หน่วยการเรียนรู้ที่1 ความ...

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 1

หนวยการเรยนรท 1

ความสมพนธและฟงกชน (Relation and Function) 1. ความสมพนธ (Relation)

ในชวตประจ าวนจะพบสงทมความเกยวของกนเสมอ เชน สนคากบราคาสนคา คนไทยทกคนกบเลขประจ าตวประชาชนของตวเอง ตวอยางทกลาวมาเปนตวอยางทแสดงความสมพนธของสงสองสงทมาเกยวของกนภายใตกฎเกณฑอยางใดอยางหนง ส าหรบในวชาคณตศาสตรมสงทแสดงความสมพนธกน เชน พนทของรปสเหลยมผนผาเทากบผลคณของความยาวของดานกวางและความยาวของดานยาว การจบคระหวางสงสองสงทมความสมพนธกน เราเรยกวา “ คอนดบ ”

1.1 คอนดบ (Ordered Pair) นยาม นยาม นยาม ตวอยางท 1 จงหาคาของ x และ y ทท าให (x, 3) = (4, y) ตวอยางท 2 ก าหนดให (3, a) (3, 4) จงหาคา a ตวอยางท 3 จงหาคา x และ y ทท าให (x + 2, y + 10) = (6, 12) วธท า จากความหมายการเทากนของคอนดบ จะไดวา x + 2 = 6 และ y + 10 = 12 x = 4 และ y = 2

(a, b) อานวา คอนดบ เอ บ เรยก a วา สมาชกตวหนา (Abscissa) และ เรยก b วา สมาชกตวหลง (Ordinate)

(a ,b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

(a , b) (c, d) กตอเมอ a c หรอ b d


ตวอยางท 4 จงหาคาของ x และ y ทท าให (2x + y, 24) = (6, 3x – y) วธท า จากความหมายการเทากนของคอนดบ จะไดวา 2x + y = 6 ……………………….. (1) 3x – y = 24 ……………………….. (2) (1) + (2) ; 5x = 30 x = 6 แทนคา x ใน (1) จะได y = -6

ตวอยางท 5 จงหาค าตอบในแตละขอตอไปน 1. ถา (x – 1, y + 1) = (2, 3) แลว จงหาคา x และ y

2. ถา (4x – 1, y) = (3y + 2, x – 2) แลว จงหาคอนดบของ (x + y, x – y) 3. ก าหนดให (x – 1, y + 2) (5, 3) จงหาคา x และ y

4. ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางแตละขอใหถกตองสมบรณ

ขอท ค าถาม ค าตอบ

1. คอนดบสามแปด เขยนแทนดวยสญลกษณใด 2. (10, 6) อานวาอยางไร มสมาชกตวหนาคอจ านวนใด 3. คอนดบ (2, 3) และ ( 4 , 3) เทากนหรอไม 4. จงหาคาของตวแปรในแตละขอตอไปน

4.1 (x, y) = (6, 9) 4.2 (x – 2, 4) = (8, y + 2) 4.3 (-3, a) = (b – 4, 6) 4.4 (x + y, x – y) = (6, 4) 4.5 (2x, y) = (16, 2)

4.1 …………………………. 4.2 …………………………. 4.3 …………………………. 4.4 …………………………. 4.5 ………………………….


1.2 ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product) นยาม นนคอ จะไดวา BA { (a , b) | Aa และ Bb } ท านองเดยวกน AB { (a , b) | Ba และ Ab } ตวอยางท 6 ก าหนดให A = {2, 3} , B = {4, 5, 6} จงหา 1. BA = …………………………………………………………………………………... และจะไดวา )BA(n = …………………………………………………………..

2. AB = …………………………………………………………………………………… และจะไดวา )AB(n = …………………………………………………………..

3. AA = …………………………………………………………………………………... และจะไดวา )AA(n = ………………………………………………………….

4. BB = …………………………………………………………………………………... และจะไดวา )BB(n = ………………………………………………………….

จากตวอยางขางตน จะไดวา )BA(n =

ตวอยางท 7 1. ก าหนด A = {3} และ B = {5, 6} แลว

1.1 A B = ………………………………………………………………….

1.2 B A = ………………………………………………………………….

1.3 A A = ………………………………………………………………….

1.4 B B = …………………………………………………………………. 2. ก าหนด A = {1, 3} และ B = {5, 7, 9} แลว

2.1 A B = ………………………………………………………………….

2.2 B A = ………………………………………………………………….

2.3 A A = ………………………………………………………………….

2.4 B B = ………………………………………………………………….

ให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบ (a, b) ทงหมด โดยท Aa และ Bb ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวยสญลกษณ BA


