ตรรกศาสตร์เบื้องต้น...ต วอย าง...

เอกสารประกอบการสอนรายวิชา คณิตศาสตร์ทั่วไป | ดร.ธิดาพร เสียงวัฒนะ

1 ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น

บทที่ 1

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์ หมายถึง แขนงวิชาที่เกี่ยวกับการคิดการหาเหตุผลโดยใช้หลักเกณฑ์เพ่ือยืนยันความคิดหรือ

ความจริงที่มีอยู่ อาทิเช่น การคิดจากสิ่งที่รู้แล้วน าไปค้นหาสิ่งที่ยังไม่รู้หรือไม่เคยเกิดขึ้นมาก่อน ตรรกศาสตร์นั้น

เป็นเครื่องมือส าคัญอย่างหนึ่งในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นเป็นนามธรรมจึงต้องอาศัย

หลักการและการให้เหตุผลเป็นหลัก องค์ประกอบของคณิตศาสตร์โดยทั่วไปแบ่งออกเป็น 2 ส่วนใหญ่ๆ ได้แก่

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และ การอ้างเหตุผล

1.1 โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Structure)

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย ค านิยาม ค าอนิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท

1. ค านิยาม (Defined Term) คือ ค าหรือข้อความที่สามารถให้ค าจ ากัดความได้ หรือเรียกอีกอย่างว่า

บทนิยาม (Definition) เช่น ค าว่า “มุม” หมายถึง รังสีสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เป็นต้น

2. ค าอนิยาม (Undefined Term) คือ ค าหรือข้อความที่ไม่สามารถให้ค าจ ากัดความได้ แต่เมื่อกล่าวถึง

ต้องมีความเข้าใจตรงกัน เนื่องจากมีความหมายชันเจนอยู่ในตัวเอง เช่น จุด เส้นตรง มากกว่า น้อยกว่า

เท่ากัน ระนาบ เป็นต้น

3. สัจพจน์ (Axiom) คือ ข้อความที่ตกลงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น “เส้นตรงที่ขนาน

กันจะไม่สามารถตัดกันได”้

4. ทฤษฎีบท (Theorem) คือ ข้อความหรือผลสรุปที่ได้มาจากการรวบรวม อนิยาม นิยาม และสัจพจน์

สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงทุกกรณี โดยอาศัยหลักการให้เหตุผลทางตรรกวิทยาเข้ามาใช้ในการพิสูจน์

เพ่ือแสดงว่าทฤษฎีเป็นจริง ทฤษฎีบทใดก็ตามท่ีพิสูจน์ได้บนระบบใด จะถือว่าเป็นจริงเฉพาะระบบนั้นๆ

เท่านั้น นอกจากนั้นยังสามารถน าไปใช้อ้างอิงในระบบเดียวกันได้อีกด้วย



ตัวอย่าง : ทฤษฏีบทปิทาโกรัส

“รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ก าลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของก าลังสองของความยาว

ด้านประกอบมุมฉาก”

ทฤษฎีบทปิทาโกรัส

2 2 2c a b

1.2 การอ้างเหตุผล (Argument)

การอ้างเหตุผลในเชิงตรรกวิทยาหมายถึงกระบวนการการคิดของมนุษย์ที่เรียบเรียงข้อเท็จจริง ข้อความ

ประโยคบางส่วน หรือปรากฏการณ์ต่างๆ ที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จมาสนับสนุนกันและกัน จนท าให้

เกิดข้อความใหม่หรือปรากฏการณ์ใหม่ที่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ การอ้างเหตุผลจะประกอบด้วย

ข้อความ 2 กลุ่ม ได้แก่

- ข้ออ้าง (Premises) : กลุ่มของข้อความ ประโยค ปรากฏการณ์ ที่สนับสนุนกันและกัน

- ข้อสรุป (Conclusion) : กลุ่มของข้อความใหม่หรือปรากฏการณ์ใหม่ที่ได้มากจากข้ออ้าง

การอ้างเหตุผลในเชิงตรรกวิทยานั้นสามารถแบ่งลักษณะการอ้างเหตุผลได้เป็น 2 ลักษณะ ดังนี้

