%afheledenmandligedelafbefolkningenog30%afheledenkvindeligedelafbefolkningen.Ja,detmåværerigtigt.

D:Jegharskrevetja,hvismansåtager100altsåhelebefolkningensåbetyder,detatderkommer31ogbesøger

Side188af242

biblioteket

Lærer:Detersålidtdetsamme.Hvisvinuvendtedenom?Vivedat39%afdenmandligedelafbefolkningenkommerikkepåbiblioteket.Hvormangeafmændenekommersåpåbiblioteket.

C:Såerdet61%.

Lærer:Hvormangeprocentafkvindernekommerpåbiblioteket?

D:Detmåvære70%.

Lærer:Ja.Kanmanlæggedemsammenpåsammenmåde?

C:Ja,detkanmanvelgodt.

Lærer:Hvormegetfårmanså?

C:Såfårman131%

Lærer:Hvormegeter131%?

C:Deterover100%.Deterikke..

Lærer:Ja,determereendhelebefolkningen.Somjosåkommerpåbiblioteket.Giverdetmening.Hvaderdetdergårgaltmeddenmådeatregnedetudpå?

D:Skalmansåikkedivideremed100.

Lærer:Mankanikkebaredivideremed100,fordimansynes,attallenebliverforkerte.

C:Detblivernødttilatvære200%.Detderskullevære100%.

Detlykkedesnuatfåoverbevistbeggeeleverom,atmanikkekanregneprocentregningpådennemåde.

Forbeggeelevergælderdet,atderesbesvarelseliggerpågrænsenmellemdetydreoverbevisningsskema,ikke‐refererendeskematildetempriske‐induktive.

Spørgsmål13:

Etkvadrateretrektangel,hvorallefiresidererligelange.Erethvertkvadratetrektangel?

D:Detersjovtdetjegharsvaret.

Lærer:Erdetsjovt,detduharsvaret.Hvorfordet?

D:Jegharskrevet,nej,dadenkanhaveforskelligestørrelserpåsiderne.

Lærer:Hvorforerdetsjovt?

D:Detvedjegikke.

Lærer:Erdetdetrigtigeduharsvaret?

D:Detvedjegikke.Jegharskrevetnej.

Lærer:(henvendttilC)Hvadhardusvaret?

C:jegharskrevetnej,daietkvadrateralle4siderligelange.Hvorietrektangelsåertoafdeparallellesiderforskelligefradeandreto.

Lærer:Skaldeværeforskelligeforatværeetrektangel?

D+C:ja(imundenpåhinanden)

Lærer:Detstårjofaktiskligeher”Etkvadrateretrektangel,hvorallefiresidererligelange.Erethvertkvadratetrektangel?”

Side189af242

Lærer:Detmådetsåvære.

D:Ja,detmådetjovære.Deterdetderstår.

Lærer:Deterjoigennogetmedatværeomhyggelignårmanlæserteksten.Imatematikerdetligesomatlæseetandetsprog.Nogengange.DeteretsprogsomIskallære.IskalanalyseretekstenligesomIgøridanskogengelsk,nårIhardet.

C:Etrektangelkanaltsågodtværeligelangtpåallesider?

Lærer:Ja.

C:Sigermansåikkeatdeteretkvadrat.

Lærer:Jo,detvilmanofteføre,mendetsamtidigetrektangel.Hvaderetrektangel?

D:Deternårsiderneerparvisligelange.

C:Deterogsådetjegharlært.

Lærer:Derskalgældenogetmereforatdeteretrektangel.Hvaderdet?

D:Parallelle.

C:Allevinklerneer90°.

Lærer:Ja,såervivedatværeder.Vinklerneskalvære90°ogsiderneskalparvisværeligelange.Mendererikkenogetdersigeratdeikkemåværeligelangeallesammen.

C:Dettroedejegatdetvar.

D:Detharjegaltidlært.

Lærer:Detersåjeresdefinitioner,derikkeerheltpåplads.Deterdesånu.

Beggevarafdenoverbevisning,atetrektangelskullehaveparvisforskelligelængderpåsiderne.Detvarhvaddehavdelært.Debefandtsigiydreoverbevisning,autoritært,sommuligvisnuerændrettilrituelt.

Spørgsmål16:

Susannesiger,athvismanlaverennyterningvedatfordoblelængdenafallekanterneienterning,hardennyeterningetottegangesåstortrumfangsomdenoprindelige.HarSusanneret?

D:Jegharsvaretnej,fordientegninghar6sider.Fordoblermanallekanter.Såbliverden6gangesåstor.Sådetbliverikke8.

Lærer:Sådankunnemangodttænke.

C:Jegharsvaretnej,fordidenmådemanfordoblerpå,såvildenbareblive2gangesåstor.

Lærer:Ladosligetænkerover,hvordanfindermanrumfangetafenterning.

C:Højdegangelængdegangedybde.

Lærer:Ja,ladosantageatdenerldenhervej.Ladosregnelidtmedbogstaver.Viharlpådeneneled,såmådenogsåværeldenhervejogldenhervej.Allekantlængdererdetsamme.Hvadvilvolumenetblive?

C:Detbliverlitredje.

Lærer:Nugørvilbliverdobbeltsåstor.(tegner)Denerlogdenerlogdenerl.Nugørvidendobbeltsåstor.Hvadgiverl+l?

D:Detgiver2l.

C:Giverdenikke22gangesåstor?

Side190af242

Lærer:Nej,prøvligeatse.Regnervinumeddenyemål.Hvadgørvisåher2lgange2lgange2l.

C:Såbliverden4gangesåstor.

Lærer:Hvadbliverdetnyevolumen?

D:Detbliver2lgange2lgange2l.

Lærer:lgangelgangelhvadbliverdet?

C:litredje.

Lærer:Og2gange2gange2?

D:Detgiver4…detbliver16.

Lærer:Nej2gange2.

D:4.

Lærer:gange2.

D:Nåja,detbliver8.

Lærer:Hvormegetstørreerdenderiforholdtildender?(pegerpåudregningernepåpapiret)

C:Nuerdenjoikkesværmere.

Beggeeleverharsomudgangspunktingenkorrektopfattelseafhvaddeterderskermedvolumenet,nårmanændrerpåkantlængderneienterning.Vedhjælpfralærerenopnårbeggeenformforforståelse,somliggeridetempiriskeinduktive/erkendelsesmæssigeområde.

Spørgsmål18:

Ayasiger,atderforallereelletalgælder,ata2a.Hvilketaffølgendeværdierafakanbrugestilatvise,atdetteudsagnerfalsk.a) a=‐½b) a=0c) a=1/10d) a=1e) a=0,2

D:Denfattedejegoverhovedetikke.

Lærer:Hvorforgjordeduikkedet?

C:Jegvidsteikke,hvaddereelletaleroghvaddenderstregnedenunderbetyder.

D:Jegvedikkehvaddenderstregbetyder.

Lærer:Veddu(henvendttilD)hvaddereelletaler?

D:Nej.

Lærer:Jegplejeratsigedeteralledetalvikender,dvspositive,negative,heletal,brøker,decimaltalogkvadratrødderogπ.

Såerderogsåligetegnetimellemaogaianden.Hvadbetyderdet?Harinogenideomhvaddetkanvære.

C:Hardetnogetmedstørreend.

Lærer:Jaoghvorforerdersådenstregunder?

C:Kandetværeenbrøkstreg?

Lærer:Nej,deterikkenogenbrøkstreg.

Side191af242

D:Detkunneværeetlighedstegn.

Lærer:Ja.Iharmåskesetdettidligerehvordersåvartostregerunder>istedetforen.Detbetyder,atdetderstårhereraiandenerstørreendellerligmeda.Detbetyder,attagermanettalogsætterianden,såvildetværestørreendellerligmedtalletselv.

C:Deterjorigtigt.

Lærer:Erdetrigtigt?

C:Detviljegsigeatdeter.

Lærer:Ladossehvadderståriopgaven.”HvilkenaffølgendeværdierkananvendestilikkeatvisedetIKKEersandt”.Hvisnuiprøver..

C:jegtroratdetdenderminusder.

Lærer:Hvadskerdernårvisætterminus½ianden.

C:Såbliverdetenfjerdedel.

Lærer:Ja,detblevenfjerdedel.Mankansåsigeat¼erstørreendellerligmed‐½.

C:Determindreend.

Lærer:Nej,deter…

D:Deterstørre.

Lærer:Deteneeretnegativttalogdetandeterpositivt.Denerfaktiskok.Kanvibruge0?Dvs.derstår0iandenerstørreendellerligmed0.

C:Denkanvihellerikkebruge.Denviljogivenul

Lærer:Viprøvermedentiendedel.Hvormegetbliver1/10ianden?

C:Deterenhundrededel.

Lærer:Såstårderatenhundrededelogstørreendellerligmedentiendedel

C:Deterjomindreend.

Lærer:Ja,hvadharvisåvist?

C:atdetikkealtiderstørreendellerligmed.

Lærer:Hvadmed1?

C:Detbliver1igen

Lærer:Jasågælderlighedstegnet.Hvadmed0,2?

C:Deter0,02.Erdetikke?

Lærer:Nej,duskalligehuskeogsåatgangetotallernemedhinanden.Detgiver

C:0,04

Sammenmedlærerenkommerdefremtilattallenemellem0og1erdemdergivernogetandet.

Hererdetforståelsenafopgaven,derheltmanglerhosbeggeelever.Beggeeleverfårmedhjælpfralærerenenforståelseafordogtegnogendermedvedatsættealletalleneindetsvarpåopgaven.Debefindersigbeggepådetempirisk‐induktiveniveau.

Spørgsmål20:

AyaogAlibetragtertallene3og11.Debemærker,atderessum(3+11)eretligetal,mensderesprodukt

Side192af242

(3∙11)eretuligetal.

Ayasiger”Hvissummenaftoheltalerlige,såerderesproduktulige”

Alisiger”Hvisproduktetaftoheltalerulige,såerderessumlige”

ErindholdetiAya’sogAli’sudsagndetsamme.

D:Jegharskrevetjaher

C:Jegharskrevetnej.

Lærer:DuharskrevetnogetnedenunderJ,somduharvisketud.

C:Jegkunneikkeforklaredet.Jegtrordetvaretgæt

Lærer:Hvisdunuskulleprøve.Kandukommeitankeomnogenafdetingdutænkte.Dumåselvfølgeligogsågodttænke,D.

C:Ja,menhvisvihar2gange2detgiver4ogsummenbliverogså4.

Lærer:Ja,sårygerdenher.(underforståethypotesenatnårsummenerligesåerproduktetulige)

Såbliversummenlige,hvismansiger2+2=4somerligeognårmangangedemmedhinandenbliverdet4,somstadigerlige.

Hvisetprodukterulige,hvadså?Hvilketalskalmansågangemedhinanden.

C:Hvaderdetnudehedderdedertal.Primtal.

Lærer:Nejdetbehøvesdetikkeatvære.Detskalbareværeligeellerulige.Hvisviskalgangetotalmedhinandenogdetsåskalbliveulige,hvadskaldersågældeomdetotal?

C:Såskaldeværeulige?

Lærer:Skaldebeggetoværeulige.

C:Nejdetbehøverdeikke.Detkanjovære…

Lærer:Tænkdigom.

C:Detkunnef.eks.være4gange…nej..

Lærer:Deskalbeggeværeulige.Hvisdutageretligetaloggangemedetulige,så..

C:Detvarogsådetjegkomitankeom.

Lærer:Hvisvigangetouligetalmedhinandenbliverdetulige.Hvadhvisvilæggedemsammen?

C:Såkandetblivelige.

Lærer:kanblive.Gørdetikkealtiddet?

D:Nej,..

C:Jo,detviljegsige.Deharsåbeggedetettaldermangledeforatblivelige.

Dholdersigmegetudenforsamtalenidettespørgsmåloghunforstårvistsletikkehvaddetgårudpå.Hunkanikkeplaceresinogenafbevisskemaerne.Cderimodgårigangmedatprøvemednogletaleksemplerogfårsvaretpåopgaven.C’sbesvarelsekanindplacerespådetempiriske‐induktiveniveau.

Spørgsmål21:

Nedenståendefigurudgøretbevisforatentrekantsvinkelsumaltider180°,hvilketsesvedattrekantensvinkelsumeru+v+w,densammesumsomveddenøverstelinje,hvorsummenklarterlig180°.

Side193af242

Harvibevistatalletrekanterharenvinkelsumpå180°?JaNejJegkanikkesvare.

Ellerblivervinødttilatmålepådekonkretetrekanter,somvibetragter?JaNejJegkanikkesvare

Lærer:Hvadhardusvaret?Oghvorforhardusvaretsomduhargjort.

C:Detførsteharjegsvaretjapå,daalletrekanterharenvinkelsumpå180°.

Lærer:Spørgsmåletersåomduharbevistdet.

C:Detkanmanjosige,nårmanhartrekanten,sådenliggerjoegentligpåenligelinje,hvordenbareerdeltop.Hvismantagerenligelinjeogfolder,såmanharenbundogfoldersammen,såerden180°tilsammen.

Lærer:Dendertegning,erdenetbevisforatalletrekanterharenvinkelsumpå180°

C:Deterjoikkenogetbevis,daderkanværeforskelligeudseendeafentrekant.

Lærer:Nej,deterjorigtigt,menmankunnejoforstillesigatmanflyttedepunktetheroppe.Såvilletrekantenkommetilatsesådanherud.Villedetsåstadiggældedetsammemedatvinklerneliggerdesammesteder.

C:Detvilaltidgive180

Lærer:Detdererideteratmanhardehertolinjer,somerparallelle.Dendervinkelogdendervinkelvilaltidværedensammen.Nårmanhartoparallellelinjerogmanskærermedentredje,såvil

C:Ja

Lærer:Såvilvinklerneliggersådanparvisrundtomkring.

D:Ja,

Lærer:Nårdeliggersådan,såkanmanjogodtseatsummenafdemmåvære180°.Ogdadeogsåliggerheritrekantendvs.nårdendervinkelliggerderogdenliggerder,såmåsummenbliver180°.

D:Detbliverogsådetsammehvisvispejler.

Beggehardenheltintuitiveforståelseafatsådanmådetværeforentrekant.Detbetyder,atdebeggebefindersigpådetempiriske‐erkendelsesmæssigeniveau.

Spørgsmål23:

Vivilnubevise,atenn’tedel,somvikaldern

1,kanblivesålilleettalsomdetskalvære.

Antag,atderfindesenmindsten’tedel,somvikalderN

1hvorNeretpositivthelttal.Menhvisvinulægger1

tilinævneren,altså1

1

N,såvilderjogælde,at

NN

1

1

1

.Altsåmåvoresantagelseværeforkert,hvilket

betyder,atderikkefindesenmindsten’tedel.Erduenigiatoverståendeeretbevisforatenn’tedelkanblivesålillesomdetskalvære?

D:Jegkunneikkesvare

Lærer:Hvorforkunneduikkedet?

D:Dervarbegrænsetmedtid.Jegforstodikkeopgavenhelt.Men..

Lærer:Erdetdematematiskesymbolerellererdetteksten?

D:Deterteksten,deterskrevetmegetsært

Lærer:Giverdetmeremeningnu.Ellergiverdetstadigingenmening

Side194af242

D:(Langpause,hvortekstenbliverlæstigen.)Detgiverstadigikkemening

Lærer:Duharsvaret.

C:Ja,

Lærer:Kanduprøveatforklare,hvorforduharsvaretsomduhar.

C:Desigeratdeharetmindsttalsomerenn’tedel,ogsåvildegerne,ja,jegvedikkehvadjegskalsige,beviseatdetgodtkanblivetildetmindstetal,somdugernevilha’det.DetgørdevedatsætteN+1indinævneren.Ogsåer1/nstørreenddetder.(pegerpå1/(N+1))

Lærer:Hvadharmansåvistvedatskrivedetopsådanher?

C:Øhm,at1/nvilvære(langpause)vilværemindreend,trorjeg.(smiler)

Lærer:Derstårfaktiskatdenerstørreend.

C:ja,

Lærer:derståratvinuvilbevise,atenn’tdelkanblivesålilletalsomdetskalvære.Efterdenlangetekststårderså:Erduenigiatovenståendeeretbevisforatenn’tedelkanblivesålillesomdetskalvære.

C:Detersåfaktiskikkerigtigt,denbliverjobarestørre.Eller

Lærer:Dusagdedetheltrigtigtfør

C:Deterdetdertegnderforstyrremig.

Lærer:Dustartermedathaveenn’tedel.Hvisnermegetstort,såertalletmegetlille.læggerdu1tilN,hvadskerderså

C:såbliverdenmindre

Lærer:Ja,såbliverdenmindre.Hvisvisålagde2eller10tilså..

C:Såblivedetendnumindre.

Lærer:Kanmanskrivedetmindstetalop?

C:Nej,menkanaltiddeledetop.

Dforstårsletikkespørgsmåletogmeldersigsletikkeindisamtalenefterfølgende.Hunkanikkeplaceresietbevisskema.Cderimodvirkersomomhanegentliggodtvedhvadderspørgesom,menhanerusikkerpåhvilkeargumenterhankanbrugeoghvordan.Jegmener,athankanindplaceresiempirisk‐erkendelsesmæssigt.

Side195af242

Bilag15Detektionstest3

14SpørgsmålfraProfessorenHer er 14 spørgsmål fra professoren. Det er meget vigtigt for vores undersøgelse, at du svarer på alle spørgsmålene, 

også hvis der skulle være nogle du ikke synes du kan gøre noget ved. På forhånd stor tak for hjælpen! 

Spørgsmål1Hans kan gå fraRoskilde Station til RoskildeDomkirke på 6minutter. Grethe skal bruge 8minutter.Hvorlangtidtagerdet,hvisdefølgesad?Begrundditsvar.Spørgsmål2Du er ved at lave din egen dressing til en salat. Her er en opskrift på 100 milliliter (ml)dressing.

