a.cÁc cÔng thỨc cƠ bẢ Ọa ĐỘ ĐiỂ
TRANSCRIPT
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ
A.CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, vàtrục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O. Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox,Oy, Oz lần lượt là i, j, k
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1. M M M M M MM x ; y ;z OM x i y j z k
2. Cho A A AA x ; y ;z và B B BB x ; y ;z
Ta có: B A B A B AAB x x ; y y ;z z
và 2 2 2
B A B A B AAB x x y y z z
3. M là trung điểm AB thì A B A B A Bx x y y z zM ; ;
2 2 2
4. G là trọng tâm tam giác ABC: A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG , , ,
3 3 3
5. G là trọng tâm của tứ diện ABCD GA GB GC GD 0
6. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 MA kMB
: A B A B A Bx kx y ky z kzM , ,
1 k 1 k 1 k
7. Véctơ đơn vị : i (1,0,0); j (0,1,0);k (0,0,1)
8. M(x,0,0) Ox; N(0, y,0) Oy;K(0,0, z) Oz
9. M(x, y,0) (Oxy); N(0, y, z) (Oyz);K(x,0, z) (Oxz)
II. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
1. 1 2 3 1 2 3a a ;a ;a a a i a j a k
1;0;0i
0;1;0j
0;0;1k
O
z
x
y
2. Cho 1 2 3a a ;a ;a
và 1 2 3b b ;b ;b
ta có:
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
1 1 2 2 3 3a b a b ;a b ;a b
1 1 2 2 3 3a.b a . b cos a, b a b a b a b
2 2 21 2 3a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3
a .b a .b a .bcos cos a, b
a a a . b b b
(với a 0,b 0
)
a
và b
vuông góc 1 1 2 2 3 3a.b 0 a .b a .b a .b 0
III. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Tích có hướng của 1 2 3a a ;a ;a
và 1 2 3b b ;b ;b
kí hiệu a b
hoặc a, b
2 3 3 1 1 22 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a aa,b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b
b b b b b b
a
và b
cùng phương
1 1
2 2
3 3
a kb
k : a kb a kb
a kb
1. Tính chất
a, b a, a, b b
a,b a . b sin a,b
a
và b
cùng phương a, b 0
a,b,c
đồng phẳng a, b .c 0
2. Các ứng dụng tích có hướng:
Diện tích tam giác: ABC
1S AB,AC
2
Thể tích tứ diện ABCD
1V AB,AC .AD
6
Thể tích khối hộp:
ABCD.A'B'C'D'V AB,AD .AA'
IV.MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1)Tìm tọa độ điểm ,tọa độ trung điểm của đoạn thẳng,trọng tâm của tam
giác,trong tâm của tứ diện
Phương pháp:Nhớ công thức
Dạng 2: Tìm điều kiện ba điểm A,B,C thẳng hàn ACAB, cùng phương[ , ] 0AB AC
Dạng 3) Tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,c
đồng phẳng a,b .c 0
Chú ý: Ba vecto a,b,c
không đồng phẳng a,b .c 0
Dạng 4)Tính thể tích tứ diện
Thể tích tứ diện ABCD
1V AB,AC .AD
6
Dạng 5)Tính Thể tích khối hộp:
ABCD.A'B'C'D'V AB,AD .AA'
Dạng 6)Tính đường cao xuất phát từ đỉnh A của tứ diện ABCD
BCD
ABCD
S
VAH
3
Dạng 7)Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành ?DDCAB
Dạng 8)Tìm hình chiếu của điểm lên các trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ
M(X;y;z) hình chiếu H của M lên
a)Trục ox : H(x;0;0)
b)Trục Oy:H(0;y;0)
C)Trên Oz :H(0;0;z)
d)Trên mp(Oxy) là H(x;y;0)
e)Trên mp(Oxz) là H(x;0;z)
d)Trên mp(Oyz) là H(0;;y;z)
Dạng 9)Tìm ọa độ điểm đối xứng của A(xA;yA;zA) qua các trục tọa độ và mặt phẳng
tọa độ
VÍ DỤ CÓ GIẢI
Ví dụ1 :Trong không gian Oxyz , cho vectơ a
biểu diễn của các vectơ đơn vị là
2 3a i k j
. Tọa độ của vectơ a
là
A. 1;2; 3 . B. 2; 3;1 . C. 2;1; 3 . D. 1; 3;2 .
Lời giải
Chọn B
2 3 2 3a i k j i j k
nên 2; 3;1a
.
