Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos

Aerodinámica II

Curso 2012-2013 Jaime Beneyto Gómez de Barreda

jaimebeneyto@gmail.com

Asignatura: AERODINAMICA II Código: 4141

Curso 4 Nº de Créditos 6 Tipo: Prácticas (laboratorio, taller, etc.): NO

Semestre 1 Horas Semanales 4

• PERFILES AERODINÁMICOS EN RÉGIMEN TRANSÓNICO. Fenómenos físicos. Números de Mach crítico y de divergencia de fuerzas. Cálculo de los números de Mach de divergencia de sustentación y de resistencia. Perfiles con distribución de presiones picuda, con borde de salida grueso y con sustentación retrasada.

• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE CUERPOS ESBELTOS. Linealización del problema. Campo próximo y campo lejano. Empalme de las soluciones.

• FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS.

Formula de Ward. Campo axial y campo cruzado. Ejemplos de aplicación. Teoría de alas esbeltas. Soluciones para pequeños espesores y curvaturas.

• FUERZAS LONGITUDINALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS.

Cálculo de la resistencia de onda. Regla del área en régimen transónico. Optimización de la resistencia de onda. Regla del área de Hayes.

• TEORÍA POTENCIAL (PEQUEÑAS PERTURBACIONES) DE CUERPOS ESBELTOS EN RÉGIMEN

TRANSÓNICO. Planteamiento del problema. Campo próximo y campo lejano. Regiones de validez. Escalas. Regla de semejanza transónica.

• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN INCOMPRESIBLE.

Problema simétrico y sustentador. Límites de la formulación del problema sustentador para alargamientos grandes y para alargamientos pequeños. Teoría del plano de Trefftz.

• TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN SUPERSÓNICO.

Manantial supersónico. Formula de Evvard. Formula de Evvard-Krasilshchilova. Solución para puntos influidos por un borde de salida subsónico.

• ENTRADA EN PÉRDIDA Y COEFICIENTE DE SUSTENTACIÓN MÁXIMO DE ALAS A BAJAS

VELOCIDADES. Entrada en pérdida tridimensional. Utilización de la información obtenida en régimen bidimensional. Influencia de la flecha en el comportamiento de la capa límite. Tipos de entrada en pérdida. Coeficiente de sustentación máximo. Efectos de los parámetros de forma, de los números de Reynolds y de Mach. Estabilidad del ala durante la entrada en pérdida.

• AERODINÁMICA EXPERIMENTAL.

Ensayos en túnel aerodinámico. Tipos de túneles. Leyes de semejanza. Tipos de medidas. Instrumentación. Visualización del flujo alrededor de un cuerpo.

• MÉTODOS DE PREDICCIÓN DE LA RESISTENCIA AERODINÁMICA.

Clasificación. Coeficientes de fricción. Efecto de la compresibilidad. Resistencias inducida y de onda. Factor de eficiencia. Resistencia de componentes. Resistencia de interferencia.

Curso 09/10

BIBLIOGRAFÍA:

• H. Ashley, M. Landahl. “Aerodynamics of Wings and Bodies”. Dover. 1985. • J. Katz y A. Plotkin. “Low-Speed Aerodynamics: from wing theory to panel methods”. Mc Graw-Hill. 1991. • R.T. Jones y D. Cohen. “High Speed Wing Theory”. Princeton University Press. 1960. • AGARD CP-124 “Aerodynamic drag”, 1973. • ESDU Data Sheets.

Curso 09/10 Asignatura(s) soporte(s): MECANICA DE FLUIDOS II

AERODINAMICA I

OPTATIVA (A1)

Capítulo 3 51

CAPITULO 3

TEORIA POTENCIAL LINEALIZADA DE CUERPOS ESBELTOS 3.1. INTRODUCCION Un cuerpo esbelto está caracterizado geométricamente por el hecho de que las dimensiones máximas medidas paralelamente a los ejes y y z, son mucho menores que la dimensión máxima medida paralelamente al eje x. En otras palabras, a lo largo del cuerpo, de longitud l, la variable x varía entre cero y l, mientras que las variables y y z varían entre cero y valores del orden de εl (con ε <<1), tal como se esquematiza en la figura 3.1.

U∞

z y

x

Fig. 3.1. Geometría de un cuerpo esbelto.

Esta particularidad permite abordar el estudio del movimiento fluido alrededor de un cuerpo esbelto dividiendo el dominio fluido en dos regiones, una próxima al cuerpo o interior, en la que, como se verá, la solución obedece a una formulación similar a la obtenida para el movimiento bidimensional incompresible, y otra lejana o exterior, en la que la solución es axilsimétrica. Obviamente, existe una región intermedia donde han de coexistir ambas soluciones. Esta descomposición en dos zonas simplifica notablemente la resolución del problema en cada una de ellas. 3.2. CUERPOS ESBELTOS AXILSIMÉTRICOS Se analizará en primer lugar el flujo alrededor de un cuerpo esbelto de revolución cuando, además, la corriente incidente no perturbada es paralela al eje de revolución del cuerpo. En este caso el cuerpo no sustentará y el flujo será axilsimétrico. Se empieza estudiando este caso simplificado para obtener con mayor facilidad el orden de magnitud de la perturbación introducida por el cuerpo esbelto. Para aprovechar la simetría de revolución se utiliza un sistema de coordenadas polares (x, r, θ) de forma que la el eje x es paralelo a la corriente incidente no perturbada. En dicho sistema de referencia la ecuación del cuerpo esbelto se puede escribir ( ) ( ) ( ), 1, , 0c c cr r x R x R x l x lε ε= = ≤∼ ≤ dónde c ( )R x es una función tal que sus derivadas son de orden unidad y a la que se denominará como la forma dilatada del cuerpo esbelto. Como se comprobará más adelante, en el caso de los cuerpos esbeltos se obtiene una perturbación (efecto) de distinto orden que el de la causa, y no basta con hacer un desarrollo de

Capítulo 3 52

perturbaciones regulares para obtener la solución linealizada, siendo necesario realizar un acoplamiento de desarrollos asintóticos. Se hará un desarrollo asintótico para el campo próximo al cuerpo, campo interior, y otro para el campo lejano, campo exterior. El primero debe cumplir con la condición de contorno sobre el cuerpo mientras que el segundo debe cumplir con la condición de contorno en el infinito, debiendo finalmente acoplarse ambos desarrollos en una zona de validez común. La ecuación diferencial del potencial de velocidades (la ecuación general, escrita en coordenadas cilíndricas, y con θ∂ ∂ =0) es:

( ) ( )2

2 2 2 2 2x xx r rr r x r xraa ar

− Φ Φ + − Φ Φ + Φ − Φ Φ Φ = 0 (3.1)

siendo la condición de contorno sobre el cuerpo

( )d end

crc

x

r r r xx

Φ= =

Φ (3.2)

y la condición de contorno en el infinito . (3.3) enU x x∞Φ → → −∞ Finalmente la velocidad del sonido local viene dada por la ecuación de Euler-Bernoulli:

2 2 2 2 212 x ra a Uγ

∞− ⎡= − Φ + Φ −⎣ ∞ ⎤⎦ . (3.4)

Se tomará un desarrollo asintótico para el campo interior, que se denota con el superíndice i, y otro para el campo exterior, que se denota con el superíndice o, de la forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 31 2

21 2

, , 0

, , 0

i i i

o o o

U x x R x R

U x x r x r 3

εϕ ε ϕ ε

εϕ ε ϕ

∞

∞

Φ = + + +

Φ = + + + ε

dónde para estudiar la zona cercana al cuerpo se ha dilatado la variable radial R r ε= de forma que las variaciones de la variable R serán de orden l, el mismo que las variaciones en la variable x al movernos sobre el cuerpo esbelto. Para el caso en que el cuerpo esbelto sea una aguja alineada con la corriente incidente, ε=0, debe cumplirse , y como ( )

0lim , 0i

r x rε →

Φ =

( ) ( ) ( )21 2, , 0

i ii iR Rx R x R

r Rϕ εϕ ε

ε∂Φ ∂Φ

= = + +∂ ∂

será y por tanto ( )1 ,i

R x Rϕ = 0 ( )1 1i g xϕ =

Capítulo 3 53

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 31 2

21 2

, 0

, , 0

i i

o o o

U x g x x R

U x x r x r

ε ε ϕ ε3εϕ ε ϕ

∞

∞

Φ = + + +

Φ = + + + ε (3.5)

3.2.1. Campo interior Escribiendo las ecuaciones (3.1) y (3.4) en términos de las variables próximas, introduciendo el desarrollo en serie de potencias (3.5) y despreciando términos de orden superior se tiene:

2 21 0i i

RR RRϕ ϕ+ = . (3.6)

Asimismo la condición de contorno expresada por la ecuación (3.2) se aplica al campo interior y se escribe en función de las variables interiores como sigue

( )( )2 , d

d

iR c c

x R x RU x

ϕ

∞

= . (3.7)

Se observa que falta una condición de contorno en el infinito, R→∞, para el campo próximo y una condición de contorno en r→0 para el campo lejano, estas condiciones se imponen forzando el acoplamiento de las soluciones interior y exterior. La solución de las ecuaciones (3.6) y (3.7) es ( ) ( )2 2, lni

c cx R U R R R g xϕ ∞′= +

dónde ( )2g x es la constante de integración. La expresión del desarrollo asintótico para el campo interior se puede escribir finalmente

( ) ( )( ) ( )21 2ln 0i

c cU x g x U R R R g x 3ε ε∞ ∞′Φ = + + + + ε (3.8)

3.2.2. Acoplamiento de las soluciones interior y exterior Se realiza el acoplamiento forzando que la velocidad radial en la zona más alejada del campo próximo sean igual a la velocidad radial en la zona más interior del campo lejano usando las expresiones de los desarrollos asintóticos

( ) ( )

( )

21 2

2 22

, , ...

, ... ...

o o or r r

i i c cr r

x r x r

R Rx R Ur

εϕ ε ϕ

ε ϕ ε ∞

⎫Φ = + +⎪⎬′

Φ = + = + ⎪⎭

(3.9)

se obtienen las condiciones de contorno para los términos del desarrollo de en r→0 oΦ

Capítulo 3 54

( )

( )

10

20

lim , 0

lim ,

orr

o c crr

x r

R Rx r Ur

ϕ

ϕ

→

∞→

=

′=

(3.10)

que junto a las condiciones de contorno en el infinito cierran el problema del campo exterior

(3.11) 1 1

2 2

lim 0 lim 0

lim 0 lim 0

o orx x

or xx x

ϕ ϕ

ϕ ϕ→−∞ →−∞

→−∞ →−∞

= =

= =

x

o

Introduciendo el desarrollo asintótico del campo exterior en la ecuación (3.1) y reteniendo el término de primer orden se obtiene la ecuación diferencial

( )21 1 1

11 0o o oxx r rrM

rϕ ϕ ϕ∞− + + = ,

que junto a las condiciones de contorno (3.10) y (3.11) nos proporciona la solución de primer orden del campo exterior . 1 0oϕ = Finalmente, haciendo el acoplamiento de los potenciales interior y exterior se obtiene ( )1 0g x = y los potenciales son

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 32

2 32

2 20

ln 0

, 0

con lim , ln ln

ic c

o o

oc c c cr

U x U R R R g x

U x x r

g x x r U R R r U R R

ε ε

ε ϕ ε

ϕ ε

∞ ∞

∞

∞ ∞→

′Φ = + + +

Φ = + +

⎡ ⎤′ ′= − +⎣ ⎦

. (3.12)

Una vez obtenido el orden de la perturbación puede definirse el potencial de perturbación del campo interior 2

2i iϕ ε ϕ= , y del campo exterior 2

2o oϕ ε ϕ= , volviendo a las variables físicas,

para obtener

( ) ( )

( ) ( )0

d, ln ;2 d

dcon lim , ln2π d

i c

o c

r

sUx r r g x Mx

sUg x x r rx

ϕπ

ϕ

∞∞

∞

→

= +

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.13)

dónde se ha tenido en cuenta que

d d2πd d

c cc

s rrx x

= .

El primer término del potencial de perturbación interior representa un manantial bidimensional incompresible en el plano transversal, cuya intensidad depende de la variación del área transversal del cuerpo esbelto. En el segundo término se encuentra la dependencia de la solución del número de Mach, y como se verá más adelante en dicho término influye la forma de todo el cuerpo esbelto.

Capítulo 3 55

3.2.3. Campo exterior La ecuación diferencial y condiciones de contorno para el término del potencial de perturbación del campo exterior son

( )

( )

2

0

0

11 0

dlim2π d

lim 0

lim 0

o o oxx r rr

o cr c cr

orr

oxr

Mr

sUr U r rx

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

∞

∞∞→

→∞

→

− + + =

⎧ ′= =⎪⎪⎪ =⎨⎪

=⎪⎪⎩

(3.14)

dónde sc(x) es el área de la sección transversal del cuerpo esbelto. La solución de este problema puede obtenerse fácilmente mediante la superposición de manantiales de intensidad ( )f x por unidad de longitud a lo largo del eje x

( )[ ]

,

2 2 2 2 20 0

Distribución de manantiales subsónicos Distribuc de intensidad a lo largo del eje de revolución, 0,

1 ( ) 1 ( )( , ) ó 4 2( ) ( )

l x rlo

f xx l

f d f dx r2x r x

βξ ξ ξ ξϕπ πξ β ξ β

−

∈

= − −− + − −

∫ ∫

( )[ ]

ión de manantiales supersónicos de intensidad a lo largo del eje de revolución, 0,

f xx l∈

r (3.15)

dónde 2 1 2Mβ ∞= − . La intensidad de los manantiales debe ser tal que cumpla con la condición

de contorno para , por tanto será 0r → ( ) ( )cf x U s x∞′= .

Introduciendo la solución del campo exterior en la expresión para ( )g x dada por la ecuación (3.13) se obtiene la solución completa para el campo interior. Para ello se debe desarrollar la expresión del potencial exterior para , lo haremos escribiendo r = εR con R≈l y haciendo el límite de las expresiones cuando ε → 0. Hay que tener presente que dichas expresiones contienen una singularidad cuando r → 0 (inevitablemente el valor de ξ coincidirá, en un punto, con el de x) y hay que manejar esta singularidad analíticamente.

0r →

3.2.3.1. Caso subsónico En el caso subsónico, M∞ < 1, se tiene:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

( )d d ( ) ( )( ) d( ) ( ) ( )

l l lf ff x

x r x r x r

ξ ξ ξ ξx f ξξ β ξ β ξ β

−= −

− + − + − +∫ ∫ ∫ .

El primer sumando del segundo miembro es integrable analíticamente, mientras que el segundo sumando no es singular cuando r = εR → 0 (cuando x − ξ → 0 también lo hace f(x) − f(ξ)). Integrando el primer sumando resulta:

Capítulo 3 56

2

2 2 2 20 0

0

ln 1( )

1

ll l

xdrd x

r rx r xr

ξβξ ξ

β βξ β ξβ

⎛ ⎞−x ξ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎛ ⎞− −⎝ ⎠ ⎢ ⎥= − = − + +⎜ ⎟⎢ ⎥− + ⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎣ ⎦+⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ,

de modo que el potencial de perturbación vale:

2

2 2 2 2 2 2 20 0

1 1( )d ( ) ( )( ) ln ln d

( ) ( )1 1

l lr

l xf fl xf xxx r x rr

x

βξ ξ ξx f ξ

ξ β ξ ββ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ −⎜ ⎟−⎢ ⎥ −⎝ ⎠−= − + −⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ .

Para estudiar el comportamiento de esta expresión cuando r ∼ εR, se desarrolla en serie esta última expresión y, teniendo en cuenta que

2 2

411 12

R Rl x l xβε βε 0( )ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

1 1 22

2+ 0FHGIKJ + = +

βε εRx

( ) ,

si se desprecian términos de orden superior se obtiene

2

2 2 20 0

( )d ( ) ( )2 ( ) ln ln ln d 0( )2 ( )( )

l lf ff x Rxx l xx r

ξ ξ β ξx fε ξ εξξ β

⎡ ⎤ −= − + + − +⎢ ⎥

−−− + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

introduciendo esta expresión en la ecuación (3.15) se obtiene en función de las variables físicas

( )2 2 20

0 0

( )d ( ) ( ) ( )lim , ln ln d ...4π 2π 4π2 ( )( )

l lo c c c c

r

s U s x s x sU Ur x rxx l xx r

ξ ξ ξβϕ ξξξ β

∞∞ ∞

→

′ ′ ′ ′⎡ ⎤ −= − = + + +⎢ ⎥

−−− + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

y por tanto con (3.13)

2

0

d ( )( ) ln d4 d 4 ( ) 4π

lc cs s xU Ug xx x l x x

ξβ ( )cs ξπ ξ∞ ∞

′ ′−= +

− −∫ . (3.16)

Integrando por partes en la expresión anterior y suponiendo sc’(0) = sc’(l) = 0 se tiene

( ) ( )0

( )( ) ln ( ) ln d ( ) ln d2 2 4 4

x lc

c cx

U s x U Ug x s x s xβ ξ ξ ξ ξ ξ ξπ π π

∞ ∞ ∞′

′′ ′′= − − + −∫ ∫

3.2.3.2. Caso supersónico

Capítulo 3 57

Si el cuerpo esbelto vuela en régimen supersónico, M∞ > 1, se tiene:

,

2 20

1 ( )d( , )2π ( )

l x ro fx r

2x r

β ξ ξϕξ β

−

= −− −

∫

donde ahora es . Utilizando el mismo procedimiento que en el caso subsónico se desarrolla la integral en potencias de ε

β 2 2 1= −∞M

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

( )d d ( ) ( )( ) d( ) ( ) ( )

x r x r x rf ff xx r x r x r

β β βξ ξ ξ ξx f ξξ β ξ β ξ β

− − − −= −

− − − − − −∫ ∫ ∫ ,

(hay que observar que el límite superior es siempre x−βr porque estamos considerando ahora puntos en los que 0 < x < l),

2

2 2 2 20 0

0

dd ln 1

( )1

x rx r x r

xx xr

r rx r xr

ββ β

ξξ ξβ

β βξ β ξβ

−− − ξ

−⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥= − = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎣ ⎦−⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ,

de modo que el potencial de velocidades de perturbación será

2

2 2 2 2 2 20 0

( )d ( ) ( )( ) ln ln 1 1 d( ) ( )

x r x rf rxf x

r xx r x r

β βξ ξ β ξf x f ξ

βξ β ξ β

− −⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠− − − −⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

y haciendo r = εR, teniendo en cuenta que

1 1 2 02

2+ − FHGIKJ = +

βε εRx

( )

se tiene finalmente, para ε→0,

,

2 2 20 0

( )d d ( ) ( )1( , ) ln ln d ...2π 2π d 2 2π( )

l x r xo c c c cU s s s x sU Ux r r

x x xx r

β ξ ξ ξβϕ ξξξ β

−∞ ∞ ∞

′ ′ −⎡ ⎤= − = + + +⎢ ⎥ −⎣ ⎦− −∫ ∫

′

y por tanto con (3.13)

( )0

( ) ( ) ( )ln d2π 2 2π

xc cU s x s x sUg x

x xξβ c ξ

ξ∞ ∞

′ ′ −= +

−∫′

(3.17)

Integrando por partes en la expresión anterior y suponiendo (0) 0cs ′ = , se tiene

Capítulo 3 58

( ) ( )0

( ) ln ( ) ln d2π 2 2π

xc

cU s x Ug x s xβ ξ ξ ξ∞ ∞

′′′= + −∫

Por tanto, tan sólo conociendo sc(x) es posible calcular f(x) y g(x). Hay que observar que g(x) tiene singularidades aparentes tanto en el caso subsónico como en el supersónico. Caso subsónico 1. Existe una singularidad en x = 0 en el término f(x)lnx, siempre que f(0) ≠ 0, o lo que es lo

mismo sc´(0) ≠ 0. Para cuerpos de revolución dsc/dx = 0 equivale a rc(x)drc/dx = 0, que se cumple en x = 0 siempre que el cuerpo no sea romo (fig. 3.2a). Esta condición debe cumplirse además para que los desarrollos asintóticos hechos sean válidos.

2. Existe una singularidad en x = l dada por el término f(x)ln(l−x) siempre que f(l) ≠ 0, es decir,

sc´(l) ≠ 0 (fig. 3.2b). Estas singularidades en g(x) no afectarán al cálculo (capítulo 4) de las fuerzas transversales ya que no dependen de esta función. Caso supersónico Existe una singularidad en x = 0 en el término f(x)lnx del mismo tipo que la vista en el caso subsónico. La singularidad en x = l no aparece.

a b

Fig. 3.2. Análisis de las singularidades de la solución.

3.2.4. Coeficiente de presión sobre el cuerpo El coeficiente de presión sobre el obstáculo se obtiene introduciendo el desarrollo del potencial interior en la ecuación (3.4) y siguiendo un procedimiento análogo al utilizado para obtener la expresión para Cp en la teoría potencial linealizada de alas, obteniéndose finalmente:

( )2

22

212

iirx

pp pC

U UU

ϕϕ

ρ

∞

∞ ∞∞ ∞

⎡ ⎤− ⎢ ⎥= = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Capítulo 3 59

3.3. CUERPOS ESBELTOS NO AXILSIMÉTRICOS Para estudiar el campo de velocidades en las proximidades del obstáculo utilizaremos coordenadas cartesianas de forma que el eje x sea paralelo a la corriente incidente no perturbada. La ecuación de la superficie del cuerpo en dicho sistema de referencia se puede escribir en la forma , siendo las dimensiones del cuerpo esbelto en las direcciones y, z mucho menores que la dimensión en la dirección x, y utilizando la longitud del cuerpo esbelto como longitud característica se tiene

( ), , 0F x y z =

, 1x l y z lε ε∼ ∼ . De forma análoga a lo hecho en el caso de cuerpos esbeltos de revolución, se buscará un desarrollo en serie del parámetro ε para obtener la aproximación de primer orden a la solución. La ecuación diferencial para el potencial de velocidades es:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2x xx y yy z zz x y xy x z xz y z yza a a− Φ Φ + − Φ Φ + − Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ = 0

(3.18) siendo la condición de contorno sobre el cuerpo (3.19) 0F∇Φ ⋅∇ = y la condición de contorno en el infinito . (3.20) enU x x∞Φ → → −∞ La velocidad del sonido local viene dada por la ecuación de Euler-Bernoulli:

2 2 2 2 2 212 x y za a Uγ

∞−

∞⎡ ⎤= − Φ + Φ + Φ −⎣ ⎦ . (3.21)

Teniendo en cuenta el resultado obtenido en el caso de cuerpos esbeltos de revolución, parece lógico que el primer término no nulo para el desarrollo asintótico del campo interior sea de la forma ( ) ( )2

2 , , 0i iU x x Y Z 3ε ϕ∞Φ = + + ε (3.22) siendo Y = y/ε, Z = z/ε las variables próximas definidas de forma que su variación en el campo interior sea de orden l. Esto será cierto siempre que la forma del cuerpo varíe "suavemente" con x, Y, y Z. 3.3.1. Campo interior Escribiendo las ecuaciones (3.18) y (3.21) en términos de las variables próximas se tiene:

Capítulo 3 60

( )2 2

2 2 2 22 2 2 2Y YY Z ZZ

x xxa a aε ε ε ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ Φ Φ Φ− Φ Φ + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 42 2 2 0x Y xY x Z xZ Y Z YZ

ε ε ε− Φ Φ Φ − Φ Φ Φ − Φ Φ Φ = , (3.23)

2 2

2 2 2 22 2

12

Y Zxa a Uγ

ε ε∞ ∞

⎡ ⎤Φ Φ−= − Φ + + −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ . (3.24)

Introduciendo en las ecuaciones anteriores el desarrollo en serie de potencias (3.22) se obtiene la ecuación diferencial que debe cumplir el primer término del desarrollo (3.25) 2 2 0i i

YY ZZϕ ϕ+ = La ecuación obtenida indica que el campo próximo está gobernado por la ecuación bidimensional de Laplace, en la que no aparece M∞. Esta peculiaridad indica que el campo próximo de un cuerpo esbelto es muy independiente del régimen de vuelo (sea subsónico o supersónico). Obsérvese que lo que en realidad diferencia esta ecuación de la que se obtiene en la teoría linealizada de alas es que aquí ha desaparecido el término ( )1 2− ∞M xxϕ debido a que las otras dos derivadas (respecto de y y z) son mucho mayores. Otra manera de que dicho término no apareciese sería que M∞ estuviese muy próximo a la unidad (régimen transónico). Todo esto indica que los cuerpos esbeltos están especialmente bien adaptados para el vuelo en transónico ya que el campo próximo es insensible al número de Mach (sólo hasta cierto punto, ya que, como se verá posteriormente, y cómo ocurría en el caso axilsimétrico, aparece en la solución una función g(x) que sí depende de M∞) y no se producirán cambios bruscos en el flujo al pasar por la zona transónica. Una vez impuestas las condiciones de contorno, será posible encontrar la solución salvo una función aditiva g(x) que depende del campo lejano (puesto que en la ecuación no aparecen derivadas con respecto a x), pero que no va a influir ni en las fuerzas transversales ni en los momentos de tales fuerzas, puesto que provocará el mismo cambio de presión en todos los puntos de una sección dada. No se necesita la expresión (3.24) para calcular el potencial de velocidades, al menos en primera aproximación; sí se necesita en cambio, para calcular el campo de presión. Por ahora no es posible saber cuál de los términos entre corchetes es dominante en dicha expresión (de hecho, se comprueba posteriormente que ambos resultan ser del mismo orden). Para completar la formulación del campo interior es preciso establecer las condiciones de contorno sobre el obstáculo que, para el potencial de perturbación escrito en variables interiores y despreciando términos de orden superior, se convierte en: . 2 2 0i i

x Y Y Z ZU F F Fϕ ϕ∞ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ =

Se considera en cada punto de la superficie un sistema de coordenadas local x, N, Σ, tal que N es la dirección de la normal exterior a la intersección de la pared del obstáculo con planos x = cte

Capítulo 3 61

(que, en general, no coincide con la normal a la superficie), Σ es tangente a las curvas intersección de la pared con planos x = cte. (figura 3.3). Sobre la superficie FΣ = 0, por lo tanto: , 2 0i

x N NU F Fϕ∞ + =

Fig. 3.3. Definición del sistema de coordenadas x,N,Σ.

2 dd

iN x cF N

x=

NU Fϕ

∞

= −

), ,i

(3.26)

donde N = Nc(x) describe la curva intersección de la superficie del cuerpo con el plano Σ=0, como se muestra en la figura 3.3. La expresión (3.26) recuerda a la que se obtuvo al desarrollar la teoría potencial linealizada de alas. Allí zp jugaba el papel que en este caso juega Nc. Nótese que, contrariamente a lo que se hizo en el caso de los perfiles y alas delgados, no está justificado transferir las condiciones de contorno al esqueleto (la aguja) debido a que la solución es más “singular” en el esqueleto (aparece un manantial y no una distribución superficial de ellos). Dado que en la solución del campo próximo aparece una función aditiva g(x) que depende del campo alejado, antes de seguir conviene analizar el comportamiento del campo próximo a gran distancia. No se puede esperar que la solución del problema del campo próximo valga muy lejos del obstáculo, puesto que las ecuaciones correspondientes se han obtenido suponiendo que tanto y como z son del orden de ε (estamos muy cerca del cuerpo). Además, hay que observar que en la ecuación diferencial han desaparecido todas las derivadas con respecto a x, llegándose a una ecuación degenerada. En alguna región del campo deberán reaparecer términos que contengan derivadas con respecto a x. Para analizar cómo se comporta la solución interior para valores grandes de Y y de Z (que no significa necesariamente valores grandes de y = εY y z = εZ), hay que tener en cuenta que 2 ( x Y Zϕ , la expresión del potencial de perturbación válida en el campo próximo, es solución de la ecuación bidimensional de Laplace y, por tanto, se puede obtener una solución formal empleando el teorema de Green en dos dimensiones como se hizo en teoría de paneles

ϕN

ϕ Y

ϕZ

U∞

Σ = 0

tan−1(dNc/dx)

FY

F ϕN N

FZ

Z

Y x = cte

Capítulo 3 62

( )2 2 21 ln d

2πi i i

N 2R g xN σ σϕ ϕ ϕ Σ∂⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ (3.27)

dónde el subíndice σ indica que la variable se evalúa sobre la superficie del cuerpo, y siendo

( ) ( )2 2R Y Y Z Zσ σ= − + − σ . Para obtener el comportamiento del potencial dado por la ecuación (3.27) lejos del cuerpo (Y2 + Z2 → ∞) conviene recordar que el segundo término de la integral corresponde a dobletes sobre el contorno del cuerpo y que su contribución al potencial lejano es despreciable frente al primer término del integrando, que representa manantiales situados sobre el contorno del cuerpo. Con esto se puede escribir el comportamiento lejano del campo interior como

( )2 21lim ln d

2πi i

NR 2R g xσϕ ϕ Σ→∞

= ∫ + (3.28)

esta expresión representa un manantial bidimensional situado en el origen del sistema de referencia y de intensidad la suma de las intensidades de los manantiales distribuidos sobre la superficie de la sección del cuerpo. Para calcular la intensidad del manantial sólo se requiere el valor de 2

iNϕ sobre la superficie de la sección, que es conocida sobre el contorno del cuerpo,

ecuación (3.26), por tanto

2d dd dd d

i c cN

N SU Ux xσ σϕ Σ Σ∞ ∞= =∫ ∫

En resumen, a gran distancia del cuerpo esbelto será:

( ) 2 22 2

dlim ( , , ) ln , donde 2π d

i cR

SU 2x Y Z R g x R Y Zx

ϕ ∞→∞

= + = + ,

que es la expresión matemática del llamado principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune, que establece que: a) El campo alejado de un cuerpo esbelto es axisimétrico e idéntico al que produciría un cuerpo

de revolución con la misma ley de áreas Sc(x) (cuerpo esbelto de revolución equivalente). b) En el campo próximo la corriente alrededor del cuerpo dado difiere de la del cuerpo de

revolución equivalente en un término que representa un campo bidimensional incompresible. Hay que recordar, una vez más, que en la primera aproximación del problema interior (campo próximo) la variable x aparece como parámetro y no como variable independiente. A la solución obtenida para 2

iϕ (x,Y,Z) ha habido que sumarle una función ( )2g x que coincide con la calculada en el caso axilsimétrico. En resumen, definiendo el potencial de perturbación del campo interior como se hizo en el caso axilsimétrico 2

2i iϕ ε ϕ= , el potencial de velocidades obedece al desarrollo Φ(x,Y,Z) = U∞x +

( , ,i )x Y Zϕ , y las ecuaciones y condiciones de contorno correspondientes al potencial de perturbación del campo interior son:

Capítulo 3 63

Ecuación diferencial para el potencial de perturbación: . 0i i

YY ZZϕ ϕ+ = Condiciones de contorno:

1) En la superficie del obstáculo: dd

in cn

U xϕ

∞=

2) Lejos del cuerpo ( )R Y Z= + → ∞2 2 : d( , , ) ( , ) ln ( )2π d

i i csUx Y Z x r r g xx

ϕ ϕ ∞→ = +

dónde , y la relación entre ( ) ( )c cn x N xε= ( )g x y ( )2g x es fácil de obtener. El coeficiente de presión sobre el obstáculo se obtiene de la ecuación (3.24) siguiendo un procedimiento análogo al utilizado al obtener la expresión para Cp en la teoría potencial linealizada de alas, obteniéndose finalmente:

( ) ( )2 2

22

212

i iiy zx

pp pC

U UU

ϕ ϕϕ

ρ

∞

∞ ∞∞ ∞

⎡ ⎤+− ⎢ ⎥= = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

. (3.29)

Una interpretación alternativa del resultado anterior es la siguiente: Considérese el movimiento como bidimensional (en los planos x = cte) y la variación con x como si fuera la variación con el tiempo que ve un observador que se mueve a velocidad U∞, es decir, t = x/U∞; entonces, aplicando la ecuación de Bernoulli para movimiento incompresible no estacionario, se obtendría

( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 22 2

1 1 12 2 2

i it xp p U V W Uρ ρ ρ ε ρϕ ρε ϕ ϕ∞ ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞− = − Φ − + + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2i

Y Z

(ya que en el problema bidimensional la velocidad incidente V W∞ ∞+j k es nula y

, expresión que conduce a 2 22 2i i

t t xUε ϕ ε ϕ ∞Φ = = (3.29). Como ejemplo de aplicación de lo analizado en este Capítulo consideremos un cono esbelto, de semiángulo δ (δ << 1) que vuela a través del aire en calma en régimen supersónico (M∞ > 1, β = ∞M2 1− ) con ángulo de ataque nulo, tal como se indica en la figura 3.4.

U∞ δ

Fig. 3.4. Cono esbelto de semiángulo δ.

Capítulo 3 64

Teniendo en cuenta que rc(x) = δx , sc = πδ2x2 , dsc/dx = 2πδ2x el comportamiento lejano del potencial de velocidades de perturbación correspondiente al campo próximo será ϕi(x,R) = U∞xδ2lnr + g(x). La función g(x) vale, de acuerdo con la expresión (3.17)

2( ) ln 12

g x U xx

βδ∞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

de modo que

ln 12

i rU xxβϕ ∞

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

21 1 ln2

i rU xxβδ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞Φ = + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ .

Si se desea ahora calcular el valor de las componentes de la velocidad sobre el cono, será

2 ln2

i ru U Ux x

βδ∞ ∞∂Φ

= = +∂

,

y sobre la superficie del cono, r = δx, se tiene:

u U U= +∞ ∞δ δβ22

ln ,

mientras que

2 xw Ur

δ ∞= ,

de modo que sobre la superficie del cono es w U= ∞δ . Así pues, sobre el cono será:

wu

U

U U=

+= +∞

∞ ∞

δ

δ δβ δ δ2

3

2

0ln

( lnδ) ,

de modo que, como tiene que ser, se cumple la condición de contorno. Compruebe que el coeficiente de presión sobre el cono vale:

Capítulo 3 65

cp = − +LNMOQPδ δβ2 1 2

2ln .

Observe que ln(βδ/2) > 1, es decir, se produce una deceleración del fluido y por lo tanto una compresión. EJERCICIOS 3.1. Se pretende calcular el efecto que produce en tierra el paso de un avión que vuela a

M∞ = 2 y altura h constante. Para calcular el campo lejano se puede suponer el aparato de revolución y con longitud l, con una distribución de áreas:

, ε << 1 , 0 ≤ x ≤ 1 ( ) 2 2 2 33 2S x l x xπ ε ⎡= −⎣

⎤⎦

]

Calcule y dibuje en forma esquemática la distribución de cp a lo largo de la recta proyección

de la trayectoria sobre el suelo (supuesta la tierra plana). Al esquematizar cp, discuta en qué se distingue del correspondiente a un avión bidimensional que tenga la misma silueta que el considerado. Interesa en particular discutir la expresión para valores grandes de x.

**********

3.2. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal,

de velocidad U∞, presión p∞ y densidad ρ∞. El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide:

1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le.

Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, E = 1−Um/U∞,que se comete en la determinación de la velocidad debido

a este efecto, en función de le/d. Um es la velocidad medida, definida como , y p[ 1/ 22( ) /m o eU p p ρ∞= − o es la presión de remanso de la corriente incidente.

3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la nariz. r

x

l

e

U∞

p∞

ρ∞

**********

Capítulo 3 66

3.3. Un cuerpo esbelto cuya superficie viene dada por la expresión: r x R x x ko , , sin/θ ε θ ε ε θa f a f e j= = −1 1 2

vuela a ángulo de ataque nulo y velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal. a) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial

de velocidades (sin linealizar). b) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial

de perturbación correspondiente al campo próximo. c) A la vista de la forma del obstáculo, desarrolle el potencial de perturbación del campo

próximo en serie de potencias de ε1/2: ϕ = ϕo + ε1/2ϕ1 + ... Transfiera la condición de contorno a la circunferencia R = x y escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno para ϕo y ϕ1.

d) Calcule ϕo. Compare con la solución para el cono. e) Calcule ϕ1. Para ello ensaye soluciones del tipo ϕ1(r,θ) = F(θ)/rn. Discuta la influencia de

k. f) Indique cómo calcularía la función g(x).

Capítulo 4 67

CAPITULO 4

FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS 4.1. INTRODUCCION Aunque en la solución correspondiente al campo próximo aparece una función de x, g(x), que es desconocida en tanto no se haga el acoplamiento con el campo alejado, no es necesario conocerla para calcular las fuerzas transversales y los momentos correspondientes, porque la contribución de g(x) al campo de presiones en cada plano x = cte es uniforme y no da resultante en dicho plano. Para calcular las fuerzas transversales (sustentación y fuerza lateral) consideraremos el elemento fluido de la figura 4.1 limitado por: a) La sección 1, situada en un plano perpendicular a la corriente no perturbada (que está alineada

con el eje x), y suficientemente lejos corriente arriba como para no estar influida por el obstáculo.

b) La sección 3, paralela a la anterior. c) La superficie cilíndrica de revolución 2, situada en la parte exterior del campo próximo, de

radio suficientemente grande como para que en ella tengamos exclusivamente la componente axilsimétrica de la perturbación.

d) La superficie del obstáculo, Σ.

x

Z Y

3 2

1 U∞

Σ

Fig. 4.1. Elemento de control para calcular las fuerzas transversales sobre la porción de un cuerpo contenida entre el

morro y el plano 3 (x = x3). Aplicando el teorema de conservación de cantidad de movimiento, en las direcciones Y y Z, al elemento considerado, se obtiene la fuerza lateral, FY, y la sustentación, FZ, que actúan sobre la parte de cuerpo contenida entre el morro y la sección 3, es decir.

3 3

3 3

d d dY x yF U U U Y Z oY

( )ϕρ σ ε ρ ε∞ ∞∂

− = = +∂∫∫ ∫∫ , (4.1a)

3 3

3 3

d d dZ x zF U U U Y Z oZ

( )ϕρ σ ε ρ ε∞ ∞∂

− = = +∂∫∫ ∫∫ . (4.1b)

donde se ha tenido en cuenta que ρ = ρ∞ + ..., Ux = U∞ + ..., Uy = ε2ϕy = εϕY, U = ε2ϕ = εϕz z Z y dσ = dydz = ε2dYdZ, se ha eliminado el superíndice i del potencial interior para simplificar la escritura.

Capítulo 4 68

Para calcular las integrales que aparecen en los segundos miembros de (4.1a) y (4.1b) consideremos los esquemas representados en la figura 4.2. Ambos representan la sección 3. Al integrar en dicha sección, bien sea por bandas paralelas al eje Y o paralelas al eje Z, son posibles dos casos, según la banda de integración intersecte o no al cuerpo. En el primer caso la integral en dicha banda valdrá ϕ − ϕ3 A + ϕB − ϕ = −(ϕB 4 A − ϕBB), mientras que en el segundo valdrá ϕ − ϕ1 2 = 0 (teniendo en cuenta que en la circunferencia exterior el potencial tiene un valor constante). Así pues, las expresiones (4.1a) y (4.1b) valdrán:

Z

Y Y

Z

2 1

4

2

B A 3

1 3

A

B

4

Y1 Y2

Z2

Z1

Fig. 4.2. Integración por bandas horizontales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1a) e integración por bandas verticales para calcular el segundo miembro de la expresión (4.1b).

2

3 1

d d ( )d dZ

A B

Z C

Y Z Z ZYϕ ϕ ϕ ϕ∂

= − − = −∂∫∫ ∫ ∫

2

3 1

d d ( )d dY

A B

Y C

Z Y YZϕ ϕ ϕ∂

= − − =∂∫∫ ∫ Yϕ∫

, )dT

, ,

y combinando estas expresiones se deduce que, salvo términos de orden superior:

, donde T = Y + iZ (4.2) 3 33i (d id ) i ( ;Y Z

C C

F F U Z Y U x Y Zε ρ ϕ ε ρ ϕ∞ ∞ ∞ ∞+ = − = −∫ ∫ y la integral está, en principio, calculada a lo largo de la línea de intersección de la superficie del obstáculo con el plano 3. La ventaja de escribir (4.2) en forma compleja reside en que, siendo ϕ solución de la ecuación de Laplace, el cálculo de las integrales en el plano T se simplifica mucho. La parte real de la integral será la fuerza transversal, y la parte imaginaria de la integral será la sustentación. Ambas fuerzas corresponden a la parte del obstáculo comprendida entre el morro y la sección 3, y ambas son perpendiculares a la corriente incidente no perturbada, que coincide con el eje x. Hay que señalar que las fuerzas calculadas sólo dependen de lo que ocurre en la sección 3: los valores de la fuerza son independientes de la forma anterior del obstáculo, siempre que éste sea esbelto. Aunque en lo que sigue no se precisa imponer condición alguna sobre dSc/dx, considerar aplicables los resultados a cuerpos con dSc/dx < 0 conduce a resultados absurdos. Lo que ocurre es que en las zonas donde dSc/dx < 0 la corriente se desprende (aparece la estela de las secciones anteriores), las presiones se uniformizan y dichas zonas dejan de sustentar.

Capítulo 4 69

4.2. FORMULA DE WARD Ya se dijo en el Capítulo anterior que ϕ(x; Y, Z) obedece a la ecuación 0YY ZZϕ ϕ+ = y, por tanto, es la parte real de una función analítica, W(T), de la variable compleja T, cuya expresión general es:

01

( ) ( ; , ) i ( ; , ) ( ) ln ( ) nnW T x Y Z x Y Z A x T A x Tϕ ψ

∞−= + = + ∑ 0

d( ) 2 dcSUA x xπ

∞= , donde .(4.3a)

Por lo tanto:

01

( ; , ) ( ) ln ( ) i ( ; , )nnx Y Z A x T A x T x Y Zϕ ψ

∞−= + −∑ ; (4.3b)

introduciendo la expresión (4.3) en la integral que aparece en (4.2), se tiene:

3 0 3 1 3 3d( ; , )d ( ) ln d ( ) i ( ; , )d

C C C C

Tx Y Z T A x T T A x x Y Z TTϕ ψ= + −∫ ∫ ∫ ∫ , (4.4)

donde se han omitido los términos de W(T) que no contribuyen a la integral. El último término del segundo miembro se puede integrar por partes como sigue (obsérvese que T es uniforme pero ψ no lo es):

[ ] 33 3

( ; , )( ; , )d ( ; , ) d dC C C

x Y Zx Y Z T T x Y Z S T SS S

ψψ ψ ∂∂= −

∂ ∂∫ ∫ ∫ ,

y, con esta transformación, la ecuación (4.4) se reduce a:

3 33 0 3 1 3

( ; , ) ( ; , )( ; , )d ( ) ln d 2πi ( ) i d i dC C C C

x Y Z x Y Zx Y Z T A x T T A x T S T SS Sψ ψϕ ∂ ∂

= + − +∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ .

(4.5) Es fácil comprobar que el primer y el tercer término del segundo miembro son iguales y se contrarrestan. En cuanto al último término, teniendo en cuenta las condiciones de Cauchy–Riemann y las condiciones de contorno (ecuación (3.11) del Capítulo anterior), se convierte en:

( )d d dd d d dc

g c

C C C

N ST S T S U T U T SS N x xψ ϕ

∞ ∞∂ ∂= = =∂ ∂∫ ∫ ∫ (4.6)

donde Tg es el afijo del centro de gravedad de la sección del cuerpo considerada. El último paso en la expresión (4.6) se justifica comprobando que la parte real de TdNcdS es el momento del elemento de área dNcdS respecto del eje Z, y que el coeficiente de la parte imaginaria es el momento respecto al eje Y.

Capítulo 4 70

Llevando la expresión (4.6) a la (4.5) y ésta a la (4.2) resulta finalmente la fórmula de Ward:

( )31

d2π dY Z g cF iF U A U T Sxε ρ∞ ∞ ∞⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4.7)

donde A1 es el residuo de la función de variable compleja W(T) que aparece en la solución del problema próximo correspondiente a x = x3, y TgSc representa los momentos del área de la sección considerada respecto a los ejes Z e Y, todo ello medido en coordenadas próximas. Hay que recordar, una vez más, que FY y FZ son las fuerzas entre el morro y la sección x3; las fuerzas en una rebanada de espesor unidad en la dirección axial serán:

( )23 12

d d d di 2d d d dY Z

g cF F AU U Tx x x x

ε ρ π∞ ∞ ∞⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

S ,

de modo que los momentos respecto al morro, de guiñada y cabeceo, respectivamente, valdrán:

3 33

3 1

0 0

d di i d ( i ) 2π ( )d ( ) ( )d d 2π

x xY Z

Z Y Y Z g cF F U

3 3M M x x x F F U A x x T x S xx x ε ρ ∞∞ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥− = + = + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠

⎣ ⎦∫ ∫ . (4.8)

Obsérvese que mientras que el valor de la fuerza depende exclusivamente de la sección x3, la posición de la resultante depende de la forma del cuerpo entre el morro y x = x3. 4.3. FUERZAS TRANSVERSALES SOBRE CUERPOS ESBELTOS Antes de presentar un ejemplo de aplicación de la fórmula de Ward, conviene precisar algunos detalles relativos al campo próximo. Para calcular A1 hay que analizar el problema bidimensional correspondiente al plano x = x3. Como el problema es lineal, su solución se puede expresar como la suma de la de dos problemas que llamaremos problema axial y problema cruzado, y que corresponden a las configuraciones de la figura 4.3, donde el eje x' coincide con la línea de sustentación nula del cuerpo, de esta forma el problema axial no contribuye a las fuerzas y bastará con resolver el problema cruzado para calcularlas.

Capítulo 4 71

Fig. 4.3. Descomposición del problema en axial y cruzado. La expresión del potencial de perturbación se escribe como ϕ ϕ ϕx Y Z x Y Z x Y Za c, , , , , ,a f a f a f= ′ ′ ′ + ′ ′ ′ Nótese que expresamos la solución de estos dos problemas (axial y cruzado) en las variables de los ejes cuerpo (x′,Y′,Z′) en lugar de las de los ejes viento (x,Y,Z) originales. Introduciendo esta expresión en la formulación del problema del campo próximo, es decir, ϕYY + ϕZZ = 0, con ϕ tendiendo a la solución del campo alejado cuando Y2 + Z2 → ∞ y ϕN = U∞dNc/dx sobre el obstáculo, se obtienen los siguientes problemas: • Problema axial: ϕaY'Y' + ϕaZ'Z' = 0, con ϕa tendiendo a la solución del campo alejado cuando

′ + ′ → ∞Y Z2 2 y con una condición de contorno sobre el obstáculo aún por determinar. • Problema cruzado: ϕcY'Y' + ϕcZ'Z' = 0, con ϕc → 0 cuando ′ + ′ → ∞Y Z2 2

∞U x z a ccos sinα α ε ϕ ϕa f b g2 z a c∞ ′ + ′ + +α ε ϕ ϕa f b g2

Φ + Φ =

, e igual que en el caso anterior con una condición de contorno sobre el obstáculo a determinar.

Para calcular las condiciones de contorno que deben cumplir ϕa y ϕc sobre el cuerpo esbelto conviene expresar ésta en términos del potencial de velocidades, ∇Φ.∇F=0, donde F(x′,y′,z′) = 0 es la ecuación de la superficie del cuerpo en los nuevos ejes y el potencial de velocidades es ( ) ( )2 , , , ,a cU x x y z x y zε ϕ ϕ∞ ′ ′ ′ ′ ′ ′Φ = + + =⎡ ⎤⎣ ⎦ = U x . ′ + ′ + + ≈ Así pues, en el nuevo sistema de coordenadas ligado al cuerpo, la condición de contorno sobre el obstáculo, Φ + , se escribirá 0x x y y z zF F F′ ′ ′ ′ ′ ′

U F F U F

x aY cYY

aZ cZZ

∞ ′ ′ ′′

∞ ′ ′′+ + + + +ε ϕ ϕ =

εα ε ϕ ϕ

εb g b g 0 ,

o bien, poniendo ϕ ϕ ϕaY Y aZ Z aN NF F F′ ′ ′ ′ ′ ′+ = , ϕ ϕ ϕcY Y cZ Z cN NF F F′ ′ ′ ′ ′ ′+ = ,

α

x´

z´ z

x U∞

α

x´

z´ z

x

U∞sin

α

x´

z´ z

x U∞cosα

α

Capítulo 4 72

U F U F Fx Z aN cN N∞ ′ ∞ ′ ′ ′ ′+ + + =αε ϕ ϕc h 0 ,

y teniendo en cuenta que F FZ N′ ′= cosθ , donde θ es el ángulo que forma la normal a la curva corte del cuerpo esbelto por un plano x = cte con el eje Z′, se tiene U F U Fx aN cN∞ ′ ∞ ′ ′ ′+ + + N =α

ε θ ϕ ϕcose j 0 ,

− = + +′

′

′

∞

′

∞

FF U

xUN

aN cNαε

θ ϕ ϕcos .

/F = dN'Teniendo en cuenta que –Fx′ N′ c/dx', donde N' = N'c(x') es la ecuación de la superficie del

obstáculo en los nuevos ejes, resulta:

dcos

daN cN cN

U U xϕ ϕα θ

ε′ ′

∞ ∞

′+ + =

′ ,

condición de contorno que ahora separamos en dos condiciones, una para ϕ y otra para ϕa c:

dd

a cNU

N xϕ

∞′∂

=′ ′∂

εϕ

α θ∂∂ ′

+ =∞c

NU cos 0 .

El problema axial es complicado de resolver, salvo si la forma del obstáculo permite el uso de determinados sistemas de coordenadas que facilitan la resolución de la ecuación de Laplace. Una de estas formas es el cuerpo de revolución, en cuyo caso en la solución sólo aparece el primer término (el logarítmico). La solución general de este problema se puede escribir de todas formas como:

( )( )1 1

d dRe ln Re ln2π d 2π d

a ac n c n

a Sn nSN

S a S aU UT T Tx xT T T

ϕ∞ ∞

∞ ∞N

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥′⎢ ⎥= + = − +

′ ′′ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ .

donde son coeficientes (función de x) desconocidos y Ta

na SN = −αxi. Respecto al campo cruzado, la condición de contorno obtenida sobre el obstáculo puede resultar inicialmente poco familiar. Se puede obtener un problema mucho más reconocible definiendo una nueva función relacionada con la solución del problema cruzado en la forma

~ϕ εϕ αc c U Z= + ′∞ de modo que esta función cumple también la ecuación de Laplace, ~ ~ϕ ϕcY Y cZ Z′ ′ ′ ′+ = 0, y las condiciones de contorno

sobre el cuerpo: ∂∂ ′

=~ϕ cN

0 ,

Capítulo 4 73

′ + ′ → ∞ → ′∞Y Z U Zc2 2 : ~ϕ α .

Nótese que ~ϕ c obedece a una formulación análoga a la de la determinación del potencial del problema bidimensional que resulta al cortar el cuerpo por el plano x´ = x3 con velocidad normal nula sobre el obstáculo y velocidad vertical αU∞ en el infinito (figura 4.4). Resuelto este último problema se podrá escribir la solución en la forma

( )( )1

1 Recn

c c nSN

aU ZT T

ϕ ϕ αε

∞

∞

⎡ ⎤′ ⎢ ⎥= − =

⎢ ⎥−⎣ ⎦∑ ,

de modo que el potencial de velocidades de perturbación del campo próximo resulta:

( )( )1

dRe ln2π d

a cc n

SN nSN

S aU T Tx T T

ϕ∞

∞⎡ ⎤+⎢ ⎥= − +⎢ ⎥−⎣ ⎦

∑ na

o bien, llamando a a an n

anc= +

1

d( ) ln( )2π d ( )

c nSN n

SN

S aUW T T Tx T T

∞∞= − +

−∑ ,

Fig. 4.4. Las condiciones de contorno que debe satisfacer el potencial de velocidades de perturbación del campo

próximo en el caso de un cuerpo esbelto como el representado (problema 1) se pueden expresar como suma de las correspondientes al campo axial (problema 2) y las del campo cruzado (problema 3), si bien a la hora de resolver este último es más conveniente analizar el problema del campo cruzado modificado (problema 4).

Ahora bien,

α δ

x

y z

U∞

αU∞

ϕN=0

ϕN=0

ϕN=0 ϕN=0 4

(α−δ)U∞

(α+δ)U∞

δU∞δU∞ 1 δU∞ δU∞

δU∞ αU∞

2

αU∞

30 0

δU∞

Capítulo 4 74

ln( ) ln SNSN

TT T T T− = − +…

de modo que

1d d1( ; ) ln ( )2π d 2 d

c cSN

S SU UW x T T a Tx T xπ∞ ∞= + − … +

De aquí se deduce que el residuo, A1, que interviene en la fórmula de Ward vale:

1d

2π dc

SNSU

1A T ax∞= − + (4.9)

y la fórmula de Ward se puede escribir en la forma

31 1

d di 2π( ) (d da c c

Y Z SN g cSF F U a a U T U T Sx xε ρ∞ ∞ ∞ ∞ )⎡ ⎤+ = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

. (4.10)

Si la corriente no perturbada incide según la línea de sustentación nula del cuerpo será TSN = 0 y

= 0, por lo que de la fórmula de Ward se tendrá: 1ca

1d ( )2π d

ag c

Ua Tx∞ ′= − S

como no depende del ángulo de ataque la ecuación (4.10) se puede escribir 1

aa

31

di 2π dc SN

Y Z cTF F U a U S xε ρ∞ ∞ ∞

⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.10)

En general, será difícil conocer la línea de sustentación nula del cuerpo, salvo casos particulares como el de cuerpos de revolución o cuerpos con planos de simetría. 4.4. EJEMPLO DE APLICACION Como ejemplo de aplicación de la formula de Ward, consideremos cualquiera de los dos cuerpos esbeltos representado en la figura 4.5, formados por un ala plana y un fuselaje de revolución, cuyo eje está contenido en el plano del ala (ala media). Para estos cuerpos esbeltos se quiere calcular la sustentación del conjunto (suponiendo que vuela con ángulo de ataque α, sin guiñada, y velocidad U y en una atmósfera de densidad ρ∞ ∞) y el factor de interferencia ala-fuselaje definido en la forma: (FZ ALA+FUSELAJE − FZ FUSELAJE)/FZ ALA sin FUSELAJE, así como el momento de cabeceo respecto al morro. Antes de entrar en los cálculos, son precisas dos observaciones previas: se supone que tanto R(x) como b(x) alcanzan sus máximos valores en la sección posterior (más adelante se volverá sobre este punto); y una vez que ya se ha aclarado qué términos son dominantes en el campo próximo y cuál es su orden de magnitud, volvemos a usar variables y funciones no dilatadas.

Capítulo 4 75

z

y

x L

b b

RbRb

Fig. 4.5. Ejemplos de cuerpo esbelto con alas y de cuerpo esbelto cónico.

Para aplicar la fórmula de Ward nos concentramos en el problema bidimensional correspondiente al plano x = x3. Como se ha dicho, el residuo estará dado por (4.9), escrito en variables no dilatadas. Para calcular a1 se consideran los planos t, Ω y τ, con las funciones de transformación que se indican en la figura 4.6.

z

y

b

Rb

Plano t ζ

η

Plano τ ′ = − +

−t t t

Rt tg

b

g

2

2t

ρτ

τ′ = +

z'

Plano t'

y'

bRbb+2

− −bRbb2

αU∞ αU∞ αU∞

ρ

212

bRb

bρ

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig. 4.6. Planos t, Ω y τ con las funciones de transformación que los relacionan.

El potencial complejo total (el incidente más el de perturbación) en el plano τ será:

( )22

( ) i4

bb R bF Uτ α τ

τ∞

⎡ ⎤+⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

y el potencial total en el plano Ω:

( )22 2( ) i bF U b Rα ∞Ω = − Ω − + b ,

con lo que el potencial total en el plano t vale:

Capítulo 4 76

2 22 2( ) i b b

SNSN

R RF t U t t bt t b

α ∞⎛ ⎞ ⎛

= − − + − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

.

El potencial complejo de perturbación en el plano t es:

2 22 2

2( ) i ( ) i ( ) 1 1( )

b bSN SN

SNSN

R b R bf t U t t U t tt tt t

α α∞ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥+ − = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎢ ⎥−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Es fácil ahora obtener que el residuo vale:

4 4

1 2i2

bb Ra U

bα ∞

+= .

De acuerdo con las expresiones (4.7) y (4.10) se tiene:

4 42 2

2di 2π i d2

b SY Z c

b R tF F U U S Nxb

ρ α ρ∞ ∞ ∞ ∞+

+ = + ,

donde dtSN/dx = −iα (nótese que añadir ahora el efecto de un ángulo de guiñada es trivial). Así pues, las fuerzas sobre el cuerpo esbelto son:

ALA FUSELAJE

4 4 22

20 , π b bY Z

b R b RF F U

bα ρ

+ ∞ ∞+ −

= =2

. (4.11)

ALA sin FUSELAJE2 2πZF U bα ρ∞ ∞= , y haciendo b = RHaciendo R = 0 tenemos , tenemos b b

FUSELAJE2 2πZ bF U Rα ρ∞ ∞= , de modo que el factor de interferencia vale:

F F

FRb

Z Z

Z

bALA FUSELAJE FUSELAJE

ALA sin FUSELAJE

+−

= −FHG

IKJ

12

2

2

.

El momento de cabeceo respecto al morro valdrá:

0

d dd

Lz

YFM x xx

= −∫ .

En el caso particular del cuerpo cónico de la figura 4.5, se tiene FZ(x) = (x2/L2)FZ(L), por lo que el momento valdrá:

4 4 22

22 π3

b bY

b R b RM L U

bα ρ∞ ∞

+ −= −

2 .

Capítulo 4 77

4.5. ALAS ESBELTAS Consideremos el ala representada en la figura 4.7, de espesor nulo, esbelta y que provisionalmente supondremos plana aunque pronto se verá que es posible generalizar el desarrollo a alas con ciertos tipos de curvatura. Ahora, que se sabe cómo calcular la resultante de las fuerzas que operan sobre el ala (ya hemos visto que vale 2 2π ( )ZF U bα ρ∞ ∞= L ), nos planteamos determinar cómo se distribuyen dichas fuerzas sobre la forma en planta del ala.

x

L

b(x)

y

Fig. 4.7. Ala esbelta.

La ecuación linealizada del potencial de velocidades de perturbación queda, en primera aproximación:

ϕ ϕyy zz+ = 0 , (4.12) y la condición de contorno sobre el ala es:

ϕαz

U∞= − . (4.13)

Aunque se ha supuesto que el ala es plana, la generalización a alas con curvatura función sólo de la variable x es obvia. En el infinito la perturbación introducida por el ala se debe amortiguar, salvo en la estela y sus proximidades. Como se ha dicho antes en relación con el problema cruzado, ϕ es el potencial de perturbación del (conocido) problema bidimensional representado en la figura 4.8, cuya solución es:

b(x) −b(x y

z

αU∞

Fig. 4.8. Problema auxiliar para resolver el problema cruzado (bidimensional) del ala plana esbelta.

( )2 2( ; , ) Re i ( )x y z U t b x tϕ α ∞⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

, (4.14)

donde Re indica la parte real y t' = y' + iz' es la variable compleja. Observe que en la expresión anterior la variable x juega un papel de parámetro, en este caso a través, exclusivamente, de b(x).

Capítulo 4 78

Para calcular el coeficiente de presión sobre la placa plana interesa conocer ϕ(x';y',0±). De la expresión (4.14) deducimos:

2 2( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α±∞′ ′ ′ ′= ± − y (4.15)

correspondiendo un signo u otro según se esté en extradós o intradós (véase la figura 4.9). El coeficiente de presión, cp = −2ϕx'/U∞ (donde no se han escrito los términos ( )2 2 /Y Z Uϕ ϕ′ ′

2∞+ , ni

los correspondientes al cambio de sistema de referencia a ejes cuerpo, ya que van a tener el mismo valor en el extradós y en el intradós y sólo estamos interesados en su diferencia, el coeficiente local de sustentación), valdrá, en el extradós:

y

z

Fig. 4.9. Correspondencia entre los signos ± en la expresión (4.15).

2 22 ( )pec b x y …x

α ∂ ′ ′= − − +′∂

,

y en el intradós:

2 22 ( )pic b x yx

α ∂ ′ ′= −′∂

…+ ,

de modo que el coeficiente de sustentación local es:

2 22 2

d( ) d( , ) ( , ) ( , ) 4 ( ) 4( )

l p pi e

bb x xc x y c x y c x y b x yx b x yα α

′′∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = − =′∂ ′ ′−

. (4.16)

Nótese que, como se ha comentado, para calcular la expresión (4.16) no ha sido preciso utilizar la expresión (3.17) del Capítulo 3 completa ya que los términos no calculados son iguales en cpi(x',y') y cpe(x',y'). La ecuación (4.16) requiere dos observaciones. La primera es que la solución obtenida presenta una singularidad en el borde de ataque que es característica de los bordes de ataque subsónicos, y la segunda es que el ala sustenta sólo en las secciones donde db/dx' > 0 (esta particularidad se comenta posteriormente). En general, la distribución de sustentación obtenida cl(x',y') no cumple la condición de Kutta salvo si db/dx' = 0 en la sección final (borde estacionario).

