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„Beitrag zur numerischen und experimentellen Untersuchung von
liegenden, sattelgelagerten Zylinderschalen unter
vertikaler dynamischer Belastung“
von der Fakultät für Bauingenieurwesen
der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen
zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften
genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Thomas Zimmermann
aus Eschweiler
Berichter: Universitätsprofessor Dr.-Ing. Jürgen Güldenpfennig
apl. Professor Dr.-Ing. Ramendra Das
Tag der mündlichen Prüfung:
28.05.2003
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Einleitung Seite 3
Inhaltsverzeichnis
1 EINLEITUNG....................................................................................................... 7
1.1 Allgemeines.................................................................................................... 7
1.2 Literaturübersicht .......................................................................................... 9
1.2.1 Statische Belastung .................................................................................. 9
1.2.2 Dynamische Belastung ........................................................................... 14
1.2.3 Normative Regelungen ........................................................................... 17
1.3 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit ............................................................ 18
2 MECHANISCHE UND NUMERISCHE GRUNDLAGEN ................................... 21
2.1 Allgemeine Schalentheorie ......................................................................... 21
2.2 Finite Elemente Methode............................................................................. 27
2.3 Schalenelement ........................................................................................... 28
2.4 Kontaktelement............................................................................................ 36
2.5 Flüssigkeitsdruck ........................................................................................ 37
2.6 Numerische Lösungsverfahren .................................................................. 38
2.6.1 Modale Analyse ...................................................................................... 38
2.6.2 Newmark-Verfahren................................................................................ 39
3 EXPERIMENTELLER VERSUCHSAUFBAU ................................................... 43
3.1 Versuchsbehälter und Sättel ...................................................................... 43
3.2 Lagerung und dynamische Erregung ........................................................ 45
3.3 Vorversuche ................................................................................................. 47
4 MESSTECHNIK ................................................................................................ 51
Seite 4 Einleitung
4.1 Anordnung der Messtechnik am Versuchsaufbau.................................... 51
4.2 Tekscan Foliendruck-Messsystem............................................................. 52
4.2.1 Funktionsprinzip...................................................................................... 53
4.2.2 Eingesetzte Tekscan Messsensoren ...................................................... 57
4.3 Equilibration................................................................................................. 59
4.3.1 Standardversuchsaufbau........................................................................ 61
4.3.2 I-SCAN 5076 Sensoren .......................................................................... 62
4.3.3 MATSCAN 3150 Sensor......................................................................... 63
4.4 Kalibration .................................................................................................... 64
4.4.1 I-SCAN 5076-Sensoren .......................................................................... 68
4.4.1.1 Kalibrationslasten................................................................................ 68
4.4.1.2 Kalibrationsfläche................................................................................ 71
4.4.1.3 Lage Belastungs- zu Kalibrationsfläche .............................................. 72
4.4.1.4 Oberflächenmaterial............................................................................ 73
4.4.2 MATSCAN 3150-Sensor......................................................................... 74
4.4.2.1 Kalibrationslasten................................................................................ 74
4.4.2.2 Lage Belastungs- zu Kalibrationsfläche .............................................. 79
4.5 Systematische Untersuchung der Messwerteinflüsse ............................. 80
4.5.1 Temperatur ............................................................................................. 80
4.5.2 Dynamische Belastung ........................................................................... 81
4.5.3 Seitliche Verschiebung der Kontaktflächen ............................................ 82
4.5.4 Zeitliche Drift........................................................................................... 85
4.5.4.1 I-SCAN 5076-Sensoren ...................................................................... 85
4.5.4.2 MATSCAN 3150-Sensor ..................................................................... 86
4.5.5 Relaxation............................................................................................... 87
4.6 Erörterung der Ergebnisse ......................................................................... 88
5 HAUPTVERSUCHE .......................................................................................... 91
5.1 Variierte Parameter ...................................................................................... 91
5.1.1 Füllgrad................................................................................................... 92
Einleitung Seite 5
5.1.2 Sattelstellung .......................................................................................... 92
5.1.3 Sattelwinkel ............................................................................................ 93
5.1.4 Elastizität der Zwischenlage ................................................................... 93
5.1.5 Erregerfrequenz...................................................................................... 94
5.1.6 Steifigkeit des Sattels ............................................................................. 94
5.1.7 Versuchsprogramm ................................................................................ 94
5.2 Versuchsdurchführung ............................................................................... 95
5.2.1 Beschreibung der Versuchsdurchführung............................................... 95
5.2.2 Bemerkungen zur Versuchsdurchführung .............................................. 96
5.3 Versuchsergebnisse.................................................................................... 97
5.3.1 Füllgrad................................................................................................... 98
5.3.2 Sattelstellung ........................................................................................ 100
5.3.3 Sattelwinkel .......................................................................................... 104
5.3.4 Elastizität der Zwischenlage ................................................................. 106
5.3.5 Erregerfrequenz.................................................................................... 108
5.3.6 Steifigkeit des Sattels ........................................................................... 110
5.3.7 Überdruck ............................................................................................. 111
5.4 Vergleich des FEM-Modells mit den Versuchsergebnissen................... 113
5.4.1 Sattelstellung ........................................................................................ 113
5.4.2 Sattelwinkel .......................................................................................... 116
5.4.3 Elastizität der Zwischenlage ................................................................. 118
5.5 Erörterung der Ergebnisse ....................................................................... 120
6 NUMERISCHE BERECHNUNG...................................................................... 123
6.1 Allgemeines................................................................................................ 123
6.1.1 Schalenlänge........................................................................................ 124
6.1.2 Sattelbreite ........................................................................................... 125
6.1.3 Sattelstellung ........................................................................................ 127
6.1.4 Sattelwinkel .......................................................................................... 128
6.1.5 Schalenradius und Schalendicke.......................................................... 129
Seite 6 Einleitung
6.1.6 Elastizität der Zwischenlage ................................................................. 134
6.1.7 Fußpunktbeschleunigung ..................................................................... 136
6.2 Auswertung der numerischen Berechnungsbeispiele ........................... 137
6.2.1 Schwingbeiwert Sres für R = 500 mm .................................................... 139
6.2.2 Schwingbeiwert Sres für R = 750 mm .................................................... 140
6.2.3 Schwingbeiwert Sres für R = 1000 mm .................................................. 141
6.2.4 Schwingbeiwert Sres für R = 1250 mm .................................................. 142
6.2.5 Schwingbeiwert Sres für R = 1500 mm .................................................. 143
6.2.6 Schwingbeiwert Sres für R = 2000 mm .................................................. 144
6.3 Erörterung der Ergebnisse ....................................................................... 145
7 ZUSAMMENFASSUNG .................................................................................. 147
7.1 Zusammenfassung .................................................................................... 147
7.2 Ergebnis und Ausblick .............................................................................. 151
8 LITERATURVERZEICHNIS ............................................................................ 153
9 ANHANG......................................................................................................... 163
9.1 Verwendete Formelzeichen und Symbole ............................................... 163
9.2 Abbildungsverzeichnis.............................................................................. 165
9.3 Steifigkeits- und Massenmatrix des 4-Knoten- DKT-Elementes............ 174
9.3.1 Steifikeitsmatix...................................................................................... 174
9.3.2 Massenmatrix ....................................................................................... 179
Einleitung Seite 7
1 Einleitung
1.1 Allgemeines
Beim Transport und der Lagerung von flüssigen und gasförmigen Gefahrgütern
werden Tankbehälter eingesetzt, die uns täglich im Straßen- und Schienenverkehr
sowie in Industrieanlagen begegnen. Zu den Gefahrgütern zählen z.B. Treibstoffe,
Pestizide und Gase. Da diese Stoffe hochexplosiv, umwelt- und
gesundheitsgefährdend sein können, ergeben sich höchste
Sicherheitsanforderungen an die Konstruktion solcher Behälter. So mussten knapp
3000 Menschen im April 2000 in der norwegischen Stadt Lilleström mehrere Tage
evakuiert werden, nachdem zwei Güterzüge im Bahnhof zusammengestoßen waren.
Auslaufendes Propangas aus einem Tankbehälter hatte sich nach dem
Zusammenstoß der Züge entzündet, und es bestand Explosionsgefahr. Das Leben in
der Kleinstadt kam völlig zum Erliegen.
Abbildung 1 Zusammenstoß zweier Güterzüge am 05.04.2000 im Bahnhof von Lilleström, Norwegen
Der Transport und die Lagerung von Gefahrgütern wird überwiegend mit liegenden
Behältern durchgeführt. Ein liegender Behälter besteht neben der Behälterschale aus
Böden, die den seitlichen Abschluss der Behälterschale bilden, den Auflagern und
den Betriebseinrichtungen. Die Behälterschale wird wegen der einfachen Herstellung
Seite 8 Einleitung
überwiegend als Kreiszylinderschale gefertigt. Als Böden werden Flach-, Korb- und
Klöpperböden verwendet, als Auflager überwiegend in Längs- und Umfangsrichtung
begrenzte Sattellager, die je nach Anforderung mit dem Behälter verschweißt werden
oder auf denen der Behälter lose aufliegt. Zur Vermeidung von inneren Zwängungen
durch thermische Belastung oder Auflagersenkung wird der Behälter in der Regel
statisch bestimmt gelagert.
Als problematisch erweist sich, dass in Deutschland, im Gegensatz zu anderen
Ländern wie England und Frankreich, keine verbindliche Norm zur Bemessung von
Tankbehältern für Gefahrgüter existiert. Die Merkblätter der Arbeitsgemeinschaft
Druckbehälter (AD-Merkblätter) [03] geben lediglich allgemeine
Konstruktionshinweise und Empfehlungen zur Bemessung. Bis heute sind keine
systematischen experimentellen Untersuchungen von liegenden Behältern unter
dynamischer Belastung bekannt. Dies rührt auch daher, dass bisher keine
geeigneten Messsysteme zur Messung der Pressungsverteilung zwischen
Behälterschale und Sattel zur Verfügung standen.
Eine analytische Berechnung eines liegenden Behälters ist aufgrund des komplexen
Tragverhaltens insbesondere im Auflagerbereich nur möglich, wenn, wie später
gezeigt wird, zahlreiche Vereinfachungen angenommen werden. Allerdings
beschreiben die resultierenden Ergebnisse die tatsächliche Beanspruchung der
Schale nur unzureichend. Dies erklärt die zum Teil großen Unterschiede in den
einzelnen internationalen Normen und den verschiedenen Arbeiten.
Aufgrund der hohen Leistungsfähigkeit moderner Computer stellt die numerische
Berechnung der Behälterschalen nach der FE-Methode kein Problem dar. Vielmehr
bestimmt die Wahl der Ansatzfunktionen zur Beschreibung der Behälterschale, des
Sattels und der Kontaktfläche entscheidend das Ergebnis und muss daher sorgfältig
ausgewählt werden.
Neben der statischen Berechnung des Behälters ist die Auslegung gegen
dynamische Belastung, wie z.B. Transport auf Fahrzeugen oder auch seismische
Beanspruchung von Bedeutung.
Einleitung Seite 9
Mit der vorliegenden Arbeit wird ein Beitrag zu diesen Fragestellungen geleistet. Es
wird eine lose auf Sattellagern liegende Kreiszylinderschale untersucht. Der
bisherige Erfahrungsstand zur vertikalen, dynamischen Beanspruchung soll durch
umfangreiche Untersuchungen und numerische Berechnungen erweitert werden.
1.2 Literaturübersicht
Die Literaturübersicht wird gegliedert in Veröffentlichungen zur statischen Belastung
von Zylinderschalen (Kap. 1.2.1), zur dynamischen Belastung von Zylinderschalen
(Kap. 1.2.2) und zu normativen Regelungen ( Kap. 1.2.3) Die bisherigen Arbeiten zu
statischen Problemen werden vorgestellt, da diese einen Einblick über das generelle
Tragverhalten von Zylinderschalen geben. Dynamische Betrachtungen für liegende
Zylinderschalen sind bisher kaum veröffentlicht, allerdings sind zahlreiche
Veröffentlichungen über stehende Behälter verfasst worden, die das generelle
Flüssigkeitsverhalten unter dynamischer Anregung verdeutlichen.
1.2.1 Statische Belastung
Die erste Arbeit zu Zylinderschalen unter konzentrierten Lasten wurde 1935 von
ROARK [50] verfasst. Aus experimentellen Untersuchungen an Stahlzylindern und
Messingrohren leitet er Bemessungsansätze zur Ermittlung der maximalen Längs-
und Umfangsspannung her. Die von ROARK dargestellten Ergebnisse liefern für die
liegende, sattelgelagerte Zylinderschale jedoch nur eine Abschätzung der Spannung
am Sattelhorn, da zum einen die Lagerungsbedingungen nicht berücksichtigt wurden
und zum anderen bei der Ermittlung des Verzerrungszustandes mit dem
Huggenberger Extensometer nur Mittelwerte der Spannungen über die Messlänge
erfasst werden können.
ZICK [69] veröffentlicht 1951 erstmals systematische, experimentelle und
theoretische Untersuchungen für liegende, sattelgelagerte Zylinderschalen. Zur
Verifizierung seiner Bemessungsansätze führt ZICK Experimente mit statisch
bestimmt gelagerten Zylinderschalen für Sattelwinkel von 120° und 150° durch. Die
Beanspruchung der Zylinderschale bestimmt er getrennt für die Längs- und
Seite 10 Einleitung
Umfangsrichtung. In Längsrichtung werden die Spannungen an einem Einfeldträger
ermittelt. Hierbei berücksichtigt ZICK bei Versuchen beobachtete Verformungen der
Zylinderschale im Bereich des Sattellagers durch eine Querschnittsreduzierung, die
zu einer geringeren Tragfähigkeit der Zylinderschale führt, wenn keine Aussteifung
der Schale durch Aussteifungsringe oder die Behälterböden vorhanden ist. In
Umfangsrichtung berechnet ZICK die Spannungen an einem Kreisringquerschnitt,
dessen mitwirkende Breite er in Abhängigkeit von der Aussteifung der Schale sowie
von Verstärkungsblechen am Sattel angibt. Zahlreiche internationalen Normen und
Rechenvorschriften basieren auf den Bemessungsansätzen von ZICK. Dazu gehören
z.B. die Britische Norm BS 5500 [4] und die französische Norm SNCTTI [56].
1954 löste BIJLARD [05][06] die Differentialgleichungen von FLÜGGE [26] unter
zahlreichen Annahmen und Vereinfachungen. Unter der Annahme steifer und
unverschieblich gehaltener Behälterböden entwickelte er ein Berechnungsverfahren
für die Biegemomente und Membrankräfte infolge lokaler Lasten. Die Qualität seines
Verfahrens diskutiert er anhand der Versuchsergebnisse von ROARK sowie
SCHOESSOW und KOOISTRA [52]. Er stellt zufriedenstellende Übereinstimmung
der Experimente mit seinen Berechnungen fest.
1959 zeigen BROWNELL und YOUNG [11], dass die Bemessungsansätze nach
ZICK nur für Sattelwinkel von 120° bis 150° zufriedenstellende Ergebnisse liefern.
Sie erweiterten die Bemessungsansätze auf Sattelwinkel von 90° bis 180°.
1967 untersucht ZWIESELE [71] die Spannungen an kreiszylindrischen Behältern
und erkennt, dass die Pressungsverteilung zwischen Sattel und Zylinderschale
entscheidend für die Berechnung der Zylinderschale ist. Bei experimentellen
Untersuchungen misst ZWIESELE die Auflagerpressungen zum einen wie in [29] von
HARTENBERG angewandt und zum anderen mit einer direkten Messmethode. Bei
der direkten Messmethode wird die Zylinderschale auf Kreisringsegmenten gelagert,
die durch Kraftmessdosen gestützt sind. Die Nachgiebigkeit dieser Auflagerung kann
durch Justierschrauben korrigiert werden, so dass ein ideal starrer Sattel simuliert
werden kann. Aus den Versuchsergebnissen leitet er Berechnungsansätze her,
wobei die Auflagerpressungsverteilung als kosinusförmig, mit zusätzlichen
Einzellasten an den Sattelhörnern, angenommen wird.
Einleitung Seite 11
1971 veröffentlicht MANG [46] als Fortsetzung seiner Dissertation eine Abhandlung
über Festigkeits- und Konstruktionsprobleme bei Großrohren und Stahlbehältern. Er
beschreibt zunächst das Verformungsverhalten der Zylinderschalen im Sattelbereich,
wobei er sich auf Versuche der „Karlsruher Versuchsanstalt für Stahl, Holz und
Steine“ bezieht, und unterscheidet zwischen losen und verschweißten Sätteln
unterschiedlicher Sattelwinkel. MANG nimmt verschiedene Pressungsverteilungen
zwischen Sattel und Zylinderschale an und sieht seine Annahmen durch BRANDES,
HERBERER und ZWIESELE bestätigt. MANG erkennt den Sattelbereich als
Hauptproblem zur Beschreibung der Beanspruchung der Schale. Er berechnet die
maximalen Schnittgrößen der Zylinderschale in Abhängigkeit der angenommenen
Auflagerpressungsverteilungen und verschiedenen Auflagerrandbedingungen.
Allerdings stellt er keine Beziehung zwischen den einzelnen Schalenparametern und
der Verwendbarkeit seiner angenommenen Auflagerpressungsverteilungen her.
BRANDES [10] bestimmt 1971 aus den Berechnungsansätzen von ZWIESELE die
Auflagerkräfte für den Fall, dass der Sattelradius größer ist als der
Zylinderschalenradius. Er gibt die Auflagerpressungsverteilung in Abhängigkeit des
Radienunterschieds und des Sattelwinkels an.
1973 stellt KRUPKA [38] fest, dass die Bemessung eines Behälters nur bei
Vollfüllung, wegen des anderen Tragverhaltens bei halber Füllung, nicht ausreichend
ist. KRUPKA erkennt die bei ZICK angenommene Auflagerpressung als
Schwachpunkt. Er gibt in Abhängigkeit der Sattelsteifigkeit neue
Auflagerpressungsverteilungen an und bestimmt entsprechende Gleichungen zur
Berechnung der Beanspruchung der Zylinderschale. Den Füllgrad des Behälters
berücksichtigt KRUPKA in der Berechnung der Umfangsspannung am Sattelhorn, die
vom Gesamtgewicht des Behälters linear abhängt.
Auf Grundlage der FLÜGGE’schen Schalentheorie entwickelt DEL GAIZO [15] ein
numerisch lösbares Gleichungssystem, in dem die Auflagerpressungsverteilung
zwischen Sattel und Zylinderschale zunächst unbekannt ist. DEL GAIZO ermittelt die
Auflagerpressungsverteilung in Anlehnung an die Arbeiten von KRUPKA, wobei sie
erstmals die Auflagerpressung über die Sattelbreite als nicht zwangsläufig konstant
betrachtet. Sie zeigt den Einfluss der Sattelstellung auf die Beanspruchung der
Seite 12 Einleitung
Zylinderschale. Die so gewonnenen Ergebnisse vergleicht sie mit den Ergebnissen
anderer Autoren und stellt gute Übereinstimmung fest.
1982 entwickeln DUTHIE, TOOTH und WHITE [60] neue Lösungsansätze für die
liegende, sattelgelagerte Zylinderschale. Bei der Lösung werden ausgehend von der
FLÜGGE’schen Schalentheorie die für die Berechnung der Zylinderschale
erforderlichen Parameter über Fourierreihen entwickelt. Hierzu wird insbesondere die
mitwirkende Schalenbreite abgeschätzt.
Als Fortsetzung von [60] führen DUTHIE et al. [61] Untersuchungen an liegenden
Zylinderschalen mit geschweißten Sätteln durch. Dabei werden die Sattelsteifigkeit,
die Füllhöhe der Flüssigkeit mit verschiedenen Überdrücken des Behälters variiert,
und die Auswirkung von Versteifungsblechen untersucht. Die Autoren stellen fest,
dass die maximalen Spannungen im Behälter bei Vollfüllung auftreten. Die
experimentell ermittelten Beanspruchungen werden den theoretischen Ergebnissen
aus [60] gegenübergestellt. Die Berechnungsansätze aus [60] zeigen für den
flüssigkeitsgefüllten Behälter gute Übereinstimmung mit den experimentellen
Untersuchungen, während für den Behälter unter Überdruck wesentliche
Abweichungen zwischen den Berechnungen und den experimentellen
Untersuchungen aufgetreten sind. Die Abweichungen erklären die Autoren mit
geringen Imperfektionen der Zylinderschale, die zu Spannungssteigerungen führen.
1986 stellt DEL GAIZO [16] die Abhängigkeit der Schalenbeanspruchung von
verschiedenen Sattelparametern, insbesondere der Sattelstellung, der Sattelbreite
und des Sattelradius heraus und leitet allgemeine Konstruktionshinweise ab.
1987 stellt ONG [53] ein Computerprogramm zur Berechnung von liegenden
Zylinderschalen vor. Zur Lösung der Schalengleichungen von Sanders werden die
Verschiebungen und Belastungen der Zylinderschale als doppelte Fourierreihe
dargestellt. ONG stellt eine Übereinstimmung seiner Berechnung mit den
Ergebnissen von TOOTH fest. Ein weiterer Vergleich mit dem BS 5500 zeigt
allerdings eine erhebliche größere Beanspruchung der Zylinderschale.
1988 stellt ONG [54] einen Berechnungsansatz für Schalen unter nicht
symmetrischer Last vor. Hierin wird zunächst mit dem Kraftgrößenverfahren die
Einleitung Seite 13
Sattelpressung ermittelt, wobei der Behälter als starr angenommen wird. Die
ermittelte Sattelpressung wird dann als äußere Belastung auf die Schale angesetzt.
In weiteren Berechnungen berücksichtigt ONG die Imperfektionen am Behälter über
eine Fourierreihenentwicklung. Zur Verifizierung seiner Berechnungsansätze führt er
experimentelle Untersuchungen an einem Behälter durch und stellt gute
Übereinstimmung fest.
1991 erweitert KRUPKA [40] seine früheren Arbeiten und stellt ein neues
Bemessungskonzept für die Zylinderschale vor, wobei Schalenbeulen und
Eindrücken des Sattels in die Zylinderschale berücksichtigt werden.
1992 setzt KRUPKA [41] sich mit dem Beulverhalten von Rohren und liegenden
Zylinderschalen im Bereich von Versteifungsrippen auseinander. Beim Vergleich
seiner theoretischen Betrachtungen mit einer experimentellen Untersuchung zeigt
sich, dass beide im ausgewählten Beispiel, bei dem es nicht zum Beulversagen der
Schale kommt, übereinstimmen.
1998 fasst KRUPKA in [42] die in [40] und [41] vorgestellten Ergebnisse zusammen.
1998 untersucht CHOUIHI [13] mit einem neuartigen Messsystem der Fa. Tekscan
eine liegende Zylinderschale unter verschiedenen Lagerbedingungen. Das
Messsystem der Fa. Tekscan ermöglicht erstmals eine direkte Messung der
Auflagerpressungsverteilung zwischen Sattel und Zylinderschale. CHOUIHI variiert
die Parameter Sattelwinkel, Steifigkeit und Stellung des Sattels. Aus den Versuchen
entwickelt er ein FE-Modell, mit welchem er Parameterstudien durchführt. Anhand
dieser Berechnung gibt er mit Tabellen ein Werkzeug an die Hand, die
Pressungsverteilung zwischen Sattel und Behälterschale mit geringem Aufwand zu
ermitteln. CHOUIHI führt nur wenige Untersuchungen zu Genauigkeit des
Flächendruckmesssystems der Fa. Tekscan durch. Durch die „Totbereiche“
zwischen den verwendeten kleinen Messsensoren erfolgt die Messung der
Auflagerpressungsverteilung nicht über die gesamte Auflagefläche der Sättel.
Seite 14 Einleitung
1.2.2 Dynamische Belastung
1955 stellt HOUSNER [34] eine neues Konzept zur Erfassung des Wasserdruckes
unter dynamischer Belastung bei stehenden Behältern vor. Er unterscheidet beim
Flüssigkeitsdruck zwischen einem impulsiven und einem konvektiven
Wasserdruckanteil. Der impulsive Wasserdruckanteil ensteht durch die
Beschleunigung der Flüssigkeit während der konvektive Wasserdruckanteil durch die
Wellenbewegung der Oberfläche verursacht wird. Zur Beschreibung des impulsiven
Druckanteils definiert HOUSNER ein, beidseitig durch massenlose Membranen
begrenztes „Flüssigkeitselement“, das sich horizontal und durch die Annahme einer
inkompressiblen Flüssigkeit auch vertikal bewegt. Zur Beschreibung des konvektiven
Wasserdruckanteils entwickelt HOUSNER ein Feder-Masse-System, bei dem die
Beanspruchung der Schale der Beanspruchung durch die Flüssigkeit entsprechen
soll. HOUSNER entwickelt das Feder-Masse-System für stehende Rechteck- und
Kreiszylinderbehälter.
1963 reduziert HOUSNER [35] das Feder-Masse-System zur Beschreibung des
Flüssigkeitsverhaltens auf zwei Massen, wobei die Masse M0 starr mit der
Behälterwand verbunden ist, während M1 federnd gelagert ist.
k1/2 k1/2
M1
M0
Abbildung 2 Feder-Massen-System zur Simulation des Flüssigkeitsdrucks bei stehenden
Rechteckbehältern nach HOUSNER
Für einen stehenden kreiszylindrischen Behälter gibt HOUSNER die folgenden
Gleichungen an.
Einleitung Seite 15
hR7,1
)hR7,1tanh(
MM0 = , mit dem Radius R, dem Wasserstand h und der
Flüssigkeitsmasse M
Rh8,1
)Rh8,1(tanh
6,0MM1 ⋅⋅=
21
1 Rhg
MM4,5k ⋅
⋅⋅=
Gleichung 1
HOUSNER bestimmt analog zu Gleichung 1 ebenfalls die Gleichungen für
Rechteckbehälter und Hochbehälter.
1981 entwickeln HAROUN und HOUSNER [30] eine Lösung für die stehende,
wassergefüllte, deformierbare Zylinderschale mit der Methode der finiten Elemente
(FEM). Das zu lösende Gleichungssystem lautet:
PqKqCqM =⋅+⋅+⋅ &&& , wobei M die Massenmatrix, C die Dämpfungsmatrix und K
die Steifigkeitsmatrix darstellt.
Gleichung 2
Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt über die Modalanalyse.
1982 führt SON [57] mit seiner Arbeit die ersten analytischen Berechnungen
dynamischer Belastungen von liegenden, sattelgelagerten Zylinderschalen durch.
Über die Herleitung der Schnittgrößen an der Zylinderschale stellt er das dynamische
Gleichgewicht eines finiten Schalenelementes auf. SON löst die aufgestellten
Gleichungen für die Kreisringplatte und überträgt die Ergebnisse auf die liegende
Zylinderschale. Er berechnet die Eigenkreisfrequenzen zunächst für die
Kreisringplatte und für einige symmetrisch gelagerte Kreiszylinderschalen.
Anschließend berechnet er die Eigenkreisfrequenz für auf Sattellagern verschweißte
Kreiszylinderschalen in Abhängigkeit der wichtigsten Schalenparametern.
Seite 16 Einleitung
1990 untersuchen CHALHOUB und KELLY [12] den dynamischen Flüssigkeitsdruck
auf die Wand eines stehende kreiszylinderförmigen Wasserbehälters, die
Verschiebung und Beschleunigung der Zylinderschale sowie die Bewegung der
freien Flüssigkeitsoberfläche. Zum einen wird der Boden des Flüssigkeitsbehälters
direkt angeregt, zum anderen befindet sich der Flüssigkeitsbehälter in einer auf
Schwingungsdämpfern aufgebauten 9-stöckigen Stahlstruktur. Die o.g. Parameter
werden an verschiedenen Punkten erfasst. Neben der experimentellen Arbeit wird
auch eine theoretische Lösung zur Ermittlung des dynamischen Flüssigkeitsdrucks
erarbeitet. Mit Horizontalbewegungen bis zu 1,27 cm und Vertikalbewegungen bis zu
0,51 cm werden 7 verschiedene, gemessene Erdbeben simuliert. Die
experimentellen Ergebnisse werden mit den theoretischen Ergebnissen von
CHALHOUB, die bereits 1988 vorgestellt wurden, verglichen und liefern gute
Übereinstimmung. Beide zeigen, dass eine isolierte Lagerung von Behältern den
impulsiven Wasserdruckanteil verringert während der konvektive Anteil im Bereich
niedriger Erregerfrequenzen ansteigt. Die Steigerung des konvektiven
Wasserdruckanteils erreicht nach Aussage der Autoren die Verringerung des
impulsiven Wasserdruckanteils bei isolierter Lagerung jedoch nicht.
Die Ergebnisse von CHALHOUB und KELLY werden 1992 von BO und JIA-XIANG
[09] bestätigt. Die Autoren entwickeln ein finites Element zur Beschreibung einer
freien Flüssigkeitsoberfläche. Hierbei wird eine lineare Verschiebung zwischen den
Knoten des Flüssigkeitselementes angenommen. Die Schalenelemente haben einen
linearen Ansatz für u und v. Die Durchbiegung w wird durch einen kubischen Ansatz
beschrieben. Mit Hilfe der Laplace’schen Gleichung bestimmen die Autoren das
Geschwindigkeitspotential und lösen die Bewegungsgleichung des Gesamtsystems
numerisch. Die Berechnungen bestätigen das Flüssigkeitsverhalten bei
schwingungsisoliert gelagerten Behältern, wie es bereits in [12] beschreiben wird.
LADEWIG [44] befasst sich in seiner Dissertation, die 1994 veröffentlich wird, mit der
statischen und dynamischen Berechnung liegender, sattelgelagerter Zylinderschalen.
Mit Hilfe der FEM entwickelt er ein numerisches Berechnungsmodell und berechnet
verschiedene Behälter. Beim Vergleich seiner Ergebnisse unter statischer Belastung
mit Berechnungsansätzen von TOOTH [61], ONG [54] und KRUPKA [39] stellt er
fest, dass er für die Lagerung der liegenden Zylinderschale auf einem starren Sattel
Einleitung Seite 17
größere und für die Lagerung auf einem flexiblen Sattel geringere Beanspruchungen
ermittelt. Die Simulation verschiedener Erdbeben hat gezeigt, dass eine Steigerung
der Erdbebenintensität um 1,0 auf der Richter-Skala eine Verdopplung der
Beanspruchung der Zylinderschale zur Folge hat. Dies gilt unter der Annahme, dass
die Erregerfrequenz ausreichend weit von der Eigenfrequenz des Systems entfernt
ist. Die Berechnungen von LADEWIG haben außerdem gezeigt, dass die
Flüssigkeitsvollfüllung für die Bemessung der liegenden Zylinderschale die
maßgebende ist.
1998 führt CHOUIHI [13] statische Versuche an einer lose auf Sattellagern liegenden
Zylinderschale durch. Durch die Aufbringung horizontaler Lasten, die eine seitliche
Bewegung des Tanks simulieren soll, können erste Anhaltspunkte für die
Auflagerpressungsverteilung zwischen Sattel und Zylinderschale bei horizontaler
Belastung, gewonnen werden.
1999 entwickeln SHENTON und HAMPTON [55] basierend auf den Arbeiten von
HOUSNER ein Berechnungsmodell für einen Hochbehälter, der wie in [35]
beschrieben, abgebildet wird. Die Massen der Tragstruktur werden im Fuß- und
Kopfpunkt konzentriert. SHENTON und HAMPTON entwickeln die Eigenfrequenzen
des Systems und stellen die Ergebnisse von gedämpft gelagerten und starr mit dem
Untergrund verbundenen Hochbehältern gegenüber.
