บทที่ 1การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง (20 ช่ัวโมง)

1.1 การแยกตัวประกอบโดยใชสมบัติการแจกแจง (3 ช่ัวโมง)1.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว (9 ช่ัวโมง)1.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ (4 ช่ัวโมง)1.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (4 ช่ัวโมง)

พหุนามดีกรีสองที่จะแยกตัวประกอบในบทนี้ จะเนนเฉพาะพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่แตละพจนมีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็ม และเมื่อแยกตัวประกอบแลวแตละพจนในพหุนามตัวประกอบก็มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มดวย สําหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามที่สัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนจริงนักเรียนจะไดเรียนในชั้นตอไป โจทยบางขอที่เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณและผลตางของกําลังสองคอนขางซับซอนอาจไมเหมาะกับนักเรียนบางกลุม ครูจึงควรพิจารณาจัดใหเหมาะสมกับนักเรียน และควรฝกใหนักเรียนตรวจสอบผลคูณหลังจากแยกตัวประกอบแลวเพื่อใหตระหนักถึงความถูกตองของผลลัพธ การเขียนคําตอบแสดงการแยกตัวประกอบของพหุนามในบทนี้ ไมไดระบุรูปแบบหรือเงื่อนไขคําตอบที่ตายตัว โดยเฉพาะตวัประกอบรวมของสัมประสิทธิ์ของแตละพจน อาจเขียนอยูในวงเล็บหรือนอกวงเล็บก็ได เพราะสวนใหญจะนําความรูเร่ืองการแยกตัวประกอบของพหุนามไปใชในการหาคําตอบของสมการซึ่งไมวาจะเขียนการแยกตัวประกอบในรูปแบบใดก็จะไดคําตอบของสมการเหมือนกัน

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนเปนจํานวนเต็มและมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนในพหุนามตัวประกอบเปนจํานวนเต็ม

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

สําหรับบทนําของบทนี้เปนการแนะนําใหนักเรียนเห็นความสัมพันธระหวางการคูณกันของพหุนามกับพหุนามและการแยกตัวประกอบ กอนเรียนหัวขอ 1.1 ครูอาจทบทวนการคูณกันของพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนาม โดยใชแบบฝกหัดทบทวน เพื่อใหนักเรียนมีทักษะมากขึ้นซึ่งเปนพื้นฐานในการนําไปใชตรวจสอบการแยกตัวประกอบในหัวขอตอ ๆ ไป ในบทนํานี้นักเรียนจะไดรูจักคําวา การแยกตัวประกอบของพหุนาม และตัวประกอบของพหุนาม ในการดําเนินกิจกรรมการเรียนการสอน ครูควรจัดการเรียนการสอนใหนักเรียนมีแนวคิดรวบยอดเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามในประเด็นตอไปนี้

1. พหุนามที่เปนตัวประกอบแตละพหุนามจะตองหารพหุนามที่กําหนดใหไดลงตัว 2. พหุนามที่เปนตัวประกอบสวนใหญจะมีดีกรีต่ํากวาดีกรีของพหุนามที่กําหนดให 3. การแยกตัวประกอบของพหุนามเปนการเขียนพหุนามที่กําหนดใหในรูปการคูณกันของพหุนาม ที่เปนตัวประกอบ

1.1 การแยกตัวประกอบโดยใชสมบัติการแจกแจง (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสมบัติการแจกแจงได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนสมบัติการแจกแจงของจํานวนเต็มและความหมายของตัวประกอบรวมของจํานวนนับ เพราะเปนความรูที่เราจะตองนํามาใชในการแยกตัวประกอบของพหุนามในหัวขอนี้ สําหรับสมบัติการแจกแจงนั้นควรทบทวนใหนักเรียนเห็นทั้งสองลักษณะ ดังนี้ a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca 2. ครูแนะใหนักเรียนเขาใจวา การแยกตัวประกอบของพหุนามอาจเขียนไดมากกวา 1 แบบ ซ่ึงตางจากการแยกตัวประกอบของจํานวนนับที่เขียนไดคําตอบเดียว เชน

-9x + 3 = -3(3x – 1) หรือ -9x + 3 = 3(-3x + 1) 3. เนื่องจากการแยกตัวประกอบของพหุนามนั้นเปนเรื่องที่คอนขางยากสําหรับนักเรียนสวนมากครูจึงควรดําเนินการสอนเนื้อหาสาระใหเปนไปตามลําดับขั้นตอนดังที่ไดเสนอไวในหนังสือเรียน ในขั้นเริ่มตนของการหาตัวประกอบรวมของพหุนาม ครูควรใหนักเรียนพิจารณาหาตัวประกอบรวมทีละตัวดังตัวอยางตอไปนี้

3

จงแยกตัวประกอบของ 8x3y2 + 20x2y3 – 12y4

ขั้นท่ี 1 หา ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ของแตละพจนไดแก 8, 20 และ 12 จะได ห.ร.ม. เปน 4 ดังนั้น 4 เปนตัวประกอบรวมตัวหนึ่งของพหุนามนี้ ขั้นท่ี 2 พิจารณาตัวแปร x ในแตละพจน จะเห็นวามีตัวแปร x อยูในพจนเพียงสองพจน คือ 8x3y2 และ 20x2y3 แสดงวาไมมีตัวประกอบรวมที่เปนตัวแปร x ขั้นท่ี 3 พิจารณาตัวแปร y ในแตละพจน จะเห็นวามีตัวแปร y อยูในพจนทั้งสามคือ 8x3y2, 20x2y3 และ 12y4 จะได y2 เปนตัวประกอบรวมอีกตัวหนึ่งของพหุนามนี้ ขั้นท่ี 4 นําตัวประกอบรวมทั้งหมดมาเขียนเปนผลคูณจะไดผลคูณนั้นเปนตัวประกอบรวม ของแตละพจน