αU∞

z=0+, y>0 ϕy<0

z=0−, y>0 ϕy>0

Capítulo 4 79

Para calcular el coeficiente de sustentación del ala, integramos primero respecto a x' (en bandas paralelas al eje x'), teniendo en cuenta que b(x'borde ataque) = y', con lo cual:

borde ataque

2 2 2( ) 4 ( ) d 4 ( )L

l

x

cc y b x y x b L yxα α′

∂′ ′ ′ ′= − =′∂∫ 2′− .

La expresión anterior nos dice que (inesperadamente) la distribución de sustentación a lo largo de la envergadura es elíptica. Conocido cl(y'), el coeficiente global de sustentación vale:

1 π(4 ) π22 2L

b bc

bc

ααΛ

= = 2 /b cΛ =, donde .

y el coeficiente de resistencia inducida (recurriendo a lo visto al estudiar el Plano de Treffz) será:

22π

π 4L

Dicc αΛ

= =Λ

.

Es importante observar que cDi/cL = α/2, lo que indica que la fuerza resultante no es perpendicular a la placa (porque existe succión en el borde de ataque subsónico). Cuando db/dx' < 0 lo anterior no vale para estudiar lo que ocurre su secciones situadas detrás de aquella en que b(x') es máxima, porque hay que tener en cuenta los torbellinos que se desprenden del borde de salida (tal como se indica en la figura 4.10a). Consideremos un ala plana como la representada en la figura 4.10b. Vamos a comprobar que la solución del problema cruzado correspondiente a la sección 1 es solución del correspondiente a la sección 2. En efecto, ambos problemas difieren exclusivamente en la condición de contorno sobre el ala. (En la figura 4.10c se han representado las trazas del ala (y estela) sobre las que hay que imponer las condiciones de contorno en las secciones 1 y 2).

x

z

2b(x1) 2b(x2)

Problema 1 Problema 2

a c

1 2

x

z

2 1

b Fig. 4.10. a) Ala esbelta en la que en parte de ella es db/dx' < 0. b) Forma en planta equivalente utilizada en la

discusión. c) Contornos no comunes de los problemas 1 y 2. La parte |y'| ≤ b(x'2) es la misma para los dos problemas por lo que las condiciones de contorno son, lógicamente, idénticas en esta parte. La otra parte b(x' ) ≤ |y'| ≤ b(x'2 1) parece distinta (sólo en apariencia), porque en 1 hay placa y en 2 hay estela. Para ver que también ahora ambos

Capítulo 4 80

problemas son idénticos basta con analizar el salto del potencial de perturbación en la estela: ϕ experimenta un salto a través de la estela que depende de la intensidad de los torbellinos desprendidos del borde de salida, y como los torbellinos que llegan a 2 no han experimentado modificación alguna después de salir de 1, el salto de ϕ a través de la estela en 2 es igual al salto a través de la parte correspondiente de la placa en 1. Así pues, la solución del problema 1 cumple la ecuación diferencial y condiciones de contorno del problema 2, por lo que, al no haber variación con x', el comportamiento es semejante al que se produciría si fuera db/dx' = 0. 4.6. ALAS ESBELTAS CON PEQUEÑOS ESPESORES Y CURVATURAS EN EL SENTIDO DE LA ENVERGADURA Lo dicho hasta ahora sirve para calcular alas cuya sección, al cortar por un plano x' = cte es una línea recta. Se ha desarrollado una teoría asintótica para estudiar los efectos de espesor y curvatura en alas esbeltas a un cierto ángulo de ataque (Plotkin, 1983). Sea εc el pequeño parámetro que mide la desviación de la superficie del ala respecto al ala plana con ángulo de ataque α que ya hemos estudiado. El problema se aborda haciendo un análisis de perturbaciones a partir del ala plana esbelta, del que resultará un desarrollo distinto del obtenido en el caso de cuerpos esbeltos, en el que no aparecerán términos logarítmicos (porque, para todas las secciones, S(x') = 0). Consideremos el problema auxiliar que habría que resolver para obtener el campo cruzado: el ala plana estará en z' = 0 y sometida a una velocidad αU∞ paralela al eje z'. Utilizando las variables físicas y',z', la formulación para el potencial total en el campo próximo cruzado estará definida por la ecuación diferencial:

0y y z zϕ ϕ′ ′ ′ ′+ = , (4.17) y la condición de contorno sobre la superficie del obstáculo, cuya ecuación es εcf(x',y') − z' = 0, es decir:

( ) ( )( , ) ; , ( , ) ; , ( , ) 0c y y c z cf x y x y z f x y x y z f x yε ϕ ε ϕ ε′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = = . (4.18) Nótese que en esta condición de contorno, (4.18), las derivadas respecto a x' no aparecen por tratarse de una configuración esbelta. La condición de contorno en el infinito es:

U zϕ α ∞ ′→ , (4.19) Si fuera εc = 0 el potencial resultante, ϕ 0(x';y',z'), sería el potencial del problema auxiliar para el campo cruzado del ala plana esbelta situada en z' = 0. Cuando εc es pequeño, pero no nulo, podremos poner:

0 1( ; , ) ( ; , ) ( ; , )cx y z x y z x y zϕ ϕ ε ϕ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + …+ (4.20)

Capítulo 4 81

Llevando (4.20) al sistema (4.17)–(4.19), despreciando consistentemente términos de orden superior, transfiriendo la condición de contorno al esqueleto y anulando coeficientes de las sucesivas potencias de εc (en este caso, cero y uno) se tienen los problemas siguientes: Problema de orden cero: Ecuación diferencial ϕ 0y'y' + ϕ 0z'z' = 0 . (4.21) Condición de contorno sobre el obstáculo ϕ 0z'(x';y',0) = 0 . (4.22) Condición de contorno en el infinito ϕ 0→ αU∞z' . (4.23) La solución de este problema es conocida (véase el apartado 4.5, aunque las expresiones que se obtuvieron ahí eran para el potencial de perturbación y no para el potencial total). En particular, se deduce que

2 20 ( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α±

∞′ ′ ′ ′= ± − y . (4.24) Problema de primer orden: Ecuación diferencial ϕ 1y'y' + ϕ 1z'z' = 0. (4.25) Condición de contorno sobre el obstáculo. Para escribir esta condición se debe proceder con cuidado, ya que al transferir la condición de contorno al ala plana aparecen nuevos términos en εc. Un primer paso sería:

( ) ( )( )

0 0

1

( , ) ; , ( , ) ; , ( , )

; , ( , ) 0c y y c z c

c z c

f x y x y z f x y x y z f x y

x y z f x y

ε ϕ ε ϕ ε

ε ϕ ε′ ′ ′

′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − = −

′ ′ ′ ′ ′− = −…

=

y, desarrollando en serie de Taylor en el entorno de z' = 0 se tiene:

( ) ( ) ( )( )

0 0 0

1

( , ) ; , 0 ; ,0 ( , ) ; , 0

; , 0 0

c y y z c z z

c z

f x y x y x y f x y x y

x y

ε ϕ ϕ ε ϕ

ε ϕ

± ±′ ′ ′ ′ ′

±′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− −

′ ′− −…

± −

=

z±

′ ′

y tomando los términos en εc . 1 0 0( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 )yz y zx y f x y x y f x y x yϕ ϕ ϕ± ±

′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= −

ϕ = −ϕ ) resulta finalmente: Teniendo en cuenta la expresión (4.21) ( 0z'z' 0y'y'

1 0( ; , 0 ) ( , ) ( ; , 0 )z yx y f x y x yy

ϕ ϕ± ±′ ′

∂ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= ⎣ ⎦′∂ .

De acuerdo con la ecuación (4.24) se tiene:

Capítulo 4 82

0 2 2( ; , 0 )

( )y

yx y Ub x y

ϕ α±′ ∞

′′ ′ =

′ ′−∓ ,

y, finalmente:

12 2

( ; , 0 ) ( , )( )

z x y yf x yU y b x y

ϕ α±

′

∞

⎡ ⎤′ ′ ′∂ ⎢ ⎥′ ′=′∂ ⎢ ⎥′ ′−⎣ ⎦

∓ . (4.26)

La condición de contorno en el infinito es:

ϕ 1 → 0 (4.27) Las ecuaciones (4.25)-(4.27) indican que la formulación del problema correspondiente a la primera aproximación, ϕ 1, es análoga a la del potencial de perturbación de un perfil en régimen incompresible, por lo que serán válidos los mismos métodos de resolución. Hay que hacer la salvedad de que en la teoría de perfiles era necesario imponer la condición de Kutta para que la solución fuera única, mientras que aquí la condición que se debe imponer es que la circulación alrededor del obstáculo es nula. De hecho, esta condición ya ha sido impuesta para obtener las soluciones de los apartados 4.4 y 4.5. Así, en el problema de ala con espesor, f(x',y') = ±E(x',y'), como f(x',y') es antisimétrica respecto a z' = 0, el segundo miembro de la expresión (4.26) será simétrico, como si se tratase de un problema de curvatura de un perfil bidimensional. En consecuencia, como ϕ 1 y ϕ 1x' resultan ser antisimétricas, la conclusión es que el espesor corrige la sustentación del ala plana. En un problema de curvatura, f(x',y') = C(x'; y'), el segundo miembro de la expresión (4.26) es antisimétrico, como si se tratase de un problema de espesor de perfiles: la curvatura no corrige la sustentación del ala plana. Para aclarar estos conceptos, consideremos un ala con distribución elíptica de espesor (que es el caso más sencillo de problema de espesor). En este caso particular, tendremos:

2 2( ; ) ( )E x y b x y′ ′ ′ ′± = ± − . Siempre que sea E(x';y') simétrica respecto a y' = 0, la distribución de circulación a lo largo del supuesto perfil bidimensional será antisimétrica respecto a y' = 0 y, por lo tanto, su integral entre −b(x') y +b(x') será nula. No hay circulación alrededor del perfil. La expresión (4.26) se reducirá a:

1 ( ; , 0 )z x yU

ϕ α±

′

∞

′ ′= −

que es la condición de contorno para la corriente alrededor de una placa plana con ángulo de ataque α pero sin circulación. La solución para el potencial de perturbación es ya conocida:

2 21( ; , 0 ) ( )x y U b xϕ α±

∞′ ′ ′ ′= ± − y ,

Capítulo 4 83

de manera que:

2 20 1( ; , 0 ) ( ; , 0 ) ( ; , 0 ) (1 ) ( )c cx y x y x y U b xϕ ϕ ε ϕ ε α± ± ±

∞′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = ± + y−

b

. Por consiguiente, en primera aproximación, el espesor corrige el potencial de velocidades de la placa plana mediante el factor (1 + εc). La sustentación será, por tanto:

2 2πzF Uρ α∞ ∞= . Para analizar un problema sencillo de curvatura, consideremos la parábola

2 2( )( ; ) ( )b x yC x y b x

′ ′−′ ′ = ′ .

La condición de contorno (4.26) se reduce a:

2 21

2 2

( ; , 0 ) ( ) 2

( ) ( )z x y b x y

U b x b x y

ϕ α±

∞

′ ′ ′ ′−=

′ ′ −∓

′ .

Como este problema es análogo al problema bidimensional de espesor, se resuelve utilizando técnicas análogas. De este modo se puede entender que el potencial de velocidades ha sido generado por una distribución de manantiales de intensidad

2 20

1 0 2 20

( ) 22 ( ; , 0 ) 2( ) ( )

zb x yx y U

b x b x yϕ α+

′ ∞′ ′−′ ′ = −

′ ′ ′− , ⏐y' ⏐ ≤ b(x') 0

y utilizando las expresiones deducidas en la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible (cambiando x' por y' y x' por y' en las expresiones para perfiles) se tiene 0 0

( )1 0

1 00- ( )

( ; , 0 )1( ; , 0) x dπ

b xz

y

b x

x y0x y y

y yϕϕ

′+

′′

′

′ ′′ ′ ′=

′ ′−∫ ,

de modo que sustituyendo la expresión de ϕ 1z'(x';y' ,0+

0 ) obtenida de la condición de contorno queda

( ) 2 20

1 02 20 0( )

( ) 2( ; , 0) x dπ ( )( ) ( )

b x

y

b x

b x yUx y yb x y y b x y

αϕ′

∞′

′−

′ ′−′ ′ ′= −′ ′ ′ ′ ′− −∫ .

Introduciendo el cambio de variable y' = b(x') cosθ0, se obtiene: 0

Capítulo 4 84

1 00

00

( ; , 0) cos 2x dπ cos cos

y x yU

πϕ θα θ

θ θ′

∞

′ ′= −

−∫ ,

y, finalmente:

1 ( ; , 0) 2( )yyx y U

b xϕ α′ ∞′ ′ = −

′ .

Nótese que, aunque ϕ 1 depende de x' (y por tanto contribuye a c (x',y',0±

p )), es simétrica respecto a z' = 0 y no contribuye a la sustentación.

Capítulo 5 85

CAPITULO 5

FUERZAS LONGITUDINALES EN CUERPOS ESBELTOS 5.1. INTRODUCCION El objeto de este capítulo es calcular la resistencia de onda de un cuerpo que vuela en régimen supersónico. La resistencia aerodinámica de un cuerpo esbelto tiene tres sumandos: 1) el debido a la viscosidad (resistencias de presión y de rozamiento, no calculables mediante la teoría potencial), 2) el debido a la estela de torbellinos (resistencia inducida, calculable mediante la teoría desarrollada para el plano de Trefftz) y 3) el debido a las ondas de presión producidas cuando vuela en régimen supersónico (resistencia de onda). La mayor parte de este Capítulo se refiere a cuerpos esbeltos. Sólo al final del mismo se considerará la resistencia de onda de configuraciones "no tan esbeltas", es decir, aquellas cuyo estudio se puede abordar mediante la linealización del potencial de velocidades, pero sin introducir la hipótesis adicional de cuerpo esbelto. Una configuración de este tipo podría consistir en un fuselaje esbelto y un ala de alargamiento medio. Para estas configuraciones se mostrará cómo se pueden aprovechar parte de los razonamientos y expresiones obtenidos para los cuerpos esbeltos modificándolos adecuadamente. 5.2. EXPRESION DE LA RESISTENCIA EN FUNCION DEL POTENCIAL DE PERTURBACIONES DEL CAMPO LEJANO Consideremos el elemento de control de la figura 5.1, que está limitado exteriormente por un cilindro circular, S2, de radio, R, finito pero grande, cuyo eje es paralelo a la corriente incidente no perturbada, y que pasa, por ejemplo, por el centro de gravedad del avión. La corriente no está perturbada en la base S1 del cilindro; para que ocurra esto basta, en el caso supersónico, con que la base contenga el punto más adelantado del avión, no es necesario alejarla infinitamente corriente arriba. La base S3 está situada en el plano de Trefftz (x = l3).

Fig. 5.1. Elemento de control utilizado para relacionar la resistencia con el potencial de perturbaciones en el campo

lejano. Se utilizan las coordenadas cilíndricas x,r. Las ecuaciones de balance que hay que utilizar son la ecuación de continuidad:

− + + + =∞∞ ∞ zz zzρε ϕ σ ρ ε ϕ σUr

S

x

S

2

2

2

3

0d d( )ρ U S1 , (5.1)

U∞x

R

S3

S2

S1

l3

r

l

Capítulo 5 86

y la ecuación de conservación de la componente horizontal de la cantidad de movimiento: − + + + + = − −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ −zz zz zzρ ρε ϕ ε ϕ σ ρ ε ϕ σ σU S U U p p Dr x

S

x

S S

21

2 2

2

2 2

3 3

( ) ( ) ( )d d d . (5.2)

Restando de la expresión (5.2) la (5.1) multiplicada por U∞ y despreciando términos de orden superior en cada integral, tenemos: D p p Ux r

S S

x

S

= − − − −∞ ∞ ∞ ∞zz zz zzρ ε ϕ ϕ σ σ ρ ε ϕ σ4

2 3

2

3

d d( ) d . (5.3)

De los tres términos del segundo miembro, el primero se debe a que la perturbación llega al área lateral del elemento de control; es la resistencia de onda, que aparece exclusivamente en régimen supersónico (en régimen subsónico la perturbación debida a los manantiales se amortigua más rápidamente y la integral es nula). El segundo término se debe a que la presión en S3 es distinta de p∞ porque esta zona está perturbada por los torbellinos desprendidos del ala del avión (que la atraviesan); este término es la resistencia inducida. El tercer término, aparentemente muy grande, es en realidad mucho menor que los otros dos si S3 está suficientemente lejos corriente abajo (plano de Trefftz), y además se cancela con un término en ϕx proveniente de la segunda integral. 5.3. VELOCIDADES AXIALES Y RADIALES DEBIDAS A UNA SUPERPOSICION DE MANANTIALES SUPERSONICOS A LO LARGO DEL EJE x Vamos a considerar exclusivamente el primer término del segundo miembro de la expresión (5.3) y a suponer que el régimen de vuelo es supersónico. Como R es muy grande, el campo en S2 es axilsimétrico (recuérdese el principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune, Capítulo 3) y se puede representar por una distribución de manantiales, f(x), situados en r = 0, 0 < x < l. La relación entre f(x) y el área, S(x), de la sección recta del cuerpo ya se obtuvo para los cuerpos esbeltos en el Capítulo 3, resultando f(x) = −(U∞/2π)dS/dx (para el caso M∞ > 1). Pondremos, por tanto:

ϕβ

β

( , )( )

( )

,

x rf x x

x x ro o

o

l x r

=− −

−

z d2 2

02

, (5.4)

donde el límite superior de la integral será el menor de los valores, l ó x−βr. En adelante supondremos f(0) = f(l) = 0, lo que limita la aplicación de las expresiones resultantes a ciertos cuerpos esbeltos de geometría particular (figura 5.2) pero simplifica notablemente el desarrollo posterior. Hay que advertir que cuando el cuerpo tiene base de área no nula, la ecuación (5.3) para la resistencia de onda es válida siempre que la presión de base valga p∞. Para que ocurriera tal cosa la estela del cuerpo debería ser asimilable a una zona cilíndrica de propiedades uniformes que se prolongara hasta el infinito. Esto excluye los cuerpos 4 y 5 de la figura 5.2. Sin embargo, aun en el caso 1 de la figura 5.2, la hipótesis de que la presión de base es igual a p∞ es sólo una aproximación, pues el tubo de corriente que coincide con el cuerpo se estrecha más o menos al sobrepasar la base, de acuerdo con la cantidad de movimiento que tenga la capa límite al llegar a

Capítulo 5 87

esa sección. El estrechamiento produce una expansión que disminuye la presión de base, cuyo valor no se puede estimar con una teoría potencial.

3

1

2

4

5

Fig. 5.2. Algunos cuerpos esbeltos de revolución a los que se puede (casos 1 y 2) y a los que no se puede aplicar

(casos 3, 4 y 5) el presente tratamiento matemático basado en que f(0) = f(l) = 0. En el caso 3 es dS/dx ≠ 0 en x = 0 y en los casos 4 y 5 es dS/dx ≠ 0 en x = l.

En la expresión (5.3) aparecen las componentes ϕx y ϕr de la velocidad de perturbación. Para calcularlas, en vez de derivar directamente la expresión (5.4) respecto a x ó respecto a r, con lo que se haría el integrando aún más singular, se empieza integrando por partes:

ϕ ββ

( , ) ( ) ln ( ),

x r f x x x x x ro o o

l x r

= − − + − −LNM

OQP =

−

z d 2 2 2

0

e j

=− −RST

UVW + − + − −−

z0 2 2 2

0f x r r

f x x x x x r xo o o

l

o

x r

( ) ln( ) ln ( )

,

β ββ

β

e jd , (5.5)

donde las dos opciones indicadas entre corchetes corresponden, respectivamente, a que el límite superior valga l ó x – βr. Derivando ahora la expresión (5.5) respecto a x, teniendo en cuenta que esta variable puede aparecer en el límite superior de la integral (5.5), se obtiene:

ϕβ β β β β

β

xo

oo

l x r

x rf x r r f x r r

f x

x x rx( , )

( ) ln ( ) ln( )

,

=− −RST

UVW + −RST

UVW + − −

−

z0 02 2 2

0 b gd ,

donde el segundo de los corchetes corresponde a la parte de la derivada que depende del límite superior de la integral. Como los corchetes se cancelan entre sí, resulta:

ϕβ

β

xo o

o

l x r

x rf x x

x x r( , )

( )

( )

,

=− −

−

z d2 2

02

. (5.6)

Derivando la expresión (5.5) respecto a r se tiene

Capítulo 5 88

0 0

( , ) 1 ( ) ln( ) ( ) lnr x rf x r rf x r f x r r

rϕ

β β ββ β β β

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨− −− − + − ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

+⎬

+− + − −

−

− −

−

z 12 2 2

2

2 2 20 x x x x r

r

x x rf x x

o o oo o

l x r

b g b gβ

β

β

β

( ),

d .

En esta expresión parte de los corchetes se cancelan entre sí, y en la integral, tras multiplicar y dividir por x−xo−[(x−xo]2−β2r2]1/2, se simplifica notablemente el integrando, de modo que se obtiene:

( )

,

2 2 20

01( , ) 1 ( )d1 ( )

l x ro

r o o

o

x xx r f

rf x r x x rr

β

ϕβ β

− ⎛ ⎞⎧ ⎫ −⎪ ⎪ ⎜ ⎟= − −⎨ ⎬ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎪ ⎪ − −⎩ ⎭ ⎝ ⎠∫ x x ,

es decir:

ϕβ

β

ro o o

o

l x r

x rr

x x f x x

x x r( , )

( ) ( )

( )

,

= −−

− −

−

z12 2

0

d2

. (5.7)

5.4. EXPRESION DE LA RESISTENCIA DE ONDA Dividiendo el contorno S2 en anillos de área dσ =2πRdx, el primer término del segundo miembro de la ecuación (5.3) proporciona la siguiente expresión:

, ,3

4 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2

1 20 0

( )d ( ) ( )d2π d( ) ( )

l l x R l x R

ONDAR

f x x x x f x xD xx x R x x R

β β

β

ρ εβ β

− −

∞

⎡ ⎤ ⎡ −⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢− − − −⎣ ⎦ ⎣

∫ ∫ ∫⎤⎥⎥⎦

. (5.8)

Introduciendo la nueva variable x′ = x–βR, la expresión (5.8) resulta:

( ) ( )

, ,34 1 1 2 2 2

1 1 2 20 0 0

( )d ( ) ( )d2π d( ) 2 ( ) 2

l R l x l x

ONDAf x x x R x f x xD x

x x x R x x x x R x

ββρ ε

β β

− ′ ′

∞

⎡ ⎤ ⎡ ′ + −⎢ ⎥ ⎢ ′=⎢ ⎥ ⎢′ ′ ′ ′− + − − + −⎣ ⎦ ⎣

∫ ∫ ∫⎤⎥⎥⎦

. (5.9)

Considerada esta última integral como una integral triple, agrupamos ahora la parte del integrando en que aparece R,

F x R x R xx R x x R x

( , )′ = ′ + −′ + − ′ + −

ββ β

2

1 22 2b gb g , y vemos qué ocurre con F(x′,R) para valores muy grandes de R. Cuando x′ es del orden de l, (que es del orden de magnitud de x1 y x2, x′ ∼ x1∼ x2 ∼ l << βR) F(x′,R) tiende a 1/2. En cambio, para valores muy grandes de x′, x′ >> βR, F(x′,R) tenderá a 1. Entre ambos casos extremos F(x′,R)

Capítulo 5 89

variará de una cierta forma continua, no necesariamente monótona, entre los valores 1/2 y 1, como se esquematiza en la figura 5.3.

Fig. 5.3. Representación esquemática de F(x′,R) para valores muy grandes de R.

Basándonos en lo anterior, para calcular la integral (5.9) dividimos el intervalo 0 ≤ x′ ≤ l3–βR en dos partes: 1) 0 ≤ x′ ≤ a, donde a es grande comparado con l, pero mucho menor que βR. En este caso

pondremos en el integrando de (5.9) el valor F(x′,R) = 1/2. 2) En el caso a ≤ x′ ≤ l3–βR despreciaremos x1 y x2 (que valen a lo sumo l) frente a x′ (que es

mayor que a). La contribución a la integral que aparece en (5.9) de esta parte del intervalo x′ se reduce a:

3

41 1 2 2

0 0

( )2π ( )d ( )d d 0( 2 )

l R l l

a

x R f x x f x x xx x R

ββρ ε β

−

∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ =′ ′ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ,

donde se ha tomado l como límite superior en las integrales en x1 y x2, ya que es obviamente menor que x'. Como es f(0) = f (l) = 0, será

( ) ( )f x x f x xl l

1 1

0

2 2

0

0d dz z= = ,

con lo cual la expresión de la resistencia de onda queda:

, ,

4 1 1 2 2

1 20 0 0

( )d ( )dπ dl x l xa

ONDAf x x f x xD x

x x x xρ ε

′ ′

∞

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢

⎤⎥ ′=

′ ′⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣

∫ ∫ ∫ ⎥⎦

1

(5.10)

F(x’,R)

x’

1/2

l a βR l3−βR

Antes de seguir con el tratamiento de la ecuación (5.10) conviene comentar la razón de ser de la simplificación introducida. Básicamente resulta que, superado un cierto valor de x′, no llega a S2 la perturbación del obstáculo. Algo parecido ocurre en el régimen supersónico bidimensional (Aerodinámica I), donde las perturbaciones quedan localizadas entre las características extremas que parten del obstáculo y (dentro de la validez de la teoría potencial linealizada) las condiciones de la corriente incidente se recuperan una vez atravesada la característica posterior, tal como se ha representado en la figura 5.4a para un perfil lenticular típico.

Capítulo 5 90

a

Fig. 5.4. Campo lejano, de acuerdo con la teoría potencial linealizada en régimen supersónico. a) movimiento

bidimensional b) movimiento axilsimétrico. La huella superior representa el flujo de cantidad de movimiento. De von Kármán (1963).

En el caso axilsimétrico no ocurre exactamente lo mismo, véase la figura 5.4b. La perturbación introducida por el obstáculo no desaparece de forma abrupta al atravesar la característica posterior, sino que crece bruscamente para disminuir, tendiendo a cero para un cierto x′ >> l. La razón de la diferencia entre los casos bidimensional y axilsimétrico es la siguiente: en bidimensional la intensidad de la onda depende exclusivamente del cambio de la pendiente de la pared del obstáculo. Así, en un perfil rómbico, por ejemplo, hay una onda de expansión en la cresta de intensidad doble que la de cada una de las ondas de compresión que aparecen en los bordes de ataque y salida. El resultado es que la onda de compresión que parte del borde de salida cancela toda la perturbación que incide en ella, devolviendo la corriente a las condiciones no perturbadas. En axilsimétrico, por el contrario, la intensidad de la onda depende del cambio de la pendiente de la pared del obstáculo y de la distancia al eje de simetría donde se produce dicho cambio. Un cierto cambio en la pendiente ocasionado lejos del eje de simetría produce una onda más débil que la misma desviación ocasionada cerca del eje. Por tanto, en un cuerpo de revolución cuya línea meridiana sea un rombo, igual a la del perfil bidimensional, la expansión que aparece en la sección de área máxima es más débil que la suma de las compresiones causadas en el morro y la cola. Como consecuencia, la onda que parte de la cola tiene mayor intensidad que la que haría falta para cancelar la perturbación que llega a ella. Volviendo a la expresión (5.10), integramos primero en la variable x′. El dominio de integración está representado en la figura 5.5, el límite inferior de la integración respecto a x′ es la mayor de las cantidades x1 ó x2, de modo que:

d ′′ − ′ −

= ′ − − + ′ − ′ − =z xx x x x

x x x x x x xx x

a

x x

a

( )( )ln ( )( )

,,1 2

1 2

1 2 1 21 2

2 2

= − − + − − − −ln ( )( ) ln2 21 2 1 2 1 2a x x a x a x x x .

Además, como a >> x1 ≈ x2 ≈ l, será:

ln ( )( ) ln2 2 41 2 1 2a x x a x a x a la− − + − − = + 0FH IK .

b

Capítulo 5 91

a x’

x2

x1

x1>x2x2>x1

x’=x1 x2=0 x’=x2

x1=0

Fig. 5.5. Dominio de integración para el cálculo de la expresión (5.10).

Los límites de integración para x1 y x2 son ahora 0 y l. Al llevar estas expresiones a (5.10) se tiene:

41 1 2 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0 0

π ln 4 ( )d ( )d ( ) ( ) ln d dl l l l

ONDAD a f x x f x x f x f x x x x xρ ε∞

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫ . (5.11)

El primer término del segundo miembro de la expresión (5.11) es nulo, por la misma razón de antes. Queda, por tanto:

41 2 1 2 1

0 0

π ( ) ( ) ln d dl l

ONDAD f x f x x xρ ε∞= − −∫ ∫ 2x x . (5.12)

Integrando por partes, por ejemplo en x1, y teniendo en cuenta que, cuando a < x2 < b, es

xdx

x xx x

a

b

x ax b1

1 21 2 1

1−

= −z ==ln ,

se obtiene finalmente

4 21 1

1 20 0

d ( )π ( ) x dl l

ONDAf xD f x

x xρ ε∞

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ x , (5.13)

cuya estructura matemática es análoga a la de la expresión que proporciona la resistencia inducida de un ala (Aerodinámica I), hecho ya advertido por von Kármán en 1936.

Capítulo 5 92

5.5. MINIMA RESISTENCIA DE ONDA DE CUERPOS ESBELTOS La forma de la ecuación (5.13) sugiere utilizar un artificio matemático análogo al que se empleó en el desarrollo de la teoría de alas largas. Introduciendo la variable trigonométrica x l

= +2

1( cosω ) ,

no será difícil minimizar la resistencia de onda desarrollando f(x) en serie de sinnω (este desarrollo es, circunstancialmente, el más apropiado porque estamos estudiando el caso en que f(0) = f(l) =0, aunque sería igualmente posible un desarrollo en serie de cos nω):

1

d( ) sin2π d 2π nn

U Uf x lx A nω∞

∞ ∞

=

= − = − ∑S . (5.14)

De acuerdo con la expresión (5.13), será:

2 2

4 2 21 1

2 11 10 0

cossin x sin d

4π cos cosm

ONDA nn m

mA m dU lD A nπ π

ω ωρε ω

ω ω

∞ ∞∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑∫ ∫ 1ω ω

2 2

4 2

1

π8 n

n

U lnA

ρε

∞∞ ∞

=

= ∑ . (5.15)

Una vez expresada la resistencia de onda como suma de cuadrados perfectos, para minimizarla bastará con anular aquellos términos An que no aparezcan en las ligaduras geométricas. Veamos algunos tipos de ligaduras que se pueden expresar fácilmente en función de los coeficientes An. Para relacionar la distribución de áreas con An, se integra la expresión (5.14) entre x = 0 (ω = π) y x genérico (ω genérico), de modo que:

ω

S( ) sin sinω ξ ξ ξπz= − ∑

=

∞l A nn

n

2

12

d

2

12

sin( 1) sin( 1)sin 2(π )4 2 1nn

n nl A A n n 1ω ωωω

∞

=

⎡ ⎤+ −⎛= − + + −⎢ ⎥⎜ + −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ⎞

⎟ . (5.16)

Integrando la expresión (5.16) entre π y 0 obtenemos el volumen, V, del cuerpo:

[ ]3 3 2

1 2 10

(π ) sin sin d π8 8Al lV A A A

π

ω ω ω ω ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 2 , (5.17)

donde se han omitido, antes de integrar, aquellos términos que, con seguridad, no contribuyen a la integral.

Capítulo 5 93

5.6. LA OJIVA OPTIMA DE VON KARMAN Supongamos que sean datos tanto la longitud, l, como el área final, S(l). De acuerdo con la expresión (5.16), será:

1 24 ( )π

lAl

= S ,

mientras que la optimización exige que An = 0 para n ≥ 2. La resistencia de la ojiva óptima será, de acuerdo con la expresión (5.15):

22

4 2 ( )πONDAU lD l

ρε ∞ ∞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠S ,

y la distribución de áreas:

( ) sin 2( ) ππ 2l ωθ ω⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

SS . (5.18)

Es interesante saber cómo es de sensible al número de Mach, M∞, la forma de la ojiva óptima de von Kármán. M∞ no aparece en la expresión (5.18) que, basada en la teoría de cuerpos esbeltos, para un cuerpo dado es tanto más aproximada cuanto más cerca esté M∞ de 1. Existe un método sencillo, debido a Newton (véase, por ejemplo, Hayes & Probstein (1959), Chernyi (1961)) para calcular la distribución de presiones en obstáculos bidimensionales o axilsimétricos cuando M∞ → ∞. Con la aproximación newtoniana no es difícil calcular la forma de mínima resistencia de onda de una ojiva de revolución de longitud l y radio de la base r(l). La ojiva resultante para r(l)/l = 0.1 está representada en la figura 5.6, junto con la ojiva de von Kármán para el mismo valor de la relación r(l)/l. La diferencia entre las dos no es excesiva.

r(x)/r(l)

Modelo de Newton

x/l 1 0,5 0

0

0,5

1

von Kármán

Fig. 5.6. Perfil de la ojiva óptima de von Kármán comparado con el de la ojiva óptima newtoniana, para r(l)/l = 0.1. En la representación adimensional utilizada las ojivas de von Kármán para distintos valores de r(l)/l coinciden en una sola curva. Esto no es enteramente cierto para las distintas ojivas óptimas newtonianas aunque para r(l)/l < 0.5 las diferencias entre unas y otras son inapreciables.

5.7. EL CUERPO OPTIMO DE SEARS-HAACK En este caso el área final es nula, pero es dato el volumen, V. Por lo tanto, A1 = 0 y, de acuerdo con la expresión (5.17),

Capítulo 5 94

2 316π

VAl

= − .

Además, la condición de mínima resistencia exige An = 0 para n ≥ 3. La resistencia de onda del cuerpo óptimo de Sears-Haack vale:

2 24

464

πONDAU VD

lρε ∞ ∞= ,

y la distribución de áreas 34 sin 3 16( ) sin sinπ 3 3π

V Vl l

ωω ω ω⎡ ⎤= − =⎢ ⎥⎣ ⎦S . (5.19)

Hay que observar que tanto la ojiva de von Kármán como el cuerpo de Sears-Haack son ligeramente romos. Aunque la teoría de cuerpos esbeltos tiene dudosa aplicación cerca de una proa roma, los efectos locales son despreciables siempre que el radio de curvatura de la proa no sea excesivamente grande. El llamado "von Kármán spike" es una pequeña protuberancia axial fijada a una proa roma, y que sirve para deformar (por efecto viscoso) el campo aerodinámico en las proximidades de la proa, haciendo que se asemeje al debido a una proa aguda. 5.8. REGLA DEL AREA DE HAYES Lo contenido hasta ahora en este capítulo se funda en el principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune para cuerpos esbeltos (Capítulo 3). De acuerdo con este principio, para obtener el cuerpo esbelto que tenga la misma resistencia de onda que otro de revolución basta distribuir por igual en ambos las áreas de las secciones por planos x constante. El principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune no se puede aplicar cuando el cuerpo no es esbelto, por ejemplo en el caso de un fuselaje esbelto con alas de alargamiento medio, pero W.D. Hayes lo generalizó de forma que es aplicable a distribuciones de manantiales situados tanto en el eje como fuera del eje x. Veremos que la regla de Hayes se reduce formalmente al principio de equivalencia de Oswatitsch-Keune cuando M∞ ≈ 1 ó cuando los manantiales están suficientemente próximos al eje x. Para aplicar el método de Hayes se comienza por calcular la resistencia de onda de una distribución general de manantiales. Dicha resistencia de onda está relacionada, como se sabe, con el flujo radial de la componente axial de cantidad de movimiento a través de una superficie cilíndrica circular cuyas generatrices son paralelas al eje x y cuyo radio, R, es muy grande. Como ahora el campo lejano no es de revolución, para calcular dicho flujo se divide la superficie cilíndrica en bandas con θ = cte, paralelas a las generatrices, y se calcula por separado el flujo a través de cada banda. La resistencia de onda será la suma de las contribuciones de cada banda o, en otros términos:

2π

0

( ) d2πOCE

ONDADD θ θ= ∫ , (5.20)

Capítulo 5 95

donde DOCE(θ) sería la resistencia de onda que tendría un cuerpo esbelto hipotético que produjese el mismo flujo de cantidad de movimiento. La ventaja de operar así reside en que, como se verá, es posible desplazar los manantiales que generan el campo fluido creado por el cuerpo hasta el eje x para calcular cada DOCE(θ) sin modificar su intensidad. Por lo tanto se calculará la contribución de cada banda utilizando la teoría ya desarrollada para un cuerpo esbelto de revolución que, en general, será distinto para cada banda. Para trasladar los manantiales, consideremos la contribución al potencial en un punto (x,Rcosθ,Rsinθ) situado en la generatriz θ, de un manantial de intensidad f(x1,y1,z1)dx1dy1dz1 situado en (x1,y1,z1),

1 1 1 1 1 12 2 2 2

1 1

( , , )d d dd( ) ( cos ) ( sin )

f x y z x y z

x x R y R zϕ

β θ θ=

⎡ ⎤− − − + −⎣ ⎦1

.

Si trasladamos el manantial, manteniendo su intensidad, a un punto (xi,0,0) sin modificar el valor, K, del radicando, el potencial no variará. El lugar geométrico de los puntos (x1,y1,z1) que mantienen constante el valor K del radicando es un hiperboloide de dos hojas (un hiperboloide distinto para cada K) con centro en x = (x,Rcosθ,Rsinθ) y eje en la generatriz θ del cilindro, tal como se indica en la figura 5.7. Las ecuaciones de los distintos hiperboloides son:

x (x1,y1,z1)

Plano θ x,Rcosθ,Rsinθ

K=0 K≠0

(xi,0,0)

Fig. 5.7. Secciones, por el plano θ, de las hojas anteriores de los hiperboloides, para distintos valores de K. Los

manantiales situados en (x1,y1,z1) no están necesariamente en dicho plano y el punto que aparece en la figura representándolo es su proyección sobre él.

x x RR

y zR

y z K− = ± − + + + +1 1 1 2 1

212

2

21 2 1β θ θβ

( cos sin ) ( ) , (5.21)

donde el signo + corresponde a la hoja anterior, que es la que vamos a considerar, pues x > x1. El caso K = 0 corresponde al cono de Mach con vértice en el punto efecto. La invariancia de ϕ en el proceso de traslación de los manantiales no implica automáticamente las de ϕx y ϕr, que son los factores que realmente intervienen en la expresión integral de la resistencia de onda (expresión (5.3)). En efecto, si xi dependiera de x, R y θ, la derivación de ϕ respecto a x y respecto a R daría términos adicionales, puesto que sería: ϕ = ϕ(x,R,θ,xi(x1,y1,z1,x,R,θ))

Capítulo 5 96

de modo que al derivar se obtendría

d d;d di i

i i

x xx x x x R R xϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂R

1 1− −

.

No consideramos la derivación respecto a θ porque ϕθ no aparece en la expresión (5.3). Sin embargo, no se produce la dependencia mencionada y es inmediato comprobar que cuando R → ∞, xi no depende de x ni de R en primera aproximación. En efecto, si en la expresión (5.21) se desprecian los términos 0(R–2) se obtiene la ecuación del plano tangente al cono de Mach a lo largo de la generatriz situada en el plano θ, (véase la figura 5.8), de ecuación:

z xi

y

x

θ x

Fig. 5.8. Plano tangente al cono de Mach a lo largo del cual hay que deslizar los manantiales hasta su corte con el

eje y=z=0 para calcular la contribución a la resistencia de onda de la generatriz θ del elemento de control. El cono que se muestra es la envolvente de los planos tangentes.

x y z x R xi1 = − = . (5.22) β θ β θ βcos s

2

in En resumen, para calcular la contribución a la resistencia de onda del flujo de cantidad de movimiento a través de la generatriz situada entre θ y θ + dθ se corta por planos dados por la ecuación (5.22), un plano para cada xi, y se trasladan al punto (xi,0,0) todos los manantiales situados entre los planos correspondientes a xi y xi + dxi, con la misma intensidad que tenían en sus puntos de partida. Es claro que la ley de traslación y, por tanto, la forma del cuerpo esbelto resultante, dependen del número de Mach, y del ángulo θ. Si dividimos el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π en n partes iguales, tendremos n cuerpos esbeltos distintos (aunque consideraciones de simetría reduzcan este número a n/2 ó n/4). La media de las n resistencias será, para el β considerado, la resistencia de onda del cuerpo. Ahora la resistencia de onda del cuerpo sí depende de M

β = −∞( ) /M 2 11

∞, a diferencia de lo que ocurre cuando el cuerpo es esbelto. 5.9. MANANTIALES QUE REPRESENTAN UN ALA SIMETRICA Vamos a tratar aquí sólo problemas no sustentadores. El efecto del problema sustentador, que no presenta dificultades insuperables en su desarrollo, puede verse en Ashley & Landahl (1965), pp. 183-185. En el Capítulo 3, en la ecuación (3.26) se obtuvo la intensidad de los manantiales supersónicos que hay que distribuir por unidad de longitud a lo largo del eje para representar un cuerpo

Capítulo 5 97

esbelto de revolución. En el caso de un ala, la intensidad de los manantiales supersónicos que hay que distribuir, por unidad de área en el plano z1 = 0, para representar el efecto de espesor de un ala en régimen supersónico es −w/π, es decir

1 1( , ) πpzUf x y x

∞ ∂= − ∂ . (5.23)

Para trasladar los manantiales del ala simétrica, consideremos el caso, tal como se muestra en la figura 5.9, de un ala plana, delgada, simétrica respecto a z1 = 0, cuyos bordes de ataque y salida tienen espesor nulo y que se representa mediante manantiales de intensidad por unidad de área dada por la ecuación (5.23), situados en z1 = 0. Las rectas a lo largo de las que hay que deslizar los manantiales son:

Fig. 5.9. Secciones de un ala delgada por planos dados por (5.24).

x y i1 1− = xβ θcos . (5.24) En el caso de la figura 5.9 los manantiales llegados a (xi,0,0) tienen una intensidad total, por unidad de longitud de eje:

( , ) d 2 d2

y yB Bp

i py yA A

zU Uf x yx xθ π π∞ ∞∂ ∂= − = −∂ ∂ z y∫ ∫ , (5.25)

donde el intercambio de orden de integración y derivación está justificado pues, como se ha supuesto, zp(yA) = zp(yB) = 0. La integral que aparece en el tercer miembro de la expresión (5.25) es el área de la sección del ala que se obtiene al cortar ésta con el plano de expresión (5.24), vista paralelamente al eje x. La intensidad, por unidad de longitud de eje x, de los manantiales que representan el efecto de espesor de un ala delgada está dada por una expresión que es formalmente idéntica a la expresión (5.14). La diferencia de que para el fuselaje la intensidad de los manantiales se obtenga mediante secciones normales al eje, mientras que en el ala son secciones oblicuas es sólo aparente, puesto que el fuselaje es esbelto. Obsérvese que en general habrá que poner distribuciones de manantiales en el eje de una longitud mayor que la que ocupa la propia ala. Véase por ejemplo el punto xi2 de la figura 5.9. En lo sucesivo utilizaremos las expresiones (5.12) ó (5.13) para calcular la contribución a la resistencia de onda de la generatriz θ, pero ahora será:

x xi2

y

xi1

yB

yA

Capítulo 5 98

( , ) ( ) ( , )2πi f i wUf x x xiθ θ∞ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦S S , (5.26)

donde Sf representa el área de las secciones normales del fuselaje y Sw el área de las secciones oblicuas del ala. Los límites de integración pueden no coincidir con los del fuselaje. Habrá que ver dónde cortan al eje los planos tangentes a los conos de Mach que contienen los extremos del ala, los cuales en general varían al variar θ. En la figura 5.10 (Harris, 1963) se muestran los resultados obtenidos en el cálculo del coeficiente de resistencia de onda de un cuerpo de revolución empleando la teoría de cuerpos esbeltos, el método de las características y la regla del área, junto con resultados experimentales. El método de las características presenta el mejor acuerdo con los resultados experimentales, la teoría de cuerpos esbeltos (que utiliza la ley de áreas obtenida a partir de las secciones rectas) se comporta bien cerca de M∞ = 1, pero al aumentar M∞ sobrevalora la resistencia. La influencia del número de Mach aumenta al aumentar el espesor relativo (ya que los cuerpos son menos esbeltos). Obsérvese que los resultados obtenidos mediante la regla del área reproducen el efecto del número de Mach.

0,16

0,08

0

0,08

0

0

0,08

0 1 2 3 4

cD

cD

cD

M∞

a

b

c

1

1

S(x)/Smax

x/l

d

Fig. 5.10. Coeficiente de resistencia de onda de cuerpos de revolución de diferentes espesores relativos F (a: F =

1/7; b: F = 1/10; c: F = 1/13), cuya ley de áreas, S(x), se representa en d). Línea continua: método de las características. Línea discontinua corta: teoría de cuerpos esbeltos. Línea discontinua larga: regla del área.

5.10. OPTIMIZACION DEL FUSELAJE DE UN AVION DE ALA DADA

Capítulo 5 99

Vamos a tratar de minimizar la resistencia de onda de un avión formado por un fuselaje de revolución y un ala simétrica dada, que no puede ser modificada en el proceso de optimización. Vamos a suponer además que la longitud del fuselaje es suficientemente grande comparada con la envergadura de las alas como para no exceder, para ningún θ, los límites de integración 0,l. De acuerdo con las expresiones (5.12), (5.20) y (5.26), será:

2π42

1 1 2 2 1 2 1 220 0 0

( ) ( , ) ( ) ( , ) ln d d d8π

l l

ONDA f w f wD U x x x x x x x xερ θ θ∞ ∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ S S S S θ .

(5.27) Representamos la contribución del ala mediante un desarrollo en serie de Fourier simétrico respecto a los dos ejes, θ = 0, θ = π/2.

( , ) ( ) cosSw i n in

x B xθ θ==

∞

∑ 20

n .

Con ello el integrando de la expresión (5.27) constará de tres tipos de términos: 1. Independientes de θ: 1 0 1 2 0 2( ) ( ) ( ) ( )f fx B x x B x⎡ ⎤ ⎡+ +⎣ ⎦ ⎣S S ⎤⎦ .

2. Proporcionales a cos2nθ, que van a desaparecer al integrar en θ:

( ) ( ) ( ) ( ) cosS Sf n f nn

x B x x B x n1 2 2 11

2+=

∞

∑ θ .

3. Proporcionales a cos22nθ, que no desaparecen al integrar, pero que, como dependen sólo del

ala, no son modificables y dan una contribución fija a la resistencia:

. ( ) ( ) cosB x B x nn nn

1 22

1

2 θ=

∞

∑ Hay además términos en cos2pθ cos2qθ que no contribuyen a la integral. Hemos reducido el problema a minimizar integrales en las que no aparece θ; la distribución de áreas Sf(x1) + B0(x1) deberá coincidir con la de un cuerpo esbelto de revolución que, cumpliendo las ligaduras correspondientes, tenga mínima resistencia de onda. Por lo tanto, se trata de optimizar el cuerpo esbelto suma del fuselaje y un promedio azimutal de las contribuciones del ala. La regla del área de Hayes en la forma explicada en este Capítulo se aplica para calcular la resistencia de onda de configuraciones no esbeltas: aviones, alas planas no sustentadoras,

Capítulo 5 100

carenas axilsimétricas o alas-canal, aviones volando en formación, depósitos o bombas próximos entre sí, etc. Sobre el cálculo de la resistencia de onda de aviones convencionales existe abundante literatura; véase Jumper (1983), donde se presenta un método simplificado de cálculo, así como bibliografía adicional. La resistencia de onda de alas de forma en planta elíptica y perfil lenticular ha sido calculada por Jones (1956), quien también ha utilizado la idea de superponer manantiales negativos (que dan lugar a volúmenes negativos pero resistencias positivas) para calcular el efecto en la resistencia de disminuciones locales de área. También Lock (1957) calculó la resistencia de onda de alas simétricas de forma en planta rectangular. La interferencia de dos o más cuerpos de Sears-Haack ha sido considerada por Nielsen (1985). Nielsen parte de una expresión análoga a la (5.27) para calcular la resistencia de onda de dos cuerpos, integra analíticamente respecto a x1 y x2 y numéricamente la integral respecto a θ, que es bastante complicada. La resistencia mínima del conjunto es 1.12 veces la de un sólo cuerpo (44% de reducción de la resistencia por interferencia favorable). Con seis cuerpos la reducción es de 49.5% y con más se puede llegar hasta el 53.4%. REFERENCIAS Ashley, H., Landahl, M.L., “Aerodynamics of Wings and Bodies”, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass., 1965, pp. 99-123 y 173-191. Brown, C.E., "Aerodynamics of Bodies at High Speeds", en "High Speed Aerodynamics and Jet Propulsion", Donovan A.F. y Lawrence, H.R., Eds., Vol. VII, 1957, pp. 244-280. Chernyi, G.G., “Introduction to Hypersonic Flow”, Academic Press, New York, 1961, Chap. III, pp. 105-112. Ferrari, C., "Interaction Problems", en "High Speed Aerodynamics and Jet Propulsion", Donovan A.F. y Lawrence, H.R., Eds., Vol. VII, 1957, pp. 343-360. Harris, R.V., "An Analysis and Correlation of Aircraft Wave Drag", NASA TM-X-905, 1963. Hayes, W.D., Probstein, R., “Hypersonic Flow Theory”, 1st ed., Academic Press, New York, 1959, Chap. III, pp. 93-109. Jones, R.T., “Theory of Wing-Body Drag at Supersonic Speeds”, NACA Report No. 1284, 1956. Jumper, E.J., “Wave Drag Prediction Using a Simplified Supersonic Area Rule”, J. Aircraft, Vol. 20, No. 10, Oct. 1983, pp. 893-895. von Kármán, T., “From Low Speed Aerodynamics to Astronautics”, Pergamon Press, Oxford, 1963, p. 15.

Capítulo 5 101

Lock, R.C., “A Note on the Application of the Supersonic Area Rule to the Determination of the Wave Drag of Rectangular Wings”, J. Fluid Mech., Vol. 2, Part 6, 1957, pp. 575-582. Nielsen, J.N., “Arrays of Bodies of Revolution for Minimum Wave Drag”, J. Aircraft, Vol. 22, No. 10, Oct. 1985, pp. 901-909. Nielsen, J.N., "Missile Aerodynamics", McGraw-Hill, 1960.

A. Laverón Simavilla Página 36

CAPÍTULO 2. TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN SUPERSÓNICO

1. INTRODUCCIÓN

La aproximación de flujo incompressible para la resolución de problemas aeronáuticos ha sido empleada desde los inicios de la aerodinámica con excelentes resultados. De hecho, el estudio de los perfiles aerodinámicos de alas y rotores se hizo en la primera mitad del siglo XX asumiendo una simplificación adicional, el estudio de pequeñas perturbaciones linealizando el problema. Incluso esta simplificación adicional ofrecía resultados excelentes añadiendo en ciertos casos, como la entrada en pérdida y la resistencia, los efectos no viscosos mediante otras consideraciones. Por ejemplo, la restricción de la viscosidad a una zona pequeña cercana a la superficie del obstáculo, mediante la teoría de la capa límite.

Siguiendo el mismo método de trabajo, con el desarrollo de los aviones de alta velocidad se desarrollaron métodos que corregían los resultados del flujo incompresible. Pero en seguida se constató la necesidad de desarrollar una nueva teoría para poder obtener resultados aceptables en este régimen de vuelo, ya que las correcciones al modelo incompresible no proporcionaban buenos resultados.

La razón fundamental de la necesidad de una nueva teoría es que en el flujo incompresible las perturbaciones en la presión y velocidad, se propagan instantáneamente a todos los puntos del espacio, es decir, se propagan con velocidad infinita. Sin embargo en flujo compresible las perturbaciones en la presión y velocidad se propagan con velocidad finita: la velocidad del sonido local. En el caso en que el obstáculo se mueva a velocidad cercana a la del sonido, y menor que esta, la propagación de las perturbaciones en la velocidad sólo alcanzarán una zona pequeña por delante del obstáculo. En el caso de movimiento supersónico, las perturbaciones en la presión nunca podrán rebasar al obstáculo, lo que constituye una diferencia sustancial respecto al movimiento subsónico.

En la Figura 20 se muestra cómo es la propagación de las perturbaciones en la presión debidas a una perturbación elemental, manantial, que se desplaza con una cierta velocidad, ��, subsónica. La velocidad de propagación es la del sonido, y en teoría de perturbaciones puede aproximarse por la velocidad del sonido en el infinito, �� . Por ello en sucesivos instantes de tiempo, ��� ���� ���, la perturbación va propagándose más rápidamente que la velocidad de avance del manantial. Como se ve en la figura, en este caso el mecanismo de propagación ha roto la simetría del caso incompresible y se produce una concentración de la perturbación aguas arriba del obstáculo, causante del efecto Doppler. A pesar de las diferencias, la estructura de la solución es similar a la del problema compresible y en el modelo de la teoría de pequeñas perturbaciones puede obtenerse la solución del problema compresible a partir de la solución incompresible.

A. Laverón Simavilla Página 37

Figura 20. Propagación de las perturbaciones de la presión desde un manantial elemental que se mueve a velocidad �, siendo la velocidad del sonido � � �.

En la Figura 21 la velocidad de propagación es menor que la velocidad de avance del manantial, por lo que la perturbación nunca lo alcanzará. En este caso, la perturbación queda confinada al interior de un cono dentro del cual se encuentran todas las esferas emitidas por los puntos por los que ha pasado la perturbación en instantes anteriores. Este cono es el cono de Mach, frontera entre la zona perturbada de la que no lo está, y constituye la zona en la que se concentran las perturbaciones. Esta solución tiene una estructura muy diferente al caso subsónico y por tanto debe aplicarse una teoría específica, no es posible obtener soluciones mediante correcciones al modelo incompresible.

Figura 21. Propagación de las perturbaciones de la presión desde un manantial elemental que se mueve a velocidad �, siendo la velocidad del sonido � � �.

De la la Figura 22 se deduce el valor del semiángulo del cono de Mach en función del número de Mach de la corriente no perturbada

2

2

11 1 1sin y cos tan

1

Ma

U M M Mγ γ γ

β∞∞

∞ ∞ ∞ ∞

−= = = ⇒ = =

− (62)

A. Laverón Simavilla Página 38

U t∞

a t∞

Figura 22. Cono de Mach.

2. LINEALIZACIÓN DEL PROBLEMA SUPERSÓNICO

Al igual que en el caso de movimiento irrotacional incompresible y subsónico, para régimen supersónico puede linealizarse la ecuación del potencial de velocidades obteniéndose una ecuación muy semejante a la ecuación de onda. Al linealizar el problema, éste puede reducirse a la superposición de singularidades elementales de forma que se reproduzcan las condiciones de contorno.

Mediante la teoría linealizada pueden calcularse de forma sencilla las distribuciones de velocidad y presión, así como las fuerzas globales sobre los perfiles, alas o cuerpos. De hecho esta sencilla teoría permite calcular la Resistencia de Onda, que es una resistencia asociada al movimiento supersónico, no encontrándose en subsónico. En movimiento incompresible la resistencia aerodinámica es nula, tal y como se deduce del teorema de d’Alembert. La influencia de los efectos de compresibilidad en régimen subsónico, se limita a aumentar la magnitud de las velocidades de perturbación, sin cambiar la estructura de la solución incompresible. Sin embargo la estructura de la solución supersónica es muy diferente y se produce un flujo neto de cantidad de movimiento en la dirección de la corriente incidente no perturbada a través de la superficie lateral del infinito, que da lugar a la llamada Resistencia de Onda.

La linealización del problema asume que las perturbaciones en las variables son infinitamente pequeñas y no tiene en cuenta posibles discontinuidades en la solución, es decir, la existencia de ondas de choque. Para poder considerarlas es necesario recurrir a teorías de orden superior. La influencia de las ondas de choque en la resistencia aerodinámica es evidente, ya que aunque la presión aguas abajo recupere el valor de la presión aguas arriba, el valor de la velocidad no puede recuperarse debido al cambio en la presión de remanso inducido por la onda de choque. Esto hace que pueda parecer que existe una Resistencia de Choque similar a la Resistencia de Onda. Lo cierto es que esto no es así y la Resistencia de Onda ofrece una buena aproximación a la resistencia real de los obstáculos en flujo supersónico, es decir, no existen dos resistencias una de Onda y otra de Choque aditivas, sino que la Resistencia de Onda permite calcular de forma simplificada la resistencia del movimiento supersónico que en realidad es debida a la existencia de la onda de choque. El fenómeno es similar al que se tiene con la resistencia inducida que puede calcularse mediante la teoría del plano de Trefftz aunque la distribución de velocidades en el plano del infinito aguas abajo en realidad es muy diferente al del modelo.

A. Laverón Simavilla Página 39

3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA LINEALIZADO

Linealizando el potencial de velocidades para un ala volando en régimen supersónico, tomando un sistema de referencia tal que la velocidad incidente no perturbada está alineada con el eje x, se tiene

( ) ( ), , , , ,x y z U x x y zϕ∞Φ = + con U cϕ ∞≪ , (63)

donde U∞ es la velocidad de la corriente incidente no perturbada, y c es la longitud

característica de la cuerda de los perfiles del ala.

La ecuación que debe cumplir el potencial de perturbación linealizado, ϕ , es

( )21 0xx yy zzM ϕ ϕ ϕ∞− + + = , (64)

y las condiciones de contorno son

( )( )

, ,0 d,

d

x ee

x y zx y

U x

ϕλ

+

∞

= = y ( )

( ), ,0 d

,d

z ii

x y zx y

U x

ϕλ

−

∞

= = con , F.P.x y∈ (65)

( ), , 0x y zϕ = en el infinito aguas arriba.

De la ecuación de Euler-Bernoulli se obtiene el coeficiente de presión en función del potencial de velocidades de perturbación

2 x

pCU

ϕ

∞

= − . (66)

Esta forma de la ecuación para el potencial de perturbación sólo es válida cuando el coeficiente del primer término es de orden unidad, por tanto no es válido en régimen transónico

21 0M ∞− ≈ , ni en régimen hipersónico 1M∞ ≫ .

Aunque esta ecuación puede parecer similar a la que se tiene en régimen compresible subsónico, nada más lejos de la realidad. En este caso la ecuación diferencial es hiperbólica, mientras que en régimen subsónico es elíptica, lo que cambia completamente el carácter de la solución. Por ello, antes de tratar de resolver el problema es necesario tener en cuenta una serie de consideraciones previas.

4. BORDES DE ATAQUE/SALIDA SUPERSÓNICOS Y SUBSÓNICOS

Los bordes de las alas se clasifican como subsónicos o supersónicos dependiendo de la magnitud de la proyección de la velocidad de la corriente incidente no perturbada en la dirección normal al mismo:

1. Un borde supersónico es aquel en que la proyección de la velocidad en la dirección normal al borde es supersónica.

2. Un borde subsónico es aquel en que la proyección de la velocidad en la dirección normal al borde es subsónica.

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Si las rectas x = x1 ± βy , donde x1 es una constante, son tangentes al borde del ala en algún punto, entonces en ese punto la velocidad normal será a∞, como se muestra a continuación

� V ⋅� N =U∞ sinγ

tanγ =1

β⇒ sinγ =

1

1+ β 2=

β 2=M∞2−1

�1

M∞

⇒� V ⋅� N =

U∞

M∞

= a∞ (67)

Estos puntos separan el borde de ataque supersónico del subsónico. En la Figura 23 se muestra un esquema con las proyecciones de la velocidad de la corriente incidente no perturbada en el borde de ataque, en un borde de ataque supersónico y en el punto del borde de ataque en que la velocidad normal es a∞.

γ

1arctanγ

β=

a∞

Figura 23. Esquema de la velocidad normal al borde de ataque en el punto del borde de ataque sónico y en puntos con borde de ataque supersónicos

En la Figura 24 se muestra los distintos bordes de ataque/salida subsónicos/supersónicos que pueden encontrarse en un ala volando en régimen supersónico.

A. Laverón Simavilla Página 41

Borde de

salida

supersónicoBorde de

ataque

supersónico

Borde de

ataque

subsónico

Borde de

ataque

subsónico

Borde de

salida

subsónico

Borde de

salida

subsónico

U∞( )arctan 1 β

Figura 24. Esquema de los bordes de ataque y salida subsónicos y supersónicos de un ala de forma en planta genérica.

