absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative lipschitz classes of functions
TRANSCRIPT
���� ����� ����� ��� ����� ������� ������� ��������������� �������
���� �������� ������ ����� ��� ���
��������� ���� ���� ��������
��� �� �� ��� ��� �������������
�������� ������ �� ��������
�� ��� �� ���∗
��!"� ��������� #��$����! �% &'�(��� ��"�� $)��"�*+ ���� �� &'�(�� ����� ,��("�!��-"��� -���.'/-"�����'�(�����
��������� ��� � ���� ������� ��������� �� ���� �������� ������� �� ����
��������� �� ��������� ���!� ��"��� �! �"� �������! �� "�� ����!����" ����"��#
����� �� �������� N ��� !�" � !��#�����!��� ������ $%��� ���" �& ����'����!� cj1,...,jN � (j1, . . . , jN ) ∈ Z
N � (��� )� )*�� �!� + ���,��#��! ������ -%��!%� ������
∑(j1,...,jN )∈ZN
cj1,...,jN ei(j1x1+...+jN xN ) =: f(x1, . . . , xN )
���,��#�� ���(��� + �� .���#�%���/� ������ )�� �����0���! +� �! �� !%� �� !�" �������� ������ �( �!� ��� f � $%��% �� ���!������ �� !%� N ����������) !���� T
N �T := [−π, π) �� #�,� ��'����! �����!���� �� !���� �( !%� ���'����!� �� �����!%)! f *� ��# !� ��� �( !%� �� !�" ��)!�,� 1�"��%�!2 � )���� Lip (α1, . . . , αN ) )��lip (α1, . . . , αN ) (�� ���� α1, . . . , αN > 0 -%��� �� !�" ��)!�,� 1�"��%�!2 � )���� �((���!���� )�� ��3��� �� !���� �( !%� �� !�" � ��4������ �"��)!�� �( 3��! ����� ���)�% ,)��)* � -%� �����!���� #�,�� *+ �� )�� ��! �� + ��'����!� *�! ) �� �������)�+ (�� ) �"���) ��*� )�� �( ���'����!� 5�� )�&� �)�+ ���� !� �� !%� �0��,) ����*�!$��� !%� ����� �( �)#��!��� �( !%� ���!)�#� )� ")�!�) ���� )�� !%)! �( !%����!)�#� )� ���)����# ���� �( �� )!�� N ��� !�" � �������) ������ �)+ *� ���(� �� �!%�� ��,��!�#)!����� !��
∗0�� ���"�.� 1" �"���� 1���� ��� "����� 1" " $�����( ���%��� "� ��� ���"��-��� �% 2"����-"��.� 0�3" �42 #��$����!� 5����(� &�"���� �����( ��� %"�� �-���� �� ���67 "�� �� 1" "���������� �! ��� ,��("��"� 8"����"� �����"���� %�� &.�����9. :��"�.� ����� ;�"�� 0 ��� �<��
$�# %���� �!� �"�����& -������� ������� ����� "������ .��$��(��.�� -������� ��=����.�����"��� �% 9�� ����� �� �".� $"��"���� -�������."��$� >��.���' .�"� Lip (α1, . . . , αN ) "��lip (α1, . . . , αN )�
��� '��"������� ��(��� )*����+�����!& ���-"�! �� <<� ������
����?6�<�@ ����� .© ��� �+"�)-�"� A�"�B� ��"���
� �� ������
�� ����� ���� �� ����� ������ ����
�� ���� ���� � �� ������ ���� ��� �� ��� �� �� ����� {eijx :j ∈ Z} �� ���� � �������� �� �� {cj : j ∈ Z} � � ����� �� ���� ������� �� ����� �� {cj} ⊂ C� ���� ����
�����∑j∈Z
|cj | < ∞.
� � �� �� �� ������� ���
���!�∑j∈Z
cjeijx =: f(x), x ∈ T := [−π, π),
���" � ������ �� ��� �������� �� �� �� �� ���� ��� �� ��� ��� f ������ �� ���������� �� T�
#�� ���� � �������� f ������ ���� ���� 2π �� ���� �� � �� �� ����������$ � ��� Lip (α) �� ��� α > 0 ��∣∣f(x + h) − f(x)
∣∣ � C|h|α �� � x ��� h�
�� �� �������� C ��� ���� �� f � ��� ��� �� x ��� h� �������f �� ���� �� � �� �� �� ��� ��������$ � ��� lip (α) ��
limh→0
|h|−α[f(x + h) − f(x)
]= 0 ������ � �� x.
�� �� � %���� ��� � �� &!� ��� !' � &(� )� � �� ��� !� *+'� ���� ��f ∈ Lip (α) �� ��� α > 1 � �� f ∈ lip (1)� ��� f �� � �������� ���������
, �� ��� ������ ����� � �� �$������ �� ���� �� -��� &�'��� .� /0��� &1' ��"� �� ��� ����� ��� ��� ���� �����" �� �������� ���" ��2������ /�� �� �� �� ���� ��� ����� � ��"� ���� ���� ����� �� &3'�
������� �� ������ {cj} ⊂ C �� ���� � ��� ���� ����� �� �����
� f �� ���� �� ���!����� ��
���+�∑|j|�m
|jcj | = O(m1−α
), m = 1, 2, . . . ,
��� ���� 0 < α � 1� ��� f ∈ Lip (α)����� ����������� �� {cj} �� �������� �� ��� ������� ���� �
jcj � 0 ��� �� |j| � 1.