3. ถา A = {2, 4} และ B = {6, 8, 10, 12} แลว จงหา

3.1 จ านวนสมาชกของ A B = ……………………………………………

3.2 จ านวนสมาชกของ B B = ……………………………………………

ตวอยางท 8 ให A {1, 2, 3} , B { 03x|Ix 2 } จงหา

1. BA = ……………………………………… และจะไดวา )BA(n = ……..

2. AB = ……………………………………... และจะไดวา )AB(n = ……..

3. AA = ……………………………………… และจะไดวา )AA(n = ……..

4. BB = ……………………………………… และจะไดวา )BB(n = ……..

ตวอยางท 9 ให A {1, 2, 3} , B {2, 3, 4} , C {3, 4, 5} จงหา

1. BA = ………………………………………………………………..……………... CA = ……………………………………………………………..………………... 2. C)(AB)(A = …………………………………………………………………...


แบบฝกหดท 1.1 1. จงหาคา x และ y ในแตละขอตอไปน

1. (x – 5y, 2x – 3y) = (9, 4) 2. (3x + 2y, 1) = (6, x + y) 3. (2x – 2y, –10) = (–2, 3y + 2x) 4. (x + 2y, 1) = (13, 2x – y)

2. จงพจารณาวาแตละขอตอไปนถกหรอผด …….1. ถา x = 2 และ y = 3 แลว (x, 3) = (2, y) …….4. ถา x = 3 และ y = 2 แลว (x, 2) = (3, y) …….2. ถา (x, 5) (2, y) แลว 2x หรอ 5y …….5. ถา (x + y, 3) = (5, x – y) แลว (x, y) = (4, 1) …….3. ถา (x, y) (2, 3) แลว 2x หรอ 3y …….6. ถา (x, 3) (2, y) แลว 2x หรอ 3y 3. ก าหนดให A = {0, 1} , B = {4} และ C = {1, 2, 3} จงหา 1. )CB(A 5. )CB(A

2. )CA()BA( 6. )CA()BA(

3. )CB(A 7. A)CB(

4. )CA()BA( 8. )AC()AB(


1.3 ความสมพนธ (Relation) เนองจากผลคณคารทเซยนของเซตA และเซตB คอ เซตของคอนดบทกคอนดบทสมาชกตวหนาเปนสมาชกของเซต A และสมาชกตวหลงเปนสมาชกของเซต B ถาแทนเซตของความสมพนธดวย r อาจกลาวไดวา ความสมพนธเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนของเซต A และเซตของ B หรอ เขยนไดวา r A B และเรยน r วา ความสมพนธจาก A ไป B ถา r A A เรยก r วา ความสมพนธใน A

นยาม

ตวอยางท 10 ก าหนดให 9} 8, {6,B 4}, 3, {2,A จงเขยนความสมพนธ r จาก A ไป B ตามเงอนไขตอไปน 1. มากกวา จะได 1r …………………………………

2. หารลงตว จะได 2r …………………………………

3. เปนรากทสอง จะได 3r …………………………………

4. 11}yx|BA y){(x,4r จะได 4r …………………………………

5. 5}-2xy|AA y){(x,5r จะได 5r …………………………………

ตวอยางท 11 ก าหนดให A { x | xE และ 0 < x < 5 } และ B { x | xO และ 0 < x < 7 }

จะไดวา BA

ให r1 เปนความสมพนธ นอยกวา จาก A ไป B r1 = ให r2 เปนความสมพนธ เทากน จาก A ไป B r2 = ให r3 เปนความสมพนธ เปนสองเทา จาก A ไป B r3 = ตวอยางท 12 ก าหนดให A {1, 4} และ B {1, 3, 5} จงเขยนความสมพนธตอไปน แบบแจกแจก

