ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS

dxt = a(t, xt)dt + b(t, xt)dwt

Interpretacion matematica como ecuacion integral estocastica

xt = xt0 +

∫ t

t0

a(s, xs)ds +

∫ t

t0

b(s, xs)dws

Supuestos:A)Coeficientes de funciones

a, b : [0,T ]xR → R

-continua-condicion de lipschitz

|a(t, x)− a(t, y)| ≤ K |x − y |

|b(t, x)− b(t, y)| ≤ K |x − y |-condicion de crecimiento lineal

|a(t, x)|+ |b(t, x)| ≤ k√

1 + |x |2

B)Valor inicialxt0 , 0 ≤ t0 < T

-no anticipativo-E (x2t0) <∞

Conclusiones:Existe la funcion X : [t0,T ]xΩ→ R, tal que:a) Unica con probabilidad 1b) Xt es no anticipativac) E (x2t0) <∞d) Paso continuo de la muestrae) Proceso de difusion con coeficientes a,b

Demostracion:Metodo de las aproximaciones sucesivas

ESQUEMA ESTOCASTICO DE EULER-SDE dxt = a(t, xt)dt + b(t, xt)dwt , t0 ≤ t ≤ T

-Particion del tiempo t0 < t1 < .... < tn < tn+1 < .... < tN = T-Paso de tiempos ∆n = tn+1 − tn

xtn+1 = xtn +

∫ tn+1

tn

a(s, xs)ds +

∫ tn+1

tn

b(s, xs)dws

-Suponemos Xtn = Yn

Yn+1 = Yn + a(s, xs)

∫ tn+1

tn

ds + b(s, xs)

∫ tn+1

tn

dws

tal que:∫ tn+1

tnds = ∆n = tn+1 − tn∫ tn+1

tndws = ∆Wn = Wtn+1 −Wtn

-Esquema estocastico de Euler

Yn+1 = Yn + a(s, xs)∆n + b(s, xs)∆Wn

consistente con la integral de Ito, n = 0, 1, 2, ....

Para un ruido dado, con paso de la muestra Wt(ω) y valor inicialY0(ω)

∆W0(ω) ∆W1(ω)Y0(ω)−−− > Y1(ω)−−− > Y2(ω)−−− >Ejemplo: Generar la correspondiente muestra de paso de lasecuencia de variables aleatorias Yn, para n = 1, 2, ...(FALTA LA GRAFICA)

-Generacion de incrementos de ruidos

∆Wn = Wtn+1 −Wtn ≈ N(0,∆n)

Ejemplo: ∆Wn = Gn

√∆n, donde Gn ≈ N(0, 1)

-Transformacion de Box-MullerUnyUn independientes, con distribucion uniforme [0, 1]

Gn =√−2 ln (Un) ∗ cos (2πUn)

Gn =√−2 ln (Un) ∗ sin (2πUn)

Por tanto GnyGn son independientes con distribucion N[0, 1]

-Generacion de numeros Pseudo-aleatoriosProporcionar Un independiente uniformemente distribuido en [0, 1]-Generador de congruencia lineal

Xn+1 = aXn + b(modc)

Un = Xn/c ε [0, 1]

Nota:Sucesivos (Un,Un+1) se encuentran en las lineas de pendientea/c en el cuadrado unidad [0, 1]2

(FALTA GRAFICA)Un −− > no perfecta pero buena para muchos fines y reproducible

-Lineal SDEdxt = aXtdt + bXtdwt

-Esquema de Euler

Yn+1 = Yn + aYn∆n + bYn∆Wn

(FALTA GRAFICA)-Solucion exacta

Xt = X0 e(a−1/2b2)t+bWt

La imagen muestra Xτj para τj = j ∗ 2−9

Paso del tiempo mas pequeo

Wτj = Σj−1i=0Vi Vi ≈ N(0; 2−9)

-Para la misma muestra

En el esquema de Euler Wtn = Wτn∗25∆Wn = Σ

(n+1)25−1i=n∗25 Vi

Suma de varianzas indep.

PRECISION Y CONVERGENCIA

Pasos de tiempo iguales ∆n = δ = T/NT

-Solucion exacta XT

-Iteracion de Euler Y δNT

Hacer Y δNT→ XT como δ → 0?

En que sentido?Como de rapido?Hay varios tipos utiles de convergenciaLa eleccion apropiada depende del proposito para el cual serequiere la aproximacion-Aproximacion del paso de la muestra

ε(δ) = E (|Y δNT− XT |)→ 0, Convergencia fuerte

-Aproximacion distribucional

µ1(δ) = |E (Y δNT

)− E (XT )| → 0, Convergencia debil

Ejemplo:µ1 ≤ ε(δ)orden γ de convergencia fuerte ε(δ) ≤ Kδγ

orden β de convergencia debil µ1 ≤ Kδβ

*Normalmente el orden es para errores de discretizacion teorica-Redondeo del error-Error es un numero pseudo-aleatorio-Error de muestreo finito ← Dominante

-Muestreo finito e intervalos de confianzaν = E (Z ) Esperanzaν = 1

LΣLj=1Z (ωj) Promedio aritmetico de la muestra finita

Z (ω1), ...,Z (ωL)Con que precision la variable aleatoria ν estima ν?Cojemos M lotes de N muestras cada unoZ (ωk,j) K = 1, ...,M y j = 1, ...,N-Promedio de los lotesνk = 1