Salatolie 60mlEddike 30mlSoyasauce 10ml

Hvormangemlsalatolieskaldubrugeforatlave150mlafdennedressing?Begrundditsvar.Spørgsmål3Sørenvilsættesinesparepengeibanken.BankenTæsktilbyder0,25%irentehvertkvartal,hvis han lader pengene stå i 2 år. BankenBank tilbyder 1% i årlig rente, hvis han laderpengene stå i 2 år. Er det ligegyldigt hvilken bank Søren vælger, eller har han fordel af atvælgedenenefremfordenanden?Begrundditsvar.Spørgsmål4På en bestemt skole er der 6 gange så mange elever som lærere. Opskriv en formel derudtrykkersammenhængenmellemantallet,E,afeleverogantallet,L,af lærere.Begrundditsvar.

Side196af242

Spørgsmål5Sepåbilledetovenfor.Hvorhøjerdenforrestebygningcirka?Begrundditsvar.Spørgsmål6Et oliefelt indeholder 100millioner tønder olie. Ali siger, at hvisman hvert år udvinder 1milliontønderolie,slipperolienopefter100år.Ayasiger,athvismanhvertårudvinder1%afdenolie,derertilbage,slipperolienaldrigop.Hvemharretoghvorfor?Spørgsmål7PåenretstejlbakkeiAthenfindesenvejop,dererca.4kmlang.Rikke,somerigodform,kanbestigebakkenmedengennemsnitsfartpå3kmitimen,oggånedigenmeddendobbeltefart.HvaderRikkesgennemsnitsfartfordensamledetur?Begrundditsvar.

Side197af242

Spørgsmål8Et pizzeria serverer to runde frokostpizzaer af samme slags og tykkelse, men i forskelligstørrelse.Denmindsteharendiameterpå30cmogkoster30kr.Denstørsteharendiameterpå40cmogkoster40kr.Hvilkenpizzagivermestforpengene?Vis,hvordandukomfremtilditresultat.Spørgsmål9I landetZedlanderdertoaviser,dersøgersælgere.Annoncernenedenforviser,hvordandebetalerderessælgere.Johnbesluttersigforatsøgeenstillingsomavissælger.HanskalvælgemellemZedlandPostenogZedlandTidende.Hvilkenafdefølgendegrafer(A,B,CellerD)erenkorrektfremstillingaf,hvordandetoaviserbetalerderessælgere?Begrundditsvar.

ZEDLANDPOSTENBRUGFOREKSTRAPENGE?

SÆLGVORESAVISERDu vil blive betalt: 0,20 zeds pr.avis for de første 240 aviser, dusælgerpå enuge,plus0,40 zedsforhverekstraavis,dusælger.

ZEDLANDTIDENDEGODTBETALTJOB,DERIKKE

TAGERLANGTID!Sælg ZedlandTidende og tjen 60zeds om ugen, plus ekstra 0,05zedspr.avisdusælger.

A

C D

B

Side198af242

Spørgsmål10Mohammedsidderpåengynge.Hanbegynderatgynge.Han forsøgeratkommesåhøjtopsommuligt.Hvilkenaf følgendegrafer(A,B,CellerD)afbilderbedsthøjdenafhans fødderover jordenmenshangynger?Begrundditsvar. Spørgsmål11En træterningmed alle sider lig 2 cm vejer 4,8 gram. Hvad vejer en træterning, hvor allesiderneer4cm?Begrundditsvar.

Højdeaffødder

Højdeaffødder

Højdeaffødder

Højdeaffødder

Tid

Tid

Tid

Tid

Side199af242

Spørgsmål12Af helbredsmæssige årsager bør folk begrænse deres anstrengelser, fx under udøvelse afsport,forikkeatoverskrideenbestemthjertefrekvens(antalhjerteslagpr.minut).Føritidenvar sammenhængenmellemenpersonsanbefaledemaksimalehjertefrekvensogpersonensalder(måltiår)beskrevetvedfølgendeformel(hvordersesvækfraenheder):

Anbefaletmaksimalehjertefrekvens=220–alder.Nyereforskningvisteatdenneformelburdeændresensmule.Dennyeformelersomfølger:

Anbefaletmaksimalehjertefrekvens=208–(0,7×alder).Enavisartikelskrev:”Etresultatafatbenyttedennyeformelistedetfordengamleer,atdetanbefaledemaksimaleantalhjerteslagperminut for yngremenneskernedsættesen smule,mensdetforældremenneskerforhøjesensmule.”Avisens påstand er korrekt. Fra hvilken alder og frem forhøjes den anbefalede maksimalehjertefrekvensvedovergangtildennyeformel?Begrundditsvar.Spørgsmål13Kellykørte en tur i sinbil. Pludselig løbenkatud foranbilen.Kellybremsedehårdtopogundgikatrammekatten.LettererystetbesluttedeKellysigforatkørehjemigen.Diagrammetnedenforviserenforenkletgengivelseafbilensfartiløbetafturen.Hvad var klokken, daKelly bremsede hårdt op for at undgå at rammekatten?Begrundditsvar.

Kellyskøretur

Tid

Fart(km/t)

Side200af242

Opgave14På nedenstående figur er udvalgte verdensrekordtider for at løbe en mil indtegnet forperioden1913‐1985.Manbemærker,atpunkternetilnærmelsesvisliggerpåenretlinje,ogderforharmanlavetenlineærmodel,derbeskriververdensrekordtiden(y)somfunktionafårstallet(x).Benytfigurentilatvurdere,hvorgodmodellener,ogindenforhvilkenperiodemodellenkanbenyttes.Begrundditsvar

Side201af242

Bilag16Detektionstest3,samlederesultatklasse  etnicitet  køn  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  total 

2h  d  m  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  14 

2a  d  m  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  0,5  13,5 

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,75 1  1  1  1  1  1  1  0,75 13,5 

2a  d  m  1  1  1  1  0,5  0,75 1  1  1  1  1  1  1  1  13,25

2mf  d  m  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  0,5  0,5  1  13 

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,75 1  0,5  1  1  1  1  1  0,5  12,75

2h  d  m  0,5  1  1  1  1  0,75 1  1  1  1  1  1  1  0,25 12,5 

2h  d  m  0,5  1  1  1  1  0,75 1  1  1  1  1  1  1  0,25 12,5 

2mf  d  m  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  0,5  1  1  12,5 

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,5  1  1  1  1  1  0,5  1  0,5  12,5 

2h  d  m  1  1  1  1  1  0,75 0  1  1  1  1  1  1  0,75 12,5 

2a  d  m  1  1  1  1  0,75 0,25 1  0,75 1  1  1  1  1  0,5  12,25

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,75    1  1  1  1  0,5  1  1  12,25

2a  d  m  1  0,5  1  1  1  0,25 1  1  1  1  1  1  1  0,5  12,25

2a  d  m  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  0,25 12,25

2a  d  m  1  1  1  1  1  1  0  1  0  1  1  1  1  1  12 

2mf  d  m  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  12 

2tip  d  m  1  1  1  0,5  1  1  0,5  0,5  0,5  1  1  1  1  1  12 

2a  d  m  1  1  1  1  0,5  0,75 1  0  1  1  1  1  1  0,75 12 

2c  d  m  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  0,5  0,5  1  0,75 11,75

2c  d  m  1  1  1  1  1  1  1  0,25 1  1  1  0,25  1  0,25 11,75

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,75 1  1  1  1  1     1     11,75

2c  i  m  1  1  1  1  0,75 0,75 1  1  0,25 1  0,75  1  1  0,25 11,75

2c  d  m  1  1  0  1  1  0,75 1  1  1  1  1  1  1  0  11,75

2a  d  m  1  1  1  1  0,5  0,75 0  1  1  1  1  1  1  0,5  11,75

2a  d  m  1  1  1  1  0,75 0,75 0  1  1  1  1  1  1  0,25 11,75

Valg  d  m  1  0,5  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1     11,5 

2mf  d  m  1  1  0  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  0,5  11,5 

2mf  d  k  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0,5  1  11,5 

2a  d  m  1  1  1  0  1  1  0  1  1  1  1  1  1  0,5  11,5 

2mf  d  m  1  1  1  1  1  1  1  1  0  1  1  0,5  0,5  0,5  11,5 

Valg  d  m  1  1  1  0  1  1  0  1  1  1  1  0,5  1  1  11,5 

2a  d  m  1  1  0  1  0,5  0,75 0,75 1  1  1  1  0,75  1  0,5  11,25

2c  d  k  1  1  1  0,5  0,5  1  0  1  1  1  0,75  1  1  0,5  11,25

2a  i  m  0  1  0,5  1  1  0,75 1  1  1  1  1  1  1  0  11,25

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,75 0  1  1  1  1  0,25  1  0,25 11,25

2h  d  m  0,5  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  1  0,25  0,25 11 

2h  d  m  1  1  1  1  1  0,75 0  0,5  1  0,5  1  1  1  0,25 11 

Valg  d  m  1  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1     1     11 

2a  d  m  1  0,5  1  1  1  0,75 0  0,75 1  1  1  1  1  0  11 

Side202af242

klasse  etnicitet  køn  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  total 

2h  d  m  0,5  1  0,75  1  0,75 0,75 1  1  0  1  1  1  1  0  10,75

2a  d  m  1  1  1  1  0  0,75 0  0,5  1  1  1  1  1  0,5  10,75

2c  d  k  0,5  1  1  1  0,75 0,75 0  1  1  1  0,5  0,75  1  0,25 10,5 

Valg  d  m  1  1  1  1  0,5  0,5  0  1  1  1  1  0  1  0,5  10,5 

2c  d  m  1  1  1  0  0,25 1  1  1  0  1  1  1  1  0,25 10,5 

2h  d  k  1  1  0,75  1  1  0,5  0  1  1  1  0  1  1  0,25 10,5 

2tip  d  m  1  1  1  1  0  1  0  1  1  1  1  0  0,5  1  10,5 

2c  d  k  1  1  1  1  0,75 1  0  0  1  1  0  1  1  0,5  10,25

2c  d  m  1  1  1  0  1  0,75 0,25 1  1  1  1  0,25  1  0  10,25

2c  d  k  1  1  1  1  1  0,75 0  0,25 1  1  1     1  0,25 10,25

2h  d  m  1  1  1  1  1  0,75 0  0  1  1  1  0,25  1  0  10 

2mf  d  m  1  1  1  0  1  0  0  1  1  1  1  0,5  0,5  1  10 

Valg  d  m  1  1  1  1  0,5  1  0  1  1  1  0  0,5  0,5  0,5  10 

2h  d  m  1  1  0,75  1  0,75 1  0  0,5  1  1  0  1  1  0  10 

2tip  d  m  1  1  0  1  1  1  0  1  1  1  1  0,5  0,5  0  10 

2h  d  m  0,5  1  0,75  1  1  0,75 1  0  1  1  0  1  1  0  10 

2h  d  m  0,5  1  1  1  1  1  0  1  1  1        1  0,5  10 

2c  d  k  1  1  0,5  1  0,75 0,75 0  0,5  1  1  1  0,25  1  0,25 10 

2mf  d  m  1  1  1  1  0  1  1  0  1  1  1  0  0,5  0,5  10 

2c  d  m  1  1  1  1  1  0,5  0  1  0  0,5  1  0,5  1  0,25 9,75 

2a  d  m  1  1  0,5  0  1  1  0  0,75 0  1  1  1  1  0,5  9,75 

2a  d  m  1  1  1     1  1  0     1  1  1  0,5  1     9,5 

2mf  d  m  1  1  1  0  0  1  0  1  1  1  1  0,5  1  0  9,5 

2c  d  k  1  1  0  1  1  0,5  0  0,25 1  1  0,25  1  1  0,5  9,5 

2h  d  m  0,5  1  1  1  1  0,5  0  0  1  1  0  0,75  1  0,75 9,5 

2mf  d  m  0,5  1  0  1  0  1  0,5  0,5  1  1  1  1  0,5  0,5  9,5 

2h  d  m  0,5  1  1  0  1  0,75 0  0,25 1  1  1  0,25  1  0,5  9,25 

2mf  i  m  0  1     1  1  1  0  1  1  1  0  0,5  1  0,5  9 

Valg  d  m  1  1  0,5  1  1  0  1  0,5  0  1  1     1     9 

2tip  d  m  1  1     0  1  0  1  1  1  1  1  0,5  0,5  0  9 

2c  d  k  1  1  0  1  1  0,25 0  1  0  1  1  0  1  0,75 9 

Valg  d  m  1  1  0,5  0,5  1  1  0  1  0  1  0  0,5  1  0,5  9 

2h  d  m  0,5  1  0,75  1  0,25 0,75 1  0  1  0,5  0  1  1  0,25 9 

2h  d  m  0,5  1  0  1  1  0,25 0  1  1  1  0  1  1  0,25 9 

2c  d  k  0,5  1  0  1  0,25 0,5  0  0  1  1  1  1  1  0,75 9 

2c  d  m  0,75  1  0  1  1  0,75 1  0,25 0  1  0  1  1  0  8,75 

2a  d  m  1  1  1  1  1  0,75 0  1  1  1              8,75 

2c  d  k  1  1  0  1  0,5  0,75 0  0  1  1  0  1  1  0,5  8,75 

2c  d  m  1  1  0  1  1  0  0,5  0,25 0  1  1  0,5  1  0,5  8,75 

2h  d  m  1  1  1  1  0,5  0  0  1  1  0  0  1  1  0  8,5 

2a  d  m  1  1  0  0  1  0,75 0  0,5  0  1  1  1  1  0,25 8,5 

2tip  d  m  1  1  1  1  0,5  1  0  1  0,5  1  0  0,5        8,5 

Side203af242

klasse  etnicitet  køn  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  total 

2tip  d  m  1  1  1  1  1  0,5  1  1     1              8,5 

2c  d  m  1  1  0,25  1  0,5  0,75 0,5  1  0  0  0,75  0  1  0,75 8,5 

Valg  d  m  1  1  0  1  0,5  1  0  0,5  1  1  1  0  0  0,5  8,5 

2h  d  m  1  0  0,75  0,5  0,5  0,25 0  0  1  1  1  1  1  0,25 8,25 

2tip  d  m  1  1  0  1  1  0  0  1  0  1  1  0  0,5  0,5  8 

2mf  i  m  1  1  1  1  1  1  0        1  0  0  0,5  0,5  8 

2c  d  k  1  1  0  1  1  0  0  0  1  1  0  0,75  1  0,25 8 

2tip  d  m  1  1  0  0  1  0  1  1  0  1  0  0,5  0,5  1  8 

2tip  d  m  0  1  1  1  0,5  1  0  0,5  0,5  1  0  0,5  0,5  0  7,5 

2h  d  m  1  1  0  0,25 0,25 0,25 0  1  0,5  0,5  1  1  0,75  0  7,5 

Valg  d  m  1  1  1  1  0,5  0  0  0  1  1  0  0  0,5  0,5  7,5 

2tip  d  m  1  1  1  1     1        0  1  1  0,5        7,5 

Valg  d  m  1  1  0  1  1  0  1  0  1  1  0  0  0,5     7,5 

2c  d  k  1  1  0  1  1  1  0,25 0,5  0  0  0  0,25  1  0,25 7,25 

2c  i  m  1  1  0  0  1  0,5  0  0  1  1  0     1  0,5  7 

2h  d  m  0,5  1  0,5  0,25 0,75 0,25 1  0  1  0,75 0     1  0  7 

2tip  d  m  1  1  1     0  1  0  0,5  1  1  0     0,5     7 

2a  d  m  0  1  1     0,75 0,5  0  0,5  1  1  0     1  0,25 7 

2mf  d  m  1  1  0  0  1  0  1  0  1  1  0  0  1  0  7 

2c  i  m  1  0  1  1  0,25 0,25 0  0  1  1  0  0  1  0  6,5 

2tip  d  m  1  1  0  1  0,5  1  0  0  0  1  0     0,5  0,5  6,5 

2h  d  m  1     0,25  1  0,75 0,5  0     1  1  1  0        6,5 

2mf  d  m  1  0,5  0  1  1  0  0  0  0  1  1  0  1  0  6,5 

2tip  d  m  1  1  0  1  0,5  0  0  1  0  1  0  0,5  0,5  0  6,5 

2c  d  k  0,75  1  0  0  0  0,25 0  0,25 1  1  0,25  1  1  0  6,5 

2c  d  m  1  1  0  1  0,25 0,75 0  0  0  0,5  1  0  1  0  6,5 

2a  d  m  1  1     0  1  0,75 0  0,5  0  0  1     1     6,25 

2h  d  m  1  1  1  0  1  0,75 0  0  0  0,25 0  0  1  0,25 6,25 

2tip  d  m  0  1  0  1  1  0  0  0  0  0  1  0,5  0,5  1  6 

2c  i  m  0  1  0  1  0  0,5  0  0,5  1  1  0     1  0  6 

2mf  i  m  1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0     1     6 

2c  d  k  1  0,5  0  0,25 0,25 0,25 0,25 0  1  1  0     1     5,5 

2tip  d  m  1  1  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0,5  0  5,5 

2mf  d  k  1  1  0  0  1  0        1  1  0  0  0,5     5,5 

Valg  d  m  0  1  0  1  1  0  0  0  0  1  0  0,5  1  0  5,5 

2mf  i  k  0  1     1  1     0  0  1  1  0     0,5  0  5,5 

2h  d  m  1  1  0  0,5  0  0,25 0  0  0  1  0,25     1  0,25 5,25 

2mf  d  m  1  1  0,5  1  0     0  0  0  1  0     0,5  0  5 

2h  d  m  0,5  1  0  0  0,25 0,5  0  0  0,75 1  0  0  1  0  5 

2mf  d  m  0  1  1  0  0  0  0  1  0  0  1  0  1  0  5 

2h  d  m  0,5  1  0  0  1  0,5  0  0  0,25 0,5  0  0  1  0  4,75 

2mf  i  m  0  1  0,5  0  0  0  0  0  1  1  0     1     4,5 

Side204af242

klasse  etnicitet  køn  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  total 

