absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative lipschitz classes of functions

19
N c j 1 ,...,j N (j 1 ,...,j N ) Z N (j 1 ,...,j N )Z N c j 1 ,...,j N e i(j 1 x 1 +...+j N x N ) =: f (x 1 ,...,x N ) f N T N T := [π,π) f Lip (α1,...,αN ) lip (α 1 ,...,α N ) α 1 ,...,α N > 0 N Lip (α 1 ,...,α N ) lip (α 1 ,...,α N )

Upload: ferenc-moricz

Post on 15-Jul-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

���� ����� ����� ��� ����� ������� ������� ��������������� �������

���� �������� ������ ����� ��� ���

��������� ���� ���� ��������

��� �� �� ��� ��� �������������

�������� ������ �� ��������

�� ��� �� ���∗

��!"� ��������� #��$����! �% &'�(��� ��"�� $)��"�*+ ���� �� &'�(�� ����� ,��("�!��-"��� -���.'/-"�����'�(�����

��������� ��� � ���� ������� ��������� �� ���� �������� ������� �� ����

��������� �� ��������� ���!� ��"��� �! �"� �������! �� "�� ����!����" ����"��#

����� �� �������� N ��� !�" � !��#�����!��� ������ $%��� ���" �& ����'����!� cj1,...,jN � (j1, . . . , jN ) ∈ Z

N � (��� )� )*�� �!� + ���,��#��! ������ -%��!%� ������

∑(j1,...,jN )∈ZN

cj1,...,jN ei(j1x1+...+jN xN ) =: f(x1, . . . , xN )

���,��#�� ���(��� + �� .���#�%���/� ������ )�� �����0���! +� �! �� !%� �� !�" �������� ������ �( �!� ��� f � $%��% �� ���!������ �� !%� N ����������) !���� T

N �T := [−π, π) �� #�,� ��'����! �����!���� �� !���� �( !%� ���'����!� �� �����!%)! f *� ��# !� ��� �( !%� �� !�" ��)!�,� 1�"��%�!2 � )���� Lip (α1, . . . , αN ) )��lip (α1, . . . , αN ) (�� ���� α1, . . . , αN > 0 -%��� �� !�" ��)!�,� 1�"��%�!2 � )���� �((���!���� )�� ��3��� �� !���� �( !%� �� !�" � ��4������ �"��)!�� �( 3��! ����� ���)�% ,)��)* � -%� �����!���� #�,�� *+ �� )�� ��! �� + ��'����!� *�! ) �� �������)�+ (�� ) �"���) ��*� )�� �( ���'����!� 5�� )�&� �)�+ ���� !� �� !%� �0��,) ����*�!$��� !%� ����� �( �)#��!��� �( !%� ���!)�#� )� ")�!�) ���� )�� !%)! �( !%����!)�#� )� ���)����# ���� �( �� )!�� N ��� !�" � �������) ������ �)+ *� ���(� �� �!%�� ��,��!�#)!����� !��

∗0�� ���"�.� 1" �"���� 1���� ��� "����� 1" " $�����( ���%��� "� ��� ���"��-��� �% 2"����-"��.� 0�3" �42 #��$����!� 5����(� &�"���� �����( ��� %"�� �-���� �� ���67 "�� �� 1" "���������� �! ��� ,��("��"� 8"����"� �����"���� %�� &.�����9. :��"�.� ����� ;�"�� 0 ��� �<��

$�# %���� �!� �"�����& -������� ������� ����� "������ .��$��(��.�� -������� ��=����.�����"��� �% 9�� ����� �� �".� $"��"���� -�������."��$� >��.���' .�"� Lip (α1, . . . , αN ) "��lip (α1, . . . , αN )�

��� '��"������� ��(��� )*����+�����!& ���-"�! �� <<� ������

����?6�<�@ ����� .© ��� �+"�)-�"� A�"�B� ��"���

Page 2: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

� �� ������

�� ����� ���� �� ����� ������ ����

�� ���� ���� � �� ������ ���� ��� �� ��� �� �� ����� {eijx :j ∈ Z} �� ���� � �������� �� �� {cj : j ∈ Z} � � ����� �� ���� ������� �� ����� �� {cj} ⊂ C� ���� ����

�����∑j∈Z

|cj | < ∞.

� � �� �� �� ������� ���

���!�∑j∈Z

cjeijx =: f(x), x ∈ T := [−π, π),

���" � ������ �� ��� �������� �� �� �� �� ���� ��� �� ��� ��� f ������ �� ���������� �� T�

#�� ���� � �������� f ������ ���� ���� 2π �� ���� �� � �� �� ����������$ � ��� Lip (α) �� ��� α > 0 ��∣∣f(x + h) − f(x)

∣∣ � C|h|α �� � x ��� h�

�� �� �������� C ��� ���� �� f � ��� ��� �� x ��� h� �������f �� ���� �� � �� �� �� ��� ��������$ � ��� lip (α) ��

limh→0

|h|−α[f(x + h) − f(x)

]= 0 ������ � �� x.