Ví dụ2) Trong không gian Oxyz cho hai điểm 5;3; 1A và 1; 1;9B . Tọa độtrung điểm I của đoạn AB là
A. 3;1;4I .B. 2;2; 5I . C. 2;6; 10I . D. 1; 3; 5I .
Lời giải
Chọn A.
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là
5 13
23 1
121 9
42
I
I
I
x
y
z
.
Ví dụ 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 1;5;2OM
,
3;7; 4ON
. Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm
P .
A. 5;9; 10P . B. 7;9; 10P . C. 5;9; 3P . D.
2;6; 1P .
Lời giải
Chọn A
Ta có: 1;5;2 1;5;2OM M
, 3;7; 4 3;7; 4ON N
.
Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta
suy ra được
2 5
2 9 5;9; 10
2 10
P N M
P N M
P N M
x x x
y y y P
z z z
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 3; 4;0 ,B 0;2;4 ,C 4;2;1 . Tìm
tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD BC
A. D 0;0;0 và D 6;0;0 B. D 0;0;0 và D 6;0;0
C. D 0;0;2 và D 6;0;0 D. D 0;0;1 và D 6;0;0
Lời giải
Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho AD BC
Gọi D x;0;0 . Ta có 2 2 2 2 2 2AD BC x 3 4 0 4 0 3
Vậy: D 0;0;0 và D 6;0;0
Chọn đáp án B
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 3; 4;0 ,B 0;2;4 ,C 4;2;1 . Tính
diện tích tam giác ABC?
A.491
2B.
490
2C.
494
2D.
394
2
Lời giải
Tính diện tích tam giác ABC AB;AC 18;7; 24
2 2 21 494S 18 7 24
2 2
Chọn đáp án C
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; , B 1;2;1 ,C 1;1;2 và A' 2;2;1 . Tìm tọa độ đỉnh B' ?
A. B' 2;3;2 B. B' 2;3;0 C. B' 2;3;1 D. B' 2;3; 1
Lời giải
Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên BB' AA ' B' 2;3;1
Chọn đáp án C
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A 1;1;1; , B 1;2;1 ,C 1;1;2 và A' 2;2;1 . Tìm tọa độ đỉnh C' ?
A. C' 2;2;2 B. C' 2;2; 2 C. C' 2; 2;2 D. C' 2;2;2
Lời giải
CC' AA ' C ' 2;2;2
Chọn đáp án A
Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z 1 0 và hai điểm
A 1; 3;0 ,B 5; 1; 2 . Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB
đạt giá trị lớn nhất ?
A. M 2; 3;3 B. M 2; 3;2 C. M 2; 3;6 D. M 2; 3;0
Lời giải
Kiểm tra thấy A và B nằm khác phía so với mặt phẳng (P):
A A A B B Bx y z 1 . x y z 1 0
Gọi B' x; y;z là điểm đối xứng với B 5; 1; 2
Suy ra B' 1; 3;4
Lại có MA MB MA MB' AB' const
Vậy MA MB đạt giá trị lớn nhất khi M, A, B' thẳng hàng hay M là giao điểm của
đường thẳng AB' với mặt phẳng (P)
AB' có phương trìnhx 1 t
y 3
z 2t
Tọa độ M x; y;z là nghiệm của hệ
x 1 t t 3
y 3 x 2
z 2t y 3
x y z 1 0 z 6
Vậy điểm M 2; 3;6
Chọn đáp án C
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A-LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là:
2 2 2 2x a y b z c R
2. Phương trình: 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0 với 2 2 2a b c d 0
là phương trình mặt cầu tâm I a;b;c , bán kính
2 2 2R a b c d
3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu (S):
d I, R khi và chỉ khi không cắt mặt cầu
(S).
d I, R khi và chỉ khi tiếp xúc mặt cầu (S).
d I, R khi và chỉ khi cắt mặt cầu (S) (giao tuyến là một đường tròn).
