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ACERCAMIENTO A LA ETNOMATEMÁTICA
Un Trabajo presentado
por
ALDO IVÁN PARRA SÁNCHEZ
Directora: MYRIAM ACEVEDO CAICEDO .
Remitido a la Facultad de Ciencias de la
Universidad Nacional de Colombia como requisito
para optar al título de:
MATEMÁTICO
Noviembre de 2003
Departamento de Matemáticas
ACERCAMIENTO A LA ETNOMATEMÁTICA
Trabajo presentado
por
ALDO IVÁN PARRA SÁNCHEZ
Aprobada por:
Myriam Acevedo Caicedo , Directora
Jurado número uno, Primer Evaluador
Jurado número dos, Segundo Evaluador
AGRADECIMIENTOS
A Raquel, la preci-osa mujer que amo.
A Magda, infaltable compañera (El rocinante de este jumento).
A Myriam Acevedo, por su invaluable apoyo y con�anza. Maestra ejemplar en todo aspecto, que cuidó
de mis sueños en todo momento. In�nitas gracias a ella, a Alonso Takahashi y a Alberto Campos
por mostrarme el lado oculto de la luna.
Gracias a Efrén, Hector, Carlos, Stella, Jaime, amigos que me dieron su sonrisa en momentos precisos
de la carrera. A Natalia Caicedo, Maria Emilia Montes, al gigante Antero León Macedo y a la
comunidad y los maestros de Macedonia, por la colaboración prestada para el desarrollo de este
trabajo, gracias por abrir las puertas de su casas y de su corazón.
Al teatro.
v
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo revisa el concepto de etnomatemática, estudiando su reciente aparición como
campo de investigación interdisciplinario, relacionado con la educación matemática, la antropología
y la epistemología e historia de las matemáticas. El capítulo 1 está dedicado a estudiar referentes
investigativos de la etnomatemática, a nivel teórico y práctico. A la par de la revisión teórica, se
describe en él una experiencia de campo, con dos objetivos principales necesariamente relacionados:
a)Estudiar y comprender los aportes educativos de la etnomatemática en una práctica concreta dentro
de una escuela indígena ubicada en el resguardo de Macedonia, del departamento del Amazonas. b)
En la misma comunidad, realizar un estudio de prácticas consideradas como matemáticas (dentro
del esquema teórico adoptado).
El capitulo 2 da cuenta de cómo se trabajó para alcanzar el segundo objetivo, intentando describir
cuatro prácticas principales realizadas dentro del resguardo de Macedonia(contar, medir, explicar y
diseñar), que está compuesto en su mayoría por indígenas de la etnia Ticuna. Por las caracteristicas
de la comunidad, en el análisis se privilegió el aspecto del diseño, utilizando el esquema de algoritmos
para describir algunos elementos encontrados.
El primer objetivo planteado se alcanzó a través de un proceso de acompañamiento docente, solic-
itado por la misma comunidad; para él se contó con el apoyo institucional de la Sede Leticia de la
Universidad Nacional de Colombia. La caracterización que se realizó de la institución educativa en
la que se trabajó se presenta en el capítulo 3.
vi
Se debe recordar que en la invitación se solicitó la presencia de dos pasantes para realizar el acom-
pañamiento, por lo que el Departamento de Matemáticas envió a quien esto escribe en compañía
de la estudiante de matemáticas Magda Liliana González, junto a ella se realizó el trabajo con los
docentes, compartiendo responsabilidades y tareas de diversa índole, es por ello que en el análisis
del proceso con los docentes (capítulo 4), se usa el plural de la primera persona, intentando dejar
constancia de su fundamental aporte.
Las consideraciones �nales son consignadas en el capítulo 5. Tópicos relativos al aspecto curricular
y a la problemática de la educación para grupos étnicos, se incluyen como anexos (Apéndice A y B),
también los documentos resultantes del proceso de acompañamiento se anexan en el Apéndice C .
Se incluye en un disco compacto el registro fotográ�co de los tejidos artesanales ticuna seleccionados
para el estudio.
vii
TABLA DE CONTENIDOS
Página
AGRADECIMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
CAPÍTULO
1. MARCO TEÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Etnomatemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Relación Etnomatemática- Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2. Relación Etnomatemática- Educación Matemática . . . . . . . . . . . . 111.1.3. Prácticas �Universales� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Transmisión cultural, Enculturación y Enculturación Matemática. . . . . . . . 271.3. Modelos de educación para grupos culturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2. LAS PRÁCTICAS �UNIVERSALES� EN LA COMUNIDAD DE MACEDONIA. . . 422.1. Contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2. Explicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3. Medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4. Diseñar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1. Tipos de Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.2. Estructuras de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.4.3. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.4. Pseudo-códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3. CARACTERIZACIÓN DE LA COMUNIDAD EDUCATIVA . . . . . . . . . . . . . 773.1. Dimensión Institucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2. Características del PEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4. EL PROCESO DE ACOMPAÑAMIENTO A LOS DOCENTES . . . . . . . . . . . . 984.1. Re�exiones e inquietudes sobre el proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5. CONSIDERACIONES FINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
APÉNDICE
A. Currículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114A.1. Conceptualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
viii
A.2. Orientaciones Currículares en matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118A.3. Etnoeducación y currículo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B. Marco Legal de la Etnoeducación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125C. Plan de estudios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.1. Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129C.1.1.Pensamiento Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129C.1.2.Pensamiento Geométrico y Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132C.1.3.Pensamiento Métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134C.1.4.Pensamiento Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C.2. Bachillerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137C.2.1.Pensamiento Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137C.2.2.Pensamiento Geométrico y Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138C.2.3.Pensamiento Métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.2.4.Pensamiento Aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.5.Pensamiento Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
ix
C A P Í T U L O 1
MARCO TEÓRICO
1.1. Etnomatemática
El concepto fundamental de este trabajo es el de etnomatemática. Lo analizaremos teniendo en cuenta
las diversas concepciones que respecto a su naturaleza, implicaciones y límites, han sido formuladas
por distintos académicos desde la educación, la sicología, la antropología, la epistemología y desde
luego desde las matemáticas. Comenzaremos revisando sus antecedentes, que inician en el año de
1978. Luego haremos una descripción de la evolución del concepto y de las características comunes
encontradas en los distintos trabajos realizados, para complementar discutiremos las relaciones entre
etnomatemática, matemática y educación matemática
Antecedentes
En el siglo XX sucedieron varios hechos que permiten explicar el nacimiento del concepto de etno-
matemática. Después de la segunda guerra mundial, se generó un especial interés por promulgar y
defender los derechos civiles y políticos de grupos étnicos y minoritarios, y se abrió el debate so-
bre la equidad de géneros. La posguerra también propició una revisión del modelo de desarrollo,
que hasta ese momento permanecía libre de cuestionamientos. Esto motivó la discusión de modelos
alternativos provenientes de culturas distintas a la europea y norteamericana. Las críticas sobre el
papel de la ciencia y las instituciones en el bienestar de los seres humanos y la conservación del
medio ambiente requerían indagaciones sobre los conocimientos propios de culturas �alternativas� o
1
�re-descubiertas�, y esto dio origen a nuevas disciplinas como la etno-botánica, etno-�losofía, etno-
musicología, etno-medicina, etc. que requieren la convergencia de campos como la antropología, la
etnografía, la historia, y las mismas disciplinas clásicas, con�gurándose en esta forma una aproxi-
mación interdisciplinaria. Este tipo de estudios no permeó a disciplinas como la matemática, ya que
esta se asumía como �universal� y se aceptaba implícitamente una única manera de desarrollarla, por
lo que los estudios etnográ�cos que documentaban aspectos relacionados con la matemática propia
de una cultura determinada (p.e. la numeración maya, el quipu, los dibujos africanos en arena) eran
reducidos a simple curiosidad, por no encontrar un respaldo teórico.
De otra parte, es importante mencionar que en las últimas décadas del siglo XX se plantea una
reconceptualización de la educación desde corrientes constructivistas, que empiezan a resaltar la
importancia del ambiente sociocultural en el que se desenvuelven los estudiantes para el aprendizaje,
reconociendo a su vez la importancia e in�uencia que tiene la educación para la con�guración de
dichos ambientes sociales. Las propuestas de Paulo Freire por ejemplo, ubican a la escuela como un
instrumento emancipatorio. Particularmente desde la educación matemática, en la discusión sobre el
problema de la naturaleza y transmisión del conocimiento matemático en la escuela, se cuestiona la
existencia de un único conocimiento y de una única forma de aprehenderlo.
La misma matemática aporta al surgimiento de la etnomatemática, pues la crisis de los fundamentos
a principios del siglo XX conlleva una cierta relativización del conocimiento matemático, por lo que
hay una búsqueda de nuevos y más generales marcos epistemológicos que den explicaciones acerca
de la naturaleza del conocimiento matemático.
Hacia una concepción uni�cada
La primera de�nición de etnomatemática la da Ubiratan D'Ambrosio como �el estudio de los pro-
cesos matemáticos, símbolos, jergas, mitologías, modelos de razonamiento, practicados por grupos
culturales identi�cados�. Él mismo intenta también dar una aproximación etimológica al término.
Etnomatemática es �el arte o técnica (tica) de explicar, entender y desempeñarse en una realidad
2
(matema), dentro de un contexto cultural propio (etno). Esto implica una conceptualización más am-
plia de la matemática, que incluye no solo contar, hacer aritmética y medir, sino también clasi�car,
ordenar, inferir y modelar.� [69]
Aunque acerca del concepto no existe un claro acuerdo en la comunidad, esta es la de�nición más
ampliamente difundida, estudiada y criticada. Ha sido interpretada y matizada por otros autores,
como Ascher, Meira, Knijnik, Borba, Carraher y Bishop (No revisaremos todas las re-de�niciones del
término dadas por estos autores, porque algunas di�eren sutilmente de la ya dada, pero sí veremos
las implicaciones de algunas de estas interpretaciones). Un recuento más preciso sobre la evolución
del mismo término se puede encontrar en [29].
En una primera aproximación, Marcia Ascher la concibe como �estudio serio de las ideas matemáticas
de pueblos no-letrados (no alfabetizados)�, para Hunting es �la matemática usada por un grupo
cultural de�nido para lidiar con problemas y actividades de su medio�. [68].
D'Ambrosio en [70] aclara que `etno' involucra �grupos culturales identi�cables, como sociedades
nacionales-indígenas (tribus), grupos sindicales, niños de ciertos rangos de edades, sectores profesion-
ales, etc�. Esto implica �considerar la etnomatemática de los albañiles, la de los ingenieros, la de los
niños vendedores callejeros, incluso la de los matemáticos profesionales� [71]. Es decir, la matemática
construida por Hilbert, Godel, Poincaré y muchos más, no sería sino otra de las múltiples etno-
matemáticas, planteadas por D'Ambrosio. La reacción ante semejante a�rmación será relatada más
adelante en la relación �Etnomatemática-Matemática�
Para Borba la etnomatemática puede ser vista como un campo de conocimiento intrínsecamente
ligado a los grupos culturales y a sus intereses, siendo expresado por un lenguaje también ligado a la
cultura del grupo, lenguaje que es usualmente diferente al usado por la matemática como ciencia .
Knijnik plantea una �consideración etnomatemática� en la educación matemática, para referirse a
las investigaciones sobre concepciones, tradiciones y prácticas matemáticas de un grupo social sub-
ordinado y al trabajo pedagógico que se desarrolla en la perspectiva de que el grupo interprete y
codi�que su conocimiento, adquiera el conocimiento producido por la matemática académica, y cuan-
3
do se afronten situaciones reales, haga uso de aquel que le parezca más adecuado [35]. Esta es otra
relación a estudiar: �Etnomatemática- Educación Matemática�
Aunque Carraher no lo hace explícitamente, sigue un programa etnomatemático para describir el
comportamiento de comunidades no escolarizadas que hacen uso de elementos matemáticos, como el
sistema de numeración, las operaciones aritméticas escritas y orales, que son elementos propios de
las comunidades escolarizadas en la forma �usual�. Dentro de esta perspectiva se inscribe Isabel Soto,
al estudiar en campesinos chilenos el uso de la proporcionalidad. Sería tanto un estudio comparativo
de la matemática entre distintas comunidades de la misma sociedad, como la actividad matemática
relacionada con la práctica diaria fuera de los espacios académicos.
D'Ambrosio generaliza su propuesta, de�niendo la etnomatemática como un programa de investi-
gación en epistemología e historia, enfocado en las ciencias y las matemáticas, con naturales impli-
caciones para la educación. Entre los �nes de este programa, está la investigación sobre generación,
transmisión y difusión del conocimiento en diversos grupos culturales. (El conocimiento entendido
como las maneras en que los seres humanos perciben y se ocupan de sus necesidades básicas de
supervivencia y trascendencia en su propio ambiente).
En esta de�nición están presentes dos de los intereses fundamentales de la etnomatemática, la episte-
mología y la historia de las matemáticas, que deben enriquecerse para responder a preguntas como:
¾Qué actividades pueden considerarse como matemáticas? ¾Cuál es la naturaleza del conocimiento
matemático? ¾Cómo se da su desarrollo? ¾Cuáles son las matemáticas de una cultura? ¾Dónde se
mani�estan? Desde perspectivas culturales, estos interrogantes no podrían ser resueltos exclusiva-
mente dentro del campo de trabajo de la disciplina matemática, sino desde la etnomatemática, ya
que en ella, como en toda etnociencia, con�uyen múltiples disciplinas que permiten un estudio de
la tradición oral, el arte, y de cuanta expresión nos brinde evidencias o indicios de pensamiento
matemático. Naturalmente la historia de la matemática �gana gran amplitud porque el concepto de
fuente tiene que ser cambiado y ampli�cado, y la cronología tiene que ser enteramente revisada, para
dar cuenta de desarrollos que siguen diferentes, y en muchos casos inconexos, caminos� [12].
4
El panorama de la etnomatemática es amplio, ya que como en toda disciplina del conocimiento, cada
estudioso tiene su propia de�nición y actúa según ella, generando trabajos con distintos objetivos y
perspectivas, que responden a la misma motivación: etnomatemática.
Algunas características comunes se pueden identi�car en las variadas concepciones de etnomatemática
y en los trabajos de investigación en este campo, una de ellas es el reconocer que la matemática
es una actividad humana que pertenece a la cultura, y que así como diferentes culturas tienen
distintas estructuras sociales y lenguajes, tienen distintas matemáticas, y como enfrentan distintos
problemas en sus particulares entornos, generan distintas soluciones a los mismos. Cada matemática
se desarrolla en unas condiciones económicas, sociales y culturales especi�cas, por lo que no podemos
considerar una evolución unilineal de las matemáticas. Esto parece ir en contra de la creencia general,
ampliamente difundida entre la sociedad �occidental� de que la matemática se ocupa de universales,
independientemente del tiempo, de los valores y de la cultura. La matemática es vista por muchos
como el paradigma de lo formal, de lo estructural, de laabstracción y si se contrasta con la cultura
(lo histórico, dinámico, relativo, intuitivo, etc), parecería que son antagónicas. La etnomatemática
emerge en contra de esta percepción de antagonismo, intentando develar las conexiones profundas
entre matemática y cultura, haciendo ver lo particular y especí�co de las manifestaciones matemáticas
(incluidas las profesionales) así como los aspectos invariantes en las culturas. Es de resaltar que en
dichas conexiones �no se trata de hacer un énfasis en curiosidades o anécdotas sobre números y
�guras de otras culturas. Salvo que esté situada en un amplio escenario cultural , esta aproximación
a la etnomatemática es propensa a reforzar el euro-centrismo� [29].
Otra de las características comunes en los trabajos etnomatemáticos, es el énfasis y análisis de la
in�uencia de los factores socioculturales en la enseñanza , aprendizaje y desarrollo de las matemáti-
cas, es por esto que frecuentemente la etnomatemática se liga a corrientes constructivistas o de
investigación�acción en educación, por ejemplo en [10].
Gran parte de las investigaciones etnomatemáticas contribuyen además al conocimiento de las matemáti-
cas de culturas (africanas y latinoamericanas) que no se habían considerado en el desarrollo de la
5
matemática �profesional�. Se buscan elementos culturales que hayan sobrevivido al colonialismo y
que revelen pensamiento matemático o cientí�co. Al respecto, podemos citar investigaciones como
[33], [37], [72]. En los países del tercer mundo hay actualmente un interés por explorar maneras de
incorporar al currículo investigaciones de este tipo, por ejemplo [3],[73], [14], [1], [54], y de realizar
una búsqueda de prácticas y formas de pensamiento matemático en grupos sociales identi�cados
dentro de una sociedad, p. e. campesinos (Soto), niños vendedores callejeros, pescadores, albañiles
(Carraher); estos últimos estudios son de carácter urbano, por lo que el componente étnico y lingüís-
tico no es tan relevante como en el primer tipo de investigaciones.
Una de las posturas más de�nidas (y criticadas) en las investigaciones de la etnomatemática, es la que
reconoce y reasigna una función social y política a la matemática. Al procurar relacionar el entorno
sociocultural del estudiante con el aprendizaje, la etnomatemática entra a considerar aspectos socioló-
gicos de la matemática, encontrándose con dos escenarios, por una parte se hace visible el proceso de
dominación cultural al que han sido sometidos los países del tercer mundo y que conlleva la imposición
de ideologías y modelos de desarrollo en los que las matemáticas han jugado y juegan un papel
importante. Por otra parte, las matemáticas pueden contribuir a develar y explicar fenómenos sociales
y políticos, por ello en la escogencia de contextos y situaciones problemáticas para la enseñanza
escolar, (según el enfoque etnomatemático) se deben privilegiar aquellos que se ocupen de problemas
�reales�, por ejemplo las jornadas electorales y la teoría de la votación [9], el estudio del mercado
inmobiliario de la ciudad [35], estado de las instituciones de un pueblo [3]. En los dos escenarios
mencionados existe la idea de asignarle a la matemática (y por extensión a la educación matemática)
responsabilidades sociales [60]. Por esta postura la etnomatemática ha alcanzado gran importancia,
adquiriendo muchos adeptos y muchos críticos. En resumen, se considera que la matemática no es
políticamente neutral, ya que históricamente ha servido a la cultura occidental como instrumento
para dominar (política, económica, social, psicológica, etc) y de alienar culturalmente [1], pero que la
matemática también puede ser utilizada en la lucha contra esa misma dominación (cosa que vuelve
6
a negar la neutralidad), al reconocerse que las matemáticas no son exclusivas de una élite, sino que
pertenecen a todos los seres humanos. Esto ubica a la etnomatemática cerca de las corrientes de la
investigación-acción participativa, y en especial de las ya mencionadas concepciones de Paulo Freire,
sobre una escuela emancipatoria, anti-opresiva, que reconozca la actividad intelectual de aquellos que
no poseen poder político. Por ejemplo, para [54], el estudio del algoritmo usado por los Mayas para
la adición puede ser usado por el profesor para �propender por actitudes multiculturales y ayudar a
que los estudiantes con ascendencia Maya, se sientan orgullosos de su propia cultura�.
Las criticas a la negación de la neutralidad política de las matemáticas no se han hecho esperar,
principalmente por una razón, el hecho de que las matemáticas sean y hayan sido utilizadas por
distintos imperios para prolongar su dominación, no implica que las matemáticas en si mismas sean
opresoras. La responsabilidad de los funestos resultados sociales y ambientales (por mencionar sólo
dos) de la humanidad no puede ser achacada a la matemática, sino a quienes hacen uso de ella
con unos �nes e intereses especí�cos (con los cuchillos se puede asesinar, y también partir un pastel
de cumpleaños). También surgen dudas sobre los planteamientos que conciben la enseñanza �como
una actividad subversiva� [30]. Esta discusión se ampliará un poco más en el apartado dedicado a la
relación etnomatemática � matemática. De cualquier manera la intención social de la etnomatemática
es claramente de�nida, citamos a D'Ambrosio �el �nal y más amplio objetivo de nuestra acción debe
ser aportar para lograr una conducta ética y alcanzar la paz en sus distintas dimensiones, paz interior,
paz social , paz ambiental y paz militar. Creo que la etnomatemática contribuye a eso� [12].
Otra de las tensiones principales de la etnomatemática es la relación entre lo universal y lo particular,
si bien las manifestaciones matemáticas de grupos identi�cados son bastante especi�cas, irrepetibles y
desarrolladas por un espacio tiempo concreto. Son manifestaciones que responden a unas necesidades
que sí son invariantes y se consideran universales.
Consideremos una situación salida un poco de las matemáticas, todos los grupos humanos han visto
el sol, la noche, la luna, etc. y han generado sus propias y especi�cas explicaciones sobre ellos,
ver la luna es un invariante, es universal para los seres humanos. Existen muchas actividades y
7
prácticas que responden al mismo principio: Contar, medir, localizar, explicar, diseñar, representar,
jugar, preparar alimentos, comunicarse. Algunas de ellas han sido identi�cadas en diversos trabajos
como generadoras del pensamiento matemático [35][14] [69] [15] siendo el trabajo de Alan Bishop
[1] el que más importancia ha adquirido dentro del campo de estudios sobre matemática y cultura,
constituyéndose en una de las piedras angulares de la etnomatemática. En dicho trabajo se hace un
estudio de seis prácticas (jugar, contar, explicar, diseñar, localizar y medir), a partir de la cuales se
articula una propuesta de enculturación. Una de las principales líneas de trabajo de la etnomatemática
es el estudio de las maneras en que distintos grupos étnicos, culturales o sociales realizan las prácticas
mencionadas. Como el presente trabajo pretende inscribirse en esta última línea de investigación de
la etnomatemática se hace necesario dar unos referentes teóricos sobre dichas prácticas, y para ello
destinamos una de las secciones siguientes.
Aunque hemos identi�cado algunas características y líneas de trabajo comunes dentro de la etno-
matemática, podemos ver que es un campo de estudio bastante amplio y que abarca trabajos de
muy diversa índole y procedencia, que comparten el interés por estudiar múltiples relaciones en-
tre matemática y cultura. Ron Eglash en [38], considera a la etnomatemática como parte de la
antropología de las matemáticas1, esta última puede entenderse como el conjunto de estudios hechos
desde la antropología sobre aspectos matemáticos en alguna cultura especí�ca, y sobre la matemáti-
ca misma. Para el presente trabajo, ubicamos a la etnomatemática en el camino que conecta a
la matemática y a la antropología, es decir, da cuenta no sólo de los aportes que pueda dar la
antropología en la disciplina matemática (como en los estudios etnomatemáticos mencionados ante-
riormente), sino también de los aportes de la matemática en estudios antropológicos, como en el caso
de [23] y de [51].
Finalizamos esta sección dedicada al concepto de etnomatemática con una cita de Paulus Gerdes:
�La investigación en etnomatemática obliga a reconsiderar la historia de las matemáticas, los mo-
delos cognitivos del aprendizaje matemático, los objetivos, contenidos y signi�cados de la educación
1Anteriormente D'Ambrosio había dado los términos por sinónimos en [69].
8
matemática, (obliga) a reconsiderar el rol cultural de la matemática , a reconsiderar toda la matemáti-
ca� [14]
1.1.1. Relación Etnomatemática- Matemática
En este apartado nos ocuparemos de la relación entre etnomatemática y matemática, entendida esta
última como la disciplina académica, formal y profesional, que en muchos artículos etnomatemáticos
se llama matemática �occidental� y que por abreviatura llamaremos simplemente Matemática.
Según Borba �en un enfoque etnomatemático, la matemática académica es sólo una entre muchas
matemáticas. La matemática producida en la academia es también �ethno� porque también es pro-
ducida en un contexto �academia�con sus propios valores, rituales y códigos especiales, de la misma
manera que otras {etno}matemáticas.�(www.ex.ac.uk/ PErnest/pome/pome6.htm)
Como vimos en la seccion anterior, la matemática es cali�cada desde la etnomatemática como �un
instrumento de opresión�, con el que la cultura occidental ha impuesto (muchas veces por la fuerza) su
cosmovisión en gran parte del planeta. Uno de los pilares claves de esta cosmovisión es el racionalismo,
que encuentra en la Matemática su paradigma.
A partir de registros históricos encontrados, la etnomatemática asegura que desde la época griega el
racionalismo ha sido usado como instrumento de dominación, por ello hace una crítica a la visión
imperante del pensamiento griego como único tipo de racionalidad posible, no sólo porque existen
otros tipos de racionalidad, sino porque, según D'Ambrosio en [69], crea una distinción entre la
Matemática y las matemáticas practicadas por grupos culturales identi�cables, estas últimas que no
�responden al concepto de rigor y formalismo de las matemáticas académicas� Las matemáticas desde
los griegos (y según D'Ambrosio a causa de ellos) han sido reservadas para una �elite selecta�, que
actualmente �es europea, blanca y masculina�2, y que se dice poseedora del verdadero conocimiento,
en desmedro de otras formas de este, como los desarrollos matemáticos de Egipto, Mesopotamia,
China y América precolombina. Se considera entonces que las matemáticas griegas y el racionalismo
2Rowlands y Carson preguntan ¾Actualmente quién suscribe esa a�rmación?.
9
son intrínsecamente opresivos y eurocentristas, por lo que una lucha (política) contra la opresión,
debe contemplar una lucha (epistemológica) contra el racionalismo.
Rowlands y Carson plantean una contradicción en el discurso etnomatemático, por una parte se
objeta la herencia griega porque desconoce otras formas de conocimiento, pero en algunos estudios
etnomatemáticos se reconocen antecedentes de culturas como la egipcia y la babilónica en la propia
matemática griega ([74],[75]), por lo que entonces el legado griego incluiría parte de esos desarrollos
supuestamente olvidados.
Si bien es cierto que la Matemática, como lo dice Borba, es una forma de etnomatemática, no es cierto
que sea una entre muchas y con el mismo valor. No puede ser así, ya que es producto del intercambio
entre muchas culturas a lo largo de la historia. Rowlands y Carson anotan �el mundo ha adoptado las
convenciones Matemáticas por la misma razón que lo hizo occidente, porque han sido examinadas,
probadas y re�nadas con el crisol de la experiencia práctica, que no se entrega a la pasión o a la
persuasión ideológica�
Aunque se acepta el interés de la etnomatemática por reconocer que las distintas prácticas de cada
cultura son realizadas con un grado de intencionalidad y conciencia3, es decir obedecen a un pen-
samiento matemático, estas prácticas están inmersas dentro de un entramado mítico propio en el que
no se puede reconocer claramente una re�exión sobre el conocimiento matemático y su estructura;
este carácter de �abstracción� nos viene dado por los griegos y su estudio de la geometría, realizado
con el ánimo de inferir y no sólo como el desarrollo desde necesidades prácticas de hacer frente a
una situación cotidiana, este hecho no es advertido por D'Ambrosio en [60]. Aclaramos que no esta-
mos diciendo que culturas no-occidentales carecieran de este carácter, sino que sólo tenemos pruebas
provenientes de los griegos4.
Finalmente hay que hacer dos precisiones, el estudio crítico que realizan Rowlands y Carson se
re�ere exclusivamente a los usos de la etnomatemática en la enseñanza de las matemáticas, es decir,
3p. e. los dibujos en arena de la isla Malekula documentados por Ascher.4Se puede argumentar que la historia siempre ha sido contada por los vencedores, pero el punto es la existencia de
re�exión epistemológica matemática.
10
no habla (por lo menos explícitamente) de la etnomatemática como programa de investigación en
epistemología e historia. Es más, no niega su pertinencia y reconoce que ha introducido sensibilidad
cultural y respeto por las diferencias culturales.
De otra parte, los propios Ubiratan D'Ambrosio y Marcia Ascher niegan un interés por desplazar a
la Matemática, y a�rman que se necesitan más y mejores matemáticas [14]. D'Ambrosio aclara que
la etnomatemática no se preocupa tanto por la matemática (él mismo no ve futuro en denegar los
éxitos obtenidos en la tecnología y ciencia desarrollada siguiendo el pensamiento griego), sino por
la manera en que el conocimiento es construido, reconociendo que el conocimiento matemático es
universal. No importa en qué lugar ni en qué tiempo estemos ubicados, los triángulos equiláteros
tienen ángulos iguales, pero que su interés está en cómo se producen y usan las matemáticas, siendo
esto sí muy particular.
1.1.2. Relación Etnomatemática- Educación Matemática
La aparición de los planteamientos etnomatemáticos generó y genera un remezón y una re�exión en
los terrenos de la educación matemática, por varios aspectos:
a) Son puestos en tela de juicio los métodos generalmente promovidos en la escuela para la construc-
ción de conceptos y realización de procedimientos; en distintos estudios se documentan y analizan
procedimientos alternativos en comunidades no escolarizadas. Por ejemplo, Carraher y Schieleman
hacen en 1983 un estudio exploratorio con cinco niños que venden productos en las calles de una
ciudad brasilera. Haciéndose pasar por compradores los investigadores plantearon a los niños algunos
problemas típicos de venta, preguntando cuál sería el costo de un determinado número de produc-
tos, dado el valor unitario, también cuál sería el cambio que recibirían si pagaran con un billete
de un determinado valor. Después preguntaron a los niños si podían volver y hacerles preguntas de
matemáticas. Los niños accedieron a colaborar y en el término de una semana se les hicieron las
mismas preguntas, sólo que presentadas como problemas típicos de aritmética (�¾Cuánto es 4 veces
35?�), o como problemas de aplicación (�En una escuela hay cuatro secciones de primer grado; en
11
cada sección hay 35 alumnos, ¾Cuántos alumnos de primer grado estudian en la escuela?�). Aunque
los problemas también fueron planteados oralmente, en esta segunda ocasión había papel y lápiz a
disposición de los niños. Los resultados fueron disímiles, los jóvenes obtuvieron un 98% de respuestas
correctas en los problemas presentados en actividad de venta, contra un 74% de acierto en los pro-
blemas escolares y un 37% en los ejercicios de cálculo. Los investigadores concluyeron que existe otra
forma de conocimiento, dominado y utilizado por los jóvenes en la calle, pero que no es mostrado en
situaciones de prueba.
El estudio hizo notar que las diferencias estriban en la estrategia de resolución del problema. Mientras
que en la situación real de venta se resolvía todo mentalmente, en los ejercicios de cálculo los proble-
mas se resolvían con papel y lápiz. En los procedimientos orales los jóvenes no perdían el signi�cado
del problema y su razonamiento se hacía sobre las cantidades, no sobre las reglas de operación. En
los procedimientos escritos todo se basaba en reglas y lo importante era lo escrito en el papel. En
un segundo estudio realizado por el mismo equipo, se comprobó este indicio al darse cuenta que
las diferencias no eran signi�cativas en el nivel de la situación (venta simulada, ejercicio de calculo,
problema de aplicación) sino en el tipo de procedimiento usado (oral, escrito).
Se observó que de manera oral se emplean dos estrategias, la descomposición -para adiciones y
sustracciones- y el uso de grupos repetidos -multiplicación y división-.
La descomposición consiste en resolver el problema por partes y está basada en una comprensión de
la asociatividad y del respeto por las unidades de orden superior (decenas, miles, etc). Aunque en
la escuela también se habla de esta propiedad y se enfatiza el uso del valor posicional, la diferencia
aparece en la resolución de problemas: oralmente los niños se referían a cantidades (veinte, ochenta,
quinientos) y por escrito hablaban de dígitos (dos, ocho, cinco), independientemente de su valor
posicional.
El uso de grupos repetidos se apoya en la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a
la adición. Para calcular 15∗50 un niño (de manera oral) realizó el siguiente procedimiento
15 ∗ 50 = 50 (10 + 5) = 50(5 ∗ 2) + (50 ∗ 5) = (50 ∗ 5) ∗ 2 + 50 ∗ 5 = (50 + 50 + 50 + 50 + 50) ∗ 2
12
+50+50+50+50+50
También se utiliza en la división como reparto. Otro niño siguió este procedimiento para efectuar
120/3
30 ∗ 3 = 90
120− 90 = 30
5 ∗ 3 = 15
30− 15 = 15
5 ∗ 3 = 15
10 + 30 = 40
Debe anotarse que en el estudio no se especi�ca si se hicieron pruebas con otros esquemas que
involucran el uso de la adición, como unión o como comparación, ni el uso de la multiplicación
como producto cartesiano o razón. Sobre estos esquemas modelados por las operaciones, remitimos
directamente a [18], donde se encuentra una completa descripción de ellos.
Posteriormente el equipo emprendió otro estudio indagando la capacidad de aplicar la �inversa�
al resolver problemas de adición y sustracción. Esta �inversa� se entiende para la adición como la
modelación en esquemas de sustracción complementaria y sustracción vectorial y para la sustracción
como la modelación en esquemas de adjunción y de añadir.
Se hizo una comparación del desempeño en problemas directos e inversos, con personas de distintos
grados de escolaridad, observando que la e�ciencia en la solución de problemas inversos estaba ligada
al grado de escolaridad.
Si bien los resultados del primer estudio tuvieron mucha importancia, ya que mostraban la paradoja
de que en los mismos temas un mismo individuo presentaba un bajo desempeño escolar y una com-
petencia muy sólida en su actuación cotidiana. El segundo estudio daba respuesta a interrogantes
planteados sobre la efectividad y utilidad de la educación escolar. La misma Carraher advierte en
[3], que aunque existen conceptos matemáticos básicos que se aprenden fuera de la escuela, esta
brinda una formación más �exible, que permite usar el conocimiento adquirido en contextos bastante
13
distintos, es decir, pone de mani�esto el poder de modelación que tiene la matemática.
b) Se había venido considerando una �invarianza cultural� en la enseñanza de las matemáticas,
suponiendo que no había diferencias de aprendizaje atribuibles a la cultura, por ello no importaba
que existiese un único currículo con el cual abordar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Estudios
antropológicos sobre las concepciones del espacio y del tiempo, así como investigaciones sobre errores
en el aprendizaje de las matemáticas han colaborado para revaluar dicha �invarianza�. Se plantea
entonces la inclusión de elementos culturales en la enseñanza de las matemáticas; esta inclusión se
propone de diversas formas:
La adecuación de contextos y situaciones de aplicación del conocimiento matemático, de tal
manera que se logre relacionar la �vida diaria� de los estudiantes con la matemática, por ejemplo
analizar la problemática del trá�co en la ciudad en que se vive, los índices de precio al , el
sistema electoral del congreso y la asignación de curules según densidad poblacional (teoría de
la votación), y en general problemas de la sociedad. Planteamientos como este los podemos
encontrar en [9], [3] y [14].