�� f ∈ Lip (α) ��� ���� 0 < α � 1� ��� ���+� ��� ��
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �
���� ���� �� 0 < α < 1 ��� ������� ���� �� ��������� �� ��� ����������� ∑
|j|�m
|cj | = O(m−α), m = 1, 2, . . . .
��� ���������� �� ������� � ��� lip (α) ����� �� ��������������� �� ��� 0 < α < 1� ���� �������� �� ����� � ���� ����
�� �O� �� ��������� ���� �� ������� �� �o� � m → ∞� �� f ∈ Lip (α) ��
������� �� f ∈ lip (α)�
�� ��� ����� ��� ���� ������� ������
��� ��� �� �� � ��� �������� � �� ! ��� ������� �� ������� �����"����#���� �� ���� ��$� ��� ������� �� ������� �� ��� �����"���� %� ���������� ��� �� �������� ��� ������� �� ������� �����"��� � &����� '�
�� "��� ���� ���{
cjk : (j, k) ∈ Z2}
"� � ���"�� ������� �� ������
��"��� � �(�"��� {cjk} ⊂ C ���� ����
)���∑j∈Z
∑k∈Z
|cjk| < ∞.
��� ��� ���"�� ������������ ������
)�)�∑j∈Z
∑k∈Z
cjkei(jx+ky) =: f(x, y), (x, y) ∈ T
2,
�������� �������( �� ���������( �� �� ��� ���"�� #������ ������ �� ������ f ����� �� �������� � T
2� *�������� �� ����(� ���� � +���,�����-� ���� ���� ��
limm,n→∞
∑|j|�m
∑|k|�n
cjkei(jx+ky) = f(x, y),
����� m �� n ��� �� ∞ ���������( �� �� ��������� � �� ������ ��� ���� �� �������������� .�������/ ������� �� �������
� ��� ���,��������� ����� T2� .�� f(x, y) "� � �������� ������ ��,������ � ���� �����"�� ���� ������ 2π� ���� ������ f �� ���� �� "���� ����� �������������� .�������/ ����� Lip (α, β) ��� ���� α, β > 0 �� ��� ��� ���,"�� ��0����� �������� Δ1,1 �� $��� ����� � ���� �����"�� ������� �� f ������ ∣∣Δ1,1f(x, y;h1, h2)
∣∣ :=∣∣f(x + h1, y + h2) )���
− f(x, y + h2) − f(x + h1, y) + f(x, y)∣∣ � C|h1|α|h2|β ,
���� ���������� �� ���� ���� ����
� �� ������
��� ��� x� y� h1� h2� ��� � ��� �� C ��� ���� �� f � �� �� �� x� y�h1� h2�
��������� � ������� f �� Lip (α,β) � ��� � ����� � � ������������ ��� ��� ���� ��� lip (α, β) ��
limh1,h2→0
|h1|−α|h2|−βΔ1,1f(x, y;h1, h2) = 0 ��������� �� (x, y).
� �� �� ��� ����� �� �� � � �� �� �� � �������� �� ��� � ����� �� ���� � ��� ��� � �������� ������� �� � �� ������� �� �� ��� �������� ��!��� �
"��� ��� �� ���� � �� #�� $���� % ���� ���� � ����������� �� �
������� �� ������ {cjk} ⊂ C �� ���� � ��� ���� &'�() �� �����
� f �� ���� �� &'�')�&�) ��
&'�*)∑|j|�m
∑|k|�n
|jkcjk| = O(m1−αn1−β
), m, n = 1, 2, . . . ,
��� ���� 0 < α, β � 1� ��� f ∈ Lip (α, β)�&��) ����������� �� {cjk} �� ����� �������� �� ��� ������� ���� �
&'�+) cjk � 0 ��� �� j, k � 1
�
&'�,) cjk = −c−j,k = −cj,−k ��� �� |j|, |k| � 1.
�� f ∈ Lip (α, β) ��� ���� 0 < α, β � 1� ��� &'�*) ��� ��
$� �������� �� $���� ( ��� � ��� ��� ���� ��� lip (α,β)� ������ � #� ��� �� $���� - ���� ���� � ����� ������ �� � ��� � ������ �
������� � �� 0 < α, β < 1� ��� ������ �� ������� 1 �������� �� �O� �� ��� ���� &'�*) �� ������ �� �o� � m,n → ∞ �� ���� ����
�� ��� ������ � f ∈ Lip (α, β) �� ������ �� f ∈ lip (α, β)������ �� .� 0 < α, β < 1� �� �������� &'�*) � /������ � � ����
������ ��0
&'�1)∑|j|�m
∑|k|�n
|cjk| = O(m−αn−β
), m, n = 1, 2, . . . .
