ab2 bijeenkomst1 2015
TRANSCRIPT
• Opgave 4. Het verschil van twee opeenvolgende gehele derde machten is niet deelbaar door 2.
• Opgave 7.
∀n∈! ,n>0[n
3 + n+1 is priem]
Zinnen die een feit constateren, noemen we proposi>es (beweringen) Sommige proposi>es zijn (door ons) te bewijzen: Het verschil van twee opeenvolgende gehele derde machten is niet deelbaar door 2.
Het kan zijn dat het (op dit moment) onduidelijk is of een proposi>e waar is of onwaar: Ieder even getal groter dan twee is te schrijven als de som van twee priemgetallen. (Vermoeden van Goldbach)
∀n∈! ,n>0[n
3 + n+1 is priem]
Een proposi>e kan dus waar of onwaar zijn. Het kwadraat van 12 is 144. Gisteren sneeuwde het. Gisteren sneeuwde het niet. Priemgetallen zijn de juweeltjes onder de getallen. De som van twee en vijf is zes. Voor je verjaardag krijg je een iPod of nieuwe schoenen Karin gaat alleen mee als Leo niet mee gaat maar Marieke wel komt. Hoe gaat het? Amsterdam is de mooiste stad van Nederland.
Wiskundige beweringen worden vaak genoteerd met behulp van symbolen. De som van twee en vijf is zes: 2 + 5 = 6 12345 is een 3-‐voud: Karin gaat alleen mee als Leo niet meegaat maar Marieke wel komt:
Over de betekenis van symbolen zal iedereen het eens moeten zijn. In hoofdstuk 6 gaan we de betekenis van een aantal symbolen vastleggen.
12345 ≡ 0(mod3)¬L ∧M ⇒ K
Enkelvoudige beweringen. Beweringen worden vaak aangegeven met hoofdleUers. Bijvoorbeeld: A: Gisteren sneeuwde het. Zoals we weten, is een proposi>e waar of niet waar. Stel dat de proposi>e A waar is. Dan is de proposi>e B: Gisteren sneeuwde het niet
niet waar.
We noemen B de ontkenning of nega>e van A. Voor de nega>e van A spreken we de volgende nota>e af:
¬A
Met behulp van een waarheidstabel spreken we af wanneer een bewering waarin het symbool voorkomt, waar of onwaar is:
waar onwaar
onwaar waar
A ¬A
¬A
Samengestelde beweringen.
In het Nederlands heeV ‘of’ twee betekenissen. Kijk maar naar onderstaande voorbeelden: Kinderen hebben alleen toegang met hun vader of hun moeder. Voor je verjaardag krijg je een iPod of nieuwe schoenen. Wil je suiker of melk in je koffie?
Het eerste voorbeeld kun je herformuleren als: Kinderen hebben alleen toegang met vader en/of moeder. Dit ‘of’ noemen we het inclusieve-‐of. Tenminste één van beide ouders moet erbij zijn. Het inclusieve-‐of wordt aangegeven met het symbool ∨
De bewering(proposi>e): is een voorbeeld van een samengestelde bewering. In de bewering komt het symbool voor. Met behulp van een waarheidstabel spreken we precies af wanneer een disjunc>e (= samengestelde bewering van het type: ) waar of onwaar is. Er zijn dus vier gevallen te onderscheiden: In drie van deze gevallen is de disjunc>e waar.
A ∨ B
∀n∈ 6n −1∈P ∨ 6n +1∈P
∨
waar waar waar
waar onwaar waar
onwaar waar waar
onwaar onwaar onwaar
A ∨ BBA
Samengestelde beweringen zijn uitspraken die uit deelbeweringen bestaan. Connec>even zijn symbolen die deelbeweringen koppelen. Er zijn verschillende connec>even:
conjunc>e (= én) disjunc>e (= of/en) implica>e bi-‐implica>e
A⇔ BA⇒ B
A ∧ BA ∨ B
6.2.3 Bewijs of weerleg de volgende bewering: Er bestaat een geheel getal m waarvoor geldt: Volgens de waarheidstabellen is een conjunc>e waar als beide deelbeweringen waar zijn. Bewijs:
Zeg Dus de eerste bewering nemen we waar. Omdat geldt Dan geldt en dat is geen 3-‐voud. Dus als de eerste bewering waar is, is de tweede juist niet waar. Dus de bewering (=conjunc>e) is NIET waar.