�� �� � %���� ��� � �� &!� ��� !' � &(� )� � �� ��� !� *+'� ���� ��f ∈ Lip (α) �� ��� α > 1 � �� f ∈ lip (1)� ��� f �� � �������� ���������

, �� ��� ������ ����� � �� �$������ �� ���� �� -��� &�'��� .� /0��� &1' ��"� �� ��� ����� ��� ��� ���� �����" �� �������� ���" ��2������ /�� �� �� �� ���� ��� ����� � ��"� ���� ���� ����� �� &3'�

������� �� ������ {cj} ⊂ C �� ���� � ��� ���� ����� �� �����

� f �� ���� �� ���!����� ��

���+�∑|j|�m

|jcj | = O(m1−α

), m = 1, 2, . . . ,

��� ���� 0 < α � 1� ��� f ∈ Lip (α)����� ����������� �� {cj} �� �������� �� ��� ������� ���� �

jcj � 0 ��� �� |j| � 1.

�� f ∈ Lip (α) ��� ���� 0 < α � 1� ��� ���+� ��� ��

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 3: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �

���� ���� �� 0 < α < 1 ��� ������� ���� �� ��������� �� ��� ����������� ∑

|j|�m

|cj | = O(m−α), m = 1, 2, . . . .

��� ���������� �� ������� � ��� lip (α) ����� �� ��������������� �� ��� 0 < α < 1� ���� �������� �� ����� � ���� ����

�� �O� �� ��������� ���� �� ������� �� �o� � m → ∞� �� f ∈ Lip (α) ��

������� �� f ∈ lip (α)�

�� ��� ����� ��� ���� ������� ������

��� ��� �� �� � ��� �������� � �� ! ��� ������� �� ������� �����"����#���� �� ���� ��$� ��� ������� �� ������� �� ��� �����"���� %� ���������� ��� �� �������� ��� ������� �� ������� �����"��� � &����� '�

�� "��� ���� ���{

cjk : (j, k) ∈ Z2}

"� � ���"�� ������� �� ������

��"��� � �(�"��� {cjk} ⊂ C ���� ����

)���∑j∈Z

∑k∈Z

|cjk| < ∞.

��� ��� ���"�� ������������ ������

)�)�∑j∈Z

∑k∈Z

cjkei(jx+ky) =: f(x, y), (x, y) ∈ T

2,

�������� �������( �� ���������( �� �� ��� ���"�� #������ ������ �� ������ f ����� �� �������� � T

2� *�������� �� ����(� ���� � +���,�����-� ���� ���� ��

limm,n→∞

∑|j|�m

∑|k|�n

cjkei(jx+ky) = f(x, y),

����� m �� n ��� �� ∞ ���������( �� �� ��������� � �� ������ ��� ���� �� �������������� .�������/ ������� �� �������

� ��� ���,��������� ����� T2� .�� f(x, y) "� � �������� ������ ��,������ � ���� �����"�� ���� ������ 2π� ���� ������ f �� ���� �� "���� ����� �������������� .�������/ ����� Lip (α, β) ��� ���� α, β > 0 �� ��� ��� ���,"�� ��0����� �������� Δ1,1 �� $��� ����� � ���� �����"�� ������� �� f ������ ∣∣Δ1,1f(x, y;h1, h2)

∣∣ :=∣∣f(x + h1, y + h2) )���

− f(x, y + h2) − f(x + h1, y) + f(x, y)∣∣ � C|h1|α|h2|β ,

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 4: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

� �� ������

��� ��� x� y� h1� h2� ��� � ��� �� C ��� ���� �� f � �� �� �� x� y�h1� h2�

��������� � ������� f �� Lip (α,β) � ��� � ����� � � ������������ ��� ��� ���� ��� lip (α, β) ��

limh1,h2→0

|h1|−α|h2|−βΔ1,1f(x, y;h1, h2) = 0 ��������� �� (x, y).

� �� �� ��� ����� �� �� � � �� �� �� � �������� �� ��� � ����� �� ���� � ��� ��� � �������� ������� �� � �� ������� �� �� ��� �������� ��!��� �

"��� ��� �� ���� � �� #�� $���� % ���� ���� � ����������� �� �

������� �� ������ {cjk} ⊂ C �� ���� � ��� ���� &'�() �� �����

� f �� ���� �� &'�')�&�) ��

&'�*)∑|j|�m

∑|k|�n

|jkcjk| = O(m1−αn1−β

), m, n = 1, 2, . . . ,

��� ���� 0 < α, β � 1� ��� f ∈ Lip (α, β)�&��) ����������� �� {cjk} �� ����� �������� �� ��� ������� ���� �

&'�+) cjk � 0 ��� �� j, k � 1

&'�,) cjk = −c−j,k = −cj,−k ��� �� |j|, |k| � 1.

�� f ∈ Lip (α, β) ��� ���� 0 < α, β � 1� ��� &'�*) ��� ��

$� �������� �� $���� ( ��� � ��� ��� ���� ��� lip (α,β)� ������ � #� ��� �� $���� - ���� ���� � ����� ������ �� � ��� � ������ �

������� � �� 0 < α, β < 1� ��� ������ �� ������� 1 �������� �� �O� �� ��� ���� &'�*) �� ������ �� �o� � m,n → ∞ �� ���� ����

�� ��� ������ � f ∈ Lip (α, β) �� ������ �� f ∈ lip (α, β)������ �� .� 0 < α, β < 1� �� �������� &'�*) � /������ � � ����

������ ��0

&'�1)∑|j|�m

∑|k|�n

|cjk| = O(m−αn−β

), m, n = 1, 2, . . . .