1.2.3 Normative Regelungen
Als Normen zur dynamischen Bemessung von liegenden Zylinderschalen kommen in
Deutschland neben der DIN 4149 auch der Eurocode 8 in Betracht. Nicht normativ
aber normativen Charakter haben die Gefahrgutverordnung Straße (GGVS) und das
AD-Merkblatt.
Die DIN 4149 [19] hat Gültigkeit zur Bemessung von üblichen Hochbauten.
Allerdings werden Tankbauwerke explizit ausgeschlossen, so dass eine Bemessung
liegender Zylinderschalen nach dieser Norm unzulässig wäre.
Der Eurocode 8 Teil 4 [23] gibt allgemeine Hinweise wie ein Tankbehälter zu
konstruieren ist, diese sind jedoch nicht besonders aufschlussreich, da sie sich auf
Seite 18 Einleitung
die statische Belastung der Schale beziehen. Für die seismische Auslegung schreibt
der EC 8 eine Schwingungsuntersuchung in Längs- und Querrichtung des Behälters
vor. Vertikale Schwingungen müssen nach EC 8 nicht nachgewiesen werden. Der
Eurocode geht ab 80% Füllgrad von einer Vollfüllung des Behälters aus und sieht bei
Vollfüllung den Behälter als Ein-Massen-Schwinger. Der Eurocode stellt fest, dass
auf diesem Gebiet weiterer Forschungsbedarf besteht.
Die Gefahrgutverordnung Straße (GGVS) [27] regelt den Transport von Gefahrgütern
auf der Straße. Sie legt insbesondere fest, dass Tanks und deren
Befestigungseinrichtungen auf Fahrzeugen ausgehend von der höchstzulässigen
Masse der Füllung folgende Kräfte schadlos aufnehmen müssen:
• 2-fache Gesamtmasse in Fahrtrichtung
• 1-fache Gesamtmasse horizontal senkrecht zur Fahrtrichtung
• 1-fache Gesamtmasse vertikal nach oben
• 2-fache Gesamtmasse vertikal nach unten.
Die GGVS beschränkt die zulässige Spannung unter den oben genannten
Belastungen z.B. bei üblichem Baustahl S 235 auf 75% der garantierten
Streckgrenze. Die Abminderung kann bei anderen Werkstoffen größer sein. Die
Schnittgrößen aus den oben genannten Lasten werden am Balken mit beidseitigem
Kragarm gebildet. Die Spannung infolge der lokalen Lasteinleitung am Sattel wird der
Spannung aus dem Längstragsystem überlagert. Der dynamische Lastanteil wird
durch statische Ersatzlasten simuliert.
Aus den hier genannten Vorschriften sind Regeln für die Bemessung von lose
gelagerten liegenden Zylinderschalen nicht herzuleiten.
1.3 Zielsetzung und Aufbau der Arbeit
Mit dieser Arbeit soll ein Beitrag zur Bemessung von liegenden, sattelgelagerten
Zylinderschalen unter vertikaler, dynamischer Belastung geleistet werden. Der
bisherige Kenntnisstand von SON und LADEWIG soll erweitert und durch
experimentelle Untersuchungen validiert werden. Ziel ist die Ermittlung von
Erhöhungsfaktoren (Schwingbeiwerte) in Abhängigkeit der Schalenlänge L, des
Einleitung Seite 19
Schalenradius R, der Schalendicke t, der Sattelstellung a, der Sattelbreite b, des
Sattelwinkels 2ϕ und der Fußpunktbeschleunigung s&&∆ auf Grundlage eines
abgesicherten mechanischen Modells. Damit ist die dynamische Bemessung einfach
und kostengünstig möglich.
Nach einer Analyse der Fachliteratur, die in Kap. 1.2 vorgestellt wurde, werden im
Kap. 2 die mechanischen und numerischen Grundlagen zur Berechnung der
liegenden, sattelgelagerten Zylinderschale geschaffen. Ausgehend von der
allgemeinen Schalentheorie wird die Methode der finiten Elemente (FEM) vorgestellt.
Da die numerischen Ergebnisse empfindlich von der Wahl der Ansatzfunktionen
abhängen, werden verschiedene Schalenelemente und Kontaktelemente diskutiert.
Trotz der hohen Leistungsfähigkeit benötigt auch ein moderner Rechner zur
numerischen Lösung einer liegenden, flüssigkeitsgefüllten Zylinderschale auf
Sattellagern mehrere Stunden. Aufgrund der Vielzahl der geplanten Versuche ist es
erforderlich, die Rechenzeit zu optimieren. Zu diesem Zweck wird beim numerischen
Modell überprüft, ob Elemente mit geringerer Knotenzahl, die eine kürzere
Rechenzeit bedingen, ebenso gute Ergebnisse in Bezug auf die Schnittgrößen liefern
wie die üblichen 9-Knoten-Elemente.
Im Anschluss an die Belastungen, die auf die Zylinderschale wirken, wird die Lösung
durch Modale Analyse und das Newmark-Verfahren vorgestellt.
Die Verifizierung der numerischen Ergebnisse des FEM-Modells wird mittels
experimenteller Untersuchungen durchgeführt. Der experimentelle Versuchsaufbau
wird in Kap. 3 vorgestellt. Da für das eingesetzte Flächendruckmesssytem der Firma
Tekscan bisher keine systematische Fehleranalyse bekannt ist, wird diese im
Rahmen der vorliegenden Arbeit durchgeführt und die Ergebnisse der Validierung
des Foliendruckmesssystems in Kap. 4 zusammengefasst.
In Kap. 5 werden die experimentellen Ergebnisse beschrieben und mit den
numerischen Ergebnissen verglichen. Im Kap. 6 numerische Parameterstudien
durchgeführt, aus denen Ansätze zur Bemessung von liegenden, sattelgelagerten
Zylinderschalen abgeleitet werden. Die dynamische Belastung wird durch eine
erhöhte statische Last berücksichtigt. Dies bietet den Vorteil, dass eine Bemessung
Seite 20 Einleitung
von liegenden, sattelgelagerten Zylinderschalen in der Praxis basierend auf
statischen Berechnungsansätzen schnell und kostengünstig durchgeführt werden
kann.
Im Kap. 6.2 werden die Ergebnisse aus den durchgeführten Untersuchungen
diskutiert, abschließend werden die Ergebnisse im Kap. 7 zusammengefasst und ein
Ausblick auf weitere notwendige Untersuchungen für die liegende, sattelgelagerte
Zylinderschale gegeben.
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 21
2 Mechanische und numerische Grundlagen
2.1 Allgemeine Schalentheorie
Die analytische Berechnung von Schalentragwerken ist aufwendig und nur für
rotationssymmetrische Systeme durch vielfache Vereinfachungen möglich. Zum
besseren Verständnis soll zunächst ein Überblick über die Theorie der dünnen
Schalen nach [26] gegeben werden.
Eine Schale ist ein einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk. Betrachtet
man ein infinitesimales Volumenelement, das durch zwei senkrechte Schnitte aus
der Schale herausgeschnitten wurde, treten an dem Element die in Abbildung 3
dargestellten Schnittgrößen m, n, q auf. Die Schalenmittelfläche wird durch ein
kartesisches Koordinatensystem x, y, z beschrieben, wobei die Flächennormale in
z - Richtung zeigt.
qx
nx
nxymy
mxy
qy ny
nyx
myx
mx
zy
x
Abbildung 3 Schnittgrößen am Schalenelement
Seite 22 Mechanische und numerische Grundlagen
Die Oberflächen des Schalenelements sind spannungsfrei, d.h. σzz=τzx=τzy=0. Da die
Schalendicke t klein gegenüber den anderen Schalenabmessungen ist, können alle
Schnittflächen parallel zur Mittelfläche als spannungsfrei betrachtet werden. Die
übrigen Spannungen verändern sich mit dem Abstand zur Schalenmittelfläche. Aus
den Spannungen σ, τ werden durch Integration über die Fläche A die folgenden
Schnittgrößen ermittelt.
∫ ∫−
⋅
+⋅σ=⋅σ=
A
2t
2t y
xxx dzrz1dAn
∫ ∫−
⋅
+⋅σ=⋅σ=
A
2t
2t x
yyy dzrz1dAn
∫ ∫−
⋅
+⋅τ=⋅τ=
A
2t
2t y
xyxyxy dzrz1dAn
∫ ∫−
⋅
+⋅τ=⋅τ=
A
2t
2t x
yxyxyx dzrz1dAn
∫ ∫−
⋅
+⋅τ=⋅τ=
A
2t
2t y
xzxzx dzrz1dAq
∫ ∫−
⋅
+⋅τ=⋅τ=
A
2t
2t x
yzyzy dzrz1dAq
∫ ∫−
⋅
+⋅⋅σ=⋅⋅σ=
A
2t
2t y
xxx dzrz1zdAzm
∫ ∫−
⋅
+⋅⋅σ=⋅⋅σ=
A
2t
2t x
yyy dzrz1zdAzm
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 23
∫ ∫−
⋅
+⋅⋅τ=⋅⋅τ=
A
2t
2t y
xyxyxy dzrz1zdAzm
∫ ∫−
⋅
+⋅⋅τ=⋅⋅τ=
A
2t
2t x
yxyxyx dzrz1zdAzm
Gleichung 3
Bei Kreiszylinderschalen ist der Krümmungsradius konstant mit ry = a. Aufgrund der
Rotationssymmetrie bietet sich eine Substitution der kartesischen y-Koordinate durch
die Winkelkoordinate ϕ mit y = ϕ an. Damit vereinfachen sich die Schnittgrößen aus
Gleichung 3 zu:
∫−
⋅
+⋅σ=
2t
2t
xx dzaz1n
∫−
ϕϕ ⋅σ=2
t
2t
dzn
∫−
ϕϕ ⋅
+⋅τ=
2t
2t
xx dzaz1n
∫−
ϕϕ ⋅τ=2
t
2t
xx dzn
∫−
⋅⋅
+⋅σ=
2t
2t
xx dzzaz1m
∫−
⋅
+⋅τ=
2t
2t
xzx dzaz1q
Seite 24 Mechanische und numerische Grundlagen
∫−
ϕϕ ⋅τ=2
t
2t
z dzq
∫−
ϕϕ ⋅⋅σ=2
t
2t
dzzm
∫−
ϕϕ ⋅⋅
+⋅τ=
2t
2t
xx dzzaz1m
∫−
ϕϕ ⋅⋅τ=2
t
2t
xx dzzm
Gleichung 4
Der Spannungszustand wird über die Hooke’sche Spannungs-Dehnungs-Beziehung
berechnet. Sie gilt in guter Näherung, wenn die Verschiebungen klein gegenüber der
Schalendicke t sind und die Normalen zur Schalenmittelfläche im deformierten und
undeformierten Zustand übereinstimmen. Für den Spannungszustand lassen sich
folgende Gleichungen ableiten:
( )ϕε⋅ν+ε⋅ν−
=σ x2x 1E
( )x21E
ε⋅ν+ε⋅ν−
=σ ϕϕ
( ) ϕϕϕ γ⋅ν+⋅
=γ⋅=σ xxx 12EG
Gleichung 5
Für den Verzerrungszustand der Kreiszylinderschale gelten die Gleichungen:
zxw
xu
2
2
x ⋅∂∂
−∂∂
=ε
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 25
wza
1wza
zva1
2
2
⋅+
+ϕ∂
∂⋅
+−
ϕ∂∂
⋅=εϕ
++⋅
∂⋅ϕ∂∂
−∂∂
⋅+
+ϕ∂
∂⋅
+=γ ϕ za
zaz
xw
xv
azau
za1 2
x .
Gleichung 6
Hierin sind u, v, w die Verschiebungen der Schalenmittelfläche und z der Abstand
des betrachteten Punktes von der Schalenmittelfläche.
Zur Berechnung der Schnittgrößen werden die Gleichung 5 und die Gleichung 6 in
die Gleichung 4 eingesetzt und die Integration durchgeführt. Auf die detaillierte
Darstellung der Integration wird hier verzichtet.
Durch die Krümmung der Zylinderschale treten bei der Berechnung der Normal- und
Schubkräfte Zusatzglieder aus der Biegesteifigkeit auf, die bei dünnen Schalen klein
gegenüber den Gliedern aus der Dehnsteifigkeit sind und im weiteren vernachlässigt
werden. Ebenso kann der Einfluss der Durchbiegung sowie der Dehnung in x- und ϕ-
Richtung bei der Berechnung der Momente vernachlässigt werden. Sowohl die
Schubkräfte als auch die Drillmomente werden in erster Näherung gleichgesetzt
(nϕx = nxϕ , mϕx = mxϕ). Somit reduziert sich Gleichung 4 auf 8 unabhängige
Schnittgrößen. Führt man die Dehnsteifigkeit D und die Biegesteifigkeit K ein,
21tED
ν−⋅
=
Gleichung 7
( )2
3
112tEK
ν−⋅⋅
=
Gleichung 8
ergibt sich mit den oben aufgeführten Vereinfachungen das folgende
Differentialgleichungssystem.
Seite 26 Mechanische und numerische Grundlagen
∂∂
⋅⋅ν++ϕ∂
∂=ϕ x
uawvaDN
⋅ν+
ϕ∂∂
⋅ν+∂∂
⋅= wvxua
aDNx
( )
∂∂
⋅+ϕ∂
∂⋅
ν−== ϕϕ x
vaua2
1DNN xx
∂∂
⋅⋅ν+ϕ∂
∂=ϕ 2
22
2
2
2 xwaw
aKM
ϕ∂
∂⋅ν+
∂∂
⋅= 2
2
2
22
2xw
xwa
aKM
( )ϕ∂⋅∂
∂⋅⋅
ν−== ϕϕ x
waa1KMM
2
2Xx
Gleichung 9
Zur Berechnung der acht Schnittgrößen (Gleichung 4) und drei Verschiebungen
(u, v, w) stehen sechs Gleichgewichtsbedingungen (ΣFi=0 und ΣMi=0, i=x,ϕ,z)und 6
Verformungsbeziehungen (Gleichung 5 und Gleichung 6) zur Verfügung. Dies sind
zwölf Gleichungen für elf Unbekannte, so dass das Gleichungssystem überbestimmt
ist. Da die Schubkräfte gleichgesetzt wurden, muss die Summe der Momente um die
z-Achse vernachlässigt werden und den elf Unbekannten stehen elf Gleichungen
gegenüber.
Die oben gezeigte Herleitung für eine Kreiszylinderschale zeigt deutlich, dass eine
geschlossene, analytische Berechnung einer Zylinderschale nur möglich ist, wenn
aufgrund von Symmetrieeigenschaften zahlreiche Vereinfachungen getroffen werden
können.
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 27
2.2 Finite Elemente Methode
Bei komplexen Tragstrukturen, die aufgrund fehlender Symmetrieeigenschaften nicht
analytisch berechnet werden können, stehen verschiedene numerische
Näherungsverfahren zur Verfügung. Zu den bekanntesten gehört die Finite Elemente
Methode (FEM). Im Rahmen dieser Arbeit wird mit dem FEM-Programm „Marc“
gearbeitet.
Die Finite Elemente Methode beruht auf dem Gedanken, eine beliebig gestaltete
Struktur in einfach berandete, endlich große Elemente aufzuteilen. Für jedes dieser
Elemente werden Näherungsansätze formuliert, die die gesuchten Zustandsgrößen,
wie z.B. die Verschiebungen und die Spannungen, beschreiben. Die Elemente
werden an den Knotenpunkten miteinander verbunden.
Über das Prinzip der virtuellen Verrückung erhält man die Steifigkeitsmatrix K . Das
Prinzip besagt, dass die äußere virtuelle Arbeit δWA, die von der äußeren Belastung
F mit virtuellen Verschiebungen δdT verrichtet wird, gleich ist der inneren virtuellen
Arbeit δWi, die durch die Spannungen σ und die virtuellen Dehnungen δεT
beschrieben wird.
∫ ⋅δ=⋅σ⋅εδV
TT FddV
Gleichung 10
Der Verschiebungszustand u ergibt sich aus den Knotenverschiebungen und der aus
den gewählten Ansatzfunktionen berechneten Formfunktionsmatrix N. Es gilt:
dNu ⋅=
Gleichung 11
Die negative zweite Ableitung der Formfunktion Nführt zum Verzerrungszustand ε.
Es gilt:
dB ⋅=ε
Gleichung 12
Seite 28 Mechanische und numerische Grundlagen
Der Zusammenhang zwischen dem Verzerrungsvektor ε und dem Spannungsvektor
σ wird durch die Elastizitätsmatrix D hergestellt:
ε⋅=σ D .
Gleichung 13
Einsetzen von Gleichung 12 und Gleichung 13 in Gleichung 10 liefert:
∫ ⋅⋅⋅=⋅=V
T dVBDBKmitdKF
Gleichung 14
Dieses Integral verknüpft den Kraftvektor F und den Verschiebungsvektor d und ist
der allgemeine Lösungsansatz zur Bestimmung der Steifigkeitsmatrix K .
Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt stark von der Wahl der Knotenfreiheitsgrade
und den Ansatzfunktionen ab. Die weiteren Gleichungen ergeben sich aus
Materialgesetzen sowie mathematischen und physikalischen Beziehungen.
2.3 Schalenelement
Zur Berechnung von Schalen wurde eine Vielzahl von Elementen entwickelt, die sich
durch Knotenzahl, Ansatzfunktion und zugrundeliegendem mechanischem Modell
unterscheiden. Schalenelemente entstehen durch Überlagern von Scheiben- und
Plattenelementen. Zunächst soll auf die Eigenschaft der Elemente hinsichtlich der
Plattentragwirkung eingegangen werden. Da eine Vielzahl von Berechnungen
durchgeführt werden, werden Elemente mit geringer Knotenzahl bevorzugt.
Generell wird zwischen schubstarren und schubweichen Elementen unterschieden.
Die schubstarren Elemente erfüllen die Kirchhoff’sche Plattentheorie über das
gesamte Element, d.h. yx y)y,x(w,
x)y,x(w
ϕ=∂
∂ϕ=
∂∂ . Mit den 12 Randbedingungen
des Elements kann für die Durchbiegung w(x,y) ein nicht vollständiger quatrischer
Ansatz gewählt werden. Aus diesem Ansatz ergibt sich, dass ϕx kubisch in y und ϕy
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 29
kubisch in x verläuft. Die Durchbiegung des Elementrandes ist durch die
Knotenwerte von w und ϕn eindeutig bestimmt, wobei n die Richtung der Normalen
auf den Elementrand darstellt. Dies trifft für die Ableitung t
)y,x(w∂
∂ (t senkrecht zu n)
nicht zu. Zwischen den Elementrändern können Knicke auftreten, in den
Elementknoten jedoch nicht. Dieses Element ist nicht konform und wird im Rahmen
dieser Arbeit nicht weiter betrachtet.
Eine konformes Element stellt das 9-Knoten-Element nach der Theorie von Reissner-
Mindlin dar. Die Platte ist schubweich, d.h. Schubverformungen müssen explizit
betrachtet werden. Die Verteilung der Schubspannung wird als konstant über den
Querschnitt angenommen. Bei den Elementen nach der Reissner-Mindlin‘schen
Theorie sind die Knotenfreiheitsgrade wi, θxi und θy
i unabhängig voneinander und für
Durchbiegung und die Verdrehungen der Platte werden eigene Ansatzfunktionen
zugrunde gelegt. Zur Berechnung der Steifigkeitsmatrix wird das Potential des
Elements betrachtet:
[ ] ∫∫ ∫∫ ∫ =⋅⋅−⋅⋅
ττ
⋅γγ+⋅⋅
τσσ
⋅γεε=π−− Azx
yz
A
2h
2h
zxyzA
2h
2h
xy
yy
xx
xyyyxx 0dApwdAdz2kdAdz][
21
.
Gleichung 15
Der Faktor k korrigiert die Schubenergie, die durch die Annahme einer konstanten
Schubspannungsverteilung bei der Integration nicht korrekt berechnet wird. Die
Spannungen lassen sich über das Hooke’sche Gesetz aus den Verzerrungen
berechnen. Da sowohl Biege- als auch Schubspannungen berücksichtigt werden,
beschreibt das Verhältnis EI
GA das Tragverhalten des Elements. Für dünne Schalen
geht die Dicke h → 0, das Verhältnis EI
GA → ∞. Je dünner das Element ist, desto
geringer ist der Anteil der Schubsteifigkeit an der Gesamtsteifigkeit des Elements.
Durch die numerische Integration wird die Schubsteifigkeit bei dünnen Schalen unter
Ansatz der Theorie nach Reissner-Mindlin jedoch überschätzt, es kommt zur
sogenannten Schubsperre. Die Schubsperre kann durch eine reduzierte Integration
Seite 30 Mechanische und numerische Grundlagen
verhindert werden, die sich in der Praxis bewährt hat. Einzig das Auftreten von Null-
Energie-Modi kann problematisch sein, dies ist aber insofern ungefährlich, als dass
beim Auftreten solcher Null-Energie-Modi die berechneten Ergebnisse offensichtlich
falsch sind und entsprechend identifiziert werden können.
Neben dem 9-Knotenelement nach der Theorie von Reissner-Mindlin hat sich ein
4-Knotenelement bewährt. Dieses Element erfüllt die Kirchoff’sche Theorie nicht über
das gesamte Element sondern nur in diskreten Punkten. Ähnlich wie beim Element
nach der Reissner-Mindlin’schen Theorie werden zunächst für die Durchbiegungen
und Verdrehungen des Elementes unabhängige Ansatzfunktionen gewählt, diese
werden später an diskreten Punkten miteinander verknüpft. Das Diskrete
Kirchhoff’sche Element (DKT) wurde speziell für die Berechnung dünner Platten und
Schalen entwickelt. In der gängigen Literatur wird auf eine rechnerische Herleitung
des 4-Knoten-DKT-Elementes verzichtet. Weder die Ansatzfunktionen noch die
Formfunktionen für dieses Element sind hier zu finden.
Das FEM-Programm „Marc“ bietet ein bilineares 4-Knoten-Schalenelement zur
Berechnung dünner Schalen. Die Knoten haben je 6 Freiheitsgrade im globalen x-y-z
Koordinatensystem. Das Element basiert auf der diskreten Kirchhoff’schen Theorie.
Dieses Element soll sowohl für die Translationen als auch die Rotationen einen
bilinearen Ansatz zugrunde gelegt haben. Unter der Voraussetzung des linearen
Ansatzes der Rotationen könnte der Momentenverlauf nur konstant dargestellt
werden. Dies ist an einem einfachen Beispiel zu kontrollieren und in der Tat kann das
vom Programm „Marc“ verwendete Element den Momentenverlauf linear darstellen,
was darauf schließen lässt, dass der Ansatz für die Verdrehungen nicht wie
angegeben bilinear sondern quadratisch ist.
Da keine geeignete Literatur existiert, werden die Beziehungen für das 4-Knoten-
DKT-Element hergeleitet. Die Knoten des zu untersuchenden Elementes liegen in
einem globalen x-y-z-Koordinatensystem. Die Ränder des Elements sind Geraden.
Über die Jacobi-Matrix wird ein r-s-Koordinatensystem erzeugt, in dem die
Knotenpunkte die Koordinaten (1|1),(-1|1),(-1|-1) und (1|-1) haben.
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 31
y
xlx
ly
s
r
Koordinaten-transformation
(x4,y4)
(x2,y2)(x1,y1)
(x3,y3) (1,1)
(-1,-1)
(1,-1)
(1,-1)
Abbildung 4 Koordinatentransformation des DKT- Elements
Hieraus ergeben sich folgende Beziehungen zur Koordinatentransformation:
⋅
=
yx
l20
0l2
sr
y
x
⋅
=
dydx
l20
0l2
dsdr
y
x
Gleichung 16
Zur Herleitung des 4-Knoten-DKT-Elements werden zunächst in den Randmitten
zusätzliche Knoten eingeführt, die im weiteren durch die Kirchhoff’sche Theorie
wieder eliminiert werden.
2 5
6 8
3 47
1
r
s
Abbildung 5 8-Knoten-Schalenelement zur Formulierung des diskreten Kirchhoff’schen
Plattenelement
Die Querschnittsverdrehungen werden durch einen nicht vollständigen kubischen
Ansatz beschrieben. Für die Ansatzfunktionen βr und βs gilt:
Seite 32 Mechanische und numerische Grundlagen
βr(r,s) = c1 + c2 r + c3 s + c4 rs + c5 r2 +c6 s2 + c7 r²s + c8rs²
βs(r,s) = c9 + c10 r + c11 s + c12 rs + c13 r2 +c14 s2 + c15 r²s + c16rs²
Gleichung 17
Zur Lösung der oben genannten Ansatzfunktionen werden neben den
Freiheitsgraden in den Knoten des Elements zusätzliche Freiheitsgrade θri und θs
i in
den Randmitten des Elements eingeführt. Es entsteht ein 8-Knoten-Element, für das
aus den angenommenen Ansatzfunktionen die Formfunktionsmatrix N berechnet
wird.
)rssrsrrs1(41N 2222
1i +++++−=θ
)rssrsrrs1(41N 2222
2i ++++−−=θ
)rssrsrrs1(41N 2222
3i −−+++−=θ
)rssrsrrs1(41N 2222
4i +−++−−=θ
)srrs1(21N 22
5i −−+=θ
)rssr1(21N 22
6i +−−=θ
)srrs1(21N 22
7i +−−=θ
)rssr1(21N 22
8i −−+=θ
Gleichung 18
Die Durchbiegung w der Ränder wird als kubisch angenommen, was mit dem
quadratischen Ansatz der Verdrehungen korrespondiert. Somit kann, die Gültigkeit
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 33
der Kirchhoff’schen Theorie in den 3 Punkten entlang der Ränder unterstellt, die
Verdrehung des Querschnitts in Randmitte um die Normale auf den Rand durch die
Durchbiegungen und die Verdrehungen der Eckknotenpunkte ausgedrückt werden.
Die Verdrehung des Querschnitts um die Randrichtung wird linear über den Rand
angenommen. Hieraus ergeben sich folgende Beziehungen:
2
3s
2s6
sθ+θ
=θ
2
4s
1s8
sθ+θ
=θ
2
2r
1r5
rθ+θ
=θ
2
4r
3r7
rθ+θ
=θ
)(41)ww(
43)0,1(
sw 3
r2r32
6r θ+θ+−=θ=−
∂∂
)(41)ww(
43)0,1(
sw 1
r4r41
8r θ+θ+−=θ=
∂∂
)(41)ww(
43)1,0(
rw 2
s1s12
5s θ+θ−−=θ=
∂∂
)(41)ww(
43)1,0(
rw 4
s3s43
7s θ+θ+−=θ=−
∂∂ .
Gleichung 19
Somit können die zur Bildung der Formfunktionsmatrix N (Gleichung 18) zusätzlich
angesetzten Knotenfreiheitsgrade in den Randmitten des Elements aus den
Gleichungen für die Verdrehungen eliminiert werden.
Für die Translationen u, v in der Ebene des Schalenelementes wird ein bilinearer
Verschiebungsansatz formuliert.
Seite 34 Mechanische und numerische Grundlagen
rscscrcc)s,r(u 20191817 +++=
rscscrcc)s,r(v 24232221 +++=
Gleichung 20
Die Formfunktionen für die Translationen u und v können direkt aus der Anschauung
angegeben werden.
)s1)(r1(41N u,v
1 ++=
)s1)(r1(41N u,v
2 +−=
)s1)(r1(41N u,v
3 −−=
)s1)(r1(41N u,v
4 −+=
Gleichung 21
Die Steifigkeit des Elements gegenüber den Translationen u und v kann mittels
Gleichung 14 berechnet werden. Bei der Plattensteifigkeit wird im Gegensatz zu den
9-Knoten-Elementen nach der Reissner-Mindlin-Theorie der Anteil der
Schubverzerrung am Gesamtpotential des Elements vernachlässigt. Für die
Plattensteifigkeit des 4-Knoten-DKT-Elements gilt:
∫ ∫ ⋅⋅κ⋅⋅κ=s r
bT
BdsdrDK ,
wobei
∂β∂
+∂β∂
∂β∂∂β∂
=κ
rs
s
r
sr
s
r
und
ν−ν
ν
ν−⋅
=
2100
0101
1(12hED )2
3
b .
Gleichung 22
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 35
Die Berechnung für das Element aus Abbildung 4 wurde mit dem Programm „Maple“
durchgeführt. Das Ergebnis ist in Kap. 9.3.1 dargestellt.
Bei der dynamischen Betrachtung des Systems muss neben den statischen Größen
auch der Einfluss der wirkenden Massen- und Dämpfungskräfte berücksichtigt
werden. Daher muss neben der Steifigkeitsmatrix K zusätzlich eine Massenmatrix
M und eine Dämpfungsmatrix C erstellt werden.
Die Massenmatrix M kann aus der Formfunktionsmatrix N wie folgt berechnet
werden:
drdsNNMT
r s
⋅⋅⋅⋅ρ= ∫ ∫
Gleichung 23
Die Berechnung der Massenmatrix M wurde mit dem Programm „Maple“
durchgeführt. Das Ergebnis in Kap. 9.3.2 dargestellt.
Weiterhin muss bei der dynamischen Betrachtung eines Systems auch die
Dämpfung des Systems berücksichtigt werden. Ein in der Methode der Finiten
Elemente übliches Verfahren ist die Berücksichtigung der Dämpfung nach
RAYLEIGH. Dieses Verfahren geht davon aus, dass die Dämpfung abhängig ist von
der Massenmatrix M und der Steifigkeitsmatrix K des Systems. Die
Dämpfungsmatrix kann dann berechnet werden zu:
∑
π∆
γ+β+α= KtMC iii
Gleichung 24
Hierbei werden die Faktoren αi und βi aus zwei aufeinanderfolgenden
Schwingungsamplituden in Versuchen ermittelt. Der Faktor γi dient zur Elimination
von hochfrequentem Flattern im System. Auf die Größe der Faktoren und deren
Ermittlung wird in Kapitel 3 genauer eingegangen.
Seite 36 Mechanische und numerische Grundlagen
Das Programm „Marc“ bietet mit dem Element 139 ein 4-Knoten-Element an, das auf
der diskreten Kirchhoff’schen Theorie beruht. Das Element soll nach der
Dokumentation sowohl für die Translationen als auch die Rotationen einen bilinearen
Verschiebungsansatz haben. Eigene Vergleichsrechnungen haben gezeigt, dass
dies nicht der Fall ist, für die Verdrehungen und die Durchbiegungen wird der oben
beschriebene Ansatz verwendet, lediglich für die Translationen u,v liegt ein bilinearer
Ansatz zugrunde. Zur Lösung des sich ergebenden Gleichungssystems stehen
verschiedene Verfahren zur Verfügung, die später erläutert werden sollen.
Anhand der bisher angegebenen Beziehungen (Gleichung 16 bis Gleichung 23)
können nach Einführung von einer ausreichenden Zahl von Randbedingungen die
noch unbekannten Knotenfreiheitsgrade am Gesamtsystem ermittelt werden. Zur
Beurteilung der Beanspruchung des Elements müssen aus den Formfunktionen die
Schnittgrößen- bzw. Spannungsverläufe im Element interpoliert werden. Da es sich
hierbei um in der gängigen Literatur wie z.B. [04] und [70] ausreichend behandelte
Beziehungen handelt, wird auf eine Darstellung verzichtet.