Valg  i  m  0  0,5  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0,5  0,5  4,5 

Valg  d  m  0  1  1  0  1  0  0  0     0  1  0  0,5     4,5 

Valg  i  k  0  1  1  1     0        0  1  0     0,5     4,5 

2mf  i  k  0  1  0  1  0     0     0  1  0     1  0,5  4,5 

2tip  d  m  0  1  0  1  1  0  0  0  0  1  0  0  0,5  0  4,5 

Valg  d  m  1  1  0        0  0  0  1  1  0     0,5     4,5 

2tip  i  m  0  1  0  1  0,5     0  0  0  1  0  0,5        4 

2tip  d  m  0  1  0  0  1  0  0  0  0,5  1  0     0,5     4 

2h  d  m     1  0  0,25 0  0,25       1  0,25 0     1     3,75 

2mf  i  m  0  0  0  0  1  0  0  0  1  1  0  0  0,5     3,5 

2mf  i  k  1  1  0  1  0     0  0  0  0  0  0  0,5  0  3,5 

2mf  i  k  1  0  0     1     0  0,5  0  0  0     0,5     3 

2mf  i  k  0  1  0  1  0  0  0  0  1                 3 

2mf  i  m  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0     0,5  0,5  3 

2mf  i  k  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0,5  0  2,5 

2mf  i  m  0  1  0  0     0  0  0     0,5  0     0,5  0,5  2,5 

Valg  i  m  0  0  0        0  0     0  0  0  0  0,5  0,5  1 

Side205af242

Bilag17Interviewmedfireelever,derklaredesiggodtitesten.Herfindestransskriptionerafdesamtalervihavdemeddefireelever,derhavdeklaretDetektionstest3stortsetfejlfrit.Idissesamtalervarderfokuspå,hvaddetvarelevernegjorde,forat”knækkekoden”ogkommefremtiletkorrektresultat.MASerMaritSchou,ogBerBentePihl.DetofraOTGInterviewmedtoelever,DaogMa,derklaredesigrigtiggodtitesten.Spørgsmål5MAS:”Prøvatsepåopgave5.Herfremgårdetikkehelttydeligt,hvaddeterfaktiskharmålt.HvadtænkteI,daIsådenopgave?”Da:”Jegskullefindenogetfravirkelighedensomjegvidstehvorhøjvar,fxetmenneske,fordeterjoforskelligthvorhøjetagererpåhuse.Nuvedjegikkehvorgennemsnitshøjdenafetmenneskeermenmåske180cmogsåmåltejegsimpelthenhvormangegangepersonenkunneværeopadhuset.(viserhandlingenpåtegningen).Ma:”Ja,jeggjordedetsamme.Jegbrugtehamidenrødeogkomfremtilathanvar1cmpåbilledetognokmellem180og200cmivirkeligheden.”MAS:”Hvorfortogduligedenrøde?”Ma:”Jahanstodjotættestpåbygningen,såperspektivetikkesnyder”MAS:”oghvormålteIhuset?”Da:”Mankanikkesedetpåtegningen,menjegmåltesammestedsomhanstod,hamidenrøde.Ma:”ogsåevalueredejegbagefter.Jegtaltehvormangeetager,ogsåomresultatetvarnogenlunderealistisk”Kendetegn:atkendenogettilverden,atforståperspektiv,atvurderemodelSpørgsmål6MAS:”HvadbiderImærkei,nårIlæserteksten?”Da:”Jegbidermærkeiatdeneneerrelativogdenandenerfasttal,ogsåvedjeg–hvisjegnuvisualisererdenindeihovedet–denenebliverenellerandenkurve,derblivermindreogmindre,hvorimoddenandenerenretlinje,ogsåsammenlignerjegdeto.MAS:”Såduserfaktisknoglegraferfordig.Duprøveratlavedenpådenmåde.”Da:”Ja.”MAS:”Hvadmeddig,Ma?”Ma:”Detgørjegikkerigtigt.Jegserligesomenkageformig,hvormanheletidenfjernernoget,sådan1%afdetmanhar.Ogsåkanmanse,atderblivervedmedatværenoget.Deterligesomdetderparadoks(Zenonogskildpadden).Kendetegn:atskabebilleder

Side206af242

Spørgsmål7MAS:”Detvarenmegetupopulæropgave.Rigtigmangeelevertogennemsnittetafdetohastigheder”Ma:”Detførstejeggjordevarogsåbareattagegennemsnittet,ogsåtænktejegneeej.”Da:”Vedmigvardetfaktiskenhedernederikkepassede.(…)Derforblevjegvedmedatlaveompåbrøkerne,ogjegblevvedmedatskrivedemopanderledes.”MAS:”Hvadvardet,dergjorde,atIhavdeenfornemmelseaf,atdetvarforkert,(bareatlæggetallenesammenogdelemedto)?Resultaterneafdetometoderjoikkeheltforskellige,såmanstrakskanse,atnogeterforkert.”Ma:”Jegvarsådanlidtusikkerpådetførsteogsåtænktejegatjegvarheltsikkerpå,atdetvarrigtighvismanregnerdetpådenmåde,jegsåhargjort.Såmåmannokhellerebrugelidtmeretidpådet,ogsåværesikker.”(MASsammenlignermednårfolkbrugerregnereglerdeikkeersikrepåellernoglesætningerdeikkeheltforstårmenmanbrugerdenalligevelogdeterforkert.MenIvilgerneforstådetmangørogikkebarebrugeenellerandenregneregel)Ma:”Detkomsådanlidthenadvejen–deternoksådanherdetskalregnes,menjeghavdeikkenogenfastidéomhvordanpåforhånd.Da:”Detsammeher.Detvarførsti2.eller3.forsøgatdetsådanrigtiggikopformig,hvordandetskullehængesammen.”Ma:”Såvardettilgengældrimeligtydeligtatdetvardenrigtigemådeatgøredetpå.”Kendetegn:overensstemmelsemellembegrebsdefinitionerogbegrebsbilleder.Atmanikkeovergeneraliserer.Spørgsmål8Herhavdeelevernemegetsværtvedatsætteordpå,hvaddehavdetænkt,foratkommefremtilløsningen.Denenehavdeberegnetpizzaensareal/krogdenandenpris/arealenhed.Detfremgikdog,atdehavdeetbilledeatenpizzasomenskive(tykkelsenvarikkenødvendigattagehensyntil,dadenvardensammeforbeggepizzaer).Nårmanførstsåpizzaensomencirkelskive,varderikkelangttilatberegnearealerneafdetopizzaerogsedemiforholdtilprisen.Kendetegn:atskabebilleder.Spørgsmål11MAS:”HvadtænkerIpå,nårIskalløsedenneopgave?”Da:”Jegskalfindeudaf,hvadenkubikcmvejerogsågangedetoptilenderhar16.Jegkanhuske,atjegtænkte,atdethervarforholdsvissimpelt.Mensåkomjegtilattænkepå…jegtænktekunpåoverfladearealet,ogsåvardetnæstenbareatgangedetmedto.Mensåkomjegtilattænktepå,atdetvarjofaktiskenterning(viserenterningmedhænderne),ogsåblevjegnødttilligeatlaveminetankeromigen.”(…)Ma:”Deterenrumligkasse”.

Side207af242

MAS:”Iharaltsåsådanetbilledeindenihovedet?”Da:”Ja,ja.Jegtrordetermegetdet.Tænkerikkesåmegetoveromatdeterentræterning,mendeterenfirkantetkasse.Ikkehvorstordener,menatdeternogetderbliverligesomstørre.”(Visermedhænderne,atkassenbliverstørre).Kendetegn:atskabebilleder.Spørgsmål12Ma:”Ja,dentogmiglangtidatfindeudaf,denneher.Jegtrornok,detvardenjegbrugtelængsttidpå.Jegtrorfaktisk,detvaren,jegsprangover,ogsåtogigentilsidst.”MAS:”KanIpegepå,hvaddetvar,dervarsåsvært?”Ma:”Deternok,atderersåmegettekst,ogjegtænkteikkeligepå,atdetvarenligning.”MAS:”Deterpakketrigtiggodtind,atdeterenligning,manskalløse.”Da:”Detsværestevaratse,hvaderdetegentlig,jegskullelaveher.Såvarderdetoformlerder.Såskullejegnetopfindeder,hvordekrydsedehinanden.Ogigen,såsynesjeg,atjegrethurtigtvisualiserededetsomtolinjerigen.Jegvidste,atdevillerammehinandenpåetellerandettidspunkt,fordidenene…,ja.Såjegsynesegentligikke,atdentogsålangtidformig.Detvarigendetdermedteksten,jegsynesvardetsværeste.MAS:Mankansige,atdedertoligninger,delignerjoikkerigtigsådannogleligninger,viplejerathave!Ma:”nej,deterligedet”MAS:”HvordansåIegentlig,atdetvarligninger?”Da:”Deterdetmed,atnårdetstårsådanmedetlighedstegn,såoftesterdebogstaverder(peger),deteregentligbarevariabler.Detharjegikkesværtvedatgenkende,variabler,ogsåvidstejeg,atsåkunnejegerstattedetdermedhinanden,ogsåkunnedetletsættesopmodhinanden.Alderdetkunneblivetilxogsåvillemanfåenafhængigvariabelogenuafhængigvariabel.”MAS:”D,jegkanse,atduharskrevet”alder”ogM,duharfaktiskbrugt”x”!”Da:”Deterjoigendetdermed,atdeterjofuldstændigligemeget,hvadderstår,fordeterjobareenvariabel,sådumåselvkaldeden,hvadduvil,oghvadderforvirrerdigmindst.Detersådansetdetbedste.”MAS:”Ogdeterfaktiskogsårigtigsværtatforstå,atsåkaldervidenxidagogHenrietteimorgen,ogifysikkaldervidenaltidt.Da:”Deterogsådet,jegmangegangehørerindeiklassen.nårjeggårrundtoghjælper,ogdetgørjegoftestmeget.Såfinderjegudaf,atdeforstårfaktiskikkehelt,detmedvariable,ogdeterfaktisknogetafdet,deharutroligsværtved.”Kendetegn:atskabebilleder,atforståvariabelbegrebet.Symbol‐ogformalismekompetencen.

Side208af242

DetofraCPHWestInterviewmedtoelever,M1ogM2,derklaredesigrigtiggodtitesten.Spørgsmål2B:”Opgave2,PrøveatsehvadderståroghvadIharskrevetoggenkendehvaddeterIhargjort.M1kanduhuskehvaddetvardutænktedadugikigangmeddenopgave.”M1:”Ja,jegtænktebareathvismanta’raltsåheleopskriftensombliverengangdressing.Såfårman100ml.Såskalmanlave150mlsåskalmangangemed1,5.Foratfådetmanskalbruge.”B:”Sågangerdumed”M1:”1,5”B:”Med1,5pådemallesammenellerbaredendublevspurgtom?”M1:”Såskalmanbrugesalatolie.”B:”Ja.VardetdetsammedugjordeM2?”M2:”Ja,detsamme.”B:”Detvardetsammedutænkte.Ikunneseatdetvardender1,5.Jegvedgodtdetlyderlidtåndsvagt,menhvordankanIsedetskalvære1,5mangangermed?”M1:”Deterjofordimansiger100mler1,såmå150svaretil1,5.Detsvarertilatmandividerermed100.”Spørgsmål5B:”Ibladrervideretilopgave5,detvardenmedhuset.M2,vildulæggeudmedatfortællehvaddu..”M2:”Altså,jegprøvedeatregneudhvorhøjthusetvarudfradenrødemandderstodder(pegerpåbilledet)ogsåantogjegbareatdengennemsnitligehøjdepåenmander1,80meter.”B:”ja,hvormålerdusåhennepåhuset.”M2:”Densammesidesomdenhanstårpåogsåtagerjeghvormangegangehankanståovenpåsigselv.”B:”Detvilsigeatdetercirkaherdumålerogpegerpåbilledet.”M2:”ja”B:”Detvilsigsådancirkaderhvorhanstår?Hvorformålerduikkeudeisiden?”M2:”Ja,detvedjegfaktiskikke.Atjegikke..altså..Jegtog..Detvillenokværelidtnemmereatseher,eftersomdeterderhanståriforholdtil..ja..eh..”B:”Ja,deterrigtigtdetduhargjort,determeresådan”M2:”Ja,jegvilbare..Antageatdetnokernemmereeftersomdererherhanstår,hvorimodhanbliverrykketlidtlængerefremsåvilhansestørreudiforhold”B:”Ja,deternemligligepræcisathavederigtigeforhold.M1hardu..”

Side209af242

M1:”Ja,jeggikogsåudfradenrødemand.Jeggikbareudfraathanvar1.85højogsåsattejeghantilatkunneværetogangeistueetagen,togangepåførstesal,ogtopåalleetagerne.Derformådeværeligehøje”B:”Altsåduharogså,jaduhartaltetagernepå”M1:”Ja,jeggjordeogsåligesomM2,dastørrelsesforholdetopskal,altefterhvordanbilledetertaget.”B;”Ja,deternemligdet”Omverdenkendskabogkendskabtilperspektiv.Spørgsmål6Bente;”Såerderopgave6.M1vilduikkelæggeud.”M1:”Øhh,jegharsvaretatdebeggeharret.Dervilvære1miotøndeolie100gangepå100miotønderolie.Detvilsåtage100år.Hvismansåtager1%afdetderertilbage,såvildetaldrignogensindeblivetømtud.Detbliversåutroliglidtdutageroptilsidst.”B:”Erdersånogetattageudtilsidst?”M1:”Dervilværenogetattageaf,spørgsmåleterommanfårnogetudafattagedet.”B:”Ja,derligesomengrænseforsåerderikkesåmegetafdet”M2:”Dervilikkerigtigværenogetprofitidettilsidst”B:”Nej,detvardernokikke.Deterrigtigt,atdetvilleholdemegetlængere.Erdetnogenafdesammetingduharskrevet”M2:”Ja”Kendetegn:VurderingafmodelSpørgsmål7B:”Syveren.Denvarderogsåmangesjovesvarpå.SomjeghuskersåvarjeresogsåOkher.”M1:”Altsåjegharsagtsådanhvorlangtidvildettageatgåop.Såerhunlangsommereendnårhungårned.Oghvorlangtidvilhunbrugepåatgåned.ogsålæggedetotidersammen.”B:”Ja,oghvadgørdusåforatfindegennemsnitshastigheden.?”M1:”Jegharsåsagtåhh..Jegharskrevetathungår4km/timenfordihungår8kmpåtotimer”B:”Ja,detjodet.HvadmeddigM2harduogsågrebetdenanigåseøjnesomenheltalmindeligfysikopgave”M2.”Ja,jegstartedemedatregneudatdettoghendedetotimeratgåturen.Ogsåhendes,jahalvdelenafturen,ja,mereendhalvdelenafturenharhunfartenpåtrekilometeritimenogsåsekskilometeritimenidenandentid.Ogsåbareregneefterjegharfåetde4kilometeritimen.”B:”HarInogenideeromhvaddeandrekunnehavetænktforkert?”M1:”Deharveltaget3og6ogsåfundetmedianen.”B:”Ja,deterderrigtigmangederskriver”Kendetegn:Overensstemmelsemellembegrebsdefinitionerogbegrebsbilleder.Atmanikkeovergeneraliserer.

Side210af242

Spørgsmål8M2:”Ja,jegerstartetmedatregnearealetudfordetoforskelligepizzaer.”B:”Hvorforerdubegyndtatregnearealetud?”M2:”Deterjosåmegetpizzadererogsåharjegdivideretmedprisen.Arealetmedprisenogsåfindermanudafhvormegetmanegentligfårpr.krone.Såkanmansehvadforendererbilligst”B:”Mmm.HvadhardugjortM1?”M1:”Jegvalgteatsehvilketalgikbeggepriseropiogdeterså120,ogsåharjegregnetudhvorstorenpizzaogsåselvfølgeliggangetmed3eller4altefterhvilkenpizzamanhar.Ogsåkanmanfindeudafhvilkenenderhardetstørstearealtilsidstogdetersådentil40kr.”Kendetegn:SkabebillederSpørgsmål11B:”SåskalIbladreheltfremtilspørgsmål11.M1hvisduvillæggeud.”M1:”Ja,jegharsagtatdenbliver8gangesåstor,fordiatsidernepådenførsteterningbliverså2gange2gange2deter8.ogsåerdetatnårdebliverdobbeltsåstorepådenandensåerdet4gange4gange4somgiver64ogsåharjegsagt64deltmed8ogdetgiverså8,sjovtnok,også8gangedenvægtdensådanhar.Detersomsagtværeforholdetmellem”M2:”Deterdetsammejeghargjort.”B:”Dererikkenogenafjerderharlavetentegning?”M1/M2:”Næj”B:”Nej,erdetfordiIkansedetindenihovedet,nårIsidderoglaverdet.”M1:”Jegkunnegodtseatlagdeduenterningderogenterningder,ogsåenderogenherså(sidderogformeriluften)vildervære8ialt.Jegledtenokeftersvaret8ogsågangemed4,8.Kendetegn:SkabebillederSpørgsmål12B:”Ogsåerderdensidstjegvilhøreom,deterspørgsmål12.”M1:”Jegtogslavemetodenogtogmatematikkenogregnedeudhvornårdenenevarlavereenddenanden.Ogsåsagdejegnuerjegpludseligfaktiskkommettilatdegiverdetsammevedde40år.Såtogjegetårmereogså”B:”Hvisduskullelavedennu?Nuduharfundetsvaret,kunnedusåhavegjortnogetandet?”M1:”Ja,jegkunneprøveatsættesådansetisolerexogså..Detvardenmådederførstfaldtmigindså,..”B:”Atprøvesigfrem”M1:”ja,deterdetmanhargjortdeførstmangeår.”B:”Såvardetgodtatdetvar40ogikke40,7ellersådannoget.”Begge:”Ja,”(smågriner)B:”HvadgjordeduM2”M2:”Jegharogsåsiddetogtastetindpålommeregneren.”