Se abre inmediatamente el debate sobre los �nes de la escuela, ¾Debe un colegio afrontar los
problemas de la comunidad e intentar solucionarlos? ¾Debe declararse como centro de trans-
misión de conocimientos? una simple instrucción de técnicas, en la que cada estudiante decide
si involucra lo aprendido a su vida y los �nes con que lo hace. Esto último no es posible, ya
que la escuela siempre transmite y enseña maneras de relacionarse socialmente, de entrar a la
comunidad, es una pequeña sociedad, un simulacro de aquella que está esperando a las afueras
del edi�cio escolar. En cuanto a la primera alternativa también hay dudas, ya que incluir la
transformación de la sociedad como parte de las responsabilidades de la escuela, es una posi-
bilidad teórica, no práctica. Entonces parece que la opción más equilibrada y factible es que
la escuela delimite su acción a la formación de individuos con una conciencia crítica, que sean
capaces de transformar el estado de su propia comunidad.
14
La inclusión de tópicos culturales en los temas a estudiar ([1], Pinxten en [14], [54]) Por ejemplo,
el tejido de canastos haría parte de los contenidos del curso de cierta comunidad africana, siendo
objeto de enseñanza y evaluación. De nuevo surge la pregunta, ¾Para qué enseñar en la escuela
cosas que se aprenden fuera de ella?
El uso por parte del profesor de formas de enseñanza y lenguajes propios del grupo cultural
([46][10], D'Ambrosio y Ascher en [14]), tambien el uso de elementos autóctonos, p.e. la yupana
[73], que pueden enriquecer las acciones de enseñanza.
Todo lo anterior con�uye en una consideración de la etnomatemática como una propuesta pedagógica.
Recordemos que, fundamentalmente la etnomatemática es un programa de investigación en la historia
y en la epistemología de las matemáticas, y que como bien apunta René Thom �Toda educación
matemática descansa en una �losofía de las matemáticas� y en tanto esa �losofía valore el trabajo
matemático de distintas culturas a través del tiempo, la educación relacionada se comportará igual.
La etnomatemática tiene discrepancias con la manera en que se ha presentado la historia de la
matemática en distintos escenarios, particularmente en la escuela. Por lo que hace una fuerte crítica
a la presentación del desarrollo histórico cultural, ya que según Adán Pari ([3]) generalmente se asume
un modelo lineal, o uno jerárquico. En el primero se interpreta la diversidad del pensamiento como un
proceso de diferenciación, modernización y perfeccionamiento en el cálculo. Desde esta perspectiva,
las invenciones de una cultura se van sumando al acervo matemático. El cero de la India, por ejemplo,
llegó a Arabia, donde se unió con la matemática griega. Esta matemática llegó a Europa y allí tomó
su carácter cientí�co. Se puede pensar el conocimiento matemático como un único edi�cio, en el que
un piso fue colocado por una cultura, el siguiente por otra, y así hasta que llegamos a un piso en el
que se toma el método cientí�co, de allí en adelante los pisos son construidos por una sola comunidad:
�los matemáticos profesionales�.
El desarrollo sería evolutivo, lineal y todos tendríamos la misma matemática, aunque haya sido
construida en un intercambio cultural.
15
El modelo jerárquico acepta distintas matemáticas, pero usa el conocimiento matemático para clasi-
�car esta diversidad. Analiza los elementos presentes en una cultura y los cataloga con respecto a la
matemática cientí�ca actual, que es considerada como correcta y completa. Así, los sistemas, teorías
y procedimientos matemáticos de culturas antiguas o no occidentales, se clasi�can como incompletos
o incorrectos, este modelo genera el prejuicio de que la enseñanza de las matemáticas debe seguir el
mismo orden en que está fundamentada la matemática. También que en la escuela hay dos concep-
ciones matemáticas, la correcta, que es poseída por el docente, y la incorrecta o primitiva que posee
el estudiante, que debe ser modi�cada al cabo del proceso escolar, para que de paso a la �completa
y correcta�
El modelo lineal falla al suponer que existe un único edi�cio matemático y que todos habitamos en
el mismo piso de este. Después de que el cero fuera dado a conocer en otros lugares, la matemática
india no desapareció, cambió hacia otras concepciones y entró a hacer parte del intercambio
1.1.3. Prácticas �Universales�
En este apartado nos ocuparemos de indagar algunas de las actividades señaladas como universales,
que como el mismo Bishop a�rma, no suponen un criterio absoluto, sino que describen un conjunto
muy amplio de similitudes. En cierto sentido se entiende aquí por universal, lo presente en todas las
culturas humanas conocidas o documentadas hasta el momento, sin perjuicio de que existan culturas
en donde no se realice alguna de las actividades señaladas.
Contar
Las nociones de número y conteo pertenecen a la prehistoria, y todas las tribus o sociedades, sin
importar su desarrollo, poseen sistemas de conteo. Con la invención de la escritura, en cada cultura se
asignaron símbolos especí�cos para representar los números. Las investigaciones consultadas relatan
parte de esta diversidad de asumir el conteo, en el estudio de Gelman y Galistel (1978) se encuentran
cinco principios invariantes de esta actividad:
16
Inyectividad : Este principio enfatiza la importancia de una correspondencia 1-1 entre objeto contado
y etiqueta de conteo (palabra, letra o signo). En este principio se aplican dos procesos: particionar y
etiquetar. El primero se re�ere a que cuando un objeto va a ser contado es necesario transferirlo de la
categoría �por contar� a la categoría �ya contado � obteniendo dos partes disyuntas y complementarias
del conjunto a contar. Etiquetar se re�ere a que cuando se usa una etiqueta, esta ya no puede volver
a ser usada para contar los elementos restantes. Por eso nadie cuenta �uno, dos, dos,..�
Orden estable: Las etiquetas de conteo tienen un orden que no se altera. No se permite: � dos, cuatro,
uno�.
Cardinalidad: La ultima etiqueta usada en el conteo de un conjunto, representa al conjunto como un
todo y a su numerosidad; esto presupone la existencia de los dos principios anteriores.
Irrelevancia del orden: el mismo conjunto puede ser contado de diversas maneras, cambiando el orden
en que a los objetos se les asignan a las etiquetas.
Abstracción: El conteo se puede realizar a objetos de diversas categorías (se cuentan perros, gatos,
árboles, etc)
Gay y Cole (1967) encuentran que este último principio no está presente de la misma forma en
todas las culturas, ya que los kpelle (Liberia) no pueden decir simplemente cinco, sino cinco pollos
o cinco personas, cuentan objetos heterogéneos pero no tienen manejo del cardinal cinco ni realizan
operaciones aritméticas sin objetos visibles.
Nunes (1992) analiza los principios planteados por Gelman y Galistel a la luz de la etnomatemática,
encontrando que el principio de orden estable implica el conocimiento de las etiquetas de conteo, que
varían según la cultura, por ejemplo, ciertas culturas no poseen un sistema organizado de numeración
que genere etiquetas, y entonces tienen un número �nito de ellas: algunos pueblos numeran hasta
cinco, otros hasta 20, otros siguen el esquema �uno, dos, tres, cuatro, muchos�, porque en su vida
cotidiana como cultura no se manejan conjuntos de tanta cardinalidad. Se encuentra en Saxe [78]
un sistema de conteo usado por la comunidad Oksapmin de Papua Nueva Guinea, que vincula las
partes del cuerpo para generar etiquetas hasta el número 27, con sus propias leyes aritméticas para
17
calcular.
Un sistema organizado de numeración se hace necesario cuando el uso de cantidades grandes es
frecuente, llevando al uso de una base, que sirve como un esquema de agrupación para reorganizar
el conteo. Una base está soportada por la previa de�nición de unidades de conteo que sirven de
convención. Existen intentos de clasi�cación de las distintas bases, que permiten describir un sistema
de numeración, tal como está desarrollado en [81]
Tanto la medición como el conteo precisan de unidades convencionales, que son usadas en la vida
diaria, como por ejemplo las cucharadas al momento de cocinar que miden volumen, pero de un modo
distinto al que lo hacen los litros o los centímetros cúbicos.
Cada cultura de�ne sus unidades de acuerdo a sus necesidades y características, por ejemplo la
distancia se mide por el tiempo (�mi casa queda a dos días de camino�), o con partes del cuerpo
(Oksapmin). En la ciudad, los distintos o�cios generan una reinvención de las unidades de conteo
(canastas de gaseosa, pacas de pañales).
El uso de distintas unidades para medir las mismas cosas, permite realizar inferencias sobre las
unidades. En Nunhes (1992) se describen estas acciones en 4 tipos. Siendo A,B,C diferentes unidades
de medición de la misma variable:
1.Si A=B y B<C, entonces A<C (inferencia transitiva)
2.Si A>B, entonces para todo x \ x∈ N xA>xB
3.Si A=xB entonces, A>(x-1)B, sin importar que tan grande sea (x-1)B
4.Si A=xB , entonces cualquier cantidad medida en términos de A puede ser expresada en términos
de B, y cualquier cantidad medida en términos de B y que sea mayor que A, puede ser expresada en
términos de A y lo restante en B.
Se han considerado tópicos relativos al conteo de carácter oral. Cuando la cultura desarrolla una
escritura, aparecen otros elementos a considerar, como el valor posicional y la variación en la forma.
Las formas inventadas varían a través del tiempo y del espacio, y facilitan u obstaculizan el desarrollo
del entendimiento del conteo para los niños pertenecientes a cada cultura. En el lenguaje Chino los
18
nombres de los números están organizados de manera tal que son compatibles con el sistema de
numeración en base 10, así los números hablados corresponden a los números escritos, por ejemplo 15
se dice �diez cinco� 57 es �cinco diez siete�. En español e inglés, los nombres usados para los números
entre 11 y 16 no tienen un patrón claro, como si lo tienen los posteriores, que incluso cambian con el
lenguaje, en francés 92 no es �noventa y dos� sino �ochenta y doce� y a su vez 80 es �cuatro veinte�.
En el caso de nuestro sistema indo-arábigo tenemos 10 dígitos, cada uno con un signi�cado único.
Estas variaciones en la forma son algo más que curiosidades, in�uencian el entendimiento de la
estructura de base, del valor posicional, de las operaciones aritméticas relacionadas. Como vemos,
los factores lingüísticos generan parte de estas variaciones.
Como es ampliamente conocido, el valor posicional del número brinda una gran facilidad para los cál-
culos aritméticos. Y las culturas que carecen de él , deben desarrollar otras estrategias para enfrentar
los cálculos.
Se encuentran en Carraher (1987) y Soto(1995), estudios que evidencian la diferencia entre los cálculos
orales y los escritos, se observa que en lo oral se preserva el signi�cado y se respetan las unidades,
generando problemas cuando el rango numérico crece. Los cálculos escritos se basan en reglas que
trabajan con las etiquetas y aunque se gana rapidez en su realización, se pierde signi�cado, generando
varios de los típicos problemas operatorios que se dan en la escuela.
Los cálculos escritos están bastante difundidos en la escuela, que adiestra y posibilita la capacidad
de inversión en problemas escritos, pero en la vida diaria se pierde esa habilidad.
Se ve entonces que no sólo los elementos invariantes, sino además las maneras de abordarlos, nos dan
información sobre el sistema de conteo de una cultura.
Localizar
Al plantear la localización, Bishop pretende resaltar la importancia del entorno espacial en el desa-
rrollo de las ideas matemáticas. La exploración de la tierra y el mar, generada por la necesidad de
�conocer� el terreno que se habita y por la necesidad de buscar alimento, es tan escencial que no se
19
puede dudar de la universalidad de esta actividad.
Como es de esperarse, todas las sociedades desarrollan métodos para codi�car y simbolizar su entorno
espacial. En sociedades distintas en sitios geográ�cos diferentes dan importancia a aspectos diferentes.
Se toman como ejemplo algunos lenguajes de las tierras altas de Papúa, en los que existen palabras
para denotar distintos grados de pendiente o inclinación, pero no existe una forma fácil de describir
la idea de �horizontal�.
El trabajo de Pinxten con los pueblos navajo de Norteamérica (Pinxten, van Dooren y Harvey, 1983)
examina detalladamente la forma de conceptualizar el espacio de una cultura determinada y brinda
una base para el análisis. En ese estudio se intenta exponer la �losofía y la fenomenología del espacio
de los navajo usando el UFOR (Universal Frame of Reference, marco de la referencia universal),
que es un �instrumento analítico� desarrollado por Pinxten para estudiar las nociones espaciales en
contextos culturales distintos. El UFOR es un diccionario de nociones espaciales que ofrece una lista
de comprobación, a través de la cual se explican conceptos espaciales de cualquier cultura, haciendo
referencia a tres �niveles� de espacio:
1. Espacio físico o espacio de objetos. 2. Espacio sociogeográ�co. 3. Espacio cosmológico.
Para Bishop el segundo de estos niveles parece ser el más pertinente en el análisis que realiza, ya que
en él se estudian nociones geométricas naturales y nociones de dirección, orden y �nitud, que están
relacionadas con el conteo y la numeración. Veamos algunas de ellas:
Interno/externo Abierto/cerrado Enfrente de/ delante de Sobre/bajo; encima/debajo
Izquierdo/derecho Vertical (como dimensión) Recto, lineal Reposo/ movimiento
Continuo/discontinuo Absoluto/relativo Convergente/divergente Dirección (del movimien-
to) Estar en camino Profundo Lejano/cercano
Pinxten plantea estas categorías apoyándose en la universalidad de los fenómenos naturales que
ellas intentan explicar. Después de aplicar el UFOR al espacio navajo, encuentra algunas diferencias:
a)Si bien existen nociones básicas sobre el movimiento y las dimensiones, las ideas espaciales no se
20
organizan jerárquicamente. b)Para los navajo la distincion Parte-Todo no es fundamental, y hablan
del mundo aludiendo a procesos y sucesos. c)Su espacio es más dinámico que estático, por ejemplo,
todo se mueve, asi lo haga en una escala temporal que nos impida ver el movimiento.
No sólo Pinxten ha investigado de manera croscultural la localización. Se encuentra en [48] un trabajo
sobre nociones espaciales de niños de la calle en Sao Paulo, Brasil. Allí se estudia la orientación y
la idea de �estar perdido�. Este término era asociado por los niños como �tener problemas� y no
como la ausencia de indicios conocidos de lugar. Para los niños esto no era concebible. La autora
del trabajo cita los trabajos de Lewis, en los que se habla de un sentido de orientación inherente al
ser humano, prácticamente biológico, que le permite ubicarse en distintos sitios, como por ejemplo
el mar. Este autor se ocupa también de la codi�cación del espacio y menciona los mapas que usaban
los polinesios, para describir no sólo la ubicación de islas, sino la representación de oleajes y el
comportamiento de las olas. Dentro de la cultura China, el estudio de la geomancia era considerado
como una forma muy importante de conocimiento, con la brújula geomántica se daba información
sobre los puntos cardinales, direcciones de estrellas y resultados astrológicos. Si bien la geomancia no
alcanzó el desarrollo de una ciencia propiamente dicha, fue el germen de nuestro conocimiento sobre
magnetismo.
Tal como en la geomancia, la localización se ha ligado a aspectos místicos y/o religiosos, sin los cuales
muchas veces no es posible comprender las similitudes y diferencias en los sistemas de localización
de distintas culturas.
Explicar
Para desarrollar este concepto tomaremos tanto el análisis que hace Bishop, como los aportes teóricos
de Klein y Toulmin, mencionados en [63] y [64]. Esta actividad, a diferencia de las demás, que
pretendían resolver el cómo, cuánto, cuántos, dónde, pretende resolver el por qué.
Explicar supone exponer las relaciones existentes entre unos fenómenos, buscar la unidad que subyace
a la aparente diversidad; la simplicidad en lo complejo. Para Balache�, la explicación es un discurso
21
construído según reglas propias y comunes de validación, mediante el cual se intenta que los demás
asignen veracidad a una a�rmación.
Esta exposición de relaciones (discurso construido) presenta diversas formas, usa maneras distintas
que varían en cada cultura, por ejemplo con el uso de relatos; cada pueblo tiene mitos que le dan
base a su estructura social, interpretaciones de su origen como pueblo y del origen del mundo como
tal; esos relatos cumplen poderosas funciones sociales, como la de traspaso de conocimientos de una
generación a otra y el carácter aleccionador y moralizante de la narración. Un aspecto fundamental de
los relatos, que está relacionado con el desarrollo de las ideas matemáticas, es la capacidad de conectar
el discurso de distintas maneras, la existencia y el uso de conectores lógicos que permiten combinar
proposiciones y oponerlas, extenderlas, restringirlas, etc. Los conectores lógicos pueden obedecer a
unas reglas de inferencia propias, que no necesariamente coinciden con las de la lógica formal. Bishop
menciona que Strevens identi�có y clasi�có para el idioma inglés muchas clases de conectores lógicos:
de vinculación (por lo tanto, así como), paráfrasis(igual, de manera similar), causalidad (siempre que,
entonces, con el �n de, dado que), de oposición (sin embargo, aunque, mientras que), de restricción,
y de hipótesis. Tanto en castellano como en inglés, no existen términos que diferencien la conjuncion
inclusiva de la exclusiva, pero en otros idiomas (por ejemplo el de los kpelle) si existen términos que
permiten hacer la distinción. No es válido a�rmar la inexistencia de conectores (en otras culturas) que
carezcan de equivalencia en nuestros sistemas de explicación, o que todo conector nuestro encuentre
siempre su �dual�.
Otra manera de explicar es mediante el uso de símbolos y �guras. Por ejemplo, nosotros usamos
ecuaciones, desigualdades, grá�cas, diagramas, matrices, dibujos. El uso de símbolos está ligado desde
su origen a la actividad de explicar. No hay que hacer grandes estudios semióticos para entender que el
signi�cante condensa lo fundamental, descarta lo innecesario y nos da información sobre el signi�cado.
La evidencia hallada en las Cuevas de Altamira, nos asegura que esta manera de explicar es inherente
a la aparición del hombre, la simbolización prácticamente de�ne al ser humano.
La relación explicativa más natural es la de buscar similitudes y clasi�car, haciendo uso de metáforas,
22
analogías y convenciones. Aunque todos estos son actos universales, las clasi�caciones obtenidas no lo
son. Los múltiples lenguajes conllevan a una diversidad de clasi�caciones, por ejemplo, en un estudio
([78]) hecho en Papua �Nueva Guinea sobre sistemas de clasi�cación, se encontraron poblaciones
que no manejaban el concepto de jerarquía, ni usaban un equivalente de la taxonomía, tan usada
en la matemática, que trata de encontrar estructuras cada vez más generales para clasi�car objetos
(funciones derivables ⊂ funciones continuas ⊂ funciones ⊂ relaciones).
Se han hecho otros estudios sobre la clasi�cación que realizan distintas culturas y se puede llegar
a la conclusión de que de las seis actividades ligadas al desarrollo del pensamiento matemático en
una cultura, la explicación, con sus sistemas de clasi�cación es la más resistente a cambios. Se puede
aprender un nuevo juego, se pueden tomar nuevos diseños, nuevas palabras, conocer nuevos objetos,
pero cambiar la mentalidad, la manera de explicar es más difícil, las maneras de conectar y relacionar
ideas, de clasi�car fenómenos, hacen parte estructural de la cultura, es lo más básico (de la base). Tal
vez por eso se presentan dos situaciones importantes, i)Bajos desempeños escolares de inmigrantes y
de indígenas, al ser puestos en ambientes culturales distintos al de crianza. ii) Cuando la cosmovisión
ha cambiado es prácticamente imposible regresar a la original, entonces es natural ofrecer alguna
resistencia a los desarraigamientos generados por una trasculturización subordinante. Es por ello que
se estudia el impacto de la escuela en los cambios de cosmovisión de los indígenas
Las explicaciones tambien son evaluadas, generando un rechazo o una aceptación, esto es eviden-
temente universal. Lo que se considera particular son los esquemas de validación. Es de recordar
una experiencia con un indígena kpelle, que podía aceptar como verdaderas a�rmaciones que se con-
tradecían, ya que todas fueron emitidas por autoridades. Cada cultura tiene su manera propia de ex-
plicar fenómenos, de conectar ideas mediante el discurso y de validar sus explicaciones. Para analizar
con más claridad adoptemos el enfoque de Wolfgang Klein (1980), quien interesado en analizar de
manera descriptiva la interaccion cotidiana de grupos sociales en cuanto a la argumentación, dis-
tingue entre lo colectivamente válido y lo colectivamente cuestionable de un grupo o comunidad. Lo
primero será lo que pueda ser aceptado por el grupo en un momento particular de su historia, y
23
contiene todas las a�rmaciones y reglas que son necesarias para que el grupo acepte conclusiones que
se puedan obtener de una manera aceptable a partir de unas a�rmaciones dadas. Ningún miembro del
grupo debe necesariamente ser conciente de qué cosas pertenecen a locolectivamente válido. Tampoco
dichas cosas tienen que estar �bien de�nidas� en sentido matemático. En síntesis, locolectivamente
válido contiene todo aquello que los integrantes de una comunidad puedan usar cotidianamente en
un proceso de comunicación, sin que sea motivo de cuestionamiento. Todo lo que no se use rutinaria-
mente en un proceso de interacción es llamado colectivamente cuestionable. Estos dos conjuntos son
bastante dinámicos, y lo que está en alguno, puede estar en el otro en cualquier grupo, o en otro
tiempo.
Para Klein, un proceso de argumentación empieza cuando un grupo es confrontado con una �quaestio�
- es decir, una pregunta para la que ninguno de los miembros del grupo tiene una respuesta que pueda
ser aceptada por el grupo. Una argumentación es el proceso interactivo en el que los miembros tratan
de desarrollar una respuesta a la pregunta de una manera racional (racional en su propio sentido, en su
lógica interior). Para que el proceso pueda ser ejecutado con éxito, la respuesta debe ser aceptada por
cada uno razonablemente, y cada miembro tiene permitido manifestar sus dudas en la discusión. En
el caso de un éxito, lo colectivamente válido es extendido y ahora incluye la respuesta a la �quaestio�
que originó el proceso.
Así, la argumentación, en el sentido de Klein, es un tipo especial de interacción, identi�cado por su
función de transportar para el grupo algo desde lo colectivamente cuestionado, a lo colectivamente
válido. Esa trasformación tiene que ser organizada por los participantes, sorteando tres tareas que se
exponen a continuación.
Determinar cuándo una aseveración puede ser aceptada. Si pertenece a lo colectivamente válido,
se acepta sin razonamiento . En otro caso, los miembros tienen que ofrecer razones y veri�car
si la aseveración puede ser aceptada con esas razones.
Deben estar seguros de que hay coherencia entre las distintas a�rmaciones que se dan cuan-
24
do se razona. Se tiene que veri�car si las reglas entre aseveraciones son legítimas, resaltando
los requerimientos del grupo en la situación especial que genera la �quaestio�. Posteriormente
tiene que decidir acerca del grado de detalle requerido para aceptar un argumento. A veces
es necesario producir reglas explícitas entre aseveraciones, en otros casos puede ser su�ciente
mencionar las distintas aseveraciones.
Coordinar diferentes argumentos producidos que, en combinación, pueden llevar a la respuesta
buscada. Especialmente decidir cuándo un argumento puede o no colaborar con destacar el
interés principal de la argumentación
Diseñar
Aunque las nociones geométricas se relacionan principalmente con ideas de localización de individuos
y objetos en el entorno espacial, también están asociadas con las actividades de diseño, referidas a la
tecnología, los artefactos y objetos, creados para la vida doméstica, el comercio, la guerra o con �nes
religiosos. También el diseño se puede aplicar a la construcción de casas, aldeas, huertos, carreteras,
etc. En resumen, las actividades en las que con algún objetivo se transforma la naturaleza, teniendo
un �modelo� mental que abstrae unas características deseadas, serán cali�cadas como actividades
de diseño. La importancia se centra en el plan, la estructura, la forma imaginada, la relación entre
objeto y propósito. Naturalmente hay diferencias en la forma y los materiales con los que se fabrican
ciertos utensilios y objetos, pero la función es común, por ejemplo, la idea de �objeto cortante� o
�casa� es compartida por muchas culturas. Esta noción común requiere de una construcción mental
por parte del que piensa realizar el objeto, a partir del material que tiene. Sucede igual con la
representación de la naturaleza y animales, el dibujante elige destacar algunas características e ignora
otras. Dentro del diseño están presentes otras ideas relacionadas con la matemática, como el tamaño,
la escala, la medida y conceptos geométricos; sobre estos últimos, Bishop menciona estudios en
distintos lugares del mundo, que prueban el estudio de los sólidos platónicos o un conocimiento
del teorema de Pitágoras. La idea de simetría es notoria en los diseños míticos de gran variedad
25
de culturas prehistóricas, europeas, asiáticas, precolombinas, africanas y australianas. También la
espiral está presente en la astronomía, los calendarios, la religión y la mitología, en distintos lugares
del mundo, algo particular de la espiral, es que su importancia es más mística que práctica. El diseño
refuerza el hecho de que el pensamiento matemático se ocupa esencialmente de la imaginación y no
de productos terminados.
Medir
Naturalmente esta actividad es de carácter universal y tiene estrechos vinculos con la matemática;
siguiendo lo planteado en [6], con la medición se pretende establecer que tanta cantidad de una
magnitud posee un objeto o acontecimiento, y por magnitud (continua o discreta) se entiende al-
gún atributo que se puede reconocer en objetos heterogéneos, como por ejemplo peso, distancia,
tiempo, temperatura, longitud, capacidad. Se utilizan patrones de medida, que permiten realizar
comparaciones indirectas entre objetos y establecer algún tipo de orden. Con el crecimiento de las
sociedades y las necesidades comerciales y de comunicación, se hace necesario que esos patrones sean
aceptados comúnmente, por lo que se generan convenciones y unidades de medida estándarizadas
para asignar un número a la cantidad de magnitud de un objeto. La unidad de medida (metros) es
algo más abstracto que el patrón de medida (el metro), aunque usualmente este último indica una
unidad de medida. La perspectiva cultural se encarga de advertir sobre las magnitudes que se toman
en consideración; por ejemplo el atributo �color� no se acepta por la cultura occidental como una
magnitud medible, siendo rechazadas a�rmaciones como �rojo< amarillo�5. Equivalentemente, en
culturas de Papua-Nueva Guinea no tiene sentido comparar el volumen de dos objetos. Otro ejemplo
claro es el sentido que se le da a el tiempo. Si se tiene una concepción circular del tiempo, no tiene
mayor interés asignarle una medida. Aún si se considera alguna magnitud común, por ejemplo el
área, hay diferencias en las unidades utilizadas y en el modo de asignarlas, Bishop cita el caso de
como se dirimen con�ictos sobre el area de huertos en Papua Nueva Guinea: se suman las medidas
5Aunque el atributo "intensidad"sí es aceptado como magnitud medible para objetos del mismo color.
26
de los lados y asi se determina el tamaño. El espacio para los temne se mide muy particularmente,
para distancias largas utilizan el termino de �páramo�, para distancias más largas se usan expresiones
como �una jornada de viaje�, para cortas �la distancia su�ciente para oir�. La importancia de una
magnitud es completamente relativa a cada cultura. También el manejo que se le da a las distintas
unidades de medida, que no siempre guardan la misma relación entre ellas (10 metros= 1 decámetro;
10 decámetros = 1 Hectómetro, etc. Siempre de 10 en 10). La precisión y exactitud en la medición
de una magnitud depende de la necesidad social y ambiental de cada grupo cultural.
1.2. Transmisión cultural, Enculturación y Enculturación Matemática.
A pesar de que �cultura� se ha vuelto un concepto prácticamente imposible de delimitar y comprender
con una de�nición, se han identi�cado algunos de sus procesos relacionados, como por ejemplo la
transmisión, que a decir de Bishop, se puede entender de manera general como el paso de valores,
normas y tradiciones culturales de una generación a la siguiente, pasando por alto el proceso de
adquisición individual de estos elementos. Al anotar que un nuevo integrante de un grupo cultural
no recibe su legado como una entidad abstracta, sino que la ve representada en personas y objetos
creados por ésta, y que además reformula y reconstruye su legado de una manera nueva, Bishop a�rma
la pertinencia de la re�exión sobre el aprendizaje cultural, llevando a formalizar la enculturación,
como un proceso �creativo e interactivo en el que interaccionan quienes viven en una cultura con
quienes nacen dentro de ella, y que da como resultado ideas, normas y valores que son similares de
una generación a la siguiente, aunque es inevitable que di�eran en algún aspecto debido a la función
�recreadora� de la siguiente generación�6
Si asumimos que las prácticas matemáticas son parte integral de una cultura, consecuentemente debe-
mos incluir en el proceso de enculturación la enseñanza y aprendizaje de dichas prácticas y de los
valores que se asocian a ellas. Bishop utiliza las expresionesenculturación matemática, para referirse
6[1] pág. 119.
27
explícitamente a esta parte de la enculturación, ycultura matemática para el componente matemáti-
co de una cultura (incluyendo las prácticas y valores asociados). Más claramente, la enculturación
matemática es el proceso mediante el cual un sujeto entra a hacer parte de una cultura matemática.
Davies (1973) distingue tres niveles dentro de nuestra cultura en función del uso que se le da a la
matemática:
Informal: donde se usan las Matemáticas de manera inconsciente, implícita e imprecisa. Las ideas
matemáticas están inmersas en el contexto de la situación y sin posibilidad de extrapolar a otras
situaciones. Este nivel se hace latente en la población no escolarizada o cuando hablamos en la
calle de manera �ordinaria�. Este nivel es dado por el simple hecho de relacionarse con las demás
personas de la comunidad. Naturalmente todos poseemos este nivel de cultura matemática, en el que
se mani�estan inconscientemente los valores que adjudicamos a las matemáticas.
Formal: se usan intencionadamente las simbolizaciones y las conceptualizaciones, existen valores
aceptados y respaldados. Muchas personas se encuentran en este nivel de uso en el desempeño laboral,
por ejemplo ingenieros, médicos, economistas, cartógrafos, etc. emplean la cultura Matemática para
sus �nes propios y contribuyen a ella validándola con el uso. Se podría pensar que este nivel es el
de la aplicación de la matemática en la vida profesional. Se consigue estar en este nivel después de
cierto proceso de escolarización.
Técnico: es el nivel propiamente disciplinar, en el que todo símbolo es objeto de desarrollo y crítica, y
el crecimiento del conocimiento se justi�ca por sí mismo. Este nivel es de competencia casi exclusiva
de matemáticos. En este nivel se consigue estar gracias a una educación universitaria en el campo de
las Matemáticas
Los tres niveles se relacionan y muchos de los elementos que estuvieron alguna vez en un nivel
han pasado a otro. La enculturación matemática actúa en los tres niveles de distinta manera y con
distintos agentes (en el nivel informal con los medios de información, la familia, la comunidad; en
el nivel técnico con los matemáticos propiamente), presentándose una posible identi�cación entre
enculturación formal y educación formal, replanteada por Bishop como lo quedebería ser y lo que es
28
la educación. La enculturación (matemática formal) debe tener en cuenta los posibles con�ictos con
la enculturación informal y permitir ingresar al nivel técnico al que esté interesado.
No podríamos identi�car en toda cultura estos tres niveles, aunque se asume que cada grupo étnico
realiza su propia enculturación matemática. Por lo que es bastante acertado Bishop cuando aclara
que los valores que él asocia a las matemáticas (racionalismo, objetismo7, control, progreso, apertura,
misterio) son los dados dentro de nuestra cultura, que está centrada en un desarrollo tecnológico in-
dustrializado, y que su propuesta de enculturación (matemática) comoobjeto8 y proceso9, está ligada
a la Matemática, (como disciplina internacionalizada producto de una larga evolución histórica), por
lo que no se podría extrapolar completamente a cualquier otra cultura y menos a una �no-occidental�.
Los valores que se asocian a prácticas matemáticas, varían sustancialmente con cada cultura, p.e.
según Cole y Sax en [84], los kpelle de Liberia poseen tabúes relacionados con los números, a algunos
les otorgan atributos mágicos y misteriosos, o no pueden contar algunas cosas, por el temor de que
algo les acarree algún mal; para los temne de Sierra Leona los puntos cardinales se asocian a opuestos
existenciales (el este es la dirección que sustenta la vida, el oeste es la destructiva). Para los malekula
los dibujos hechos en la arena ayudan a explicar y transmitir su historia y sus mitos10.
Bishop termina de dar forma a su propuesta de enculturación, enfatizando la importancia del rol que
deben asumir las personas encargadas de de�nir el objeto de enculturación (currículo) y de dirigir
el proceso de enculturación, son ellos los enculturadores11 (matemáticos) que en nuestra sociedad
se pueden identi�car con los docentes. Al concebir la enculturación como un asunto entre personas,
(aprendiz- enculturador, alejando para su análisis la presencia institucional), y dejar que el ma-
7Para Bishop, las ideas matemáticas son principalmente ideas sobre objetos, y son trabajadas como si fueran objetos,y no como procesos. Tambien, las ideas matemáticas intentan establecer las propiedades de la realidad de una maneraobjetiva, y cuando se obtiene algún resultado o idea nueva en la parte racional, abstracta, ésta se puede objeti�car(convertir en objeto). Es decir los fenómenos naturales, no sólo se pueden explicar mediante principios matemáticos(racionalizar) sino que estos principios pueden determinar los fenómenos naturales (objeti�car).
8En el sentido de que debe ser plasmada en un objeto concreto como el currículo.9Que debe desarrollar unmodus sciendi, una manera de conocer.10Ver [33] y [37].11Indistintamente si se dedican a la enseñanza primaria, secundaria o terciaria.