2.4 Kontaktelement
Die Art der Lagerung einer Zylinderschale auf den Sätteln ist für die Beanspruchung
der Schale von entscheidender Bedeutung. Bei verschweißten Sätteln können neben
radialen Druckkräften auch Zug- und tangentiale Scherkräfte aus der Schale in den
Sattel übertragen werden. Bei einer losen Lagerung der Zylinderschale auf den
Sätteln werden keine radialen Zugkräfte übertragen, Scherkräfte können in geringem
Maße durch Reibung in den Sattel eingebracht werden.
In der vorliegenden Arbeit wird die lose Auflagerung der Zylinderschale auf den
Sattellagern untersucht. Daher darf das Kontaktelement keine radialen Zugkräfte
übertragen und muss die Lastumlagerung beim lokalen Abheben der Schale vom
Sattel abbilden können. Weiterhin sollen Zwischenlagen unterschiedlicher Steifigkeit
zwischen Zylinderschale und Sattel untersucht werden, die lastverteilende Wirkung
dieser Zwischenschicht muss ebenfalls abgebildet werden.
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 37
Sattel und Zylinderschale werden über 2-Knoten-Fachwerkstäbe verbunden, denen
hyperelastisches Materialverhalten zugewiesen wird. Für Zerrungen wird der
Elastizitätsmodul zu Null gesetzt, bei Stauchungen variiert er je nach Zwischenlage.
Zur Übersichtlichkeit bei der Generierung werden die Fachwerkstäbe nicht direkt mit
der Zylinderschale und dem Sattel verbunden, sondern es werden
Verbindungselemente („Links“) zwischengeschaltet, die auf die Berechnung keinen
Einfluss haben.
2.5 Flüssigkeitsdruck
Neben dem Eigengewicht der Zylinderschale stellt der Flüssigkeitsdruck die zweite
Belastung dar, die Spannungen in der Schale hervorruft. Weitere Belastungen, wie
Explosionsschock, Wärmeschock oder Stoß sind durchaus realistisch, werden im
Rahmen dieser Arbeit aber nicht berücksichtigt.
Das Eigengewicht der Zylinderschale wird in der Massenmatrix M des Systems
berücksichtigt. Der Flüssigkeitsdruck ist bei statischen Belastungen linear abhängig
von der Höhe und kann als äußere Belastung auf die Schale angesetzt werden. Dies
ist bei der dynamischen Belastung so nicht möglich.
Nach [22] kann das System ab einem Füllgrad von 80% als vollgefüllt angesehen
und die Zylinderschale mit Flüssigkeit zusammen als Ein-Massen-Schwinger
berechnet werden. Die Variation des Füllgrads (Kap. 5.3.1) hat gezeigt, dass die
Vollfüllung des Versuchsbehälters für die Bemessung maßgebend ist.
Aus der Fußpunkterregung des Versuchsmodells kann die Beschleunigung s&&∆ durch
zweimaliges Differenzieren des Weges s(t) ermittelt.
)t2sin(s)t(s max Ωπ⋅=
)t2sin(s4)t(s 22max Ωπ⋅π⋅Ω⋅⋅−=∆ &&
Gleichung 25
Seite 38 Mechanische und numerische Grundlagen
Mit der resultierenden Beschleunigung )t(sg)t(s &&&& ∆+= wird der auf die Zylinderschale
wirkende Flüssigkeitsdruck für jedes zeitliche Inkrement berechnet.
Diese Vorgehen zur Flüssigkeitssimulation steht in Übereinstimmung mit [43].
2.6 Numerische Lösungsverfahren
2.6.1 Modale Analyse
Bei der modalen Analyse müssen zunächst die Eigenfrequenzen des ungedämpften
Systems, also die Lösung der homogenen Bewegungsgleichung
0uKuM =⋅+⋅••
Gleichung 26
bekannt sein. Den Eigenfrequenzen ωj ist jeweils eine Eigenform aj zugeordnet.
Diese Eigenvektoren sollten normiert und zu einer Modalmatrix A zusammengefasst
werden. Die anschließende Koordinatentransformation lautet:
η⋅= Au
Gleichung 27
Setzt man nun Gleichung 27 in die allgemeine Bewegungsgleichung der
Gesamtstruktur
fuKuCuM =⋅+⋅+⋅•••
Gleichung 28
ein und multipliziert mit TA ergibt sich
FKCM =η⋅+η⋅+η⋅•••
Gleichung 29
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 39
Durch die Transformation sind die Massenmatrix M und die Steifigkeitsmatrix K
Diagonalmatrizen, die Dämpfungsmatrix C jedoch nicht. Diese wird, wie in Kap. 2.3
beschrieben, nach RAYLEIGH in Abhängigkeit der Massenmatrix M und der
Steifigkeitsmatrix K ausgedrückt durch:
KMC ⋅β+⋅α=
Gleichung 30
Die Parameter α und β werden z.B. experimentell in Abklingversuchen bestimmt.
Damit besteht Gleichung 28 bzw. Gleichung 29 aus n entkoppelten
Differentialgleichungen, die der Bewegungsgleichung eines Ein-Massen-Schwingers
entsprechen.
Division von Gleichung 29 durch j
M liefert
st,j2jj
2jjjj
2 η⋅ω=η⋅ω+η⋅ω⋅ζ⋅+η•••
,
Gleichung 31
wobei j
j2j M
K=ω ,
j
jst,j K
F=η und j
j
j 2M
Cω⋅ζ⋅= .
Nun sind alle Lösungen von Gleichung 31 zu berechnen und dann die
Rücktransformation gemäß Gleichung 27 nach durchzuführen.
2.6.2 Newmark-Verfahren
Das Newmark-Verfahren unterteilt den Beschleunigungsverlauf in Zeitschritte ∆t,
wobei die Gesamtzeit als ti+1=ti+∆t betrachtet wird. Der Beschleunigungsverlauf im
Zeitschritt ∆t wird zwischen dem Anfangswert )t(u i
••
und dem Endwert )t(u 1i+
••
angenähert. Für die Geschwindigkeit )t(u 1i+
•
zum Zeitpunkt ti+1 gilt:
Seite 40 Mechanische und numerische Grundlagen
( ) t)t(u)t(u1)t(u)t(u 1iii1i ∆⋅
⋅δ+⋅δ−+= +
•••••
+
•
.
Gleichung 32
Die Verschiebung )t(u 1i+ zum Zeitpunkt ti+1 läßt sich berechnen zu:
21iiii1i t)t(u)t(u
21t)t(u)t(u)t(u ∆⋅
⋅β+⋅
β−+∆⋅+= +
•••••
+
Gleichung 33
Die Faktoren β und δ sind so zu wählen, dass eine gute Integrationsgenauigkeit und
–stabilität erzielt wird. Newmark schlägt für ein stabiles System die Methode der
mittleren Beschleunigung mit β = 0,25 und δ = 0,5 vor. Mit dem Zeitschritt ∆t und den
Parametern β und δ werden die folgenden Integrationskonstanten festgelegt:
20 t1a∆⋅β
= ; t
a1 ∆⋅βδ
= ; t
1a2 ∆⋅β= ; 1
21a3 −β
= ; 1a4 −βδ
=
−
βδ∆
= 22ta5 ; ( )δ−∆= 1ta6 ; ta7 ∆⋅δ= .
Gleichung 34
Mit diesen Konstanten wird aus der Massenmatrix M , der Dämpfungsmatrix C und
der Steifigkeitsmatrix K die effektive Steifigkeitsmatrix eff
K berechnet werden.
CaMaKK 10eff⋅+⋅+=
Gleichung 35
Dabei wird die Dämpfungsmatrix C durch Gleichung 24 ersetzt.
Die effektiven Lasten )t(F 1ieff + zum Zeitpunkt ti+1 werden wie folgt berechnet:
Mechanische und numerische Grundlagen Seite 41
C))t(ua)t(ua)t(ua(M))t(ua)t(ua)t(ua()t(F)t(F i5i4i1i3i2i01i1ieff ⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=••••••
++
Gleichung 36
Die Verschiebungen )t(u 1i+ zum Zeitpunkt ti+1 können dann mittels der effektiven
Steifigkeitsmatrix eff
K und der effektiven Last effF ermittelt werden.
eff1ieffF)t(uK =⋅ +
Gleichung 37
Mit Gleichung 33 lässt sich der Beschleunigungszustand zum Zeitpunkt ti+1
bestimmen. Einsetzen in Gleichung 32 liefert den Geschwindigkeitszustand )t(u 1i+
•
.
Experimenteller Versuchsaufbau Seite 43
3 Experimenteller Versuchsaufbau
3.1 Versuchsbehälter und Sättel
Der gesamte Versuchsaufbau besteht aus einem Versuchsbehälter, einem Rahmen
zur Lagerung des Versuchsbehälters und einer Unwuchtmaschine zur Erzeugung
einer vertikal schwingenden Belastung.
Abbildung 6 Versuchsaufbau mit Zylinderschale, Sattel Typ B1 (starr, 120°), federnd gelagertem
Rahmen und Unwuchtmaschine
Ziel der experimentellen Untersuchung war, die Auflagerpressungsverteilung
zwischen Zylinderschale und Sättel des Versuchsbehälters und den
Verzerrungszustand der Zylinderschale unter oben genannter Belastung zu
bestimmen, um das numerische Modell der liegenden, sattelgelagerten
Zylinderschale zu verifizieren.
Die experimentellen Untersuchungen wurden mit einem liegenden Versuchsbehälter
durchgeführt, dessen Abmessungen mit dem Versuchsbehälter von CHOUIHI
übereinstimmen. Hierdurch ist eine Überprüfung der Versuchsergebnisse beim
Füllen des Behälters und unter statischer Belastung möglich.
Seite 44 Experimenteller Versuchsaufbau
Der Versuchsbehälter besteht aus einer liegenden Zylinderschale mit einem
Außendurchmesser 2r von 800 mm, einer Länge L von 2500 mm. und einer Dicke tz
von 2 mm sowie aus zwei Klöpperböden nach DIN 28012 mit einem
Außendurchmesser 2r von 800 mm und einer Dicke tb von 4 mm. Die Schweißnähte
der Zylinderschale werden so angeordnet, dass sie um 90° gegenüber dem tiefsten
Punkt der Schale gedreht sind.
tb=4,0 mmr =
400,0 mm
a aL=2500,0 mm
tz=2,0 mm
r=400,0 mm
2ϕ
Abbildung 7 Abmessungen des Versuchsmodells
Die Installationsvorrichtungen zum Füllen und Entleeren des Versuchsbehälters
werden auf der der Messtechnik abgewandten Seite angeordnet. Um thermische
Spannungen im Behälter zu vermeiden, wird der Behälter über einen
Durchlauferhitzer mit selbstregelnder Armatur mit Wasser gefüllt, das auf
Raumtemperatur erwärmt wird. Beim Füllvorgang wird die Temperatur des Behälters
zusätzlich durch zwei Temperaturfühler PT 100 überwacht.
Die Auflagerung des Behälters wird durch vier verschiedene Sättel aus Beton und
Stahl umgesetzt. Die Auflagerbreite der Sättel beträgt jeweils 84mm, während die
Auflagerlänge und damit auch der Sattelwinkel variiert werden. Bei den starren
Betonsätteln variiert der Sattelwinkel 2 ϕ zwischen 120°(B1), 90°(B2) und 80°(B3).
Der flexible Stahlsattel weist einen Sattelwinkel 2 ϕ von 120°(S1) auf.
Experimenteller Versuchsaufbau Seite 45
B1:120°
84 mmB2:
90°84 mm
B3:80°
84 mm120°
84 mmS1:
Abbildung 8 Sattelauflager mit verschiedenen Umschließungswinkeln und Steifigkeiten
3.2 Lagerung und dynamische Erregung
Die Lagerung des sattelgelagerten Versuchsbehälters erfolgt auf einem Rahmen aus
HEB - Trägern. Der Rahmen ist so bemessen, dass seine Eigenfrequenz und seine
Durchbiegung gegenüber dem gesamten Versuchsaufbau vernachlässigt werden
können.
Abbildung 9 Federnd gelagerter Rahmen aus HEB-Trägern
Der Rahmen ist über Federn mit dem Untergrund so verbunden, dass nur vertikale
Schwingungen des Versuchsmodells möglich sind. Abhängig vom Füllgrad des
Versuchbehälters und der Erregerfrequenz wird der Rahmen auf vier oder sechs
Seite 46 Experimenteller Versuchsaufbau
Federn gelagert, um die Schwingungsamplitude zu begrenzen. Die Federsteifigkeit
der eingesetzten Federn liegt unter statischer Belastung bei 770 N/mm.
Abbildung 10 Federn und Auflagerführung zur Lagerung des Rahmens aus HEB-Trägern
Die schwingende Belastung wird durch eine Unwuchtmaschine, bei der die
Erregerfrequenz und die Unwuchtmassen einstellbar sind, auf den Rahmen des
Versuchsaufbaus aufgebracht. Die Erregerfrequenz kann zwischen 2 Hz und 11,8 Hz
variiert werden, so dass der für das Bauwesen interessante Frequenzbereich
abgedeckt wird. Die Erregerkräfte können über die variablen Unwuchtmassen
verändert werden. Dabei werden die Unwuchtmassen in Abhängigkeit der
Erregerfrequenz so gewählt, dass sich eine Laststeigerung gegenüber dem
statischen Gewicht zwischen 40% und 50% ergibt.
Abbildung 11 Unwuchtmaschine zur Erzeugung gleichförmiger Schwingungen unterschiedlicher
Frequenzen
Experimenteller Versuchsaufbau Seite 47
3.3 Vorversuche
Die experimentellen Untersuchungen werden in Vor- und Hauptversuche gegliedert.
Ziel der Vorversuche ist es, geeignete Parameter, wie z.B. die Dämpfung, zu
ermitteln um den Bewegungszustand des Versuchsbehälters für die Hauptversuche
berechnen zu können.
Die Vorversuche zeigen, dass die Eigenschwingung des Versuchsbehälters
gegenüber der Schwingung des gesamten Versuchsaufbaus vernachlässigbar ist
und der gesamte Versuchsaufbau als Ein-Massen-Schwinger berechnet werden
kann. Nach MESKOURIS [47] lässt sich die zu erwartende Auslenkung nach
Gleichung 38 ermitteln.
)²D2(²)²1(1
CFX max
maxβ⋅⋅+β−
⋅= , mit m
cf2π
=ωΩ
=β
Gleichung 38
Dämpfungsanteile, die aus Haft- oder Luftreibung entstehen, können gegenüber der
viskosen Dämpfung in den Auflagerkolben vernachlässigt werden, und die Dämpfung
kann als geschwindigkeitsproportional angesetzt werden. Für das Lehr’sche
Dämpfungsmaß D gilt der folgende Zusammenhang.
)D1(2D
uuln
22
1
−
π⋅= ,
Gleichung 39
Die beiden Größen u1 und u2 entsprechen zwei aufeinanderfolgenden Amplituden
während des Abklingens, die in den Vorversuchen ermittelt werden. Abbildung 12
zeigt die Schwingungsamplitude in Abhängigkeit von der Versuchsdauer für eine
Erregerfrequenz von 5,5 Hz. In dem gezeigten Beispiel wurde die Unwuchtmaschine
nach 21,8 s ausgeschaltet.
Seite 48 Experimenteller Versuchsaufbau
Ausschwingen des Behälters f=5,5 Hz
-1,5
-1,3
-1,1
-0,9
-0,7
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
21 21,2 21,4 21,6 21,8 22 22,2 22,4 22,6 22,8 23 23,2 23,4Versuchsdauer [s]
Weg
[mm
] Weg1Weg2Weg3Weg4Weg5
Abbildung 12 Schwingungsamplituden beim Ausschwingvorgang bei einer Erregerfrequenz von f=5,5
Hz
Für schwach gedämpfte Systeme gilt die Vereinfachung 1)D1( 2 ≈− , die für den
Versuchsaufbau in guter Näherung gilt. Damit ergibt sich für das Lehr’sche
Dämpfungsmaß D die Gleichung:
π
≈2uuln
D 2
1
.
Gleichung 40
Die Vorversuche zeigen außerdem, dass die Federsteifigkeiten der eingesetzten
Federn aufgrund von Fertigungstoleranzen so stark voneinander abweichen, dass
bei mittiger Stellung der Unwuchtmaschine keine gleichmäßige Schwingung
angeregt werden kann. Da eine gleichmäßige Schwingung für die Belastung des
Versuchsbehälters aber von entscheidender Bedeutung ist, wird die
Unwuchtmaschine in horizontaler Richtung so verschoben, dass eine in guter
Näherung gleichmäßige Schwingung in vertikaler Richtung angeregt wird.
Die Vorversuche zeigen, dass die Schwingungsamplituden der Federn von den zu
erwartenden Schwingungsamplituden nach Gleichung 38 sowohl nach unten als
Experimenteller Versuchsaufbau Seite 49
auch nach oben abweichen. Es ist davon auszugehen, dass sich die Federn nicht
linear verhalten.
Die Federsteifigkeiten und das Lehr’sche Dämpfungsmaß werden in mehreren
Versuchsreihen und mittels Gleichung 40 und Gleichung 38 bestimmt. Dazu wird der
Versuchsaufbau mit verschiedenen Erregerfrequenzen und Füllgraden des
Versuchsbehälters angeregt und der Ausschwingvorgang bzw. das Abklingverhalten
nach dem Abschalten der Erregung beobachtet.
Die Ergebnisse der Vorversuche sind in Tabelle 1 und Tabelle 2 zusammengefasst,
die Federsteifigkeit und das Lehr’sche Dämpfungsmaß sind in Abhängigkeit von der
Erregerfrequenz f [5-9 Hz] und dem Füllgrad des Versuchsbehälters [0%, 25%, 50%,
75%, 100%] angegeben. Dabei gilt Tabelle 1 für den Versuchsaufbau, der auf vier
Federn gelagert ist, und Tabelle 2 für den Versuchsaufbau mit sechs Federn.
f [Hz]Füllgrad
694 N/mm 694 N/mm 691 N/mm3,0% 3,0% 2,6%
726 N/mm 726 N/mm3,0% 2,3%
742 N/mm 742 N/mm3,0% 2,5%
805 N/mm3,0%
694 N/mm3,0% -
- -
-
100% - - -
75% - - - -
50% - - -
9
0%
25% - -
5 6 7 8
Tabelle 1 Korrelation zwischen der Federsteifigkeit/Dämpfungsmaß und der
Erregerfrequenz/Füllgrad bei Versuchsaufbau mit 4 Federn
f [Hz]Füllgrad
652 N/mm 652 N/mm 652 N/mm 652 N/mm 652 N/mm3,0% 3,0% 3,0% 3,6% 3,0%
708 N/mm 715 N/mm 712 N/mm3,2% 5,1% 3,0%
721 N/mm 758 N/mm4,1% 2,8%
805 N/mm 805 N/mm2,3% 3,0%
694 N/mm3,2%
-
-
- -
-
-
-
-
6 7 8 9
100%
5
-
-
-
-
0%
25%
50%
75%
Tabelle 2 Korrelation zwischen der Federsteifigkeit/Dämpfungmaß und der
Erregerfrequenz/Füllgrad bei Versuchsaufbau mit 6 Federn
Seite 50 Experimenteller Versuchsaufbau
Die Vorversuche zeigen, dass die Federsteifigkeit mit steigendem Füllgrad, d.h. mit
steigender Auslastung des Versuchsbehälters zunächst ansteigt und bei Vollfüllung
des Behälters wieder abfällt. Die maximale Erregerkraft ist bei Vollfüllung des
Versuchsbehälters geringfügig größer als die zulässige dynamische Belastung, die
der Hersteller der Federn angibt, so dass der Abfall der Federsteifigkeit bei
Vollfüllung des Behälters durch eine Überlastung der Federn zu erklären ist. Eine
Abhängigkeit der Federsteifigkeit von der Erregerfrequenz ist nicht festzustellen.
Die aus den Vorversuchsergebnissen ermittelten Lehr’schen Dämpfungsmaße D
liegen alle zwischen 2% und 5%. Eine Abhängigkeit des Dämpfungsmaßes D von
der Erregerfrequenz oder vom Füllgrad des Versuchsbehälters ist nicht zu erkennen
Messtechnik Seite 51
4 Messtechnik
4.1 Anordnung der Messtechnik am Versuchsaufbau
Ziel der experimentellen Untersuchungen ist es, das in Kapitel 2 beschriebene
numerische Modell zu validieren. Hierzu werden der Verzerrungs- und
Verformungszustand der liegenden Zylinderschalen und die
Auflagerpressungsverteilung zwischen Sattel und Zylinderschale gemessen. Die für
die experimentellen Untersuchungen notwendige Messtechnik wird in diesem Kapitel
vorgestellt.
Die Anordnung der Messtechnik am Versuchsaufbau, der in Kapitel 3 vorgestellt
wurde, ist in Abbildung 13 dargestellt.
1
3
5
6
78
9
7
6
7
8
12
1,1
1,2 2,44
6
r=400 mm
2
12345
915
522
DMS LY 11-6 / 120 (0°)DMS LY 11-6 / 120 (0°)DMS LY 11-6 / 120 (0°)DMS RY 11-3 / 120 (0°/45°/90°)DMS RY 11-6 / 120 (0°/45°/90°)
6789
3532
DMS RY 11-10 / 120 (0°/45°/90°)Wegaufnehmer WTK 20Beschleunigungsaufnehmer ACF A25Wegaufnehmer WA 10
Abbildung 13 Anordnung der Messtechnik am Versuchsaufbau
Zur Messung des Verzerrungszustands der Zylinderschale werden
Dehnungsmessstreifen (DMS) ( bis in Abbildung 13) der Fa. Hottinger Baldwin
Seite 52 Messtechnik
Messtechnik (HBM) verwendet. Die Gitterlänge variiert zwischen 3, 6 und 10 mm,
abhängig von den zu erwartenden Spannungsspitzen. Messprinzip und
Fehlereinflüsse der DMS sind in HOFFMANN [32] eingehend beschrieben.
Die vertikale Bewegung des Versuchsaufbaus und die Verformungen der
Zylinderschale werden über induktive Wegaufnehmer aufgezeichnet. Insgesamt
werden 7 Wegaufnehmer an verschiedenen Messorten ( und ) im
Versuchsaufbau eingesetzt. Vier Wegaufnehmer werden auf dem Auflagerrahmen
( ), ein Wegaufnehmer am höchsten Punkt der Zylinderschale in Feldmitte ( ) und
zwei weitere Wegaufnehmer zur Messung seitlicher Verformungen der
Zylinderschale im Bereich der Sättel horizontal ( ) angeordnet. Die
Beschleunigungen und Geschwindigkeiten des Versuchsaufbaus können durch
Differenzieren aus den gemessenen Wegen ermittelt werden.
Die zwischen Sattel und Zylinderschale auftretenden Auflagerpressungen werden mit
einem speziellen Foliendruck-Messsystem erfasst, das von der Firma Tekscan,
Boston (USA) entwickelt wurde. Am Versuchsaufbau werden zwei Tekscan-
Messsensoren am Sattellager zwischen Zylinderschale und Sattel angeordnet.
4.2 Tekscan Foliendruck-Messsystem
Das Tekscan Foliendruck-Messsystem hat sich in Forschung und Produktion zur
Messung von Flächenpressungen etabliert. Die unterschiedlichen
Einsatzmöglichkeiten werden in [13], [14], [25], [28], [36], [48], [49], [59] ausführlich
diskutiert. Eine systematische Untersuchung der Messwerteinflüsse wurde bisher
nicht veröffentlicht. Um Messwerte bewerten zu können, müssen die
Messwerteinflüsse und die Genauigkeit des Messsystems ermittelt werden. Da keine
entsprechenden Informationen vorliegen, werden in der vorliegenden Arbeit vor der
Durchführung der Experimente am Versuchsaufbau die Messwerteinflüsse und die
Genauigkeit des Foliendruck-Messsystems systematisch analysiert. Bei der Analyse
werden Versuchsbedingungen variiert, wie sie bei praktischen
Versuchsdurchführungen auftreten.
Messtechnik Seite 53
4.2.1 Funktionsprinzip
Das Tekscan Foliendruck-Messsystem besteht aus einem Messsensor, der zwischen
die beiden Kontaktflächen eingelegt wird, einer Messkarte, die in einen
handelsüblichen PC eingebaut wird, einem Handle, das die Verbindung zwischen
Messsensor und Messkarte herstellt und einer Software, die die Messkarte steuert
und die Aufzeichnung und Auswertung der Messwerte ermöglicht.
Abbildung 14 Komponenten des Tekscan Foliendruck-Messsystem
Das Tekscan Foliendruck-Messsystem dient dazu, die Druck- bzw. Kraftverteilung,
die statisch oder dynamisch auf eine Fläche einwirkt, zu bestimmen. Dies geschieht
durch ca. 100 µm dünne Sensorfolien, in denen mehrere tausend Sensorzellen
eingebettet sein können.
Der Messsensor besteht aus zwei sehr dünnen, flexiblen Trägerfolien aus Polyester
oder Kapton, auf die Leiterbahnen, z.B. Silberstreifen appliziert werden. Abbildung 15
zeigt eine schematische Darstellung eines typischen Tekscan Messsensors.
Seite 54 Messtechnik
A
A
untere Lage
obere Lage
Schnitt A-A:obere
Trägerfolieobere
Silberleitungen
untereSilberleitungen
untereTrägerfolie
Abbildung 15 Schematische Darstellung eines typischen Tekscan Messsensors
Auf einer Trägerfolie werden Spalten, auf der anderen Reihen gedruckt und die
Innenseiten der Folien werden mit einem halbleitenden Coating (Tinte) benetzt. Das
halbleitende Coating besteht aus halbleitenden Nanopartikeln, die in einem
elastischen Polymerbindemittel dispergiert sind. Legt man die beiden Trägerfolien
aufeinander, entsteht eine Matrix, wobei an jedem Kreuzungspunkt eine Sensorzelle
entsteht. Die Breite und der Abstand der Leiterbahnen kann so eingestellt werden,
dass eine Dichte der Sensorzellen von bis zu 80 pro cm² erreicht werden kann.
Das Schaltbild in Abbildung 16 zeigt in vereinfachter Form die Elektronik des
Messsystems.
Vout
Nout
Vref
Vtest R1
R2
-
--
+
+
+
Schalter
Schalter
A/D Umwandler
Reihe 1
Reihe 2
Reihe 3
Reihe 4
Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4
R5
Rf
Abbildung 16 Schaltbild des Tekscan Foliendruck-Messsystems
Messtechnik Seite 55
Jeder Kreuzungspunkt der Matrix stellt einen variablen Widerstand dar. Im
unbelasteten Zustand ist der Widerstand am größten, mit zunehmender Kraft nimmt
der Widerstand ab. Abbildung 17 zeigt den Verlauf des Widerstands in Abhängigkeit
der äußeren Last, die auf die Sensoroberfläche einwirkt.
10 ΜΩ
20 kΩ
Widerstand [Ω]
Kraft [N]
Abbildung 17 Widerstand des halbleitenden Coatings des Tekscan Messsensors in Abhängigkeit der
äußeren Last
Der Widerstand beträgt im unbelasteten Zustand Rmax = 10 MΩ, bei Erreichen der
oberen Grenze des Messbereiches Rmin = 20 kΩ. Das Foliendruck-Messsystem
liefert als Messwert für den Widerstand die Größe Digital-Output in der Einheit Raw.
Der Widerstand an der oberen Messgrenze Rmin entspricht 255 Raw, an der unteren
Messgrenze Rmax 0 Raw. Die Differenz Rmax - Rmin der Sensorzelle wird in 255 Raw
unterteilt.
Die gemessenen Widerstände sind neben der aufgebrachten äußeren Last auch von
der Kontaktoberfläche abhängig. Dabei werden die einzelne Sensorzelle und der
gesamte Messsensor unterschiedlich von der Kontaktoberfläche beeinflusst.
Der Hersteller des Foliendruck-Messsystems gibt die in Abbildung 18 und Abbildung
19 gezeigte Abhängigkeit von der Kontaktoberfläche an.
Seite 56 Messtechnik
Dig
ital -
Out
put [
Raw
]
WeicheKontaktoberfläche
HarteKontaktoberfläche
Sensorauslastung [%]
10% 100%
250
25
Abbildung 18 Messsignal einer einzelnen
Sensorzelle für verschiedene
Kontaktoberflächen Av
g. D
igita
l - O
utpu
t [R
aw]
WeicheKontaktoberfläche
HarteKontaktoberfläche
Sensorauslastung [%]
10% 100%
250
25
Abbildung 19 Messsignalsumme des gesamten
Sensors für verschiedene
Kontaktoberflächen
Bei der einzelnen Sensorzelle ändert sich das Messsignal bei weichen
Kontaktoberflächen stärker als bei harten Kontaktoberflächen, während die
Messsignalsumme über die gesamte Sensorfläche bei weichen Kontaktoberflächen
degressiv und in geringerem Umfang zunimmt als bei harten Kontaktoberflächen, wo
ein nahezu linearer Zusammenhang zwischen dem Messsignal und der
Sensorauslastung besteht.
Eine Erklärung für die größere Widerstandsänderung der einzelnen Sensorzelle bei
weicher Kontaktoberfläche liegt in der Rauhigkeit des halbleitenden Coatings.
Durch geringe seitliche Verschiebungen bei weichen Kontaktoberflächen nähern sich
die oberen und unteren Leiterbahnen an. Je kleiner der Abstand der leitenden
Bestandteile des halbleitenden Coatings ist, um so kleiner ist der Widerstand. Bei
harten Kontaktoberflächen treten diese seitlichen Verschiebungen nicht auf.
Betrachtet man den gesamten Sensor nimmt die Verformung bei weichen
Kontaktoberflächen mit steigender Belastung zu und damit auch der in den
Totbereichen des Sensors übertragene Lastanteil, der nicht erfasst wird.
Messtechnik Seite 57
Harte Kontaktoberfläche Weiche Kontaktoberfläche
LeiterbahnenTotbereich
Abbildung 20 Schematische Darstellung des Messsensors im belasteten Zustand für eine harte und
eine weiche Kontaktoberfläche
4.2.2 Eingesetzte Tekscan Messsensoren
Die Tekscan Messsensoren sind in weiten Messbereichen erhältlich. Es stehen
Sensoren für Druckbereiche von einigen Kilopascal bis zu 230 Megapascal, in
verschiedenen Sensorgrößen und Geometrien zur Verfügung. Darüber hinaus
werden spezielle Sensoren auf Kundenwunsch angefertigt, was jedoch
kostenintensiv ist.
Die experimentellen Untersuchungen wurden mit zwei verschiedenen Tekscan
Messsensoren durchgeführt, dem I-SCAN 5076 und dem MATSCAN 3150. Die
wichtigen Parameter der eingesetzten Sensoren sind in Tabelle 3 zusammengefasst.
Sensortyp Sensorgröße
[mm²]
Messfläche
[mm²]
Anzahl der
Sensorzellen
Messbereich
[psi]
I-SCAN 5076 305 x 122 84 x 84 1936 50, 350, 500,
1000
MATSCAN 3150 508 x 499 432 x 368 2288 150
Tabelle 3 Parameter der Tekscan Messsensoren I-SCAN 5076 und MATSCAN 3150
Da die maximale Größe der Sensoren produktionsbedingt auf 51 x 50 cm²
beschränkt ist, müssen in den Hauptversuchen mindestens zwei Sensoren
eingesetzt werden, um den Sattelbereich vollständig zu erfassen. Da die Anzahl der
Sensorzellen pro Messsensor auf 2288 begrenzt ist, wäre für die Anwendungsfälle
der vorliegenden Arbeit ein Sensor optimal, bei dem der Abstand der Sensorzellen
im Bereich des Sattelhorns kleiner ist als in den anderen Bereichen. Ein solcher
Sensor wird von Tekscan nicht angeboten, da die Software zur Zeit allen
Seite 58 Messtechnik
Sensorzellen nur eine mittlere Fläche zuordnet, die den Totbereich zwischen dem
Gitter einschließt.