การอ้างเหตุผล

บันทึกช่วยจ า

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

a

b

c

การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย

การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย



1. การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย (Deductive Argument) เป็นกระบวนการอ้างเหตุผลที่ข้ออ้างสามารถ

ยืนยันข้อสรุปได้อย่างชัดเจน ความน่าเชื่อถือของข้อสรุปอยู่ในขั้นความแน่นอน

ตัวอย่าง 1 เหตุ 1. นักศึกษาที่เล่นกีฬาทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี

2. ก้อยเป็นนักศึกษาและชอบเล่นกีฬา

ผล ก้อยมีสุขภาพดี

วิธีท า พิจารณาโดยการก าหนดเซตของสิ่งต่างๆ ดังนี้

ก าหนดให้ A เป็นเซตของนักศึกษา

B เป็นเซตของคนท่ีเล่นกีฬา

C เป็นเซตของคนท่ีมีสุขภาพดี

และ x แทนก้อย

จากเหตุที่ก าหนดให้ สามารถแสดงได้ดังภาพ

จะเห็นได้ว่า x อยู่ในเซต C เราสามารถสรุปได้ว่า ก้อยมีสุขภาพดี

ดังนั้นจากข้อสรุปท าให้ได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 2 เหตุ 1. เครื่องบินทุกล าบินได้

2. เป็ดบินได ้

ผล เป็ดเป็นเครื่องบินชนิดหนึ่ง


ก าหนดให้ A เป็นเซตของเครื่องบิน

B เป็นเซตของสิ่งที่บินได ้

และ x แทนเป็ด

AB

C

x




จะเห็นได้ว่า x อยู่ในเซต A หรือ x ไม่อยู่ในเซต A ก็ได้ เราสามารถสรุปได้ท้ังสองกรณี

กรณีท่ี 1 : เป็ดเป็นเครื่องบินเครื่องบินชนิดหนึ่ง กรณีท่ี 2 : เป็ดไม่เป็นเครื่องบินชนิดหนึ่ง

ดังนั้นจากข้อสรุปทั้ง 2 กรณี ท าให้ได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 3 เหตุ 1. พนาวัลย์เป็นคนไทย 2. คนไทยบางคนชอบเลี้ยงช้าง

3. คนชอบเลี้ยงช้างบางคนชอบเลี้ยงแมว

ผล พนาวัลย์ชอบเลี้ยงแมว


ก าหนดให้ A เป็นเซตของคนไทย, B เป็นเซตของคนชอบเลี้ยงช้าง,

C เป็นเซตของคนชอบเลี้ยงแมว, และ x แทนพนาวัลย์




จะเห็นได้ว่า x อยู่ในเซต A B C หรือ x อยู่ในเซต A B หรือ x อยู่ในเซต A C หรือ x อยู่ในเซต

A เพียงอย่างเดียว เราสามารถสรุปได้ถึง 4 กรณ ี

กรณีท่ี 1 : พนาวัลย์เป็นคนไทยที่ชอบเลี้ยงแมวและช้าง

กรณีท่ี 2 : พนาวัลย์เป็นคนไทยชอบเลี้ยงช้าง

กรณีท่ี 3 : พนาวัลย์เป็นคนไทยชอบเลี้ยงแมว

กรณีท่ี 4 : พนาวัลย์เป็นคนไทยที่ไม่ชอบเลี้ยงแมวและช้าง

ดังนั้นจากข้อสรุปทั้ง 4 กรณี ท าให้ได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล

2. การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย (Inductive Argument) เป็นกระบวนการอ้างเหตุผลที่เกิดจากการสังเกต

ทดลองหลายๆ ครั้งแล้วน ามาเป็นข้อสรุป ดังนั้นข้อสรุปของการอ้างเหตุผลแบบอุปนัยนั้น ไม่จ าเป็นต้องถูกทุกครั้ง

ตัวอย่าง 1 เหตุ 1. อ้วนทานปลาหมึกแล้วเกิดอาการแพ้

2. อ้วนทานหอยเชลล์แล้วเกิดอาการแพ้

3. อ้วนทานกุ้งแชบ๊วยแล้วเกิดอาการแพ้

4. อ้วนทานปลาเก๋าแล้วเกิดอาการแพ้

ผล อ้วนแพ้อาหารทะเล

วิธีท า สรุปผลว่า อ้วนแพ้อาหารทะเล เพราะจากการทานอาหารทะเลต่างชนิดถึง 4 ชนิด แต่ก็ยังเกิด