5. SINGULARIDADES ELEMENTALES EN FLUJO SUPERSÓNICO

Existen una serie de soluciones elementales de la ecuación (64) que reciben nombres análogos a las singularidades elementales ya conocidas del flujo subsónico:

1. Potencial de perturbación en ( ), ,x y z producido por un manantial supersónico de

intensidad unidad situado en el punto ( ), , 0o ox y

( )( ) ( )2 22 2

1 1, ,

2o o

x y z

x x y y z

ϕπ β

= − − − − +

(68)

2. Potencial de perturbación en ( ), ,x y z producido por una herradura de torbellinos

supersónica de intensidad unidad situada en el punto ( ), , 0o ox y

( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

1, ,

2o

o o o

z x xx y z

y y z x x y y z

ϕπ β

−= −

− + − − − +

(69)

3. Potencial de perturbación en ( ), ,x y z producido por un doblete supersónico de

intensidad unidad situado en el punto ( ), , 0o ox y

( )( ) ( ){ }

2

3 22 22 2

1, ,

2o o

zx y z

x x y y z

βϕ

π β=

− − − +

. (70)

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6. CONO DE MACH Y BORDES DE ATAQUE Y SALIDA SUBSÓNICOS Y SUPERSÓNICOS

Todas las soluciones elementales citadas contienen el término

( ) ( )2 22 2o ox x y y zβ − − − + , (71)

que sólo es real para puntos ( ), ,x y z que se encuentren dentro del cono de Mach anterior o

posterior del punto ( ), , 0o ox y . Además, debido a que las perturbaciones en régimen

supersónico sólo se propagan aguas abajo, los únicos puntos que reciben la perturbación

producida por la singularidad situada en ( ), , 0o ox y , son los que se encuentran dentro de

semicono de Mach posterior con vértice en la singularidad, como se muestra en la Figura 25.

Arctan(1/b)

(x0, y0, z0)Punto que produce la perturbación

(x, y, z) Radicando positivoCarente de sentido físico

(x, y, z) Radicando positivoCon sentido físicoPuntos que captan la perturbación

(x, y, z) Radicando negativoCarente de sentido físico

Figura 25. Cono de Mach con vértice en la singularidad.

De forma similar, si se considera el cono de Mach con vértice en el punto ( ), ,x y z , se

comprueba que el término (71) sólo es positivo para los puntos ( ), , 0o ox y que se encuentran en

el interior de dicho cono. Esto significa que el punto ( ), ,x y z sólo se ve afectado por las

singularidades que se encuentran dentro del cono de Mach anterior con vértice en él, como se muestra en la Figura 26.

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(x, y, z)

Punto perturbado

(x0, y0, z0)

Puntos que perturban

(x0, y0, z0)

Radicando negativo

Carente de sentido físico

(x0, y0, z0)

Radicando positivo

Carente de sentido físico

( )arctan 1 β

Figura 26. Cono de Mach anterior centrado en el punto en que se evalúa la perturbación.

7. DISTRIBUCIÓN DE SINGULARIDADES EN EL PLANO DEL ALA

Al igual que en el caso subsónico, se puede obtener el potencial de velocidades de perturbación, mediante una distribución adecuada de singularidades sobre la forma en planta del ala y de la estela.

Se comprueba en la Figura 27 que la intersección del cono de Mach con vértice en el punto �� �� �� con el plano del ala, z=0, es una hipérbola. Por tanto, el punto situado en el vértice del cono sólo se verá afectado por los puntos del plano que se encuentran en la zona que está aguas arriba de esa hipérbola.

En el caso de que el cono de Mach tenga vértice en un punto del plano del ala �� �� ��, su intersección con el plano del ala son dos rectas de pendiente �� �� . Por ello el punto situado en el vértice del cono sólo se verá afectado por los puntos del plano que se encuentran aguas arriba de dichas rectas.

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Figura 27. Intersección del cono de Mach con planos z=cte.

En la Figura 28 se representa la forma en planta de un ala, a partir de la figura se muestra que la zona del plano del ala perturbada es la que se encuentra aguas abajo de las rectas de pendiente

1 β tangentes al ala y aguas abajo del borde de ataque supersónico y subsónico.

M∞

Figura 28. Forma en planta de un ala y distintas zonas que se pueden reconocer.

La importancia de la distinción entre bordes supersónicos y subsónicos radica en que un punto, P, como el mostrado en la Figura 29, afectado por un borde de ataque supersónico, es decir, que en su cono de Mach anterior sólo hay un borde de ataque supersónico, no estaría afectado por perturbaciones fuera del ala. Se comprueba que todos los puntos situados fuera del ala y dentro de su cono de Mach anterior no están perturbados.

A. Laverón Simavilla Página 45

Figura 29. Punto sobre el extradós del ala afectado por un borde de ataque supersónico.

Sin embargo, los puntos afectados por bordes de ataque o salida subsónicos, como el punto P representado en la Figura 30, sí estarán afectados por perturbaciones fuera del ala, como las producidas por el punto Q.

∞

U∞

Figura 30. Representación de un punto P del extradós del ala afectado por un borde de ataque subsónico.

Los únicos puntos afectados por la estela del ala, punto Q en la Figura 31, son los que tienen dentro de su cono de Mach anterior un borde de salida subsónico, como se desprende de dicha figura.

A. Laverón Simavilla Página 46

U∞

Figura 31. Punto del ala afectado por la estela.

8. DESCOMPOSICIÓN DEL PROBLEMA EN SIMÉTRICO Y ANTISIMÉTRICO

De forma similar a como se hiciera en el caso subsónico, se pueden aprovechar las propiedades de simetría y antisimetría de las condiciones de contorno del problema, para encontrar la distribución de singularidades sobre la forma en planta de ala y la estela, que hace que se cumplan las condiciones de contorno sobre ellas.

Separando la condición de contorno sobre el ala en suma de otras dos, una simétrica y otra antisimétrica, se obtienen los siguientes problemas:

A. SIMÉTRICO (ESPESOR)

Se resuelve mediante una distribución de manantiales supersónicos de intensidad ( ),o o

q x y por

unidad de superficie sobre la forma en planta del ala, cuyo potencial de velocidades es

( ) ( )

( ) ( )2 22 2

,1, , d d

2o o

o o

So o

q x yx y z x y

x x y y z

ϕπ β

= − − − − +

∫∫ , (72)

siendo la intensidad de los manantiales

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ,

, , 2 , 2 2 ,d

e o o

o o o o e o o e o o

o

z x yq x y w x y w x y U U x y

xλ∞ ∞= ∆ = = = , (73)

y finalmente se tiene

( ) ( )

( ) ( )2 22 2

,, , d de o o

o o

So o

x yUx y z x y

x x y y z

λϕ

π β

∞= − − − − +

∫∫ . (74)

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La superficie S es la parte de la forma en planta del ala que se encuentra dentro del cono de

Mach anterior del punto ( ), ,x y z , ya que sólo la forma en planta del ala soporta un salto de

velocidad vertical de perturbación.

En el caso simétrico basta con resolver una integral de superficie para poder obtener el potencial de velocidades, y con él la distribución de presiones, conocida la forma del ala. Sin embargo sería necesario resolver una ecuación integral para resolver el problema inverso.

B. ANTISIMÉTRICA (CURVATURA Y ÁNGULO DE ATAQUE)

Se resuelve mediante una distribución de torbellinos supersónicos de intensidad ( ),o ox yγ por

unidad de superficie, cuyo potencial de velocidades es

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

,, , d d

2o o o

o o

So o o

x y x xzx y z x y

y y z x x y y z

γϕ

π β

−= −

− + − − − + ∫∫ . (75)

siendo la intensidad de los torbellinos

( ) ( ) ( ) ( ), , 2 , ,o o o o e o o pe o ox y u x y u x y U C x yγ ∞= −∆ = − = , (76)

y finalmente se tiene

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

,, , d d

2pe o o o

o o

So o o

C x y x xzUx y z x y

y y z x x y y z

ϕπ β

∞−

= − − + − − − +

∫∫ . (77)

La superficie S es la parte de la forma en planta del ala que se encuentra dentro del cono de

Mach anterior del punto ( ), ,x y z , ya que sólo en la parte del plano z=0 donde tenemos ala se

puede tener un salto de presión.

O mediante una distribución de dobletes supersónicos de intensidad ( ),o o

m x y por unidad de

superficie, cuyo potencial de velocidades es

( ) ( )

( ) ( ){ }2

3 22 22 2

,, , d d

2o o

o o

So o

m x yzx y z x y

x x y y z

βϕ

π β=

− − − +

∫∫ , (78)

siendo la intensidad de los dobletes

( ) ( ), ,o o o o

m x y x yϕ= −∆ . (79)

La superficie S es la parte de la forma en planta del ala y la estela que se encuentra dentro del

cono de Mach anterior del punto ( ), ,x y z , ya que sólo en la forma en planta del ala y en la

estela se puede producir un salto en el potencial de velocidades de perturbación.

En el caso antisimétrico basta con resolver una integral de superficie para poder obtener el potencial de velocidades, y con él la forma del ala, conocida la distribución de presiones sobre el ala o la distribución de circulación sobre el ala. Sin embargo sería necesario resolver una

A. Laverón Simavilla Página 48

ecuación integral para resolver el problema directo. Las integrales que se deben resolver en el caso antisimétrico son más complejas que las del caso simétrico, y por ello no se resuelven analíticamente, sino numéricamente.

9. RELACIÓN ENTRE LA FORMA DEL ALA Y LA INTENSIDAD DE LOS MANANTIALES QUE MODELIZAN UN ALA SIMÉTRICA EN

RÉGIMEN SUPERSÓNICO

En lo que sigue se demuestra la relación entre el resultado avanzado en la ecuación (73). Mediante la ecuación (65) se puede relacionar la forma del ala con la distribución de manantiales que se deben emplear para modelizar dicho ala. Para ello se deberá calcular la velocidad vertical que induce una distribución de manantiales plana cualquiera sobre los puntos de la distribución. En particular, tomando una distribución de manantiales de intensidad por unidad de superficie q(xo,yo,0), el potencial de velocidades que induce en un punto P(x,y,z) un

diferencial de superficie de la distribución de manantiales situado en ( ), ,0o ox y , viene dado por

la siguiente expresión

( ) ( )

( ) ( )2 22 2

,1, ,

2o o o o

o o

q x y dx dyd x y z

x x y y z

ϕπ β

= − − − − +

. (80)

Derivando en la expresión del potencial de velocidades se obtiene la velocidad vertical inducida en el punto P

( ) ( )

( ) ( )( )2

2 22 2

,1, ,

2o o o o

o o

q x y zdx dydw x y z

x x y y z

βπ β

= −− − − +

. (81)

Esta expresión muestra que la velocidad inducida por un elemento diferencial de la distribución de manantiales situado en (xo, yo, 0) es nula en todos los puntos del plano z=0 distintos de sí mismo. Es decir

( ) ( ) ( ), , 0 , ,0 d , ,0 0o ox y x y w x y∀ ≠ ⇒ = . (82)

Este es un resultado muy importante porque implica que se puede calcular la velocidad vertical sobre un punto del plano 0z = sin considerar las intensidades del resto de los manantiales. Sólo es necesario conocer la intensidad del manantial situado en el punto en que se calcula la velocidad vertical. Por tanto, hay una relación directa entre la velocidad vertical en un punto del plano 0z = y la intensidad del manantial situado en ese punto. Además, si el resto de los manantiales de la distribución no influyen en la velocidad vertical en el punto P, para calcular dicha velocidad, se puede reemplazar la distribución de intensidades por otra definida como sigue

( ) ( ) [ ] [ ]

( ) [ ] [ ], , en , ,

, 0 en , ,o o o o

o o o o

q x y q x y x x b x b y y a y a

q x y x x b x b y y a y a

= ∈ − + ∈ − +

= ∉ − + ∉ − +

ɶ ∩

ɶ ∪ (83)

donde a y b son las constantes representadas en la Figura 32. Con esta distribución de intensidades se calcula el potencial de velocidades auxiliar, ϕɶ , más fácil de calcular que el

A. Laverón Simavilla Página 49

potencial de velocidades ya que la nueva distribución de singularidades tiene intensidad constante en el dominio de integración y se tiene

( ) ( )

( ) ( )( )2 22 2

,, ,

2o o

So o

q x y dx dyx y z

x x y y z

ϕπ β

= −− − − +

∫∫ɶ , (84)

dónde S es la superficie del ala que se encuentra dentro del cono de Mach anterior del punto P como se muestra en la Figura 32.

Figura 32. Superficie de integración para el cálculo de ϕɶ

La integral (84) puede resolverse integrando en bandas paralelas al eje y como se muestra en la Figura 33.

Figura 33. Integración en bandas paralelas al eje y.

Para puntos tales que 0z ≥ se tiene

A. Laverón Simavilla Página 50

( )( )

( )2

22 2 2 2( )1

d( , , ) , d

( )

x x z y y xo o o

oo

o ox x b y y xo o o

yx y z A x y x

x x y y z

β

ϕβ β

= − =

+

= − =

=

− − − − ∫ ∫ɶ . (85)

Se hace notar que la condición 0z ≥ se ha empleado al escribir el límite superior en xo.

La integral en oy se calcula como sigue

( )

( )

( )2

22 2 2 2( )1

( ) 12 2 2 2

2 22( ) 11

2 2 2

d

( )

d( ) d π1 1 .

11( )

y y xo o

o

o oy y xo o

oy y xo o

o

oy y xo o

o

y

x x y y z

y

x x z

y y

x x z

β β

β

β ηβ β βηβ

β

=

=

=

= −

=− − − −

− − = = =

−−−

− −

∫

∫ ∫

(86)

Dónde

( )

( )2 2 2

o

o

y y

x x z

βη

β

−=

− −. (87)

Obsérvese que y1 e y2 están sobre la hipérbola

( ) ( )2 22 2o ox x y y zβ − = − + , (88)

y, por tanto, para ( )2o oy y x= , 1η = y para ( )1o oy y x= , 1η = − .

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ,( , , ) d

2 2

,2

,.

2

x z

o

x b

q x y q x yx y z x x z x b

q x yx z x b

q x yb z

β

ϕ ββ β

ββ

ββ

−+

−

= − = − − − − =

= − − − − =

= − −

∫ɶ

(89)

De dónde se obtiene finalmente

( )1 ,2q x y

z z

ϕ ϕ∂ ∂= =

∂ ∂ɶ

. (90)

En definitiva, el manantial que se debe colocar en el punto ( ), ,0x y + para que la velocidad

vertical en dicho punto sea ( ), ,0w x y + debe ser tal que

A. Laverón Simavilla Página 51

( ) ( ), 2 , ,0q x y w x y += , (91)

y empleando la condición de contorno sobre el ala, ecuación (65), se obtiene la relación entre la intensidad de los manantiales sobre la forma en planta del ala, FP, y la forma del ala

( ) ( ), 2 , para , FPeq x y U x y x yλ∞= ∈ . (92)

10. MODELIZACIÓN DE ALAS NO SIMÉTRICAS MEDIANTE DISTRIBUCIONES DE MANANTIALES

En este apartado se va a explicar cómo se pueden resolver alas no simétricas mediante distribuciones de manantiales sobre el plano del ala, z=0. La ventaja de esta formulación es que proporciona la solución del problema directo para alas antisimétricas. De esta forma, el problema antisimétrico estaría resuelto simplemente resolviendo integrales, sin necesidad de resolver ecuaciones integrales; el problema inverso mediante la formulación con distribuciones de torbellinos (ecuación (77)) o dobletes (ecuación (78)) y el problema directo mediante

distribuciones de manantiales, Para ello se resuelve el extradós del ala, ( ), ,0x yϕ + , integrando

los manantiales sobre una superficie, S, que es la superficie sobre la que hay velocidad vertical, y que no tiene porqué ser la superficie del ala, dentro del cono de Mach anterior con vértice en

( ), ,0x y + . Los problemas deben descomponerse en su parte simétrica y antisimétrica ya que

cada uno de estos problemas se resuelve de distinta manera. A continuación se analizan las superficies de integración para los distintos casos.

A. PROBLEMA SIMÉTRICO

En el caso del problema simétrico se puede asegurar que la distribución de manantiales fuera del ala será de intensidad nula. Esto es así ya que por la simetría del problema debe ser w x,y,z( )= −w x,y,−z( ), pero como la solución fuera del ala debe ser continua no hay otra posibilidad más que w x,y,z( )= 0 para x,y ∉ FP .

En este caso la distribución de manantiales que afectan al punto P es conocida y se puede calcular el potencial de velocidades integrando una distribución de manantiales conocida a una superficie también conocida, la superficie del ala dentro del cono de Mach anterior, S. La velocidad horizontal sobre dicho punto se obtiene mediante la fórmula de Evvard, derivando la expresión del potencial de velocidades respecto a la variable x para calcular la velocidad horizontal de perturbación, u. (Ver Anexo 1). La Figura 34 muestra el dominio de integración S.

( )( )

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ), ,0 d1( , , )

π ( ) ( )

( , ,0 )d d

1 .

π ( )

yBba o o o

y ba o oA

o oo o

o

S o o

w x y y yu x y z

x x y y y z

w x yx y

x

x x y y z

β β

β β

+

+

= −− − − −

∂

∂−

− − − −

∫

∫∫

(93)

A. Laverón Simavilla Página 52

M∞

Figura 34. Dominio de integración para la fórmula de Evvard.

B. PROBLEMA ANTISIMÉTRICO

Para un punto P influido por bordes subsónicos la distribución de manantiales que afectan a P no es conocida fuera del ala y para poder calcular la velocidad de perturbación horizontal sobre dicho punto será necesario imponer condiciones adicionales que permiten resolver el problema en diferentes casos: borde de ataque y borde de salida.

I. PUNTOS INFLUIDOS POR BORDES DE ATAQUE SUPERSÓNICOS

En este caso, de todos los puntos del plano z=0 que se encuentran dentro del cono de Mach anterior, sólo los puntos sobre sla forma en planta del ala tienen una velocidad vertical de perturbación no nula. Como ya se vió anteriormente, los puntos que se encuentran aguas arriba del barde de ataque supersónico no están perturbados. Por ello, al igual que en el caso simétrico, es conocida la distribución de velocidades verticales de perturbación al ser conocida la forma del ala:

( ) ( )( ), 2 , para , FP

, 0 para , FP

eq x y U x y x y

q x y x y

λ∞= ∈

= ∉

La velocidad de perturbación, u, puede calcularse por tanto mediante la fórmula de Evvard, (ver Anexo 1. Fórmula de Evvard) mediante la ecuación (33).

II. PUNTOS INFLUIDOS POR BORDES DE ATAQUE SUBSÓNICOS.

En este caso debido a la antisimetría del problema se debe cumplir ϕ x,y,z( )= −ϕ x,y,−z( ), pero como la solución fuera del ala debe ser continua hasta el borde de ataque no hay otra posibilidad más que ϕ x,y,z( )= 0 para x,y ∉ FP . Empleando esta condición se obtiene la fórmula de Evvard-Krasilshchikova (Anexo 2).

Mediante la fórmula de Evvard-Krasilshchikova se comprueba que en el cálculo del potencial de velocidades sobre un punto, P, del ala, el efecto de las singularidades situadas fuera del ala (de intensidad desconocida) se compensa con el efecto de las singularidades situadas en una determinada zona del ala. Por ello se puede calcular el potencial de velocidades de perturbación aunque no se conozca la intensidad de los manantiales situados fuera del ala.

A. Laverón Simavilla Página 53

U∞

( ), , 0B BB x y

Figura 35. Puntos del extradós influidos por bordes de ataque subsónicos.

Imponiendo que ϕ xB , yB ,0+( )= 0 , como se ve en la Figura 35, se demuestra que la influencia

en P de los manantiales de la zona rayada en rojo en la figura, se compensa con el efecto de los manantiales de la zona rayada en verde en la figura. Por lo que el potencial de velocidades en el punto P viene dado por la ecuación

( ) ( )

( ) ( )2 22 2

,, , d de o o

o o

So o

x yUx y z x y

x x y y z

λϕ

π β

∞= − − − − +

∫∫ (94)

Siendo S la superficie delimitada por PBB’A. El segmento BB’, característica reflejada, es paralelo a la característica PA.

Para calcular la distribución del coeficiente de presión sobre el ala (Anexo 3) es necesario derivar la ecuación (94) teniendo en cuenta que los límites del área de integración varían con la variable, x, respecto a la que se deriva. Finalmente se obtiene la expresión para la velocidad de perturbación en la dirección del eje x

2 2 2S

B'

2 2 2

A

2 2 2

B'

( , ,0 )d d

π ( , ,0 )( ) ( )

( ( ), ,0 )d

( ( )) ( )

( ( ), ,0 )d (1 )

( ( )) ( )

o oo o

o

o o

y

ba o o o

ba o oy

o cr o o o

cr o oy

w x yx y

xu x y

x x y y

w x y y y

x x y y y

x w x y y y

x x x y y y

β

β

β

+

+

+

+

∂

∂= −

− − −

− −− − −

∆− −

∆ − − −

∫∫

∫B

.

y

∫

(95)

A. Laverón Simavilla Página 54

El primer término es una integral sobre la superficie en la que se encuentran los manantiales que perturban el punto P, que como se vió anteriormente es el área PBB’A. El segundo término es una integral de línea a lo largo del segmento de borde de ataque supersónico AB’. El tercer término es una integral de línea a lo largo de la característica reflejada BB’, este último término se halla multiplicado por un factor

1 ox

x

∆ − ∆

(96)

Este factor tiene una expresión sencilla en el caso en que 2M ∞ = , ya que de la Figura 36 se

comprueba

1 tanox

xβ γ

∆= ⇒ =

∆, (97)

donde γ es el ángulo que forma la característica reflejada con el borde de ataque subsónico.

De forma análoga, a partir de la Figura 36 se obtiene una expresión sencilla para (96) si la característica se refleja en un borde marginal ya que

1ox

x

∆=

∆, (98)

por lo que no es necesario calcular la integral a lo largo de la característica reflejada, al ser nulo el factor por el que hay que multiplicarla.

En cualquier caso, se puede resolver fácilmente el problema reescalando el ala en la dirección del eje y como se muestra en la Figura 36, ya que de esta forma se obtiene una configuración en que las características reflejadas forman un ángulo recto con las características, como en el caso

2M ∞ = . Se puede resolver el problema reescalado fácilmente, y posteriormente deshacer el

cambio de variable en y para volver a las variables físicas del problema.

A. Laverón Simavilla Página 55

Figura 36. Características reflejadas para distintos valores del número de Mach al

variar la posición del punto P una magnitud x∆

III. PUNTOS INFLUIDOS POR BORDES DE SALIDA SUBSÓNICOS.

Este caso se diferencia del borde de ataque subsónico por la influencia de la estela. En la estela no puede imponerse que el potencial de velocidades sea nulo, porque dicho potencial no tiene

por qué ser continuo sobre la estela, en general ( ) ( ), ,0 , ,0estela estela estela estelax y x yϕ ϕ+ −≠ . Se

cumple, sin embargo, la condición de que la velocidad horizontal de perturbación, u, debe ser continua sobre la estela, ya que ésta no puede soportar saltos de presión entre intradós y extradós.

Las condiciones a imponer para simplificar las expresiones del potencial de velocidades y de la velocidad horizontal de perturbación son en este caso:

( ), ,0 0D Dx yϕ + = (99)

( ), , 0 0B Bu x y + = (100)

De la primera condición, ecuación (99), se deduce (Evvard-Krasilshchikova) que el potencial de velocidades producido por los manantiales situados en la zona rayada en rojo de la Figura 37 se compensa con el potencial de velocidades que producen en el punto P los manantiales de la zona rayada en azul de la misma figura.

De la segunda condición, ecuación (100), se demuestra que los manantiales situados en la zona

de la Figura 37 rayada en morado no influyen en el cálculo de u xP , yP ,0+( ). Además, al ser D

un punto sobre un borde marginal, la integral de línea extendida a la característica reflejada, que surgiría al derivar el potencial de velocidades respecto a la variable x para calcular la velocidad

de perturbación u xP , yP ,0+( ), no hay que calcularla al estar multiplicada por un factor nulo.

B

M∞ ≠ 2

M∞ = 2

B1

∆xo ∆x γ

π/4

tan−1(1/β)

xo,x

yo,y

xo,x

βyo,βy b)

a)

A. Laverón Simavilla Página 56

P(x,y,0)

U∞

A

B

B’

D

Figura 37. Punto del ala influido por un borde de salida subsónico.

Finalmente la expresión para el cálculo de la velocidad de perturbación u xP , yP ,0+( ) para un

punto afectado por un borde de salida subsónico es (Anexo 4)

2 2 2

2 2 2'

( , ,0)d d

π ( , ,0 )( ) ( )

( ( ), ,0)d .

( ( )) ( )

o oo o

o

o oS

ba o o o

ba o oAB

w x yx y

xu x y

x x y y

w x y y y

x x y y y

β

β

+

∂

∂− = +

− − −

+− − −

∫∫

∫ (101)

Siendo S la superficie PBB’A, y la integral de línea está extendida al segmento AB’ del borde de ataque. Esta expresión es más sencilla que la de puntos influidos por bordes de ataque subsónicos, al no tener el término de la integral de línea sobre la característica reflejada.

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 57

11. ANEXO 1. FÓRMULA DE EVVARD

Consideremos un punto P(x,y,z) cuyo cono de Mach anterior corta al plano z = 0 en la rama de hipérbola representada en la Figura 38. Para calcular el potencial de perturbación en P superponemos el efecto de los manantiales (de intensidades conocidas) situados en xo,yo,0 (zona

sombreada de la Figura 38).

2 2 2 2 2

( , ,0 )d d1( , , )

π ( ) ( )

o o o o

o o

w x y x yx y z

x x y y z

ϕβ β

+

= −− − − −

∫∫ (102)(2.3)

Figura 38. Problema sustentador influido por borde de ataque exclusivamente supersónico. La zona rayada es un dominio de integración típico.

Antes de derivar respecto a x para calcular u(x,y,z), conviene integrar por partes con el fin de “disminuir la gravedad de la singularidad”. Empezamos descomponiendo la integral como si fuéramos a integrar en bandas paralelas al eje x.

( )B 2 2

2( )A 2 2 2 2

( , , 0 )d( )

π ( , , ) d( )

1( )

oy y o ox x yo o cm o

oo

oy y x x yo o ba o

o

x xw x y

y y zx y z y

x x

y y z

βϕ

β β

+= =

= =

− − + − = − −

− − +

∫ ∫

(103)

yA e yB son las coordenadas de los puntos A y B respectivamente. xba(yo) es la abcisa del borde

de ataque y xcm(yo) la de la intersección del cono de Mach con el plano z = 0. Ahora es cuando

integramos por partes la integral en xo.

U∞

xo,x

yo,y

A

a

b

B

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( ) 2 2

2( )

2 2 2 2

( , ,0 )d( )

( )1

( )

oo ox x yo cm o

o

ox x yo ba o

o

x xw x y

y y z

x x

y y z

β

β β

+=

=

− − + =−

−− +

∫

( )( )

( )( )

( , ,0 )( , ,0 ) ln ( , ) ln ( , )d

x x yo cm ox x yo cm o o o

o o o o o o ox x yo ba o o

x x yo ba o

w x yw x y f x y f x y x

x

= +=+

==

∂= −

∂∫ (104)

donde

f x yx x

y y z

x x

y y zo o

o

o

o

o

( , )( )

( )

( )=

−

− ++

−

− +−

β β β2 2

2

2 2 2 21

Observando que ln(f (xcm(yo),yo)) = 0 (hay que recordar la ecuación del cono de Mach), la

ecuación (103) se convierte en la siguiente:

( ) ( )B

A

( , , 0 )π ( , , ) ( ), , 0 ln ( ), d ln ( , )d d

y yo

o oba o o ba o o o o o o o

oy yo

w x yx y z w x y y f x y y y f x y x y

xϕ

=+

+

=

∂− = +

∂∫ ∫∫ (105)

Obsérvese que en la integral de superficie xo e yo son independientes. Sin embargo, en la

integral de línea respecto a yo, que está calculada a lo largo del borde de ataque, xba es función

de yo.

Para derivar (105) respecto a x y obtener la componente de la velocidad horizontal de perturbación, u, hay que tener en cuenta que el dominio de integración depende de x

∆x

P P1

B1

B

A

A1

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[ ]

0

π ( , , ) π ( , , )π ( , , ) l im

x

x x y z x y zu x y z

x

ϕ ϕ∆ →

− +∆ − −− = =

∆

0

S+A ABB1 1

1lim ( , ,0 )ln ( , , ; , )d do o o o o ox o

wx y f x x y z x y x y

x x+

∆ →

∂= +∆ +∆ ∂

∫∫

B1

A1

( ( ) , ,0 )ln ( , , ; ( ), )d

y

ba o o ba o o o

y

w x y y f x x y z x y y y++ +∆ −∫

S

( , ,0 )ln ( , , ; , )d do o o o o oo

wx y f x y z x y x y

x+∂− −

∂∫

B

A

( ( ), ,0 )ln ( , , ; ( ) , )d

y

ba o o ba o o o

y

w x y y f x y z x y y y+

− =

∫

0

S

ln ( , , ; , ) ln ( , , ; , )( , ,0 ) l im d do o o oo o o o

xo

f x x y z x y f x y z x ywx y x y

x x+

∆ →

+∆ −∂= +∂ ∆∫∫

B

0

A

ln ( , , ; ( ) , ) ln ( , , ; ( ) , )( ( ) , ,0 ) lim d

y

ba o o ba o oba o o o

xy

f x x y z x y y f x y z x y yw x y y y

x+

∆ →

+∆ −+ +

∆∫

0

A ABB1 1

1lim ( , ,0 )ln ( , , ; , )d do o o o o ox o

wx y f x x y z x y x y

x x+

∆ →

∂+ +∆ +

∆ ∂∫∫

A

A1

( ( ) , ,0 )ln ( , , ; ( ) , )d

y

ba o o ba o o o

y

w x y y f x x y z x y y y++ +∆ +∫

B1

B

( ( ) , ,0 )ln ( , , ; ( ) , )d

y

ba o o ba o o o

y

w x y y f x x y z x y y y+

+ +∆

∫

Para conocer el orden de magnitud de la integral de superficie sobre A1ABB1 se estima el valor del integrando sobre el cono de Mach con vértice en (x,y,z):

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 60

2

2 2 2 2ln ( , , ; , ) ln 1

( ) ( )

o oo o

o o

x x x x x xf x x y z x y

y y z y y zβ β

+∆ − +∆ − +∆ = + − − + − +

∼

2

ln 1 1 1( ) ( )o o

x xx

y y z y y zβ β β β

∆ ∆ + + + − ∆ − + − +

∼ ∼

y sobre el cono de Mach con vértice en (x+∆x,y,z)

ln ( , , ; , ) 0o of x x y z x y+∆ =

De esta manera se obtiene que

A ABB1 1

1 ( , ,0 )ln ( , , ; )d do o o o o oo

wx y f x x y z x y x y

x x+∂ +∆

∆ ∂∫∫ ∼

1 ( )B Ao

wx x y y x

x x∂⋅ ⋅ ∆ ⋅∆ ⋅ − ∆

∆ ∂∼ ∼

Con más razón serán despreciables las integrales de línea sobre el borde de ataque (BB1 y A1A).

Finalmente:

( )( ) ( )

B

2 22 2 2 2 2 2 2 2

A

( , , 0 )d d( ), , 0 d1 1

( , , )π π( ) ( ) ( )

o oyo o

ba o o o o

ba o o o oy

w x yx yw x y y y x

u x y z

x x y y y z x x y y zβ β β β

+

+∂

∂= − −

− − − − − − − −∫ ∫∫

(106)

En muchos casos de interés w es independiente de xo y desaparece la integral de superficie. Tal

ocurre, por ejemplo, cuando el ala está formada por planos.

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12. ANEXO 2. FÓRMULA DE EVVARD- KRASILSHCHIKOVA

En el caso de un borde de ataque parcialmente subsónico para un problema antisimétrico, Evvard (1950) y Krasilshchikova (1961) comprobaron matemáticamente que los manantiales que representan las velocidades verticales en el plano del ala fuera del ala tienen un valor y signo apropiado para que su efecto sobre el ala cancele el de parte de los manantiales existentes sobre el ala.

Por ejemplo, si el ala es una placa plana con ángulo de ataque positivo, la velocidad vertical sobre ella será negativa. En cambio, debido al paso de la corriente de intradós a extradós, en la zona perturbada delante de los bordes de ataque subsónicos la velocidad vertical es positiva. Demostraremos que el efecto de los manantiales que hay que situar en el plano del ala fuera del ala para representar estas velocidades verticales positivas se contrarresta con el de una parte de los sumideros situados en el ala que se podrá delimitar perfectamente.

Intentemos calcular el potencial de perturbación, ϕ, en el punto P del extradós del ala sustentadora, y de espesor nulo, de la Figura 39. De acuerdo con la ecuación (102) particularizada para el punto efecto xP,yP,0 :

P P2 2 2

P PPAB'OCBP

( , , 0)d d1( , , 0 )

π ( ) ( )

o o o o

o o

w x y x yx y

x x y yϕ

β

+ = −− − −∫∫ (107)

donde PAB′OCBP es el contorno del dominio de integración.

Figura 39. Dominio de integración para aplicar el método de Evvard-Krasilshchikova.

En lo sucesivo utilizaremos coordenadas características centradas en el punto O, borde de ataque sónico. El paso de unas a otras coordenadas está definido como sigue:

x – βy = r x + βy = s

xo – βyo = ro xo + βyo = so

( , ) 1

( , ) 2o o

o o

x y

r s β∂

=∂

xo,x U∞

yo,y

ro,r

so,s

C

A

B’

P O

B

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 62

En función de las nuevas coordenadas

P PP PPAB'OCBP

( , , 0)d d1( , , 0 )

2π ( )( )o o o o

o o

w r s r sr s

r r s sϕ

β+ = −

− −∫∫ (108)

Ordenando el integrando como si fuéramos a integrar en bandas paralelas al eje s tenemos

P P

P PP P

ABB

( , , 0)d d1( , , 0 )

2π

r r s so o

o o o o

o or r so o

w r s s rr s

s s r rϕ

β

= =

+

= ′=

= − − − −

∫ ∫

B P

P P0 B O

( , , 0)d d1

2π

r r s so o

o o o o

o or so o

w r s s r

s s r rβ

= =

= ′=

− − −

∫ ∫ (109)

El término entre corchetes de (109) está dividido en dos sumandos. El primero corresponde a la integración sobre el dominio PAB′BP, extendida a manantiales conocidos. El segundo corresponde a la integración sobre B′OCB, extendida en parte a manantiales conocidos (los de B′OB) y en parte a manantiales desconocidos (los de OCB).

Vamos a demostrar que el efecto de los manantiales en OCB contrarresta al de los sumideros en B′OB.

Parecería lógico empezar intentando escribir una ecuación que permitiera calcular la intensidad de cada manantial desconocido de OCB en función de las de otros situados corriente arriba, unos en el ala y otros delante del borde de ataque subsónico. La idea física que expresaríamos matemáticamente sería que en puntos sobre OCB ϕ debe ser nula, por ser antisimétrica y continua.

Lo verdaderamente sorprendente es que basta expresar que ϕ es nulo en un solo punto (el punto B) para comprobar que el efecto de B′OB se anula con el de OCB a la hora de calcular el

potencial en cualquier punto situado a lo largo de la recta BP .

Expresando que ϕ(xB,,yB,0+) es nulo

B P

B BP B0 B'O

( , , 0)d d1( , , 0 ) 0

2π

r r s so o

o o o o

o or so o

w r s s rx y

s s r rϕ

β

= =

+

= =

= − = − −

∫ ∫ (110)

Obsérvese que hemos tenido en cuenta que sB = sP en la última expresión

Suponemos integrada la integral que está dentro del corchete en la expresión (110) y escribimos

P

PB'O

( , ,0)d( )

s so

o o oo

oso

w r s sF r

s s

=

=

=−∫ (111)

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 63

La dependencia de la integral (111) con ro procede no sólo del numerador del integrando sino

del límite inferior de integración. Hay que observar que F(ro) es continua. Sin embargo, el

integrando de (111) presenta singularidades, integrables, en el borde subsónico, OB, y en so =

sP y por tanto no se puede extender a la velocidad el razonamiento que se va a hacer a

continuación para la función F(ro) y extraer la conclusión de que w(ro,so,0) = 0.

Sustituyendo (111) en (110) tenemos la siguiente ecuación integral (de Abel) para calcular F(ro)

B

B0

( )d0

r ro

o o

oro

F r r

r r

=

=

=−∫ (112)

La solución de la ecuación integral para la función continua Φ(τ)

0

( )( )

( )

td

f tt ατ τ

τ

Φ=

−∫

es:

1

0

sin π d ( )d( )

π d ( )

tf

tt t α

α τ τ

τ −Φ =

−∫

ver p.e. Courant & Hilbert, Vol 1, pag. 532.

La solución de (112) es F(ro) = 0. No se puede ahora deducir además de (111) lo mismo para

w(ro,so,0) porque esta función es discontinua en el borde de ataque subsónico y no podemos

aplicar, por tanto, la expresión anterior.

Llevando el resultado obtenido a (109) desaparece el segundo de los términos y, por tanto, para calcular ϕ en P basta extender la integral al dominio PAB′BP. Los manantiales existentes en OCB contrarrestan a los sumideros en B′OB.

Si la característica PA corta a un borde de ataque subsónico, Figura 40, habrá que reflejarla tantas veces como sea necesario hasta llegar a un borde supersónico. En el caso de la Figura 40.a habrá que extender la integral al dominio PAA′B′BP. En el caso de la Figura 40.b hay que descontar dos veces la zona B′A′D.

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 64

Figura 40. Punto P influido por dos bordes de ataque subsónicos.

En el caso de un ala en delta con los dos bordes subsónicos no se puede aplicar el método de Evvard-Krasilshchikova porque hay infinitas reflexiones.

U∞

A

A’

B

B’ P U∞

A

P

A’

B’

B

D

a) b)

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13. ANEXO 3. BORDE DE ATAQUE PARCIALMENTE SUBSÓNICO

Derivando respecto a x el valor calculado de ϕ tenemos u en el extradós. La del intradós será igual en valor absoluto y de signo contrario.

Si queremos derivar bajo el signo integral una expresión análoga a la (107) pero extendida al dominio AB′ BP nos encontramos con la dificultad de que el dominio de integración depende de la posición del punto efecto P.

Figura 41. Variación del dominio de integración con la posición del punto efecto.

La Figura 41 es la repetición de la 2.6, pero en ella están superpuestos los dominios de integración correspondientes a los puntos efecto P(x,y,0) y P1(x+∆x,y,0). Llamaremos, para

simplificar la escritura:

2 2 2

1( ) ; ( , ,0 )

( ) ( )o o

o o

F x w w x y

x x y yβ

+= =− − −

(113)

[ ]2 2 2

1( ) ; ( ( ), ,0 )

( ) ( )ba ba ba o o

ba o o

F x w w x y y

x x y y yβ

+= =− − −

[ ]2 2 2

1( ) ; ( ( ), ,0 )

( ) ( )cr cr cr o o

cr o o

F x w w x y y

x x y y yβ

+= =− − −

donde el subíndice "ba" se refiere al borde de ataque y el "cr" a la característica reflejada.

Aplicando la fórmula de Evvard-Krasilshchikova para calcular el potencial ϕ en P tenemos:

AB'BP

1( , , 0 ) ( ) d d

π o ox y wF x x yϕ + = − ∫∫ (114)

xo,x U∞

yo,y

ro,r

so,s

C

A1

B’

P1 O

B

B1

P

B’1

A

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 66

Haciendo lo mismo para el punto P1(x+∆x,y,0),

A B' B P1 1 1 1

1( , , 0 ) ( ) d d

π o ox x y wF x x x yϕ ++ ∆ = − + ∆∫∫ (115)

Antes de proceder con el cálculo de las dos últimas expresiones, integramos por partes como se hizo para obtener la fórmula de Evvard. De esta forma, llamando, análogamente a lo que se hizo en el apartado 2.3,

2

( ) 1( ) ( )

o o

o o

x x x xf x

y y y yβ β − −

= + − − −

2( ) ( )

( ) 1( ) ( )ba o ba o

bao o

x x y x x yf x

y y y yβ β − −

= + − − −

2( ) ( )

( ) 1( ) ( )cr o cr o

cro o

x x y x x yf x

y y y yβ β − −

= + − − −

y, teniendo en cuenta que

[ ]( ) ln ( )F x f xx

∂=∂

[ ]( ) ln ( )ba baF x f xx

∂=∂

[ ]( ) ln ( )cr crF x f xx

∂=∂

se obtiene:

B' B

AB'BPA B'

π ( , , 0 ) ln ( ) d ln ( ) d ln ( ) d d

y y

ba ba o cr cr o o oo

y y

wx y w f x y w f x y f x x y

xϕ + ∂

− = + +∂∫ ∫ ∫∫

(116)

B' B1 1

A B'1 1

π ( , , 0 ) ln ( ) d ln ( ) d

y y

ba ba o cr cr o

y y

x x y w f x x y w f x x yϕ +− + ∆ = + ∆ + + ∆ +∫ ∫

A B' B P1 1 1 1

ln ( ) d do oo

wf x x x y

x

∂+ + ∆

∂∫∫ (117)

Hay que notar que no aparecen integrales de línea extendidas a las líneas AP, PB, A1P1 y P1B1 porque sobre ellas ln f = 0, ya que pertenecen a los conos de Mach con vértice en los puntos P y

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P1, respectivamente. Descomponemos el dominio al que está extendida la integral de superficie de la expresión (117) de la forma siguiente.

A B' B P AB'BP A APP BB P P B' B'BB1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + −

El primero de los cuatro dominios que aparecen en el segundo miembro de esta descomposición es común a las integrales de superficie de las expresiones (116) y (117). Los otros tres dominios son bandas cuyo espesor tiende a cero con ∆x.

Estamos ya en condiciones de expresar u(x,y,0+).

0

π ( , ,0 ) π ( , ,0 )π ( , ,0 ) lim

x

x x y x yu x y

x

ϕ ϕ+ ++

∆ →

− + ∆ − − − = =∆

B'

0

A

ln ( ) ln ( )lim d

y

ba baba o

xy

f x x f xw y

x∆ →

+ ∆ −

= +∆

∫

AB'BP

ln ( ) ln ( )d do o

o

w f x x f xx y

x x

∂ + ∆ −+ +

∂ ∆∫∫

B1 B

B' B'1

1 1ln ( ) d ln ( ) d

y y

cr cr o cr cr o

y y

w f x x y w f x yx x

+ + ∆ − +∆ ∆∫ ∫

A APP1 1

1ln ( ) d do o

o

wf x x x y

x x

∂+ + ∆ +∆ ∂∫∫

BB P P1 1

1ln ( ) d do o

o

wf x x x y

x x

∂+ + ∆ −∆ ∂∫∫

B' B'BB1 1

1ln ( ) d do o

o

wf x x x y

x x

∂

− + ∆ ∆ ∂

∫∫ (118)

Si en esta última integral deshiciésemos el proceso de integración por partes tendríamos

B1

B' B'BB1 1 B'1

ln ( )d d ln ( ) d

y

o o cr cr oo

y

wf x x x y w f x x y

x

∂+ ∆ = + ∆ −

∂∫∫ ∫

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B

B' B'BB1 1B'

ln ( ) d ( ) d d

y

cr cr o o o

y

w f x x y wF x x x y− + ∆ + + ∆ −∫ ∫∫

BB 1

B' B1

ln ( ) d ln ( ) d

yy

ba ba o ba ba o

y y

w f x x y w f x x y

′

− + ∆ − + ∆∫ ∫

y sustituyendo en (118) se obtiene, finalmente

B'

0

A

ln ( ) ln ( )π ( , , 0 ) lim d

y

ba baba o

xy

f x x f xu x y w y

x

+

∆ →

+ ∆ −

− = +∆

∫

AB'BP

ln ( ) ln ( )d do o

o

w f x x f xx y

x x

∂ + ∆ −+ +

∂ ∆∫∫

B

B'

ln ( ) ln ( , )d

y

cr crcr o

y

f x x f x yw y

x

+ ∆ −+ −

∆∫

A APP1 1

1ln ( ) d do o

o

wf x x x y

x x

∂+ + ∆ +∆ ∂∫∫

BB P P1 1

1ln ( ) d do o

o

wf x x x y

x x

∂+ + ∆ −∆ ∂∫∫

B' B'BB1 1

1( ) d do owF x x x y

x− + ∆ +∆ ∫∫

BA 1

A B1

1 ln ( )d ln ( )d

yy

ba ba o ba ba o

y y

w f x x y w f x x yx

+ +∆ + +∆ ∆

∫ ∫ (119)

Para estimar el orden de magnitud de la integral de área extendida a A1APP1, ésta puede

evaluarse como la media de los valores del integrando a lo largo de las líneas AP y A1P1, multiplicadas por el ancho de la banda, ∆xo=∆x, y la longitud (y − yA). Consideremos el valor del factor lnf(xo,yo) sobre la línea AP (x − xo = β(y − yo))

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2

ln ( , ) ln 1( ) ( )

o oo o

o o

x x x x x xf x y

y y y yβ β

+ ∆ − + ∆ − = + − = − −

2

ln 1 1 1 ln 1 2( ) ( ) ( )o o o

x x xx

y y y y y yβ β β

∆ ∆ ∆ = + + + − + ≈ ∆ − − −

≃ (120)

Sobre la línea A1P1, que está sobre el cono de Mach (x + ∆x − xo = β(y − yo)), lnf(xo,yo) = 0. Por

lo tanto, ( )3 / 2( )P Ax y y x xϕ ∆ − ∆ ∆∼ ∼ , que al dividir por ∆x tenderá a cero cuando ∆x

tienda a cero. Con más razón, la contribución de las integrales de línea a lo largo del borde de ataque A1A y BB1 tenderán a cero cuando ∆x tiende a cero.

Lo mismo ocurre con la contribución del dominio BB1P1P. A diferencia con lo obtenido en la

fórmula de Evvard, en este caso se refleja la característica en el borde subsónico y aparece el dominio B' B'BB1 1 (correspondiente a la última integral de (119)) cuya contribución a la

integral no es nula, porque en este caso el factor que aparece no es el logaritmo de una cantidad que es la unidad o casi la unidad.

Finalmente, esta última integral de superficie se puede calcular en la forma:

2

B' B'BB B' B1 1 1 1

( ) d d ( ) d 0( )o o o o owF x x x y wF x x y x x

+ ∆ = + ∆ ∆ + ∆

∫∫ ∫ (121)

En el caso de M∞ = 2 , ∆xo = tanγ∆x, cosa que se deduce de la geometría de la Figura 42.b. Dicha figura procede de la Figura 42.a (que representa las proximidades de BB1 en el borde

marginal contrayendo la coordenada y de forma que las características de una y otra familia se

corten en ángulo recto). Para M∞ ≠ 2 la geometría se complica y habrá que calcular ∆xo/∆x en cada caso.

Con los razonamientos anteriores u(x,y,0+) tiene un valor:

B' B

A B'

π ( , , 0 ) ln ( ) d ln ( ) d

y y

ba ba o cr cr o

y y

u x y w f x y w f x yx

+ ∂− = + +

∂∫ ∫

B

2 2 2AB'BP B'

dln ( ) d d

( ( )) ( )

y

o cr oo o

o cr o oy

x w ywf x x y

x x x x x y y yβ

∆∂ ∂+ −

∂ ∂ ∆ − − −∫∫ ∫ (122)

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Figura 42. Construcción geométrica para relacionar ∆xo/∆x con la inclinación del borde de ataque subsónico. Las figuras a y b coinciden en el caso particular M∞

2 = 2. γ es el ángulo que forma la característica de la familia xo − yo = cte con el borde de ataque subsónico

en el punto de intersección de éste con x − xo = −(y − yo).

Tenemos finalmente:

B'

2 2 2 2 2 2AB'BP A

( , , 0 )d d

( ( ), , 0 ) dπ ( , , 0 )

( ) ( ) ( ( )) ( )

o o yo o

o ba o o o

o o ba o oy

w x yx y

x w x y y yu x y

x x y y x x y y yβ β

+

++

∂∂

= − − −− − − − − −∫∫ ∫

B

2 2 2

B'

( ( ), , 0 ) d(1 )

( ( )) ( )

y

o cr o o o

cr o oy

x w x y y y

x x x y y yβ

+∆− −

∆ − − −∫ (123)

Note que en el caso de borde marginal ∆xo/∆x = 1 y la última integral desaparece (independientemente del valor de β).

B

M∞ ≠ 2

M∞ = 2

B1

∆xo ∆x γ

π/4

tan−1(1/β)

xo,x

yo,y

xo,x

βyo,βy b)

a)

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14. ANEXO 4. BORDE DE SALIDA PARCIALMENTE SUBSÓNICO

Cuando en el cálculo de potencial en el punto P aparezcan manantiales situados detrás de un borde de salida subsónico, como ocurre en la Figura 43, hay que modificar ligeramente el procedimiento anterior, porque ϕ no es continuo en la parte situada detrás del borde de salida (debido a los torbellinos que se desprenden) y no es correcto expresar que es nulo.

Figura 43. Dominio de integración en el caso de un borde de salida subsónico.

Imaginemos el ala como si estuviera suplementada mediante una placa metálica, EDB, cuya forma es la apropiada para producir la misma velocidad vertical que habría en la realidad. Nos adelantamos a decir que no es necesario calcular la forma de la placa; es la apropiada y basta.

De acuerdo con lo que hemos dicho al explicar el método de Evvard–Krasilshchikova, el efecto de todos los manantiales situados delante de DD′ sobre puntos de la recta DP es nulo. Podemos por tanto utilizar una expresión análoga a la (123) para calcular u en cualquier punto de dicha recta y, en particular, en los puntos B y P.

Teniendo en cuenta que ED es un “borde marginal”, y por tanto ∆xo/∆x = 1 , tenemos

P P2 2 2

P PAB'D'FDBP

( , , 0)d d

π ( , , 0 )( ) ( )

o oo o

o

o o

w x yx y

xu x y

x x y yβ

+

∂∂

− = +− − −∫∫

2 2 2

P PAB'D'

( ( ), ,0)d

( ( )) ( )

ba o o o

ba o o

w x y y y

x x y y yβ+

− − −∫ (124)

Por razones que luego entenderemos, conviene desdoblar la expresión anterior, separando la contribución de los manantiales situados corriente arriba de la característica BB′, reflejada en el borde de salida, de la contribución de los manantiales situados corriente abajo de dicha característica.

u(xP,yP,0+) = u1(xP,yP,0

+) + u2(xP,yP,0+),

xo,x U∞

yo,y

ro,r

so,s

F

A

D’

P O

E D

B

B’

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 72

donde:

1 P P2 2 2

P PB'D'FDB

( , , 0)d d

π ( , , 0 )( ) ( )

o oo o

o

o o

w x yx y

xu x y

x x y yβ

+

∂∂

− = +− − −∫∫

2 2 2

P PB'D'

( ( ), ,0)d

( ( )) ( )

ba o o o

ba o o

w x y y y

x x y y yβ+

− − −∫ (125)

2 P P2 2 2

P PAB'BP

( , , 0)d d

π ( , , 0 )( ) ( )

o oo o

o

o o

w x yx y

xu x y

x x y yβ

+

∂∂

− = +− − −∫∫

2 2 2

P PAB'

( ( ), ,0)d

( ( )) ( )

ba o o o

ba o o

w x y y y

x x y y yβ+

− − −∫ (126)

Obsérvese que mientras que u1(xP,yP,0+) depende de manantiales sobre el ala (ya conocidos) y

de otros en la estela (desconocidos), u2(xP,yP,0+), depende sólo de manantiales conocidos y se

puede calcular.

Escribiendo u1(xP,yP,0+) en coordenadas características centradas en O tenemos:

B P

1 P PP P

D B'D'

( / )d d2 π ( , , 0 )

r r s so o

o o o

o or r s so o

w x s ru r s

s s r rβ

= =

+

= =

∂ ∂ − = + − −

∫ ∫

B

P PD

( , ( ), 0) d ( ) d1

d( ( ))

r ro

o ba o ba o o

oba o or ro

w r s r s r r

rs s r r r

=

=

+ −

− − ∫ (127)

donde sba = sba(ro) es la ecuación del borde de ataque B'D' .

Introduciendo la función continua F(ro,sP)

P

PP P

B'D'

( , ( ), 0) d ( ) ( / )d( , ) 1

d( )

s so

o ba o ba o o oo

oba o os so

w r s r s r w x sF r s

rs s r s s

=

=

∂ ∂= − +

− − ∫ (128)

podemos escribir (127) como sigue:

BP

1 P PP

D

( , )d2 π ( , , 0 )

r ro

o o

or ro

F r s ru r s

r rβ

=

+

=

− =−∫ (129)

I. da Riva, A. Laverón Simavilla, J.M. Perales, A. Sanz Página 73

Para calcular la contribución de los manantiales en la estela utilizamos el hecho de que ahora la función que es antisimétrica y continua, y por tanto nula en la estela, es u(x,y,0+). En particular, expresando en coordenadas características que u es nula en B (condición de Kutta), obtenemos

BB

B

( , )d0

r ro

o o

or ro

F r s r

r r

=

=

=−∫ (130)

donde el numerador del integrando es la función (128). Note que está definido igual que en (128) y que, además, sP = sB.

Como F(ro,sP) es continua, la ecuación integral de Abel (130) implica que F(ro,sP) = 0. De

acuerdo con (129) u1(rP,sP,0+) = 0, y u(xP,yP,0

+) se reduce a u2 (xP,yP,0+), expresable en función

de manantiales sobre parte del ala.

En resumen, la contribución de los manantiales situados corriente arriba de B´B se anula al calcular la velocidad u a lo largo de la característica que pasa por B y P.

1

�����������������

������������ �������������������������������

������������������������������� ��� ��������������� ��������� �� ����������� ����������������������������� �� ������ �������������!�

0∆Φ = ������"� ��������������������������� ����������� ������ ������������������������������� �����#����������$���� ���������������������������������� ���� ������� ���������� �� ������������������ ���������������������������������������� ������������������������������ %�� ����������&� � ��� ������������ ��������� ��� ��� ������������ ���������������������� ������ �����������������������������������$������������������������ ������������������������'�� ��� �����(����������!�

D

A dxdydz A NdsΣ

∇ ⋅ = − ⋅��� ��� � �

%)&

������ A

����� ������������������������)�������� N

����������������������

*������ A F G G F= ∇ − ∇�

'���������� ���������������������������+��������������������������� ����� ���� 0, 0F G∆ = ∆ = '����� ������ �!�

0A F G F G G F F G∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∆ − ∆ − ∇ ⋅∇ =�

�������� ��������������������,����'���$�%)&'������������

( ) 0F G G F NdsΣ

∇ − ∇ ⋅ =���

%+&

������ ����� ���� �� ����� %��� ��� �������� �� ��� ����������������'�� ����� ������-� ��� ��������&� �� ������� ��� ��������� ��� �����������

������� ��� �� � ���$� .� ����� ��� ���� , mF G= Φ = Φ '� ������ mΦ ��� ���

��������� ,������ ��� �� ������� ��� ,���� ����� ��� ��� ��� �� � ����,�������.��(�������� ���'�� ��������������!�

2

1 log (2D)2

1 (3D)4

m P

mP

x x

x x

π

π

Φ = −

Φ = −−

� ���

� ���

���� �����%+&����������������� ��� ��������� ���������������������

�������� ������������������ m mA = Φ∇Φ − Φ ∇Φ�

������������)$����-'���������

� ,����������/�01�21��∞1��3'��

�������0������� �� ���������� ���'��3���� ��� �� ����������������� �������������������������������%��������� �� ������������ &�����������'�� ����������0����∞'����2���� ��� �� �������� ���� ��%���45&��� ���-� ���%���+5&� ��� ���� 2�� �� �(�� ��� ���� �������� ��� � ����.'���� ���� �� mΦ �� m∇Φ ����

�� �����$����� �����%+&����������� �����(�����������

( ) ( ) ( )1 2

m m m m

S S S S SB W

NdS N dS N dS

ε ε+ + ∞

Φ∇Φ − Φ ∇Φ ⋅ = − Φ∇Φ ⋅ + Φ ∇Φ ⋅�� �� ����� ��� ���

� � �� � � � �� � � �� � � � ��

��� ��� #��� ������ 0, como y ε → Φ ∇Φ � ���� ������ �� ��� �2� �� � � ������'�

( ) ( ), P Px xΦ → Φ ∇Φ → ∇Φ��� ���

��������,��+���������������������-$�������,��)�

P

SB SW

S� N���

N���

N���

N���

N���

N���

S∞

3

������� � ( ) , puesto que la integral P m

S

x NdS

ε

−Φ ∇Φ ⋅����� ���

��� ��� ,���� ��� ������� �

���������2���� �������� ������������,���� ����'��������� �� ����$�6�������������������

( ) ( )P m m

S S SB W

x NdS+ + ∞

Φ = Φ ∇Φ − Φ∇Φ ⋅������

%4&

.�� ��� ���'� �� �� ����� %+&� ����� ������� ������� � �� � �� ����� �0'�������������� #�� ����� ����� ���� ������� ���� � ���'� �� �� �������� ��7���������������8� iΦ '�� ����� ��� 0i∆Φ = $��

6�������� �����.������������������,�������#��� ���(�� ���$������������������������

( ) 0m i i m

SB

NdSΦ ∇Φ − Φ ∇Φ ⋅ =�����

%9&

��� ���� �� ��������#� ������ N

�� ����� �� ����� �(����� � �0'� ��� ��

��������������� �������������� �����%4&$��:��������'������������� �������%4&���%9&��� ���

( ) ( ) ( )( ) +P m i i m

SB

x N N dSΦ = Φ ∇Φ − ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅����� ����

( )

0

+ m m m m

S SW

N N dS N N dS= ∞

Φ∞

� �� �+ Φ ∇Φ ⋅ − Φ∇Φ ⋅ Φ ∇Φ ⋅ − Φ∇Φ ⋅� �� ��� ��

��� ��� ��� ���

� � � ��

� � � � � � � � � � � � �

������������������� /N n∇Φ ⋅ = ∂Φ ∂���

��� ������,����������3'�� ������ ��

/ n∂Φ ∂ ���������� �����������3��� N�������������������� �����������������

����3$�.��������'���#��������� Px → ∞�'�������,���������∞��������!�

( ) = cos sinU x zα α∞ ∞Φ + $� 6��� ����� ����� ��� �������� ��� � �� ��� ������� �����

����������������!��

4

( ) ( ) ( ) +iP m i m m

S S SB B WA B C

x dS NdS NdSn n

+ −∞

∂Φ� �∂ΦΦ = − Φ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ Φ� �∂ ∂� ��� �� �������

� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � ��

%;&

������ ��� �� ����,�� �'� �� � �� ����� ��� ��� ����� #�� �� ���� ���� ��

+ −Φ − Φ �����������������������������������$���

���������,���������� ( )S Pm x xΦ −� �

������� Sx������������������������������'�

� �,�� mΦ ���� ��������������������������������������� �������� Px�����

������������ ��� ��� ��� � ���� Sx�$�5�� ���� ��� �� ����,������� � ����

������������� �������� ������������������������� �� ���������� ����

������������� in n

∂Φ∂Φ −∂ ∂ $�����������,������������������������ m N∇Φ ⋅���� ��

� ���������������������������������� �������� Px����� ������������� ���

������� ���� Sx������"���������� ��� ���� �� �������0����3�%�����������&$�

� �,�����������,�������� ������������������������ ����������������������� �,�� ��� �� � �� ����� ���� � ���� �� ��� �� � �� ����� ��� ��������� ���'� ���

�"�N���������������� iΦ − Φ ��� + −Φ − Φ ��������������$�

������������������ ����� 6���������#���� ������ ������������������������������������ ����������������������������������'������������������������� �� ����������������������������������������������!��

����������������� ����� �!� 0n

∂Φ =∂ %<&

������������������ ����� ���� ��������(�������%;&��������������

( )manantiales dobletes dobletes

d d dP m m m

S S SB B W

S N S N Sσ µ + −∞Φ = − Φ − ∇Φ ⋅ − Φ − Φ ∇Φ ⋅ + Φ� � �

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5

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A dxdydz A Nds dsn

∂Φ∇ ⋅ = = ⋅ ∂��� �� ��� � �

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SB

sn

∂Φ =∂��

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6

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21( )

2S P

m PS P

x xx

x xπ−∇Φ =−

cos

2mS P

Nx x

θπ−∇Φ ⋅ =

− ��%�$)&

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( )22

i piP

P SP S

e ef tt tt t

β θβ

ππ

−= =

−− , ( )ang - , eje P P St t xθ =

� �,��������������������������������

( )cos cos( )

2 2P

PS P S P

tt t t tβ θ θ

π π−

Φ = =− − ��������%�$+&

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Problemas de la teoría potencial linealizada de cuerpos esbeltos y de fuerzas transversales sobre cuerpos esbeltos 1. Se considera un cono esbelto de revolución, de semiángulo δ << 1, que se mueve con ángulo

de ataque nulo a través del aire en calma. Calcule, para M∞ = 0.6 y M∞ = 2 : a) El potencial de velocidades de perturbación correspondiente al campo próximo. b) Las componentes de la velocidad sobre la superficie del cono. c) El coeficiente de presión sobre el cono. d) La resistencia aerodinámica de la superficie lateral del cono por unidad de longitud,

obtenida por integración a partir de c). 2. Calcule, utilizando la teoría de los cuerpos esbeltos, la posición del centro de presiones en

cada una de las ojivas siguientes. Todas ellas son axilsimétricas, tienen la misma longitud, l, y radio máximo, R(l). Las funciones R(x) que las representan son:

1) R x R l x

la f a f= cónica

2) R x R l xl

xla f a f e j= −LNMOQP2

2 ojival

3) R x R l xla f a f= parabólica

4) R x R l xl

xla f a f e j= −2

2 elíptica

3. La figura representa un ala esbelta de espesor nulo, cuerda máxima L y envergadura 2b

(b << L) cuyas secciones, al cortar por planos paralelos al XZ son líneas rectas que forman un ángulo α (α << 1) con el eje X, que coincide con la dirección de la corriente incidente. Las secciones por planos paralelos al YZ son arcos de círculo, de forma que el arco de círculo que constituye la sección final tiene una flecha b/2. Se desea calcular la sustentación que se produce sobre el ala. Para ello:

a) Defina el problema cruzado que debe resolver. b) Mediante una transformación de Yukovski calcule el potencial del problema cruzado. c) Calcule las fuerzas que aparecen sobre la configuración.

x

U∞ y

z

α

L bb/2

b

4. Se considera un cuerpo esbelto de revolución, de longitud L, formado por una proa afilada y

una sección final cilíndrica. Por efecto de la incidencia se desprenden torbellinos como los indicados en la figura.