สมาชก 1. r1 = { yx|BAy)(x, }

2. r2 = { 2yx|ABy)(x, }

r เปนความสมพนธจากเซต A ไปเซต B กตอเมอ BAr


3. r3 = { yx|AAy)(x, 2 } 4. r4 = { 12xy|BBy)(x, } ตวอยางท 13 ก าหนด A = {1, 2, 3} จงเขยน r1 และ r2 แบบบอกเงอนไข เมอ r1 , r2 เปนความสมพนธใน A และ r1 = {(1, 2), (2, 3)} r2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} ตวอยางท 14 จงเขยนความสมพนธแตละขอตอไปนในรปแจกแจงสมาชก 1. r1 = {(x, y) I I+ | y2 = x}

2. r2 = {(x, y) A A | y = x – 4 } เมอ A = {2, 5, 6, 10}

3. r3 = {(x, y) I I | y2 = 1 – x2}

ตวอยางท 15. ก าหนดเซต A มสมาชก 3 ตว เซต B มสมาชก 4 ตว จงหา 1. จ านวนความสมพนธจาก A ไป A ………………………………………………………….. 2. จ านวนความสมพนธจาก A ไป B ………………………………………………………….. 3. จ านวนความสมพนธจาก B ไป B …………………………………………………………..

หมายเหต

1. r เปนความสมพนธใน A กตอเมอ r A×A 2. ถา r เปนความสมพนธ อาจเขยนแทน r)y,x( ดวย “ yrx ” อานวา เอกซมความสมพนธ

อารกบวาย ถา r)y,x( เขยนแทนดวย “ yrx ” อานวา เอกซไมมความสมพนธอารกบวาย

3. ถา A มสมาชก m ตว และ B มสมาชก n ตว A B จะมสมาชก mn ตว สบเซตของ A B จะม 2mn สบเซต ความสมพนธจาก A ไป B จะม 2mn ความสมพนธ

โรงเรยนสอาดเผดมวทยา ความสมพนธและฟงกชน 8 1.4 กราฟของความสมพนธ (Graph of Relation) นยาม ตวอยางท 16 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน

1. r1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) } 2. r2 = { 1x2y|RR)y,x( } Y

3. 2

3 xyRRyx,r 4. 4xyRRyx,r4

Y Y X X การเขยนกราฟของอสมการ มวธการ ดงน

1. เขยนกราฟของสมการ 2. เลอกชวงตามอสมการ

ตวอยางท 17 จงเขยนกราฟของอสมการตอไปน 1. xyRRyx,r1 2. xyRRyx,r2

ก าหนดให R เปนเซตของจ านวนจรง r เปนสบเซตของ R×R

กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดในระนาบ

โดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธใน r

Y

X

Y

X

X

Y

X

Y

X

Y

X X

Y


3. xyRRyx,r3 4. xyRRyx,r4

5. 5r { 12xy|y)(x, } 6. 6r { 4x0|y)(x, } 7.

7r {(x,y)|2 y 5} 8. 8r { 2xy|y)(x, และ 3xy }

แบบฝกหดท 1.2

1. ก าหนดให A = {0, 1, 2} และ B = {1, 3, 5} 2. ก าหนดให A = { 1 , 2 , 3 } จงเขยนความสมพนธ จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก ในเซต A ตอไปนแบบแจกแจงสมาชก 1. }xy|BAy){(x,r1 1. }1xy|AA)y,x{(r1 2. x}y|BAy){(x,r2 2. }0xy|AA)y,x{(r 2 3. }yx|BAy){(x,r3 3. }1xy|AA)y,x{(r3 4. 1}xy|AAy){(x,r4 4. }xy|AA)y,x{(r 2

4 5. 5r { yx| BBy)(x, เปนจ านวนค} 5. }yx|AA)y,x{(r 2

5

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X


3. ก าหนดให A = {2, 3, 4} และ B = {6, 8, 9, 16} จงเขยนความสมพนธแบบบอกเงอนไข และแบบแจกแจงสมาชกในแตละขอตอไปน

1. 1r คอ ความสมพนธ “ หารลงตว ” จาก A ไป B 1r =

2. 2r คอ ความสมพนธ “ เปนรากทสอง ” จาก A ไป B 2r =

3. 3r คอ ความสมพนธ “ เปนก าลงสาม ” จาก B ไป A 3r =

4. 4r คอ ความสมพนธ “ นอยกวา ” จาก B ไป A 4r =

5. 5r คอ ความสมพนธ “ เปนสองเทา ” ใน A 5r =

1.5 โดเมนและเรนจของความสมพนธ (Domain and Range of Relation) นยาม

นนคอ Dr = { r)y,x(|x } และ Rr = { r)y,x(|y } หลกการหาโดเมน ( Domain ) และ เรนจ ( Range ) กรณก าหนดความสมพนธเปนแบบแจกแจงสมาชก