��������� � /������� �� �������� &'�*) ��� &'�1) ����� ����� �� 2O3� ������ �� 2o3 � m,n → ∞ �� ��� �������� � $� ����� �� ����������� �� ���� ( ��� ' �� � �# 4���� ��

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 5: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �

������ �� �� ��� ���� ��� ���� ��� �� �� ���� �� ��� ���� �� ����� ��� �� ������ fx ��� (fx)y �� fy ��� (fy)x� ����� ��� � � ��������

���� f ∈ Lip (1, 1)������� ��� ���� ���� �� f ∈ Lip (α,β) �� ���� α > 1 ��� β > 0 ���

f(·, y) �� �������� ���������� �� ���� ���� y ∈ T� ���� �� ���

����� f(x, y) = f1(x) + f2(y), (x, y) ∈ T2.

�� �� ����� � Δ1,1f(x, y;h1, h2) ������� ��������� ��� ��� ���� Lip (α, β)�� � ��� �� ���� �����

� !������ �� ����� �� (x0, y0) ∈ T2 �� ���� ���� fx(x0, y0) ������� "����∣∣h−1

1 Δ1,1f(x0, y0; h1, h2)∣∣ � C|h1|α−1|h2|β → 0 �� h1 → 0,

������������ �� h2� �� ����� ���� fx(x0, y0 + h2) ��� ������ ���

fx(x0, y0 + h2) − fx(x0, y0) = 0 �� � h2.

"�����# y := y0 + h2� ���� ����� ����

fx(x0, y) = fx(x0, y0) �� � y ∈ T.

����# ����# ���� ������ ���� ������ �� x0 #���

f(x, y) − f(0, y) =∫ x

0fx(x0, y) dx0 =

∫ x

0fx(x0, y0) dx0 �� � x ∈ T,

����� �� �$������ �� ����� �� �� � ����

������ � �� �� �� ���� � ���� ������ ��� ���� lip (1, 1) �� � ��� � ���% ���� ��� ������ ��� ���� �� &��� ' ( ������ ��� �� f ∈ Lip (α, β) �� ������ �� f ∈ lip (1, β)�

�� ������� ���� �

�� ��� � ���� �� ��� ��� ) ��� �� �� �� ���� ��� ������# ��� ������ �� � �� ��� �� ���� � � ���������� �� *+� ,����� ) ��� �- � �� ���#� ������� �� ��� �� �����#���� ����� ��

����� �� ������ {ajk : j, k = 1, 2, . . .} �� � ���� ����� �� � ���

����� ������ � ������ {ajk} ⊂ R+�

��� �� γ > μ � 0� δ > ν � 0� � �

�(�)�M∑

j=1

N∑k=1

jγkδajk = O(MμNν), M, N = 1, 2, . . . ,

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 6: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

� �� ������

����

�����∞∑

j=M

∞∑k=N

ajk = O(Mμ−γNν−δ), M,N = 1, 2, . . . .

���� ��������� � γ � μ > 0� δ � ν > 0� ��� ����� ���� ���� ����� ������

��� ��� ��������� ��� ��� ���� ���� ���� �� ���� γ > μ > 0 ��� δ > ν> 0 �������� ����� ��� ����� � � ����������� ���� ����������� ��� �������� ��� ���� ������ � �

����� �� ����� ��� !" ������ ��� � �#���� � ������� C ���� ����

�����M∑

j=1

N∑k=1

jγkδajk � CMμNν , M, N = 1, 2, . . . .

���� �"� �� �� ����� � � �� ����� ��� ������� ���� ���� M ��� N � ���� � � ���� ���������� �#������� ��" M = 2m ��� N = 2n� � �������� �� ��� ���� ��� ������

Ip :={

2p, 2p + 1, . . . , 2p+1 − 1}

, p = 0, 1, 2, . . . .

!" ������ �� ����

2pγ+qδ∑j∈Ip

∑k∈Iq

ajk �∑j∈Ip

∑k∈Iq

jγkδajk � C2(p+1)μ+(q+1)ν ,

������ �� ���� ����

���$�∑j∈Ip

∑k∈Iq

ajk � 2μ+νC2p(μ−γ)+q(ν−δ), p, q = 0, 1, 2, . . . .

��%��� ��� ������ ���� γ > μ ��� δ > ν� �� ������� �� ����

∞∑j=2m

∞∑k=2n

ajk =∞∑

p=m

∞∑q=n

∑j∈Ip

∑k∈Iq

ajk���&�

� 2μ+νC∞∑

p=m

∞∑q=n

2p(μ−γ)+q(ν−δ) = O(2m(μ−γ)+n(ν−δ)), m, n = 0, 1, 2, . . . ;

����� �� ����� �� ��� ���� ���� M = 2m ��� N = 2n�

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 7: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �

���� �� ����� �� � ����� � ������ C ���� ��

∞∑j=M

∞∑k=N

ajk � CMμ−γNν−δ, M,N = 1, 2, . . . .

���� �� �� ����

�����∑j∈Ip

∑k∈Iq

jγkδajk � 2(p+1)γ+(q+1)δ∑j∈Ip

∑k∈Iq

ajk,

������ � ������� ��

2m∑j=1

2n∑k=1

jγkδajk �m∑

p=0

n∑q=0

∑j∈Ip

∑k∈Iq

jγkδajk�����

� 2γ+δCm∑

p=0

n∑q=0

2pμ+qν = O(2mμ+nν), m, n = 0, 1, 2, . . . .

