แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 7¸šทที่...
TRANSCRIPT
68
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
แผนบริหำรกำรสอนประจ ำบทที่ 7
หัวข้อเนื้อหำประจ ำบท 7.1 สมบัติพื้นฐาน 7.2 การบวกและการคูณจ านวนจินตภาพแท้ 7.3 จ านวนเชิงซ้อนในทางเรขาคณิต 7.4 ระบบพิกัดเชิงขั้วและระบบพิกัดตรีโกณมิติ 7.5 การคูณและการหารจ านวนเชิงซ้อน 7.5.1 การคูณจ านวนเชิงซ้อน 7.5.2 การหารจ านวนเชิงซ้อน 7.5.3 การหารากจ านวนเชิงซ้อน ผลกำรเรียนรู้ที่คำดหวังประจ ำบท
อธิบายระบบจ านวนเชิงซ้อนพร้อมพิสูจน์ทฤษฎีที่ส าคัญและให้เหตุผลได้ทุกขั้นตอนพร้อม ทั้งบอกคุณสมบัติต่างๆของจ านวนเชิงซ้อนได้ วิธีกำรสอนและกิจกรรม
1. บรรยายประกอบเอกสารและใช้เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ Ipad Tablet หรือ software ส าเร็จรูป WolframAlpha 2. บรรยาย ยกตัวอย่างประกอบ อภิปรายและตอบข้อค าถาม 3. ให้นักศึกษาท าแบบฝึกหัดบางข้อในชั้นเรียนทั้งรายบุคคลและรายกลุ่มแล้วน าเสนอหน้าชั้น 4. มอบหมายให้นักศึกษาไปท าแบบฝึกหัดท้ายบทเรียน
สื่อกำรสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาระบบจ านวน 2. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ IPad และ Tablet 3. software ส าเร็จรูป วูลแฟรมแอลฟา โดยใช้เว็บไซต์ หลักคือ www.wolframalpha.com
กำรวัดผลและประเมินผล 1. ประเมินจากการตอบค าถาม การอภิปรายและรายงานหน้าชั้น 2. ประเมินจากการตรวจแบบฝึกหัดงานที่ได้รับมอบหมาย 3. ประเมินจากความรับผิดชอบ ซื่อสัตย์และตรงต่อเวลา 4. ประเมินจากการทดสอบย่อย
69
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
บทท่ี 7 จ ำนวนเชิงซ้อน
ในบทนี้จะกล่าวเกี่ยวกับสมบัติพื้นฐาน จ านวนเชิงซ้อน
7.1 สมบัติพื้นฐำน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อดีโอฟานโตส (Diophantos) เริ่มเห็นว่าระบบจ านวนจริงนั้นยังไม่เพียงพอ ในราว พ.ศ. 818 เมื่อท่านต้องการแก้ปัญหาซึ่งดูเสมือนง่ายมากคือ หาด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากซ่ึงมีเส้นรอบรูปเท่ากับ 12 หน่วย และมีพ้ืนที่เท่ากับ 7 ตารางหน่วย ปัญหานี้ก่อให้เกิดสมการ
26 43 84 0x x โดยที่ x เป็นความยาวของด้านๆหนึ่ง เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ได้ในเซตของจ านวนจริง นักคณิตศาสตร์หลายท่านจึงได้สร้างจ านวนใหม่ขึ้น เรียกว่าจ านวนเชิงซ้อน(complex number) ซึ่งก าหนดให้ 1i ความจ าเป็นของมนุษย์ในการหาค าตอบในปัญหาต่าง ๆ จ าเป็นต้องคิดค้นจ านวนชนิดใหม่ขึ้น เช่น 2 4x ต้องใช้ จ านวนธรรมชาติ 3 1x ต้องใช้ จ านวนเต็มลบ 2 3x ต้องใช้ จ านวนตรรกยะ 2 2x ต้องใช้ จ านวนอตรรกยะ 2 1 0x ต้องใช้ จ านวนเชิงซ้อน บทนิยำมที่ 7.1 จ านวนเชิงซ้อน (complex numbers) สัญลักษณ์แทนด้วย คือจ านวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป a bi เมื่อ a และ b เป็นจ านวนจริง และ 2 1i จ านวน a เรียกว่า ส่วนจริง (real part) ส่วน bi เรียกว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) จ านวนเชิงซ้อน a bi เป็นจ านวนจริง (real) ถ้า 0b และจะเป็นจ านวนจินตภาพถ้า
