· คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 โดย...
TRANSCRIPT
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 2
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ความรเกยวกบลมตมความส าคญมากในทางคณตศาสตร โดยเฉพาะอยางยงในวชาแคลคลส (Calculus) “ใหนกศกษาพจารณาฟงกชน f(x) ซง
2xf(x) วา คาของฟงกชน f(x) เปนอยางไร เมอ x เขาใกล 2” ( คาของ 2x ) ดงตาราง
2<x 2x >
x 2xf(x) x 2xf(x)
1 3 3 5
1.5 3.5 2.5 4.5
1.9 3.9 2.1 4.1
1.99 3.99 2.01 4.01
1.999 3.999 2.001 4.001
1.9999 3.9999 2.0001 4.0001
จะเหนวาเมอ x เขาใกล 2 โดยท ( 2<x ) คาของฟงกชนจะเขาใกล 4
และเมอ x โดยท ( 2x > ) เขาใกล 4
ลมตและความตอเนอง (Limit and Continuity)
1. ลมตของฟงกชน
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 3
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
จะเหนไดวา เมอ x เขาใกล 2 โดยท ( 2<x ) และเมอ x เขาใกล 2 โดยท ( 2x > ) คาของฟงกชน
จะเขาใกลจ านวนเดยวกน คอ 4 นนแสดงวา ฟงกชน 2xf(x) มลมตของฟงกชน โดยคาของลมต
เทากบ 4
โดยทวไป เมอ a เปนจ านวนใด ๆ
1. x เขาใกล a โดยท a<x จะเรยกวา x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวยสญลกษณ
-ax และคาของฟงกชน f(x) เขาใกลจ านวนจรง L เมอ x a ทางดานซายแลว ลมต
ของฟงกชน f ท x เขาใกล a ทางดานซาย เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax
2. x เขาใกล a โดยท ax > จะเรยกวา x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวยสญลกษณ
ax และคาของฟงกชน f(x) เขาใกลจ านวนจรง L เมอ x a ทางดานขวาแลว ลมต
ของฟงกชน f ท x เขาใกล a ทางดานขวา เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax
ซง ถา Lf(x) limf(x) lim
axax
แลว Lf(x) lim ax
เรยก L วา คาลมต
ของฟงกชน f ท a หรอกลาววา
Lf(x) lim ax
กตอเมอ Lf(x) limf(x) lim axax
ดงนนจากตารางขางตน จะไดวา
42)(x lim2)(x lim 2x2x
จะได 42)(x lim2)(x lim 2x2x
ดงนน 42)(x lim
2x
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 4
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
วธพจารณาคาของ f(x) lim ax
ม 3 วธ คอ
1) การหาคาลมตโดยวธแทนคาในตาราง
2) การหาคาลมตโดยวธพจารณากราฟ
3) การหาคาลมตโดยใชทฤษฎเกยวกบลมต
การหาคาลมตโดยวธแทนคาในตาราง
ใหนกเรยนพจารณาตวอยางตอไปน เพอท าความเขาใจเกยวกบการหาคาลมตโดยวธแทนคา ในตาราง
ตวอยางท 1-4 จงสรางตารางแสดงคาของฟงกชนทก าหนดให ณ จดใกล ๆ a ( a) ทก าหนดให เพอสรปคาของ f(x) lim
ax
, f(x) lim ax
และ f(x) lim ax
(ถาลมตมคา)
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 5
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 1 2a2x,3xf(x) 2
วธท า สรางตาราง ดงน
2<x 2x >
x 2x3xf(x) 2 x 2x3xf(x) 2
1 1 3 21
1.5 3.75 2.5 13.75
1.9 7.03 2.1 9.03
1.99 7.90 2.01 8.10
1.999 7.990 2.001 8.01
1.9999 7.998 2.0001 8.0008
จะไดวา 82x)(3x lim และ 82x)(3x lim 22
2x2x
นนคอ 82x)(3x lim2x)(3x lim 22
2x2x
ดงนน 82x)(3x lim 22x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 6
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 2 0a,4xx
4xxf(x) 2
3
วธท า สรางตาราง ดงน
0<x 0x >
x 4xx
4xxf(x) 2
3
x
4xx
4xxf(x) 2
3
-1 -1 1 -0.6
-0.5 -1.074 0.5 -0.833
-0.1 -1.023 0.1 -0.973
-0.01 -1.002 0.01 -0.997
-0.001 -1.000 0.001 -0.999
-0.0001 -1.000 0.0001 -0.999
จะไดวา 14xx
4xxlim และ 14xx
4xx lim 2
3
2
3
0x0x
นนคอ 14xx
4xxlim4xx
4xx lim 2
3
2
3
0x0x
ดงนน 14xx
4xxlim 2
3
0x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 7
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 3 8a,1xf(x)
วธท า สรางตาราง ดงน
8<x 8x >
x 1xf(x) x 1xf(x)
7 2.82842 9 3.16227
7.5 2.91547 8.5 3.08220