��������� � /������� �� �������� &'�*) ��� &'�1) ����� ����� �� 2O3� ������ �� 2o3 � m,n → ∞ �� ��� �������� � $� ����� �� ����������� �� ���� ( ��� ' �� � �# 4���� ��
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �
������ �� �� ��� ���� ��� ���� ��� �� �� ���� �� ��� ���� �� ����� ��� �� ������ fx ��� (fx)y �� fy ��� (fy)x� ����� ��� � � ��������
���� f ∈ Lip (1, 1)������� ��� ���� ���� �� f ∈ Lip (α,β) �� ���� α > 1 ��� β > 0 ���
f(·, y) �� �������� ���������� �� ���� ���� y ∈ T� ���� �� ���
����� f(x, y) = f1(x) + f2(y), (x, y) ∈ T2.
�� �� ����� � Δ1,1f(x, y;h1, h2) ������� ��������� ��� ��� ���� Lip (α, β)�� � ��� �� ���� �����
� !������ �� ����� �� (x0, y0) ∈ T2 �� ���� ���� fx(x0, y0) ������� "����∣∣h−1
1 Δ1,1f(x0, y0; h1, h2)∣∣ � C|h1|α−1|h2|β → 0 �� h1 → 0,
������������ �� h2� �� ����� ���� fx(x0, y0 + h2) ��� ������ ���
fx(x0, y0 + h2) − fx(x0, y0) = 0 �� � h2.
"�����# y := y0 + h2� ���� ����� ����
fx(x0, y) = fx(x0, y0) �� � y ∈ T.
����# ����# ���� ������ ���� ������ �� x0 #���
f(x, y) − f(0, y) =∫ x
0fx(x0, y) dx0 =
∫ x
0fx(x0, y0) dx0 �� � x ∈ T,
����� �� �$������ �� ����� �� �� � ����
������ � �� �� �� ���� � ���� ������ ��� ���� lip (1, 1) �� � ��� � ���% ���� ��� ������ ��� ���� �� &��� ' ( ������ ��� �� f ∈ Lip (α, β) �� ������ �� f ∈ lip (1, β)�
�� ������� ���� �
�� ��� � ���� �� ��� ��� ) ��� �� �� �� ���� ��� ������# ��� ������ �� � �� ��� �� ���� � � ���������� �� *+� ,����� ) ��� �- � �� ���#� ������� �� ��� �� �����#���� ����� ��
����� �� ������ {ajk : j, k = 1, 2, . . .} �� � ���� ����� �� � ���
����� ������ � ������ {ajk} ⊂ R+�
��� �� γ > μ � 0� δ > ν � 0� � �
�(�)�M∑
j=1
N∑k=1
jγkδajk = O(MμNν), M, N = 1, 2, . . . ,
���� ���������� �� ���� ���� ����
� �� ������
����
�����∞∑
j=M
∞∑k=N
ajk = O(Mμ−γNν−δ), M,N = 1, 2, . . . .
���� ��������� � γ � μ > 0� δ � ν > 0� ��� ����� ���� ���� ����� ������
��� ��� ��������� ��� ��� ���� ���� ���� �� ���� γ > μ > 0 ��� δ > ν> 0 �������� ����� ��� ����� � � ����������� ���� ����������� ��� �������� ��� ���� ������ � �
����� �� ����� ��� !" ������ ��� � �#���� � ������� C ���� ����
�����M∑
j=1
N∑k=1
jγkδajk � CMμNν , M, N = 1, 2, . . . .
���� �"� �� �� ����� � � �� ����� ��� ������� ���� ���� M ��� N � ���� � � ���� ���������� �#������� ��" M = 2m ��� N = 2n� � �������� �� ��� ���� ��� ������
Ip :={
2p, 2p + 1, . . . , 2p+1 − 1}
, p = 0, 1, 2, . . . .
!" ������ �� ����
2pγ+qδ∑j∈Ip
∑k∈Iq
ajk �∑j∈Ip
∑k∈Iq
jγkδajk � C2(p+1)μ+(q+1)ν ,
������ �� ���� ����
���$�∑j∈Ip
∑k∈Iq
ajk � 2μ+νC2p(μ−γ)+q(ν−δ), p, q = 0, 1, 2, . . . .
��%��� ��� ������ ���� γ > μ ��� δ > ν� �� ������� �� ����
∞∑j=2m
∞∑k=2n
ajk =∞∑
p=m
∞∑q=n
∑j∈Ip
∑k∈Iq
ajk���&�
� 2μ+νC∞∑
p=m
∞∑q=n
2p(μ−γ)+q(ν−δ) = O(2m(μ−γ)+n(ν−δ)), m, n = 0, 1, 2, . . . ;
����� �� ����� �� ��� ���� ���� M = 2m ��� N = 2n�
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �
���� �� ����� �� � ����� � ������ C ���� ��
∞∑j=M
∞∑k=N
ajk � CMμ−γNν−δ, M,N = 1, 2, . . . .
���� �� �� ����
�����∑j∈Ip
∑k∈Iq
jγkδajk � 2(p+1)γ+(q+1)δ∑j∈Ip
∑k∈Iq
ajk,
������ � ������� ��
2m∑j=1
2n∑k=1
jγkδajk �m∑
p=0
n∑q=0
∑j∈Ip
∑k∈Iq
jγkδajk�����
� 2γ+δCm∑
p=0
n∑q=0
2pμ+qν = O(2mμ+nν), m, n = 0, 1, 2, . . . .