Mit dem kleinsten Sattelwinkel und dem größten Sattelabstand ist die größte
Auflagerpressung am Sattelhorn in den Hauptversuchen zu erwarten. Zwischen
Versuchsbehälter, Messsensor und Sattel wird eine Zwischenlage eingebaut. Als
Zwischenlage wird eine 4 mm dicke Schaumstoffschicht aus Polyethylen sowie eine
0,3 mm dicke Vliesschicht gewählt, wobei die Messung der Dicken mit einer
Mikrometerschraube bei gleichem Anpressdruck erfolgt. Um den Messbereich der
Tekscan Messsensoren zu validieren, werden Vorversuche mit einem Sensor
ISCAN 5076 mit einem Messbereich von 350 psi ( 2,45 N/mm² ) durchgeführt.
In Abbildung 21 und Abbildung 22 sind die Auflagerpressungsverteilungen am
Sattelhorn für die Zwischenlagen aus Schaumstoff und Vlies dargestellt.
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43
R1
R5
R9
R13
R17
R21R25R29R33R37R41
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Digital-Output [Raw]
Umfangsrichtung
Längsrichtung
140-160120-140100-12080-10060-8040-6020-400-20
Abbildung 21 Auflagerpressungsverteilung am Sattelhorn mit einer Zwischenlage aus Schaumstoff
beidseitig
Messtechnik Seite 59
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43
R1
R5
R9
R13
R17
R21
R25
R29
R33
R37
R41
0
50
100
150
200
250
300
Digital-Output [Raw]
Umfangsrichtung
Längsrichtung
250-300200-250150-200100-15050-1000-50
Abbildung 22 Auflagerpressungsverteilung am Sattelhorn mit einer Zwischenlage aus Vlies beidseitig
Die Auflagerpressungsverteilungen in der Abbildung 21 und Abbildung 22 zeigen,
dass der Sensor MATSCAN 3150 für die geplanten Hauptversuche geeignet ist. Die
Auflagerpressung bei der Zwischenlage aus Vlies überschreitet nur an wenigen
Punkten den Messbereich von 150 psi des MATSCAN 3150. Durch die größeren
Sensorzellen des MATSCAN 3150 im Vergleich zum I-SCAN 5076 werden diese
lokalen Auflagerpressungsspitzen nicht erfasst, so dass bei den Hauptversuchen
nicht mit einer Übersteuerung des MATSCAN 3150 zu rechnen ist.
4.3 Equilibration
Die Equilibration dient dazu, produktionsbedingte Messsignalunterschiede der
einzelnen Sensorzellen zu berücksichtigen. Hierzu muss auf den Sensor über die
gesamte Messfläche ein konstanter Druck aufgebracht werden.
Die Software des Foliendruck-Messsystems bildet den Mittelwert der Messsignale
DOAvg über die belastete Messfläche, d.h. über die Anzahl der belasteten Zellen n.
Seite 60 Messtechnik
n
DODO
n
1ii
Avg
∑==
Gleichung 41
Für jede Sensorzelle i wird ein Equilibrationsfaktor EFi berechnet, mit dem das
Messsignal dieser Sensorzelle DOi korrigiert wird.
n,....,1iDO
DOEFDOEFDO
i
AvgiAvgii ==⇔=⋅
Gleichung 42
Der Zusammenhang zwischen dem Messsignal DO und der auf den Sensor
aufgebrachten Pressung ist in Abbildung 23 beispielhaft für zwei Sensorzellen
dargestellt.
DO[Raw]
Zelle 1
Zelle 2
Sensorauslastung [%]10
50
5030
150
100
Abbildung 23 Beispielhafte Korrelation zwischen applizierter Pressung und Messsignal zweier
Sensorzellen
Abhängig vom Auslastungsgrad des Sensors ergeben sich unterschiedliche
Equilibrationsfaktoren, die aber über den gesamten Messbereich verwendet werden.
Für die Sensorzellen in Abbildung 23 ergeben sich bei einer Sensorauslastung von
10 % Equilibrationsfaktoren EF1 von 0,6 und EF2 von 3,0. Eine Equilibration bei 50%-
iger Sensorauslastung liefert Equilibrationsfaktoren EF1 von 0,76 und EF2 von 1,46.
Daher kann die Equilibration die Messgenauigkeit des Foliendruck-Messsystems
verringern, wenn der Equilibrationsbereich vom späteren Messbereich weit entfernt
Messtechnik Seite 61
ist. Dies wird in der aktuellen Software-Version durch die neu implementierte
„multipoint-Equilibration“ berücksichtigt.
Der Messsensor soll zur Equilibration über die gesamte Messfläche einer konstanten
Pressung ausgesetzt werden. Durch den Einsatz von Luftkissen mit glatter
Oberfläche wird eine konstante Pressung sichergestellt, andere Versuchsaufbauten
ergaben keine zufriedenstellenden Ergebnisse. Ein entsprechender Versuchsaufbau
ist in Abbildung 24 dargestellt.
Luft
Sensor Typ 3150
Luftkissen mitglatter Oberfläche
Abbildung 24 Equilibrationsaufbau für die MATSCAN 3150 Sensoren
4.3.1 Standardversuchsaufbau
Zur systematischen Untersuchung des Foliendruck-Messsystem wird der
Messsensor zwischen einem Prüfstempel und eventuell vorhandenen Zwischenlagen
eingebaut und mit einem Kraft-Zeit-Verlauf entsprechend einer Treppenfunktion
belastet. Die zentrische Krafteinleitung wird durch eine Kalotte sichergestellt.
Abbildung 25 Standardversuchsaufbau für den Messsensor Typ 5076
Seite 62 Messtechnik
Der Messsensor wird in 10%-Schritten auf 90% seiner Nennlast belastet. Dabei wird
die Kraft von 0 kN innerhalb von 20 s linear auf 10% gesteigert, 10 s konstant bei
10% gehalten und anschließend innerhalb von 20 s linear von 10% auf 20% erhöht.
Dieser Ablauf wiederholt sich bis der Messsensor mit 90% seiner Nennlast belastet
ist. Abbildung 26 zeigt den Kraft-Zeit-Verlauf (Treppenfunktion) für einen I-SCAN
5076 Sensor mit einem Messbereich von 500 psi.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 50 100 150 200 250 300
Zeit [s]
Kra
ft [N
]
Abbildung 26 Treppenfunktion für einen 500 psi I-SCAN Sensor 5076
Der Mittelwert der betragsmäßigen Abweichung zwischen der Kraftanzeige des
Tekscan Folienduck-Messsystems und der Kraftanzeige der Prüfmaschine wird über
die Treppenfunktion berechnet und im weiteren als Messfehler des Foliendruck-
Messsystems definiert und nach Gleichung 43 berechnet.
∑=
−⋅=∆
n
1i üfmaschinePr,i
üfmaschinePr,iTekscan,i
FFF
n1
Gleichung 43
4.3.2 I-SCAN 5076 Sensoren
Es wurden I-SCAN 5076 Sensoren mit Messbereichen von 50, 500 und 1000 psi
untersucht. Die Sensoren wurden mit einem Prüfstempel 60x60 mm² mit der
Treppenfunktion (Kap. 4.3.1) belastet. Diese Belastung wurde auf nicht equilibrierte
und auf equilibrierte Sensoren aufgebracht. Zum Zeitpunkt der Versuche war nur
eine Ein-Punkt-Equilibration möglich. Die 50 psi-Sensoren wurden bei 4 bar, die 500-
Messtechnik Seite 63
und 1000 psi-Sensoren bei 6 bar equilibriert. Die Sensoren wurden bei 20% und 80%
der Nennlast kalibriert. Der Messfehler nach Gleichung 43 ist in Abbildung 27
dargestellt.
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
Fugenband50
Holz50
Mousepad500
Holz500
Mousepad1000
Holz1000
Mes
sfeh
ler [
%]
equilibriert
unequilibriert
Abbildung 27 Messfehler equilibrierter und nicht equilibrierter I-SCAN 5076 – Sensoren der
Messbereiche 50, 500 und 1000 psi
Beim I-SCAN 5076-Sensor mit einem Messbereich von 500 psi wird bei einem
Prüfstempel aus Flachpressplatte durch die Equilibration eine Verringerung des
Messfehlers um 2,5% erreicht, während sich beim I-SCAN 5076-Sensor mit einem
Messbereich von 1000 psi und einem Prüfstempel aus Mousepad eine Vergrößerung
des Messfehlers um 2,6% zeigt. Eine Ursache für dieses widersprüchliche Ergebnis
ist in Kapitel 4.3 (Abbildung 23) erläutert.
4.3.3 MATSCAN 3150 Sensor
Nach den Versuchen zur Equilibration der I-SCAN 5076-Sensoren (Kap. 4.3.2)
wurde die Software zum Foliendruck-Messsystem durch die „multipoint-Equilibration“
erweitert, die es ermöglicht, den Messsensor an verschiedenen Laststufen zu
equilibrieren.
Daher wurde beim MATSCAN 3150-Sensor neben der Ein-Punkt-Equilibration bei
2, 4 und 6 bar eine multipoint-Equilibration bei 2, 4 und 6 bar durchgeführt.
Seite 64 Messtechnik
In Abbildung 28 ist der Messfehler der equilibrierten Sensoren und im Vergleich ein
nicht equilibrierter Sensor abhängig vom Auslastungsgrad dargestellt.
Equilibration
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] nicht equilibriert
Einpunkt-Equi 2 barEinpunkt-Equi 6 barEinpunkt-Equi 6 barmultipoint-Equi
Abbildung 28: Messfehler abhängig vom Auslastungsgrad eines nicht equilibrierten Sensors und
Ein-Punkt- und multipoint-equilibrierter Sensoren bei 2, 4 und 6 bar
Die Versuche zeigen, dass der Messfehler unterhalb einer Auslastung von 20% und
oberhalb von 80% anwächst. Zwischen 20% und 80% Auslastung liegt der
Messfehler unabhängig von der gewählten Equilibration unter 1,5%. Die multi-point-
Equilibration liefert im Bereich zwischen 40% und 70% Auslastung im Gegensatz zu
den anderen Equilibrationen einen nahezu konstanten Messfehler von ca. 1%. Da
der Messfehler für die Hauptversuche möglichst konstant sein sollte, wird die
multipoint-Equilibration angewendet.
4.4 Kalibration
Die Software des Tekscan Foliendruck-Messsystems bietet eine lineare Ein-Punkt-
Kalibration und eine Zwei-Punkt-Kalibration an, die einen exponentiellen
Zusammenhang zwischen applizierter Pressung und Messsignal berücksichtigt.
Messtechnik Seite 65
Bei der Ein-Punkt-Kalibration berechnet die Software aus der auf den Sensor
aufgebrachten Kraft eine mittlere Pressung, die auf dem Sensor lastet; über die
Summe der Messsignale und die Zahl der belasteten Zellen wird ein mittleres
Messsignal berechnet. Durch Einführung eines Kalibrationsfaktors (SF = Scale-
Faktor) ergibt sich die Kalibrationsgerade aus der äußeren Kraft F und der belasteten
Fläche A.
AFSF
n
DOEFn
1iii
=⋅⋅∑
=
Gleichung 44
Bei der Zwei-Punkt-Kalibration wird der Messsensor mit zwei unterschiedlichen
Lasten belastet. Aus den sich ergebenden mittleren Pressungen und den mittleren
Messsignalen werden die Parameter a und b der Kalibrationsfunktion berechnet.
2
2b
1i
2ii
1
1b
1i
1ii
AFDOEFa
AF
DOEFa
n
n
=
⋅⋅
=
⋅⋅
∑
∑
=
=
Gleichung 45
Die Pressungsverteilung der Kalibrationslasten beeinflusst, wie aus Gleichung 45
hervorgeht, die Größe der Parameter a und b der Kalibrationsfunktion.
Zur Verdeutlichung dieser Auswirkung wird die in Abbildung 29 dargestellte
angenommene bilineare Widerstandsänderung des Sensors zugrundegelegt, die die
Widerstandsänderung für eine weiche Kontaktoberfläche, wie in Abbildung 19
dargestellt, annähert.
Seite 66 Messtechnik
DO [Raw]
σ [N/mm2]
200
150
100
50
50 100 150 200 250 300 350 400 Abbildung 29 Angenäherte Korrelation zwischen Pressung und Messsignal für eine weiche
Kontaktoberfläche
Abbildung 30 zeigt eine konstante (A) und eine lineare (B) Pressungsverteilung auf
dem Sensor, die zur Berechnung der Kalibrationsfunktion zugrunde gelegt wird.
σ
Konstante Pressungverteilung (A) Lineare Pressungverteilung (B)
2σ
Abbildung 30 Konstante (A) und lineare (B) Pressungsverteilung
Die belastete Fläche wird mit A=1000 mm² und die Zahl der belasteten Zellen mit
n=1000 für alle Kalibrationslasten angenommen.
In Tabelle 4 sind die angenommenen Kalibrationsparameter der Ein-Punkt- und der
Zwei-Punkt-Kalibration sowie die Berechnungsergebnisse zusammengefasst.
Messtechnik Seite 67
A B A B
ΣDOi 100000 87500 50000 50000
n 1000 1000 1000 1000
Kraft [N] 100000 100000 50000 50000
A [mm²] 1000 1000 1000 1000
ΣDOi - - 100000 87500
n - - 1000 1000
Kraft [N] - - 100000 100000
A [mm²] - - 1000 1000
a=1,0 a=0,0756b=1,0 b=1,2386
Ergebnis SF=1 SF=1,14
1. K
alib
ratio
nspu
nkt
2. K
alib
ratio
nspu
nkt
Ein-Punkt-Kalibration Zwei-Punkt-Kalibration
σ1 = 50 N/mm²σ2 = 100 N/mm²σ = 100 N/mm²
Tabelle 4 Parameter für die Kalibration bei unterschiedlichen Pressungsverteilungen
Bei der Ein-Punkt-Kalibration ergeben sich durch die unterschiedliche
Pressungsverteilung um 14% unterschiedliche Kalibrationsfaktoren. Bei der Zwei-
Punkt-Kalibration unterscheiden sich die Parameter a und b für Fall A und Fall B
deutlich.
In Abbildung 31 ist die Kraftanzeige des Foliendruck-Messsystems für die einzelnen
Kalibrationen in Abhängigkeit der Messsignalsumme Raw-Sum grafisch dargestellt.
Seite 68 Messtechnik
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
0 50000 100000 150000 200000 250000
Summe Meßsignal (Raw-Sum)
Kra
ft [N
]
Ein-Punkt-Kalibration Fall AEin-Punkt-Kalibration Fall BZwei-Punkt-Kalibration Fall AZwei-Punkt-Kalibration Fall BAngenommene Korrelation
Abbildung 31 Kraftanzeige des Tekscan Foliendruck-Messsystems in Abhängigkeit der
Pressungsverteilung bei der Kalibration
Abbildung 31 zeigt, dass die Kraftanzeige des Foliendruck-Messsystems für die
verschiedenen Kalibrationsparameter deutlich voneinander abweicht. Der Einfluss
der Pressungsverteilung der Kalibrationslast kann nicht vernachlässigt werden.
Im folgenden wird der Einfluss der Kalibrationslasten, der Kalibrationsfläche, der
Lage der Belastungs- zur Kalibrationsfläche und des Materials der Kontaktoberfläche
untersucht.
4.4.1 I-SCAN 5076-Sensoren
4.4.1.1 Kalibrationslasten
Um den Einfluss der Kalibrationslasten zu bestimmen, wird der Standardversuch
nach Kapitel 4.3.1 modifiziert. Die Messsensoren werden nicht bei 20% und 80% der
Nennlast kalibriert, sondern die untere Kalibrationslast wird zwischen 10% und 50%
und die obere Kalibrationslast zwischen 50% und 90% jeweils in 10%-Schritten
variiert.
Die Messfehler equilibrierter und nicht equilibrierter Sensoren in Abhängigkeit der
unteren Kalibrationslasten (10% - 50%) und der oberen Kalibrationslasten (50% -
Messtechnik Seite 69
90%) sind in der Abbildung 32 bis Abbildung 34 dargestellt. Dabei zeigt Abbildung 32
einen 50 psi – Sensor, Abbildung 33 einen 500 psi – Sensor und Abbildung 34 einen
1000 psi - Sensor.
0
2
4
6
8
10
12
14
Mes
sfeh
ler [
%]
10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
5060
7080
90
Obe
re
Kal
ibra
tions
last
Untere Kalibrationslastnicht equilibriert
Untere Kalibrationslastequilibriert
Abbildung 32 Messfehler eines equilibrierten und eines nicht equilibrierten I-SCAN 5076 50 psi –
Sensors (PE-Schaum), untere Kalibrationslast 10% - 50% und obere Kalibrationslast
50% - 90%
Seite 70 Messtechnik
0
2
4
6
8
10
12
14
Mes
sfeh
ler [
%]
10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
5060
7080
90
Obe
reK
alib
ratio
nsla
st
Untere Kalibrationslast nicht equilibriert
Untere Kalibrationslastequilibriert
Abbildung 33 Messfehler eines equilibrierten und eines nicht equilibrierten I-SCAN 5076 500 psi –
Sensors (Mousepad), untere Kalibrationslast 10% - 50% und obere Kalibrationslast
50% - 90%
0
2
4
6
8
10
12
14
Mes
sfeh
ler [
%]
10 20 30 40 50 10 20 30 40 50
5060
7080
90
Obe
reK
alib
ratio
nsla
st
Untere Kalibrationslastnicht equilibriert
Untere Kalibrationslastequilibriert
Abbildung 34 Messfehler eines equilibrierten und eines nicht equilibrierten I-SCAN 5076 1000 psi –
Sensors (PE-Schaum), untere Kalibrationslast 10% - 50% und obere Kalibrationslast
50% - 90%
Messtechnik Seite 71
Die Versuche zeigen, dass Kalibrationslasten unterhalb von 20% und oberhalb von
80% des Messbereichs zu größeren Messungenauigkeiten führen. Bei
Kalibrationslasten zwischen 20% und 80% liegen die Messfehler unter 5%. Die Wahl
der Kalibrationslasten in o.g. Grenzen kann den zur Verfügung stehenden
Kalibrationslasten, die z.B. durch die Prüfmaschine begrenzt sind, angepasst
werden.
4.4.1.2 Kalibrationsfläche
Die Größe der bei der Messung belasteten Sensorfläche muss nicht mit der Größe
der Kalibrationsfläche übereinstimmen, was für die Qualität der Versuchsergebnisse
optimal wäre. Um den Einfluss der Kalibrationsfläche auf den Sensor zu
untersuchen, wurde der in Kapitel 4.3.1 beschriebene Standardversuch dahingehend
abgeändert, dass der Sensor mit unterschiedlich großen Prüfstempeln kalibriert
wurde, die Messung erfolgte mit dem Prüfstempel aus dem Standardversuch.
10 30 50 70 90
50 psi PE-Schaum nicht equi
50 psi PE-Schaum equi500 psi Mousepad nicht equi
500 psi Mousepad equi1000 psi Mousepad nicht equi
1000 psi Mousepad equi
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Mes
sfeh
ler [
%]
Fläche der Kalibration zur Sensorfläche [%]
Abbildung 35 Messfehler über die Treppenfunktion bei unterschiedlich großen Prüfstempeln zur
Kalibration
Die Versuche zeigen, dass bei equilibrierten Messsensoren bis zu einem
Messbereich von 500 psi bereits ab einer Kalibrationsfläche von 30% der
Sensorfläche der Messfehler unter 2% liegt, was bei nicht equilibrierten
Seite 72 Messtechnik
Messsensoren erst bei einer Kalibrationsfläche von 90% der Sensorfläche erreicht
wird.
4.4.1.3 Lage Belastungs- zu Kalibrationsfläche
Bei großflächigen oder unregelmäßig geformten Sensoren ist eine Kalibration mit
mehr als 30% der Fläche, wie sie sich aus den Ergebnissen nach Kapitel 4.4.1.2
empfiehlt, nicht immer zu realisieren. Im folgenden soll untersucht werden, welcher
Messfehler auftritt, wenn die spätere Belastungsfläche und die Kalibrationsfläche
nicht übereinstimmen. Dazu werden die Messsensoren auf einer Seite der
Messfläche kalibriert und auf der anderen Seite wird die Treppenfunktion
aufgebracht.
Abbildung 36 zeigt den Messfehler für equilibrierte und nicht equilibrierte Sensoren
der Messbereiche 50, 500 und 1000 psi.
0
1
2
3
4
5
6
Mes
sfeh
ler [
%]
500 psiMousepad
1000 psiMousepad
50 psiPE-Schaum
nicht equi equi equi equinicht equi nicht equi
Abbildung 36 Mittlerer Fehler über die Treppenfunktion bei unterschiedlicher Lage von Mess- und
Kalibrationsfläche
Die Versuche zeigen, dass der Einfluss dieses Effektes gering ist. Der gesamte
mittlere Fehler bleibt bei allen Versuche unterhalb 5%. Bei equilibrierten Sensoren
bis zu einem Messbereich von 1000 psi ist keine Vergrößerung des Messfehlers im
Messtechnik Seite 73
Vergleich zu Versuchen mit gleicher Belastungs- und Kalibrationsfläche
festzustellen.
4.4.1.4 Oberflächenmaterial
Bei den bisher durchgeführten Versuchen wurden die Materialien der
Kontaktoberfläche für die Kalibration und die Belastung mit der Treppenfunktion
erfahrungsgemäß so gewählt, dass eine möglichst konstante Pressungsverteilung
erzielt wird und eine Übersteuerung einzelner Sensorzellen durch Unebenheiten in
der Kontaktoberfläche vermieden wird. Bei im Bauwesen auftretenden typischen
Kontaktproblemen ist diese Ebenheit der Oberflächen nicht immer gegeben.
Abbildung 37 zeigt den Messfehler equilibrierter und nicht equilibrierter Sensoren der
Messbereiche 50, 500 und 1000 psi in Abhängigkeit von der Prüfstempeloberfläche,
die zwischen Flachpressplatte (FPP), Plexiglas, Stahl und Beton variiert wird. Die
Kalibration erfolgte bei 20% und 80% mit einem Prüfstempel aus Flachpressplatten.
FPP
Plex
igla
s Stah
l
Bet
on
50 psi
FPP
50 psi
FPP equi
500 p
si FPP
500 p
si FPP eq
ui
1000
psi FPP
1000
psi FPP eq
ui
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Mes
sfeh
ler b
ezog
en a
uf K
alib
ratio
n m
it Fl
achp
reßp
latte
(FPP
) [%
]
Oberfläche
Abbildung 37 Messfehler über die Treppenfunktion bei Variation der Prüfstempeloberfläche
Die Versuche zeigen, dass der Messfehler bei Änderung der Prüfstempeloberfläche
stark variiert. Die auftretenden Abweichungen steigen bei der rauhen
Betonoberfläche auf bis zu 75% an.
Seite 74 Messtechnik
4.4.2 MATSCAN 3150-Sensor
4.4.2.1 Kalibrationslasten
Im Gegensatz zu den Versuchen in Kapitel 4.4.1.1 wird bei der Untersuchung des
MATSCAN 3150-Sensors der Messfehler in Abhängigkeit des Auslastungsgrads des
Sensors angegeben und nicht wie in Kapitel 4.3.1 definiert.
Die Messfehler sind in der Abbildung 38 bis Abbildung 47 dargestellt. Die untere
Kalibrationslast wurde von 10% bis 50% in 10%-Schritten variiert. Für jede untere
Kalibrationslast wurde die obere Kalibrationslast ebenfalls variiert, bei 10, 20 und
30% zwischen 50% und 90%, bei der unteren Kalibrationslast von 40% zwischen
60% und 90% und bei 50% unterer Kalibrationslast zwischen 70% und 90%.
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] 50%
60%70%80%90%
Abbildung 38 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 10% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%
Messtechnik Seite 75
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] 50%
60%70%80%90%
Abbildung 39 Messfehler equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 10% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] 50%
60%70%80%90%
Abbildung 40 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 20% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%
Seite 76 Messtechnik
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] 50%
60%70%80%90%
Abbildung 41 Messfehler equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 20% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] 50%
60%70%80%90%
Abbildung 42 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 30% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%
Messtechnik Seite 77
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] 50%
60%70%80%90%
Abbildung 43 Messfehler equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 30% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%]
60%70%80%90%
Abbildung 44 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 40% und Obere Kalibrationslast 60 – 90%
Seite 78 Messtechnik
Obere Kali-Last
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%]
60%70%80%90%
Abbildung 45 Messfehler equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 40% und Obere Kalibrationslast 60 – 90%
Obere Kali-Last
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%]
70%80%90%
Abbildung 46 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 50% und Obere Kalibrationslast 70 – 90%
Messtechnik Seite 79
Obere Kali-Last
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%]
70%80%90%
Abbildung 47 Messfehler equilibrierter Sensoren,
Untere Kalibrationslast 50% und Obere Kalibrationslast 70 – 90%
Die Versuche zeigen deutlich die Abhängigkeit der Messgenauigkeit des Tekscan
Foliendruck-Messsystems. Es zeigt sich, dass der Messfehler bei einer unteren
Kalibrationslast größer 20% zwischen den Kalibrationslasten unter 2% liegt, während
er unter- und oberhalb der Kalibrationslasten auf bis zu 13% ansteigt. Für die
Hauptversuche wurden die Kalibration mit einer unteren Kalibrationslast von 20%
und einer oberen Kalibrationslast von 80% gewählt. Hier wird im größten Teil des
Messbereiches mit Messfehlern unter 2% gemessen.
4.4.2.2 Lage Belastungs- zu Kalibrationsfläche
Die Größe der Kalibrationsfläche wird in dieser Versuchsreihe nicht variiert. Der
Sensor wird in 3 gleichgroße Bereiche A, B und C eingeteilt.
A
B
C
Abbildung 48 Einteilung des MATSCAN 3150-Sensors in Bereiche A, B und C
Seite 80 Messtechnik
Die Kalibration des Sensors erfolgt im Bereich A. Anschließend wird der Sensor in
10%-Schritten auf 90% seines Messbereichs belastet, zunächst im Bereich A, dann
im Bereich B und C. In Abbildung 49 wird der Messfehler über die einzelnen
Laststufen für die Bereiche A, B und C dargestellt.
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Auslastungsgrad des Sensors [%]
Mes
sfeh
ler [
%] A-A(nicht equilibriert)
A-B(nicht equilibriert)A-C(nicht equilibriert)A-A(equilibriert)A-B(equilibriert)A-C(equilibriert)
Abbildung 49 Messfehler des Foliendruck-Messsystem bei Kalibration des MATSCAN 3150-Sensors
im Bereich A und Belastung im Bereich A, B und C
Der Messfehler ist für den equilibrierten und den nicht equilibrierten Sensor nahezu
identisch, wenn Kalibrations- und Messbereich identisch sind. Ist dies nicht der Fall,
wie bei der Belastung im Bereich B und C, ist der zu erwartende Messfehler bei
equilibrierten Sensoren geringer.
4.5 Systematische Untersuchung der Messwerteinflüsse
4.5.1 Temperatur
Über die Auswirkung von Temperaturänderungen liegen keinerlei Untersuchungen
vor, obschon bei nahezu jedem Versuchsaufbau Temperaturschwankungen nicht
auszuschließen sind.
Messtechnik Seite 81
Um den Einfluss von Temperaturänderungen auf die Messgenauigkeit zu
untersuchen, wurde ein Versuchsaufbau entwickelt, der in einen Klimaschrank
eingebaut werden kann. Die Versuchstemperatur wurde von der
Kalibrationstemperatur auf 0°C gesenkt und dann auf 50°C gesteigert.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Mes
sfeh
ler [
%]
20° 0° 50° 20° 0° 50° 20° 0° 50°
Messtempertatur [°C]
nicht equilibriert equilibriert nicht
equilibriert equilibriert nicht equilibriert equilibriert
50 psi 500 psi 1000 psi
Abbildung 50 Messfehler bei Änderung der Versuchstemperatur im Vergleich zur
Kalibrationstemperatur
Die Versuche zeigen, dass in Messbereichen bis 500 psi ein Fehlerzuwachs bei den
beschriebenen Temperaturänderungen von maximal 4% aufgetreten ist.
4.5.2 Dynamische Belastung
Bei dynamischer Belastung sind mehrere Aspekte für die Messgenauigkeit bzw. für
die Anwendbarkeit eines Messsystems zu beachten. Zum einen muss die
Aufnahmefrequenz des Systems im Vergleich zur Erregerfrequenz ausreichend groß
sein, wobei ein Verhältnis von 10:1 ausreichend ist. Zum anderen darf die
Messtechnik die Dämpfungseigenschaften des Systems nicht signifikant verändern.
Die Untersuchungen zum dynamischen Verhalten der Sensoren wurden nur mit
ISCAN 5076-Sensoren mit einem Messbereich von 50 psi durchgeführt, da die für
größere Messbereiche erforderlichen Lasten mit der zur Verfügung stehenden
Seite 82 Messtechnik
Unwuchtmaschine nicht realisiert werden konnten. Die Versuchsergebnisse sind in
Abbildung 51 dargestellt.
0
50
100
150
200
250
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Erregerfrequenz [Hz]
Am
plitu
de [N
]
rechn. Amplitudegem. Amplitude - 35% Auslastunggem. Amplitude - 45% Auslastunggem. Amplitude - 60% Auslastung
Abbildung 51 Rechnerische und gemessene Amplituden bei dynamischer Belastung für verschiedene
Auslastungsgrade des Messsensors
Die Versuche zeigen, dass unabhängig vom Auslastungsgrad des Sensors die
Messergebnisse des Foliendruck-Messsystems mit den Soll-Werten bis zu einer
Erregerfrequenz von 10 Hz gute Übereinstimmung zeigen. Bei Erregerfrequenzen
größer 10 Hz steigen die Abweichungen stark an, größer 14 Hz war eine Messung
der Amplitude nicht mehr möglich.
4.5.3 Seitliche Verschiebung der Kontaktflächen
Bei praktischer Anwendung kann es zu planmäßigen oder unplanmäßigen seitlichen
Verschiebungen der Kontaktflächen zueinander kommen. Da Scherkräfte durch den
Sensor nicht übertragen werden, können zwei verschiedene Effekte auftreten. Die
Last „wandert“ auf dem Sensor oder die beiden Trägerfolien des Messsensors
verschieben sich relativ zueinander. Beides kann zu einer Veränderung des
Widerstandes und damit des Messwertes führen.
Messtechnik Seite 83
Um den Einfluss von seitlichen Verschiebungen der Kontaktflächen zu untersuchen,
wurde der in Abbildung 52 dargestellte Versuchsaufbau entwickelt, mit dem gezielt
eine seitliche Bewegung des Prüfstempels erzeugt werden kann.