(H1)
Chú ý:
a. d(I, )= R: (S) = M (M gọi là tiếp điểm)
+ Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng là tiếp
diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n
= IM
)
b. Nếu d(I, )<R thì sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao củavà (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau:
+ Tìm r = 2 2- ( , )R d I
+ Tìm H:+Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với
+H= (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với )
4. Một số dạng toán lập phương trình mặt cầu cơ bản
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª 2 2 2 2S(I,R) : x a y b z c R (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
Tâm I là trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()
B.y C.z DI I2 2 2A B C
(S)
Pt maët caàu taâm IA.xIR d(I, )
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) 2 2 2S(I,R): x y z 2ax 2by 2cz d 0 A,B,C,D mc(S) hệ pt, giải
tìm a, b, c, d
Dạng 5: Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
2 2 2S(I,R): x y z 2ax 2by 2cz d 0 (2)
A,B,C mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α).
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện () của mc(S) tại A : () qua A,
vtpt n IA
MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ GIẢI
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có
A 1;1;1; , B 1;2;1 ,C 1;1;2 và A' 2;2;1 . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn
điểm A, B, C, A'?
A. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0 B. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0
C. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0 D. 2 2 2x y z 3x 3y 3z 6 0
Lời giải
Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng
2 2 2 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0,a b c d 0
Do A, B, C và A' thuộc mặt cầu (S) nên:
2a 2b 2c d 33
2a 4b 2c d 6 a b c2
2a 2b 4c d 6d 6
4a 4b 2c d 9
Do đó phương trình mặt cầu 2 2 2S : x y z 3x 3y 3z 6 0
Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2 và mặt phẳng
P : x 2y 2z 9 0 . Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với
mặt phẳng (P)?
A. 2 2 2x 2 y 3 z 2 9 B. 2 2 2
x 2 y 3 z 2 9
C. 2 2 2x 2 y 3 z 2 9 D. 2 2 2
x 2 y 3 z 2 9
Lời giải
Ta có bán kính 2 22
2 2.3 2. 2 9r d I, P 3
1 2 2
Phương trình của mặt cầu (S) là 2 2 2x 2 y 3 z 2 9
Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm I 2;3; 2 và mặt phẳng
P : x 2y 2z 9 0 . Phương trình của mặt cầu (S) là
2 2 2x 2 y 3 z 2 9 . Viết phương trình của mặt phẳng (Q) song song với
mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
A. x 2y 2z 9 0 B. x 2y 2z 9 0
C. x 2y 2z 9 0 D. x 2y 2z 9 0
Lời giải
Phương trình của mặt phẳng (Q) có dạng: x 2y 2z D 0 D 9
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với S d I, Q r
2 22
2 2.3 2 2 D3 D 9 D 9 D 9
1 2 2
Phương trình của mp(Q) là x 2y 2z 9 0
Chọn đáp án A
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
A.Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax By Cz D 0 với
2 2 2A B C 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 với 2 2 2A B C 0 . Có vectơ
pháp tuyến là n A;B;C
.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm 0 0 0 0M x ; y ;z và nhận vectơ n A;B;C ,n 0
làm
véctơ pháp tuyến có dạng 0 0 0P : A x x B y y C z z 0
.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : x y z1
a b c
B.Chú ý:
1. Vectơ pháp tuyến của mp() : n ≠ 0
là véctơ pháp tuyến của n
2. Hai vectơ
a ,
b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt
phẳng (P) (P) có vtpt ],[
ban
3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a
, b
: n = [a
, b
]
4.Các công thức tính khoảng cách
- 2 2 2(x ) (y ) (z )B A B A B AAB x y z
- Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến ( )mp : Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2( ;( ))
Ax By Cz Dd M
A B C
5) Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : Giả sử 12 = d trong đó:
(1): A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (2): A2x+B2y+C2z+D2 = 0
+ Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2) = 0
C. Các trường hợp riêng của mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz cho mp : Ax By Cz D 0 , với 2 2 2A B C 0 . Khi
đó:
D 0 khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ.
A 0;B 0;C 0;D 0 khi và chỉ khi song song với trục Ox.
