advanced con 22014 - personal...
TRANSCRIPT
Ali KarimpourAssociate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
ADVANCEDADVANCEDCONTROLCONTROL
Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
2
Lecture 2
Basic Idea of Basic Idea of Linear AlgebraLinear Algebra--Part IPart ITopics to be covered include:
Basis, Representation, and Orthonormalization.
Linear Algebraic Equations.
Similarity Transformation.
Diagonal and Jordan Form.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
3
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزیدRnبعدي - nفضاي برداري حقیقی •
استقالل خطی و وابستگی خطی •پایه هاي یک فضاي خطی و نرم •نرمال متعامدو متعامد بردارهاي •جبري خطی معادالت •فضاي پوچ، رتبه و پوچیفضاي رنج، •همانندي تبدیالت •بردار ویژه و بردار ویژه توسعه یافته •جردنو فرم مودالفرم قطري، فرم فرم کانونی، •
• n-dimensional Real Vector Space Rn
• Linearly Dependent and Linearly Independent
• Basis of a Linear Space and Norm • Orthogonal Vectors and Orthonormal Vectors
• Linear Algebraic Equations
• Range Space, Null Space, Rank and Nullity
• Similarity Transfomation
• Eigenvectors and Generalized Eigenvector
• Canonical Form, Diagonal Form, Modal Form and Jordan Form پوتنتو مقادیر ویژه، خاصیت نیل دترمینالارتباط •
• Determinant and Eigenvalues and nilpotent property
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
4
n-dimensional real vector space Rn
Rx
x
xx
i
n
2
1
x
Rnبعدي -nحقیقی برداري اعضاي فضاي
Rnبعدي -nحقیقی برداري خاصیت مهم فضاي
nn RRandR 2121 ,, xxxx مثال بعنوان
31
1
1x
05.25.0
2x 321
21175
47 R
xx
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
5
n-dimensional real vector space Rn
Rnبعدي - nحقیقی برداري وابستگی خطی در فضاي
نه تماما صفراگر مجموعه اندوابسته خطی Rnدر فضاي x1 ،x2 ، ....xm بردارهايمجموعه : 1-2تعریف 1 ،2 ،.... ،m یافت شود که
0....2211 mmxxx
داده شده بردارهاياگر رابطه فوق تنها براي برقرار باشد در اینصورت .می باشندمستقل خطی
0....21 m
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
6
n-dimensional real vector space Rn
؟ چرا؟اندزیر مستقل خطی بردارهايآیا : 1-2مثال
؟ چرا؟اندزیر مستقل خطی بردارهايآیا : 2-2مثال
201
010
201
010
000
........وجود بردار صفر در هر مجموعه بردار : نکته
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
7
n-dimensional real vector space Rn
وابسته خطی بردارهايخاصیت جالب
0...2211 nnxxx
:وابسته باشند قطعا یک ضریب مخالف صفر است لذا بردارهااگر
ni
n
iii xxxx
...22
11
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
8
n-dimensional real vector space Rn
. است nبرابر Rnمستقل در فضاي بردارهايحداکثر تعداد :نکته مهم
؟ چرا؟اندزیر مستقل خطی بردارهايآیا : 3-2مثال
01
1x
.زیر مستقل خطی نیستند یکی را بر حسب مابقی نمایش دهید بردارهاياگر : 4-2مثال
15
2x
32
3x
01
1x
15
2x
32
3x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
9
n-dimensional real vector space Rn
Rnبرداري پایه هاي یک فضاي
را بتوان Rnپایه نامیده می شود اگر هر بردار Rnیک مجموعه بردار مستقل خطی در : 2-2تعریف . توسط پایه ها نمایش داد بفرديمنحصر بصورت
می باشد؟ چرا؟ R2مقابل پایه هاي فضاي بردارهايآیا : 5-2مثال
01
15
می باشد؟ چرا؟ R2مقابل پایه هاي فضاي بردارهايآیا : 6-2مثال
01
10
...............پایه هاي یک فضاي برداري : نکته
چرا؟. می باشد Rnپایه هاي Rnبردار مستقل خطی در nهر : نکته
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
10
Norms
RRn:.