���� �� ����� �� �� ���� ���� M = 2m ��� N − 2n� ������ �� ������ {ajk} ⊂ R+� γ > μ > 0 �� δ > ν > 0��� ��
�����
M∑j=1
N∑k=1
jγkδajk = o(MμNν) �� M, N → ∞,
���
��� �
∞∑j=M
∞∑k=N
ajk = o(Mμ−γNν−δ
)�� M, N → ∞.
���� ����������� �� ����� �� ��� � ���� ��� ����� ���� ����
��� ��� �� ����� �� ��� � ε > 0 �� � ����� � ��� �� ��!"� m0 = m0(ε) ���� ��
����#�
M∑j=1
N∑k=1
jγkδajk � εMμNν �� M,N � 2m0 .
$%��� � �� ����%� � & ��� ��� � �� �� �&����� ���� ���� M = 2m ���N = 2n ��� � m ��� n � � ��� �� ��!"� ��
���� ���������� �� ���� ���� ����
� �� ������
��������� � �� �� �� ����� �� ��� ����∑j∈Ip
∑k∈Iq
ajk � 2μ+νε2p(μ−γ)+q(ν−δ) �� p, q � m0;
��� ��������� � ����� �� �����∞∑
j=2m
∞∑k=2n
ajk � 2μ+νε∞∑
p=m
∞∑q=n
2p(μ−γ)+q(ν−δ)
� 2μ+νε
(1 − 2μ−γ)(1 − 2ν−δ)2m(μ−γ)+n(ν−δ) �� m,n > m0.
����� ε > 0 �� ���������� ���� ����� �������� � ����� �� ����� ε > 0 ����� �!���� ��� ���� ���"��� �"����
m0 = m0(ε) �"�� ����
�����
∞∑j=M
∞∑K=N
ajk � εMμ−γNν−δ �� M, N � 2m0 .
��������� � ��#�� �� ����� �� ��� ����∑j∈Ip
∑k∈Iq
jγkδajk � 2γ+δε2pμ+qν �� p, q � m0;
��� ��������� � ��$�� ���� ���� �� �����
Smn :=2m∑
j=2m0
2n∑k=2m0
jγkδajk � 2γ+δεm∑
p=m0
n∑q=m0
2pμ+qν���%�
� 2γ+δ+μ+νε
(2μ − 1)(2ν − 1)2mμ+nν �� m,n > m0.
&� ������ ���� ��� �"�������� � ������� ��%� �� ��� ���"��� �� '������ � (���� %� )�"�� �� ��$� �� ����
����� Smn =
⎧⎪⎨⎪⎩
O(2mμ+m0ν) �� m > m0 ��� n � m0
O(2m0μ+mν) �� m � m0 ��� n > m0,
O(2m0μ+m0ν) �� m,n � m0.
)�*��+ ��� ���"�� ���� μ, ν > 0� ��� ���%� ��� ������ �� ����"�� ����
Smn �(
2γ+δ+μ+ν
(2μ − 1)(2ν − 1)+ 1
)ε2mμ+nν �� ���+� ��"+� m ��� n.
����� ε > 0 �� ���������� ���� ����� ����� �
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �
����� �� ������ {ajk} ⊂ R+� γ > μ � 0� ��� δ �� ν ��� ���������
�� ��� ��� ����� � ������ � ����
������
∞∑j=M
N∑k=1
kδajk = O(Mμ−γNν), M, N = 1, 2, . . . .
��� �� �� ��� � �� �� ������ ���� M = 2m ��� � ������� ������m ��� N � 1 ��������� �� ������ �� ��� ����
2pγ∑j∈Ip
N∑k=1
kδajk �∑j∈Ip
jγkδajk � C2(p+1)μNν ,
������ � � �� � ����
���� �∑j∈Ip
N∑k=1
kδajk � 2μC2p(μ−γ)Nν , p = 0, 1, 2, . . . ; N = 1, 2, . . .
���� ������� !��� γ > μ� ����� �� � ������ ����
∞∑j=2m
N∑k=1
kδajk =∞∑
p=m
∑j∈Ip
N∑k=1
kδajk����"�
2μCNν∞∑
p=m
2p(μ−γ) = 2μCNνO(2m(μ−γ))
���� ��� ��� ���� ������ � ��� ��� ���� M = 2m� ������ �� ������ {ajk} ⊂ R+� γ > μ > 0� ��� δ �� ν ��� ���������
�� ���#� �� �� ����
����$�
∞∑j=M
N∑k=1
kδajk = o(Mμ−γNν) �� M,N → ∞.
��� �� �� ���� ����� � ����� � � ��� �� � � %���� �� !�&����� � ���� �� �� ����'� �� ����
∑j∈Ip
N∑k=1
kδajk � 2pε2p(μ−γ)Nν � � p � m0 ��� N � 2m0 .