จากขั้นตอนขางตนจะได 4y2 เปนตัวประกอบรวมของ 8x3y2, 20x2y3 และ 12y4

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ 8x3y2 + 20x2y3 – 12y4 ไดดังนี้ 8x3y2 + 20x2y3 – 12y4 = 4y2(2x3 + 5x2y – 3y2) ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวา ในการพิจารณาตัวประกอบรวมดังขางตนไมไดพิจารณาเครื่องหมายระหวางพจน 4. สําหรับตัวอยางที่ 4, 5 และ 6 ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนเกิดแนวคิดในการสลับที่และเปล่ียนหมูพจนที่แตกตางจากตัวอยางที่ใหไวก็ได ทั้งนี้เพื่อฝกทักษะในการสังเกตหาพหุนามที่เปนตัวประกอบรวม นอกจากนี้ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับการเขาวงเล็บและการถอดวงเล็บเพื่อใหนักเรียนไดระมัดระวังเกี่ยวกับการเปลี่ยนเครื่องหมายระหวางพจน 5. สําหรับคําตอบของแบบฝกหัด 1.1 ข ไดใหแนวคิดไวเปนบางขอ นักเรียนอาจมีแนวคิดในการสลับที่พจนและเปลี่ยนหมูแตกตางจากที่ใหไวก็ได

1.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว (9 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ของ แตละพจนเปนจํานวนเต็ม และมีสัมประสิทธิ์ของแตละพจนในพหุนามตัวประกอบเปนจํานวนเต็ม

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูแนะนําพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวที่เขียนอยูในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็ม และ a ≠ 0 พรอมทั้งใหตัวอยางประกอบ อาจใหนักเรียนบอกคา a, b และ c ในแตละพจนเหลานั้น

4

2. ครูใหตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในกรณีที่ c = 0 กอน เพราะกรณีนี้จะใชความรูตอเนื่องจากหัวขอ 1.1 ซ่ึงเปนการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใชสมบัติการแจกแจงและมีตัวประกอบรวมเปนเอกนาม 3. สําหรับตัวอยางการแยกตัวประกอบของพหุนามที่เขียนอยูในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1และ c ≠ 0 ในขั้นตอนตาง ๆ ที่ใชสมบัติของการแจกแจงและมีตัวประกอบรวมเปนพหุนามอาจมีรายละเอียดที่อาจเขาใจยากสําหรับนักเรียนบางกลุม ครูควรอธิบายพอใหนักเรียนเห็นแนวคิดแลวสรุปวิธีการแยกตัวประกอบโดยใหขอสังเกตเกี่ยวกับ สัมประสิทธิ์ของพจนกลาง (bx) คาของพจนหลัง (c)โดยยกตัวอยางประกอบเชนเดียวกับตัวอยางที่ 5 ถึงตัวอยางที่ 10 หลาย ๆ ตัวอยาง จนนักเรียนสามารถมองเห็นความสัมพันธไดแลว จึงคอยสรุปเปนหลักการทั่ว ๆ ไปคือ x2 + bx + c = (x + m)(x + n) เมื่อ m และ n เปนจํานวนเต็มที่ m + n = b และ mn = c

ครูควรใหขอสังเกตกับนักเรียนดวยวา ในกรณีที่ x2 + bx + c มี b และ c เปนจํานวนเต็มถาไมสามารถหาจํานวนเต็มสองจํานวนที่คูณกันได c และบวกกันได b ก็แสดงวาไมสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามนั้นใหมีตัวประกอบที่เปนพหุนามดีกรีหนึ่งและมีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มได 4. สําหรับกิจกรรม “หาไดหรือไม” มีเจตนาใหนักเรียนไดฝกทักษะหาจํานวนเต็ม m และ nที่ทําให m + n = b และ mn = c ตามที่โจทยกําหนด เพื่อเปนพื้นฐานในการทําแบบฝกหัด 1.2 ก 5. กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.2 ก ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ประกอบการสอนใหเห็นการใชพหุนามแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากกับพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมนั้น ซ่ึงความสัมพันธที่ไดเขียนอยูในรูปการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง การใชส่ือรูปธรรมตามกิจกรรมเสนอแนะนี้ มีเจตนาใหนักเรียนเกิดความคิดรวบยอดและเรียนคณิตศาสตรอยางมีความหมาย ครูไมควรยึดติดกับการใชส่ือรูปธรรมเกินความจําเปน เพราะบางครั้งส่ือเหลานี้ก็ทําใหเกิดความยุงยากได ส่ิงที่ครูควรใหนักเรียนทําคือ ใหโจทยที่เหมาะสมและใหนักเรียนไดฝกฝนทักษะอยางเพียงพอ 6. การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็มที่และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0 เปนเรื่องที่ตองใชเวลาในการทําความเขาใจและการฝกฝน ในการจัดการเรียนการสอน ครูควรดําเนินการอยางชา ๆ ใหเวลานักเรียนไดคิดคํานวณอยางรอบคอบและตรวจสอบคําตอบใหถูกตองทุกครั้ง ครูควรย้ํากับนักเรียนเสมอวากอนแยกตัวประกอบของพหุนามใด ๆ ควรพิจารณาวาสามารถหาตัวประกอบรวมไดหรือไม ถาไดควรกระทํากอน เพราะอาจจะชวยใหการแยกตัวประกอบขั้นตอไปทําไดงายขึ้น ดังตัวอยางที่ 14 วิธีที่ 1 ในการแยกตัวประกอบของพหุนาม ครูไมควรเขมงวดเกี่ยวกับรูปแบบของคําตอบมากนัก เชน เมื่อแยกตัวประกอบของ 6x2 – 10x – 4 อาจเขียนคําตอบเปน6x2 – 10x – 4 = (3x + 1)(2x – 4) ก็ใหถือวาถูกตอง

5

สําหรับตัวอยางที่ 15 เปนโจทยที่ a เปนจํานวนเต็มลบ ครูอาจแนะนําใหนักเรียนใชวิธีทําวิธีที่ 2 ซ่ึงเอาตัวประกอบรวม -1 ออกมากอน จะชวยทําใหแยกตัวประกอบขั้นตอไปงายขึ้น และอาจเขียนคําตอบโดยมี -1 อยูนอกวงเล็บเปน -3x2 + 10x + 8 = (-1)(3x + 2)(x – 4) ก็ได

1.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณและเขียนอยู ในรูป A2 + 2AB + B2 หรือ A2 – 2AB + B2 เมื่อ A และ B เปนพหุนามได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้ไดแบงสาระเปนสองตอนเพื่อความสะดวกในการจัดการเรียนการสอนตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 6 และแบบฝกหัด 1.3 ก เหมาะสําหรับนักเรียนทั่ว ๆ ไป สวนตัวอยางที่ 7ตัวอยางที่ 8 และแบบฝกหัด 1.3 ข เหมาะสําหรับนักเรียนที่มีความสามารถเปนพิเศษ การจัดสาระใหกับนักเรียนใหอยูในดุลพินิจของครู 2. ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูควรยกตัวอยางใหนักเรียนสังเกตเห็นรูปแบบของพหุนามที่เปนกําลังสองสมบูรณและวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามนั้นกอน ตอจากนั้นครูอาจใหสูตรสําหรับการจดจําไวใชในการทําแบบฝกหัดเลยก็ได นักเรียนจะจําสูตรในรูปของตัวแปร หรือจําในรูปขอความก็ได ดังนี้ A2 + 2AB + B2 = (A+B)2 หรือ (หนา)2 + 2 หนาหลัง + (หลัง)2 = (หนา + หลัง)2