อาการแพ้จากการสังเกต ซึ่งจะเห็นได้ว่าข้อสรุปไม่มีความชัดเจนว่าเป็นจริงหรือไม่จริง เป็นแค่การคาดการณ์จาก

การสังเกตเท่านั้น นอกเสียจากว่าอ้วนจะไปตรวจร่างกายที่โรงพยาบาลจึงจะท าให้ทราบว่าอ้วนนั้นแพ้อาหารทะเล

จริงหรือไม ่

ตัวอย่าง 2 ก าหนดรูปภาพดังนี้

ภาพที่ 1 ภาพที่ 2 ภาพที่ 3 ภาพที่ 4

จงใช้การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัยหาค่า x และค่า y



วิธีท า พิจารณา

ภาพที ่1 : ต าแหน่งของ y เกิดจากการน า 6 3 2 16


ภาพที ่3 : ต าแหน่งของ y เกิดจากการน า 5 4 6 5 4 26x


ดังนั้น จากการอ้างเหตุผลเชิงอุปนัยท าให้ทราบว่าค่า x มีค่าเท่ากับ 6 และ y มีค่าเท่ากับ 31

ความแตกต่างระหว่างการอ้างเหตุผลเชิงนิรนัยและเชิงอุปนัยสามารถสรุปได้ดังตารางนี้

การอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย การอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย 1. สรุปจากเหตุใหญ่ๆ ไปสู่ข้อสรุปย่อย 1. สรุปจากเหตุย่อยๆ เล็กๆ หลายเหตุ

ไปสู่ข้อสรุปใหญ่ 2. ข้อสรุปที่ได้อยู่ในวงจ ากัดเฉพาะเหตุเท่านั้น 2. ข้อสรุปที่ได้เป็นความรู้ใหม่ 3. ข้อสรุปเป็นจริงก็ต่อเมื่อเหตุเป็นจริงเท่านั้น 3. ข้อสรุปเป็นจริงหรือไม่จริงก็ได้

1.3 สญัลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ (Logic Symbols) เนื่องจากเราทราบกันดีว่าวิชาตรรกศาสตร์นั้นเป็นวิชาที่ว่าด้วยการอ้างเหตุผลเพ่ือให้เกิดข้อสรุป

การอ้างเหตุผลนั้นในชีวิตจริงมักไม่ได้มีเพียงแค่หนึ่งเหตุ แต่มักจะมีเหตุที่ซับซ้อนกันหลายๆ เหตุเพ่ือให้ได้มาซึ่ง

ข้อสรุป ดังนั้นการสื่อความหมายเพ่ือให้เข้าใจตรงกัน ชัดเจน รัดกุม และถูกต้อง จึงจ าเป็นต้องอาศัย “สัญลักษณ์”

มาใช้แทนข้อความที่มีความหมายในเชิงตรรกวิทยา สัญลักษณ์ดังกล่าวเราเรียกว่า “สัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์”

นั้นเอง

1.3.1 ประพจน์ (Proposition)

ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่สามารถบอกได้ว่ามีค่าความจริง เป็นจริง หรือเป็นเท็จ เพียงอย่างใด

อย่างหนึ่งเท่านั้น ส่วนประโยคท่ีมีลักษณะเป็น ประโยคบอกเล่า, ค าถาม, ค าสั่ง, ขอร้อง, อุทาน ฯลฯ ทีไ่ม่สามารถ

บอกได้ว่ามีค่าความจริง เป็นจริงหรือเป็นเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่งได้ ประโยคเหล่านี้เราจะถือว่าไม่เป็นประพจน์

ตัวอย่าง ประโยคทีเ่ป็นประพจน์

หนึ่งวันมี 24 ชั่วโมง ค่าความจริงเป็นจริง

19 < 12 ค่าความจริงเป็นเท็จ

ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ค่าความจริงเป็นจริง

เดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน” มี 31 วัน ค่าความจริงเป็นเท็จ