Stellschraube
F
PrüfstempelSensor Typ 5076
Abbildung 52 Versuchsaufbau zur Untersuchung seitlicher Verschiebungen der Kontaktflächen
Die Versuche werden zur Simulation des „wandernden“ Laststempels mit
Prüfstempeln aus Plexiglas, zur Simulation der Verschiebung der Sensorfolien
zueinander mit Prüfstempeln aus Kautschuk durchgeführt. Es werden ISCAN 5076-
Sensoren mit Messbereichen von 50, 500 und 1000 psi verwendet. Die
Messsensoren werden jeweils zu 30%, 60% und 90% ihres Nennlastbereiches
ausgelastet. Die Kalibration erfolgt bei 20% und 80%. Die seitliche Verschiebung
wird durch Anziehen der Stellschraube erzeugt, nachdem die vertikale Belastung auf
den Messsensor mit der Prüfmaschine aufgebracht wurde. Je Verschiebungsschritt
wird die Stellschraube mit einer ca. 90°-Drehung angezogen, was einer seitlichen
Verschiebung des Prüfstempels von ca. 0,375 mm entspricht.
Die Soll- und Messwerte sind beispielhaft für einen 500 psi – Sensor mit einem
Auslastungsgrad von 30% in Abbildung 53 dargestellt.
Seite 84 Messtechnik
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 10 20 30 40 50 60 70
Zeit [s]
Kra
ft [N
] Zw ick-Prüfmaschine
Tekscan mit Plexiglasstempel
Tekscan mit Kautschukstempel
Abbildung 53 Messwerte des Foliendruck-Messsystems bei seitlicher Verschiebung der
Kontaktflächen des ISCAN 5076 500 psi , Auslastung 30%
Während der Versuchsdurchführung zeigt sich, dass auch bei der Verwendung eines
Plexiglasstempels eine Verschiebung der Sensorfolien zueinander nicht immer
verhindert wird. Die Versuchsdauer ist geringfügig unterschiedlich, da eine
programmgesteuerte Belastung des Versuchsaufbau nicht möglich ist.
In Abbildung 54 sind der bleibende Messfehler bezogen auf die Last der
Prüfmaschine nach 7 Drehgängen der Stellschraube und der Messfehler je
Drehgang dargestellt.
Messtechnik Seite 85
Plexiglas30% Kautschuk
30% Plexiglas60% Kautschuk
60%Plexiglas
90%Kautschuk
90%
Fehler je Drehgang 50 psi
Bleibender Fehler 50 psi
Fehler je Drehgang 500 psi
Bleibender Fehler 500 psi
Fehler je Drehgang 1000 psi
Bleibender Fehler 1000 psi
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
Fehl
er b
ezog
en a
uf d
ie a
ufge
brac
hte
Last
Abbildung 54 Messfehler des Foliendruck-Messsystems bei seitlicher Verschiebung der
Kontaktflächen
4.5.4 Zeitliche Drift
Die zeitliche Drift beschreibt die zeitliche Veränderung des Messwertes bei
konstanter Auflast. Eine mögliche Ursache für dieses Verhalten ist das Kriechen des
halbleitenden Coatings.
4.5.4.1 I-SCAN 5076-Sensoren
Zur Untersuchung der zeitlichen Drift werden die ISCAN 5076-Sensoren bei 20% und
80% ihrer Nennlast kalibriert und anschließend mit 80% der Nennlast über 10 h
belastet. Die Ergebnisse sind in Abbildung 55 dargestellt.
Seite 86 Messtechnik
0
5
10
15
20
0 3600 7200 10800 14400 18000 21600 25200 28800 32400 36000Versuchszeit [s]
Mes
sfeh
ler [
%]
Mittelwert 50 psi Sensor
Abbildung 55 Zeitliche Drift des ISCAN 5076-Sensors 50 psi bei 80% Auslastung
Die zeitliche Drift ist innerhalb der ersten Stunde sehr groß. Danach wird der
Messfehlerzuwachs geringer. Das Erreichen eines Grenzwertes konnte nach 10 h
nicht festgestellt werden.
4.5.4.2 MATSCAN 3150-Sensor
Zur Untersuchung der zeitlichen Drift wird der MATSCAN 3150-Sensor mit einer
Belastungsgeschwindigkeit von 33,1 N/s auf 10%, 30%, 50%, 70% und 90% der
Nennlast des Sensors belastet. Die Last wird kraftgeregelt 10 h konstant gehalten.
Messtechnik Seite 87
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
0 100 200 300 400 500 600 700
Zeit [min]
Mes
sfeh
ler [
%] Auslastung 10%
Auslastung 30%Auslastung 50%Auslastung 70%Auslastung 90%
Abbildung 56 Zeitlichen Drift für verschiedenen Auslastungsgrade des MATSCAN 3150
Die Versuche zeigen, dass die zeitliche Drift innerhalb der ersten Stunde sehr groß
ist, der Zuwachs danach rapide abnimmt. Die Drift liegt bei allen Laststufen, außer
der Laststufe 30%, unterhalb eines Zuwachses von 25%. Eine einzelne
Versuchsreihe führt durch die Mittelung von insgesamt je 4 Versuchen je Laststufe
zu der hohen Drift bei der Laststufe 30%. Die übrigen Versuchsreihen zu dieser
Laststufe lagen bei einem Zuwachs des Messwertes unter 25%.
4.5.5 Relaxation
In dieser Versuchsreihe wird die Haltezeit bei den einzelnen Laststufen der
Treppenfunktion von 10 s auf 30 s erhöht. Der Messfehler wird in Abbildung 57 dem
Messfehler, der sich bei einer Haltezeit von 10 s ergibt, gegenübergestellt.
Seite 88 Messtechnik
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Mes
sfeh
ler [
%] t = 30 s
t = 10 s
1000 psi500 psi50 psi
equi equi equinicht equi nicht equi nicht equi Abbildung 57 Messfehler der I-Scan 5076-Sensoren bei Variation der Haltezeit t=10s und t=30s bei
der Treppenfunktion
Die Versuche zeigen, dass innerhalb der ersten 30 s keine Relaxationseffekte beim
Sensor feststellbar sind.
4.6 Erörterung der Ergebnisse
Das Foliendruck-Messsystem der Firma Tekscan, Boston MA, USA wird für
unterschiedliche Anwendungen in Forschung und Produktion zur Messung von
Flächenpressungen eingesetzt. Dabei ist das Messsystem für den Anwender eine
„Black Box“, von dem der Hersteller gute Messergebnisse verspricht, wenn Mess-
und Kalibrationsbedingungen übereinstimmen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit
wird das Messprinzip des Foliendruck-Messsystems ausführlich beschrieben und
erstmals Fehlereinflüsse und Messungenauigkeiten systematisch analysiert. Hierbei
wird die Abhängigkeit des Messwertes von der Kalibrationslast und –fläche, dem
Oberflächenmaterial, der Temperatur, dynamischer Belastung, Schereffekten und
der zeitlichen Drift untersucht. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sollen im
Folgenden zusammengefasst und erörtert werden.
Messtechnik Seite 89
Bei der 2-Punkt-Kalibration sollte die untere Kalibrationslast zwischen 20 und 40 %
der Nennlast des Messsensors liegen, die obere zwischen 50 und 80 %. Je größer
die Kalibrationsfläche, desto höher ist die Messgenauigkeit, ab einer
Kalibrationsfläche von 30 % der Messfläche liefert das Messsystem akzeptable
Messergebnisse.
Das Oberflächenmaterial hat sich als kritische Fehlergröße herausgestellt. Rauhe
Oberflächen führen zu frühzeitiger Übersteuerung einzelner Sensorzellen.
Bei Messbereichen bis 500 psi ist der Einfluss der Temperatur gering, steigt aber für
höhere Messbereiche drastisch an.
Das Messsystem ist für dynamische Belastungen bis zu einer Frequenz von 10 Hz
gut geeignet, ab einer Frequenz von 14 Hz ist eine Messung nicht mehr möglich.
Bei Schereffekten hat die Verschiebung der beiden Trägerfolien gegeneinander
signifikanten Einfluss auf die Messgenauigkeit, wohingegen eine Lastverschiebung
auf der Trägerfolie nur geringen Einfluss auf den Messwert hat.
Die zeitliche Drift führt abhängig vom Auslastungsgrad des Sensors zu Messfehlern
bis zu 28 %.
Bei guter Equilibration und Kalibration zeigt das Foliendruck-Messsystem in
zeitnahen Messungen gute Ergebnisse. Bei experimentellen Untersuchungen ist die
zeitnahe Messung nach der Kalibration häufig nicht möglich, wie z.B. in den
Hauptversuchen dieser Arbeit durch den Füllvorgang des Versuchsbehälters.
Das Foliendruck-Messsystem zeigt unter „Laborbedingungen“ eine sehr gute
qualitative und quantitative Eignung zur messtechnischen Erfassung von
Flächenpressungen in Kontaktflächen. In experimentellen Untersuchungen lassen
sich mindestens gute qualitative Messergebnisse mit dem System erzielen.
Hauptversuche Seite 91
5 Hauptversuche
Bis heute sind keine experimentellen Untersuchungen an der liegenden
Zylinderschale unter vertikaler dynamischer Belastung bekannt.
SON und LADEWIG untersuchen erstmals theoretisch die liegende Zylinderschale
unter dynamischer Belastung. SON berechnet die Eigenkreisfrequenzen, LADEWIG
betrachtet die liegende Zylinderschale unter horizontaler dynamischer Belastung, so
dass beide Arbeiten keine Vergleichsmöglichkeit für die vorliegende Untersuchung
bieten. Die dynamischen Berechnungen von LADEWIG und SON wurden nicht durch
experimentelle Untersuchungen bestätigt.
Erstmals wird im Rahmen dieser Arbeit die liegende Zylinderschale unter vertikaler
dynamischer Belastung systematisch experimentell untersucht. Auf Grundlage dieser
Untersuchungen kann das in Kapitel 2 vorgestellte numerische Modell validiert
werden.
5.1 Variierte Parameter
LADEWIG variiert in seinen numerischen Berechnungen unter dynamischer
Belastung nur den Sattelwinkel und den Füllgrad des Behälters, den Einfluss der
Sattelstellung und der Sattelsteifigkeit berücksichtigt er nicht.
In den Hauptversuchen werden folgende Parameter variiert:
• Füllgrad
• Sattelstellung
• Sattelwinkel
• Elastizität einer Zwischenlage zwischen Sattel und Zylinderschale
• Steifigkeit des Sattels
• Erregerfrequenz.
Seite 92 Hauptversuche
Auf die Variation weiterer Parameter, wie Schalendicke, Schalenlängen, Radius und
Sattelbreite wurde verzichtet, da die Herstellung mehrerer verschiedener
Zylinderschalen im Rahmen der vorliegenden Arbeit nicht möglich ist. Diese
Parameter werden in den numerischen Berechnungen der Zylinderschale variiert.
5.1.1 Füllgrad
Beim Einfluss des Füllgrads des Behälters auf die Beanspruchung der liegenden
Zylinderschale gehen selbst bei den statischen Untersuchungen die Meinungen der
verschiedenen Autoren auseinander. DUTHIE und TOOTH [61] stellten fest, dass
Vollfüllung des Behälters maßgebend für die Beanspruchung der Zylinderschale ist,
während nach KRUPKA [38] zusätzlich der halbvolle Behälter zu untersuchen ist.
LADEWIG kommt durch seine numerischen Untersuchungen zu dem Schluss, dass
zur Bemessung der liegenden Zylinderschale die Betrachtung der Vollfüllung
ausreichend ist, was durch die experimentellen Untersuchungen von CHOUIHI
bestätigt wurde.
Aufgrund des komplexen Tragverhaltens der liegenden, sattelgelagerten
Zylinderschale ist es unter dynamischer Belastung notwendig, neben der Vollfüllung
des Behälters weitere Füllgrade zu betrachten. Der Behälter wird von 0% bis 100% in
25%-Schritten gefüllt.
5.1.2 Sattelstellung
ZICK erkannte die aussteifende Wirkung der Behälterböden auf die Beanspruchung
der liegenden Zylinderschale unter statischer Belastung. Er führt den Abstand a des
Sattels zum Behälterboden dimensionslos durch das Verhältnis La des
Sattelabstands zur Zylinderschalenlänge ein. ZICK stellte fest, dass bis zu einer
Sattelstellung 2Ra ≤ eine aussteifende Wirkung des Behälterbodens auf die
Zylinderschale auftrat. Die Abmessungen des Versuchsbehälters sind in Kapitel 3
angegeben. In den hier durchgeführten experimentellen Untersuchungen variiert der
Sattelabstand a zwischen 10 cm ( R25,0a ⋅= ) und 40 cm ( Ra = ), wodurch eine
Zunahme der aussteifenden Wirkung der Behälterböden auf die Zylinderschale unter
dynamischer Belastung abgedeckt werden soll.
Hauptversuche Seite 93
5.1.3 Sattelwinkel
Der Sattelwinkel ist für die geplanten Versuche durch die Möglichkeiten des
Messsystems nach oben begrenzt, da zur Zeit nur ein 2-Handle-System zur
Verfügung steht. Bei einer dynamischen Belastung ist ein sukzessives Messen
mehrerer Sensoren, wie CHOUIHI dies getan hat, nicht möglich. Daher kann die
Untersuchung nur mit 2 Sensoren durchgeführt werden. Die größten
Standardsensoren haben eine Länge von 43 cm, wodurch sich eine maximale
Messlänge von 86 cm ergibt. Für einen Sattelwinkel 2ϕ von 120° ergibt sich bei den
in Abbildung 7 angegebenen Abmessungen des Versuchsbehälters eine
Umfangslänge von 83,3 cm. Es werden Sattelwinkel 2ϕ von 80°, 90° und 120°
untersucht.
5.1.4 Elastizität der Zwischenlage
Die Bedeutung der Auflagerpressungsverteilung für die Bemessung der liegenden
Zylinderschale unter statischer Belastung wird von zahlreichen Autoren und
Untersuchungen, wie z.B. [05], [13], [16], [29], [38], [44], [46], [60], [69], [71] bestätigt.
Hinsichtlich der Auswirkung einer elastischen Zwischenschicht zwischen Sattel und
Zylinderschale treffen ZWIESELE [71] und DEL GAIZO [16] widersprüchliche
Aussagen. ZWIESELE stellte bei einer weichen Zwischenschicht zwischen Sattel
und Zylinderschale eine höhere Beanspruchung der Zylinderschale am Sattelhorn
fest, während DEL GAIZO bei einem Sattelradius, der größer ist als der
Zylinderschalenradius, geringere Beanspruchung der Zylinderschale beobachtete.
Dabei haben eine weiche Zwischenschicht und ein vergrößerter Sattelradius ähnliche
Auswirkungen auf die Beanspruchung der Zylinderschale, da in beiden Fällen die
Zwängungen am Sattelhorn reduziert werden.
Im vorliegenden Fall ist eine Messung am Versuchsbehälter ohne Zwischenlage
nicht möglich, da der verwendete MATSCAN 3150-Sensor zerstört würde. Als
Zwischenlage wurden ein Vlies verwendet, dessen Einfluss vernachlässigbar ist und
eine PE-Schaumstoffschicht, mit einer Dicke von 4 mm und einer ausgeprägten
nicht-linearen Spannungs-Dehnungsbeziehung.
Seite 94 Hauptversuche
5.1.5 Erregerfrequenz
Dynamische Belastungen können durch Erdbeben oder durch den Betrieb von
Maschinen und Motoren verursacht werden. Die Frequenzbereiche, in denen der
Versuchsbehälter angeregt wird simulieren diese Lastfälle. Die Vorversuche zeigen,
dass mit dem entwickelten Versuchsaufbau nur ein kleiner Bereich von
Erregerfrequenzen erzeugt werden kann. Unterhalb von 5 Hz läuft die
Unwuchtmaschine unruhig und die erzwungene Schwingung ist nicht harmonisch.
Die maximale Erregerfrequenz Ω, die mit der Unwuchtmaschine erzeugt werden
kann liegt bei 11,8 Hz. Die Eigenfrequenz ω des gesamten Versuchsaufbaus beträgt,
abhängig vom Füllgrad des Behälters, zwischen 8 Hz und 12 Hz. Hierbei wird der
gesamte Versuchsaufbau als Ein-Massen-Schwinger berechnet. Die Vorversuche
haben gezeigt, dass der Versuchsaufbau sich nach Durchfahren der Eigenfrequenz
nicht wieder einschwingt, wodurch die Erregerfrequenz nach oben begrenzt ist. Die
maximal erreichbare Erregerfrequenz Ω wird beim leeren Behälter mit 9 Hz erreicht,
wobei das Abstimmungsverhältnis Ωω
=β aus Sicherheitsgründen auf 0,9 begrenzt
wird.
5.1.6 Steifigkeit des Sattels
Die Steifigkeit des Sattels wirkt sich wie die Elastizität einer Zwischenlage zwischen
Sattel und Zylinderschale auf die Auflagerpressungsverteilung und somit auf die
Beanspruchung der Zylinderschale aus. Es werden 3 Betonsättel und ein Stahlsattel
untersucht. Der Stahlsattel wurde nach DIN 28080 gefertigt.
5.1.7 Versuchsprogramm
Die Variation der zuvor beschriebenen Parameter ergibt ein Versuchsprogramm mit
704 Messungen, die an der Zylinderschale vorgenommen werden. Eine Übersicht
über die Versuche ist in Abbildung 58 dargestellt.
Hauptversuche Seite 95
Sattelstellung10 cm
ZwischenlageVlies(V)
Fugenband(F)
Satteltyp B1
SatteltypB2
SatteltypB3
SatteltypS1
Sattelstellung30 cm
Sattelstellung20 cm
Sattelstellung40 cm
Sattelstellung10 cm
Sattelstellung30 cm
Sattelstellung20 cm
Sattelstellung40 cm
Sattelstellung10 cm
Sattelstellung30 cm
Sattelstellung20 cm
Sattelstellung40 cm
Sattelstellung10 cm
Sattelstellung30 cm
Sattelstellung20 cm
Sattelstellung40 cm
Füllgrad 0 % Füllgrad 25 % Füllgrad 50 % Füllgrad 75 % Füllgrad 100 %
Frequenz 5 Hz4 Federn6 Federn
Frequenz 6 Hz4 Federn6 Federn
Frequenz 7 Hz4 Federn6 Federn
Frequenz 8 Hz6 Federn
Frequenz 9 Hz6 Federn
Frequenz 5 Hz4 Federn
Frequenz 6 Hz4 Federn6 Federn
Frequenz 7 Hz6 Federn
Frequenz 8 Hz6 Federn
Frequenz 5 Hz4 Federn
Frequenz 6 Hz6 Federn
Frequenz 7 Hz6 Federn
Frequenz 5 Hz4 Federn
Frequenz 6 Hz6 Federn
Frequenz 5 Hz4 Federn
Frequenz 6 Hz4 Federn6 Federn
Frequenz 7 Hz6 Federn
Abbildung 58 Organigramm Hauptversuche Zylinderschale
5.2 Versuchsdurchführung
5.2.1 Beschreibung der Versuchsdurchführung
Aus dem Organigramm in Abbildung 58 geht hervor, dass sich die insgesamt 704
Versuche in Gruppen mit gleicher Zwischenlage (Vlies (V), PE-Schaum (F)),
gleichem Satteltyp (B1, B2, B3, S1) und gleicher Sattelstellung einteilen lassen. Der
Versuchsbehälter wird unter Festhaltung der Zwischenlage, des Satteltyps, der
Sattelstellung a und der Federzahl n gefüllt und mit den unterschiedlichen
Erregerfrequenzen Ω angeregt. Anschließend wird der Versuchsbehälter mit einem
Überdruck von 1,6 bar entleert, um den Entleerungsvorgang zu beschleunigen.
Durch Anheben des gesamten Versuchsaufbaus wird für die nächste Füllung des
Versuchbehälters die Federzahl gewechselt. Nach der nächsten Entleerung wird
zunächst die Zwischenlage und dann die Federzahl variiert. Nach diesem
Ablaufschema wird beginnend bei einer Sattelstellung a von 40 cm und einem
Seite 96 Hauptversuche
Sattelwinkel 2ϕ von 120° (Satteltyp B1 und S1) zunächst der Sattelwinkel 2ϕ auf 90°
(Satteltyp B2) dann auf 80° (Satteltyp B3) reduziert. Dann wird bei einer
Sattelstellung a von 30 cm erneut mit dem Sattelwinkel 2ϕ von 120° begonnen.
Dieses Vorgehen reduziert die Umbauarbeiten am Versuchsaufbau. Applizierte
Dehnungsmessstreifen konnten für die folgenden Versuche weiterverwendet werden
und müssen nicht vom Versuchsbehälter entfernt werden, wenn sie für die folgenden
Versuche nicht benötigt werden.
Die Federn weisen in ihren Federsteifigkeiten geringe Differenzen auf, was zu einer
unregelmäßigen Schwingung des Versuchsbehälters führt. Da für die Untersuchung
der liegenden Zylinderschale nur die gleichmäßige Bewegung des
Versuchsbehälters notwendig ist, wird die Unwuchtmaschine auf dem Rahmen
solange verschoben, bis der gesamte Versuchsaufbau und somit die Zylinderschale
gleichmäßig angeregt wird. Die Federn werden nach wenigen Versuchsreihen
ausgetauscht, da ihre mechanischen Eigenschaften nach mehrfacher dynamischer
Belastung verändert sind.
Die Messung der Sattelpressung, des Bewegungs- und des Verformungszustandes
wird im eingeschwungenen Zustand des Versuchsbehälters gestartet und ca. 10 s
gemessen. Der Ausschwingvorgang wird ebenfalls aufgezeichnet.
5.2.2 Bemerkungen zur Versuchsdurchführung
Die Versuche zeigen, dass trotz der Führung des Versuchsaufbaus in den
Auflagertöpfen und der Ausrichtung der Unwuchtmaschine neben der vertikalen
Anregung eine geringe horizontale Anregung vorhanden ist, wodurch es zu Beginn
der Versuchsreihen bei leerem Versuchsbehälter im oberen Umkehrpunkt zu
Verdrehungen des Versuchsbehälters auf den Sätteln kommt. Um die resultierende
Verdrehung der Messtechnik zu verhindern wird der Behälter über dem Sattel ohne
Messtechnik mittels Spanngurten befestigt, was wegen des ausreichenden Abstands
der beiden Sättel zu keiner Veränderung in den Messwerten führt.
Trotz sorgfältiger Applikation der Dehnungsmessstreifen an dem Versuchsbehälter
kam es zum Ausfall einiger DMS. An der Messtechnik konnten keine Veränderungen
mehr vorgenommen werden, nachdem mit dem Füllen des Behälters begonnen
Hauptversuche Seite 97
wurde. Daher werden offensichtlich defekte DMS bei der Auswertung und
Darstellung der Messergebnisse nicht berücksichtigt.
Die Messergebnisse werden neben den Fehlereinflüssen durch die
Versuchsrandbedingungen wesentlich durch Imperfektionen des Versuchsaufbaus
beeinflusst. Durch präzise Ausrichtung der Sättel und des Versuchsbehälters auf
dem Rahmen werden die in [13] beschriebenen Imperfektionen im Versuchsaufbau
verringert. Die geringen Unebenheiten zwischen Schale und Sattel werden durch die
Zwischenlagen aus Vlies bzw. Fugenband weitgehend ausgeglichen.
Eine Messung ohne Zwischenlage führte bei den Messsensoren MATSCAN 3150 zur
frühen Übersteuerung mehrerer Sensorzellen. Daher werden keine Versuchsreihen
ohne Zwischenlage durchgeführt.
Bei der Entleerung des Versuchsbehälters mit einem Überdruck von 1,6 bar
zwischen den einzelnen Versuchsreihen zeigt sich, dass die Biegedruckspannungen
am Sattelhorn durch die Membranzugspannungen in der Zylinderschale nahezu
vollständig überlagert werden. Da die (Biege-) Druckspannungen für ein
Beulversagen der liegenden Zylinderschale maßgebend sind, ist es zur Erhöhung
der Betriebssicherheit sinnvoll, liegende, sattelgelagerte Flüssigkeitsbehälter mit
einem geringen Überdruck zu betreiben. In Kap. 5.3.7 ist die Änderung des
Verzerrungszustands unter Überdruck im Vergleich zur statischen Belastung für eine
Versuchsreihe dargestellt.
5.3 Versuchsergebnisse
Bei der Vielzahl der durchgeführten Versuche und der hohen Messpunktzahl wäre
eine graphische Darstellung aller Versuchsreihen sehr umfangreich. Daher werden
die Versuchsergebnisse an einigen exemplarischen Versuchsreihen dargestellt und
diskutiert.
Für die variierten Parameter wird der Verlauf der Umfangsdehnungen in
Längsrichtung in Höhe des Sattelhorns (Abbildung 13, DMS Pos.2), der Verlauf der
Umfangsdehnungen in Umfangsrichtung am Sattelhorn (Abbildung 13, DMS Pos.1),
Seite 98 Hauptversuche
die Auflagerpressungsverteilung wird die Messwertsumme eines gesamten
MATSCAN 3150 angegeben.
Der untere Umkehrpunkt des Versuchsbehälters wird als Tieflage bezeichnet, die
statische Ruhelage des Versuchsbehälters als Mittellage.
5.3.1 Füllgrad
Alle Versuchsreihen zeigen bei Variation des Füllgrads das gleiche Verhalten. Daher
ist es ausreichend eine Versuchsreihe genauer darzustellen. Für den Satteltyp S1
ergibt sich bei einer Sattelstellung a von 40 cm mit einer Zwischenlage aus Vlies die
in der Abbildung 59 und Abbildung 60 dargestellten Dehnungen in Umfangsrichtung.
Die Auflagerpressungsverteilung und die Messwertsumme sind in Abbildung 61
dargestellt.
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0 50 100 150 200 250 300 350 400Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰] 100% (Tieflage)
100% (Mittellage)
75% (Tieflage)
75% (Mittellage)
50% (Tieflage)
50% (Mittellage)
25% (Tieflage)
25% (Mittellage)
0% (Tieflage)
0% (Mittellage)
x
Abbildung 59 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp S1, a = 40 cm, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variiertem Füllgrad
Hauptversuche Seite 99
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
40 60 80 100 120 140 160 180Winkel ϕ [°]
Deh
nung
[‰]
100% (Tieflage)100% (Mittellage)75% (Tieflage)75% (Mittellage)50% (Tieflage)50% (Mittellage)25% (Tieflage)25% (Mittellage)0% (Tieflage)0% (Mittellage)
Abbildung 60 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp S1, a = 40 cm, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variiertem Füllgrad
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 10 20 30 40 50 60
Winkel ϕ [°]
Aufla
gerp
ress
ungs
verte
ilung
[N/m
m²]
100% (Tieflage)100% (Mittellage)75% (Tieflage)75% (Mittellage)50% (Tieflage)50% (Mittellage)25% (Tieflage)25% (Mittellage)0% (Tieflage)0% (Mittellage)
02000400060008000
Hochlage Mittellage TieflageMes
swer
tsum
me
[N]
100%75%50%25%0%
Abbildung 61 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 40 cm, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und
variiertem Füllgrad
In allen Versuchreihen treten die maximale Beanspruchung der Zylinderschale und
die maximale Auflagerpressung beim vollgefüllten Versuchsbehälter auf. Der
halbvolle Behälter liefert entgegen der Aussage von KRUPKA immer geringere
ϕ
ϕ
Seite 100 Hauptversuche
Beanspruchungen der Zylinderschale, von daher werden für die weitere Darstellung
der Versuchergebnisse nur die Versuche mit vollgefülltem Behälter betrachtet.
Die Entwicklung der Auflagerkraft mit steigendem Füllgrad verläuft nicht linear. Die
Ursache hierfür liegt in einem Messfehler des Foliendruck-Meßsystems der Fa.
Tekscan. Eine erneute Equilibration und Kalibration des Messsystems beim
Erreichen der einzelnen Füllgrade ist nicht möglich. Daher beeinflusst besonders die
zeitliche Drift das Messergebnis des Foliendruck-Messsystems. Die
Auflagerpressungsverteilung wird qualitativ richtig erfasst und entspricht der
Verteilung, die CHOUIHI in seinen Versuchen ermittelt hat. Zur Beschreibung der
Auflagerpressungsverteilung der liegenden Zylinderschale unter vertikaler
dynamischen Belastung ist es daher sinnvoll einen Erhöhungs- bzw. Stoßfaktor
bezogen auf die statische Last zu ermitteln.
5.3.2 Sattelstellung
Die Ergebnisse werden an der Versuchsreihe mit dem Satteltyp B3, einer
Zwischenlage aus Vlies und einer Erregerfrequenz Ω von 6 Hz dargestellt.
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0 50 100 150 200 250 300 350 400Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
Mittellage 10 cmTieflage 10 cmMittellage 20 cmTieflage 20 cmMittellage 30 cmTieflage 30 cmMittellage 40 cmTieflage 40 cm
x
Abbildung 62 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter Sattelstellung
Hauptversuche Seite 101
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
40 60 80 100 120 140 160 180Winkel ϕ [°]
Deh
nung
[‰]
Mittellage 10 cmTieflage 10 cmMittellage 20 cmTieflage 20 cmMittellage 30 cmTieflage 30 cmMittellage 40 cmTieflage 40 cm
Abbildung 63 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
beim Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter Sattelstellung
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 10 20 30 40 50Winkel ϕ [°]
Aufla
gerp
ress
ungs
verte
ilung
[N/m
m²]
Mittellage 10 cm Tieflage 10 cm Mittellage 20 cm Tieflage 20 cm Mittellage 30 cmTieflage 30 cmMittellage 40 cm Tieflage 40 cm
02000400060008000
Hochlage Tieflage
Mes
swer
tsum
me
[N]
10 cm20 cm30 cm40 cm
Abbildung 64 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter
Sattelstellung
ϕ
ϕ
Seite 102 Hauptversuche
Die erhebliche Steigerung der Dehnungen am Sattelhorn für die Sattelstellung a von
40 cm (a=R) zeigt deutlich, dass die aussteifende Wirkung der Behälterböden weiter
wirkt als bis zu einer Sattelstellung von 2Ra = . Insofern kann die Aussage von ZICK
in Bezug auf die statische Beanspruchung weder für die Tieflage des Behälters noch
für die Mittellage, die der statischen Beanspruchung entspricht, bestätigt werden.
Durch die Anordnung der Unwuchtmaschine auf dem HEB-Rahmen (Abbildung 9) ist
eine Vergrößerung der Sattelstellung bei diesem Versuchsaufbau nicht möglich.
Daher ist der Einfluss der Sattelstellung bzw. der aussteifenden Wirkung der
Behälterböden in der numerischen Berechnung besonders zu berücksichtigen.