A 0;B 0;C 0;D 0 khi và chỉ khi song song mp(Oxy)
A,B,C,D 0 . ĐặtD D D
a ,b ,cA B C
. Khi đó x y z: 1
a b c
D. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho : Ax By Cz D 0 và ' : A 'x B' y C 'z D ' 0
cắt ' A : B : C A ' : B ' : C '
/ / ' A : A ' B : B' C : C ' D : D '
' A : B : C : D A ' : B' : C ' : D '
Đặc biệt: 1 2' n .n 0 A.A ' B.B' C.C' 0
E. Một số dạng toán lập phương trình mặt phẳng cơ bản
Dạng 1:Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
Cặp vtcp:
AB ,
AC °A(hayBhayC)
]( ) :
qua
vtptn [AB , AC
Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
n
( ) :
quaM trung ñieåm AB
vtpt AB
Dạng 3:Mặt phẳng () qua M và d (hoặc AB)
....(AB)n
( ) :
quaM
Vì (d) neân vtpt ad
Dạng 4:Mp qua M và // (): Ax+By+Cz+D = 0
( ) :
qua MVì / / neân vtpt n n
Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)
Tìm 1 điểm M trên (d)
Mp chứa (d) nên () đi qua M và có 1 VTPT /d dn a ,a
Dạng 6:Mp() qua M,N và () :
[ MN, ]
qua M(hay N)
vtptn n
Dạng 7:Mp() chứa (d) và đi qua A:
Tìm M (d)
M
N
[ a , ]d
qua A
vtptn AM
.
Dạng 8: Lập pt mp(P) chứa hai đường thẳng (d) và (d/) cắt nhau :
Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 )
và có VTCP 1 2 3a (a ,a ,a )
.
Đt(d/) có VTCP 1 2 3b (b ,b ,b )
Ta có n [a,b]
là VTPT của mp(P).
Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và nhận n [a,b]
làm VTPT.
Dạng 9:Lập pt mp(P) chứa đt(d) và vuông góc mp(Q) :
Đt(d) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 ) và có VTCP 1 2 3a (a ,a ,a )
.
Mp(Q) có VTPT qn (A,B,C)
Ta có p qn [a,n ]
là VTPT của mp(P).
Lập pt mp(P) đi qua điểm M(x0 ,y0 , z0 )
và nhận p qn [a,n ]
làm VTPT.
MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ GIẢI
Ví dụ 1: [HH12.C3.3.BT.a] (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi quaba điểm 1;1;4A , 2;7;9B , 0;9;13C .
A. 2 1 0x y z B. 4 0x y z C. 7 2 9 0x y z D.2 2 0x y z
Lời giảiChọn B
Ta có 1;6;5AB
, 1;8;9AC
,
ABC đi qua 1;1;4A có vtpt ,n AB AC 14; 14;14 14 1; 1;1 có
dạng 4 0x y z .
M
A
d
d
d
’
d
Ví dụ 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm 1;2;2A , 3; 2;0B .
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đọan .AB
A. 2 2 0x y z B. 2 1 0x y z C. 2 0x y z D.2 3 0x y z
Lời giải
Chọn D
Chọn 2;0;1M là trung điểm của đoạn .AB
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận 2; 4; 2AB
làm
1 vec tơ pháp tuyến.
2 2 4 0 2 1 0 2 3 0x y z x y z .
Ví dụ 3: (SGD Lạng Sơn - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho mặt phẳng :2 3 2 15 0P x y z và điểm 1;2; 3M . Viết
phương trình mặt phẳng Q qua M và song song với P .
A. : 2 3 2 10 0Q x y z . B. : 2 3 10 0Q x y z .
C. : 2 3 2 10 0Q x y z . D. : 2 3 10 0Q x y z .
Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng Q qua M và song song với P là:
2 1 3 2 2 3 0x y z hay 2 3 2 10 0x y z .
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNGA.LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm 0 0 0 0M x ; y ;z
và có véctơ chỉ phương 1 2 3a a ;a ;a ,a 0
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
Nếu a1, a2, a3 đều khác không. Phương trình đường thẳng viết dưới dạng
chính tắc như sau: 0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
Phương trình tổng quát của đường thẳng: 1 1 1 1
2 2 2 2
A x B y C z D 0
A x B y C z D 0
(với A1 :
B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2)
trong đó 1 1 1 1n (A ;B ;C )
, 2 2 2 2n (A ;B ;C )
là hai VTPT và VTCP 1 2u [n n ]
.