A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 หรือ (หนา) 2 – 2 หนาหลัง + (หลัง)2 = (หนา – หลัง) 2

3. กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัด 1.3 ก ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.3 ประกอบการสอนใหเห็นการใชพหุนามแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานและพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก การใชส่ืออธิบาย a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 อาจมีความยุงยาก ครูอาจนํากิจกรรมนี้มาใชเฉพาะเพื่อส่ือความหมายa2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ก็เพียงพอแลว 4. สําหรับตัวอยางที่ 7 และตัวอยางที่ 8 อาจแยกตัวประกอบของพหุนามที่กําหนดใหโดยไมดูที่รูปแบบของพหุนามที่เปนกําลังสองสมบูรณ แตอาจทําพหุนามนั้นใหอยูในรูปอยางงายกอนแลวจึงแยกตัวประกอบก็ได เชน 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = 4x2 – 4x2 + 12x + x2 – 6x + 9 = x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

ดังนั้น 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 = (x + 3)2

6

อนึ่งตัวอยางที่ 7 ตัวอยางที่ 8 และแบบฝกหัด 1.3 ข นี้มีเจตนาใหนักเรียนไดพัฒนาการคิดและสังเกตรูปแบบที่เปนกําลังสองสมบูรณ ครูจึงควรใหนักเรียนทําวิธีดังตัวอยางมากกวาการทําใหอยูในรูปอยางงายกอน ในการทําแบบฝกหัด 1.3 ข ครูควรย้ําใหนักเรียนระมัดระวังในเรื่องการเขาวงเล็บและถอดวงเล็บ ซ่ึงอาจมีการเปลี่ยนเครื่องหมายระหวางพจน ควรย้ําใหนักเรียนตรวจสอบการคํานวณอยูเสมอ 5. สําหรับกิจกรรม “ทําไดไหม” มีเจตนาใหนักเรียนรูวาถึงแมจะเปนพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปร การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เปนกําลังสองสมบูรณก็ยังใชสูตรดังกลาวไดเชนกัน ครูอาจใหนักเรียนทุกคนทํากิจกรรมนี้ก็ได

1.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสอง (4 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองซึ่งเขียน อยูในรูป A2 – B2 เมื่อ A และ B เปนพหุนามได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.4

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหนักเรียนสังเกตรูปแบบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตางของกําลังสองและอาจใหนักเรียนจําสูตร A2 – B2 = (A + B)(A – B) เมื่อ A และ B เปนพหุนาม หรือจําสูตรขอความยอ ๆ สําหรับนําไปใชในการแยกตัวประกอบดังนี้ (หนา)2 – (หลัง)2 = (หนา + หลัง)(หนา – หลัง) 2. ในการแยกตัวประกอบของหัวขอนี้มีเจตนาใหนักเรียนใชสูตร A2 – B2 = (A + B)(A – B)มากกวาใชวิธีแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนจํานวนเต็มและ a ≠ 0, b = 0 ตามหัวขอ 1.2 ที่ผานมา สําหรับตัวอยางที่ 3 เปนการแยกตัวประกอบของพหุนาม49x2 – 196 ใหสังเกตวาไดแยกตัวประกอบของพหุนามตามสูตรขางตนทันที โดยไมไดนําตัวประกอบรวมออกมาเปนตัวคูณกอน ทั้งนี้เพื่อใหนักเรียนเห็นเปนตัวอยางวา บางครั้งจํานวนที่เปนสัมประสิทธิ์ของแตละพจนในพหุนามอาจมองเห็นไมงายนักวามีตัวประกอบรวมหรือไม ดังนั้นการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีรูปแบบเชนนี้จึงอาจทําตามสูตรไดเลย ดังนี้ 49x2 – 196 = (7x)2 – 142

จะได 49x2 – 196 = (7x + 14)(7x – 14) = 7 × 7 (x + 2)(x – 2) หรือ 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2) แตถานักเรียนจะหาตัวประกอบรวมกอนแลวแยกตัวประกอบตอก็จะทําไดดังนี้ 49x2 – 196 = 49(x2 – 4) จะได 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2)

7

สําหรับนักเรียนทั่ว ๆ ไปครูอาจใหตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 8 และใหทําแบบฝกหัด 1.4 กสําหรับตัวอยางที่ 9 และตัวอยางที่ 10 เปนโจทยผสมผสานระหวางพหุนามที่อยูในรูปกําลังสองสมบูรณและผลตางของกําลังสอง อาจเหมาะสําหรับนักเรียนที่มีความสามารถเปนพิเศษ ครูควรเลือกโจทยใหนักเรียนทําตามความเหมาะสม 3. สําหรับตัวอยางที่ 11 ตองการใหนักเรียนเห็นการใชพหุนามในการแกโจทยปญหาบางเรื่องเชน โจทยปญหาเกี่ยวกับความยาวและพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 4. สําหรับกิจกรรม “นาทํานะ” มีเจตนาใหนักเรียนรูวาสามารถใชสูตรA2 – B2 = (A + B)(A – B)ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่มีสองตัวแปรและเปนผลตางของกําลังสองไดเชนกัน ครูควรเลือกโจทยแบบฝกหัดในกิจกรรมนี้ใหนักเรียนทําตามความสามารถของนักเรียน 5. สําหรับกิจกรรม “คํานวณไดเร็ว” มีเจตนาใหนักเรียนนําความรูเกี่ยวกับพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณหรือผลตางของกําลังสอง มาชวยในการคํานวณเกี่ยวกับจํานวนนับบางจํานวนใหไดผลลัพธรวดเร็วขึ้น