29
yor compromiso recaiga en los enculturadores, se plantea que cada sociedad debe establecer sólidos
criterios sobre estos agentes: criterios sobre quiénes son y qué deben hacer. Así como es necesario
enculturar a los integrantes de una sociedad, es necesario preparar a quienes los van a enculturar, por
lo que Bishop identi�ca tres componentes en esta preparación:selección, formación y capacitación,
(no aborda en su análisis esta última)
Bishop menciona algunos criterios para la selección de las personas llamadas a ser enculturadoras: a)
Una habilidad para personi�car la cultura matemática, dada no sólo por poseer una alta competencia
en la matemática misma, sino por conocer y representar los valores de la cultura matemática. Sería
entonces importante tener experiencias en el nivel formal de las matemáticas, en sectores como la
industria o el comercio. b) Un compromiso con el proceso de enculturación (matemática), de tener al
estudiante como principal foco de atención, con el que se negocian la modi�cación y conformación de
su conocimiento, conducta y sentimientos. c) Habilidad para comunicar ideas y valores matemáticos,
como la enculturación es un proceso de comunicación, en consecuencia un enculturador debe ser
alguien que disfrute y tenga éxito con esa comunicación. Esta habilidad requiere de aptitudes, valores
y creencias que no todo matemático posee. d) Una aceptación de la responsabilidad ante la cultura
matemática, ya que el enculturador es un agente encargado de transmitir, conservar y desarrollar
dicha cultura. De sus actuaciones depende la conservación de la cultura matemática, por lo que es
su deber asumir el proceso de enculturación de una manera responsable y profesional
En coherencia con la selección, la formación especializada a que se hace referencia, debe apuntar a
desarrollar elementos como: a) Una comprensión amplia de las matemáticas como fenómeno cultural,
brindando un fundamento antropológico para el futuro enculturador, que le permita conocer y apre-
ciar los distintos desarrollos matemáticos presentes en otras culturas, para que los pueda incorporar
a su práctica, de tal manera que los estudiantes asimilen y comprendan la diversidad cultural, ale-
jándose de prejuicios basados en la raza o el sexo. b) Una comprensión profunda de los valores de la
cultura matemática, obtenida por el análisis de los actuales usos que da la sociedad a las simboliza-
ciones y conceptualizaciones matemáticas. Deben estudiarse los valores asociados a la matemática,
30
que impulsan el uso de las matemáticas en el tratamiento de problemas concretos de algún sector de
la sociedad. c) Un conocimiento y comprensión del nivel técnico de la cultura matemática, a través
de una participación en actividades propias de la investigación matemática, y a través del análisis
histórico de los desarrollos matemáticos. d) Una conciencia del papel que desempeña un enculturador,
dado por un conocimiento de los distintos problemas y cuestiones de la enculturación matemática,
que hace reconocer las tensiones internas existentes, y solicita una respuesta personal y conciente de
parte del enculturador.
Además de esto, la formación también debe desarrollar en el enculturador su comprensión de la
tecnología simbólica12 que es la matemática y su competencia en ella. Este principio se re�ere al
conocimiento de las distintas maneras y técnicas de trabajar e interpretar un concepto matemático
determinado, y al conocimiento de las formas en que los niños asimilan (correcta o incorrectamente)
dicho concepto.
En síntesis, aunque la educación matemática y el educador matemático son respectivamente ejemplos
de enculturación y de enculturador, en la realidad no corresponden estrictamente a los paradigmas
planteados por Bishop, por lo que desde esta perspectiva los mencionados paradigmas se constituyen
en el deber ser de la educación matemática y del educador matemático. Bishop menciona aspectos
como el currículo dirigido al desarrollo de técnicas, el aprendizaje impersonal, la enseñanza basada en
un texto, y los supuestos falsos sobre la naturaleza de la educación matemática, que le impiden a esta
última identi�carse con su deber ser, es decir corresponder a un verdadero proceso de Enculturación
Matemática.
El currículo de matemáticas que existe en la mayoría de los países del mundo, está integrado por
procedimientos, métodos, aptitudes, reglas y algoritmos que dan una imagen de las matemáticas
12En [83] White agrupa los componentes de la cultura en cuatro categorías interrelacionadas: ideológica, sociológicasentimental y tecnológica, y argumenta que esta última es base para las demás. Lo tecnológico contempla la fabricacióny empleo de instrumentos y utensilios. Posteriormente Bruner [65] plantea sistemas instrumentales, que ampli�can trestipos de capacidades: motrices, sensoriales y de razonamiento. La matemática es un ejemplo de sistema instrumentalampli�cador de la capacidad de razonamiento humano; Bishop conecta los anteriores planteamientos, a�rmando que lamatemática es en esencia una tecnología simbólica, en tanto que fabrica y emplea instrumentos (White) que ampli�canla capacidad de razonamiento humano (Bruner).
31
como una materia basada en el �hacer�. Es decir, las matemáticas no se presentan como una materia
de re�exión. No son una manera de conocer; en este currículo subyace la idea de que las matemáticas
son únicamente algorítmicas y que se debe desarrollar una caja de herramientas exhaustiva y variada
que le sirva a un usuario, que es concebido como un nómada solucionador de problemas, que trabaja
en sectores productivos de la economía, este usuario es diestro e instruído pero no comprende ni
desarrolla signi�cados por si mismo. En esencia, para este currículo saber matemáticas es equivalente
a ejecutar correctamente técnicas apropiadas, pero la ejecución de técnicas es algo que actualmente
le compete a las maquinas, ellas pueden dar mayor precisión y con�abilidad, en vista de que son
diseñadas para esto; además, si este currículo tiene éxito el educando estará adiestrado, si falla será
un desastre, en cualquier caso no educa ni genera individuos autónomos y críticos frente a su entorno.
De la misma manera en que un currículo dirigido al desarrollo de técnicas indaga por respuestas
correctas y no por interpretaciones personales o invenciones, desde la concepción del aprendizaje
impersonal es importante que el estudiante aprenda matemáticas, no que construya signi�cados
personales a través de ellas. Las reglas se deben aprender, los procedimientos se deben aceptar y
las técnicas se deben practicar, independientemente del estudiante el resultado matemático es el
mismo. No importa lo que el estudiante pueda aportar a la situación mientras obtenga siempre el
mismo resultado. Esto conlleva inexorablemente al descarte de la discusión, no se necesitan puntos
de vista u opiniones, menos realizar debates, y se termina por amoldar a los estudiantes a esta
situación, porque � con las matemáticas se va sobre seguro�. Aquí se confunde el carácter abierto de
las matemáticas (el teorema de Pitágoras es verdadero en todo el mundo), con el carácter cultural
de la educación matemática (no todos las personas en el mundo aprenden el teorema de Pitágoras de
igual modo). El carácter impersonal de las matemáticas ignora todas las representaciones entre ideas
y conexiones que realiza un individuo especí�co en una cultura especí�ca. La ausencia de signi�cados
personales implica que en las aulas de matemática no hay ninguna persona, sólo hay maestros y
estudiantes, la tarea es comunicar �las matemáticas� con la mayor e�ciencia para que los estudiantes
puedan aprender �las matemáticas�, es decir la comunicación es unidireccional, las interpretaciones
32
personales son estorbos y todos los estudiantes aprenden lo mismo (como si no fueran varios sino uno
sólo), evidentemente se desconoce la cultura y se genera una enseñanza igualmente impersonal, que
privilegia como único referente el libro de texto.
Muchas clases de matemáticas en el mundo se realizan con el precepto de la enseñanza apoyada
exclusivamente en un texto, consistente en que el docente se subordina a lo contemplado en un único
libro de texto, o tal vez en un par de ellos. Se ha llegado a esto porque los libros de texto ofrecen una
�ventaja�: ejercer control sobre el educador y el educando, así como ayudar a la estandarización de
los contenidos. Los libros de textos se hacen a prueba de docentes inexpertos, contienen actividades
para realizar y modos de evaluar, para �facilitar� la enseñanza. Lo que termina ocurriendo es que
el docente está preso de la metodología del libro, alejado de lo que realmente están pensando sus
estudiantes y así no les puede ayudar con e�cacia. Las maneras de transponer el saber matemático
en el aula de clase no le competen al educador, eso ya viene propuesto en el texto.
Una nueva modalidad de la enseñanza basada en textos es lo que se conoce como �materiales in-
dividualizados� (exámenes que son únicos, sacados aleatoriamente de bancos de preguntas, enlaces
hipertextuales a otros contenidos, software matemático disponible), como no se puede presuponer
nada acerca del estudiante, todo se limita a libros electrónicos. La enseñanza es individualizada, más
no personalizada, esta característica sólo se logra cuando existe un enseñante. En resumen cualquier
material didáctico debería ser considerado como una herramienta más del proceso pedagógico y no
como un determinante del mismo.
Los tres aspectos anteriores se basan en distintas concepciones sobre la naturaleza de la educación
matemática, por ejemplo el currículo dirigido al desarrollo de técnicas parte del supuesto de que un
método axiomático, formalista es óptimo para enseñar matemáticas. Estos serían los presupuestos
de la llamada Matemática Moderna, que hace eco a las pretensiones del formalismo de fundamentar
la matemática. Producir matemáticos, no personas con sólidos conocimientos en matemáticas. Como
no todos los estudiantes van a dedicarse a las matemáticas como ciencia disciplinar, es inconveniente
someterlos a una educación de este estilo.
33
El aprendizaje impersonal se basa en la suposición de que el carácter universal de las matemáti-
cas implica el de su enseñanza. Es decir, que como el acervo de conocimiento matemático se ha
despersonalizado, su enseñanza también lo debe hacer.
La enseñanza basada en textos objetiva el currículo mencionado, supone que el conocimiento se
hace desde arriba (las altas esferas del saber) hacia abajo (los estudiantes), suponiendo que los que
realmente saben de los estudiantes son los que hacen los libros, y no los profesores que sí los ven.
Esta suposición lleva a considerar ine�ciente al educador, desestima sus aptitudes y profesionalidad.
También supone que la labor del docente es enseñar matemáticas, no enseñar a personas, la mayoría
de libros supone que existe un alumno �generalizado�, que no tiene nombre, ni padre ni amigos, ni
gustos, es decir, no existe.
Todas estas suposiciones llevan a una mayor suposición: la enseñanza de las matemáticas se puede sis-
tematizar y asumir como un proceso industrial. Esta suposición nos conduce a pensar en la educación
con el modelo Taylorista-Fordista de producción, es decir, queremos e�ciencia en los �productos�, que
en principio eran ½niños!.
La propuesta de enculturación de Bishop intenta hacer frente a los inconvenientes planteados en-
contrados en los sistemas de enseñanza de Matemáticas, abordando una perspectiva cultural, en la
que la transmisión de los saberes es interpersonal, desechando para su análisis al sistema educativo
institucionalizado y descargando toda la responsabilidad en el maestro.
1.3. Modelos de educación para grupos culturales
No se pretende aquí hacer una construcción completa de conceptos como etnoeducación y educación
intercultural, ya que es compleja a todas luces y dista mucho de poseer una de�nición acabada y
aceptada mayoritariamente. Se harán aproximaciones desde las conceptualizaciones de los referentes
utilizados, trabajos realizados en Bolivia Perú y Brasil sobre matemáticas, los realizados en Colombia
por lingüistas y antropólogos, y la legislación colombiana vigente.
34
Existe un punto inicial común, la implementación de una educación para grupos étnicos que esté
ligada a las culturas autóctonas, respetando sus tradiciones. A partir de esto se empiezan a observar
aspectos derivados de esta problemática, así como diversas propuestas que crean términos y clasi-
�caciones para abordarla. Las clasi�caciones son múltiples, por lo que encontramos planteamientos
diversos (y hasta contradictorios) agrupados con el mismo nombre y distintos términos para el mismo
concepto. Es importante aclarar que estos conceptos y clasi�caciones no sólo pertenecen al ámbito
académico o social (p.e. aculturación), sino también al político, porque se constituyen en programas
y estrategias gubernamentales en el campo educativo, así como en elementos de suma importancia
en la lucha que llevan a cabo las organizaciones indígenas en toda latinoamérica.
En principio se consideró la educación bilingüe, en la que el indígena tendría la posibilidad, a partir de
su lengua materna, de apropiar más fácilmente elementos de la cultura �occidental�. El reconocimiento
o�cial de la existencia de lenguas distintas al castellano fue un gran avance para los pueblos indígenas,
pero seguía siendo insu�ciente para sus deseos de una verdadera educación indígena, ya que los
contenidos eran de�nidos con �nes evangelizadores o integracionistas, y como las lenguas vernáculas
no tienen formas para referirse a elementos propios de la cultura occidental y son eminentemente
orales, la instrucción se apoyaba en la escritura castellana.
La objeción fundamental a esta concepción es que considera como sinónimos a la interculturalidad con
el bilingüismo. En realidad se utilizaban las lenguas vernáculas por razones de e�ciencia pedagógica,
como un mero pasaje para el empleo posterior de la lengua hegemónica. Este esquema se conoce
como educación bilingüe de transición (o bilingüismo instrumental). En la amazonia colombiana
esta propuesta se desarrolló desde principios de la década de los setenta por medio de los auxiliares
bilingües, que apoyaban a maestros blancos enviados por la iglesia católica a través del sistema de
�educación contratada�.
Después de experiencias con la concepción anterior, se reformula el papel del bilingüismo en el curso
de la escolaridad, entendiéndolo como una manera de conservar y enriquecer las lenguas vernáculas,
contribuyendo a un pluralismo lingüístico y cultural. De ahí en adelante se plantea un bilingüismo de
35
mantenimiento, que caracteriza todas las propuestas posteriores. Es el momento en que se renuncia
a políticas de asimilación y se considera un país pluricultural, multilingüe y multiétnico.
Posteriormente se plantea la etnoeducación, que surge o�cialmente en Colombia a mediados de los
70's, como una propuesta para asumir la educación de los pueblos amerindios, desde una perspectiva
que coloca a cada cultura propia como marco referencial, orientando los contenidos, metodologías,
estrategias de aprendizaje, evaluación y formas de administración del sistema educativo. El elemento
del bilingüismo toma una importancia aun mayor y se entiende como una manera de conservar y
enriquecer las lenguas vernáculas. Todo esto fue producto del trabajo hecho por académicos y líderes
de pueblos indígenas, que pretendieron responder a la realidad culturalmente plural de sus escuelas
y proyectar su propia concepción de desarrollo; diferente de la propuesta por el modelo político-
económico seguido en nuestro país. Posteriormente el estado produce una de�nición de etnoeducación
en distintos decretos y leyes relativas a la educación para grupos étnicos, en la que se concibe como:
�Un proceso social permanente, inmerso en la cultura propia, que consiste en la adquisición de
conocimientos y valores, en el desarrollo de habilidades y destrezas acorde con las necesidades y
aspiraciones de la comunidad, que la capacita para participar activamente en el control cultural del
grupo�. [79]
En la ley 115 se de�ne la Etnoeducación o educación para los grupos étnicos, como �la ofrecida a
grupos o comunidades que poseen una cultura, una lengua, unas tradiciones culturales y fueros propios
y autóctonos. Debe estar ligada al ambiente, al proceso productivo, social y cultural, respetando sus
creencias y tradiciones�. (art 55)
Estas de�niciones engloban toda una política de estado, que ha orientado desde unos principios y
�nes las acciones educativas para grupos étnicos en los últimos 25 años, y que ha sido objeto de
críticas, revisiones y delimitaciones hechas por académicos, pueblos indígenas y el mismo MEN.
Siendo la principal observación la distancia entre el ser y deber ser de la etnoeducación, ya que al
enfrentar en su aplicación problemas como la formación y el papel de los maestros, la dicotomía
oralidad-escritura, los modelos de enseñanza y el problema curricular de tiempos de enseñanza y
36
segmentación de contenidos, los objetivos planteados parecen inalcanzables.
Esta distancia ha generado, en académicos y en algunas organizaciones indígenas, inconformidad
con la etnoeducación, ya que �tiende a ser mirada como una buena idea, carente de un compromiso
activo para ponerla en practica.....�13. Para superar la crisis de la etnoeducación como política se
hace necesario desarrollar herramientas14 que permitan llevarla a cabo.
Como nuevas alternativas, que aún no hacen parte de la legislación educativa colombiana, encon-
tramos la educación endógena y la educación indígena. Ambas expresan la intención de comunidades
y organizaciones indígenas por adquirir cada vez más autonomía y poder de decisión sobre la política
educativa que los rige, articulándola con la consolidación de un proyecto político propio. Dejando
de lado las anteriores propuestas por considerarlas ajenas e impuestas, estas alternativas critican
fuertemente la estructura curricular, que fragmenta los conocimientos de una manera no-indígena.
La educación endógena propone la elaboración de proyectos educativos autóctonos, nacidos de las
propias comunidades y con miras a obtener logros para ellas mismas, también contempla rupturas
con la escuela, con la lectoescritura y con el papel de los maestros, a�rmando el papel de los sabios,
taitas, mamas y las metodologías orales dentro del procesos de enseñanza. Con este enfoque �se
establecen los modelos educativos a partir de los sistemas de socialización y pedagogías indígenas
centrados básicamente en la tradición oral� 15 .
Según Houghton, la educación indígena tiene como posibles fundamentos: �de�nición interna, no
delegabilidad, articulación a un proyecto global político �cultural, centrada en un dispositivo pedagógico
ligado a práctica y pensamientos de los pueblos, y con un contenido mayoritario en problemáticas de
la cultura y la comunidad� 16, se reconoce la importancia de la institución escolar y las metodologías
de lecto-escritura, aunque se promueve una organización curricular temporal y espacial distinta.
13Etnoeducación: Balance y perspectivas. Maria Trillos Amaya. En �Educación Endógena frente a Educación Formal�pag 332, Universidad de los Andes, 1998,Bogotá.
14Herramientas de�nidas como: �modelos pedagógicos, currículos, estrategias para introducir contenidos de las cul-turas presentes en la escuela, modelos para el uso de las lenguas en el aula� Trillos, op cit.
15Trillos Op Cit.16Houghton en �Educación Endógena frente a Educación Formal� Trillos M. (ed.).
37
Estas dos propuestas, aunque incipientes, ya se enfrentan a problemáticas como la diferenciación
entre educación y procesos de socialización en general, también a la compatibilidad de los espacios
escolarizados con los tradicionales (escuela-maloca) y la autoridad en cada uno de ellos (profesores -
sabios de la comunidad), aún se está en la fase de veri�car aportes y logros de experiencias basadas
en estas concepciones.
Apartándose un poco de la dinámica colombiana, se observan esfuerzos similares en otros países su-
ramericanos, como Ecuador, Bolivia, Perú y Brasil. Aunque la política indígena de estos países no
es tan avanzada como la colombiana17, su implementación como política de estado sí es mucho más
amplia y con mayores avances en la construcción de materiales y herramientas pedagógicas. Esto
es natural, si tenemos en cuenta que sus poblaciones indígenas, a pesar de ser discriminadas, no
son minorías demográ�cas ni políticas. En los países mencionados esta política recibe el nombre de
Educación Intercultural Bilingüe, (EIB o EBI), y salvo diferencias jurídicas especí�cas, comparten
el mismo espíritu de reconocimiento de saberes, vivencias, creencias y tradiciones de los distintos
pueblos indígenas que cohabitan en un mismo territorio nacional.
Esta educación se denomina Intercultural �para referirse explícitamente a la dimensión cultural del
proceso educativo y a un aprendizaje signi�cativo social y culturalmente situado, así como también
a un aprendizaje que busca responder a las necesidades básicas de los educandos que tienen como
idioma de uso una lengua distinta a la dominante.
La interculturalidad en la educación se re�ere también a la relación curricular que se establece entre
saberes, conocimientos y valores propios (y apropiados) por las sociedades indígenas y aquellos des-
conocidos y ajenos, en cuanto a la búsqueda de un diálogo y de una complementariedad permanente
entre la cultura tradicional y aquella de corte occidental� 18
La EBI es entonces una propuesta educativa y pedagógica que parte de los saberes, valores y visiones
propios de cada pueblo indígena para �generar espacios de diálogo entre lo indígena especí�co y lo
17Según MEN �Evaluación de la calidad de la educación indígena en Colombia� serie Estudios, Bogotá. 1996.18Lopez L. , Kuper W. citado por Lizarzaburu en [3] pag. 284.
38
criollo, entre lo subalterno y lo hegemónico, entre lo local y lo universal�19 Al igual que la etnoedu-
cación, la EIB tiene un fuerte carácter político, encaminado a la construcción de proyectos de nación
con más participación y oportunidades para los pueblos indígenas.
La educación intercultural también es abordada en los países europeos, en razón de la presencia de
inmigrantes de todo el mundo en sus sistemas educativos, con la intención además de enfrentar al
racismo. España es un caso particularmente especial, ya que presenta diversidad cultural interna
(pueblos vascos y catalanes) y externa (la inmigración de suramericanos es mayor que en cualquier
otro país europeo, a causa del idioma). Allí se han generado múltiples expresiones, siendo las más
usadas �educación multicultural� y �educación intercultural�, que en algunos casos son usadas indis-
tintamente como sinónimas20, en otros casos se advierten diferencias importantes21. Acabando con
esta confusión de términos, se ha logrado generalizar el uso de �educación intercultural� como el
vocablo más apropiado, ya que implica enriquecimiento mutuo, reconocimiento y valoración de las
culturas presentes en el ámbito escolar. En Europa el término multicultural se ha apreciado como
más estático, al referirse a la situación de presencia de varios grupos culturales en una sociedad. El
término intercultural es más preciso, al indicar la acción y comunicaciónentre estos grupos. Se acoge
en este trabajo la recomendación española.
La educación intercultural (europea) procura conseguir la máxima igualdad de oportunidades para
los integrantes de minorías culturales. Entre sus objetivos está el generar en todos los estudiantes una
competencia multicultural que les permita �comprender, adaptarse y funcionar tanto en la cultura
mayoritaria como en la minoritaria�22
Debe tenerse en cuenta que por similar que parezca la problemática europea, di�ere de la latinoame-
ricana en aspectos como la oralidad-escritura, la circunscripción al espacio de la institución escolar
(que no es cuestionada en la conceptualización europea) y la formación de maestros. También hay
19Ibid.20Jordan en [39].21Alegret en [39].22Jordan op cit.
39
diferencias en la motivación, vinculada fuertemente en Europa a acciones contra la xenofobia.
Todas las anteriores concepciones, con sus trabajos correspondientes, ocurren en contextos pluri-
étnicos, multiculturales y plurilingües, o al decir de André Cauty, en situaciones de gran diferenciación
cultural y lingüística. En [46] hay un intento de clasi�cación de modelos educativos según cuatro tipos
principales (aunque se procede a enunciarlos, se remite al documento original):
a) Educación colonial o misionera. (ECM): Cuando los conocimientos (saberes, valores, tradi-
ciones . . . ) de una cultura B son enseñados a niños de la cultura A, sin que los adultos de A puedan
efectivamente controlar el proceso. Experiencias de este tipo son las que tradicionalmente se ejecu-
taron en Sudamérica hasta bien entrada la década de los 70, en Colombia particularmente podemos
mencionar a la Educación Contratada, y las propuestas de Educación Bilingüe de transición. Natu-
ralmente este modelo es el que más resistencias genera, aunque en la práctica sigue encontrándose.
b) Educación bilingüe intercultural, (EBI o EIB): Cuando los conocimientos de la cultura
B son enseñados a los niños de cultura A, bajo el control de adultos de cultura A, se trata de
Etnoeducación aculturante (o integradora).
La EIB implica siempre algo de ambigüedad, ya que el control del proceso educativo por parte
de los adultos de cultura A (generalmente indígena) nunca puede ser total, en razón de que los
conocimientos transmitidos son producidos por los adultos de cultura B (generalmente occidental).
Es decir, los adultos de cultura A no los manejan con la misma e�cacia que los adultos de B, los
cuales intervienen necesariamente en el proceso educativo, por lo general en calidad de expertos y/o
formadores de maestros de cultura A.
Dentro de este esquema podemos agrupar a las experiencias de etno-educación Colombiana y a la
EIB andina, a pesar de que sus presupuestos teóricos indiquen otra cosa.
c) Etnoeducación: Cuando la interacción de dos culturas A y B produce conocimientos (saberes,
valores. . . ) realmente híbridos o mestizos, y estos conocimientos mestizos son enseñados, trátese de
niños de cultura A bajo el control de adultos de cultura A, o de niños de cultura B bajo el control de
adultos de cultura B, se trata precisamente deEtnoeducación, o de Educación Kwibi Urraga,
40
llamada EKU.
d) Educación de pueblos soberanos (EPS): Cuando los adultos de una cultura A enseñan
sus propios conocimientos, saberes y valores a sus niños de cultura A, se trata de laEducación
(propia) de A; este modelo es testimoniado en todos los países soberanos, lingüística y culturalmente
uni�cados, pero también en los pueblos autóctonos vivos, bastante alejados de las in�uencias del
mundo �moderno� en territorios-refugios. Aunque este modelo di�ere de los anteriores, ya que no
contempla la interacción de varias culturas, entra en consideración ya que logra recoger las propuestas
de la educación endógena y la educación indígena, además históricamente fue el primer modelo en
aparecer.
Para este trabajo se entiende por etnoeducación todo el conjunto de acciones, políticas y procesos
relacionados con la educación ofrecida a grupos indígenas o afro americanos, que toman en cuenta el
acervo cultural de los grupos.
41
C A P Í T U L O 2
LAS PRÁCTICAS �UNIVERSALES� EN LA COMUNIDAD DE
MACEDONIA
En este capítulo se describe el análisis de las prácticas mencionadas en 1.1.3, que fueron estudiadas
en la comunidad de Macedonia.
2.1. Contar
A pesar de que el sistema de numeración indo-arábigo es el utilizado por la comunidad en sus trabajos
y de que los nombres de los numerales ya han sido tomados como préstamo del castellano dentro
del idioma ticuna, en Macedonia aun se conocen las etiquetas propias del idioma ticuna. Por medio
de entrevistas con el profesor Antero León Macedo, quien lee y escribe la lengua ticuna se obtuvo la
siguiente información:
Originalmente los ticuna sólo tenían nombres para los primeros veinte números naturales, estos
nombres están asociados con los términos usados para nominar las manos y los pies; tienen además
una regla simple de formación de los nombres de los numerales, que hace descansar todo el conteo
en los primeros cinco números. Veamos a continuación los númerales:
1 wüí
2 tare
3 tomee∼pü
42
4 ãgüm�ükü
5 wüíme∼pü
6 naime∼ aru wüí
7 naime∼ aru tare
8 naime∼ aru tome∼e∼pü
9 naime∼ aru ãgüm�ükü
10 gumepü
11 gumepü rü takutüwa arü wüí
12 gumepü rü takutüwa arü tare
13 gumepü rü takutüwa arü tomee∼pü
14 gumepü rü takutüwa arü ãgümükü
15 gumepü rü wüikutü arü gu∼16 gumepü rü naikutüwa arü wüí
17 gumepü rü naikutüwa arü tare
18 gumepü rü naikutüwa arü tomee∼pü∼19 gumepü rü naikutüwa arü ãgümükü
20 gumepú rü takütü arü gu∼El cinco (wüíme∼pü) es sinónimo de �mano� o �los (dedos) que hay en una mano�. Cuando se supera
esta cantidad se hace uso de la otra mano, el seis (naime∼ aru wüí) se denota como �un dedo de la otra
mano� asumiendo el conteo de la primera mano, o como �los que hay en una mano y uno de la otra�,
para los números siguientes se va combinando la primera mano con los cuatro primeros números, así
ocho (naime∼ aru tome∼e∼pü) es cinco y tres, nombrado como �los que hay en una mano y tres de la
otra� o �tres dedos de la otra mano�, para nombrar la decena se tiene �las dos manos� o � los que hay
en dos manos� .
Se repite el mismo esquema cuando se supera la decena, involucrando esta vez el pie (indiferentemente
si el primero en considerar es el derecho o el izquierdo), por ejemplo 13 es �dos manos y tres del pie�
43
y 17 es �dos manos y dos del otro pie� o �los que hay en dos manos, un pie y dos del otro pie�, es
decir, 17 es 10+5+2.
Existen en lengua ticuna los términos �contar�, ugutaeruû y �cantidad�Mu�u iηemaügü. Se identi�ca
como señal del principio de cardinalidad la interpretación de �los que hay en una mano�, y si seguimos
la clasi�cación planteada en [81], podemos a�rmar que la etnia ticuna utilizaba un cinco-sistema de
numeración, que se puede apreciar por la descomposición aditiva de los números mayores de 5. De
esta forma, para generar nuevos números se necesitan cada cinco elementos nuevas entidades, creando
nombres cada vez más largos, haciendo difícil su manejo.
Al preguntar sobre el procedimiento a seguir con cantidades mayores, la respuesta obtenida fue �se
colocan las cosas en un panero y se cuentan los paneros�. El panero (Pechi) es un canasto que se toma
como la unidad de capacidad fundamental, en él se cargan toda clase de alimentos, según Antero
un panero lleno lleva 20 cosas o más, por lo que se presume que un conjunto de 25 frutas puede ser
contado como �un panero con frutas� y no como un �panero y una mano�. En 1989 fue realizado por
Montes un estudio sobre la numeración ticuna [43]1, en el que se describe la estructura del sistema
y se discuten propuestas de extensión del mismo. Al igual que en el estudio mencionado, en nuestra
indagación no se encontró información con�able sobre prácticas gestuales asociadas al conteo. Existe2
un término asociado al reparto (wüi-chígü = para cada uno) y otro a la duplicación (tare-epüküna =
dos veces, doble). También hay términos asociados a la ordinalidad, pero no se distinguen claramente:
Dino niú ya norü�ükü ya chaune: Lino es mi primer hijo
Milena rü chauakü i ηiwa í ya kuakü i yi i: Milena es mi ultima hija
1En ese estudio se tomaron orientaciones teóricas y metodológicas de los trabajos de André Cauty, que planteanuna clasi�cación distinta a la de [81].
2Información suministrada por la profesora María Emilia Montes.
44
2.2. Explicar
Esta actividad se hace de manera inconsciente, podemos decir que invisible. Siguiendo lo mencionado
en la seccion 1.1.3, parte de la indagación se orientó al estudio del uso de conectores lógicos dentro
de los relatos míticos ticuna, otra parte se destinó a analizar maneras como se clasi�can objetos y a
las formas de validación y de explicación en tareas caseras de cada familia. La observación se hizo
de dos maneras independientes. Por una parte el conocimiento del entramado mítico de los ticuna a
partir de narraciones directas de habitantes de Macedonia y de transcripciones hechas en castellano
por investigaciones anteriores [56],[7],[13], de otra parte en las explicaciones en eventos y situaciones
cotidianas.
Los mitos de origen de la etnia ticuna son abundantes, muchos de ellos están en [56], tras una
primera impresión los relatos pueden ser fácilmente tildados como �incoherentes� o �absurdos�, ya
que suceden hechos en tiempos y condiciones que no admiten una explicación �verosimil� para la
cultura occidental3. Esta impresión no sería más que un prejuicio y desconocimiento de que las
narraciones fundacionales contienen elementos fantásticos. Lo que sí es notorio es que no siempre hay
una relación causal entre los hechos, por ejemplo un personaje experimenta varias muertes en relatos
que se suceden en el tiempo [56], sin relatar por qué o cómo ha podido revivir, también se crean y
nacen cosas o seres totalmente completos, tal cual están formados en su madurez, sin consideración
de un cambio gradual 4.
Un relato que causa especial interés es el de Métare, similar al Prometeo griego o al Bochica de los
Chibchas, al traer las herramientas y enseñar a trabajar a los ticuna. Al igual que su par griego,
Métare es símbolo del conocimiento (y de su transmisión), del saber expresado en el trabajo.
En versiones más elaboradas de las narraciones se hacen presentes los conectores lógicos, como por
ejemplo en los relatos registrados en [7], aunque no es claro si esto obedece a una modi�cación del
relato por parte del editor, con el interés de hacerlo más entendible para el lector, o si es que estos
3Métare se convierte en un pájaro, que cura la ceguera al defecar en los ojos de una enferma.4Yoi, Ipi y sus esposas nacen de la rodilla de su padre �Gútapa.
45
conectores sí pertenecen al idioma ticuna y no habían sido detectados en trabajos anteriores. En
entrevista con la profesora Montes, a�rmó desconocer un término explícito para la disyuncion.
En la narración oral de relatos5, se advirtieron dos elementos:
Los relatos se hicieron en castellano, y en ellos se hizo uso de los tiempos verbales usuales del idioma
(ausentes en la lengua ticuna, donde los verbos se usan exclusivamente en in�nitivo) y de conectores
como �y�, �después�, �entonces�. No se logró apreciar si el sentido dado a esos conectores era siempre
el mismo que se le otorga en la lógica clásica, o algunos eran simplemente usados por los narradores
para dar más ritmo o intensidad dramática al relato.
En las narraciones se hacia evidente el sincretismo religioso generado por la presencia de la fe cristiana
en la comunidad, que hace modi�car el carácter divino de los personajes propios de la mitologia ticuna,
colocándolos a un plano inferior al de Jesucristo. Ocurrió que un relator negaba la veracidad de la
historia, a�rmando que eso se contaba antes de que ellos fueran evangelizados, pero que ahora no
había necesidad de explicar mucho la historia, ya que era �mentira�, por estar alejada de la historia
bíblica. Otro narrador a�rmó que los dioses Yoi e Ipi eran enviados de Jesús, que es el �único y
verdadero� Dios.
Para adelantar con éxito un tarea de búsqueda sistemática de conectores lógicos y palabras utilizadas
para articular la narración, se hace indispensable conocer la lengua ticuna. Esto fue una gran di�-
cultad, ya que en este período tan corto no se pudo ir más allá de algunas palabras o modismos,
quedando fuera la estructura gramatical del idioma. Trabajos como el de la profesora María Emilia
Montes proporcionan amplias y muy útiles fuentes para adquirir un conocimiento apropiado de la
lengua ticuna.
Sobre las explicaciones en actos cotidianos, se ve que la instrucción a los niños en tareas básicas
(cocinar, pescar, cortar madera, limpiar rastrojo, etc) se realiza por observación al padre o madre y con
asignación de tareas sencillas que luego aumentan de complejidad. Causa extrañeza que prácticamente
no hay ninguna explicación oral de cómo realizar una tarea, después de realizar la acción delante de
5Los relatores fueron Antero León, Javier Peña y Blanca León Cruz.
46
los niños, el padre o madre ordena ejecutarla y evalúa el resultado en términos de �está bien (mal)�,
�faltó calor�, o �se debe hacer así... (haciendo un gesto con las manos o brazos)� o repitiendo la acción.
Se procede de manera similar cuando el aprendiz no es un niño, entre adultos también se efectúa
esta enseñanza. En lengua ticuna alguien inteligente esDoerú (doo= suave, verde; erú= cabeza) si
�aprende rápido�, esto claramente relacionado con esa manera de educar.