7.9 2.98328 8.1 3.01662
7.99 2.99833 8.01 3.00166
7.999 2.99983 8.001 3.00016
7.9999 2.99998 8.0001 3.00001
จะไดวา 31xlim และ 31x lim 8x8x
นนคอ 31xlim1x lim 8x8x
ดงนน 31xlim 8x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 8
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 4 4a,4x
2xf(x)
วธท า สรางตาราง ดงน
4<x 4x >
x 4x2xf(x)
x 4x
2xf(x)
3 0.26794 5 0.23606
3.5 0.25834 4.5 0.24264
3.9 0.25158 4.1 0.24845
3.99 0.25015 4.01 0.24984
3.999 0.25001 4.001 0.24998
3.9999 0.25000 4.0001 0.24999
จะไดวา 0.254x
2xlim และ 0.254x
2x lim 4x4x
นนคอ 0.254x
2xlim4x
2x lim 4x4x
ดงนน 0.254x
2xlim 4x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 9
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
การหาคาลมตโดยวธพจารณากราฟ ใหนกเรยนพจารณาตวอยางท 5-8 การหาคาลมตโดยวธพจารณากราฟ ดงน
ตวอยางท 5
4 >x เมอ 4x
4 <x เมอ2x 8xf(x) เมอ x
วธท า เขยนกราฟ ดงน
ภาพท 1
เมอพจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 4 ทางดานซาย และดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 0 เพยงคาเดยว
ตวอยางท 6 54xxf(x) 2 เมอ x 2 วธท า เขยนกราฟ ดงน
ภาพท 2
เมอพจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 2 ทางดานซาย
และดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 1 เพยงคาเดยว
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 10
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 7 12xf(x) เมอ x 1 วธท า เขยนกราฟ ดงน
ภาพท 3
เมอพจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 1 ทางดานซาย
และดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 1 เพยงคาเดยว
ตวอยางท 8
1 x เมอ 1)(x
1 <x เมอx 2
f(x) 2
เมอ x 1
ภาพท 4
เมอพจารณาคาของ f(x) ในตารางและกราฟ จะเหนวา เมอ x มคาเขาใกล 1 ทางดานซาย
คาของ f(x) มคาเขาใกล 1 และเมอ x มคาเขาใกล 1 ทางดานขวา คาของ f(x) มคาเขาใกล 0
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 11
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
จากบทนยาม 2.1 – 2.2 ส าหรบนกเรยนทเรยนระดบมธยมศกษาตอนปลาย อาจท าความเขาใจกบ
บทนยามนคอนขางทจะเขาใจยาก ดงนนเพอใหนกเรยนไดเขาใจนยามของลมตงายขน จะขอใหนยาม
ของลมตในอกลกษณะหนง ดงน
“เราจะกลาววา Lf(x) lim ax
กตอเมอ x f(x) เขาใกล L
2. นยามของลมต
นยาม 2.1 ลมตทางขวา
ให f a f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x
มคาเขาใกล a ทางขวามอ (เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax
) กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรง
0>ε จะตองมจ านวนจรง 0> ซงท าใหส าหรบทก ๆ fDx ถา δa<x<a
แลวจะได <Lf(x)
นยาม 2.2 ลมตทางซาย
ให f a f(x) มคาเขาใกล L ในขณะท x
มคาเขาใกล a ทางซายมอ (เขยนแทนดวย Lf(x) lim ax
) กตอเมอส าหรบแตละจ านวนจรง
0>ε จะตองมจ านวนจรง 0> ซงท าใหส าหรบทก ๆ fDx ถา a<x<a δ
แลวจะได <Lf(x)
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 12
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
3.1 กฎเกณฑหรอทฤษฎเกยวกบลมต
การพจารณาคาลมตของฟงกชน f(x) เมอ x a โ
x a ตารางหรอกราฟไมสะดวกรวดเรวเทาทควร เพอให
วธการหาคาลมตสะดวกและรวดเรวขนจงจ าเปนตองศกษากฎเกณฑและทฤษฎส าคญ
เพอน ามาใชในการค านวณ กฎทกกฎสามารถพสจนได แตในทนเราจะไมศกษาวธพสจน
เพยงแตจะศกษาถงวธน ากฎเกณฑไปใชในการค านวณเทานน
ทฤษฎบทท 1
เมอ a , L และ M เปนจ านวนใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปน
สบเซตของจ านวนจรง โดยท Mg(x) limและLf(x) lim axax
แลว
1) ถา cf(x) เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ
2) af(x) lim ax
3) nn ax lim ax
, I n
4) Lcf(x) limcf(x)c lim axax
เมอ c เปนคาคงตวใด ๆ