8

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบแบบฝกหัด 1.1 ก

1. 10x + 4 = 2(5x + 2) 2. 7x – 14 = 7(x – 2) 3. -9x + 3 = 3(-3x + 1) หรือ -9x + 3 = -3(3x – 1) 4. -8 – 12x = 4(-2 – 3x) หรือ -8 – 12x = -4(2 + 3x) 5. 14y + 26z = 2(7y + 13z) 6. x2 + 13x = x(x + 13) 7. 3z2 – 2z = z(3z – 2) 8. 5y2 – 20y = 5y(y – 4) 9. 12xz – 16z = 4z(3x – 4)10. 33y2 – 11yz = 11y(3y – z)11. 15x2y + 5x = 5x(3xy + 1)12. 6xy – 8xy2 = 2xy(3 – 4y)13. x3 + x = x(x2 + 1)14. y3 + 4y = y(y2 + 4)15. 9y2z2 – 6yz = 3yz(3yz – 2)16. 21x3y2 – 28x2y3 = 7x2y2(3x – 4y)17. -7x2z3 + 63xz5 = 7xz3(-x + 9z2) หรือ -7x2z3 + 63xz5 = -7xz3(x – 9z2)18. 24x4z2 + 18x3z3 = 6x3z2(4x + 3z)19. 30x2y3 + 36x3y2 – 6x3y3 = 6x2y2(5y + 6x – xy)20. 24xz2 – 27x2z3 + 9x3z4 = 3xz2(8 – 9xz + 3x2z2)

คําตอบแบบฝกหัด 1.1 ข

1. m(n + 3) + 5(n + 3) = (n + 3)(m + 5) 2. (x + y)z – (x + y) = (x + y)(z – 1) 3. 4t(a + b) – s(a + b) = (a + b)(4t – s)

9

4. (4y2 + 3)y + 6(4y2 + 3) = (4y2 + 3)(y + 6) 5. a(b – 3c) + x(b – 3c) = (b – 3c)(a + x) 6. ax + by + bx + ay = (a + b)(x + y) ตัวอยางแนวคิด ax + by + bx + ay = (ax + bx) + (ay + by)

7. 5a – 10x + ab – 2bx = (a – 2x)(5 + b) ตัวอยางแนวคิด 5a – 10x + ab – 2bx = (5a – 10x) + (ab – 2bx)

8. na + 3b + nb + 3a = (a + b)(n + 3) ตัวอยางแนวคิด na + 3b + nb + 3a = (na + nb) + (3a + 3b)

9. xy – st – xt + sy = (x + s)(y – t) ตัวอยางแนวคิด xy – st – xt + sy = (xy + sy) – (xt + st)

10. n2m + n2p – 8m – 8p = (m + p)(n2 – 8) ตัวอยางแนวคิด n2m + n2p – 8m – 8p = (n2m – 8m) + (n2p – 8p)

11. ab2 – cb2 – 6a + 6c = (a – c)(b2 – 6) ตัวอยางแนวคิด ab2 – cb2 – 6a + 6c = (ab2 – cb2) – (6a – 6c)

12. 2x3 – x + 14x2 – 7 = (2x2 – 1)(x + 7) ตัวอยางแนวคิด 2x3 – x + 14x2 – 7 = (2x3 – x) + (14x2 – 7)

13. a2 – 2b – 5a3 + 10ab = (a2 – 2b)(1 – 5a) ตัวอยางแนวคิด a2 – 2b – 5a3 + 10ab = (a2 – 2b) – (5a3 – 10ab)

14. x3 – x3z + y2z – y2 = (1 – z)(x3 – y2) ตัวอยางแนวคิด x3 – x3z + y2z – y2 = (x3 – x3z) – (y2 – y2z)

คําตอบกิจกรรม “หาไดหรือไม”

1. m = 7, n = 12 หรือ m = 12, n = 7 2. m = -13, n = 8 หรือ m = 8, n = -13 3. m = 13, n = -11 หรือ m = -11, n = 13 4. m = -14, n = -9 หรือ m = -9, n = -14 5. m = 6, n = 15 หรือ m = 15, n = 6

10

6. m = -15, n = 8 หรือ m = 8, n = -15 7. m = -16, n = 8 หรือ m = 8, n = -16 8. m = -6, n = -18 หรือ m = -18, n = -6 9. m = -21, n = 19 หรือ m = 19, n = -2110. m = -24, n = 13 หรือ m = 13, n = -24

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ก

1. x2 – 5x = x(x – 5) 2. 3m2 – 6m = 3m(m – 2) 3. -2y + y2 = y(-2 + y) หรือ -2y + y2 = -y(2 – y)

4. -5x2 – 10x = 5x(-x – 2) หรือ -5x2 – 10x = 5x(x + 2)

5. x2 + 4x + 3x + 12 = (x + 4)(x + 3) ตัวอยางแนวคิด x2 + 4x + 3x + 12 = (x2 + 4x) + (3x + 12)

6. m2 – 5m + 2m – 10 = (m – 5)(m + 2) ตัวอยางแนวคิด m2 – 5m + 2m – 10 = (m2 – 5m) + (2m – 10)

7. x2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) 8. n2 + 15n + 14 = (n + 14)(n + 1) 9. y2 + 10y + 24 = (y + 4)(y + 6)10. x2 + 7x – 18 = (x + 9)(x – 2)11. x2 – 9x + 20 = (x – 5)(x – 4)12. a2 – 8a – 9 = (a – 9)(a + 1)13. b2 + 9b – 10 = (b + 10)(b – 1)14. x2 – 49 = (x + 7)(x – 7)15. y2 – 81 = (y + 9)(y – 9)16. x2 – 10x + 24 = (x – 6)(x – 4)17. x2 – 14x + 24 = (x – 12)(x – 2)18. a2 + 11a + 18 = (a + 2)(a + 9)

11

19. 56 + 15a + a2 = (7 + a)(8 + a)20. m2 – 13m + 42 = (m – 6)(m – 7)21. x2 – 20x – 21 = (x – 21)(x + 1)22. x2 – 15x + 36 = (x – 12)(x – 3)23. y2 + 13y + 12 = (y + 1)(y + 12)24. t2 – 11t + 30 = (t – 6)(t – 5)25. a2 – a – 72 = (a – 9)(a + 8)26. x2 – 17x + 70 = (x – 10)(x – 7)27. y2 – 18y + 81 = (y – 9)(y – 9)28. n2 + 15n – 54 = (n + 18)(n – 3)29. x2 – 30x – 99 = (x – 33)(x + 3)30. y2 – 729 = (y + 27)(y – 27)31. m2 – 22m + 121 = (m – 11)(m – 11)32. x2 – 12x – 85 = (x – 17)(x + 5)33. 144 + 24a + a2 = (12 + a)(12 + a)34. s2 + 12s – 189 = (s + 21)(s – 9)35. 961 – m2 = (31 + m)(31 – m)36. x2 – 28x + 195 = (x – 13)(x – 15)37. 225 + 34t + t2 = (25 + t)(9 + t)38. y2 – 2y – 323 = (y – 19)(y + 17)39. x2 + 37x + 232 = (x + 29)(x + 8)40. m2 – 19m – 372 = (m – 31)(m + 12)