†Chú ý:
a. Đường thẳng Ox:y 0
z 0
; Oy:x 0
z 0
; Oz:x 0
y 0
b. (AB): ABu AB
c.121 2
u u
d.121 2
u n
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường
thẳng
' '0 10 1
' '0 2 0 2
' '0 3 0 3
x x a t 'x x a t
d : y y a t d ' : y y a t '
z z a t z z a t '
d có vtcp u
đi qua M0 và d' có vtcp u '
đi
qua 0M '
u,u '
cùng phương
0
u ku 'd / /d '
M d '
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường
thẳng
' '0 10 1
' '0 2 0 2
' '0 3 0 3
x x a t 'x x a t
d : y y a t d ' : y y a t '
z z a t z z a t '
d có vtcp u
đi qua M0 và d' có vtcp u '
đi
qua 0M '
0
u,u ' 0d / / d '
M d '
0
u ku 'd d '
M d '
u,u '
không cùng phương
' '0 1 0 1
' '0 2 0 2
' '0 3 0 3
x a t x a t '
y a t y a t '
z a t z a t '
(1)
d chéo d' Hệ phương trình (1) vô
nghiệm.
d cắt d' Hệ phương trình (1) có
một nghiệm.
0
u,u ' 0d d '
M d '
(d) cắt (d')'
0 0
u,u ' 0
u,u ' .M M 0
(d) chéo (d') '0 0u,u ' .M M 0
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp 1 Phương pháp 2
Trong không gian Oxyz cho
: Ax By Cz D 0
và0 1
0 2
0 3
x x a t
d : y y a t
z z a t
Phương trình
0 1 0 2 0 3A x a t B y a t C z a t D 0 1
PT(1) vô nghiệm thì d / /
PT(1) có một nghiệm thì d cắt
PT(1) có vô số nghiệm thì d thuộc
Đặc biệt: d a,n
cùng phương
Trong không gian Oxyz cho đường
thẳng d qua 0 0 0M x ; y ;z có vtcp
1 2 3a a ;a ;a
và
: Ax By Cz D 0 có vtpt
n A;B;C
(d) cắt a.n 0
a.n 0d / /
M
(d) nằm trên
a.n 0mp
M
4. Khoảng cách:
Khoảng cách từ 0 0 0M x ; y ;z đến mặt phẳng : Ax By Cz D 0 cho bởi công thức
0 0 00 2 2
Ax By Cz Dd M ,
A B C
Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d)
Phương pháp 1:
Lập phương trình mp đi qua M và
vuông góc với d.
Tìm tọa độ giao điểm H của mp và d
d M,d MH
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Phương pháp 1:
d đi qua 0 0 0M x ; y ;z ; có vtcp
1 2 3a a ;a ;a
d' qua 0 0 0M' x ' ; y ' ;z ' ; vtcp
1 2 3a ' a ' ;a ' ;a '
Lập phương trình mp chứa d và song
song với d'
d d,d ' d M ',
Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d)
Phương pháp 2:
(d đi qua M0 có vtcp u
)
0M M,u
d M,u
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
Phương pháp 2:
d đi qua 0 0 0M x ; y ;z ; có vtcp 1 2 3a a ;a ;a
d' qua 0 0 0M' x ' ; y ' ;z ' ; vtcp
1 2 3a ' a ' ;a ' ;a '
a,a ' .MM '
d , 'a,a '
5. Kiến thức bổ sung
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng 0 00 90
P : Ax By Cz D 0 và Q : A 'x B'y C'z D' 0
P Q
P Q 2 2 2 2 2 2P Q
n .n A.A ' B.B' C.C 'cos cos n , n
n . n A B C . A ' B' C '
Góc giữa hai đường thẳng
đi qua 0 0 0M x ; y ;z ; có vtcp 1 2 3a a ;a ;a
' đi qua 0 0 0M ' x ' ; y ' ; z ' ; vtcp 1 2 3a ' a ' ;a ' ;a '
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3
a.a ' a .a ' a .a ' a .a 'cos cos a,a '
a . a ' a a a . a ' a ' a '
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
đi qua 0M có VTCP a,mp
có VTPT n A;B;C
Gọi là góc hợp bởi và mp : 1 2 3
2 2 2 2 2 21 2 3
Aa Ba Casin cos a, n
A B C . a a a
6. Một số dạng toán lập phương trình đường thẳng
Dạng 1:Đường thẳng (d) đi qua A,B
d
quaA (hayB)(d)
Vtcp a AB
Dạng 2:Đường thẳng (d) qua A và song song ()
A(d )
quaVì (d) / / ( ) neân vtcp a ad
Dạng 3:Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp
A(d)
quaVì (d) ( ) neân vtcp a nd
Dạng4:PT d’ hình chiếu của d lên : d/ =
Viết pt mp() chứa (d) và vuông góc mpd