Se desea conocer el incremento de sustentación debido a los torbellinos. Hágase aplicación

al caso de:

y y xLaao

= , z z xLaao

=

yRao

= 0.5 , zRao

= 0 , ΓαU R∞

= 0 08.

donde α es el ángulo de incidencia.

y

R

z

ya

za 5. Se pretende calcular el efecto que produce en tierra el paso de un avión que vuela a

M∞ = 2 y altura h constante. Para calcular el campo lejano se puede suponer el aparato de revolución y con longitud l, con una distribución de áreas:

, ε << 1 , 0 ≤ x ≤ 1 ( ) 2 2 2 33 2S x l x xπ ε ⎡= −⎣

⎤⎦

Calcule y dibuje en forma esquemática la distribución de cp a lo largo de la recta proyección

de la trayectoria sobre el suelo (supuesta la tierra plana). Al esquematizar cp, discuta en qué se distingue del correspondiente a un avión bidimensional que tenga la misma silueta que el considerado. Interesa en particular discutir la expresión para valores grandes de x.

6. Un cuerpo esbelto cuya superficie viene dada por la expresión: r x R x x ko , , sin/θ ε θ ε ε θa f a f e j= = −1 1 2

vuela a ángulo de ataque nulo y velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal. a) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial

de velocidades (sin linealizar).

b) Escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno que gobiernan el potencial de perturbación correspondiente al campo próximo.

c) A la vista de la forma del obstáculo, desarrolle el potencial de perturbación del campo próximo en serie de potencias de ε1/2: ϕ = ϕo + ε1/2ϕ1 + ... Transfiera la condición de contorno a la circunferencia R = x y escriba la ecuación diferencial y las condiciones de contorno para ϕo y ϕ1.

d) Calcule ϕo. Compare con la solución para el cono. e) Calcule ϕ1. Para ello ensaye soluciones del tipo ϕ1(r,θ) = F(θ)/rn. Discuta la influencia de

k. f) Indique cómo calcularía la función g(x). 7. Considere un fuselaje esbelto axilsimétrico que cumple las siguientes especificaciones:

- La longitud total es L. - La variación con el ángulo de ataque, α, del momento de las fuerzas aerodinámicas

respecto al morro, M, vale

2 3 21 18

dM U L K Kd

πρα ∞ ∞= − <<

En estas condiciones: 1) Determine la ley de áreas del cuerpo que cumple las ligaduras anteriores y tiene

resistencia de onda mínima. 2) Calcule los valores del volumen y del área de la sección final de dicho cuerpo.

Esquematice su ley de áreas. 3) Comente la validez de la solución obtenida. 8. Se ha construido un cuerpo esbelto axilsimétrico en dos escalones, sujeto a las siguientes

ligaduras: 1) Longitud total, L. Longitud de cada escalón L/2. 2) Area de la base del primer escalón (zona posterior): A. Area de la base del segundo

escalón (zona anterior): A/2. 3) dR(x)/dx = 0 para x = L/2 y x = L. Para calcular el campo aerodinámico alrededor de dicho cuerpo, se superponen en el eje x

manantiales de acuerdo con la ley:

f xU AKL x La f a f a f= + = +∞4

3 2 1sin sin cosθ θ θ

a) Compruebe que el cuerpo esbelto correspondiente cumple las ligaduras. Para ello,

determine K. b) Esquematice R(x). c) Calcule la resistencia de onda.

d) Compare dicho valor con el del cuerpo óptimo que cumple las ligaduras 1 y 2 (pero no la 3).

e) Compruebe que es posible reducir el valor obtenido en c) cumpliendo las ligaduras 1, 2 y 3.

9. Se desea construir un fuselaje axilsimétrico esbelto macizo de longitud L y densidad

constante cuyo centro de gravedad esté situado a una distancia d = 5L/8 del morro y con S(L) = So.

a) Calcule la distribución de áreas del fuselaje que cumple las ligaduras anteriores y tiene

mínima resistencia de onda. b) Compruebe la validez de la solución obtenida. c) Calcule el volumen de dicho cuerpo y el momento respecto al morro de las fuerzas

aerodinámicas. 10. Se desea construir un misil esbelto, compuesto de un fuselaje axilsimétrico y un ala plana

que cumpla las siguientes especificaciones: 1) La longitud del fuselaje es l y la cuerda del ala l/2, coincidiendo el borde de salida del

ala con la sección final del fuselaje. 2) El ala es de forma en planta rectangular y alargamiento Λ = 0.5, formada por perfiles

simétricos, iguales, de intradós y extradós parabólicos; el espesor máximo se alcanza en el punto medio de la cuerda y vale

τ πmax = 4

32lε

3) El volumen del misil (fuselaje y ala) es V l= 3

82 3πε

y el centro de masas del mismo, supuesto de densidad uniforme, se encuentra a una

distancia 3l/4 del morro. a) Determine la ley de áreas del cuerpo que cumple las ligaduras especificadas en 3) y tenga

resistencia de onda mínima. Esquematice dicha ley de áreas. b) Esquematice la ley de áreas del fuselaje. Calcule el valor de la sección final del mismo. NOTA: Desprecie consistentemente infinitésimos de orden superior.

11. Considere el ala esbelta, plana, cuya forma en planta se indica en la figura, volando a

través del aire en calma, con ángulo de ataque α y velocidad U∞. Determine, en función del

parámetro δ, los valores de los coeficientes de sustentación y de resistencia inducida, la posición del centro de presiones y el valor de la sustentación. 0 ≤ δ ≤ L/10.

¿Qué ocurre cuando δ = 0? y

L/10 δ

L/2

L/2 x 12. Considere el ala cuya geometría se define en la figura, volando con ángulo de ataque nulo

a través del aire en calma en régimen supersónico (M∞ = 2 ). Calcule y represente la ley de áreas a considerar para el cálculo de la resistencia de onda de dicho ala mediante la regla de Hayes en los casos θ = 0, θ = π/2, θ = π/4.

Comente, si las hubiera, las particularidades de las soluciones obtenidas.

y

M∞

δ<<1x c/2

c/2

c

z

13. Considere un ala rectangular volando a ángulo de ataque nulo a M∞ = 2 y provista de

perfiles simétricos iguales a lo largo de la envergadura, dados por la expresión: z x x xe = − < < <ε ε1 03 2a f / , <1 1

en variables adimensionalizadas con la cuerda, c. a) Calcule la resistencia de onda en los casos en que el alargamiento sea Λ = ε y Λ = 1/ε. b) Compare la resistencia por unidad de envergadura en uno y otro caso. NOTA. Desprecie consistentemente infinitésimos de orden superior. 14. Considere un ala de forma en planta triangular y alargamiento Λ = 1, tal como se indica en

la figura A. Las secciones del ala al cortar por planos x = cte son rombos (figura B) cuyo espesor máximo sigue la ley

τ ε ξ ξ ξx l x

la f b g= −43 2 22 1 2 3 2/ / =

a) Esquematice la ley de áreas del cuerpo de revolución equivalente, de acuerdo con el

principio de Oswatitsch-Keune. b) Calcule la resistencia de onda de dicho cuerpo. c) Esquematice las leyes de áreas a considerar en el cálculo de la resistencia mediante la

regla de Hayes (M∞ = 2 ) en los casos θ = 0 y θ = π/2. Aproxime las intersecciones del ala con los distintos planos por polígonos.

b(x)

τ(x) y

z

l/4

l

y

x l/4

A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero

COMENTARIOS SOBRE ALAS ESBELTAS La teoría de ala esbeltas expuesta es válida para alas de pequeño alargamiento que vuelan a ángulos de ataque pequeños. No es de esperar por tanto que los resultados que proporciona esta teoría sean correctos si falla alguno de los condicionantes señalados. Por ejemplo, en la figura 4.18 se muestra la variación con el ángulo de ataque del coeficiente de sustentación y del coeficiente de momento respecto al vértice de un ala delta de alargamiento Λ = 0.75 medida en régimen supersónico a número de Mach M∞ = 1.75. Hay que decir que el ala tiene intradós plano pero también cierto espesor, lo que implica también cierto efecto de curvatura en los cortes del ala por planos x = constante, razón por la cual, para ajustar mejor a los datos experimentales, las rectas del coeficiente de sustentación y del coeficiente de momento no pasan por el origen y aparecen en el grafico levemente desplazadas. El acuerdo entre teoría y experimentos es bastante bueno en el intervalo de ángulos de ataque considerado, si bien se observa que para |α| > 1.5º (0.03 radianes), las diferencias empiezan a ser apreciables. El intervalo de validez es limitado, estando en 5º ó 7º el límite superior del ángulo de ataque para el que la aproximación teórica es aceptable. Fig. 4.18. Variación con el ángulo de ataque, a, del coeficiente de sustentación, cL, y del coeficiente de momento, cMy, de un ala esbelta plana de forma en planta triangular (ala delta). De Jones (1946). Respecto a la influencia del alargamiento, el rango de validez de los resultados teóricos queda claramente expuesto en la figura 4.20, donde se comparan datos experimentales relativos a la dependencia de la pendiente de la curva de coeficiente de sustentación del ala con el alargamiento, con la predicción de la teoría de alas esbeltas, dcL/dα = πΛ/2. Como se puede apreciar el acuerdo entre teoría potencial y resultados medidos en túnel es excelente hasta valores de la esbeltez de orden unidad, pero las discrepancias resultan demasiado grandes para valores de la esbeltez mayores (para Λ = 2 la predicción teórica es casi un 50% superior a los resultados experimentales).

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

-2 -1 0 1 2α [º]

cMy

cL

Fig. 4.20. Variación con la esbeltez, Λ, de la pendiente de la curva de sustentación, dcL/dα, de alas esbeltas planas de forma en planta triangular. La línea continua corresponde expresión, dcL/dα = πΛ/2, los símbolos representan resultados experimentales de dos fuentes distintas y la línea de trazos la curva de ajuste de los datos experimentales. Los datos experimentales son de Ashley & Landahl (1985). Finalmente en las figuras 4.22, 4.23 y 4.24 se presentan los resultados medidos en el túnel A9 de IDR/UPM con un ala esbelta como la definida en la figura 4.21. Para estos ensayos se ha empleado el método de las imágenes, de modo que en realidad sólo se ensaya media ala montada perpendicularmente a una placa plana de forma circular que actúa como superficie aerodinámicamente especular. Ala y chapa especular están separadas de la pared del túnel para evitar que la capa límite de este incida sobre el ala, Entre la chapa especular y le pared del túnel existe un cuerpo carenado que permite que el ala, articulada a la chapa especular en el morro, se pueda ocultar en el cuerpo carenado, variando así la porción de ala expuesta a la corriente, definida por el ángulo θm (o por la flecha del borde de ataque, σ = π/2 – θm), y por tanto su envergadura. Las tomas están

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A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero

dispuestas a lo largo de tres arcos de circunferencia con centro en el morro del ala, cuyos radios valen 0.50L, 0.65L y 0.80L, con L = 0.5 m. La separación angular entre dos tomas adyacentes en un mismo arco es ∆θ = 40/26 grados (1.5385º) o un múltiplo de este ángulo. Se han ensayado tres alas con flechas diferentes, correspondientes a los valores σ = 60º (θm = 30º), σ = 50º (θm = 40º), y σ = 40º (θm = 50º), que equivalen a valores de la esbeltez de 1.91, 2.37 y 2.69, respectivamente, habiéndose medido las distribuciones de presión sobre extradós e intradós de cada ala para valores del ángulo de ataque de 0º a 20º en incrementos de 2º. Fig. 4.21. Definición del modelo de ala empleado en los ensayos de medida del coeficiente de presión en el túnel A9 de IDR/UPM. La línea A-A´ representa el plano especular. Las tomas están dispuestas sobre arcos de circunferencia en los radios indicados, equiespaciadas angularmente. Para comparar los coeficientes de presión medidos con los que proporciona la teoría potencial linealizada de alas esbeltas es preciso considerar que aquí sí se deben retener los términos cuadráticos en la expresión del coeficiente de presión al calcular éste, que se cancelan en el cálculo del coeficiente de sustentación; calculando la velocidad conjugada en cada plano x = constante se tiene

2 2

d ( ) i id ( )Cf t tv w Ut b x t

α ∞

⎛ ⎞⎜= − =⎜ −⎝ ⎠∓ ⎟

⎟, (4.1)

de modo que sobre el ala es

2

,( )

c c yw U v Uz y b x y2

ϕ ϕα α∞ ∞

∂ ∂= = − = =

∂ ∂ −∓ , (4.2)

y así, el coeficiente de presión sobre el ala vale

2

222 2

d ( )( )d( , ) 2 1

( )( )p

b xb x yxc x yb x yb x y

α α⎛ ⎞

= + +⎜−− ⎝ ⎠

∓ 2 ⎟ . (4.3)

Según se puede apreciar en las figuras 4.22, 4.23 y 4.24, el acuerdo entre los resultados teóricos y experimentales es bueno si el ángulo de ataque es pequeño, independientemente de la flecha del ala, siendo mejor la concordancia entre teoría y experimentos en el extradós del ala que en el intradós. Ello es debido a que en cada sección x = constante del extradós del ala aparece un pico de succión a lo largo del borde de ataque mientras que en el intradós lo que se tiene es un punto de remanso. Obviamente para alas como las ensayadas, donde db(x)/dx es constante, la expresión (4.3) indica que en términos de la variable y/b(x) (en cierto sentido equivalente a la variable θ/θm empleada para representar los resultados medidos) los resultados teóricos no dependen de la sección x considerada. Ciertamente esto es no es así en los resultados experimentales, donde se observa una dependencia de los valores de los coeficientes de presión con la distancia al vértice del ala, debida sin duda a los cada vez más importantes efectos asociados al crecimiento de la capa límite. Es importante observar que conforme aumenta el ángulo de ataque la solución experimental cerca del borde de ataque se modifica debido a la formación del torbellino característico de estas alas a ángulos de ataque elevados. Esto se manifiesta en las medidas por la presencia de una zona próxima al borde donde el coeficiente de presión en vez de crecer se mantiene constante o incluso disminuye muy cerca del borde del ala. El torbellino aparece para ángulos de ataque tanto menores cuanto mayor es la flecha

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A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero

(alas más esbeltas). Como el torbellino va creciendo en tamaño con la distancia al vértice del ala, a la par que su núcleo se va separando del extradós del ala, es lógico que para alas más esbeltas (figura

4.22) las cargas de presión sean más intensas y repartidas en una zona menor cuanto más cerca se esté del vértice del ala; es ilustrativo comparar el comportamiento que muestran los datos experimentales correspondientes al extradós en la figura 4.22 para α = 12º y α = 16º: el torbellino ha ido creciendo en intensidad como era de esperar, y la intensidad del pico de succión aumenta con el ángulo de ataque. Fig. 4.22. Distribuciones de coeficiente de presión, cp, medidas a lo largo de arcos de circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós de un ala con forma de sector circular tal como la representada en la figura 4.21. Los resultados corresponden a un ala de flecha σ = 60º y alargamiento Λ = 1.91; los símbolos identifican el radio del arco de circunferencia donde están dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a los resultados de la teoría potencial linealizada de alas esbeltas (expresión (4.3)) Fig. 4.23. Distribuciones de coeficiente de presión, cp, medidas a lo largo de arcos de circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós de un ala con forma de sector circular tal como la representada en la figura 4.21. Los resultados corresponden a un ala de flecha σ = 50º y alargamiento Λ = 2.37; los símbolos identifican el radio del arco de circunferencia donde están dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a los resultados de la teoría potencial linealizada de alas esbeltas (expresión (4.3)). Al disminuir la flecha la aparición del torbellino de borde de ataque se retrasa, aparece para ángulos de ataque mayores (figuras 4.23 y 4.24), y el comportamiento se asemeja cada vez más al de las alas de alargamiento grande: existe desprendimiento de la capa límite en el borde de ataque, ya que el ala es de pequeño espesor y el

radio de curvatura en el borde también lo es, pero ahora los efectos de barrido de la capa límite hacia el borde son menores y el aumento del valor del ángulo de ataque se traduce en un notable crecimiento de la zona desprendida.

0 0.4 0.8 0 0.4 0.8

0

2

0

2

0

θ

2

/θm θ/θm

cp

α = 2º α = 8º

cp

cp

α = 4º

α = 6º

α = 12º

α = 16º

= 60º σ

0

2

0 0.4 0.8 0 0.4 0.8

0

2

0

2

θ/θm θ/θm

cp

α = 2º α = 8º

cp

cp

α = 4º

α = 6º

α = 12º

α = 16º

σ = 50º

3

A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero

Fig. 4.24. Distribuciones de coeficiente de presión, cp, medidas a lo largo de arcos de circunferencia, θ/θm, en el extradós y el intradós de un ala con forma de sector circular tal como la representada en la figura 4.21. Los resultados corresponden a un ala de flecha σ = 40º y alargamiento Λ = 2.69; los símbolos identifican el radio del arco de circunferencia donde están dispuestas las tomas de acuerdo con la siguiente clave: r/l = 0.50 (rombos), r/l = 0.64 (cuadrados) y r/l = 0.80 (círculos), las líneas corresponden a los resultados de la teoría potencial linealizada de alas esbeltas (expresión (4.3)). A la vista de los diferentes resultados experimentales es claro que la teoría potencial linealizada de alas esbeltas tiene un rango de ángulos de ataque de validez muy limitado, entre –5º y 5º aproximadamente. No es de esperar por tanto que esta teoría sirva para explicar el comportamiento aerodinámico de las alas esbeltas en entornos de maniobra reales, donde en ocasiones es preciso volar con ángulos de ataque

grandes. Si se tiene en cuenta que este tipo de alas se emplean, salvo excepciones, en aviones de uso militar a los que se exige alta maniobrabilidad, lo que implica respuestas seguras de la aeronave en un amplio margen de valores del ángulo de ataque, se entiende que se haya dedicado un esfuerzo considerable a la aerodinámica de alas para vuelo a velocidad elevada a altos ángulos de ataque (Rom, 1992). A grandes rasgos, de acuerdo con este autor, para alas esbeltas sin guiñada se pueden distinguir hasta seis regiones de características fluidas distintas según sea el valor del ángulo de ataque:

0 0.4 0.8 0 0.4 0.8

0

2

0

2

0

2

θ/θm θ/θm

cp

cp

cp

α = 2º

α = 4º

α = 6º

α = 8º

α = 12º

α = 16º

σ = 40º

1- Para valores muy pequeños del ángulo de ataque el flujo sobre el ala es estacionario y la capa límite

permanece adherida. El coeficiente de sustentación del ala varía linealmente con el ángulo de ataque (esta es la zona de validez de la teoría potencial linealizada de alas esbeltas).

2- Para valores pequeños la variación del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es casi lineal, el flujo sigue siendo estacionario, simétrico respecto al plano medio del ala, y aunque la capa límite se desprende cerca del borde de ataque, la capa de cortadura se readhiere pronto, formando burbujas de recirculación todavía poco importantes.

3- Cuando el valor del ángulo de ataque se puede calificar de entre moderado y alto, la capa límite está claramente desprendida, con formación de dos torbellinos. El flujo continúa siendo simétrico y estacionario, y la variación del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es marcadamente no lineal.

4- Si los valores del ángulo de ataque son grandes la característica que diferencia el flujo del descrito en el punto 3 es la aparición de asimetrías en la configuración turbillonaria. Por supuesto la dependencia de la sustentación con el ángulo de ataque sigue siendo no lineal.

5- Para valores todavía mayores se produce la rotura o explosión de los torbellinos ligados a los bordes del ala, lo que genera la pérdida de sustentación y la aparición de condiciones no estacionarias en el flujo.

6- A valores muy elevados del ángulo de ataque la corriente está completamente desprendida en el extradós, lo que da lugar a una estela turbillonaria no estacionaria. En este rango de valores el ala está en pérdida.

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A II. Alas esbeltas. Meseguer, Sanz & Barrero

TORBELLINOS DE BORDE DE ATAQUE EN ALAS ESBELTAS Como se ha dicho, las alas en delta con bordes de ataque subsónicos para vuelo supersónico son una solución con notables ventajas desde el punto de vista aerodinámico y estructural, pues dichas alas generan al lo largo del borde de ataque fuerzas de succión que disminuyen la resistencia aerodinámica de la aeronave. Sin embargo estas alas ofrecen características aerodinámicas aparentemente pobres a bajas velocidades, pues a bajas velocidades el ángulo de ataque ha de ser elevado, lo que trae consigo el desprendimiento de la capa límite cerca del borde de ataque del ala, situación que ocurre incluso para valores no demasiado altos de este ángulo. Esta desventaja, el desprendimiento de la capa límite, es sólo aparente, pues normalmente el desprendimiento de la capa límite viene acompañado con la posterior readhesión de la capa de cortadura resultante, dando lugar a la aparición de torbellinos que discurren paralelamente a los bordes de ataque del ala, cuyo efecto es beneficioso si el flujo resultante resulta ser estable y controlable. Ciertamente la formación de estos torbellinos va aparejada de un aumento de la resistencia a causa de la disminución de la succión de borde de ataque, efecto hasta cierto punto compensado por el aumento de sustentación generado por el pico de succión ocasionado por los torbellinos. En la figura 4.27 se presenta el esquema de la sección de un torbellino de borde de ataque, donde se suelen distinguir tres regiones diferentes. Existe una capa de cortadura que alimenta al núcleo rotacional, capa que se inicia en el borde de ataque y cuyo espesor crece con la distancia a dicho borde; existe también un núcleo rotacional cuyo diámetro viene a ser del orden del 30% del tamaño del torbellino, donde la vorticidad se supone distribuida de forma continua, y finalmente está el sub-núcleo viscoso, con dimensiones típicas del orden del 5% del tamaño del torbellino, en el los gradientes de presión (de remanso y estática) y de velocidad son muy acusados. El sub-núcleo viscoso gira como un sólido rígido, alcanzando su velocidad axial hasta el triple del valor de la velocidad de la corriente incidente. Fig. 4.27. Esquema de la sección de un torbellino de borde de ataque. C) capa de cortadura, R) núcleo rotacional, y V) sub-núcleo viscoso; de Nelson & Pelletier (2003).

C R

V

Un ejemplo típico de ala delta diseñada con el criterio de aprovechar los torbellinos de borde de ataque es la del Concorde (figura 4.28), la única aeronave supersónica de uso civil en servicio durante varias décadas. En régimen subsónico bajo (en las maniobras de despegue y aterrizaje) la configuración fluida sobre las alas del Concorde está fuertemente condicionada por dos intensos torbellinos de borde de ataque, muy estables, mientras que en régimen de vuelo supersónico, donde no son precisos valores altos del coeficiente de sustentación y el ángulo de ataque es por tanto pequeño, la corriente permanece adherida sobre el ala, normalmente sin ondas de choque.

Fig. 4.28. Avión Concorde Otro tipo de aeronaves donde las alas en delta tienen una amplia aplicación es en los aviones de combate. En los primeros aviones supersónicos de uso militar equipados con este tipo de alas el mayor interés estuvo en mejorar sus características de vuelo en supersónico, de modo que fueron equipados con alas delta con bordes de ataque angulosos. Sin embargo muchas de estas aeronaves

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presentaban prestaciones demasiado pobres en las maniobras realizadas a menores velocidades, en los regímenes subsónico y transónico, así como en las de despegue y aterrizaje, y en general en todas aquellas en las que eran necesarios ángulos de ataque elevados, siendo la razón de este comportamiento que tales alas no fueron diseñadas para utilizar los posibles efectos beneficiosos que indefectiblemente aparecen cerca del borde de ataque al aumentar el valor del ángulo de ataque. Con los años se hizo necesario aumentar las prestaciones de los aviones de combate en los regímenes subsónico y transónico, sin reducir, por supuesto, de forma apreciable las prestaciones de las aeronaves en vuelo supersónico. Fue entonces cuando, en los años setenta, cuando se incorporan al diseño dispositivos como los llamados extensiones de borde ataque (EBA, o en inglés Leading Edge Extensions, LEX), que son prolongaciones sustentadoras de las alas que nacen del fuselaje con flechas muy elevadas (figura 4.29). La finalidad de estas extensiones es la generación de torbellinos para estabilizar el flujo en el extradós del ala hasta valores muy elevados del ángulo de ataque. También se suelen añadir flaps de borde de ataque cuya deflexión ayuda a mantener la succión de borde de ataque y mantener acotada la resistencia aerodinámica. Fig. 4.29. Dos aeronaves de uso militar equipadas con alas en delta modificadas con los dispositivos conocidos como extensiones de borde de ataque: F-16 a la izquierda y Su-27 a la derecha. Así pues, el diseño de las alas de los aviones de combate está condicionado por muchos aspectos que implican limitaciones, como se esboza en la figura 4.30 para el caso de una ala típica de avión de combate, destacando la necesidad de valores altos del coeficiente de sustentación (lo que implica valores elevados del ángulo de ataque) en subsónico y transónico, y valores moderados de tal coeficiente en supersónico. En la figura 4.30 se indican también los diferentes tipos de flujo sobre el ala, desde capa límite completamente adherida en el extradós del ala hasta corriente totalmente desprendida, y en cada caso con y sin ondas de choque. Sea cual sea el caso el comportamiento de las alas en delta depende fuertemente de la aparición de los torbellinos de borde de ataque, lo que combinado con la existencia o no de ondas de choque da lugar a una amplia variedad de configuraciones fluidas sobre el ala (véase, por ejemplo, Yegna Narayan & Seshadri, 1996). Fig. 4.30. Situaciones de diseño a considerar en el plano ángulo de ataque, α, versus número de Mach de vuelo, M, en el proceso de diseño de un ala para un avión supersónico de combate, de Yegna Narayan & Seshadri (1996). Cuando el valor del ángulo de ataque de un ala en delta es muy elevado, α > 20º, el eje del torbellino de borde de

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ataque conforme se aleja del vértice del ala lo hace también del extradós, en dirección perpendicular al plano del ala. A estos valores elevados del ángulo de ataque suele ocurrir además que, transcurrida una cierta distancia desde su nacimiento, el torbellino pierda su estructura regular y hasta cierto punto ordenada. Inicialmente el torbellino se percibe con una estructura fluida estable, de forma casi cilíndrica (el torbellino crece en sentido radial lentamente), con un núcleo o eje rectilíneo alrededor del cual se produce el movimiento de las partículas fluidas, con distribuciones de velocidades axiales, radiales y tangenciales bien definidas. Sin embargo, es frecuente que tras recorrer una cierta distancia, bajo condiciones que son bien conocidas pero de acuerdo con un mecanismo todavía no comprendido plenamente, el movimiento de giro relativamente lento de las partículas fluidas alrededor del núcleo se transforme súbitamente en otra estructura fluida de tamaño mucho mayor, dando lugar a un movimiento altamente fluctuante (figura 4.31) en el que tanto la velocidad de giro como la longitudinal se reducen drásticamente en la parte central del flujo turbillonario. Al producirse esta expansión el tamaño de la zona disipativa del flujo aumenta, afectando al resto del flujo sobre el cuerpo, y dado que los efectos disipativos aumentan lo hacen en consecuencia las pérdidas. Este fenómeno de transición es conocido como crisis o colapso del torbellino (en inglés vortex breakdown) y su existencia puede tener efectos perniciosos o beneficiosos sobre la aerodinámica del ala dependiendo de su aplicación. Por ello se ha dedicado bastante esfuerzo para entender y controlar el fenómeno de la crisis turbillonaria, bien para prevenir su ocurrencia o bien para provocarla, habiéndose dedicado desde los años cincuenta considerables recursos para poder disponer de técnicas de control del flujo sobre el ala capaces de alterar el punto donde se produce el colapso del torbellino en alas en delta que vuelan a ángulos de ataque elevados.

Fig, 4.31. Visualización en túnel hidrodinámico de los torbellinos de borde de ataque sobre un ala en delta a ángulo de ataque elevado. Como se observa, cerca del borde de salida del ala se pierde la forma regular del torbellino, apareciendo otra estructura turbillonaria de tamaño bastante mayor. La transición de una a otra estructura del torbellino es conocida como crisis o colapso del torbellino; de Mitchell & Délery (2001) Aunque hay muchas teorías que con mayor o menor acierto

explican el fenómeno del colapso turbillonario, ninguna está completamente aceptada. Desde el punto de vista experimental mucha de la información disponible proviene de ensayos con torbellinos aislados en el interior de tubos, y de estos ensayos ha sido posible identificar una amplísima variedad de tipologías en el colapso de torbellinos. Si se trata específicamente de alas esbeltas en delta a ángulos de ataque elevados, la variedad se reduce, siendo posible identificar dos tipos básicos de crisis turbillonaria, conocidos como crisis turbillonaria de burbuja y de espiral, representando cada uno los extremos de un conjunto de tipos de colapso que varía de modo continuo de uno a otro. En la figura 4.32-A se presenta un esquema de la crisis de torbellino del tipo de burbuja; el núcleo del torbellino parece expandirse y abrirse sobre una superficie de forma ovalada, dando lugar posteriormente a anillos turbillonarios que se alejan convectivamente corriente abajo. En el modo espiral (figura 4.32-B) el núcleo turbillonario no se dispersa, sino que inicia un movimiento espiral adoptando una forma parecida a la de un sacacorchos. Hay que decir que lo normal es que el tipo espiral evolucione rápidamente hacia el de burbuja. Fig. 4.32. Esquemas de la forma del núcleo turbillonario durante el fenómeno de la crisis del torbellino en los casos de A) transición de tipo burbuja y anillos turbillonarios, y B) transición con deformación del núcleo en espiral; esquemas dibujados según la información disponible en Rom (1992).

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Parece bien establecido que la crisis turbillonaria depende básicamente de la relación entre los perfiles de velocidad tangencial, Vθ, y los de velocidad axial, Va, de manera que para evitar que este fenómeno de crisis ocurra en ningún punto del torbellino el cociente Vθ/Va ha de ser mayor de un cierto valor crítico situado en torno a 1.3, esto significa que el ángulo de la hélice del torbellino, γ = tan–1(Vθ/Va) no debe ser superior a 50º, y si por cualquier circunstancia se sobrepasa este valor, γ > 50º, se produce el colapso del torbellino (Mitchell & Délery, 2001). Esta respuesta del torbellino resulta condicionada también por el campo de presiones que el torbellino encuentra durante su avance; un gradiente de presiones adverso puede adelantar la aparición de la crisis, pues un gradiente tal actúa fundamentalmente sobre la componente axial de la velocidad , frenándola, de modo que el cociente Vθ/Va aumenta. En sentido contrario, un gradiente favorable tiene un efecto estabilizador, pudiendo incluso, si ya ha ocurrido la crisis turbillonaria, forzar la posterior reordenación del flujo y formación de un torbellino regular. Respecto a los parámetros de forma del ala y de la actitud de la misma, en la figura 4.33 se presenta la variación con el ángulo de ataque del punto donde tiene lugar la crisis del torbellino para alas en delta sin guiñada pero con diferentes alargamientos, y para un ala de 65º de flecha y varios ángulos de guiñada. Para un ángulo de ataque dado, al aumentar la flecha del ala (disminuir por tanto el alargamiento) el punto donde se produce el colapso turbillonario se retrasa, siendo la explicación que el barrido del torbellino hacia el borde de salida es tanto mayor cuanto más grande es la flecha del borde de ataque. Con relación a la guiñada, como cuando el ala tiene guiñada es como si un borde de ataque disminuye su flecha mientras que el otro la aumenta, es de esperar que la crisis del torbellino se presente antes (más cerca del vértice del ala) en el borde de ataque adelantado que en el retrasado; así lo indican los datos experimentales representados en la figura 4.33, que muestran un comportamiento consistente con los condicionantes geométricos ya que en el borde adelantado el barrido de la corriente hacia el borde de salida es menos intenso que el otro borde de ataque. Fig. 4.33. Relación entre el ángulo de ataque del ala, α, y la distancia adimensional hasta el vértice del ala, medida paralelamente al eje x, donde se produce la crisis turbillonaria, x/L. Los resultados del gráfico A corresponden a alas sin guiñada con distintas flechas, y los del gráfico B a un ala de 65º de flecha con diferentes ángulos de guiñada; los datos son de Nelson & Pelletier (2003). Entre las posibles aplicaciones de la crisis del torbellino está la disipación de los intensos torbellinos que emanan de los bordes marginales de las alas de las aeronaves, y en particular de las aeronaves comerciales, y también su uso en dispositivos que mejoren el mezclado de aire y combustible en cámaras de combustión. Como efectos desfavorables, sobre todo en las alas en delta de aviones de combate, hay que contabilizar la pérdida de sustentación unida a la aparición de vibraciones

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indeseables, e incluso, dado que el colapso turbillonario raramente se produce simultáneamente en los dos torbellinos del ala (uno en cada borde de ataque), la diferencia de sustentación entre una y otra semiala induce un momento de balanceo que puede comprometer la estabilidad lateral de la aeronave (aunque también se ha sugerido que esta asimetría, de poder ser plenamente controlada, podría ser un modo de aumentar la velocidad de maniobra del vehículo). En cualquier caso, dado que la estabilidad del torbellino depende principalmente del valor de la relación Vθ/Va, cualquier acción que disminuya la componente tangencial o incremente la componente axial es estabilizadora, tendente a retrasar la aparición de la crisis del torbellino. Dado que parece inevitable la formación de torbellinos de borde de ataque en las alas en delta cuando el ángulo de incidencia es elevado, los esfuerzos realizados para mejorar las prestaciones de estas alas a altos ángulos de ataque se centran en la puesta a punto de dispositivos capaces de fijar por una parte la posición del torbellino respecto al borde de ataque del ala, y por otra controlar la aparición del fenómeno de la crisis turbillonaria. Tales dispositivos se pueden clasificar en dos grandes grupos: neumáticos y mecánicos. En los primeros se actúa sobre el flujo próximo al borde de ataque del ala, succionando a través de ranuras o superficies porosas dispuestas a lo largo del borde de ataque, o soplando en el borde de salida del ala. Los dispositivos mecánicos consisten principalmente en flaps de borde de ataque de distintos tipos (Marchmann, 1981 a, 1981 b; Rao 1979, Rao & Johnson 1981), dos de los cuales se muestran en la figura 4.34. Cuando el flap está plegado y el ángulo de ataque es grande el torbellino se forma en el extradós del ala, generando una fuerza de sustentación adicional debida a la succión del torbellino (normal al plano del ala), si bien en esta situación se pierde en gran medida la succión de borde de ataque (en el plano de ataque) existente cuando no se ha formado el torbellino al rebordear la corriente el borde de ataque del ala. Al desplegar el flap el torbellino se forma sobre la superficie deflectada, de manera que se modifica la dirección de la resultante de la fuerza de succión generada por el torbellino, resultando ahora inclinada respecto al plano del ala. Fig. 4.34. Esquemas de dos tipos diferentes de flaps de borde de ataque: flap normal (A) y flap plegado (B); de Rao (1979). Dentro de los dispositivos mecánicos pueden ser incluidas también las extensiones de borde de ataque, cuyo desarrollo se remonta a la década de los setenta (Luckring, 1977; Lamar 1980), apéndices del fuselaje con gran ángulo de ataque (véase la figura 4.29) cuyo objetivo es la formación de un torbellino previo que comunique energía cinética al del borde de ataque del ala. En Mitchell & Délery (2001) se puede encontrar una descripción detallada del estado del conocimiento en relación con los diferentes dispositivos empleados para el control de torbellinos de borde de ataque en alas en delta. INESTABILIDAD DE BALANCEO DE LAS ALAS ESBELTAS Una inestabilidad de balanceo característica de las alas esbeltas con flechas muy acusadas (alargamientos pequeños) es la que se puede llamar de ciclo límite de balanceo (en inglés wing rock). Tal inestabilidad está muy estrechamente ligada a los torbellinos de borde de ataque del ala, y aparece cuando estos torbellinos tienen un papel dominante en la aerodinámica del ala, como ocurre cuando el ala vuela con ángulos de ataque elevados. Lo más llamativo de esta inestabilidad de balanceo es que el movimiento de giro alrededor del eje longitudinal del ala permanece acotado; el ala sigue un movimiento de vaivén en balanceo y aunque en los extremos de cada ciclo el ángulo de balanceo pueda ser muy grande, hasta ±40º, la misma interacción de los torbellinos de borde de ataque con el extradós del ala genera los momentos aerodinámicos necesarios para que el fenómeno no sea divergente, de manera que el ala gira alternativamente en un sentido y en sentido contrario alrededor de su eje longitudinal de simetría.

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El fenómeno no fue detectado hasta que en los albores y desarrollo inicial de las aeronaves para vuelo supersónico se empezó a dotar a estas con alas en gran flecha para aprovechar así las ventajas de los bordes de ataque subsónicos. Probablemente la primera aeronave en sufrir este tipo de inestabilidad de balaceo fue el avión experimental Handley Page 115 (figura 4.36), provisto de un ala en delta con un ángulo de flecha de 75º (Ross, 1972, 1979). Pronto se pudo demostrar que este tipo de movimiento indeseado no era únicamente propio de esta aeronave, sino una característica intrínseca de las aeronaves con alas en delta y alargamientos pequeños. Hay dos configuraciones de vuelo donde la probabilidad de que este fenómeno de vaivén en balanceo aparezca, una es el ciclo límite de balanceo que se produce a ángulos de ataque relativamente pequeños en régimen transónico debido al desprendimiento y readherencia de la corriente a causa del movimiento oscilatorio del ala, la otra configuración ha sido observada principalmente en régimen subsónico con altos valores del ángulo de ataque, y se explica generalmente al considerar la interacción dinámica de los torbellinos de borde de ataque con el ala (Ericsson, 1995; Guglieri & Quaglotti, 1997; Katz. 1999).

Fig. 4.36. Avión experimental Handley Page 115, desarrollado en los años sesenta. Para analizar el fenómeno del ciclo límite de

balanceo ligado a los torbellinos de borde de ataque, conviene tener presente la diferente morfología del flujo turbillonario sobre el ala según sea el ángulo de ataque, α, y el alargamiento del ala, Λ (o, lo que es lo mismo, la flecha σ, pues Λ = 4/tanσ). En la figura 4.37 se muestran las diferentes posibilidades en el plano Λ-α para alas en delta sin guiñada, plasmándose en esta figura la experiencia adquirida en un buen número de ensayos estáticos en túneles aerodinámicos e hidrodinámicos. Existe una amplia región central cuando los ángulos de ataque son pequeños, que se va estrechando conforme aumenta el ángulo de ataque, donde los torbellinos de borde de ataque son simétricos respecto al plano de simetría del ala. En la parte izquierda del diagrama, para ángulos de ataque grandes, la evidencia experimental muestra que la configuración de torbellinos es asimétrica, un torbellino está más cerca del ala que otro, lo que afecta a las fuerzas de succión creadas por cada uno de ellos y da lugar a un momento de balanceo. En el otro extremo, en la zona de la derecha del diagrama, para alargamientos mayores y ángulos de ataque grandes, el flujo sobre el ala se caracteriza por la aparición del colapso o crisis turbillonaria, que ocurre tanto más cerca del vértice del ala cuanto mayor es el ángulo de ataque (la línea de separación dibujada en la figura 4.37 corresponde a la situación en la que la crisis turbillonaria tiene lugar en el borde de salida del ala).

Fig. 4.37. Regiones donde se aprecia simetría, asimetría o crisis turbillonaria en el plano Λ-α (alargamiento versus ángulo de ataque) para el caso de alas en delta sin guiñada; de Ericsson (1995) y Katz (1999). Tomando como referencia los resultados estáticos de la figura 4.37, resulta patente que para que exista movimiento de balanceo del ala ha de haber asimetría en los torbellinos de borde de ataque, de modo que la sustentación adicional generada por uno y otro sea diferente en cada semiala. Sin tener en cuenta otros

efectos distintos de los torbellinos, en la figura 4.38 se muestran distintos esquemas de la configuración turbillonaria sobre el extradós de un ala en delta con 80º de flecha y 30º de ángulo de ataque. En los esquemas se ha representado la traza del ala al cortar por un plano x = constante, vista

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desde el borde de salida, y los torbellinos de borde de ataque; los distintos dibujos corresponden a instantes sucesivos dentro de un ciclo de balanceo, de modo que en el instante inicial, t = 0. la semiala de la izquierda está subiendo. Considérese que al inicio del ciclo el ángulo de balance es nulo (φ = 0º), el ala izquierda está subiendo y la derecha bajando, en razón de lo cual el torbellino de la izquierda está más próximo al ala que el de la derecha; existe por tanto diferente succión en ambas semi-alas, dando lugar a un momento de balance que tiende a acentuar todavía más el movimiento. Conforme transcurre el tiempo y el ángulo de guiñada aumenta, el torbellino de la derecha se va acercando al ala, mientras que el de la izquierda se aleja, y así llega un momento, φ ≈ 45º, en que el torbellino de la derecha está tan cerca del ala (y a la vez el torbellino de la izquierda tan lejos) que las fuerzas adicionales sobre el ala debidas a los torbellinos dan lugar a un momento de balanceo negativo, de manera que, de ser este momento suficiente, el movimiento de giro alrededor del eje longitudinal del ala se invierte, comenzando a disminuir el ángulo de balanceo. Este movimiento en sentido contrario se mantiene hasta que se alcanza una situación análoga en el otro extremo del ciclo, de modo que se obtiene una oscilación en balanceo sostenida (ciclo límite).

Fig. 4.38. Descripción esquemática de la posición a lo largo de un ciclo de balanceo de los torbellinos de borde de ataque de un ala con flecha σ = 80º y ángulo de ataque α = 30º. En cada esquema se indica, además del tiempo, t, el valor del ángulo de balanceo, φ, y entre paréntesis el signo del momento de balanceo debido a la sustentación adicional generada por los torbellinos; de Katz (1999). Hay que añadir, finalmente, que esta inestabilidad de balanceo no es únicamente propia de las alas en delta con alargamientos pequeños, si bien en estas alas la inestabilidad es tanto más

improbable cuanto mayor es el alargamiento (el alargamiento aumenta el amortiguamiento del ala): En el caso de aeronaves, donde además del ala existe un fuselaje, la inestabilidad de balanceo puede tener lugar también, incluso con aviones con alas de alargamientos grandes, habiéndose identificado dos causas para este movimiento de vaivén en balanceo; una de ellas es la interacción con las alas de los torbellinos que se desprenden de la proa del fuselaje (Ericsson, 1989), como se indica en la figura 4.39. La otra causa es la interacción con las alas de los torbellinos que se forman en las extensiones de borde de ataque si el avión está equipado con estos dispositivos (figura 4.39), o en las superficies de mando delanteras en aeronaves tipo canard. En la figura 4.40 se presentan las plantas de algunos aviones de combate propensos a este tipo de inestabilidad. Fig. 4.39. Esquemas de los torbellinos que se forman en la proa de un avión a bajos y a altos ángulos de ataque, y esquema de la distribución de torbellinos concentrados sobre una aeronave equipadas con extensiones de borde de ataque; de Nelson & Pelletier (2003).

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Fig. 4.40. Algunos aviones con alas no esbeltas propensos a la inestabilidad de vaivén en balanceo; de Katz (1999). REFERENCIAS ▪ Ashley, H. & Landahl, M., Aerodynamics of Wings and Bodies, Dover Publications, Inc., New York, N.Y.,

U.S.A., 1965.

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▪ Ericsson, L.E., Challenges in High-Alpha Vehicle Dynamics, Progress Aerospace Sci., 31, 291-334, 1995.

▪ Guglieri, G. & Quagliotti, F., Experimental Observation and Discussion of the Wing Rock Phenomenon, Aerospace Sci. Technol., 33, 111-123, 1997

▪ Jones, R.T., Properties of Low-Aspect Ratio Pointed Wings at Speeds Below and Above the Speed of Sound, NACA Report 835,Washington, U.S.A., 1946.

▪ Katz, J., Wing/Vortex Interactions and Wing Rock, Progress Aerospace Sci., 35, 727-750, 1999

▪ Lamar, J.E., Analysis and Design of Strake-Wing Configurations, J. Aircraft, 17, 20-27, 1980.

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▪ Marchman, J.F., Aerodynamic of Inverted Leading-Edge Flaps on Delta Wings, J. Aircraft, 18, 1051-1056, 1981 b.

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▪ Nelson, R.C. & Pelletier, A., The Unsteady Aerodynamics of Slender Wings and Aircraft Undergoing Large Amplitude Maneuvers, Progress Aerospace Sci., 39, 185-248, 2003.

▪ Rao, D.M. & Johnson, T.D., Investigation of Delta Wing Leading-Edge Devices, J. Aircraft, 18, 161-167, 1981.

▪ Rao, D.M., Leading-Edge Vortex Flaps Experiments on a 74º Delta Wing, NASA CR 159161, 1979.

▪ Rom, J., High Angle of Attack Aerodynamics, Springer-Verlag, New York, N.Y., USA, 1992.

▪ Ross, A.J., Investigation of Nonlinear Motion Experienced on a Slender-Wing Research Aircraft, J. Aircraft, 9, 625-631, 1972.

▪ Ross, A.J., Lateral Stability at High Angle of Attack, Particularly Wing Rock, AGARD CP-260, Paper 10, May 1979.

▪ Walchner, O., Sytematic Wind-Tunnel Measurements of Missiles, NACA TM 1122, Washington, U.S.A., 1947.

▪ Yegna Narayan, K. & Seshadri, S.N., Types of Flow on the Lee Side of Delta Wings, Progress Aerospace Sci., 33, 167-257, 1997.

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En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en calma con velocidad U

y ángulo de ataque << 1. La forma en planta del ala está definida por las

expresiones: 1 0( )b x b , 0 0, 2( )b x b , 0 1, con = x/L. Dentro de la validez de la teoría de alas esbeltas, determine, en función de 0 (0 0 1), la posición del centro de presiones del ala. SOLUCIÓN Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección es proporcional al cuadrado de b(), de modo que F1() = kb

20, 0 0,

F2() = kb2

2, 0 1, Tomando momentos respecto a = 0, se tiene

0 00

0

0 0

1 111 2

2 1 1 2 200 0

d ( ) d ( )(1) d d ( ) ( )d ( ) ( )dd dcp

F FF F F F F

0

0

12 3

0 0

0

11 d d 46cp

y

0

b

b

b(x)

1

U

Primer ejercicio Considere un ala esbelta cuya forma en planta está definida por la expresión

2 31 ( ) (3 2 ) ( 2)

2x x x

b x l a a al l l

,

Con << 1, 0 ≤ x ≤ l, y 0 ≤ a ≤ 1. Sabiendo que la sección máxima del ala se alcanza en x = l, indique si el ala cumple o no la hipótesis de Kutta en el borde de salida. Determine la posición del centro de presiones del ala en función del parámetro a. Para que se cumpla la hipótesis de Kutta ha de ser db/dx = 0 en x = l, es decir

2

2 3

2(3 2 ) 3( 2)d ( ) 0

d(3 2 ) ( 2)

x l

x xa a a

b x l l

x x x xa a a

l l l

lo que se cumple cualquiera que sea al valor de a. Para el cálculo del centro de presiones se ha de calcular el momento respecto a x = 0 de la sustentación, de modo que, eliminando las constantes que aparecen en uno y otro miembro, como b(l) = 2l, se tiene

2 32

20 0

1 d ( ) d 2(3 2 ) 3( 2) d (6 )d 12( )

l l

cp

b x x x x lx x x a a a x a

x l l lb l

Considere una familia de alas esbeltas planas de cuerda máxima l cuya forma en planta está definida por la expresión

22( ) (2 ) ; / ; 0 1 ; 1l

b k x lk

determine el valor de k para que se cumpla la condición de Kutta en la sección final (borde estacionario), y para este valor de k, considerando que el ala vuela con ángulo de ataque a través del aire en calma, determine el coeficiente de sustentación del ala.

2d 2 0 1d

x l

b xk k

x lk

2

0

42 ( )d3

l

S b x x l ; 2 2 2

2

4 ( ) 4 343

b l l

Sl

; 32 2Lc

.

AII Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), cuya forma en planta queda definida por la expresión

2y ba a

,

siendo = x/L, con 0 1, y a un parámetro adimensional (1/2 a 1) que identifica a los distintos miembros de la familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la posición del centro de presiones. SOLUCIÓN Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en = a (x = La), y dicho máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación entre el morro y la sección x vale F(x) = ky

2, con 2k U , de modo que tomando momentos con respecto a x = 0, llamando = x/(La) = /a, se tiene

1 1

0 0

d1 d 1 d

dcp

FF F F

,

1 12 3 4

0 0

71 d 1 4 4 d1 15cp

F

F

, y por tanto 7

15cpx La .

y

x

b

L

U

y

x

b U

Considere un cuerpo esbelto de longitud L formado por una ojiva cónica de longitud cL (1/5 c 1) y un cuerpo cilíndrico de radio L, con << 1. En la parte cilíndrica del cuerpo hay unas alas planas de forma en planta triangular, siendo 2b la envergadura del conjunto, con b << L. Supuesto que el cuerpo vuela con ángulo de ataque ( << 1) y velocidad U

a través de una

atmósfera en calma de densidad . Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de

cuerpos esbeltos calcule, en función del parámetro c la sustentación producida por el cuerpo así como y la posición del centro de presiones. La ecuación del cuerpo es ( ) , ( ) ( ) si 0bRb x x b x R x x L

c y

( ) , ( ) siRb x L b x Ax B cL x L donde y(1 ) 1b L L bcA BL c c

. La fuerza de

sustentación total sólo depende de la sección final, x = L, 4 4 2 2

2( ) ( )( )z

b L L bF L K

b

con

2K U . La posición del centro de presiones xcpestá dada por

1 2 1 20 0

( ) d d dL cL L

cp z z z z

cL

x F L x F x F x F I I , donde la fuerza lateral Fz esta definida por tramos

2

1 ( ) si 0zxF x K x cL

c y

42 22 2

( )( ) ( ) si( )z

LF x K Ax B L cL x L

Ax B

siendo 2 31 1

0

2d 3

cL

zI x F K cL , e 4 4

2 2 32d 2( ) d

( )

L L

z

cL cL

L AI x F K x Ax B A xAx B

2 3 3 2 23

2 (1 ) (1 )3K A L c ABL c I

con 4 4 4 43 3 3 32 d 2 d

( ) ( ) ( )

L L

cL cL

Ax Ax B BI L x L xAx B Ax B Ax B

2 2 24 5 2 3

2 2 212 2

( ) ( )c L cbL L

AL B ALc B b

z

y

z

x

cL

L

L

U

y

b

b

x

cL

G:\2011\2011 Pepe\DOCENCIA\AII ejercicios seleccionados\03 ce masa y centro dados S.doc

1

Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x)

esté dada por la ley

d ( )( ) ( ) doS xlx

S x x

donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga

resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas

situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo.

Compruebe la validez de la solución obtenida.

La masa, M, es

3

1 1 30 0

4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ;( ) 4

l l

o o oo

l l MM x S x x S x x l S l S A AS x l

La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 4 4 2

10 0 0

d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )dd 4 2 4 2 2

l l

cm o o n oS x Al lx M x S x x l x x A n A

x

Sustituyendo el valor de A1 se obtiene

2 32

o

MAl

Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x) 0, es decir d ( ) 0dS x

x

21 2 1 1

1

d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos )dS x AA A A A

x A

que se anula en = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la condición.

Considere un cuerpo esbelto de revolución de longitud l, con área final no nula y volumen V = l

3k/16. Determine el valor de la sección final que define el cuerpo óptimo (resistencia de onda

mínima) que satisface estas ligaduras. De la condición del volumen resulta k = 2A1 – A2, de manera el cuerpo de resistencia de onda mínima ha de ser el que tenga A1 y A2 no nulos y el resto de los términos del desarrollo nulos. Dicha resistencia es por tanto 2 2

1 22ondaD H A A , con 2 2 / 8H U l ; expresando por ejemplo A2 en función de A1, de la condición de resistencia mínima se obtiene

2 21 1

1 1

d d 2(2 ) 0d d

ondaDH A A k

A A ,

es decir 1 14(2 ) 0A A k , o bien A1 = 4k/9, y como A1 = 4S(l)/(l2), resulta S(l) = l

2k/9.

Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud total l y radio de la sección final l, con << 1. Supuesto que la densidad del cuerpo es uniforme, de valor c, y sabiendo que el volumen del cuerpo, V, y que el momento de inercia respecto al eje r, Ir, valen

2 312

V l , 2 5r cI k l ,

determine el cuerpo de resistencia de onda mínima que cumple las ligaduras dadas. Represente, en función de x/l, el radio del cuerpo r(x/l). SOLUCIÓN

En variables dilatadas la variación de la ley de áreas se expresa como 1

d sind n

n

l A nx

S , con

xl

2

1( cos ) , y con estos cambios la ley de áreas y el volumen dilatados son

2

12

sin 2 sin( 1) sin( 1)( ) ( )4 2 1 1n

n

l n nA A

n n

S ,

32

18 2Al

V A

,

y la resistencia de onda vale 2 2

2

18ONDA n

n

U lD nA

.

Con los datos del enunciado, en la sección final, = 0, se cumple l2 = l

2A1/4, de modo que

A1 = 4; del volumen V = l3(A1 – A2/2)/8 = l

3/2, se obtiene A2 = 0, y para el momento de inercia

5 2 3 30

0 0

1 1 1 d( ) d ( ) d3 3 d

l ll

r

c

I k l x x x x x x xx

S

S S

5

35

10

1 1 sin 1+cos sin d3 3 16 n

n

ll A n

;

2 3

10

16 1 3 sin 1+3cos +3cos +cos sin dn

n

k A n

10

7 7 3 1sin sin sin2 sin3 sin4 d4 4 4 8n

n

A n

1 3 4

7 3 12 4 4 8

A A A

de donde se obtiene A4 = –6A3 + 8[32(1 – 3k) – 7] = –6A3 + 8(25 – 96k); introduciendo A1 = 4, A2 = 0 y A4 en función de A3 en la expresión de la resistencia de onda, haciendo dDONDA/dA3 = 0, se

obtiene 364 25 9649

A k , y 48 25 9649

A k .

r

x

l

l

1. Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de velocidad U, presión p y densidad . El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos, se pide: 1) Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le.

Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, E = 1Um/U,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función de le /d. Um es la velocidad medida, definida como

1/ 22( ) /m o eU p p , y po es la presión de remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la nariz.

SOLUCIÓN: El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es:

0

( ) ( )( , ) 2 ( ) ln d2

l

r f x fx r f x

xx l x

, con d( )4 dU

f xx

S .

Como ( ) 22d

r x x l xl

en 0 x l, y r(x) = d/2 en x l, resulta 2

2( )8

U df x l x

l

o

f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l.

Cuando 0 x l se tiene:

2

20

( , ) 2 ln d8 2

l

U d r xx r l x

xl x l x

, (1)

y cuando x l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 2

20

( , ) d8

l

U d lx r

xl

, y como

2

0 0

d 1 d ln 12

l l

l l x l ll l x

x x x x

, se obtiene 2

16U d

x , de modo que

2

216x

U d

x y por tanto

2 2

2 22

8 8x

pe

e

d dc

U x l

. El error es 2

21 116pe

e

dE c

l .

Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta

que0 0

d d d 2l x l

x

xx l

x

, se tiene

2

2( , ) 2 ln 28 2

U d rx r l x l x

l x l x

, y

de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida.

r

x

l

e

U

p

Considere un cuerpo esbelto de revolución, de longitud l, que vuela con ángulo de ataque nulo a M∞ = 2 , cuya ley de áreas está dada por la expresión 2 2 2 3( ) (3 2 )S l , = x/l, 0 1; 1 . Determine el campo de velocidades sobre el cuerpo.

2

0

( ) ( )( ) ln d2

x

r f x fU x f x

x x

, 3d( ) 12 dU US x

f x xx l

;

2 2

0 0 0 0

3 3 3( ) ( ) / ( / ) 1 3d d d ( )d 12

x x x x

U U Uf x f x x l l xx x

x x l l

2 3 31 ln 12 2

U x r xU x x

l x l

; únicamente falta derivar y particularizar en la superficie del

cuerpo

G:\users\6 libros\0 viejos\07 AII\a edicion 1\cap_2_alas_sup\Evvard_Krasish_final.doc

1

Fórmula de Evvard-Krasílshchikova

1 2

1 2( , ,0 ) d d d do o oo o o o

S S S

w w wx y x y y y I Ir r r

para calcular la componente u de velocidad de perturbación hay que derivar respecto de x, consideramos dos sumandos, u1 y u2, que corresponden a las contribuciones de las áreas S1 y S2 respectivamente

1 1 d dB H

A ba

xyo

o oy x

wu I y xx x r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2

d d ( ) d ( ) dB H H B H A

A ba ba B ba A

y x x x y x yo o o

o o B o A oy x x x y x y

a a

w w wy x y x x y x xx r r r

2 2 d dB H

B R

y xo

o oy x

wu I y xx x r

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2

d d ( ) d ( ) dB H B H B H B

B R B R B R B

y x x y x y x yo o o

o o B o B oy x x y x y x y

b b

w w wy x y x x y x xx r r r

Las integrales 2a (en u1, donde ( ) ( )ba A H Ax y x y ) y 1b (en u2, donde ( ) ( )H B R Bx y x y ) son nulas y la 1a y 2b se cancelan entre sí (tienen el mismo límite superior e inferior en B’,

( ) ( )ba B R Bx y x y . En u1 queda un término que es equivalente a aplicar la fórmula de Evvard a la región S1

11d d

B H

o baA ba

y xo o

o ox xy x

w wu y xr x r

En cuanto al término que queda en u2, no se puede aplicar la fórmula de Evvard directamente pues la posición de la característica R no permanece fija sino que es función de x

0 0

0 0

2 0

0 00

d d

1d d

B H

H RB R

B H

R RB R

y xo o oH R

ox x x xy x

y xo o oR

x x x xy x

w w wx xu y xx r x r x r

w w wxy xr x r x r

donde se ha tenido en cuenta que 1Hxx

,

o

r rx x

, y que se cancelan los términos en 0

0

Hx x

wr

.