No por su sencillez podemos menospreciar esta forma de enseñanza, por el contrario, es altamente
efectiva, las niñas son responsables de la cocina de la casa antes de que cumplan doce años, y los
varones menores de 10 años ya han aprendido a pescar con lanza. No es en vano que la edad más
usual para casarse sea los 16 años, ya que a esa edad tanto hombres como mujeres pueden hacerse
cargo de una chagra propia y conocen lo necesario para formar una familia.
Un aspecto importantísimo estriba en que la vida está ligada al hacer, a la acción, no al decir; solo
los mayores tienen licencia de hablar, ya que han demostrado que saben �hacer� y la palabra se
respeta, porque viene acompañada de saber, evidencia de ello es cuando se entablan conversaciones
que involucran argumentaciones. El diálogo no es tan �dinámico� como en la sociedad blanca, es
más pausado, las intervenciones son escuchadas sin interrupciones o interpelaciones, después que la
persona considera que ha acabado su intervención otra procede a hablar, refutando o apoyando las
posiciones planteadas. Normalmente cada intervención tiene una duración mayor de la que el oyente
no-indígena está acostumbrado.
Actualmente en Macedonia hay dos claras reglas de validación para una aseveración o comportamien-
to: a) Ser comunicada por algún miembro de la iglesia (pastor, co-pastor, superiores), se puede pensar
que en realidad la regla es la concordancia (de la frase o actuación) con la Biblia cristiana, pero la
validación no siempre ocurre por esto, se da más bien por la autoridad que tiene el miembro eclesiás-
tico. b) Estar cobijada por la legalidad jurídica o los procedimientos administrativos del �mundo� de
Leticia (Alcaldía Municipal, Gobernación Departamental).
Como se planteó en el marco teórico, dentro de la actividad de explicar se incluye la clasi�cación
de objetos y seres, en la cultura ticuna se encuentra que esta se realiza de acuerdo a parámetros de
47
forma y función, siendo las cosas agrupadas en categorías tales como :
Forma de cuerda nanüta, Forma alargada namá´u (cascabel), Forma de lámina nachin�ü, Forma de
ori�cio naétü (el ojo)
Hay tres grandes divisiones del mundo físico: tierra alta (dauchìtáànè), tierra baja (tat�üànè) y aguajal
(témánekü), distinguiendo varios ambientes dentro de los dos primeros. Los vegetales también tienen
su propia división, correspondientes a si son cultivados, silvestres o de rastrojo; remitimos a [7], ya
que allí se aborda el tema de manera sencilla y completa.
2.3. Medir
Así como el conteo, la actividad de medir ya ha sido bastante permeada por el contacto con el hombre
blanco, por lo que el sistema métrico decimal es usado en cualquier situación en la que se requiera
medir longitudes o áreas, también el peso y el tiempo son medidos con las unidades e instrumentos
�occidentales�. De las actividades identi�cadas como generadoras de pensamiento matemático, las
prácticas de medición son las que menos se conservan, esto ha sido motivado en mayor medida
por la presencia del comercio, que requiere de una interacción e�ciente, apoyada en el manejo de
unas unidades y patrones comunes entre las partes que comercian. Se pretende documentar aquí el
conocimiento que tienen habitantes de la comunidad de Macedonia sobre cómo la tradición ticuna le
da tratamiento a las magnitudes de longitud, capacidad, masa, tiempo y super�cie-volumen. Antes de
ocuparse especí�camente de cada magnitud, es necesario hablar de la presencia y uso de pre�jos o de
su�jos, estas partículas aumentativas son de vital importancia, ya que con ellas y sus combinaciones
se determina la cantidad de magnitud que posee un objeto o evento. La cantidad de una magnitud
tiene varias gradaciones, dadas por la combinación de partículas como:üchi, ichi, ma.6
Durante las entrevistas, el uso de patrones sólo fue visto en la magnitud capacidad, sin dar mayores
6No todas las partículas se usan para cualquer magnitud, y esto viene dado por el tipo de objeto que se quieremedir, por ejemplo �Na ma chane ichi Juan�= Juan es muy grande, pero de alto.
48
indicios del uso de una unidad de medida. Si el patrón panero no está presente en la situación de
medida de dos cantidades, no se podría determinar cual de las dos tiene mayor cantidad de magnitud,
o si existe equivalencia entre las dos
Longitud
Como se asume en el marco teórico, la longitud tiene dos aspectos distintos, dimensión y distancia,
en este último se tienen términos para los conceptos primarios: cercaηaikama y lejos ya˜u, entrando
a operar allí las partículas aumentativas:
Ye-ama-na-u: vaya allá lejos ya˜u ˜uchi: muy lejos
ya˜u˜uchi˜uma : muy muy lejos
ηaikama- ˜uchi : muy cerca daigu-üchí-ü: muy cerca
Kunanáyau∼: pegado a uno.
Tá: grande Tatü: rió grande (Río Amazonas)
Na: eso Natá: eso grande Ichi: (su�jo aumentativo)
Natá ichi: eso es muy grande
En las entrevistas se notó que las distancias están ligadas a la experiencia de la ubicación de objetos y
lugares. Sin dar mayor importancia a la precisión. Al igual que en lenguaje castellano, estos términos
poseen un valor relativo a la circunstancia en que son usados. Es decir, dependiendo del contexto
Daigu-üchí-ü puede ser usado para referirse a Leticia o a la casa vecina. Existe una noción de �grande�
para los árboles, que no se basa en la altura, sino en lo ancho del tronco (táàne). Lo alto es asociado
con el occidente, por la posición del rio que �uye de occidente a oriente.
En cuanto a la dimensión, para objetos pequeños se usan medidas naturales, como la distancia entre
el pulgar y el meñique y la distancia entre pulgar y el índice (cuando la mano está extendida). Estas
medidas se usan con frecuencia para determinar la altura de �guras artesanales hechas en Palosangre
(Brosimum rubescens), y en Chambira (Astrocaryum chambira). Para objetos de mayor dimensión
se utilizan el sistema métrico decimal y los instrumentos relacionados (metro y regla).
49
Capacidad
De entrada hay que aclarar que los ticuna no tenían necesidad de determinar la capacidad de diversos
recipientes, ya que usaban sólo tres tipos de éstos, cuya capacidad ya estaba determinada. Utilizaban
el panero (Pechi) para determinar cantidades sólidas (leña, frutas, carnes y otros alimentos) y para
medir líquidos contaban con una tinaja pequeña llamada tü�u y una más grande llamada Barü que
tenía bastante capacidad, ya que era usada para almacenar el masato que se preparaba para la �esta
de la Pelazón7. Como se observa, un mismo patrón (panero) es utilizado para distintas unidades
(platanos, pescados, etc), y no hay distintos patrones para una misma unidad.
Se encuentra una expresión para referirse a la mitad de una cantidad, por ejemploPechu arü ηaü
(medio panero), Antero León a�rmó que no se tenían expresiones para fracciones menores que la
mitad, y que para ese caso usaban el término �un poco�
2.4. Diseñar
Segun lo planteado por Bishop, el diseño se mani�esta en situaciones muy diversas, tanto de carácter
utilitario (una casa, una herramienta) como de carácter lúdico, o místico (vestuario y maquillaje para
�estas y ceremonias). Se buscó la presencia de diseño en elementos como las casas, los utensilios de
cocina, los dibujos y artesanias propios de la etnia.
Lo primero que se intentó indagar fue la construcción de las casas para identi�car formas o diseños
propios. Originalmente en los asentamientos ticunas todos los habitantes vivían en una sola maloca
circular sin divisiones internas, pero por el crecimiento de la población y el contacto con la gente
blanca, en la actualidad cada grupo familiar habita una casa rectangular. En las comunidades del rio
se ha adelantado un programa de vivienda por parte de la gobernación departamental, en el que se le
otorga a cada familia una casa, que ya viene con un modelo propio que incluye instalaciones eléctricas,
7La pelazón era la única �esta de la etnia ticuna y se le celebraba a cada mujer cuando tenia su primer menstruación.La �esta duraba una semana y asistían todas las personas de la tribu.
50
divide espacios para formar habitaciones y cambia el tradicional techo en Caraná (Mauritia carana)
por tejas de zinc, que incluye canales para la recolección de aguas lluvias; en el modelo de vivienda se
incluye también dotación de baterías sanitarias. Prácticamente todas las casas de Macedonia tienen
este diseño y sólo se conservan un par con el techo en caraná. Todas las casas, nuevas o viejas,
son rectangulares con piso y paredes interiores y exteriores en madera. Por la cercanía con el rio
Amazonas y la quebrada Kuyatë, las casas tienen una forma palafítica8, que les permite sobrellevar
mejor las épocas de invierno e inundación. En la construcción de las casas, no se logró identi�car
un tránsito de lo representado y previsto (grá�ca o verbalmente) a lo ejecutado, dada la ausencia de
constructores dentro de la comunidad.
Al igual que con los diseños de la casas, los utensilios usados en labores domésticas (ollas de metal,
cubiertos, platos, cuchillos), son provenientes de Leticia, Iquitos o Manaos, lo mismo sucede con
machetes y otras herramientas.
Teniendo en cuenta que con respecto a la actividad de diseñar, la búsqueda se debe centrar más que
en lo particular de los objetos, en el proceso de elaboración de los mismos, abarcando tanto la idea
primaria que tiene su fabricante, como la técnica que éste emplea para la fabricación del objeto, se
decidió orientar la exploración a la elaboración de objetos artesanales que, como se menciona en la
descripción de la comunidad, es fuente de ingresos económicos para las familias de Macedonia.
Las �guras talladas en la madera Palosangre son animales, tanto de tierra como de agua, accesorios
decorativos como bandejas, fruteros, platos y cubiertos. Esporádicamente, y por encargo expreso,
se hacen tallas de seres relacionados con la mitología ticuna, como el Yachingo o el Kurupira, o
relacionados con el rio Amazonas, como es el Yucuruna (Delfín Hombre o Bufeo). Debe anotarse
que para las �guras de los animales son tomadas como referente fotos de albumes o a�ches, y se
intenta alcanzar el mayor nivel de �realismo� en la talla, es decir, se trata de copiar el animal lo
más �elmente posible. Las tallas usualmente no sobrepasan los 20 cm de alto, debido a razones
comerciales, aunque si algún turista solicita un tamaño mayor, los artesanos pueden realizarlo. El
8El pala�to es un tipo de vivienda construída sobre estacas o pies derechos.
51
tamaño es usualmente determinado con las medidas de la mano (distancia máxima entre pulgar e
indice o entre pulgar y meñique), tal como se relató en el apartado dedicado a la medición. Como ya
se mencionó, las herramientas y materiales utilizados son cuchillos para madera, formones, martillos
y lijas de diversos �nuras, todos son traídos desde Leticia.
Indagando en las entrevistas a los artesanos sobre cómo se habían incorporado estas herramientas
al trabajo con la madera, ellos comentaron que siempre han usado este tipo de herramientas, y que
no habían aprendido de sus padres la técnica de trabajo con la madera, lo hicieron con instructores
del SENA y de Artesanías de Colombia, que vinieron hace algunos años (no especi�can cuántos) a
impartir talleres sobre el manejo y corte de la madera, por lo que la actual es la primera generación
que se dedica al trabajo artesanal en madera. Sólo un artesano entrevistado (Fidel Carvajal) comentó
que había recibido instrucción de su suegro, que es ticuna proveniente del Brasil y usaba sólo machete
y cuchillo como herramientas.
Aunque en algunas familias se enseña por igual a niños y a niñas, el trabajo con esta madera es
primordialmente una labor masculina, en la que la mujer a veces colabora con el lijado �nal de la
talla. El proceso de tallado consiste en la toma de un tronco o pedazo de madera, que primero es
desvastado gruesamente con formón, luego pulido con distintos cuchillos para hacer los detalles más
�nos, �nalmente se aplican varias capas de lijado y una de betún para dar brillo. En la primera parte
se detecta cierto desperdicio del material, que hace necesario un estudio del proceso de talla, para
adelantar investigaciones y proyectos con los artesanos, en los que se de un uso adecuado y e�ciente
al material.
En cuanto al trabajo en Chambira, aunque los ticunas tejen con la �bra de esta planta mochilas,
hamacas, collares y pulseras, en Macedonia los artesanos se dedican fundamentalmente a estos dos
ultimos objetos. El proceso de trabajo con la hoja de la planta Chambira, requiere de mucho tiempo
y dedicación, ya que se debe tomar el brote de la planta, arrancarlo suavemente, luego sacudirlo para
quitarle las espinas que tiene. Se toma cada hoja y se trabaja de tal modo que quede dividida en
tiras anchas, que posteriormente se ponen a secar al sol, luego se dejan en remojo toda una noche,
52
se lavan y se vuelven a secar, una vez secas adquieren un color blanco o amarillo, después de esto se
procede a tinturar con hojas de otros árboles, semillas, troncos o incluso tintura comprada en Leticia.
Después de que se han pintado estas tiras, se pasa a la etapa de la �torcida�, que consiste en anudar
las tiras hasta que asemejen una cuerda de nylon o cabuya, ahí estará lista para empezar a tejer
algún elemento. Todo esto debe ser hecho en menos de cuatro días y todos los pasos mencionados
son decisivos en la textura �nal de la �bra, por lo que no se pude descuidar ninguno de ellos, so
pena de que la �bra quede de mala calidad. El tiempo empleado en tejer completamente una manilla
usualmente es de una hora, aunque puede ser menor dependiendo de la experiencia del artesano.
Como el tejido en chambira prácticamente no requiere de herramientas y la planta se consigue más
fácilmente que el árbol de palosangre, hay más personas dedicadas al tejido que a la talla, también
el tiempo de tejido de una manilla es bastante corto. Por estas ventajas se pudo observar un gran
número de manillas y collares de distintos artesanos, por ejemplo, una familia podía tener para la
muestra 20 o 30 manillas de diversos diseños.
Se realizaron entrevistas semanalmente, con el �n de aprender parte del procedimiento de tejido. En
la elaboración de manillas se identi�caron diferentes tejidos, provenientes de patrones distintos y que
di�eren en su proceso de elaboración. Con cada tipo de tejido se pueden realizar diversos diseños y
motivos de notable belleza, en los que se combinan formas y colores según la creatividad de cada
artesano. Se hizo registro audiovisual de tres entrevistas en las que se relata el proceso de elaboración
de la �bra y se muestran las maneras de elaborar los distintos tipos de tejido.
Gracias a una inquietud planteada por Natalia Caicedo, en las entrevistas se corroboró que si bien
los tejidos identi�cados son trabajados desde hace tiempo por los ticunas, existe un tipo de tejido
anterior a los encontrados, que se puede considerar como �original�, los artesanos mencionaron que
en Boyahuazú y en Puerto Nariño hay personas que trabajan este tejido.
A continuación se describe el proceso de elaboración de las manillas, y algunas características de
distintos tipos de tejidos encontrados en Macedonia, para ello se escogieron 25 manillas con diversos
motivos, fabricadas por 5 familias distintas.
53
En primer lugar, para elaborar una manilla se debe determinar el ancho deseado, ya que este deter-
mina a su vez el número de �bras que intervendrán en el proceso, por lo general el ancho de una
manilla es de 4 cm y el de un collar es de 2 o 3 centimetros. Aunque una manilla puede tener de
largo la medida especí�ca de la muñeca de una persona, por razones comerciales se fabrican de una
longitud �ja (17 cm), para los collares ésta es de aproximadamente 60 cm. Cada una de las �bras
que se usan mide aproximadamente 2 metros9.
Los patrones de tejidos consisten en una sucesión de nudos hechos casi siempre a mano sin herra-
mientas (en la muestra hay 3 manillas realizadas con aguja), siguiendo una secuencia de pasos �ja.
Aunque hay distintos nudos, en cada manilla se utiliza un sólo tipo de nudo.
Se identi�caron cinco tipos de nudos que podemos considerar básicos, a continuación se presenta
cada nudo en dos pequeñas variaciones dadas por el sentido en que se quiere hacer el nudo:
FIJAR
NUDO A9Este tamaño no es relevante, ya que si la �bra sobra es recortada, y en caso de que sea insu�ciente se añade la
�bra que haga falta, gracias al estilo de fabricación de la cuerda estos �añadidos� son imperceptibles.
54
NUDO DC2C1 C3 C4
C2C1 C3 C4
NUDOD2(C1,C2,C3,C4)
NUDOD1(C1,C2,C3,C4)
Para hacer los nudos de algunos tejidos, se toman como apoyo �bras que, al tensarse con puntillas
clavadas a una tabla de madera, quedan �jas y cumplen el papel deurdimbre en el tejido. El artesano
debe escoger los colores que usará en latrama, que es la parte móvil del tejido. Existen otros patrones
de tejidos en los que sólo se usa una pequeña �bra auxiliar, en la que se �jan inicialmente las �bras,
pero que no interviene en el resto del tejido, por lo que la �nal es recortada y se hace imperceptible,
estos tejidos no los consideraremos como de urdimbre.
Existe un esquema general para trabajar cualquier manilla, anudar inicialmente, desarrollar los nudos
hasta el tamaño deseado y anudar �nalmente. Los elementos variables son: el tipo de nudo empleado,
el número de �bras usadas y si se utilizan puntillas como guías. Por lo anterior, vemos que el pro-
56
ceso de elaboración de una manilla satisface la de�nición de algoritmo10, y por lo tanto es posible
describirlo con la terminología relativa a los algoritmos, basada en instrucciones11, funciones12y es-
tructuras13 elementales. A continuación se presentan los pseudo-códigos de los patrones y funciones
identi�cados en las muestras recogidas. Posteriormente se indica para cada integrante de la muestra,
el procedimiento que lo describe.
2.4.1. Tipos de Parámetros
Una clase de datos es ��bras�, que se asimila a una �bra hecha en chambira, la �bra posee un color
y una longitud. Otra clase es �eje�, que es el conjunto de �bras tomado como urdimbre para la
realización de la manilla, este conjunto puede ser de una o varias �bras.
2.4.2. Estructuras de datos
En computación, cuando se manejan listas de datos se pueden asumir distintas opciones dependiendo
de la situación y las características de los datos. Utilizar la estructuraPila es una de esas opciones.
En una pila tanto las inserciones como las supresiones se hacen por el mismo extremo, que se conoce
como el tope de la pila. Por ejemplo, la pila de carritos de los supermercados, porque el último carro
que se coloca es el primero que se saca. Esta propiedad de la pila se conoce como LIFO (Last In
First Out; último que entra primero que sale). Otra estructura de datos usada es laCola, que utiliza
la política FIFO(First In, First Out). En una cola el primer elemento en entrar será el primero en
salir (como en un banco o un supermercado), en este caso las inserciones se hacen por un extremo
llamado �último� y las eliminaciones se hacen por el otro extremo llamado �delantero�. Para las
10Por algoritmo se entiende una especi�cación no ambigua de una secuencia de pasos que sirven para resolver unproblema o ejecutar una tarea. Aho, A. et al, �The Design and Analysis of Computer Algorithms� 2da Ed., Addison-Wesley, 1974. Tiene como características esenciales:precisión(debe indicar el orden exacto de ejecución de cada tarea.),determinismo (Si se sigue el algoritmo dos o más veces con los mismos datos de entrada, se deben obtener los mismosdatos de salida) y �nitud(El algoritmo debe terminar en algún momento y debe usar una cantidad de recursos �nita).
11Instrucciones como �si�, �sino�, �mientras�, �para�.12Funciones que tienen parámetros convenientemente escogidos, p.ej. enteros, booleanos, reales, o ��bras�, como en
este trabajo.13Listas encadenadas: pilas y colas.
57
estructuras mencionadas hay instrucciones básicas: crear, insertar y eliminar, por lo que podemos
de�nir funciones relacionadas:
Crear(Cosa, estructura): Crea una estructura (sea una Pila o una Cola) de nombre �Cosa�
Insertar(X, estructura): Inserta el elemento X en la pila (cola resp.)
EliminarCabeza(estructura): Elimina el elemento delantero de la cola (o el tope de la pila resp.)
Estas funciones son de gran utilidad para describir brevemente los patrones de tejido.
2.4.3. Funciones elementales
La función NudoA (�bra Cuerda1, �bra Cuerda2) simplemente indica la realización de un nudo
clase A entre las �bras Cuerda1 y Cuerda2. De igual manera para NudoB, NudoC y NudoD (para
este último se requieren 4 �bras).
Fijar(eje Eje1, �bra Cuerda) corresponde a anudar la �bra Cuerda con las �bras que hacen las veces
de eje (Eje1), después de aplicar esta función la �bra Cuerda se duplica creándose las �bras Cuerda1
y Cuerda2.
Veri�car(bool Indice) es una función que examina si la manilla ha alcanzado el tamaño deseado,
cuando esto ocurre asigna el valor FALSE a la variable booleana Indice, en caso contrario asigna el
valor TRUE .
Con NudoFinal(�bra Cuerda) se hace un último nudo, y se recorta la �bra sobrante.
AnudarA(eje Eje1, �bra Cuerda , entero a) es un procedimiento que hace el nudo tipo A entre la
�bra Cuerda y cada una de las �bras de Eje1, siguiendo el orden que determina el enteroa (1=izq-der;
0=der-izq). Similarmente se procede conAnudarB, AnudarC y AnudarD
Para algunos diseños usaremos IzqDerA(�bra Cuerda) como abreviatura de: AnudarA(Eje1, Cuer-
da, 1), AnudarA(Eje2, Cuerda, 1), . . ., AnudarA(EjeN, Cuerda, 1) donde N es el número de ejes.
Análogamente usaremos DerIzqA(�braCuerda) como abreviatura de AnudarA(EjeN, Cuerda, 0),
AnudarA(EjeN-1, Cuerda, 0), . . ., AnudarA(Eje1, Cuerda, 0).
58
2.4.4. Pseudo-códigos
En este apartado describiremos los patrones encontrados, en algunos casos numeraremos cada ins-
trucción del pseudo-código para facilitar el estudio14. Para referirse a las �bras que hacen de urdimbre
en un tejido, se utilizarán las convenciones Eje1, Eje2, etc, entendiendo que Eje1 es la primer �bra
recorriendo de izquierda a derecha el tejido; se supondrá que estas �bras de la urdimbre han sido
anudadas en puntillas, antes de iniciar el proceso. Los símbolos �//� indican que se realizará un co-
mentario para explicar alguna instrucción del programa, estos comentarios no son parte esencial del
pseudo- codigo, sólo se colocan para orientar.
Colombia1(�bra Am, �bra Az, �bra Roj, entero 2, entero 4 )
inicio: //2 ejes de 4 �bras cada uno
1 Fijar(Eje1,Az)2 Fijar(Eje1,Roj)3 Fijar(Eje2,Am)4 Bool Tamaño=TRUE5 Mientras (Tamaño=True)6 IzqDerA(Az)//recorre de izquierda a derecha los ejes7 IzqDerA(Roj)8 DerIzqA(Roj)//recorre de derecha a izquierda los ejes9 DerIzqA(Az)
10 DerIzqA(Am)11 IzqDerA(Am)12 Veri�car (Tamaño)13 �n mientras14 Nudo Final(Am)15 Nudo Final(Az)16 Nudo Final(Roj)
�n14Los nombres de los tejidos han sido asignados de manera arbitraria.
59
La siguiente �gura ilustra el patrón anterior. Las instrucciones 6 a 11 se pueden observar en el
recuadro. De 14 a 16 está encerrado por un círculo:
Chispita(�bra Bl, �bra Mo, int 2 , int 4)
inicio: //2 ejes de 4 �bras cada uno
Fijar(Eje1,Mo)Fijar(Eje2,Bl)Bool Tamaño=Truemientras (Tamaño=True)
IzqDer(Mo)DerIzqA(Mo)DerIzqA(Bl)IzqDer(Bl)Veri�car (Tamaño)
�n mientrasNudo Final(Mo)Nudo Final(Bl)
Fin
60
Los siguientes dos patrones son de la segunda clase de manillas, es decir, sólo utilizan una pequeña
urdimbre para iniciar.
Azuli(�bra C1,�bra C2,· · · ,�bra Cn)
inicio:
1 Bool Tamaño=True2 entero i=03 para (i=1; i<n ;i++)4 Fijar(E,Ci) //se duplican las �bras5 mientras (Tamaño=True)6 i=17 mientras (i≤ n− 1)8 NudoD(Ci1,Ci2,C(i+1)1,C(i+1)2)9 i=i+2
10 �n mientras11 i=212 Mientras (i≤ n− 1)13 NudoD(Ci1,Ci2,C(i+1)1,C(i+1)2)14 i=i+215 �n mientras16 Veri�car (Tamaño)17 �n mientras tamaño18 para (i=1; i<n ;i++)
61
19 Nudo�nal(Ci)20 �n para
�n
Como se puede apreciar, el recuadro superior está descrito en las instrucciones 7 al 9; el recuadro
inferior se describe en las instrucciones 12 al 14.
Lucy(�bra C1,. . ., �bra Cn)
inicio:
Bool Tamaño=Trueint i=0para (i=1; i≤n ;i++)
Fijar(E,Ci) //duplica la �bra�n parai=1mientras(i<n; i++)
NudoB(Ci,Ci+1)i=i+2
�n mientras
62
mientras (Tamaño=True)para (i=1; i<n ;i++)
NudoC(Ci2, C(i+1)1)�n parapara (i=1; i≤n; i++)
NudoC(Ci1, Ci2)�n paraVeri�car (Tamaño)
�n mientrastamanopara (i=1; i<=n ;i++)
Nudo�nal(Ci)Fin para
�nLucy
El siguiente patrón de tejido utiliza urdimbres y es de los más populares en el mercado artesanal.
circo(�bra C1, · · · ,�bra C4,2, 4 )
inicio:
Bool Tamaño=TrueCrear(ColaX, cola)Crear(ColaY,cola)para (i=1; i<4 ;i++)
Fijar(Eje1,Ci) //se duplica cada �braInserta(colaX,Ci1) //en la colaX quedan los imparesInserta(colaX,Ci2)Fijar(Eje2,Ci+1)Inserta(colaY,C(i+1)1 ) //en la colaY quedan los paresInserta(colaY,C(i+1)2)i++
�n paraCrear(pila1, pila)Crear(pila2,pila)
63
mientras (Tamaño=True)mientras(colaY6= vacia)AnudarA(Eje1, colaY, 0) //1=izq-dert; 0=der-izqInsertar(pila1,colaY)EliminarCabeza(colaY)
�n mientras ColaYmientras(colaX6= vacia)AnudarA(Eje2, colaX, 1) //1=izq-dert; 0=der-izqInsertar(pila2,colaX)EliminarCabeza(colaX)
�n mientras ColaX ///se han llenado las pilasmientras (pila2 6=vacia)
AnudarA(Eje2, pila2,0)Insertar(colaY,pila2)EliminarCabeza(pila2)
Fin mientrasmientras (pila1 6=vacia)
AnudarA(1, pila1,1)Insertar(colaX,pila1)Eliminarcabeza(pila1)
�n mientrasVeri�car (Tamaño)
si(Tamaño6=True)Terminar
sinomientras(colaY6= vacia)
AnudarA(Eje1, colaY, 0) //1=izq-dert; 0=der-izqInsertar(pila1,colaY)EliminarCabeza(colaY)
�n mientras ColaYmientras(colaX6= vacia)AnudarA(Eje2, colaX, 1) //1=izq-dert; 0=der-izqInsertar(pila2,colaX)
64
EliminarCabeza(colaX)�n mientras ColaX ///se han vuelto a llenar las pilasmientras (Pila2 6=vacia)
AnudarA(2, pila2,0)Insertar(colaY,pila2)Eliminarcabeza(pila2)
�n mientrasmientras (Pila1 6=vacia)
AnudarA(1, pila1,1)Insertar(colaX,pila1)Eliminarcabeza(pila1)
�n mientrasVeri�car (Tamaño)
�n sino�n mientras tamañopara (i=1;i<4; i++)
NudoFinal (Ci1)NudoFinal (Ci2)
�n parapara (i=1;i<4; i++)
NudoFinal (Ejei)�n para
Fin proceso circo
El siguiente diseño incluye la incrustación de semillas u otros objetos, que sirven de decoración a la
65
artesanía
Guairuro(�braC1, . . . ,�braCn, bool incrusta) inicio
Bool Tamaño=Truepara (i=1; i<=n ;i++)
NudoA(E, Ci,1 ) // 1=izq-dert; anuda a la urdimbre completaFin para //se ha duplicado Ci
EjeIzq=Eje1EjeDer=Eje2mientras (Tamaño=True)
para (i=0; i<n ;i++)NudoA(EjeIzq, C(n-i)1,0 ) // 1=izq-dert; anuda a la urdimbre completaNudoA(EjeDer, C(n-i)2,1 )
Fin parapara (i=1; i<=n ;i++)
NudoA (EjeIzq, Ci1,1 ) // 1=izq-dert; anuda a la urdimbre completaNudoA (EjeDer, Ci2,0 )
Fin parasi (incrusta)
Insertar incrustaciónFin siNudoA(EjeDer, EjeIzq,1 )Aux=EjeIzqEjeIzq=EjeDerEjeDer= AuxVeri�car(Tamaño)
Fin mientrastamañopara (i=1; i<=n ;i++)
NudoFinal(Ci1)NudoFinal(Ci2)
Fin paraTerminar (Eje1,Eje2)
Fin Guairuro
66
El siguiente patrón usa dos �bras como urdimbres
Baru(�braC1,. . .,�braCn, entero k) //las primeras k �bras serán anudadas en el primer eje, las
restantes en el segundo eje, usualmente n es par y k=n/2.
Inicio:
Bool Tamaño=Truepara (i=1; i<=k ;i++)
NudoA(Eje1, Ci ) // 1=izq-derFin paramientras ( i<=n)
NudoA(Eje2, Ci)i++
�n mientras //se han duplicado las �brasi=kmientras ( i<=n)
NudoA(Eje1, Ci1,0)NudoA(Eje1, Ci2,0)i++
�n mientrasFib= Eje1J=0mientras (Tamaño=True)
para (i=1; i<=n ;i++)NudoA(Fib, Ci1,J) // 1=izq-derNudoA(Fib, Ci2,J )
�n paraJ=1-Jsi (J=0)
Fib=Eje1�n sisino
Fib=Eje2�n sino
67
Veri�car(Tamaño)Fin mientrastamañopara (i=1; i<=n ;i++)
NudoFinal(Ci1)NudoFinal(Ci2)
Fin forTerminar (Eje1,Eje2)
Fin Baru
El siguiente diseño tiene características particulares: no hay duplicaciones de las �bras (como en
las demás manillas estudiadas), sólo hay un eje de urdimbre, y éste no está �jo, se mueve al igual
que las �bras de la trama. Para elaborar este diseño, hay que dar vueltas al tejido, es decir, anudar
alternadamente desde el anverso y desde el reverso. Esto no es fácil de apreciar con las fotos tomadas,
pero al ver la elaboración de la manilla se entiende claramente. Para indicar este hecho, crearemos
el procedimientoDarvuelta, que no tiene parámetros.
Mixlargo(C1,Cn) Inicio:
Bool Tamaño=Truemientras (Tamaño=True)
para (i=1; i<=n ;i++)NudoA(E, Ci,1)
�n paraDarvueltapara (i=0; i<n ;i++)
NudoA(E, Cn−i,1)�n paraDarvueltaVeri�car(Tamaño)
�n mientras tamañoNudoFinal(Eje1)NudoFinal(Eje2)para (i=1; i<=n ;i++)
68
NudoFinal(Ci)�n para
Fin procedimiento
Las manillas que se estudiarán a continuación di�eren de las anteriores en un aspecto: no se realizan
nudos como los de�nidos anteriormente, simplemente pasan la trama (parte móvil) por encima y por
debajo de la urdimbre, por lo que la unidad fundamental no es el nudo sino el cruce de dos �bras. El
siguiente tejido ejempli�ca lo descrito:
Se adoptará como notación:Cruce(�bra U, �bra D) indicando que U pasará por encima de D.
Las manillas de este tipo escogidas para la muestra, combinan de distintas maneras tres tipos de �sub-
patrones� que procedemos a describir. Luego se describe una manilla, utilizando estos �sub-patrones�.
Patron1(�bra P, �bra Q, entero n) //Supone que al iniciar Q va por encima de P
inicio:
Cruce (Eje1,Q)Cruce (P, Eje1)para (i=2; i<n-1,i++)
si (i mod2) // si i es par la condición se cumple.Cruce (Ejei,P)Cruce (Q, Ejei)
69
Cruce (P, Q)�n sisino
Cruce (Ejei,Q)Cruce (P, Ejei)Cruce (Q,P)
�n sino�n paraCruce (Ejen−1,Q)Cruce (P, Ejen−1)Cruce (Ejen,P)Cruce (Q, Ejen)
Fin Patron1
Patron2(�braP,�braQ,entero n)
inicio //supone que al inicio P va por encima de Q
Cruce (Ejen,P)Cruce (Q, Ejen)para (i=n-1; i≥2,i�)
si (i mod2) //si i es par la condición se cumpleCruce (Ejei,P)Cruce (Q, Ejei)Cruce (P,Q)
�n sisino
Cruce (Ejei,Q)Cruce (P, Ejei)
70
CruceX (Q,P)�n sino
�n paraCruce (Eje1,Q)Cruce (P, Eje1)
Fin Patron2
Patron3(�bra Bl, �bra N, entero q, entero t)
//Supone que al iniciar Bl va por encima de N, este anudamiento va del Eje q al Eje t
inicio p
para(i=q; i≤ t,i++)si (i mod2)// si i es par la condición se cumple.