คําตอบแบบฝกหัด 1.2 ข

1. 3x2 – 4x = x(3x – 4) 2. 4y2 + 12y = 4y(y + 3) 3. 6m2 – 4m = 2m(3m – 2) 4. 3x2 – 27 = 3(x + 3)(x – 3) 5. 2x2 – 2x – 4 = 2(x – 2)(x + 1) 6. 2a2 + 6a + 4 = 2(a + 2)(a + 1) 7. 3x2 – 6x – 9 = 3(x – 3)(x + 1)

12

8. 6y2 – y – 12 = (3y + 4)(2y – 3) 9. 9y2 – 6y + 1 = (3y – 1)(3y – 1)10. 6a2 + a – 12 = (3a – 4)(2a + 3)11. 6a2 + 17a + 12 = (3a + 4)(2a + 3)12. 5x2 + 14x – 3 = (5x – 1)(x + 3)13. 6 – 7x + x2 = (6 – x)(1 – x)14. 4 + 10x + 6x2 = 2(2 + 3x)(1 + x)15. 4x2 + 16x – 9 = (2x + 9)(2x – 1)16. 9y2 – 12y – 5 = (3y – 5)(3y + 1)17. 5x2 + 4x – 1 = (5x – 1)(x + 1)18. 12a2 – a – 35 = (4a – 7)(3a + 5)19. 16y2 – 8y + 1 = (4y – 1)(4y – 1)20. 4y2 – 36 = 4(y + 3)(y – 3)21. 9a2 – 64 = (3a + 8)(3a – 8)22. 15x2 + 8x – 7 = (15x – 7)(x + 1)23. 7a2 + 49a + 84 = 7(a + 3)(a + 4)24. 35m2 + 18m – 8 = (7m – 2)(5m + 4)25. 4 + 10x – 6x2 = 2(2 – x)(1 + 3x)26. 9 – 42y + 49y2 = (3 – 7y)(3 – 7y)27. 35 – 26b + 3b2 = (7 – b)(5 – 3b)28. 4z2 – 28z + 49 = (2z – 7)(2z – 7)29. -12a2 – 20a – 7 = (-6a – 7)(2a + 1) หรือ -12a2 – 20a – 7 = (6a + 7)(-2a – 1)30. 10 – 19x – 15x2 = (5 + 3x)(x – 5x)31. 6b2 – 38b + 56 = 2(3b – 7)(b – 4)32. 7m2 + 72m – 55 = (7m – 5)(m + 11)33. 20a2 + 77a + 18 = (5a + 18)(4a + 1)34. 3x2 – 40x + 117 = (x – 9)(3x – 13)35. -10x2 + 81x – 45 = (-2x + 15)(5x – 3) หรือ -10x2 + 81x – 45 = (2x – 15)(-5x + 3)36. 13y2 + 69y – 54 = (13y – 9)(y + 6)

13

คําตอบแบบฝกหัด 1.3 ก

1. 1) x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

2) x2 + 16x + 64 = (x + 8)2

3) x2 + 34x + 289 = (x + 17)2

4) x2 + 40x + 400 = (x + 20)2

5) x2 + 46x + 529 = (x + 23)2

6) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2

7) x2 – 28x + 196 = (x – 14)2

8) x2 – 36x + 324 = (x – 18)2

9) x2 – 52x + 676 = (x – 26)2

10) x2 – 60x + 900 = (x – 30)2

2. 1) 9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2

2) 16x2 + 56x + 49 = (4x + 7)2

3) 49x2 + 42x + 9 = (7x + 3)2

4) 100x2 + 220x + 121 = (10x + 11)2

5) 81x2 + 360x + 400 = (9x + 20)2

6) 4x2 – 36x + 81 = (2x – 9)2

7) 49y2 – 70y + 25 = (7y – 5)2

8) 64y2 – 176y + 121 = (8y – 11)2

9) 81x2 – 180x + 100 = (9x – 10)2

10) 225x2 – 360x + 144 = (15x – 12)2

คําตอบแบบฝกหัด 1.3 ข

1. (x – 2)2 + 12(x – 2) + 36 = (x + 4)2

2. (2x + 1)2 + 20(2x + 1) + 100 = (2x + 11)2

3. (x + 3)2 – 16(x + 3) + 64 = (x – 5)2

4. (4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169 = (4x – 18)2

5. 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 = (6x + 45)2

14

6. 9(x – 1)2 – 30(x – 1) + 25 = (3x – 8)2

7. 16x2 + 8x(x + 1) + (x + 1)2 = (5x + 1)2

8. (x – 3)2 – 12x(x – 3) + 36x2 = (-5x – 3)2

9. 49x2 + 14(x2 – x) + (x – 1)2 = (8x – 1)2

10. (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2 = (2 – 8x)2

คําตอบกิจกรรม “ทําไดไหม”

1) 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2

2) m2 + 44mn + 484n2 = (m + 22n)2

3) 100x2 + 60xy + 9y2 = (10x + 3y)2

4) 81t2 + 90tk + 25k2 = (9t + 5k)2

5) x2 – 16xy + 64y2 = (x – 8y)2

6) 9x2 – 6xy + y2 = (3x – y)2

7) 25m2 – 40mn + 16n2 = (5m – 4n)2

8) 36x2 – 84xy + 49y2 = (6x – 7y)2

คําตอบแบบฝกหัด 1.4 ก

1. 1) x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) 2) 16 – x2 = (4 + x)(4 – x) 3) x2 – 64 = (x + 8)(x – 8) 4) x2 – 144 = (x + 12)(x – 12) 5) 225 – x2 = (15 + x)(15 – x) 6) x2 – 361 = (x + 19)(x – 19) หรือ x2 – (2x + 1)2 = (x + 1)(-x – 1) 7) x2 – 625 = (x + 25)(x – 25) 8) x2 – 900 = (x + 30)(x – 30) 9) 9x2 – 1 = (3x + 1)(3x – 1) 10) 4x2 – 49 = (2x + 7)(2x – 7) 11) 16x2 – 169 = (4x + 13)(4x – 13)