���� �� ����� �� �� ���� ���� M = 2m ��� N − 2n� ������ �� ������ {ajk} ⊂ R+� γ > μ > 0 �� δ > ν > 0��� ��

�����

M∑j=1

N∑k=1

jγkδajk = o(MμNν) �� M, N → ∞,

���

��� �

∞∑j=M

∞∑k=N

ajk = o(Mμ−γNν−δ

)�� M, N → ∞.

���� ����������� �� ����� �� ��� � ���� ��� ����� ���� ����

��� ��� �� ����� �� ��� � ε > 0 �� � ����� � ��� �� ��!"� m0 = m0(ε) ���� ��

����#�

M∑j=1

N∑k=1

jγkδajk � εMμNν �� M,N � 2m0 .

$%��� � �� ����%� � & ��� ��� � �� �� �&����� ���� ���� M = 2m ���N = 2n ��� � m ��� n � � ��� �� ��!"� ��

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 8: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

� �� ������

��������� � �� �� �� ����� �� ��� ����∑j∈Ip

∑k∈Iq

ajk � 2μ+νε2p(μ−γ)+q(ν−δ) �� p, q � m0;

��� ��������� � ����� �� �����∞∑

j=2m

∞∑k=2n

ajk � 2μ+νε∞∑

p=m

∞∑q=n

2p(μ−γ)+q(ν−δ)

� 2μ+νε

(1 − 2μ−γ)(1 − 2ν−δ)2m(μ−γ)+n(ν−δ) �� m,n > m0.

����� ε > 0 �� ���������� ���� ����� �������� � ����� �� ����� ε > 0 ����� �!���� ��� ���� ���"��� �"����

m0 = m0(ε) �"�� ����

�����

∞∑j=M

∞∑K=N

ajk � εMμ−γNν−δ �� M, N � 2m0 .

��������� � ��#�� �� ����� �� ��� ����∑j∈Ip

∑k∈Iq

jγkδajk � 2γ+δε2pμ+qν �� p, q � m0;

��� ��������� � ��$�� ���� ���� �� �����

Smn :=2m∑

j=2m0

2n∑k=2m0

jγkδajk � 2γ+δεm∑

p=m0

n∑q=m0

2pμ+qν���%�

� 2γ+δ+μ+νε

(2μ − 1)(2ν − 1)2mμ+nν �� m,n > m0.

&� ������ ���� ��� �"�������� � ������� ��%� �� ��� ���"��� �� '������ � (���� %� )�"�� �� ��$� �� ����

����� Smn =

⎧⎪⎨⎪⎩

O(2mμ+m0ν) �� m > m0 ��� n � m0

O(2m0μ+mν) �� m � m0 ��� n > m0,

O(2m0μ+m0ν) �� m,n � m0.

)�*��+ ��� ���"�� ���� μ, ν > 0� ��� ���%� ��� ������ �� ����"�� ����

Smn �(

2γ+δ+μ+ν

(2μ − 1)(2ν − 1)+ 1

)ε2mμ+nν �� ���+� ��"+� m ��� n.

����� ε > 0 �� ���������� ���� ����� ����� �

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 9: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� �

����� �� ������ {ajk} ⊂ R+� γ > μ � 0� ��� δ �� ν ��� ���������

�� ��� ��� ����� � ������ � ����

������

∞∑j=M

N∑k=1

kδajk = O(Mμ−γNν), M, N = 1, 2, . . . .

��� �� �� ��� � �� �� ������ ���� M = 2m ��� � ������� ������m ��� N � 1 ��������� �� ������ �� ��� ����

2pγ∑j∈Ip

N∑k=1

kδajk �∑j∈Ip

jγkδajk � C2(p+1)μNν ,

������ � � �� � ����

���� �∑j∈Ip

N∑k=1

kδajk � 2μC2p(μ−γ)Nν , p = 0, 1, 2, . . . ; N = 1, 2, . . .

���� ������� !��� γ > μ� ����� �� � ������ ����

∞∑j=2m

N∑k=1

kδajk =∞∑

p=m

∑j∈Ip

N∑k=1

kδajk����"�

2μCNν∞∑

p=m

2p(μ−γ) = 2μCNνO(2m(μ−γ))

���� ��� ��� ���� ������ � ��� ��� ���� M = 2m� ������ �� ������ {ajk} ⊂ R+� γ > μ > 0� ��� δ �� ν ��� ���������

�� ���#� �� �� ����

����$�

∞∑j=M

N∑k=1

kδajk = o(Mμ−γNν) �� M,N → ∞.

��� �� �� ���� ����� � ����� � � ��� �� � � %���� �� !�&����� � ���� �� �� ����'� �� ����

∑j∈Ip

N∑k=1

kδajk � 2pε2p(μ−γ)Nν � � p � m0 ��� N � 2m0 .