ตัวอย่าง ประโยคทีไ่ม่เป็นประพจน์

จังหวัดระยองอยู่ภาคอะไรในประเทศไทย เป็นประโยคค าถาม

2 3 10x เป็นประโยคบอกเล่า

กรุณาอย่าส่งเสียงดัง เป็นประโยคขอร้อง

อาจารย์ปูเป้สวยและรวยมาก เป็นประโยคบอกเล่า

ประพจน์สามารถแบ่งได้ 2 แบบ ดังภาพ

ประพจน ์

1.3.2 ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ (Logical connective)

การน าประพจน์เชิงเดี่ยวตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไปมาสร้างประพจน์ เป็นประพจน์ใหม่ เราต้องอาศัย

ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ มาใช้ในการเชื่อมประพจน์ โดยตัวเชื่อมนั้นมีด้วยกันทั้งหมด 5 ตัวเชื่อม ได้แก่ “และ”

“หรือ” “ถ้า...แล้ว...” “...ก็ต่อเมื่อ...” “ไม”่

การเชื่อมประพจน์เข้าด้วยกันนั้นเพ่ือให้เกิดความสะดวกและชัดเจน เรามักจะใช้พยัญชนะภาษาอังกฤษ

เช่น ,p ,q r และอ่ืนๆ แทน ประพจน์

“T ” แทน ค่าความจริงที่เป็นจริง “ F ” แทน ค่าความจริงที่เป็นเท็จ

“ ” แทน “และ” (and) “ ” แทน “หรือ” (or)

“” แทน “ถ้า...แล้ว...” (if…then…) “” แทน “...ก็ต่อเมื่อ...” (…if and only if…)

“ ” แทน “ไม”่ หรือ “นิเสธ” (not)

ตัวบ่งปริมาณ ได้แก่ “ ” แทน “ทั้งหมด, ทุกๆสิ่ง” (for all) และ “” แทน “บางสิ่ง” (for some)

ประพจน์เชิงเดี่ยว

คือประพจนห์นึง่ประพจน์ที่

สามารถบอกค่าความจริงได้ เชน่

- ม้ามีสี่ขา

- นกว่ายน้ าได้

ประพจน์เชิงซ้อน

คือประพจนต์ั้งแต่ 2 ประพจน ์

ขึน้ไป ถูกเชือ่มกันด้วยตัวเชื่อม

ทางตรรกวิทยา เชน่

ม้ามีสี่ขา หรือ นกว่ายน้ าได้



1.4 ค่าความจริงและตาราง (Truth value and table) ก าหนดให้ ,p q และ r แทนประพจน์ใดๆ

T แทน ค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

F แทน ค่าความจริงของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของประพจน์แต่ละประพจน์จะมีได้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งจากค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด

2 กรณี คือ เป็นจริง (T ) หรือ เป็นเท็จ ( F ) สามารถแสดงได้ดังนี้

p

T F

กรณีท่ีประพจน์ 2 ประพจน์ ถูกเชื่อมด้วยตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์

ที่เกิดจากการถูกเชื่อมค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 4 กรณี สามารถแสดงได้ดังนี้

p q

T T T F F T F F

กรณีท่ีประพจน์ 3 ประพจน์ ถูกเชื่อมด้วยตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์

ที่เกิดจากการถูกเชื่อมค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 8 กรณี สามารถแสดงได้ดังนี้

p q r T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F



จากข้อมูลที่แสดงให้เห็นข้างต้นท าให้เราทราบว่า

ตารางต่อไปนี้คือตารางแสดงค่าความจริงของตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ทั้ง 5 ตัวเชื่อม

ตัวเชื่อม “และ” ตัวเชื่อม “หรือ”

ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” ตัวเชื่อม “...ก็ต่อเมื่อ...”