15

12) 49x2 – 81 = (7x + 9)(7x – 9) 13) 25x2 – 121 = (5x + 11)(5x – 11) 14) 196x2 – 100 = (14x + 10)(14x – 10) 15) 81x2 – 400 = (9x + 20)(9x – 20) 16) 64x2 – 225 = (8x + 15)(8x – 15) 17) 144x2 – 441 = (12x + 21)(12x – 21) 18) 1 – 289x2 = (1 + 17x)(1 – 17x) 19) 529x2 – 625 = (23x + 25)(23x – 25) 20) 961 – 900x2 = (31 + 30x)(31 – 30x)

2. 1) (a – 2)2 – 1 = (a – 1)(a – 3) 2) 25 – (y + 1)2 = (6 + y)(4 – y) 3) (x + 2)2 – 4 = x(x + 4) 4) (x – 3)2 – 36 = (x + 3)(x – 9) 5) 81 – (x + 5)2 = (14 + x)(4 – x) 6) x2 – (2x + 1)2 = (-x – 1)(3x + 1) 7) 4x2 – (x – 2)2 = (3x – 2)(x + 2) 8) (2x + 3)2 – 25x2 = (-3)(7x + 3)(x – 1) 9) (x + 6)2 – (x + 4)2 = 4(x + 5) 10) (x – 8)2 – (x – 5)2 = (-3)(2x – 13) 11) (3x + 2)2 – (x – 1)2 = (4x + 1)(2x + 3) 12) (4x – 3)2 – (5x + 2)2 = (-x – 5)(9x – 1) หรือ (4x – 3)2 – (5x + 2)2 = (x + 5)(-9x + 1) 13) 9(x – 7)2 – 100x2 = (-7)(13x – 21)(x + 3) 14) 144x2 – (2x – 3)2 = (14x – 3)(10x + 3) 15) 25x2 – 16(x – 5)2 = (9x – 20)(x + 20) 16) (5x + 3)2 – 121x2 = (-3)(16x + 3)(2x – 1)

16

คําตอบแบบฝกหัด 1.4 ข

1. 1) (x2 – 16x + 64) – x2 = (-16)(x – 4) แนวคิด (x2 – 16x + 64) – x2 = (x – 8)2 – x2

2) y2 – (y2 – 30y + 225) = (2y – 15)(15)แนวคิด y2 – (y2 – 30y + 225) = y2 – (y – 15)2

3) 4a2 – (a2 + 22a + 121) = (3a + 11)(a – 11)แนวคิด 4a2 – (a2 + 22a + 121) = (2a)2 – (a + 11)2

4) (x2 – 34x + 289) – 169x2 = (14x – 17)(-12x – 17)แนวคิด (x2 – 34x + 289) – 169x2 = (x – 17)2 – (13x)2

5) 9(y2 – 20y + 100) – 441y2 = 36(4y – 5)(-3y – 10)แนวคิด 9(y2 – 20y + 100) – 441y2 = 32(y – 10)2 – (21y)2

6) 900a2 – 16(a2 + 40a + 400) = 4(17a + 40)(13a – 40)แนวคิด 900a2 – 16(a2 + 40a + 400) = (30a2) – 42(a + 20)2

7) (2a – 3)2 – (a2 – 18a + 81) = 3(a – 4)(a + 6)แนวคิด (2a – 3)2 – (a2 – 18a + 81) = (2a – 3)2 – (a – 9)2

8) (4t2 – 12t + 9) – (5t + 1)2 = (7t – 2)(-3t – 4)แนวคิด (4t2 – 12t + 9) – (5t + 1)2 = (2t – 3)2 – (5t + 1)2

9) (x2 + 36x + 324) – (9x2 – 90x + 225) = (4x + 3)(-2x + 33)แนวคิด (x2 + 36x + 324) – (9x2 – 90x + 225) = (x + 18)2 – (3x – 15)2

10) (4m2 – 36m + 81) – (16m2 + 56m + 49) = 4(3m – 1)(-m – 1)แนวคิด (4m2 – 36m + 81) – (16m2 + 56m + 49) = (2m – 9)2 – (4m + 7)2

17

2. 11,616 ตารางหนวย แนวคิด วงกลมทั้งสองมีพื้นที่ตางกัน π(89)2 – π(65)2 = π(892 – 652) 3. 126 ตารางหนวย แนวคิด h2 = 132 – x2

h2 = 202 – (21 – x)2

132 – x2 = 202 – (21 – x)2

= 400 – (441 – 42x + x2)169 – x2 = 400 – 441 + 42x – x2

42x = 169 + 41 x = 5 จะได h2 = 132 – 52

h = 12

4. 1,080 ตารางหนวย แนวคิด ให DE = x หนวย จาก ∆ ABD : BD2 = 512 – (38 + x)2

จาก ∆ BDE : BD2 = 252 – x2

252 – x2 = 512 – (38 + x)2

= {51 – (38 + x)}{(51 + 38 + x)} = (51 – 38 – x)(89 + x)

= (13 – x)(89 + x) 625 – x2 = 1157 – 76x – x2

76x = 532 x = 7 จะได BD2 = 252 – 72 = 576 BD = 24 หนวย จะได AD = 38 + 7 = 45 หนวย และ BC = 2 × 24 = 48 หนวย

B D C

h

A

2013

x 21 – x

3851E

A

B CD25

18

คําตอบกิจกรรม “นาทํานะ”

1. 16x2 – 81y2 = (4x + 9y)(4x – 9y) 2. 25t2 – (k + t)2 = (6t + k)(4t – k) 3. (m + 3)2 – (2n + 5)2 = (m + 2n + 8)(m – 2n – 2) 4. (2x – y)2 – (x + 3y)2 = (3x + 2y)(x – 4y) 5. (x – 4y)2 – (3x – 2y)2 = 4(2x – 3y)(-x – y) 6. (x2 – 4xy + 4y2) – (x + 5y)2 = (2x + 3y)(-7y) 7. (2k – t)2 – (4k2 – 12kt + 9t2) = 8k(k – t) แนวคิด (2k – t)2 – (4k2 – 12kt + 9t2) = (2k – t)2 – (2k – 3t)2

8. (16m2 + 40mn + 25n2) – (4n2 – 28mn + 49m2) = (7n – 3m)(3n + 11m) แนวคิด (16m2 + 40mn + 25n2) – (4n2 – 28mn + 49m2) = (4m + 5n)2 – (2n – 7m)2