Side211af242

B:”SåvardetjogodtatImåttebrugelommeregneren.KanIsenu,atfaktiskkunneIhavesatdetoudtryklighinanden.DeterjosådansetdetIgør.IsætternogleforskelligetalindogsåfinderIudafhvornårdeerens.Detkunnemanhavegjortvedatlaveenligning.”Kendetegn:Symbologformalisme

Side212af242

Bilag18Interviewmedfireelever,derklaredesigringeitesten.InedenståendetransskriptionererMAS=MaritSchou,ogB=BentePihl.

SamtalemedelevA,OTGSpørgsmål2MAS:”Duharlavetdenrigtigt!Kandufortællehvordandugjorde,forduharikkeheltbeskrevetdet.Jo,måskenæsten.Menkandualligevelfortælle,hvaddersketeindenidithoved?”A:”Jegfikjolagtsammen,athvisjegskullehave100ml,såvardetlogiskatsåskullemanbruge60og30og10.Hvorjegsåkomitankeromat50mlekstradeterjodethalveaf100mlsådetmåtteværeathalveredeforskelligeingredienserforatfå150mlialt.Formankanikkebaresigeatsåtagerjegnogetmereatdether,forsåbliverdenikkesålækker.”Bådepræmatematiseringenogmatematiseringengårfintidenneopgave.Elevenharet”billede”af(kendskabtil)salatdressingogerenddaistandtilatevaluereiformafenforestillingafsmagen.Atelevenkunfårethalvtpointforopgavenskyldes,atsvaretikkeerskrevetop,skøntdetafsamtalenfremgåratopgavenerløst.Spørgsmål4(ekstra)MAS:”Såerderopgave4.Denerinteressantpåfleremåder.Delskiggedevipådenforetårsiden,derstoddenbarelidtanderledes,ogsåfordidudennegangfaktiskstarterfuldstændigkorrekt.Deterførsthertilsidst,atdergårnogetgalt.”A:”Nå.”MAS:”Hvadhardugjort?”A:”Jamenjegharjoantaget,athverlærerharialtsekselever,fordidererseksgangesåmangeelever,somdererlærere.ogsåsådanregnedeudhvormangeelevererderpåetbestemtantallærere.”MAS:”Ogdeterrigtigt.2lærerehar12eleverosv.Såspørgerjegbare,hvordanerdusåkommetfremtildemder?(pegerpåformlerneibesvarelsenINDSÆTTES).”A:”Detvarligedet,dervirkedelogisk,syntesjeg.”MAS:”Harduprøvetomdeterrigtigt?Hvordanvilduafprøveomdeterrigtigt?”A:”Sådansættenogleforskelligetalind,ogseomdetpassermedatdeter6gangesåmange.”MAS:”Hardugjortdet?”A:”Næh.”MAS:”Prøvatgøredet!”A:”Hvisvisiger2elevergange6,såerdetjo12,ikke?Detpasserikke.Såskulledetnæstenvære”lærer”,derstårher(pegerpå”elev”iformlen)ogsågange6såmanfåreleverne.Hvisvisåsiger(skriver)E=Lgange6.”MAS:”Såprøvatsætteind”.A:”Hvisvisiger,atvihar3læreregange6,deterså18elever.”

Side213af242

MAS:”Erdetrigtigt?”A:”Omdeter6gangesåmange?Ja,hvisderer6eleverpåhver.Skaljeglaveflereudregninger?Elleromjegbareskalomskriveden?”MAS:”Kandumåskesætteenringudenomdetrigtigeudtryk?”A:”Detmåjosåværedenher.”MAS:”Hvadhardusålærtligenu,iforholdtilnæstegang,duskallavesådannogether?”A:”Jegskalprøveatsættenogentalind!”Spørgsmål5MAS:”Opgave5,hvadlavededuder?”A:”Jegfortaltebarekort,atjegmangledeetmålestoksforholdiforholdtilbygningen.Såjegharegentligsomsådanikkelavetden,forudframenneskenekanmanikkesigehvorstorbygningener.Menjegvilsige,athvisdervaretmenneskeståendedirekteopafher(pegerpådetforrestehjørne),Såkunnevimåskefindeudafdetvedatantageatviharengennemsnitshøjdepåetmenneskesomså…hvormangemennesker,mansåkanstableopaf”.MAS:”Hvaderproblemetvedatgøredet,nogenafdeandresteder,hvorderstårmennesker?”A:”Denerskæv.Mankansige,athvisvihavdeetmenneskeståendeher(pegerpåbygningenskantivenstreside),såhælderdenformegether(pegerpåtagetskant)iforholdtilhvordanviharvinklenindpåbygningen.”Samtalenviser,atAfaktiskeristandtilatpræmatematisereproblemet,menerblevetbremsetdahuneropmærksompåperspektivetibygningen,ogderikkestårenperson,somkanbenyttessommålestoksforhold,pådenlodrettelinjeforrestibilledet.DetfremgårikkeomAvilleværeistandtilatudførematematiseringenipraksis,hvisdettehavdeværettilfældet.Spørgsmål6MAS:”Kanduprøveatuddybe,detduharskrevet?”A:”Hvisvisiger,atviharenoliepølher(tegnerencirkel)ogvitager1%afden,såvilderikkeværedensammemængdeioliepølen,fordiduhartaget1%.Såhvismantager1%afdennuværendeoliepøl,såerdet1%afenmindreoliepøl,enddervarsidstmantogafden.”MAS:”Nemlig,oghvaderdetsådersker,nårmanblivervedmedatgøredetårefterår?”A:”Såforsvinderdetjostilleogroligt.Såhørerdetpåetellerandettidspunkt.Detvedjegikke…”Harfintstyrpå,atmanfjernemindreogmindre,menmanglerforståelseforuendelighedsbegrebet(oguendeliglille).Harikkesvaretpåden1.delafopgaven.Samtalenviser,atdethererdestoretal,dererforhindringen.Lavesopgavenomtil100tønder,hvorderfjernes1hverår,erderikkenogetproblem.

Side214af242

Spørgsmål7MAS:”Dennæsteopgave…Densvarededuikkeheltpå!Hvadskalmanstilleopmedsådanenopgave?”A:”Øhm.Manskaljobrugedetotal,dererblevetskrevet.Jegveddetikke.Jegkanikkesemigudafdet.Etellerandetsigermig,atjegskaltænkefysik,forderernoget,mednogetdistanceognogetfart.”Kommerigennemmedhjælpogspørgsmålsom:”hvordandefineresfart?”,”hvorlangtharhungået?”,”hvorlangtidharhunværetomatgåop?ned?”osv.Dererstadigproblemermedalgebraen(”jegerikkesågodtildetdermedbrøker”),daudtrykkeneerstilletop.Bliverhurtigforvirretogkanikkesekvensere,sådeenkeltedeleblandessammen.Spørgsmål8MAS:”Duhartegnetnoget.Detsynesjegerengodidé.”A:”Ja,menjegerikkesikkerpå,atdeerrigtige.Jegsynes,deermegetsmå.”MAS:”Jah,mendetkommerjoanpådetmålestoksforholdigenjo.Hvaderdet?10kronersforskel,ogpizzaenerkun10cmidiameteren.Nårnumankiggerpåsådanetstykkepizza.Hvadplejermansåatmålesådanetstykkepizzai?Hvisdugernevilvide,hvormegetpizzadufår,hvadmålerdusåpizzaeni?Erdetdiameterendumålerdeni?”Goddag,jegvilgernehave3diameterpizza!”A:”…”Kansletikkekommeigangmedopgaven.MAStaleromarealerogrumfangsommålforpizzaen,oghereftergårsamtalenvidere.MAS:”Hvordanfinderdusåudafhvadforenpizza,hvordufårmestforpengene?”A:”Såviljegdaprøveatregneudhvorstordeneriforholdtildenanden,sådanarealmæssigt.Såskaljegjobrugeradius.”MAS:”Kandufindeden,nårduhardiameteren?”A:”Ja,deterjodethalve.”MAS:”Kanduhuskearealetafsådanenpizza?–cirkel!”A:”Detførstejegtænkerpå…detvedjegikkeomerrigtigt.Deterpigangeradiusianden.”MAS:”Ja.(Askriverarealerneopforbeggepizzaer).Nemlig.Dererihvertfaldikkenogentvivlom,atdenstorepizzahardetstørsteareal.Menhvisdunuskalfindeudafvedhvadforendufårmestforpengene,hvadskaldusågøreveddederarealer?Hvadveddumereompizzaerne?”A:”Ikkeandetendhvormegetdekoster.(Skriverdetudforpizzaerne).”MAS:”Oghvordanfinderdusåudafhvordufårmestforpengene?”Gårigenistå.Kommermedforskelligeforslag,menvedikkerigtig,hvadmanfårudafdet.Harenfornemmelseafatdenstorepizzaermegetstørreenddenlille,ogatmanfårmestforpengeneher,dadenkuner10kr.dyrere,mendetlykkesikkeatkommeigennemfornuftigeberegninger.

Side215af242

Deterbådepræmatematiseringenogselvematematiseringen,dergårgalther.Ategnerenstorogenlillecirkel,menkommerikkefremtilatderesarealeretmålforstørrelsenafpizzaerne.Hunhuskerikke,hvordanmanberegnercirklensareal,ogkommersletikkefremtilatdeterforholdmellemarealogpris,manskalfinde.Spørgsmål11MAS:”Detereninteressantopgave,fordenharvifaktiskkiggetpåfør.Dugætterpå8,96.Duharlavetenfintegning(Tokvadrater,hvorsidelængdenideneneerdobbeltsålangsomidenanden),ogduerpåvej...Hvadgælderderomdeneneterningiforholdtildenandenterning?”A:”Denstoreer4gangedenlille.”MAS:”Hvorforfire?”A:”Nårjeglæggerdemopvedsidenafhinanden,sålignerdetatdenkandækkesådanfiregang(peger).”MAS:”Hvorforfikduså8,96?oghvorforskrevdu”dobbelt”?”A:”Ja,detvedjeghellerikke.Fordijegharglemtdefire?Jegtrorikke,jeghartænktvidereover,atdenvarfiregangesåstor.”MAS:”Duharfuldkommenreti,atdetderkvadrater4gangesåstortsomdetder(peger).Menerdetheretretvisendebilledeafterningen?Erdetterningen,mankanseher?”A:”Nej,deterkundeneneoverfladeafterningen.Dermåjoværefireafdempåhverside.Hvismanprøverattegne…(tegnerenrumligfigur)Såbliverdenstørrepåalleleder.”MAS:”Prøvattegnenafdesmåind.Hvorliggerdenhennepådenstore?”A:”Denliggerjoher(tegner).”MAS:”Stikkerdenbagud?ellerliggerdenkunpådenderoverflade?”A:”Denstikkerjobagud.”MAS:”Prøvattegneheledenlilleterningind”A:”(Tegnerheltkorrekt).Denvilliggesådanher.”MAS:”Hvormangeafdesmåkandersåværeidenstore?”A:”(Mumlerogtegner).1,2,3…Detmåjosåvære8udfrahvadjegkanse.”MAS:”Hvordankandusåregneud,hvortungdennyeterningvar?”A:”Skalvelgangemed8.Erdetså4,8ggangetmed8?Detskriverjeglige!”Seretpartal(2og4)ogbrugerdemtilatregnedendobbelteværdiud.Aharlavetentodimensionaltegning,ogvedgodtatdetenearealer4gangesåstortsomdetandet.Mendermanglerdenrumligedimension,detrigtige”billede”påvirkeligheden.Spørgsmål12A:”Denfattedejegikkeenskidaf.Jegprøvedemedenmasseforskelligetal,mendetgikikkeop,ogsågadjegikkemere.”MAS:”Prøvatstarteideneneende,ogsåfåaltdetvæk,derikkeersærligvigtigt.(Megetlangpause).Se,derstår”formel”.Detlignerikkerigtigtenformel.Kandulavedenomtilnoget,så

Side216af242

denlignerenformel?Kaldenogenaftingenenoget,sådetbliverenformel,dukanregnevideremed.”A:”Hm,deterjoenfrekvens.Nukanjegikkehuske,hvadsymboletforfrekvenser.Erdetf?”MAS:”Ja,detkanbådeværeetfogetny.Mendukanogsåbarebrugexogy.Hvaderdetforenmankanændrepåheriformlen?”A:”Deteralderen,sådetervelx,ogdetderersåy.”MAS:”Prøvatskriveformlenned,sådansomduhardennu.(Askriver).Nyereforskningviseratdenfaktiskikkeerrigtig.Nuserdenudpåenandenmåde.Kanduprøveatskrivedenoppåsammemåde?(Askriver).Såhardustregetnogenunder,fintnok.Nuskalmanfindeudafhvornårmaneryngre,oghvornårmanerældre.Hvadskaldusånu?Frahvilkenalderforhøjesdenanbefaledehjertefrekvens?”MEGETLANGPAUSEMAS:”Ladmigspørgeenlillebittesmuleanderledes.Vedhvilkenaldererdetligemegethvilkenformelmanbruger?”A:”Jamensåmådetjovære,nårdeerligmedhinandendeto.”MAS:”Nemlig.Hvordanvildufindeudafdet?(langpause)Serdunogetfordig?(langpause)y=220–x,hvaderdet?”A:”Deterjoendumfunktion.”MAS:”Ja,kandusigenogetom,hvordandenserud?”A:”Denmåjoværelineær.”MAS:”Kandusigenogetomhvadhældingskoefficientener?”A:”xeller–x.”MAS:”Neej.Hvorerdetmanaflæserhældningen?”A:”Nånej.Deter220,erdetikke?”MAS:”Hvorderdetmanaflæser220?”A:”Erdetdenmanaflæserpåy‐aksen?”MAS:”Ja(forklarer).”A:”Deterfordidenvenderforkert.”MAS:”Såprøvatskrivedenop,sådansomdeervandttilatseden.(Askriverudtrykketopudenproblemer).Hvadersåhældningskoefficienten?”A:”Dusigeratdeterikke–x.”MAS:”Hældningskoefficientenerettal.Dererikkenogetxi.”A:”1,‐1.”MAS:”Ja,detertalletforanx’et.Hvordanserdensåud?”A:”Denmåhældesådan(tegner).”MAS:”Nemlig.Hvadkandusigeomdenanden?Dumågerneskriveompådensådenserbedreud.”A:”(Skriver).Detmåsåvære,hvordetoskærerhinanden.”MAS:”Kandulaveenskitse?”Ategnerheltkorrektogviserskæringspunktet.Kanbådesigeatdenandenlinjestarterlængerenedeogermindrestejl.Kanikkeregnesigfremtil,hvordanmanfinderdenrelevantealder.Med

Side217af242

derettespørgsmålkommerAfremtilatdetoligningerskalsættesligmedhinandenogmanskalisolerex.Elevenkanikkeuddragehvadproblemeterudfrateksten.Genkenderikkedetoligninger,dererskrevetanderledesopendhunervandttil.Hunsigerdog,athunharsatforskelligetalind,menatdetikkekomtilatpasse.Detteblevdesværreikkeforfulgtisamtalen.Storeproblemermedsymbol‐ogformalismekompetencen.Derskalmegethjælptil,førxtilsidsterfundet.TilgengældviserA,athunkanbenyttesigafdengrafiskerepræsentationaflineærefunktioner,ogaddenvejkankommefremtiletfornuftigtresultat.

SamtalemedelevM,OTGSpørgsmål2MAS:”Jegkanseatduharlavetenfigur.Kanduhuskehvaddutænkteligedadusådenheropgaveoghavdelæstdenigennemogskulleigangmedatlaveden.”M:”Jegtænktepåprocenter.Fordeter60mlsalatolieog30eddikeogså10soya,ogdegiver100,ogsåregnedejegdetomtilprocent,ogsåtænktejeg:hvorforikkelaveetcirkeldiagramforatillustreredet?MAS:”Sådulavedetegningen,indendugavdigtilatskrive?”M:”ogsåforklaredejegdetmedtekstudfracirkeldiagrammet.Hvormangemlmansåskullebrugeforatfådeder150mldressing.Ogderharjegbaretagethalvdelenafallefelterogsåplussetdem.”MAS:”Hvorforhardutagetligepræcishalvdelen?”M:”Jegtoghalvdelen,fordivikunskullebruge50procentmere.”Skaberetbilledeogbenytterprocenter,somernogetMtidligereharvistathanergodtil.MatematiseringenerfuldførtSpørgsmål5MAS:”Hvadtænkteduder?forduharikkeskrevetsåmeget.”M:”Deterfordijeghartagetenlineal,ogsåharjegmåltherfra(pegerpådenvidemandtilvenstre)fordijegsynesvinklenvarlidtmærkelig(pegerhenmodhushjørnetimidten).Ogsåmåltejegher(pegerigenpåmanden)ogdervarlidtoverencmogsåantogjegbareatdetvarenmforstandardhøjdenforetmenneskedeterca.1,70ogsåtogjegenlinealogsåantogjegatencmvarenmogsåtogjegdenherfraogoptildetøversteheroppe(pegerpåkantenlangshushjørnetimidten)ogdetgavsådanca.10cm.Derbrugtejegmennesker.MAS:”Ja,ditkendskabtilhøjdenafetnormaltmenneske”Hvorforvalgteduatmålebygningenher(pegeroplangshushjørnetimidten)ogikkeher(pegerlodretopframandentilvenstre)?M:”Øh,detvedjegfaktiskikke.Jegtrorbaredeterdenstregher,dengjordeenforskel(pegerpåhushjørnet).Erikkebekendtmedperspektiv,menbenytterenlinje,dersespåbilledet,selvom”målestokken”,etmenneske,ikkebefindersigpålinjen.