d
quaM (d)
n [a ;n ]
/ ptr( )(d )
ptr( )
Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)
2
A(d)
1
qua
vtcpa a , ad d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :
+ Tìm da
= [ a
d1, a
d2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)
d =
Dạng 7: PT d qua A và cắt d1 , d2 : d =
với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Dạng 8: PT d // và cắt d1,d2 : d = 12
với mp1 chứa d1 // ; mp2 chứa d2 //
Dạng 9: PT d qua A và d1, cắt d2 : d = AB
với mp qua A và d1 ; B = d2
Dạng 10: PT d (P) cắt d1, d2 : d =
với mp chứa d1 và (P) ; mp chứa d2 và (P)
CHÚ Ý :
Trong trường hợp đặc biệt:
Nếu song song hoặc trùng bới trục Ox thì có vectơ chỉ
phương là 1;0;0a i
d’
d1
d2
A
d1
d2
d
d1
d2
Δ
Nếu song song hoặc trùng bới trục Oy thì có vectơ chỉ
phương là 0;1;0a j
Nếu song song hoặc trùng bới trục Oz thì có vectơ chỉ
phương là 0;1;0a k
MỘT SỐ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI
Câu 1)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng d có phương trình
tham số2
3
1 5
x t
y t
z t
. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?
A. 2 1.x y z B. 2 1.
1 3 5
x y z
C. 2 1.
1 3 5
x y z
D. 2 1
.1 3 5
x y z
Hướng dẫn giải
Cách 1:
d đi qua điểm 2;0; 1A và có vectơ chỉ phương 1; 3;5da
Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1
1 3 5
x y z
Cách 2:
22
33
1 51
5
x tx t
yy t t
z tz
t
Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1
1 3 5
x y z
Câu 2)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng có phương trình
chính tắc 3 1
2 3 1
x y z
. Phương trình tham số của đường thẳng là?
A.3 2
1 3 .
x t
y t
z t
B.2 3
3 .
x t
y t
z t
C.3 2
1 3 .
x t
y t
z t
D.3 2
1 3 .
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
Cách 1:
đi qua điểm 3; 1;0A và có vectơ chỉ phương 2; 3;1a
Vậy phương trình tham số của là3 2
1 3
x t
y t
z t
Cách 2:
3
23 1 1
2 3 1 3
1
xt
x y z yt t
zt
Vậy phương trình tham số của là3 2
1 3
x t
y t
z t
Câu 3)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz phương trình nào sau đây là phươngtrình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm 1; 2;5A và 3;1;1B ?
A. 1 2 5.
2 3 4
x y z
B. 3 1 1
.1 2 5
x y z
C. 1 2 5.
2 3 4
x y z
D. 1 2 5
.3 1 1
x y z
Hướng dẫn giải
đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương 2;3; 4AB
Vậy phương trình chính tắc của là 1 2 5
2 3 4
x y z
Câu 4)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm 1;3;4M và song song với trục hoành là.
A.1
3 .
4
x t
y
y
B.1
3 .
4
x
y t
y
C.1
3 .
4
x
y
y t
D.1
3 .
4
x
y
y t
Hướng dẫn giải
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.
Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ chỉ phương 1;0;0da i
d đi qua 1;3;4M và có vectơ chỉ phương da
Vậy phương trình tham số của d là
1
3
4
x t
y
y
Câu 5)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng1 2
:
3 2
x t
d y t
z t
.
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm 3;1; 1A và song
song với d là
A. 3 1 1.
2 1 2
x y z
B. 3 1 1
.2 1 2
x y z
C. 2 1 2.
3 1 1
x y z
D. 2 1 2
.3 1 1
x y z
Hướng dẫn giải
d có vectơ chỉ phương 2;1;2da
Vì song song với d nên có vectơ chỉ phương 2;1;2da a
đi qua điểm 3;1; 1A và có vectơ chỉ phương 2;1;2a
Vậy phương trình chính tắc của là 3 1 1
2 1 2
x y z
Câu 6)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 2 3 0P x y z .