���� ���������� �� ���� ���� ����
�� �� ������
��������� � �� ��� ����� �� ������� ����
∞∑j=2m
N∑k=1
kδajk � 2μεNν∞∑
p=m
2p(μ−γ)
=2με
1 − 2μ−γ2m(μ−γ)Nν �� m > m0 ��� N � 2m0 ,
��� � ��� ���� ���� γ > μ� ����� ε > 0 �� ���������� ���� ����� �� ��� �
�� ������ �� � �� � ������
����� �� ������� �� ������ ���� ������� �� � �� �����!�� ����� 0 < α� β � 1� "� ���� ��� ���� ���� f ∈ Lip (α, β)� ����� f �� ��!����� �����
# ���� �$���� ��� h1 �= 0 ��� h2 �= 0 �� %����� &� �� �'����� �� ���������� �����
∣∣Δ1,1f(x, y;h1, h2)∣∣ =
∣∣∣∣∣∑|j|�m
∑|k|�n
cjk ei(jx+ky)(eijh1 − 1)(eikh2 − 1)
∣∣∣∣∣ � �
�{ ∑
|j|�m
∑|k|�n
+∑|j|>m
∑|k|�n
+∑|j|�m
∑|k|>n
+∑|j|>m
∑|k|>n
}|cjk| · |eijh1 − 1| · |eikh2 − 1| =: A(1)
mn + A(2)mn + A(3)
mn + A(4)mn,
���� ����� m ��� n ��� ����� � ����
��� m :=[
1|h1|
], n :=
[1
|h2|]
,
��� [·] ����� ��� ����%��� ���� � ��� ������ ������� ��� ����(����)�(��% ��� � ��� ���*������
��� |ei�h − 1| =∣∣∣∣2 sin
h
2
∣∣∣∣ � min{
2, |h|} , ∈ Z,
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��
�� ����� � ������ � � ����
|A(1)mn| � |h1h2|
∑|j|�m
∑|k|�n
|jkcjk| = |h1h2|O(m1−αn1−β
)�����
= |h1h2|O( |h1|α−1|h2|β−1) = O
( |h1|α|h2|β).
�� ������ ������������ ���� ������� � ��� � ����� γ = δ := 1� μ :=1 − α � ν := 1 − β�� � �����
|A(2)mn| � 2|h2|
∑|j|>m
∑|k|�n
|kcjk| = |h2|O(m−αn1−β
)�����
= |h2|O( |h1|α|h2|β−1) = O
( |h1|α|h2|β).
����������� ������� �� ���� � �! !��� �� � �" � ��� � ��# �
|A(3)mn| � 2|h1|
∑|j|�m
∑|k|>n
|jcjk| = |h1|O(m1−αn−β
)���$�
= |h1|O( |h1|α−1|h2|
)= O
( |h1|α|h2|β).
%����� ������� � ��� � � �� !�� �" ����� � �����&�� ����� �� ��
���'� |A(4)mn| � 4
∑|j|>m
∑|k|>n
|cjk| = O(m−αn−β
)= O
( |h1|α|h2|β).
(������ ������ ���������'�� � !�!�� ����
∣∣Δ1,1f(x, y;h1, h2)∣∣ = O
( |h1|α|h2|β).
)�! h1 �= 0� h2 �= 0 � � ��� � �� ���� � �# � ���� f ∈ Lip (α, β)����� ����� ���� {cjk} �� � ���� � *� ! �" �� ��� � �����"���
!������ ������ ����� � ���$�� � ���� f ∈ Lip (α, β) "� ��� 0 < α� β� 1� �� f �� � � ������ + �� ��!��� � �� � ��# ∣∣f(x, y) − f(0, y) − f(x, 0) + f(0, 0)
∣∣���,�
=∣∣∣∣ ∑
j∈Z
∑k∈Z
cjk(eijx − 1)(eiky − 1)∣∣∣∣ � Cxαyβ, x, y > 0,
���� ���������� �� ���� ���� ����
�� �� ������
����� ��� ������ C ��� ��� ������ �� x �� y ����� ���� ��� ��� ����� ��� ������ ���� ������� ��� ������ ���� ��� �� ���� ���∣∣∣∣∣
∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
{cos (jx + ky) − cos jx − cos ky + 1
}∣∣∣∣∣ � Cxαyβ, x, y > 0.
�� ������� ����������� ��� �� �� ��� ��� ������ ���� ��� ������� ���� ��������� ���� �� ���� ���� �� �������� ���� ������ �� x �� ���������� (0, h1)� ����� h1 > 0 ! ������ �� �����∣∣∣∣∣
∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
{sin (jh1 + ky)
j− sin ky
j− sin jh1
j
− h1 cos ky + h1
}∣∣∣∣∣ � Chα+1
1
α + 1yβ , y > 0.
"�#�� �� �������� ���� ������ �� y �� ��� ������� (0, h2)� ����� h2 > 0 ! ������ �� �����∣∣∣∣∣
∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
{− cos (jh1 + kh2)
jk+
cos jh1
jk− 1 − cos kh2
jk�$ %�
− h2sin jh1
j− h1
sin kh2
k+ h1h2
}∣∣∣∣∣ � Chα+1
1
α + 1hβ+1
2
β + 1, h1, h2 > 0.
����� ���� ������ ��� ����� �� ��� �� cjk ���� j �� k ���� ����������� �� &��� �� � ���� ��� ���
∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
{sin jh1 sin kh2
jk− h2
sin jh1
j− h1
sin kh2
k+ h1h2
}= 0.
��� ��� �'����� �� �$ %� �� ������ ���������� ���∣∣∣∣∣∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
{−cos jh1 cos kh2
jk+
cos jh1
jk− 1 − cos kh2
jk
} ∣∣∣∣∣� C
hα+11
α + 1hβ+1
2
β + 1,
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��
����� ��� �� ������� �� ����� �� �� � �� ��������� �����∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
jk(1 − cos jh1)(1 − cos kh2)������
= 4∑|j|�1
∑|k|�1
cjk
jksin2 jh1
2sin2 kh2
2� C
hα+11
α + 1hβ+1
2
β + 1, h1, h2 > 0,
�� � �� ��� �� � �� ����� ���� ����� ��� ��� �� �� ����
cjk/(jk) � 0 ��� ��� |j|, |k| � 1.