Cruce(Ejei,N)Cruce (Bl, Ejei)
Fin sisino
Cruce (Ejei,Bl)Cruce (N, Ejei)
�n sinoFin paraCruce (Bl,N)para (i=t ; i≥ q ; i�)
si (i mod2) // si i es par la condición se cumple.Cruce (Ejei,N)Cruce (Bl, Ejei)
Fin siSino
Cruce (Ejei,Bl)Cruce (N, Ejei)
�n sino�n forCruce (Bl,N)
71
Fin patron3
serpiente(�bra Ver, �bra Blan, entero n,entero k)
inicio:
Bool Tamaño=TrueIzqDerA(Ver)NudoA (Eje1, Blan,1 )para (i=2; i<n ;i++)
NudoB(Ejei,Blan)�n paraNudoA (Ejen, Blan,1 )
//se han duplicado las �bras, generándoseBlan2, V er2 (la derecha), Blan1y V er1 (la izquierda)Cruce (Blan2,V er2)Patron2(Blan2,V er2,n )//las cuatro �bras han quedado en la parte izquierda del tejido (en el Eje1). Ahora empieza el
patrón Amientras(Tamaño=True)
i=1mientras(i<k)
Cruce(V er2,Blan2)Cruce(Blan1,V er1)Patron1(Blan2,V er2,n)//termina el primer parPatron1( V er1,Blan1,n) //termina el segundo parCruce (Blan1,V er1)Cruce(V er2,Blan2)Patron2(V er1,Blan1,n )Patron2(Blan2,V er2,n )i++
Fin mientras
//termina el patrón A, inicia una transiciónCruce (V er2,Blan2)Patron1( Blan2,V er2,n) //termina el primer par
72
Cruce (Blan1,V er1)Cruce (Blan2, V er2)
// transición terminada. Empieza el patrón Bcontador=1mientras(contador ≤4)
patron3(Blan1,V er1,1,k)contador++
�n mientraspara (i=n; i>k,i�)
si (i mod 2) // si i es par la condición se cumple.Cruce(Ejei,Blan2)Cruce (V er2, Ejei)
�n sisino
Cruce (Ejei,V er2)Cruce (Blan2, Ejei)
�n sino�n para contador=1mientras(contador≤4)
patron3(Blan2,V er2,4,6)contador++
�n mientras
//termina patrón B. Empieza la segunda transiciónpara(i=(k+1); i≤ n,i++)
si (i mod2)Cruce(Ejei,V er2)Cruce (Blan2, Ejei)
Fin sisino
Cruce (Ejei,Blan2)Cruce (V er2, Ejei)
�n sino�n para
73
Patron1( Blan1,V er1,n) //han quedado todas las �bras a la derechaCruce (V er1,Blan1)Cruce (Blan2,V er2)Patron2(V er1,Blan1,n )Patron2(Blan2,V er2,n )
//han vuelto ha quedar las cuatro �bras en la parte izquierda del tejido (en el Eje1).�n mientras Tamañopara (j=1; j<3 ;j++)
para (i=1; i<n ;i++)NudoB(Ejei,Blanj)NudoB(Ejei,Verj)
�n para iNudoFinal(Blanj)NudoFinal(Verj)
�n para
Fin procedimiento
A continuación se presenta la clasi�cación de las manillas pertenecientes a la muestra15. Por como-
didad en la presentación se usará la notaciónColor x4, indicando que en la manilla se usan cuatro
�bras de un mismo color
] Unidad Urdim Num Puntillas Proceso que la describe
ejes
1 Nudo A Si 8 2 Circo(Amarillo, Blanco, Verde,Rojo, 2, 4)
2 Nudo A Si 2 1 Guairuro(Naranja,Blanco x2,Negro,Amarillo,False)
3 Nudo A Si 2 1 Guairuro(Negro x2,Rojo x2, Amarillo x2, True)
4 Nudo A Si 8 2 Colombia1(Amarillo, Azul, Rojo, 8, 2)
5 Nudo A Si 8 2 Chispita(Blanco, Morado, 8 ,2)
6 Nudo A Si 8 2 Chispita(Rojo, Negro,8,2)
15En el disco compacto anexo se puede encontrar registro fotográ�co de cada una de ellas.
74
] Unidad Urdim Num Puntillas Proceso que la describe
ejes
7 Nudo A Si 8 2 Modi�cación de Chispita(Blanco,Azul, Café,8,2)
8 Nudo A Si 8 2 Modi�cación de Circo(Naranja x2, 2, 4)
9 Nudo A Si 8 2 Circo(Amarillo, Verde, Rojo, Negro, 2, 4)
10 Nudo A Si 8 3 Modi�cación de Circo(Blanco, Negro, 2, 4)
11 Nudo A Si 0 No Mixlargo(Gris x6,Amarillo x6)
12 Nudo A No 0 No Sin identi�car
13 Nudo A No 0 No Azuli(Negro x3,Blanco x4)
14 Nudo A No 0 No Sin identi�car
15 Nudo C No 0 No Lucy(Negro x6, Café x4,Blanco x4,Morado x2 )
16 Nudo C No 0 No Lucy(Blanco x2,Café x2,Amarillo,Azul)
17 Nudo D No 0 No Azuli(Amarillo x2,Azul)
18 Nudo D No 0 No Azuli(Negro1,Blanco,Negro2)
19 Nudo D No 0 No Azuli(Negro x4,Blanco x4,Naranja x4)
20 Nudo D No 0 No Azuli(Negro x4,Café x4 ,Verde x2,Blanco, Rojo)
21 Nudo D No 0 No Azuli(Blanco,Azul,Blanco)
22 Nudo D No 0 No Baru (Blanco x3,Azul x3,3)
23 Cruce Si 8 4 Patron1(Blanco,Verde,8)
24 Cruce Si 6 3 Serpiente(Verde,Blanco, 6,entero 3)
25 Cruce Si 6 3 Modi�cación de Patron3(Blanco, 6)
La e�ciencia de un algoritmo se expresa en términos de la cantidad de recursos (de tiempo o espacio)
que requiere para procesar completamente una entrada dada, estudiando el desempeño en el mejor
caso, en el peor y en el caso promedio; se habla de orden de complejidad computacional al asignar
una medida que es función de la cantidad de datos entrados al algoritmo, y que indica qué tan
75
e�ciente es el algoritmo. Por ejemplo si la complejidad puede ser expresada como una función lineal
de alguna variable de entrada, se dirá que el algoritmo tiene orden lineal, análogamente para una
función constante, cuadrática o exponencial. El orden de complejidad de un algoritmo aumenta
cuando existen ciclos anidados (e.d. un mientras dentro de otro mientras) esto garantiza que no sea
de orden lineal16. Al examinar los algoritmos que describen los patrones, nos damos cuenta de que
sólo en un caso hay ciclos anidados, por lo que la complejidad es lineal, garantizando que no existe
una manera más e�ciente (en el sentido computacional) de realizar los tejidos ticunas.
Independientemente de un estudio de e�ciencia, en las muestras de tejido es evidente la complejidad
del patrón empleado, lo arduo de su proceso de ejecución y la belleza del resultado. Estos factores
dan evidencias de un proceso mental y manual, de alta concentración y creatividad, todo un proceso
artístico.
16Para mayor información al respecto ver [16].
76
C A P Í T U L O 3
CARACTERIZACIÓN DE LA COMUNIDAD EDUCATIVA
Antes de presentar una caracterización del Colegio �Francisco de Orellana�, institución en donde
se realizó la experiencia de acompañamiento referida en la introducción, es preciso conocer algunos
aspectos relativos al Resguardo Indígena de Macedonia, que están relacionados de manera directa
con la naturaleza de la Institución Educativa.
Macedonia es una comunidad ubicada a 60 Km. de Leticia por la ribera del Río Amazonas; limita
con los resguardos de Zaragoza y Mocagua. Muy cerca de esta comunidad se encuentra el Parque
Nacional Amacayacu. Macedonia fue fundada por indígenas ticunas en 1970 y en la actualidad está
conformada por indígenas cocamas, yaguas y ticunas, constituyéndose estos últimos en la población
mayoritaria. Se calcula que para este año Macedonia cuenta con 625 habitantes1, siendo una de las
comunidades del departamento con más habitantes, después de Leticia y Puerto Nariño; el resguardo
ha alcanzado tal extensión, que se han logrado conformar 5 barrios: � Guayabal�, �Monserrate�, �Los
Cocos�, �San Vicente� y �El Internacional�
Macedonia cuenta con un puesto de salud, el colegio �Francisco de Orellana�, un jardín infantil;
también posee una planta generadora de energía eléctrica y un teléfono comunal que funciona con
energía solar; carece de acueducto y alcantarillado, por lo que se consume agua lluvia o la proveniente
de la quebrada �Kuyatë �; no hay un manejo organizado de las basuras y desechos, por lo que estos
van a parar al río Amazonas o dentro del mismo resguardo.
1Según el censo adelantado por la Universidad Nacional en 2003.
77
Como todo resguardo, Macedonia tiene un gobierno conformado por el Curaca, un vice-curaca, un
secretario, un tesorero, un �scal y 12 cabildantes. Estos cuadros directivos son elegidos cada año.
Debe anotarse que aunque está permitida la reelección, hay bastantes cambios en la �gura del curaca
sin que se presenten confrontaciones políticas negativas.
La �gura del Curaca es muy importante dentro de la comunidad. El Curaca es el representante
legal del resguardo ante cualquier institución o�cial o privada, maneja los recursos de transferencias
asignados por el municipio, así como la dotación de motores y botes que recibe el resguardo de parte
de la gobernación del municipio, asigna permisos para construir casas para personas que deseen
ingresar a la comunidad. También participa de los proyectos de entidades como el Parque Nacional
Amacayacu; actualmente el Curaca es el señor Antonio Gabriel Tangarica
Poco tiempo después de fundada, Macedonia adquirió gran fama porque se decía que allí sucedían
milagros, realizados por una pareja de hermanos, que eran ticunas conversos a la religión cristiana;
desde entonces la comunidad de Macedonia ha contado con una fuerte in�uencia religiosa, promovida
por la Iglesia �Misión Panamericana para las Naciones� que ha apoyado bastante a la comunidad, ha
fundado una iglesia y un instituto misionero, en el cual se llevan a cabo seminarios de instrucción
evangélica para indígenas de distintos resguardos, con el �n de que posteriormente vayan a evangelizar
a otras comunidades.
Otra �gura representativa y dirigente de la comunidad, tanto que se puede considerar al nivel del
Curaca, es el Pastor de la Iglesia, el señor Leovigildo León Catachunga, hijo del pastor anterior,
Aniceto León Macedo. Su presencia ha sido decisiva para la de�nición de reglas sociales dentro de
la comunidad. Por ejemplo, gracias a él y a personas allegadas a su iglesia, la comunidad ha hecho
explícito un manual de derechos y deberes para los habitantes, donde se prohíbe el consumo de
bebidas alcohólicas, fumar, bailar, escuchar música que no sea religiosa cristiana, y se estipula el
deber de dar un aporte (económico o en especie) a la iglesia.
No todos los habitantes son miembros de esta iglesia, hay un minoría católica que habita en el barrio
�Internacional�, donde queda ubicado el colegio �Francisco de Orellana�.
78
Aunque la labor principal de la comunidad es la agricultura, los habitantes de Macedonia son recono-
cidos por las demás comunidades como excelsos artesanos en el tejido en Chambira (Astrocaryum
chambira) y Yanchama (Ficus radula), y en la talla de la madera Palosangre (Brosimum rubescens).
Hay un gran sector de la población que se dedica a elaborar y vender artesanías para los turistas
que visitan la región amazónica, a la par que realizan sus actividades de agricultura para su propia
manutención. También hay una minoría de pescadores y cazadores.
A raíz del acompañamiento de la Universidad Nacional, Sede Leticia, y por las inquietudes surgidas
con respecto al futuro educativo de los jóvenes de Macedonia, varios habitantes y maestros deci-
dieron conformar una organización que velara por los intereses educativos de la comunidad y tuviera
capacidad para gestionar recursos y canalizar proyectos de bene�cio común. Con el apoyo de la Uni-
versidad, lograron sacar adelante en el año 2000 a la Corporación Educativa �Hijos de la Selva�, que
es la entidad que ha tenido interlocución con la Universidad para la consecución de pasantes para
el Colegio en las áreas de Lenguaje y Matemáticas, este trabajo se enmarca en la gestión de esta
entidad, y en su compromiso para asumir gastos necesarios para el desarrollo de la misma.
Macedonia ha sido tradicionalmente centro de diversos proyectos, entre ellos los que adelanta la
Universidad Nacional en biología, antropología y lingüística, destacando en esta última el trabajo
realizado por la profesora María Emilia Montes desde hace más de veinte años.
En lo que respecta al estado de la lengua ticuna en la comunidad, debemos mencionar una situación
contrastante. Por una parte, hay excelentes traductores español-ticuna, que dominan la lecto- escri-
tura de esta lengua, (siendo algo poco común), pero por otra parte los jóvenes ya no usan la lengua
ticuna. Algunos la entienden pero la mayoría no la habla, los viejos son los únicos que la usan, y
no lo hacen de manera predominante. Incluso en las reuniones comunales el idioma empleado es el
español, esto contrasta con otros resguardos, en donde no se ha perdido tanto el conocimiento del
idioma.
IDENTIFICACIÓN DEL PLANTEL
Para la caracterización de la institución se tomô como guia un documento elaborado por el programa
79
RED de la Universidad Nacional [58] que fue utilizado en la caracterización de otras instituciones.
Como ya se mencionó, el colegio Francisco de Orellana, queda ubicado en el resguardo de Macedonia,
en el municipio de Leticia (Amazonas). Fue fundado en 1975, ofrece en jornada diurna el preescolar y
la básica hasta séptimo grado; el colegio planea también ofrecer los servicios de formación no formal
para adultos. El horario es de 7:00 AM a 12:30 PM para la primaria, que se amplia una hora más
para el bachillerato; tanto en primaria como en bachillerato se dedican 4 horas semanales al área de
matemáticas. Su código del DANE es 291540000071 y se ubica en la zona rural.
Con respecto a la propiedad legal del terreno el colegio, pertenece al resguardo de Macedonia pero
su edi�cación corrió a cargo de la Secretaria de Educación Departamental (SED).
La institución cuenta con un lote de 29.213 metros cuadrados, destina para aulas 234 metros cuadra-
dos y 30 para el área administrativa; el resto del terreno es utilizado en zonas recreo-deportivas.
Actualmente cuenta con el servicio de luz pública. El resto de servicios públicos han sido construidos
por la comunidad, entre ellos el acueducto y el pozo séptico; no cuenta con alcantarillado público ni
servicio de telefonía.
Dentro de la institución hay pupitres (unipersonales y bipersonales) donados por la SED; igualmente
existen dentro de la zona del preescolar mesas trapezoidales y bancas colectivas donadas también
por ésta. No se cuenta con ningún tipo de laboratorio o elementos magnetofónicos para el apoyo
didáctico dentro de las aulas. Hay unos escasos materiales didácticos y pocos libros. Para el servicio
de secretaría (cartas, o�cios etc.) se utiliza una maquina de escribir que hace parte de la dotación de
la institución.
Los niños y niñas llegan a pie a la institución, unos pocos utilizan canoa. El colegio cuenta con una
lancha que transporta a los niños y niñas de las comunidades más lejanas como lo son Mocagua, El
Vergel, San Martín, Vista Alegre (Perú) y Zaragoza. Con respecto a la alimentación de los niños y
niñas, estos cuentan con el servicio de un restaurante escolar que es atendido por un grupo de padres,
que se encargan de comprar los productos dentro de la misma comunidad, generando una fuente de
ingresos ocasional para algunas familias.
80
Lamentablemente dentro del colegio no existen jornadas para realizar talleres de padres, lo que no
propicia un acercamiento de este sector de la comunidad educativa.
El colegio �Francisco de Orellana� cuenta actualmente con 16 maestros un director y 6 personas entre
administrativos, personas de apoyo y servicios generales.
Respecto a la planta docente, en el preescolar son dos maestros, un hombre y una mujer. En formación
en bachillerato pedagógico, en la básica hay 11 docentes, 7 hombres y 4 mujeres, entre los cuales nueve
son bachilleres pedagógicos y dos son bachilleres académicos.
Entre los bachilleres pedagógicos, cuatro hacen parte de la primera promoción del programa de
profesionalización para maestros indígenas ofrecido en la década de los ochenta; dos de ellos tienen
un titulo de pregrado (licenciados en ciencias sociales y en español y literatura); en lo relativo a la
población escolar, en el preescolar hay un total de 38 estudiantes, 46 en primero, 44 en segundo,
40 en tercero, 20 en cuarto y 23 en quinto; para la secundaria actualmente están matriculados 28
estudiantes en séptimo y 30 en sexto, para un total de 269 educandos.
3.1. Dimensión Institucional
Se documenta aquí sobre el carácter público del colegio y de cómo ocurre la participación de los
miembros de la comunidad educativa en la toma de decisiones y la manera de vivir la democracia.
El colegio �Francisco de Orellana� es público en cuanto a su acceso, que es libre y para todos los
niños que quieran asistir; también en la medida que las acciones realizadas en el Colegio son conocidas
prontamente por todo el resguardo, por lo que hace parte integral de la comunidad del resguardo de
Macedonia
Aunque la reglamentación legal y las políticas educativas promueven un respeto a la diferencia y
éste es apoyado en parte por los profesores provenientes de Leticia, son las autoridades de la misma
comunidad y los profesores naturales de Macedonia los que pretenden (no siempre concientemente)
81
una uniformidad de culto religioso en sus estudiantes.
El componente religioso dominante en la comunidad ha logrado introducirse en la institución escolar,
imprimiendo tácitamente una orientación religiosa cristiana a la educación impartida. Por ejemplo
en los actos protocolarios (izadas de bandera, entregas de boletines) se hacen re�exiones sobre la
Biblia. No se enseñan canciones distintas a las religiosas evangélicas. Debemos recordar que aunque
la educación en ética y valores es imprescindible para la formación de un ciudadano, no es una política
estatal o�cial la formación religiosa de un credo especí�co, como es en este caso la religión cristiana.
Los distintos miembros de la comunidad educativa (directivos, padres de familia, estudiantes, autori-
dades de la comunidad) no participan de igual manera en la toma de decisiones, que aunque siempre
son concertadas entre el director y los docentes, estos últimos son los que realmente ejecutan o no
las decisiones planeadas.
Los padres están pendientes de las actividades escolares, aunque no de manera organizada y continua.
Por esto mismo no son partícipes de la toma de decisiones, sino receptores de las mismas. La mayoría
de los padres sólo hace presencia en la entregas de boletines, asumiendo una posición crítica hacia
las actuaciones del director y la calidad de la escuela.
Sus reclamos son principalmente sobre aspectos administrativos y pérdida de clases por inasistencias
de docentes o por actividades deportivas a las que asiste el colegio; sobre los aspectos académicos la
participación de los padres es poca, aunque es de anotar que algunos padres reclamaron cuando se
empezó a impartir la materia de lengua materna (ticuna), argumentando que �no sirve para nada�.
De modo similar cuando se empezó a adelantar el proyecto de la huerta (chagra) escolar, los padres
manifestaron que ellos mismos podían enseñarle ese trabajo a sus hijos, y que los enviaban a la
escuela era para que aprendieran cosas que ellos (los padres) no podían enseñar.
Re�riéndonos al gobierno escolar, no todos los entes reglamentarios se han conformado sólidamente:
aún no existe una Asociación de Padres de Familia, por lo que para el Consejo Directivo fueron
nombradas personas que se mostraron interesadas.
El Manual de Convivencia adoptado de manera o�cial es el que elaboró FUCAI y la Secretaría de
82
Educación Municipal (SEM) para todas las escuelas del río; en este documento se incluyen reglas
de uso de dormitorios para docentes y para estudiantes �estos últimos presentes en comunidades
como la de Nazareth, pero inexistentes en Macedonia; este documento es general y fue creado con ese
propósito, por lo que no se ajusta a las particularidades del Colegio y de sus estudiantes. Tampoco
se ha hecho una lectura re�exiva y conjunta de éste por parte de docentes y padres (estos últimos
lo desconocen por completo), por lo que no es más que un requisito a cumplir y no el producto de
un acuerdo entre los integrantes de la comunidad educativa; hasta el momento no se contempla la
posibilidad de reformar o adaptar el manual existente.
Las estrategias de resolución de con�ictos no se han consignado por escrito en un documento y tam-
poco se mencionaron mayores con�ictos entre profesores y estudiantes, no porque no se presentaran
inconformidades en las aulas de clases, sino porque los estudiantes no cuentan con canales de ex-
presión internos para comunicar anomalías, ni tienen intención o costumbre de hacerlo; la relación
jerárquica docente-estudiante en el aula es tan vertical que no da pie para una queja.
En el Colegio �Francisco de Orellana� hay tres grupos de profesores, pero sólo podemos considerar
como grupos con liderazgo institucional a uno de ellos, ya que los otros dos no tienen un interés
de trabajo con la escuela, forman un grupo en la medida que andan juntos y comparten sus gustos
personales, lugar de origen y orientación religiosa, pero no porque emprendan acciones de trabajo
por la escuela.
El grupo que lidera está conformado por dos personas, ambas pertenecientes a la Corporación Edu-
cativa �Hijos de la Selva�, que trabajan juntas en la consecución de recursos y apoyo técnico para la
materia de Proyectos Productivos, pero no han logrado involucrar a sus demás compañeros activa-
mente en esta materia; aunque han creado interés en participar en las asesorías que ha brindado la
Universidad. En lo que respecta a los Proyectos Productivos han obtenido colaboración de algunos
padres para la ejecución de tareas puntuales. La legitimidad de acción de este grupo está sustentada
en uno de los miembros, el Señor Antero León Macedo, �gura insigne del Colegio, que cuenta con
bastante credibilidad y respeto en la comunidad, no tanto así entre sus compañeros, que al no estar
83
involucrados en el proceso de Macedonia, no sienten la necesidad de participar en él.
Respecto a la organización de actividades, que por lo general son deportivas, se encarga al director
de grupo de cada curso de informar y coordinar con los estudiantes. Existe una planeación del
calendario de actividades y horario de clases, pero es sometida continuamente a cambios por diversas
eventualidades: visitas de funcionarios de la SEM, preparación de eventos deportivos, izadas de
bandera, día de pago (conllevando desplazamiento a Leticia), jornada de capacitación o simplemente
por reunión de docentes.
Si bien las actividades son anunciadas con cierta antelación y en el papel se delegan funciones, la
información no se difunde y al momento de la ejecución se termina improvisando y decidiendo sobre
la marcha. Las evaluaciones no se hacen con prontitud, por lo que las impresiones y anotaciones no se
socializan o�cialmente. El director de la escuela lleva registro de las recomendaciones y sugerencias
acerca de actividades que se van desarrollando.
Existen canales de comunicación con otras instituciones, que se emplean fundamentalmente para
solicitar las ayudas que ofrecen al sector educativo, pero no de manera sistemática y periódica.
Principalmente se tiene interlocución con los organismos de control y evaluación (SEM y SED) a
través de la división técnico�pedagógica. Hubo relación con la ONG FUCAI para realizar jornadas
de capacitación y elaboración de materiales bibliográ�cos, pero estos contactos se terminaron con el
debilitamiento de esta organización.
La comunicación más cercana se tiene con la Corporación Educativa �Hijos de la Selva�, ya que de
ella hacen parte 7 docentes del colegio. Con respecto a la organización de la comunidad, encontramos
ahí uno de los aspectos más débiles de la institución. Se aprecia que gracias a la cercanía de todos los
miembros del resguardo la comunicación es constante y la relación es compleja, ya que se participa
y coopera en ciertos eventos pero se tiene una actitud intolerante hacia los docentes provenientes
de Leticia, a los que se les exige que cumplan con las reglas de comportamiento �jadas para los
habitantes de Macedonia.
84
Debido al tamaño de la comunidad y de la institución2, la comunicación es informal y se torna no-
o�cial. La cercanía en este sentido agiliza la comunicación con los padres de familia. Es muy positiva
la disposición que tiene el director con el planteamiento y desarrollo de propuestas e inquietudes. En
todo el grupo docente hay la intención y buen ambiente para la búsqueda de soluciones a problemas
comunes.
Si bien la institución cuenta con una autonomía estimulada por sus entes de control, en vista de
que no hace uso de ella (no sienta posiciones con respecto al futuro institucional ni al per�l que se
le quiere dar al colegio), cuando la SEM realiza visitas, termina decidiendo estos aspectos ante la
ausencia de acciones concretas o documentos.
3.2. Características del PEI
Hay que anotar que el PEI del Colegio �Francisco de Orellana� no existe como tal pero está cons-
truyéndose, como producto de un trabajo amplio de concertación entre los actores de la comunidad
educativa. Se ha tomado como documento maestro el Proyecto Etnoeducativo Institucional para
el Trapecio Amazónico [61], elaborado por FUCAI y la Coordinación de Educación del Amazonas,
también hay copia del PEI del Colegio Femenino Indígena �María Auxiliadora�, que es el internado
femenino de Nazareth
El proceso de construcción del PEI ha contado con el apoyo de la Universidad Nacional, Sede de
Leticia, que a través de las asesorías ha intentado esclarecer aspectos como el énfasis que se piensa
dar al colegio, las estrategias pedagógicas, el per�l de los estudiantes, los principios de existencia del
colegio. Es de anotar que a través de la experiencia de trabajo sobre el plan de estudios en el área
de matemáticas, se han logrado generar inquietudes en el cuerpo docente respecto al carácter del
PEI, que están a la espera de ser plasmadas por escrito y formalizadas ante la SED. Como logros del
proceso está la de�nición del énfasis en �educación en el trabajo� expresado en la asignatura �proyectos
2Un padre de familia tiene en promedio tres niños estudiando.
85
productivos� y que como estrategia pedagógica se intentará aplicar la pedagogía por proyectos, que
es de carácter interdisciplinario. También la cátedra de lengua materna se ha privilegiado dentro de
las intensidades horarias de las asignaturas .
La construcción del PEI hasta el momento sólo ha sido labor de los docentes, aunque se ha invitado
en varias ocasiones a los padres de familia y a representantes del cabildo, que no han asistido a las
reuniones planeadas para adelantar el trabajo.
Respecto al horizonte institucional sobre el que se ha venido re�exionando, hasta el momento se
articula adecuadamente a los planes educativos que ha planteado la SEM. La carencia fundamental
que se nota en este proceso de construcción está en la conciencia, por parte de los distintos actores de
la comunidad educativa, de que todas las acciones y los proyectos a corto y mediano plazo, así como
las actividades diarias deben realizarse sin perder las perspectivas y objetivos consignados en el PEI.
En las pequeñas acciones cotidianas y al interior del aula el PEI debe hacerse realidad, materializarse
; esto no es comprendido a cabalidad por los docentes por lo que se abre la común brecha entre lo
planeado y lo ejecutado.
Debemos mencionar aquí la alta inestabilidad laboral del cuerpo docente en el departamento del
Amazonas, por lo que la mayoría de los maestros de las escuelas se cambian al iniciar un nuevo
periodo lectivo, y como no existen documentos (así sean de carácter preliminar) que recojan los
procesos en el año lectivo se pierde el trabajo, y la continuidad del proceso depende de los profesores
que no fueron removidos y que no siempre socializan ésta información.
3. Gobierno Escolar
Consejo directivo, más que un ente decisorio es el espacio o�cial de interlocución y encuentro entre
los actores, ya que los demás espacios destinados para tal �n no se han logrado crear, por la ausencia
de una representación estudiantil y de los padres de familia. Debemos añadir que en el consejo hay
representantes del cabildo, el pastor de la iglesia y los padres de familia. No hay participación de
los representantes estudiantiles. El consejo directivo carece de una reglamentación y sus reuniones se
efectúan con el cierre de cada semestre académico, o cuando se presentan situaciones anómalas que
86
a juicio de algún miembro deben ser tratadas.
Las reuniones del consejo directivo adquieren un corte técnico, en el que se debaten los aspectos
coyunturales y los administrativos, sin mayor relación con el aspecto social del fundamento de la
institución escolar o de los principios y valores que se pretenden construir en el colegio.
No siempre las relaciones entre los integrantes se llevan constructivamente, pero sí de manera respe-
tuosa y serena. Algo para anotar es que allí es donde se han expresado pública y abiertamente las
prohibiciones que pretende imponer la comunidad hacia los docentes.
Consejo Académico: está conformado por los 13 docentes y el director; este órgano no ha formulado
los planes correspondientes a cada área, y en la práctica su función es la de de�nir fechas de eventos
y asignar responsabilidades para la ejecución de los mismos. En realidad, las reuniones generales
de profesores son llamadas reuniones del Consejo Académico. Allí se asignan profesores y materias
para cada curso, se recuerdan compromisos sobre la entrega de notas y se informa sobre gestiones
realizadas ante la Secretaría de Educación Municipal SEM.
4. Estrategia Administrativa
Gracias a que el colegio cuenta con pocos estudiantes (270) y pocos docentes (13) hasta el momen-
to el registro de actas y documentos se ha manejado de manera informal, sin tener problemas ni
inconvenientes. Hay una organización mínima de libros de matrícula, reporte de notas, inventario e
información contable, que es funcional y es manejado por el director y el secretario del colegio3
La organización del restaurante escolar está a cargo del tesorero del cabildo y de una persona con-
tratada por la SEM para tal �n. Estas dos personas se encargan e�cientemente de su labor y no ha
habido inconvenientes con la prestación de este servicio.
Materiales y Recursos Didácticos: El colegio carece de una biblioteca. No hay ejemplares su�cientes
para atender las distintas áreas en cada grado. Sólo cuenta con tres mapas (que son del territorio
colombiano), no hay enciclopedias ni atlas; posee seis libros de literatura y dos diccionarios. No
hay materiales didácticos para manualidades o matemáticas. De lo que sí se puede preciar es de
3A mediados del mes de abril el contrato del secretario no fue renovado, por lo que el colegio quedó sin sus servicios.
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materiales deportivos, algunos obtenidos como premio en campeonatos intercolegiados. También hay
una dotación de herramientas (pala, pico, machetes, alicates, martillo, serrucho) que los estudiantes
usan para el mantenimiento del colegio y el trabajo en la chagra escolar. No hay medios para la
reproducción de documentos.
DIMENSIÓN ACADÉMICA
A partir del contacto con la Universidad Nacional-Sede Leticia, en el 2001 en el Colegio se inició un
proceso de re�exión y planeación sobre la construcción curricular en el área de Lenguaje, y allí se
detectó la necesidad de extenderlo a otras áreas, entre ellas al área de Matemáticas, hecho que abrió
la posibilidad de realizar el presente trabajo.
Actualmente están abriéndose espacios de re�exión y acuerdos sobre posibles enfoques del trabajo
pedagógico en el aula, y el acompañamiento docente que incluye el presente trabajo fue uno de los
factores que impulsaron esa transición.
Los docentes que estaban vinculados al Colegio en el año anterior, tuvieron la conciencia de lo
necesario que es de�nir los objetivos y organizar los contenidos en cada área. Su interés logró ser
transmitido al actual grupo gracias al esfuerzo de los maestros que continuaron vinculados, el director
del Colegio, y el equipo de pasantes de la Universidad Nacional.
El grupo de profesores que tiene un liderazgo académico ha planteado la propuesta de �trabajo por
proyectos,� que es de carácter interdisciplinario. Los estudiantes pasantes de la U.N. han intenta-
do apoyar con bibliografía relacionada y comunicando experiencias realizadas por docentes en otras
regiones4, con el �n de impulsar en ellos mismos la formulación de proyectos de aula5 . Como se
mencionó antes, este enfoque se ve materializado en la asignatura �Proyectos Productivos�, guardando
coherencia con el propósito de una educación en el trabajo, orientada a formar ciudadanos �produc-
tivos, e�cientes y competitivos�.6.
4Culturas y escolaridad: Lenguaje y matemáticas, Jurado et al, 1999. Plaza y Janes.5Caicedo Natalia. Informe Final Convenio Colciencias.6Como lo manifestaron los profesores en distintas ocasiones.
88
Los demás docentes aun no han asimilado la propuesta, la ven como algo incierto, desconocido y que,
en cierto modo, temen experimentar. En suma, se presenta una transición de los enfoques pedagógicos
tradicionales hacia nuevas propuestas,
Debido a que el alto contacto de Macedonia con gente no-indígena y el aspecto religioso del resguardo
generan distintos grados de etnicidad, los jóvenes tienen un conocimiento cada vez menor sobre sus
tradiciones. En consecuencia, la inclusión de los saberes propios de la cultura local y regional en la
enseñanza escolar es un tópico importante pero bastante delicado, ya que si bien existe la preocupación
en los maestros por hacer dicha inclusión (entre los objetivos de la Corporación Educativa �Hijos
de la Selva� está justamente el rescate y fortalecimiento de las tradiciones 7 a través del proceso
educativo); aun no hay claridad de cómo hacerla en cada área. En este sentido, los maestros radicados
en Macedonia han dado un paso importante, pues adelantan en la actualidad un pregrado en Etno-
Educación8. Y la cátedra de Lengua Materna se ha aprovechado no sólo para el estudio de la lengua
ticuna, sino también para difundir los mitos y tradiciones de la etnia, constituyéndose entonces en
una respuesta de la escuela, que pretende brindar a sus jóvenes un conocimiento de su historia, para
recon�gurar su característica de resguardo indígena frente a los nuevos retos que se le presentan
Desde los tiempos de la Coordinación de la Educación Contratada la labor de los docentes se limitaba
a ejecutar unas tareas y unas acciones ya dictaminadas desde las o�cinas de la Coordinación. Los
materiales y contenidos llegaban listos para ser usados, sólo se requería una instrucción mínima.
Cuando la Coordinación deja de regir la organización educativa del departamento y esta pasa a
manos de la SEM, cambia el papel de los maestros, que se ven forzados a un cambio de paradigmas.
Es por ello que algunos maestros esperan que venga de nuevo alguna entidad a indicarles �que es lo
que se debe hacer,� es decir, pre�eren no hacer uso de su autonomía, hecho bastante comprensible,
pues el ejercicio de la autodeterminación implica mayor responsabilidad y más trabajo.
En cuanto a la asignación de docentes a grados o asignaturas, esta se había venido realizando por
7Estatutos Corporación Educativa �Hijos de la Selva�.8Este programa es ofrecido a distancia por la Universidad Ponti�cia Bolivariana de Medellín. Los cinco maestros
matriculados pertenecen a la Corporación Educativa �Hijos de la Selva�.
89
preferencia personal o experiencia previa, incluso se adelantó el primer bimestre de este año con una
asignación hecha de esa manera; a partir de una visita de la SEM donde se mencionaron nuevas
disposiciones en las que se apoyan los programas de profesionalización, el colegio tuvo que reasignar
cursos, esta vez con la idea de dejar en los grados superiores a los docentes que tengan una mayor
formación y en los grados iniciales a los demás. También se cortó con la práctica de asignar docentes
a asignaturas distintas a las que había estudiado en su pregrado o en cursos de actualización9.