Phương trình chính tắc của của đường thẳng đi qua điểm 2;1;1M và
vuông góc với P là
A. 2 1 1.
2 1 1
x y z
B. 2 1 1.
2 1 1
x y z
C. 2 1 1.
2 1 1
x y z D. 2 1 1
.2 1 1
x y z
Hướng dẫn giải
P có vectơ pháp tuyến 2; 1;1Pn
Vì vuông góc với P nên d có vectơ chỉ phương 2; 1;1Pa n
đi qua điểm 2;1;1M và có vectơ chỉ phương a
Vậy phương trình chính tắc của là 2 1 1
2 1 1
x y z
Câu 7)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai đường thẳng
1
2 1:
2 3 1
x y zd
và 2
1
: 3 2
5 2
x t
d y t
z t
. Phương trình đường thẳng đi qua
điểm 2;3; 1A và vuông góc với hai đường thẳng 1 2,d d là
A.8 2
1 3 .
7
x t
y t
z t
B.2 8
3 3 .
1 7
x t
y t
z t
C.2 8
3 .
1 7
x t
y t
z t
D.2 8
3 .
1 7
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
1d có vectơ chỉ phương 1 2;3; 1a
2d có vectơ chỉ phương 2 1; 2; 2a
Gọi a
là vectơ chỉ phương
1 11 2
2 2
; 8;3; 7d a a
a a ad a a
Vậy phương trình tham số của là2 8
3 3
1 7
x t
y t
z t
Câu 8)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z
và đường thẳng 1 3:
2 1 3
x y z
. Phương trình đường thẳng d đi qua
điểm 2; 1;5B song song với P và vuông góc với là
A. 2 1 5.
5 2 4
x y z
B. 2 1 5
.5 2 4
x y z
C. 2 1 5.
5 2 4
x y z
D. 5 2 4.
2 1 5
x y z
Hướng dẫn giải
có vectơ chỉ phương 2; 1;3a
P có vectơ pháp tuyến 2;1;2Pn
Gọi da
là vectơ chỉ phương d
/ /
; 5;2;4d Pd P
d
a nd Pa a n
d a a
Vậy phương trình chính tắc của d là 2 1 5
5 2 4
x y z
Câu 9)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai mặt phẳng
: 2 2 3 0x y z và : 3 5 2 1 0x y z . Phương trình đường
thẳng d đi qua điểm 1;3; 1M , song song với hai mặt phẳng , là
A.1 14
3 8 .
1
x t
y t
z t
B.1 14
3 8 .
1
x t
y t
z t
C.1
3 8 .
1
x t
y t
z t
D.1
3 .
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
có vectơ pháp tuyến 1; 2;2n
có vectơ pháp tuyến 3; 5; 2n
d đi qua điểm 1;3; 1M và có vectơ chỉ phương là , 14;8;1da n n
Vậy phương của d là1 14
3 8
1
x t
y t
z t
Câu 10)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng : 2 2 3 0x y z .
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm 2; 3; 1A , song song với hai
mặt phẳng , Oyz là.
A.2
3 .
1
x t
y
z t
B.2
3 2 .
1
x
y t
z t
C.2
3 2 .
1
x
y t
z t
D.2
2 3 .
1
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải
có vectơ pháp tuyến 2; 1;2n
Oyz có vectơ pháp tuyến 1;0;0i
d đi qua điểm 2; 3; 1A và có vectơ chỉ phương là , 0;2;1da n i
Vậy phương của d là2
3 2
1
x
y t
z t
Câu 11)Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho đường thẳng1 3
:2 1 2
x y zd
.
Phương trình đường thẳng đi qua điểm 2; 1; 3 ,A vuông góc với trục
Oz và d là
A.2
1 2 .
3
x t
y t
y
B.2
1 2 .
3
x t
y t
y
C.2
1 2 .
3
x t
y t
y
D.2
1 2 .
3
x t
y t
y
Hướng dẫn giải
Oz có vectơ chỉ phương 0;0;1k
d có vectơ chỉ phương 2;1; 2da
đi qua điểm 2; 1; 3 ,A và có vectơ chỉ phương là , 1;2;0da k a
Vậy phương của là
2
1 2
3
x t
y t
y