Für die anderen Versuchsreihen wird für die Tieflage des Versuchsbehälters ein
Erhöhungsfaktor der resultierenden Messwertsumme des Foliendruck-Messsystems
bezogen auf die Mittellage ermittelt, wodurch der Einfluss der zeitlichen Drift des
Tekscan Foliendruck-Meßsystems nicht gesondert berücksichtigt werden muss. Die
Erhöhungsfaktoren für die resultierenden Messwertsummen sind in Abbildung 65 bis
Abbildung 68 für die vier verschiedenen Satteltypen abhängig von der resultierenden
Beschleunigung der Zylinderschale bei variierter Sattelstellung und Zwischenlage
dargestellt. ( yp )
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
1,000 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400
Erhöhungsfaktor [-]
Besc
hleu
nigu
ng [m
/s²] F-10
V-10F-20V-20F-30V-30F-40V-40
Abbildung 65 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die Tieflage des
Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden Beschleunigung bei Satteltyp B1,
variierter Sattelstellung und Zwischenlage
Hauptversuche Seite 103
( yp )
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
1,000 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400Erhöhungsfaktor [-]
Besc
hleu
nigu
ng [m
/s²] F-10
V-10F-20V-20F-30V-30F-40V-40
Abbildung 66 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die Tieflage des
Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden Beschleunigung bei Satteltyp B2,
variierter Sattelstellung und Zwischenlage
(Satteltyp: B3)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
1,000 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400Erhöhungsfaktor [-]
Besc
hleu
nigu
ng [m
/s²] F-10
V-10F-20V-20F-30V-30F-40V-40
Abbildung 67 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die Tieflage des
Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden Beschleunigung bei Satteltyp B3,
variierter Sattelstellung und Zwischenlage
Seite 104 Hauptversuche
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
1,000 1,050 1,100 1,150 1,200 1,250 1,300 1,350 1,400Erhöhungsfaktor [-]
Besc
hleu
nigu
ng [m
/s²] F-10
V-10F-20V-20F-30V-30F-40V-40
Abbildung 68 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die Tieflage des
Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden Beschleunigung bei Satteltyp S1,
variierter Sattelstellung und Zwischenlage
Die Abbildung 65 bis Abbildung 68 zeigen keine direkte Korrelation zwischen dem
Erhöhungsfaktor und der Beschleunigung der Zylinderschale. Bei den Sätteln B1, B2
und B3 bleiben die Erhöhungsfaktoren immer unter den Werten, die aufgrund der
gemessenen Beschleunigung zu erwarten wären, wenn den Ein-Massen-Schwinger
zugrundelegt wird. Beim Sattel S1 wird der erwartete Wert für den Erhöhungsfaktor
bei 2 Versuchen geringfügig überschritten.
5.3.3 Sattelwinkel
Dargestellt werden die Ergebnisse an den Sätteln vom Typ B1, B2 und B3. Die
Sattelstellung liegt bei 40 cm und als Zwischenlage wird der PE-Schaum (F)
verwendet. Auf die Darstellung des Satteltyps S1 wurde verzichtet, da der Einfluss
der Steifigkeit des Sattels den Parameter Sattelwinkel überdecken würde.
Hauptversuche Seite 105
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0 50 100 150 200 250 300 350 400Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
Mittellage B1Tieflage B1Mittellage B2Tieflage B2Mittellage B3Tieflage B3
x
Abbildung 69 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei a = 40 cm, Zwischenlage PE-Schaum, Ω = 5 Hz und variiertem Satteltyp
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
40 60 80 100 120 140 160 180Winkel ϕ [°]
Deh
nung
[‰]
Mittellage B1Tieflage B1Mittellage B2Tieflage B2Mittellage B3Tieflage B3
Abbildung 70 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei a = 40 cm, Zwischenlage PE-Schaum, Ω = 5 Hz und variiertem Satteltyp
ϕ
Seite 106 Hauptversuche
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 10 20 30 40 50 60Winkel ϕ [°]
Auf
lage
rpre
ssun
gsve
rteilu
ng [N
/mm
²]
Mittellage B1Tieflage B1Mittellage B2Tieflage B2Mittellage B3Tieflage B3
0
2000
4000
6000
8000
Tieflage Mittellage Hochlage
Mes
swer
tsum
me
[N]
B1B2B3
Abbildung 71 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei a = 40 cm, Zwischenlage PE-Schaum, Ω = 5 Hz und variiertem
Satteltyp
Mit kleiner werdendem Sattelwinkel werden die Dehnungen am Sattelhorn größer.
Der Dehnungszuwachs bei Wechsel zwischen Satteltyp B2 (90°) nach B3 (80°) ist
größer als beim Wechsel zwischen Satteltyp B1 (120°) nach B2 (90°). Ursache
hierfür kann u.a. eine schlechtere Anpassung des Satteltyps B3 sein, was dann zu
größeren Dehnungen führt. Die Dehnungszunahme infolge der dynamischen
Belastung ist beim vorliegenden Versuch ebenfalls überverhältnismäßig groß,
obschon sich bei der Messwertsumme über den MATSCAN 3150 ein
Erhöhungsfaktor bezogen auf die Mittellage von 1,05 bei einer Beschleunigung von
3,03 ²sm ergibt.
5.3.4 Elastizität der Zwischenlage
Der Einfluss einer weichfedernden Zwischenlage soll am Beispiel des Sattels vom
Typ S1 bei einer Sattelstellung a=30 cm und einer Erregerfrequenz von 5 Hz
dargestellt werden.
ϕ
Hauptversuche Seite 107
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0 50 100 150 200 250 300 350 400Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
Mittellage VTieflage VMittellage FTieflage F
x
Abbildung 72 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Ω = 5 Hz und variierter Zwischenlage
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
40 60 80 100 120 140 160 180Winkel ϕ [°]
Deh
nung
en [‰
]
Mittellage VTieflage VMittellage FTieflage F
Abbildung 73 Umfangsdehnungen in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Ω = 5 Hz und variierter Zwischenlage
ϕ
Seite 108 Hauptversuche
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 10 20 30 40 50 60Winkel ϕ [°]
Auf
lage
rpre
ssun
gsve
rteilu
ng [N
/mm
²]
Mittellage VTieflage VMittellage FTieflage F
02000400060008000
10000
Hochlage Tieflage
Mes
swer
tsum
me
[N]
VF
Abbildung 74 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Ω = 5 Hz und variierter Zwischenlage
Die Versuche zeigen, dass die maximale Auflagerpressung am Sattelhorn durch die
weichfedernde Zwischenlage reduziert wird. Neben der Reduktion der maximalen
Auflagerpressung am Sattelhorn wird auch die maximale Dehnung am Sattelhorn
reduziert. Beim dargestellten Versuch lassen Dehnungsreduktionen von ca. 10%
erzielen. Die Erhöhungsfaktoren der Messwertsumme des MATSCAN 3150 bezogen
auf die Mittellage sind bereits in Abbildung 65 - Abbildung 68 so dargestellt, dass
eine Unterscheidung nach der Zwischenlage gut möglich ist. Auf eine erneute
Darstellung wird hier verzichtet.
5.3.5 Erregerfrequenz
Anhand der Versuchsreihe mit dem Satteltyp S1, einer Sattelstellung a von 30 cm
und einer Zwischenlage aus Vlies soll geklärt werden, ob die Erregerfrequenz einen
Einfluss auf die Beanspruchung der liegenden Zylinderschale hat. In der Tieflage des
Versuchsbehälters ergibt sich bei einer Erregerfrequenz Ω von 5 Hz eine
Beschleunigung s&&∆ der Zylinderschale von 2,598 ²sm , bei einer Erregerfrequenz Ω
von 6 Hz eine Beschleunigung s&&∆ von 2,370 ²sm .
ϕ
Hauptversuche Seite 109
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0 50 100 150 200 250 300 350 400Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
Mittellage 5-4Tieflage 5-4Mittellage 6-6Tieflage 6-6
x
Abbildung 75 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Zwischenlage Vlies und variierter Erregerfrequenz Ω
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
40 60 80 100 120 140 160 180Winkel ϕ [°]
Deh
nung
[‰]
Mittellage 5 HzTieflage 5 HzMittellage 6 HzTieflage 6 Hz
Abbildung 76 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Zwischenlage Vlies und variierter Erregerfrequenz Ω
ϕ
Seite 110 Hauptversuche
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0 10 20 30 40 50 60Winkel ϕ [°]
Auf
lage
rpre
ssun
gsve
rteilu
ng [N
/mm
²]
Mittellage 5 HzTieflage 5 HzMittellage 6 HzTieflage 6 Hz
02000400060008000
10000
Hochlage Mittellage TieflageMes
swer
tsum
me
[N]
5 Hz6 Hz
Abbildung 77 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Zwischenlage Vlies und variierter
Erregerfrequenz Ω
Aus den Versuchen kann eine Abhängigkeit der Schalenbeanspruchung von der
Erregerfrequenz nicht hergeleitet werden. In der Mittellage, dass heißt beim
Durchgang der liegenden Zylinderschale durch die Ruhelage, entspricht die
Beanspruchung der Schale der bei statischer Belastung. Die Mittellage müsste bei
beiden dargestellten Versuche identisch sein, was hier nicht der Fall ist. Bereits
geringe Imperfektionen führen zu einer wesentlichen Veränderung der Messwerte.
Betrachtet man, wie zuvor schon bei der Auflagerpressungsverteilung nur den
Zuwachs der Dehnungen bezogen auf den Wert in der Mittellage, dann ist eine
Abhängigkeit der Schalenbeanspruchung von der Erregerfrequenz nicht herzuleiten.
5.3.6 Steifigkeit des Sattels
Der Sattel S1 wird mir dem Sattel B1 bei einer Sattelstellung a von 40 cm, einer
Zwischenlage aus Vlies und einer Erregerfrequenz Ω von 6 Hz verglichen. Der
Sattelwinkel ϕ ist mit 120° bei beiden Sätteln identisch.
Die Auswertung der Versuche zeigt, dass die Beanspruchung der Zylinderschale
beim Satteltyp S1 größer ist als biem Satteltyp B1
ϕ
Hauptversuche Seite 111
Der Sattel wurde nach DIN 28080 [20] gefertigt, wobei auf die Überstandsbleche
verzichtet wurde. Die dort angegebenen Blechdicken führen dazu, dass der
Stahlsattel S1 keinesfalls weicher ist als der Betonsattel B1.
Anhand der vorliegenden Versuche kann keine Aussage über den Einfluss der
Steifigkeit des Sattels gemacht werden. Auf die Darstellung der Messergebnisse wird
aus diesem Grund verzichtet.
5.3.7 Überdruck
Zur Beschleunigung des Entleerungsvorgangs wird im Behälter nach Abschluss der
Versuchsreihen ein Überdruck von 1,6 bar erzeugt. Hierbei zeigt sich, dass die
Biegedruckspannungen am Sattelhorn nahezu vollständig durch die
Membranzugspannungen, die durch den inneren Überduck entstehen, überlagert
werden. Dies wird für den Sattel B1 bei einer Sattelstellung a von 10 cm, einer
Zwischenlage aus Vlies in der Abbildung 78 bis Abbildung 80 dargestellt.
-0,04
-0,02
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0 50 100 150 200 250 300 350 400Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
Mittellage dynamisch1,6 bar
x
Abbildung 78 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Mittelage des Versuchsbehälters bei Satteltyp
B1, a = 10 cm, Zwischenlage Vlies unter dynamischer Last und Überdruck von 1,6 bar
Seite 112 Hauptversuche
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
60 75 90 105 120 135 150 165 180Winkel ϕ [°]
Deh
nung
[‰]
Mittellage dynamisch1,6 bar
Abbildung 79 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Mittelage des Versuchsbehälters bei
Satteltyp B1, a = 10 cm, Zwischenlage Vlies unter dynamischer Last und Überdruck von
1,6 bar
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0 10 20 30 40 50 60Winkel ϕ [°]
Auf
lage
rpre
ssun
gsve
rteilu
ng [
N/m
m²]
Mittellage dynamisch1,6 bar
Abbildung 80 Auflagerpressungsverteilung in der Mittelage des Versuchsbehälters bei Satteltyp B1,
a =10 cm, Zwischenlage Vlies unter dynamischer Last und unter Überdruck von 1,6 bar
ϕ
ϕ
Hauptversuche Seite 113
Die Versuche zeigen deutlich, dass durch den Überdruck Membranzugspannungen
in nennenswertem Umfang auftreten. Durch die aussteifende Wirkung der
Behälterböden, treten bei der Sattelstellung a von 10 cm in der Mittellage keine
nennenswerten Biegedruckspannungen auf, bei größeren Sattelstellungen
(Abbildung 62 bis Abbildung 64) sind Biegedruckspannungen vorhanden. Die
Auflagerpressungsspitzen an den Sattelhörner werden reduziert und die
Auflagerpressungsverteilung zwischen Sattel und Zylinderschale ist unter Überdruck
nahezu konstant.
5.4 Vergleich des FEM-Modells mit den Versuchsergebnissen
Die experimentellen Versuchsergebnisse, die im vorhergehenden Unterkapitel 5.3
exemplarisch vorgestellt wurden, werden mit dem FEM-Modell verglichen. Die
numerische Simulation des Kontakts zwischen Sattel und Zylinderschale wird für die
Zwischenlage aus Vlies mit einem E-Modul von 30000 N/mm² und für die
Zwischenlage aus PE-Schaum mit einem E-Model von 2000 N/mm² durchgeführt.
5.4.1 Sattelstellung
In Abbildung 81 und Abbildung 82 sind die gemessenen Umfangsdehnungen in
Längs- und Umfangsrichtung in der Tieflage des Behälters den berechneten Werten
gegenüber gestellt.
Seite 114 Hauptversuche
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0 50 100 150 200 250Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
FEM-a10-Horn
FEM-a10-DMS-Lage
Versuch-a10
FEM-a20-Horn
FEM-a20-DMS-Lage
Versuch-a20
FEM-a30-Horn
FEM-a30-DMS-Lage
Versuch-a30
FEM-a40-Horn
FEM-a40-DMS-Lage
Versuch-a40
Abbildung 81 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Längsrichtung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter
Sattelstellung
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
Umfangslänge [mm]
Deh
nung
[‰]
FEM-a10Versuch-a10FEM-a20Versuch-a20FEM-a30Versuch-a30FEM-a40Versuch-a40
Abbildung 82 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Umfangsrichtung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter
Sattelstellung
Hauptversuche Seite 115
Die Umfangsdehnungen zeigen in Umfangsrichtung (Abbildung 82) gute
Übereinstimmung, wohingegen die berechneten Umfangsdehnungen in
Längsrichtung von den gemessenen (Abbildung 81) im Sattelbereich abweichen.
Aufgrund des starken Gradienten der Umfangsdehnung in Umfangsrichtung im
Bereich des Sattelhorns kann davon ausgegangen werden, dass die DMS nicht so
genau am Versuchsbehälter appliziert waren, wie es vorgesehen war. Durch geringe
Verschiebungen der DMS-Lage verändert sich der Messwert signifikant, was in
Abbildung 82 nachvollziehbar ist.
In Abbildung 83 wird die gemessene Auflagerpressungsverteilung in der Tieflage des
Versuchsbehälters mit den berechneten Werten verglichen.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 50 100 150 200 250 300 350Umfangslänge [mm]
Auf
lage
rpre
ssun
g [N
/mm
²]
FEM-a10Versuch-a10FEM-a20Versuch-a20FEM-a30Versuch-a30FEM-a40Versuch-a40
Abbildung 83 Gemessene und berechnete Auflagerpressungsverteilung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter
Sattelstellung
Die Auflagerpressungsverteilung wird durch das numerische Modell qualitativ gut
wiedergegeben, wohingegen quantitativ nennenswerte Unterschiede zu den
experimentellen Ergebnissen festzustellen sind. Ursächlich hierfür ist die
Messungenauigkeit des Tekscan Foliendruck-Messsystems. Betrachtet man die
Messwertsumme und Auflagerpressungsverteilung in Abbildung 64, wird deutlich,
dass die Messwertsumme bei nahezu gleicher qualitativer
Seite 116 Hauptversuche
Auflagerpressungsverteilung um bis zu 50 % abweicht. Die
Auflagerpressungsverteilung kann daher nur qualitativ für die Abschätzung des
numerischen Modells verwendet werden.
5.4.2 Sattelwinkel
In Abbildung 84 und Abbildung 85 sind die gemessenen Umfangsdehnungen in
Längs- und Umfangsrichtung, in Abbildung 86 die Auflagerpressungsverteilung in der
Tieflage des Behälters den berechneten Werten gegenüber gestellt.
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0 50 100 150 200 250Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
FEM-Horn-W120FEM-DMS-Lage-W120Versuch-W120FEM-Horn-W90FEM-DMS-Lage-W90Versuch-W90FEM-Horn-W80FEM-DMS-Lage-W80Versuch-W80
Abbildung 84 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Längsrichtung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Zwischenlage Fugenband, Ω = 5 Hz, a = 40 cm und variiertem
Sattelwinkel
Hauptversuche Seite 117
-1,6
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0 200 400 600 800 1000 1200 1400Umfangslänge [mm]
Deh
nung
[‰]
FEM-W120Versuch-W120FEM-W90Versuch-W90FEM-W80Versuch-W80
Abbildung 85 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Umfangsrichtung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Zwischenlage Fugenband, Ω = 5 Hz, a = 40 cm und variiertem
Sattelwinkel
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Umfangslänge [mm]
Aufla
gerp
ress
ung
[N/m
m²]
FEM-W120Versuch-W120FEM-W90Versuch-W90FEM-W80Versuch-W80
Abbildung 86 Gemessene und berechnete Auflagerpressungsverteilung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Zwischenlage Fugenband, Ω = 5 Hz, a = 40 cm und variiertem
Sattelwinkel
Seite 118 Hauptversuche
Für die Übereinstimmung der Umfangsdehnungen in Längsrichtung und für die
Auflagerpressung gelten die Aussagen, die bereits bei der Variation der
Sattelstellung gemacht wurden. In Abbildung 85 ist der Einfluss der DMS-Lage auf
das Messergebnis deutlich zu erkennen. Für die Versuchsreihen mit einem
Sattelwinkel 2ϕ = 120° und 2ϕ = 90° liegen die gemessenen maximalen Zerrungen in
Umfangsrichtung oberhalb der berechneten, wohingegen für einen Sattelwinkel 2ϕ =
80° die gemessenen maximalen Zerrungen unterhalb der berechneten liegen.
Es sei nochmals festgestellt, dass es sich bei den Verschiebungen bzw.
Verdrehungen der DMS-Lage zu der geplanten Lage um geringe Ungenauigkeiten
handelt, die bereits zu signifikanten Messwertänderungen führen.
5.4.3 Elastizität der Zwischenlage
In Abbildung 87 und Abbildung 88 sind die gemessenen Umfangsdehnungen in
Längs- und Umfangsrichtung, in Abbildung 89 die Auflagerpressungsverteilung in der
Tieflage des Behälters den berechneten Werten für verschiedene Zwischenlagen
(Vlies und PE-Schaum) gegenüber gestellt.
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Abstand x [mm]
Deh
nung
[‰]
FEM-Horn-FFEM-DMS-Lage-FVersuch-FFEM-Horn-VFEM-DMS-Lage-VVersuch-V
Abbildung 87 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Längsrichtung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, Ω = 5 Hz, a = 30 cm und variierter Zwischenlage
Hauptversuche Seite 119
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400Umfangslänge [mm]
Deh
nung
en [‰
]
FEM-VVersuch-VFEM-FVersuch-F
Abbildung 88 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Umfangsrichtung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, Ω = 5 Hz, a = 30 cm und variierter Zwischenlage
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450Umfangslänge [mm]
Auf
lage
rpre
ssun
g [N
/mm
²]
FEM-VVersuch-VFEM-FVersuch-F
Abbildung 89 Gemessene und berechnete Auflagerpressungsverteilung in der Tieflage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, Ω = 5 Hz, a = 30 cm und variierter Zwischenlage
Die berechneten Umfangsdehnungen stimmen sowohl in Längsrichtung als auch in
Umfangsrichtung sehr gut mit den gemessenen Werten überein. Die
Seite 120 Hauptversuche
Auflagerpressungsverteilung zeigt gute qualitative Übereinstimmung, die quantiative
Abweichungen sind auf die Messungenauigkeit des Foliendruck-Messsystems
zurückzuführen.
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass das numerische Modell (Kap. 2) eine
zufriedenstellende Übereinstimmung mit den durchgeführten Versuchen zeigt. Die
auftretenden Abweichungen zwischen verschiedenen berechneten und gemessenen
Zustandsgrößen lassen sich durch Messungenauigkeiten plausibel zu erklären, wie
in Kap. 5.4.1 erläutert, so dass von der Richtigkeit des numerischen Modell
ausgegangen werden kann.
5.5 Erörterung der Ergebnisse
In Rahmen der vorliegenden Arbeit werden erstmals systematische experimentelle
Untersuchungen der liegenden, sattelgelagerten Zylinderschale für vertikale
dynamische Belastung durchgeführt.
Bei den experimentellen Untersuchungen dieser werden der Füllgrad, die
Sattelstellung, der Sattelwinkel, die Elastizität einer Zwischenlage zwischen
Zylinderschale und Sattel und die Erregerfrequenz variiert. Die Auswahl der
variierten Schalen- und Sattelparameter wurde anhand von Arbeiten zur statischen
Belastung getroffen. Der nach DIN 28080 gefertigte Stahlsattel ist aufgrund der
normativ vorgeschriebenen Blechdicken nicht flexibler als die Betonsättel, so dass
die Sattelsteifigkeit nicht wie geplant variiert werden kann.
Der Verzerrungs- und Verformungszustand des Versuchsbehälters wird an ca. 60
Messpunkten aufgezeichnet, die Auflagerpressungsverteilung wird mit dem Tekscan
Foliendruck-Messsystem an 4576 Punkten gemessen. Bei einer Messrate von
125 Hz, einer mittleren Messdauer von 10 s und insgesamt 704 Messungen ergeben
sich ca. 4,5 Mrd. Einzelwerte. Die Darstellung aller Messwerte wäre unübersichtlich,
daher werden nur exemplarische Versuchreihen dargestellt.
Die experimentellen Ergebnisse zeigen eine Abhängigkeit von den variierten
Schalen- und Sattelparametern, wie sie für die statische Belastung bekannt ist.
Hauptversuche Seite 121
Für die vertikale dynamische Belastung muss nur der vollgefüllte Behälter betrachtet
werden, da Teilfüllungen immer geringere Beanspruchungen in der Zylinderschale
erzeugten. Sloshing-Effekte an der Flüssigkeitsoberfläche des vollgefüllten Behälters
konnten nicht festgestellt werden.
Mit zunehmender Sattelstellung und abnehmendem Sattelwinkel wächst die
Beanspruchung der Zylinderschale, hierbei zeigt sich, dass die aussteifende Wirkung
der Behälterböden entgegen der Aussage nach Zick für statische Beanspruchung
weiter wirkt als bis zu einer Sattelstellung a von 2R .
Eine weiche Zwischenlage zwischen Sattel und Zylinderschale führt zu eine
Verminderung der Auflagerpressung und Beanspruchung der Zylinderschale.
Beim Entleeren des Versuchsbehälters unter einem Überdruck von 1,6 bar zeigt sich,
dass die Biegedruckspannungen an der Außenseite der Zylinderschale durch die
Membranzugspannungen nahezu vollständig überlagert werden. Zur Erhöhung der
Betriebssicherheit liegender Flüssigkeitsbehälter ist es daher sinnvoll, diese mit
geringem Überdruck zu betreiben.
Numerische Berechnung Seite 123
6 Numerische Berechnung
6.1 Allgemeines
In den Hauptversuchen (Kap. 5) wurde auf die Variation einiger Schalen- bzw.
Sattelparameter, wie z.B. Schalenlänge verzichtet. Dies geschieht hier mittels
numerischer Berechnung.
Um die Abhängigkeit der Ergebnisse von den verschiedenen Schalen- und
Sattelparameter bestimmen zu können, wird in jeder Versuchsreihe nur ein
Parameter variiert und die anderen konstant gehalten. Numerisch wird die
Abhängigkeit von folgenden Parametern untersucht:
• Schalenlänge L (Kap. 6.1.1)
• Sattelbreite b (Kap. 6.1.2)
• Sattelstellung a (Kap. 6.1.3)
• Sattelwinkel 2ϕ (Kap. 6.1.4)
• Schalenradius R und Schalendicke t (Kap. 6.1.5)
• Elastizität der Zwischenlage EKontakt (Kap. 6.1.6)
• Fußpunktbeschleunigung s&&∆ (Kap. 6.1.7)
Ziel der numerischen Variation ist die Ermittlung von Schwingbeiwerten für die
dynamische Belastung in Bezug auf die statische Beanspruchung (Mittellage) der
Zylinderschale. Für die Bemessung Flüssigkeitsbehältern kann mit den
Schwingbeiwerten der Einfluß der vertikalen dynamischen Belastung nach
abgeschätzt werden.
statischresdynanisch S ε⋅=ε , wobei )2,b,a,L,tR,R(fSres ϕ=
Zur Ermittlung des Schwingbeiwertes wird für das jeweilige Berechnungsbeispiel der
Quotient aus der maximalen Umfangsdehnung am rechten Sattelhorn in der Tieflage
Seite 124 Numerische Berechnung
und in der Mittellage gebildet und als Funktion des variierten Parameter grafisch
aufgetragen. Zusätzlich wird für jedes Berechnungsbeispiel der Einfluss des
variierten Parameters dargestellt, hierzu wird der Quotient der Umfangsdehnung am
rechten Sattelhorn in der Mittellage des jeweiligen Behälters zur der
Umfangsdehnung am rechten Sattelhorn in der Mittellage zeigt eines Bezugsbehälter
dieser Berechnungsreihe gebildet.
6.1.1 Schalenlänge
Die Variation der Schalenlänge L wird an dem in Tabelle 5 beschriebenen Behälter
durchgeführt:
R t a b 2ϕ Ω s&&∆ EKontakt
[mm] [mm] [mm] [mm] [°] [Hz] [mm/s²] [N/mm²]
500 3 500 100 120 6 5000 30000
Tabelle 5 Behälter zur numerischen Variation der Schalenlänge
Die Schalenlänge L beträgt 6R = 3 m, 8R = 4 m, 12R = 6 m, 14R = 7 m, 18R = 9 m
bzw. 20R = 10 m, wobei die Schalenlängen von 9 und 10 m für die Praxis bei dem
geringen Schalenradius von 0,5m nur geringe Bedeutung haben. Im Rahmen der
vorliegenden Arbeit werden aber auch solche Grenzfälle betrachtet.
In Abbildung 90 wird der Schwingbeiwert und das das Verhältnis der
Umfangsdehnung am Sattelhorn in der Mittellage des jeweiligen Behälters zu der des
3 m langen Behälter dargestellt.
Numerische Berechnung Seite 125
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000Schalenlänge [mm]
Bei
wer
te [-
]
SchwingbeiwertBeiwert Schalenlänge
Abbildung 90 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Schalenlänge für R = 500 mm,
t = 3 mm, a = R, b = 100 mm, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variierter Länge
Abbildung 90 zeigt, dass mit zunehmender Schalenlänge der Schwingbeiwert
zunimmt.
Bezogen auf den Wert der Umfangsdehnung am Sattelhorn für den 3 m langen
Behälter zeigt sich im durchgeführten Berechnungsbeispiel ein nahezu linearer
Einfluss der Schalenlänge.
6.1.2 Sattelbreite
Die Sattelbreite wird für den in Tabelle 6 beschriebenen Behälter variiert:
L R t a 2ϕ Ω s&&∆ EKontakt
[m] [mm] [mm] [mm] [°] [Hz] [mm/s²] [N/mm²]
4 500 3 500 120 6 5000 30000
Tabelle 6 Behälter zur numerischen Variation der Sattelbreite
Die Sattelbreite b beträgt 50 mm, 100 mm, 150 mm und 200 mm
Seite 126 Numerische Berechnung
Abbildung 91 stellt den Verlauf des Schwingbeiwertes und das Verhältnis der
Umfangsdehnung am Sattelhorn in der Mittellage des jeweiligen Behälters zu der des
Behälters mit 20 cm breitem Sattel abhängig von der Sattelbreite dar.
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
5 7,5 10 12,5 15 17,5 20Sattelbreite [cm]
Beiw
erte
[-]
SchwingbeiwertBeiwert Sattelbreite
Abbildung 91 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelbreite für R = 500 mm,
t = 3 mm, a = R, L = 4000 mm, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variierter
Sattelbreite
Abbildung 91 zeigt, dass der Schwingbeiwert mit zunehmender Sattelbreite
geringfügig zunimmt. Mit abnehmender Sattelbreite nimmt die Umfangsdehnung am
Sattelhorn überproportional zu. Der für die statische Beanspruchung
spannungsreduzierende Einfluss der Sattelbreite verläuft degressiv. Für Sattelbreiten
von mehr als 20 cm ist eine weitere wesentliche Spannungsreduktion am Sattelhorn
nicht zu erwarten.
Numerische Berechnung Seite 127
6.1.3 Sattelstellung
Die Sattelstellung wird an dem in Tabelle 7 beschriebenen Behälter variiert:
L R t B 2ϕ Ω s&&∆ EKontakt
[m] [mm] [mm] [mm] [°] [Hz] [mm/s²] [N/mm²
4 500 3 100 120 6 5000 30000
Tabelle 7 Behälter zur numerischen Variation der Sattelstellung
Die Sattelstellung a wird varriiert von 0,5R = 250 mm, a = R = 500 mm, a = 0,75R =
750 mm bis a = 2R = 1000 mm
In Abbildung 92 ist neben dem Schwingbeiwert der Quotient der Umfangsdehnung
am Sattelhorn in der Mittellage des jeweiligen Behälters zu der des Behälters mit
einer Sattelstellung von 0,5 R dargestellt.
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
250 500 750 1000Sattelstellung [mm]
Bei
wer
te [-
]
SchwingbeiwertBeiwert Sattelstellung
Abbildung 92 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelstellung für R = 500 mm,
t = 3 mm, b = 100 mm, L = 4000mm, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variierter
Sattelstellung
Abbildung 92 zeigt, dass der Schwingbeiwert für Sattelstellungen bis zu einem Wert
von 1,5 R geringfügig mit steigendem Sattelabstand zunimmt. Für größere
Seite 128 Numerische Berechnung
Sattelstellungen steigt der Schwingbeiwert progressiv an, während die
Umfangsdehnungen mit steigendem Sattelabstand degressiv zunehmen.
Die aussteifende Wirkung des Behälterbodens ist offensichtlich bis zu o.g. Grenzwert
von 1,5 R vorhanden. Bei größeren Sattelstellungen ist nur noch mit einer geringen
Zunahme der Dehnungen in der Schale infolge statischer Beanspruchung zu
rechnen. Mit größerem Sattelbstand ist jedoch mit einer weiteren Zunahme des
Schwingbeiwertes zu rechnen.
6.1.4 Sattelwinkel
Der Sattelwinkel wird an dem in Tabelle 8 beschriebenen Behälter variiert:
L R t A b Ω s&&∆ EKontakt
[m] [mm] [mm] [mm] [mm] [Hz] [mm/s²] [N/mm²]
4 500 3 500 100 6 5000 30000
Tabelle 8 Behälter zur numerischen Variation des Sattelwinkels
Der Sattelwinkel 2ϕ beträgt 60°, 90°, 120°, 150° und 180°.
In Abbildung 93 ist der Schwingbeiwert und das Verhältnis der Umfangsdehnung am
Sattelhorn des jeweiligen Behälters zur Umfangsdehnung am Sattelhorn für den
Behälter mit einem Sattelwinkel von 180° jeweils in der Tieflage dargestellt.
Numerische Berechnung Seite 129
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
40 60 80 100 120 140 160 180 200
Sattelwinkel 2φ [°]
Beiw
erte
[-]
SchwingbeiwertBeiwert Sattelwinkel
Abbildung 93 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung des Sattelwinkels für R = 500 mm,
t = 3 mm, a = R, b = 100 mm, L = 4000 mm, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variiertem
Sattelwinkel
Abbildung 93 zeigt, dass der Sattelwinkel die Beanspruchung der Zylinderschale für
kleinere Sattelwinkel überproportional ansteigt.
Der Schwingbeiwert nimmt bei einem Sattelwinkel 2ϕ = 120° sein Minimum an. Für
kleinere und größere Sattelwinkel steigt der Schwingbeiwert geringfügig an.
