∫dω=∫αdt ⇒∆ω=αt om α=lindroth/mekanik05/lektion_kap11.pdf · olika radier ) har samma...
TRANSCRIPT
Rotation En stel kropp (rigid body) har oföränderlig storlek och form. Ofta är detta en god approximation.
rotation kring en fix axel (fix relativt kroppen och fix i riktning relativt ett tröghetssystem)
likformig cirkulär rörelse om:
rθ
x
y.)( konst
dttd == θω
accelererad cirkulär rörelse:
dtdωα =
.konstomtdtd ==∆⇒=∫ ∫ ααωαω
Exempel i 2-dim:
2
2
00attvxx ++=
atvv += 0
.konsta =tαωω += 0
.konst=α
2
2
00tt αωθθ ++=
rvrar
22 ==ω rat α=
ra
ta
22raaa
t+=
vinkelacceleration:
rullning utan acc.
perfekt rullning; i punkten p, v = 0
PR
TRvc ωπ==
2Rvvv rcu ω2=+=
0=−= rcd vvvvid acceleration?
viken verkan har friktionen?
( ) 2222 αω rra +=
rotationsenergi och tröghetsmoment
( )∑∑ ==i
ii
i
ii rmvmK22
22 ω
2
21 ωIK = ∑=
iiirmI 2
I= tröghetsmoment kring en given axel
v
m I
ω
partiklar som endast roterar (kring fix axel med vinkelhastighet ω)
rθ
x
y
IkonstIK 1.
21 22 ∝⇒== ωω
I: mått på massans fördelning
parallellaxelteoremet
Acom
skivan roterar kring A
22
22ωcom
comrelcomIvMKKK +=+=
h
( ) 2221 ωω MhIKhv comcom +=⇒=
( )2MhII com +=
2
21 ωIK = ∑=
iiirmI 2
∫= dmrI 2
partikelsystem kropp med utsträckning
Tröghetsmoment
rot. energi
se tex Physics handbook F 1.8
12382
322
222/
0
32/
0
22 MLMLLMxdx
LMxdmrI
LL
=⋅
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫
33
2
0
3
0
22 MLLMxdx
LMxdmrI
LL
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫
242 2
0
4
20
22
00
2 MRrhRMhrdr
VMrddzdmrI
RRh
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫∫∫ π
πφπ
med indragna armar minskar tröghets-momentet och vinkelhastigheten ökar
kinetisk energi vid rullning:
PR
TRvc ωπ==
2Rvvv rcu ω2=+=
0=−= rcd vvv
22
22ωcom
comrelcomIvMKKK +=+=
( )4
32
2/2
222
22 RMMRRMK ωωω =+=rullande hjul
Mgh23
4Rgh
f =ω
rullande hjul
vinkelhastigheten beror av radien
I, för hjul ≈solid skiva
⇒= fKMghenergikonservering:
.3
4,34
2 konstghvRvRgh
ffff ==⇒== ωω
Föremål med samma massfördelning (t. ex. solida cylindrar av olika densitet eller olika radier ) har samma translationshastighet.
MEN en ihålig cylinder (I=MR2) och en solid cylinder (I=MR2/2) tar sig ned för planet på olika tid.
rotationsdynamik
r1 r2
F2F1
F2r2=F1r1
jämvikt dvs. inget vridmoment (eng. torque)
kring A om:A
r1 r2
F2
F1
A
endast kraftkomponenten vinkelrätt mot bjälken
bidrar till vridmomentet
FrFr ⊥==×= θτ sinFrτ
θsinrr =⊥
θ
θθ
αατα IrmFrrmamF iiitiiitiit ===⇒== 2
xrθ itF
ατ I=
analog till F=ma: vridmomentet ger en
vinkelacceleration Tröghetsmomentet är ett
mått på kroppens motstånd mot (rotations)
förändring
1) fix axel position+ riktning
2) fix i riktning och går genom masscentrum
transversellt riktad kraft på partikel i
Specialfall; likformig cirkulär rörelse
generellt!
arbete:
rθ itF
tangentiell kraft; arbete förflyttning i kraftens riktning
θτθ ddrFdsFdW tt ===
vF ⋅==== PjmfrdtdP
dtdW .τωθτ
dtd
ddI
dtdII θ
θωωατ ===
ωωθτ dIddW ==
( )22
2 if
f
i
IdIdWW ωωωωω
ω
−=== ∫∫arbetet resulterar i en
ändring av den kinetiska energin.