En realidad es la fórmula de Evvard más un término adicional, el tercero, que es una integral de

línea a lo largo de la característica reflejada R multiplicada por el factor Rxx

, el límite de la

relación entre ΔxR y Δx cuando Δx tiende a cero, donde ΔxR es el desplazamiento de la característica reflejada R al mover el punto P una distancia Δx según el eje x. Finalmente se obtiene

0

0 0 01 2 0 0 0 0

0

1d 1 d d dB B

A Bba

y yR

y yx x

w w wxu u u y y x yr x r x r

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2

Nota

0 0

00

0

0 0 0

2 0 0

0 00

0 00

d d

1d d

1d d

B H

H RB R

B H

HB RR

H H

R H RR

y xo o oH R

x x x xy x

y xo oR

ox xy x x x

x x xo o o oR

x x x x x xx

w w wx xu y xx r x r x r

w wxy w xx r r x r

w w w wxy xr x r r x r

0 0

0 00

1d d

B

B

B H

R RB R

y

y

y xo o oR

x x x xy x

w w wxy xr x r x r

Ala con ba parabólico Utilizando variables adimensionalizadas con la cuerda c, = x/c y = y/c la ecuación del borde de ataque es = 2/2, cuya derivada d/d = 1/(d/d) vale la unidad en = 1 y = 1/2, de modo que para || 1/2 el borde de ataque es supersónico, y subsónico cuando || > 1/2. La ecuación de las características que parten de un punto genérico del borde de salida (1,) son o – = m(o – 1), con m = ±1. Sustituyendo en esta expresión la ecuación del borde de ataque, ba = 2

o /2, y dando a la pendiente m los valores apropiados se obtienes los puntos A (m = 1) y B (m = –1):

A

B

1 3 2

1 3 2

. (1)

Nótese que si = 0 es A = – B, con A < 0 y B > 0. Si es || > 1/2 hay calcular también el punto de corte con el borde de ataque de la característica reflejada, B', cuya ecuación es o – B = o – B, o bien cr = o – B + B, y escribiendo B en función de B (ecuación del borde de ataque) y éste en función de h según la segunda de (2)

2B B

1 3 2 3 22cr o o , (2)

en el punto B' es 2B' B' / 2cr , de modo que sustituyendo en (2) se obtiene la ecuación de segundo

grado 2B' B'/ 2 (3 2 3 2 ) 0 cuya solución es

B' 1 7 2 4 3 2 , (3) cuyo valor es la unidad para = 1/2, como debe ser. Falta por determinar el ángulo entre la tangente al borde de ataque en el punto B y la característica reflejada (cuya pendiente es 1). La pendiente en el punto B del borde de ataque es do/do|B = 1/(do/do)|B = 1/B, se modo que

B

d 1d 1 3 2

o

o

. (4)

Por tanto, como la velocidad vertical de perturbación es constante w = wo = – U

, para || 1/2 se tiene

B

A

2 2

d(1, ,0)1 ( )

o

ba o o

Uu

y para || > 1/2 el resultado es

B'

A

2 2

d(1, ,0)1 ( )

o

ba o o

Uu

B

B'

2 2

d1 tan1 ( )

o

cr o o

U

A

B

A

B

B`

|| > 1/2

|| 1/2

con ba = 2o /2, y A, B, B, y cr dados por (1), (2) y (3).

Calcule y represente la distribución de velocidad de perturbación según el eje x, u(x,y,0), a lo largo de una línea paralela al borde de ataque de un ala simétrica, de forma en planta rectangular, cuerda c y envergadura 2c, borde de salida z = c[1 – (y/c)2], con <<1, como la representada en la figura. SOLUCIÓN En lo que sigue se supone que (xo,yo,zo) y (x,y,z) son variables adimensionales que han sido adimensionalizadas con la cuerda c. Para el número de Mach dado ( = 1) la velocidad en un punto del plano z = 0 es

B

A

2 2

(0, ,0 )d1( , ,0)π ( )

y

o o

y o

w y yu x y

x y y

,

y teniendo en cuenta que en el borde de ataque la velocidad vertical es w(0,y,0+) = U(1 – y2), se tiene

B B

A A

2 2 2

2 2 2 2

(1 )d 1 2 ( ) ( )π d( )( ) ( )

y y

o o o oo

y yo o

y y y y y y y yuy y

U x y y x y y

=

B B

A A

22 2

2 2 2

2 2

1 21 2d d

11

o oy

o

yo

y y y yy yx x

y y y yx xx x

xy y

x

=

B

A

2 2 2 21 11 arcsin 2 12 2

y x x xy

.

Donde al escribir la última expresión se ha considerado que

2

d arcsin1

,

2

2

d 11

,

2

2

2

d 1 arcsin 121

.

x

y

z

M 2

M

xo

yo

P(x,y)

Q

zona 1

zona 2

zona 2

yA

yB

1

Para evaluar el resultado en las distintas zonas hay que tener en cuenta que en la zona 1, punto P, x < 1 – y, es yA = y – x, de modo que A = [y – (y – x)]/x = 1, y que yB = y + x, y en este otro límite resulta B = [y – (y + x)]/x = –1. Con estos valores se tiene:

2 2P 112

uy x

U

, para x < 1 – y.

En la zona 2, punto Q, x 1 – y, también es yA = y – x, y por tanto A = [y – (y – x)]/x = 1, pero la otra característica llega al borde marginal, por tanto yB = 1, y ahora es B = (y – 1)/x, resultando:

2

Q 2 21 1 1 π 1 11 arcsin 1 3 1π 2 2 2

u y yy x x y

U x x

, para x 1 – y.

En el gráfico siguiente se han representado las curvas de variación de la velocidad horizontal de perturbación, u/(U), con la coordenada y para distintos valores de x.

0.0

0.5

1.0

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

–u/(U)

y

x = 1

x = 0

x = 0.25

x = 0.5

x = 0.75

En la figura se ha representado el borde marginal de un ala plana que vuela en régimen supersónico a M

= 2 con ángulo de ataque << 1.

Dentro del alcance de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, determine la variación con el ángulo (siendo 0 /2) de la velocidad de perturbación paralela al eje x en el punto señalado, u(c,0,0+). Escriba claramente, en cada caso, los límites de integración y los integrandos de las expresiones que determinan la velocidad pedida. SOLUCIÓN En lo que sigue se supone que (xo,yo,zo) y (x,y,z) son variables adimensionales que han sido adimensionalizadas con la cuerda c. Cuando ambos bordes de ataque son supersónicos el problema se resuelve empleando el método de Evvard, que queda reducido al cálculo de una integral de línea pues, al ser una placa plana, la integral de superficie es nula. Así pues, para el número de Mach dado ( = 1) la velocidad en un punto del plano z = 0 es

B

A

2 2

( ), ,0 d1( , ,0)π ( )

yba o o o

yba o o

w x y y yu x y

x x y y y

.

Llamando k1 = tan1, y k2 = tan2 (en el caso propuesto es k1 = 0), las ecuaciones de los bordes de ataque y las características que determinan los límites de la integral son

1A

11o o

o o

x k y y xy

x x y y k

2B

21o o

o o

x k y y xy

x x y y k

y teniendo en cuenta que en los bordes de ataque la velocidad vertical es w(xba(yo),yo,0+) = –U, se tiene

B

A

0

2 2 2 201 2

d dπy

o o

yo o o o

y yu

U x k y y y x k y y y

A A

0 0

2 2 2 2 2 22 21 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2

d d1 11 12 2

1 1 1 1

o o

y y

o o o o

y y

k x y y k x k x y y k xy y y y

k k k k

1 22 2

1 21 2

1 π 1 πarcsin arcsin2 21 1

y k x y k x

x k y x k yk k

Si se considera ahora el caso de un borde de ataque supersónico y otro subsónico, como se indica en la figura, al problema se trata con el método de Evvard-Krasishchikova. También aquí desaparece la integral de superficie, quedando únicamente las integrales de línea a lo largo de parte del borde de ataque supersónico y a lo largo de la característica reflejada en el borde de ataque subsónico.

c

c

y

x

U

u(c,0,0+)

M

xo

yo

P(x,y)

yA

yB 2

1

B´ B

A B´

2 2 2 2

( ), ,0 d ( ), ,0 d1 1( , ,0) 1 tanπ π( ) ( )

y yba o o o cr o o o

y yba o o cr o o

w x y y y w x y y yu x y

x x y y y x x y y y

Llamando, al igual que antes k1 = tan1 < 1, k2 = tan2 > 1 (en el caso propuesto es k1 = 0), la ecuación del borde de ataque AB´ es xo = – k1yo, y la de la característica reflejada B´B xo = yo + (k2 – 1)(x + y)(k2 + 1), de modo que los límites de las integrales son

A11

y xy

k

, 2

B´1 2

1 11 1

ky y x

k k

, B

21y x

yk

.

De las dos integrales que contribuyen a la velocidad, para la primera se tiene

B´

A

1 2 1 2 1 2AB´2 2 2

2 111

1 2 2dπ 1 πarcsin1 21

y

o

yo o

k k x k k k k yyu

U k x k ykx k y y y

y para la segunda

B

B´

B´B 22

1 222

2

dπ 1111

1

y

o

y

o o

yu k x y

U k x k yk

x y x y y yk

y así

AB´ B´B1( , ,0) 1 tanπ

u x y U u u .

M

xo

yo

P(x,y)

yA

yB 2

1

yB’

En la figura se ha representado un ala, de cuerda c y envergadura 2c, que vuela en régimen supersónico a M

= 2 con ángulo de ataque << 1. El ala está formada por un cuerpo central y por dos planos sin

espesor, como se indica en la figura. El contorno del ala al cortar por planos y = constante está formado por rectas (véase el esquema) y la ecuación del borde de salida del ala es.

( , ) 0z c y , para 2c

y c , (1)

22( , ) 1 y

z c y cc

, para 2c

y , (2)

con << 1. En la expresión (2) el signo positivo corresponde al extradós y el negativo al intradós. Dentro del alcance de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, determine la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo largo de dicho eje x, u(x,0,0), tanto en el extradós como en el intradós del ala. Escriba claramente, en cada caso, los límites de integración y los integrandos de las expresiones que determinan la velocidad pedida. ++++ Se descompone el problema en dos: simétrico (S) y antisimétrico (A). En el problema simétrico la ecuación del borde de ataque es y = x/2, de modo que en una sección como la AA’ la cuerda vale c(y) = c – 2y, y el semi-ángulo de la sección

1 2 / 1 2 /( , ) 2( ) 1( ) 1 2 /

c y c y cz c y yy

c y c y c c

;

por tanto la ecuación del cuerpo es z(x,y) = (y)x + constante, y la condición de contorno queda ( , ) 1 2 /w x y U y c . Como se pide la velocidad en el eje x, la intersección de la característica que

parte de (x,0,0) con el borde de ataque ocurre en yA’ = x/3, y así

/ 3S

2 20

212( ,0,0 ) d2

ox

o

o o

y

U cu x y

x y y

.

Para el problema antisimétrico se tiene w(x,y) = –U

, yA’ = x/2, y por tanto

/ 2A

2 20

2 1( ,0,0 ) dx

o

o o

Uu x y

x y y

.

La velocidad pedida es pues S A( ,0,0 ) ( ,0,0 ) ( ,0,0 )u x u x u x

z y

x

c

c/2

c/2

c/2

c/2

U

A

A’

A’ A

S A

w =U w =U

w =

=

A B

w =

w =

Considere un ala como la que se muestra en la figura que vuela con número de Mach M∞ = 2 a través del aire en calma; dentro de la aproximación de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba la o las expresiones que permitirían calcular la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo largo del borde de salida, u(c,y,0+), con |y| < c. Suponga << 1.

El problema puede descomponerse en dos, como se muestra en la figura: A: Cuña de semiángulo con = 0 (problema simétrico) con velocidad w = 0 fuera de la forma en planta del ala. B: cuña de cuerda c/4 (chaflán resaltado como zona rayada) con semiángulo /2 y con = /2, con w = 0 en el resto del ala, que es un problema mixto. El problema B se descompone a su vez en dos: B1 : cuña de cuerda c/4 de semiángulo /2 con = 0 (problema simétrico) B2: placa de cuerda c/4 a ángulo de ataque = /2 (problema sustentador) con un borde marginal ocluido por el resto del ala (w = 0) y el otro libre (véase el problema del alerón).

M∞ = 2

c

y

x

c

c c/2

c/4 c

M∞ = 2

z

x

c/4

c

M∞ = 2 z

x

y

A A

O A B

A

x A x A

y A

● Considere un ala de intradós y extradós planos tanto en y ≤ 0, como en y > 0, como se indica en la figura. Supuesto que el ala vuela en régimen supersónico a M∞ = 21/2, de modo que la corriente incidente es paralela al suelo plano del intradós situado en y ≤ 0, y que los perfiles son cuñas de semiángulo . Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones que determinan la velocidad de perturbación en el borde de salida, u(c,y,0), en los puntos y = –c, y = 0, e y = +c. Indique claramente, en cada caso, los integrandos y los límites de integración de las expresiones pedidas. Si en algún caso es capaz de decir la solución sin necesidad de realizar cálculos, explique claramente el razonamiento que le ha permitido obtener el resultado. SOLUCIÓN El borde de ataque del ala propuesta es supersónico para y < 0 y sónico para y > 0. El caso sónico puede ser analizado como el caso límite de un borde de ataque supersónico o el de uno subsónico (obviamente el resultado es el mismo). Si se considera el límite supersónico, extradós e intradós del ala están desacoplados, de modo que no hace falta descomponer el problema en simétrico y antisimétrico. En el intradós, como la corriente incidente está alineada con el mismo, en ejes viento es w = 0 en todo el intradós, de modo que u(c,–c,0–) = 0, u(c,0,0–) = 0,y u(c,c,0–) = 0. En el extradós la velocidad vertical vale w = 2U∞ en toda el ala, y las velocidades pedidas son u(c,–c,0+) = ubidimensional,

0 /2

2 2 2 20

d d2( ,0,0 )( )

c

o o

c o o o

y yUu c

c y c y y

u(c, c,0+) = 0,

c

c

x

z

y

M∞

En la figura se ha representado un ala plana que vuela a través del aire en calma en régimen supersónico, M 2 . Escriba las expresiones que, dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, permitirían determinar la velocidad de perturbación u en los puntos A(c,0,0) y B(c,7c/8,0). En el punto 1, como el ala es plana, la velocidad viene dada por la fórmula de Evvard-Krasilshchikova, que en este caso, aprovechando la simetría de la configuración, se puede escribir

2 2OB'

( ( ), )2( ,0,0)( ( ))

ba o o o

ba o o

w x y y dyu c

c x y y

BB'2 2

B'BB'B

( ( ), )2(1 tan )( ( ))

o o o

o o

w x y y dy

c x y y

con xba(yo) = 0, w= –U, xBB'(yo) = yo – c/2, yB' = c/2,

yB = 3c/4, y

tan tan 14tan tan4 31 tan tan

4

de modo que

/ 2 3 / 4

2 2 2 20 / 2

2 2( ,0,0)3 3 / 2

c c

o o

o c o o

dy dyUu c

c y c y y

.

En el punto 2, como B es un borde marginal queda

/ 8

22/8

( ,7 /8,0)7 /8

c

o

c o

dyUu c c

c c y

B 2

B'

A

U

O x

y

c

B

B'

A'

A

1

U

O x

y

c

Se desea construir un cuerpo esbelto de longitud l de forma que la densidad de cada sección, (x) esté dada por la ley

d ( )( ) ( ) doS xlx

S x x

donde o es una densidad conocida. Determine la ley de áreas S(x) que hace que el cuerpo tenga resistencia de onda mínima, de entre todos los que tienen la misma masa M y el centro de masas situado a una distancia d = 3l/8 de la proa del cuerpo. Compruebe la validez de la solución obtenida La masa, M, es

3

1 1 30 0

4( ) ( )d ( )d ( ) (0) ;( ) 4

l l

o o oo

l l MM x S x x S x x l S l S A AS x l

La posición del centro de masas, xcm, viene dada por 4 4 2

10 0 0

d ( ) 1( ) ( )d d sin (sin sin2 )dd 4 2 4 2 2

l l

cm o o n oS x Al lx M x S x x l x x A n A

x

Sustituyendo el valor de A1 se obtiene

2 32

o

MAl

Para que la solución tenga sentido físico debe ser (x) 0, es decir d ( ) 0dS x

x

21 2 1 1

1

d ( ) 2sin sin2 sin (1 cos ) sin (1 cos )dS x AA A A A

x A

que se anula en = 0,, manteniéndose positivo en el intervalo [0,], por lo que cumple la condición.

Considere un ala de cuerda c y envergadura 4c, cuyo perfil es una cuña de semiángulo (siendo << 1), que vuela en régimen supersónico (M∞ = 2 ) con ángulo de ataque nulo sobre un suelo plano situado en z = 0. Si es c la altura de vuelo sobre el suelo y u0 = u(c, 2c, c) la velocidad de perturbación paralela al eje x, medida sobre el ala en el punto medio del borde de salida (u0 << U∞), represente en los gráficos adjuntos la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo largo de dicho eje (línea AB, en el tramo 0 x 3c) y a lo largo de la línea paralela al eje x que pasa por el punto (0,0,c/4), línea CD, también en el tramo 0 x 3c. Explique las razones que justifican sus dibujos. Como todos los perfiles son iguales, y el ala es de forma en planta rectangular, sobre el ala, salvo en las zonas de influencia de los bordes marginales, la velocidad de perturbación pedida es u = u0, y justamente en los bordes marginales, con esta geometría se tiene u = u0/2. Esto es así tanto en el plano del ala como en las zonas perturbadas por el ala donde no se nota la influencia de los bordes marginales (donde es u = u0), y en los planos verticales que pasan por los bordes marginales, es decir y = 0 e y = 4c, en las porciones de plano comprendidas entre los conos de Mach que parten del borde de ataque y del borde de salida, como se indica en la figura, donde es u = u0/2. Para simular el suelo se ha de colocar un ala imagen en z = c, para cumplir así las condiciones de contorno en z = 0. En consecuencia, a lo largo de las líneas pedidas, AB y CD, hay tramos no perturbados, otros donde únicamente llega la perturbación producida por una de las alas (como ocurre en el segmento 3c/4 x 5c/4 de la línea CD, donde sólo llega la perturbación producida por el ala situada en z = c), y otros donde llegan las perturbaciones debidas a ambas alas. La solución es pues como se indica en los gráficos adjuntos.

c 2c 3c 0 0

u0 Línea AB

c 2c 3c 0 0

u0 Línea CD

c

c

z

x

M∞

A B

C D

c

c

z

x

M∞

B A C D

4c

c

M∞

y

x A B C D

Considere un ala de forma en planta triangular, que vuela en régimen supersónico (M= 2 ) a

través del aire en calma con ángulo de ataque nulo. Los perfiles del ala son cuñas de semiángulo definido por la expresión (y) = h(y)/c(y), siendo

h(y)=oc[1 – (2y/c)2],

c(y)=c(1 – |2y/c|),

con – c/2yc/2 y o<<1.

Determine la distribución de coeficiente de presión a lo largo del eje x, en el intervalo 0xc; indique claramente el integrando y los límites de integración de la o las expresiones resultantes. SOLUCIÓN Se trata de un problema simétrico, cuya solución, teniendo en cuenta que y = 0 es un plano de simetría, resulta ser

B B

A

2 22 20

( ), ,0 ( ), ,01 2( ,0,0) d d( ( )) ( ( ))

y y

ba o o ba o o

o o

yba o o ba o o

w x y y w x y yu x y y

x x y y x x y y

,

donde, de acuerdo con la figura, en yo ≥ 0 es yB = x/3, xba(yo) = 2yo, w = (yo)U∞, con

2 21 12( ) 121

o o

oo o o

o

y y

yc cy

y c

c

,

de modo que

/3

2 20

2 1 2 /( ,0,0) d( 2 )

x

o oo

o o

U y cu x y

x y y

.

M

z y

c

c/2

c/2 x

h

yo

xo

(x,0,0) c/2

c(yo) = c – 2yo

xba(yo) = 2yo

yB

Considere el ala plana, cuya forma en planta está representada en la figura, volando a través del aire en calma con ángulo de ataque ( << 1) en régimen supersónico (M = 2) El ala tiene 5a de cuerda y una envergadura de 8a, y en variables adimensionalizadas con la longitud a, = x/a, = y/a, los bordes de ataque oblicuos responden a la expresión = (1 + 3/5). Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones que determinan la velocidad de perturbación paralela al eje a lo largo de dicho eje, u(,0,0+), dentro del ala, 0 5. Exprese claramente los valores del o de los integrados y de los límites de integración. Indique cómo resolvería el problema si, manteniendo la forma del borde de ataque, la cuerda del ala fuera mayor (haga un esquema indicando los manantiales que contribuyen a la velocidad en el punto). Solución En 0 1 la solución es la bidimensional: u(,0,0+) = U, mientras que en 1 5, como el ala es plana, w = constante, la integral de superficie es nula, y teniendo en cuenta la simetría del recinto de integración cuando se calcula la velocidad en el eje, se tiene

B' B

B'

2 2 2 20

( ( ), ,0 )d ( ( ), ,0 )d1 ( , ,0 ) (1 tan )2 ( ( )) ( ( ))

y y

ba o o o cr o o o

ba o o cr o oy

w x y y y w x y y yu x y

x x y y x x y y

,

con w = –U en todo el ala. Dividiendo por a queda B' B

B'

2 2 2 20 00

d d( , ,0 ) (1 tan )2 ( ( )) ( ( ))

o o

ba o cr o

u

U

con B'1 54

, B1 5 38

, ( ) 0ba o , B'( )cr o o , y 3 1tan tan atan4 5 4

Si el ala tuviese mayor cuerda las características reflejadas se cruzarían, que dando el esquema de manantiales de la segunda figura.

(+) (–)

U

= 1 + 3/5

B'

B

A'

A

Considere un ala de forma en planta rectangular, de cuerda c y envergadura 2c, cuyos perfiles son cuñas de semiángulo , con << 1, volando con ángulo de ataque nulo en régimen supersónico a M

= 2 a través del aire en calma en presencia de otra ala igual, de modo que la distancia entre los

bordes marginales adyacentes es c. Calcule y dibuje la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo largo de la línea A-B, u(c,y,0+). El problema de calcular la velocidad de perturbación sobre una cuña de semiángulo es bien conocido, de solución: u(c,y,0+) = U

[/2 – arcsin[y/c – 1)], y > 0, si los ejes están centrados en el

punto medio del borde de ataque de la cuña. Esta solución, desplazada convenientemente proporciona la solución pedida, cuya representación gráfica es

M

2c 2c c

c x

y

A B

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

2u/(U)

y/c

Considere la configuración formada por dos alas planas, A, y B, ambas de forma en planta triangular, colocadas con ángulo de ataque y – en un túnel supersónico ( << 1). Las alas están unidas rígidamente mediante una varilla (que no tiene efectos aerodinámicos) a un punto O equidistante entre ambas. Determine los momentos según los ejes x y z, Mx y Mz respectivamente, que las alas ejercen en el punto O. SOLUCIÓN El ala B tiene un comportamiento bidimensional en todos los puntos de la forma en planta, de modo que, como es plana y el número de Mach tal que b = 1, resulta cLB = –4 y cDB = 42, estando las fuerza de sustentación y de resistencia aerodinámica aplicadas en el un punto sobre el ala en la línea y = –c/2. Se podría argumentar que en virtud del teorema del flujo inverso (cap. 2, p. 60) los valores correspondientes para el ala A son, en módulo, los mismos, si bien conviene calcularlos dada la extrema sencillez del cálculo. Este cálculo está hecho en el ejercicio 2.1 para alas con dos bordes de ataque supersónicos, pero los resultados obtenidos no son directamente aplicables aquí, pues al ser los bordes sónicos los resultados de 2.1 presentan singularidades. La solución es

0 2

2 2 2 20

2

d dπy x

o o

y x o o o o

y yu

U x y y y x y y y

0 2

2 20

2

d d1 1 22( ) 2( )

2 2

y x

o o

y xo o

y y x y x y x

x y x yy x y x y x y x x yy y

,

de modo que, como clA(x,y) = 4u/U, el coeficiente de sustentación del ala vale

2 2 22 2 2. . 0 0 0

8 2 d d 16 d( / ) 16d d 42

1

c x c

LA

F P

x x y y xc x x x x

c c cx y y

x

,

y en consecuencia, como el ala es plana con bordes de ataque no subsónicos cDA = 42. Así pues como los coeficientes de resistencia son iguales es Mz = 0, y el coeficiente de momento de balanceo Mx = 4LAc, con

2 2 2 21 22A LAL U c c U c

M 2

c

c

c

c

c

c

c

c

y

O x

A

B

M 2 x

z

O

A

M 2 x

z

O B

Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, indique las integrales que se deberían calcular (especificando claramente el integrando y los límites de integración) para determinar el valor de la velocidad horizontal de perturbación en el extradós del ala plana cuya forma en planta está representada en la figura, que vuela con ángulo de ataque α<<1 y número de Mach 2M∞ =

2( )3

I 222( )

1 dπ( )2

y x

ooy x

o

Uu yyx y y

α+

∞

−

−= − − − −

∫

2( )0 3

II 2 22 22 0( )3

1 1d dπ π( ) ( )2 2

y x

o oo oy x o o

U Uu y yy yx y y x y y

α α+

∞ ∞

−

− −= − − + − − − − −

∫ ∫

2(4 )

III 222( )

1 dπ( )2

c x y

ooy x

o

Uu yyx y y

α− −

∞

−

−= − − − −

∫

2(4 )0

IV 2 22 22 0( )3

1 1d dπ π( ) ( )2 2

c x y

o oo oy x o o

U Uu y yy yx y y x y y

α α− −

∞ ∞

−

− −= − − + − − − − −

∫ ∫

M∞

I

M∞

II

M∞

III

M∞

IV

AERODINÁMICA II S-1

EJERCICIO S01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere un ala de cuerda c y envergadura 4c, cuyo perfil es una cuña de semiángulo δ (siendo δ << 1), que vuela en régimen supersónico (M∞ = 2 ) con ángulo de ataque nulo sobre un suelo plano situado en z = 0. Si es c la altura de vuelo sobre el suelo y u0 = u(c, 2c, c) la velocidad de perturbación paralela al eje x, medida sobre el ala en el punto medio del borde de salida (u0 << U∞), represente en los gráficos adjuntos la variación de la velocidad de perturbación paralela al eje x a lo largo de dicho eje (línea AB, en el tramo 0 ≤ x ≤ 3c) y a lo largo de la línea paralela al eje x que pasa por el punto (0,0,c/4), línea CD, también en el tramo 0 ≤ x ≤ 3c. Explique las razones que justifican sus dibujos. Solución Como todos los perfiles son iguales, y el ala es de forma en planta rectangular, sobre el ala, salvo en las zonas de influencia de los bordes marginales, la velocidad de perturbación pedida es u = u0, y justamente en los bordes marginales, con esta geometría se tiene u = u0/2. Esto es así tanto en el plano del ala como en las zonas perturbadas por el ala donde no se nota la influencia de los bordes marginales (donde es u = u0), y en los planos verticales que pasan por los bordes marginales, es decir y = 0 e y = 4c, en las porciones de plano comprendidas entre los conos de Mach que parten del borde de ataque y del borde de salida, como se indica en la figura, donde es u = u0/2. Para simular el suelo se ha de colocar un ala imagen en z = −c, para cumplir así las condiciones de contorno en z = 0. En consecuencia, a lo largo de las líneas pedidas, AB y CD, hay tramos no perturbados, otros donde únicamente llega la perturbación producida por una de las alas (como ocurre en el segmento 3c/4 ≤ x ≤ 5c/4 de la línea CD, donde sólo llega la perturbación producida por el ala situada en z = c), y otros donde llegan las perturbaciones debidas a ambas alas. La solución es pues como se indica en los gráficos adjuntos.

c 2c 3c 0 0

u0 Línea AB

c 2c 3c 0 0

u0 Línea CD

c

c

z

x M∞

A B

C D

c

c z

x

M∞ δ

B A C D

4c

c

M∞

y

x A B C D

AERODINÁMICA II S-2

EJERCICIO S02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Calcule la resistencia inducida de un ala de envergadura b y alargamiento Λ que vuela en régimen estacionario en el seno de un fluido incompresible de densidad ρ∞ a velocidad U∞, sabiendo que la velocidad vertical, w(∞,y,0±), en la estela viene dada por la expresión

2( , ,0 ) cos 2cos cos 2w y A B CU θ θ θ±

∞

∞ ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

donde cos2by θ= , 0 θ π≤ ≤ , y A, B y C son constantes conocidas.

Solución La resistencia inducida es la misma que la de un ala larga de la misma envergadura. La velocidad inducida en la estela (el doble que sobre el ala) es

21sin

( , ,0 ) cos 2cos cos 2sin

nn

nA nw y A B CU

θθ θ θθ

∞

+=

∞

∞ ⎡ ⎤= = + + +⎣ ⎦

∑ es decir

2

1sin sin cos (2cos cos 2 ) sin sin 2 sin 32n

n

BnA n A B C A Cθ θ θ θ θ θ θ θ∞

=

⎡ ⎤= + + + = + +⎣ ⎦∑

Por lo tanto, 1 2 3; 2 ; 32BA A A A C= = = . El coeficiente de resistencia inducida es

2 22 24 4 8 3Di n

B CC nA Aπ π ⎡ ⎤Λ Λ= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

EJERCICIO S03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere un cuerpo esbelto de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes a(x) y ka(x), con a(x) << l y k < 1 de orden unidad e igual para todas las secciones. Calcule la distribución de fuerzas sobre el cuerpo Fz(x), que para cada x representa la fuerza desde el morro hasta la sección x, cuando el cuerpo vuela a ángulo de ataque α a través del aire en calma con velocidad U∞ en el seno de una atmósfera de densidad ρ∞. Solución

1d

2 dg

Y ZT

F iF U a U S xρ π∞ ∞ ∞⎡ ⎤

+ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

2bt τ τ= + 2

(1 )212

ar kab k

⎧ = +⎪⎨

= −⎪⎩

2( ) rF i U i U tτ α τ ατ∞ ∞

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 ( )a i U r bα ∞= +

gT i xα= − 2 2 2 2 22 ( )zF U U b r U ka U aρ πα απ ρ απ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦

r

a

ka

AERODINÁMICA II S-3

EJERCICIO S04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● En la figura se han representado (necesariamente de forma idealizada) las distribuciones de coeficiente presión en el extradós correspondientes a los tres efectos (espesor, curvatura y ángulo de ataque) que configuran un cierto perfil de ala. Supuesto que dichas distribuciones corresponden al caso incompresible, y supuesto que es aplicable la teoría linealizada, determine la variación con el ángulo de ataque α (0 ≤ α ≤ 0,04) del número de Mach crítico, Mcr, del perfil en consideración.

Solución El coeficiente de presión en el extradós del perfil es la suma de los tres efectos considerados, y el mínimo de la distribución resultante depende, obviamente, del valor del ángulo de ataque. A la vista de las distribuciones es evidente que tal mínimo ocurrirá en el punto medio del perfil (si el ángulo de ataque es pequeño) y estará gobernado por la distribución de coeficiente de presión asociada a la curvatura, mientras que el mínimo ocurrirá en el borde de ataque del mismo (si el ángulo de ataque es grande), estando ahora gobernado por la distribución de coeficiente de presión asociada al ángulo de ataque. El valor límite que separa estas dos regiones se obtiene expresando la igualdad de ambos mínimos: cpe,esp,x/c=0 + cpe,curv,x/c=0 + cpe,ang,x/c=0 = cpe,esp,x/c=1/2 + cpe,curv,x/c=1/2 + cpe,ang,x/c=1/2, es decir: 0,1 + 0 + 15α = 0,1 + 0,2 + 5α,, de donde resulta α = 0,02. En la tabla adjunta se muestran los valores de cpe,x/c=0 y cpe,x/c=1/2 para los valores del ángulo de ataque indicado, el valor mínimo de cada par y el valor del número de Mach crítico Mcr que se obtiene del gráfico correspondiente.

α [radian] −cpe,x/c=0 −cpe,x/c=1/2 −cpe,min Mcr

0 0,10 0,30 0,30 ≈0,795

0,01 0,25 0,35 0,35 ≈0,780

0,02 0,40 0,40 0,40 ≈0,760

0,03 0,55 0,45 0,55 ≈0,720

0,04 0,70 0,50 0,70 ≈0,685

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 α

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Mcr

−cpe

0,2

0 0 1/2 1

x/c

curvatura −cpe

0,1

0 0 1/2 1

x/c

espesor

−cpe/α

10

0 0 1/2 1

x/c

ángulo de ataque 15

5

AERODINÁMICA II S-4

EJERCICIO S05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere un ala esbelta de longitud l cuyas secciones transversales son elipses de semiejes a y ka, con a<<l y k < 1 (k es igual para todas las secciones). Se quiere calcular el ala que produzca mínima resistencia de onda, que tenga un volumen V dado (ya que dentro del ala irá alojado el combustible) y que la distancia entre el centro de presiones y el centro de gravedad del ala, supuesta sólida y de densidad uniforme, sea l/20, como se muestra en la figura. Se pide:

1. Calcule, en función de los coeficientes An, la distancia entre el centro de gravedad y el morro del ala (vea la nota al final del enunciado).

2. Si la fuerza hasta una sección dada (cuando el ala vuela con ángulo de ataque α) se escribe

como ( ) ( )2zF x U S x

kα ρ∞ ∞= , donde S(x) es la distribución de áreas, calcule la distancia a la

que se encuentra el centro de presiones del morro del ala en función de los coeficientes An. 3. Escriba la ligadura que expresa la distancia que debe existir entre el centro de presiones y el

centro de gravedad en función de los coeficientes An. 4. Escriba claramente las ecuaciones que hay que resolver para obtener los coeficientes An para

que el ala tenga mínima resistencia de onda y cumpla las ligaduras. 5. Indique cómo comprobaría que la solución obtenida es válida.

Nota: recuerde que 1

sinnn

dS l A ndx

θ∞

=

= ∑ , donde S(x) es la

distribución de áreas al cortar el cuerpo por secciones normales a su eje longitudinal. Solución

1) 32

14 321

20 1

118 2 81 11( )d 16 8 2 8 2 2

l

cg cg

AAl AAAlx xS x x x AV V AA

π⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= → = − − =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ .

2) ( ) 21

0

d ( ) 12 2

l

z cp z cpAlF l x x F x x A

⎛ ⎞= → = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

3) 2 21 1 2 1 3 219 22 5 10 020cp cg

lx x A A A A A A− = → − − + = .

4) Hay que minimizar Donda cumpliendo las siguientes ligaduras: 3

218 2

AlV Aπ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (1)

2 21 1 2 1 3 219 22 5 10 0A A A A A A− − + = . (2)

Como en las ligaduras sólo aparecen los coeficientes A1, A2 y A3, el resto debe ser cero para que Donda sea mínima, por tanto hay que minimizar las función:

2 2 21 2 32 3A A A+ +

cumpliendo las ligaduras (1) y (2). Para ello se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange:

32 2 2 2 221 2 3 1 1 1 2 1 3 2( 2 3 ) (19 22 5 10 )8 2

AlA A A A V A A A A A Aπλ μ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + − − + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦L

31 1 2 3

10 2 (38 22 5 ) 08

lA A A AAπλ μ∂ = → + + − − =∂

L

CG CP

l/20

AERODINÁMICA II S-5

32 1 2

20 4 ( 22 20 ) 016

lA A AAπλ μ∂ = → − + − + =∂

L

3 13

0 6 5 0A AA μ∂ = → − =∂L

32

1 08 2Al A Vπ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 1 2 1 3 219 22 5 10 0A A A A A A− − + =

Este sistema de ecuaciones no lineales proporciona los valores de A1, A2 y A3 que dan mínima resistencia de onda. 5) Revisamos las hipótesis empleadas a lo largo del ejercicio:

a) Para que el modelo empleado para el cálculo del momento sea válido: d 0 (0, )d

S x lx ≥ ∈ .

b) Hipótesis hecha para el cálculo de la resistencia de onda. A simple vista se comprueba que se cumple: d 0 (0, )d

S x lx = = .

c) Para que la teoría de cuerpos esbeltos sea aplicable:

2 2 2 11 12

( ) ( ) ( )4 4 2( ) ( )

l AS l A l lA ka l a l lkS l ka l

π π ππ

⎫⎪= → = → = <<⎬= ⎪⎭

.

EJERCICIO S06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere una familia de alas esbeltas planas de envergadura 2b y cuerda en la raíz L (L >> b), cuya forma en planta queda definida por la expresión

2y ba aξ ξ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

siendo ξ = x/L, con 0 ≤ ξ ≤ 1, y a un parámetro adimensional (1/2 ≤ a ≤ 1) que identifica a los distintos miembros de la familia de alas. Supuesto que vuelan con ángulo de ataque pequeño a través del aire en calma, calcule y represente la variación con el parámetro a de la posición del centro de presiones. Solución Las alas tienen el máximo de la función que define la forma en planta en ξ = a (x = La), y dicho máximo vale b. Como cada ala sustenta únicamente entre el morro y la sección máxima, es evidente que el centro de presiones varía linealmente con el parámetro a. En efecto, la fuerza de sustentación entre el morro y la sección x vale F(x) = ky2, con 2k Uαπρ∞ ∞= , de modo que tomando momentos con respecto a x = 0, llamando η = x/(La) = ξ/a, se tiene

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

d1 d 1 d

dcp

FF F F

ηη η η η η

η= = −∫ ∫ ,

( )( ) ( )

1 12 3 4

0 0

71 d 1 4 4 d1 15cp

FF

ηη η η η η η= − = − − + =∫ ∫ , y por tanto 7

15cpx La= .

y

x

b

L

U∞

y

x

b U∞

AERODINÁMICA II S-6

EJERCICIO S07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● En la figura se muestra un ala esbelta de cuerda máxima L (L >> b) que vuela a través del aire en calma con velocidad U∞ y ángulo de ataque α << 1. La forma en planta del ala está definida por las expresiones: 1 0( )b x b ξ ξ= , 0 ≤ ξ ≤ ξ0, 2 ( )b x bξ= , ξ0 ≤ ξ ≤ 1, con ξ = x/L. Dentro de la validez de la teoría de alas esbeltas, determine, en función de ξ0 (0 ≤ ξ0 ≤ 1), la posición del centro de presiones del ala. Solución Según la fórmula de Ward, la fuerza entre el morro del ala y la sección ξ es proporcional al cuadrado de b(ξ), de modo que F1(ξ) = kb2ξ0ξ, 0 ≤ ξ ≤ ξ0, F2(ξ) = kb2ξ2, ξ0 ≤ ξ ≤ 1, Tomando momentos respecto a ξ = 0, se tiene

0 00

0

0 0

1 111 2

2 1 1 2 200 0

d ( ) d ( )(1) d d ( ) ( )d ( ) ( )dd dcpF FF F F F F

ξ ξξ

ξξ ξ

ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξξ ξ

= + = − + −∫ ∫ ∫ ∫

( )0

0

12 3

0 0

0

11 d d 46cp

ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= − − = −∫ ∫

EJERCICIO S08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere el ala plana, cuya forma en planta está representada en la figura, volando a través del aire en calma con ángulo de ataque α (α << 1) en régimen supersónico (M∞ = √2) El ala tiene 5a de cuerda y una envergadura de 8a, y en variables adimensionalizadas con la longitud a, ξ = x/a, η = y/a, los bordes de ataque oblicuos responden a la expresión η = ±(1 + 3ξ/5). Dentro de la validez de la teoría potencial linealizada de alas en régimen supersónico, escriba las expresiones que determinan la velocidad de perturbación paralela al eje ξ a lo largo de dicho eje, u(ξ,0,0+), dentro del ala, 0 ≤ ξ ≤ 5. Exprese claramente los valores del o de los integrados y de los límites de integración. Indique cómo resolvería el problema si, manteniendo la forma del borde de ataque, la cuerda del ala fuera mayor (haga un esquema indicando los manantiales que contribuyen a la velocidad en el punto). Solución En 0 ≤ ξ ≤ 1 la solución es la bidimensional: u(ξ,0,0+) = αU∞, mientras que en 1 ≤ ξ ≤ 5, como el ala es plana, w = constante, la integral de superficie es nula, y teniendo en cuenta la simetría del recinto de integración cuando se calcula la velocidad en el eje, se tiene

B' B

B'

2 2 2 20

( ( ), ,0 )d ( ( ), ,0 )d1 ( , ,0 ) (1 tan )2 ( ( )) ( ( ))

y y

ba o o o cr o o o

ba o o cr o oy

w x y y y w x y y yu x yx x y y x x y y

π γ+ +

+− = + −− − − −∫ ∫ ,

con w = –αU∞ en todo el ala. Dividiendo por a queda B' B

B'

2 2 2 20 00

d d( , ,0 ) (1 tan )2 ( ( )) ( ( ))

o o

ba o cr o

uU

η η

η

η ηπ ξ η γα ξ ξ η η ξ ξ η η

+

∞

= + −− − − −∫ ∫

ξ

y

ξ0

b

b

b(x)

1

U∞

AERODINÁMICA II S-7

con ( )B'1 54

η ξ= − , ( )B1 5 38

η ξ= + , ( ) 0ba oξ η = , B'( )cr o oξ η η η= − , y 3 1tan tan atan4 5 4πγ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si el ala tuviese mayor cuerda las características reflejadas se cruzarían, que dando el esquema de manantiales de la segunda figura. EJERCICIO S09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Un ala plana de forma en planta rectangular, envergadura b y superficie S, vuela a través del aire en calma (de densidad ρ) con velocidad U∞ y ángulo de ataque α << 1. La velocidad inducida a lo largo de la huella de la estela del ala en el plano de Trefftz vale w(∞,y,0) = kU∞, donde k es una constante (k << 1). Determine la sustentación del ala. Solución En el plano de Trefftz, si fuera un ala elíptica que dejara la misma huella se tendría w(∞,y,0) = kU∞ = A1U∞, luego A1 = k, y cL = πΛA1/2 = πb2A1/(2S) = πb2k/(2S), por tanto

2 2 212 LL U Sc U b kρ πρ∞ ∞= =

EJERCICIO S10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● En la figura se ha representado la forma en planta genérica de una familia de alas planas esbeltas (ε << 1). Supuesto que vuelan a través del aire en calma con ángulo de ataque α << 1, determine la sustentación y la posición del centro de presiones en los casos k = 2, 1, 0 y –1. Solución Cuando –1 ≤ k ≤ 0 la zona posterior del ala (1/2 ≤ x/l ≤ 1) no sustenta pues db/dx ≤ 0, entonces

( )2214

F U lαρ ε∞= , xCP = l/3.

(+) (–)

η

ξ

U∞

ξ

η η = 1 + 3ξ/5

B'

B

A'

A

l/2 l/2

εl(1+k)/2 εl/2

x

y

AERODINÁMICA II S-8

Cuando es k >0 se tiene ( )2214

F U k lαρ ε∞= ,y el momento respecto a (0,0) es

( ) ( )/ 2

2 220 1 2

0 / 2

d d( ) d ( ) dd d

l l

l

M U x b x x x b x xx x

αρ ∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ,

con 1( )b x xε= y ( )21( ) 12

b x k x l kε ε= + − . En el caso k = 1 el ala es triangular y por tanto

xCP = 2l/3, mientras que para k = 2 resulta xCP = 20l/27. EJERCICIO S11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere la familia de alas planas esbeltas, de cuerda máxima l y de sección final 2b0 cuya forma en planta está dada por la expresión

0 (2 )( ) ; / ,2 1

b kb x lk

ξ ξξ ξ−= =

− 0 ≤ ξ ≤ 1,

donde b(ξ) es la semienvergadura en la sección ξ = constante. El parámetro de la familia toma valores en el intervalo 2/3 ≤ k ≤ 2. Se pide 1) Calcule la posición del centro de presiones en función del parámetro k de la familia. 2) Determine la posición del centro de presiones en el ala de la familia que tiene borde de salida estacionario. Solución Como es bien sabido, un ala esbelta sólo sustenta en la parte del ala donde db(ξ)/dξ > 0; así pues, de db(ξ)/dξ = 0 resulta ξmax = k, siendo ξmax el punto donde b(ξ) alcanza su valor máximo, que es:

1) 2

0max 2 1

b kbk

=−

si k ≤ 1 (en este caso el ala sólo sustenta en el intervalo 0 ≤ ξ ≤ k)

2) bmax = b0 si k ≥ 1 (ahora sustenta toda la superficie del ala, 0 ≤ ξ ≤ 1) Por tanto, será:

( )max

2max 2

max 0

1 dcp bb

ξ

ξ ξ ξ ξ= − ∫ ,

donde ξcp es la posición del centro de presiones, resultando

( )224

0

1 72 d15

k

cpkk k

kξ ξ ξ ξ= − − =∫ , en el caso 1) y

( )

( )( )

1 2222 2

0

1 20 15 31 2 d 12 1 15 2 1

cpk kk

k kξ ξ ξ ξ − +

= − − = −− −∫ , en el caso 2).

Obviamente para el borde de salida estacionario es ξcp =7k/15, con k = 1. EJERCICIO S12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Calcule la sustentación producida por un ala esbelta de forma en planta triangular cuyas secciones al cortar por planos y = constante son arcos de circunferencia (figura S12-1), de modo que el ala está recortada sobre un cilindro circular de radio R (véase la figura S12-2).

Plano ω = t−tg

αU∞

Fig. S12-1

AERODINÁMICA II S-9

Solución Una vez definido el problema en el plano ω (un arco de circulo con los extremos en (−b,0) y (b,0) y su punto medio en (0,kb), la transformación de Yukovski, 2 /(4 )bω τ τ= + , convierte el contorno inicial en una circunferencia de centro en (0, kb/2) y radio R = (1+k2)½b/2 y sometida a una corriente incidente de intensidad αU∞ paralela al eje z. El potencial complejo en el plano τ es:

2

ii 2RUkb

α ττ∞

⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

de forma que en el plano ω el potencial complejo de perturbación vale:

2

( ) i ii 2Rf U Ukb

ω α τ α ωτ∞ ∞

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

Para calcular el residuo de f(ω), que es igual al residuo del problema escrito en la variable t, se calcula el residuo de cada uno de los tres sumandos que aparecen en el segundo miembro de esta expresión. Así pues:

τ ωω

ωω

ωω

= + −FHG

IKJ

= − +FHG

IKJ = − +

12

1 1 12

22 4

2

2

2

2

2b b b... .. .,

2 2 2

2 ...ii 2 ...2 4

R R Rkb bkbτ ωω

ω

= = +− − − +

,

de modo que

2 2

( ) i ...4b Rf Uω α ω ωω ω∞

⎛ ⎞= − − − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

En consecuencia el residuo vale:

2 2

2 21

2i i4 4b ka U R U bα α∞ ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y la fuerza vertical sobre el ala:

2

2 212π 1 π .

2kF a U U bρ αρ∞ ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Como se ve en el límite de k<<1 la sustentación no cambia (en primer orden) con respecto de la que habría con k=0. Cálculo de la posición del centro

kb f R bf R

f R kb f R b= + −

++ − + − =( ) , ( )

22

2

4 40a f a f

kb f R bf R

f R kb f R b= − −

−− − − − =( ) , ( )

22

2

4 40a f a f

Restando f R f R kbR f R f R f R f R kbR fR kbR+ − − − = + + − + − − − = − =a f a f a f a fb g a f a fb g2 2 2 2 4 2 0 y por tanto f=kb/2.

Fig. S12-2

AERODINÁMICA II S-10

EJERCICIO S13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ● Considere un tubo de Pitot situado en el seno de una corriente incidente de un líquido ideal, de velocidad U∞, presión p∞ y densidad ρ∞. El tubo de Pitot está formado por una “nariz” de longitud l de forma elipsoidal, seguida de un tubo cilíndrico de diámetro d, l >> d. Suponga que los orificios de las tomas de presión estática, donde la presión es pe, no perturban al flujo. Dentro de la validez de la teoría linealizada de cuerpos esbeltos: Calcule el coeficiente de presión, cpe, en las tomas de presión estática, situadas en x = le. Simplifique los cálculos y las expresiones suponiendo que le >> l. 2) Calcule el error, E = 1−Um/U∞,que se comete en la determinación de la velocidad debido a este efecto, en función de le /d. Um es la velocidad medida, definida como [ ]1/ 22( ) /m o eU p p ρ∞= − , y po es la presión de remanso de la corriente incidente. 3) Determine el valor de las componentes de la velocidad sobre la nariz. Solución El potencial de perturbación, régimen incompresible, empleando variables no dilatadas es:

( ) 0

( ) ( )( , ) 2 ( ) ln d2

lr f x fx r f x

xx l xξϕ ξ

ξ−

= − −−− ∫ , con d( )

4 dUf x

xπ∞= −

S .

Como ( )( ) 22dr x x l xl

= − en 0 ≤ x ≤ l, y r(x) = d/2 en x ≥ l, resulta ( )2

2( )8

U df x l xl

∞= − − o

f(x) = 0 según sea x menor o mayor que l.

Cuando 0 ≤ x ≤ l se tiene: ( )( )

2

20

( , ) 2 ln d8 2

lU d r xx r l x

xl x l xξϕ ξξ

∞⎡ ⎤−⎢ ⎥= − −

−⎢ ⎥−⎣ ⎦∫ , (1)

y cuando x ≥ l, teniendo en cuenta que ahora es f(x) = 0 resulta 2

20

( , ) d8

lU d lx r

xlξϕ ξξ

∞ −= −

−∫ , y como

( )2

0 0

d 1 d ln 12

l ll l x l ll l xx x x x

ξ ξ ξξ ξ

⎛ ⎞− − ⎛ ⎞= + = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ , se obtiene 2

16U d

xϕ ∞= − , de modo que

2

216xU d

xϕ ∞= y por tanto

2 2

2 22

8 8x

pee

d dcU x lϕ

∞

= − = − = − . El error es 2

21 116pe

e

dE cl

= − − − .

Para calcular la velocidad en la parte elíptica hay que volver a la expresión (1). Teniendo en cuenta

que0 0

d d d 2l x l

x

x x lx

ξ ξ ξ ξξ

−= − = −

−∫ ∫ ∫ , se tiene ( )( )

2

2( , ) 2 ln 28 2

U d rx r l x l xl x l x

ϕ ∞⎡ ⎤⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

, y

de aquí, por derivación, se obtiene la velocidad pedida.

r

x

l

e

U∞ p∞ ρ∞

W.H. Mason

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7. Transonic Aerodynamics ofAirfoils and Wings

7.1 IntroductionTransonic flow occurs when there is mixed sub- and supersonic local flow in the same flowfield(typically with freestream Mach numbers from M = 0.6 or 0.7 to 1.2). Usually the supersonicregion of the flow is terminated by a shock wave, allowing the flow to slow down to subsonicspeeds. This complicates both computations and wind tunnel testing. It also means that there is verylittle analytic theory available for guidance in designing for transonic flow conditions. Importantly,not only is the outer inviscid portion of the flow governed by nonlinear flow equations, but thenonlinear flow features typically require that viscous effects be included immediately in theflowfield analysis for accurate design and analysis work. Note also that hypersonic vehicles withbow shocks necessarily have a region of subsonic flow behind the shock, so there is an element oftransonic flow on those vehicles too.

In the days of propeller airplanes the transonic flow limitations on the propeller mostly keptairplanes from flying fast enough to encounter transonic flow over the rest of the airplane. Here thepropeller was moving much faster than the airplane, and adverse transonic aerodynamic problemsappeared on the prop first, limiting the speed and thus transonic flow problems over the rest of theaircraft. However, WWII fighters could reach transonic speeds in a dive, and major problems oftenarose. One notable example was the Lockheed P-38 Lightning. Transonic effects prevented theairplane from readily recovering from dives, and during one flight test, Lockheed test pilot RalphVirden had a fatal accident. Pitching moment change with Mach number (Mach tuck), and Machinduced changes in control effectiveness were major culprits.1

The invention of the jet engine allowed aircraft to fly at much higher speeds (recall that theGermans used the Me 262 at the end of WWII, in 1944, and the Gloster Meteor was apparently thefirst operational jet fighter). Since the advent of the jet engine, virtually all commercial transportsnow cruise in the transonic speed range. As the Mach number increases, shock waves appear in theflowfield, getting stronger as the speed increases. The shock waves lead to a rapid increase in drag,both due to the emergence of wave drag, and also because the pressure rise through a shock wavethickens the boundary layer, leading to increased viscous drag. Thus cruise speed is limited by therapid drag rise. To pick the value of the Mach number associated with the rapid increase in drag, weneed to define the drag divergence Mach number, MDD. Several definitions are available. The oneused here will be the Mach number at which dCD/dM = 0.10.

7-2 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

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After WWII, it was found that the Germans were studying swept wings to delay the drag riseMach number. Allied examination of German research led to both the North American F-86 and theBoeing B-47 designs being changed to swept wing configurations. The idea of swept wings can betraced to Busemann’s Volta conference paper of 1935, and the wartime ideas of R.T. Jones at theNACA. Ironically, the airplane used for the first manned supersonic flight (the X-1, in 1947), didnot use a jet engine or wing sweep. It was a rocket powered straight wing airplane. However, shortlythereafter, the F-86, a swept wing jet powered fighter, went supersonic in a shallow dive.

Thus, advances in one technology, propulsion, had a major impact on another, aerodynamics,and illustrates the need to carefully integrate the various technologies to achieve the best totalsystem performance. The formal process of performing this integration has become known asmultidisciplinary design optimization (MDO).

7.2 Physical aspects of flowfield development with Mach number.Figure 7-1, taken from the classic training manual, Aerodynamics for Naval Aviators,2 shows thedevelopment of the flow with increasing Mach number, starting from subsonic speeds. At somefreestream Mach number the local flow becomes sonic at a single point on the upper surface wherethe flow reaches its highest speed locally. This is the critical Mach number. As the freestreamMach number increases further, a region of supersonic flow develops. Normally the flow is broughtback to subsonic speed by the occurrence of a shock wave in the flow. Although it is possible todesign an airfoil to have a shock-free recompression, this situation is usually possible for only asingle combination of Mach number and lift coefficient. As the Mach number increases, the shockmoves aft and becomes stronger. As the Mach number continues to increase, a supersonic regionand shock wave also develops on the lower surface. As the Mach number approaches one, theshocks move all the way to the trailing edge. Finally, when the Mach number becomes slightlygreater than one, a bow wave appears just ahead of the airfoil, and the shocks at the trailing edgebecome oblique. These shock waves are the basis for the sonic boom. Many variations in thespecific details of the flowfield development are possible, depending on the specific geometry of theairfoil.

This typical progression of the flow pattern, as shown in Figure 7-1, leads to rapid variations indrag, lift and pitching moment with change in Mach number. Today we can predict these variationscomputationally. However, when these changes were initially found in flight, they were dangerousand appeared mysterious to designers because there was no understanding of the fluid mechanicsof the phenomena.

Note that problems with pitching moment variation with Mach number and the flowfield over acontrol surface using a hinged deflection led to the introduction of the all-flying tail in the X-1 andlater models of the F-86. Subsequently, all-flying tails became standard on most supersonic tacticalaircraft. This was considered an important military advantage, and was classified for several years.

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-3

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Based on military experience, Lockheed used an all-flying tail on the L-1011, while the othertransport manufacturers continued to use a horizontal tail and elevator.

Figure 7-1. Progression of shock waves with increasing Mach number, as shown inAerodynamics for Naval Aviators,2 a classic Navy training manual (not copyrighted).

7.3 Technology Issues/developments

7.3.1 The slotted wall wind tunnelSeveral advances in technology were key to our ability to design efficient transonic aircraft. Theproblem with wind tunnel testing was the reflection of shocks from the tunnel walls and the

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tendency of the flow to choke as it went past the model. Wind tunnel results were completelywrong. The invention of the slotted wall wind tunnel at NACA Langley in the late 1940s allowed thetunnel interference effects to be significantly reduced, and led to practical wind tunnel testingmethods. A chapter in Becker’s book describes how this capability came about.3 The slots areclearly shown in Figure 7-2. Using the 8-foot slotted wall wind tunnel at NASA Langley,Whitcomb, who had earlier developed the area rule, made a breakthrough in airfoil design. Hissupercritical airfoil designs spurred renewed interest in airfoil design for increased efficiency attransonic speeds.4 His group also had to figure out how to simulate the full scale Reynolds numberat sub scale conditions.5 Finally, in the early 1970s, breakthroughs in computational methodsproduced the first transonic airfoil analysis codes, which are described briefly in the next section.

Figure 7-2. A slotted wall wing tunnel test section. This picture is of a small blow-downtunnel design that was used to validate the concept before the largecontinuous-flow tunnels were constructed at NACA Langley ResearchCenter. This specific tunnel is a copy of the one made at Langley and wasconstructed by Republic Aviation in Farmingdale, NY. When Fairchildaviation purchased Republic, Grumman Aircraft bought the tunnel.

7.3.2 Computational challenges/methods

The theoretical/computational transonic flow problem was very hard. Initially, very few analytic ornumerical methods were available. By 1970, “everybody” was trying to come up with a method tocompute the transonic flow over an airfoil (the “blunt body problem”, which was important inpredicting the flowfield at the nose of re-entering ballistic missiles and the manned space program,

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-5

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had just been conquered, see Chapter 11). The transonic problem is difficult because it is inherentlynonlinear, and the steady solution changes math types, being elliptic in the subsonic portion of theflow and hyperbolic in the supersonic part of the flow. Earll Murman and Julian Cole made themajor breakthrough.6 Using transonic small disturbance theory, they came up with a scheme thatcould be used to develop a practical computational method. Equation 7-1 illustrates how thenonlinear term in the equation allows for the equation to change type, and indeed provides a way forthe type to be found locally in a computational scheme.

1− M∞2 − γ + 1( )M∞

2φx⎡⎣ ⎤⎦>0 elliptic PDE<0 hyperbolic PDE

φxx + φyy = 0 (7-1)

In Murman and Coles’s scheme shocks emerged naturally during the numerical solution of theequation. Essentially, they used finite difference approximations for the partial derivatives in thetransonic small disturbance equation. The key to making the scheme work was to test the flow ateach point to see if the flow was subsonic or supersonic. If it was subsonic, a central difference wasused for the second derivative in the x-direction. If the flow was supersonic, they used an upwinddifference to approximate this derivative. This allowed the numerical method to mimic the physicalbehavior of the flowfield. The nonlinear coefficient of the φxx term in Eq. (7-1) is a first derivative inx, φx. A central difference approximation can be used for this term. Since the solution is found byiteration, old values can be used for φx. Their approach became known as “mixed differencing,”and it was a simple way to capture the physics of the mixed elliptic-hyperbolic type of the partialdifferential equation. Because shocks emerge during the solution process, The method is termed a“shock capturing” method, and was much simpler for a general 3D method than a competingmethod at the time, in which shocks were located and across which the Rankine-Hugoniotconditions were satisfied analytically. This was known as a “shock fitting” method. Althoughseveral theoretical refinements were required, their scheme led to today’s codes. Hall has describedthe circumstances under which this breakthrough took place.7 The code known as TSFOIL was thefinal development of small disturbance theory methods for 2D.8

After hearing Earll Murman describe his new method at the AIAA Aerospace SciencesMeeting in New York City in January of 1970, Antony Jameson, at the time working for Grumman,returned to Bethpage on Long Island, coded up the method himself, and then went on to extend theapproach to solve the full potential equation in body fitted coordinates. This required severaladditional major contributions to the theory. The code he developed was known as FLO6,9 and,after several more major methodology developments, resulted in the extremely efficient full potential

7-6 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

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flow code known as FLO36.10 These were the first truly accurate and useful transonic airfoilanalysis codes. Holst has published a survey describing current full potential methods.11

The next logical development was to add viscous effects to the inviscid calculations, and toswitch to the Euler equations for the outer inviscid flow. By now, many researchers were workingon computational flow methodology, which had become an entire field known as CFD. An entranceto the literature on computational methodology is available in the survey article by Jameson.12 TheEuler solution method used here is from a code known as MSES,13 by Prof. Mark Drela of MIT.

Figure 7-3 provides a comparison of the predictions for the transonic flow over an NACA0012 airfoil at M = 0.75 and 2° angle of attack for the key inviscid flow models. In general, theresults are in good agreement. However, the full potential solution predicts a shock that is toostrong, and too far aft. The small disturbance theory is in close agreement with the full potentialsolution, while the Euler equation model, which is the most accurate of these flow models, has aweaker shock located ahead of the other methods. This occurs for two reasons. First, the potentialflow model does not contain the correct shock jump. Second, there is no loss in stagnation pressureacross the shock in the potential flow models, making them insensitive to the “back pressure”downstream, to use an analogy from nozzle flows.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Cp-upper (TSFOIL2)Cp-lower (TSFOIL2)CP (FLO36)Cp (MSES)Cp crit

Cp

X/C

NACA 0012 airfoil, M = 0.75, α = 2°

Euler Eqn. Sol'n.

Full potential eqn. sol'nTransonic small disturnbancetheory eqn. sol'n.

Cp critical

Figure 7-3. Comparison of pressure distributions on an NACA 0012 airfoil at M = 0.75, andα = 2° using three different computational methods, small disturbance theory(TSFOIL2), the full potential equation (FLO36), and the Euler equations (MSES).