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 10: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

�� �� ������

��������� � �� ��� ����� �� ������� ����

∞∑j=2m

N∑k=1

kδajk � 2μεNν∞∑

p=m

2p(μ−γ)

=2με

1 − 2μ−γ2m(μ−γ)Nν �� m > m0 ��� N � 2m0 ,

��� � ��� ���� ���� γ > μ� ����� ε > 0 �� ���������� ���� ����� �� ��� �

�� ������ �� � �� � ������

����� �� ������� �� ������ ���� ������� �� � �� �����!�� ����� 0 < α� β � 1� "� ���� ��� ���� ���� f ∈ Lip (α, β)� ����� f �� ��!����� �����

# ���� �$���� ��� h1 �= 0 ��� h2 �= 0 �� %����� &� �� �'����� �� ���������� �����

∣∣Δ1,1f(x, y;h1, h2)∣∣ =

∣∣∣∣∣∑|j|�m

∑|k|�n

cjk ei(jx+ky)(eijh1 − 1)(eikh2 − 1)

∣∣∣∣∣ � �

�{ ∑

|j|�m

∑|k|�n

+∑|j|>m

∑|k|�n

+∑|j|�m

∑|k|>n

+∑|j|>m

∑|k|>n

}|cjk| · |eijh1 − 1| · |eikh2 − 1| =: A(1)

mn + A(2)mn + A(3)

mn + A(4)mn,

���� ����� m ��� n ��� ����� � ����

��� m :=[

1|h1|

], n :=

[1

|h2|]

,

��� [·] ����� ��� ����%��� ���� � ��� ������ ������� ��� ����(����)�(��% ��� � ��� ���*������

��� |ei�h − 1| =∣∣∣∣2 sin

h

2

∣∣∣∣ � min{

2, |h|} , ∈ Z,

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 11: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��

�� ����� � ������ � � ����

|A(1)mn| � |h1h2|

∑|j|�m

∑|k|�n

|jkcjk| = |h1h2|O(m1−αn1−β

)�����

= |h1h2|O( |h1|α−1|h2|β−1) = O

( |h1|α|h2|β).

�� ������ ������������ ���� ������� � ��� � ����� γ = δ := 1� μ :=1 − α � ν := 1 − β�� � �����

|A(2)mn| � 2|h2|

∑|j|>m

∑|k|�n

|kcjk| = |h2|O(m−αn1−β

)�����

= |h2|O( |h1|α|h2|β−1) = O

( |h1|α|h2|β).

����������� ������� �� ���� � �! !��� �� � �" � ��� � ��# �

|A(3)mn| � 2|h1|

∑|j|�m

∑|k|>n

|jcjk| = |h1|O(m1−αn−β

)���$�

= |h1|O( |h1|α−1|h2|

)= O

( |h1|α|h2|β).

%����� ������� � ��� � � �� !�� �" ����� � �����&�� ����� �� ��

���'� |A(4)mn| � 4

∑|j|>m

∑|k|>n

|cjk| = O(m−αn−β

)= O

( |h1|α|h2|β).

(������ ������ ���������'�� � !�!�� ����

∣∣Δ1,1f(x, y;h1, h2)∣∣ = O

( |h1|α|h2|β).

)�! h1 �= 0� h2 �= 0 � � ��� � �� ���� � �# � ���� f ∈ Lip (α, β)����� ����� ���� {cjk} �� � ���� � *� ! �" �� ��� � �����"���

!������ ������ ����� � ���$�� � ���� f ∈ Lip (α, β) "� ��� 0 < α� β� 1� �� f �� � � ������ + �� ��!��� � �� � ��# ∣∣f(x, y) − f(0, y) − f(x, 0) + f(0, 0)

∣∣���,�

=∣∣∣∣ ∑

j∈Z

∑k∈Z

cjk(eijx − 1)(eiky − 1)∣∣∣∣ � Cxαyβ, x, y > 0,

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 12: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

�� �� ������

����� ��� ������ C ��� ��� ������ �� x �� y ����� ���� ��� ��� ����� ��� ������ ���� ������� ��� ������ ���� ��� �� ���� ���∣∣∣∣∣

∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

{cos (jx + ky) − cos jx − cos ky + 1

}∣∣∣∣∣ � Cxαyβ, x, y > 0.

�� ������� ����������� ��� �� �� ��� ��� ������ ���� ��� ������� ���� ��������� ���� �� ���� ���� �� �������� ���� ������ �� x �� ���������� (0, h1)� ����� h1 > 0 ! ������ �� �����∣∣∣∣∣

∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

{sin (jh1 + ky)

j− sin ky

j− sin jh1

j

− h1 cos ky + h1

}∣∣∣∣∣ � Chα+1

1

α + 1yβ , y > 0.

"�#�� �� �������� ���� ������ �� y �� ��� ������� (0, h2)� ����� h2 > 0 ! ������ �� �����∣∣∣∣∣

∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

{− cos (jh1 + kh2)

jk+

cos jh1

jk− 1 − cos kh2

jk�$ %�

− h2sin jh1

j− h1

sin kh2

k+ h1h2

}∣∣∣∣∣ � Chα+1

1

α + 1hβ+1

2

β + 1, h1, h2 > 0.

����� ���� ������ ��� ����� �� ��� �� cjk ���� j �� k ���� ����������� �� &��� �� � ���� ��� ���

∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

{sin jh1 sin kh2

jk− h2

sin jh1

j− h1

sin kh2

k+ h1h2

}= 0.