El uso de textos escolares es un aspecto importante a mencionar en esta caracterización, si bien la
dotación con que cuenta el colegio es bastante reducida, precaria y con libros ya desactualizados,
existe la colección completa de la serie �Escuela Nueva� en las áreas de Español, Ciencias Sociales y
Matemáticas10. Esta serie fue o�cialmente editada por el Ministerio de Educación Nacional (MEN)
en 1997 para escuelas rurales de todo el país, y los textos de matemáticas de esta serie tienen una
variedad de actividades interesantes y articuladas con las propuestas curriculares vigentes.
Aunque se dispone de estos textos los maestros usan para matemáticas un libro de texto editado en
1983, anterior a la Renovación Curricular11, y naturalmente alejado de las propuestas consignadas
en la Ley 115, en la resolución 2343 y en los lineamientos curriculares; el problema no es sólo de
cantidad de ejemplares de adecuados libros de texto, hay que considerar primordialmente la difusión
y el uso que se le de a esos textos. Ante los dos materiales, el docente escoge el desactualizado, y
esto puede suceder por desconocimiento del nuevo material o por falta de interés. y además porque
varios docentes fueron educados con los textos antiguos o similares.
El maestro sigue en su clase el orden indicado por el libro de texto, y realiza sin modi�cación o
reelaboración algunos de los ejercicios indicados en el. No hay una re�exión sobre el enfoque seguido,
ni una concepción de independencia frente al texto.
La dimensión académica en el área de Matemáticas9No fue removido el profesor de Matemáticas que es Lic. en Ciencias Sociales, ya que era el más idóneo para dictar
esta materia.10Cecilia Casasbuenas et al. Serie Escuela Nueva. MEN Bogotá 1997.11Promovida en 1984 por el MEN, esta propuesta era orientada por Carlos Vasco.
90
Si bien antes de iniciar el acompañamiento, los profesores ya habían seleccionado los temas corres-
pondientes a cada grado, con base en su experiencia y en los textos escolares a los que se tiene acceso
en el Colegio, aun no estaba concluida de manera clara y explícita una identi�cación y distribución
por bimestres de los desempeños esperados o �indicadores de logro� para cada grado12.
Al trabajar más sistemáticamente con los docentes, se hizo claro que existía una secuenciación de
dichos temas, que consistía en: trabajo sobre adición y sustracción en el grado primero, añadiendo
para el grado segundo la multiplicación y ampliando el rango numérico de las dos operaciones que
ya se tenían. Para tercero se introduce la división y nuevamente se amplia el rango. En cuarto se
presenta el algoritmo de la división y �nalmente en grado quinto se repasa todo de nuevo, aplicando
con varias cifras todas las operaciones y mostrando algo de la potenciación.
Tanto los docentes como el Director a�rman que están aplicando las orientaciones del MEN y la SEM,
pero se aprecia en la práctica una enseñanza basada en el aprendizaje memorístico, privilegiando un
trabajo operatorio, dejando de lado la formulación y resolución de problemas, las distintas maneras de
abordar una situación problemática, el signi�cado y el uso de las operaciones en distintos eventos. La
práctica se centra en el dominio numérico, en especial las cuatro operaciones aritméticas, intentando
en cada grado aumentar el rango numérico en el que se realiza la operación (por ejemplo con dos cifras,
con tres cifras, etc.). Este énfasis descuida dominios que se mencionan en los documentos curriculares
vigentes, entre ellos la geometría. Aunque esta situación es común en otras regiones del país, en el
colegio se añade el olvido de la medición; esto es especialmente problemático, ya que la medición está
presente en demasiados momentos de la vida cotidiana de los habitantes de un resguardo indígena.
Las concepciones que tienen los maestros sobre las matemáticas y la visión que tienen de cómo debe
ser una clase se ven re�ejadas en su práctica pedagógica, las matemáticas son un cúmulo invariable
de reglas o procedimientos para el trabajo con los números y operaciones, y con el aprendizaje de
estas reglas se tiene garantizado un buen desempeño en la materia. En la visión del prototipo de
12Sólo desde el año anterior entró en funcionamiento en el colegio la organización de logros (antes se entregabannotas en números sin dar mayores explicaciones).
91
clase, son los estudiantes quienes desconocen el tema y no tienen mayor deber que el de escuchar, en
cambio el maestro es el único autorizado a hablar y su papel es el de transmisor de un conocimiento
transparente, acabado, que no admite mayores explicaciones y que los niños deben entender y asimilar
por simple exposición, que consiste de una charla magistral del maestro, que precede a una repetición
del tema por parte de los estudiantes. El maestro dice parte de una frase, que los alumnos deben
completar contestando en grupo y en voz alta. Debemos recordar que no hay libros de texto su�cientes
para los niños y las niñas, ni medios de reproducción de documentos, por lo que los estudiantes no
tienen mucho material de apoyo en sus casas. Se observa en los cuadernos de los niños que no se
asignan tareas de manera habitual, y que éstas son del tipo: �Escriba los números de 1 a 999� o �525 x
17= �. No se anotan las explicaciones del maestro. Por revisión directa de los ecritos de los estudiantes
se pudo determinar que estos sólo escriben en el cuaderno cuando el profesor expresamente les pide
copiar.
En lo que concierne a la evaluación no todos los docentes llevan por escrito la planeación de sus
actividades ni tampoco hacen anotaciones sobre el trabajo de los estudiantes. Indagando sobre las
prácticas de evaluación no se encontró registro de algún examen aplicado anteriormente; sólo se usan
dos instrumentos, el cuaderno �como soporte de la tarea� y la observación del desempeño en clase.
No se realizan exámenes, trabajos escritos, exposiciones, trabajos grupales. Esto ocurre en parte por
la escasez de materiales y medios, no hay como reproducir una evaluación, tampoco se dispone de
papel; las tareas son de un corte mecánico, privilegiando la elaboración de mapas, dibujos o planas,
también colocando varios ejercicios del mismo estilo que indagan el mismo tópico. No se plantean
situaciones problemáticas, sólo se pide realizar operaciones y ejecutar órdenes, por ejemplo �escriba
dos conjuntos disjuntos�. Claramente no hay relación entre el enfoque pedagógico propuesto por
algunos docentes y las prácticas de evaluación.
DIMENSIÓN VIDA COTIDIANA
El colegio se constituye de hecho en el espacio fundamental de encuentro e interacción en sociedad.
92
Como casi todos los niños y niñas del resguardo van a estudiar, es allí donde se conocen, relacionan
y planean actividades; es el espacio propicio para entablar relaciones afectivas, ya que por fuera de
él hay cierta censura derivada del fuerte carácter religioso de la comunidad.
Pasando al campo de las relaciones personales entre docentes y escolares se aprecia una buena co-
municación, es común verlos practicar deportes o conversar como amigos, sin mayor distancia que la
generada por la edad de algunos de ellos.
Un sector importante de padres mani�estan prejuicios hacia los docentes, ya que los ven como per-
sonas �mundanas�13, que pueden poner en peligro el orden social de Macedonia al transmitir sus
�malos hábitos� a los escolares; también los acusan de tener bajo compromiso con su trabajo y desin-
terés por el futuro de los estudiantes. Estos prejuicios podrían estar motivados por actuaciones de
profesores que han pasado por el colegio en años anteriores. Cabe anotar también que existen factores
externos que in�uyen decisivamente en el desempeño de los docentes y en la manera como afrontan
su estadía en Macedonia.
Por otra parte los docentes temporales provenientes de Leticia mani�estan descontento, por ser
estigmatizados y censurados en sus actuaciones, por lo que piden ser reubicados en otras instituciones
al terminar el contrato. Según se comenta esta situación se ha venido presentando desde hace tiempo.
A esto se añade la inestabilidad laboral por los cambios ordenados desde la SEM. En Macedonia,
como en las demás escuelas del río, la remoción de docentes es muy frecuente. Hasta el momento la
asignación de docentes a colegios y escuelas del río no tiene en cuenta la experiencia y no ha estado
mediada por concurso académico, lo que genera problemas de calidad y compromiso pedagógico.
Si bien no es nuestro propósito adelantar un estudio de las relaciones sociales y funciones asignadas
a cada género en relación a la cosmogonía y organización ticuna, y por ello remitimos a trabajos de
corte antropológico y sociológico como [56] y [76], sí consideramos necesario abordar algunos de esos
tópicos para poder comprender mejor algunas circunstancias de la escuela y la comunidad
Respecto a los niños y niñas, ellos asisten a escuela motivados (entre otras cosas) por el acceso a
13Este es el término con el que son tildados los docentes de Leticia que bailan o escuchan música.
93
elementos deportivos y al encuentro social; algunos no asisten regularmente a la institución, y otros
lo hacen de manera parcial, ausentándose después del refrigerio escolar.
Como todos buenos niños, los de Macedonia se dedican fundamentalmente a la actividad lúdica y
deportiva. Cuando termina la jornada escolar, los niños van a pescar en canoa o a jugar en el río y en
la quebrada Kuyatë. Por la noche asisten sin falta a otra escuela: la televisión. Como hay televisores
en algunas casas, los niños tienen acceso la programación televisiva, llegando a involucrar en sus
juegos y percepciones a muchos personajes y eventos que aparecen en este medio. En la temporada
vacacional, los niños se dedican a ayudar a su familia en las actividades de la chagra.
Es notorio que los niños y las niñas son muy importantes para la comunidad. Todos los habitantes
conocen y protegen a los niños, creando un grado de bienestar que permite y fomenta el libre y sano
esparcimiento infantil. No se presentan malos tratos de parte de padres o vecinos hacia los niños,
menos aun golpes.
El resguardo es un lugar seguro y cómodo, con mínimas prohibiciones espaciales o temporales para
los pequeños, cosa que ellos aprovechan para convertir todos los lugares en escenarios lúdicos. Al
realizar este trabajo nos quedamos con la fuerte convicción de que en el resguardo los niños poseen la
mayor ventaja posible de un estudiante: son felices. Como el ambiente es divertido a todo momento,
el encuentro en la escuela con el profesor se torna bastante aburrido para ellos, y por esto se dispersan
a cada instante, no solo los más pequeños sino también los grandes. En cierto modo, la escuela no
aprovecha lo su�ciente estas maravillosas características de su entorno ni la buena condición social y
anímica de sus estudiantes, creemos que estas circunstancias pueden ser utilizadas para potenciar el
aprendizaje.
Tanto el medio natural como el social estimula en los niños excepcionales destrezas físicas y motrices.
No es difícil ver pequeños menores de 10 años atravesando a remo el río Amazonas (½el más caudaloso
del mundo!) en una canoa igualmente pequeña. También aprenden a nadar a la edad de 4 o 5 años.
Los hijos de artesanos son instruidos prontamente en el o�cio antes de cumplir 8 o 9 años, logrando
un nivel de maestría en la elaboración de las artesanías. Incluso varios padres se distribuyen con sus
94
hijos el trabajo artesanal que se les encomienda.
Estas habilidades contrastan con el uso mínimo de la comunicación verbal, los niños casi no hablan y
ni siquiera entre ellos. Emplean frases muy cortas y referidas a acciones concretas (por ej: ½terminé!,
ahí están) emitidas en respuesta a preguntas directas de adultos. No es una expresa prohibición de
hablar, ya que sucede igual entre los adolescentes y los adultos, y entre estos y los más viejos, es
decir, habla el de mayor edad, que naturalmente es el que más respeto y sabiduría tiene. No por esto
se puede pensar que no hay comunicación. Sí la hay, pero de otras formas, entre pares y en espacios
no- o�ciales como el río, la cancha de fútbol, el camino hacia la escuela, etc.
Existe entre los habitantes una visión concreta y práctica de la vida, que se ocupa de las necesidades
inmediatas del presente que se está viviendo, esta visión pasa de los padres a los hijos, que no tienen
construidas muchas expectativas para el futuro14. Algunas niñas quieren ser profesoras, otras dicen
no haber pensado en eso, los muchachos quieren ser motoristas o profesores. En realidad, más que
querer desempeñar una profesión, quieren tener dinero y comodidades provenientes de Leticia (como
muchos jóvenes en otras regiones del país que desean cosas de otros países).
Tal como se ha mencionado, el nivel de conocimiento que tienen los jóvenes de las tradiciones es
precario, los muchachos y muchachas no son hablantes de la lengua ticuna o lengua yagua; aunque
entienden el idioma que hablan sus padres y abuelos, su verdadera lengua materna es el castellano.
Dos aspectos propios de Macedonia in�uyen notoriamente en la formación y expectativas de los
jóvenes: a) La presencia religiosa y la instrucción derivada de ella, que tilda al idioma ticuna como
�lengua del demonio� y a las �guras centrales de la mitología ticuna (Yoí e Ipi) como semidioses de
segunda mano, inferiores a la divinidad de Cristo. b) El comercio de las artesanías en el resguardo.
Dentro de los planes turísticos de la amazonia colombiana se ubica a Macedonia como el punto
obligado a visitar por sus artesanías. Esto insta a sus habitantes a entrar a la dinámica de las
relaciones comerciales con turistas y comerciantes dedicados a la reventa, el trato se hace en español,
14Es bastante dudosa la importancia de construir tales expectativas, por lo que no podemos considerar negativamentela ausencia de ellas.
95
se pactan compromisos, se produce en alta cantidad, se subcontrata, etc.
La venta de artesanías representa una fuente de ingresos para una creciente mayoría de familias en el
resguardo, por lo que las costumbres de vida cambian. Ya no hay necesidad de ir a la chagra, porque
con los ingresos de la venta de artesanías se pueden comprar los productos alimenticios básicos.
Un aspecto importante de mencionar es el núcleo familiar de los estudiantes, que es bastante amplio;
alguien perteneciente a la misma nazón15 es considerado pariente, también los tíos-abuelos son consi-
derados abuelos, por lo que un niño puede tener más de 6 abuelos, que poseen la misma importancia
y obligaciones. Así, las familias son numerosas e interrelacionadas. El padre es el encargado de la
cacería y la pesca, así como de las relaciones de la familia hacia fuera, y aunque participa de la
chagra, la madre es la principal responsable del mantenimiento. Los niños y las niñas son instruidos
progresivamente en las tareas propias del cultivo en la chagra, a partir de cosas muy sencillas como
recoger palos o rastrojos, también en labores domésticas como el lavado de utensilios y ropas. Debemos
recordar que en Macedonia se alcanza la edad adulta muy pronto, a los 16 años un jóven ya está en
condiciones de formar familia y hacerse cargo de una chagra completamente.
Es notable el conocimiento que tienen los docentes sobre los estudiantes que están a su cargo: conocen
dónde viven, cuántos hermanos tienen, cómo se llaman sus padres, si estuvieron o están enfermos,
en qué materia se desenvuelven mejor. Esta fortaleza contrasta con la ausencia de estrategias para
promover la participación estudiantil en el gobierno escolar y con la pasividad de los docentes frente a
bajos desempeños académicos o inasistencias repentinas de algún estudiante. No se realizan acciones
intencionadas para motivar a los jóvenes a estudiar.
Algo positivo de las continuas participaciones en campeonatos deportivos inter colegiados es que dan
a los estudiantes la oportunidad de conocer otras personas y lugares.
15La nazón o clan hace las veces de �apellido� para los ticunas, heredándose del clan del padre, y prohibiéndose lasuniones entre personas del mismo clan. Una explicación más completa sobre el origen y funcionamiento de los clanesesta en [7] y en [56].
96
Teniendo en cuenta el nivel de formación de los docentes y la necesidad de capacitarse reconocida por
ellos mismos, se considera prioritario un proceso de formación continuada en todas las áreas. Partic-
ularmente en el área de matemáticas, sobre aspectos disciplinares y metodológicos de su enseñanza.
Respecto a las áreas de lenguaje y ciencias sociales, dos maestros y el director16 están participando
en un proyecto académico de la Universidad Nacional, a cargo de la profesora María Emilia Montes,
cuyo objetivo es la recolección y transcripción escrita de historias tradicionales y mitos de origen en
lenguas ticuna y castellana, ellos han conformado un equipo de trabajo que ya tiene en su haber una
publicación17. Cinco docentes de la institución �guran entre el grupo de autores del libro �Tras las
huellas de Yoí�18, este libro cuenta en castellano algunas historias de la mitología ticuna.
Existe la disposición y el apoyo a los cinco docentes que adelantan estudios de pregrado en etnoe-
ducación, así como a los docentes que se escogen para asistir a eventos de formación ofrecidos por
la SEM o el Sindicato Único De Educadores del Amazonas (SUDEA). Se conceden los permisos
y espacios necesarios para que estas actividades se lleven a cabo. Prueba de ello es el trabajo de
acompañamiento al colegio, que se adelanta con la Universidad Nacional por iniciativa propia de la
comunidad y que hace viable el propósito de ofrecer en el colegio la ampliación de la básica a la
media.
Acerca del bienestar del personal docente, dentro de la escuela existe alojamiento para los docentes
y sus familias, este alojamiento brinda las comodidades básicas.
Para el personal docente, administrativo y de servicios, se cuenta con los servicios que ofrecen la
SEM y una cooperativa de educadores, es necesario aclarar que estas garantías las tiene el personal
nombrado, ya que los maestros con vinculación temporal no son cobijados por estos servicios.
16Antero León Macedo, Mariano Morán y Lino León Peña.17Ticuna, Libro Guía del maestro (Macedo et al, 2002) Ed. Universidad Nacional.18Impreso por FUCAI y la Coordinación de Educación contratada, quienes realizaron talleres para recolectar la
información y elaborar el documento �nal.
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C A P Í T U L O 4
EL PROCESO DE ACOMPAÑAMIENTO A LOS DOCENTES
En este capítulo se describe el proceso desarrollado con los maestros del Colegio �Francisco de � en
torno al tema del currículo de matemáticas. Se describen sucitamente los documentos que se con-
struyeron y se plantean re�exiones e inquietudes sobre el trabajo y sus perspectivas, una presentación
más detallada y extensa de esta experiencia se planteó en los informes entregados en la Sede Leticia
de la Universidad Nacional, dentro del proyecto �Consolidación del Campo de Acción Institucional
en Educación de la Universidad Nacional de Colombia para la región Amazónica�
Aunque inicialmente se había propuesto acompañar y asesorar académica y pedagógicamente en
dimensiones diversas a los docentes de matemáticas, al llegar al resguardo esta asesoría se orientó a
un objetivo principal: construir conjuntamente con los maestros el plan de estudios del colegio en el
área de matemáticas, desde preescolar hasta grado noveno.
Este objetivo era de gran importancia, ya que un plan de estudios �ja unos derroteros claros a seguir,
aportando a la consolidación de un proyecto currícular, que permita en un futuro el mejoramiento
de la calidad de la enseñanza y aprendizaje del área.
Dado que el acompañamiento se realizó en todo el período con una presencia permanente en la
comunidad (a diferencia de experiencias anteriores apoyadas en visitas periódicas a esta), desde el
principio se organizaron reuniones semanales por grados y reuniones generales. Cada grupo de grados
tenía un día distinto de reunión, lo que permitió mayor especi�cidad y profundidad en los temas.
A través de preguntas y ejercicios sencillos de matemáticas básicas propuestos en las reuniones de
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asesoría, detectamos que los profesores tienen di�cultades diversas en nociones fundamentales; por
ejemplo, algunos de ellos no diferencian conceptos métricos como el perímetro de �guras planas, otros
no reconocen propiedades y relaciones de �guras bi y tridimensionales, lo que les impide realizar
procesos de clasi�cación. Observaciones como las anteriores permitieron aclarar dudas y avanzar en
el tratamiento de estos y otros temas de geometría y medición.
Con todo esto intentamos crear conciencia entre los docentes de que al margen de cualquier discurso
etnoeducativo o enfoque pedagógico, hay un conocimiento que no se puede relegar a un segundo
plano, y que un buen desempeño del docente de matemáticas se apoya en dos pilares claves, que
aunque están estrechamente ligados no se pueden confundir: la formación pedagógica y la formación
disciplinar en el área, es decir sus conocimientos sobre la matemática escolar misma. [50], [66].
En la construcción de cada documento del plan de estudios planteamos un intercambio de saberes,
en el que los docentes elaboraron una versión preliminar, que fue revisada y modi�cada por los
asesores, generando a su vez una nueva versión, que de nuevo fue revisada y modi�cada por los
mismos docentes; este esquema se replicó hasta llegar a un consenso sobre el documento. Inicialmente
tuvimos di�cultad para implementar este esquema de trabajo, pues los maestros consideraban que
la asesoría debía seguir un esquema tradicional, en el que se asigna al docente el papel de simple
ejecutante de unas tareas pedagógicas sin posibilidad alguna de re�exión o decisión; esta actitud
es bastante comprensible, pues el trabajo propuesto requiere un mayor compromiso por parte del
docente.
Con el grupo de docentes identi�camos en las versiones iniciales del plan de estudios que los temas
que se trabajaban en los distintos grados de primaria eran esencialmente los mismos, no se aprecia-
ban avances o niveles diferentes en profundidad y complejidad, una vez discutidos y analizados los
planteamientos iniciales la mayoría de profesores coincidió en que los temas no podían ser los mismos,
sino que debían hacer explícitos los avances grado a grado, pero no fué posible que explicitaran por
escrito estas diferencias. Ellos mismos se dieron cuenta de que sus di�cultades en distintas nociones
eran profundas y no les permitian realizar esta diferenciación, por lo que debían solucionarlas. Se
99
produjo entonces un mayor interés por la discusión de documentos de referencia que permitió analizar
la pertinencia y nivel de ciertos temas en cada uno de los grados de primaria.
Para ejempli�car un poco, después de que los profesores de preescolar y primero plantearon como
temas comunes y únicos de geometría para los dos grados �el círculo, el triángulo y el cuadrado�,se
hizo notar que se pasaban por alto, en preescolar y primaria, fases iniciales del trabajo en geometría:
la exploración de formas tridimensionales, clasi�cación inicial de estas según cualidades y atributos,
reconocimiento de formas, para pasar en los siguientes grados a reconocer elementos: número de
lados, vértices, longitud de los lados, nominar las distintas �guras y realizar más sistematicamente
procesos de clasi�cación.
Ante re�exiones similares a la anterior, la mayoría de docentes estuvo de acuerdo en la necesidad de
de�nir y organizar los contenidos del área, anotando que conocían muchos de los temas, pero no eran
concientes de su importancia o que en algunos casos su conocimiento era muy super�cial, y por ello
no lo incorporaban al aula.
Aunque en principio no se logró una buena comunicación con todos los docentes, con el tiempo se
alcanzó la con�anza y amistad requerida para que el trabajo marchara a buen ritmo y con disposición
general, dándose �nalmente el diálogo que pretendíamos para la escritura del plan de estudios, pero de
una manera distinta a la esperada. La escritura de los documentos no fue liderada por los docentes,
sin embargo el documento �nal incluye todos sus aportes. Con el proceso desarrollado se espera
que los profesores estudien y usen los documentos construidos. Esto constituye uno de los logros
fundamentales de este trabajo de grado.
Se construyeron dos documentos, uno que incluye los temas del plan de estudios desde preescolar hasta
noveno grado y otro que especi�ca de preescolar a quinto grado los logros o desempeños esperados en
cada uno de los pensamientos (númerico, espacial, aleatorio, métrico, variacional) que se consideran
como organizadores del currículo de matemáticas, en la propuesta del MEN (tal como se menciona
en el apéndice A.2).
Los documentos producidos están acordes tanto con las experiencias y expectativas de los docentes,
100
como con las orientaciones de los estándares y lineamientos curriculares de matemáticas del MEN;
se organizan por tipo de pensamiento, lo que hace explícita su coherencia vertical y el avance en su
complejidad conceptual, aspectos también tratados en el apéndice A.2.
Ilustraremos las características del documento elaborado, siguiendo con el ejemplo presentado hace
poco sobre pensamiento geométrico: Se plantea el estudio de las �guras planas, que se inicia en
preescolar con la exploración de algunos cuerpos (los que ruedan y los que no ruedan), en primero
se realiza el �reconocimiento de formas triangulares, rectangulares y cuadradas�, luego en segundo
se identi�can lados, vértices, medida de los lados, y se da inicio a la clasi�cación de las �guras.
Para el grado tercero está previsto �Reconocimiento de cuadriláteros: paralelogramos, rectángulos,
cuadrados, rombos, etc.� y �Clasi�cación de triángulos según medida de sus lados (equilátero, escaleno,
isósceles)�. Para cuarto se propone el reconocimiento de polígonos regulares e irregulares. En quinto
se consideran los polígonos, con su construcción, clasi�cación y relaciones. Para sexto grado se estudia
la noción de congruencia de polígonos. Las transformaciones de �guras planas (rotación, re�exión,
ampliación, reducción) y las propiedades que se conservan (medidas de los lados, medidas de los
ángulos) son estudiadas en séptimo. Finalmente el octavo grado se dedica enteramente al estudio de
los triángulos. Como vemos no se dejan de estudiar las �guras planas, solo que se hace cada vez con
más complejidad. Se anexa a este trabajo el documento (como apéndice C) para mayor comprensión.
4.1. Re�exiones e inquietudes sobre el proceso
Retomando las sugerencias aportadas por los evaluadores del proyecto, intentamos enriquecer la
experiencia con elementos del método de trabajo de la Investigación Acción Participativa (I(A)P)1,
entre ellas el replanteamiento del papel del investigador frente a su sujeto de estudio, la relación
teoría- práctica, así como su concepción de la construcción social e histórica de la ciencia, elementos
1Si bien la I(A)P se presenta como un conjunto de técnicas de investigación y métodos en disciplinas sociales [20],tambien es una vivencia y una �loso�a de vida, como se plantea en [21].
101
que están estrechamente relacionados con los planteamientos epistemológicos de la etnomatemática.
Parecía natural hacer esta asociación ya que contábamos con un supuesto fundamental: �La comu-
nidad educativa está organizada y posee un horizonte de�nido, por lo que puede actuar uni�cada-
mente�, esto se apoyaba a su vez en otros dos supuestos: El cuerpo docente es estable y la comunidad
educativa tiene conciencia de lo complejo de la problemática etnoeducativa. La metodología de tra-
bajo se fue modi�cando sustancialmente a medida que se descartaban estos supuestos.
Como ya se mencionó en la sección 3.2 hay frecuentes cambios de docentes, por lo que sólo unos pocos
de ellos piensan en acciones a largo plazo, incluso la misma Corporación Educativa Hijos de la Selva
se ve afectada por esto, ya que varios de sus miembros han sido trasladados. Por lo anterior vemos
que prácticamente los proyectos se reinventan cada nuevo año lectivo, restándoles continuidad.
Si bien es cierto que uno de los objetivos de la etnomatemática es dar capacidad de decisión a las
distintas comunidades o grupos, mejorar su autoestima ([69]) al apreciar y valorar sus practicas
matemáticas, y que esto tiene bastante relación con el rompimiento de la dicotomía Sujeto-Objeto
que plantea la I(A)P y con su �búsqueda de formas para producir convergencia entre el pensamiento
popular y la ciencia académica� [21], existe un requerimiento tácito: el objeto de estudio, en este caso
la comunidad educativa, debe tener interés en participar de la investigación, debe darle relevancia al
problema que se estudia (la educación matemática en una escuela indígena con unas características
especí�cas) para poder tomar el papel de objeto de estudio que proclama la I(A)P.
Si bien existe un objetivo común a los actores de la comunidad educativa; �brindar educación se-
cundaria completa a los habitantes del resguardo�, cuando se intenta alcanzar ese objetivo mediante
acciones concretas, aparecen distintas motivaciones; esto se puede observar en los discursos que cir-
culan en Macedonia sobre etnoeducación tanto a nivel teórico como en la práctica docente, y que son
re�ejo de las iniciativas planteadas desde Leticia y resguardos vecinos.
Algunos docentes consideran la educación para pueblos indígenas como un reconocimiento y a�rma-
ción de sus tradiciones, como medio de resistencia frente a un pensamiento extranjero, que tradicional-
mente los ha relegado, excluido y exterminado; por ello la escuela debe transmitir las tradiciones,
102
mitos y saberes ancestrales.
Otros a�rman que las consideraciones etnoeducativas mantienen la situación de desventaja que tienen
los indígenas por lo que la educación para indígenas debe ser del mismo carácter que la ofrecida para
gente de la ciudad, desde esta concepción es clave que el indígena sepa todo lo que sabe el blanco,
para que este último no se aproveche del primero. Esto es completamente entendible, la organización
política del país, manifestada en los gobiernos departamental y municipal, exige a las comunidades
indígenas que para afrontar los problemas y necesidades entren en unas dinámicas (tiempos, ritmos
y maneras), que son ajenos a sus tradiciones; por ende se genera un reacomodo, un cambio obligado
al que le deben hacer frente como comunidad.
Algunos colegios en el departamento han llevado más allá esta concepción y quieren implementar una
formación técnica en sus estudiantes, buscando la productividad económica de la región, a través de
un énfasis en hotelería o en producción agrícola. Se hacen reparos a estas iniciativas, ya que asignan
a la escuela básica obligaciones que no le corresponden directamente. No es que no se deba dar
formación técnica, sino que eso no es lo único, ni parece ser lo prioritario. Se considera más pertinente
que el estudiante aprenda a aprender, a analizar y tomar una actitud crítica y autónoma frente a su
realidad como indígena y ciudadano, así posteriormente tenga que adquirir un conocimiento especi�co
en alguna técnica para desenvolverse en su vida laboral.
Las dos concepciones no son irreconciliables, por lo que se han planteado alternativas que buscan un
equilibrio. Ese es parte del camino que está siguiendo la etnoeducación. Pero el camino está rodeado
de obstáculos y falsas respuestas mágicas; por ejemplo el asunto de la interdisciplinariedad, uno de
los pilares etnoeducativos, que intenta atenuar la parcelación del conocimiento que se da en la escuela
tradicional y que se �contrapone� a la vida diaria del indígena, que se presenta como un todo único
en el que se interrelacionan y ponen en práctica conocimientos de distinta índole y procedencia.
Por ello se ha pensado que un estilo pedagógico acorde con estos propósitos es el trabajo por proyectos:
proyectos de aula en los que los docentes desde diversas áreas del conocimiento aportan conceptos
para entender una situación problemática y de interés para los estudiantes. El problema aparece en
103
las experiencias concretas de los maestros, fácilmente se confunde el trabajo por proyectos con el
activismo, sacar a los estudiantes del salón de clase no implica estar realizando un proyecto, eso no
es determinante, como no lo es que en el aula no se pueda adelantar un proyecto.
No cualquier actividad es detonante de nuevos aprendizajes en los estudiantes. Es en el diseño de cada
actividad, en el pensar como pueden entrar en consideración distintas áreas y saberes para fortalecer
un proyecto; es cuestionable que en todo proyecto se puedan articular todas las áreas del currículo y
los saberes tradicionales. Eso suena bien, pero en la práctica, es más complejo. No podemos decir que
involucramos matemáticas porque contamos cuantos niños están en un proyecto, o hacemos una regla
de tres simple, así como no podemos decir que estamos haciendo español porque estamos hablando.
Otro de los pilares básicos de la etnoeducación, que también es apoyado por la I(A)P [22] y la etno-
matemática ([14], [46]) es la articulación de formas de conocimiento y arte aborigen, con las formas
del mundo académico. Esto lo podemos nombrar como un diálogo de saberes. En Latinoamérica se
ha planteado la Educación Bilingüe Intercultural (EBI) como propuesta educativa en la que se da
ese diálogo por medio de la inclusión de elementos culturales tanto en los tratamientos de los temas
en el aula de clase como en el diseño del currículo escolar.
Un problema de investigación para la educación matemática es determinar el carácter de esta in-
clusión, que se piensa no sólo para los estudiantes indígenas sino para cualquier educando, ya que
de hecho está inmerso en una cultura. Ya han surgido iniciativas para �acercar las matemáticas a
los mortales�, planteando una enseñanza ligada a contextos cotidianos y cercanos para el estudiante.
Hasta ahí todo está muy bien, el problema está en la interpretación que han hecho algunos docentes
de estas iniciativas para su puesta en práctica. Debe hacerse claridad sobre ciertas maneras de escoger
y diseñar esos ejemplos y contextos cotidianos, porque vemos que se sub-utilizan estas situaciones.
Ejempli�caremos esto con algo que encontramos en un documento sobre enseñanza de las matemáti-
cas para el trapecio amazónico [67], en el cual se incluyen actividades y preguntas para los niños, así
como se seleccionan temas para los grados de primaria. Para segundo de primaria se contempla la
adición de números de dos dígitos, y para plantear una situación �más cercana� se propone:
104
�Juanito tenía 15 copoazues2, compró 23 más, ¾Cuántos copoazues tiene ahora?�
se puede hacer lo mismo con la sustracción:
�Maria tenía 20 pepas de asaí3, regaló 6, ¾Cuántas pepas de asaí tiene ahora?�
Discrepamos de estas curiosas interpretaciones no sólo porque el uso de contextos debe dar lugar
a problemas mucho más interesantes, que involucren realmente la cotidianidad del estudiante y no
dudosas realidades, sino fundamentalmente por que vemos que el problema no es usar un sustantivo
apropiado (como ven, el nombre de la fruta es totalmente irrelevante, si fueran manzanas, cadáveres
o globos el estudiante debe hacer el mismo procedimiento, 15+23 para el primer caso y 20-6 para
el segundo). Tal como lo planta Boaler en [8] el problema está en que el estudiante pueda transferir
apropiadamente su conocimiento a otras situaciones, recordemos que Juanito no sólo suma copoazues,
también suma cantidades de dinero, de animales, registros de notas, kilos, meses, y un sinfín de
cosas. Uno de los principales rasgos de la matemática es que generaliza, abstrae situaciones y plantea
organizadamente escenarios hipotéticos en los que esas generalizaciones puedan no cumplirse. Si
queremos saber matemáticas, no debemos perder esto de vista, por lo que debe darse énfasis a
la capacidad de encontrar similitudes e identi�car la presencia de un concepto o pertinencia de
un procedimiento en situaciones distintas, en resumidas cuentas se pretende un saber hacer en un
contexto variable.