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-7

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Several key points need to be made while examining Figure 7-3. First, the solutions for transonicflow are found from iterative solutions of a system of nonlinear algebraic equations. This is muchmore difficult than the subsonic case, where the equations for panel methods are linear. The codesrequire much more care in their operation to obtain good results. Students often ask for solutionsfor flow cases that are too difficult to solve. You can’t ask for a solution at M = 0.95 and 10° angleof attack and expect to get a result from most codes. Students should start with known cases thatwork, and try to progress slowly to the more difficult cases. Next, the shock is typically smearedover several grid points in the numerical solution. The actual solution point symbols have beenincluded in the plots in Figure 7-3 to illustrate this. Finally, the region where the flow is locallysupersonic can be observed by comparing the local value of the pressure coefficient to the criticalvalue, shown on the figure as a dashed line. If the pressure coefficient at a point on the airfoil islower (more negative) than the critical value at that point, the flow is supersonic at that point. Thecritical value is the point on the airfoil where, assuming isentropic flow, the value of the pressurecorresponds to a local Mach number of one. The derivation of Cpcrit is given in any good basiccompressible flow text, and the formula is:

Cpcrit = −2

γM∞2 1 − 2

γ + 1+γ −1γ + 1

M∞2⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

γγ −1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

(7-2)

Dedicated airfoil pressure distribution plotting packages usually include a tick mark on the Cp scaleto indicate the critical value.

Next, we use the full potential equation solution to illustrate the development of the flow withincreasing Mach number for the same NACA 0012 airfoil used above in Figure 7-3. Figure 7-4shows how the pressure distribution changes from subcritical to supercritical. At M = 0.50, the flowexpands around the leading edge and then starts to slow down. This is the typical subsonicbehavior. At M = 0.70 the flow continues to expand after going around the leading edge, and itreturns to subsonic speed through a shock wave, which is fairly weak. As the freestream Machnumber increases further, the shock moves aft rapidly, becoming much stronger. In this case we arelooking at inviscid solutions, and this strong shock would likely separate the boundary layer,requiring the inclusion of viscous effects to get a solution that accurately models the real flow.

The effect of changing angle of attack on the pressure distribution, using the NACA 0012, asused in Figures 7-3 and 7-4, is shown in Figure 7-5. The results are similar to the case ofincreasing Mach number. The solution changes rapidly with relatively small changes in angle ofattack. The shock wave develops fast, with the strength increasing and the position moving aftrapidly.

7-8 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

3/10/06

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

CP(M=0.50)CP(M=0.70)CP(M=0.75)

Cp

X/C

NACA 0012 airfoil, FLO36 solution, α = 2°

M=0.50

M=0.70M=0.75

Figure 7-4. Pressure distribution change with increasing Mach number, NACA 0012 airfoil, α = 2°.

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.500.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

CP(α = 0°)

CP(α = 1°)

CP(α = 2°)

Cp

x/c

FLO36NACA 0012 airfoil, M = 0.75

Figure 7-5. Change in pressure distribution with change in angle of attack,NACA 0012 airfoil, Μ = 0.75

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-9

3/10/06

7.4 Airfoils7.4.1 NASA Supercritical airfoils

As described above, in the late 1960s Richard Whitcomb, at NASA Langley, developed airfoils thathad significantly better transonic performance than previous airfoils. It was found that airfoils couldbe designed to have a drag rise Mach number much higher than previously obtained. To show howthis occurs we will compare the typical transonic airfoils in use at the time, the NACA 6A seriesfoils, with one of the NASA supercritical airfoils. Figure 7-6 contains a plot of the NACA 64A410airfoil and its transonic pressure distribution. Figure 7-7 contains similar data for a NASAsupercritical airfoil, Foil 31. The difference between these figures illustrates the modern approach totransonic airfoil design. We will discuss the differences after the figures are presented.

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

y/c

x/c

Note small leading edge radius

Note continuous curvature all along the upper surface

Note low amount of aft camber

a) NACA 64A410 airfoil-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.500.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Cp

x/c

FLO36 prediction (inviscid)M = 0.72, α = 0°, C

L = 0.665

Note strong shock

Note that flow accelerates continuously into the shock

Note the low aft loading associated with absence of aft camber.

b) transonic pressure distribution on the NACA 64A410Figure 7-6. NACA 64A 410 airfoil shape and related pressure distribution.

7-10 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

3/10/06

-0.10-0.050.000.050.100.150.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

y/c

x/c

Note low curvature all along the upper surface

Note large leading edge radius

Note large amount of aft camber

a) FOIL 31

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.500.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

x/c

Cp

FLO36 prediction (inviscid)M = 0.73, α = 0°, C

L = 1.04

Note weak shockNote that the pressure distribution is "filled out", providing much more lift even though shock is weaker

Note the high aft loading associated with aft camber.

"Noisy" pressure distribution is associated with "noisy" ordinates, typical of NASA supercritical ordinate values

b) Transonic pressure distribution on the supercritical airfoil, Foil 31.Figure 7-7. FOIL 31 airfoil shape and related pressure distribution.

Note that the shock wave on the supercritical airfoil is much weaker than the shock on the64A410, even though the lift is significantly greater. This illustrates the advances made in airfoildesign. Although the 6A series airfoils were widely used in transonic and supersonic applications,they were actually designed during and just after WWII to attain laminar boundary layer flow overa portion of the airfoil. They were not designed for good transonic performance (no one knew howto do this at that time). The history and development of supercritical airfoils has been described by

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-11

3/10/06

Harris14, as well as by Becker, cited previously.4 Whitcomb’s original unclassified paper waspresented in 1974.15 These references should be read to get the authentic description of thedevelopment of supercritical airfoils. We will give a very brief overview here next.

Essentially, the key to transonic airfoil design to is to control the expansion of the flow tosupersonic speed and its subsequent recompression. It was remarkable that Whitcomb was able todo this using an experimental approach. Because it was so difficult, he was a major proponent ofdeveloping computational methods for transonic airfoil design. Key elements of supercriticalairfoils are i) A relatively large leading edge radius is used to expand the flow at the upper surfaceleading edge, thus obtaining more lift than obtained on airfoils like the 64A410, as shown in Figure5. ii) To maintain the supersonic flow along a constant pressure plateau, or even have it slow downslightly approaching the shock, the upper surface is much “flatter” than previous airfoils. Byslowing the flow going into the shock, a relatively weak shock, compared to the amount of liftgenerated, is used to bring the flow down to subsonic speed. iii) Another means of obtaining liftwithout strong shocks at transonic speed is to use aft camber. Note the amount of lift generated onthe lower surface aft portion of the supercritical airfoil in Fig. 7-7b compared to the conventionalairfoil in Fig. 7-6b. One potential drawback to the use of aft camber is the large zero lift pitchingmoment. iv) Finally, to avoid flow separation, the upper and lower surfaces at the trailing edge arenearly parallel, resulting in a finite thickness trailing edge. The base drag is small at transonicspeeds compared to the reduction in profile drag. These are the essential ingredients in supercriticalairfoil design, and modern aerodynamic designers pick the best aspect of these elements to fit theirparticular application.

Whitcomb cited four design guidelines for airfoil development.

1. An off-design criteria is to have a well behaved sonic plateau at a Mach number of 0.025below the design Mach number.

2. The gradient of the aft pressure recovery should be gradual enough to avoid separation(This may mean a thick trailing edge airfoil, typically 0.7% thick on a 10/11% thickairfoil.)

3. Aft camber so that with αdes ≅ 0 the upper surface is not sloped aft.4. Gradually decreasing supercritical velocity to obtain a weak shock.

Aerodynamicists in industry have also made significant contributions to transonic aerodynamicdesign. The best summary of transonic design for transport aircraft is by Lynch.16 Figure 7-8contains a summary chart developed by Lynch to identify the issues associated with leading edgeradius and aft camber.

7-12 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

3/10/06

Figure 7-8. Lynch’s supercritical airfoil design considerations

7.4.2 The Divergent Trailing Edge AirfoilJust when supercritical airfoil development appeared to be completed, a further development inairfoil design was made: the divergent trailing edge airfoil. Henne and Gregg at Douglas madefurther improvements in airfoil performance by continuing the trend to make the upper and lowersurfaces parallel at the trailing edge by using a trailing edge where the upper and lower surfaces arediverging at the trailing edge.17 This airfoil was used on the MD-11.

7.4.3 Transonic airfoil performance: the Korn Equation

Attempts have been made to estimate the capability of transonic airfoils for the purposes of designstudies without performing wind tunnel or detailed computational design work. This is important inthe initial stages of aircraft design, where airfoil performance needs to be estimated before the actualairfoil design has been done. Here we provide an approximate method for estimating the transonicperformance of airfoils. It is based on “the Korn equation,” which was an empirical relationdeveloped by Dave Korn at the NYU Courant Institute in the early 1970s, and in use at Grummanwhen I arrived in 1974. Based on his experience, it appeared that airfoils could be designed for avariety of Mach numbers, thickness to chord ratios, and design lift coefficients, but in all cases thereseemed to be a limit to the combination. In particular, the Korn equation is

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-13

3/10/06

MDD +CL10

+tc

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = κA , (7-3)

where κ A is an airfoil technology factor. The airfoil technology factor has a value of 0.87 for anNACA 6-series airfoil section, and a value of 0.95 for a supercritical section. MDD is the dragdivergence Mach number, CL is the lift coefficient, and t/c is the airfoil thickness to chord ratio. Thisrelation provides a simple means of estimating the possible combination of Mach, lift and thicknessthat can be obtained using modern airfoil design, and variations of it have been shown graphicallyby many authors, where the scales are often left off when presented for the public by aircraftcompanies. Note that the Korn equation is sensitive to the value of the technology factor.

Figure 7-9, from Mason,18 compares the prediction from the Korn equation with otherestimates. In Figure 7-9a, the estimates of both older airfoils and modern supercritical airfoilperformance presented by Shevell19 are compared, and the agreement is good, with the exception ofbeing overly pessimistic regarding older conventional airfoils at lower thickness ratios. Figure 7-9bcompares the Korn equation with NASA projections1 4 for supercritical airfoils based on a wealth ofdata and experience. In this case the Korn equation is extremely good at lift coefficients of 0.4 and0.7, but overly optimistic at higher lift coefficients. This type of technology representation isimportant in developing integrated designs. To develop each point on this type of chart represents alarge effort on the part of the designer (in this case the aerodynamicist).

The extension of this method to swept wings using simple sweep theory and an approximatedrag rise curve shape will be given in the section on wings, below.

7.4.4 Design MethodsWe gave some general approaches and guidelines for airfoil design for transonic flow above

describing Whitcomb’s supercritical airfoils. Although details are “beyond the scope” (as theysay) of this chapter, we should point out that there are two distinct approaches available for airfoildesign. Aerodynamicists frequently use inverse methods, where a target pressure distribution isspecified and the required shape (which might not exist for an arbitrary pressure distributionprescription) is found. Alternatively, optimization methods may be used, where the shape isdescribed by a set of design variables that are then used in an optimization routine. This can becomputationally expensive. In addition, many optimization methods require gradients of thesolution with respect to the design variables, and modern CFD methods have been developed toobtain the sensitivity of the design to geometric and flow perturbations as part of the solution.Finally, at transonic speed we need to avoid undo sensitivity to the specified design conditions. Thisrequires a statistical design approach. An important recent advance in this area has been made byHuyse.20

7-14 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

3/10/06

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18t/c

MDD

Shevell advanced transonicairfoil estimate

Korn equation, κA = .95

Korn equation, κA = .87

Shevell estimate,mid 70's transportairfoil performance

a) Comparison of the Korn equation with Shevell's estimates.19

0.65

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.02 0.06 0.10 0.14 0.18t/c

MDD CL0.4

0.7

1.0NASA projectionKorn equation estimate, κA = .95

b) Comparison of the Korn equation with NASA projections1 4

Figure 7-9. Validation of the Korn equation for airfoil performance projection

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-15

3/10/06

7.5 WingsWe now turn our attention to wings. Today, at transonic speeds wings are swept to delay drag rise.However, even though the Boeing B-47 had a swept wing, they weren’t adopted across-the-boardimmediately, even at Boeing. Initially, jet engines had poor fuel efficiency, and weren’t consideredappropriate for very long-range aircraft. In one famous instance, Boeing was working on a long-range turboprop bomber for the Air Force. When they started to present their design to the AirForce at WPAFB in Dayton, Ohio, they were immediately told to switch to a swept wing pure jetdesign. They didn’t have time to return to Seattle, and did the work in Dayton, with the help ofphone calls back to Seattle and by recruiting other Boeing engineers already in Dayton at the time.To show the Air Force the design, they made a model. Figure 7-10 shows the actual model, asdisplayed in the Museum of Flight in Seattle a few years ago. This design became the B-52. It isfamous for having been designed in a Dayton, Ohio hotel room.

a). B-52 illustrating planform b) B-52 illustrating high-wing mount

Figure 7-10. Model of the B-52, as carved by George Schairer, Boeing aerodynamicist, in the VanCleve Hotel in Dayton in October 1948,21 as displayed in the Museum of Flight inSeattle, picture by the author (note reflection because the model was displayed insidea glass case).

Although swept wings delay drag rise, there are other problems associated with swept wings,so that the aerodynamicist will want to use as little sweep as possible. Even at subsonic speed, asshown in the previous chapter, wing sweep will tend to shift the load outboard, leading to highsection CLs, and the possibility of outboard stall, accompanied by pitchup. The wing is twisted(washed out) to unload the tip. The lift curve slope also decreases. In addition, for a given span, theactual wing length is longer, and hence heavier. High lift devices aren’t as effective if the trailingedge is swept, and finally, swept wings are prone to flutter. Thus the total system design must be

7-16 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

3/10/06

considered when selecting the wing sweep. One of the benefits of advanced airfoils is that they canachieve the same performance as a wing with a less capable airfoil using less sweep. This explainsthe general trend to modern transports having less sweep than earlier transports.

7.5.1 Transonic Transport Wing ConceptsThese wings are generally high aspect ratio swept tapered wings that clearly have an airfoilembedded in them. Generally we consider aft swept wings.

Cruise Design: Normally the aerodynamic designer is given the planform and maximum thicknessand told to design the twist and camber, as well as shifting the thickness envelope slightly. He thentries to obtain “good” isobars on the wing. The natural tendency is for the flow to unsweep at theroot and tip. So the designer tries to reduce this tendency to obtain an effective aerodynamic sweepas large as the geometric sweep. If possible, he would actually like to make the effectiveaerodynamic sweep greater than the geometric sweep. This is unlikely to happen. Generally thewing has a weak shock wave. Possibly the best tutorial paper on the problem of isobar unsweep isby Haines,22 who is actually considering the thickness effects at zero lift.

We illustrate the problem of isobar unsweep with an example taken from work at Grumman todesign the initial G-III wing (the G-III doesn’t have this wing, it was considered too expensive, andthe actual G-III has a highly modified version of the G-II wing). Figure 7-11 from 197823

illustrates the situation.

In Figure 7-11 we see the isobar pattern at transonic speed on the planform in the upper left-hand side of the figure. This wing was designed with subsonic methods, which were essentially allthat was available at the time. Note that the isobars are tending to unsweep. On the upper right-handside of the figure we see that at subsonic speed the pressure distributions at the 30% and 70% spanstations lie on top of each other, the isobars are good. The lower left-hand side of the figure showsthe predicted pressure distributions at these same two stations when the Mach number is increasedto the transonic cruise Mach. There has been a large change in the distributions at the two stations,with the outboard shock ahead of the inboard shock. Finally, on the lower right-hand side we seethe same predictions, but with wind tunnel data included. Clearly the prediction and the test resultsagree well and show that extra effort is required to design the wing when the flow is transonic.

Although for a given span the aerodynamicist generally prefers an elliptic spanload, it might bebetter for the design if the load is shifted inboard slightly, reducing the root bending moment andhence wing structural weight. 24 The optimum spanload with a winglet present is not elliptic either.

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-17

3/10/06

Figure 7-11. Explicit transonic three-dimensional effects.2 3

Essentially, the twist distribution is found to generate the design spanload. Note that spanloadsare predicted fairly well using linear theory codes, it is primarily the chord load that reflects thenonlinearity of transonic flow. Once the basic twist is found, root and tip mods are developed tomaintain the isobar pattern. Without special effort, the chord load is drawn aft at the root and shiftsforward at the tip. Changes in camber and thickness are introduced to counter these effects. Theplanform may deviate from pure trapezoidal. In all likelihood there will be a Yehudi* at the inboardtrailing edge to house the landing gear. The planform in Fig. 7-11 also has a leading edge gloveinboard. This allows the t/c to be lower for the same t, and increasing the chord lowers the section cl

required to obtain the spanload required, as well as helping maintain isobar sweep. Breaks in the * See Chapter 6 for a discussion of the so-called Yehudi flap.

7-18 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

3/10/06

planform chord distribution produce rapid variations in the section lift distribution because thespanload will tend to remain smooth. The section lift distribution may be smoothed out by usingseveral smaller spanwise breaks. This has been done on modern Boeing and Airbus designs.

The designer also has to consider buffet margins. This means the wing CL has to be capable ofa 1.3g turn at the highest cruise Mach number without predicting any significant flow separation.

Other important details include nacelle/pylon interference and the resulting detailed shaping,and manufacturing constraints. This means considering the limits to curvature and themanufacturing department’s desire for straight-line wrap or ruled surfaces.

Once the design starts to get close to the desired properties, local inverse methods can beapplied to achieve the target pressure distributions.

Transonic Configuration Design Finally, a recent review of the design process by Jameson isworth reading to get some idea of the current design process and future possibilities.25

7.5.2 The Korn equation applied to drag prediction on swept wingsAs described above, the Korn equation can be used to estimate the drag divergence Mach number.This equation has been extended to include sweep using simple sweep theory1 8 and 26. The result isgiven by:

Mdd =κ A

cosΛ−

t / c( )cos2 Λ

−cl

10cos3 Λ(7-4)

This model estimates the drag divergence Mach number as a function of an airfoil technology factor(κA), the thickness-to-chord ratio (t/c), the lift coefficient (cl), and the sweep angle (Λ). Recall that

the airfoil technology factor has a value of 0.87 for a NACA 6-series airfoil section, and a value of0.95 for a supercritical section.

With this approximation for the drag divergence Mach number, we can now calculate the criticalMach number. The definition of the drag divergence Mach number is taken to be:

∂CD∂M = 0.1

(7-5)Next, make use of Lock’s proposed empirically-derived shape of the drag rise27

CD = 20 M - Mcrit 4 (7-6)

The definition of the drag divergence Mach number is equated to the derivative of the drag riseformula given above to produce the following equation:

∂CD∂M = 0.1 = 80 M - Mcrit 3

(7-7)We can then solve this equation for the critical Mach number:

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-19

3/10/06

Mcrit = Mdd - 0.180

1/3(7-8)

where the drag divergence Mach number is given by the extended Korn equation.Joel Grassmeyer then developed a method to compute the wave drag coefficient for use in

MDO studies of a transonic strut-braced wing concept using the following relation: 28

cdwave = 20 M - Mcrit 4 SstripSref

for M > Mcrit, (7-9)

where the local t/c, cl, and half-chord sweep angle are specified for a number of spanwise stripsalong the wing, and the drag of each strip is combined to form the total wave drag. In the equationabove, the wave drag for each strip is multiplied by the ratio of the strip area (Sstrip) to the referencearea (Sref). The example given here uses eight spanwise strips.

This method has been validated with the Boeing 747-100, as shown in Figure 7-12. The solidlines represent the current model predictions, and the discrete data points represent the Boeing 747flight test data. The predictions show good agreement with the data over a wide range of Machnumbers and lift coefficients. We re-emphasize that the results are sensitive to the value of theairfoil technology factor. A value of 0.89 was used for the Boeing 747 results in Figure 7-12.Based on an analysis of the Boeing 777, a value of 0.955 was used to simulate that aircraft’s wavedrag characteristics.

7.5.3 Fighter Wing Concepts/Issue

Bradley has given a good survey of the issues for transonic aerodynamic design of fighters.29 Weconclude this chapter with a few comments on these aspects of transonic aerodynamics.

Attached Flow Maneuver Wing Design: To push performance past the cruise lift condition thesituation changes. If the goal is to obtain efficient lift at high lift coefficients using attached flowdesign, the emphasis switches from an elliptic loading to a span loading that pushes each section liftcoefficient to its limit. Thus, if the planform is a simple trapezoidal planform with a single airfoilsection, the goal is to attain a constant section CL across the wing.30 The penalty for a non-ellipticspanload is small compared to the additional profile drag for airfoils operating past their attachedflow condition on portions of the wing. This is essentially what was done on the X-29. The so-called “Grumman K” airfoil was used on the X-29.

Two other considerations need to be addressed. Wings designed to operate over a wide range ofconditions can use the leading and trailing edge devices to approximate the optimum wing shape byusing a deflection schedule to automatically deflect to the best shape. Although research has been

7-20 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

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done on smooth surfaces to do this, in most cases the devices are simply flap deflections. In thecase of the X-29, the airfoil was shaped for the maneuver design point, and the devices were used toreduce the trailing edge camber at lower lift coefficients.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

Prediction, CL = 0.4Prediction, CL = 0.5Prediction, CL = 0.6Flight Test, CL = 0.4Flight Test, CL = 0.5Flight Test, CL = 0.6

CD

Mach number

747-100 test data taken from Mair and Birdsall, Aircraft Performance, Cambridge University Press, 1992, pp. 255-257

Figure 7-12: Comparison of approximate drag rise methodology with Boeing 747-100flight test data from Mair and Birdsall31

The second consideration is airfoil-planform integration. If the airfoil is designed to be heavilyloaded, there is likely to be a fairly strong shock well aft on the wing. To obtain low drag this shockshould be highly swept. This means that the trailing edge of the wing should be highly swept. Thiscan be done using a wing with inverse taper or a forward swept wing. This is one reason to considera forward swept wing concept. However, a forward swept wing with a canard must be balanced witha large negative static margin to gain the full benefit of the concept. The X-29 is about 32 -35%unstable for this reason.

Finally, when the airfoils are being pushed to their limits, planform kinks are a very poor idea.The tendency of the spanload to remain smooth means that the local lift coefficients change rapidlyin the kink region, and local lift coefficients often becoming excessively large.

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-21

3/10/06

Another alternative is to include a canard in the configuration. A canard can be used to carryadditional load at extreme maneuver conditions.

Vortex Flow/Strake Maneuver Wing Design: Another method of obtaining high maneuver lift hasproven effective on the F-16 and F-18 aircraft. In this case, inboard strakes are used (Northropcalled theirs a LEX, leading edge extension, dating back to the F-5 days). The strakes produce astrong vortex at high angles of attack. The vortices flow over the aircraft surfaces, and as a result ofthe low pressure field, create additional lift. Careful shaping of the strake is required, but goodperformance can be obtained. Note that these airplanes also use leading and trailing edge wingdevice scheduling to achieve optimum performance.

Figure 7-13 shows, in a rough sense, how the two concepts compare. Here “E” is theefficiency factor in the drag due to lift term of the classic drag polar,

CDL =CL

2

πARE(7-10)

Figure 7-13. Effectiveness of various wing concepts in terms of efficiency, E.

7.6 Exercises1. Read the paper by Frank Lynch (Ref. 16), and write a one page summary in preparation for a

class discussion on the paper.

7-22 W.H. Mason, Configuration Aerodynamics

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7.7 References 1 R.L. Foss, “From Propellers to Jets in Fighter Aircraft Design,” AIAA Paper 78-3005, inDiamond Jubilee of Powered Flight, The Evolution of Aircraft Design, Jay D. Pinson, ed., Dec. 14-15, 1978. pp. 51-64. (This paper contains the estimated drag rise characteristics of the P-38.2 H.H. Hurt, Jr., Aerodynamics for Naval Aviators, Revised edition, 1965, published by Directionof the Commander, Naval Air Systems Command, United States Navy, reprinted by AviationSupplies and Academics, Inc., 7005 132n d Place SE, Renton, Washington 98059-3153.3 John V. Becker, “Transonic Wind Tunnel Development (1940-1950),” Chapter III in The High-Speed Frontier, NASA SP-445, 1980. A must read to get insight into the aerodynamic research anddevelopment process, as well as to get a physical understanding of how airfoils work and how theslotted wall tunnel evolved.4 John V. Becker, “Supercritical Airfoils (1957-1978)” in “The High-Speed Airfoil Program,”Chapter II in The High-Speed Frontier, NASA SP-445, pp. 55-60.5 James A. Blackwell, Jr., “Experimental Testing at Transonic Speeds,” in TransonicAerodynamics, ed. by D. Nixon, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 81, AIAA,Washington, 1982. pp. 189-238. (Blackwell worked for Whitcomb at NASA before going to workfor Lockheed)6 Murman, E., M., and Cole, J.D., “Calculation of Plane Steady Transonic Flows,” AIAA J., Vol. 9,No. 1, 1971, pp. 114-121 (presented at the 8th Aerospace Sciences Mtg., New York, Jan. 1970.)7 M.G. Hall, “On innovation in aerodynamics,” The Aeronautical Journal, Dec. 1996, pp. 463-470.8 Murman, E.M., Bailey, F.R., and Johnson, M.L., “TSFOIL — A Computer Code for Two-Dimensional Transonic Calculations, Including Wind-Tunnel Wall Effects and Wave DragEvaluation,” NASA SP-347, March 1975. (code available on Mason’s software website)9 Antony Jamson, “Iterative Solution of Transonic Flows Over Airfoils and Wings, IncludingFlows at Mach 1,” Comm. Pure. Appl. Math., Vol. 27, 1974. Pp. 283-309.10 Antony Jameson, “Acceleration of Transonic Potential Flow Calculations on Aribtrary Meshesby the Multiple Grid Method,” Proceeding of the AIAA 4th Computational Fluid Dynamics Conf.,AIAA, New York, 1979, pp. 122-146.11 Terry L. Holst, “Transonic flow computations using nonlinear potential methods,” Progress inAerospace Sciences, Vol. 36, 2000, pp. 1-61.12 Antony Jameson, “Full-Potential, Euler, and Navier-Stokes Schemes,” in AppliedComputational Aerodynamics, ed by P. Henne, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics,Vol. 125, AIAA, Washington, 1990. pp. 39-88.13 Mark Drela, “Newton Solution of Coupled Viscous/Inviscid Multielement Airfoil Flows,”AIAA Paper 90-1470, June 1990.14 Charles D. Harris, “NASA Supercritical Airfoils,” NASA TP 2969, March 1990. This is thewritten version of a talk authored by Whitcomb and Harris given at the NASA Langley Conference“Advanced Technology Airfoil Research,” March 1978. Most of the papers appeared in NASACP 2046 (note the slight delay in publication of this paper!) The paper explains the reasoningbehind the concept development and the refinement in design. A “must report”, it also contains thecoordinates for the entire family of airfoils and updates the research to 1990.15 Richard Whitcomb, “Review of NASA Supercritical Airfoils,” ICAS Paper 74-10, 1974. This isthe first public paper on Whitcomb’s new airfoil concept.

Transonic Aerodynamics of Airfoils and Wings 7-23

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16 Frank Lynch, “Commercial Transports—Aerodynamic Design for Cruise Efficiency,” inTransonic Aerodynamics, ed. by D. Nixon, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol.81, AIAA, Washington, 1982. pp. 81-144.17 Preston Henne, “Innovation with Computational Aerodynamics: The Divergent Trailing edgeAirfoil,” in Applied Computational Aerodynamics, ed by P. Henne, AIAA Progress in Astronauticsand Aeronautics, Vol. 125, AIAA, Washington, 1990. pp. 221-261. This paper takes airfoil designconcepts one step further, and describes the airfoil used on the MD-11 (Although I was told thisconcept was used on the C-17, a close examination of the trailing edge flaps manufactured atMarion Composites, during an Aerospace Manufacturing Class tour, showed that this airfoil isn’ton the plane. Email from Preston Henne confirmed this when he read an earlier version of thesenotes.). Rob Gregg is a co-inventor of this airfoil concept.18 W.H. Mason, “Analytic Models for Technology Integration in Aircraft Design,” AIAA Paper90-3262, September 1990.19 Richard S. Shevell, Fundamentals of Flight, 2n d ed., Prentice-Hall, Englewood-Cliffs, 1989, pp.223.20 Luc Huyse, “Free-form Airfoil Shape Optimization Under Uncertainty Using Maximumexpected Value and Second-order second-moment Strategies,” NASA/CR-2001-211020, ICASEReport No. 2001-18, June 2001. http://www.icase.edu/library/reports/rdp/2001.html#2001-1821 Clive Irving, Wide-Body: Triumph of the 747, William Morrow and Co., New York, 1993, pp.122-124.22 A.B. (Barry) Haines, “Wing Section Design for Swept-Back Wings at Transonic Speed,”Journal of the Royal Aeronautical Society, Vol. 61, April 1957, pp. 238-244. This paper explainshow root and tip modifications are made to make the isobars swept on a swept wing. Old, but animportant paper.23 W.H. Mason, D.A. MacKenzie, M.A. Stern, and J.K. Johnson, “A Numerical ThreeDimensional Viscous Transonic Wing-Body Analysis and Design Tool,” AIAA Paper 78-101,Jan.1978.24 Sergio Iglesias and W. H. Mason, “Optimum Spanloads Including Wing Structural Weight,”1st AIAA Aircraft Technology, Integration, and Operations Forum, Los Angeles, CA, AIAA Paper2001-5234, October 16-17, 2001.25 Antony Jameson, “Re-Engineering the Design Process through Computation,” AIAA Paper 97-0641, Jan. 1997. This paper contains a good description of the transport wing design problem ascurrently done. Prof. Jameson does a good job of articulating the process for the non-expert wingdesigner, something the company experts haven’t done often. This may be because they considerthe process to be competition sensitive.26 Brett Malone and W.H. Mason, “Multidisciplinary Optimization in Aircraft Design UsingAnalytic Technology Models,” Journal of Aircraft, Vol. 32, No. 2, March-April, 1995, pp. 431-438.27 Hilton, W.F., High Speed Aerodynamics, Longmans, Green & Co., London, 1952, pp. 47-4928 Grasmeyer, J.M., Naghshineh, A., Tetrault, P.-A., Grossman, B., Haftka, R.T., Kapania, R.K.,Mason, W.H., Schetz, J.A., “Multidisciplinary Design Optimization of a Strut-Braced WingAircraft with Tip-Mounted Engines,” MAD Center Report MAD 98-01-01, January 1998, whichcan be downloaded from http://www.aoe.vt.edu/aoe/faculty/Mason_f/MRthesis.html29 Richard Bradley, “Practical Aerodynamic Problems—Military Aircraft,” in TransonicAerodynamics, ed. by D. Nixon, AIAA Progress in Astronautics and Aeronautics, Vol. 81, AIAA,Washington, 1982. pp. 149-187.

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30 W.H. Mason, “Wing-Canard Aerodynamics at Transonic Speeds - Fundamental Considerationson Minimum Drag Spanloads,” AIAA Paper 82-0097, January 198231 Mair, W.A., and Birdsall, D.L., Aircraft Performance, Cambridge University Press, 1992, pp.255-257.

NASATechnical

Paper2969

1990

National Aeronautics-andSpace Administration

Office of Management

Scientific and TechnicalInformation Division

NASA SupercriticalAirfoils

A Matrix of Family-Related Airfoils

Charles D. Harris

Langley Research Center

Hampton, Virginia

Summary

A concerted effort within the National Aero-

nautics and Space Administration (NASA) duringthe 1960's and 1970's was directed toward develop-ing practical two-dimensional turbulent airfoils withgood transonic behavior while retaining acceptablelow-speed characteristics and focused on a conceptreferred to as the supercritical airfoil. This dis-tinctive airfoil shape, based on the concept of localsupersonic flow with isentropic recompression, wascharacterized by a large leading-edge radius, reducedcurvature over the middle region of the upper surface,and substantial aft camber.

This report summarizes the supercritical airfoildevelopment program in a chronological fashion, dis-cusses some of the design guidelines, and presentscoordinates of a matrix of family-related super-critical airfoils with thicknesses from 2 to 18 percentand design lift coefficients from 0 to 1.0.

Introduction

A concerted effort within the National Aero-

nautics and Space Administration (NASA) duringthe 1960's and 1970's was directed toward develop-ing practical airfoils with two-dimensional transonicturbulent flow and improved drag divergence Machnumbers while retaining acceptable low-speed max-imum lift and stall characteristics and focused on a

concept referred to as the supercritical airfoil. Thisdistinctive airfoil shape, based on the concept of localsupersonic flow with isentropic recompression, wascharacterized by a large leading-edge radius, reducedcurvature over the middle region of the upper surface,and substantial aft camber.

The early phase of this effort was successful insignificantly extending drag-rise Mach numbers be-yond those of conventional airfoils such as the Na-

tional Advisory Committee for Aeronautics (NACA)6-series airfoils. These early supercritical airfoils (de-noted by the SC(phase 1) prefix), however, experi-enced a gradual increase in drag at Mach numbersjust preceding drag divergence (referred to as dragcreep). This gradual buildup of drag was largely as-sociated with an intermediate off-design second ve-locity peak (an acceleration of the flow over the rearupper-surface portion of the airfoil just before the fi-nal recompression at the trailing edge) and relativelyweak shock waves above the upper surface.

Improvements to these early, phase 1 airfoils re-sulted in airfoils with significantly reduced drag creepcharacteristics. These early, phase 1 airfoils and theimproved phase 1 airfoils were developed before ad-equate theoretical analysis codes were available andresulted from iterative contour modifications during

wind-tunnel testing. The process consisted of eval-

uating experimental pressure distributions at designand off-design conditions and physically altering theairfoil profiles to yield the best drag characteristicsover a range of experimental test conditions.

The insight gained and the design guidelines thatwere recognized during these early phase 1 investiga-tions, together with transonic, viscous, airfoil anal-ysis codes developed during the same time period,resulted in the design of a matrix of family-relatedsupercritical airfoils (denoted by the SC(phase 2)prefix).

The purpose of this report is to summarize the

background of the NASA supercritical airfoil devel-opment, to discuss some of the airfoil design guide-lines, and to present coordinates of a matrix offamily-related supercritical airfoils with thicknesses

from 2 to 18 percent and design lift coefficients from0 to 1.0. Much of the discussion pertaining to the fun-damental design concepts is taken from reference 1

and unpublished lectures on supercritical technologypresented by Richard T. Whitcomb in 1970. In-formation on the development of supercritical air-foils and earlier publications were originally clas-sified confidential but have since been declassified.

Reference 2 discusses potential benefits of applyingsupercritical airfoil technology to various types of air-craft and flight programs to demonstrate such appli-cations. Table I indicates some of the major mile-stones in the development of supercritical airfoils.

The high maximum lift and docile stall behaviorobserved on thick supercritical airfoils generated aninterest in developing advanced airfoils for low-speedgeneral aviation application. Starting in the early1970's, several such airfoils were developed. Empha-

sis was placed on designing turbulent airfoils with lowcruise drag, high climb lift-to-drag ratios, high maxi-mum lift, and predictable, docile stall characteristics.

During the mid 1970's, several medium-speed air-foils were developed that were intended to fill the gapbetween the low-speed airfoils and the supercriticalairfoils for application on light executive-type air-planes. These airfoils provided higher cruise Machnumbers than the low-speed airfoils while retaimnggood high-lift, low-speed characteristics.

References 3 to 12 document the research efforton NASA low- and medium-speed airfoils.

Symbols

Cp pressure coefficient,qoo

Cp,soni c pressure coefficient corresponding tolocal Mach number of 1.0

Cd

Cl

am

Cn

K

M

m

p

q

Rc

SC

TE

tic

x

OL

Subscripts:

DD

1

u

(x)

airfoil chord, distance along refer-ence line from leading edge to trail-ing edge

section drag coefficient

section lift coefficient

section pitching-moment coefficientabout the quarter chord

section normal-force coefficient

curvature of airfoil surfaces,

d2y/dx 2

free-stream Mach number

slope of airfoil surface, dy/dx

pressure, psf

dynamic pressure, psf

Reynolds number based on free-stream conditions and airfoil chord

supercritical

trailing edge

thickness-to-chord ratio

distance along airfoil reference linemeasured from leading edge

distance normal to airfoil referenceline

angle of attack

drag divergence

lower surface

upper surface

free-stream conditions

Airfoil designation:

The airfoil designation is in the form SC(2)-0710,where SC(2) indicates supercritical (phase 2). Thenext two digits designate the airfoil design lift co-efficient in tenths (0.7), and the last two digits desig-nate the airfoil maximum thickness in percent chord(10 percent).

SC(1)-0710 supercritical (phase 1)--0.7 designlift coefficient, 10 percent thick

SC(2)-0710 supercritical (phase 2)--0.7 designlift coefficient, 10 percent thick

SC(3)-0710 supercritical (phase 3)--0.7 designlift coefficient, 10 percent thick

Development of Supercritical Airfoils

Slotted Supercritical Airfoil

In the early 1960's, Richard T. Whitcomb of theLangley Research Center proposed, on the basis ofintuitive reasoning and substantiating experimenta-tion, an airfoil shape (fig. 1) with supersonic flowover a major portion of the upper surface and sub-sonic drag rise well beyond the critical Mach num-ber (ref. 13). The airfoil had a slot between the up-per and lower surfaces near the three-quarter chordto energize the boundary layer and delay separationon both surfaces. It incorporated negative camberahead of the slot with substantial positive camberrearward of the slot. Wind-tunnel results obtained

for two-dimensional models of a 13.5-percent-thickairfoil of the slotted shape and a NACA 64A-seriesairfoil of the same thickness ratio indicated that fora design-section normal-force coefficient of 0.65 the

slotted airfoil had a drag-rise Mach number of 0.79compared with a drag-rise Mach number of 0.67 forthe 64A-series airfoil. The drag at a Mach numberjust less than that of drag rise for the slotted air-foil was due almost entirely to skin friction lossesand was approximately 10 percent greater than thatfor the 64A-series airfoil. The slotted airfoil shapealso significantly increased the stall normal-force co-efficient at high subsonic speeds. The pitching-moment coefficients for the slotted shape weresubstantially more negative than those for more con-ventional airfoils. The rationale leading to the slottedshape was discussed in reference 13. Because the slot-

ted airfoil was designed to operate efficiently at Machnumbers above the "critical" Mach number (the free-stream Mach number at which local sonic veloci-

ties develop) with an extensive region of supersonicflow on the upper surface, it was referred to as the"supercritical airfoil." Reference 14 indicated thatthe gains obtained for this two-dimensional slot-ted airfoil shape were also realized for _. three-dimensional swept wing configuration that incorpo-rated the airfoil shape.

Integral Supercritical Airfoil

It was recognized that the presence of a slotincreased skin friction drag and structural complica-tions. Furthermore, both two-dimensional and three-dimensional investigations of the slotted airfoil indi-cated that the shape of the lower surface just aheadof the slot itself was extremely critical and requiredvery close dimensional tolerances.

Becauseof thesedisadvantages,an unslottedorintegralsupercriticalairfoil (fig. 1) wasdevelopedinthe mid 1960's.Theresultsof the first workon theintegralairfoilweregivenlimiteddistributionin 1967in aconfidentialLangleyworkingpaper.This paperwaslaterdeclassifiedandformedthe basisfor muchofthereviewof NASAsupercriticalairfoilspresentedin reference1. Exceptfor the eliminationof theslot,thegeneralshapeofthis integralairfoilwassimilartothat oftheslottedairfoil. Propershapingofthepres-suredistributionswasutilized to controlboundary-layerseparationratherthan atransferof streamen-ergyfromthe lowerto uppersurfacethrougha slot.The maximumthickness-to-chordratio for the inte-gral supercriticalairfoil was0.il rather than 0.135asusedfor the slottedairfoil. Theoreticalboundary-layercalculationsindicatedthat theflowonthelowersurfaceof an integralairfoil with the greaterthick-nessratioof the slottedairfoil wouldhaveseparatedbecauseof therelativelyhighadversepressuregradi-entsat the point of curvaturereversal.

The experimentalresults shownin figure 2 in-dicatedthat for a normal-forcecoefficientof 0.65the drag-riseMach numberfor the integral airfoilwasslightly higherthan that for the slottedairfoilof reference13. However,a simplifiedanalysisindi-catedthat the dragrisefor aslottedairfoil with thesamethicknessratio of the integralairfoil wouldberoughly0.81.A rule of thumbis that, all elsebeingequal,there is approximately0.01changein drag-riseMachnumberfor every0.01changein thicknessratio. Thus, the integral airfoil wassomewhatlesseffectivethan theslottedairfoil in delayingdragrise.

For reference,the drag-risecharacteristicsfor aNACA 641-212airfoil, obtainedfrom reference15,arealsopresentedin figure2. A comparisonof thethicknessdistribution for this 6-seriesairfoil withthat for the supercriticalairfoil suggestedthat thell-percent-thick supercritical airfoil was approxi-mately structurally equivalentto the 12-percent-thick 6-seriesairfoil. Comparedwith this 6-seriesairfoil, the integral supercriticalairfoil delayedthedrag-riseMachnumberby an incrementsomewhatgreaterthan0.1.

Notethe dip in dragcoefficientat M = 0.79 forthe slotted airfoil. There has been much discussion

over the years as to whether it is possible to isen-tropical.|y decelerate a supersonic flow to a subsonicflow without creating a shock wave. At this particu-lar point, the shock wave almost disappeared. Therewas only a very small glimmer of a wave in schlierenpictures and there did not appear to be much waveenergy loss in the wake drag measurements behindthe model. It was, for all practical purposes, a shock-free condition. Even though the ideal of a shock-

free flow had been accomplished, it was decided thatsince aircraft must be efficient over a range of oper-ating conditions, a shock-free point-design flow wasimpractical. It was believed that it was more im-

portant to design airfoils that had the lowest possi-ble level of drag up to the cruise point without theshock-free drag dip. The low-speed drag for the inte-gral airfoil was about the same level as for the moreconventional 6-series airfoil because the added skin

friction of the second component of the slotted air-foil had been eliminated. There was a gradual risein drag due to wave losses and finally an abrupt risewhen the flow finally separated, but no attempt wasmade to achieve a shock-free condition.

The integral supercritical airfoil also provided asubstantial increase in the Mach number and normal-

force coefficient at which boundary-layer separationoccurred compared with that for the conventional

NACA 6-series airfoil of similar thickness (fig. 3).The separation boundary in figure 3 is sometimescalled a buffet boundary. In this case, it represents aforce boundary, that is, the boundary where the flowover the whole airfoil deteriorated rapidly. Beyondthis line, the airfoil experienced large drag increases.The boundary for the 6-series airfoil, indicating agradual decrease with increasing Mach number, istypical of conventional airfoils. For the supercriticalairfoil, the boundary is pushed well out in both

Mach number and normal force. This is extremelyimportant for maneuvering aircraft.

In addition, pitching-moment coefficients for theintegral supercritical airfoil were reduced comparedwith the slotted airfoil (fig. 4). It should be noted,however, that the relatively large pitching momentson supercritical airfoils are not as penalizing in theirapplication to swept wings as commonly thought.Tests of three-dimensional aircraft configurations in-corporating the supercritical airfoil (ref. 16) haveindicated that the optimum twist for supercriticalwings designed for higher speeds is greater than forlower speed designs. As the design Mach number ap-proaches 1.0, the magnitude of the optimum twist in-

creases. This large amount of twist substantially re-duces or eliminates the trim penalty associated _iththe greater negative pitching moment for the super-critical airfoil.

A more recent comparison (ref. 17) of the trimdrag measurements for a wide-body transonic modelwith conventional and supercritical wings at a Mach

number of 0.82 indicated that the trim drag forthe supercritical wing configuration was not signif-icantly higher than that for the conventional wide-body configuration.

The contours of the integral airfoil were such thatit could be defined by several equations empirically

3

fitted to variousregionsof the airfoil. Sincethesupercriticalairfoil conceptswerestill in the devel-opmentstage,however,theseequationswereneverpublished.

General Design Philosophy

This section discusses the concepts and reason-ing at this point in the development of supercriti-cal airfoils that were incorporated into the integralsupercritical airfoil.

A comparison of supercritical flow phenomena fora conventional airfoil and the NASA supercritical air-foil is shown in figure 5. As an airfoil approaches thespeed of sound, the velocities on the upper surface be-come supersonic because of the accelerated flow overthe upper surface, and there is a local field of super-sonic flow extending vertically from the airfoil andimmersed in the general subsonic field. On conven-tional airfoils this pocket of accelerating supersonicflow is terminated near midchord by a more or less

pronounced shock wave with attendant wave losses.This shock wave is followed immediately by a decel-

erating flow to the trailing edge. The pressure risethrough the shock wave may, when superimposed onthe adverse pressure gradient at the trailing edge,cause separation of the boundary layer with furtherincreases in drag as well as buffeting and stabilityproblems.

The surface pressure distribution and flow fieldshown at the bottom of figure 5 are representative ofthose obtained for NASA supercritical airfoils. Theupper-surface pressure and related velocity distribu-tions are characterized by a shock location signifi-cantly aft of the midchord, an approximately uni-form supersonic velocity from about 5 percent chordto the shock, a plateau in the pressure distributiondownstream of the shock, a relatively steep pres-sure recovery on the extreme rearward region, anda trailing-edge pressure slightly more positive thanambient pressure. The lower surface has roughly con-

stant negative pressure coefficients corresponding tosubcritical velocities over the forward region and arapid increase in pressure rearward of the midchordto a substantially positive pressure forward of thetrailing edge.

The elimination of the flow acceleration on the

upper surface ahead of the shock wave results primar-ily from reduced curvature over the midchord regionof the supercritical airfoil and provides a reductionof the Mach number ahead of the shock for a givenlift coefficient with a resulting decrease of the shock

strength. The strength and extent of the shock at thedesign condition could be reduced below that of thepressure distribution shown by shaping the airfoil toprovide a gradual deceleration of the supersonic flow

4

from near the leading edge to the shock wave. Theextensive experiments up to this point indicated thatthe shape associated with the design point pressuredistribution shown in figure 5 provided acceptable

drag values over a wide Mach number and lift co-efficient range.

Figure 6 shows a schematic of what happens inthe supersonic flow field above the upper surface ofthe supercritical airfoil to yield a very weak shockwave and in some cases to eliminate the shock. As

mentioned earlier, the local supersonic field is im-mersed in a subsonic field, and the division betweenthe two fields is called the sonic line. The airfoil

produces expansion waves, or waves that tend to re-duce pressure and increase velocity starting near theleading edge. If the flow field were a purely super-sonic flow, there would be a continual expansion oracceleration of the flow from leading edge to trailingedge. There is actually an infinite series of expan-sions that move out of this supersonic field, but theeffect is illustrated schematically for a single expan-sion shown as a dashed line. These lines are called

characteristic lines. When the flow is mixed, the ex-

pansion waves that emanate from the leading edgeare reflected back from the sonic line as compressionwaves that propagate back through the supersonicfield to the airfoil surface. Up to this point of con-tact, all the expansion waves have been acceleratingthe flow, but as soon as t'he compression waves getback to the surface, they start to decelerate the flow.These compression waves are then reflected off thesolid airfoil surface as more compression waves. So,there are sets of competing waves or disturbancesworking in the flow that are the key to obtaininggood transonic characteristics for airfoils. The ideais to design the shape of the airfoil just right so thatthese compression or decelerating disturbances tendto balance out the accelerating ones to get an airfoilthat has a flat top pressure distribution even thoughthere is continuous curvature over the upper surface.Two primary factors influence the balancing of theseexpansion and compression waves: the leading edgeand the surface over the forward and midchord re-

gions. First, there need to be strong expans_ns fromthe leading-edge region so they can be reflected backas compression waves--thus the large leading radiuscharacteristic of supercritical airfoils. The leadingedge is substantially larger than for previous airfoilsand is more than twice that for a 6-series airfoil of the

same thickness-to-chord ratio. Second, the curvatureover the midchord region must be kept fairly smallso that there is not a very large amount of accel-erations being emanated that must be overcome bythe reflected compression waves--thus the flattenedupper-surface characteristic of supercritical airfoils.

Isentropic recompression is thus encouraged and at

design conditions an extensive chordwise region ofgenerally constant supersonic flow is maintained over

the upper surface and terminated with a very weakshock wave. As noted in reference 18, these two con-

cepts are consistent with the work done by Pearcey(ref. 19) when he demonstrated that the essential

geometric feature of sections designed to exploit theisentropic compression due to waves reflected from

the sonic line is an abrupt change on the upper sur-

face from the relatively high curvature of the leadingedge to a relatively low curvature downstream and

that this can be provided with a large leading-edgeradius.

Pressure distributions measured on the

ll-percent-thick integral airfoil provide a generalindication of the flow phenomena associated with

NASA supercritical airfoils at design, subcritical, in-

termediate off-design, and high-lift conditions (fig. 7).

Figure 7(a) shows the nearest experimental pres-sure distribution to design conditions at a Mach num-

ber slightly above the design value. The shock wave

location is rearward of that for the design condi-tion with a small acceleration ahead of the shock.

This causes a slight increase in shock losses but does

not result in boundary-layer separation. Separationwould occur when the shock wave moves farther rear-

ward and the pressure plateau is eliminated.

The flow is a little more complex over the aft

part of the airfoil. One of the important features

of the supercritical airfoil is to keep the flow just be-

hind the shock wave moving at close to the speed ofsound (fig. 5). The plateau in the pressure distribu-tion tends to control the forward movement of dis-

turbances associated with the decelerating flow nearthe trailing edge of the airfoil. This prevents the dis-turbances from moving forward near the surface and

causing the flow to converge into the usual shockwave. However, since the flow at a moderate dis-

tance above the surface is subsonic, the disturbances

can move forward and downward into the supersonic

region to decelerate the flow leading into the shock

wave. The combination of these effects significantlyreduces the extent and strength of the shock wave.

In fact it was a key factor in obtaining the shock-free design condition described in reference 13 for theslotted airfoil.

The pressure plateau behind the shock wave is

also necessary to stabilize the boundary layer. When

the boundary layer moves through the pressure dropat the shock, it decelerates more than the streamflow because it does not have as much momentum

as the stream. If the pressure gradient behind the

shock wave is too great, the boundary-layer flow will

reverse and result in separated flow. The problem is

how to keep the boundary-layer flow from reversing.If the boundary layer has to go through a continuousadverse pressure gradient from ahead of the shock

to the trailing edge, boundary-layer theory indicates

that it will separate. However, the plateau in thepressure distribution rearward of the shock wave

allows a reenergization of the boundary layer bymixing between the shock and the final pressure rise

at the trailing edge. As a result, the boundarylayer can move through a greater total pressure risewithout separating.

Considering another part of the boundary-layer

story, the pressure coefficient at the trailing edgeon a conventional airfoil is fairly positive. Theoreti-

cally it recovers to stagnation pressure, but in real-

ity, because it is impossible for the boundary layer to

reach stagnation conditions, it separates locally and

the pressure rise is less. On the supercritical airfoil,the intent was to keep the boundary layer attached

while it underwent the total pressure rise throughthe shock wave and the trailing-edge recovery. If thepressures had to rise from the level ahead of the shock

to the usual positive pressures at the trailing edge,

boundary-layer theory indicates that it would sepa-

rate even though there is a plateau. Therefore, the

supercritical airfoil was designed so that the pressure

coefficient at the trailing edge was only slightly posi-

tive by making the slope of the lower surface equal to

that of the upper surface at the trailing edge. Thisresults in the airfoil having a very sharp and thintrailing edge. The importance of this effect is shown

by the experimental data in figure 7(a). The near-

ambient pressure at the trailing edge, which results

from the small included angle of the trailing edge,reduces to a minimum the total pressure rise the

upper-surface boundary layer must traverse and thus

minimizes the tendency toward separation.

Turning now to the lower surface, it has been

mentioned before that lift is produced by the aft

lower-surface cusp, resulting in the type of aft-loaded

pressure distribution shown in figure 7(a). There is asevere pressure rise near two-thirds chord to substan-

tially positive pressures in the cusp region. Again re-

ferring to boundary-layer theory, boundary layerg-go-

ing into such positive pressures tend to separate much

more readily than when going into a pressure rise

from less than stream pressure to stream pressure,

so that a pressure rise on the lower surface greaterthan that on the upper surface cannot be tolerated.

Therefore, it is important that the velocities on the

forward region of the lower surface do not go super-

sonic. As soon as the flow there goes supersonic, a

shock wave pressure rise is superimposed on the pro-

nounced pressure rise leading into the cusp, which

increases the tendency for the boundary layer to

separate. In fact, experiments were conducted wherethe flow on the lower surface went supersonic, and

for such cases, the flow did separate.Attention was also paid to the shape of the pres-

sure rise into the lower-surface cusp as defined by theStratford criteria of reference 20. There is initially an

abrupt rise or steep positive gradient followed by a

gradually decreasing gradient into the cusp. This ineffect forces the boundary layer right up to the pointof separation and then eases off by reducing the rateof pressure rise. In theory, at this point there is zeroshear or skin friction, although no decrease in dragthat would be associated with this supposedly zeroshear was ever measured during supercritical airfoil

testing.In figure 7(b), a subcritical pressure distribution

is shown for the same angle of attack. The pressuredistribution has a negative peak near the leadingedge, followed by a gradual increase in pressure. It isimportant to keep this peak from becoming so highthat the flow will separate. By keeping the velocitiesdown in the middle region (region of low surface

curvature) while accelerating the flow over the rearregion (region of high surface curvature), the pressuredistribution over the mid upper surface is quite flatand has a low level. The lower surface is the same

as at supercritical speeds because the lower surfaceeven for the supercritical case is still subcritical.

In figure 7(c), a pressure distribution is shownfor an intermediate condition between the design and

subcritical points at a Mach number just below thedesign value. Notice that the front part of the pres-sure distribution looks quite similar to that of thedesign point, fairly fiat, but the shock location is sig-nificantly farther forward than for the design con-dition. Behind the shock wave the flow experiencesa reacceleration because of the increased curvature

of the rear part of the airfoil resulting in a secondsupersonic peak near three-quarter chord. When at-tempting to design for a minimum shock strengthcondition, the rearward curvature had to be increasedand, as a result, the reacceleration velocity at theintermediate conditions could be sufficiently great tocause a second shock wave. The total pressure rise

through this second shock and the immediately fol=lowing trailing-edge pressure recovery may cause sig-nificant boundary-layer separation near the trailing

edge.The pressure distribution shown in figure 7(d) is

that measured at the high-lift corner of the variationof normal force with Mach number for separation on-

set, shown previously in figure 3. The shock wave,associated with a local upstream Mach number of 1.4,

causes a very large adverse pressure gradient. How-ever, the trailing-edge pressure recovery and a surface

oil flow visualization study indicated that the bound-

ary layer did not completely separate. The bulge inthe pressure distribution aft of the shock wave andthe surface oil study indicated a very large separationbubble under the shock with flow reattachment near

three-quarter chord. For conventional airfoil shapes,the presence of a shock wave associated with an up-stream Mach number of 1.4 would cause very severe

boundary-layer separation. The key to the greaterstability of the boundary layer for the supercriticalairfoil was the plateau in the pressure distributionaft of the shock described above. For conventional

airfoils, the pressure immediately downstream of theshock wave continues to increase and the higher pres-sure behind the bubble tends to force the bubble

away from the surface. With the plateau on thesupercritical airfoil, this adverse effect is eliminated.

Effects of Trailing-Edge Thickness

The design philosophy of the supercritical airfoil

required that the trailing-edge slopes of the upperand lower surfaces be equal. This requirement servedto retard flow separation by reducing the pressure-recovery gradient on the upper surface so that thepressure coefficients recovered to only slightly posi-tive values at the trailing edge. For an airfoil with

a sharp trailing edge, as was the case for earlysupercritical airfoils, such restrictions resulted in theairfoil being structurally thin over the aft region.

Because of structural problems associated with

sharp trailing edges and the potential aerodynamicadvantages of thickened trailing edges for transonic

airfoils (discussed, for example, in ref. 18), an ex-ploratory investigation was made during the earlydevelopment phases of the supercritical airfoil to de-termine the effects on the aerodynamic characteris-

tics of thickening the trailing edge (fig. 8). Figure 9shows that increasing the trailing-edge thickness ofan interim ll-percent-thick supercritical airfoil from

0 to 1.0 percent of the chord resulted in a significantdecrease in wave drag at transonic Mach numbers;however, this decrease was achieved at the expense

of higher drag at subcritical Mach numbers. Vari-ous numbering systems were used during the devel-

opment of the supercritical airfoils. The ll-percent-thick airfoil with 0-percent-thick trailing edge wasreferred to as airfoil 4, and the ll-percent-thick air-foil with the 1-percent-thick blunt trailing edge wasreferred to as airfoil 5. These airfoil numbers had no

special meaning with respect to airfoil characteristicsbut were simply configuration numbers used for iden-tification purposes. Figure 1 summarizes the progres-sion of supercritical airfoil shapes to this point.

Advantages of thick trailing edges at transonicMach numbers were real and significant, but practical

6

applicationappearedto dependonwhetherthe dragpenalty at subcriticalMachnumberscould be re-ducedor eliminated.Twoquestionsnaturallyarose:what wouldthe optimumtrailing-edgethicknessbefor supercriticalairfoils,and couldthe dragpenaltyat the subcriticalMachnumbersdue to the thick-enedtrailing edgebe reducedby propershapingofthetrailing edge?

In order to investigatemore comprehensivelythe effects of trailing-edge geometry, a refined10-percent-thicksupercritical airfoil was modified(circa 1970) to permit variations in trailing-edgethicknessfrom 0 to 1.5percentof the chordand in-clusionof a cavity in the trailing edge(fig. 10). Therefined10-percent-thickairfoil with the 1-percent-thick blunt trailing edgewas identified as airfoil9, the 1-percent-thicktrailing edgewith cavity asairfoil 9a, the 1.5-percent-thicktrailing edgewithcavity as airfoil 10, and the 0.7-percent-thicktrail-ing edgewith cavity as airfoil 11. The results,discussedin reference21 and summarizedin fig-ures 11 and 12, suggestedseveralgeneralconclu-sions: (1) increasingtrailing-edgethicknessyieldedreductionsin transonicdraglevelswith noapparentpenaltyat subcriticalMachnumbersup to atrailing-.edgethicknessof about 0.7 percent, (2) increasesin bothsubsonicandtransonicdraglevelsappearedwith increasesin trailing-edgethicknessbeyondap-proximately0.7 percent,(3) small drag reductionsthroughthe Machnumberrangeresultedwhenthe1.0-percent-thicktrailing edgewasmodifiedto in-cludeacavityin thetrailingedge,(4) thereappearedto existsomerelationshipbetweenthe optimumair-foil trailing-edgethicknessand the boundary-layerdisplacementthicknessoverthe uppersurfaceof theairfoil (reversalof the favorableeffectof increasingtrailing-edgethicknessappearedto occurwhentheairfoil trailing-edgethicknessexceededthe displace-ment thicknessof the upper-surfaceboundarylayerat the trailing edge),and (5) the generaldesigncri-terion to realizethe full aerodynamicadvantageoftrailing-edgethicknessappearedto besuchthat thepressurecoefficientsovertheuppersurfaceoftheair-foil recoverto approximatelyzeroat thetrailingedgewith the trailing-edgethicknessequalto or slightlylessthan the localupper-surfaceboundary-layerdis-placementthickness. The experimentalresults forairfoil 9awereincludedin the AGARD experimen-tal databaseof reference22 for computerprogramassessment.

As aconsequenceof this investigation,mostsub-sequentexperimentaldevelopmentof supercriticalairfoils wascarriedout with cuspedtrailing edgesabout 0.7 percentthick. Much later in the super-critical airfoildevelopmentprogram,whenthe avail-

ability ofanalyticalcodes(discussedin latersections)madeit easierto explorevariationsin trailing-edgegeometry,the optimum trailing-edgethicknesswasfound to vary with the maximumthicknessof theairfoil andto besomewhatlessthan 0.7percent.

Effects of Maximum Thickness

In order to provide a source of systematic exper-imental data for the early supercritical airfoils, the11-percent-thick airfoil 5 and the 10-percent-thickairfoil 9 were reported in more detail in reference 23to compare the aerodynamic characteristics of twoairfoils of different maximum thicknesses. As notedabove, the trailing edges of both airfoils were blunt

and 1 percent thick. Although maximum thicknesswas the primary variable, dissimilarities between the

two airfoils prevented a comparison based on purethickness. However, general observations concern-

ing the results were made. For the thinner airfoil,the onset of trailing-edge separation began at an ap-proximately 0.1 higher normal-force coefficient at the

higher test Mach numbers, and the drag divergenceMach number at a normal-force coefficient of 0.7 was0.01 higher. Both effects were associated with lowerinduced velocities over the thinner airfoil.