0 xifonly and if 0x andR x,0x Positivity 1 n
R and x,xy Homogeneit 2 nRx
Ry x,,yx inequality Triangle 3 n yx
.نیاز داریم نرمبه مفهوم Rnبرداري براي سنجش اندازه یک بردار در یک فضاي .یک عدد حقیقی غیر منفی نسبت می دهد Rn بردارياست که به هر عضو یک فضاي تابعینرم
.نرم بایستی داراي خواص زیر باشد
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
11
Norm of vectors
iiax
1 For p=1 we have 1-norm
2/12
2
iiaxFor p=2 we have 2-norm or euclidian norm
iiax max
For p=∞ we have ∞-norm
1
1
pax
pp
iip
p-norm is:
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
12
Norm of vectors
21-1
Let x
2)2,1,1max(x
6211xThen
4)211(x 222
2
1
1x2
1x 1
1x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
13
Orthogonal and Orthonormal Vectors
یکه متعامدو متعامد بردارهاي . نامیده می شود اگر نرم دو آن بردار برابر یک باشدنرمال یا یکه یک بردار : 3-2تعریف
مقابل یکه است؟ بردارهايکدام یک از : 7-2مثال
01
1x
15
2x
؟متعامدندمقابل بردارهايآیا : 8-2مثال
6.08.0
1x
8.0
6.02x
6.08.0
3x
x1نامیده می شود اگر متعامد x2و x1دو بردار : 4-2تعریف Tx2=0
x1نامیده می شود اگر یکه متعامد x2و x1دو بردار : 5-2تعریف Tx2=0 و هر دو بردار یکه باشند.
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
14
Orthonormal lization
)اشمیترویه (یکه از مجموعه بردار مستقل خطی متعامدساخت مجموعه بردار
11111 /, uuqeu
12122 )( qeqeu
222 / uuq
23213133 )()( qeqqeqeu
333 / uuq
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
15
Orthonormal lization
.زیر را بیابید بردارهايبا متناظر متعامد بردارهاي: 9-2مثال
21
62
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
16
Linear Algebraic Equation
:در یک بردار ماتریسمفهوم ضرب یک
51
35
010
3421
25
32
504112
301xA
Aیعنی چگونگی ترکیب ستونهاي xدر بردار A ماتریسضرب .معین می کند xبردار المانهايرا Aچگونگی ترکیب ستونهاي
:ماتریسمفهوم ضرب یک بردار در یک 24236312
242631
32
ATz
A سطرهايیعنی چگونگی ترکیب A ماتریسدر zبردار ترانهادهضرب
.معین می کند zبردار المانهايرا A سطرهايچگونگی ترکیب
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
17
Linear Algebraic Equation
در این بخش به مطالعه رابطه زیر می پردازیمyx A
mnmnnm RRAorA :: 11 yx
: A ماتریسفضاي رنج
.نامند Aرا رتبه A ماتریسحداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضاي رنج
: A ماتریسفضاي پوچ
.نامند Aرا پوچی A ماتریسحداکثر تعداد بردار مستقل خطی در فضاي پوچ
)(A
)(AN
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
18
Linear Algebraic Equation
.را تعیین کنید A ماتریسپنج عضو فضاي رنج ) الف
.مقابل را در نظر بگیرید ماتریس: 10-2مثال
.را تعیین کنید A ماتریسرتبه ) ب
.را تعیین کنید A ماتریسپنج عضو فضاي پوچ ) ج
.را تعیین کنید A ماتریسپوچی ) د
020243212110
A
000
210
021
231
4104
.است 2برابر A ماتریسرتبه
0000
01
11
1020
010
1010
11
31
.است 2برابر A ماتریسپوچی
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
19
Linear Algebraic Equation
.می باشد A ماتریس، بعد فضاي رنج و یا حداکثر تعداد ستون مستقل A ماتریسرتبه
.می باشد A ماتریس، بعد فضاي رنج و یا حداکثر تعداد سطر مستقل A ماتریسرتبه : نکته مهم
: پس
A ماتریسحداکثر تعداد ستون مستقل = A ماتریسحداکثر تعداد سطر مستقل
.باشد mn ماتریسیک Aفرض کنید : نکته مهم
nANA )()(
.باشد mn ماتریسیک Aفرض کنید : نکته مهم
},min{)( nmA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
20
Linear Algebraic Equation
: 1- 2قضیه در معادله n1با ابعاد xیک جواب m1با ابعاد yو بردار mnبا ابعاد A ماتریسبراي -1
Ax=yباشد یعنی Aدر فضاي رنج yوجود دارد اگر و فقط اگر
(A)=([A y])
در n1با ابعاد xیک جواب m1با ابعاد yهر بردار براي mnبا ابعاد A ماتریسبراي -2معادله
Ax=y)رتبه کامل سطري. (باشد mداراي رتبه Aوجود دارد اگر و فقط اگر
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
21
Linear Algebraic Equation
پارامتري بصورتتمام جوابها : 2- 2قضیه یک جواب معادله xp، فرض کنید m1با ابعاد yو بردار mnبا ابعاد A ماتریسبراي
Ax=y(k=n-(A))باشد kبرابر Aباشد و فرض کنید پوچی
kkp nnnxx ...2211
. مستقل فضاي پوچ می باشد بردارهايها niها دلخواه بوده و iکه