0b ดังนั้น 3 3 0 , 0 0 0i i จึงเป็นจ านวนจริง ไม่ใช่จ านวนจินตภาพ จ านวนเชิงซ้อน a bi เป็นจ านวนจินตภาพแท้ (pure imaginary) ถ้า 0b และ 0a ถ้า
0a และ 0b เรียกว่า mixed imaginary
70
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
การด าเนินการบนจ านวนเชิงซ้อน สามารถให้นิยามได้ดังนี้ ความเท่ากัน a bi c di ก็ต่อเมื่อ a c และ b d การบวก a bi c di a c b d i การคูณ a bi c di ac bd bc ad i ตัวอย่ำงท่ี 7.1
1. 3 6 2 3 5 3i i i
ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการบวกของจ านวนเชิงซ้อน 3 6 2 3 i i ดังภาพที่ 7.1
ภาพที่ 7.1 การบวกของจ านวนเชิงซ้อน 3 6 2 3 5 3i i i
2. 7 5 1 2 6 3i i i
ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการลบของจ านวนเชิงซ้อน 7 5 1 2 i i ดังภาพที่ 7.2
71
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
ภาพที่ 7.2 การลบของจ านวนเชิงซ้อน 7 5 1 2 6 3i i i
3. 25 7 3 4 15 41 28 15 28 41 13 41i i i i i i
ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการคูณของจ านวนเชิงซ้อน 5 7 3 4 i i ดังภาพที่ 7.3
ภาพที่ 7.3 การคูณของจ านวนเชิงซ้อน 5 7 3 4 13 41 i i i
72
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
บทนิยำมที่ 7.2 a bi เป็นจ านวนเชิงซ้อน คอนจุเกต (conjugate) ของ คือจ านวนเชิงซ้อน a bi ในการท าเศษส่วนของจ านวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูป a bi อาจท าได้ดังนี้
1 1 a bi
a bi a bi a bi
2 2 2 2 2 2
a bi a bi
a b a b a b
ตัวอย่ำงท่ี 7.2 จงหาค่าของ a bi
c di
วิธีท ำ a bi a bi c di
c di c di c di
2 2
ac bd bc ad i
c d
ตัวอย่ำงท่ี 7.3 จงหาค่าของ 3 5
2 3
i
i
วิธีท ำ 3 5 3 5 2 3
2 3 2 3 2 3
i i i
i i i
2 2
6 15 10 9
2 3
9 19
13
9 19
13 13
i
i
i
การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาค่าของ 3 5
2 3
i
i
ดังภาพที่ 7.4
73
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
ภาพที่ 7.4 การหารจ านวนเซิงซ้อน 3 5 9 19
2 3 13 13
i i
i
ตัวอย่ำงท่ี 7.4 จงหาค่าของ 1. 48 2. 25i 3. 6 12 วิธีท ำ
1. 48 48 1
48 1
16 3 1
4 3i
การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาค่าของ รากที่สองของ 48 ดังภาพที่ 7.5
ภาพที่ 7.5 การหารากของจ านวนเชิงซ้อน
2. 25i 24i i
64
61
i i
i
i
การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาค่าของ i ยกก าลัง 25 ดังภาพที่ 7.6
74
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
ภาพที่ 7.6 การยกก าลังของจ านวนเชิงซ้อน
3. 6 12 6 1 12 1
2
2
6 12
6 2
6 2
i
i
การใช้ WolframAlpha เพ่ือหาผลคูณของรากของจ านวนเชิงซ้อน 6 12 ดังภาพที่ 7.7
ภาพที่ 7.7 ผลคูณของรากของจ านวนเชิงซ้อน
75
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
เพ่ือที่จะพัฒนา จ านวนเชิงซ้อน ในแนวตรรกวิทยา และสมเหตุสมผล จึงนิยามจ านวนเชิงซ้อนใหม่ดังนี้ บทนิยำมที่ 7.3