ตัวเชื่อม “นิเสธ”

ค าแนะน า นักศึกษาควรเข้าใจและสามารถจดจ ากรณีเฉพาะของแต่ละตัวเชื่อมให้ได้


....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

ถ้ามีประพจน์เชิงเดี่ยวจ านวน n ประพจน์ แล้ว จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n จ านวน



ตัวอย่างที่ 1 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p q q

วิธีท า

p q p q p q q

T T T T T F F T F T F T F F F T

ตัวอย่างที่ 2 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p q r q

วิธีท า

p q r r p q r q p q r q

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

F T F T F T F T

T T F F F F F F

F T T F F T T F

F T T T T T T T

ตัวอย่างที่ 3 จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p q r q

วิธีท า



1.5 การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ (Truth value analysis) การวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์เราสามารถแบ่งได้เป็น 2 ลักษณะ

1.5.1 การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน เมื่อทราบค่าประพจน์เชิงเดี่ยว

ตัวอย่างที ่1 ก าหนด ประพจน์ p , q มีค่าความจริงเป็นจริง T

ประพจน์ r , s มีค่าความจริงเป็นจริง F

จงหาค่าความจริงของประพจน์ p q r s q r


จากภาพท าให้ทราบว่าค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อนที่พิจารณา คือ เป็นจริง T

ตัวอย่างที ่2 ก าหนดให้ประพจน์ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของประพจน์

q q p q

วิธีท า พิจารณาประพจน์ p q โจทย์ก าหนดให้มีค่าความจริงเป็นเท็จ ท าให้เราทราบว่า

p มีค่าความจริงเป็น เท็จ และ q มีค่าความจริงเป็น เท็จ

จากนั้นพิจารณาประพจน์เชิงซ้อน

จากภาพท าให้ทราบว่าค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อนที่พิจารณา คือ เป็นเท็จ F



1.5.2 การหาค่าความจริงของประพจน์เชิงเดี่ยว เมื่อทราบค่าประพจน์เชิงซ้อน

ตัวอย่างที ่1 ก าหนดให้ประพจน์ p s s p q r เป็นเท็จ จงหาค่าความจริง

ของประพจน์ ,p ,q r และ s


สรุปได้ว่า : ,p T : ,q T : ,r F และ :s T

ตัวอย่างที ่2 ก าหนดให้ประพจน์ p s q s เป็นจริง จงหาค่าความจริงของ p q s


สรุปได้ว่า : ,p F : ,q F และ :s F

พิจารณาหาค่าความจริงของประพจน์ p q s จะได้ว่า F F F F F F

ดังนั้นประพจน์ p q s มีค่าความจริงเป็นเท็จ



1.6 สัจนิรันตร์และประพจน์ขัดแย้ง (Tautology and Contradictory proposition) 1.6.1 สัจนิรันดร์ หมายถึง ประพจน์เชิงซ้อนที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกๆ กรณี

การตรวจสอบสัจนิรันตร์สามารถท าได้หลายวิธี ในที่นี้ของกล่าวถึงเฉพาะ วิธีการหาข้อขัดแย้ง

เพียงเท่านั้น โดยมีขั้นตอนการตรวจสอบทั้งหมด 3 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 : ก าหนดให้ค่าความจริงเป็น “เท็จ” ให้กับประพจน์เชิงซ้อนที่ต้องการตรวจสอบ

ขั้นตอนที่ 2 : พิจารณาหาประพจน์เชิงเดี่ยวที่มีท้ังหมด โดยการใช้วิธี 1.5.2

ขั้นตอนที่ 3 : ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า เป็นสัจนิรันดร์

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่สามารถสรุปได้ ให้สรุปว่า ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีท า ขั้นตอนที่ 1 : ก าหนดให้ค่าความจริงเป็น “เท็จ” ให้กับประพจน์ที่ก าลังจะพิจารณา


ขั้นตอนที่ 3 : พิจารณาหาข้อขัดแย้ง

จากภาพจะเห็นได้ว่าพบข้อขัดแย้งเกิดขึ้น ค่าความจริงของประพจน์ไม่สามารถเป็นเท็จได้

จึงสรุปได้ว่าประพจน์ p q q เป็นสัจนิรันดร์

เกิดข้อขัดแย้ง



ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q q p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่



ขั้นตอนที่ 3 : พิจารณาหาข้อขัดแย้ง

จากภาพจะเห็นได้ว่าไม่พบข้อขัดแย้งเกิดข้ึน ค่าความจริงของประพจน์เป็นเท็จได้

จึงสรุปได้ว่าประพจน์ p q q p ไมเ่ป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q r p q r เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่


หลังจากก าหนดค่าความจริงที่เป็น “เท็จ” ให้แล้ว ก่อนเข้าสู่ขั้นตอนที่ 2 จะพบว่า มี 2 กรณี ที่เราต้องพิจารณา