.است بفردمنحصر xpدر اینصورت جواب داده شده (k=0)باشد nداراي رتبه Aاگر
معادله جوابهايدر اینصورت تمام (k>0)باشد nداراي رتبه کمتر از Aاگر Ax=y
. از رابطه زیر بدست می آید
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
22
Linear Algebraic Equation
کلیه جوابها مطلوبستبراي سیستم مقابل : 11-2مثال
084
020243212110x
:واضح است که یک جواب معادله فوق عبارتست از
2000
px
:معادله فوق عبارتست از جوابهايو تمامی
1020
01
11
2000
21 x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
23
Linear Algebraic Equation
.و معادله زیر را در نظر بگیرید A مربعی ماتریس: 3-2قضیه Ax=y
منفرد Aداراي جواب غیر صفر است اگر و فقط اگر Ax=0معادله همگن - 2
. است Aمستقل خطی برابر با پوچی جوابهايتعداد . باشد
داشته و بفردمعادله یک جواب منحصر غیر منفرد باشد در اینصورت Aاگر - 1. بدست می آید A-1yجواب از رابطه
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
24
Similarity Transformation
:نظر بگیریدبردار مستقل خطی را در nو nnبا ابعاد A ماتریس
.زیر محاسبه می شود بصورتتبدیل همانندي بوده و AA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
25
Similarity Transformation
,110
011
,010
102311201
321
qandqqA
بر حسب پایه هاي داده شده A ماتریستبدیل همانندي مطلوبست: 12-2مثال
01
0
1Aq
001
A
201
2Aq
201031
A
122
3Aq
120210131
A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
26
Similarity Transformation
,100
010
,001
102311201
321
qandqqA
بر حسب پایه هاي داده شده A ماتریستبدیل همانندي مطلوبست: 13-2مثال
211
1Aq
211
A
01
0
2Aq
0211
01A
132
3Aq
102311201
A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
27
Similarity Transformation
AqqqqqqA nnˆ
2121
AQAQ ˆ
1ˆ QAQA AQQA 1ˆ
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
28
Similarity Transformation
100
134012123
bA
b, Ab, A2bبر حسب پایه هاي A ماتریستبدیل همانندي : 14-2مثال
AbAq 1
010
A
bAAq 22
100100
A
1310
5
3Aq
5101501
1700A
bAqAbqbq 2321 ,,
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
29
Similarity Transformation
)ˆdet()( AI nnnnn
12
21
1 ....)(
121
1000
01000010
ˆ
nn
A
000100
010001
ˆ
1
2
1
n
n
A
010
00100001
ˆ
121
nn
A
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
30
Diagonal Form
.البته اگر مقادیر ویژه تکراري نباشد. پایه ها انتخاب شود بعنوان A ماتریسویژه بردارهايکافیست
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
31
Diagonal Form
تکراري نبوده Aاگر مقادیر ویژه A ماتریسویژه بردارهايو
. پایه ها انتخاب شود بعنوان:در اینصورت
:Aچگونگی محاسبه مقادیر ویژه 0)( AI
:Aدر صورت تکراري نبودن مقادیر ویژه nnn
nn ...,,,0...)( 2111
1
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرچگونگی محاسبه بردار ویژه
00)(
i
ii
vvIA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
32
v1, v2, …, vnبر حسب پایه هاي A ماتریستبدیل همانندي
111 vAv
0
0ˆ
1
A
222 vAv
00
00
ˆ 2
1
A
n
A
00
0000
ˆ 2
1
Diagonal Form
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
33
110201000
A را A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدر صورت امکان فرم قطري : 15-2مثال .قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرم
)()A:)1)(2ابتدا محاسبه مقادیر ویژه AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
12,0 321 and
0110201000
)(,0 1111
vvIA
112
1v
0110
221002
)(,2 2222
vvIA
110
2v
0210211001
)(,1 3333
vvIA
12
0
3v
111211
002][ 321 vvvQ
100020000
ˆ 1AQQA
Diagonal Form
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
34
0101340111
A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدرصورت امکان فرم قطري : 16-2مثال .قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا
)()A:)134)(1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
j32,,1 321
01101350110
)(,11111
vvIA
002
1v
03210
133201133
)(,32 2222
v
jj
jvIAj
132
1
2 jv
11032320
112][ 321 jjvvvQ
jjAQQA
32000320001
ˆ 1
Diagonal Form
132
1*
23 jvv
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
35
0101340111
Aمودال بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس مودالفرم : 17-2مثال
.تبدیل می کند تعیین کنید