1. จ านวนเชิงซ้อน คือคู่อันดับของจ านวนจริง
2. จ านวนเชิงซ้อน ,0a เรียกว่า ส่วนจริงของจ านวนเชิงซ้อน ,a b
3. จ านวนเชิงซ้อน 0,b เรียกว่า ส่วนจินตภาพของจ านวนเชิงซ้อน ,a b และเรียก จ านวน
เชิงซ้อนชนิดนี้ว่า จ านวนจินตภาพแท้
บทนิยำมที่ 7.4 1. , ,a b c d ก็ต่อเมื่อ a c และ b d
2. , , ,a b c d a c b d
3. , , ,a b c d ac bd ad bc
จะเห็นว่ามี การแปลง (mapping) ชนิด 1-1 ระหว่าง จ านวนเชิงซ้อน ,0a และจ านวนจริง a ผลบวกและผลคูณระหว่าง จ านวนเชิงซ้อน และจ านวนจริง ก็เป็น การแปลง 1-1 กัน นั่นคือ
,0 ,0 ,0a c a c a,0 c,0 ac,0
a c a c a c ac การแปลง ชนิดนี้เรียกว่า สมสัณฐาน (Isomorphism) และเซตของจ านวนเชิงซ้อน เป็นIsomorphism กับเซตของจ านวนจริงทั้งบวกและการคูณ จึงสรุปว่าจ านวนจริงเป็นสับเซต (subset) ของจ านวนเชิงซ้อน
7.2 กำรบวกและกำรคูณจ ำนวนจินตภำพแท้ การบวกและการคูณจ านวนจินตภาพแท้ 0,b ก็คือ 0, 0,c 0,b b c 0, 0,c 0b bc นั่นคือผลคูณของ จ านวนจินตภาพแท้สองจ านวนจะเป็นจ านวนจริงเสมอ เช่น
0,1 0,2 2,0 จะเห็นว่านิยามโดยใช้สัญลักษณ์ a bi แทนด้วย a,b นั้นเหมือนกันทุกประการ โดยที่สัญลักษณ์ทั้งสองมีความสัมพันธ์กัน คือ
76
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
จ านวนจริง ,0a a จ านวนจินตภาพแท้ 0,b bi จ านวนเชิงซ้อน ,a b a bi สมบัติปิด สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและสมบัติการสลับที่ ทั้งการบวกและการคูณยังคงเป็นจริงอยู่ในเซตของจ านวนเชิงซ้อน เพ่ือจะแสดงว่า สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม ของผลบวกเป็นจริงนั่นคือต้องแสดงว่า
, , , , , ,a b c d e f a b c d e f พิสูจน์ , , , , ,a b c d e f a c b d e f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 ,a c e b d f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 ,ba c e d f สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม , ,a b c e d f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 , , ,a b c d e f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 เพ่ือจะแสดงว่า สมบัติการสลับที่ ของผลคูณเป็นจริงนั่นคือต้องแสดงว่า , , , ,a b c d c d a b
พิสูจน์ , , ,a b c d ac bd ad bc บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 3 ,ca db da cb สมบัติการสลับที่ ,ca db cb da สมบัติการสลับที่ , ,c d a b ในท านองเดียวกันกฎอ่ืน ๆ อาจพิสูจน์ได้เช่นกัน ส าหรับจ านวนเชิงซ้อน ,a b
1. เอกลักษณ์การบวกคือ 0,0
2. ผกผันการบวกคือ ,a b
3. เอกลักษณ์การคูณคือ 1,0
4. ผกผันการคูณคือ 2 2 2 2
,a b
a b a b
77
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