เพราะประพจน์เชิงซ้อนดังกล่าวถูกเชื่อมด้วยเครื่องหมาย “ก็ต่อเมื่อ” ดังนั้นการจะเป็นเท็จได้ค่าความจริงของ

วงเล็บใหญ่หน้าและวงเล็บใหญ่หลังต้องเป็น 1. T F หรือ 2. F T



พิจารณากรณีท่ี 1 โดยการใช้ขั้นตอนที่ 2 หาค่าความจริงของแต่ละประพจน์เชิงเดี่ยว

จากการพิจารณาจะพบว่าไม่พบข้อขัดแย้งเกิดขึ้น


จากการพิจารณากรณีที่ 2 จะพบว่าไม่พบข้อขัดแย้งเกิดขึ้น

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าประพจน์เชิงซ้อนดังกล่าวไม่เป็นสัจนิรันดร์

หมายเหตุ กรณีท่ีเราไม่พบข้อขัดแย้งหมายถึงประพจน์ที่เราพิจารณาสามารถเป็น “เท็จ” ได้ ดังนั้น

การตรวจสอบสัจนิรันดร์หากเราบพบว่าประพจน์เป็น “เท็จ” แค่เพียงกรณีเดียวก็เพียงพอ

ต่อการสรุปว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์แล้ว

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาว่าประพจน์ q p r r q p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่


หลังจากก าหนดค่าความจริงที่เป็น “เท็จ” ให้แล้ว ก่อนเข้าสู่ขั้นตอนที่ 2 จะพบว่า มี 3 กรณี ที่เราต้องพิจารณา

เพราะประพจน์เชิงซ้อนดังกล่าวถูกเชื่อมด้วยเครื่องหมาย “และ” ดังนั้นการจะเป็นเท็จได้ค่าความจริงของวงเล็บ

ใหญ่หน้าและวงเล็บใหญ่หลังต้องเป็น 1. F T หรือ 2. F F หรือ 3. T F




จากการพิจารณาจะพบว่ามีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์ การเป็นสัจนิรันดร์จะต้อง

พบข้อขัดแย้งทุกๆกรณีดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาในกรณีท่ี 2 และกรณีที่ 3 ด้วย


จากการพิจารณากรณีท่ี 2 พบว่าไม่มีข้อขัดแย้งเกิดข้ึน นั่นหมายถึงประพจน์ดังกล่าวสามารถเป็นเท็จได้หากเกิด

กรณีแบบนี้เกิดข้ึนไม่มีความจ าเป็นต้องพิจารณาต่อ เราสามารถสรุปได้เลยว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์

1.6.2 ประพจน์ขัดแย้ง หมายถึง ประพจน์เชิงซ้อนที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทุกๆกรณี

การตรวจสอบประพจน์ขัดแย้งสามารถท าได้คล้ายๆกันกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์

โดยมีขั้นตอนการตรวจสอบทั้งหมด 3 ขั้นตอน ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 : ก าหนดให้ค่าความจริงเป็น “จริง” ให้กับประพจน์เชิงซ้อนที่ต้องการตรวจสอบ


ขั้นตอนที่ 3 : ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า เป็นประพจน์ขัดแย้ง

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่ขัดแย้งกัน ให้สรุปว่า ไม่เป็นประพจน์ขัดแย้ง

ถ้าค่าความจริงของประพจน์ ไม่สามารถสรุปได้ ให้สรุปว่า ไม่เป็นประพจน์ขัดแย้ง




ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าประพจน์ p q q p เป็นประพจน์ขัดแย้งหรือไม่

วิธีท า ก าหนดให้ประพจน์ที่ต้องการพิจารณามีค่าความจริงเป็น “จริง” จากนั้นหาค่าความจริงในแต่ละประพจน์

จากการพิจารณาพบว่ามีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น ดังนั้นเราจะสรุปได้ว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นประพจน์ขัดแย้ง

1.7 ความสมเหตุสมผล (Validity) ในหัวข้อที่ 1.2 กล่าวถึงความสมเหตุสมผลว่าการอ้างเหตุผลเชิงนิรนัยจะสมเหตุสมผล เมื่อ ข้ออ้างเป็นจริง