Side218af242

Deterpræmatematiseringen,dergårgaltherhvorimodselvematematiseringen,hvormanbestemmerbygningenshøjdevedforholdsberegningerfuldføres.Spørgsmål6Elevenlæseropgavenop.M:”Derharjegsåbaretagetde100mio.tønderogdivideretdetmed100fordeterkun1tøndeeller1mio.tønderomåretogdetgiverså1mio.tønderomåretsomerdetsammesom1%,ogdaerdetdetsamme1mio.tønder=1%omåretogsåharjeggiveAliret.MAS:”HvadmedAya,forhendeharduikkesagtnogetom?”M:”Åhhh.Deterderforjegharlavetdenderpil(biimplikationspil)ogderharjegjobaresagtathvismantager100mio.tønder,deterdetsammesom100%igennem100årsådividererjegdetmed100ogsåfårjeg1%ogdeterdetsammesom1mio.tønderomåret.MASforklarer,ogdegårgennemopgavensammenvedattegnecirkeldiagram.Alismetodeerpåforhåndnæstenmatematiseret,ogvedatomformuleredentilprocentregning,hvoralledeleerligestore,kanMsvareatmetodeneriorden.DerimodgårdetgaltvedAyasmetode,hvoridéenmedatfjernemindreogmindreoliehvertårikkeerforstået,ogverificeringenderforikkekanforetages.Spørgsmål7M:”Hvadharjeggjorther?Derharjegbaretagetgennemsnittet.Jegharbareplusset…Jegskalligeseher:3km,dendobbeltefart,deterså6km.Ja,hunstigeropadenbakkemed3km/tognårhunkommernedadbakkensåerdetmed6km/tfordeterdendobbeltefart.Derharjegsåbaresagt3plusdendobbeltefartsomer6deter9kmitimenogsådivideretdetmed2fordeter2,findgennemsnittet,ogdetgiver4,5.”MAS:”Duharfundetetgennemsnit.Måmangodttagegennemsnitafhastighederpådenmåde?Hvorfortrordumanmåtagegennemsnitafhastigheder?”M:”Jegtrorbare,atdetermedtalatgøre.Jegsådervarettalogsåsattejegkmbagefter.Matematiseringenbeståriatmanskalbestemmehvorlangtpigentilbagelægger,oghvorlængehuneromdet,menMmangleretbegrebsbilledefor”fart”ogovergeneraliserer.Deterderforpræmatematiseringen,dergårgalther.Spørgsmål8MAS:”Såerderpizzaen.Hvadtænkteduder?”M:”Derharjegtegnetenpå30diameterogenpå40diameterogsåharjegsådansetbarelagtdenher(denlille)indidenher(denstore).Såharjegtaget2pizzaerogfåetdensamledediametersomer40ogsåerjeggåetindogharkiggetpåhvormangegangestørredenherdiameterdeter10ogdetharjegillustreretsådanher(senoter)ogsåharjegsåsagtattil30kr.derfårmanlidtmereendhvismankunkøberentil40kr.Ellerdeterdetsamme,undskyld.Trorjeg,vardetsådanjegskrev?(Læsersintekst.)JAdaharjegskrevetatdentil30kr.kanbetalesigmereenddentil40kr.”

Side219af242

MAS:”Ladmigligetegneen,derpasserlidtbedremedteksten.(Tegner2pizzaerindenihinanden,hvordeneneharendiameterpå3ogdenandenpå4.)Prøvligeatmarkeredetstykkepizzaafdenlille,sommanfårfor10kr.”M:”(Tænker).Deterentredjedel.”MAS:”Såfarvervifor10kr.pizza.(Skravererentredjedel).Nårnumankøberdentil40kr.hvormegetfårmansåmere?Hvormegetpizzafårmanfordeekstra10kr.?”M:”Dether(pegerpåringenudenomdenlillepizza)MAS:”Hvorstortsynesdu,atdetserudiforholdtildetduharfarvet?”M:”Jegsynesdetserstørreud.”MAS:”Hvisnumanfårmerepizzafor10kr.der(pegerpåringen)endmanbetalerforetstykkepizzaderinde(pegerpådetskraverede)for10kr.hvadforenpizzakansåbedstbetalesig?”M:”Denhertil40kr.”Ipræmatematiseringengørelevensigikkeklartatbeggepizzaerharsammetykkelseogderderforertaleomencylinder.Derdannesbillederafcirkelskiver,mendadeterordet”diameter”,somforekommeriteksten,bliverdetdenneogikkearealet,derbenyttessommålforpizzaernesstørrelse.Mlaverfigurermendeersåmisvisendeistørrelsesforholdetatmatematiseringengårgalt.Spørgsmål11MAS:”Denderopgave,kandufortællenogetomden.Derharduogsåtegnetenfigur.”M:”Derharjegbaretagetenterningpå4cmogsåharjegbrugtminlinealtilattegneenpå2cmogsåkanjegse,atderernogletommehuller,derpasserrigtiggodttildeher2cm.SÅharjegbaresagt,atdener4gangestørreforderkanvære4afdeder2cmindeni.Ogsåharjegsagtdethertal(pegerpådensiteten)gangmed4forderkanvære4i.ogsåfårjeg19,2g.MAS:”Deternæstenrigtigt–ogsupergodtatduhartegnet.Problemerer,atduharlavetenfladtegning,menhvordanserenterningudi”verden”ellerivirkeligheden?”M:”Nåja,fuck.detharjegglemt.Denserjosådanud(viserenrumligfigurmedhænderne).Deterikkekunfladt.”MAS:”Kandulaveenskitseafsådanen?”M:”Jegerdårligtilattegne.(Tegner).MAS:”Fint.Deterdenstoreduhartegnetder.Hvorliggerdenlilleterning?”M:”Hernedeihjørnet”.MedlidthjælpfårMtegnetenrumligfigur,dererdeltopi”desmåterninger”.MAS:”Hvormangeafdesmåterninger,kandersåliggeidenstore?”M:”6?2?”MAS:”Prøvattælle”M:”1,2,3…”(Skraverernogleafterningerne,menikkealle).”MAS:Hvadmeddendernedeihjørnet?”M:”Jegkanikkerigtigse,hvordenender.”

Side220af242

MAS:”Jegvilleønske,atjeghavdeenrigtigterningmedtildig.Menprøvatseher…”(laverenrumligterningmed6kvadratiskepost‐itsedler.M:”Nåja,nukanjegsedet.Såmådervære8.”Mlaveratterentegning,mendadenertodimensionalogikketredimensionalsom”virkeligheden”,gårmatematiseringengalt,nårfigurenbenyttes.Tilgengælderselveproblemløsningen,hvorderbenyttesforholdsberegninger,korrekt,Spørgsmål12DenneopgaveharMikkelavet.Detvisersig,athanikkekanfindenogenmeningiteksten.Skøntproblemetermatematiseretidetdetolinjersligningerergivet,formårMikkeergenkendeligningerne,dererskrevetopmedheltandrebetegnelserendvanligt.Mnårderforsletikkefremtildenmatematiskeproblemløsning,derellersikkevillehaveværetproblematisk.

SamtalemedElevC,CPHWestSpørgsmål2B:”Vikiggerpåopgave2først.Kanduprøveatfortællelidtom,hvisdukanhuskedet,hvilketankerdugjordedigdaduskulleløseden.”C:”Ja,jegtænkteathvisjeglæggerdethelesammensåerdetjodendressingmanskalbruge,ikke..(Bnikker)og100%afdet,deterjo100%.Så30%afdetvilsåværehalvdelenafalledetalder.”B:”Ja,ikke30%?Vel?”C:”Nej,50%”B:”Ja.”C:”Såhalvdelenafdetvilværehalvdelenafalledetalogdetvarjosåhvormegetsalatoliemanskalbrugeekstra,ikke.Sådetvillejobarevære30mlaftingene.”B:”Ja,derstårfaktiskikkeatduskalfindehvormegetekstraduskalbruge,vel.”C(læserpåopgaven):”Nå,okay,ikkeekstra,menhvormegetjegskalbrugeialt.”B:”Deterjosådansetrigtigtdetduhargjort,menditsvarerikkeheltligeiskabet.Menjegtrorduhartænktdetrigtige,duharkunnetseatderskulleenhalvportionmerei.”J:”Derskullehavestået90”Erusikkerpåtalleneogfårikkesvaretpådetderbliverspurgtom.Herertaleomproblemermedproblemløsningenogafmatematiseringen.Spørgsmål5B:”Detnæstespørgsmåldeterspørgsmålnr.5.Prøvatfortællehvaddugjorde”C:”Jegtænkte,atjegskalførstfindeetellerandetjegkansammenlignehusenemedsomjegnogenlundekendermåletpå.Jegregnermedatengennemsnitligspersonshøjdeerca.160trorjegdeterjegharskrevet.Ogsåtogjegminlinealogmåltehvorhøjhamidenrødevar.B:”Hvorforvalgteduham?”C:”Det,detvedjegfaktiskikke.Fordihanvardenenestemedenandenfarve.Ellerhende(hankiggerpåbilledet).”B:”dumålerdenpersonoghvadgørduså?”C:”Såfårjeghamtil1cm.Ogsåmålerjeghvorhøjthusetdeter(Hanviserdetmedfingrene).Ogsågangerjegantalgangehanshøjde..ellerdividere.”

Side221af242

B:”Erdetherdumålerhuset(viserdetsammestedsomfør)?”C:”Ja.”B:”Hvisdunuserderhvorhanstår.Erhusetligesåhøjtderoversomher.(derbliverpegetpåbilledet)”C:”Nej.”B:”Nej.”C:”Jegmåltedetpådethøjestepunkt,hvisdeterdet.”B:”Mentrorduathuseterhøjereherihjørnet?”C:”Egentligikke,detjonokdetderhvaderdetdethedder..duhartagetbilledetsådanetstykkefraoptisk..”B:”Ja,hvortrordudetermesthensigtsmæssigtatmålepåhusets?”C:”Detvillenokværeher(hanpegetnupåstedetveddenrødemand).”B:”Ja,deterfaktiskderhvorhanstår.”C:MmmB:”Såvardetnokblevetensmuleanderledes.Hvisdunuhavdevalgtdenherperson.Hvorforhavdedetværetenskidtidéatgøredet?Deterrigtigtatvælgedenrøde.”C:”Fordihamellerhendeersålangtfrahuset,athunvilværemegetstørreiforholdtil.”B:”Ja,deternemligrigtig.Deterfaktisklidtdetdukommertildadendelerhusetertætterepåiforholdtilhvorhamellerhendefaktiskstår.Såherkanmanogsåsigeatspørgsmåleterdelvistbesvaret.Dukansenogetafdet,menduharikketænkt(pegetpåhjørnetafhusetpåbilledet)”C:”Nej”Hardelvisfatidet,menfårikkebrugtdetisinegenbesvarelse.Desudenmanglervalideringenafsvaret/modellen.Spørgsmål6B:”Ok.Dumågernebladrevideretilnæstesideogspørgsmål6.”C:”Derharjegsvaretforkert.Kanjegsenu.”B:”Detkandusenu.Hvadhardusvaret,hvisduligeskulleresumere?”C:”AtAliharret.”B:”Ja.”C:”Fordihvisdutager1miotønderprårogderer100mioialt,såvilderikkeværemereolieefter100år.”B:”Hvadsånu?Dumenerduharsvaretforkert.”C:”DetjofordiAyaegentligogsåret,fordiattagerman1%iår,såvildetikkeværedetsammesomattage1%tilnæsteår.Dervildetvære1%afenmindredel.Sådetvilvarelidtlængere.”B:”Ja,detvilvarelidtlængere.Vildetværeslutpåetellerandettidspunkt?”C:”Ja,”B:”Hvornårvildetværedet?”C:”Nej,vent.Detvildetegentligikke.Fordihvisviblivervedmedattage1%,Såvildetbarebliveuendeligtmindre.”B:”Hvismankiggerpådetipraksis?”C:”Såvildetløbetør.”B:”Ja1%afingenting,detbliverikkemegettilsidst.Sådetharduretiatdenhavdeduikkerigtig.”

Side222af242

Harfundetudafatbeggeharret,mereellermindre.MedhjælpfinderhanudafAya’smetodeløberogsåtørtilsidst.Deteripræmatematiseringenatdetgårgalt,dahanikkeiførsteomgangerklaroveratdetertomodellerogderforbliversvaretikkedetønskede.Spørgsmål7C:”Dererjegnokkommettilatlaveenfejl.Dethørtejegogsålidtfradeandre.Detvarikkeheltdetspørgsmåletvar,somjegharsvaret.”B:”Nej,hvadhardusvaret?”C:”Jegharsvaretihvorlangtiddettager.”B:”Ja.Duharsvarethvorlangtiddettager.”C:”Ja,jegtænkteikkeheltovergennemsnitsfart.”B:”Nej.Kanduhuske,dadusidderoglæseropgaven,hvaddetvardusadogtænktesidendusvaredesomdugjorde.”C:”Jegtrorjeglæstespørgsmåletlidtforhurtigt.Altsåhernedeoversåjeg..jeglæstekundetmedhvadfortaljegskullebruge.Menudenattænkeoverhvadspørgsmåleter.Såbegyndtejegatregnepåtiden,ikke.”B:”Dusigerduharfundetatdettager2timer.Hvadskaldersåtilforatkommefremtilsvaret.”C:”Hungårmedengennemsnitsfartmed3km,mendeterkunopadbakkenikke?Ognedgårhunmeddendobbelte.Ogdeterjo4,5.Såkanmanta.”B:”Dendobbelt,deterikke4,5,vel?”C:”Nå,ja.Deter6.såkunnemanikketageatgange2med..med..,deterlidtforvirrende.B:”Hvisnujegsigeratdetotimererregnetrigtigtud.Hunbrugerfaktiskdetotimerpåatgåopogned.Hvorlangtgårhunidethele.”C:”Derharhungået8km.”B:”Ja.Hvishargået8kmpå2timer,hvorhurtigtgårhun?”C:”Sågårhunvel2kmitimen.Næundskyld4kmitimen.”B:”Ja,4km/h.Duerkommetetlangtstykkehenafvejen.Dererrigtigmangedersagdeatgårhun3km/hdenenevejog6km/hdenandenvej,såmåhungåmedetgennemsnitpå4,5km/h.Mendetgjordeduikke.Dufikfundetfremtiltidenogdeternæstensvaret.”Harsværtvedatoverskueopgaven.Gårigangindenhanharoverblikoverhvadhanskalsvare.Detgårgaltmedmatematiseringenhvordetatbestemmetidenogstrækningikkelykkesudenathanfårhjælp.Spørgsmål8C:”Detgiverligesåmeget,fordiathvisdenkoster30,ellerdener30cmogdenkoster30.Såerdetenkronepr.centimeter.Hvisdener40cmogkoster40kr,såerdetogsåenkronepr.centimeter.”B:”Detkanmangodtsige,menfårdudetsamme?Hvisduprøverattænkeoverhvaderdetderer30oghvaderdetderer40.”C:”manviljoikkefådetsammepådenmådemeddenpå40,nårjegkiggerpådetnu.Denmed40vildiameterenblivebredereogbredereellerjoikkepådendencirkelsomdetvilværei(tegneriluften).Denvilblivemereirundkreds.Dettæller..ellerdeskalmåske(tegneiluftenetcirkeludsnit)…”B:”Nuerdetjoetspørgsmålomvihartopizza,denenesersådanudogdenandensersådanud(derblivertegnetpåpapir).Detertætpåatdeharfåetdetrigtigestørrelsesforhold.Denherovrekoster40krogdenherkoster30kr..Hvisnudulæggedenherindi(derblivertegnetenmindrecirkelindenidenstorpåpapiret).Detekstrapizza,dufårforen10’er,er

Side223af242

detdetsammesomdenførste10’erdubetalerfordenherinde(derblivertegnetenlillecirkelindenidetoderertegnetiforvejen)”C:”Nej,deterjonæstenheledendermanfårekstra.Næsten.”B:”Prøvatforstildigatduhardeherringeliggendeher.Meden10,20,30og40.Nårjegtegnerdetsådanher,såkandusikkertgodtseatdenherring(denstore)megetstørreenddeninderste.Detbetyder,atnårdekosterdetsamme,såvildufåekstramegetpizzavedatkøbedenstore.”C:”Ja,nukanjeggodtsedet.Derskullejegnokhavetegnetden.Trorjeg.”B:”Hvordan…Nuharduregnetudatdenkoster1kr/cm,deterjofordidukiggerpådiameteren.Deterjosådanentynden,denkanmanprincipieltikkespise,vel.”C:”Nej,(smiler)”B:”Hvadskulleduhaveregnetudistedetfor?”C:”Jegskulleregneomkredsenud.Trorjeg.”B:”Detkunnemanselvfølgeliggodt,menjegtroratderernogetdererendnusmartere.”C:”Arealet?”B:”Ja,arealet.Kanduhuskehvordanmanregnerarealudforencirkel.?”C:”Erdetikkepigangeradiusianden?”B:”Jo,deterjofordiradiuserianden.Såhvisdugørradiusstørre,såfårduarealet,detbliverkvadratetaltsåiandenmere.Hvisdugørradiusdobbeltsåstor,såbliverarealet4gangesåstort.Detersådannogentingmanskalværeopmærksompå.Nogenkansedetmeddetsamme,andreblivernødttilattegneogandreblivernødttilatsiddeogregnepådet.DetvarderforIgernemåttehavelommeregnermed.Godtsåveddudettilnæstegangduskalkøbepizza.”Fårikkedannetderigtigebilleder,dahanselvskalregne.Hererdetmatematiseringendergårgalt,hankanikkefådannetdematematiskeudtryk,dervillekunneløseopgavenforham.Spørgsmål11.C:”Denspørgenterningmedalleside,altsåerligemed2cmogdenvejer4,8g,såhvormegetvejerenterninghvorallesiderneer4cm.Såderharjegtænktathvisduhardendermed2gange2gange2.Denvilvære4gangenej8gangeien4gange4gange4.”B:”Ja,deterrigtigt.Kanduhuskeatduharlavetopgavenfør.”C:”Jegtrorjeglavededenførstegangidether.Menderlavedejegdenmedfejli.”B:”Ja,mendetserudtilatduharlærtnogetafdet.Sådeterrigtiggodt.Denhardulavetrigtig.Denerdermangeafdeandrederharlavetforkert.Deharment,atdenblivedobbeltsåtungeller4gangesåtung.”Genkendelsensglædedelvisinstrumenteltilgang.Spørgsmål12C:”Denforstårjegikke”B:”Såprøvligeatlæsedenengangtil.”C:”Skaljegbarelæsehertil?”B:”Nejdublivernødttilatlæsedetheleforspørgsmåletstårførsttilsidst.”C:”Jegskalaltsåviseatdengamleformelerbedreelleromdennyeformelermerety…(mumler).”B:”Nej,erdetdetderstårduskalvise.Derståratdetavisenharskreveterrigtigt,atvedatbrugedennyeformelsåvilantalletafhjerteslagforyngremenneskerblivermindsketenlillesmule,mensdetforældremenneskervilforhøjesensmule.Detstårderatdeterrigtigt.Også

Side224af242

skalmanfindeudafhvornårmanerungoghvornårermangammel.Såogsige.Frahvilkenaldererdet,atderbliverændretpådetpådenhermåde.Såyngrefårdetnedsatlidtogandrefårdetforhøjetlidt.Hvaderdetdergørdet?Erdetformuleringenaf”C:”Ja,dettrorjeg.Jegsynes,atdenerrigtigforvirrende.Ogsåogsådetmedderstodhjerteslagprminut,mendeterikkemediformlen.”B:”Nej,detkanmanselvfølgeliggodtsige.Deterfordidetogsåheddernogetandet,dethedderhjertefrekvensen.Frekvensdeternogetdererpr.sekundellerprminut.Detstårfaktiskogsåheroppe.Derstårhjertefrekvensenantalhjerteslagprminut.Detstårforklarether.Mendeterrigtigt,athvismanikkelæserdetmegetomhyggeligt,sågårdethenogbliversvært.Detderståridet,er,..”(samtalenfortsættersomenenetale,hvoropgavenbliverforklaret).Elevenfåraldrigforståethvadopgavengårudpå.Detgårgaltindendenmatematiskeproblemløsning.