)()A:)134)(1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
j32,,1 321
0110
1330110
)(,1 1111
vvIA
002
1v
03210
133201133
)(,32 2222
v
jj
jvIAj
132
1
2 jv
010320012
][ 321 vvvQ
230320001
ˆ 1AQQA
Modal Form
030
,121
32 vv
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
36
Jordan Form
تکراري نبوده Aاگر مقادیر ویژه A ماتریسویژه بردارهايو
. پایه ها انتخاب شود بعنوان:در اینصورت
تکراري باشد، Aاگر مقادیر ویژه :در اینصورت
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
37
400110
1201A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدر صورت امکان فرم قطري : 18-2مثال
.قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا
Jordan Form
)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه 11,4 321 and
0000130
1203)(,4 1111
vvIA
31
12
1v
001
2v
0031010112
][ 321 vvvQ
100010004
ˆ 1AQQA
0300100
1200)(,1 2222
vvIA
010
3v
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
38
400410321
A را A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسدر صورت امکان فرم قطري : 19-2مثال .قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرم
Jordan Form
)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه 11,4 321 and
0000430323
)(,4 1111
vvIA
34
3/17
1v
001
2v ?3 v0300400320
)(,1 2222
vvIA
:می رسیم و لذا براي این فرم جردنفرم امکان قطري سازي نیست پس به به بردار ویژه توسعه یافته نیاز داریم
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
39
Diagonal Form
)(A:0چگونگی محاسبه مقادیر ویژه AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرچگونگی محاسبه بردار ویژه
00)(
i
ii
vvIA
0)(0)( 2
ii
ii
vIAvIA
0)(
0)(2
3
ii
ii
vIAvIA
2چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه
3چگونگی محاسبه بردار ویژه توسعه یافته مرتبه
ii vv 2 21 )( iii vIAv
ii vv 3 32 )( iii vIAv 21 )( iii vIAv
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
40
400410321
Aقطري بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا : 19-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنیا
Jordan Form
)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
11,4 321 and
0000430323
)(,4 1111
vvIA
34
3/17
1v
001
2v ?3 v0300400320
)(,1 2222
vvIA
0300400320
)(0900
12001700
)(,1 222222
22
vvIAvvIA
010
22v
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
41
400410321
Aقطري بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 19-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنیا
Jordan Form
)()A:)4()1ابتدا محاسبه مقادیر ویژه 2 AI:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
11,4 321 and
0000430323
)(,4 1111
vvIA
34
3/17
1v
0300400320
)(0900
12001700
)(,1 22222
2
22
vvIAvvIA
010
223 vv
010
3v
002
)( 322 vIAv
003104023/17
][ 321 vvvQ
100110004
ˆ 1AQQA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
42
205.05.0025.02.000200002
A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 20-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا
Jordan Form
)()A:4)2ابتدا محاسبه مقادیر ویژه AI
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه 24321
0
005.05.0005.02.000000000
)(,2 1111
vvIA 224 kNullity
:دو حالت ممکن است رخ دهد 2حال با توجه به پوچی ][2یافتن دو بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ
][3یافتن یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
43
205.05.0025.02.000200002
A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 20-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا
Jordan Form
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
0
005.05.0005.02.000000000
)(,2 1111
vvIA 224 kNullity
0000000000000000
)(
0000000000000000
)(
005.05.0005.02.000000000
)( 3
1
2
11 IAIAIA
یافتن بردار ویژه توسعه یافته •
0110
0023
42 vv
داریم 2نداریم ولی دو مرتبه 3بردار ویژه توسعه یافته مرتبه
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
44
205.05.0025.02.000200002
A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 20-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا
Jordan Form
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
2یافتن بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •
0110
0023
42 vv
5.05.0
00
)(
5.04.0
00
)( 413211 vIAvvIAv
2000120000200012
ˆ 1AQQA
05.005.015.004.010200030
][ 4321 qqqqQ
تعداد بلوك
متناظر-2با ؟=
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
45
A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 21-2مثال .تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا
Jordan Form
)()A:4)2ابتدا محاسبه مقادیر ویژه AI:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
24321
224 kNullity
:دو حالت ممکن است رخ دهد 2حال با توجه به پوچی ][2یافتن دو بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ
][3یافتن یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه • 4321 qqqqQ
20000200012041112
A
0
00000000010041110
)(,2 1111
vvIA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
46
20000200012041112
A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 21-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا
Jordan Form
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
0
00000000010041110
)(,2 1111
vvIA 224 kNullity
0000000000000000
)(
0000000000000100
)(
00000000010041110
)( 31
211 IAIAIA
3یا 2یافتن بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •
داریم 3یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •
0500
3q
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
47
20000200012041112
A A ماتریسو تبدیلی که A ماتریس جردنفرم قطري یا فرم : 21-2مثال
.تبدیل می کند را تعیین کنید جردنقطري یا بفرمرا
Jordan Form
:Aبا هر کدام از مقادیر ویژه متناظرحال محاسبه بردار ویژه
داریم 3یک بردار ویژه توسعه یافته مرتبه •
0500
3q
005
55
)( 312 qIAq
0005
)( 211 qIAq
:پسq4=0(A-1I)و یاشدمستقل بردارهاآخرین بردار ویژه، این بردار باید از سایر محاسیهحال براي
1040
4q0
00000000010041110
)( 441
qqIA
2000020001200012
ˆ 1AQQA
تعداد بلوك
متناظر-2با ؟=
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
48
Determinant and Eigenvalues
AQQA 1ˆ
:آن جردنو فرم A ماتریسرابطه
AQAQQAQA ˆˆˆ 11
:آن جردنفرم دترمینالو A ماتریس دترمینال
:و مقادیر ویژه آنA ماتریس دترمینال
1ˆ QAQA
i
n
iA
1
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
49
Nilpotent Property
:جردندر مورد بلوك هاي پوتنتخاصیت نیل
0000100001000010
IJ
2000120001200012
J
:مقابل را در نظر بگیرید جردنبلوك
0000000010000100
2IJ
0000000000001000
3IJ
0000000000000000
4IJ
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
50
Exercises تمرینها.زیر را بیابید بردارهايبا متناظر متعامد بردارهاي: 1-2تمرین
202
,120
,210
:زیر بردارهايو نرم بینهایت 2و نرم 1نرم مطلوبست: 2-2تمرین
12
,210
ba
:زیر ماتریسهايپوچی و رتبه مطلوبست: 3-2تمرین
100022104321
011023114
100000010
321 AAA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
51
Exercises تمرینها:زیر ماتریسهايپایه هاي فضاي رنج و پایه هاي فضاي پوچ مطلوبست: 4-2تمرین
100022104321
011023114
100000010
321 AAA
:معادله جبري زیر را در نظر بگیرید: 5-2تمرین
yx
101
213312
’y=[1 1 1]است؟ آیا براي بفردفوق وجود دارد؟ آیا جواب منحصر معادالتبراي xآیا یک جواب جواب وجود دارد؟
.معادله جبري زیر را بیابید جوابهايکلیه : 6-2تمرین
123
100022104321x
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
52
Exercises تمرینها.A3bو b ،Ab ،A2bبر حسب پایه هاي Aتبدیل همانندي مطلوبست: 7-2تمرین
.قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسفرم قطري : 8-2تمرین
300020
1041A
.قطري تبدیل می کند را تعیین کنید بفرمرا A ماتریسو تبدیلی که A ماتریسفرم قطري : 9-2تمرین
342100010
A
1100
1000020001200012
bA
lecture 2
Dr. Ali Karimpour Mar 2014
53
Exercises تمرینهازیر بدون انجام محاسبه ماتریسهاي دترمینان مطلوبست: 10-2تمرین
300020001
2A
2000120001200012
1A
300020012
4A
3000130000200012
3A
ویژه از هم مستقل بردارهايبا مقادیر ویژه مجزا، مربعی ماتریسنشان دهید در یک : 11-2تمرین )اثبات با برهان خلف و تشکیل : راهنمایی. (هستند
n
kiin vIAIA
12 ))....((