แล้วข้อสรุปต้องเป็นจริงด้วย การตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่สามารถท าได้ดังนี้

1. จัดรูปแบบการอ้างเหตุผลในรูปประพจน์

ก าหนดให้ 1 2 3, , , , np p p p แทนเหตุทั้งหมด และ q แทนผล

น าเหตุที่มีทั้งหมดเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม “และ” จะได้ 1 2 3 np p p p

จากนั้นน าเหตุทั้งหมดที่ถูกเชื่อมเชื่อมกับผลด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” จะได้

1 2 3 np p p p q 2. น าประพจน์เชิงซ้อนในขั้นตอนที่ 1 มาตรวจสอบสัจนิรันดร์

หากประพจน์ดังกล่าวเป็น สัจนิรันดร์ เราสรุปได้ว่า สมเหตุสมผล

หากประพจน์ดังกล่าวไม่เป็น สัจนิรันดร์ เราสรุปได้ว่า ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. q p

2. q

ผล p

วิธีท า ขั้นตอนที่ 1 จัดรูปแบบการอ้างเหตุผล จะได้

q p q p




ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบประพจน์ในขั้นตอนที่ 1 ว่าเป็นสัจนริันดร์หรือไม ่(วิธีการตรวจสอบดูได้จากหัวข้อที่ 1.6)

จากการตรวจสอบพบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์ สรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. A B C

2. D A

3. B

ผล D C

วิธีท า ขั้นตอนที่ 1 จัดรูปแบบการอ้างเหตุผล จะได้

A B C D A B D C

ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบประพจน์ในขั้นตอนที่ 1 ว่าเป็นสัจนริันดร์หรือไม่ (วิธีการตรวจสอบดูได้จากหัวข้อที่ 1.6)

จากการตรวจสอบพบว่าประพจน์ดังกล่าวเป็นสัจนิรันดร์ สรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล





ตัวอย่างที่ 3 ในการแข่งขันฟุตบอลชิงแชมป์ประเทศไทยรายการหนึ่ง

เหตุ 1. ถ้าจังหวัดระยองและจังหวัดภูเก็ตชนะ แล้ว จังหวัดสุรินทร์และจังหวัดเลยแพ้

2. จังหวัดภูเก็ตชนะ

ผล จังหวัดสุรินทร์แพ้

จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผลหรือไม่

วิธีท า ก าหนดให้ A แทนประพจน์ “จังหวัดระยองชนะ”

B แทนประพจน์ “จังหวัดภูเก็ตชนะ”

C แทนประพจน์ “จังหวัดสุรินทร์ชนะ”

D แทนประพจน์ “จังหวัดเลยชนะ”

ขั้นตอนที่ 1 จัดรูปแบบการอ้างเหตุผล จะได้

A B C D B C

ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบประพจน์ในขั้นตอนที่ 1 ว่าเป็นสัจนริันดร์หรือไม่ (วิธีการตรวจสอบดูได้จากหัวข้อที่ 1.6)

จากการตรวจสอบพบว่าไม่มีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น ดังนั้นประพจน์ดังกล่าวไม่เป็นสัจนิรันดร์

เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล


....................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................... ...............................................

....................................................................................................................................................................................



แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 1. จงวาดภาพและพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย หรือเชิงอุปนัย