��� ��� �'����� �� �$ %� �� ������ ���������� ���∣∣∣∣∣∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

{−cos jh1 cos kh2

jk+

cos jh1

jk− 1 − cos kh2

jk

} ∣∣∣∣∣� C

hα+11

α + 1hβ+1

2

β + 1,

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 13: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��

����� ��� �� ������� �� ����� �� �� � �� ��������� �����∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

jk(1 − cos jh1)(1 − cos kh2)������

= 4∑|j|�1

∑|k|�1

cjk

jksin2 jh1

2sin2 kh2

2� C

hα+11

α + 1hβ+1

2

β + 1, h1, h2 > 0,

�� � �� ��� �� � �� ����� ���� ����� ��� ��� �� �� ����

cjk/(jk) � 0 ��� ��� |j|, |k| � 1.

!�"��� �� �� �� �������� ������ � sin t � (2/π)t ��� 0 � t � π/2� �������� ������

4∑

1�|j|�m

∑1�|k|�n

cjk

jk

j2h21

π2

k2h22

π2� C

hα+11

α + 1hβ+1

2

β + 1.

#��� ��� ������ � ��� ������ � ������� ��

������∑|j|�m

∑|k|�n

jkcjk � Cπ4

4hα−1

1

α + 1hβ−1

2

β + 1<

Cπ4

4(m + 1)1−α

α + 1(n + 1)1−β

β + 1,

����� �� ����� � �� $������ ������ �� ������� % ���� ����� �� ���� ����� �� �� $���� ��

&������ �� '� ������ �� ��� ��� 0 < α� β < 1���� (� ����� �� � )o* �� m,n → ∞ �� $���� �� )O*� ��� ����� ε > 0 ����

�+�� � � �� ��� ����� m0 = m0(ε) ��� ��

������∑|j|�m

∑|k|�n

|jkcjk| � εm1−αn1−β �������� m,n � m0.

,����� �� � �� �� � �� ��� � ������ ����� m ��� n ��� ��-��� �� ������ #������.� ��� ������ � ������� ��

|A(1)mn| � |h1h2|

∑|j|�m

∑|k|�n

|jkcjk|����.�

� |h1h2|εm1−αn1−β � εC1|h1|α|h2|β , m, n � m0

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 14: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

�� �� ������

���� ����� � ������� � ����������� � ������� ����� ���� ����� � �����γ = δ := 1� μ := 1 − α � ν := 1 − β�� �� �����

|A(2)mn| � 2|h2|

∑|j|>m

∑|k|�n

|kcjk|������

� 2|h2|2ε

αm−αn1−β � 4ε

α|h1|α|h2|β , m, n � m0

���� ������ � ��� ��� !�������� � �� ��"�

|A(3)mn| � 2|h1|

∑|j|�m

∑|k|>n

|jcjk|���� �

� 2|h1| εβ

m1−αn−β � 4ε

β|h1|α|h2|β , m, n � m0.

#���� � �$$� �� ����� � ����� γ = δ := 1� μ := 1 − α � ν := 1 − β� ���� ���� �� ����� ���� %o& �� m,n → ∞ � $���� �� %O&� �� �����

����'� |A(4)mn| � 4

∑|j|>m

∑|k|>n

|cjk| � 4εC3m−αn−β � 4εC3|h1|α|h2|β

�� m � n �(� ��(�� ����� ���� ���)� � ������� *������ ����� ������������'�� � ��+�� ��� ������ ���� ε > 0 �� �(���(�( � �� ���������� f ∈ lip (α, β)�

���� !����� ���� {cjk} �� � ����� ��,���� �� (��� ����(� ������ ��������� ������ ��� �� � ���'�� � ���� f ∈ lip (α, β) ��( ���� 0 < α, β< 1� -���� ��( �"�( ε > 0 ���(� �.���� h0 > 0 ���� ����

∣∣f(x, y) − f(0, y) − f(x, 0) + f(0, 0)∣∣ � εxαyβ ����"�( 0 < x, y � h0

���� ������� / ��� ���� �� �� �� ��"� ������ ���)��������� ���� ���� �������

������∑|j|�m

∑|k|�n

jkcjk � επ4

4hα−1

1

α + 1hβ−1

2

β + 1� επ4

4(m + 1)1−α

α + 1(n + 1)1−β

β + 1,

$(�"�� h1, h2 � h0� �( �,��"����� m,n � [1/h0] ���� ������� 0��� ε > 0 ���(���(�( � ������ $(�"�� ����� ���� %o& �� m,n → ∞ � $���� �� %O&� �

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 15: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��

�� ������� � N�� ����� � ��� ������ N � 3

���{

cj1 , cj2 , . . . , cjN : (j1, j2, . . . , jN ) ∈ ZN

}�� �� N ������ ������

�� ������ ����� � �� �����{

cj1,j2,...,jN

} ⊂ C� �� ����

�����∑j1∈Z

∑j2∈Z

. . .∑

jN∈Z

|cj1,j2,...,jN | < ∞,

����� N � 3 � � ���� ���� ��� !��� ��� N ������ ��� ��������� ����

���"�∑j1∈Z

∑j2∈Z

. . .∑

jN∈Z

cj1,j2,...,jN ei(j1x1+j2x2+...+jNxN ) =: f(x1, x2, . . . , xN )

���#�� � ������� �� ��� N ������ ���� ��� TN � ��� �� � ��� $�����

���� �� �� � f � ����� ��� ���#�� ���� � ����� �� %��� ����& �� �� ��� �� �� '(� )�� "� *�� �+� ,������ �-��

.���� �� �������� ��� ������ �� ���������#� ��� ����/ �� � �� �������� �� T

N � ��� f(x1, x2, . . . , xN ) �� � ������� ������� �������� ���������� 2π �� ���� #������� !�� ������� f � ��� �� ���� �� ��� ����������#� ��� ����/ �� Lip (α1, α2, . . . , αN ) ��� ��� α1, α2, . . . , αN > 0 �� ��� �������� ��0������ �������� Δ1,1,...,1 �� �� � ����� �� ���� #������� ������ ��f �� ��#� ∣∣Δ1,1,...,1f(x1, x2, . . . , xN ;h1, h2, . . . , hN )

∣∣:=

∣∣∣∣∣1∑

η1=0

1∑η2=0

. . .1∑

ηN=0

(−1)η1+η2+...+ηN f(x1 + η1h1, x2 + η2h2, . . . ,

xN + ηNhN )

∣∣∣∣∣ � C|h1|α1 |h2|α2 . . . |hN |αN ,

��� � x1, x2, . . . , xN 1 h1, h2, . . . , hN � ����� ��� ��� ���� C ��� ������ �� f ��� ��� �� x1, x2, . . . , xN 1 h1, h2, . . . , hN � $���������� � ������� f ��Lip (α1, α2, . . . , αN ) � ��� �� ���� �� ��� ���������#� ���� ��� ����/�� lip (α1, α2, . . . , αN ) ��

limh1,h2,...,hN→0

|h1|−α1 |h2|−α2 . . . |hN |−αN∣∣Δ1,1,...,1f(x1, x2, . . . , xN ;

h1, h2, . . . , hN )∣∣ = 0 ������� �� (x1, x2, . . . , xN ).

.��� ��� ����� ��� �� !������ � ��� " ���� � �����

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 16: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

�� �� ������

������� 1′� ������ {cj1,...,jN } ⊂ C �� ���� � ��� ���� ����� �� ��

���� � f �� ���� �� �������� ��

�����∑

|j1|�m1

. . .∑

|jN |�mN

∣∣j1 . . . jNcj1,...,jN

∣∣ = O(m1−α1

1 , . . .m1−αNN

)

��� ���� 0 < α1, . . . , αN � 1� ��� f ∈ Lip (α1, . . . , αN )����� ����������� ��

{cj1,...,jN

}�� � N �������� �������� �� ��� �������

���� �

���� cj1,...,jN � 0 ��� �� j1, . . . , jN � 1

cj1,j2,...,jN = −c−j1,j2,...,jN = . . . = −cj1,...,jN−1,−jN�����

��� �� |j1|, . . . , |jN | � 1.

�� f ∈ Lip (α1, . . . , αN ) ��� ���� 0 < α1, . . . , αN � 1� ��� ����� ��� ��

�� ���� �� 0 < α1, . . . , αN < 1� �� � ��������� ����� �� ������ �� �� �� ��������� �� �� � ��� 1′ � �����

∑|j1|�m1

. . .∑

|jN |�mN

∣∣cj1,...,jN

∣∣ = O(m−α1

1 . . .m−αNN

).

������� 2′� �� 0 < α1, . . . , αN < 1� ��� ������ �� ������� 1′����� ��� �� �O �� ��� ���� ����� �� ������ �� �o � m1, . . . ,mN → ∞�

� f ∈ Lip (α1, . . . , αN ) �� ������ �� f ∈ lip (α1, . . . , αN )�

���� � ������� 1′� � !��� ����� �� ��� ��� � �� ���� �� "� #�! � �� "� $!��� �� ���� � �� ��� ���� � �� �� ��������� %� ������ ��� ���� � ��� ��

���� 1′� ������{

aj1,...,jN : j1, . . . , jN = 1, 2, . . .}

�� � N ��������

�������� �� �����!��� ����������� �� γj > μj � 0� j = 1, . . . , N � �

m1∑j1=1

. . .

mN∑jN=1

jγ11 . . . jγN

N aj1,...,jN = O(mμ1

1 . . .mμNN

), m1, . . . , mN = 1, 2, . . . ;

���&�

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 17: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��

����

∞∑j1=m1

. . .∞∑

jN=mN

aj1,...,jN = O(mμ1−γ1

1 . . . mμN−γNN

), m1, . . . , mN = 1, 2, . . . .

�����

���� ��������� � γj � μj > 0� j = 1, . . . , N � ��� ����� ���� ���� ������� ����

����� 3′� ����{

aj1,...,jN : j1, . . . , jN = 1, 2, . . .}

�� N ���� ��

������� �� �������� �� ������� ��� ��� 1 � k < N �

γj > μj � 0 for j = 1, 2, . . . , k;

�� � γk+1, . . . , γN � μk+1, . . . , μN ��� ��� ������ �� ���� � �� ����� ���� ����

∞∑j1=m1

. . .∞∑

jk=mk

mk+1∑jk+1=1

. . .

mN∑jN=1

jμk+1

k+1 . . . jμNN aj1,...,jN

= O(mμ1−γ1

1 . . .mμk−γkk m

μk+1

k+1 . . .mμNN

), m1, . . . , mN = 1, 2, . . . .