SamtalemedElevS,CPHWestSpørgsmål2B:”Kanduhuskehvaddutænktedadufikopgaven.Oghvaddusådan…”S:”Jegstartedemedatvivisteatdetvar100mldressingvifik.Såstartedejegmedatsehvormegethvad,hvormegetsalatoliefxhvormegetdetbestår,hvormegetdetbeståraltsåiprocentdele,afdehundrede.Såregnedejegdetud.Ogsåistedetforsåskalvisåhave150mldressing.Sågjordejegdetistedetforatdeter100mldressingsågangedejegdetmedheleantal150foratsehvormegetdetudgjordeforatsehvaddetudgjordeiprocent.Ogsåfikjegdressing..Jeggjordesåforhverdetvarsåmangemilleliterdressingvihavde.”B:”Vardetnødvendigatgøredetfordemallesammen,foratsvarepåspørgsmålet.”S:”Detsynesjegvarrelevant.Fordisåkunnejegsåomdetpassede.”B:”Ja,såkunnedutjekkesvaret.Mendeterfaktiskikkenødvendigt.Dukunnenøjesmedatregneudfordenenederblevspurgtefter.Mendeterrigtigtogdeterogsårigtigtdetduerkommetfremtil.Sådetvarenafdemduhavderigtigt.Duvælgeratlavedetomtilprocentogregnerdetuddenvej.”S:”Ja.”Fårløstopgavenudendestoreproblemerogfårvalideretsitsvarvedatseatdennyedressingfylder150ml.Spørgsmål5B:”Ladosgåvideretilopgavespørgsmål5.Deterdenmedhuset.”S:”Skaljeg…”B:”Ja,fortælhvaddugjorde.”S:”Jegsåmigomkringogsåsåjegatdetbarevarenbygning.Såkunnejegikkefindenogenbestemtemålingerdervarpåbygningenellerpåandreting.Såantogjegatdetmenneskederstodvedsidenafbygningen.Såantogjegnormalhøjdeafetmenneskeogsåtogjegenlinealogsåfortsattejegdenop.”B:”Hvilkenperson,nusidderduogpeger..”S:”Hamdenrødeder”B:”Ja,hvorforvalgtedudenrøde.”S:”Fordihanså,hanvartættestpåbygningen.Såvalgtejegbareham.”B:”Såmålteduhvorhanellerhunvar.”

Side225af242

S:”Såantogjegnormalhøjde170meter,nejcm.Ogsåtogjegminlinealogmåltedeticentimeterogsåfortsattejegop.”B:”Måltedusåopherogpegerpåbilledet.Kanduhuskehvorpåhusetdumålte.”S:”Jegtrorjegmålteher.Jegstartedemedatmåleheroptil.Mensåtænktejegathanværetættestpådetpunkther,såjegmåtteregneopadher.”B:”Sådetvardetduendtemedatgøre.”S:”Ja.”B:”Detersåogsådetrigtige.Hvadvisduhavdemålther,hvadså?”S:”såvillemålestoksforholdetmellemherogher.Hanvilleikkeværesåtætpådendelafbygningiforholdtildendelafbygningen.Såjegtogdendelhanstodtættestpå.”HarstyrpåmålestoksforholdeneheriopgavenSpørgsmål6B:”Hvisdusåbladrervideretilnæsteside,såerderspørgsmål6.Denhardusåsletikkesvaretnogetpå.Dukanligelæsedenigennem,sådukanhuskehvaddetvardengikudpå.”S:”Jeggikbareheltiståpådenopgave.Jegvidsteikkerigtigt.”B:”Hvaderdetidetdergøratdugåristå?”S:”Jegskalgiveenret.Ogdetersvært,at..jegsynes..detersvært.SådansprogetdeteranderledesfxderbliverfortaltviskalistedetforatblivegivetenbestemopgaveJegskalgøresådansådanogsådanogsåkanjegbrugeenbestemtformelforatberegnedet.Såstårdetbareløs.Ogsådandetharjegsværtvedatforstå.Jegvidsteikkerigtighvordanmanskullebevisedet,atenhavderet.”B:”Nårdukiggerpådennu.Hardunogenideomhvordandukunnebeviseellersandsynliggørehvemderharret?”S:”Jegforstårdenstadigikke.”B:”Duforstårdenikke.”S:”Nej,jegkunnetageogsigeatvihar100miotønderolieoghunsigeratdetvilvære1%dervilværederaldrigudslipperafde100mio.Oghansigeratefterhvisderhvertårudvindes1miosåvildetværebrugtopefter100år.Såvildetsigeatefter100år..såerdetersomomhanbaresigeraltsåhvertårsåerder1mioogtaltoptilatderer100år.Hunhartagetenprocentdeludafde100mioogsagtatdetaldrigviludslippe.”B:”Deterjorigtignok,menhanretihvismantager1miotønderomåretvildetsåværetomtom100år.?”S:”(langpause)Nuhvorjegtænkeroverdetsåkanjegikkegivehamret.Jegharstadigsværtvedatforståopgaven.”B:”Ok,viprøveratlaveenlidtandenen.Nuerdetefterårsåerdermegetfrugt.Derermangeæbler,hjemmehosmigdervælterdenedadtræet.Jeggårudogsamlernogleafdeæbleropogplukkernogenfratræet.Jegharnu100æbler.Sånårjegspiser1æbleomdagen,hvorlangtidgårdersåførderikkeerflereæblertilbage?”S:”Ogduharhundredeæbler,såvildergå100dage.”B:”ja.Dervilgå100dage.Detsvarerdetlidttil..”S:”Såharhanret.”B:”såhanharihvertfaldretidethansiger,hvismangørdetpådenmåde.Såkanmansåsige,janukandetnokikkeheltladesiggøre.HvisvinusigeratvisepådetlidtsomAyasiger.Jeghar100æblerogspiser1%afæblernehverdag.Jegkiggerpåhvormangeharjegogtager1%.Sådenførstedagviljegsåspise1æble.Hvadsådennæstedag?”S:”Duvilspise1%afdeæblerderertilbage.”

Side226af242

B:”Manskalsåskærelidtidem.”S:”ja”B:”Jaeksempletmedæblerernokikkesågodther.Hvisvisåblivervedmedattage1%hverdag.Hvornårerdersåikkeflere.”S:”tilsidsterderkun1%tilbageogdenmåvisåtage.Nej,detkanmanikke.”Samtalenfortsætterlidtendnumedetparandreeksempler,menSharstadigsværtvedatdertilsidstvilværesålidttilbageatdetikkekanmåles.Hunkanikkefindeudafhvadopgavengårudpå.Serikkeatdetertoforskelligemodellerderskalsammenlignes.DetgårgaltipræmatematiseringenSpørgsmål7B:”Ladosgåvideretilopgave7.Denhardustregetpå.Denhardunokværetsurpå.”S:”ja(læsepause),ja,vejenoper4kmoghunkangå3kmpå1timeoghunkangå6km,dadeterdetdobbelte,altsånedadbakken.Såskalvibestemmegennemsnitsfartenpådensamledetur.Også,såbrugerjegbaremedatsigeatvihar3kmsåkanhungøredetpå1time.Hvadhvisvihar4?Såtænktejegsåvildetblivealtsåhvisvihar1timesåvildetblive60minutter.Jeglaverdetomtil60minutterogsådivideredetmeddetantalkmhunkangåpåentime.Men…jegburdeogsålavedetheromtilminutter,hvisdetherogsåskullevære”B:”nja,mansigeatdetduharståendeher.”S:”Deterkilometer”B:”Hvaderdether?”S:”Deterogsåkilometer.”B:”Nejkilometeritimenogsåhardusat60på.Deternokforatlavedetomtilminutterellersådanetellerandet.”S:”Ogsåharjegprøvetmedf.eks.”B:”Deterrigtigtduharfundet1timeog20min.Hvaderdet?Detersådansetrigtignok.Hvaderdetforentidduharfundetder.”S:”Detergennemsnitsfartentrorjeg.”B:”Nja,deterjoentid.Ikkeengennemsnitsfart.”S:”Deterdentiddettagerhendeatbestigedetogsåkommenedigen.”B:”Erhunogsåkommetnedigen?”S:”Nejdeterkunde4.”B:”Ja,deterdeførste4påvejopduharregnetpå.”S:”Detvilsigeatjegmanglerde.Detersværtformigatderikkeergivettrinforsådana),b)ogc).Dererbaredethele,dethelederkommerud.Deterdethelederbliverremsetop.”B:”Duharregnetudhvorlangtidhunvaromatgåderop.Såskrevdunedogtilbage1timeog20ogsålagdedudetdobbelte,menerdetrigtigt?”S:”Deter6kmnedaddererdobbelt”B:”Detgårjonogethurtigerenedad.Hvorlangtidvilhunværeomdet.Hvishunergåetmed3kmitimenherogbrugt1timeog20,altsådetdersvaretil80minutter.Hvorlangtidvilsåværeomatgånedigen?”S:”Såvildetværedethalveaftiden”B:”ja,hvormegeterdetså?”S:”Deter30,deter40minutter.”B:”Ja,deter40min.Hvorlangtidbliverdetsåidethele?”S:”40minogså..detbliver2timer.”

Side227af242

B:”Ja,detbliverpræcis2timer.Duharfåetskrevet4timerhernede.Mendetvarfaktiskikkehvorlangtidhunvaromdetmenhvadgennemsnitsfartenvar.Hvormangekmharhungået?”S:”Hunhargået9km.”B:”Nej,hvaderdetderstår.”S:”erdetikke3kmned.Nå,deter4km.”B:”Deter4kmhvervej.Såhvorlangtharhungåetidethele?Nåhunergåetbådeopogned.”S:”8km”B:”8kmpå2timer.Såhvadergennemsnitsfarten?”S:”Erdetsåikkebare2?”B:”Hungår8kmpå2timer”S:”Ja,hungår8kmpå2timer.”B:”Hvorlangtgårhunpå1time?”S:”Nå,sågårhun4kmpåentime”Kanikkeskabederigtigebilleder.Hunerudeafstandtilselvatmatematisereogdermedfindede”rigtigeformler”Spørgsmål8B:”Ladossepåopgave8,denmedpizzaen.”S:”Dengikjegstilleogroligtigangmed.Ogsåtroedejegatdenvarrigtiglettilatstartemed.Jegkanstartemedatberegne..hvisviharsammetykkelse,såerdetdiameterenaltsåarealetderkanværeanderledes.Såprøvedejegmedformeleratsættedetind.Ogsåstartedejegstilleogroligtmedatfindearealetafdenførste.Såharviradiusderer15ogdenandenmedendiameterpå40,såharviradiuspå20.Såefterberegnedejeghvadarealetforbeggeer.Såskullejegtagehensyntilprisen,altsåomdetvarpassendetilprisenogsåvidstejegikkerigtigthvadjegskullegøremedprisen.”B:”Nej,nuhardudesværreogsåfåetregnetdinearealerforkertudfordi.Duharfundetenformelheroppe(peger)”S:”Jegharglemtatsættedenianden.”B:”Ja,detharglemtatfåsatianden.Såhvisduhavdeforsatvardukommetfremtilatdehavdekostetdetsammen,fordiduharfåetregnetarealetforkertud.”SamtalenforsætteromkringhvorsværtdeterforSatlæseentekstogselvfindefremtildetderskalsvares.Skaberbilleder,menfårlavetfejlundervejs.Jegerdogikkesikkerpåathunvarkommetigennem.Hunhargenereltsværtvedatlæseogforståteksten.Matematiseringengårgodtiførsteomgang,menfårikkefundetfremtildetrigtigepga.enregnefejl.Spørgsmål11B:”Duskalbladrefremtilopgave11.”S:”Ja,jegstartermedatsigeatvihar2cmsomvejer4,8gram.Såjegstartemedatsigehvisvihardetnuvar4sidervihar.Hvisallesiderviharvar4cmsåviljegsigeathvisvihavdeenlængdepå4ogvægtenkunneviberegnealtsådividerealtsågange4,8gangemedantalletafsiderogdivideremedlængden.”B:”Ja,mendeterikkeantalletafsider.Derervelligemangesideromdeterenstorellerlilleterning.”S:”ja,såderer6siderpåenterningnormalt.Såviljegregnepåhvormeget1side.”B:”Erdetsidendervejer?”S:”Nej,altsåerdetikketerningdervejernoget.”

Side228af242

B:”Jo,mankansigeatdeterrumfangetellervolumenetdervejernoget.Hvordanfindermanrumfangetafenterning?”S:”Deterbarelængdegangebreddegangehøjde.”B:”Ja,deterallesidernegangesammen.Hvisnudukiggerpårumfangetafdenlilleterning.”S:”Denlille.Deter2gang2gange2,detgiver4,detgiver8.”B:”Ja,deter8”S:”Hvisvigjordedetsammehersåerdet4gange4gange4,detgiver16gange4,deter”B:”64”S:”64”B:”Hvormegeter64iforholdtil8?”S:”Deter8.”B:”Deter8gange,ikkeogså.”Videresamtaleomkringatopgaveharværetmedfør,menhunvarikkemedpådettidspunktigrundforløbet.Hunskaberikkederigtigebillederogkanderforikkeløseopgavenselv,Selvompræmatematiseringennæstenerudførtiselvteksten,sålykkedesdetikkeforelevenatkunnefangeatdetvarenterning(rummeligfigur).Spørgsmål12B:”Viskalogsåligenådensidsteogdeteropgave12.DenharduvistikkesvaretpåS:”Ja,deter,nårjegskal.DeterlidtligesommedAyaogAli,hvorjegskullegiveenret.Samtalenfortsætter,hvorBforklareShvaddeterdetgårudpå.Shavdemegetsværtvedatforståhvaddeteropgavengårud.Ingenbillederkunneikkefindematematikkeniopgaven.Forstårikkeatdereropstillettomodellerogderforskerderingenproblemløsningogejhellerafmatematisering.