Para el caso de la educación matemática el encuentro de saberes es especialmente problemático,
porque no está mediado exclusivamente por las capacidades o di�cultades de los docentes, sino tam-
bién por el carácter mismo del conocimiento. El trabajo de André Cauty [46], [47] hace visibles varios
aspectos de dicha problemática, uno de ellos es el uso de la lengua. Tradicionalmente en occidente se
ha tomado la lengua materna de un pueblo como base para la enseñanza de la matemática, y con-
secuentemente se considera el uso de lenguas indígenas en la escuela. Como es sabido la matemática
posee un lenguaje que intenta ser �universal� al ser un sistema de palabras y símbolos que es in-
2El copoazu (Theobroma grandi�orum) es una deliciosa fruta consumida en el trapecio amazónico.3El assai (Euterpe spp) es otra deliciosa fruta que se consume en la región, y además está presente en los relatos
míticos ticuna.
105
dependiente de las lenguas naturales de cada matemático. Este lenguaje es fundamentalmente una
escritura, cuyo núcleo es un sistema semiótico de tipo ideográ�co especí�camente construido para
la representación de términos, conjuntos, operaciones y demás objetos matemáticos; esta escritura
brinda una precisión y economía muy estimada por la comunidad de matemáticos. La enseñanza
de las matemáticas conlleva un conocimiento de este lenguaje y cierto dominio de su escritura, lo-
grar esto se hace complejo cuando se parte de un lenguaje primordialmente oral, como es el caso de
muchas lenguas indígenas, y especí�camente el Ticuna. Este conocimiento se hace también comple-
jo por la necesidad de involucrar términos y conceptos especializados dentro de la lengua, ya que
no es únicamente cuestión de traducir entre idiomas naturales, por ejemplo ingles-ticuna o español-
ticuna; Cauty muestra en [46] la imposibilidad de una traducción simple (término a término) de
textos matemáticos a una lengua amerindia, y dirige sus esfuerzos a formular elementos que hagan
factibles los acercamientos entre sistemas de representación. Estos �acercamientos� son inter-étnicos
e interdisciplinarios, y son entendidos como actividades cognitivas dentro de una confrontación de
cosmovisiones, procesos en los que se generan nuevos conocimientos a partir de los ya existentes en
las culturas que entran en juego. Cauty a�rma: �hay que conocer las lenguas amerindias para acceder
a las cosmovisiones de esos pueblos, y hay que conocer las escrituras matemáticas para acceder a las
demostraciones de los matemáticos.� Esto nos da claridad sobre el concepto de diálogo de saberes
que posee el autor.
Queremos ilustrar otro problema con el que se enfrenta la etnoeducación, más concretamente la EBI:
cuando se habla de lenguaje en la escuela, se contesta: �no solo hay español, el indígena tiene su propio
idioma, con particularidades propias�, cuando se habla de ciencias sociales: �el indígena tiene su propia
organización social, también un entramado mítico propio, distinto al de la gente del interior�. Cuando
hablamos de biología: �en nuestro territorio hay otro tipo de fauna y de �ora, las especies animales
y vegetales reciben otros nombres y usos�. ¾En matemáticas qué decimos? No parece su�ciente decir
que para los números existen los nombres en el idioma, porque esas son expresiones distintas de los
mismos números naturales.
106
Aquí aparece la cuestión de la de�nición de contenidos y la de su adaptación a las diferentes lenguas
y culturas amerindias. Cauty la identi�ca claramente:
�En matemáticas no se conoce con precisión ni el punto de partida ni el de llegada de la EBI; el punto
de partida porque no se dispone -entre otras cosas por falta de un número su�ciente de lingüistas de
lengua materna autóctona- de estudios su�cientes de los elementos de las cosmovisiones indígenas en
las cuales podrían articularse las matemáticas4; el punto de llegada porque el objetivo de la enseñanza
de las matemáticas sigue siendo ambiguo: aparte de la cuestión de los primerísimos rudimentos de
una aritmética de la vida cotidiana, ningún otro objetivo de la enseñanza de las matemáticas ha sido
�jado con toda la claridad deseada y menos aún, experimentado en el terreno.�
Es entonces de gran importancia hacer las precisiones planteadas, y para ello la etnomatemática
es de gran ayuda; un mejor conocimiento de las prácticas matemáticas propias de una etnia se
revierte en una mejor educación matemática para los integrantes de la misma, tal como lo muestran
investigaciones relatadas en [14] y en [35]. El presente trabajo actúa en los dos frentes señalados por
Cauty: por una parte documenta sobre actividades matemáticas presentes en la etnia ticuna (punto
de partida) y, por otra parte, aporta en el proceso de elaboración de una propuesta curricular para
la enseñanza de las matemáticas en pueblos indígenas ticuna (punto de llegada).
El plan de estudios que se elaboró entraña una concepción de los saberes matemáticos que se desean
propiciar en el estudiante, por ende conlleva unos objetivos de la enseñanza de las matemáticas. Se
evidencia en los documentos producidos un interés por brindar al estudiante indígena unos sólidos
conocimientos, que le permitan conocer y utilizar las matemáticas a un nivel superior al de la vida
cotidiana (estos saberes básicos no son precisamente producto del diálogo de saberes pretendido
anteriormente) abriéndole la posibilidad de desempeñarse como ciudadano del pais y acceder a niveles
de educación superior, incluso a estudios superiores en la matemática misma. En esto Cauty es
tajante, ¾Por qué negar la posibilidad de formar adultos indígenas profesionales en matemáticas,
4Desde la perspectiva de este trabajo, se considera que en �los elementos de las cosmovisiones indígenas� se incluyenlas prácticas matemáticas que identi�ca Bishop.
107
capaces de contribuir al desarrollo de las matemáticas de hoy? Eso no implica una negación de la
cultura y de los saberes que están en ella, incluso puede servir para afrontar los retos que se plantean
en este tiempo. Con aspectos como la globalización económica y la tan mentada �competitividad�,
¾Cómo va a responder el indígena? ¾Negando esa realidad? ¾Permitiendo que se arrolle su tradición
y volviéndose mano de obra barata?.
Perspectivas y posibilidades de proyección del trabajo.
Hasta el momento las escuelas con maestros indígenas del Amazonas han ofrecido la básica primaria,
y la básica secundaria y media ha estado a cargo de centros educativos en Leticia o de internados
con algún carácter religioso, en los que se intentaba replicar una enseñanza similar a la que se da en
el resto del país, por lo que era notable el esfuerzo de Macedonia por conseguir aprobación para los
dos primeros grados de la básica secundaria. Poco antes de que terminara la experiencia de acom-
pañamiento fue expedido un decreto en el que se ordena la fusión de escuelas en todo el departamento,
con ello seis escuelas de comunidades del río quedarán anexas al colegio de Macedonia, y este podrá
impartir el bachillerato completo. Con esta nueva situación, convergerán estudiantes provenientes de
varias comunidades del río que, salvo la escuela de �La Libertad�(que es una comunidad yagua), son
ticunas con diversos �grados de etnicidad�. Se hace urgente y necesario que el proceso de asesoría
continúe, con el objetivo de ayudar a los maestros con la interpretación e implementación del Plan
de Estudios, con la discusión y diseño de actividades para el aula de clase y con la difusión (y se-
guramente modi�cación) del plan de primaria en las escuelas que quedarán anexas a la Institución
Educativa de Macedonia.
Con la apertura del bachillerato se hará palpable y urgente el encuentro de saberes planteado, en
matemáticas habrán cambios sustanciales; el currículo o�cial ya no se centra en actividades �concre-
tas� y �cotidianas�, sino que está referido a objetos y estructuras matemáticas, así como a un lenguaje
que requieren un nivel superior de abstracción.
Si volvemos al ejemplo de Juanito, de todos modos él podía volver a contar sus copoazues, pero cuando
estudie álgebra o trigonometría, no podrá buscar en contextos cotidianos una conexión directa, y
108
tendrá que atenerse a las propiedades de�nidas para las operaciones, por lo que estará forzado a
manejar relaciones que poseen un nivel de abstracción profundo, y que fueron construidas por una
comunidad externa a su etnia.
Una alternativa es el desarrollo de programas de formación continuada para docentes, que no sólo
sean charlas de instrucción técnica, sino que realicen acompañamiento sistemático a la institución,
con adecuada intensidad, apoyando a los maestros en la cotidianidad de sus aulas, intentando estable-
cer conexiones entre las matemáticas occidentales y las prácticas matemáticas propias, explorando
el uso de las primeras en situaciones problemáticas propias, esto no se hace con buenas palabras o
intenciones, se hace con maestros, matemáticos, lingüistas y con indígenas que conozcan sus tradi-
ciones. Deben con�gurarse equipos interétnicos e interdisciplinarios que puedan tender puentes desde
sus respectivas áreas, pero no de manera retórica sino práctica, afrontando situaciones de aula, con
estudiantes de carne y hueso, con problemas didácticos concretos (que con el bachillerato a�orarán
abundantemente). Creemos que esto puede incentivar al maestro, y generar en él la necesidad de
asumir su práctica de manera re�exiva, dinámica, interesante, útil y nueva; si la Secretaria de Edu-
cación Departamental privilegia el debate pedagógico y académico, los profesores se sentirán motiva-
dos a cambiar paulatinamente sus prácticas, el ideal ha sido planteado por Cauty cuando se re�ere
a los an�bios culturales, maestros-guías capaces de inventar y de construir las vías que permiten
desplazarse de una cultura a otra, unos traductores de registros de lenguas y jergas cientí�cas, y unos
intérpretes que integran el pensamiento de unos y otros.
Somos concientes de que el papel propuesto para el docente implica un verdadero cambio de paradig-
mas, que debe ser fomentado por la Secretaría de Educación Departamental, apoyando sistemáti-
camente propuestas emanadas por los mismos profesores, y no cediendo a intereses no académicos.
También es deber de la SED reorganizar sus tareas administrativas de tal modo que éstas no sigan in-
ter�riendo con el funcionamiento académico de los colegios; particularmente con el Colegio �Francisco
de Orellana�, es necesario un fortalecimiento de la organización administrativa.
Creemos que se deben continuar generando este tipo de re�exiones, con miras a conocer nuestras
109
falencias en el tema educativo, para tener la capacidad de atacarlas y darles apropiadas soluciones.
En este momento se abren puertas para que constituyamos una gran fuerza que lidere el proceso de
cambio y mejoramiento de la calidad en la educación, y es nuestro compromiso hacerlo de manera
efectiva.
110
C A P Í T U L O 5
CONSIDERACIONES FINALES
Este apartado �nal se titula así, porque nada de lo hecho o estudiado en este trabajo se puede dar
por concluido, tanto el trabajo realizado con los docentes en Macedonia, como la investigación sobre
prácticas culturales de la etnia ticuna deben profundizarse1. Anotaremos aquí tres breves re�exiones
que nos quedan sobre estos aspectos.
a)Reiteramos que el acompañamiento a los docentes deber ser continuado y pensado a largo plazo,
para poder determinar su impacto. La elaboración del plan de estudios (Apéndice C) es un impor-
tante y fundamental primer paso en el largo proceso de diseño e implementación curricular. Se hace
necesario abordar nuevos aspectos en este proceso, como por ejemplo la evaluación en el aula y la
incorporación signi�cativa de saberes y prácticas de la etnia ticuna.
También vemos como fundamental que las Secretarías de Educación Departamental del Amazonas, y
Municipal de Leticia, adelanten programas sistemáticos de formación continuada de docentes, tanto
en matemática disciplinar como en educación matemática.
Respecto al Colegio �Francisco de Orellana�, no podemos hacer cosa distinta que resaltar el meritorio
trabajo que realizan los docentes en medio de condiciones tan adversas; no puede pretenderse una
educación de calidad, sin unas condiciones de organización e infraestructura básicas.
b)Los elementos aportados sobre prácticas desarrolladoras de pensamiento matemático en la etnia
ticuna, no pretenden ser exhaustivos ni de�nitivos. Todo lo contrario, es necesario realizar una inda-
1En el II-2003 dos estudiantes de matemáticas están continuando el proceso.
111
gación posterior y más profunda (apoyada en la que aquí se presenta), especialmente en aspectos
como el juego y la explicación. Nuestro precario conocimiento de la lengua ticuna, se hizo evidente
en muchos momentos del trabajo, y nos impidió avanzar más sólidamente en los tópicos planteados
inicialmente. Un buen manejo de dicho idioma, con apoyo de lingüistas, es esencial para el adelanto
de una investigación de este campo en el futuro. Otro aspecto que marcó la indagación es el alto
contacto de la comunidad de Macedonia con Leticia, y por ello se requiere de un estudio en otras
comunidades ticuna que sirva de contraste y permita formular mejor los elementos encontrados.
En la propuesta de descripción de los tejidos, queda como perspectiva usar el mismo esquema para
describir otras artesanías como mochilas y hamacas, aunque no debemos descartar el uso de otros
esquemas de clasi�cación desde la matemática misma, usando grupos de simetría por ejemplo, tal
como es propuesto en [55]. El esquema de algoritmos, si bien no permite realizar una clasi�cación
�externa�, rápida y sencilla, sí es completo y contempla el proceso de realización del tejido, que es
�interno�
c) Examinando el recorrido del campo de estudios de la etnomatemática, es importante de�nir en él
de una manera más precisa sus relaciones con la matemática, ya que como Rowlands apunta no es
posible que la primera sustituya a la segunda. Creemos que la etnomatemática enriquece la matemáti-
ca, tal como indudablemente lo ha hecho con la epistemología y la historia de la matemática. En
la conexión con la educación matemática es donde encontramos el campo de acción más fecundo
de la etnomatemática; si tenemos en cuenta las inquietudes planteadas por Boaler y Rowlands po-
dremos a�nar las propuestas y potenciar realmente la etnomatemática como apoyo en la educación
matemática.
Es de resaltar como un discurso relativamente independiente, el trabajo de André Cauty, que rompe
la falsa dicotomía local-global del conocimiento, con una combinación (dialéctica y difícil) entre lo
local y lo global.
Mientras se está gestando una discusión teórica (Rowlands y D'Ambrosio) sobre la posibilidad de
aplicaciones educativas de la etnomatemática, el trabajo de Cauty es aleccionador en un aspecto
112
fundamental: impide que esta discusión tome visos de especulación inútil y abstracta, al emprender
un proyecto en el que se ponen en juego postulados etnomatemáticos como el carácter situado y
cultural del conocimiento, y de la imposibilidad de abordar apropiadamente los saberes locales, sin
abordar completamente la cosmovisión correspondiente. Es allí, en el adelanto de trabajos audaces,
donde la etnomatemática juega su camino como posibilidad didáctica; de lo contrario puede quedar
como vana proclama de intelectuales sensibles a la condición política. Este trabajo intentó seguir esa
vía, en la que al cabo de un tiempo las hipótesis iniciales son refutadas, modi�cadas o ampliadas,
pero en todo caso puestas en tela de juicio por la experiencia de campo.
Si la educación matemática y la etnomatemática son campos de estudio �jóvenes�, lo son aún más en
nuestro país. Disponemos de escasísimos trabajos realizados, y estos son de diversa índole, por lo que
podemos decir que en etnomatemática está todo por hacer. Dada la diversidad cultural de nuestro
país, cualquier región de él parece propicia para adelantar estudios de este tipo. También existe en
Colombia un particular interés por explorar sobre el uso de matemáticas en estudios artísticos y de
ciencias humanas, tal como lo plantean Zalamea en [80] y Albis & Páramo en [41]. En conclusión, la
etnomatemática es un campo virgen en espera de pioneros, y lo es aun más en Colombia.
113
A P É N D I C E A
Currículo
A.1. Conceptualización
Esta sección está dedicada a discutir elementos relacionados con el currículo desde planteamientos
provenientes de investigadores en educación matemática. Los referentes curriculares de la legislación
educativa colombiana son tratados en la sección A.2 de este anexo. Más adelante se abordarán algunas
consideraciones sobre el currículo presentes en la legislación educativa referida a poblaciones indígenas
El concepto de currículo nace y evoluciona en el siglo XX, inicialmente se consideró restringido al
programa o lista de contenidos, en el que se especi�caba qué temas debían ser enseñados y desde
luego aprendidos; las preguntas de cómo, por qué y para qué se seleccionan dichos temas, abrieron
la discusión sobre el concepto de currículo y permitieron que este evolucionara. No hay espacio en
este trabajo para hacer un recorrido por el desarrollo histórico del concepto y las diversas experien-
cias realizadas en distintos países, para ello remitimos a [36], aunque se citan algunos momentos
importantes de este desarrollo. El objetivo es estudiar las distintas dimensiones y componentes del
currículo, para establecer su carácter dinámico y relacionado con la cultura.
Dejando de lado la primera noción de currículo, Ibáñez-Martin1 asume la de�nición de �conjunto
de estudios y prácticas destinadas a que el alumno desarrolle plenamente sus posibilidades� (DRAE)
y considera como parte integral del currículo el proyecto (que comprende materias, actividades y
metas) y la programación (pasos en el desarrollo de un curso). Algo similar plantea Stenhouse (1984)
1ver [36].
114
al pensar currículo como �término genérico con el que se denomina toda actividad de plani�car una
formación�.
Por su generalidad, esta última ha sido considerada como la noción mas apropiada. Se debe anotar
que entonces toda la actividad educativa se ve atravesada por el currículo, pasando éste a ser algo
sumamente amplio. En él se reconocen distintos elementos como �el colectivo de personas a formar,
el tipo de formación que se quiere proporcionar, la institución que lleva a cabo la formación, los
�nes que se quieren alcanzar y los mecanismos de control y evaluación� (Rico L.). En la primera
concepción de currículo, se consideraba únicamente el dominio de una disciplina y la secuenciación
de los contenidos, algo �endógeno�. Con las nuevas concepciones, se tiene en cuenta el papel de la so-
ciedad, la cultura, la ideología, distintas disciplinas (psicología, sociología, pedagogía, epistemología);
se aborda el proceso educativo como un proceso de enculturación (no simplemente de transmisión
de contenidos disciplinares) que posee �nes culturales, sociales, políticos y formativos. Es decir, se
incluyen en la concepción curricular aspectos �exógenos�.
A partir de investigaciones en educación matemática, se empieza a pensar el currículo desde el ámbito
particular de la institución escolar, involucrando la organización y estructura del centro educativo
a la tríada Conocimiento- Alumno - Profesor, y planteando relaciones posibles entre estos agentes.
Esto constituye un nivel intermedio (no tan teórico y general) más cercano al sistema educativo.
Dentro del ámbito del aula escolar, y al profundizar el papel del docente como agente encargado de
llevar a cabo el plan de formación, el currículo se concreta al determinar elementos como objetivos,
contenidos, metodologías y criterios e instrumentos de evaluación. La noción de currículo basada en
estos elementos es la más usual y difundida, en vista de que se ubica en un nivel concreto, más ligado
a la práctica cotidiana del docente.
Rico L. identi�ca todos estos componentes del currículo, que intervienen en distintos niveles y con-
�guran diversas dimensiones. Para este autor, al considerar el currículo como un sistema cuyos
componentes están fuertemente interrelacionados, tanto el docente como el investigador poseen un
útil marco de referencia, con el cual pueden valorar argumentaciones y re�exiones teóricas sobre el
115
currículo, así como formular e implementar innovaciones y reformas curriculares de manera consis-
tente.
Stenhouse distingue dos puntos de vista sobre el currículo: como intención (plan o prescripción, cur-
rículo propuesto) y como realidad (lo que se logra con el proceso educativo, currículo logrado), por lo
que plantea estudiar la relación entre las dos acepciones. Desde otra perspectiva Jackson hace refer-
encia al currículo oculto presente en la escuela, constituido por una parte por el conjunto de normas,
conductas, relaciones, valores y disposiciones sociales que no están presentes en ninguna declaración
de �nes u objetivos de profesores e instituciones, pero que se dan en el seno de la vida escolar, es
decir, son enseñadas y aprendidas de manera tácita. Por otra parte, el currículo oculto abarca las
prácticas particulares de cada docente al interior del aula de clase, en donde privilegia o deja de lado
ciertos contenidos del programa, utilizando sus propias concepciones sobre metodología, evaluación
y objetivos. Adquiere entonces importancia la cultura escolar, por lo que la práctica desarrollada
por alumnos y profesores en el aula (aplicación del currículo) se incorpora a la conceptualización del
currículo, dándole un carácter de proceso.
Una de las dimensiones del currículo identi�cadas por Rico es la cultural, motivada por preguntas
como: ¾Qué matemáticas se deben enseñar?, ¾Por qué se debe enseñar matemáticas?, ¾Qué signi�-
ca conocimiento matemático? La discusión sobre la naturaleza del conocimiento matemático y del
conocimiento matemático escolar, así como sobre la función de estos dentro de la institución escolar,
no es trivial y afecta el diseño y desarrollo de un currículo de matemáticas, pues éste justamente da
respuesta a esas preguntas (así no sea intencionalmente).
Dependiendo de la posición epistemológica que asuma un profesor (o entidad educativa) en torno a
estos interrogantes, se orienta el trabajo con los alumnos, ya sea como descubrimiento, invención,
construcción personal, asimilación de patrones, etc. Cada postura epistemológica sobre la naturaleza
de las matemáticas conlleva una concepción sobre los modos de adquirir y transmitir el conocimiento
matemático, sobre cómo se estructura, re-elabora y comparte. Estas concepciones hacen parte del
objeto de estudio de la educación matemática.
116
Dentro de la perspectiva cultural en que se inscribe este trabajo, se asume que el conocimiento
matemático posee un carácter histórico y cambiante, ligado a unas prácticas y a un contexto espacio-
temporal concreto, por ello la matemática es un producto dinámico de la actividad humana, que
aunque escapa de la orbita individual no tiene existencia fuera de la tradición cultural de los grupos
humanos.
A partir de las indagaciones realizadas desde la etnomatemática y de las investigaciones sobre prác-
ticas matemáticas en diferentes culturas, se postula que las matemáticas son parte integral de toda
cultura y están inmersas en distintos aspectos de ella (participación y empleo de elementos matemáti-
cos en la pintura, la arquitectura, la �losofía, el deporte, la música, etc.).
�La consideración de las matemáticas como un elemento de la cultura de nuestra sociedad, importante,
pero uno más, supone dejar de concebir las matemáticas como un objeto ya construido, que hay que
dominar, y comenzar a considerarlas como una forma de pensamiento humano, con margen para la
creatividad, (...)Esto impone una modi�cación profunda del papel atribuido a las matemáticas en el
currículo escolar� 2
De este modo, si la educación debe procurar transmitir la herencia cultural básica de una sociedad
(ser un proceso de enculturación), los elementos que conforman el currículo �no pueden ser ajenos o
contrapuestos a los valores fundamentales de la cultura� [36]. Tiene entonces sentido una aproximación
cultural al currículo de matemáticas.
En la propuesta que Bishop realiza en [1] se formula un currículo y una forma de implementación,
de tal manera que asegure mostrar el sustrato cultural de las matemáticas y con�gure un verdadero
proceso de enculturación. Ampliamos esta propuesta:
Bishop plantea principios que deben caracterizar un enfoque cultural del currículo: representativi-
dad de la cultura matemática3, objetivar el nivel formal de esta cultura. ser accesible para todos
2Rico L. en [82].3Con esto se representan los valores que cada sociedad le asocia las matematicas, Bishop identi�ca dentro de la
sociedad tecnológica en la que nos encontramos, valores como: racionalismo, objetismo, control, progreso, apertura ymisterio.
117
los estudiantes, enfatizar las Matemáticas como explicación del formalismo, brindar una educación
relativamente amplia y elemental, en vez de limitada y exigente. Para el currículo como tal, el autor
propone tres componentes que estructuran todo el marco de conocimientos del currículo de encul-
turación, un componente simbólico que permite explorar explícitamente los valores de racionalismo y
objetismo; este componente está basado en conceptos, que estan presentes en cada una de las activi-
dades universales que se han planteado. Estos conceptos no se asumen como temas puntuales sino
como centros de interés que organizan el currículo, y sobre los cuales se estructuran actividades. El
componente Societal ejempli�ca los múltiples usos que la sociedad da a las explicaciones matemati-
cas, y como esta asocia los valores de control y progreso; el estudio y desarrollo de este componente se
basa en el adelanto de proyectos, que proporcionen una revision historica del desarrollo matemático
y fomenten el empleo de materiales de distinto orden y procedencia, permitiendo la participación y
profundización personal de cada estudiante en el tema tratado. El componenteCultural está basado
en investigaciones, que ejempli�can el concepto de matemáticas como fenómeno existente en todas
las culturas, e introduce la idea �técnica� de la cultura matematica con los valores de apertura y
misterio
Después de este análisis y en aras de conectar con la parte práctica de este trabajo, pasamos a
considerar los distintos enfoques curriculares de matemáticas que se han implementado o�cialmente
en el país.
A.2. Orientaciones Currículares en matemáticas
Guardando estrecha relación con los planteamientos epistemológicos de la escuela formalista, en las
décadas de los 60 y 70 se implementan a nivel internacional reformas educativas que en sus planes
curriculares, involucran aspectos de la llamada �matemática moderna�. En esta última se hace énfasis
en las estructuras abstractas, profundizando en el rigor lógico y privilegiando el estudio de la teoría
de conjuntos y el álgebra. Se pretendía fundamentar la educación matemática y la matemática de
118
la misma manera, centrándose en el estudio de las estructuras matemáticas planteadas por el grupo
Bourbaki. En Colombia este programa se implementó para los grados de primaria con el decreto
1710 de 1963 y para la secundaria con el decreto 080 de 1974. Los resultados no fueron los esperados,
ya que por una parte la matemática moderna signi�caba una ruptura radical con lo que se había
trabajado tradicionalmente, y por otra parte pretendía acercar al estudiante a los desarrollos de la
matemática contemporánea, lo que implicaba una formación muy especializada, que no era apropiada
para la gran mayoría de estudiantes, que no iban a dedicarse a estudiar matemáticas �puras�.
La problemática que se estaba dando en Colombia llevó al Ministerio de Educación a articular un
programa de �Mejoramiento Cualitativo de la Educación� en el que se propusieron como estrategias la
renovación de programas, la capacitación docente y disponibilidad de medios educativos, en 1978 se
comenzaron a revisar los programas de matemáticas, y para ello se conformó un equipo asesorado por
el doctor Carlos Eduardo Vasco. Este equipo formuló el programa de la Renovación Curricular, que fue
promovido por el ministerio durante los 20 años siguientes a su aparición. La Renovación Curricular
propuso organizar las matemáticas escolares desde una perspectiva sistémica que las abarcara como
totalidades estructuradas, con sus elementos, operaciones y relaciones. En la propuesta se planteaban
sistemas numéricos, geométricos, sistemas de datos, sistemas lógicos
Este programa también planteó la distinción entre sistemas simbólicos ( �que se escriben, pintan o
hablan�[18, p. 16]), sistemas conceptuales (que se piensan, construyen y elaboran mentalmente [18, p.
16]) y los sistemas concretos (que son conocidos y utilizados por los estudiantes en su vida diaria; estos
serían las manifestaciones concretas y cercanas de conocimientos matemáticos). Estos tres sistemas
atraviesan cada una de los �regiones� planteadas. La sugerencia para el docente es la de explorar
los sistemas concretos que ya utilizan los estudiantes, y a partir de ellos ir construyendo sistemas
conceptuales. Una vez iniciada esta construcción el mismo estudiante puede desarrollar sistemas
simbólicos apropiados, aprender los usuales y traducir de unos sistemas simbólicos a otros. Dentro del
marco teórico del programa de la Renovación Curricular se señalaba que el problema de la matemática
moderna fue suponer que �el verdadero sistema matemático es el sistema simbólico�, y que por ello
119
con los estudiantes se debía �partir de los sistemas simbólicos para entrar a los sistemas conceptuales�.
[85, pag 242]. Independientemente de los naturales problemas que conlleva la aplicación de cualquier
política educativa estatal, se debe reconocer en la Renovación Curricular una clara intención de
mejorar los niveles de conceptualización y fundamentación de las propuestas pedagógicas, ligada a
un reconocimiento del papel central que juega el maestro como protagonista del problema curricular.
En la Renovación Curricular se introdujeron tres elementos que son básicos en las propuestas poste-
riores, el primero es la identi�cación de grandes sistemas en el conocimiento matemático (sistemas
numéricos, geométricos, métricos, de datos), que aunque son conceptualizados posteriormente de una
manera más re�nada como �dominios conceptuales� o �formas de pensamiento matemático�, siguen
siendo tomados como organizadores del currículo. El segundo elemento es la delimitación de indi-
cadores y logros esperados en el estudiante, otorgando especial importancia a la evaluación como
reguladora del proceso educativo, que permite introducir cambios en la preparación de la clase, de-
tectar causas en los errores de los estudiantes y desarrollar estrategias para corregirlos. Se abandona
la idea de evaluación como instrumento coercitivo o seleccionador, para abordarla como herramienta
de trabajo pedagógico y facilitadora de nuevos aprendizajes. El tercer elemento es el carácter �exible
de la política educativa, que se cataloga como propuesta adaptable a las circunstancias especí�cas
de cada docente o escuela, y no como orden determinante de lo que se debe y no debe hacer.
En concordancia con el espíritu de la Constitución de 1991, en la Ley 115 de 1994 se replantea el
marco del sistema educativo nacional, en esta ley se establece una propia de�nición de currículo como
el �conjunto de criterios, planes de estudio, programas, metodologías y procesos que contribuyen a la
formación integral y a la construcción de la identidad cultural nacional, regional y local , incluyendo
los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el
proyecto educativo institucional� (Art. 76). Se establece que cada institución educativa debe realizar
y estructurar su propio currículo, teniendo en cuenta las regulaciones que sean diseñadas por el
MEN. En esta ley se introduce el concepto de Plan de estudios, más cercano (aunque no igual) a la
primaria concepción de currículo como programa o lista de contenidos. En decretos reglamentarios
120
de la Ley 115 se dan orientaciones para la elaboración de los currículos, de�niendo dos instrumentos
principales que reemplazaran los materiales de la Renovación Curricular: los lineamientos curriculares
y los indicadores de logros curriculares. Estos últimos son establecidos para todas las áreas en la
resolución 2343 de 1996. También en dicha resolución se crean conjuntos de grados en la educación
formal. Los indicadores son especí�cos y plantean desempeños y actitudes esperadas al �nalizar cada
grupo de grados, es decir, están ligados a la evaluación dentro del proceso educativo.
Para la construcción de los lineamientos curriculares se conformó un grupo de trabajo amplio y
diverso, en el que participaron investigadores y docentes de todo el país, logrando estructurar una
propuesta sólida, acorde con planteamientos teóricos internacionales y con las experiencias nacionales
implementadas anteriormente. El documento �nal publicado en 1998 expresa el interés de incidir en
las prácticas cotidianas del docente, rede�niendo su rol en el aula y planteándole una nueva visión del
conocimiento matemático en la escuela, considerando este conocimiento como una actividad social,
resultado de una evolución histórica, actividad que siempre está inmersa en un contexto cultural.
Además son caracterizados allí los procesos transversales que siguen los estudiantes al aprender y
la necesidad de que los conocimientos a adquirir les permitan �explorar la realidad, representarla,
explicarla y predecirla, en suma, para actuar en y para ella� [18, pág. 35]. La propuesta reorganiza
y amplía muchos de los elementos contenidos en la Renovación Curricular, introduciendo nuevos
elementos de interés, como por ejemplo la aplicabilidad de los conocimientos matemáticos fuera del
ámbito escolar.
Se proponen tres grandes aspectos que organizan y estructuran la propuesta curricular:Procesos
generales, Conocimientos básicos y Contextos.
Procesos generales que tienen que ver con el aprendizaje, tales como el razonamiento, la resolu-
ción y planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación y la elaboración, comparación y
ejercitación de procedimientos. [18, pág. 35]
Los Conocimientos básicos están relacionados con procesos especí�cos que desarrollan el pen-
samiento matemático y con los sistemas propios de las matemáticas planteados desde la Renovación
121
Curricular [18, pag35].
Contextos, que tienen que ver con los ambientes que rodean al estudiante y le dan sentido a las
matemáticas que aprende. Un pertinente uso de los contextos por parte del docente debe conducir a
generar situaciones problemáticas en las que los estudiantes exploren problemas, planteen preguntas
y modelos y re�exionen sobre ellos, desencadenándose los procesos de aprendizaje esperados. Las
situaciones problemáticas provenientes de la vida diaria, de las matemáticas o de otras ciencias,
constituyen un contexto propicio para acercarse al conocimiento matemático escolar.
La propuesta de lineamientos curriculares tiene un carácter general, en el que se esbozan tópicos
de interés dentro de los tres grandes aspectos mencionados anteriormente, pretendiendo dar lugar
a múltiples y autónomas interpretaciones e implementaciones por parte de maestros e instituciones.
Surge entonces la necesidad de hacer una mayor precisión acerca del documento de Lineamientos
dentro del currículo, para alcanzar sus ambiciosas expectativas; para responder a esta necesidad el
MEN propone los Estándares Básicos de Calidad en 2003 con el �n de que �orienten los desarrollos
curriculares, consoliden los cambios y los promuevan en la enseñanza de las matemáticas; para ayudar
a todos los estudiantes a comprender, hacer y usar matemáticas y, para que sirvan de guía en el
conjunto de decisiones institucionales con respecto al currículo(...)� [59, pag. 8]
Los estándares se relacionan con los indicadores de logros, en la medida en que proponen unos
desempeños mínimos esperados de los estudiantes de todas las regiones del país al cabo de cada
grupo de grados, es decir, hacen parte de los instrumentos de evaluación de los que dispone no sólo
el maestro, sino el mismo MEN. Los estándares también involucran el sentido de los lineamientos,
ya que continúan parte de su carga conceptual, manteniendo como organizadores curriculares a los
tipos de pensamiento matemático y a los procesos generales4. Los estándares están organizados bajo
tres principios5 : Coherencia (horizontal y vertical), complejidad conceptual y aprendizaje de las
matemáticas4Procesos como razonamiento, resolución de problemas y comunicación (no se incluyen explícitamente la modelación
y la elaboración y ejercitación de procedimientos). Los contextos son excluidos.5Aunque se asume que estaban presentes en propuestas anteriores, no lo estaban de manera explícita.
122
Con la coherencia (horizontal y vertical) se trata de reconocer que un estándar de un determinado
pensamiento, no puede verse aislado ni del resto de estándares correspondiente a dicho pensamiento
en los demás grupos de grados, ni de los estándares que corresponden a otros pensamientos.
Complejidad conceptual evidenciada en la relación entre: procesos - conocimientos básicos -
contextos. A medida que los estudiantes avanzan en su educación básica, la complejidad conceptual
de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina, sino también,
en el tipo de procesos que puede realizar, y en el nivel de abstracción de las situaciones que puede
afrontar.