7.3 จ ำนวนเชิงซ้อนในทำงเรขำคณิต ในท านองเดียวกันกับที่แทนจ านวนจริงด้วยจุดบนเส้นตรง จะแทนจ านวนเชิงซ้อนด้วยจุดในระนาบ โดยแทนจ านวนเชิงซ้อน a bi หรือ ,a b ด้วยจุดซึ่งมีพิกัด ,a b เช่น เขียนแทนจ านวนเชิงซ้อน3 2i จึงมีจุดอยู่ท่ี 3,2 เมื่อจุดทั้งหลายบนระนาบ ใช้แทนเซตของจุดเหล่านั้นเรียกว่าระนาบเชิงซ้อน ผู้ริเริ่มการแทนจ านวนเชิงซ้อนด้วยจุดในระนาบนี้ ได้แก่ เกาส์ (Gauss) และ อาร์กองด์ (Argand) ในบางครั้งจึงเรียกระนาบนี้ว่าระนาบของเกาส์ (Gaussian plane) หรือระนาบของอาร์กองด์ (Argand diagram) ระนาบเชิงซ้อน แกนตามแนวนอนเรียกว่าแกนจริง (real axis) เรียกว่า real-axis และตามแนวตั้งเรียกว่า แกนจินตภาพ (imaginary axis) หรือ i-axis โดยที่การบวกของจ านวนเชิงซ้อนคือการบวกของพิกัด ดังนั้นหากลากเส้นจากจุดก าเนิดต่อเข้ากับจุดเหล่านี้ก็จะกลายเป็นเวกเตอร์ (vector) เช่น เวกเตอร์ 0P เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 0P ตัวอย่ำงท่ี 7.5 จงบวก 5 6i ด้วย 3 2i วิธีท ำ
5 6 3 2 8 4i i i และ 3 2 5 6 8 4i i i
ภาพที่ 7.8 ผลบวก 5 6i ด้วย 3 2i
5 6i
8 4i
3 2i
5 6i
3 2i
78
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
7.4 ระบบพิกัดเชิงขั้วและระบบพิกัดตรีโกณมิติ จุด P ในระนาบมีระบบพิกัดฉาก (Cartesian coordinate) หรือมีระยะทาง r จากจุดก าเนิดและท ามุม องศากับแกนนอน เรียก ,r ว่าระบบพิกัดเชิงขั้วของ P
ภาพที่ 7.9 รูปแบบพิกัดเชิงขั้ว
ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดเชิงขั้ว ได้ดังนี้ cos , sin ______ 1a r b r
2 2 , tan ______ 2b
r a ba
ตัวอย่ำงท่ี 7.6 จงหาระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งระบบพิกัดฉากเป็น 2, 2 วิธีท ำ จากโจทย์ 2, b 2a
ดังนั้น 222 2 8 2 2r
2tan 1
2
b
a
เพราะฉะนั้น 3315
4
นั่นคือ พิกัดกัดเชิงขั้ว คือ 2 2,315
จากแนวคิดนี้ อาจเขียนจ านวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปอื่นได้คือ ให้ a bi เป็นจ านวนเชิงซ้อน และ P เป็นจุดแทนจ านวนนี้ ดังนั้น P จึงมี ระบบพิกัดฉากเป็น ,a b และมีระบบพิกัดเชิงขั้ว ,r จาก 1 จะได้ cos , sina r b r ดังนั้น cos sin ______ 3a bi r i
เมื่อ 2 2r a bi a b
และ tanb
a
79
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
จ านวนทางขวามือของ 3 เรียกว่าระบบพิกัดตรีโกณมิติ (trigonometric form) หรือ รูปแบบเชิงขั้วของจ านวนเชิงซ้อน a bi
จ านวน 2 2r a b เรียกว่า ค่าสัมบูรณ์ (absolute value) หรือ มอดุลัส (Modulus) ของจ านวนเชิงซ้อน และเขียนแทนด้วย a bi จ านวนทางขวามือของ 3 เรียกว่ารูปแบบพิกัดฉาก (rectangular form) ดังนั้นจ านวนเชิงซ้อนจึงเป็นเวกเตอร์ที่มีทั้งส่วนสูง (absolute value) และทิศทาง (argument) เรียกมุม ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) หรือ แอมพลิจูด (amplitude) เขียนแทนด้วย
arg a bi ถ้า อยู่ในช่วง , เรียกว่า ว่า อาร์กิวเมนต์หลัก (principal argument) และเขียนแทนด้วย rgA a bi ตัวอย่ำงท่ี 7.7 จงเขียน 1 i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ และรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว วิธีท ำ เมื่อเปลี่ยน 1 i กับ a bi จะได้ 1a และ 1b
2 2 1 1 2r a b
1tan 1
1
b
a
จะได้ 454
ดังนั้น arg 14
i
และ 14
Arg i
