Un percorso tra matematica, filosofia e fisica:

“Achille, la tartaruga

e le progressioni geometriche”

Zenone e gli argomenti contro il movimento:il paradosso di Achille e la tartaruga

Secondo Parmenide e la scuola eleatica (V sec. a.C.) uno degli attributi dell’essere è l’immobilità, l’assenza di movimento,

perché se l’essere si muovesse implicherebbe il non essere, in quanto nel moto si troverebbe in una serie di stati

o situazioni in cui prima non era.

Zenone, allievo e amico di Parmenide, utilizzò il metodo dialettico contro la realtà del movimento attraverso quattro celebri paradossi.

Ecco come Aristotele (IV sec. a.C.) descrive il paradosso di Achille:

“Quattro sono i ragionamenti di Zenone intorno al movimento, i quali mettono di cattivo umore quelli che tentano di risolverli. …..

Il secondo è il cosiddetto “Achille”: questo intende provare che il più lento, correndo, non sarà mai oltrepassato dal più veloce: infatti,

necessariamente, l’inseguitore dovrebbe giungere prima là dove il fuggitivo è balzato in avanti; sicché necessariamente il più lento

conserva una certa precedenza.” (Aristotele, Fisica, VI)

Aristotele eil paradosso di Achille e la tartaruga

La tesi è che, posta l’infinita divisibilità dello spazio, Achille non raggiungerà mai la tartaruga poiché, dovendo superare infiniti

spazi dovrà impiegare un tempo infinito.

Aristotele cercherà di risolvere il problema distinguendo tra piano reale (dove esiste il finito e l’infinito è solo potenziale, inteso come la possibilità mentale di aumentare indefinitamente una qualsiasi quantità data) e piano del pensiero (dove esiste l’infinito come tale, l’infinito in atto). Infatti conclude così la precedente citazione:

“Ma in realtà, è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto; ma tuttavia esso viene raggiunto, purché si ammetta che viene percorsa una distanza finita”.

Proviamo ad analizzare il problema da un punto di vista matematico. La matematica permette di risolvere il paradosso di Zenone andando oltre la soluzione aristotelica e valutando i significati che può assumere la somma di infiniti termini: infatti l’analisi infinitesimale studia l’infinito come concetto matematico e dimostra che, sotto alcune condizioni, la somma di infiniti termini può dare un risultato finito.

Impostazione matematica del paradosso di Achille e la tartaruga

Costruiamo un modello matematico per studiare il paradosso e consideriamo un opportuno sistema di riferimento

(costituito da un asse di coordinate e da un cronometro) in grado di stabilire la posizione di Achille e della tartaruga al variare del tempo.

Sia inoltre s0 = 0m la posizione iniziale di Achille ed s1 = 1m la posizione iniziale della tartaruga.

Achille Tartaruga|| s0=0m s1=1m

Consideriamo il caso in cui la velocità della tartaruga sia 1/100 di quella di Achille e indichiamo questo rapporto con q=1/100: per esempio v(Achille)= 1 m/s e v(tartaruga)= 1/100 m/s .

Analizziamo nel seguente schema le varie posizioni di Achille e la tartaruga al variare del tempo: in particolare consideriamo la posizione della tartaruga ogni qualvolta Achille raggiunge la sua precedente posizione.

Analisi numerica deil paradosso di Achille e la tartaruga

La progressione geometrica nel paradosso di Achille e la tartaruga

Lo spazio percorso dalla tartaruga al variare del tempo (III colonna) costituisce una progressione geometrica an

poiché è una successione in cui il rapporto tra ciascun termine e il precedente è uguale alla ragione q = 1/100.

La posizione assunta dalla tartaruga al variare del tempo (V colonna)

costituisce pertanto la somma dei primi n termini consecutivi di una progressione geometrica. E’ questo lo spazio che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga. Per averne una valutazione possiamo ricorrere al teorema della somma dei primi n termini di una progressione geometrica

L’infinito matematico nel paradosso di Achille e la tartaruga

Adesso compiamo il passaggio matematico che ci permetterà di risolvere il paradosso: consideriamo la somma sn dei termini della progressione al crescere di n, al tendere di n all’infinito.

Osserviamo che se q < 1 il termine qn che compare nella precedente formula al crescere di n diventa sempre più

piccolo, quasi insignificante (...pensate 1/1001000): l’analisi matematica ci garantisce che se n tende a infinito allora qn tende a zero e pertanto la precedente formula diventa

Pertanto se q < 1 la somma degli infiniti termini della progressione da un risultato finito.

La soluzione matematicadel paradosso di Achille e la tartaruga

Possiamo adesso risolvere il paradosso di Zenone: la distanza che Achille deve percorrere per raggiungere la tartaruga è costituita da infinite parti an ma è una distanza finita. Nel nostro caso essendo a1=1 e q=1/100 la precedente formula ci permette di calcolare

che è poco più di un metro !!!!!

Possiamo così concludere che Achille raggiunge la tartaruga dopo

un brevissimo spazio dal quale era partita. Come ci aspettavamo nella realtà.

La soluzione fisicadel paradosso di Achille e la tartaruga

• Esercizio: risolvere il problema confrontando

le leggi del moto della Tartaruga

con quella di Achille

e ricavando la stessa soluzione dell’analisi matematica.

• Esercizio: rappresentare nel piano (t,s) le due leggi del moto e verificare graficamente la soluzione trovata.