Effects of Aft Upper-Surface Curvature

The dissimilarities between the l 1-percent-thickairfoil 5 and the 10-percent-thick airfoil 9 were inthe contours of the rear upper surface. As discussed

earlier, the rear upper surface of the supercriticalairfoil is shaped to accelerate the flow following theshock wave in order to produce a near-sonic plateauat design conditions. Near the design normal-forcecoefficient, at intermediate supercritical conditions

between the onset of supersonic flow and the designpoint, the upper-surface shock wave is forward and

the rear upper-surface contour necessary to producethe near-sonic plateau at design conditions causes theflow to expand into a second region of supercriticalflow in the vicinity of three-quarter chord. Care must

be exercised that this second region of supercriticalflow is not permitted to expand to such an extent

that a second shock wave is formed, which wouldtend to separate the flow over the rear portion of theairfoil. As part of the systematic wind-tunnel de-velopment of the supercritical airfoil, modificationsover the rear upper surface of supercritical airfoil 5

were made to evaluate the effect of the magnitudeof the off-design second velocity peak on the designpoint. Surface slopes over the rear upper surface ofairfoil 5 were modified as shown in figure 13, andthe resultant airfoil was designated as airfoil 6. Themodification was accomplished by removing material

over approximately the rear 60 percent of the up-

per surface without changing the trailing-edge thick-ness and resulted in an increase in surface curvature

around midchord and a decrease in surface curvature

over approximately the rearmost 30 percent of the

airfoil. (For small values of slope, curvature may be

approximated by dm/dx, which is the second deriva-

tive of the surface contour d2y/dx2.) The evaluationis documented in reference 24.

The results indicated that attempts to reduce

the magnitude of the second velocity peak at inter-

mediate off-design conditions in that particular man-ner had an adverse effect on drag at design con-

ditions. The results suggested, however, that in

order to avoid drag penalties associated with the de-

velopment of the second velocity peak into a second

shock system on the upper surface at intermediate

off-design conditions, the magnitude of the second

peak should be less than that of the leading-edge

peak.

Wave losses are approximately proportional to

the local Mach number entering the shock and can

he minimized by maintaining a region of low curva-

ture and thereby reducing local velocities ahead of

the shock. The broad region of relatively low, nearly

uniform, upper-surface curvature on the super-

critical airfoil extends from slightly rearward of the

leading edge to about 70 or 75 percent chord. Refer-

ence 25 describes the results of extending this region

of low curvature nearer to the trailing edge in an

attempt to achieve a more rearward location of the

upper-surface shock wave without rapid increases inwave losses and associated separation, thus delay-

ing the drag divergence Mach number at a particularnormal-force coefficient or delaying the drag break for

a particular Mach number to a higher normal-force

coefficient. Extending this low curvature region too

near the trailing edge, however, forces a region of rel-

atively high curvature in the vicinity of the trailing

edge with increased trailing-edge slope. This high

curvature would be expected to produce a more ad-

verse pressure gradient at the trailing edge, where

the boundary layer is most sensitive, and would re-

sult in a greater tendency toward trailing-edge sepa-

ration. The degree and chordwise extent of low cur-vature therefore strongly influences both the strength

of the shock wave and the onset of trailing-edge sep-

aration, the two principal causes of drag divergence.

The results indicated that although simply extending

the region of low curvature farther than on earlier

supercritical airfoils provided a modest improvement

in drag divergence Mach number, it had an unaccept-

ably adverse effect on drag at lower Mach numbers.

An Improved Supercritical Airfoil

During the early development of the two-

dimensional supercritical airfoil, emphasis was placed

upon developing an airfoil with the highest drag-

divergence Mach number attainable at a normal-forcecoefficient of about 0.7. The normal-force coefficient

of 0.7 was chosen as the design goal since, when

account was taken of the effects of sweep, it was

representative of lift coefficients at which advanced

technology near-sonic transports utilizing the super-critical airfoil concept were then expected to cruise.

The resultant airfoil, identified as supercritical

airfoil 11, with a ratio of maximum thickness tochord of 0.10 and a ratio of trailing-edge thickness

to chord of 0.007, had a drag divergence Mach num-

ber of about 0.79 and was reported in reference 21.

This airfoil experienced, however, a "creep" or grad-

ual increase in the drag coefficient of about 14 counts

(c d increment of 0.0014) between the subcriticalMach number of 0.60 and the drag divergence Mach

number at the design normal-force coefficient. This

gradual buildup of drag was largely associated with

an intermediate off-design second velocity peak and

relatively weak shock waves above the upper surface

at these speeds. It was believed that with propershape refinements, the drag creep could be reducedor eliminated.

Following the development of airfoil 11, design

studies of advanced technology transport configura-

tions suggested that cruise Mach number require-ments would be somewhat lower than originally

anticipated, thereby reducing wing sweep and lift

coefficient. Consequently, the design lift coefficient

at which the supercritical airfoil was b@ing developedwas lowered to about 0.55. The wind-tunnel tests

(circa 1972) required for airfoil optimization at the

lower normal-force coefficient also provided the op-

portunity to explore the drag creep problem, thus

drag creep was included as a goal and an imPor-tant factor in the wind-tunnel program. The result

(ref. 26) was an airfoil, identified as airfoil 26a, with

a slightly smaller leading-edge radius, reduced cur-vature over the forward and rear upper Surfface, re-

duced aft camber, and minor changes over the lower

surface. Until this point in the supercritical airfoil

development program, the airfoils could more or less

still be defined by several empirical equations. In

the process of developing airfoil 26a, attempts were

made to retain the capability of being able to describe

the airfoils with geometric functions, but such effortswere not successful. Airfoil 26a and subsequent air-

foils were not, therefore, mathematically described.

Such refinements in the airfoil shape produced

improvements in the overall drag characteristics at

normal-force coefficients from about 0.30 to 0.65

compared with earlier supercritical airfoils developedfor a normal-force coefficient of 0.70. The dragdivergence Mach number of the improved super-critical airfoil 26a varied from approximately 0.82at a normal-force coefficient of 0.30 to 0.78 at a

normal-force coefficient of 0.80 with no drag creepevident up to normal-force coefficients of about 0.65.

As discussed in reference 26, these improved dragcreep characteristics were largely attributed to amore favorable flow recompression over the forward

upper surface and the elimination of a region ofoverexpansion near three-quarter chord.

Effects of Aft Camber

During the development of the improved10-percent-thick airfoil 26a, a number of systematiccontour modifications were evaluated. These indi-

vidual modifications were intermediate steps towarda definite design goal but may be organized into small

groups of related contour variations. One such group-ing showed the effects of variations in surface slopeand curvature distributions over the rear portion ofthe airfoil. Although not approached from the stand-point of camber effects per se, the variations of sur-face slope and curvature distributions resulted in air-

foils with different aft camber and, for convenience,were referred to in this manner. Reference 27 doc-uments the aerodynamic characteristics of these air-foils with different aft camber.

/

Supercritical Airfoil 31

Emphasis on fuel economy during the early 1970's

generated considerable interest in fuel-conserving air-craft envisioned to cruise at Mach numbers near

those of then current transports. Such an air-craft could utilize supercritical airfoil technology toachieve weight and drag reductions by permittingthe use of thicker wings with higher aspect ratiosand less sweep. Because wings with higher as-pect ratios would require airfoils with design lift co-efficients higher than 0.55, airfoil improvements againcentered around developing an airfoil with a designnormal-force coefficient of about 0.70 without incur-ring the troublesome drag creep problem of the ear-lier airfoil 11.

In order to apply the drag creep improvements in-

corporated into airfoil 26a, it was used as the startingpoint in extending the design normal-force coefficientto 0.70. Initially, the location of maximum upper-surface thickness above the reference line was movedforward from 0.40c to 0.38c, and the rear of the airfoil

(both upper and lower surfaces) was displaced down-ward by an amount that varied from 0.0c at the new

position of maximum thickness to 0.01c at the trail-

ing edge, thereby increasing the aft camber. Movingthe position of upper-surface maximum thickness for-

ward by 0.02c simply compressed the forward uppersurface longitudinally and maintained the same gen-eral family resemblance to airfoil 26a.

In addition to the aforementioned changes, sev-eral experimental modifications were necessary be-fore arriving at the final configuration: airfoil 31(circa 1974). These modifications consisted of small

curvature variations near the upper-surface leadingedge to better control the development of supersonicflow in this region and over the forward lower surface

to flatten the forward lower-surface pressure distri-bution. Geometric characteristics of airfoil 31 areshown in figure 14 and compared with those of air-foil 12. Airfoil 12 differs very little from airfoil 11(ref. 26) and was selected as a basis of comparison

because data were available over a wider range ofoff-design conditions than for airfoil 11.

The results presented in reference 28 and summa-

rized in figure 15 show that airfoil 31 produced signif-icant improvements in the drag characteristics com-pared with the earlier supercritical airfoil 12 designedfor the same normal-force coefficient (Ca = 0.7).Drag creep was practically eliminated at normal-

force coefficients between 0.4 and 0.7 and greatly re-duced at other normal-force coefficients. Substantial

reductions in the drag levels preceding drag diver-gence were also achieved at all normal-force co-

efficients. The Mach numbers at which drag divergedwere delayed for airfoil 31 at normal-force coefficients

up to about 0.6 (by approximately 0.01 and 0.02 atnormal-force coefficients of 0.4 and 0.6, respectively)but were slightly lower at higher normal-force co-

efficients. The trade-off between reduced drag lev-els preceding drag divergence through the range ofnormal-force coefficients and reduced drag divergenceMach numbers at the higher normal-force coefficientscalled attention to the compromises that are some-

times necessary in the design of airfoils for prac-tical applications over a wide range of operatingconditions.

Supercritical airfoils through number 31 were'de-veloped through intuitive contour modifications in

the wind tunnel before adequate theoretical designor analysis codes were available and are referred to

as phase 1 airfoils. They resulted from an experi-mentally iterative process of evaluating experimentalpressure distributions at design and off-design con-ditions and physically altering the airfoil profile toyield the best drag characteristics over a range of testconditions. The models were constructed to providethe capability of on-site (mounted in test section)modifications. They consisted of a metal core with

9

metalleadingandtrailingedgesthat wereremovableto provideleading-and trailing-edgemodifications.Theupperandlowersurfacesbetweenthesteellead-ing andtrailing edgeswereformedwith plasticfillermaterialthat couldbeeasilyreshaped.Changestothe surfacecontourscouldbemadeby addingor re-movingfill material.Controlandmeasurementof thecontourswereprovidedby templatesthat rodespan-wiseon the metal leadingandtrailing edges.Whentime permitted and contourvariationswereknownaheadof time, sweeptemplateswereconstructedtoaid in modelchanges.Whenexperimentaldatasug-gestedchangesduringa tunnelentry,shortspanwisestripsofthe modelwerefirst modifiedandsmoothedby handandthena templatecastto that shapewasmadeto aid in gettinga uniform contouracrosstheremainderof the span. Using suchtechniques,itwasbelievedthat coordinatescouldbe maintainedto anexperimentalaccuracyof abouty/c = 0.0001(y = 0.0025 in. for a 25-in.-chord model). It was notrealistic or practical to believe that the models couldbe modified and measured on site much better thanthis.

Theoretically Designed Supercritical Airfoil

The successes in achieving virtually shock-freeflow in wind-tunnel tests of two-dimensional airfoils,combined with the evolution of advanced technology

aircraft, gave impetus to the development of a prac-tical approach to the theoretical design of transoniclifting airfoils with minimum wave losses. One ap-proach was the complex hodograph method for thedesign of shockless supercritical airfoils reported inreference 29. This mathematical approach was usedby P. R. Garabedian of New York University to de-sign an airfoil to be shock free (isentropic recom-pression) at a Mach number of 0.78, a lift coefficientof 0.59, and with a maximum thickness-to-chord ra-tio of about 0.10. The aerodynamic characteristicsof this airfoil were then measured in the Langley8-Foot Transonic Pressure Tunnel to evaluate ex-

perimentally the validity of the design technique.Reference 30 presents the results of the experimentand compares them with the aerodynamic charac-teristics of the improved supercritical airfoil 26a,which was experimentally designed for similar designconditions.

Three major conclusions were reached: (1) ex-cept for slight degradation at off-design conditions

(drag creep and reduced drag divergence Mach num-bers at low Ca), the experimental aerodynamic char-acteristics of the theoretical airfoil compared wellwith those of the experimentally designed airfoil;

(2) undue emphasis on a single-point shockless de-sign goal would more than likely compromise off-

design characteristics--a more realistic design goalwould be a minimum wave loss design point thatwould also provide acceptable off-design characteris-tics; and (3) the complex hodograph design methodcould be a valuable design tool if used in conjunc-tion with an adequate analysis program to evaluateoff-design characteristics.

Theoretical and experimental results of severalother airfoils designed by use of the complex hodo-graph method of reference 29 are reported in refer-ences 31 and 32.

Theoretical Drag Calculations

The airfoil analysis code described in reference 29

gained wide acceptance for the prediction of two-dimensional pressure distributions but was based ona nonconservative form (NCF) of the equation for thevelocity potential describing transonic flow. As dis-cussed by Garabedian (refs. 33 and 34), however, theNCF method fell short of giving an adequate predic-tion of drag-rise Mach numbers because of erroneouspositive terms in the artificial viscosity. The shockjumps defined by the NCF method created mass in-stead of conserving it (see, also, ref. 35), resultingin overprediction of the wave drag, especially in the

case of large supersonic zones. A correction was madeto this "old" analysis code to account for the mass

generated by the NCF method, leading to a more sat-isfactory evaluation of the wave drag. In addition tothe corrected wave drag formulation, an acceleratediteration scheme developed by Jameson (ref. 36) was

incorporated to reduce computation time. A compar-ison between experimental drag characteristics andtheoretical drag characteristics derived from the im-

proved "new" analysis code for the interim super-critical airfoil 27 is presented in reference 37. Results

(representative results shown in fig. 16) indicate thatthe "new" version of the analysis code provides moreaccurate predictions of drag rise and suggest a goodcookbook method of applying the new code.

General Design Guidelines

During the experimental development of thesephase 1 airfoils, design guidelines were r_ognizedthat yielded the best compromises in drag charac-teristics over a range of test conditions.

The first guideline, referred to as the sonic

plateau, is that at some incremental normal-forcecoefficient and Mach number below the design con-

ditions the pressure distribution on the upper andlower surfaces be flat with the upper-surface pres-

sures just below the sonic value. A generalizedoff-design sonic-plateau pressure distribution on arepresentative supercritical airfoil is presented in fig-ure 17. The increment in normal-force coefficient was

10

a functionof thedesignnormal-forcecoefficientandappearedto be about-0.25 to -0.30 for Cn = 0.70.

The increment in Mach number was just enough toreduce the upper-surface pressures to below sonic ve-

locity. This "sonic plateau" was an off-design condi-tion that was observed to be consistent with the best

compromise between design and off-design drag char-acteristics over a wide range of conditions. Wheneveroff-design drag characteristics were sacrificed in or-der to enhance the design drag characteristics, devi-ation from a flat, sonic plateau was observed. Toward

the end of the experimental phase 1 airfoil develop-ment effort, judgments as to the suitability of variousmodel modifications were generally made on the basis

of two experimental data points--the design condi-tion and the off-design sonic-plateau condition.

On the upper surface the sonic plateau extendsfrom near the leading edge to the start of the aftpressure recovery and on the lower surface fromnear the leading edge to the recompression regionentering into the cusp. The rearward extent ofthe upper-surface plateau is determined by a seconddesign guideline that requires the gradient of theaft pressure recovery be gradual enough to avoidlocal separation problems near the trailing edge forlift coefficients and Mach numbers up to the designpoint. Consequently, the rearward extent of theupper-surface plateau would depend on thicknessratio since the thicker the airfoil, the higher theinduced velocities from which the flow must recover

and, therefore, the farther forward the aft pressurerecovery must begin.

A third design guideline requires that the airfoilhave sufficient aft camber so that at design conditionsthe angle of attack be about zero. This prevents thelocation of the upper-surface crest (position of zeroslope) from being too far forward with the negative

pressure coefficients over the midchord acting overa rearward-facing surface. Both experiments andtheoretical analyses have indicated that an increasein angle of attack to positive values results in anabrupt increase in wave drag. A generalized designpressure distribution on a representative supercriticalairfoil is presented in figure 18.

The aft camber results in a concave region nearthe trailing edge on the lower surface with positive

pressures, producing negative pitching moments andincreased hinge moments, while the physical concav-ity reduces the structural depth of the flap or aileron.As noted in reference 38, however, both experimen-tal and calculated results have indicated that these

positive pressures are important in achieving a highdrag-rise Mach number. The depth of the concavitymust, therefore, be a compromise based on a numberof considerations.

A fourth design guideline specifies a graduallydecreasing velocity in the supercritical flow regionover the upper surface. This usually results in thehighest drag-rise Mach number for a given designlift coefficient. Also, the highest usable drag riseor lift coefficient is generally obtained with a weakshock wave at the end of the supercritical region(ref. 38). Permitting a weak shock rather than

trying to design for a shock-free design point alsoreduces the off-design penalties usually associatedwith "point design" airfoils.

Analytically Designed Supercritical Airfoils

Based on the general design guidelines discussedabove, two supercritical airfoils (fig. 19) were de-signed (circa 1975)--the 10-percent-thick airfoil 33reported in reference 39 and the 14-percent-thick air-foil reported in reference 40. The design normal-force coefficient was 0.7 for both airfoils. An iter-

ative computational design process was used thatconsisted of altering the airfoil coordinates until the

viscous airfoil analysis program of reference 29 in-dicated that the aforementioned design criteria hadbeen satisfied. Until this point in the developmentof supercritical airfoils, design had been totally de-pendent on experimental methods and was extremelytedious, time consuming, and expensive. The designof these two airfoils by using the numerical code andthe experimental verification of the results was in-

tended to demonstrate that airfoils could be reliablydesigned by computational methods, thus reducingthe cost and wind-tunnel time of developing super-critical airfoils.

Figure 20 presents sketches of the experimentallydeveloped airfoil 31 and the analytically designed air-foil 33, and figures 21 and 22 compare the experimen-

tal pressure distributions nearest to the off-designsonic-plateau and design conditions for the two air-foils. To obtain airfoil 33, the ordinates of airfoil 31were modified over the forward upper and lower sur-faces, decreased over the rear upper surfaces, andincreased in the vicinity of 80 percent chord on the

lower surface. Referring to the experimental pres-sure distributions that approach the off-design sonic-plateau criterion (fig. 21), the alterations over the up-per surface and forward lower surface were necessaryto obtain the desired plateau pressure distributionand to reduce the upper-surface aft pressure recov-ery gradient. The ordinates on the rear lower surfacewere increased, with the maximum increase at 80 per-cent, to provide increased depth for control surfaceand flap structural requirements. Subtracting fromthe upper surface and adding to the lower surfaceover the aft portion of the airfoil in this manner re-

duced the aft camber and, therefore, increased the

11

angleof attack requiredto achievea givennormal-forcecoefficient.Themodificationsalsohadto assurethat the angle-of-attackdesignguidelinehad beenmet,that is, that theangleof attackrequiredfor thedesignnormal-forcecoefficientof 0.7remainnear0°.

Sincethe bestdrag-risecharacteristicsareoftenobtainedon airfoilswith a smallamountof upper-surfacetrailing-edgeseparationand sincetheoreti-cal treatmentsof the flow at trailing-edgeregionsaregenerallyunreliable,theoreticallypredictedflowseparationat 98percentchordwasacceptedduringthedesignprocess.Attemptsto achieveamorerear-ward locationof theoreticalseparationby reducingthe aft pressurerecoverygradientwouldhaveforcedtherearterminusofthesonicplateauforward,result-ing in higherinducedvelocitiesin the plateauregionanda probablereductionin drag-riseMachnumber.Relaxingthe separationrequirementsin this man-ner during the designprocessprovedto be reason-ablesincethe computationalresultsgenerallyover-predictedseparationandseparationwasnotobservedin the experimentaldata. The upper-surfacesonicplateauextendedfromapproximately3to 80percentchordon the 10-percent-thickairfoil and from ap-proximately5to 66percentchordon the 14-percent-thick airfoil.

Theexperimentalresults(refs.39and40)showedthat the 10-percent-thick airfoil 33 and the14-percent-thickairfoilhadgooddrag-risecharacter-isticsovera wide rangeof normal-forcecoefficientswith no measurableshock lossesup to the Machnumbersat which drag divergenceoccurredfornormal-forcecoefficientsup to 0.7. The drag-risecharacteristicsof the computationallydesigned,10-percent-thickairfoil 33arecomparedwith thoseof the earlierexperimentallydesignedairfoil 31 infigure23andwith thoseof the analyticallydesigned14-percent-thickairfoil in figure24.

Reference41documentsthe low-speedcharacter-isticsof the 14-percent-thickairfoil obtainedin theLangleyLow-TurbulencePressureTunnel. This air-foil demonstratedexcellentlow-speedqualitiesandachievedunflappedC/,ma x = 2.22 at Rc = 12 x 106.

Reference 42, which discusses the status ofNASA's airfoil research program in 1975, includes in-formation on the status of supercritical airfoils during

that time period.

Matrix of Phase 2 Supercritical Airfoils

The experimental verification of the design guide-lines or "target pressure distributions" and the suc-cess with which two airfoils were designed using com-putational methods prompted the design of a matrixof family-related airfoils, all based on the guidelines

12

described above and referred to as the supercriticalphase 2 airfoils.

Figures 25 and 26 show the matrix of the airfoilsthat were designed and indicate the various applica-tions to which they may be applied. The solid sym-bols indicate the airfoils that have been tested. The

10- and 14-percent-thick airfoils, as discussed above,were tested in the Langley 8-Foot Transonic Pres-sure Tunnel and reported in references 39 and 40.The three 6-percent-thick airfoils were tested in theLangley 6- by 28-Inch Transonic Tunnel. The resultsof the 6-percent-thick airfoils also verified the ana-lytical design process but are unpublished. Airfoilcoordinates, along with sketches of the airfoils, arepresented in tables II through XXII. Even though thecodes would have permitted definition of coordinatesto more decimal places than shown in these tables,it was felt that the development program was stillessentially an experimental process, and, except forthe thinner airfoils, no attempt was made to define

the vertical coordinates to less than y/c = 0.0001.Attention is called to the fact that the coordinates

are not presented relative to conventional chord lines.To simplify comparisons between supercritical air-foils, it was the custom to present coordinates rela-tive to a common reference line rather than the stan-

dard method of defining airfoils relative to a referencechordline connecting the leading and trailing edges.

Design conditions for each airfoil were establishedby specifying maximum thickness and lift coefficientand letting the Mach number "float" to assume what-ever value, was required to achieve the generalizeddesign and off-design pressure distributions shown infigures 17 and 18. Figures 27 and 2.8 show repre-sentative off-design sonic-plateau pressure distribu-tions for some of the airfoils and indicate the designlift coefficient and the Mach numbers at which the

sonic plateaus occurred. Figure 29 shows the ana-lytical drag divergence Mach numbers and includesthe measured drag divergence Mach numbers for the10- and 14-percent-thick airfoils designed for cl =0.70 discussed above. Drag divergence Mach num-ber was defined as the point where the slope--of thecurve of section drag coefficient as a function of Machnumber equals 0.1, dcd/dM = 0.1. Figure 30 showshow the leading-edge radius of the airfoils varies withmaximum thickness and indicates the variation to be

parabolic in nature.

All airfoils were assumed to be fully turbulentduring the design process with transition at 3 per-cent chord. For airfoils less than 6 percent thick,chord Reynolds number was specified to be 10 × 106.For airfoils 6 percent thick or more, chord Reynoldsnumber was specified to be 30 x 106. These Reynolds

numberswerefelt to be representativeof theproba-ble applicationsfor the airfoils.

If airfoils with thicknessratios intermediatetothosepresentedin tablesII to XXII aredesired,andchangesin thicknessratios arenot morethan 1 or2 percent,the ordinatescan be linearly scaledorinterpolated from these tables without seriouslyalteringthegradientsof thetheoreticalpressuredis-tributions. The two symmetricalairfoilsshowninthe matrix weredevelopedby wrappingthe thick-nessdistributionofthe least-camberedairfoil of eachthicknessratio aroundthe referenceline, filling inthe resultantupper and lowerrear cuspedsurfacessothat the surfaceswerestraight linesfrom about65 percentchord to the trailing edge,and mak-ing smallmodificationsto the coordinatesto makesure that both surfacessatisfiedthe upper-surfacesonic-plateauguidelineat zeroangleof attack. The12-percent-thicksymmetricalairfoil, SC(2)-0012,wastested at high Reynoldsnumbersin the Langley0.3-MeterTransonicCryogenicTunnel,and the re-sultswerereportedin reference43. The 14-percent-thickairfoil camberedfor 0.7lift coefficientwasalsotestedat highReynoldsnumbersandreportedin ref-erences44and45.

Phase 3 Supercritical Airfoils

There appeared to be some concern that theleading-edge radii of the supercritical airfoils weretoo large to be compatible with good low-speed char-

acteristics, that the airfoils had nose down pitchingmoments that were too large, and that there wasnot enough structural depth over the rear cusp re-gion where flaps would normally be located. Afterthe design of the matrix of phase 2 airfoils was com-pleted, an attempt was made to address these con-cerns during the late 1970's. The airfoils studied

during these investigations were referred to as super-critical phase 3 airfoils.

Studies (using the same iterative computationtechniques as used in the design of the phase 2 air-foils) indicated that reductions in pitching momentscould be achieved by thickening the airfoil in the

vicinity of the rear lower surface and undercuttingthe forward lower surface without significantly de-grading the airfoil performance at design conditions.Undercutting the forward lower surface also resulted

in an effectively smaller leading-edge radius.Figure 31 compares sketches of the original

12-percent-thick phase 2 supercritical airfoil designedfor 0.7 lift coefficient and the same airfoil with the

forward lower surface undercut. Figure 32 indicatesthat the upper surface was relatively unaffected atdesign conditions by this modification. The curva-tures over the lower surface where the undercut sur-

face fairs back into the original airfoil are increased,

resulting in higher velocities in the midchord regionand slightly reduced pitching moments at a more neg-ative angle of attack. Removing material in this man-ner increases curvature at the ends of the removalarea and decreases curvature in the middle of thearea and has a "water bed" effect on the velocities:

velocities go up in one place but go down somewhereelse.

Thickening the aft region of the airfoil by about9 percent of the original thickness at 80 percent chord(fig. 33) to approximately the same thickness as aNACA 65-series airfoil by filling in the lower-surface

cusp also resulted in a small decrease in pitching mo-ment (fig. 34) but required a slightly higher angle ofattack to achieve the same lift coefficient. More re-

cent studies (ref. 46, for example) have indicated thatsubstantial thickening of supercritical-type airfoils inthe vicinity of 80 percent chord would be possiblewithout sacrificing transonic performance.

In order to evaluate such modifications experi-mentally, the existing 14-percent-thick model usedin the low-speed evaluation of SC(2)-0714 was mod-

ified and tested at low speeds in the Langley Low-Turbulence Pressure Tunnel. Figure 35 shows

sketches of the two airfoils and figures 36 and 37 com-pare the theoretical pressure distributions at the de-sign and sonic-plateau conditions. The experimentalresults (unpublished) indicated that small reductionsin leading-edge pressure peaks were achieved with the

smaller leading-edge radius but that low-speed stalloccurred a couple of degrees earlier and the maximumlift attained decreased from about 2.2 to 2.1. Subse-

quent tests of the NASA SC(3)-0714 in the Langley0.3-Meter Transonic Cryogenic Tunnel are reportedin references 47 and 48.

The effort to incorporate these phase 3 modifica-tions into the entire matrix of phase 2 supercriticalairfoils was abandoned, however, when on the thin-ner 6-percent-thick airfoils the increased curvatureon the lower surfaces caused the lower-surface veloci-

ties to become supersonic and depart from the designguidelines that had been established.

Concluding Remarks

A concerted effort within the National Aero-

nautics and Space Administration (NASA) duringthe 1960's and 1970's was directed toward develop-ing practical two-dimensional turbulent airfoils with

good transonic behavior while retaining acceptablelow-speed characteristics and focused on a conceptreferred to as the supercritical airfoil. This dis-

tinctive airfoil shape, based on local supersonic flowwith isentropic recompression, was characterized bya large leading-edge radius, reduced curvature over

13

the middle region of the upper surface, and sub-

stantial aft camber.

This report has summarized the NASA super-

critical airfoil development program in a chrono-

logical fashion, discussed some of the airfoil design

guidelines, and presented coordinates of a matrix of

family-related supercritical airfoils with thicknesses

of 2 to 18 percent and design lift coefficients from 0

to 1.0.

NASA Langley Research Center

Hampton, VA 23665-5225

January 16, 1990

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15

Table I. Major Milestones in the Development of NASA Supercritical Airfoils

Milestone Date Reference

13 (TM X-1109)Experimentally designed slotted SC airfoilExperimentally designed integral SC airfoilThickened-trailing-edge experimentsImproved SC airfoil 26aTheoretically designed SC airfoilExperimentally designed SC airfoil 31Analytically designed 10-percent-thick SC airfoil 33Analytically designed 14-percent-thick SC airfoilMatrix of phase 2 SC airfoilsPhase 3 SC airfoils

1964196619701972197319741975

19751976-1978

1979

21 (TM X-2336)26 (TM X-2978)30 (TM X-3082)28 (TM X-3203)

39 (TM X-72711)40 (TM X-72712)

16

Table II. Coordinates of 2-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0402

Designed for 0.4 Lift Coefficient

xlc

,0.0o0

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i0o

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.17o

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

_25o

.260

.270

.280

.290

.300

.31o

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400.41o

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(y/c) u

0.0o0o0.00135

.00205

.00280

.00375

.00445

.00500

.00550

.00590

.00625

.00660

.00690

.00720

.00745

.00770

.00790

.00810

.00830

.00845

.00860

.00875

.00890

.00900

.00910

.00920

.00930

.00940

.oo95o

.00960

.00965

.00970

.00975

.00980

.00985

.00990

.00995

.01000

.01000

.0100o

.OLO00

.OLOOO

.0100o

.0100o

.01o0o

.01o0o

.oi0oo

.oi00o

.00995

.00990

.00985

.00980

.00975

(y/c) 1

0.000o0

-.00135-.00205

-.00280-.00375

-.00445

-.00500-.00550-.00590-.00625-.00660-.00690-.00720-.00745-.00770

-.00790-.00810

-.00830

-.00845-.00860

-.00875

-.00890-.00900

-.00910

-.00920-.00930

-.00940-.00950

-.00960

-.00965

-.00970-.00975

-.00980-.00985

-.00990

-.00995-.00995

-.00995

-.00995

-.00995-.00995

-.00995-.00995

-.00990

-.00985-.00980

-.00975

-.00965-.00955

-.00945

-.00935-.00925

x/c (y/C)u

.500

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.00970

.00965

.00960

.00955

.00950

.00940

.00930

.00920

.00910

.00900

.00890

.00880

.00870

.00860

.00845

.00830

.00815

.00800

.00785

.00770

.00755

.00740

.00720

.00700

.00680

.00660

.00640

.00620

.00600

.00580

.00555

.00530

.00505

.00480

.00455

.00425.00395

.00365

.00330

.00295

.00255

.00215

.00170

.00120

.00070

.00015

-.00045-.00110

-.00180

-.00265

-.00360

(Y/C) 1

-.00915-.00900

-.00885-.00870

-.00855

-.00840-.00820

-.00800

-.00780-.00760

-.00735

-.00710-.00685

-.00660

-.00635-.00610

-.00585-.00560

-.00535

-.00510-.00485

-.00460

-.00435-.00410

-.00385

-.00360-.00335

-.00310

-.00285

-.00260

-.00240-.00220

-.00200-.00180

-.00165

-.00155-.00145

-.00140

-.00140-.00140

-.00150-.00160

-.00175

-.00195-.00220

-.00250

-.00290-.00340

-.00400

-.00470-.00550

17

Table III. Coordinates of 3-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0403

Designed for 0.4 Lift Coefficient

9

x/c (y/c) u (y/c) 1

00.ooo.002

•005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0

.120

.130

•140

.150

.160

•170

•180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

.00000

.00210

.00320

.00440

.00590

.00700

.00780

.00850

.00910

.00960

.01010

.01050

.01090

.01130

.01160

.01190

.01220

.01250

.01270

.01290

.01310

.01330

.01350

.01365

.01380

.01395

.01410

.01420

.01430

.01440

.01450

.01460

.01470

.01475

.01480

.01485

.01490

.01495

.01500

.01500

.01500

.01500

.01500

.01500

.01500

.01500

.01495

.01490

.01485

.01480

.01475

.01470

0.00000

-.00210

-.00320

-.00440-.00590

-.00700

-.00780-.00850

-.00910

-.00960-.01010

-.01050-.01090

-.01130

-.01170-.01200

-.01230

-.01260-.01290

-.01310

-.01330

-.01350-.01370

-.01390

-.01410-.01430

-.01440-.01450

-.01460

-.01470-.01480

-.01490

-.01500-.01500

-.01500

-.01500

-.01500-.01500

-.01500

-.01500-.01500

-.01490-.01480

-.0147D

-.01460

-.01450-.01440

-.01430-.01410

-.01390

-.01370

-.01350

x/c

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C) u (Y/C) 1

.01465

.01460

.01450

.01440

.01430

.01420

.01410

.01400

.01390

.01380

.01365

.01350

.01335

.01320

.01305

.01290

.01275

.01260

.01240

.01220

.01200

•01180.01160

.01140

.01120

.01100

.01075

.0105001025

.01000

.00975

.00950

.00920

.00890

.00860

.00830

.00790

.00750

.00710

.00670

.00620

.00570

.00510

.00450

.00380

.00310

.00230

.00150

.0OO6O

-.00030

-.00130

-.01330

-.01310-.01280

-.01250-.01220

-.01190

-.01160-.01130

-.01100-.01060

-.01020

-.OO98O-.00940

-.00900

-.00860-.00820

-.00780-.00740

-.00700

-.00660-.00620

-•00580

-.00540-.00500

-.00460

-.00420

-.00380-.00340

-.00300-.00260

-.00220

-.00180-.00150

-.00120-.00090

-.00060

-.00040-.00020

.00000

.00010

.00020

.00020

.00010

.00000

-.00020-.00050

-.00090

-.00140-.00200

-.00280

-.00370

18

Table IV. Coordinates of 3-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0503

Designed for 0.5 Lift Coefficient

x/c

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0•12o

.130

•140

.150

.160

.17o

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.31o

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(y/c) u

o.00o0o•00210

.00320

•00430.00570

•00680

.00760

.00830

.00890

.00950

.OLO00

•01050

.01090

.01130

•01170

•01200•01230

•01260

•01285.01310

•01330

.01350•01370

.01390

•01405

.01420•01435

.01450

.01460

.01470

.01480

•01485

.01490

.01495

.01500

.01500

.01500

.01500

.01500

•01500.01500

•01500.01495

.01490

.01485

•01480•01475

.01470•01465

•01460

.01450

.01440

(y/c) 1

o.o00oo-•00210

-•00320

-•00430-.00570

-.00680

-.00760-.00830

-.00890

-•00950-.0100o

-.01050

-•01090-.01130

-•01170

-.01200-.01230

-•01260

-•01290-•01310

-.01330

-.01350-•01370

-.01390

-.01410-.01430

-.01440

-.01450

-•01460-.01470

-•01480

-.01490-.01500

-•01510

-•01510-.01510

-.01510

-.01510-.01510

-.01510-•01510

-•01510

-•01510

-•01500-.01490

-.01480

-•01470-•01460

-•01450

-•01440-.01420

-.01400

x/c

•500

.510

.520

•530

.540

.550

•560•570

.580

.590

.600

.61o

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.71o

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.0o0

(y/c) u

.01430

.01420

.01410

.01400

.01390•01375

.01360

.01345•01330

.01315

.01300

.01280

.01260•01240

.01220

•01200

.01180

.01160

•01140.01115

.01090•01065

•01040

.01015

.00990•00960

.00930

•00900

.00870•00840

.00810

.00770

•00730

•00690

•00650•00610

.00560

.00510

.00460

.00400

.00340•00270

.00200

.00120

.00040-•00050

-•00150

-.00250

-.00360-•00470

-.00590

(y/c) 1

-•01380

-•01360

-•01340

-•01320-.01300

-.01270

-•01240-.01210

-•01180

-•01150-.01120

-.01090

-.01060-.01030

-.00990

-.00950-.00910

-.00870

-.00830-•00790

-.00750-.00710

-.00670-.00630

-.00590

-.00550

-.00510-•00480

-.00450

-.00420

-.00390-.00360

-.00330-.00310

-.00290-•00270

-.00260

-.00250-.0O25O

-.00250

-.00260-.00280

-.00300

-.00330-.00370

-.00420

-•00480-.00550

-•00630

-•00720-.00830

19

Table V. Coordinates of 4-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0404

Designed for 0.4 Lift Coefficient

x/c (y/c) u (y/c) 1

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

0.00000

.00280

.00430

.00590

.00800

.00950

.01060

.01155

.01235

.01305

.01365

.01425

.01475

.01520

.01560

.01600

.01635

.01670

.01700

.01730

.01755

.01780

.01805

.01825

.01845

.01865

.01885

.01900

.01915

.01930

0.00000

-.00280-.00430

-.00590-.00800

-.00950-.01060

-.01155

-.01235-.01305

-.01365

-.01425-.01475

-.01525

-.01570-.01610

-.01650

-.01690-.01720

-.01750-.01780

-.01810

-.01840

-.01860-.01880

-.01900

-.01920-.01940

-.01950

-.01960.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

.01945

.01955

.01965

.01975

.01985

.01990

.01995

.02000

.02005

.02010

.02010

.02010

.02010

.02010

.02010

.02010

.02005

.02000

.01995

.01990

.01985

.01980

.01970

.01980

.01990

.02000

.02000

.02000

.02000

.02000

.02000

.02000

.02000

.01990

.01980

.01970

.01960

.01950

.01930

.01910

.01890

.01870

.01850

.01820

x/c (y/c) u

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.58O

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.01970

.01960

.01950

.01940

.01930

.01920

.01905

.01890

.01875

.01860

.01845

.01830

.01810

.01790

.01770

.01750

.01730

.01705

.01680

.01655

.01630

.01600

.01570

.01540

.01505

.01470

.01435

.01395

.01355

.01315

.01270

.01225

.01175

.01125

.01070

.01015

.00955

.00895

.00830

.00765

.00695

.00625

.00550

.00475

.00395

.00310

.00225

.00135

.00045-.OOO5O

-.00150

(Y/C) 1

-.01790

-.01760-.01730

-.01695-.01655-.01615

-.01575-.01530

-.01485

-.01440

-.01390-.01340

-.01290

-.01240-.01185

-.01130

-.01075-.01020

-.00965-.00910

-.00855

-.00800-.00745

-.00690

-.00635-.00580

-.00525

-.00470

-.00420

-.00370

-.00325-.00280

-.00240-.00200

-.00165

-.00135

-.00110-.00085

-.00065

-.00050-.00040

-.00040-.00045

-.00055

-.00075-.OO1O5

-.00145

-.OO2OO

-.00265-.00345

-.00435

2O

Table VI. Coordinates of 6-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0406Designed for 0.4 Lift Coefficient

x/c

o.ooo.002.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(Y/C) u

0.0000.0043

.0064

.0089

.0122

.0144

.0161

.0175

.0187

.0198

.0207

.0215

.0223

.0230

.0236

.0242

.0248

.0253

.0258

.0262

.0266

.0270

.0273

.0276

.0279

.0282

.0285

.0287

.o289

.0291.0293.0295.0296.0297.0298.0299.0300

.0301

.0301

.0301

.0301

.0301

.0301

.0301

.0300

.0299

.0298

.0297

.0296

.0295

.0294

.0292

(Y/C) 1

0.0000

-.0043-.0064

-.0089-.0122

-.0144

-.0161-.0175

-.0187

-.0197-.0206

-.0215

-.0223-.0230

-.0237

-.0243-.0249

-.0254-.0259

-.0264

-.0268-.0272

-.0276

-.0279

-.0282-.0285

-.0288

-.0290

--.0292

-.0294-.0296

--.0297-.0298

-.0299

-.0300

--.0301-.0301

--.0301-.0301

-.0301

-.0300

-.0299-.0298

--.0297-.0295

-.0293-.0291

-.0288

-.0285

-.0282--.0279

-.0275

x/c

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C) u

.0290

.0288

.0286

.0284

.0282

.0279

.0276

.0273

.0270

.0267

.0263

.0259

.0255

.0251

.0247

.0242

.0237

.0232

.0227

.0222

.0217

.0211

.0205

.0199

.0193

.0187

.0181

.0174

.0167

.0160

.0153

.0146

.0139

.0132

.0124

.0116

.0108

.0100

.0092

.0084

.0076

.0068

.0059.0050

.0041

.0032

.0023

.0014

.0004-.0006

-.0016

(Y/C) 1

-.0271

-.0267-.0263

-.0258

-.0253

-.0248

-.0243-.0237

-.0231

-.0225-.0219

-.0213

-.0207-.0201

-.0195-.0188

-.0181-.0174

-.0167

-.0160

-.0153-.0146

-.0139

-.0132

-.0125-.0118

-.0111-.0104

-.0097

-.0090-.0084

-.0078

-.0072-.0066

-.0060

-.0055-.0050

-.0045

-.0041-.0037

-.0034-.0031

-.0029

-.0028-.0028

-.0029

-.0031-.0034

-.0039

-.0046-.0055

21

Table VII. Coordinates of 6-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0606

Designed for 0.6 Lift Coefficient

(Y/C) 1

0

x/c (y/c) u

.000 0.0000

.002 .0043

.005 .0065

.010 .0088

.020 .0119

.030 .0140

.040 .0157

.050 .0171

.060 .0183

.070 .0194

.080 .0204

.090 .0213

.i00 .0221

.ii0 .0228

.120 .0235

.130 .0241

.140 .0247

.150 .0252

.160 .0257

.170 .0262

.180 .0266

.190 .0270

.200 .0274

.210 .0277

.220 .0280

.230 .0283

.240 .0286

.250 .0288

.260 .0290

.270 .0292

.280 .0294

.290 .0295

.300 .0296

.310 .0297

.320 .0298

.330 .0299

.340 .0300

.350 .0300

.360 .0300

.370 .0300

.38O .O3OO

.390 .0300

.400 .0300

.410 .0300

.420 .0299

.430 .0298

.440 .0297

.450 .0296

.460 .0295

.470 .0294

.480 .0292

.490 .0290

0.0000

-.0043-.0065

-.0088

-.0119-.0140

-.0157

-.0171-.0183

-.0194-.0204

-.0213

-.0221

-.0229-.0236

-.0242

-.0248

-.0253-.0258

-.0263-.0267

-.0271

-.0275-.0278

-.0281

-.0284-.0287

-.0289

-.0291

-.0293

-.0295-.0296

-.0297

-.0298-.0299

-.0300-.0300

-.0300

-.0300

-.0300-.0299

-.0298

-.0297-.0296

-.0294

-.0292-.0290

-.0287-.0284

-.0281

-.0278-.0274

x/c (y/c) u (y/c) 1

.500 .0288

.510 .0286

.520 .0284

.530 .0282

.540 .0280

.550 .0277

.560 .0274

.570 .0271

.580 .0268

.590 .0265

.600 .0262

.610 .0259

.620 .0255

.630 .0251

.640 .0247

.650 .0243

.660 .0239

.670 .0234

.680 .0229

.690 .0224

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.0219

.0213

.0207

.0201

.0195

.0189

.0182

.0175

.0168

.0161

.0153

.0145

.0137

.0128

.0119

.0110

.0100

.0090

.0079

.0068

.0056

.0044

.0031

.0018

.0004-.0010

-.0025

-.0041

-.0059-.0078

-.0098

-.0270

-.0266-.0262

-.0257-.0252

-.0247

-.0241-.0235

-.0229

-.0223-.0217

-.0211

-.0205-.0199

-.0192-.0185

-.0178-.0171

-.0164

-.0157

-.0150-.0143

-.0136

-.0129-.0122

-.0115

-.0108

-.0101

-.0094-.0088

-.0082-.0076

-.0071

-.0066

-.0061-.0057

-.0053

-.0050-.0048

-.0047-.0047

-.0048

-.0050-.0054

-.0059

-.0066-.0076

-.0088

-.0103

-.0120

-.0139

22

f

Table VIII. Coordinates of 6-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0706Designed for 0.7 Lift Coefficient

x/c

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(Y/C) u (Y/C) 1

0.0000

.0043

.0065

.0088

.0117

.0138

.0155

.0169

.0181

.0192

.0202

.0211

.0219

.0227

.0234

.0240

.0246

.0252

.0257

.0262

.0266

.0270

.0274

.0277

.0280

.0283

.0286

.0288

.0290

.0292

.0294

.0295

.0296

.0297

.0298

.0299

.0300

.0300

.0300

.0300

.0300

.0300

.0300

.0299

.0298

.0297

.0296

.0295

.0294

.0293

.0291

.0289

0.0000

-.0043

-.0065-.0088

-.0117

-.0138-.0155

-.0169-.0181

-.0192

-.0202

-.0211-.0219

-.0227

-.0234-.0240

-.0246

-. 0251-.0256

-.0261-.0265

-.0269

-.0273-.0277

-.0280

-.0283-.0286

-.0288

-.0290

-.0292

-.0294

-.0296-.0297

-.0298-.0299

-.0300

-.0300-.0300

-.0300

-.0300-.0299

-.0298

-.0297-.0296

-.0294

-.0292-.0290

-.0287

-.0284-.0281

-.0278-.0274

x/c

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.9901.000

(Y/C) u

.0287

.0285

.0283

.0281

.0278

.0275

.0272

.0269

.0266

.0263

.0260

.0256

.0252

.0248

.0244

.0240

.0236

.0231

.0226

.0221

.0216

.0211

.0206

.0200

.0194

.0188

.0182

.0175

.0168

.0161

.0154

.0146

.0138

.0129

.0120

.0110

.0100

.0089

.0077

.0064

.0051

.0037

.0022

.0006-.0011

-.0029-.0048

-.0068

-.0089-.0112

-.0138

(Y/C) 1

-.0270

-.0266-.0261

-.0256

-.0251

-.0246-.0240

-.0234

-.0228-.0222

-.0216-.0210

-.0204-.0197

-.0190

-.0183

-.0176-.0169

-.0162-.0155

'-.0148

-.0141-.0134

-.0127

-.0120-.0113

-.0106

-.0099

-.0093

-.0087-.0081

-.0075

-.0070-.0065

-.0061-.0057

-.0054

-.0052-.0051

-.0051

-.0052-.0054

-.0058-.0064

-.0072

-.0082-.0095

-.0111

-.0130-.0152

-.0177

23

Table IX. Coordinates of 6-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2i-1006

Designed for 1.0 Lift Coefficient

x/c

.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

. i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(y/c) u

0.0000

.0042

.0064

.0087

.0117

.0140

.0158

.0174

.0188

.0200

.0211

.0221

.0230

.0238

.0245

.0252

.0258

.0264

.0269

.0274

.0278

.0282

.0285

.0288

.0291

.0293

.0295

.0297

.0298

.0299

.0300

.0300

.0300

.0300

.0300

.0299

.0298

.0297

.0296

.0294

.0292

.0290

.0288

.0286

.0283

.0280

.0277

.0274

.0270

.0266

.0262

.0258

(y/c) 1

0.0000

-.0042-.0064

-.0087

-.0117

-.0140-.0158

-.0174-.0187

-.0199

-.0209-.0218

-.0226

-.0234-.0241

-.0247

-.0253

-.0259-.0264

-.0269-.0273

-.0277

-.0281

-.0284-.0287

-.0290

-.0292-.0294

-.0296

-.0297

-.0298

-.0299-.0300

-.0300-.0300

-.0300

-.0300-.0300

-.0299

-.0298-.0297

-.0296

-.0295-.0294

-.0293

-.0292-.0291

-.0290

-.0289-.0287

-.0285

-.0283

x/c

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.9901.000

(y/c) u (Y/C) 1

.0254

.0249

.0244

.0239

.0234

.0229

.0223

.0217

.0211

.0205

.0198

.0191

.0184

.0177

.0169

.0161

.0153

.0144

.0135

.0126

.0117

.0107

.0097

.0087

.0076

.0065

.0053

.0041

.0028

.0015

.0001

-.0014

-.0030-.0046

-.0063-.0081

-.0100

-.0120

-.0141-.0162

-.0184

-.0206-.0229

-.0253-.0277

-.0302

-.0328-.0355

-.0383

-.0412

-.0443

-.0281

-.0279

-.0277-.0275

-.0273

-.0271-.0269

-.0267

-.0265-.0263

-.0261

-.0259

-.0257-.0255

-.0253-.0251

-.0249

-.0247-.0245

-.0243

-.0241-.0239

-.0237-.0236

-.0235

-.0234

-.0233-.0233

-.0233-.0233

-.0234

-.0235-.0237

-.0239

-.0242-.0246

-.0251

-.0257-.0264

-.0272

-.0281-.0292

-.0305

-.0320-.0337-.0356

-.0377-.0400

-.0425

-.0452-.0482

24

Table X. Coordinates of 10-Percent-Thick Symmetrical Supercritical Airfoil SC(2)-0010

x/c

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0•120

.130•140

.150•160

•170

•180

• 190.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(Y/C) u

0.00000

•00760

•01160•01550

•02070•02430

.02700

•02920•03110

.03280

•03430

•03570.03690

•03800

.03900

.04000

•04090.04170

•04250

•04320•04390

.04450

•04510•04560

•04610

•04660•04700

•04740

•04780

•04810•04840

•04870.04900

•04920

•04940•04960

•04970

•04980

•04990

•05000•05000

.05000

.05000

.05000

•04990•04980

.04970•04960

•04940

•04920•04900

•04870

(Y/C) 1

0.00000

-•00760-•01160

-.01550-•02070

-.02430-.02700

-•02920

-•03110

-.03280-.03430

-.03570

-.03690-.03800

-•03900

-.04000-.04090

-•04170-.04250

-•04320

-•04390

-•04450-•04510

-•04560

-•04610-•04660

-•04700

-.04740

-•04780

-•04810-•04840

-•04870-•04900

-•04920-•04940

-•04960

-.04970

-•04980-•04990

-•05000

-•05000-•05000

-.05000

-•05000-.04990

-.04980-•04970

-•04960-•04940

-.04920

-•04900

-•04870

x/c

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C) u

•04840

•04810

•04780•04740

.04700•04650

•04600

.04550•04490

•04430

.04360•04280

.04200

.04110•04020

•03920.03820

.03715

•03610.03505

•03400

.03295

•03190•03085

•02980•02875

•02770

•02665

•02560

.02455

•02350•02245

•02140

•02035•01930

•01825•01720

•01615

.01510•01405

•01300

•01195.01090

•00985

•00880•00775

•00670

•00565

•00460•00355

•00250

(Y/C) 1

-•04840

-•04810-.04780

-•04740

-•04700

-•04650

-•04600-•04550

-.04490

-•04430-.04360

-.04280

-•04200-•04110

-.04020

-•03920-•03820

-•03715-•03610

-•03505

-•03400-•03295

-•03190

-•03085-•02980

-.02875

-•02770-•02665

-•02560

-•02455

-.02350-•02245

-•02140

-•02035-•01930

-.01825

-•01720-•01615

-•01510-.01405

-•01300

-•01195-•01090

-•00985

-•00880-.00775

-•00670

-•00565

-•00460-•00355

-•00250

25

Table XI. Coordinates of 10-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0410

Designed for 0.4 Lift Coefficient

x/c (y/c) u (y/c) 1

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.I00

.ii0

•120

.130•140

•150

•160

•170•180

•190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

0.0000

•0076•0116

.0155

•0207•0242

•0269

•0291

.0310

.0327

.0342

.0356

.0368

.0379

.0389

.0399

.0408

.0416

.0424

.0431

.0438

.0444

.0450

.0456

.0461

.0466

.0470

.0474

.0478

.0481

.0484

.0487

.0489

.0491

.0493

.0495

.0496

.0497

.0498

.0499

.0500

.0500

.0500

.0500

.0500

.0500

.0499

.0498

.0497

.0496

.0494

.0492

0.0000

-.0076-•0116

-•0155

-•0207-•0242

-•0269

-•0291-.0310

-•0327-•0342

-.0356

-•0369-•0381

-•0392

-•0402-•0411

-•0420

-•0428

-•0435-•0442

-•0449

-•0455-.0460

-.0465-.0470

-•0474

-•0478

-.0481-•0484

-•0487-•0489

-•0491

-.0493-•0494

-•0495

-•0496

-,0497-•0497

-.0497

-•0497-•0496-.o495--•0494

-•0492

-.0490-•0488

-•0485

-.0482-.0478

-•0474

-.0470

X/C (y/c) u (y/c) 1

•500

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

•580.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.0490

.0488

.0485

.0482

.0479

.0476

.0472

.0468

.0464

.0459

.0454

.0449

.0443

.0437

.0431

.0425

.0418

.0411

.0404

.0396

.0388

.0380

.0372

.0363

.0354

.0345

.0336

.0326

.0316

.0306

.0296

.0285

.0274

.0263

.0252

.0241

.0229

.0217

.0205

.0193

.0180

.0167

.0154

.0141

.0127

.0113

.0098

.0083

.0067

.0050

.0032

-•0465

-•0460-.0454

--•0447-•0440

-•0432

-•0423-•0413

-•0402

-•0390-•0378

-•0365

-.0352-•0338

-•0324--.0309

--•0294

-•0278--•0262

--•0246

--•0230-•0214

-•0198

-•0182

-•0166-•0150

-•0134--.0118

-•0102

-•0087-•0072

-•0058

-.0044--•0031

--•0018

--•0006.0005

.0015

.0024

.0031

.0037

.0041

.0043

.0043

.0041

.0037

.0031

.0023

.0012

--.0001

-•0017

26

Table XII. Coordinates of 10-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0610Designed for 0.6 Lift Coefficient

x/c (y/c) u (y/c)l

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

0.0000.0076

.0116

.0155

.0206

.0241

.0268

.0290

.0309

.0326

.0341

.0355

.0367

.0378

.0389

.0399

.0408

.0417

.0425

.0432

.0439

.0445

.0451

.0456

.0461

.0466

.0470

.0474

.0478

.0481

.0484

.0487

.0489

.0491

.0493

.0495

.0496

.0497

.0498

.0499

.0500

.0500

.0500

.0500

.0500

.0499

.0498

.0497

.0496

.0494

.0492

.0490

0.0000-.0076

-.0116

-.0155-.0206

-.0241

-.0268-.0290

-.0309

-.0326-.0341

-.0355-.0367

-.0379

-.0390-.0400

-.0409

-.0418-.0426

-.0433

-.0440

-.0446-.0452

-.0458

-.0463-.0468

-.0472

-.0476

-.0480

-.0483-.0486

-.0489

-.0491

-.0493-.0495

-.0496

-.0497

-.0498-.0498

-.0498-.0498

-.0497

-.0496-.0495

-.0493-.0491

-.0489

-.0486-.0483

-.0479

-.0475

-.0470

x/c (y/c) u (y/C)l

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.0488

.0486

.0483

.0480

.0477

.0474

.0470

.0466

.0462

.0458

.0453

.0448

.0443

.0438

.0432

.0426

.0419

.0412

.0405

.0397

.0389

.0381

.0372

.0363

.0353.0343

.0332

.0321

.0309

.0297

.0285

.0272

.0259

.0245

.0231

.0216

.0201

.0185

.0169

.0153

.0136

.0119

.0101.0083

.0064

.0045

.0025

.0004-.0018

-.0042

-.0067

-.0465

-.0459

-.0453-.0446-.0439

-.0431

-.0422-.0412

-.0401-.0390

-.0378

-.0366-.0353

-.0340

-.0327-.0313

-.0299-.0284

-.0269

-.0254-.0238

-.0222

-.0206-.0190

-.0174

-.0158-.0142

-.0126

-.0111-.0096

-.0081-.0068

-.0056-.0045

-.0035

-.0026

-.0018-.0012

-.0007-.0004

-.0003-.0004

-.0007

-.0012-.0020

-.0030

-.0042-.0056

-.0073

-.0093

-.0116

27

Table XIII. Coordinates of 10-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0710

Designed for 0.7 Lift Coefficient

x/c

o.ooo o

.002

.005

.OlO.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.IOO

.iio

.12o

.13o

.14o

.15o

.16o

.17o

.18o

.19o

.200

.21o

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.41o

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(y/c) u

.ooo0

.0076

.0116

.0155

.0206

.0240

.0267

.0289

.0308

.0325

.0340

.0354

.0366

.0378

.0389

.0399

.0408

.0417

.0425

.0432

.0439

.0445

.0451

.0457

.0462

.0467

.0471

.0475

.0479

.0482

.0485

.0488

.0490

.0492

.0494

.0496

.0497

.0498

.0499

.0500

.0500

.0500

.0500

.0500

.0499

.0498

.0497

.0496

.0495

.0493

.0491

.0489

(Y/C) 1

0.0000

-.0076

-.0116

-.0155-.0206

-.0240-.0267

-.0289-.0308

-.0325

-.0340-.0354

-.0366

-.0378-.0389

-.0399

-.0408

-.0417-.0425

-.0432

-.0439-.0446

-.0452

-.0458-.0463

-.0468

-.0472-.0476

-.0480

-.0483-.0486

-.0489

-.0491-.0493

-.0495-.0496

-.0497

-.0498-.0498

-.0498-.0498

-.0497-.0496

-.0495

-.0493-.0491

-.0489

-.0486-.0483

-.0479-.0475

-.0470

x/c (y/c) u (y/c) 1

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.0487

.0484

.0481

.0478

.0475

.0471

.0467

.0463

.0459

.0454

.0449

.0444

.0439

.0433

.0427

.0421

.0414

.0407

.0400

.0393

.0385

.0377

.0368

.0359

.0349

.0339

.0328

.0317

.0305

.0292

.0279

.0265

.0250

.0235

.0219

.0203

.0186

.0169

.0151

.0133

.0114

.0095

.0075

.0054

.0033

.0011

-.0012

-.0036-.0062

-.0090

-.0119

-.0465

-.0459-.0453

-.0446-.0438-.0430

-.0421

-.0411

-.0401-.0390

-.0379-.0367

-.0355

-.0342-.0329

-.0315-.0301

-.0287

-.0272-.0257

-.0242-.0226

-.0210

-.0194

-.0178-.0162

-.0147

-.0132

-.0117-.0103

-.0089

-.0076-.0064

-.0053

-.0044-.0036

-.0030

-.0026-.0023

-.0022-.0023

-.0026

-.0032-.0040

-.0050

-.0063

-.0078-.0096

-.0117

-.0141-.0168

28

Table XIV. Coordinates of 10-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-1010Designed for 1.0 Lift Coefficient

x/c

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

•090.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

•160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(Y/C) u

0.0000

.0076

.0116

.0156

.0207

.0242

.0270

.0294

.0315

.0333

.0349

.0364

.0378

.0390

.0401

.0412

.0422

.0431

.0439

.0447

.0454

.0460

.0466

.0471

.0476

.0480

.0484

.0487.0490

.0493

.0495

.0497

.0498

.0499

.0500

.0500

.0500

.0500

.0499

.0498

.0497

.0495

.0493

.0491

.0488

.0485

.0482

.0478

.0474

.0470

.0465

.0460

(Y/C) 1

0.0000-.0076

-.0116-.0156

-.0207

-.0242-.0270

-.0294

-.0314

-.0332-.0348

-.0362

-.0375-.0387

-.0398

-.0408-.0418

-.0427-.0435

-.0443

-.0450

-.0457-.0463

-.0468-.0473

-.0478

-.0482

-.0486-.0489

-.0492-.0494

-.0496-.0498

-.0499

-.0500

-.0500-.0500

-.0500

-.0499-.0498

-.0496

-.0494-.0492

-.0489

-.0486-.0483

-.0480-.0476

-.0472

-.0468

-.0464-.0459

x/c

.50O

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C) u

.0455.0449

.0443

.0437

.0430

.0423

.0416

.0408

.0400

.0391

.0382

.0373

.0363

.0353

.0342

.0330

.0318

.0305

.0292

.0278

.0264

--.0249

.0233

.0217

.0200

.0183•0165

.0147

.0128

.0109

.0089

.0069

.0048

.0027

.0005

-.0017

-.0040-.0063

-.0087

-.0111-.0136

-.0161-.0187

-.0214

-.0241-.0269

-.0298

-.0327-.0357

-.0388

-.0420

(Y/C) 1

-.0454

-.0449-.0444

-.0439-.0434

-.0428

-.0422-.0416

-.0410-.0404

-.0398

-.0392-.0386

-.0380

-.0374-.0367

-.0360-.0353

-.0346

-.0339

-.0332-.0325

-.0319-.0313

-.0307

-.0301-.0295

-.0290

-.0285-.0280

-.0276

-.0272-.0269

-.0266

-.0264-.0263

-.0264-.0267

-.0271

-.0277-.0285

-.0295

-.0307-.0321

-.0337-.0355

-.0375

-.0398-.0423

-.0451

-.0481

29

Table XV. Coordinates of 12-Percent-Thick Symmetrical Supercritical Airfoil SC(2)-0012

x/c (y/c) u (y/c) 1

0 .000

•002.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

• 070.080

.090

•i00

.ii0•120

•130

.140

.150

.160

• 170.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

0.00000

.00912

.01392

.01860

.02484

•02916

.03240

.03504

.03732

•03939

0.00000-.00912

-•01392

-.01860-•02484

-.02916-•03240

-.03504

-.03732-•03939

.04119

.04282•04428

•04560

.04680

.04800•04908

•05004

.05100

.05184

.05268

•05340.05412

.05472

.05532

.05592

.05640

.05688

.05736

•05772•05808

.05844

.05880

.05904

•05928.05952

.05964

•05976•05988

•06000.06000

•06000

•06000.06000

.05988

.05976•05964

•05952

.05928•05904

•05880

•05844

-.04119

-•04282-.04428

-.04560

-•04680-•04800

-.04908

-.05004-.05100

-.05184

-.05268

-.05340-•05412

-•05472-.05532

-•05592

-.05640

-.05688-.05736

-.05772-•05808

-.05844

-•05880-.05904

-•05928

-•05952-.05964

-•05976-•05988

-•06000

-•06000-•06000

-•06000

-•06000

-.05988-•05976

-•05964

-.05952-.05928

-.05904-•05880

-.05844

x/c (y/c) u (y/c) 1

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.9901.000

•05808.05772

.05736

.05688

.05640

.05580

•05520

•05460.05388

.05316

.05232

.05136

•05040•04932

•04824

•04704.04584

•04458

.04332

.04206

.04080•03954

•03828

•03702

•03576•03450

•03324.03198

.03072•02946

.02820•02694

•02568

•02442.02316

•02190

.02064

.01938

•01812

•01686•01560

•01434

•01308•01182

.01056

.00930

.00804

•00678.00552

•00426

•00300

-•05808

-•05772

-.05736

-•05688

-.05640-•05580

-•05520-•05460

-.05388

-.05316

-.05232-.05136

-•05040-.04932

-•04824

-.04704-.04584

-.04458

-•04332-•04206

-.04080

-.03954-•03828

-•03702

-•03576-•03450

-.03324

-•03198

-•03072

-•02946

-.02820-.02694

-.02568-•02442

-.02316

-•02190

-•02064-.01938

-.01812-.01686

-•01560

-.01434-.01308

-•01182

-.01056-.00930

-•00804

-•00678-.00552

-.00426

-•00300

3O

Table XVI. Coordinates of 12-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0412