นั่นคือ 1 2 cos45 sin 45i i อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ
1 2 cos sin4 4
i i
อยู่ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว
ตัวอย่ำงท่ี 7.8 จงเขียน 2 2 3i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ และรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว วิธีท ำเมื่อเปลี่ยน 2 2 3i กับ a bi จะได้ 2a และ 2 3b
222 2 2 2 3 16 4r a b
2 3tan 3
2
b
a
จะได้ 4240
3
ดังนั้น 4arg 2 2 3
3i
และ 2
2 2 33
Arg i
นั่นคือ 2 2 3 4 cos240 sin 240i i อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ
80
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
2 22 2 3 4 cos sin
3 3i
อยู่ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว
หรือ 2 22 2 3 4 cos sin
3 3i
อยู่ในรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว
ตัวอย่ำงท่ี 7.9 จงเปลี่ยน 6 cos240 sin 240i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดฉาก วิธีท ำ ให้ cos sina bi r i
จะได้ 1
cos 6 cos 240 6 32
a r
3
sin 6 sin 240 6 3 32
b r
ดังนั้น 6 cos240 sin 240i อยู่ในรูปแบบพิกัดฉาก คือ 3 3 3
ตัวอย่ำงท่ี 7.10 จงหามอดุลัสและอาร์กิวเมนต์ของ 3 cos sin6 6
i
วิธีท ำ จากโจทย์ มอดุลัส คือ 3
จะหาอาร์กิวเมนต์ ของ3 cos sin6 6
i
จะได้ 3 cos sin 3 cos sin6 6 6 6
i i
5 53 cos sin
6 6i
ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ คือ 5
6
7.5 กำรคูณและกำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน 7.5.1 กำรคูณจ ำนวนเชิงซ้อน การคูณจ านวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้วหรือรูปแบบตรีโกณมิติ อาจจะสลับกันเล็กน้อย เพื่อความสะดวกจะเขียนย่อ cos sinr i ว่า c sr i ให้ 1 1c sr i และ 2 2c sr i เป็นจ านวนเชิงซ้อน
1 1 2 2 1 2 1 2c s c s c s c sr i r i r r i i
81
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
cos sin cos sin
cos cos sin sin sin cos cos sin
cos sin
c s
r r i i
r r i
r r i
r r i
ดังนั้นผลคูณของจ านวนเชิงซ้อน 1 2 1 2c sr r i
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3c s c s c s c sr i r i r i r r r i ถ้า 1 2 3, , ต่างก็เท่ากับ และ 1 2 3, ,r r r ต่างก็เท่ากับ r จะได้ว่า
3 3c s 3r i r cis ท านองเดียวกัน c s ______ 4
n nr i r cisn เมื่อ n เป็นจ านวนจริง จะเรียก 4 ว่า ทฤษฎีเดอร์มัวฟ์ (De Moivre’s Theorem)
ตัวอย่ำงที่ 7.11 จงหาผลคูณของจ านวนเชิงซ้อน 3 cos sin4 4
i
และ
5 52 cos sin
6 6i
วิธีท ำ จากผลคูณจ านวนเชิงซ้อน 1 1 2 2 1 2 1 2c s c s c sr i r i r r i
จะได้ 5 5 53 cos sin 2 cos sin 3 2
4 4 6 6 4 6i i cis cis
5
3 24 6
cis
266
24cis
136
12cis
13 136 cos sin
12 12i
นั่ นคื อ ผลคูณของจ านวนเชิ งซ้ อน 3 cos sin4 4
i
และ 5 5
2 cos sin6 6
i
คื อ
136
12cis
หรือ 13 136 cos sin
12 12i
7.5.2 กำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน การหารจ านวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้วหรือรูปแบบตรีโกณมิติ