� � � ����� �� � � � ���� �� �� �� � 1′� � ������ � ������� � �� � �� � N = 3� �� f ∈ Lip (α, β, γ) ��� �� 0 < α� β, γ � 1� � � � ��� ∣∣f(x, y, z) − f(0, y, z) − f(x, 0, z) − f(x, y, 0)

+ f(0, 0, z) + f(0, y, 0) + f(x, 0, 0) − f(0, 0; 0)∣∣

=∣∣∣∣ ∑

j∈Z

∑k∈Z

∑�∈Z

cjk�(eijx − 1)(eiky − 1)(ei�z − 1)∣∣∣∣ � Cxαyβzγ , x, y, z > 0

���� ������� �� � C � � ������ ������ ��� � �������� ��� �� � ���� �� ! � � � �!��� ���� !��� � � � ��� ∣∣∣∣ ∑

|j|�1

∑|k|�1

∑|�|�1

cjk�

{sin (jx + ky + z) − sin (jx + ky) − sin (jx + z)

− sin (ky + z) + sin jx + sin ky + sin z}∣∣∣∣ � Cxαyβzγ .

" ������� ���� �� �� � #� � ���$�� �� ���� �� �� ! �� ��� # �� ! ��� �� ������ ��� � � � � x �� � �� ���� (0, h1)� � �

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 18: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

�� �� ������

���� ������ � y �� (0, h2)� ��� ������ �� ������ �� z �� (0, h3)� �� �h1, h2, h3 > 0� ����� �� ��� ��������∣∣∣∣∣

∑|j|�1

∑|k|�1

∑|�|�1

{cjk�

jk

(cos (jh1 + kh2 + h3) − cos (jh1 + kh2)�����

− cos (jh1 + h3) − cos (kh2 + h3) + cos jh1 + cos kh2 + cos h3 − 1)

+ cjk�

(h3 sin (jh1 + kh2)

jk+

h2 sin (jh1 + h3)j

+h1 sin (kh2 + h3)

k

− h3sin jh1 + sin kh2

jk− h2

sin jh1 + sin h3

j− h1

sin kh2 + sin h3

k

+ h2h31 − cos jh1

j+ h1h3

1 − cos kh2

k+ h1h2

1 − cos h3

)}∣∣∣∣∣� C

hα+11

α + 1hβ+1

2

β + 1hγ+1

3

γ + 1, h1, h2, h3 > 0

���� ������� ��� �� ��� ���������� � ������ ��� � ��� ��� �� ���� �� � ����� ������ ��������� �� ��� ��������� ��� �� ����� ������� ��

�����∑|h|�1

∑|k|�1

∑|�|�1

cjk�

(h3 sin (jh1 + kh2)jk

+ . . . + h1h21 − cos h3

)= 0.

�!�� �"�� #� ���� ��� �!� ����� "����� ��� � �� �� �������� �� ��� ��������� ��� �� ����� ��� "� � ���� � ��� ������$ �� ��

cos (jh1 + kh2 + h3) − cos (jh1 + kh2) − . . . + cos h3 − 1���%&�

= (cos jh1 − 1)(cos kh2 − 1)(cos h3 − 1) + (1 − cos jh1) sin kh2 sin h3

+ (1 − cos kh2) sin jh1 sin h3 + (1 − cos h3) sin jh1 sin kh2.

'$��� ��� �� ��� ���������� � ������ � ��#�

∑|j|�1

∑|k|�1

∑|�|�1

cjk�

jk

{(1 − cos jh1) sin kh2 sin h3���%%�

+ (1 − cos kh2) sin jh1 sin h3 + (1 − cos h3) sin jh1 sin kh2

}= 0.

���� ���������� �� ���� ���� ����

Page 19: Absolutely convergent multiple fourier series and multiplicative Lipschitz classes of functions

��������� ���� ���� �������� ��� �� �� ��� ��

������ ���� ���� �� ��� �� �� ��� �� ����� ���� �� ����� ����

∑|j|�1

∑|k|�1

∑��1

cjk�

jk(1 − cos jh1)(1 − cos kh2)(1 − cos h3)

� Chα+1

1

α + 1hβ+1

2

β + 1hγ+1

3

γ + 1, h1, h2, h3 > 0

�� �� ��� ���� ��� ���� �� ��� ����� �� ��������� ���� �� ������� 1′ ������������ �������� ���� ��� ����� �� ��������� ���� �� ������� � �

����� �� ������� 2′ !�� ����� ��� �"�������� �� #����� $ ��� ����� ��%�� �� N &������� ������� ������ ���������� ��������� �� #��&��� 1′ ��� 3′�� ��� ���� ��� ����� �� ���������� � ���������� �� ��� ��������� ��� ����� �� ������� 1′ '� �� ��� ����� ���� ������� �

����������

��� �� �� �� ��� ������� ���� ���� ������� ��������� �� ����� ���� ��� �������� �� !�" �

�#� �� $�%��� �& '�'� (�����) � ���������� �� ������ �� *����+�� ����,�� ��� ��� � %� �-,.� $��/,� ��� ���� ���� �����+���� ��������� �& (������) �,� � �

�� ������ ��� �#00�� #1! ����� �� 23���) 4/�,���,5 ������+��� ������� ���� �& 6������� �,� �� ����� ����

�� ��� �#00�� ���"!������1� �� 789��� ������� ���� ���� ������� ��������� �& +����,�)�& (������) �,�

���� ���� ����� ��������� �� ����0� #��! 0����� 4� :5+9��& ���� � ������ ������� ;9/��&+� <���� ��� �;9/��&+� ��1���

���� ���������� �� ���� ���� ����