Side229af242

Bilag19SamletresultatfradetredetektionstestTabellenerdeltitoforatfådettilatværepåenside.Kun2.c(OTG)og2.mf(CPH)ermedtaget

     Test 1 

Test 2 

Test 3  SUM 

            Test 1 

Test 2 

Test 3  SUM

2mf  m  44  24  11,5  86,9          2c  m  29  18,5  6,5  58,43

2c  m  43  19  11,75  79,96          2c  m  35  15  6,5  57,14

2mf  m  40  19  12,5  79,96          2c  k  32  14  8  57,54

2c  m  43  18  11,75  78,57          2mf  m  28  17  7  56,94

2c  m  41  19  11,75  78,77          2c  m  32  12  8,5  55,95

2mf  m  36  19  13  78,77          2c  k  30  15  7,25  55,95

2mf  m  38  20  11,5  77,78          2c  m  32  11  8,75  55,16

2c  k  40  19  11,25  76,98          2c  k  27  12  9,5  55,36

2c  k  36  20  10,5  74,21          2mf  m  29  12  6  48,21

2mf  m  38  19  10  72,82          2c  m  24  13  7  49,01

2mf  m  44  17  9  71,23          2mf  m  21  12  8  48,21

2mf  k  36  17  11,5  72,42          2mf  m  27  12  5  44,64

2c  m  39  18  9,75  71,43          2mf  m  21  12  6,5  44,64

2mf  m  33  19  10  69,84          2mf  m  23  17  2,5  43,25

2c  m  34  15  11,75  69,05          2c  k  27  9  5,5  41,67

2c  k  35  18  9  67,26          2mf  m  28  10  4,5  41,27

2c  k  33  19  9  67,46          2mf  k  16  12  5,5  39,29

2c  k  30  18  10,25  67,26          2mf  k  28  9  2,5  35,12

2mf  m  30  16  9,5  62,7          2mf  m  23  7  5  35,32

2c  k  37  17  6,5  61,11          2mf  k  24  7  3,5  32,34

2c  m  37  13  8,75  60,91          2mf  m  19  8  3,5  30,75

2c  k  35  13  8,75  59,72          2mf  m  23  6  3  29,17

2c  k  28  13  10,25  59,13          2mf  k  21  6  3  27,98

Summenerudregnetvedatsige %

1 2 3

1 2 3

antal antal antal+ +

total total totalSUM =  100

3

Antal1=antalrigtigeiførstetest total1=56Antal2=antalrigtigeiandentest total2=24Antal3=antalrigtigeiandentest total3=14

Side230af242

Bilag20PlanforundervisningsforløbetpåOTG

Side231af242

Bilag21AfsluttendeopgaverOpgave1PåenrejsetilFirenzeiItalienbesøgerAnneogMuslimenstorplads.Påmurenpåetafhusene,deromgiverpladsen,finderdeenafmærkning(sebilledet).Afmærkningenviser,hvorhøjvandstandenvarpåpladsenunderenoversvømmelsei1966. BeskrivhvordanAnneogMuslimkanbestemme,hvorhøj

vandstandenvar.(Demågernegårundtpåpladsen,tagebillederosv.mendeharIKKEetmålebåndtilrådighed!)

Opgave2Enmandogenskildpaddeskalløbeomkap!Skildpaddenfår100metersforspring,førmandenbegynderatløbe. Forklarhvorforskildpaddenkommerførstimål,ligemegethvorlangtdeløber…ellergør

den?!Opgave3AnneogMuslimharfåethverenkugle.Anneskugleharenradiuspå1cmogvejer100g,Muslimskugleharenradiuspå2cmogvejer200g. Hvilkenkuglehardenstørstedensitet(massefylde)?Opgave4Marittrækkerenkopvarmchokoladeienautomat.Hunersåopslugtafsitarbejde,athunheltglemmeratdrikkeden. Overvejhvadderharbetydningfor,hvorhurtigchokoladenbliverkold.

Laventegningellerangivetudtryk,derviser,hvordanchokoladenstemperaturændrer

sig.Opgave5

Side232af242

Grafenviserenhastighedenafenbil,deraccelerererfra0til100m/spå10sekunder.

Hvadergennemsnitsaccelerationeniintervallet?

Hvorstoreraccelerationen(ca.)idetøjeblik,bilenharkørt6sekunder?

tidenisek.

hastighedim/s

Side233af242

Bilag22MatematikforestillingerSpørgsmål,dererblåtonet,omhandlerisærliggradmodellering Enig Uenig Tja…

Jeg er sikker på, at jeg vil klare mig godt i matematik Ma, D, M A

Når jeg arbejder hårdt, kan jeg forstå, det vi laver i matematik Ma, D, A, M

Matematik handler mest om at huske A, M Ma, D

Det er godt at diskutere og lave matematik i grupper D, A, M Ma

Matematik er et vigtigt fag Ma, D, A, M

Det jeg lærer i matematik, kan jeg bruge i andre fag Ma, D, A, M

Matematik gør det nemmere at forstå den verden jeg lever i Ma, D, A, M

Matematik udvikler sig hele tiden, og man opdager stadig nye ting Ma, D, M A

Alle kan lære matematik Ma, D, A M

At lave fejl, er en del af at lære matematik D, A, M Ma

Man kan ofte finde den rigtige løsning på flere forskellige måder Ma, D, A, M

De, der er gode til matematik, kan løse enhver opgave på få minutter Ma, D A, M

Matematik handler mest om tal og beregninger D Ma, A, M

Det kræver hårdt arbejde at lære matematik A, M D Ma

Man lærer matematik ved at løse opgaver Ma, D, M A

Det er svært at løse en opgave, der kun er formuleret med ord D, M Ma, A

Der er kun én måde at komme frem til et korrekt svar på, og for det meste er det vha. en regel som læreren lige har vist os

D Ma, M A

Matematikopgaver har ét og kun ét rigtigt svar D M Ma, A

Hvis jeg ikke straks ved, hvordan jeg skal lave en opgave, kan det ikke betale sig at bruge lang tid på den

Ma, D, A, M

I matematik skal man sommetider selv opstille ligninger, der skal løses Ma, D, A M

Når jeg har forstået beviset for en regel, er det nemmere at bruge den, når jeg laver opgaver

Ma, D, A, M

Matematik skaber billeder i mit hoved D, M Ma, A

Selvom man beviser noget ved at regne med bogstaver, er det ikke sikkert, at det gælder for alle tal

A M Ma, D

Vi laver mest beviser i matematik, fordi matematiklærere synes, det er meget vigtigt D, M Ma A

Vi bruger kun matematiske ræsonnementer, når vi skal bevise noget A, M Ma, D

Man kan godt bruge regneregler til opgaveregning uden de er blevet vist Ma, D, M A

Jeg laver tit en tegning, når jeg arbejder med et matematisk problem A, M Ma, D

Side234af242

Bilag23Analyseafdetektionstest3(M.Niss,2013c)Spørgsmål 1 Detfølgendekanforekommeroverdreventpedantisk, for ikkeatsigekomisk.Mennuogdakandetmåskeværeoplysendeatanalysereselvdetåbenbare.Opgavenskerneerpræmatematiseringen:Derindgåringenempiriskedataomhvorlangtiddet tager forskelligemennesker, herunderHansogGrethe, at tilbagelægge strækningen.Degjorteforudsætninger‐atGskalbruge(mindst)8min.,ogatHogGskalfølgesad–erdermedikketildiskussion.Detantages,udfrakendskabtilkonsekvenserneafdisseforudsætninger,athvorG ikkekansættesit tempoop,kanHsættesitned.Deteraltsåden langsomstederbestemmer farten. Hvis opgaven volder vanskeligheder, er det i denne afkodning afopgavesituationog –formulering, somhvilerpå at opgaven tages forpålydendeog ikke sessomanledningtilatudføreubegrundedearitmetiskeoperationerpå6og8.Resultatetafpræmatematiseringener,atmatematiseringenkogesnedtilatoversætte6min.,hhv.8min.tiltallene6og8,hvordetmatematiseredeproblemeratbestemmedetstørsteafdetotal.Dereringenreelmatematiskproblemløsningpåfærde,eftersomdetjoerklartforalleat6<8.Denmatematiskeløsningeraltsåtallet8.Afmatematiseringenbestårsåiatsætteenhedpåogdervedopnåreal‐worldsvaret8min.Envalideringafmodellen(somderikkeerbasisforitesten),villebeståiatskaffeensværmafdatapåHansogGrethes faktiske tempi idenbetragtedevandring, fordervedatundersøgeholdbarhedenafdegjorteforudsætningerogkonsekvenserneherafformodelleringen.Spørgsmål 2 Adpræmatematisering:Vi skal lave ”densammedressing” i etvolumenderer50ml størreenddetoprindelige.Atderertaleom”densammedressing”betyder–forudsættervi–delsatdenlavesafdesammeingredienser,delsatforholdenemellemingredienserneerdesammefordetstørrekvantum.Detskalså,jfopgaveformuleringen,afgøreshvilkekonsekvenserdetharforoliemængden.Matematiseringen,somudgørdenneopgaveskerne,beståriatoversættesalatforholdetfor100 ml til salatforholdet for 150 ml til matematik. Det sker ved at sige at alleingrediensmængderskalskaleresmedfaktoren3/2(eller‐ækvivalent–vilæggerhalvdelen,eller50%,til).Matematiseringenførertil60∙(3/2)(alias60+60/2).Denmatematiskeproblemløsning kogesned tilblotogbarudregningaf60∙(3/2)=90, eller60+60/2 = 60 + 30 = 90. Selve disse udregninger antages ikke at volde kvaler forgymnasieelever.Afmatematiseringenbestårblotiattilføjeenenhed:Svaretivirkelighedsdomæneter90ml.Hvismodellenskullevalideresvedkonfrontationmedvirkelighedenskulledetskevedatmanlavede to dressinger på hhv. 100ml og 150ml med de skalerede, men i øvrigt identiske,ingredienser og satte kyndige smagere til at prøvesmage om de faktisk smagte ens. Det ernæppepraktiskmuligtindenfortestensrammer.

Side235af242

Spørgsmål 3 Præmatematisering:DetførstfornødneeratforstådennominelleforskelpåT’sogB’stilbud.Underfælles forudsætninger(pengenestår i2år)tilbyderTrentetilskrivninghvertkvartal,altsåfiregangeomåret,medenkvartalsrentesatspå0,25%,Bhvertår,menmedfiregangesåstor rentesats, af de til terminerne indestående beløb. Realitetsspørgsmålet er så, omordningernegiverdetsammeellerforskelligeresultater.Matematisering:MedetindskudpåSkr.villeSørenhaveS∙1,00258kr.ståendeeftertoåriT,menS∙1,012iB.Detmatematiseredespørgsmålerså,omS∙1,00258=,<,>S∙1,012.Matematisk problemløsning: Ved forkortningmed S fås det ækvivalente spørgsmål: Hvilkettegn skal sættes i 1,00258 =, <, > 1,012? Dette spørgsmål kan besvares ved hjælp af enlommeregner,uberørtafmenneskeånd.Dervedbliverdenmatematiskeproblemløsningreeltvaretagetafenandeninstansendeleven.Formentligvildeflesteelevergribetildettemiddel.Man kan imidlertid også forestille sig en ”kvalitativ løsning” af det kvantitative problem. IbankTvil indeståendetefter1.kvartalværeS∙1,0025kr.Detvilledetogsånomineltværeibank B. Efter yderligere et kvartal, vil indeståendet i T være S∙1,00252, fordi der indgårrenters rente,men iBS∙1,005,derermindreendS∙1,00252 (=S∙(1,005+0,00252)).Denneforskelbliverblot tydeligere, jo flerekvartalerdergår.AltsåerS∙1,00258>S ∙1,012.Nogleelevervilsikkertræsonneresådan,mennokiløsereform.Enskarperematematiskproblemløsningkunnesesådanud:Daallestørrelsererpositive,erkvadratrodsuddragninglovlig.Hervedfåsetsimplereækvivalentspørgsmål:Er1,00254=,<,>1,01?Dettespørgsmålkanbesvaresvedatsepådetmeregenerellespørgsmål(medr>0):Er(1+r)4 = , <, > 1+4r? Da (1+r)4 = (1+2r+r2)(1+2r+r2) = 1+4r + et positivt tal > 1+4r har visvaretpåspørgsmålet forvilkårliger>0,specielt forr=0,0025.Deternæppeenurimeligantagelseatforestillersig,atkunfåelevervilgribetildenneløsning.Afmatematiseringen består blot i at konstatere, med afsæt i resultatet af den matematiskeproblemløsning,atdaS∙1,00258kr.>S∙1,012kr.,erbankT’stilbuddetbedste.Eftersom bankreglerne for forrentning af indskud på givne vilkår er udtryk for en stærkpræmatematisering, der bevæger sig helt ind i matematiseringen, er modellen tilsammenligning af de to tilbud en nødvendig konsekvens af vilkårene. Derved er modellenforhåndsvalideret. Det kan i øvrigt noteres, at den sidste udgave af den matematiskeproblemløsning viser, at den opstillede model og konklusionerne af den uden videre kangeneraliserestilatangåvilkårligerentesatser,terminerogvarighed.Opgavens kerne ligger i den matematiske problemløsning, men også til dels imatematiseringen. Spørgsmål 4 Præmatematiseringenerudførtiopgaveformuleringen,dervedatdenenesteforudsætningpåspilerformuleretmundtligt:6gangesåmangeeleversomlærere.Matematiseringen, som er opgavens kerne, er delvis påbegyndt i opgaveformuleringen,dervedatderersatsymbolerpåantalleneafeleveroglærere.Selvematematiseringenbeståriatomformulereoplysningeniopgavetekstentil”antalletafelever,E,erlig6gangeantalletaf

Side236af242

lærere,L”ogoversættedettetilformlenE=6∙L,somførerindidetmatematiskedomæneafnaturlige tal med multiplikation som komposition. Vanskeligheden er her, som vi ved, atrækkefølgen i formelopskrivningen (E,6,L) ikke modsvares af rækkefølgen iopgaveformuleringen(6,E,L),hvilketfårmangeelevertilatbenyttedensidsterækkefølgetilistedetatskrive:6∙E=L.Derindgårhverkenmatematiskproblemløsningellervalideringafmodellen,eftersomdetkunerselvematematiseringenderefterspørges. Spørgsmål 5 Præmatematiseringenrummerendelelementer.Pågrundafdenforrestebygningsplaceringpåenskråvejerdetikkesporklart,hvadviskalmenemedbygningenshøjde.Faktiskhardenforskellige højder, afhængigt af fra hvilket fodpunkt højden måles. Det er nødvendigt atidealiseresituationen,sådanathøjdenfraetbestemt,endnuikkevalgt,fodpunktkommertilatståforhøjdenafbygningen.Fotoeteriperspektiv,hvorfordirektemålingpåbilledetikkeudenviderebehandlingkanforventesatføretiletbrugbartresultat.Davikunhartilgangtillængder gennem fotografiet, må vi betjene os af målestoksskalering for at nå frem til etestimatafbygningshøjden.Somgrundlag formodelleringenvælgervi atbenyttehøjdenafdenperson (”manden idenrøde sweater”), der er tættest på bygningen, som målestok. For at tage højde for denperspektiviskeeffekt,måbygningshøjdenestimerespådetsted,mandenstår.Vedhjælpafenlinealmålesmandenshøjdepåbilledetogbygningenshøjdepådet stedhvormandenstår,begge dele i cm. Det antages at forholdet mellem bygningens billedhøjde og mandensbilledhøjde er det samme som forholdet mellem bygningens virkelige højde og mandensvirkeligehøjde,beggemåltimeter.ViforetageretforhåndsgætpåværdienafH,fx1,80m.MatematiseringenbestårnuidelsatindførebygningensbilledhøjdebogdensreellehøjdeB,dels mandens billedhøjde h og reelle højde H. Vores præmatematiserede antagelsematematiseres dernæst til B/H = b/h, dvs. B = (b/h)∙H. Det matematiske domæne er derationaletalmeddesædvanligekompositioner.Denmatematiske problemløsning består i at indsætte de fundne værdier af b og h og dengættedeværdiafHogderafbestemmeBgennemregningerindenforderationaletal.AfmatematiseringengårsåudpåattilføjeenhedenmetertildenfundneværdiafB.Valideringen af modellen kan bestå af flere dele. For det første kan man konstatere atbygningen består af fire etager og en stueetage, adskilt af fire dæk. Sjusser vi ud fravirkelighedskendskab,athverafdefireetagerer2,5mhøj,mensstueetagener3mhøj,ogathvertafde firedæker0,5mhøjt, fåset sjuspådensamledehøjdepå5∙3=15m.Detkanbruges sometgroft realitetscheck i forhold tilmodelresultatet. I tekstenskontekst erdettenokdenenestemuligevalidering.Fordetandetkanman–mennæppeiopgavenskontekst‐undersøgeeffektenafusikkerhedpå mandens højde H (mens vi vælger at se væk fra måleusikkerheder i forbindelse medopmålingenpåbilledet).Antagerviatmandenshøjdeliggeriintervallet(H‐∆H,H+∆H],liggerBiintervallet[(b/h)H–(b/h)∆H,(b/h)H+(b/h)∆H]m,dvs.usikkerhedenpåbestemmelsen

Side237af242

afbygningshøjdener(b/h)∆H,altsårelativt[(b/h)∆H/(b/h)H)]=∆H/H,Dvs.densammerelativeusikkerhedpåbestemmelsenafbygningenshøjdesompåbestemmelsenafmandenshøjde.Detfremgårathelemodellerinscyklussenerispilidenneopgave.Spørgsmål 6 Præmatematisering: Alis og Ayas synspunkter er baseret på to forskellige modeller forolieudvindingen.Manskalderforikketagestillingtilomdenenemodelermerekorrektellerrimelig end den anden, men til de konsekvenser Ali og Aya drager af deres respektivemodeller.Allekombinationerafret/uretkanderfortænkes.IAlistilfældeantagesdet,atderhvertårudvindespræcis1mio.tønder,hvilket–idealiseret‐forudsætter at en sådan udvindingsform ermulig, uden usikkerheder af den ene eller denandenart, til denbitre ende. IAyas tilfældeantagesdet, atman til enhver tidkanudvindepræcis1%afrestolien–detførsteår1miotønder‐udenusikkerhederogtildenbitreende.DetindgårdesudensomidealiseretforudsætningiAyaspåstandomatolienaldrigslipperop,at der altid vil være en positivmængde tilbage, hvoraf 1% kan tages, også hvisman på ettidspunkt når ned til blot ét oliemolekyle. I Ayasmodel forudsættes altså – idealiseret – atenhverpositivoliemængdeerdelbar.Matematisering: Spørgsmålet omhvorvidtAli har ret eller ej, kanmatematiseres til ”Erdetrigtigt, at 100∙106 ‐ 100∙106 ≤ 0?”. Spørgsmålet om hvorvidt Aya har ret kan (fx)matematiseressåledes:Ladoskaldeoliereservenefternårforrn.”Erdetsårigtigt,atrn>0for allen, når r0 =100∙106, og rn+1 = rn – rn ∙ 0.01>0uansethvadn er ?”.Denne formellematematisering af Ayas påstand må antages at være meget krævende, og vil næppe bliveopnået af nogen elev. En løsere matematisering af den samme tankegang, men inden forrækkeviddekunnelyde:”Erdetrigtigt,athvisr>0,erogsår‐0,01∙r>0?”.Matematisk problemløsning: Spørgsmålet vedrørende Alis matematiserede påstand checkesved simpelthen at konstatere, at 100∙106 ‐ 100∙106 = 0, hvilket bekræfter påstanden. Ayasformeltmatematiseredepåstandcheckesvedinduktion:r1=100∙106‐100∙10610‐2=100∙106(1 – 10‐2) > 0. Hvis rn > 0, må også rn+1 = rn – rn ∙ 0.01 = rn (1– 0.01) > 0. I kraft afinduktionsprincippeter såalle rn positive.Detteargumentvil antagelig ingenelev (kunne)levere. Checkningen af den løstmatematiserede udgave af Ayas påstand, er umiddelbar ogtilgængeligfortypiskeelever:ja,nårr>0erogsår–0,01r=r(1‐0,01)>0,eftersomproduktetaftopositivetalerpositivt.IallefaldersvaretpåAlisogAyasmatematiseredepåstande”ja!”.Afmatematisering:Medsvaretpådematematiseredespørgsmålihånden,kanvikonkludere,at Ali og Aya begge har ret under de anførte forudsætninger. Som sagt er det ikkeoverraskende,eftersomderesbetragtningerrefererertiltoforskelligemodeller.Validering:Somanført,gåropgavenikkeudpåattagestillingtildegjorteforudsætningerogmodeller,menattagestillingtilatpåståedekonsekvenserafdem.Skulleogsåmodellerneogmodelforudsætningerne valideres, stillede sagen sig helt anderledes. Så ville man skullediskutereudvindingsmetoder,uendeligdelbarhedetc.