ให้ 1 1c sr i และ 2 2c sr i เป็นจ านวนเชิงซ้อน
2 21 1 1 1
2 2 2 2 2 2
c sc s c s
c s c s c s
r ir i r i
r i r i r i
82
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
1 2 1 2
2
2
11 2
2
c s
c s0
c s
r r i
r i
ri
r
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วนของจ านวนเชิงซ้อนสองจ านวนก็คือ เศษส่วนของค่าสัมบูรณ์ อาร์กิวเมนต์หลักของเศษส่วนก็คือ อาร์กิวเมนต์ของเศษลบด้วยอาร์กิวเมนต์ของส่วน
ตัวอย่ำงที่ 7.12 จงหาผลหารของจ านวนเชิงซ้อน 3 35 cos sin
4 4i
และ 2i
วิธีท ำ จากการหารจ านวนเชิงซ้อน
1 1 1
1 2
2 2 2
c sc s
c s
r i ri
r i r
และ 2i สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วได้ดังนี้
2 0 2 2 cos sin2 2
i i i
ดังนั้น
3 35 cos sin
5 34 4
2 4 22 cos sin
2 2
i
cis
i
5
2 4cis
5cos sin
2 4 4
i
นั่นคือ ผลหารของจ านวนเชิงซ้อน 3 35 cos sin
4 4i
และ 2i คือ 5
2 4cis
หรือ
5cos sin
2 4 4i
7.5.3 กำรหำรำกจ ำนวนเชิงซ้อน การหารากอันดับที่ n ใด ๆ ของจ านวนเชิงซ้อนที่ก าหนดมาให้ กล่าวคือ เมื่อก าหนด
จ านวนเชิงซ้อน w โดยที่ 0w และจ านวนเต็มบวก 1n มาให้แล้ว ราก (root) ที่ n ของ w ถ้า a bi สอดคล้องสมการ
na bi w โดยการค านวณหารากของจ านวนเชิงซ้อน มีวิธีการ
ค านวณดังนี้ cos sinnw r n i n จ านวนเชิงซ้อน 2 จ านวนเท่ากัน แสดงว่า ทั้งค่ามอดุลัสและค่าอาร์กิวเมนต์ต้องเท่ากัน จึง
สรุปว่า 1
2 2cos sinn
k ka bi r i
n n n n
โดยที่ 0,1,2, , 1k n
83
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
หรือ 1
2n
ka bi r cis
n n
โดยที่ 0,1,2, , 1k n
ตัวอย่ำงที่ 7.13 จงหารากท่ี 2 ของสมการ 2 2 3i
วิธีท ำ มอดุลัส 22
2 2 3 16 4r
2 3tan 3
2
b
a
จะได้ 4240
3
ดังนั้น 4arg 2 2 3
3i
รากที่ 2 ของสมการ 2 2 3i ที่ต้องการคือ
รากที่ 1 กรณี 0;k 4
2 0 232 22 2 3
cis cis
1 32
2 2i
1 3i
รากที่ 2 กรณี 1;k 4
2 1 532 22 2 3
cis cis
1 32
2 2i
1 3i ดังนั้น รากที่ 2 ของสมการ 2 2 3i คือ 1 3i และ 1 3i ตัวอย่ำงที่ 7.14 จงหารากท่ี 3 ของ i วิธีท ำ i สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วได้ดังนี้
0 1 cos sin2 2
i i i
มอดุลัส 2 2
0 1 1 1r
0902
84
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
ดังนั้น arg2
i
รากที่ 3 ของสมการ i ที่ต้องการคือ
รากที่ 1 กรณี 0;k 2 02
3 3 6cis cis
3
2 2
i
รากที่ 2 กรณี 1;k 2 1 52
3 3 6cis cis
3
2 2
i
รากที่ 3 กรณี 2;k 2 2 32
3 3 2cis cis
i
ดังนั้น รากที่ 3 ของสมการ i คือ 3,1 3
2 2
ii และ i
สรุป
จ านวนเชิงซ้อนมีระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดเชิงขั้ว
แบบฝึกหัด
จงหาค่าสัมบูรณ์และอาร์กิวเมนต์ของจ านวนเชิงซ้อนต่อไปนี้
1. 2 cos sin8 8
i
2. 2 cos sin8 8
i
3. 2 cos sin8 8
i
85
เอกสารประกอบการสอนรายวิชาระบบจ านวน (Number System) อาจารย์วรรณธิดา ยลวิลาศ
4. 2 sin cos8 8
i
5. 1 3i
6. 1
1
i
i
จงหารากของสมการ
1. 2 16 0x
2. 2 4 9 0x x จงหาค่าของ
1. 6
1 i
2. 5
1 3i
3. 4
2 2i