6.1.5 Schalenradius und Schalendicke
Die Parameter Schalenradius R und Schalendicke t beeinflussen zusammen die
Steifigkeit der Schale über dem Sattel. Dabei ist Verhältnis tR eine entscheidende
Einflussgröße. Für zwei verschiedene Behälter werden der Schalenradius R und die
Schalendicke t variiert.
Seite 130 Numerische Berechnung
a)
L a B 2ϕ Ω s&&∆ EKontakt
[m] [mm] [mm] [°] [Hz] [mm/s²] [N/mm²]
10 R 100 120 6 5000 30000
Tabelle 9 1. Behälter zur numerischen Variation des Schalenradius und der Schalendicke
In diesem Berechnungsbeispiel werden Schalenradien R von 1000, 1250, 1500 und
2000 mm variiert.
Für den Schalenradius R von 1000 mm werden Schalendicken t von 3, 5, 7 und 9
mm berechnet, für R = 1250 mm 4, 6, 8, 10 mm, für R = 1500 mm 6, 9, 12, 15 mm
und für R = 2000 mm 10, 13, 16, 19 mm. Die tR -Verhältnisse variieren zwischen
100 und 333.
In Abbildung 94 ist der Schwingbeiwert in Abhängigkeit des tR -Verhältnisses für die
verschiedenen Schalenradien 1, 1,25, 1,5 und 2m dargestellt.
Das Verhältnis der Umfangsdehnung am Sattelhorn in der Mittellage des jeweiligen
Behälters zu der des Behälters mit dem kleinsten tR -Verhältnis für den jeweiligen
Schalenradius ist in Abbildung 95 abgebildet.
Numerische Berechnung Seite 131
Schalenradius
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,5
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
0 50 100 150 200 250 300 350R/t-Verhältnis [-]
Sch
win
gbei
wer
t [-]
1000 mm1250 mm1500mm2000 mm
Abbildung 94 Schwingbeiwert, a = R, L = 10 m, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variiertem R/t
für verschiedene Schalenradien
Schalenradius
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 50 100 150 200 250 300 350R/t-Verhältnis [-]
R/t-
Bei
wer
t [-]
1000 mm1250 mm1500 mm2000 mm
Abbildung 95 Beiwert zur Berücksichtigung von R/t, a = R, L = 10 m, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz,
∆ s&& max = 0,5 g und variiertem R/t für verschiedene Schalenradien
Seite 132 Numerische Berechnung
Unabhängig vom gewählten Schalenradius nimmt der Schwingbeiwert (Abbildung
94) mit zunehmendem tR -Verhältnis zu.
Abbildung 95 zeigt einen nahezu linearen Zusammenhang zwischen der
Beanspruchung der Zylinderschale und dem tR -Verhältnis.
b)
L A b 2ϕ Ω s&&∆ EKontakt
[m] [mm] [mm] [°] [Hz] [mm/s²] [N/mm²]
5 R 100 60 6 5000 30000
Tabelle 10 2. Behälter zur numerischen Variation des Schalenradius und der Schalendicke
Bei dem in Tabelle 10 beschriebenen Behälter werden Schalenradien R von 500,
750, 1000 und 1500 mm variiert. Für den Schalenradius R = 500 mm werden
Schalendicken t von 1,5, 3, 5 und 7 mm berechnet, für R = 750 mm 2, 4, 6, 8 mm, für
R = 1000 mm 3, 5, 7, 9 mm und für R = 1500 mm 6, 9, 12, 15 mm. Die tR -
Verhältnisse variieren zwischen 94 und 375.
In Abbildung 96 ist der Schwingbeiwert für die verschiedenen Radien 0,5, 0,75, 1,
1,25 und 1,5 m dargestellt. Das Verhältnis der Umfangsdehnung am Sattelhorn in
der Mittellage des jeweiligen Behälters zu der des Behälters mit dem kleinsten tR -
Verhältnis für diesen Schalenradius ist in Abbildung 97 abgebildet.
Numerische Berechnung Seite 133
Schalenradius
1,36
1,38
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
50 100 150 200 250 300 350 400R/t-Verhältnis [-]
Sch
win
gbei
wer
t [-]
500 mm750 mm1000 mm1250 mm1500 mm
Abbildung 96 Schwingbeiwert, a = R, L = 5 m, 2ϕ = 60°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max 0,5 g und variiertem R/t für
verschiedene Schalenradien
Schalenradius
0
2
4
6
8
10
12
14
0 50 100 150 200 250 300 350 400R/t-Verhältnis [-]
R/t-
Bei
wer
t [-]
500 mm750 mm1000 mm1250 mm1500 mm
Abbildung 97 Beiwert zur Berücksichtigung von R/t, a = R, L = 5 m, 2ϕ = 60°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& ma = 0,5 g
und variiertem R/t für verschiedene Schalenradien
Seite 134 Numerische Berechnung
Abbildung 97 zeigt den Beiwert zur Berücksichtigung des tR -Verhältnisses. Im
Gegensatz zu den Berechnungsbeispielen unter a) (Abbildung 95) ist ein leicht
progressiver Verlauf des Beiwertes für größere Schalenradien zu erkennen. Dennoch
ist in den Grenzen der durchgeführten Berechnungsbeispiele eine lineare
Annäherung ausreichend.
Der Schwingbeiwert in Abbildung 96 zeigt die gleiche Abhängigkeit vom tR -
Verhältnis wie die Berechnungsbeispiele unter a) (Abbildung 94). Für tR -
Verhältnisse kleiner 100-150 nimmt der Schwingbeiwert überproportional ab,
während er für tR -Verhältnisse größer 150 zunimmt.
6.1.6 Elastizität der Zwischenlage
Zur Variation der Elastizität der Zwischenlage zwischen Zylinderschale und Sattel
wird der in Tabelle 11 beschriebene Behälter verwendet:
L R t A b 2ϕ Ω s&&∆
[m] [mm] [mm] [mm] [mm] [°] [Hz] [mm/s²]
5 750 4 1125 100 90 6 5000
Tabelle 11 Behälter zur numerischen Variation der Elastizität der Zwischenlage
In der Kontaktfläche wurde E-Moduli EKontakt von 10, 100, 500, 2000, 10000, 30000,
50000, 75000, 100000 und 210000 N/mm² angenommen.
Abbildung 98 zeigt den Schwingbeiwert in Abhängigkeit der Elastizitzät der
Zwischenlage. Zusätzlich ist das Verhältnis der Umfangsdehnung am Sattelhorn des
jeweiligen Behälters zur Umfangsdehnung am Sattelhorn für den Behälter mit einem
E-Modul in der Kontaktffläche von 30000 N/mm² dargestellt.
Numerische Berechnung Seite 135
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1 10 100 1000 10000 100000 1000000E-Modul der Kontaktelemente [N/mm²]
Beiw
erte
[-]
SchwingbeiwertBeiwert Zwischenlage
Abbildung 98 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelstellung für R = 750 mm,
t = 4 mm,a = 1125 mm, b = 100 mm, L = 5 m, 2ϕ = 90°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und
variierter Zwischenlagenelastizität
Eine systematische Abhängigkeit des Schwingbeiwertes von der Elastizität der
Zwischenlage zwischen Zylinderschale und Sattel ist aus Abbildung 98 nicht
herzuleiten.
Durch die Zwischenlage lässt sich die maximale Umfangsdehnung um bis zu 30 %
reduzieren. Ab einem E-Modul von 2000 N/mm² kann eine dehnungsreduzierende
Wirkung der Zwischenlage nicht mehr festgestellt werden. Der Einfluss einer
elastomeren Zwischenlage zwischen Zylinderschale und Sattel wird durch ein linear-
elastische Materialverhalten ausreichend genau simuliert, was für statische
Beanspruchung von liegenden Behältern ist von DÜMPELMANN [22] bestätigt wird.
DÜMPELMANN zeigt, dass der Ansatz eines linear-elastischen Materialgesetzes
unter Berücksichtigung der Schichtdicke der Zwischenschicht zwischen Sattel und
Zylinderschale die gleiche Beanspruchung in der Zylinderschale liefert, wie der
Ansatz eines elastomeren Materialgesetzes. Da ein Einfluss der Elastizität der
Zwischenlage auf den Schwingbeiwert nicht festgestellt werden konnte, wird im
Rahmen der vorliegenden Arbeit auf weitere Berechnungsbeispiele verzichtet.
Seite 136 Numerische Berechnung
6.1.7 Fußpunktbeschleunigung
Der Einfluss der Fußpunktbeschleunigung wird anhand des in Tabelle 12
beschriebenen Behälters untersucht:
L R t a b 2ϕ Ω EKontakt
[m] [mm] [mm] [mm] [mm] [°] [Hz] [N/mm²]
5 750 4 1125 100 90 6 30000
Tabelle 12 Behälter zur Variation der Fußpunktbeschleunigung
Die maximale Fußpunktbeschleunigung ∆ maxs&& wird mit 1000, 2000, 3000, 4000,
5000, 6000, 7000, 8000 und 9000 ²smm variiert.
Abbildung 99 zeigt den Schwingbeiwert und den Quotienten Umfangsdehnung am
Sattelhorn des jeweiligen Behälters zur Umfangsdehnung am Sattelhorn für den
Behälter mit einer Fußpunktbeschleunigung von 1000 ²smm jeweils in der
Mittellage.
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Beschleunigung [mm/s²]
Bei
wer
te [-
]
SchwingbeiwertBeiwert Beschleunigung
Abbildung 99 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelstellung für R = 750 mm,
t = 4 mm,a = 1125 mm, b = 100 mm, L = 5 m, 2ϕ = 90°, Ω= 6 Hz, variierter
Fußpunktbeschleunigung
Numerische Berechnung Seite 137
Wie erwartet hat die Fußpunktbeschleunigung keinen Einfluss auf die
Dehnungsordinate in der Mittellage. Die Mittellage der vertikal am Fußpunkt
harmonisch angeregten, liegenden Zylinderschale entspricht der statischen
Beanspruchung. Bei dem gewählten Berechnungsbeispiel zeigt sich, wie in
Abbildung 99 ersichtlich eine lineare Abhängigkeit des Schwingbeiwertes von der
Fußpunktbeschleunigung.
Vergleicht man die zu erwartenden Schwingbeiwerte, die sich nach dem Modell des
Ein-Massen-Schwingers ergeben mit den in Abbildung 99 dargestellten, nimmt die
Differenz der beiden Werte mit steigender Fußpunktbeschleunigung zu.
6.2 Auswertung der numerischen Berechnungsbeispiele
In den Kapiteln 6.1.1 bis 6.1.7 werden die wesentlichen Parameter für die
Bemessung der Schale an einzelnen Berechnungsbeispielen numerisch variiert.
Hierbei zeigt sich eine mehr oder weniger starke Abhängigkeit des Schwingbeiwertes
von den einzelnen Parametern. Das tR -Verhältnis der Zylinderschale tritt als ein
wesentlicher Faktor im Rahmen der Berechnungsbeispiele hervor. Allerdings ist der
Schwingbeiwert nicht alleine vom tR -Verhältnis, sondern auch vom Schalenradius
signifikant abhängig.
Der Schalenradius und das tR -Verhältnis werden im Rahmen dieser Arbeit als
Bezugsgröße für den Schwingbeiwert gewählt.
Die Schwingbeiwerte, die sich aus den Berechnungsbeispielen ergeben, sind im
Weiteren zu normieren, um den Einfluss des tR -Verhältnisses aus den Variationen
der Schalenlänge, Sattelbreite usw. zu eliminieren.
Führt man sukzessive diese Elimination durch, ergeben sich die in der Abbildung 100
bis Abbildung 105 dargestellten Diagramme zur Bestimmung eines resultierenden
Schwingbeiwertes.
Seite 138 Numerische Berechnung
Mit den Eingangswerten tR und der Fußpunktbeschleunigung maxs&&∆ lässt sich der
Schwingteilbeiwert S1, mit der Sattelstellung a und der Schalenlänge L der
Schwingteilbeiwert S2 und mit dem Sattelwinkel 2ϕ und der Sattelbreite b der
Schwingteilbeiwert S3 graphisch ermitteln.
Der resultierende Schwingbeiwert Sres ergibt sich als Produkt der 3
Schwingteilbeiwerte S1, S2 und S3.
Numerische Berechnung Seite 139
6.2.1 Schwingbeiwert Sres für R = 500 mm
Sre
s = S
1 • S
2 •
S3
Fußp
unkt
-be
schl
euni
gung
[mm
/s²]
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
5010
015
020
025
030
035
0
R/t-V
erhä
ltnis
[-]
Schwingteilbeiwert S1 [-]
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Scha
lenl
änge
L[m
m]
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
0,5
0,75
11,
251,
51,
752
x R
Satte
lste
llung
[mm
]
Schwingteilbeiwert S2 [-]
6R 8R 10R
12R
14R
18R
20R
Satte
lwin
kel 2φ
[°]
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
5010
015
020
0
Satte
lbre
ite [m
m]
Schwingteilbeiwert S3 [-]
60 90 120
150
180
Abbildung 100 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 500 mm
Seite 140 Numerische Berechnung
6.2.2 Schwingbeiwert Sres für R = 750 mm
Sre
s = S
1 • S
2 •
S3
Fußp
unkt
-be
schl
euni
gung
[mm
/s²]
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
5010
015
020
025
030
035
040
0
R/t-V
erhä
ltnis
[-]
Schwingteilbeiwert S1 [-]
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Scha
lenl
änge
L[m
m]
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
0,5
0,75
11,
251,
51,
752
x R
Satte
lste
llung
[mm
]
Schwingteilbeiwert S2 [-]6R 8R 10
R
12R
14R
18R
20R
Satte
lwin
kel 2φ
[°]
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
5010
015
020
0
Satte
lbre
ite [m
m]
Schwingteilbeiwert S3 [-]
60 90 120
150
180
Abbildung 101 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 750 mm
Numerische Berechnung Seite 141
6.2.3 Schwingbeiwert Sres für R = 1000 mm
Sre
s = S
1 • S
2 •
S3
Fußp
unkt
-be
schl
euni
gung
[mm
/s²]
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
5010
015
020
025
030
035
0
R/t-V
erhä
ltnis
[-]
Schwingteilbeiwert S1 [-]
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Scha
lenl
änge
L[m
m]
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
0,5
0,75
11,
251,
51,
752
x R
Satte
lste
llung
[mm
]
Schwingteilbeiwert S2 [-]6R 8R 10
R
12R
14R
18R
20R
Satte
lwin
kel 2φ
[°]
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
5010
015
020
0
Satte
lbre
ite [m
m]
Schwingteilbeiwert S3 [-]
60 90 120
150
180
Abbildung 102 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 1000 mm
Seite 142 Numerische Berechnung
6.2.4 Schwingbeiwert Sres für R = 1250 mm
Sre
s = S
1 • S
2 •
S3
Fußp
unkt
-be
schl
euni
gung
[mm
/s²]
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
5010
015
020
025
030
035
0
R/t-V
erhä
ltnis
[-]
Schwingteilbeiwert S1 [-]
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Scha
lenl
änge
L[m
m]
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
0,5
0,75
11,
251,
51,
752
x R
Satte
lste
llung
[mm
]
Schwingteilbeiwert S2 [-]6R 8R 10
R
12R
14R
18R
20R
Satte
lwin
kel 2φ
[°]
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
5010
015
020
0
Satte
lbre
ite [m
m]
Schwingteilbeiwert S3 [-]
60 90 120
150
180
Abbildung 103 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 1250 mm
Numerische Berechnung Seite 143
6.2.5 Schwingbeiwert Sres für R = 1500 mm
Sre
s = S
1 • S
2 •
S3
Fußp
unkt
-be
schl
euni
gung
[mm
/s²]
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
5010
015
020
025
030
0
R/t-V
erhä
ltnis
[-]
Schwingteilbeiwert S1 [-]
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Scha
lenl
änge
L[m
m]
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
0,5
0,75
11,
251,
51,
752
x R
Satte
lste
llung
[mm
]
Schwingteilbeiwert S2 [-]6R 8R 10
R
12R
14R
18R
20R
Satte
lwin
kel 2φ
[°]
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
5010
015
020
0
Satte
lbre
ite [m
m]
Schwingteilbeiwert S3 [-]
60 90 120
150
180
Abbildung 104 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 1500 mm
Seite 144 Numerische Berechnung
6.2.6 Schwingbeiwert Sres für R = 2000 mm
Sre
s = S
1 • S
2 •
S3
Fußp
unkt
-be
schl
euni
gung
[mm
/s²]
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
5010
015
020
025
0
R/t-V
erhä
ltnis
[-]
Schwingteilbeiwert S1 [-]
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Scha
lenl
änge
L[m
m]
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
0,5
0,75
11,
251,
51,
752
x R
Satte
lste
llung
[mm
]
Schwingteilbeiwert S2 [-]6R 8R 10
R
12R
14R
18R
20R
Satte
lwin
kel 2φ
[°]
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
5010
015
020
0
Satte
lbre
ite [m
m]
Schwingteilbeiwert S3 [-]
60 90 120
150
180
Abbildung 105 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 2000 mm
Numerische Berechnung Seite 145
6.3 Erörterung der Ergebnisse
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird die vertikale dynamische Schwingung der
liegenden, sattelgelagerten Zylinderschale mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode
simuliert.
Durch die 4-Knoten-Schalenelemente nach der diskreten Kirchhoff’schen Theorie
werden die Knotenzahl des FEM-Modells und somit die Rechenzeit erheblich
reduziert, ohne dass gegenüber anderen Elementen mit höherer Knotenzahl
Genauigkeitseinbußen hingenommen werden müssen. Die Hauptversuche zeigen,
dass „Sloshing-Effekte“ der Flüssigkeitsoberfläche beim maßgebenden, vollgefüllten
Behälter nicht auftreten. Die Berechnung des Flüssigkeitsdrucks aus der
resultierenden Fußpunktbeschleunigung )t(s&& ist somit gerechtfertigt und stellt eine
zusätzliche Vereinfachung des numerischen Modells dar. Der Einsatz von
elastomeren Zwischenschichten bei lose aufgelagerten kreiszylindrischen Behältern
ist in [22] für die statische Belastung ausreichend behandelt. Dort ist gezeigt, dass
unter Berücksichtigung der Dicke einer Zwischenschicht ein linear-elastisches
Materialverhalten für die Kontaktelemente gute Ergebnisse liefert, was zu einer
weiteren Vereinfachung des FEM-Modells genutzt wird.
Mit dem FEM-Modell werden die experimentellen Ergebnisse überprüft und erweitert,
sowie weitere Parameter, wie z.B. die Schalenlänge, der Schalenradius, die
Schalendicke usw. untersucht. Um die Abhängigkeit der Ergebnisse von den
verschiedenen Schalen- und Sattelparameter zu bestimmen, wird in jeder
Berechnungsreihe nur ein Parameter variiert und die anderen festgehalten. Die
Ergebnisse werden auf den Eingangparameter Schalenradius R normiert und
Diagramme zur Ermittlung eines resultierenden Schwingbeiwertes Sres hergeleitet.
Für die Praxis ist mit den in dieser Arbeit entwickelten Schwingbeiwert Sres ist
erstmals eine Abschätzung des Auswirkung dynamischer vertikaler Belastung
einfach möglich. Für einen weiten Parameterbereich weicht der resultierende
Schwingbeiwert nur unwesentlich von dem Wert ab, der sich auf Grundlage des Ein-
Massen-Schwinger-Modells ergibt.
Seite 146 Numerische Berechnung
Für große Sattelabstände, Behältern mit großem Durchmesser und großem tR -
Verhältnis steigt der Schwingbeiwert jedoch an und das Modell des Ein-Massen-
Schwingers unterschätzt die tatsächliche Beanspruchung der Zylinderschale
Für kleine Sattelabstände, kleine Durchmesser und kleines tR -Verhältnis ergeben
sich resultierende Schwingbeiwerte, die deutlich unter dem Wert des Ein-Massen-
Schwinger-Modells liegen. Da die tatsächliche Beanspruchung überschätzt wird,
wäre die Bemessung nach dem Ein-Massen-Schwinger-Modell unwirtschaftlich.
Die Gültigkeit des numerischen Modells wurde nur innerhalb der Abmessungen des
Versuchsbehälters überprüft und zeigt gute Übereinstimmung mit den
experimentellen Ergebnissen.
Zusammenfassung Seite 147
7 Zusammenfassung
7.1 Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wird das Tragverhalten liegender, sattelgelagerter
Kreiszylinderschalen unter vertikaler dynamischer Belastung untersucht.
Im Bezug auf die dynamischer Belastung liegender, sattelgelagerter
Kreiszylinderschalen sind bis heute nur die Arbeiten von SON und LADEWIG
bekannt. SON stellt auf Grundlage der Schnittgrößen an der Zylinderschale das
dynamische Gleichgewicht für ein finites Schalenelement auf. Er löst diese
Gleichungen für die Kreisringplatte und überträgt sie auf die liegende Zylinderschale.
Für die Kreisringplatte, einige symmetrisch gelagerte und für mit den Sattellagern
verschweißte Kreiszylinderschalen berechnet er die Eigenkreisfrequenzen.
LADEWIG entwickelt mit Hilfe der FE-Methode ein numerisches Modell zur
statischen und dynamischen Berechnung liegender Flüssigkeitsbehälter. Bei
Vergleich seiner Berechnungsergebnisse mit denen anderen Arbeiten stellt er für die
statische Belastung je nach Steifigkeit des Sattels größere bzw. geringere
Beanspruchung der Zylinderschale fest. Bei der Simulation verschiedener Erdbeben,
stellt er bei einer Steigerung der Erdbebenintensität von 1,0 auf der Richterskala eine
Verdoppelung der Zylinderschalenbeanspruchung fest.
Die theoretischen Ergebnisse von SON und LADEWIG sind nicht durch
experimentelle Untersuchungen validiert und es werden nur wenige Schalen- und
Sattelparameter untersucht. LADEWIG beschränkt seine dynamische Untersuchung
auf die horizontale Erregung des Flüssigkeitsbehälters. Von daher können beide
Arbeiten nicht für Vergleichberechungen der Untersuchungen dieser Arbeit
verwendet werden.
Neben der DIN 4149 kommt zur dynamischen Bemessung der EC 8 in Betracht.
Werden Tankbehälter aus dem Gültigkeitsbereich der DIN 4149 explizit
ausgeschlossen, gibt der EC8 allgemeine Konstruktionshinweise an und schreibt
eine Schwingungsuntersuchung von Tankbehältern vor, ohne dies weiter
Seite 148 Zusammenfassung
auszuführen. Der theoretische Hintergrund der in der GGVS [27] angegebenen
Lasten und das vorgegebene Berechnungsmodell werden nicht erläutert.
Von daher wird das generelle Tragverhalten an Arbeiten im Bezug auf statische
Belastung erläutert. Zur Beschreibung des Flüssigkeitsverhaltens werden Arbeiten,
die sich auf stehende Behälter beziehen vorgestellt.
Mit Hilfe der Finiten-Elementen-Methode (FEM) wird die vertikale dynamische
Schwingung der liegenden Zylinderschale simuliert. Ausgehend von der Theorie der
dünnen Schalen wird die Finite-Elementen-Methode vorgestellt. Die Zylinderschale
wird mit 4-Knoten-Elementen nach der diskreten Kirchoff’schen Theorie (DKT)
abgebildet. Die Ansatzfunktionen sind weder in der Literatur noch in der
Programmdokumentation des verwendeten FEM-Programms explizit angegeben, so
dass sie im Rahmen der vorliegenden Arbeit aufgestellt werden und das Element bis
zur Steifigkeitsmatrix entwickelt wird. Durch die Anwendung der 4-Knoten-DKT-
Elemente wird die Knotenzahl und somit die Rechenzeit erheblich reduziert. Eine
zusätzliche Vereinfachung des numerischen Modells ist die Berechnung des
Flüssigkeitsdrucks aus der Fußpunktbeschleunigung )t(s&& , was gerechtfertigt ist, da in
den Hauptversuchen „Sloshing-Effekte“ an der Flüssigkeitsoberfläche beim
maßgebenden, vollgefüllten Behälter nicht beobachtet wurden. Dies wird durch die
KTA-2201 bestätigt. Für den Kontakt zwischen Sattel und Zylinderschale werden
Fachwerkstäbe verwendet, denen nach [22] ein linear-elastisches Materialverhalten
zugewiesen wird, bei Zerrungen in den Stabelemente wird jedoch der
Elastizitätsmodul zu Null gesetzt. Hierdurch kann das Abheben der Zylinderschale
vom Sattel simuliert werden.
Zur Validierung des numerischen Modells werden im Rahmen dieser Arbeit erstmals
experimentelle Untersuchungen an der liegenden, sattelgelagerten Zylinderschale
durchgeführt.
Hierbei kommt das Foliendruck-Messsystem der Fa. Tekscan, Boston MA, USA zum
Einsatz. Obschon das Messsystem für verschiedene Bereiche in Forschung und
Produktion eingesetzt wird, ist bis heute keine systematische Untersuchung der
Fehlereinflüsse und Messungenauigkeiten bekannt. Daher wird im Rahmen der
vorliegenden Arbeit das Funktionsprinzip ausführlich beschrieben und erstmals
systematisch die Messungenauigkeit und die Fehlereinflüsse des Foliendruck-
Zusammenfassung Seite 149
Messsystems untersucht. Hierbei werden die Messungenauigkeiten für verschiedene
Kalibrationslasten und –flächen, unterschiedliche Oberflächenmaterialien,
Temperaturänderung, dynamische Belastung unterschiedlicher Frequenzen,
Schereffekte der Trägerfolien sowie die zeitliche Drift analysiert und quantitativ
angegeben. Die Versuche mit dem Foliendruck-Messystem zeigen, dass bei guter
Equilibration und Kalibration in zeitnahen Messungen nach der Kalibration sehr gute
Messergebnisse erzielt werden. Die zeitnahe Messung ist bei experimentellen
Untersuchungen häufig nicht möglich, wie auch in den experimentellen
Untersuchungen dieser Arbeit durch den Füllvorgang des Versuchsbehälters.
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass das Foliendruck-Messsystem unter
„Laborbedingungen“ sehr gute qualitative und quantitative Eignung zur Messung von
Flächenpressungen zeigt, während in experimentellen Untersuchungen häufig nur
qualitativ gute Ergebnisse erzielt werden können.
Für die experimentelle Untersuchung der liegenden, sattelgelagerten Zylinderschale
wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit ein Versuchsaufbau entwickelt, der eine
vertikale Schwingung des Versuchsbehälters erlaubt. In den Hauptversuchen werden
der Füllgrad, die Sattelstellung, der Sattelwinkel, die Elastizität einer Zwischenlage
zwischen Sattel und Zylinderschale und die Erregerfrequenz variiert, wobei die
variierten Schalen- und Sattelparameter anhand von Arbeiten zur statischen
Belastung ausgewählt wurden. Die Sattelsteifigkeit konnte nicht wie geplant variiert
werden, da die in DIN 28080 vorgeschriebenen Blechdicken dazu führen, dass der
nach dieser Norm gefertigte Stahlsattel nicht flexibler ist, als die Betonsättel.
Die experimentellen Ergebnisse zeigen eine Abhängigkeit von den variierten
Schalen- und Sattelparametern, wie sie für die statische Belastung bekannt sind.
An 60 Messpunkten wird der Verzerrungs- und Verformungszustand aufgenommen,
an 4576 Punkten die Auflagerpressung mit dem Foliendruckmesssystem. Bei 704
verschiedenen Messungen, einer mittleren Versuchsdauer von 10 s und einer
Messrate von 125 Hz ergeben sich 4,5 Mrd. Werte, deren vollständige Darstellung
unübersichtlich wäre. Daher werden die experimentellen Ergebnisse nur an
exemplarischen Versuchsreihen dargestellt.
Seite 150 Zusammenfassung
Die Versuche zeigen, dass für vertikale dynamische Belastung nur der vollgefüllte
Behälter untersucht werden muss, Sloshing-Effekte an der Flüssigkeitsoberfläche
konnten beim vollgefüllten Versuchsbehälter nicht beobachtet werden.
Mit dem FEM-Modell werden die experimentellen Ergebnisse überprüft und erweitert,
sowie weitere Parameter, wie z.B. die Schalenlänge, der Schalenradius, die
Schalendicke usw. untersucht.
Hierbei zeigen die numerischen und experimentellen Ergebnisse zufriedenstellende
Übereinstimmung. Die vorhandenen Abweichungen können durch
Messungenauigkeiten plausibel erklärt werden.
Um die Abhängigkeit der numerischen Ergebnisse von den verschiedenen Schalen-
und Sattelparametern darzustellen, wird in jeder Berechnungsreihe nur ein
Parameter variiert und die anderen festgehalten. Die numerischen Ergebnisse
werden auf den Eingangsparameter Schalenradius normiert. Hieraus wird im
Rahmen der vorliegenden Arbeit ein Schwingbeiwert Sres entwickelt, mit dem
erstmals der Einfluss der vertikalen dynamischen Belastung liegender,
sattelgelagerter Zylinderschalen schnell und einfach gegenüber dem statisch
belasteten Behälter abgeschätzt werden kann. Bisher gibt z.B. die GGVS [27] eine
Bemessung mit der zweifachen Erdschwere für Transportbehälter vor, liefert aber
keinerlei Bemessungshinweise für diese Belastung. Diese werden für lose gelagerte,
also ortsgebundene Behälter mit dieser Arbeit geliefert.
Für einen weiten Parameterbereich weicht der resultierende Schwingbeiwert nur
unwesentlich von dem Wert ab, der sich auf Grundlage des Ein-Massen-Schwinger-
Modells ergibt. Für große Sattelabstände, Behältern mit großem Durchmesser und
großem tR -Verhältnis steigt der Schwingbeiwert jedoch an und das Modell des Ein-
Massen-Schwingers unterschätzt die tatsächliche Beanspruchung der Zylinderschale
Für kleine Sattelabstände, kleine Durchmesser und kleines tR -Verhältnis ergeben
sich resultierende Schwingbeiwerte, die deutlich unter dem Wert des Ein-Massen-
Schwinger-Modells liegen. Da die tatsächliche Beanspruchung überschätzt wird,
wäre die Bemessung nach dem Ein-Massen-Schwinger-Modell unwirtschaftlich.
Zusammenfassung Seite 151
Die Gültigkeit des numerischen Modells wurde nur innerhalb der Abmessungen des
Versuchsbehälters überprüft und zeigt gute Übereinstimmung mit den
experimentellen Ergebnissen.
7.2 Ergebnis und Ausblick
Mit der vorliegenden Arbeit wird erstmals eine systematische experimentelle und
numerische Untersuchung der liegenden, sattelgelagerten Zylinderschale unter
vertikaler dynamischer Belastung vorgestellt, wobei auch das eingesetzte Tekscan
Foliendruck-Messsystem erstmals systematisch auf seine Fehlereinflüsse und
Messgenauigkeit untersucht wird. Durch die in der Arbeit entwickelten
Schwingbeiwerte ist in der Praxis eine schnelle und kostengünstige Bemessung von
lose auf Sattellagern liegende, kreiszylindrischen Behältern unter vertikaler
dynamischer Last möglich
Die vorliegende Arbeit ist als erster Schritt zur Beschreibung des Tragverhaltens von
liegenden Flüssigkeitsbehältern unter dynamischer zu sehen. Zur vollständigen
Beschreibung des Tragverhaltens fehlen Untersuchungen für horizontale
Schwingungen sowie für stoß- und schockartige Belastungen. Daneben sollten
Imperfektionen und Schalenbeulen berücksichtigt werden.