- โดเมน คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบ - เรนจ คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ

กรณก าหนดความสมพนธเปนแบบบอกเงอนไข - การหาโดเมน ใหเขยนสมการในรป y = เทอมของ x แลวพจารณาวาคาของ x เปนจ านวนใดไดบาง โดเมน คอ เซตของคา x ทเปนไปไดทงหมด

- การหาเรนจ ใหเขยนสมการในรป x = เทอมของ y แลวพจารณาวาคาของ y เปนจ านวนใดไดบาง เรนจ คอ เซตของคา y ทเปนไปไดทงหมด

กรณก าหนดความสมพนธเปนแบบกราฟ หรอ ความสมพนธทสามารถวาดกราฟได - การหาโดเมน คอ เงาของกราฟบนแกน X - การหาเรนจ คอ เงาของกราฟบนแกน Y

ตวอยางท 18 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน 1. r { (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8) }

rD rR 2. r { (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), … }

rD rR 3. r

rD rR

ก าหนดให r เปน ความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย rD เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย rR


4. A { 1, 2, 3, 4, 5} และ r { 2(x, y) A A | y x } จงหาโดเมนและเรนจของ r

พจารณา A A = จะได r = ดงนน rD rR 5. r { 5x2y|II)y,x( }

6. r { 5x2y|RR)y,x( }

ตวอยางท 19 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

1. 1

2r x, y R R | y

x 3

2. 2r { (x, y) R R | y x 16 } 3. 3r { 2(x, y) R R | y x 1 }

4. 4r { 2(x, y) R R | y x 5 }


5. 5r { (x, y) R R | y x 2 } 6. 6r { (x, y) R R | y x 3 }

7. 7r { (x, y) R R | y 4 }

8. 8r { (x, y) R R | 3 x 10 } ตวอยางท 20 จงหาโดเมนและเรนจโดยการพจารณากราฟของความสมพนธตอไปน 1. 2.

rD = rR =

rD = rR =

3. 4.

rD = rR =

rD = rR =

8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10 15

Y

X

r

Y

X

r 8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10 15

8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10 15X

Y

r

8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10 15X

Y

r


8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10

8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10

5. 6.

rD = rR =

rD = rR =

7. 8.

rD = rR =

rD = rR =

แบบฝกหดท 1.3

1. จงหาโดเมน เรนจ ของความสมพนธตอไปน 1) 1r {(x, y) A B y x 1}

เมอ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {2, 3, 4, 5}

1r = ………………………..……………………………………

1rD = ………………………..……………………………………

1rR

= ………………………..……………………………………

2) 2

2r {(x, y) A A y x }

เมอ A = {-2, -1, 0, 1, 2}

2r = ………………………..……………………………………

2rD = ………………………..……………………………………

2rR

= ………………………..……………………………………

3) 3r {(x, y) A A x y 8} เมอ A {x N x 6}

3r = ………………………..……………………………………

3rD = ………………………..……………………………………

3rR

= ………………………..……………………………………

4) 4r {(x, y) A A x y 2}

เมอ A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

4r = ………………………..……………………………………

4rD = ………………………..……………………………………

4rR

= ………………………..……………………………………

5) 5r {(x, y) A A xy 12} เมอ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

5r = ………………………..……………………………………

5rD = ………………………..……………………………………

5rR

= ………………………..……………………………………

6) 2

6r {(x, y) N N y x }

6r = ………………………..……………………………………

6rD = ………………………..……………………………………

6rR

= ………………………..……………………………………

8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10X

Y

r

X

Y

r

8

6

4

2

2

4

6

15 10 5 5 10

X

Y

r

X

Y

r


2. จงหาโดเมน เรนจ จากกราฟของความสมพนธตอไปน

1)

rD = rR =

2)

rD = rR =

3)

rD = rR =

5)

rD = rR =

7)

4)

rD = rR =

6)

rD = rR =

8)


rD = rR =

rD = rR =

หน่วยการเรียนรู้ที่1 ความ...

Documents