!�"��� �� �� �� �������� ������ � sin t � (2/π)t ��� 0 � t � π/2� �������� ������
4∑
1�|j|�m
∑1�|k|�n
cjk
jk
j2h21
π2
k2h22
π2� C
hα+11
α + 1hβ+1
2
β + 1.
#��� ��� ������ � ��� ������ � ������� ��
������∑|j|�m
∑|k|�n
jkcjk � Cπ4
4hα−1
1
α + 1hβ−1
2
β + 1<
Cπ4
4(m + 1)1−α
α + 1(n + 1)1−β
β + 1,
����� �� ����� � �� $������ ������ �� ������� % ���� ����� �� ���� ����� �� �� $���� ��
&������ �� '� ������ �� ��� ��� 0 < α� β < 1���� (� ����� �� � )o* �� m,n → ∞ �� $���� �� )O*� ��� ����� ε > 0 ����
�+�� � � �� ��� ����� m0 = m0(ε) ��� ��
������∑|j|�m
∑|k|�n
|jkcjk| � εm1−αn1−β �������� m,n � m0.
,����� �� � �� �� � �� ��� � ������ ����� m ��� n ��� ��-��� �� ������ #������.� ��� ������ � ������� ��
|A(1)mn| � |h1h2|
∑|j|�m
∑|k|�n
|jkcjk|����.�
� |h1h2|εm1−αn1−β � εC1|h1|α|h2|β , m, n � m0
���� ���������� �� ���� ���� ����
�� �� ������
���� ����� � ������� � ����������� � ������� ����� ���� ����� � �����γ = δ := 1� μ := 1 − α � ν := 1 − β�� �� �����
|A(2)mn| � 2|h2|
∑|j|>m
∑|k|�n
|kcjk|������
� 2|h2|2ε
αm−αn1−β � 4ε
α|h1|α|h2|β , m, n � m0
���� ������ � ��� ��� !�������� � �� ��"�
|A(3)mn| � 2|h1|
∑|j|�m
∑|k|>n
|jcjk|���� �
� 2|h1| εβ
m1−αn−β � 4ε
β|h1|α|h2|β , m, n � m0.
#���� � �$$� �� ����� � ����� γ = δ := 1� μ := 1 − α � ν := 1 − β� ���� ���� �� ����� ���� %o& �� m,n → ∞ � $���� �� %O&� �� �����
����'� |A(4)mn| � 4
∑|j|>m
∑|k|>n
|cjk| � 4εC3m−αn−β � 4εC3|h1|α|h2|β
�� m � n �(� ��(�� ����� ���� ���)� � ������� *������ ����� ������������'�� � ��+�� ��� ������ ���� ε > 0 �� �(���(�( � �� ���������� f ∈ lip (α, β)�
���� !����� ���� {cjk} �� � ����� ��,���� �� (��� ����(� ������ ��������� ������ ��� �� � ���'�� � ���� f ∈ lip (α, β) ��( ���� 0 < α, β< 1� -���� ��( �"�( ε > 0 ���(� �.���� h0 > 0 ���� ����
∣∣f(x, y) − f(0, y) − f(x, 0) + f(0, 0)∣∣ � εxαyβ ����"�( 0 < x, y � h0
���� ������� / ��� ���� �� �� �� ��"� ������ ���)��������� ���� ���� �������
������∑|j|�m
∑|k|�n
jkcjk � επ4
4hα−1
1
α + 1hβ−1
2
β + 1� επ4
4(m + 1)1−α
α + 1(n + 1)1−β
β + 1,
$(�"�� h1, h2 � h0� �( �,��"����� m,n � [1/h0] ���� ������� 0��� ε > 0 ���(���(�( � ������ $(�"�� ����� ���� %o& �� m,n → ∞ � $���� �� %O&� �
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��
�� ������� � N�� ����� � ��� ������ N � 3
���{
cj1 , cj2 , . . . , cjN : (j1, j2, . . . , jN ) ∈ ZN
}�� �� N ������ ������
�� ������ ����� � �� �����{
cj1,j2,...,jN
} ⊂ C� �� ����
�����∑j1∈Z
∑j2∈Z
. . .∑
jN∈Z
|cj1,j2,...,jN | < ∞,
����� N � 3 � � ���� ���� ��� !��� ��� N ������ ��� ��������� ����
���"�∑j1∈Z
∑j2∈Z
. . .∑
jN∈Z
cj1,j2,...,jN ei(j1x1+j2x2+...+jNxN ) =: f(x1, x2, . . . , xN )
���#�� � ������� �� ��� N ������ ���� ��� TN � ��� �� � ��� $�����
���� �� �� � f � ����� ��� ���#�� ���� � ����� �� %��� ����& �� �� ��� �� �� '(� )�� "� *�� �+� ,������ �-��
.���� �� �������� ��� ������ �� ���������#� ��� ����/ �� � �� �������� �� T
N � ��� f(x1, x2, . . . , xN ) �� � ������� ������� �������� ���������� 2π �� ���� #������� !�� ������� f � ��� �� ���� �� ��� ����������#� ��� ����/ �� Lip (α1, α2, . . . , αN ) ��� ��� α1, α2, . . . , αN > 0 �� ��� �������� ��0������ �������� Δ1,1,...,1 �� �� � ����� �� ���� #������� ������ ��f �� ��#� ∣∣Δ1,1,...,1f(x1, x2, . . . , xN ;h1, h2, . . . , hN )
∣∣:=
∣∣∣∣∣1∑
η1=0
1∑η2=0
. . .1∑
ηN=0
(−1)η1+η2+...+ηN f(x1 + η1h1, x2 + η2h2, . . . ,
xN + ηNhN )
∣∣∣∣∣ � C|h1|α1 |h2|α2 . . . |hN |αN ,
��� � x1, x2, . . . , xN 1 h1, h2, . . . , hN � ����� ��� ��� ���� C ��� ������ �� f ��� ��� �� x1, x2, . . . , xN 1 h1, h2, . . . , hN � $���������� � ������� f ��Lip (α1, α2, . . . , αN ) � ��� �� ���� �� ��� ���������#� ���� ��� ����/�� lip (α1, α2, . . . , αN ) ��
limh1,h2,...,hN→0
|h1|−α1 |h2|−α2 . . . |hN |−αN∣∣Δ1,1,...,1f(x1, x2, . . . , xN ;
h1, h2, . . . , hN )∣∣ = 0 ������� �� (x1, x2, . . . , xN ).