คําตอบกิจกรรม “คํานวณไดเร็ว”

1. 9972 = 994,009 แนวคิด 9972 = (1,000 – 3)2

2. 2,0152 = 4,060,225 แนวคิด 2,0152 = (2,000 + 15)2

3. 1,0022 – 9992 = 6,003 4. 3,0122 – 3,0082 = 24,080 5. 2,0042 – 1,9962 = 32,000 6. 2,5472 – 4532 = 6,282,000

19

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

20

แบบฝกหัดทบทวน

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใชทบทวนความรูเกี่ยวกับการคูณพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามครูควรใหนักเรียนหาผลลัพธโดยไมใชวิธีตั้งคูณ

จงเขียนผลคูณของพหุนามตอไปนี้เติมในชองวาง 1. (x + 1)(x + 2) = ………………………….. [x2 + 3x + 2] 2. (x + 3)(x – 2) = ………………………….. [x2 + x – 6] 3. (y – 5)(y + 7) = ………………………….. [y2 + 2y – 35] 4. (a – 6)(a – 9) = ………………………….. [a2 – 15a + 54] 5. (2a + 1)(a + 3) = ………………………….. [2a2 + 7a + 3] 6. (3a – 2)(a + 5) = ………………………….. [3a2 + 13a – 10] 7. (7y + 1)(y – 4) = ………………………….. [7y2 – 27y – 4] 8. (4m – 6)(m – 2) = ………………………….. [4m2 – 14m + 12] 9. (2x + 3)(4x + 1) = ………………………….. [8x2 + 14x + 3]10. (3x – 1)(2x + 5) = ………………………….. [6x2 + 13x – 5]11. (3x + 2)(2x – 1) = ………………………….. [6x2 + x – 2]12. (5x – 4)(3x – 5) = ………………………….. [15x2 – 37x + 20]13. (7a + 2)(7a + 3) = ………………………….. [49a2 + 35a + 6]14. (9y – 4)(5y + 6) = ………………………….. [45y2 + 34y – 24]15. (11x – 8)(9x – 10) = ………………………….. [99x2 – 182x + 80]

21

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อเปนแนวทางในการใชส่ือประกอบการสอนแยกตัวประกอบของพหุนาม ใหนักเรียนเห็นการนําพหุนามไปใช

สื่ออุปกรณ กระดาษแข็ง หรือแผนพลาสติกรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีขนาดแตกตางกันดังนี้

แนวการดําเนินกิจกรรม 1. ครูเตรียมกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังตัวแบบขางตนใหมีจํานวนโดยประมาณดังนี้ สีแดง 3 แผน สีฟา 10 แผน สีเหลือง 10 แผน สีแสด 5 แผน 2. ครูแสดงกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉากแตละสีและตกลงความยาวของดานตามรูปขางตนแลวใหนักเรียนบอกพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากแตละรูป ดังนี้

3. ครูกําหนดพหุนามที่ตองการแยกตัวประกอบบนกระดานดํา พรอมทั้งแสดงสื่ออุปกรณตามจํานวนที่ปรากฏในพหุนาม เชน x2 + 3x + 2 ใชกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉากสีแดง 1 แผนสีฟา 3 แผน และสีเหลือง 2 แผน

x

x x

1 1

x1

1

x

x xx21

11x

1

22

นํากระดาษสีทั้ง 6 แผนมาเรียงตอติดกันประกอบเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังนี้

ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่ประกอบไดขางตนซึ่งจะเทากับพหุนามที่กําหนด ใหคือ x2 + 3x + 2 4. ใหนักเรียนบอกความกวางและความยาวของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีพื้นที่เทากับ x2 + 3x + 2พรอมทั้งเขียนความสัมพันธในรูปการแยกตัวประกอบ จะได ความกวาง x + 1 หนวย ความยาว x + 2 หนวย ไดความสัมพันธดังนี้ x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) 5. ครูอาจกําหนดพหุนามที่สามารถแยกตัวประกอบได และใหนักเรียนชวยกันประกอบรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากโดยใชจํานวนรูปสี่เหล่ียมมุมฉากขนาดตาง ๆ ตามที่ปรากฏในพหุนามที่ กําหนดให เชน x2 + 4x + 3 และ x2 + 5x + 6 6. ครูอาจดัดแปลงกิจกรรมนี้โดยทําเปนใบงานใหนักเรียนเติมคําตอบในชองวางคลายกับกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ในคูมือครูสาระการเรียนรูเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ม.2 7. สําหรับพหุนามดีกรีสองที่มีเครื่องหมายลบเชื่อมระหวางพจน เชน x2 – 2x – 3 อาจแสดงโดยใชกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่ครูทําขอตกลงเกี่ยวกับการใชส่ืออุปกรณแสดงความหมายเปนจํานวนบวกและจํานวนลบ ดังนี้ สีแดง 1 แผน แทน x2

สีแสด 1 แผน แทน xสีฟา 3 แผน แตละแผนแทน -xสีเหลือง 2 แผน แตละแผนแทน -1

ครูใหขอตกลงกับนักเรียนวา ถานําแผนกระดาษใดวางทับบนกระดาษสีอีกสีหนึ่งใหถือวาเปนการลบ โดยตกลงใหพื้นที่ของรูปที่วางอยูขางลางเปนตัวตั้งและพื้นที่ของรูปที่วางซอนทับเปนตัวลบเชน

1x 1

11

x

23

จากพหุนาม x2 – 2x – 3 ครูแสดงความสัมพันธโดยใชกระดาษสีทั้ง 7 แผนขางตน นํามาจัดเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่แสดงความสัมพันธระหวางพหุนามกับพื้นที่ เพื่อส่ือความหมายการแยกตัวประกอบแตเนื่องจากมีกระดาษสีเหลือง 3 แผนที่จะนํามาเปนตัวลบ และถานํากระดาษสีเหลือง 3 แผนนี้ไปวางทับบนกระดาษสีแดง ในขณะที่มีกระดาษสีฟาอยู 2 แผน จะไมสามารถตอรูปใหเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก จึงตองเพิ่มกระดาษสีแสดมาประกอบเปนตัวบวกดวย 1 แผน และสามารถประกอบเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉากไดดังนี้