Aprendizaje de las matemáticas. Los procesos de comprensión y formación de competencias
matemáticas de un lado, son procesos complejos y se suceden en largos períodos de tiempo; y de
otro, los procesos de aprendizaje y desarrollo son desiguales de un estudiante a otro. De esta manera
los estándares no son metas que se puedan delimitar en un tiempo �jo determinado, sino que estos
identi�can procesos que incluso no son terminales en el nivel donde se proponen.
Los estándares son de reciente aparición, por lo que escapa a este trabajo cualquier tipo de análisis
de su implementación o efecto producido.
A.3. Etnoeducación y currículo
Antes de la Ley 115, en Colombia regía en los currículos una visión etnocentrista y uniformizante, que
hacia invisible la pluralidad cultural del país. Al decir de Perea [40] esta invisibilidad �alimentó en
el pueblo colombiano el racismo, el prejuicio racial y la marginalidad estatal-territorial con grandes
perjuicios sicológicos y bio-sociales�. En la Ley general de educación se reconoce la diversidad étnica
y cultural del país. En el capítulo dedicado especialmente a la educación para grupos étnicos, no sólo
se consagra el derecho que tienen los integrantes de estos grupos a una educación que reconozca sus
valores, creencias y tradiciones, sino que se avanza en la legislación, en aspectos como el uso de la
lengua materna, la formación y selección de educadores, la selección de contratos, y para el caso que
123
nos atañe en este momento, el diseño curricular. Allí se plantea el compromiso de �prestar asesoría
especializada en el desarrollo curricular, en la elaboración de textos y materiales educativos, y en la
ejecución de programas de investigación y capacitación lingüística� .
Posteriormente a esta declaración de principios, se emite el decreto 804 de 1995, que actualmente está
vigente y que reglamenta la educación para grupos étnicos. Allí se encuentra un capítulo expresamente
dedicado al currículo de la etnoeducación. Se fundamenta ésta en la �territorialidad, la autonomía,
la lengua, la concepción de vida de cada pueblo, su historia e identidad según sus usos y costumbres�
(art. 14), se establece que el diseño curricular a) debe ser producto de la investigación en donde
participen las comunidades con sus organizaciones u autoridades tradicionales. b) debe re�ejar en
su formulación las concepciones educativas elaboradas por los grupos étnicos, atendiendo �la lógica
implícita de su pensamiento� (art. 15). c) estar apoyado en los alfabetos de las distintas lenguas (art.
16).
Como se puede apreciar, tanto en la ley como en el decreto está presente un interés por el asunto
curricular, cambiando el etnocentrismo por visiones alternativas, ya sean de carácter articulador o
integrador; en el primer caso haciendo un reconocimiento de la importancia de las culturas y etnias,
incluyendo cátedras sobre estudios culturales y sobre la organización política de los grupos étnicos. En
la visión integradora, todas las áreas del currículo �clásico� se ven atravesadas por la presencia de los
saberes culturales especí�cos, que entrarían a hacer parte de los contenidos a enseñar, también habría
una interdisciplinariedad, al encontrar dentro de la cosmovisión propia de una cultura, elementos
que involucren diversas áreas. Dentro de esta alternativa, es posible que se afecten los tiempos de
enseñanza, o la organización del gobierno escolar, u otros elementos de la estructura misma del sistema
educativo. Una visión integradora del currículo es propuesta en [40] re�riéndose al caso especi�co de
las comunidades afro colombianas, o en [61] a las comunidades indígenas del río Amazonas.
124
A P É N D I C E B
Marco Legal de la Etnoeducación
Decreto 88 de 1976:
El artículo del decreto 88 de 1976 �los programas regulares para la educación de las comunidades
indígenas tendrán en cuenta su realidad antropológica y fomentarán la conservación y la divulgación
de sus culturas autóctonas. El estado asegurará la participación de las comunidades indígenas en los
bene�cios del desarrollo económico y social del país�.
De esta manera el estado colombiano empieza a reconocer la existencia de culturas diferentes que
requieren de una educación también diferente que de respuesta a la realidad antropológica en que
viven los pueblos indígenas.
Decreto 1142 de 1978:
El decreto 1142 de 1978 reglamenta el artículo 11 del decreto 88 de 1976, el estado se re�ere por
primera vez a la necesidad de que la educación de las comunidades indígenas tenga en cuenta la real-
idad antropológica y fomente la conservación y divulgación de sus culturas autóctonas. Básicamente
este decreto se re�ere a los siguientes aspectos:
La educación indígena debe estar ligada a las características culturales y a las necesidades que tengan
las comunidades.
La alfabetización deberá hacerse en lengua materna.
Las comunidades deberán participar en el diseño de sus programas educativos.
La educación para las comunidades será gratuita.
125
Se promoverá la investigación en las comunidades indígenas con participación de sus habitantes.
La educación para comunidades indígenas tenderá al desarrollo tecnológico, autóctono, estimulando
la creatividad en el marco de la interculturalidad.
Se establece �exibilidad de horarios y calendarios acordes con las características, usos y costumbres
de las comunidades.
Empieza a establecer criterios para la selección y formación de educadores.
Decreto 85 de 1980:
Faculta el nombramiento como docentes en las comunidades indígenas, de personal bilingüe que no
reúna los requisitos académicos exigidos a los demás docentes.
Resolución 3334 de 1984:
Los aspectos más relevantes de esta resolución son:
Creación del grupo de etnoeducación en el MEN, para impulsar programas para las comunidades
indígenas, que tienen entre sus funciones realizar encuentros en las diferentes regiones del país para
sensibilizar a las comunidades indígenas y a las instituciones relacionadas con ellas.
Autoriza aplicación del plan Etnoeducativo propuesto para la comunidad Arhuaca de la Sierra Nevada
de Santa Marta.
De�nición de lineamientos generales de la Educación Indígena teniendo en cuenta como marco general
un concepto de etnodesarrollo. En este decreto se de�ne la etnoeducación como: �Un proceso social
permanente, inmerso en la cultura propia, que consiste en la adquisición de conocimientos y valores,
en el desarrollo de habilidades y destrezas acordes con las necesidades y aspiraciones de la comunidad,
que la capacita para participar activamente en el control cultural del grupo�.
Trata de de�nir los principios y �nes de la etnoeducación.
Decreto 1498 de 1986:
Establece que el nombramiento de maestros indígenas para las comunidades no está sometido al
sistema de concurso.
126
Resolución 9549 de 1986:
El Ministerio de Educación Nacional reglamenta el artículo 14 del decreto 2762 de 1980, autorizando
y organizando el sistema especial de profesionalización de maestros indígenas.
Decreto 1217 de 1987:
Exceptúa del titulo profesional a los directivos docentes para los niveles básico secundario y medio
vocacional a las poblaciones étnicas minoritarias que tengan el programa de etnoeducación y a las
zonas de difícil acceso.
Decreto 1490 de 1987:
Exceptúa a las poblaciones étnicas minoritarias que cuenten con programa de etnoeducación, de la
aplicación del programa Escuela Nueva.
CONSTITUCIÓN POLÍTICA DE COLOMBIA DE 1991
La constitución política de Colombia de 1991 consagra en los derechos fundamentales de los grupos
étnicos los siguientes aspectos relacionados con la educación:
Derecho a ser reconocidos y protegidos por el estado en su diversidad étnica y cultural. (Art. 7 ).
Derecho al reconocimiento de las lenguas y dialectos como los o�ciales en sus territorios. (Art. 10).
Derecho a una enseñanza bilingüe en las comunidades con tradiciones lingüísticas propias.
Derecho a participar en la dirección, �nanciación y administración de los servicios educativos es-
tatales. (Art. 67).
Derecho a una formación que respete y desarrolle su identidad cultural. (Art. 68).
Derecho a ser reconocidas dignamente sus manifestaciones culturales, en igualdad a los demás que
conviven en el país, como fundamento de la nacionalidad (Art. 70)
Decreto 2127 de 1992:
Establece la división de Etnoeducación y sus funciones, como parte orgánica del Ministerio De Edu-
cación Nacional.
LEY 115 DE 1994
La Ley General de Educación, establece en el capítulo III la educación para los grupos étnicos,
127
de�niéndola como la ofrecida a comunidades con tradiciones culturales propias, ligada al ambiente,
al proceso productivo, social y cultural, respetando sus creencias y tradiciones. (Art. 55) En esta ley
se destaca:
La enseñanza de los grupos étnicos con tradición lingüística será bilingüe en lengua materna y en
castellano. (Art. 57)
Tendrá como �n el a�anzar los procesos de identidad, conocimiento, protección y el uso de las lenguas
(Art. 56)
La selección de los docentes se realiza en concertación con los grupos étnicos, preferiblemente entre
los miembros de la comunidad.
La vinculación, administración y formación de docentes será de conformidad con el estatuto docente
y con las normas especiales que hasta el momento reglamentaban la educación para grupos étnicos,
las cuales siguen siendo vigentes.(Art. 58)
El Ministerio de Educación Nacional con las entidades territoriales y en concertación con las au-
toridades y organizaciones de los grupos étnicos establecerá programas especiales para la formación
y la profesionalización de Etnoeducadores o adecuará los ya existentes para dar cumplimiento a lo
dispuesto por la ley.(Art. 62)
El Ministerio de Educación Nacional prestará asesoría especializada en el desarrollo curricular, en
la elaboración de textos y materiales educativos y en la ejecución de programas de investigación y
capacitación etnolingüística (Art. 59)
Los programas y proyectos educativos que vienen adelantando las organizaciones de los grupos étnicos
continuarán ajustados a los planes educativos regionales y locales. (Art. 61)
Decreto 804 de 1995:
Reglamenta el capítulo III de la Ley General de Educación Nacional en lo concerniente a la atención
educativa para los grupos étnicos.
128
A P É N D I C E C
Plan de estudios
ORGANIZACIÓN PLAN DE ESTUDIOS EN MATEMÁTICAS
COLEGIO FRANCISCO DE ORELLANA
C.1. Primaria
Se considera el desarrollo de los pensamientos numérico, geométrico, métrico y aleatorio desde
preescolar hasta grado quinto. Para organizar el plan de estudios correspondiente a cada uno de
los grados, deben incluirse todos los temas que corresponden a cada pensamiento. El profesor debe
tener en cuenta los avances y diferencias que se dan en cada uno de los grados.
C.1.1. Pensamiento Numérico
ASPECTOS TEMÁTICOS
Preescolar
Noción de cantidad: Muchos-pocos. Todos-ninguno. Uno-ninguno. Relaciones entre cantidades: uno,
muchos; más que, menos que; tantos como...
Nociones de conteo. Correspondencia (uno a muchos, uno a uno). Cardinalidad (numero de elementos
de un conjunto). Números dígitos (cero al nueve) nombre y símbolo. Noción de orden. Seriación
129
(Secuencias numéricas). Noción de agrupación: decena. Noción de adición como añadir. Noción de
sustracción como quitar. Noción de reparto.
Primero
Números naturales (0-99). Conteo. Correspondencia. Cardinalidad. Número como ordinal (Ordenar
colecciones usando diferentes criterios). Secuencias numéricas (pares, impares, uno mas, de uno en
uno, de dos en dos, etc..). Sistema de Numeración. Noción de agrupación. (grupos de diez, unidades
sueltas). Descomposición en decenas y unidades. Signi�cado del valor posicional. Lectura y escritura
de números. Operaciones. Adición como añadir. Adición como comparar. Sustracción como quitar.
Sustracción como comparar. Algoritmos de adición y sustracción (exploración inicial de sumas �lle-
vando�, �restas prestando�). Solución de problemas de adición y sustracción en contextos cotidianos
y escolares.
Segundo
Números naturales (0-999)
Uso y signi�cado de los números en diferentes rangos y contextos. Cardinales. Ordinales. Relación
de Orden. Secuencias (mayor que, menor que).
Sistema de numeración . Agrupación: decenas y centenas como unidades de orden superior. Descom-
posición. (en centenas, decenas y unidades sueltas) Valor posicional. Lectura y escritura de números.
Fracción como parte de un todo (la mitad, la tercera parte, la cuarta parte, del numero de elementos
de un conjunto). Operaciones entre números naturales.
Diferentes signi�cados de adición y sustracción. Propiedades. Algoritmos de adición y sustracción.
La multiplicación como adiciones repetidas y como arreglos. Exploración inicial de propiedades de la
multiplicación (conmutativa, asociativa, distributiva).
Tercero
Números naturales. Signi�cado en contextos de medida (talla, capacidad, longitud, precios, temper-
atura, información en tablas y representaciones grá�cas). Relación de orden. Relación de divisibilidad:
Múltiplos y divisores. Sistema de numeración. Decenas, centenas, unidades de mil, decenas de mil co-
130
mo unidades de orden superior. Descomposición. Signi�cado del valor posicional. Lectura y escritura
de números.
Operaciones. Multiplicación como adiciones repetidas, como arreglos y como combinaciones. Propiedades
de la multiplicación (conmutativa, asociativa, distributiva). Uso para interpretar el algoritmo de la
multiplicación (pasos para efectuar una multiplicación). División como repartición y como restas
sucesivas. División exacta. Exploración de la división con residuo. Exploración inicial de algoritmo
de la división.
Las fracciones. La fracción como parte de un todo: en contextos continuos y discretos (mitad, tercera,
cuarta parte de magnitudes como : longitud, área, tiempo, capacidad. Mitad, tercera, cuarta parte
de un conjunto). Reconocer el todo, determinar partes. Planteamiento y solución de problemas de
adición, de sustracción, de adición y sustracción, de multiplicación.
Cuarto
Números naturales, uso y signi�cado en contextos de conteo y medida (peso, talla, capacidad, longi-
tud, área, volumen, precios, temperatura, información en tablas y representaciones grá�cas tomadas
en revistas, periódicos y medios de comunicación). Representación en la recta numérica Descomposi-
ción en el sistema decimal. Orden en rangos numéricos amplios. Propiedades.
Descomposición aditiva y multiplicativa. Descomposición en factores: múltiplos y divisores. Números
primos y compuestos, mínimo común múltiplo, máximo común divisor. Secuencias numéricas. Frac-
ciones. Fracción como parte de un todo. (en lo continuo parte de una magnitud, y en lo discreto parte
del numero de elementos de un conjunto) Fracciones decimales. Representación grá�ca. Fracción co-
mo cociente (fracciones mayores y menores que la unidad). Fracciones equivalentes. Construcción
mediante dobleces de papel. (�la mitad de� equivale a los �dos cuartos de�, a los �tres sextos de�, etc)
Operaciones entre naturales. Multiplicación. Propiedades. Uso del algoritmo de la multiplicación.
División. Algoritmo de la división: Signi�cado del cociente y del residuo. Operaciones entre fracciones.
Interpretación y modelación de adición y multiplicación.
Planteamiento y solución de problemas que requieren usar adición y sustracción o multiplicación y
131
división de números naturales.
Quinto
Números naturales. Expansión decimal. Descomposición de un numero natural como suma de poten-
cias de diez .
Fracciones: Fracción como parte de un todo, como un cociente. Fracción como razón. Comparación de
fracciones. Orden de fracciones. Fracciones equivalentes. Fracciones decimales. Números decimales.
Representación, paso de la fracción al decimal y del decimal a la fracción. Porcentajes.
Proporcionalidad directa: (Descripción e interpretación de la proporcionalidad en situaciones de
variación representadas en grá�cos, tablas y secuencias numéricas: relación entre precio y cantidad
de artículos, tiempo y distancia recorrida, longitud de un lado y área de un rectángulo, etc.)
Operaciones entre naturales. Adición, sustracción, multiplicación y división. Propiedades y relaciones
entre las operaciones.
Operaciones entre fracciones Adición y sustracción. Representación. Multiplicación y división. Inter-
pretación grá�ca.
Potenciación Signi�cado y algunas propiedades.
Planteamiento y solución de problemas que requieren usar combinadamente adición, sustracción,
multiplicación y división de números naturales y de fracciones.
C.1.2. Pensamiento Geométrico y Espacial
ASPECTOS TEMÁTICOS
Preescolar
Nociones de forma y tamaño y clasi�cación de objetos según estas cualidades. Exploración de algunos
cuerpos (los que ruedan y los que no ruedan). Exploración de simetrías. Relaciones espaciales: Posi-
ciones relativas de los objetos (adentro, afuera, arriba, abajo, delante, atrás...). Lateralidad (derecha,
izquierda). Exploración de desplazamientos y giros.
Primero
132
Sólidos regulares: Reconocimiento y caracterización (número de caras, número de vértices, forma de
las caras). Figuras planas: cuadrado, rectángulo, triángulo (reconocimiento de formas triangulares,
rectangulares y cuadradas) Ubicación espacial: Lateralidad. Posición relativa de objetos (adentro de,
afuera de, arriba de, abajo de, delante de, atrás de...
Segundo
Sólidos regulares: propiedades: número de caras, número de vértices, bordes. Cuadrado, triángulo,
rectángulo: Lados, vértices, medida de los lados. Inicio clasi�cación. Rectas: posiciones relativas:
exploración de paralelismo y perpendicularidad. Simetría de �guras planas.
Tercero
Figuras planas: propiedades: ángulos, simetría, lados paralelos, lados perpendiculares. Noción de
ángulo. (Ángulo como giro)
Construcción con regla y compás de paralelas y perpendiculares, y de algunas �guras planas. Re-
conocimiento de cuadriláteros: paralelogramos, rectángulos, cuadrados, rombos, etc. Clasi�cación de
triángulos según medida de sus lados (equilátero, escaleno, isósceles).
Cuarto
Polígonos Regulares e irregulares. Clasi�cación de cuadriláteros. (Características de paralelogramos,
rectángulos, cuadrados y rombos). Ángulo como giro y ángulo como región comprendida entre dos
rectas que se cortan. Construcción. Uso de transportador. Medida de ángulos en fracciones de vuelta
(un cuarto de vuelta - ángulo recto; media vuelta � ángulo llano ). Clasi�cación (agudos, rectos,
obtusos).
Circunferencia y círculo. (Interior y borde de una región circular). Centro y radio de la circunferencia.
Construcción. Rotaciones y re�exiones (movimiento de �guras en un plano).
Quinto
Sólidos. Construcción (armar y desarmar cajas y recipientes de diferentes formas). Polígonos. Con-
strucción. Clasi�cación. Relaciones. Ángulos. Medida en grados. Construcción de ángulos de una me-
dida dada. Circunferencia. Construcción. Exploración del perímetro. Círculo. Exploración del área.
133
Transformaciones en el plano. Rotaciones. Re�exiones. Traslaciones.
C.1.3. Pensamiento Métrico
ASPECTOS TEMÁTICOS
Preescolar
Descripción de eventos y procesos (antes, ahora, después). Nociones temporales: días de la semana;
ayer, hoy y mañana. Nociones de magnitudes continuas: Longitud (más largo que, más corto que,
tan largo como, más alto que, mas bajo que, tan alto como), peso (más pesado que, más liviano que,
tan pesado como) capacidad ( le cabe más que, más lleno que, ), distancia (lejos, cerca). Exploración
de conservación.
Primero
Longitud: comparación directa, clasi�cación, medidas naturales. Exploración de conservación. Tiem-
po: Ubicación temporal, duración de eventos: mas de una hora, menos de una hora, un día, etc.
Capacidad de recipientes: Comparación (Tomar dos recipientes y comparar la capacidad del mas pe-
queño en el mas grande). Volumen: Exploración de la noción de volumen (tomando un bloque como
unidad arma y desarma torres).
Segundo
Longitud: patrones no estándar, patrones estándar. El metro como unidad. Tiempo: Duración de
eventos. Fracciones de hora (media hora, un cuarto de hora, medio día). Área: Noción de área por
recubrimiento. Patrones arbitrarios. Capacidad: Comparación usando patrón de medida. Volumen:
Noción. Comparación, Patrones arbitrarios (tomar un recipiente como patrón para medir y comparar
la capacidad de otros).
Tercero
Longitud: Conservación. Patrones estándar. Metro, decímetro y centímetro como fracciones del metro.
Área: Recubrimiento, elección de un patrón o unidad. Comparación. Determinación de áreas de
regiones regulares e irregulares usando recubrimiento. Capacidad: Uso de patrón estándar (el litro).
134
Graduación y comparación de recipientes. Tiempo: Medición de tiempo y estimación de duración de
eventos (mas de un cuarto de hora, menos de media hora).
Cuarto
Longitud. Uso de instrumentos. Estimación de longitudes. Área del rectángulo en relación a la me-
dida de los lados. Comparación de áreas. Perímetro de polígonos. Noción de volumen. Volumen de
una caja, volumen de un cubo. Unidades de volumen (centímetro cúbico). Tiempo. Unidades (Ho-
ras, minutos, segundos). Conversión. Noción de peso. Unidades estándar y no estándar (kilo, libra,
panero). Conversión. Unidades de capacidad estándar y no estándar (litro, botella). Conversión.
Quinto
Área de polígonos: rectángulo, cuadrado, triángulo. Exploración de algunas fórmulas. Unidades de
área (metro cuadrado, centímetro cuadrado, decímetro cuadrado, hectárea). Perímetro de polígonos.
rectángulo, cuadrado, triángulo. Exploración de algunas fórmulas. Volumen de sólidos sencillos. Ex-
ploración de algunas fórmulas. Unidades de volumen (centímetro cúbico, metro cúbico). Conversión.
Capacidad de recipientes. Exploración relaciones volumen-capacidad.
C.1.4. Pensamiento Aleatorio
ASPECTOS TEMÁTICOS
Primero
Conjuntos de datos. Representación grá�ca de datos tomados del contexto escolar (número de per-
sonas en la familia de cada niño, número de niñas y de niños, cantidad de niños que tienen una
determinada edad). Clasi�cación de datos relacionados con una determinada cualidad o atributo.
(los de ojos oscuros, los que viven en un barrio, tipos de plantas, tipos de peces). Exploración de
información numérica (reconocimiento y lectura de información numérica en un texto sencillo).
Segundo
Conjunto de datos. Recolección y organización de información numérica (preferencias de los niños en
cuanto a alimentos, deportes, juegos, materias). Representación de información numérica por medio
135
de grá�cas: Íconos (una �gura representa un grupo), Diagramas de barras. Eventos. Exploración de
posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de un evento o un suceso.
Tercero
Conjunto de datos. Recolección, organización y representación de información numérica. Uso e inter-
pretación de información numérica presentada en tablas y grá�cas. Reconocimiento de regularidades
en conjuntos de datos. (Frecuencia: número de veces que se repite un dato, Moda: Dato que más se
repite). Eventos. Comparación entre posibilidades de ocurrencia de un evento (Seleccionar al azar
un elemento entre un conjunto determinado de objetos que se diferencian por una característica
establecida).
Cuarto
Conjunto de datos. Representación de información: Tablas, Pictogramas, Diagramas de barras, Di-
agramas circulares.Comparación entre distintas representaciones del mismo conjunto de datos. Uso
de medidas de tendencia central : Moda, mediana. Lectura de información presentada en tablas y
grá�cas. Planteamiento y resolución de problemas a partir de datos del entorno próximo recolectados
por indagación. Eventos. Reconocimiento de un evento como posible o imposible. Comparar eventos
según su posibilidad de ocurrencia.
Quinto
Conjunto de datos. Representación de información: Tablas, Pictogramas, Diagramas de barras, Di-
agramas circulares. Comparación entre distintas representaciones del mismo conjunto de datos. Uso
e interpretación de medidas de tendencia central : Moda, mediana y promedio. Lectura e inter-
pretación de información presentada en tablas y grá�cas. Planteamiento y resolución de problemas
a partir de datos de distinta procedencia (encuestas, indagaciones, experimentos, textos, revistas).
Análisis de características de un conjunto de datos (modos adecuados de presentar, representar y
estudiar). Eventos. Conteo y posibilidades (Efectuar arreglos y combinaciones condicionados y sin
condiciones). Identi�cación del conjuntos de posibles resultados de un evento (al lanzar una moneda
los posibles resultados son cara y sello, al lanzar un dado los resultados posibles son uno, dos, tres
136
cuatro cinco y seis, al lanzar dos dados los posibles resultados son 1-1, 1-2, 1-3,... 6-4, 6-5, 6-6).
C.2. Bachillerato
ORGANIZACIÓN PLAN DE ESTUDIOS EN MATEMÁTICAS
COLEGIO FRANCISCO DE ORELLANA
Se considera el desarrollo de los pensamientos numérico, geométrico, métrico, aleatorio y variacional
desde grado sexto hasta noveno. Para organizar el plan de estudios correspondiente a cada uno de
los grados, deben incluirse todos los temas que corresponden a cada pensamiento. El profesor debe
tener en cuenta los avances y diferencias que se dan en cada uno de los grados.
C.2.1. Pensamiento Numérico
ASPECTOS TEMÁTICOS
Sexto
Números naturales. Sistema de numeración decimal. Valor posicional. Descomposición en potencias
de 10. Sistemas de numeración en otras bases (base dos). Relaciones entre números naturales (ser par,
impar, múltiplo de, divisible por, primo, compuesto). Operaciones y sus propiedades. Recta numéri-
ca. Números relativos. (temperatura bajo cero y sobre cero, nivel del mar, latitud). Los números
racionales positivos (fracciones). Concepto de fracción. Relaciones. Operaciones. Propiedades. Frac-
ciones decimales. Expresión decimal de una fracción. Sistema de numeración decimal. Propiedades.
Potenciación de números naturales. Signi�cado de la potenciación. Relaciones entre potenciación,
radicación y logaritmación.
Séptimo
Números enteros, uso y signi�cado en contextos cotidianos y matemáticos. La recta numérica.
Adición, sustracción, multiplicación y división de números enteros. Propiedades y relaciones entre
las operaciones. Números racionales. Operaciones. Adición, sustracción. Potenciación y radicación.
137
Propiedades. Proporcionalidad. Razón y proporción, uso de porcentajes. Proporcionalidad directa.
Proporcionalidad inversa (Relación entre velocidad y tiempo, numero de comensales con tamaño de
la porción). Proporcionalidad compuesta. Planteamiento y solución de problemas sobre proporcional-
idad directa e inversa.
Octavo
Números Reales. Números Racionales. Representación decimal. Orden. Representación en la recta
numérica. Ecuaciones lineales (en una sola variable y con solución en los racionales). Operaciones en
racionales. Relaciones entre ellas. Números Irracionales. Aproximación: Construcción√2, √3, √5,
ubicación en la recta numérica. Exponentes y radicales. Propiedades.
Noveno
Números Reales. Números Irracionales. Presentación a partir de la solución de ecuaciones de segundo
grado y la solución de problemas geométricos. Representación decimal de los números Reales: (�nita,
periódica, no periódica). Orden. De�nición y Propiedades. Operaciones: suma, adición multiplicación
y división de Irracionales. Propiedades. Números Complejos. Presentación a partir de la solución de
ecuaciones de segundo grado. Representación en el plano. Operaciones en el plano. Orden. De�nición
y Presentación.
C.2.2. Pensamiento Geométrico y Espacial
ASPECTOS TEMÁTICOS
Sexto
Figuras en el plano y nociones de sólidos en el espacio. Representación grá�ca. (Dibujar la misma
�gura o el mismo sólido desde diferentes vistas). Planos de corte. Polígonos. Clasi�cación según las
propiedades de lados, ángulos. Desarrollo plano de un sólido. (Desarmar y armar sólidos a partir de
representaciones). Transformaciones en el espacio. Rotaciones. Re�exiones. Traslaciones. Noción de
congruencia de polígonos.
Séptimo
138
Sólidos en el espacio. Sólidos regulares. (Cubo, cilindro, cono, pirámide, esfera). Propiedades . Con-
strucción, lados, caras. relaciones. Vistas. Recta, Semi-recta, segmento. Medida de un segmento.
Construcción. Triángulos. Comparación y clasi�cación. Propiedades. Suma de sus ángulos. Noción
de semejanza. Relaciones de semejanza y congruencia de �guras en el plano.(construcción de condi-
ciones o �guras dadas).
Transformaciones en el espacio. Transformaciones de �guras planas (rotación, re�exión, ampliación,
reducción). Propiedades que se conservan (medidas de los lados, medidas de los ángulos)
Octavo
Propiedades y relaciones geométricas. Ángulos. Clasi�cación y relaciones (Alternos-Internos, comple-
mentarios, suplementarios, correspondientes ).
Paralelismo y perpendicularidad. Relaciones del Triangulo. Ángulos. Clasi�cación-Construcción. Líneas
notables del triangulo. alturas, medianas, mediatrices.
Congruencia de Triángulos. Propiedades. Construcción. Triangulo Rectángulo (propiedades). Teore-
ma de Pitágoras. Semejanza de Triángulos. Criterios. Teorema de Thales.
Noveno
Rectas y planos perpendiculares en el espacio. rectas y planos paralelos (propiedades) Circunferen-
cias: secantes-tangentes. Rectas tangentes a la circunferencia. Arcos de circunferencia. Longitud de
Arco. Ángulos inscritos. Medida. Geometría cartesiana en el plano. Sistema de coordenadas. Repre-
sentación. Pendiente de una recta. Rectas paralelas y perpendiculares. Distancia entre puntos de un
plano. Fórmula de la distancia. Punto medio de un segmento.
C.2.3. Pensamiento Métrico
ASPECTOS TEMÁTICOS
Sexto
Sistema métrico decimal. Perímetro. Área de �guras planas. Construcción de �guras planas con
medidas dadas. Escalas (dibujar planos y hacer maquetas).
139
Séptimo
Áreas y volúmenes. Calculo de áreas y volúmenes usando áreas y volúmenes de �guras conocidas (área
de un polígono a partir del área del triángulo, del rectángulo). Volumen de sólidos. Construcción de
sólidos con medidas dadas. Conversión de unidades. Relaciones entre unidades ( un metro = 100 cm,
un metro cuadrado = 10000 cm cuadrados. Conversión de metros a pies, de libras a onzas).
Octavo
Medida de ángulos en Grados y en Radianes, (Relación Grado-Radián, conversión ). Volumen de
sólidos (representación y construcción). Volumen de sólidos. Construcción de sólidos con medidas
dadas. Capacidad. Medidas de capacidad. Conversión entre distintos sistemas de medida (litros,
centímetros cúbicos, botellas y galones) Relaciones entre masa y peso, masa y volumen (densidad).
Noveno
Medición de longitudes, áreas, volúmenes capacidades, ángulos, tiempos y otras magnitudes usando
instrumentos de precisión (termómetro, balanza, cronometro, etc). Uso de notación cientí�ca para
registrar mediciones. Aplicación de la medida en las ciencias naturales (medidas en el laboratorio).
C.2.4. Pensamiento Aleatorio
ASPECTOS TEMÁTICOS
Sexto
Conjuntos de datos. Organización y clasi�cación de datos. Representación grá�ca (Barras, diagramas
circulares, diagramas de línea). Relación entre el conjunto de datos y su representación. Medidas de
tendencia central: Promedio. (Interpretación del signi�cado de promedio). Planteamiento y resolución
de problemas a partir de datos diversos.
Séptimo
Conjunto de datos. Solución de problemas. Uso de media, moda y mediana para interpretar conjuntos
de datos. Análisis de datos (estudiar un conjunto de datos para determinar relaciones entre ellos).
Octavo
140
Recolección y organización de información (relativa a una situación de interés, deportes. Numero de
habitantes, ocupación, edad, nivel de estudio, sexo, lugar de nacimiento, etc). Análisis de relaciones
entre variables (�Edad-Número de hijos�. �Sexo-Profesión� �Lugar de Nacimiento-Profesión� �Edad
�Peso�, etc). Análisis de información presentada en textos, radio, televisión, revistas, periódicos.
Conteo de los posibles resultados de un evento. (Resultados de un juego).
Noveno
Conteo, Arreglos, combinaciones, permutaciones, diagramas de árbol. Recolección y organización de
información. Planteamiento y resolución de problemas a partir de un conjunto de datos tomados
de fuentes diversas (textos, radio, televisión, revistas, periódicos). Exploración de eventos aleatorios
(veri�cación de las posibilidades de resultado en un evento aleatorio).
C.2.5. Pensamiento Variacional
ASPECTOS TEMÁTICOS
Sexto
Secuencias numéricas (pares, impares, múltiplos de, cuadrados, cubos). Construcción de secuencias.
Variaciones grá�cas. Relaciones de dependencia. Relaciones entre conjuntos de números presenta-
dos en tablas o en grá�cas (Número de artículos-precio, número natural-siguiente, número natural-
cuadrado).
Séptimo
Secuencias. Propiedades que determinan una secuencia aritmética (sumar 1, 2, 3, ..., multiplicar por
5, 7, 9...) Propiedades de variación en contextos aritméticos y geométricos. Dependencia. Variación
(proporcional lineal, inversa, directa). Solución de problemas.
Octavo
Expresiones Algebraicas (signi�cado de una expresión). Construcción-Transformación: Construcción
de expresiones algebraicas equivalentes. Polinomios Caracterización. Adición y sustracción de Poli-
nomios Multiplicación de Binomios- Multiplicación de polinomios. Casos especiales. Factorización
141
de Polinomios. Casos especiales. Diferencias de cuadrados. Diferencias de Cubos. Suma de cubos.
Factorización de un trinomio. Trinomio cuadrado perfecto. División de polinomios. Signi�cado. Ex-
presiones racionales. Variación Lineal. Modelo lineal. Ecuación de la recta. Pendiente, signi�cado de
la pendiente. Grá�ca-Interpretación. Ecuaciones Lineales. Soluciones-Interpretación de la solución.
Noveno
Funciones. Concepto de función, Grá�ca. Dominio y recorrido. Función lineal, grá�ca. Dominio y
recorrido. Aplicaciones. Ecuación lineal, interpretación. Sistemas de ecuaciones lineales, Solución.
Interpretación geométrica de la solución. Problemas de Aplicación.
Función cuadrática. Grá�ca. Dominio. Recorrido. Parábola. Cortes con los ejes, vértices, simetría.
Ecuación cuadrática. Solución por factorización. Solución por fórmula. Discriminante de la ecuación
cuadrática. Caracterización de las soluciones. Ecuaciones cuadráticas sin solución en los números
reales. Factorización de Polinomios. División de polinomios. Raíces de polinomios - Teorema del
factor. Teorema del Binomio.
142
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