N ΣNj=1Z (ωk,j), aproximadamente gaussiana si N >> 1

-Promedio total

ν =1

MΣMk=1νk =

1

NMΣMk=1ΣN

j=1Z (ωk,j)

-Varianza en cada lote

σ2ν =1

M − 1ΣMk=1(νk − ν)2

-Distribucion t-student t1−α,M−1 con αε(0, 1)M − 1 grados de libertad

∆ν = t1−α,M−1

√σ2νM

-Intervalo de confianza 100(1− α) (ν −∆ν, ν + ∆ν)El intervalo depende de la muestra usada, con

probabilidad menor de 1− αError de muestreo ≈ 1√

M, para ello M >> 1

CONVERGENCIA FUERTE

-SDE lineal dXt = aXtdt + bXtdWt

-Esquema de Euler Yn−1 = Yn + aYn∆n + bYn∆Wn

Pasos iguales ∆n = δ = TNT

-Error fuerte ε(δ) = E (|Y δNT− XT |)

-Estimacion del error

ε(δ) =1

MNΣMk=1ΣN

j=2|Y δNT

(ωk,j)− XT (ωk,j)|

-Solucion exacta XT = X0e(a−1/2b2)T+bWt

(FALTA LA GRAFICA)

(FALTA LA GRAFICA)

Teoricamente para el SDE general del esquema de Euler tieneorden fuerte γ = 0.5Puede ser mejor en casos especiales dXt = aXtdt + bdWt

ruido aditivo ↑Aqui γ = 1

Sin ruido ≈ b = 0*Reducir al esquema determinista de Euler para los ODEs conerror de discretizacion global

|Y δNT− XT | ≤ kδ1

γ = 1

CONVERGENCIA DEBIL

-Error debil µ1(δ) = |E (Y δNT

)− E (XT )|-Estimacion del error

µ1(δ) =1

MNΣMk=1ΣN

j=1|Y δNT

(ωk,j)− XT (ωk,j)|

(FALTA GRAFICA)

-Criterio de convergencia debil

µg (δ) = |E (g(Y δNT

))− E (g(XT ))|

Incluye todos los momentos, g C 0 y con crecimiento polinomial-Orden β de convergencia debil µg (δ) ≤ Kg ∗ δβ

Misma β para todos los gPara un SDE general el esquema estocastico de Euler tiene ordendebil β = 1.0

Esquemas de mayor ordenSDE lineal dXt = aXtdt + bXtdWt

Esquema de Heun

Yn+1 = Yn +1

2(aYn + aΨn)∆n +

1

2(bYn + bΨn)∆Wn

↑ ↑Ψn = Yn + aYn∆n + bYn∆Wn

(FALTA GRAFICA)

-El calculo estocastico es menos fuerte que el calculo determinista,por lo que es necesario tener mas cuidado en los esquemasderivados.-El mayor orden de convergencia requiere mas informacion sobre elcambio de ruido dentro de los subintervalos de discretizacion queestan contenidos en los incrementos de ruidos simples ∆Wn

ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS DESTRATONOVICH

dXt = a(t,Xt)dt + b(t,Xt) dWt , denotaelcalculodestratonovich

Xt = Xt0 +

∫ t

t0

a(s, xs)ds +

∫ t

t0

b(s, xs) dws︸ ︷︷ ︸Integralestocasticadestratonovich

(Evaluado en el punto medio de (tn, tn+1))Generalmente las SDEs de Ito y Stratonovich con los mismocoeficientes no tienen las mismas soluciones.Ito: dXt = aXtdt + bXtdWt Xt = X0e

(a−1/2b2)t+bWt

Stratonovich: dXt = aXtdt + bXt dWt

Xt = X0eat+bWt

Correccion a(t, x) = a(t, x)− 12b(t, x)∂b∂x (t, x)

Con la correccion las SDEs de Ito y Stratonovich tienen la mismasolucion.

-SDEs equivalentes

dXt = aXtdt + bXtdWt , Ito

dXt = aXtdt + bXt dWt ,Stratonovich

-Ejemplo

a(t, x) = ax , b(t, x) = bx , a(t, x) = (a− 12b

2)xIto : dXt = aXtdt + bXtdWt

Stratonovich : dXt = (a− 12b

2)Xtdt + bXt dWt

Lo cual implica:Xt = X0e

(a−1/2b2)t+bWt

-Calculo estocastico de StratonovichMisma regla de la cadena como calculo determinista, entoncespodemos resolver SDEs de Stratonovich por los mismos metodosque para las ODEs deterministasdXt = aXtdt + bXt dWtdXX = adt + dWt

lnXtX0

=∫ Xt

X0

dXX =

∫ t0 ads +

∫ t0 bdWs = at + bWt

⇒ Xt = X0eat+bWt

NOTA: El calculo de Stratonovich NO tiene el mismo enlacedirecto a la teoria del proceso de difusision o a la teoria de lamartingala como el calculo de Ito.(Estas demostraciones matematicas son muy duras)Los calculos de Ito y de Stratonovich son ambos matematicamentecorrectos.(Es facil pasar de uno a otro usando la correccion vista antes)