Je kunt deze bewering ook met behulp van modulorekenen weerleggen.
(3 | m) ∧ (3 | (m +1))
3 | m
m +1 = 3v +1 ∃v ∈ m = 3v3 | m
De weUen van De Morgan
Ontkenning van een conjunc>e. Ontkenning van een disjunc>e.
¬(A ∧ B) = (¬A)∨ (¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A)∧ (¬B)
Je werkt voor het eerst bij Macdonald’s. De bedrijfsleider geeV je de volgende regel: De bedrijfsleider staat ter controle het eerste uur naast je bij de balie als er een klant iets wil bestellen. Er kunnen zich vier situa>es voordoen. Welke? En wanneer krijg je van de bedrijfsleider de opmerking dat je de regel niet in acht neemt?
Deelbewering P: Iemand bestelt friet Deelbewering Q: Iemand bestelt een hamburger Deelbewering R: Je adviseert de hamburgerschotel Met connec>even: Deze implica>e is onwaar wanneer de bewering waar én R onwaar is.
P ∧Q⇒ R
P ∧Q
§4.3 Implica@e
Aantonen dat een implica>e niet waar is gaat als volgt: Laat zien dat bewering A waar en bewering B onwaar is. Aantonen dat een implica>e waar is kan op twee manieren.
A⇒ BA B0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
§4.3 Implica@e
Aantonen dat een implica>e waar is kan op twee manieren: 1. rechtstreeks (Neem aan dat bewering A waar is en bedenk een redenering
waaruit volgt dat bewering B dan ook waar is) 2. mbv de contraposi>e.
Bewijs ipv de bewering Dat beide beweringen equivalent zijn, toon je aan met waarheidstabellen.
A⇒ B ¬B⇒ ¬A
4.3.1 We noemen de implica>e de ‘contraposi>e’ van Het is eigenlijk niets anders dan een herformulering van Een herformulering die soms makkelijker te bewijzen is dan de implica>e zelf. Formuleer de contraposi>e van de volgende bewering: Volgens de WeUen van De Morgan geldt: is Dus zegt de contraposi>e:
(x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = 3
¬B⇒ ¬A A⇒ BA⇒ B
x ≠ 2 ∧ x ≠ 3
x ≠ 2 ∧ x ≠ 3 ⇒ (x − 2)(x − 3) ≠ 0
¬B
6.3.2 c) Als km even is, dan is k even of m is even.
Bewijs mbv de contraposi>e. Gebruik de WeUen van De Morgan. d) Als k oneven is en k + m is even, dan is m oneven.
Rechtstreeks.
Bewijs:
k + m = 2r +1+ m = 2v
k = oneven = 2r +1k + m = even = 2v
⎫⎬⎭
⇒ m = oneven
m = 2v − 2r −1 = 2v − 2r − 2 +1m = 2(v − r −1)+1= 2q +1= oneven
6.3.5 Sundaramgetallen zijn natuurlijke getallen van de vorm Dus 16 en 27 zijn Sundaramgetallen. Bewijs de volgende bewering: Als dan is Idee de implica>e rechtstreeks proberen te bewijzen.
dus Dan geldt: Dus als dan is samengesteld (en dus idd niet priem)
2n +1∉Pn ∈S
n = m + k + 2km
2n +1 = 2(m + k + 2km) +1 = 2m + 2k + 4km +1 =n ∈S
k m n1 5 16
2 5 27
n = m + k + 2km
(2k +1)(2m +1) = cd c,d ∈n ∈S 2n +1