.��� ��� ����� ��� �� !������ � ��� " ���� � �����
���� ���������� �� ���� ���� ����
�� �� ������
������� 1′� ������ {cj1,...,jN } ⊂ C �� ���� � ��� ���� ����� �� ��
���� � f �� ���� �� �������� ��
�����∑
|j1|�m1
. . .∑
|jN |�mN
∣∣j1 . . . jNcj1,...,jN
∣∣ = O(m1−α1
1 , . . .m1−αNN
)
��� ���� 0 < α1, . . . , αN � 1� ��� f ∈ Lip (α1, . . . , αN )����� ����������� ��
{cj1,...,jN
}�� � N �������� �������� �� ��� �������
���� �
���� cj1,...,jN � 0 ��� �� j1, . . . , jN � 1
�
cj1,j2,...,jN = −c−j1,j2,...,jN = . . . = −cj1,...,jN−1,−jN�����
��� �� |j1|, . . . , |jN | � 1.
�� f ∈ Lip (α1, . . . , αN ) ��� ���� 0 < α1, . . . , αN � 1� ��� ����� ��� ��
�� ���� �� 0 < α1, . . . , αN < 1� �� � ��������� ����� �� ������ �� �� �� ��������� �� �� � ��� 1′ � �����
∑|j1|�m1
. . .∑
|jN |�mN
∣∣cj1,...,jN
∣∣ = O(m−α1
1 . . .m−αNN
).
������� 2′� �� 0 < α1, . . . , αN < 1� ��� ������ �� ������� 1′����� ��� �� �O �� ��� ���� ����� �� ������ �� �o � m1, . . . ,mN → ∞�
� f ∈ Lip (α1, . . . , αN ) �� ������ �� f ∈ lip (α1, . . . , αN )�
���� � ������� 1′� � !��� ����� �� ��� ��� � �� ���� �� "� #�! � �� "� $!��� �� ���� � �� ��� ���� � �� �� ��������� %� ������ ��� ���� � ��� ��
���� 1′� ������{
aj1,...,jN : j1, . . . , jN = 1, 2, . . .}
�� � N ��������
�������� �� �����!��� ����������� �� γj > μj � 0� j = 1, . . . , N � �
m1∑j1=1
. . .
mN∑jN=1
jγ11 . . . jγN
N aj1,...,jN = O(mμ1
1 . . .mμNN
), m1, . . . , mN = 1, 2, . . . ;
���&�
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��
����
∞∑j1=m1
. . .∞∑
jN=mN
aj1,...,jN = O(mμ1−γ1
1 . . . mμN−γNN
), m1, . . . , mN = 1, 2, . . . .
�����
���� ��������� � γj � μj > 0� j = 1, . . . , N � ��� ����� ���� ���� ������� ����
����� 3′� ����{
aj1,...,jN : j1, . . . , jN = 1, 2, . . .}
�� N ���� ��
������� �� �������� �� ������� ��� ��� 1 � k < N �
γj > μj � 0 for j = 1, 2, . . . , k;
�� � γk+1, . . . , γN � μk+1, . . . , μN ��� ��� ������ �� ���� � �� ����� ���� ����
∞∑j1=m1
. . .∞∑
jk=mk
mk+1∑jk+1=1
. . .
mN∑jN=1
jμk+1
k+1 . . . jμNN aj1,...,jN
= O(mμ1−γ1
1 . . .mμk−γkk m
μk+1
k+1 . . .mμNN
), m1, . . . , mN = 1, 2, . . . .