5) MLg(x)f(x) lim g(x)][f(x) lim
axax
6) MLg(x)f(x) lim g(x)][f(x) lim
axax
3. กฎเกณฑหรอทฤษฎเกยวกบลมตและการค านวณคาลมตของฟงกชน
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 13
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ฟงกชนพหนาม คอ ฟงกชนทเขยนในรป 011n
1nn
n axa...xaxa p(x)
โดยท n, n-1,...,1 เปนจ านวนเตมบวก และ 01nn a,,a ,a ... เปนจ านวนจรง รายละเอยดเพมเตมนกเรยนสามารถศกษาไดตามตวอยาง ดงน
7) 0MML
g(x) lim
f(x) lim
g(x)f(x) lim
ax
axax
,
8)
I n,Lf(x) limf(x) lim n
n
axn
ax
9) 1I n,Lf(x) limf(x) lim nnax
nax
และ RLn
หมายเหต กฎเกณฑเหลานใชไดกบลมตทางซายและลมตทางขวา
ทฤษฎบทท 2
ถา p(x) เปนฟงกชนพหนามแลว ส าหรบจ านวนจรง a ใด ๆ p(a) p(x)lim ax
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 14
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
3.2 การหาคาลมตของฟงกชน
การหาคาลมตของฟงกชน คอ การหาวาฟงกชนมคาเขาใกลจ านวนจรงใด เมอก าหนดให
ตวแปรอสระมคาเขาใกลจ านวนจรงจ านวนหนง ซงการหาคาลมตนสามารถใชกฎเกณฑ
เกยวกบลมตมาชวยในการหาคาลมตของฟงกชนได ใหนกเรยนพจารณาตวอยาง ดงน
ตวอยางท 9 จงหาคาของ 7)8x(x lim 2
3x
วธท า โดยกฎขอ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน
7 lim8x limx lim7)8x(x lim 3x3x3x3x
22
7(8)(3))(3 2
7249
8
87)8x(x lim 23x
ตอบ
ตวอยางท 10 จงหาคาของ 1)4x(x lim 2
1x
วธท า โดยกฎขอ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน
1 lim4x limx lim1)4x(x lim 1x1x1x1x
22
1(4)(1))(1 2
141
2
21)4x(x lim 21x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 15
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 11 จงหาคาของ 1x
35x lim 2
2x
วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน 1x
35x2
จะเหนวา
5121 limx lim1)(x lim 2222x2x2x
โดยกฎขอ 7) และ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน
1)(x lim
3)(5x lim
1x
35x lim 2
2x
2x22x
1limx lim
3 lim5x lim
2x
2
2x
2x2x
1)(2
35(2) 2
14310
5
13
5
13
1x
35x lim 22x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 16
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 12 จงหาคาของ 2x4x lim
2
2x
วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน 2x4x
2
จะเหนวา
0222 limx lim2x lim 2x2x2x
ดงนนไมสามารถใชกฎขอ 5) หาคาลมตนได จะหาคาลมตนไดตองอาศย
ความรเรองการแยกตวประกอบของพหนาม ดงน
2x
2)2)(x(x lim2x4x lim
2x2x
2
2)(x lim 2x
โดยกฎขอ 5) สามารถเขยนคาลมตไดดงน
2 limx lim 2x2x
22
4
42x4x lim
2
2x
ตอบ
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 17
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 13 จงหาคาของ 23x
1x lim 21x
วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน23x
1x 2
จะเหนวา
022242312)3x( lim 221x
ดงนนไมสามารถใชกฎขอ 5) หาคาลมตนได จะหาคาลมตนไดตองอาศย
ความรเรองเสรดคสงยคของ 23x 2 คอ 23x 2 ดงน
23x
23x
23x
1x lim23x
1x lim 2
2
22 1x1x
2)3x2)(3x(
2)3x1)((x lim 22
2
1x
43x
2)3x1)((x lim 2
2
1x
1x
2)3x1)((x lim 2
2
1x
1)1)(x(x2)3x1)((x lim
2
1x
11231
2
2
223x
1x lim 21x
ตอบ
โดยกฎขอ 3.1 สามารถเขยนคาลมตไดดงน
www.kroo
bann
ok.co
m
เอกสารประกอบการเรยน แคลคลสเบองตน เลม 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน 18
คณตศาสตรเพมเตม ม.6 โดย นางธนยนนท จนเต
ตวอยางท 14 จงหาคาของ 1x
x lim 2
1x
วธท า พจารณาตวสวนของเศษสวน1x
x 2
จะเหนวา 0111)(x lim 1x
(คาลมตของตวสวนมคาเทากบ 0)
จะไดวา 1x
x lim 2
1x
หาคาลมตไมได
หาคาลมตไมได ตอบ
ทฤษฎบทท 3
ถา 0LL,f(x) lim ax
และ แลว 0g(x) lim ax
0L,0L
g(x)f(x) lim
ax
หาคาไมได หรอ ไมมลมต
ไมยากใชไหมครบทกคน www.kroo
bann
ok.co
m