Für mit den Sätteln verschweißte Flüssigkeitsbehälter (z.B. Transportbehälter) und
für Flüssigkeitsbehälter mit mehr als zwei Sätteln sind bis heute keine
systematischen Untersuchungen des Tragverhaltens bekannt.
Ferner sollte für die Praxis ein einfaches Berechnungsverfahren zur Handrechnung
liegender Flüssigkeitsbehälter für die statische Belastung entwickelt werden, da
durch die komplexe Geometrie der Behälterböden die Netzgenerierung aufwendig
und für einen einzelnen Behälter nicht wirtschaftlich ist.
Zur Entwicklung einer Bemessungsvorschrift müssen die äußeren Lasten festgelegt
werden. Für ortsgebundene Behälter sind die Lasten nach DIN 4149 und EC 8 auf
ihre Gültigkeit für liegende Flüssigkeitsbehälter zu überprüfen. Bei Transportbehälter
Seite 152 Zusammenfassung
sollten über Langzeitstudien die im Straßen – und Schienenverkehr auftretenden
Belastungen untersucht und die Vorgaben der GGVS angepasst werden.
Die in der vorliegenden Arbeit entwickelten Schwingbeiwerte liefern erstmals
Bemessungshinweise für die Praxis, die eine schnelle, kostengünstige Bemessung
von liegenden, kreiszylindrischen Behältern unter vertikaler dynamischer Belastung
erlauben.
Literaturverzeichnis Seite 153
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Anhang Seite 163
9 Anhang
9.1 Verwendete Formelzeichen und Symbole
σx, σy
²mmN Normalspannungen
τxy, τyz, τzx
²mmN Schubspannungen
εx, εy [ ]− Dehnungen
γxy [ ]− Gleitung
nx, ny, nxy
mkN Schnittkräfte
qx, qy
mkN Querkräfte
mx, my, mxy
mkNm Schnittmomente
E
²mmN Elastizitätsmodul
ν [ ]− Querkontraktionszahl
r,s [ ]− Normierte Koordinaten
u,v,w [mm] Knotenverschiebung
σ
²mmN Spannungsvektor
ε [ ]− Verzerrungsvektor
F [mm] Lastvektor
d,u [mm] Verschiebungsvektor
N [ ]− Formfunktionsmatrix
Seite 164 Anhang
D [ ]− Elastizitätsmatrix
B [ ]− Verformungs-Verzerrungsmatrix
K [ ]− Steifigkeitsmatrix
M [ ]− Massenmatrix
C [ ]− Dämpfungsmatrix
A [ ]− Modalmatrix
αi, βi, γi [ ]− Rayleigh’sche Dämpfungsfaktoren
s(t) [mm] Weg
s,s &&&&∆
2smm Beschleunigung
Ω [Hz] Erregerfrequenz
ω [Hz] Eigenkreisfrequenz
β [ ]− Abstimmungsverhältnis
D [ ]− Lehr’sches Dämpfungsmaß
∆ [ ]− Messfehler
R,r [mm] Schalenradius
L [mm] Schalenlänge
t, tz, h [mm] Schalendicke
tb [mm] Behälterbodendicke
2 ϕ [°] Sattelwinkel
a [mm] Sattelstellung
S1, S2, S3 [-] Schwingteilbeiwerte
Sres [-] Resultierender Schwingbeiwert
Anhang Seite 165
9.2 Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1 Zusammenstoß zweier Güterzüge am 05.04.2000 im Bahnhof von
Lilleström, Norwegen......................................................................... 7
Abbildung 2 Feder-Massen-System zur Simulation des Flüssigkeitsdrucks bei
stehenden Rechteckbehältern nach HOUSNER ............................. 14
Abbildung 3 Schnittgrößen am Schalenelement.................................................. 21
Abbildung 4 Koordinatentransformation des DKT- Elements .............................. 31
Abbildung 5 8-Knoten-Schalenelement zur Formulierung des diskreten
Kirchhoff’schen Plattenelement....................................................... 31
Abbildung 6 Versuchsaufbau mit Zylinderschale, Sattel Typ B1 (starr, 120°),
federnd gelagertem Rahmen und Unwuchtmaschine ..................... 43
Abbildung 7 Abmessungen des Versuchsmodells.............................................. 44
Abbildung 8 Sattelauflager mit verschiedenen Umschließungswinkeln und
Steifigkeiten..................................................................................... 45
Abbildung 9 Federnd gelagerter Rahmen aus HEB-Trägern............................... 45
Abbildung 10 Federn und Auflagerführung zur Lagerung des Rahmens aus HEB-
Trägern............................................................................................ 46
Abbildung 11 Unwuchtmaschine zur Erzeugung gleichförmiger Schwingungen
unterschiedlicher Frequenzen ......................................................... 46
Abbildung 12 Schwingungsamplituden beim Ausschwingvorgang bei einer
Erregerfrequenz von f=5,5 Hz ......................................................... 48
Abbildung 13 Anordnung der Messtechnik am Versuchsaufbau ........................... 51
Abbildung 14 Komponenten des Tekscan Foliendruck-Messsystem .................... 53
Abbildung 15 Schematische Darstellung eines typischen Tekscan Messsensors 54
Abbildung 16 Schaltbild des Tekscan Foliendruck-Messsystems ......................... 54
Seite 166 Anhang
Abbildung 17 Widerstand des halbleitenden Coatings des Tekscan Messsensors
in Abhängigkeit der äußeren Last ................................................... 55
Abbildung 18 Messsignal einer einzelnen Sensorzelle für verschiedene
Kontaktoberflächen ......................................................................... 56
Abbildung 19 Messsignalsumme des gesamten Sensors für verschiedene
Kontaktoberflächen ......................................................................... 56
Abbildung 20 Schematische Darstellung des Messsensors im belasteten Zustand
für eine harte und eine weiche Kontaktoberfläche .......................... 57
Abbildung 21 Auflagerpressungsverteilung am Sattelhorn mit einer Zwischenlage
aus Schaumstoff beidseitig ............................................................. 58
Abbildung 22 Auflagerpressungsverteilung am Sattelhorn mit einer Zwischenlage
aus Vlies beidseitig.......................................................................... 59
Abbildung 23 Beispielhafte Korrelation zwischen applizierter Pressung und
Messsignal zweier Sensorzellen ..................................................... 60
Abbildung 24 Equilibrationsaufbau für die MATSCAN 3150 Sensoren ................ 61
Abbildung 25 Standardversuchsaufbau für den Messsensor Typ 5076 ................ 61
Abbildung 26 Treppenfunktion für einen 500 psi I-SCAN Sensor 5076................. 62
Abbildung 27 Messfehler equilibrierter und nicht equilibrierter I-SCAN 5076 –
Sensoren der Messbereiche 50, 500 und 1000 psi ......................... 63
Abbildung 28: Messfehler abhängig vom Auslastungsgrad eines nicht equilibrierten
Sensors und Ein-Punkt- und multipoint-equilibrierter Sensoren bei 2,
4 und 6 bar ...................................................................................... 64
Abbildung 29 Angenäherte Korrelation zwischen Pressung und Messsignal für eine
weiche Kontaktoberfläche ............................................................... 66
Abbildung 30 Konstante (A) und lineare (B) Pressungsverteilung......................... 66
Abbildung 31 Kraftanzeige des Tekscan Foliendruck-Messsystems in Abhängigkeit
der Pressungsverteilung bei der Kalibration.................................... 68
Anhang Seite 167
Abbildung 32 Messfehler eines equilibrierten und eines nicht equilibrierten I-SCAN
5076 50 psi – Sensors (PE-Schaum), untere Kalibrationslast 10% -
50% und obere Kalibrationslast 50% - 90% .................................... 69
Abbildung 33 Messfehler eines equilibrierten und eines nicht equilibrierten I-SCAN
5076 500 psi – Sensors (Mousepad), untere Kalibrationslast 10% -
50% und obere Kalibrationslast 50% - 90% .................................... 70
Abbildung 34 Messfehler eines equilibrierten und eines nicht equilibrierten I-SCAN
5076 1000 psi – Sensors (PE-Schaum), untere Kalibrationslast 10% -
50% und obere Kalibrationslast 50% - 90% .................................... 70
Abbildung 35 Messfehler über die Treppenfunktion bei unterschiedlich großen
Prüfstempeln zur Kalibration ........................................................... 71
Abbildung 36 Mittlerer Fehler über die Treppenfunktion bei unterschiedlicher Lage
von Mess- und Kalibrationsfläche ................................................... 72
Abbildung 37 Messfehler über die Treppenfunktion bei Variation der
Prüfstempeloberfläche .................................................................... 73
Abbildung 38 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast
10% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%...................................... 74
Abbildung 39 Messfehler equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast 10% und
Obere Kalibrationslast 50 – 90%..................................................... 75
Abbildung 40 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast
20% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%...................................... 75
Abbildung 41 Messfehler equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast 20% und
Obere Kalibrationslast 50 – 90%..................................................... 76
Abbildung 42 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast
30% und Obere Kalibrationslast 50 – 90%...................................... 76
Abbildung 43 Messfehler equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast 30% und
Obere Kalibrationslast 50 – 90%..................................................... 77
Abbildung 44 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast
40% und Obere Kalibrationslast 60 – 90%...................................... 77
Seite 168 Anhang
Abbildung 45 Messfehler equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast 40% und
Obere Kalibrationslast 60 – 90%..................................................... 78
Abbildung 46 Messfehler nicht equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast
50% und Obere Kalibrationslast 70 – 90%...................................... 78
Abbildung 47 Messfehler equilibrierter Sensoren, Untere Kalibrationslast 50% und
Obere Kalibrationslast 70 – 90%................................................... 79
Abbildung 48 Einteilung des MATSCAN 3150-Sensors in Bereiche A, B und C ... 79
Abbildung 49 Messfehler des Foliendruck-Messsystem bei Kalibration des
MATSCAN 3150-Sensors im Bereich A und Belastung im Bereich A,
B und C ........................................................................................... 80
Abbildung 50 Messfehler bei Änderung der Versuchstemperatur im Vergleich zur
Kalibrationstemperatur .................................................................... 81
Abbildung 51 Rechnerische und gemessene Amplituden bei dynamischer
Belastung für verschiedene Auslastungsgrade des Messsensors .. 82
Abbildung 52 Versuchsaufbau zur Untersuchung seitlicher Verschiebungen der
Kontaktflächen ................................................................................ 83
Abbildung 53 Messwerte des Foliendruck-Messsystems bei seitlicher Verschiebung
der Kontaktflächen des ISCAN 5076 500 psi , Auslastung 30% ..... 84
Abbildung 54 Messfehler des Foliendruck-Messsystems bei seitlicher
Verschiebung der Kontaktflächen ................................................... 85
Abbildung 55 Zeitliche Drift des ISCAN 5076-Sensors 50 psi bei 80% Auslastung86
Abbildung 56 Zeitlichen Drift für verschiedenen Auslastungsgrade des MATSCAN
3150 ................................................................................................ 87
Abbildung 57 Messfehler der I-Scan 5076-Sensoren bei Variation der Haltezeit
t=10s und t=30s bei der Treppenfunktion........................................ 88
Abbildung 58 Organigramm Hauptversuche Zylinderschale.................................. 95
Abbildung 59 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 40 cm, Zwischenlage Vlies,
Ω = 6 Hz und variiertem Füllgrad .................................................... 98
Anhang Seite 169
Abbildung 60 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 40 cm, Zwischenlage Vlies,
Ω = 6 Hz und variiertem Füllgrad .................................................... 99
Abbildung 61 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und
Mittellage des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 40 cm,
Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variiertem Füllgrad.................... 99
Abbildung 62 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz
und variierter Sattelstellung........................................................... 100
Abbildung 63 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters beim Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz
und variierter Sattelstellung........................................................... 101
Abbildung 64 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und
Mittellage des Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage
Vlies, Ω = 6 Hz und variierter Sattelstellung .................................. 101
Abbildung 65 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die
Tieflage des Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden
Beschleunigung bei Satteltyp B1, variierter Sattelstellung und
Zwischenlage ................................................................................ 102
Abbildung 66 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die
Tieflage des Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden
Beschleunigung bei Satteltyp B2, variierter Sattelstellung und
Zwischenlage ................................................................................ 103
Abbildung 67 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die
Tieflage des Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden
Beschleunigung bei Satteltyp B3, variierter Sattelstellung und
Zwischenlage ................................................................................ 103
Seite 170 Anhang
Abbildung 68 Erhöhungsfaktoren der resultierenden Messwertsumme für die
Tieflage des Versuchsbehälters in Abhängigkeit der resultierenden
Beschleunigung bei Satteltyp S1, variierter Sattelstellung und
Zwischenlage ................................................................................ 104
Abbildung 69 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei a = 40 cm, Zwischenlage PE-Schaum, Ω = 5
Hz und variiertem Satteltyp ........................................................... 105
Abbildung 70 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei a = 40 cm, Zwischenlage PE-Schaum, Ω = 5
Hz und variiertem Satteltyp ........................................................... 105
Abbildung 71 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und
Mittellage des Versuchsbehälters bei a = 40 cm, Zwischenlage PE-
Schaum, Ω = 5 Hz und variiertem Satteltyp .................................. 106
Abbildung 72 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Ω = 5 Hz und
variierter Zwischenlage ................................................................. 107
Abbildung 73 Umfangsdehnungen in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage
des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Ω = 5 Hz und
variierter Zwischenlage ................................................................. 107
Abbildung 74 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und
Mittellage des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Ω = 5
Hz und variierter Zwischenlage ..................................................... 108
Abbildung 75 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Zwischenlage Vlies
und variierter Erregerfrequenz Ω................................................... 109
Abbildung 76 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Tief- und Mittellage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm, Zwischenlage Vlies
und variierter Erregerfrequenz Ω................................................... 109
Anhang Seite 171
Abbildung 77 Auflagerpressungsverteilung und Messwertsumme in der Tief- und
Mittellage des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, a = 30 cm,
Zwischenlage Vlies und variierter Erregerfrequenz Ω ................... 110
Abbildung 78 Umfangsdehnung in Längsrichtung in der Mittelage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B1, a = 10 cm, Zwischenlage Vlies
unter dynamischer Last und Überdruck von 1,6 bar...................... 111
Abbildung 79 Umfangsdehnung in Umfangsrichtung in der Mittelage des
Versuchsbehälters bei Satteltyp B1, a = 10 cm, Zwischenlage Vlies
unter dynamischer Last und Überdruck von 1,6 bar...................... 112
Abbildung 80 Auflagerpressungsverteilung in der Mittelage des Versuchsbehälters
bei Satteltyp B1, a =10 cm, Zwischenlage Vlies unter dynamischer
Last und unter Überdruck von 1,6 bar ........................................... 112
Abbildung 81 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Längsrichtung in
der Tieflage des Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage
Vlies, Ω = 6 Hz und variierter Sattelstellung .................................. 114
Abbildung 82 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Umfangsrichtung
in der Tieflage des Versuchsbehälters bei Satteltyp B3,
Zwischenlage Vlies, Ω = 6 Hz und variierter Sattelstellung ........... 114
Abbildung 83 Gemessene und berechnete Auflagerpressungsverteilung in der
Tieflage des Versuchsbehälters bei Satteltyp B3, Zwischenlage Vlies,
Ω = 6 Hz und variierter Sattelstellung............................................ 115
Abbildung 84 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Längsrichtung in
der Tieflage des Versuchsbehälters bei Zwischenlage Fugenband, Ω
= 5 Hz, a = 40 cm und variiertem Sattelwinkel .............................. 116
Abbildung 85 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Umfangsrichtung
in der Tieflage des Versuchsbehälters bei Zwischenlage Fugenband,
Ω = 5 Hz, a = 40 cm und variiertem Sattelwinkel........................... 117
Abbildung 86 Gemessene und berechnete Auflagerpressungsverteilung in der
Tieflage des Versuchsbehälters bei Zwischenlage Fugenband, Ω = 5
Hz, a = 40 cm und variiertem Sattelwinkel .................................... 117
Seite 172 Anhang
Abbildung 87 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Längsrichtung in
der Tieflage des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, Ω = 5 Hz, a =
30 cm und variierter Zwischenlage................................................ 118
Abbildung 88 Gemessene und berechnete Umfangsdehungen in Umfangsrichtung
in der Tieflage des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, Ω = 5 Hz, a =
30 cm und variierter Zwischenlage.................................................. 119
Abbildung 89 Gemessene und berechnete Auflagerpressungsverteilung in der
Tieflage des Versuchsbehälters bei Satteltyp S1, Ω = 5 Hz, a = 30
cm und variierter Zwischenlage..................................................... 119
Abbildung 90 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Schalenlänge
für R = 500 mm, t = 3 mm, a = R, b = 100 mm, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz,
∆ s&& max = 0,5 g und variierter Länge ................................................ 125
Abbildung 91 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelbreite für
R = 500 mm, t = 3 mm, a = R, L = 4000 mm, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz,
∆ s&& max = 0,5 g und variierter Sattelbreite........................................ 126
Abbildung 92 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelstellung
für R = 500 mm, t = 3 mm, b = 100 mm, L = 4000mm, 2ϕ = 120°, Ω =
6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variierter Sattelstellung........................... 127
Abbildung 93 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung des Sattelwinkels
für R = 500 mm, t = 3 mm, a = R, b = 100 mm, L = 4000 mm, Ω = 6
Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variiertem Sattelwinkel .............................. 129
Abbildung 94 Schwingbeiwert, a = R, L = 10 m, 2ϕ = 120°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g
und variiertem R/t für verschiedene Schalenradien....................... 131
Abbildung 95 Beiwert zur Berücksichtigung von R/t, a = R, L = 10 m, 2ϕ = 120°, Ω
= 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variiertem R/t für verschiedene
Schalenradien ............................................................................... 131
Abbildung 96 Schwingbeiwert, a = R, L = 5 m, 2ϕ = 60°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max 0,5 g und
variiertem R/t für verschiedene Schalenradien.............................. 133
Anhang Seite 173
Abbildung 97 Beiwert zur Berücksichtigung von R/t, a = R, L = 5 m, 2ϕ = 60°, Ω = 6
Hz, ∆ s&& ma = 0,5 g und variiertem R/t für verschiedene Schalenradien
...................................................................................................... 133
Abbildung 98 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelstellung
für R = 750 mm, t = 4 mm,a = 1125 mm, b = 100 mm, L = 5 m, 2ϕ =
90°, Ω = 6 Hz, ∆ s&& max = 0,5 g und variierter Zwischenlagenelastizität
...................................................................................................... 135
Abbildung 99 Schwingbeiwert und Beiwert zur Berücksichtigung der Sattelstellung
für R = 750 mm, t = 4 mm,a = 1125 mm, b = 100 mm, L = 5 m, 2ϕ =
90°, Ω= 6 Hz, variierter Fußpunktbeschleunigung......................... 136
Abbildung 100 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 500
mm ................................................................................................ 139
Abbildung 101 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 750
mm ................................................................................................ 140
Abbildung 102 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 1000
mm ................................................................................................ 141
Abbildung 103 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 1250
mm ................................................................................................ 142
Abbildung 104 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 1500
mm ................................................................................................ 143
Abbildung 105 Diagramm zur Bestimmung des Schwingbeiwertes Sres für R = 2000
mm ................................................................................................ 144
Seite 174 Anhang
9.3 Steifigkeits- und Massenmatrix des 4-Knoten- DKT-Elementes
9.3.1 Steifikeitsmatix
k1 1 0 0 0 0 0 k1 7 0 0 0 0 0 k1 13 0 0 0 0 0 k1 19 0 0 0 0 0
0 k2 2 0 0 0 0 0 k2 8 0 0 0 0 0 k2 14 0 0 0 0 0 k2 20 0 0 0 0
0 0 K3 3 k3 4 k3 5 0 0 0 k3 9 K3 10 k3 11 0 0 0 k3 15 k3 16 k3 17 0 0 0 k3 21 k3 22 k3 23 0
0 0 K4 3 k4 4 k4 5 0 0 0 K4 9 K4 10 0 0 0 0 k4 15 k4 16 0 0 0 0 k4 21 k4 22 k4 23 0
0 0 K5 3 k5 4 k5 5 0 0 0 k5 9 0 k5 11 0 0 0 k5 15 0 k5 17 0 0 0 k5 21 k5 22 k5 23 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K7 1 0 0 0 0 0 k7 7 0 0 0 0 0 k7 13 0 0 0 0 0 k7 19 0 0 0 0 0
0 k8 2 0 0 0 0 0 K8 8 0 0 0 0 0 k8 14 0 0 0 0 0 k8 20 0 0 0 0
0 0 K9 3 k9 4 k9 5 0 0 0 K9 9 K9 10 k9 11 0 0 0 k9 15 k9 16 k9 17 0 0 0 k9 21 k9 22 k9 23 0
0 0 k10 3 k10 4 0 0 0 0 K10 9 k10 10 k10 11 0 0 0 k10 15 k10 16 k10 17 0 0 0 k10 21 k10 22 0 0
0 0 k11 3 0 k11 5 0 0 0 K11 9 k11 10 k11 11 0 0 0 k11 15 k11 16 k11 17 0 0 0 k11 21 0 k11 23 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K13 1 0 0 0 0 0 k13 7 0 0 0 0 0 k13 13 0 0 0 0 0 k13 19 0 0 0 0 0
0 k14 2 0 0 0 0 0 K14 8 0 0 0 0 0 k14 14 0 0 0 0 0 k14 20 0 0 0 0
0 0 k15 3 k15 4 k15 5 0 0 0 k15 9 k15 10 k15 11 0 0 0 k15 15 k15 16 k15 17 0 0 0 k15 21 k15 22 k15 23 0
0 0 k16 3 k16 4 0 0 0 0 k16 9 k16 10 k16 11 0 0 0 k16 15 k16 16 k16 17 0 0 0 k16 21 k16 22 0 0
0 0 k17 3 0 k17 5 0 0 0 k17 9 k17 10 k17 11 0 0 0 k17 15 k17 16 k17 17 0 0 0 k17 21 0 k17 23 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K19 1 0 0 0 0 0 k19 7 0 0 0 0 0 k19 13 0 0 0 0 0 k19 19 0 0 0 0 0
0 k20 2 0 0 0 0 0 K20 8 0 0 0 0 0 k20 14 0 0 0 0 0 k20 20 0 0 0 0
0 0 k21 3 k21 4 k21 5 0 0 0 k21 9 k21 10 k21 11 0 0 0 k21 15 k21 16 k21 17 0 0 0 k21 21 k21 22 k21 23 0
0 0 k22 3 k22 4 k22 5 0 0 0 k22 9 k22 10 0 0 0 0 k22 15 k22 16 0 0 0 0 k22 21 k22 22 k22 23 0
0 0 k23 3 k23 4 k23 5 0 0 0 k23 9 0 k23 11 0 0 0 k23 15 0 k23 17 0 0 0 k23 21 k23 22 k23 23 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabelle 13 Steifigkeitsmatrix des 4-Knoten-Elements nach der Diskreten Kirchhoff’schen Theorie
Anhang Seite 175
Hierin sind:
yx
2y
2x
2191913137711 ll6l2l)1(
)1(hEkkkk
+ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
81
)1(hEkkkkkkkk 2131414138191987202071221
ν+⋅
ν−⋅
======== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2131919131771 ll12l4l)1(
)1(hEkkkk
+−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
813
)1(hEkkkkkkkk 2132020137141472191921881
−ν⋅
ν−⋅
======== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2219192113131 ll12l2l)1(
)1(hEkkkk
−−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
81
)1(hEkkkkkkkk 2192020197887213132114141
−ν⋅
ν−⋅
======== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2713137119191 ll6ll)1(
)1(hEkkkk
+−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
831
)1(hEkkkkkkkk 2141919148131382772120201
ν−⋅
ν−⋅
======== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2202014148822 ll6l)1(l2
)1(hEkkkk
ν−+⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2142020142882 ll6l)1(l
)1(hEkkkk
−ν+⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2820208214142 ll12l)1(l2
)1(hEkkkk
ν−−−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
Seite 176 Anhang
yx
2y
2x
2814148220202 ll12l)1(l4
)1(hEkkkk
−ν+⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
212115159933 ll20l)323(ll)55(l)323(
)1(12hEkkkk
ν−+ν++ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
212222213443 ll40l40ll20l)1(
)1(12hEkkkk
−ν−−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
9111193553 ll120l)99(ll)5010(l40
)1(12hEkkkk
ν−−ν++−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
152121153993 ll20l)323(ll)55(l)37(
)1(12hEkkkk
ν−−ν+−ν+⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
16212116310103 ll40l40l)1(
)1(12hEkkkk
−−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
5995311113 ll120l)99(ll)5010(l20
)1(12hEkkkk
ν−−ν−−−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
921219315153 ll20l)37(ll)55(l)37(
)1(12hEkkkk
ν−+ν+−ν+⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
10212110316163 ll40l20l)1(
)1(12hEkkkk
−ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
923239317173 ll120l)99(ll)1010(l20
)1(12hEkkkk
ν−−ν+−−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
915159321213 ll20l)37(ll)55(l)323(
)1(12hEkkkk
ν++ν+−ν+−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
421214322223 ll40l20ll20l)1(
)1(12hEkkkk
−ν+ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
Anhang Seite 177
yx
2yyx
2x
2
3
917179323233 ll120l)99(ll)1010(l40
)1(12hEkkkk
ν−−ν+−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
22221616101044 ll15l20l)1(
)1(12hEkkkk
+ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
)1(18hEkkkkkkkk 2
3
2223232216171716101111104554 ν−⋅ν⋅
=−=−===−=−== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
152222154994 ll40l40l)1(
)1(12hEkkkk
+ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
16222216410104 lll20l)1(
)1(12hEkkkk
−−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
922229415154 ll40l20l)1(
)1(12hEkkkk
+−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
4422101022416164 k41kkkk ⋅⋅⋅⋅⋅ ====
yx
2y
2x
2
3
10161610422224 ll15l10l)1(
)1(12hEkkkk
−−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
23231717111155 ll90l)99(l40
)1(12hEkkkk
ν+−+−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
17232317511115 ll90l)99(l20
)1(12hEkkkk
ν−−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
11232311515155 ll120l)99(ll)1010(l20
)1(12hEkkkk
ν−+ν++⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
11232311517175 ll180l)33(l20
)1(12hEkkkk
ν−−−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
Seite 178 Anhang
yx
2yyx
2x
2
3
11151511521215 ll120l)99(ll)1010(l40
)1(12hEkkkk
ν−+ν++−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
)1(36hEkkkkkkkk 2
3
1116161110171710423234522225 ν−⋅ν⋅
=−=−===−=−== ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
yx
2y
2x
2
3
11171711523235 ll180l)33(l40
)1(12hEkkkk
ν−+−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
15161615910109 ll40l40ll20l)1(
)1(12hEkkkk
+ν+ν−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
10151510916169 ll40l20ll20l)1(
)1(12hEkkkk
+ν−−ν⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
2123232115171715 ll120l)99(ll)5010(l40
)1(12hEkkkk
ν−+ν+−⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
yx
2yyx
2x
2
3
2117172115232315 ll120l)99(ll)5010(l20
)1(12hEkkkk
ν−+ν−+⋅
ν−⋅
==== ⋅⋅⋅⋅
Anhang Seite 179
9.3.2 Massenmatrix
111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0
111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0
0,0 0,0 200,0 -16,4 47,6 0 0,0 0,0 -47,6 -16,4 24,4 0 0,0 0,0 -90,9 -8,3 24,4 0 0,0 0,0 -47,6 -8,3 47,6 0
0,0 0,0 -16,4 44,4 0,0 0 0,0 0,0 16,4 -11,0 0,0 0 0,0 0,0 8,3 -5,5 0,0 0 0,0 0,0 -8,3 22,2 0,0 0
0,0 0,0 47,6 0,0 66,7 0 0,0 0,0 24,4 0,0 32,3 0 0,0 0,0 -24,4 0,0 5,5 0 0,0 0,0 -47,6 0,0 11,0 0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0
55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0
55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0
0,0 0,0 -47,6 16,4 24,4 0 0,0 0,0 200,0 16,4 47,6 0 0,0 0,0 -47,6 8,3 47,6 0 0,0 0,0 -90,9 8,3 24,4 0
0,0 0,0 -16,4 -11,0 0,0 0 0,0 0,0 16,4 44,4 0,0 0 0,0 0,0 8,3 22,2 0,0 0 0,0 0,0 -8,3 -5,5 0,0 0
0,0 0,0 24,4 0,0 32,3 0 0,0 0,0 47,6 0,0 66,7 0 0,0 0,0 -47,6 0,0 11,0 0 0,0 0,0 -24,4 0,0 5,5 0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0
27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0
27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0
0,0 0,0 -90,9 8,3 -24,4 0 0,0 0,0 -47,6 8,3 -47,6 0 0,0 0,0 200,0 16,4 -47,6 0 0,0 0,0 -47,6 16,4 -24,4 0
0,0 0,0 -8,3 -5,5 0,0 0 0,0 0,0 8,3 22,2 0,0 0 0,0 0,0 16,4 44,4 0,0 0 0,0 0,0 -16,4 -11,0 0,0 0
0,0 0,0 24,4 0,0 5,5 0 0,0 0,0 47,6 0,0 11,0 0 0,0 0,0 -47,6 0,0 11,0 0 0,0 0,0 -24,4 0,0 32,3 0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0
55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0
55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 27,8 27,8 0,0 0,0 0,0 0 55,6 55,6 0,0 0,0 0,0 0 111,1 111,1 0,0 0,0 0,0 0
0,0 0,0 -47,6 -8,3 -47,6 0 0,0 0,0 -90,9 -8,3 -24,4 0 0,0 0,0 -47,6 -16,4 -47,6 0 0,0 0,0 200,0 -16,4 -47,6 0
0,0 0,0 -8,3 22,2 0,0 0 0,0 0,0 8,3 -5,5 0,0 0 0,0 0,0 16,4 -11,0 0,0 0 0,0 0,0 -16,4 44,4 0,0 0
0,0 0,0 47,6 0,0 11,0 0 0,0 0,0 24,4 0,0 5,5 0 0,0 0,0 -24,4 0,0 66,7 0 0,0 0,0 -47,6 0,0 66,7 0
1000
hylxl ⋅⋅⋅ρ
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0
Tabelle 14 Massenmatrix M des 4-Knoten-Elements nach der Diskreten Kirchhoff’schen Theorie
Lebenslauf Persönliche Daten
Name Thomas Zimmermann
Geboren 17.10.1971 in Eschweiler
Beruflicher Werdegang
10/1993 – 09/1994 10/1994 – 11/1996 08/1997-08/2002 Seit 10/2002 Seit 01/2003
Studentische Hilfskraft Lehrstuhl für Reine und Angewandte Mathematik, RWTH Aachen Studentische Hilfskraft Lehrstuhl für Mechanik und Baukonstruktionen, RWTH Aachen Wissenschaftlicher Mitarbeiter Lehrstuhl für Mechanik und Baukonstruktionen, RWTH Aachen FE - Berechnungsingenieur SIGMA Concurrent Engineering, Hamburg Abteilungsleiter Technische Dokumentation SIGMA Concurrent Engineering, Hamburg
Schulischer Werdegang
09/1978 – 07/1982 08/1982 – 01/1989 02/1989 – 06/1991 10/1991 – 06/1997
Kath. Grundschule Stich, Eschweiler Gymnasium Liebfrauenschule, Eschweiler Ritzefeldgymnasium, Stolberg Abschluss: Allgemeine Hochschulreife Studium des Bauingenieurwesens an der RWTH Aachen Fachrichtung: Konstruktiver Ingenieurbau Abschluss: Diplom-Ingenieur