� � � ����� �� � � � ���� �� �� �� � 1′� � ������ � ������� � �� � �� � N = 3� �� f ∈ Lip (α, β, γ) ��� �� 0 < α� β, γ � 1� � � � ��� ∣∣f(x, y, z) − f(0, y, z) − f(x, 0, z) − f(x, y, 0)
+ f(0, 0, z) + f(0, y, 0) + f(x, 0, 0) − f(0, 0; 0)∣∣
=∣∣∣∣ ∑
j∈Z
∑k∈Z
∑�∈Z
cjk�(eijx − 1)(eiky − 1)(ei�z − 1)∣∣∣∣ � Cxαyβzγ , x, y, z > 0
���� ������� �� � C � � ������ ������ ��� � �������� ��� �� � ���� �� ! � � � �!��� ���� !��� � � � ��� ∣∣∣∣ ∑
|j|�1
∑|k|�1
∑|�|�1
cjk�
{sin (jx + ky + z) − sin (jx + ky) − sin (jx + z)
− sin (ky + z) + sin jx + sin ky + sin z}∣∣∣∣ � Cxαyβzγ .
" ������� ���� �� �� � #� � ���$�� �� ���� �� �� ! �� ��� # �� ! ��� �� ������ ��� � � � � x �� � �� ���� (0, h1)� � �
���� ���������� �� ���� ���� ����
�� �� ������
���� ������ � y �� (0, h2)� ��� ������ �� ������ �� z �� (0, h3)� �� �h1, h2, h3 > 0� ����� �� ��� ��������∣∣∣∣∣
∑|j|�1
∑|k|�1
∑|�|�1
{cjk�
jk
(cos (jh1 + kh2 + h3) − cos (jh1 + kh2)�����
− cos (jh1 + h3) − cos (kh2 + h3) + cos jh1 + cos kh2 + cos h3 − 1)
+ cjk�
(h3 sin (jh1 + kh2)
jk+
h2 sin (jh1 + h3)j
+h1 sin (kh2 + h3)
k
− h3sin jh1 + sin kh2
jk− h2
sin jh1 + sin h3
j− h1
sin kh2 + sin h3
k
+ h2h31 − cos jh1
j+ h1h3
1 − cos kh2
k+ h1h2
1 − cos h3
)}∣∣∣∣∣� C
hα+11
α + 1hβ+1
2
β + 1hγ+1
3
γ + 1, h1, h2, h3 > 0
���� ������� ��� �� ��� ���������� � ������ ��� � ��� ��� �� ���� �� � ����� ������ ��������� �� ��� ��������� ��� �� ����� ������� ��
�����∑|h|�1
∑|k|�1
∑|�|�1
cjk�
(h3 sin (jh1 + kh2)jk
+ . . . + h1h21 − cos h3
)= 0.
�!�� �"�� #� ���� ��� �!� ����� "����� ��� � �� �� �������� �� ��� ��������� ��� �� ����� ��� "� � ���� � ��� ������$ �� ��
cos (jh1 + kh2 + h3) − cos (jh1 + kh2) − . . . + cos h3 − 1���%&�
= (cos jh1 − 1)(cos kh2 − 1)(cos h3 − 1) + (1 − cos jh1) sin kh2 sin h3
+ (1 − cos kh2) sin jh1 sin h3 + (1 − cos h3) sin jh1 sin kh2.
'$��� ��� �� ��� ���������� � ������ � ��#�
∑|j|�1
∑|k|�1
∑|�|�1
cjk�
jk
{(1 − cos jh1) sin kh2 sin h3���%%�
+ (1 − cos kh2) sin jh1 sin h3 + (1 − cos h3) sin jh1 sin kh2
}= 0.
���� ���������� �� ���� ���� ����
��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��
������ ���� ���� �� ��� �� �� ��� �� ����� ���� �� ����� ����
∑|j|�1
∑|k|�1
∑��1
cjk�
jk(1 − cos jh1)(1 − cos kh2)(1 − cos h3)
� Chα+1
1
α + 1hβ+1
2
β + 1hγ+1
3
γ + 1, h1, h2, h3 > 0
�� �� ��� ���� ��� ���� �� ��� ����� �� ��������� ���� �� ������� 1′ ������������ �������� ���� ��� ����� �� ��������� ���� �� ������� � �
����� �� ������� 2′ !�� ����� ��� �"�������� �� #����� $ ��� ����� ��%�� �� N &������� ������� ������ ���������� ��������� �� #��&��� 1′ ��� 3′�� ��� ���� ��� ����� �� ���������� � ���������� �� ��� ��������� ��� ����� �� ������� 1′ '� �� ��� ����� ���� ������� �
����������
��� �� �� �� ��� ������� ���� ���� ������� ��������� �� ����� ���� ��� �������� �� !�" �
�#� �� $�%��� �& '�'� (�����) � ���������� �� ������ �� *����+�� ����,�� ��� ��� � %� �-,.� $��/,� ��� ���� ���� �����+���� ��������� �& (������) �,� � �
�� ������ ��� �#00�� #1! ����� �� 23���) 4/�,���,5 ������+��� ������� ���� �& 6������� �,� �� ����� ����
�� ��� �#00�� ���"!������1� �� 789��� ������� ���� ���� ������� ��������� �& +����,�)�& (������) �,�
���� ���� ����� ��������� �� ����0� #��! 0����� 4� :5+9��& ���� � ������ ������� ;9/��&+� <���� ��� �;9/��&+� ��1���
���� ���������� �� ���� ���� ����