จากแผนภาพแสดงพหุนาม x2 + x – 3x – 3 = x2 – 2x – 3 ซ่ึง x2 – 2x – 3 แทนพื้นที่ของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก (สวนสีแดง) จะได x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3)

ขอสังเกต เมื่อนํากระดาษสีมาเรียงตอติดกัน แสดงวามีการบวกทําใหไดรูปที่ใหญขึ้นและมีพื้นที่ มากขึ้น แตถานํากระดาษสีมาวางทับบนรูปใหญแสดงวามีการลบจะทําใหพื้นที่ของ รูปใหญนอยลง

พ้ืนที่ของสวนสีแดงหมายถึง x2 – x

x2 -x

x

x

x

x + 1

x – 3

x2 + x – 3x – 3

ขั้นที่ 2ขั้นที่ 1

x2

x

x2 + x

24

กิจกรรมเสนอแนะ 1.3

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อเปนแนวทางในการใชส่ือประกอบการสอนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ ใหนักเรียนเห็นการนําพหุนามไปใชในเรื่องของพื้นที่

สื่ออุปกรณ กระดาษแข็งหรือแผนพลาสติกสีรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ที่มีขนาดแตกตางกันดังนี้

แนวการดําเนินกิจกรรม 1. ครูเตรียมกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังตัวแบบขางตนใหมีจํานวนตามจํานวนกลุมของนักเรียน เชน สีแดง 1 แผน สีฟา 2 แผน 1 กลุม สีเหลือง 1 แผน 2. ครูกําหนดพหุนาม a2 + 2ab + b2 บนกระดานดํา พรอมแสดงกระดาษสีแดง 1 แผนสีฟา 2 แผน สีเหลือง 1 แผน ครูกําหนดความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากแตละแผนดังขางตนแลวใหนักเรียนบอกพื้นที่ของแตละรูป 3. ใหนักเรียนนํากระดาษสีทั้งสี่แผนมาเรียงตอติดกันเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ดังรูป

ใหนักเรียนบอกความยาวของแตละดานและพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสขางตน พรอมทั้งบอกความสัมพันธในรูปการแยกตัวประกอบ a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) = (a + b)2

a

a a

b

bb

b

a

b

a

aba2

ab b2

25

4. ครูใหนักเรียนใชแผนกระดาษสีแสดงพหุนามที่ครูกําหนดให อาจใหขอตกลงวา ความยาวb หนวย แทนดวยความยาว 1 หนวย ดังนี้ ใหนักเรียนบอกความสัมพันธในรูปการแยกตัวประกอบ เชน กําหนดพหุนาม a2 + 4a + 4 แสดงดวยภาพดังนี้

จากภาพจะได a2 + 4a + 4 = (a + 2)2

5. ครูกําหนดพหุนาม a2 – 2ab + b2 บนกระดานดํา พรอมแสดงกระดาษสีแดง 1 แผนสีฟา 2 แผน สีเหลือง 1 แผน ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากแตละแผน 6. ครูสาธิตการวางแผนกระดาษสีที่แตกตางจากขอ 3 โดยตกลงกับนักเรียนวา ถาวางแผนกระดาษซอนทับบนรูปใด ใหถือเปนการลบพื้นที่ของรูปนั้นดวยพื้นที่ของรูปที่วางซอนทับบน เชนวางแผนสีฟาทับบนแผนสีแดง แสดงวาพื้นที่ของรูปสีแดง (สวนที่เหลือ) เทากบั a2 – ab

7. ครูนํากระดาษทั้งสี่แผนมาวางดังนี้

วางกระดาษสีฟา 2 แผน ทับบนกระดาษสีแดง และวางกระดาษสีเหลืองตอที่มุม A ของกระดาษสีแดงดังรูป

b

a

a – b

a2 – ab

a

1

a2

1

a + 2

a

1

a

a

a + 2a

11 1

1

b

a – b

a – b

b2

b

b

(a – b)2

A

26

ครูช้ีใหนักเรียนเห็นวาที่มุม A มีกระดาษสีฟาพื้นที่เทากับ ab ซอนทับอยู 2 ช้ิน แสดงวาที่มุม A มีพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่เทากับ b2 ถูกนําไปหักออกจากพื้นที่ของรูปสีแดงสองครั้ง รูปที่ปรากฏจึงมีพื้นที่เทากับ b2 ลบเกินอยู จึงตองบวกพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสีเหลืองที่มีพื้นที่เทากันเขาไปแทน เพื่อทําใหเกิด -b2 + b2 = 0 จากรูปที่ประกอบเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉากนี้จึงมีพื้นที่เปน a2 – 2ab + b2 อาจบอกความสัมพันธ ไดวา

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

8. ครูอาจใหนักเรียนใชแผนกระดาษสีแสดงพหุนามที่ครูกําหนดให และใหนักเรียนนํากระดาษมาประกอบกันเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก เพื่อแสดงความสัมพันธในรูปการแยกตัวประกอบ ดังตัวอยาง กําหนดพหุนาม a2 – 4a + 4

จากภาพจะได a2 – 4a + 4 = (a – 2)2

a–2a – 2

มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาด 1 ตารางหนวยซอนทับอยู 4 รูป

27

กิจกรรมเสนอแนะ 1.4

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อเปนแนวทางในการใชส่ือประกอบการสอนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนผลตาง ใหนักเรียนเห็นการนําพหุนามไปใช

สื่ออุปกรณ กระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 1 แผน

แนวการดําเนินกิจกรรม 1. ใหนักเรียนตัดกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสคนละ 1 แผน กําหนดความยาวตามใจชอบ 2. ตัดกระดาษที่มุมมุมหนึ่งเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส กําหนดความยาวของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่ตัดออกตามใจชอบ ดังรูป

ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของกระดาษที่ตัดมุมแลว จะได a2 – b2

3. ตัดกระดาษตามแนวเสนทแยงมุม ดังรูป

a

a

bb

a

a

bb1

2

28

4. นํากระดาษรูปสี่เหล่ียมคางหมูที่ตัดแลวคือ รูป 1 และรูป 2 และนํามาตอกันเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ดังรูป

ใหนักเรียนบอกพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมผืนผาจากรูปที่ประกอบได จะได (a – b)(a + b) 5. ใหนักเรียนบอกความสัมพันธระหวางพื้นที่ของรูปในขอ 2 และขอ 4 ในรูปการแยกตัวประกอบของพหุนามจะได a2 – b2 = (a – b)(a + b)

a – b

a b

1 2