Designed for 0.4 Lift Coefficient

X/C

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

• 170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(Y/C) u

0.0000

.0092

.0141

.0190

.0253

.0297

.0330

.0357

.0380

.0400

.0418

.0434

.0448

.0461

.0473

.0484

.0494

.0504

.0513

.0522

.0530

.0537

.0544

.0550

.0556

.0562

.0567

.0571

.0575

.0579

.0583

.0586

.0589

.0591

.0593

.0595

.0597

.0598

.0599

.0600

.0601

.0601

.0601

.0601

.0601

.0600

.0599

.0598

.0597

.0595

.0593

.0591

(Y/C) 1

0.0000

-.0092

-.0141

-.0190

-.0253

-.0296

-.0329

-.0356

-.0379

-.0400

-.0418

-.0434

-.0449

-.0463

-.0476

-.0488

-.0499

-.0509

-.0518

-.0527

-.0535

-.0542

-.0549

-.0555

-.0561

-.0567

-.0572

-.0577

-.0581

-.0585

-.0588

-.0591

-.0593

-.0595

-.0597

-.0598

-.0599

-.0600

-.0600

-.0600

-.0599

-.0598

-.0596

-.0594

-.0592

-.0589

-.0586

-.0582

-.0578

-.0573

-.0568

-.0562

xlc

.500

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C)u

.0588

.0585

.0582

.0578

.0574

.0570

.0565

.0560

.0555

.0549

.0543

.0536

.0529

.0522

.0514

.0506

.0497

.0488

.0479

.0469

.0459

.0449

.0439

.0428

.0417

.0406

.0394

.0382

.0370

.0358

.0345

.0332

.0319

.0306

.0292

.0278

.0264

.0250

.0235

.0220

.0205

.0190

.0174

.0158

.0142

.0125

.0108

.0090

.0072

.0053

.0033

(Y/C) 1

-.0555

-.0547

-.0539

-.0530

-.0520

-.0509

-.0498

-.0486

-.0473

-.0459

-.0444

-.0429

-.0413

-.0397

-.0380

-.0362

-.0344

-.0326

-.0307

-.0288

-.0269

-.0250

-.0231

-.0212

-.0193

-.0174

-.0155

-.0137

-.0119

-.0102

-.0085

-.0068

-.0052

-.0037

-.0023

-.0009

.0003

.0014

.0024

.0032

.0038

.0043

.0045

.0045

.0042

.0038

.0031

.0022

.0010

-.0005

-.0022

31

Table XVII. Coordinates of 12-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0612

Designed for 0.6 Lift Coefficient

x/c (y/c) u

.000 0.0000

.002 .0092

.005 .0141

.010 .0190

.020 .0252

.030 .0296

.040 .0329

.050 .0355

.060 .0378

.070 .0398

.080 .0416

.090 .0432

.i00 .0447

.ii0 .0460

.120 .0472

.130 .0484

.140 .0495

.150 .0505

.160 .0514

.170 .0523

.180 .0531

.190 .0538

.200 .0545

.210 .0551

.220 .0557

.230 .0563

.240 .0568

.250 .0573

.260 .0577

.270 .0581

.280 .0585

.290 .0588

.300 .0591

.310 .0593

.320 .0595

.330 .0597

.340 .0599

.350 .0600

.360 .0601

.370 .0602

.380 .0602

.390 .0602

.400 .0602

.410 .0602

.420 .0601

.430 .0600

.440 .0599

.450 .0598

.460 .0596

.470 .0594

.480 .0592

.490 .0589

(Y/C) 1

0.0000

-.0092

-.0141

-.0190-.0252

-.0296-.0329

-.0355-.0378

-.0398-.0416

-.0432

-.0447

-.0460-.0473

-.0485

-.0496-.0506

-.0515

-.0524-.0532

-.0540

-.0547-.0554

-.0560

-.0565-.0570

-.0575

-.0579

-.0583-.0586

-.0589

-.0592-.0594

-.0595

-.0596-.0597

-.0598-.0598

-.0598

-.0598-.0597

-.0596

-.0594-.0592

-.0589-.0586

-.0582

-.0578

-.0573-.0567

-.0561

x/c (y/c) u

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.0586

.0583

.0580

.0576

.0572

.0568

.0563

.0558

.0553

.0547

.0541

.0534

.0527

.0520

.0512

.0504

.0495

.0486

.0476

.0466

.0456

.0445

.0434

.0422

.0410

.0397

.0384

.0371

.0357

.0343

.0328

.0313

.0297

.0281

.0265

.0248

.0231

.0213

.0195

.0176

.0157

.0137

.0117

.0096

.0075

.0053

.0031

.0008

-.0016

-.0041-.0067

(Y/C) 1

-.0554

-.0546-.0538

-.0529

-.0519-.0509

-.0497

-.0485-.0472

-.0458

-.0444-.0429

-.0414

-.0398-.0382

-.0365-.0348

-.0330

-.0312-.0294

-.0276-.0258

-.0240

-.0222-.0204

-.0186

-.0168-.0150

-.0133

-.0117-.0102

-.0087-.0073

-.0060

-.0048-.0037

-.0028

-.0021-.0016

-.0012-.0010

-.0010

-.0013-.0018

-.0025

-.0035-.0048

-.0063

-.0081-.0102

-.0125

32

Table XVIII. Coordinates of 12-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0712

Designed for 0.7 Lift Coefficient

x/c

o.ooo o

.002

.005

.OlO

.020

.030

.040

.050

.060

.070

: 080.090.i00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

•190.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(Y/C) u (Y/C) 1

.0000

.0092

.0141

.0190

.0252

.0294

.0327

.0354

.0377

.0397

.0415

.0431

.0446

.0459

.0471

.0483

.0494

.0504

.0513

.0522

.0530

.0537

.0544

.0551

.0557

.0562

.0567

.0572

.0576

.0580

.0584

.0587

.0590

.0592

.0594

.0596

.0598

.0599

.0600

.0601

.0601

.0601

.0601

.0601

.0600

.0599

.0598

.0596

.0594

.0592

.0590

.0587

0.0000-.0092

-.0141

-.0190-.0252

-.0294

-.0327-.0353

-.0376

-.0396-.0414

-.0430

-.0445-.0459

-.0472

-.0484-.0495

-.0505

-.0514-.0523

-.0531

-.0539-.0546

-.0553

-.0559-.0564

-.0569-.0574

-.0578

-.0582-.0585

-.0588

-.0591

-.0593-.0595

-.0596

-.0597-.0598

-.0598

-.0598-.0598

-.0597-.0596

-.0594

-.0592-.0589

-.0586

-.0582

-.0578-.0573

-.0567

-.0561

x/c (y/c) u (y/c) 1

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

.0584

.0581

.0577

.0573

.0569

.0564

.0559

.0554

.0549

.0543

.0537

-.0554

-.0546-.0537

-.0528

-.0518-.0508

-.0496-.0484

-.0471-.0457

-.0443

.0530

.0523

.0516

.0508

.0500

.0491

.0482

.0472

.0462

.0451

.0440

.0428

.0416

.0403

.0390

.0376

.0362

-.0429

-.0414-.0398

-.0382

-.0366-.0349

-.0332

-.0315-.0298

-.0280-.0262

-.0244

-.0226-.0208

-.0191

-.0174-.0157

.0347

.0332

.0316

.0300

.0283

.0266

.0248

.0230

.0211

.0192

.0172

.0152

.0131

.0110

.0088

.0065

.0042.0018

-.0007-.0033

-.0060

-.0088

-.0117

-.0141

-.0125-.0110

-.0095-.0082

-.0070

-.0059-.0050

-.0043

-.0038

-.0035-.0033

-.0034

-.0036-.0041

-.0049

-.0059-.0072

-.0087-.0105

-.0126

-.0150

-.0177

33

Table XIX. Coordinates of 14-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0414

Designed for 0.4 Lift Coefficient

xlc

o.ooo o

• 002

.005

.OlO

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.ioo

.iio

.12o

.13o

• 14o

.15o

.16o

• 17o

• 18o

• 19o

.200

.21o

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.31o

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.41o

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

(y/c) u (y/c) 1

.oooo

•OLO8

.o166

.0225

.0299

.0350

•0389

•o421

•0448

.o471

.o491

•o51o

.0527

.0542

.0556

_,o569

.o581

•0592

•0602

.o612

.o621

•0629

•0637

•0644

.o651

.0657

•0663

.0668

•0673

.0677

•o681

.0685

.0688

0•0000

-.OLO8

-•o166

-.0225

-•0299

-.0350

-.0389

-•o421

-•0448

-•0472

-•0493

-•o512

-•0529

-•0545

-•0560

-•0573

-.0585

-•0597

-.0608

-•o618

-.0627

-•0636

-•0644

-•o651

-.0658

-•0664

-•0670

-•0675

-•0680

-.0684

-.0688

-•o691

-•0694

.o691

.0693

.0695

.0697

.0699

.0700

.O7Ol

.0702

.0702

.0702

.0702

.O7Ol

.0700

.0699

.0697

.0695

.0693

.0690

.0687

-.0696

-•0698

-.0699

-•0700

-•0700

-•0700

-•0699

-•0698

-.0697

-.0695

-•0693

-•0690

-•0686

-•0682

-•0677

-•0672

-•0666

-•0659

-•o651

x/c (y/C)u (y/c)l

.5oo

.51o

• 520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.61o

.620

.630

• 640

.650

.660

.670

.680

• 690

.700

.71o

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.81o

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.91o

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

.ooo

.0684

.0680

.0676

.0672

.0667

.0662

.0656

.0650

.0643

.0636

.0628

.0620

.o611

.0602

.0593

.0583

.0573

.0562

.o551

.0540

.0528

.o516

.0503

.0490

.0477

.0464

.0450

.0436

.0422

.0407

.0392

.0377

.0362

.0346

.0330

.o314

.0298

.o281

.0264

.0247

.0229

.o211

.o193

.o175

.o156

.o137

.o117

.0097

.0076

.0055

.0033

-•0642

-.0633

-•0623

-•o612

-•0600

-•0587

-•0573

-•0558

-.0543

-•0527

-.o51o

-.0492

-•0474

-•0455

-.0435

-•o415

-.0394

-•0373

-•0352

-•0330

-•0308

-•0286

-.0264

-.0242

-•0220

-•o198

-.o177

-•o156

-•o136

-•o116

-•0097

-•0078

-•0060

-•0043

-•0027

-•oo12

.oooi

.oo13

.0023

.0032

.0039

.0044

.0046

.0046

.0043

.0038

.oo31

.oo21

.0008

-•0008

-•0027

34

Table XX. Coordinates of 14-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0614Designed for 0.6 Lift Coefficient

x/c (y/C)u

0.000

.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060

.070

.080

.090

.I00

.ii0

.120

.130

.140

.150

.160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

0.0000

.0108

.0166

.0225

.0298

.0349

.0387

.0418

.0445

.0468

.0489

.0508

.0525

.0541

.0555

.0568

.0580

.0591

.0602

.0612

.0621

.0629

.0637

.0644

.0651

.0657

.0663

.0668

.0673

.0678

.0682

.0686

.0689

.0692

.0694

.0696

.0698

.0699

.O7OO

.0701

.0701

.0701

.0701

.0700

.0699

.0698

.0696

.0694

.0692

.0690

.0687

.0684

(Y/C) 1

0.0000

-.0108-.0166

-.0225

-.0298-.0349

-.0388-.0419

-.0446

-.0469-.0490

-.0509-.0526

-.0542

-.0557

-.0570-.0582

-.0594

-.0605-.0615

-.0624

-.0633-.0641

-.0648

-.0655

-.0661-.0667

-.0672-.0677

-.0681-.0685

-.0688

-.0691-.0693

-.0695

-.0697-.0698

-.0699-.0699

-.0698

-.0697

-.0696-.0694

-.0692-.0689

-.0686

-.0682

-.0677-.0672

-.0666-.0659

-.0651

x/c

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C)u

.0681

.0677

.0673

.0669

.0664

.0659

.0653

.0647

.0640

.0633

.0626

.0618

.0610

.0601

.0591

.0581

.0570

.0559

.0547

.0535

.0522

.0509

.0495

.0481

.0466

.0451

.0436

.0420

.0404

.0387

.0370

.0352

.0334

.0316

.0297

.0278

.0258

.0238

.0218

.0197

.0176

.0154

.0132

.0109

.0086

.0062

.0038

.0013

-.0013

-.0039

-.0066

(Y/C) 1

-.0642-.0632

-.0622

-.0611-.0599

-.0586

-.0572-.0557

-.0541-.0525

-.0508-.0491

-.0473

-.0455-.0436

-.0417

-.0397-.0377

-.0356-.0336

-.0315

-.0294-.0274

-.0253

-.0233-.0213

-.0193-.0174

-.0155

--.0137

-.0119--.0102

--.0086

--.0072-.0059

-.0047-.0037

-.0029

-.0023--.0019

--.0017

--.0017--.0019

-.0024

-.0031-.0041

-.0054--.0069

--.0087

--.0108-.0132

35

Table XXI. Coordinates of 14-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0714Designed for 0.7 Lift Coefficient

x/c (y/c) u (y/c) 1

0 .000.002

.005

.010

.020

.030

.040

.050

.060• 070

• 080• 090

.i00

. ii0

.120

.130

•140

.150•160

.170

.180

.190

.200

.210

.220

.230

.240

.250

.260

.270

.280

.290

.300

.310

.320

.330

.340

.350

.360

.370

.380

.390

.400

.410

.420

.430

.440

.450

.460

.470

.480

.490

0.00000•01077

.01658•02240

.02960

.03460•03830

•04140

.04400•04630

.04840

.05020

.05190

•05350

•05490.05620

.05740

.05860

.05970

•06070

•06160.06250

.06330

.06410•06480

.06540

•06600•06650

.06700

.06750

.06790

.06830•06860

.06890

•06920.06940

•06960

.06970

.06980

.06990•06990

.06990

.06990

.06980

.06970

.06960

•06950•06930

.06910

•06890.06860

.06830

0.00000

-•01077-.01658

-•02240-.02960

-.03450

-.03820

-•04130-.04390

-•04620-.04830

-.05010

-•05180

-.05340-•05490

-.05620-.05740

-.05860

-•05970-•06070

-•06160

-.06250-•06330

-.06410

-.06480

-•06550-•06610

-•06670-.06720

-.06770-•06810

-•06850-•06880

-•06910

-.06930

-.06950-.06960

-•06970

-.06970-•06970

-•06960

-.069B0-•06930

-.06910

-.06880-.06850

-.06810

-.06770-•06720

-.06670

-.06610

-.06540

x/c (y/c) u (y/c) 1

.5OO

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

.690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820

.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.9901.000

.06800

.06760

.06720

.06680

.06630

.06580

.06530

.06470•06410

•06350.06280

•06210.06130

•06050

•05970

•05880.05790

.05690

•05590.05480

•05370.05250

.05130

•05000.04870

•04730

.04580

.04430

•04270

•04110.03940

.03760

.03580

.03390

•03190.02990

•02780

.02560

.02340

.02110

.01870

.01620

.01370

.01110

.00840

.00560

•00270-.00020

-.00320-•00630

-.00950

-•06460

-.06370-.06270

-.06160-•06040

-.05910

-•05770-.05620

-•05460-.05290

-•05110-.04920

-.04730

-•04530-•04330

-.04120

-•03910-•03700

-•03480

-.03260-.03040

-.02820-•02600

-.02380

-•02160-•01940

-•01730

-•01520

-.01320

-•01130-•00950

-•00790

-.00640-.00500

-•00380-.00280

-•00200-•00140

-.00100

-.00080

-•00090

-.00120-.00170

-•00250-.00360

-.00500-.00670

-.00870-.01100

-•01360

-.01650

36

Table XXII. Coordinates of 18-Percent-Thick Supercritical Airfoil SC(2)-0518Designed for 0.5 Lift Coefficient

x/c (y/c) u

0.000 0.0000.002 .0139.005 .0213

.010 .0291

.020 .0389

.030 .0456

.040 .0508

.050 .0550

.060 .0585

.070 .0615

.080 .0642

.090 .0666

.I00 .0687

.Ii0 .0707

.120 .0725

.130 .0742

.140 .0757

.150 .0771

.160 .0784

.170 .0796

.180 .0807

.190 .0818

.200 .0828

.210 .0837

.220 .0845

.230 .0853

.240 .0860

.250 .0866

.260 .0872

.270 .0877

.280 .0882

.290 .0886

.300 .0890

.310 .0893

.320 .0896

.330 .0898

.340 .0900

.350 .0901

.360 .0902

.370 .0903

.380 .0903

.390 .0903

.400 .0902

.410 .0901

.420 .0899

.430 .0897

.440 .0894

.450 .0891

.460 .0887

.470 .0883

.480 .0878

.490 .0873

(Y/C) 1

0.0000

-.0139

-.0213-.0291

-.0389

-.0457-.0509

-.0550

-.0585

-.0615-.0642

-.0666-.0687

-.0707

-.0725

-.0742-.0758

-.0773-.0787

-.0799

-.0811

-.0822-.0832

-.0841

-.0849-.0857

-.0864

-.0870-.0875

-.0880

-.0884-.0888

-.0891

-.0893

..0895-.0896

-.0897

-.0897-.0896

-.0895

-.0893-.0890

-.0887

-.0883-.0878

-.0872-.0865

-.0858

-.0850

-.0841-.0831

-.0819

x/c

.500

.510

.520

.530

.540

.550

.560

.570

.580

.590

.600

.610

.620

.630

.640

.650

.660

.670

.680

_ .690

.700

.710

.720

.730

.740

.750

.760

.770

.780

.790

.800

.810

.820.830

.840

.850

.860

.870

.880

.890

.900

.910

.920

.930

.940

.950

.960

.970

.980

.990

1.000

(Y/C) u (Y/C) 1

.0867

.0860

.0853

.0845

.0837

.0828

.0819

.0809

.0798

.0787

.0775

.0763

.0750

.0737

.0724

.0710

.0696

.0681

.0666

.0650

-.0806

-.0792

-.0777

-.0761-.0744

-.0726

-.0707-.0688

-.0668

-.0647-.0626

-.0604

-.0582-.0560

-.0537-.0514

-.0491-.0468

-.0444

-.0420.0634.0618

.0601

.0584

.0566

.0548

.0530

.0511

-.0396

-.0372

-.0348-.0324

-.0300

-.0276

-.0252-.0229

.0492

.0473

.0453

.0433

.0413

.0392

.0371

.0350

.0328

.0306

.0284

.0262

.0239

.0216

.0193

.0169

.0145

.0120

.0094

.0068

.0041

.0014

.0014

-.0206-.0183

-.0161

-.0139

-.0118-.0098

-.0079

-.0061-.0044

-.0029

-.0016-.0005

.0003

.0009

.0012

.0012

.0009

.0003

-.0007-.0020

-.0037

-.0058

-.0083

37

Slotted (1964)

Integral (1966)

Integral with thickened trailing edge (1968)

Figure 1. Progression of supercritical airfoil shape.

38

c d

.020 --

.016 --

.012 --

.008 --

.004 --

0

.60

Integral supercritical airfoil, t/c = 0.110

Slotted supercritical airfoil, t/c = 0.135

NACA 641- 212 airfoil

/

//

_B_ _ ,

I I I I I I.64 .68 .72 .76 .80 .84

M

Figure 2. Variation of section drag coefficient with Mach number for section normal-force coefficient of 0.65.

1.4 m

c a

1.2 --

1.0 _-

•8 --

.6 --

.4 --

.2 --

0.60

Integral supercritical airfoil_

t/c= 0.110

"\'\'\,\,

\

NACA 641" 212 airfoil -_

I I I I I I.64 .68 .72 .76 .80 .84

M

Figure 3. Variation of section normal-force coefficient with Mach number for onset of upper-surface boundary-layer separation.

39

0 --

Integral supercritical airfoil, t/c = 0.110

Slotted supercritical airfoil, t/c = 0.135

NACA 641- 212 airfoil

C m

-.04 D

-.08 --

-.12 --

-.16 --

-.20 --

-.24_ I.60 .64

\

I I I 1.68 .72 .76 .80

M

I.84

Figure 4. Variation of section pitching-moment coefficient with Mach number for section normal-force coefficientof 0.65.

4O

Conventionalairfoil

Supersonicflow

Flow fields

Strong shock wave

Separated boundary

Cp

Pressure distributions

.,_ Upper surface

/

,\,_ Lower surface

Supercriticalairfoil

Weak shock wave

Cp

+

I \

k\

x !\ I

%

Figure 5. Flow fields around supercritical and conventional a_rfoils.

41

Exl:

line

wave

Figure 6. Schematic flow field of supercritical airfoil.

42

0 Upper surface[] Lower surface

-.4 sonic

Cp 0

M = 0.80; Cn = 0.613

12 I I I I I I I I0 1 2 3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

x/c

(a) Slightly above design Mach number.

Figure 7. Chordwise pressure distributions on 11-percent-thick integral supercritical airfoil.

43

-1.2 --

0 Upper surface-1.0

-.8

°,6

-.4

-,2

Cp 0

.2

°4

.6 -

,8 --

1.0--

1.20

I I I I I I I I I I.1 .2 .3 .4 .5 °6 .7 .8 .9 1.0

x/c

(b) Subcritical conditions.

Figure 7. Continued.

44

-1.2

-1.0 F Upper surfaceLower surface

Cp

.2

.4

M = 0.78; cn = 0.576

I I.1

I I I I I I.2 .3 .4 .5 .6 .7 .8

X/C

(c) Intermediate off-design conditions.

Figure 7. Continued.

I1.0

45

-1.8

-1.6

o Upper surfaceo Lower surface

M local

_ _ _ Cp,soni c

Cp-.2

0

.2

.4

.6

.8

I

1.0 -

1.20

I I I I I I I I I I.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

x/c

(d) High-lift conditions.

Figure 7. Concluded.

46

i 0

I I I I I I I I I I I0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 O0

x, percent chord

Figure 8. Sketches of 11-percent-thick interim supercritical airfoils showing sharp and blunt trailing edges.

.018

.016

.014

cd .012

.010

(t/c)T E, percent0

1.0 (blunt)

"008 I

.006.60

I I I I I I.64 .68 .72 .76 .80 ..84

M

Figure 9. Variation of section drag coefficient with Mach number at a normal-force coefficient of 0.7 for thel 1-percent-thick interim supercritical airfoils with sharp and blunt trailing edges.

47

oe

c=

63.5

cm(2

5in

.)

J

0.01

0c

Sup

ercr

itica

lai

rfoi

l,(t

/c)

max

=0.

10

x/c

=0.

692

0.01

0c

1.0-

perc

ent-

thic

kbl

unt

trai

ling

edge

Low

ersu

rfac

e(A

irfoi

l9)

hing

elin

e

I T

x/c

=0.

9915

_"'

0.01

0c

___k

oo2o

0V

1.0-

perc

ent-

thic

ktr

ailin

ged

gew

ithca

vity

(Airf

oil

9a)

I1.

5-pe

rcen

t-th

ick

trai

ling

edge

with

cavi

ty

(Airf

oil

10)

x/c

=1.

00

0.01

5c

0.7-

perc

ent-

thic

ktr

ailin

ged

gew

ithca

vity

(Airf

oil

11)

Figu

re10

.Sk

etch

esof

refi

ned

supe

rcri

tical

airf

oil

with

vari

ous

trai

ling-

edge

geom

etri

es.

0.00

7c

--V

.018

.016

.014

cd .012

.010

.008

(t/c)T E, percent

1.0 (blunt)

1.0 (with cavity)

1.5 (with cavity)

0.7 (with cavity)

m J

I!

/

j,I

.oo6 I I I 1 I I.60 .64 .68 .72 .76 .80 .84

M

Figure 11. Effect of trailing-edge geometry on variation of section drag coefficient with Mach number at a

normal-force coefficient of 0.7 for the 10-percent-thick refined supercritical airfoil.

4g

cd

.012

.010

.OO8

.006

O Cavity in TEBlunt TE

I I I

.01 .02 .03

(t/c) TE

Figure 12. Effect of trailing-edge thickness on subcritical drag coefficient for 10-percent-thick refinedsupercritical airfoil. M ----0.60, Cn = 0.60.

m

3V.1

0

-.1 m

-.2

".3

-.4

0

Upper surface

Lowersurface

Airfoil

Airfoil 6

I I I I I.3 .4 .5 .6 .7

x/c

I I.8 .9 1.0

P

50

Figure 13. Chordwise distribution of slopes.

Airf

oil

12

Airf

oil

31

.1

y/c

0

-.1

Mom

ent

refe

renc

ece

nter

Tra

iling

edge

atex

pand

edsc

ale

....

i_R

efer

ence

line

......

......

......

..

0

II

II

II

II

II

•1.2

.3.4

.5_6

.7.8

.91.

0

X/C

(a)

Air

foil

sket

ches

.

Fig

ure

14.

Geo

met

ric

char

acte

rist

ics

ofsu

perc

ritic

alai

rfoi

ls12

and

31.

.3

.2

m.1

0

-'1 i

-,2

".3

-,4

0

Airfoil 12.... Airfoil 31

.6-

.5-

.4_

,3 m

.2-

0

-.1

I I I I I I I I I I -.4 i i i i I I I I I I.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

x/c x/c

Upper surface Lower surface

Airfoil 12.... Airfoil 31

(b) Chordwise distribution of airfoil surface slopes.

2

1

K0

-1

-2

-3

-4

-50

5

4-- Airfoil 12.... Airfoil 31 3

I I I I I I I I I I.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

x/c

Upper surface

2

1

K0

-1

-2

-3

-4

-50

Airfoil 12 /

I I I I I I I I I I.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

x/c

Lower surface

(c) Chordwise distribution of airfoil surface curvatures.

Figure 14. Concluded.

52

c d

c d

.012

.010

.008

.006

.014

.012

.010

.008

.006

.016

Ca

B

Cn

Airfoil 12.... Airfoil 31

= 0.30 I I I I I

I

I

I

II

/,p

= 0.40 I I I

/

r ##

I I I I

c d

.014 --

.012 --

.010 --

.008 ----

Cn

.006.5(

I

I

I

I

I

/

/

J

01.50 I I I I I I I

.54 .58 .62 .66 .70 .74 .78 .82M

Figure 15. Variation of section drag coefficient with Mach number of supercritical airfoils 12 and 31 at variousnormal-force coefficients.

53

.014

.012

c d .010

.008

.006

.012

c d

.010

-- Airfoil 12.... Airfoil 31

I

!

!

!

Cn = 0.55I

D

m

/S

.008

Cn = 0.60.006 I

.018 --

I I I I I I I

!/

I I I I I I I

c d

.016

.014

.012

.010Cn = 0.65

.OO8.50 .54 .58

i i

I

I!

I

I

I

I

I

I/

I- I f "r- - -- r"

.62 .66 .70 .74 .78M

Figure 15. Continued.

I

.82

54

.018

.016

.014

c d .012

.010

.008

.006

m

Cn = 0.70 I

Airfoil 12.... Airfoil 31

!

I

I I I I I I

.018 --

.016

.014

c d .012

.010

.OO8

.006.50

m

Cn = 0.75 I

.54 .58

I

II

s

I I I I I

.62 .66 .70 .74 .78M

I

.82

Figure 15. Continued.

55

.018

.016

.014

c d .012

.010

.008

.006

Airfoil 12.... Airfoil 31

I

I

I

I

I

%

Cn = 0.80I I I I I I I

.018

.016

.014

c d .012

.010

.OO8

.006.50

Cn = 0.85 I I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%% !

.54 .58 .62

I I I

.66 .70 .74

M

I

.78

I

.82

Figure 15. Continued.

56

.018

.016

c d .014

.012

.010

.020

.018

c d .016

.014

c d

Cn = 0.90I

c n = 0.95I.012

.020 --

.018 --

.016 --

Cn = 11.00.014

.50 .54

Airfoil 12.... Airfoil 31

I

I

I

I

_'_' I.%

_. I%

I I I I I I I

!

I

I

I

I

I

I

I

I I I I I I I

I I

.58 .62

I

.66M

!

I

I

I

I

//

I I I I

.70 .74 .78 .82

Figure 15. Concluded.

57

_::: : /i ¸¸ ,=: _,i :: i: L

%

%

.016 -

.012

.008

.OO4

.016

_ c n = 0.50

I

!

!

I

/ O

0 Experiment

"New" theory

"Old" theoryI

/I

Cn = 0.60 ..-

.004 I I I I I I.58 .62 .66 .70 .74 .78 .82

M

Figure 16. Comparison of experimental and analytical drag characteristics for supercritical air'foil 27.Rc--- 11 x 106 .

58

Cp 0

+

C p,sonic

Figure 17. Generalized sonic-plateau pressure distribution.

Cp 0

+

-y---_

--- Cp,sonic

/

Figure 18. Generalized design pressure distribution.

59

.1

y/c 0

-.10

o i :i ncecen7

I I I.1 .2 .3

-- 10-percent-thick airfoil 33.... 14-percent-thick airfoil

Reference line _-

I I I I I I I.4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

X/C

Figure 19. Comparison of 14-percent-thick airfoil with 10-percent-thick airfoil 33.

y/c

-.10

-- Airfoil 31.... Airfoil 33

Trailing edge at expanded scale

m_..._.__M°ment reference_

Reference line

I I I I I I I.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7

X/C

I I I.8 .9 1.0

Figure 20. Sketches of 10-percent-thick supercritical airfoils 31 and 33.

60

O Upper surface[] Lower surface

--8 F

Cp

•4 _ Airfoil 31

M = 0.76

.8 - cn = 0.46

1.2 ) i i i t i0 .2 .4 .6 .8 1.0

x/c

-_ .... ._--_CP; s?n i;_ _ _

M = 0.76

- cn = 0.41

) t I I I I0 .2 .4 .6 .8 1.0

x/c

Figure 21. Experimental sonic-plateau pressure distributions for supercritical airfoils 31 and 33.

O Upper surface-1.2 - [] Lower surface

Cp

18_ Airfoil 31

M = 0.78

c n = 0.68

10

m

Airfoil 33

M = 0.77

- c n = 0.71

I I I I I ) I I I I I.2 .4 .6 .8 1.0 0 .2 .4 .6 .8 1.0

x/c x/c

Figure 22. Experimental near-design pressure distributions for supercritical airfoils 31 and 33.

61

.018 -

cd

.016

.014

.012

.010

.008

Airfoil 31Airfoil 33

Onset of separationfor both airfoils

.006 I I I I I I I I.50 .54 .58 .62 .66 .70 .74 .78 .82

M

Figure 23. Experimental drag characteristics for supercritical airfoils 31 and 33.

.014

.012

cd .010

.OO8

t/c, percent

- 10 (airfoil 33)..... 14

I

I

.006 I I I I I I I.54 .58 .62 .66 .70 .74 .78 .82

M forl0-pement-thick aidoil

I I I I I I I I.50 .54 .58 .62 .66 .70 .74 .78

M for14-pement-thick airfoil

Figure 24. Experimental drag characteristics for 10-percent-thick supercritical airfoil 33 and 14-percent-thick

supercritical airfoil. Cn = 0.70.

(}2

1.0

Attackaircraft

• O

¢-

OO

t--

.m

C)

.8 -

,6

.4

.2 --

Propellers

O

O O

O

Transpo_s

• O

O O

Business jets

O • O O

O

O

Spanloaders

O

o J i i i 6 6 i i I0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Total thickness, percent

Figure 25. Matrix of phase 2 supercritical airfoils.

63

SC(2)-0402

O403

L

0503

0404

0406

0606

0706

Figure 26.

1006 0612

C_

0010 0712

C0410 0414

0610 0614

c_ f C

0710 0714

I010

0412

/

(05)(18)

Design cl x t0 -_ _- t/c, percent

Sketches of airfoils in phase 2 supercriticM airfoil matrix.

64

-1.0

-.5

Cp 0

.5

1.0

M

.700

.755

.765

.785

Figure 27. Effect of design lift coefficient on analytical sonic-plateau pressure distribution for 10-percent-thick

supercritical airfoils.

-1.0

-.5

Cp 0

.5

1.0

/_ mm

f

t/c, percent M14 .715

12 .735

10 ]755

Figure 28. Effect of thickness on analytical sonic-plateau pressure distribution for design lift coefficient of 0.70.

65

MDD

Figure 29.

1.0 --

Theory

-'Jr- Experiment

.9 -- cl ,design.4

.7

.8 --

.7

.6 I I I I I0 4 8 12 16 20

t/c, percent

Analytical drag divergence Mach numbers for phase 2 supercritical airfoils.

66

Oc-O

e-{D

£

¢5"O

(3)

c

J

5 --

4 8 12 16

I

2O

t/c, percent

Figure 30. Variation of leading-edge radius with maximum thickness for phase 2 supercritical airfoils.

OriginalUndercut

Figure 31. Sketches of 12-percent-thick supercritical airfoil with and without forward lower-surfaceundercutting.

-1.0

-.5

Cp 0

.5

D

..... Cp,so _--

c m = -0.156

1.0 -- Original airfoil

__ _ •

c m = -0.152

Undercut airfoil

Figure 32. Effect on analytical design pressure distribution of undercutting forward lower surface on 12-percent-thick supercritical airfoil. M = 0.75, cI = 0.70; Rc = 30 x 106.

67

Original

Thickened

Figure 33. Sketches of 12-percent-thick supercritical airfoil with and without thickening at 80 percent chord.

Cp

-1.0 --

-.5 m

1.0

Cp,s

a = -0.15 °

c m =-0.156

Original airfoil

B

m m _ Cp,s

a = -0.04 °

c m =-0.150

Thickened airfoil

Figure 34. Effect on analytical design pressure distribution of thickening 12-percent-thick supercritical airfoilat 80 percent chord. M = 0.75; cl = 0.70; Rc = 30 x 106.

68

y/c

.1

SC(2) - 0714SC(3) - 0714

-.1 I I I I I I I I I I0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

x/c

Figure 35. Sketches of 14-percent-thick phase 2 and phase 3 supercritical airfoils.

69

.,i 0

Cp

-2.0

-1.5

1.0

--

Cp

-2.0

-

-1.5

-1.0 -.5

0 .5 1.0-

1.5

(a)

Phas

e2;

a=

-0.0

6°.

(b)

Phas

e3;

a=

0.03

°.

Figu

re36

.A

naly

tical

desi

gnpr

essu

redi

stri

butio

nsfo

r14

-per

cent

-thi

ckph

ase

2an

dph

ase

3su

perc

ritic

al

airf

oils

.M

=0.

730;

cI=

0.70

;R

c=

30x

106.

-2.0

-

Cp

-I.5

-I.0 -.5

1.0

1.5

Cp,

soni

c

Cp

-2.0

-1.5

-1.0 -.5 .5

1.0

1.5

Cp,

soni

c

(a)

Phas

e2;

_=

-1.3

3°.

(b)

Phas

e3;

_=

-1.2

6°.

Figu

re37

.A

naly

tical

soni

c-pl

atea

upr

essu

redi

stri

butio

nsfo

r14

-per

cent

-thi

ckph

ase

2an

dph

ase

3su

perc

ritic

alai

rfoi

ls.

M--

0.71

5;cz

=0.

42;

Rc

=30

x10

6.

-.I

I).

._

_._A Report Documentation PageNational Aeronautics and

Space Administration

1. Report No. 2. Government Accession No. 3. Recipient's Catalog No.

NASA TP-2969

4. Title and Subtitle

NASA Supercritical AirfoilsA Matrix of Family-Related Airfoils

7. Author(s)

Charles D. Harris

9. Performing Organization Name and Address

NASA Langley Research CenterHampton, VA 23665-5225

12. Sponsoring Agency Name and Address

National Aeronautics and Space Administration

Washington, DC 20546-0001

5. Report Date

March 1990

6. Performing Organization Code

8. Performing Organization Report No.

L-16625

10. Work Unit No.

505-61-21-03

11. Contract or Grant No.

13. Type of Report and Period Covered

Technical Paper

14. Sponsoring Agency Code

15. Supplementary Notes

16. Abstract

This report summarizes the NASA supercritical airfoil development program in a chronologicalfashion, discusses some of the airfoil design guidelines, and presents coordinates of a matrix offamily-related supercritical airfoils with thicknesses from 2 to 18 percent and design llft coefficientsfrom 0 to 1.0.

17. Key Words (Suggested by Authors(s))

Airfoil

Supercritical aerodynamicsTransonic aerodynamics

18. Distribution Statement

Unclassified--Unlimited

Subject Category 02

19. UnclassifiedSecurityClassif. (of this report) 20. UnclassifiedSecurityClassif. (of this page) 21. 72N°"of Pages 22. i04Price

NASA FORM 1626 OCT 86

For sale by the National Technical Information Service, Springfield, Virginia 22161-2171

NASA-Langley, 1990

ADVANCED TRANSONIC AERODYNAMIC TECHNOLOGY

Richard T. WhitcombLangley Research Center

SUMMARY

The primary discussion is of NASA supercritical airfoils and their appli-cations to wings for various types of aircraft. The various wings discussedhave been designed for a subsonic jet transport with increased speed, a variablesweep fighter with greater transonic maneuverability, a high subsonic speed STOLjet transport with improved low speed characteristics, and a subsonic jet trans-port with substantially improved aerodynamic efficiency. Results of windtunnel and flight demonstration investigations are described. Also discussedare refinements of the transonic area rule concept and methods for reducing theaerodynamic interference between engine nacelles and wings at high subsonicspeeds.

INTRODUCTION

It is generally recognized that the transonic speed range is that in whichthe flow about an aerodynamic configuration is an interacting mixture of sub-sonic and supersonic fields. The Mach number for the onset of such conditionsis called the critical Mach number, thus transonic flow at subsonic freestreamMach numbers is called supercritical flow. Most high performance aircraftoperate at least part time at supercritical or transonic conditions. There-fore, this speed regime is of great practical interest. Further, because ofthe mixture of subsonic and supersonic flow fields both the theoretical andexperimental research in this area is extremely complex. Because of the practi-cal interest and the complexity, extensive theoretical and experimental researchis being conducted in this area. This research has led to a number of signifi-cant advances in recent years. The theoretical work in this area is covered byother papers of this conference. In this paper some of the experimental re-search will be described. Because of the prescribed brevity of the paper onlythat work with which the author has been directly involved will be discussed.Even this discussion is, of necessity, very superficial.

SYMBOLS

c airfoil chord

c section drag coefficient

1521

I

CD airplane drag coefficient

CL airplane lift coefficient

C pressure coefficientp

c section normal-force coefficientn

M Mach number

t airfoil maximum thickness

NASA SUPERCRITICAL AIRFOILS

Description

The well-known flow problem for conventional airfoils at high subsonicspeeds is illustrated at the top of figure 1. A local region of supersonic orsupercritical flow develops above the upper surface of a lifting airfoil whichterminates in a strong shock wave. The wave itself causes some increase indrag, but usually the principal effect is separation of the boundary layer witha significant increase in drag, stability problems, and buffet. For the NASAsupercritical airfoils, as shown at the bottom of figure 1, the curvature ofthe middle region of the upper surface is substantially reduced with a resultingdecrease in the strength and extent of the shock wave. The drag associated withthe wave is reduced and, more importantly, the onset of separation is substan-tially delayed. The lift lost by reducing the curvature of the upper surfaceis regained by substantial camber of the rear portion of the airfoils.

The airfoils also incorporate other features which are important to the

total effectiveness of the new shape. The middle region of the lower surfaceis designed to maintain subcritical flow for all operating conditions of theairfoils, because the pressure rise associated with a shock wave superimposedon the pressure rise caused by the cusp would cause separation of the lower-surface boundary layer. To minimize the surface curvatures and thus the inducedvelocities on the middle regions of both the upper and lower surfaces, theleading edge is made substantially larger than for previous airfoils. It ismore than twice that for a 6-series airfoil of the same thickness-to-chord ratio.

The rear portion of the upper surface is designed to produce a constant ordecreasing pressure behind the shock wave for the design condition. Thisfeature stabilizes the boundary layer behind the shock before it enters thesubsonic pressure recovery. In particular, it substantially delays the finaldetachment of the boundary-layer bubble present under the strong shock for high-lift conditions. Results to be presented later will define this effectmore explicitly. The pressure distribution on the aft portion of the lowersurface is'designed by the Stratford criteria to obtain the largest increase inlift by the cusp without incurring boundary-layer separation in the cusp. Thisinvolves a rapid initial increase in pressure followed by a more gradual

152/-

increase. At the trailing edge the slope of the lower surface is made approxi-mately equal to that of the upper surface to reduce to a minimum the requiredpressure recovery at the upper-surface trailing edge.

At Mach numbers or lift coefficients less than the design conditions, theshock wave is farther forward with an increase in velocity aft of the shock toa second velocity peak in the vicinity of the three-quarter chord. This peakmust be carefully controlled to prevent the development of a second shock withassociated separation on the extreme rearward portion of the airfoils. At Machnumbers higher than the design value, the shock wave moves rearward and becomesstronger. Also, the pressure plateau disappears. As a result, the boundarylayer usually separates aft of the shock. A more complete description of theaerodynamic flow on the NASA supercritical airfoils at and off the design con-dition is presented in reference 1.

Two-Dimensional Results

A comparison of the drag variation with Mach number at a normal-forcecoefficient of 0.7 for a 10-percent thick conventional airfoil (NACA 64A-410)and two 10-percent thick versions of the NASA supercritical airfoils is shownin figure 2. The early supercritical airfoil for which results are shown issimilar to that used for all applications up to 1973. The abrupt drag rise forthis airfoil is more than 0.1 Mach number later than that for the 6-series air-foil. This early supercritical airfoil experienced a drag creep at Mach num-bers below the abrupt drag rise. This drag is associated with relatively weakshock waves above the upper surface at these speeds.

Much of the recent work at Langley has been devoted to the eliminationof this undesirable drag creep, and the solid curve of figure 2 shows an exampleof the results of these efforts. Refinements to the airfoils were involved pri-

marily with changes which resulted in a more favorable flow over the forwardregion of the upper surface and the elimination of the region of flow over-expansion near the three-quarter chord location on the upper surface. A slightloss in force-break or drag-divergence Mach number is noted (about 0.01) as aresult of slightly increased wave losses at the higher Mach numbers, but thiscompromise is felt to be of little consequence relative to the gains achievedin eliminating drag creep. It should be noted that, unlike the early work,the shaping changes used in the design of the recent airfoils were guided inpart by the use of the recently developed analytical program of reference 2 toachieve desired pressure distributions for the various cases.

In figure 3 the Mach number for the onset of severe separation, that is,for buffet or abrupt drag rise, is plotted against normal-force coefficientfor the same airfoils as in the previous figure. The results indicate that notonly does the supercritical airfoil delay drag rise at near cruise lift coeffi-cients but it also substantially increases both the Mach number and liftcoefficient at the characteristic high-lift corner of the curve. This effect,which results primarily from the stabilization of the bubble under the shockwave as discussed earlier, is particularly important for improving maneuver-ability.

1523

Recent airplane designs incorporate airfoils with somewhat higher dragrise Mach numbers than for the NACA 6-series shown here. However, it has beendifficult to acquire two-dimensional data for such airfoils. Results obtainedwith a C-5A airplane model in the Langley Research Center 8-foot tunnel indicatethat one of these new shapes, the Pearcey peaky airfoil, delays the drag-riseMach number 0.02 or 0.03 compared with the NACA 6-series airfoils but at a lossin the maximum lift.

The aft loading (fig. 1) associated with the new shape results, of course,in more negative pitching moments.

Supercritical technology can also be used to substantially increase thethickness ratios of an airfoil without an associated reduction in the Mach num-ber for separation onset. Obviously, the increased thickness allows a weightreduction or an increase in aspect ratio and provides added volume for fuel orother required equipment in the wing. Figure 4 shows a 17-percent thick airfoildesigned by W. E. Palmer of the Columbus Division of the Rockwell InternationalCorporation. A more detailed description of this airfoil is presented in refer-ence 3.

APPLICATIONS OF SUPERCRITICAL AIRFOILS

Three-Dimensional Wing Considerations

Explicit theoretical methods for designing three-dimensional swept-wingconfigurations for supercritical flight conditions are not as fully developedas those for two-dimensional configurations. However, some rational qualita-tive approaches have been developed which will be discussed briefly.

For wings of reasonably high aspect ratio, the airfoil sections of themidsemispan and outboard regions can be the same as those of the two-dimensionalairfoils. For the supercritical wing developed for the F -8 flight demonstrationto be described later and shown in figure 5 such an agreement holds even forsections on the outboard part of the nontrapezoidal region of the wing. Thesection near the wing-fuselage juncture is substantially different in detailfrom the two-dimensional section. However, even here some aft camber providedthe most satisfactory results.

Substantial wing twist is usually required for the best overall performanceof supercritical swept wings, as for previous swept wings intended for high-speed flight. Experiments at the Langley Research Center and in industry haveindicated that for both previous and supercritical swept wings a twist signifi-cantly greater than that which theoretically provides an elliptical load dis-tribution provides the best overall design. This large amount of twist sub-stantially reduces or eliminates the trim penalty associated with the greaternegative pitching moment for the supercritical airfoil for a sweptback wing.

The planform as shown in figure 5 is an important part of obtaining a highdrag-rise Mach number as well as a practical structure for a swept wing. The

1524

rearward extension of the root section allows for the attachment of landinggear in a transport application of such a wing. The glove extending forward isan attempt to provide the same drag-rise Mach number for the root sections asfor the outboard regions of the wing. Experiments and theory have indicatedthat at supercritical speeds the isobars on any sweptback wing move rearwardnear the root sooner and more rapidly than outboard, with a resulting prematuredrag rise for this region. The forward root extension turns the isobars forwardfor subcritical conditions, so that at supercritical design conditions the sweepsof the isobars of the inboard region more nearly match those of the outboardregion. The wing shown in figure 5 is described in more detail in reference 4.

Flight Demonstration Program

Because of the drastically different nature of the flow over the super-critical airfoils there was considerable concern as to how the new shape wouldoperate in actual flight. Therefore, the several U. S. government agenciesresponsible for the development of aircraft, that is NASA, the Air Force, andthe Navy, undertook a coordinated, three-part flight demonstration program. Theprogram was to evaluate the application of the new airfoils to a high speed, long-range transport wing configuration, a thick wing, and a variable-sweep fighterwing. In each case existing military aircraft were used as test beds. However,in none of the cases was it intended the test wing would be applied to produc-tion versions of these aircraft.

The transport wing configuration was flown on a Navy F -8 fighter (fig. 6).The wing was designed for cruise at very close to the speed of sound (M .—w- 0.98).This program was sponsored by NASA. The wing structure was designed and fabri-cated by Los Angeles Division of the Rockwell International Company and theflight tests were conducted at the NASA Dryden Flight Research Center. Resultsfrom this program are presented in reference 3.

The thick wing was flown on a Navy T-2C trainer. A comparison of aircraftwith and without the thick section is shown in figure 7. This program wassponsored by the Navy and NASA. The configuration and structural design, fabri-cation, and flight tests were conducted by the Columbus Division of the RockwellInternational Company. Results from this program are presented in reference 3.

The variable sweep fighter wing was flown on an Air Force F-111 (fig. 8).The wing was designed to achieve substantially improved maneuverability at highsubsonic speed and a higher cruise speed. This program, called TACT, wassponsored by the Air Force and NASA. The wing structure was designed and fabri-cated by the Fort Worth Division of the General Dynamics Company and the flighttests were conducted at the NASA Dryden Flight Research Center. The initialwind tunnel results of this program are presented in reference 5•

The results from all three flight programs verified the wind tunnel re-sults. The performance gains predicted were achieved and no off design problemswere encountered.

1525

Recent Applications

The first U. S. pre-production prototype airplane configurations to in-corporate NASA supercritical airfoils are the Air Force advance medium STOLtransport (AMST) configurations designed by the McDonnell Douglas Company(YC -15)and the Boeing Company (YC-14). The Douglas configuration is shown in figure 9.The advantage of this airfoil in delaying the onset of the adverse supercriticalflow effects has been exploited in these aircraft by eliminating wing sweep.This change allows higher useable lift coefficient for landing and take offwith a resulting improvement in the performance for these conditions.

In the initial effort of applying NASA supercritical airfoils to transportaircraft it was assumed that the airfoil should be exploited through an in-crease in the speed, since this had been the traditional area of advance forsuch aircraft. The work on the wing demonstrated on the F -8 took this direction.With the recent dramatic increase in the price of fuel the airlines are nowmore interested in fuel economy rather than speed. Therefore, the more recentresearch effort at the Langley Research Center has been directed toward usingthese airfoils to achieve high lift-to-drag ratios. This research is summarizedon figure 10. As has already been mentioned the airfoils allow an increasedthickness-to-chord ratio for a given drag rise Mach number. This allows agreater span with the same structural weight which, of course, results in lowerinduced drag. With the higher span the design lift coefficient must be in-creased. Also, as for the AMST configurations described previously, the useof this airfoil allows a reduction of wing sweep with a resulting improvementof the larding and take off characteristics. In this case the improvement isexploited by a reduction in wing area and thus weight. One of the models usedin this investigation is shown in figure 10. The wind tunnel results indicatethat for a given wing weight the lift-to-drag ratio can be increased by 18percent at the cruise Mach numbers of current transports.

AREA RULE REFINEMENTS

The area rule, developed in the 1950's, is a concept which relates theshock wave drag of airplane configurations at transonic and supersonic speedsto the longitudinal development of the cross-sectional area of the total con-figuration. On the basis of this concept the minimum wave drag for an airplaneconfiguration at supersonic speeds is achieved when the longitudinal developmentof cross-sectional area is the same as that for a body of revolution withminimum supersonic wave drag. The application of this concept usually resultsin an indented fuselage. This idea has been exploited primarily in militaryaircraft. Most present subsonic commercial transport aircraft do not fly atsufficiently high speeds to justify the use of this concept. However, theapplication of the NASA supercritical airfoil allows speeds of such transportsto be such that the area rule can be applied to advantage. Following the windtunnel development of the transport supercritical wing demonstrated on the F -8considerable wind tunnel research was carried out on a transport configurationincorporating not only this wing but also fuselage modification based on thearea rule. The configuration was intended for efficient cruise flight near

1526

the speed of sound (M - 0.98). The results of this research are presented inreference 6. During this research several improvements of the area rule con-cept were developed.

First, a body of revolution with an increased drag rise Mach number wasdeveloped using the same approach as that for the NASA supercritical airfoils.This body was intended to provide the basis for the optimum longitudinaldevelopment of cross-sectional area for an airplane intended for flight justbelow the speed of sound rather than supersonic speeds. The streamwise dis-tribution of cross-sectional area for this body of revolution is shown infigure 11. This distribution is substantially different than that for a bodywith minimum wave drag at supersonic speeds. It has a nose with substantialbluntness. Also, the curvature of the distribution near the maximum area issubstantially less than for the minimum supersonic wave drag body of the samefineness ratio.

The area rule is essentially a linear theory concept for zero lift.During the research on the near sonic transport configuration it was foundthat to achieve the most satisfactory drag characteristics at lifting condi-tions the fuselage shape had to be modified from that defined by the simpleapplication of the area rule as previously described to account for the non-linearity of the flow at such conditions. For lifting conditions at nearsonic speeds there is a substantial local region of supercritical flow abovethe wing surface which results in local expansions of the stream tube areas.In the basic considerations of the area rule concept this expansion is equiva-lent to an increase in the physical thickness of the wing. To compensate forthis effect the fuselage indentation required to eliminate the far field effectsof the wing must be increased. The corrections in cross-sectional areas re-quired for the transport investigated are shown at the bottom of figure 11 andare designated B. The distribution used to design the total configuration isthe optimum zero lift distribution described earlier with the correction area Bsubtracted. The fuselage indentation based on this corrected area distribu-tion resulted in a significant (.02) delay in the drag rise Mach number comparedwith that for the indentation based on the zero lift distribution.

The drag rise characteristics for the transport configuration incorporatingboth the supercritical wing and a fuselage shape based on the refined area ruleis shown as a solid line in figure 12. The cruise Mach number is approximately18 percent higher than that for the current wide body transports. Followingthe wind tunnel development of this configuration three aircraft companiesunder contract to NASA designed possible transport configurations based onsuch an arrangement. One of the designs is shown in figure 13.

WING AND ENGINE NACELLE INTERFERENCE

The initial designs of most high performance aircraft configurations withexternally mounted engines have resulted in an adverse aerodynamic interferencebetween the flows around the wing, engine nacelles, and pylons at transonicspeeds. This interference results from the super-position of the induced

1527

I_

flows of the several components. Considerable research has been conducted toreduce these adverse interferences to acceptable levels.

An extreme example of such interference was encountered during a recentwind tunnel investigation of the application of a supercritical wing to anexecutive or business jet. The configuration is shown in figure 14. Theforward portion of the rear mounted engine extends well forward over the uppersurface of the wing. Because of the curvatures of the various components a con-verging and then diverging channel was present between the components. As aresult a high supersonic local Mach number developed in this region at theintended cruise Mach number. Wind tunnel research has indicated that the moststraight forward method for greatly reducing such interference is to move theengine nacelle rearward. However, because of a balance problem for this air-plane the engine could not be moved rearward. For this configuration theshapes of the upper surface of the wing and the pylons were drastically modi-fied to provide an approximately uniform cross-sectional area channel betweenthe components.

Results of the modifications are shown in figure 15. The configurationwithout the engines added is shown by the short dash line. With the initialconfiguration of the nacelles and pylons the drag at the intended cruise Machnumber of 0.80 was increased by approximately 0.0040. The configuration wascompletely unacceptable. With the reshaping of the wing and pylons the dragincrement is approximately 0.0010 at the cruise condition, which is about aslow as can be achieved with the severe practical constraints imposed on thearrangement.

For engines mounted forward under the wing, as for many jet transports,similar interference problems can be present. They also can be greatly re-duced by reshaping the configuration.

CONCLUDING REMARKS

Application of NASA supercritical airfoils can provide substantialimprovements in the speed, efficiency, maneuverability, and landing and takeoff characteristics of aircraft intended to operate at transonic speeds.Further, refinements in the area rule concept can be used to achieve efficientcruise at very close to the speed of sound (M ;::^-, 0.98). Also the proper shapingof the wing and pylon can greatly reduce the adverse aerodynamic interferencewhich can be present between the wing engine pylon arrangement at transonicspeeds.

1528

REFERENCES

1. Whitcomb, Richard T.: Review of NASA Supercritical Airfoils. ICAS PaperNo. 74-10, Presented at The Ninth Congress of the International Councilof the Aeronautical Sciences, Haifa, Israel, August 1974.

2. Bauer, Frances; Garabedian, Paul; Korn, David; and Jameson, Antony: Super-critical Wing Sections II. Springer-Verlag, 1975.

3. Supercritical Wing Technology. A Progress Report on Flight Evaluations.NASA SP-301, February 1972.

4. Bartlett, Dennis W.; and Re, Richard J.: Wind-Tunnel Investigation ofBasic Aerodynamic Characteristics of a Supercritical-Wing ResearchAirplane Configuration. NASA TM X-2470, February 1972.

5. Ayers, Theodore G.: A Wind-Tunnel Investigation of the Application ofthe NASA Integral Supercritical Airfoil to a Variable-Wing-Sweep FighterAirplane. NASA TM X-2759, October 1972.

6. Langhans, R. A.; and Flechner, S. G.: Wind-Tunnel Investigation at MachNumbers From 0.25 to 1.01 of a Transport Configuration Designed toCruise at Near-Sonic Speeds. NASA TM X -2622, August 1972.

1529

PRESSURE DISTRIBUTIONS

QSURr

ACE

CP

i

-LOWER SURFACE

SUPERCRITICALAIRFOILM = 0.8

EA KOCKAVE

CONVENTIONAL

.020

.016

.012

cd

,00E

.004

EARLYSUPERCRITICAL

1

1

SUPERCRITICAL

Figure 1.- Supercritical phenomena.

0 L i i i I 1 1

.60 .64 .68 .72 .76 .80 .84

MACH NUMBER, M

Figure 2.- Drag-rise characteristics for various airfoils.cn = 0.7; t/c = 0.10.

1530

L

.64 .68 .72 .76 .80 .84M

C n 1.0

1.4

1.6

1.2

.8

.6

460

Figure 3.- Onset of drag rise.

Figure 4.- Thick supercritical airfoil (Palmer of Columbus Divisionof Rockwell International).

1531

/

' I

Figure 5.- Supercritical wing on F-8 research airplane.

Figure 6.- U.S. Navy F-8 with transport type supercritical wing.

1532

Figure 7.- Comparison of U.S. Navy T-2C airplane with andwithout thick supercritical airfoil.

Figure 8.- U.S. Air Force F-111 with supercritical wing (TACT).

1533

20

Figure 9.- McDonnell-Douglas YC-15 with supercritical wing.

SUPERCRITICAL WING EMBODIES

INCREASED THICKNESS-TO-CHORD RATIOGREATER SPAN

HIGHER DESIGN LIFT COEFFICIENT

REDUCED SWEEPBACKREDUCED AREA

18%- INCREASE INAERODYNAMICEFFICIENCY

LIFT 18 INSTEAD OFDRAG r

15%- INCREASE IN SPEED

PRESENT TRANSPORTS

.9 1.0MACH NUMBER

Figure 10.- Supercritical wing for increased lift-to-drag ratio.

17

16L.8

1534

CROSS-SECTIONAL

AREA

/n\ -7rnn i irr c'iinnr

MODEL STATION

Figure ll.- Second order area-rule considerations.

SUPERCRITICALCURRENT

ii

DR AG

.7 .8 .9 1.0 1.1MACH NUMBER

Figure 12.- Drag rise for jet transports (cruise lift).

1535

Figure 13.- Artist's concept of a near-sonic transportincorporating a supercritical wing.

Figure 14.- Model of business jet with supercritical wing.

1536

.012rBCD = CD,M-CD,M=0.60

INITIAL, PYLONS, ANDNACELLES ON-

.008

BCDINITIAL,PYLONS

.004 FINAL, PYLONS,AND // AND NACELLESNACELLES ON ^^-OFF

1 i .60 65 .70 .75 .80 .85

MACH NUMBER , M

Figure 15.- Effects of wing-root and pylon modifications. Executive-typeaircraft; CL = 0.25.

1537