Side238af242

Kernen idenneopgave ligger imatematiseringen og denmatematiskeproblemløsning,selvomogsåpræmatematiseringogtildelsafmatematiseringerpåtapetet.Spørgsmål 7 Præmatematisering: Opgaveformuleringen rummer vigtig præskriptiv modellering, nemligbegrebetgennemsnitsfartiforskelligeaftapninger.Degjorteforudsætningerer,atRikkegåropadbakkenmed3kmitimen,nedadbakkemed6kmitimen.Manmåendvidereantage,atvejennederafsammelængde(4km)somvejenop,selvomderikkestårnogetomatrutenerdensamme.Ellersharopgavenintetentydigtsvar.Derindgårikkeoplysningeromruternesstejlhed, slyngninger, ophold på toppen før nedturen etc. Det er alt sammen kogt ind ibegrebet ”gennemsnitsfart”. Spørgsmålet der stilles, angår hvad man kan sige omgennemsnitsfartenfordensamledeturnårmankendergennemsnitsfartenfordetodelture.Matematiseringeneropgavenskerne:NårRgåropmed3km/ttilbagelæggerhun1kmpå1/3time,dvs.turenoptager4/3time.Nårhungårnedmed6km/ttilbagelæggerhun1kmpå1/6time,dvs.turennedtager4/6time.Dervedgårhundensamledeturpå8kmpå4/3+4/6time,dvs.gennemsnitsfartenfordensamledeturer8/(4/3+4/6)km/t.Alternativtkanmatematiseringen finde sted via minutbasis, dvs. 8 km tilbagelægges på 80 + 40 = 120minutter,dvs.2timer.Matematisk problemløsning: For at bestemme værdien af 8/(4/3+4/6) forlænges med 6,hvorvedvifår48/(8+4)=48/12=4.Idenalternativematematiseringfåsudenvidere8/2=4.Afmatematiseringen består blot i at tilføje enheder: Gennemsnitsfarten for den samledestrækninger4km/t.Validering: Som opgavens betingelser og forudsætninger foreligger, er der kun én muligmodel,nemligdenforeliggende.Modellenkanaltsåbetragtessomforhåndsvalideret.Mankannaturligvis diskutere konsekvenserne af ændrede betingelser og forudsætninger, ligesommulighederneforgeneraliseringliggerligefor,mendetvilliggeudenfortestensrammer.Detvil sikkert komme bag på nogle, at gennemsnitsfarten for den samlede strækning ikke ergennemsnittetafgennemsnitsfarterne.Detkunnetænkesatføretilenfornyetgennemgangafmodelleringsskridteneogrefleksionoverhvorafdenneforskelkommer.Spørgsmål 8 Præmatematisering:Signalordene”sammeslagsogtykkelse”pegerpåenpræmatematisering,der idealiserer pizzaernes gastronomiske komposition. Vi forudsætter, at ”runde” betyder”cirkulære” (der tales også om ”diameter” i formuleringen). Vi foretager nu yderligere denidealiserendeantagelse,atpizzaernesindholderjævntfordeltoverfladen,såledesatderikkeerenufyldtdejringiyderkantenafpizzaerne,hvilketkunnehavekompliceretmodelleringen.Viantagerendelig,atspørgsmålet”givermestforpengene”skalfortolkessom”mindsteprispr.pizzakvantum”(ellerækvivalentsom”størstepizzakvantumpr.krone”).Matematisering: Vi vælger atmatematisere den enkelte pizza ved dens areal, dvs. den lillepizzaved 152 (cm2)ogdenstoreved 202 (cm2),hvorværdierne for radierne fås frade

Side239af242

angivnediametre. Prisernepr. arealenhed er så henholdsvis 30/ 152 og 40/ 202, begge ikr/cm2.Detmatematiskeuniverserde(positive)reelletalmeddesædvanligekompositionerogordning.Detmatematiseredespørgsmålerså:Gælder30/152<40/202eller30/152>40/202,evt.lighedstegn?Matematisk problemløsning: De to uligheder er – ved forlængning med og udregning ogforkortningmeddenaturligetal–ækvivalentemedulighederne2/15<1/10og2/15>1/10,hvorafdenandenholder.Vikonkludereraltså,at30/152>40/202.Entrænetmodellørkunnehavesammensmeltetmatematiseringenogproblemløsningenvedatsige:Dapizzakvantummetfordetopizzaerskalerermedkvadratetpåradiusogprisenkunmedradius,ogdakvadratetpåetpositivttalstørreend1erstørreendtalletselv,giverdenstørstemestpizzaforpengene.Kunetfåtalafeleverneantagesatfremsættedenneløsning.Afmatematematisering: Som så ofte foregår afmatematiseringen ved at der først tilføjesenheder,såviopnår30/152kr/cm2>40/202kr/cm2.M.a.o.denlillepizzaerdyrerepr.areal(volumen)enddenstore.Denstoregiveraltsåmestforpengene.Validering:Degjorteforudsætningerogantagelsererganskeindsnævrende.Hvisdetagesforgivne,følgermodellenogdenskonklusionermedlogisknødvendighed.Detvilimidlertidværeletatmodificereforudsætningerogantagelsersåvelsomrealitetsspørgsmåletvedatantageatfyldetkunnårtil fx2cmfrarandenogsåspørgehvilkenpizzadergivermest forpengene,hvis prisen pr. arealenhed for den fyldte del af pizzaen er målekriteriet. Det ville giveanledningtilenletmodificeretmodel.Idenneopgaveerhelemodelleringscyklussenpåbanen.Spørgsmål 9 Forord:Idenneopgaveforeliggerderfireforskelligematematiskemodelpar–iformafparaffunktionsgrafer ‐ tilatrepræsentereensituation,ogopgaveløserenskalvælgemellemdem.For at kunne foretage dette valgmåman udføre dele afmodelleringscyklussen (hvilket erraffinementetiopgaven,somerenfrigivetPISA‐opgave),menfleredelebliverrudimentære,idet man hverken selv udtrykkeligt skal opstille en model eller drage konklusioner omvirkeligheden ud fra den. Nedenfor gennemløbes imidlertid hele cyklussen for analysensskyld.Præmatematisering: Da aflønningsbetingelserne på de to avisansættelser er klart ogudtømmende beskrevet, er præmatematiseringen med beløb, antal og tidsskala alleredefuldført.Mankanskridedirektetilmatematiseringen.Matematiseringenertildelsfuldførtiopgaven(igrafiskform):ZPsaflønningmatematiseresmedfunktionsforskriften: lP(x)=0,2x for0x240,og lP(x)=0,2∙240+0,4(x‐240) forx>240.Detmatematiskedomæneerreellefuntionerdefineretpådenikke‐negativehalvakse.Imere kvalitativ form kan ZPs aflønning matematiseres grafisk som en stykkevis lineærfunktion, førstmedgrafengennemorigomedénhældningskoefficient, dereftermedgrafengennem(240,48)medenstørrehældningskoefficient.ZTs aflønning matematiseres med forskriften lT(x) = 60 +0,05x, x 0. Det matematiskedomæne er lineære funktioner af ikke‐negativ variabel. I mere kvalitativ form kan ZTs

Side240af242

aflønningmatematiseresgrafisksomen lineær funktionmedgrafengennem(0,60)ogmedpositivhældningskoefficient.Matematisk problemløsning og afmatematisering: Der foreligger ikke nogen matematiskproblemløsning, eftersomman ikke ved hjælp af modellerne skal nå frem til konklusionervedrørende det modellerede område. Af samme grund foreligger der heller ikke nogenafmatematiseringafdeopnåedekonklusioner,eftersomderikkeernogen.Bemærkning: Opfatter man – hvilket giver god mening – funktionsforskrifterne som denegentligematematisering,vilopstillingenafgraferrepræsentationerneforfunktionerneværeatbetragte somresultatet afmatematiskproblemløsning.Denneproblemløsningangårdogikke bestræbelserne på at finde afmatematiserbare svar på spørgsmål fravirkelighedsdomænet,men blot enmatematikintern transformation af den symbolbaseredematematiseringtilengrafisk.Derforerderfortsatikkenogenafmatematiseringpåbanen.Valideringen består i en konfrontation af de fire foreslåede modelpar (i form afgrafrepræsentationer af de matematiserede ordninger) med de to beskrevneaflønningsordninger, med henblik på at afgøre hvilket (om noget) af de fire modelpar der(bedst)modsvarerdebeskrevneordninger.Uansetommatematiseringenersketformeltellerkvalitativt, er det kun modellerne bag C og D der giver en korrekt repræsentation af ZPsaflønningsordning.PåtilsvarendemådeerdetkunmodellernebagAogCdergiverenkorrektrepræsentationafZTsordning.IalterdetkunfigurCderkorrektrepræsentererbådeZPogZT.Denneopgaveskerneervalideringafdefiremodelpar.Eftersomvalideringenforudsætterformel eller kvalitativ matematisering, som ovenfor, indgår også matematiseringen iopgavenskerne,menienafledetrollesomhjælpetropforvalideringen.Spørgsmål 10 Forord: Denne opgave minder strukturelt set om den foregående, idet opgaveløseren skalvælgemellem fire grafiske repræsentationer af foreslåedekvalitativemodellerderhver forsigskalindfangefodhøjdensomfunktionaftideniengyngetur,hvormanforsøgeratkommehøjereoghøjere.Præmatematisering: Der er allerede set væk fra mange ting: gyngens placering ogdimensioner, herunder højden over jorden; tidsforløbet; og frem for alt de skiftendebenstillingerhosgyngerensomernødvendigeforatfågyngenhøjereoghøjereop.Deterkunforløbet opmod stadig større gyngehøjde der søges indfanget, ikke forløbet nedmod stop.Idealiseringeneraltsåganskevidtgående.Ikkedestomindreskalmodelbygningenfindestedunderinddragelseafbetydeligvidenom,hvordanergyngeforløbudspillersigivirkeligheden.Matematisering:Underengyngeturharfødderneforskelligehøjderoverjorden,altefterhvorpersonenerietsving.Densøgtefunktionmåaltsåudviseoscillationer.Hvergangmanunderengyngeturnårgyngenslavesteposition–sommanogsåindtagervedstarten–har(antagervi)føddernedensammepositivehøjdeoverjorden.Eftersomgyngennårhøjereoghøjere,måoscillationerneslokalemaksimablivestørreogstørre.

Side241af242

Matematiskproblemløsningogafmatematiseringoptræderikke,eftersomderikkeskaldragesmatematiskekonklusionerogudføresfortolkningerafdisseforgyngevirkelighedenOpgavenskerneervalideringen ogdenkvalitativemodelleringder skal til for at foretageden. Vi lægger ud med straks at kassere graf C, eftersom der ikke her er tale om énmatematiskmodel.Havdevikunhafténafbuerne (oghavdesetvæk fraatdeallehar lidtmodløbiendepunkterne),kunnedetmednogengodviljeværekommetpåtaleattænkepådensomengraf foret forløbmellemto lokalemaksima.Denvilleså ikkehave indfangetatgyngenøgedesinhøjdemedtiden.Medhenvisningtildenødvendigekvalitativeegenskabervedmodellensomvifandtundermatematiseringen,kanviderefterkonstatere,atgrafDikkekankommepåtale.KungraferneAogBudviserdekrævedeoscillationer,ogafdisseudviserkungrafAvoksendelokalemaksima.KunmodellenigrafArepræsentereritilfredsstillendegraddeanførteoplysningerogkrav. Spørgsmål 11 Præmatematiseringen ernæsten fuldført alenedervedatder talesomen ”terning”, sompr.automatik giver anledning til en bestemt geometrisk model. Der burde i øvrigt have stået”kanter” i stedet for ”sider”, men det giver næppe anledning til misforståelser. Det er dognødvendigt yderligere at gøre den forudsætning at den nye terning er af sammematerialesom den gamle (det burde der også have stået), og at massetætheden (densiteten) erhomogen,altsådensammeforenhver(noksålille)delafterningen.Matematisering:Viantager,atforholdetmellemvægtMogvolumenVafdenstoreterningerdet sammesom forden lille terning,m/v.Vimatematiserer sådenstore terningsvægtvedM/V=m/v,dvs.,M=(m/v)V.Matematiskproblemløsning:Denlilleterningsvolumenerv=23,mensmvaropgivettil4,8.DadenstoreterningskantlængderalleerdobbeltsåstoresomdenlilleserV=23v=82.ErgoerM=(4,8/8)∙82=4,8∙8=38,4.Afmatematisering:Denmatematiskeproblemløsningforegikmedrenetal.Viskalblottilføjeenhederforatfåoversatsvarettilvirkelighedsdomænet:38,4g.Validering:Deter ikkemuligtat foretageenyderligerevalideringafmodellenindenfordenforeliggenderamme,eftersomden følgermednødvendighedafdegjorte forudsætningerogantagelser.En ”real‐world”‐valideringvillekræveeksperimentermed faktiske træterninger,ogvilleirealitetenudfordredegjorteforudsætningerogantagelser:atdervirkeligertaleomtoterninger,atdeergjortafdetsammetræ,ogatdensitetenerhomogen.Kernen i opgaven ligger samspillet mellem matematisering og matematiskproblemløsning.Spørgsmål 12 Forord:Derertaleomtoforskellige(præskriptive)matematiskemodeller,en”gammel”ogen”ny”,hvormanskalfastlæggeenbestemtkonsekvensafovergangfradengamlemodeltildennye.Det betyder, athverkenpræmatematisering, egenmatematisering ellervalidering er på

Side242af242

færdeher.(Skullemanhavetagetstillingtilavisenspåstand,havdederværetmangefleretingpåfærde.)Matematiskproblemløsning:Detomodellererbeggeermatematiseretsomlineærefunktioner(med hjertefrekvensen som funktion af alder), begge med negativ hældningskoefficient.Eftersomhældningskoeffecienterne er forskellige, har de to grafer netop ét skæringspunkt,sombestemmesaf ligningen220– ”alder”=208 ‐0,7 ∙ ”alder”.Vedomordning fås, at0,3 ∙”alder”=12,dvs.densøgte”skæringsalder”er lig40.Detkonstateres,at for”alder”>40erfunktionsværdiernefordennyefunktionstørreendfordengamle.Afmatematiseringenbestårdelsbanaltiattilføjeenheden”år”tilalder,delsiatoversættedetforhold at funktionsværdien efter40 er større veddennye forskrift endvedden gamle, tilkonklusionen at den anbefalede maksimale hjertefrekvens øges for personer over 40 år.(Afmatematiseringen fortæller så tillige, ved at sammenholde med avisomtalen af”overgangalderen”,atfolkover40åreratopfattesomældre.Tagden,matematikvejleder!)Denne opgaves kerne ligger i den matematiske problemløsning i kombination medafmatematiseringen.Spørgsmål 13 Præmatematisering:Beståriatsignalordene”kørteentur”,”pludselig”,”bremsedehårdtop”,”undgikatramme”,”kørehjemigen”,og”hvadvarklokken?”allegiverinputtilmodellenogdensfortolkning.Matematiseringenerforetagetiformafenfart/tid‐grafderrepræsentererenstykkevislineærfunktionafbilensfartsomfunktionaftidenietvistinterval.Matematiskproblemløsningerikkepåtapetether.Afmatematiseringen afmodelleneropgavenskerne.Denbestår i at afkodede respektiveknækpunkter og graflinjestykker i forhold til opgavehistorien. Med hensyn til det stilledespørgsmålskalvilokaliseredettidspunkt,hvorKellybremserhårdtop.Detliggerhvorfartenbegynderat falderhastigt,dvs.grafenharetstejltstykkemednegativhældningskoefficient.Dettetidspunktligger,vedaflæsningafinddelingen,kl.9:06,hvilketersvaretpåspørgsmålet.Valideringafmodellenerikkeendelafproblemstillingen.MankandogaflæseatKellyundgikkattenidetforholdathendesopbremsningikkebragtefartennedtil0,hvadenpåkørselvillehave gjort. Ved at udvide perspektivet kan man dog let problematisere fx det forhold, atfunktionen ikke er differentiabel i delingspunkterne mellem de lineære bidder. Skulle detpasse, måtte Kellys bil være af en særlig beskaffenhed. Modellenmå altså betragtes til enpragmatisk tilnærmelse til en mere realistisk model. Men det indgår som sagt ikke iproblemstillingen.