1.1 เหตุ 1. เด็กบางคนไม่ชอบทานผัก 1.2 เหตุ 1. ดอกดาวเรืองเป็นดอกไม้

2. ผักมีรสขม 2. ดอกไม้บางชนิดใช้บูชาพระ

ผล เด็กทุกคนไม่ชอบของที่มีรสขม ผล ดอกดาวเรืองใช้บูชาพระ

1.3 เหตุ 1. สุธีเป็นผู้ชาย ชอบสีชมพู 1.4 เหตุ 1. คนชอบเล่นดนตรีเป็นคนเก่ง

2. สิงห์เป็นผู้ชาย ชอบสีชมพู 2. คนชอบเล่นกีฬาเป็นคนเก่ง

3. สุเทพเป็นผู้ชาย ชอบสีชมพู 3. คนชอบท าอาหารเป็นคนเก่ง

4. สาธิตเป็นผู้ชาย ชอบสีชมพู 4. คนชอบเล่นเกมส์เป็นคนเก่ง

ผล ผู้ชายทุกคนชอบสีชมพู ผล คนทุกคนเป็นคนเก่ง

2. จงพิจารณาว่าข้อใดต่อไปนี้เป็นประพจน์

2.1 จังหวัดระยองเป็นจังหวัดหนึ่งที่อยู่ในภาคตะวันออกของประเทศไทย

2.2 35x

2.3 ณเดช เป็นคนหน้าตาดี

2.4 ฉัตรชนี แก้วสีทอง เป็นนักคณิตศาสตร์

2.5 สิงโตตัวเมียทุกตัวมีหนวด 19 เส้น

3. จงสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

3.1 q p p 3.2 q p r q

3.3 p q r s 3.4 r s q p

4. ก าหนดให้ ,p q เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง T

,r s เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ F

4.1 จงหาค่าความจริงของประพจน์ q p s r r

4.2 จงหาค่าความจริงของประพจน์ q s r q

4.3 จงหาค่าความจริงของประพจน์ s p q r p r

4.4 จงหาค่าความจริงของประพจน์ r r p s s q



5. จงหาค่าความจริงของประพจน์ q q p p เมื่อ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ

6. จงหาค่าความจริงของประพจน์ q p p q เมื่อ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ

7. จงหาค่าความจริงของประพจน์ q q p p เมื่อ p q มีค่าความจริงเป็นจริง

8. จงพิจารณาประพจน์ต่อไปนี้ข้อใดเป็นสัจนิรันดร์, ประพจน์ขัดแย้ง, หรือไม่เป็นสัจนิรันดร์และประพจน์ขัดแย้ง

8.1 p q q p

8.2 r q p r q p

8.3 p q p q

8.4 s t r r s

8.5 A B C B C D A D

9. จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่

9.1 เหตุ 1. p q 9.2 เหตุ 1. p q

2. q r 2. q s

3. r s 3. s

ผล s ผล p s

9.3 เหตุ 1. ถ้า A เป็นจ านวนเต็มบวก แล้ว B ไม่เป็นจ านวนเต็มบวก

2. 2 1A หรือ 2 1B

3. ถ้า 2 1A แล้ว A เป็นจ านวนเต็มบวก

4. 2 1B

ผล A เป็นจ านวนเต็มบวก

9.4 สมมติให้ เอฟเป็นนักสืบถูกว่าจ้างให้สืบสวนเรื่องราวเกี่ยวกับคดีฆาตกรรมของสมพร

โดยเอฟได้ไปเก็บข้อมูลในสถานที่เกิดเหตุและได้บันทึกรายละเอียดได้ดังนี้

- ถ้าวันจันทร์ฝนตกแล้วสมพรไม่มาท างาน

- ถ้าวันอังคารแดดออกแล้วสมพรมาท างาน

- วันจันทร์ฝนตก

- วันอังคารแดดออกหรือสมพรถูกฆาตกรรมวันอังคาร

- ถ้าวันพุธฝนตกแล้วสมพรถูกฆาตกรรมวันพุธ

จงใช้การอ้างเหตุผลเพื่อหาว่าสมพรถูกฆาตกรรมวันอังคารหรือไม่



เฉลยแบบฝึกหัดท้ายบทที ่1 1. 1.1 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย 1.2 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงนิรนัย

1.3 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย 1.4 เป็นการอ้างเหตุผลเชิงอุปนัย

2. 2.1 เป็นประพจน์ 2.2 ไม่เป็นประพจน์ 2.3 ไม่เป็นประพจน์

2.4 เป็นประพจน์ 2.5 เป็นประพจน์

4. 4.1 จริง 4.2 จริง 4.3 จริง 4.4 เท็จ

5. เท็จ 6. จริง 7. เท็จ

8. 8.1 สัจนิรันดร์ 8.2 ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 8.3 ประพจน์ขัดแย้ง

8.4 สัจนิรันดร์ 8.5 สัจนิรันดร์

9 9.1 สมเหตุสมผล 9.2 สมเหตุสมผล 9.3 ไม่สมเหตุสมผล 9.4 สมเหตุสมผล

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น...ต วอย าง...

Documents